Slide - Modelos Probabilísticos 2021-2

1 Estatística Agronomia Prof. Nádia Giaretta Biase Modelos probabilísticos 2 PRINCIPAIS MODELOS PROBABILISTICOS PARA V. A. DISCRETAS Bernoulli Binomial  Poisson PRINCIPAL MODELO PROBABILISTICO PARA V. A. CONTINUAS  Normal 3 Distribuição Bernoulli Considere uma única tentativa de um experimento aleatório. Nessa tentativa podemos ter sucesso ou fracasso Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso (ou insucesso), com p + q = 1. Seja a v.a. X = número de sucessos em uma única tentativa, então X assumira o valor 0, que corresponde ao fracasso, com probabilidade q, ou assumirá o valor 1, correspondente ao sucesso, com probabilidade p.         p com P X sucesso q P X com fracasso O X )1 ( ,1 0) ( , 4 Nessas condições a v. a. X tem distribuição de Bernoulli e sua função de probabilidade é dada por: pxq x x P X    1 ) ( ( E X ) p  Lembrando que q = 1 - p Os parâmetros da distribuição de Bernoulli são: Média Variância ( Var X )  pq 5 Exemplo 1: Suponha um local com 50 pessoas sendo 30 do sexo feminino e 20 masculino. Seleciona-se uma pessoa desse local. Seja X: número de pessoas do sexo masculino. a) Montar a função de probabilidade b) Calcular E(X) e Var (X) 6 Distribuição Binomial • É a mais importante das distribuições teóricas de probabilidade para variáveis discretas • É apropriada nas experiência onde ocorre somente duas situações ( sucesso ou fracasso) • Exemplos de experimentos binomiais: • Nascimento de animais em relação ao sexo; • Indivíduos fumantes ou não; • Germinação de sementes; • Eficácia de uma substância aplicada as pragas; 7 Um experimento se enquadra como um experimento binomial se as seguintes condições são satisfeitas: 1. A variável é discreta 2. Em cada experimento ocorre apenas o sucesso (p) ou fracasso (q) 3. Os experimentos repetidos são independentes 4. A probabilidade do sucesso (p) permanece constante de experimento para experimento 5. Um número fixo de n experiências são realizadas 8 Considere a situação: De sete pessoas cadastradas em um site, 3 concorrerão a prêmios por meio de sorteio (com reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de mulheres dentre as 3 pessoas escolhidas. X: { 0, 1, 2, 3} A situação envolve 3 eventos independentes. Para cada evento: P(mulher) = 5/7 P(homem) = 2/7 = p (probabilidade de sucesso) = q (probabilidade de fracasso, q = 1 - p) 9 Considere a situação: De sete pessoas cadastradas em um site, 3 concorrerão a prêmios por meio de sorteio (com reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de mulheres dentre as 3 pessoas escolhidas. Os parâmetros da distribuição de Binomial são: Média Variância ( E X )  np ( Var X )  npq 11 Considere a situação: De sete pessoas cadastradas em um site, 3 concorrerão a prêmios por meio de sorteio (com reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de mulheres dentre as 3 pessoas escolhidas. 12 Em resumo temos: Notação X~b(n,p) x n x x n C p q x X P    ) ( )! ! ( ! x x n n C x n   Função de probabilidade binomial , para x < n em que: n é o número de experiências; p é a probabilidade do sucesso e q= 1 - p é a probabilidade do fracasso; Média =  = E(x) = n.p Variância = 2 = n.p.q Desvio padrão =  2 13 Exemplo 2. Sabe-se que, em uma certa região, 60% dos municípios possuem usinas de reciclagem de lixo. Cinco cidades são selecionadas nesta região. a) Verifique se este experimento se enquadra como binomial b) Construa a função de probabilidade para o número de cidades com usinas de reciclagem c) Calcule a probabilidade de: i) que exatamente 3 cidades tenham usinas; ii) no máximo 1 tenha usina d) Determinar o número esperado e o desvio padrão. 14 Exemplo 3: Sabe-se que 20% das plantas expostas a um particular agente infeccioso adquirem certa doença. Considere um grupo de 4 plantas com igual exposição ao agente infeccioso. Qual a probabilidade de que, entre essas 4 plantas: a) Nenhuma planta adoeça; b) Todas adoeçam; c) Ao menos uma adoeça; 15 Distribuição de Poisson • Adequada às situações onde se deseja saber o número de sucessos (v. a. discreta) no domínio contínuo. • Exemplos de experimentos de Poisson: • Número de telefonemas recebidos por hora em um escritório; • Número de bactérias por unidade de área em um lâmina; • Número de veículos que passam num cruzamento por hora; • Número de mortes por ataque de coração por ano em Uberlândia; 16 Notação: X ~ Po () Função de probabilidade ! ) ( x e x X P  x   com X = 0, 1, 2, .... Media e variância da Poisson       ) ( ) ( X Var X E x 17 Exemplo 4: A central de atendimentos de uma operadora de cartões de crédito recebe denúncias de roubo de cartões à razão de quatro ligações por hora, no período matutino, em dias úteis. a) Qual a probabilidade de ocorrem três chamadas em uma hora? b) Qual a probabilidade de não ocorrer nenhuma chamada num período de 45 minutos? c) Qual a probabilidade de ocorrem ao menos duas chamadas no mesmo período de 45 minutos 18 Exemplo 5: Em momentos de pico, a chegada de aviões a um aeroporto se dá segundo um modelo Poisson com taxa de 1 por minuto. a) Determinar a probabilidade de 3 chegadas em um minuto qualquer do horário de pico. b) Se o aeroporto pode atender a 2 aviões por minuto, qual a probabilidade de haver aviões sem atendimento imediato? c) Previsões indicam que para o próximo ano o tráfego neste aeroporto deve dobrar, enquanto que sua capacidade poderá ser aumentada em 50%. Como ficará a probabilidade de espera? 19 Distribuição Normal • É o modelo de distribuição de probabilidade mais utilizado na estatística • Métodos e técnicas estatísticas paramétricas geralmente consideram o modelo de distribuição de probabilidade normal. • Seu gráfico tem a forma campanular (sino) • É uma distribuição simétrica em relação à média • É duplamente assintótica em relação ao eixo das abscissas • Tem dois pontos de inflexão que correspondem à media ± desvio padrão - + Distribuição Normal Médias diferentes e desvio padrões iguais Médias iguais e desvio padrões diferentes 21 2 1 2 1 ( ) 2 x f x e x                   - + ( E X )   (8 11) ? P  X   Exemplo: ~ (10,4) X N   2 ( Var X )   2 ~ ( , ) X N   2 10 4      Definição: Uma v. a. X tem distribuição normal se sua fdp puder ser descrita por: A área total abaixo da curva é igual a 1. 22 Distribuição Normal Padrão X Z      integrais podem ser tabeladas! ~ (0,1) Z N 2 ~ ( , ) X N   E(Z)=0 Var (Z)=1 23 A tabela da distribuição normal padrão z (0 2,17) ? P  Z   - + 0 z (0 ) P Z z   24 Exemplos de utilização da tabela de Z ( 2,17 0) ? P Z     P(-1 < Z < 2) = ? P(Z > 1,5) = ? P(1,5 < Z <2,33) 28 P(Z> z) = 0,0228 P (Z > z) = 0,9505 + 29 Exemplo de uso da tabela: Calcular as seguintes probabilidades: a) P(0 < Z < 1,28) b) P(Z>1,96) c) P(Z< 2,57) d) P(Z< - 1,33) e) P(Z> -1,00) f) P( -1,00 < Z < 1,45) g) P( 1,00< Z < 1,96) 30 Exemplo 6: Suponha que, em média, a empresa X transporte 10 t/dia de esterco orgânico, com desvio padrão de 2 toneladas. Suponha que X tem distribuição normal. Qual a probabilidade que em um determinado dia a empresa transporte entre 8 e 11 toneladas? 31 Exemplo 7: Suponha que o tempo de florescimento de uma determinada orquídea seja normalmente distribuído com média 18 dias e desvio padrão de 3 dias. a) Qual a probabilidade de que uma planta selecionada aleatoriamente apresente: i) tempo de florescimento inferior a 18 dias? ii) tempo de florescimento superior a 21 dias? iii) tempo de florescimento entre 15 e 22 dias? b) Qual é o limite de tempo de florescimento acima do qual espera-se encontrar 95% das plantas? c) Qual é o limite de tempo abaixo do qual espera-se encontrar apenas 10% da plantas? 32 Exemplo 8: A produção de leite de animais de uma fazenda tem distribuição normal com média de 12 litros e desvio padrão de 3 litros. i) Qual a probabilidade de selecionarmos um animal e ele produzir: a) mais de 17 litros? b) entre 7 e 15 litros? c) pelo menos 14 litros? ii) O produtor decide utilizar o seguinte critério: 10% dos animais com as menores produções e 15% dos animais com as maiores produções serão separados dos demais para tratamento especial. Utilizando as informações da distribuição normal, qual serão os limites para a separação? 33 Exemplo 9: Sabe-se que a variável aleatória X, referente ao tempo gasto na solução de uma determinada prova, tem distribuição normal com média 40 minutos e desvio padrão de 10 minutos. a) Qual a probabilidade de uma pessoa gastar de 30 a 50 minutos na solução da prova? b) Qual a probabilidade de que uma pessoa gaste gaste mais de 60 minutos? c) Deseja-se fazer um agrupamento das pessoas da seguinte forma: Grupo A: 30% das pessoas que realizaram a prova no menor tempo; Grupo B: 50% seguintes; Grupo C: 20% restantes; Quais os limites de tempo esperado para a classificação dos grupos?