Lista - Cap 7 - Eletromagnetismo 2022 1

ELETROMAGNETISMO: Capítulo VII – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO 1 Lista de Exercícios Capítulo VII 01) Determinar a contribuição incremental ∆H  para o campo magnético na origem, causada por um elemento I L ∆  (no vácuo) igual a: (a) 3 az A.m π µ  localizado em (3, –4, 0); (b) 3 az A.m π µ  localizado em (3, 2, –4); (c) x y z (a 2a 2a ) A.m π − + µ    localizado em (5, 0, 0). Resp.: (a) x y 24a 18a −  −  ; (b) x y 9,605a  −14,407a  ; (c) y z 20a 20a −  −  todos em [nA/m]. 02) Uma corrente de 400mA está fluindo na direção z a em um filamento (situado no vácuo) que é paralelo ao eixo z e que passa pelo ponto (2, –4, 0). Encontre H  no ponto (0, 1, 0) se o filamento se estende no intervalo: (a) −∞ < z < ∞; (b) 3 z 3 − < < ; (c) 0 < z < ∞ Resp.: (a) x y 10,976a 4,39a −  −  ; (b) x y 5,34a 2,14a −  −  ; (c) x y 5,488a 2,195a −  −  mA/m. 03) Determinar H  , em componentes retangulares, no ponto P(0; 0,008; 0) situado no campo de: (a) dois filamentos infinitos de corrente: 75 mA no eixo z, sentido – z a , 75 mA em x = 0, y = 0,01, sentido + z a ; (b) uma linha de transmissão coaxial centrada no eixo z e tendo a = 2 mm, b = 7 mm, c = 9 mm e I = 0,7 A tendo sentido + z a no condutor central; (c) duas superfícies de corrente: x 8a A/m em y = 3 mm e 2 ax − π A/m em y = 10 mm. Resp.: (a) x 7,46a ; (b) −7,398ax  ; (c) z 7,1416a A/m. 04) Determinar H  , em componentes retangulares, no ponto P(0; 0,008; 0) situado no campo de: (a) um longo solenóide com eixo em x = 1 cm, y = 2 cm, estendendo-se de z = –10 cm até z = 25 cm, diâmetro de 5 cm, 3000 espiras e I = 1 mA no sentido horário quando vista se z = 10 m; (b) um toróide centrado na origem, eixo em x, raio médio ρo = 1 cm, raio da seção reta circular a = 3 mm, N = 200 e I = 2 mA sentido x a no raio externo. Resp.: (a) −8,57az  ; (b) −7,96az  A/m. 05) (a) Calcule a integral de linha de 2 y z H 4sen(0,4 z)a (x 2) a = π − +    ao longo do percurso quadrado de centro em P(1, –3, 2), lado igual a 0,6 unidades, e situado no plano x = 1 com as arestas paralelas aos eixos coordenados. Use o sentido anti-horário quando o percurso é visto de x = ∞. (b) Calcule o quociente da divisão da integral acima pela área delimitada pelo percurso como uma aproximação para x ( ∇× H)   .(c) Calcule x ( ∇× H)   no ponto P(1, –3, 2). Resp.: (a) 1,430; (b) 3,9702; (c) 4,066. 06) Determine ( ∇× H)   sendo H  dado por: (a) 2 2 x y z H y za 2(x 1)yza (x 1)z a = + + − +     ; (b) z H 2 cos a 4 sen a 3a ρ φ = ρ φ − ρ φ +     ; (c) r H 2rcos a 3rsen aθ = θ − θ    Resp.: (a) 2 2 x y 2(x 1)ya (y z )a − + + +   ; (b) −6sen az φ ; (c) 4sen aφ − θ . 07) Um toróide centrado na origem, eixo em z, é definido por: 0 ρ =10 cm (raio médio), a = 3 cm (raio da seção reta circular) e z K =140a   A/m em 0 ρ = ρ − a , z = 0 (densidade superficial de corrente). Determine o potencial escalar magnético (Vm) em ρ = 12 cm, φ = 0,2π e z = 1,5 cm se: (a) Vm = 0 em φ = 0 e uma barreira se localiza em φ = π; (b) Vm = 0 em φ = –π/2 e uma barreira se localiza em φ = π; (c) Vm = 0 em φ = 0 e uma barreira se localiza em φ = 0,1π. Resp.:(a) –6,158; (b) –21,553; (c) 55,418 A. ELETROMAGNETISMO: Capítulo VII – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO 2 08) Trabalhando em coordenadas cilíndricas com o campo 2 2 A 2 (z 1)sen aφ = ρ + φ   , calcule ambos os lados do Teorema de Stokes para o percurso ρ = 2 , / 4 / 2 π < ϕ < π , 1 z 1,5 < < , e para a superfície cilíndrica que ele define. Resp.: (a) –5,1416; (b) –5,1416 (para percurso no sentido positivo,dS = +dSaρ   ). 09) Uma linha coaxial de alta potência é resfriada com água, que passa não só por um orifício do condutor interno como também por fora do condutor externo. Os raios do condutor interno são iguais a 5 e 7 mm e os do condutor externo a 19 e 20 mm. Os condutores transportam uma corrente contínua de 2.000 A. Após determinar H  e B  dentro dos condutores e entre eles, determine o fluxo magnético em 1 m de comprimento: (a) do condutor interno; (b) do espaço entre os condutores; (c) do condutor externo. Resp.: (a) 59,8; (b) 399,4; (c) 10,43 µWb. 10) O vetor A  no interior de um condutor sólido não-magnético de raio ρ = a, transportando uma corrente I no sentido z a pode ser facilmente determinado a partir de A B ∇× =    . Adotando 0 A ( = µ Iln5) / 2 π em ρ = a, encontre A  em: (a) ρ = 0; (b) ρ = 0,4a; (c) ρ = 0,9a. Resp.: (a) 0,422I z a ; (b) 0,406I z a ; (c) 0,341I z a µWb/m ( 2 0 0 z 2 I I A 1 ln5 a 4 2 a     µ µ ρ = − +     π π         ). 11) Um filamento infinitamente longo se estende ao longo do eixo x e conduz uma corrente de 10 mA no sentido ax + . Determine H  e H  no ponto P(3, 2, 1). Resp.: y z 0,318a 0,637a −  +  mA/m; 0,712 mA/m. 12) Dez filamentos de corrente infinitamente longos são paralelos ao eixo x e se localizam no plano z = 0 em y = –4,5; –3,5; ... ; –0,5; 0,5; ... ; 3,5; 4,5. Cada um conduz uma corrente de 1 A no sentido ax − . Calcule H  em: (a) (0, 0, 1); (b) (0, 0, 100). Resp.: (a) y 0,435a ; (b) y 0,0159a A/m. 13) Cada um dos três eixos coordenados conduz uma corrente de 1 A nos sentidos ax + , ay + e az + . Determine H  no ponto (2, 3, 4). Resp.: x y z 4,897a 0,979a 3,183a − − +    mA/m. 14) Uma corrente superficial K 4 aφ = ρ   A/m flui no plano z = 0 interiormente a região 2 m < ρ < 5 m. (a) Qual é a corrente que atravessa o plano φ = 0? (b) Qual é o valor de H  no ponto P(0, 0, h) ? (c) E o valor de Hz para h = 5 m? Resp.: (a) 42 A; (b) 2 2 2 2 z [(4h 50) / h 25 (4h 8) / h 4]a + + − + +  ; (c) 1,158 A/m. 15) Uma bobina toroidal de núcleo de ar está situada sobre o plano z = 0, centrada na origem, e tem uma seção reta quadrada de 1 cm de lado e raio interno igual a 3 cm. A densidade superficial de corrente na superfície do raio interno é de z 500a . Calcule: (a) H  em ρ = 2 cm, φ = 0,1π, z = 0; (b) H  em ρ = 3,2 cm, φ = 0,2π, z = 0,2 cm; (c) ( , , ) ρ φ  B z ; (d) o fluxo total no interior do toróide. Resp.: (a) 0; (b) 468,75a φ A/m  ; (c) 2 6 a / Wb/m π φ ρ µ  dentro, 0 fora; (d) 54,2 nWb. ELETROMAGNETISMO: Capítulo VII – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO 3 16) Determine o vetor intensidade de campo magnético no ponto (0, 0, 5 m) provocado por uma distribuição superficial uniforme de corrente y K = 500a   A/m, situada na região 0 <x < 10 m, y > 0 do plano z = 0. Resp.: x z 44,052a  + 32,0187a  A/m. 17) A região 0<x<6 m conduz uma densidade de corrente uniforme z J = 5a   A/m2, sendo J = 0  para todo o restante. (a) Usando a lei circuital de Ampère e caminhos retangulares no plano z = 0 , mostre que x 0 x 6 H H < > = − . (b) Ache H  no ponto (8, 9, 0). (c) Determine H  no ponto (2, 5, 0). Resp.: (a) demonstração; (b) 15ay A / m  ; (c) 5ay A / m −  . 18) Determine H  na origem devido a: (a) um filamento circular de corrente igual a 7 A, no sentido aϕ + , situado em ρ =10 cm , z = c; (b) cinco filamentos circulares, cada um com 7 A, no sentido aφ + , situados em ρ =10 cm , z = 0, 10 cm ± e 20 cm ± ; (c) um filamento circular de corrente com I 5 7 A = × , no sentido aφ + , situado em ρ =10 cm , z = 0; (d) um solenóide infinito situado em ρ =10 cm e para o qual K (7 / 0,1)a φ A / m =   . Resp.: (a) 2 1,5 z 0,035a / (c + 0,01)  ; (b) z 66,01a ; (c) z 175a ; (d) 70az A / m  . 19) Uma corrente flui na direção ay + sem variar com x. Cada metro de comprimento na direção x conduz 100 A. Determine H  em z = 3,11 m se a distribuição de corrente em z é a seguinte: (a) y K 100a A / m =   em z = 0; (b) y K 10a A / m =   nos 10 planos z = -4,5, -3,5, ... , 3,5, 4,5; (c) y K a A / m =   nos 100 planos z = -4,95, -4,85, ... , 4,85, 4,95; (d) 2 y J 10a A / m =   para -5 < z < 5 e J = 0  para todo o restante. Resp.: (a) x 50a ; (b) x 30a ; (c) x 31a ; (d) 31,1ax A / m  . 20) Uma corrente de 2,5 A flui no sentido az + em um filamento situado na parte negativa do eixo z. Na origem ela flui para fora e para cima como uma corrente superficial na superfície cônica θ = 45o . Use a lei circuital de Ampère para encontrar H  em todo o espaço. Resp.: H  = 0 para o 0 < θ < 45 ; H 0,398 a φ A/m = ρ   para θ > 45o . 21) Determine ∇2V e ∇× E   para os campos potenciais: (a) 2 2 V 10(x y ) = − ; (b) 2 2 V 10(x 2y ) = − . (c) Determine ∇× E   , como uma função do tempo, para o seguinte campo variante no tempo de uma linha de transmissão coaxial: 4 1 8 E 10 cos(10 t 0,5z)a − ρ = ρ −   V/m. Resp.: (a) 0, 0; (b) -20, 0; (c) 1 8 5000 sen(10 t 0,5z)a − φ ρ −  . 22) Dado o campo vetorial 2 2 x y z G (2x y)a 8xyza (x y / z)a = + + +     , obtenha um valor numérico para z ( ∇× G)   no ponto P(0,5; 2; 0,4) por intermédio de dois métodos diferentes: (a) compute G • dL ∫    ao longo do quadrado de lado igual a 2a ao redor de P no plano z = 0,4, divida pela área e determine o limite quando a → 0 ; (b) use o componente z da fórmula de rotacional. Resp.: (a) 5,4; (b) 5,4. ELETROMAGNETISMO: Capítulo VII – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO 4 23) Calcule ambos os membros do Teorema de Stokes para o campo magnético 2 2 2 2 x y H (y z / x)a (0,5y z / x )a = +    e determine a corrente no sentido ay + que atravessa a superfície quadrada no plano y = 2, delimitada por x = z = 1 e x = z = 2. Resp.: 4ln 2 ≅ 2,773 . 24) Certa intensidade de campo magnético é expressa, em coordenadas esféricas, por 6 H =10 rsen aφ θ   A/m. (a) Ache a corrente no sentido ra + que atravessa a calota esférica r 1 = mm, 0 < θ < π / 6 , 0 2 < φ < π, utilizando qualquer um dos membros do Teorema do Stokes. (b) Verifique seu resultado utilizando o outro membro não empregado do teorema. Resp.: (a) π⁄2 A; (b) π⁄2 A. 25) Na região central dos E.U.A. um valor bem representativo para o campo magnético é 2.10 5 T − . A fim de estimar o efeito que um sistema elétrico de um automóvel produziria em um pequena bússola, calcule a distância, a partir de um longo fio transportando 5 A de corrente contínua, para o qual o efeito sobre a bússola seria igual ao devido ao campo da Terra. Resp.: 5 cm. 26) Considere um solenóide cilíndrico de núcleo de ar, coaxial com o eixo z e raio a = 3 cm e densidade superficial de corrente dada por K = 800aφ   A/m. (a) Determine a diferença de potencial escalar magnético entre os pontos P(ρ = 1 cm, φ = 0, z = 4 cm) e Q(ρ = 2 cm, φ = 1,5π, z = 8 cm). (b) Use B = ∇× A    para obter A  e determine a diferença de potencial vetor magnético entre os pontos P e Q se A  = 0 para ρ = 0. Resp.: (a) 32 A; (b) 5,0265a Wb/m φ − µ  . 27) Três superfícies cilíndricas de corrente localizam-se, no vácuo, da seguinte maneira: z 100a A/m em ρ = 2 m, z 20a A/m em ρ = 3 e −65az  A/m em ρ = 4. Adotando Vm = 0 em φ = 0 e uma barreira em φ = π, determine: (a) Vm em o P(2,5; 70 ; 0) ; (b) Vm em o Q(3,5; 210 ; 0) . Resp.: (a) -244,346 A; (b) 680,678 A. 28) Um corrente filamentar de 6 mA flui no sentido az + em x = 2 e y = 0. Determine Vm ao longo do eixo y se Vm = 0 na origem. Resp.: (0,003 / )arctg(y / 2) A π . 29) Uma corrente filamentar I está direcionada do infinito à origem sobre o eixo x positivo e então de volta para o infinito ao longo do eixo y positivo. Determine H  no ponto P(0, 0, 2). Resp.: ( ) x y I a a 8 + π   . 30) (a) Determinar a magnitude de H  no ponto P(0, 0, z) para uma corrente filamentar I circulando num contorno circular ρ = a, no plano z = z’, no sentido aφ + . (b) Determinar novamente a magnitude de H  no ponto P(0, 0, z) para uma densidade de corrente superficial uniforme 0 K = K aφ   A/m, fluindo na superfície cilíndrica ρ = a, 0 z h ≤ ≤ . Utilizar o resultado obtido no item (a) para facilitar a sua solução. Resp.: (a) 2 1,5 2 2 0,5Ia H A/m a (z z') =   + −    ; (b) 0 2 2 2 2 z z h H 0,5K A/m z a (z h) a   −   = −   + − +    . ELETROMAGNETISMO: Capítulo VII – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO 5 31) Um filamento condutor é dobrado na forma de um triângulo equilátero de lado L e percorrido por uma corrente I . Encontre a intensidade do campo magnético no centro do triângulo. Resp.: 9I H = 2 L π [A/m] 32) Um disco de raio "a" e densidade superficial de carga S ρ está no plano xy, centrado na origem e gira em torno do eixo z com uma velocidade angular Ω rad/s. Encontre H  ao longo do eixo z. Resp.: ( ) ( ) 2 2 2 2 S z 2 2 a 2z 1 1 a / z H a 2z 1 a / z     + − +     ρ Ω   =     +       [A/m] 33) Um filamento condutor com uma corrente I na direção z a se estende por toda a parte negativa do eixo z. Em z = 0, ele é conectado a uma placa de cobre que se estende por todo o primeiro quadrante do plano xy. (a) Use a lei de Biot-Savart e encontre H  em todos os pontos do eixo z; (b) repita a parte (a), mas com a placa de cobre ocupando todo o plano xy. Resp.: (a) x y 2 I H (a a ) 2 z = − π    [A/m] (b) 0 [A/m] 34) Assuma uma região com simetria cilíndrica de condutividade 1,5e−150 ρ σ = [kS/m]. Um campo elétrico de z 30a V/m está presente. (a) Encontre J  . (b) Encontre a corrente total que atravessa a superfície 0 ρ < ρ , z = 0, para todo φ . (c) Use a lei circuital de Ampère para encontrar H  Resp.: (a) 150 2 z J 45e a [kA/m ] − ρ =   (b) ( ) 150 0 0 I 12,5664 1 1 150 e [A] − ρ   = − + ρ   (c) ( ) 150 2 H 1 1 150 e [A/m] − ρ φ   = − + ρ   ρ 35) Um cabo de 3mm de raio é feito de um material interno ( 0 < ρ < 2mm ) com σ =107 S/m e um material externo ( 2mm < ρ < 3mm ) de σ = 4 107 × S/m. Se o fio é percorrido por uma corrente total de 100 mA dc, determine H  em todo o espaço como função de ρ . Resp.: para ρ < 2mm , H = 663,146 aφ ρ   [A/m] para 2mm < ρ < 3mm , 3 3 7,96.10 H 2,652.10 a − φ = ρ − ρ   [A/m] para ρ > 3mm , 1,5915.10 2 H a − φ = ρ   [A/m] 36) Seja 2 z A 50 a = ρ   [Wb/m] em uma região do espaço livre. (a) Encontre H  . (b) Encontre J  . (c) Encontre a corrente total que atravessa a superfície 0 1 ≤ ρ ≤ , 0 2 ≤ φ ≤ π, z = 0. (d) Calcule H dL ⋅ ∫    para 1 ρ = , z = 0. Resp.: (a) 0 100 H aφ − ρ = µ   [A/m] (b) 2 z 0 200 J a [A / m ] = − µ   (c) I = −500 [MA] (d) H dL I 500 [MA] ⋅ = = − ∫    ELETROMAGNETISMO: Capítulo VII – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO 6 37) Uma espira quadrada de lado diferencial dL está centrada na origem no plano z = 0. Uma corrente I flui na direção aφ  . (a) Assuma que r >> dL e mostre que 2 0 2 I(dL) sen dA a 4 r φ µ θ = π   . (b) mostre que ( ) 2 r 3 I(dL) dH 2cos a sen a 4 r θ = θ + θ π    . Resp.: Demonstração. 38) Filamentos condutores infinitos estão localizados no plano y = 0 em x = n metros, onde n = 0, ±1, ±2,… Cada um com corrente de 1 A na direção z a . (a) Encontre H  no eixo y. Use 2 2 2 y n 1 y 1 2 2y y n e 1 ∞ π = π π = − + + − ∑ . (b) Compare seu resultado obtido na parte (a) se os filamentos são substituídos por uma distribuição superficial de corrente no plano em y = 0 com z K =1a   [A/m]. Resp.: (a) x 2 y 1 1 1 H a 2 2 y e 1 π   = − − +   π −     [A/m] (b) x 1 H = − 2 a   [A/m]. 39) Mostre que 21 2 1 3 12 12 12 1 1 R R R R ∇ = −∇ =    onde 12 2 1 x 2 1 y 2 1 z R (x x )a (y y )a (z z )a = − + − + −     . Nota: n ∇ significa que o operador "nabla" será aplicado sobre variáveis com índice "n". Resp.: Demonstração (Nota: Usar a fórmula do gradiente de uma função 1/u). 40) Um cilindro sólido de raio a e comprimento L, com L ≫ a, contém uma densidade volumétrica de carga 0 ρ [C/m3]. O cilindro gira em torno do eixo z com velocidade angular Ω rad/s. (a) Determine J  como função da posição do cilindro. (b) Determine H  no seu eixo. (c) Determine a intensidade de H  dentro e fora do cilindro. (d) Confira o resultado da parte (c) fazendo o rotacional de H  . Resp.: (a) 0 J = ρ ρΩaφ   [A/m2]; (b) 2 0 z a H a 2 = ρ Ω   ; (c) 2 2 0 H( a) (a ) 2 ρ Ω ρ ≤ = − ρ [A/m], H( a) 0 ρ ≥ = ; (d) Basta verificar que H J para a ∇× = ρ ≤    . (20) ρ|<Θ<45° Na amperiana 𝛾ₐ: H·2πρ = 0 => |H| = 0 ρ| Θ>45° H·2πρ = Iᵢₑₙᵥ = 2,5 deve haver conservação H = \(\frac{2I₅}{2πρ}\) = \(\frac{0,398}{ρ}\) Observe que Θ>45° inclui amperianas quaisquer em z<0 (24) (a) Pela lei de Ampere-Maxwell ∇×\(\bar{H}\) = \(\bar{J}ₑₙᵥ.\) \(\bar{J}ₑₙᵥ.\) = \(\frac{1}{ρ³senΘ}\) \| \begin{array}{ccc} \hat{a}_ρ & ρ\hat{a}_Θ & ρsenθ\hat{a}_φ \\ \frac{∂}{∂ρ} & \frac{∂}{∂Θ} & \frac{∂}{∂φ} \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \| = ρ²10⁶senΘcosΘ\hat{a}_ρ - 10⁶sen²θ·ρ²\hat{a}_φ \(\bar{J}ₑₙᵥ.\) = 2·10⁶cosΘ\hat{a}_ρ - 2·10⁶senΘ\hat{a}_φ Iₗ = ∫\(\bar{J}·d\bar{A}\) = 2·10⁶·∫₀^{2π}∫₀^{π/6}cosΘ·ρ²senΘdΘdφ = 10⁶·10⁶·2π∫₀^{π/6}sen(2Θ)dΘ = -π[cos(2Θ)]₀^{π/6} = \(\frac{1}{2}\) - 1)(-π) Iₗ = \(\frac{π}{2}\)A (b) Aplicando o teorema de Stokes à Lei de Ampere: ∫ₕ \(\bar{H}·d\bar{l}\) = Iₑₙᵥ.: Iₑₙᵥ. = ∫₀ \(\frac{10³·10⁻³}{2\hat{a}_ρ}\) \cdot 10⁻³dl = \(\frac{10³}{2}\) π10⁻³ = \(\frac{π}{2}\)A (30) (a) Precisamos utilizar Biot-Savart: B(z) = \(\frac{μ_0}{4π}\)∫\(I·\phi × (-a\hat{β} + (z-z¹)\hat{z})\) \; dαφ \left(a² + (z-z¹)²\right)^{3/2} H(z) = \(\frac{I}{4π}\left[\frac{a²\hat{z}}{(a² + (z-z')²)^{3/2}}\right]^{2π}_0 \cdot ∫\left(\left[\frac{(z-z¹)⁰\phi}{(a²+(z-z¹)²)^{1/2}}\right]_{z=0}^{x} \right] \right) H(z) = \(\frac{I₀a²}{2}\)\left[\frac{1}{(a² + (z-z)²)^{3/2}}\right)\hat{z} (b) Para encontrar o novo H precisamos integrar em z'. . H(z) = \frac{a^2}{2} \int \frac{dI}{[a^2 + (z-z')^2]^{3/2}} = \frac{K_0 a^2}{2} \int_0^h \frac{z'}{[a^2 + (z-z')^2]^{3/2}} Pois \ K_0 = \frac{I}{z'^l} \Rightarrow dI = K_0 dz' Fazendo: \ z-z' = a tg \theta \Rightarrow dz' = -a sec^2\theta d\theta H(z) = \frac{K_0 a^2}{2} \int \frac{-a sec^2\theta d\theta}{a^3 sec^3\theta} = -\frac{K_0 z^2}{2} \int \cos \theta d\theta = -\frac{K_0 z^2}{2} Da' trigonometra' sec^2\theta H(z) = -\frac{K_0 z^2}{2} \frac{z-z'}{a} \sqrt{1+[\frac{(z-z')}{a}]^2}^h_0 H(z) = \frac{K_0}{2} \left[ \frac{z}{\sqrt{a^2+z'^2}} - \frac{z-h}{\sqrt{a^2+(z-h)^2}} \right]^z_{A/h} Digitalizado com CamScanner