Questões - 2023-1

QUESTÃO 1: (3,0 pontos) (a) Encontre uma expressão para a densidade superficial de carga em uma esfera condutora quando colocada em um campo eletrostático uniforme. (b) O campo elétrico fora da esfera continua sendo uniforme? Responda com base em uma expressão matemática para o campo. (c) Se a esfera condutora fosse aterrada, algo mudaria na solução dos itens anteriores? Justifique sua resposta. QUESTÃO 2: (2,0 pontos) A teoria da relatividade de Einstein estipula que o trabalho realizado para formar ou montar uma carga é armazenado como energia na massa e é igual a mc², em que m é a massa e c = 299792458 m/s é a velocidade da luz. Considerando o elétron como uma esfera perfeita, estime o seu raio a partir da sua massa m = 9,1093837015 x 10⁻³¹ kg. QUESTÃO 3: (3,0 pontos) Imagine a terra como uma grande esfera condutora envolta por ar. Qual a maior quantidade de carga que pode existir na terra antes que a rigidez dielétrica do ar se rompa? QUESTÃO 4: (4,0 pontos) Dois tubos coaxiais de metal com raios 2 cm e 2,5 cm são mergulhados verticalmente em um grande tanque com óleo de densidade 878 kg/m³ e constante dielétrica 2,1. Quando uma tensão de 100 V é aplicada entre os tubos, qual é a diferença entre o nível da superfície do óleo no espaço entre os tubos e o nível no restante do tanque? QUESTÃO 5: (4,0 pontos) Um capacitor de placas paralelas possui uma capacitância de 100 pF, uma distância entre as placas de 1 cm e foi submetido a uma diferença de potencial de 10 V. Após estar carregado, a bateria foi desconectada e um feixe de luz azul começou a iluminar uma das placas, fazendo com que elétrons fossem emitidos possuindo energias cinéticas entre 0 e 1,5 eV. Assim, uma corrente entre as placas é estabelecida (ver figura) e permanece constante até o instante t₁. A partir de t₁, a corrente passa a diminuir até t₂, quando cessa. (a) Qual é o tempo necessário para que a diferença de potencial entre as placas caia a zero? (b) Em regime permanente (muito tempo após o instante t₂ mostrado na figura), qual é a diferença de potencial entre as placas do capacitor? (c) Se a separação entre as placas do capacitor fosse duplicada antes de ele ser carregado, como seria afetado o tempo necessário para que a diferença de potencial caia a zero? (d) Se a separação entre as placas do capacitor fosse duplicada depois de ele ser carregado e após a remoção da bateria, como seria afetado o tempo necessário para que a diferença de potencial caia a zero? QUESTÃO 6: (4,0 pontos) Uma linha de transmissão trifásica em alta tensão possui uma tensão fase-fase típica de 765 kV e frequência de 60 Hz. Seus condutores estão igualmente espaçados por d = 10 m e a altura em relação ao solo é de h = 12 m. Os condutores na verdade são trançados em vez de sólidos e têm um raio efetivo de 15 cm. Apesar da frequência ser 60 Hz, as dimensões elétricas do problema na seção transversal da linha são muito menores do que um comprimento de onda (aproximadamente 5000 km), de modo que é possível utilizar os conceitos de eletrostática. Se a tensão de ignição (necessária para iniciar um feixe de elétrons) de uma lâmpada fluorescente é de cerca de 1000 V, é possível acender uma lâmpada desse tipo quando segurada por uma pessoa embaixo de um condutor externo da linha a uma altura de 2 m? (Dica.: lembre-se da defasagem de 120 graus na tensão de cada fase e considere o sistema isolado, ou seja, a carga total na linha é zero). 01: A) Considerando uma esfera condutora de raio R e carga total Q, o fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana esférica de raio r (0 < r < R) é dado por: Φ = E 4π r² A onde E é a magnitude do campo elétrico uniforme. A carga total dentro da superfície gaussiana é igual a Q, portanto, aplicando a lei de Gauss, temos: Φ = Q / ε₀ r² → Φ = E r² ε₀ R² Onde: E = Q 4πε₀R² A densidade superficial de carga (σ) é definida como a razão entre a carga Q e uma pequena área A na superfície da esfera, portanto, temos: σ = Q A Como A = 4π R² → Área da esfera condutora temos: σ = Q → σ = Q A 4π R² Como Q = Φ.ε₀. R² r² temos: σ = Q → σ = Φε₀R² → σ = Φε₀ 1 σ = Φε₀ 1 4πR² r² 4πR² → 4πr² B) A partir do fluxo elétrico de uma superfície gaussiana esférica de raio r com uma esfera condutora de raio R e carga total Q dada por: Φ = Q n² ε₀ R² É reescrevendo o fluxo elétrico em termos do campo elétrico (E) e da área (A=4πr²) da superfície gaussiana: Φ = E A → Φ = E 4πr² Dessa forma, teremos Φ = E 4πr² = Q r² E 4πr² → E = Q ε₀ R² ε₀ 4πε₀R² Portanto, o campo elétrico fora da esfera é constante e não depende da distância r, indicando que o campo fora da esfera é de fato uniforme. c) Quando a esfera condutora está aterrada, a densidade superficial de carga (σ) se torna zero, e o campo elétrico fora da esfera ainda é determinado pela carga total (Q) e pelo raio (R) da esfera. A presença da ligação à terra garante que o potencial da esfera seja anulado, resultando em um campo elétrico externo influenciado pela distribuição de carga neutralizada. d2) Para determinar o raio equacionamos a energia armazenada com a energia potencial eletrostática de uma esfera carregada que é dada por: U = \frac{3}{5}\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r} Onde r = raio da esfera e e é a carga do elétron. Igualando a Energia Potencial eletrostática com mc^2 temos: U = \frac{3}{5}\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r}\Rightarrow mc^2 = \frac{3}{5}\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r} \Rightarrow r = \frac{3}{5}\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{mc^2} Como: e \approx 1,602\times 10^{-19} C \varepsilon_0 \approx 8,85\times 10^{-12} C^2/N.m^2 c \approx 2,999792458\times 10^8 m/s m \approx 9,1098837013\times 10^{-31} kg Teremos: r = \frac{3}{5}\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{mc^2} r = \frac{3}{5}\frac{1}{4\pi \cdot 8,85\times 10^{-12} \cdot 9,1098837013\times 10^{-31} \cdot (2,999792458\times 10^8)^2}\cdot (1,602\times 10^{-19})^2 r = 1,6911\times 10^{-15} m d3) Utilizando a fórmula da capacitância de uma esfera: C = 4\pi \varepsilon_0 R C é a capacitância da esfera \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (8,85\times 10^{-12} C^2/N.m^2) R é o raio da Terra (6,371\times 10^6 m) Com isso, temos que utilizar para determinar a carga Q: Q = C\times V Q = carga acumulada V = tensão máximo do ar (3,0\times 10^6 V/m) C = Capacitância da esfera. Então temos: Q = C \times V \Rightarrow Q = 4\pi \varepsilon_0 R \times V \Rightarrow Q = 4\pi (8,85\times 10^{-12})(6,371\times 10^6)(3,0\times 10^6) Q = 7,085234\times 10^{-4} \times 3\times 10^6 Q = 2,125602\times 10^3 C. d4) Calcularemos primeiro a densidade linear (λ) entre os tubos dada por λ = \frac{V}{ln(b/a)}; Onde V = 100V e a = 2cm = 0,02 m ; b = 2,5cm = 0,025 m \lambda = \frac{100}{ln(0,025/0,02)} \Rightarrow \lambda = 448,143401 C/m A densidade superficial (σ) é dada por: σ = \frac{\lambda}{2\pi R} Para a σ = \frac{\lambda}{2\pi a} \Rightarrow \frac{448,143401}{2\pi (0,02)} \Rightarrow σ \approx 3566,2008 C/m^2 Para b σ = \frac{\lambda}{2\pi b} \Rightarrow \frac{448,143401}{2\pi (0,025)} \Rightarrow σ \approx 2852,9606 C/m^2 O campo elétrico (E) entre os tubos é dado por \bar{E} = \frac{\sigma}{k\varepsilon_0} Então: Para a = 0,02 m \bar{E} = \frac{\sigma}{k\varepsilon_0} \approx 3566,2008 \Rightarrow \bar{E} \approx 1,91886\times 10^14 N/c Para b = 0,025 \bar{E} = \frac{\sigma}{k\varepsilon_0} \approx 2852,9606 \Rightarrow \bar{E} \approx 1,53509\times 10^14 N/c A DDP entre os tubos e o restante do tanque é dado por: \Delta V = (E_b - E_a)\cdot d \Rightarrow d = b-a \Rightarrow d = 0,025 - 0,02 \Rightarrow d = 0,005 m \Delta V = (1,53509\times 10^14 - 1,91886\times 10^14) \cdot 0,005 \Delta V =-1,91855\times 10^11 V 05) A) Para o tempo necessario teremos que utilizar: V(t) = Vo * e^(-t/RC) DDP entre as placas do capacitor = formula da descarga de um capacitor Onde: V(t) -> DDP em funcao do tempo. Vo -> DDP inicial, Vo = 10V R -> Resistencia (Como nao se tem informacoes sobre a resistencia, sera assumido R = 0) C -> Capacitancia (C = 10x10^-12 F) t -> tempo Entao: V(t) = Vo * e^(-t/RC) = 0 = 10 * e^(-t/RC) => e^(-t/RC) = 0 , * * Nao existe um valor para t que faca e^(-t/RC) = 0, entao teoricamente a DDP Nunca se tornara zero. Em um capacitor ideal sem resistencia, ou seja, a DDP diminuira continuamente, mas nao alcancara 0. B) A DDP entre as placas sera a DDP inicial, Vo = 10V, ocorre pois no regime permanente nao ha corrente fluindo no circuito, e o capacitor atual como um circuito aberto, significando que a DDP entre as placas permanece constante. C) Se caso se a separacao for duplicada, a capacitancia sera dividida por 2, entao: C = 100x10^-12 F / 2 => C = 50x10^-12 F Afetaria o tempo necessario para que a DDP chegue a 0 da seguinte forma: V(t) = Vo * e^(-t/RC) = 0 = 10 * e^(-t/(R(C/2))) A DDP cairia mais lentamente. D) A carga do capacitor permaneceria constante, no entanto a DDP entre as placas diminuiria pela metade, por conta da relacao inversa entre DDP e a distancia entre as placas. 06) Lembrando que a tensao de fase-fase e a tensao eficaz entre as fase A tensao eficaz entre cada fase e o neutro Como a linha e trifasica utilizamos a relacao Vneutro = Vfase-fase / (√3) Vfase-fase = 765 kV Vneutro ≈ 765/√3 Vneutro ≈ 441 A tensao de um condutor suspenso e dada pela relacao Vneutro = Vneutro * (h/d) , onde: h = 2 m , d = 10-2 -> d = 8 m Vneutro = 441.(2/8) Vneutro = 110,25 kV A tensao de ignicao de uma lampada fluorescente e cerca de 1000V. Entao e possivel acender uma lampada fluorescente segurando-a sob um condutor externo da linha de transmissao a uma altura de 2 metros acima do solo!