Lista - Capítulo 6 - Equações de Poisson e Laplace - 2023-1

ELETROMAGNETISMO: Capítulo VI – Equações de Poisson e de Laplace 1 Lista de Exercícios do Capítulo VI 01) Determine se os seguintes campos potenciais satisfazem à Equação de Laplace: (a) V = x2 – y2 + z2; (b) V = ρ cosφ + z; (c) V = r cos θ +φ. Resp.: (a) não; (b) sim; (c) sim. 02) Os cones θ = π/6 e θ = π/3 estão com potenciais de – 1,317 V e – 0,549 V, respectivamente. (a) As funções potenciais V1 = ln [tg (θ/2)] e V2 = – ½ ln [(1 + cos θ)/(1 – cos θ)] satisfazem as condições de contorno supracitadas? (b) V1 e V2 satisfazem à equação de Laplace? (c) V1 e V2 são idênticas? Resp.: (a) sim; (b) sim; (c) sim. 03) Determine o módulo de E  no ponto (1, 2, 3) no ar para o campo de: (a) dois cilindros condutores concêntricos, V = 100 V em ρ = 1 m e V = 20 V em ρ = 3 m; (b) dois planos condutores radiais, V = 100 V em φ = 20° e V = 20 V em φ = 80°; (c) duas esferas condutoras concêntricas, V = 100 V em r = 1 m e V = 10 V em r = 4 m; (d) dois cones condutores coaxiais , V = 100 V em θ = π/4 e V = 20 V em θ = π/5. Resp.: (a) 32,6 [V/m]; (b) 34,2 [V/m]; (c) 8,57 [V/m]; (d) 147,3 [V/m]. 04) Um diodo de junção de silício é fabricado com Na = Nd = 1,5 × 1021 átomos/m3, εR = 12 e a área de junção é S = 5 × 10-8 m2. A diferença de potencial através da junção é V0 =5 V. Determinar: (a) a máxima densidade de cargas v,máx 0 ρ = ρ ; (b) C da junção. (c) E na junção. Dados: 2 0 0 V 2 = πρ a / ε ; 0 junção 0 Q 2 aS; E 2 a / = ρ = ρ ε; sendo a definido como uma distância medida a partir da junção (x = 0) tal que v,máx 0 a d eN eN em x 0,881a ρ = ρ = = = . Resp.: (a) 240,3 [C/m3]; (b) 1,425 [pF] (Usar 0 C = dQ / dV ); (c) 2,68 [MV/m] 05) Se V = 1 V em x = 1 mm, e V = 0 em x = 0 , determine V em x = 2 mm no vácuo se: (a) ρ = – 105 ε0 C/m3; (b) ρ = – 12 × 107 ε0 x C/m3. Resp.: (a) 2,10 [V]; (b) 2,12 [V]. 06) (a) Mostre que a solução πy V 100e cos x − = π satisfaz à equação 2 2 2 2 d X d Y Y X 0 dx dy + = . (b) Determine o valor numérico de α2 na equação 2 2 2 1 d X α X dx = . Resp.: (a) Ok; (b) –π2 = – 9,87. 07) Determine o Laplaciano de: (a) 2 2 1 x + y ; (b) 2 2 2 1 x y z + + ; (c) 1/ ρ ; (d) 1/r. Resp.: (a) (x2 + y2)– 1.5; (b) 0; (c) ρ-3 ; (d) 0. 08) Dado o campo potencial V = 5x2yz + ky3z, (a) determine k de tal modo a satisfazer à Equação de Laplace. (b) Para este valor de k, especifique a direção de E  no ponto (2, 1,–1) por meio de um valor unitário. Resp.: (a) -5/3; (b) x y 0,645a +0,484a -0,591az    . 09) Para cada campo potencial dado abaixo, determine o valor do Laplaciano na origem e verifique se o campo satisfaz ou não à Equação de Laplace: (a) V = (x+1)2 (y + 1) – z2; (b) V = e–3x sen(5y) senh(4z). Resp.: (a) 0, não; (b) 0, sim. ELETROMAGNETISMO: Capítulo VI – Equações de Poisson e de Laplace 2 10) Para que valor de k a solução V = V0 ln(tg kθ) satisfaz à Equação de Laplace em coordenadas esféricas? (b) Se k = 1 e V0 = 100 V, qual é o valor da densidade volumétrica de carga no ponto r = 2, θ = 45° e φ = 0° no vácuo? Resp.: (a) 0,5; (b) – 442,71 [pC/m3]. 11) Um professor pede a uma classe de graduação para encontrar uma função potencial que satisfaça à Equação de Laplace e às condições de contorno V = 0 em x = 0 e V = 1 em x = 1. Três soluções foram propostas. Um estudante de graduação timidamente sugeriu V1 = x. O professor, todavia, tem em mente V2 = x + eπy sen πx. Porém, um estudante graduado que dava assistência à classe, conhecendo mais matemática que todos os presentes, apresenta a solução: ( ) ( ) ( ) n n y 3 n 1 V x 1 / n 1 e sen n x ∞ π =   = + − + π ∑     (a) Mostre que todas as três funções satisfazem a Equação de Laplace bem como às condições de contorno; (b) De acordo com o Teorema da Unicidade temos então três soluções idênticas, ou será que existe algo errado? Explique. Resp.: (a) todas satisfazem; (b) as condições de contorno não foram dadas para um superfície fechada, e o Teorema da Unicidade não se aplica. 12) O campo potencial V = (40x – 20y + 35z + 10) [kV] existe entre dois planos condutores paralelos cujas áreas são ambas iguais a 120 cm2. Sabendo-se que a separação entre eles é de 0,8 mm e que eles estão imersos no ar, determinar a tensão e a magnitude do campo elétrico entre eles bem como o valor da capacitância. Resp.: 45,43 [V]; 56,789 [kV/m]; 132,81 [pF]. 13) A equação V = A ln ρ + B representa a solução geral, em coordenadas cilíndricas, da Equação de Laplace no caso de variações de potencial restritas à variável ρ. Selecione A e B de modo que: (a) V = 250 V em ρ = 1 mm e V = 1 000 V em ρ = 5 mm; (b) V = 0 em ρ = 4 mm e Eρ = 15 kV/m em ρ = 0,8 mm; (c) V = 10 V e Eρ = 10 kV/m em ρ = 4 mm. Resp.: (a) A = 466, B = 3469; (b) A = – 12; B = – 66,258; (c) A = – 40, B = – 210,86. 14) Dado o campo potencial em coordenadas cilíndricas, V = 1000φ + 50 [V], determine os valores das seguintes grandezas para o ponto P (0,4; 30°; 1,1) no ar: (a) V; (b) E  ; (c) densidade de energia. (d) Determine a energia total armazenada na região ρ1 ≤ ρ≤ ρ2, φ1 ≤ φ ≤ φ2, z1≤ z ≤ z2. Resp.: (a) 573,6 [V]; (b) – 2500aϕ  [V/m]; (c) 27,67 [μJ/m3]; (d) 4,43 (φ2 – φ1) (z2 –.z1) ln (ρ2/ ρ1) [μJ]. 15) A região 2 < r < 5 m entre duas esferas condutoras concêntricas está preenchida com um dielétrico não homogêneo para o qual εR = (r + 1)/r. (a) A Equação de Laplace é satisfeita na região entre as esferas? (b) Se a esfera interna tem V = 1.000 V e a externa V = 200 V, determine V(r). (c) Qual é a capacitância C entre as esferas? Resp.: (a) Não, pois εR varia; (b) V(r) = -453,6476 + 3585,1361 ln[(r + 1)/r]; (c) C = 498,625 [pF]. 16) Dois cones condutores localizados em θ = 30° e θ = 75°, estão separados por um espaço infinitesimal isolante na origem. Sendo o potencial do cone interno igual a 20 V e θ E = 50a   [V/m] em P (r = 0,5; θ = 60°; φ= 130°), determine: (a) V no ponto P; (b) a diferença de potencial entre os cones. Resp.: (a) 3,38 V; (b) 22,8 V. ELETROMAGNETISMO: Capítulo VI – Equações de Poisson e de Laplace 3 17) Temos uma distribuição simétrica de cargas ρV = ρ0 a5/[r(r2 + a2)2]. (a) Institua e resolva a equação de Poisson para V(r) sabendo-se que Er = 0 em r = 0 e Vr → 0 quando r → ∞. (b) Encontre novamente V(r) usando, agora, a Lei de Gauss e uma integral de linha. Resp.: (a) V = ρ0 πa2[1 – (2/π) arctg (r/a)]/4ε; (b) O mesmo. 18) Considere que o campo potencial em coordenadas esféricas não seja função de φ e que possa ser expresso como uma solução produto, V = RΘ, onde R = R(r) e Θ = Θ(θ). Substitua a expressão considerada na Equação de Laplace e então proceda à separação das funções de r e θ por intermédio da constante de separação α2;. (a) Mostre que a equação diferencial ordinária resultante em r é R” + 2 (R’/r) – α2R/r2 = 0; (b) Determine a equação ordinária correspondente em θ. Resp.: (a) Demonstração; (b) Θ” + cot θ Θ’ + α2 Θ = 0. 19) Encontre o potencial e a densidade volumétrica de carga no ponto P(0,5; 1,5; 1) no espaço livre para o campo de potencial: (a) 2 2 2 V 2x y z [V] = − − ; (b) V 6 = ρφz [V] ; (c) 2 V 5(2r 7)cos cos [V] = − θ φ ; (d) V 3x y [V] = − Resp.: (a) -2,75 V, 0; (b) 11,85 V, -42,0 pC/m3; (c) 0, -89,8 pC/m3; (d) 0, 0. 20) Um capacitor de placas paralelas é preenchido com um dielétrico não uniforme com 6 2 R 2 2.10 x ε = + , onde x é a distância entre as placas em metros. Se S = 0,02m2 e d = 1mm, calcule C. Resp.: 450,94pF 21) Se V = 2 [V] em x = 1 [mm], e V = 0 em x = 0, determinar Ex em x = 1 [mm] no espaço livre para a seguinte densidade volumétrica de carga (ρv): (a) -106 ε0 [C/m3]; (b) -3×108 ε0 x [C/m3]. Resp.: (a) -2500 [V/m]; (b) -2100 [V/m] 22) (a) Dado o potencial em coordenadas cilíndricas, V 10( + )cos8 α −β = ρ ρ φ, determine os valores apropriados para os parâmetros α e β, de modo que V satisfaça à Equação de Laplace. (b) Selecione valores positivos para α e β e encontre V e E  em ρ = 1, φ = π/6. Resp.: (a) α = ± 8, β = ± 8; (b) V = –10 [V], E  = 138,564 [V/m]. 23) Que quantidade de carga deve haver dentro de uma esfera centrada na origem de modo a produzir o potencial V = –6r5/ε0 para r ≤ 1 ? Resp.: 120π [C]. 24) (a) Mostre que V1 = C/r satisfaz à Equação de Laplace em coordenadas esféricas. (b) Mostre que V1 = C/a na superfície r = a. (c) Mostre que V2 = C/r + 5/r – 5/a satisfaz à Equação de Laplace. (d) Mostre que V2 = C/a na superfície r = a. (e) Como V1 é diferente de V2, por que o teorema da unicidade falha? Resp.: (a) OK exceto para r = 0; (b) OK; (c) OK exceto em r = 0; (d) OK; (e) As condições do teorema da unicidade não são satisfeitas na região fechada (portanto V1 ≠ V2 para r ≠ a). 25) Encontre V(x,y,z) e E  (x,y,z) em um capacitor de placas paralelas que tenha a equipotencial de 100 V passando pela origem e sua superfície de 0 V no plano, x + 2y – 5z = 8. Resp.: 100 – 12,5(x + 2y – 5z) [V], x y z 12,5a 25a 62,5a + −    [V/m]. ELETROMAGNETISMO: Capítulo VI – Equações de Poisson e de Laplace 4 26) O espaço entre dois condutores coaxiais com raios 1 e 5 cm é preenchido com um dielétrico não homogêneo para o qual ε = ε0 (1 + 100ρ). Se o condutor interno está a mais 100 V que o outro, encontre: (a) Eρ em ρ = 3 cm; (b) V(ρ). Resp.: (a) 1631,346 [V/m]; (b) 195,7615 ln [(ρ + 0,01)/ρ] + B. 27) (a) Despreze o efeito de bordas e encontre a capacitância entre dois planos no ar se eles são descritos em coordenadas cilíndricas por φ = 20° e φ = 25°, 0,001 < ρ < 0,2 m, 0 < z < 1. (b) Encontre Eφ em ρ = 0,1, φ = 22,5°. (c) Determine a capacitância se um dos planos é rodado de 5° de modo que os dois planos fiquem paralelos, sendo que a intensidade de campo elétrico entre eles é uniforme e igual àquela dada no item (b). Resp.: (a) 537 pF; (b) 114,6V0 V/m; (c) 202 pF. 28) A região entre dois condutores cilíndricos concêntricos, com raios 2 e 5 cm, contém uma distribuição volumétrica de cargas de – 10–8(1 + 10ρ) C/m3. Faça ε = ε0. Se Er e V são ambos zero no cilindro interno, encontre V no cilindro externo. Resp.: 0,506 V (Nota: A = -0,2560 e B = -1,12446). 29) A Equação de Laplace deve ser resolvida em coordenadas esféricas separadamente em duas regiões diferentes, 1 < r < 3 onde εR = 2 e 3 < r < 4, onde εR = 1. Na região interna use a condição de contorno de V = 100 em r = 1 e na esfera externa selecione V = 0 em r = 4. Obrigue então, as duas soluções a serem idênticas em r = 3, assim como a satisfazer às condições de contorno para os dielétricos. Encontre V em : (a) r = 2; (b) r = 3; (c) r = 3,5. Resp.: (a) 40; (b) 20; (c) 8,57. 30) Duas superfícies cônicas, θ = 20° onde V = 10 V e θ = 40°, onde V = 3 V, estão separadas por um material condutor homogêneo σ = 0,02 S/m. Determinar: (a) a expressão do campo de potencial entre as superfícies; (b) a expressão da magnitude do campo elétrico entre as superfícies; (c) a corrente total que passa de cone a cone na região 0 < φ < 90° e 0,1 < r < 0,2 m; (d) a corrente total que passa de cone a cone na região 10,1 < r < 10,2 m. Resp.: (a) 10 – 7 [ln(tg (θ/2) / tg 10°)] / [ln(tg 20° / tg 10°)]; (b) 7 / {[rsen (θ)] [ln(tg 20° / tg 10°)]}; (c) 30,3 [mA]; (d) 121,2 [mA]. 31) Dois cilindros condutores coaxiais de raio 2cm e 4cm tem comprimento de 1m. A região entre os cilindros contém uma camada de dielétrico de ρ = c até ρ = d, com εR = 4. Encontre a capacitância se: (a) c = 2cm, d = 3cm; (b) d = 4 cm e o volume do dielétrico é o mesmo que em (a). Resp.: 143 pF (b) 100,667 pF 32) Duas superfícies esféricas condutoras tem raios a = 3cm e b = 6cm. O interior é um dielétrico perfeito com εR = 8. (a) Calcule C. (b) Uma porção do dielétrico é removida, ficando εR = 1 para 0 < φ < π / 2 e εR = 8 para / 2 2 π < φ < π . Calcule C. Resp.: (a) 53,407 pF (b) 41,724 pF 33) Seja 2x 2 V(x,y) 4e f (x) 3y = + − em uma região do espaço livre onde ρV = 0. Sabe-se que Ex e V valem zero na origem. Encontre f(x) e V(x, y). Resp.: 2x 2 f (x) 4e 3x = − + 2 2 V(x,y) 3(x y ) = − ELETROMAGNETISMO: Capítulo VI – Equações de Poisson e de Laplace 5 34) Mostre que em um meio homogêneo de condutividade σ, o campo potencial V satisfaz a equação de Laplace se não há variação da densidade volumétrica de carga no tempo. Resp.: Demonstração 35) (a) Determine a capacitância de uma esfera condutora isolada de raio a no espaço livre. (b) A esfera é recoberta com uma camada dielétrica de espessura d e constante dielétrica εR . Se εR = 3, encontre d em termos de a de maneira que a capacitância seja o dobro da encontrada no item (a). Resp.: (a) 0 C 4 = πε a [F] (b) d = 3a 36) Um capacitor de placas paralelas tem suas placas em z = 0 e z = d. A região entre as placas é preenchida com um material que possui uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ0 C/m3 e permissividade ε. Ambas as placas são mantidas aterradas. (a) Determine o potencial entre as placas. (b) Determine a intensidade do campo elétrico entre as placas. (c) Repita as partes (a) e (b) para o caso da placa em z = d estar no potencial V0 e a placa em z = 0 aterrada. Resp.: (a) 0 V ( z / 2 )(d z) = ρ ε − (b) 0 E ( / 2 )(2z d) = ρ ε − (c) 0 0 V z z V (d z) d 2 ρ = + − ε 0 0 V E (2z d) d 2 − ρ = + − ε 37) Considere o capacitor de placas paralelas do problema 36, mas agora o dielétrico carregado existe apenas entre z = 0 e z = b, onde b < d. A região b < z < d é espaço livre. Ambas as placas são aterradas. Utilizando as equações de Laplace e Poisson, encontre: (a) V para 0 < z < d; (b) a intensidade do campo elétrico para 0 < z < d. (Dica: não há carga superficial em z = b) Resp.: (a) 0 r r 2 0 0 r bz b 2 (d b) z V [( ) ] para (z < b) 2 b (d b) b b d z V [( )] para (z > b) 2 b (d b) ρ + ε − = − ε + ε − ρ − = ε + ε − (b) 0 r r 2 0 0 r b b 2 (d b) E [z ( )] para (z < b) 2 b (d b) b 1 E [ ] para (z < b) 2 b (d b) ρ + ε − = − ε + ε − = ρ ε + ε − 38) Cilindros condutores coaxiais estão em ρ = 0,5cm e ρ = 1,2cm. A região entre os cilindros é preenchida com um dielétrico perfeito. Se o cilindro interno está a 100V e o externo a 0V, encontre: (a) a localização da equipotencial de 20 V; (b) Eρmax; (c) εR se a carga por unidade de comprimento no cilindro interno é 20 nC/m. Resp.: (a) ρ = 1,007254cm (b) 22,845 KV/m (c) 3,14733 39) Repita o problema 38, mas com o dielétrico apenas na região 0 < φ < π e espaço livre no restante do volume. Resp.: (a) ρ = 1,007254cm (b) 22,845 KV/m (c) 5,29466 ELETROMAGNETISMO: Capítulo VI – Equações de Poisson e de Laplace 6 40) O hemisfério 0 r a < < e 0 < θ < π / 2 é composto de um material homogêneo de condutividade σ . A superfície plana desse hemisfério repousa sobre um plano condutor. Agora, o material da região cônica 0 < θ < α , 0 r a < < é retirado e substituído por um material condutor perfeito. Uma lacuna de ar é mantida no vértice r = 0 entre esse novo material e o plano condutor. Qual a resistência entre os dois condutores perfeitos? Resp.: ln | tg( / 2) | R 2 a α = − Ω π σ (note que a resistência não é negativa, apesar do sinal negativo, pois o valor de ln | tg( α / 2) | é negativo para α < π / 2 ) CONSTANTES FÍSICAS Grandeza Símbolo e Valor Unidade Carga do elétron 19 e =1,6022 10− × C Massa do elétron 31 me = 9,1095 10− × kg Permissividade do vácuo 12 0 ε = 8,854 10− × F/m Permeabilidade do vácuo 7 0 4 µ = π×10− H/m Velocidade da luz 8 c = 2,9979 10 × m/s