Lista - Cap 9 - Eletromagnetismo 2022 1

ELETROMAGNETISMO: Capítulo IX – Campos Variáveis no Tempo e Equações de Maxwell 1 Lista de Exercícios do Capítulo IX 01) A densidade de fluxo magnético pode ser representada, em coordenadas cilíndricas, por z 2 B [1/(1 100 )]sen1000πt = + ρ  mWb/m2 para ρ < 0,2 m. (a) Determine o fluxo magnético através da superfície ρ ≤ 0,1 m, z = 0, no sentido az + . (b) Determine E em ρ = 0,1 m, ϕ = π/4, z = 0. (c) Se o caminho circular ρ = 0,1 m, z = 0, é um fio condutor com uma resistência de 1 Ω/cm, que corrente circula por ele no sentido aφ + ? Resp.: (a) 21,8sen1000πt µWb; (b) 108,9cos1000πt(a ) φ −  mV/m; (c) – 1,089cos1000πt mA. 02) Para o dispositivo mostrado na figura, d = 0,15 m e z B  = 0,4a  Wb/m2. Se y v = 200ya   m/s e y = 0,1 m para t = 0, determine as seguintes grandezas no instante t = 10 ms: (a) Velocidade vy; (b) Leitura V12; (c) a corrente entrando no terminal 2 do voltímetro se a resistência do medidor é igual a 50 kΩ. Resp.: (a) 147,8 m/s; (b) -8,87 V; (c) 177,3 µA. 03) Encontre a densidade de corrente de deslocamento: (a) próximo ao seu rádio, se a estação de FM local emite um sinal tendo 8 z H 0,2cos[2,10(3 10 t x)]a = × −   A/m; (b) no espaço de ar no interior de um grande transformador de força, onde 6 8 x B 1,1cos[1,257 10 (3 10 t y)]a − = × × −   Wb/m2; (c) no interior de um capacitor a óleo, no qual εR = 6 e 6 8 x E 100sen[1,257 10 (3 10 t 2,45z)]a − = × × −   kV/m; (d) em um condutor metálico operando a 60 Hz e tendo σ = 5 107 × S/m, e ε = ε0 e 6 x J 10 sen[117,1(3,22t z)]a = −   A/m2. Resp.: (a) 8 y 0,42sen[2,10(3 10 t x)]a − × −  A/m2; (b) 6 8 z 1,1sen[1,257 10 (3 10 t y)]a − − × × −  A/m2; (c) 6 8 x 2,00cos[1,257 10 (3 10 t 2,45z)]a − × × −  mA/m2; (d) x 66,7cos[117,1(3,22t − z)]a  pA/m2. 04) Sendo σ = 0, ε = 2,5ε0 e µ = 10µ0, determine quais dos seguintes pares de campos satisfazem ou não às equações de Maxwell: (a) y E  = 2ya  , x H  = 5xa  ; (b) 7 y E =100sen6 10 tsenza ×   , 7 x H = −0,1328cos6 10 tcosza ×   ; (c) 7 x D (z 6 10 t)a = + ×   , 10 y B ( 754z 4,52 10 t)a = − − ×   . Resp.: (a) Não;(b) Sim; (c) Sim. 05) O vetor unitário x y z 0,48a 0,6a 0,64a − +    é dirigido da região 2 (εR2 = 2,5; µR2 = 2; σ2 = 0) para a região 1 (εR1 = 4,0; µR1 = 10; σ1 = 0). A fronteira não contém densidade superficial de carga. Sendo 1 x y z E ( 100a 50a 200a )sen400t = − − +     no ponto P da região 1, adjacente à fronteira, determine o módulo de: (a) Et1; (b) En2; (c) E2. Resp.: (a) 200,9975; (b) 176; (c) 266,9594 V/m. ELETROMAGNETISMO: Capítulo IX – Campos Variáveis no Tempo e Equações de Maxwell 2 06) Dois planos condutores perfeitos localizam-se em y = 2 e y = 2,1 m. Entre eles existe um material para o qual εR = 9, µR = 1, σ = 0. Sendo 8 y E 200cos(10 t z)a = −   V/m entre eles (os planos), ache: (a) H em (5; 2,06; 1,1; t = 2 ns); (b) |K| em (0,7; 2; 0; t = 0). Resp.: (a) 0,989323; (b) 1,59155 A/m. Utilizar 9 0 10 − 36 ε = π 07) Uma carga pontual de 8 2cos10 πt µC se localiza em (0; 0; -1,5) e uma outra de 8 −2cos10 πt µC em (0; 0; 1,5), ambas no vácuo. Determine V em: (a) (0; 0; 2998,5) para t = 0; (b) (0; 0; 2998,5) para t = 10 ns; (c) um ponto do eixo x que dista 2998,5 m de cada carga, como uma função de t. Resp.: (a) -5,9977; (b) 5,9977; (c) 0 mV. 08) Um condutor perfeito une as duas extremidades de um resistor conforme mostra a figura ao lado, sendo B = 0,4 sen 120 t Wb/m2 π . Considerando desprezível o fluxo produzido pela própria corrente da espira, isto é, desprezando a indutância própria da espira, determinar: (a) a diferença de potencial ab V (t); (b) a corrente I(t). Resp.: (a) 18,95 cos 120πt V ; (b) 0,1895 cos 120πt A − . 09) Sendo 8 2 z B = 2 cos(3 10 πt - πy)a Wb/m ×  µ , ache a fem V(t) induzida no sentido genérico +aφ  ao longo do caminho fechado: (a) (0,0,0) a (1,0,0) a (1,1,0) a (0,1,0) a (0,0,0); (b) (0,0,0) a (1,0,0) a (1,2,0) a (0,2,0) a (0,0,0). Resp.: (a) 8 -1200 cos 3×10 πt V ; (b) 0. 10) Com relação à figura ao lado, considere 2 B = 0,4 Wb/m para fora do papel e v = 8 m/s. (a) Ache a leitura no voltímetro como função no tempo, sabendo que para t = 0 temos x = 0. (b) Repita para o caso da posição da barra ser dada por 2 x = 300t metros. Resp.: (a) -0,128 -18,635t V; (b) 3 -9,6t - 52412t V . 11) Duas cascas esféricas condutoras concêntricas com raios r = a = 0,5 mm e r = b = 1 mm, acham- se separadas por um dielétrico com εR = 8,5. (a) Determine a capacitância para uma dada tensão aplicada entre as cascas condutoras de v =150sen5000t [V] calcule: (b) a corrente de condução (ic) por ci = Cdv/dt ; (c) a corrente de deslocamento (id) por 2 d d r d i J S J 4 r = = π . (d) Comentar a respeito dos dois valores de corrente obtidos. Resp.: (a) 0,9457 [pF]; (b) 7 ci 7,09 10 cos5000t [A] − = × ; (c) 7 di 7,09 10 cos5000t [A] − = × . (d) Os dois valores de corrente são iguais, como deveria ser esperado. ELETROMAGNETISMO: Capítulo IX – Campos Variáveis no Tempo e Equações de Maxwell 3 12) A região entre os trilhos da figura abaixo apresenta um campo uniforme 2 B = 0,15 Wb/m . A barra móvel se desloca para a direita com uma velocidade constante de 8 m/s e contém um voltímetro cuja resistência é alta, porém não é infinita. Determine a leitura no voltímetro quando a barra está em x = 5 m se: (a) os trilhos estiverem com as extremidades abertas conforme mostra a figura; (b) a extremidade x = 0 for curto-circuitada; (c) ambas as extremidades forem curto-circuitadas. Resp.: (a) 0; (b) 0,24 V; (c) 0,24 V. 13) Calcule a razão entre as amplitudes das densidades de corrente de condução e de deslocamento para o campo elétrico 0 E = E cosωt V/mno: (a) cobre, 7 σ = 5,8 × 10 S/m , 0 ε=ε , ω = 1.000 rad/s ; (b) água destilada, -4 R σ = 2 × 10 S/m, ε = 80, ω = 1.000 rad/s ; (c) polestireno, -16 R σ = 10 S/m, ε = 2,53, ω = 1.000 rad/s. Resp.: (a) 15 6,5506 × 10 ; (b) 282,3523; (c) 9 4,4641 × 10− . 14) A densidade de corrente de deslocamento é dada por 2 x 2 cos ( t - 5z) a A/m ω  µ em um material para o qual σ = 0 , 0 0 ε = 4ε e μ = 5μ . (a) Use a definição da densidade de corrente de deslocamento para encontrar D e E   . (b) Agora utilize a forma pontual da Lei de Faraday e uma integração no tempo, para encontrar B e H   . (c) Finalmente, utilize a forma pontual da lei circuital de Ampère para achar a densidade de corrente de deslocamento. Qual deve ser o valor de ω? Resp.: (a) -6 2 x (2 × 10 / ) sen ( t - 5z) a C/m ω ω  , -6 0 x (2 10 /4 ) sen ( t - 5z) a V/m × ε ω ω  ; (b) -5 2 2 0 y (10 /4 ε ω ) sen ( t - 5z) a Wb/m ω  , -6 2 0 0 y (10 /2 µ ε ω ) sen ( t - 5z) a A/m ω  ; (c) -6 2 2 0 0 x (2,5 10 /2 ) cos ( t - 5z) a A/m , 335 Mrad/s × µ ε ω ω  . 15) Sendo 4x - kt y E = 200e a V/m   no vácuo, use as equações de Maxwell para encontrar k e H  , sabendo que todos os campos variam com - kt e . Resp.: 8 -1 11,9917 × 10 s ; 8 (4x - 11,9917 10 t) z 0,5309e a A/m ×  . 16) O campo magnético próximo ao motor de um secador de cabelos varia senoidalmente com uma freqüência de 60 Hz. (a) Mostre que a expressão simples 2 x B = cos 2π60t a Wb/m   não satisfaz às equações de Maxwell no ar. (b) Ache o valor de k sabendo que 2 x B = cos( 2π60t - ky)a Wb/m   satisfaz às equações de Maxwell. Resp.: (a) Mostre que E B / t E f (t) ∇× = −∂ ∂ ⇒ =    e que H J D / t D f (t) ∇× = + ∂ ∂ ⇒ ≠     . Isto não é possível observando a relação 0 D = ε E . (b) -6 1,257 × 10 rad/m . ELETROMAGNETISMO: Capítulo IX – Campos Variáveis no Tempo e Equações de Maxwell 4 17) O campo elétrico na origem é dado por x y z 2a - 10a + 3a V/m    em t = 0. (a) Se a origem pertence a uma superfície condutora perfeita, enquanto que para o material adjacente à origem R R ε = 10, μ = 2 e σ = 0 , ache o módulo da densidade superficial de carga na origem em t = 0; (b) Se R R ε = 8, μ = 3 e σ = 0 para x ≤ 0 , enquanto que R R ε = 3, μ = 8 e σ = 0 para x > 0, ache E  em t = 0 no ponto + (0 , 0, 0) . Resp.: (a) 2 941,19 pC/m ; (b) 11,72 V/m. 18) Sejam R R1 1 ε = 1, μ = 1 e σ = 0 na região 1 (z < 0), enquanto que R2 R2 2 ε = 5, μ = 20 e σ = 0 na região 2 (z > 0). Sabendo que o campo elétrico na região 1 é 8 8 1 x E = [60cos(15 10 t - 5z) + 20cos (15 10 t + 5z)]a V/m × ×   , e que na região 2, 8 2 x E = Acos(15 × 10 t - 50z)a V/m   , determine: (a) A; (b) H1  ; (c) H2  . (d) Mostre que H1  e H2  satisfazem às condições de contorno necessárias em z = 0. Resp.: (a) 80 V/m ; (b) 8 8 y [0,15938 cos(15 10 t - 5z) - 0,05312 cos (15 10 t + 5z)]a A/m × ×  ; (c) 8 y 0,10625 cos(15 × 10 t - 50z)a A/m  ; (d) t1 t2 H = H . 19) Temos superfícies condutoras perfeitas localizadas em ρ = 5 mm, ρ = 20 mm , z = 0 e z = 50 cm (coordenadas cilíndricas). A região envolvida é um dielétrico para o qual R ε = 2,25 , R μ = 1 , σ = 0 . Nesta região, 8 H = (2/ ) cos 2πz cos 4π 10 ta A/m φ ρ   . Determine: (a) a densidade superficial de corrente em ρ = 5 mm , = 0, z = 5 cm φ ; (b) E  ; (c) a densidade superficial de carga em ρ = 20 mm , φ = π/2, z = 25 cm ; (d) a densidade de corrente de deslocamento em ρ = 10 mm , = 0,2π, z = 25 cm φ . Resp.: (a) 8 z 380,4194 cos 4π10 ta A/m  ; (b) 8 (502,6548/ ) sen 2πz sen 4π10 ta V/m ρ ρ  ; (c) -7 8 2 5,0069 × 10 sen 4π10 t C/m ; (d) 8 1258 cos 4π10 ta A/m2 ρ  . 20) O campo elétrico no interior de uma linha de transmissão em forma de duas lâminas condutoras muito longas e de pequena largura, pode ser considerado como sendo dado por 5 9 y E = -10 cos (10 t - 4z) a V/m   . Determinar: (a) A (x, y, z, t) se A (x, 0,z, t)   = 0; (b) V(x, y, z, t) se V(x, 0, z, t) = 0. Resp.: (a) 9 z 400,554y cos (10 t - 4z)a Wb/m  µ ; (b) 5 9 10 y cos (10 t - 4z) V . 21) Dentro de um círculo de r = 8 cm, z = 0, a densidade de fluxo magnético é dada muito aproximadamente por -3 2 z (10 / ) cos(120πt)a Wb/m ρ  . (a) Encontre Eφ no círculo. (b) Que corrente este fluxo estabelecerá em um filamento circular condutor, tendo resistência total 10Ω ? (c) Qual a amplitude da densidade de fluxo magnético que esta corrente estabelece no centro da espira? Resp.: (a) 376,99 sen(120πt) mV/m; (b) 18,9496 sen(120πt) mA ; (c) -7 2 1,488 × 10 Wb/m . 22) Que valores de A e β são necessários se dois campos 6 y E = 120π cos(10 πt - x)a V/m β   e 6 z H = A cos(10 πt - x)a A/m β   satisfazem às equações de Maxwell em um meio linear, isotrópico, homogêneo, onde R R 4 e 0 ε = µ = σ = ? ELETROMAGNETISMO: Capítulo IX – Campos Variáveis no Tempo e Equações de Maxwell 5 Resp.: 1,0006923 A/m; 0,041917 rad/m. 23) O ponto (1, -6, 4) pertence à fronteira entre a região 1, R1 R1 1 ε = 2, μ = 3, σ = 0 e a região 2, R2 R2 2 ε = 4, μ = 1,5 e σ = 0. Se 6 1 x y z H = (120a + 60a -80 a ) cos10 πt A/m     , encontre B2  . O vetor 12 x y R = - 4a + 3a + az     , é dirigido da região 1 para a região 2, sendo normal a fronteira. Resp.: 6 0 x y z µ (267,69a + 24,23a - 141,92 a ) cos10 πt Wb/m    . 24) Para z < 0, temos R1 R1 1 ε = 8, μ = 2, σ = 0 , enquanto z > 0 é um condutor perfeito. Se 8 x E = 200π sen 10 πt sen za V/m β   , para z < 0: (a) Use a forma diferencial das equações de Maxwell para encontrar β . (b) Que corrente superficial existe em z = 0? Resp.: (a) 4,1917 rad/m ; (b) 8 y 3,3356 cos 10 πta A/m  . 25) Próximo a um eixo de um sistema de coordenadas cilíndricas, a densidade de fluxo magnético é dada, muito aproximadamente por 2 z B = (1/ ) cos(5000t) a Wb/m ρ   . Encontre a fem desenvolvida em um percurso circular quando seu raio for ρ0 = 2 cm se o raio está crescendo linearmente a uma razão de 500m/s. Resp.: = −2954,1423 V em t = 40 s µ fem (o sinal negativo indica sentido aφ −  ). 26) Uma fonte de voltagem 0 V sen ωt foi conectada entre dois condutores cilíndricos coaxiais ρ = a e ρ = b, b > a, de comprimento L, sendo que a região entre eles foi preenchida com um material para o qual R 0 0 ε = ε ε , μ = μ e σ = 0. Encontre a corrente de deslocamento total e compare-a com a corrente da fonte. Resp.: d 0 fonte d i = 2π L V cos t / ln(b/a); i = Cdv/dt = i ε ω ω como esperado. 27) A densidade de fluxo magnético -6 6 2 y B = 10 cos 10 tcos 5za Wb/m   existe em um meio linear homogêneo e isotrópico, caracterizado por ε e μ . Encontre a densidade de corrente de deslocamento e o valor do produto µε . Resp.: 5 6 -6 6 2 x x (2 10 ) cos10 t sen 5za = (5 10 / ) cos10 t sen 5za A/m × ε × µ   , με = 25 × 10-12 . 28) Se 9 E = (100/ ) sen az cos 10 t a V/m ρ ρ   no espaço livre, encontre H  e a constante “a”. Resp.: 9 H = - (0,2654/ ) cos az sen10 t a A/m; a = 3,33564 m-1 φ ρ   29) Para um meio não condutor no qual R R ε = 8 e μ = 2, considera-se que 3 -1000t y H = 5x e a A/m   . (a) Use as equações de Maxwell para determinar as duas diferentes formas de E  . (b) Se o pesquisador estiver analisando um circuito magnético, que E  estaria sendo usado? Resp.: (a) -3 4 -1000t 7 2 -1000t z z - 10 x e a V/m; - 2,1176 10 x e a V/m π ×   ; (b) a primeira forma, a partir de B E t ∂ ∇× = − ∂    , pois a segunda forma, D H t ∂ ∇× = ∂    , considera H  sendo produzido por corrente de deslocamento ELETROMAGNETISMO: Capítulo IX – Campos Variáveis no Tempo e Equações de Maxwell 6 30) Se a região x < 0 for o material para o qual R R ε = 12,5 e μ = 2 e σ = 0 e um condutor perfeito estiver presente para x > 0, encontre o vetor densidade superficial de corrente e a densidade superficial de carga se x E = 2a cos 500t V/m   e y z H = (0,005a + 0,006a ) cos 500t A/m    em - x = 0 , y = 0, z = 0. Resp.: 2 y z (0,006a - 0,005a ) cos500t A/m; - 0,2214 cos500t nC/m   . 31) Dado 8 z H 300cos(3.10 t y)a = −   [A/m] no espaço livre, encontre a Fem gerada na direção aφ  no caminho fechado com vértices em (a) (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), e (0, 1, 0); (b) (0, 0, 0) (2π, 0, 0), (2π, 2π, 0), e (0, 2π, 0). Resp.: (a) ( ) ( ) 5 8 8 1,131.10 cos 3.10 t 1 cos 3.10 t   − − −   [V]; (b) 0 32) Uma espira filamentar quadrada de 25 cm de lado tem uma resistência de 125 Ω por unidade de comprimento. A espira está no plano z = 0 e com vértices em (0, 0, 0), (0,25; 0; 0), (0,25; 0,25; 0), e (0; 0,25; 0) em t = 0. Ela se move com velocidade vy = 50 m/s no campo ( ) 8 Bz 8cos 1,5.10 t 0,5x = − μT. Desenvolva uma função do tempo que expresse a potência dissipada por efeito Joule na espira. Resp.: ( ) ( ) 2 8 8 P(t) 2880 cos 1,5.10 t 0,125 cos 1,5.10 t   = − −   [W]. 33) Considere a região definida por |x|, |y|, |z| < 1. Seja R 5 ε = , R 4 µ = , e σ = 0 . Se ( ) 8 2 d y J 20cos 1,5.10 t bx a A / m = − µ   , (a) encontre D  e E  ; (b) use a forma pontual da lei de Faraday e a integral com relação ao tempo para encontrar B  e H  ; (c) use d H J J ∇× = +     para encontrar dJ  . (d) Qual o valor numérico de b? Resp.: (a) ( ) 13 8 y D 1,33.10 sen 1,5.10 t bx a − = −   [C/m2] ( ) 3 8 y E 3.10 sen 1,5.10 t bx a − = −   [V/m]; (b) ( ) 11 8 z B 2b.10 sen 1,5.10 t bx a − = −   [T] ( ) 6 8 z H 4b.10 sen 1,5.10 t bx a − = −   [A/m]; (c) ( ) 2 6 8 y 4b .10 cos 1,5.10 t bx a − −  [A/m2]; (d) -1 5 m . 34) Deduza a Equação da Continuidade através das equações de Maxwell Resp.: Demonstração. 35) (a) No espaço livre, junto a uma superfície condutora perfeita temos os campos de uma onda eletromagnética expressos por: E = 8 [V/m] e H = 2,8⋅10-3 [A/m]. Determinar os valores das densidades de carga e de corrente na superfície do condutor. (b) Em uma certa região do espaço livre o campo elétrico vale ( ) ( ) 0 x E(t) E sen z cos t a = β ω   . (b.1) Determinar 2 expressões para H(t)  nesta região partindo das equações de Maxwell; (b.2) A partir destas 2 expressões de H(t)  , calcular também o valor numérico de ω/β. Resp.: (a) S 8 0 ρ = ε [C/m2]; K = 2,8.10-3 [A/m]; (b1) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 y y 0 E E H cos z sen t a cos z sen t a β ε ω = − β ω = − β ω µ ω β    ; (b2) 0 0 1 c ω = = β µ ε (velocidade da luz no vácuo). ELETROMAGNETISMO: Capítulo IX – Campos Variáveis no Tempo e Equações de Maxwell 7 36) A intensidade do campo elétrico na região 0 x 5 < < , 0 y 12 π < < , 0 z 0,06 < < no espaço livre é dada por ( ) ( ) ( ) 10 x E = Csen 12y sen az cos 2.10 t a   [V/m]. Partindo de ∇× E   , use as equações de Maxwell para encontrar um valor numérico para "a", sabendo que este é maior que zero. Resp.: 1 65,625 m− . 37) O potencial vetor magnético é dado como ( ) 0 y A A cos t kz a = ω −   . (a) Assumindo o máximo possível de componentes como zero, encontre H  e E  . (b) Especifique "k" em termos de 0 A , ω, e as constantes de perdas do meio, ε e µ e determine V. Resp.: (a) ( ) 0 x kA H sen t kz a = − ω − µ   [A/m], ( ) 2 0 y k A E sen t kz a = ω − ωµε   [V/m]; (c) k = ω µε , V = 0. 38) Em um meio sem fontes, no qual J = 0  e V 0 ρ = , assuma um sistema de coordenadas retangulares no qual E  e H  são funções apenas de z e t. O meio tem permissividade ε e permeabilidade µ. (a) Se x x E = E a   e y y H = H a   , partindo das equações de Maxwell, determine a equação diferencial parcial de segunda ordem que x E deve satisfazer. (b) Mostre que ( ) x 0 E E cos t z = ω − β é uma solução dessa equação para um valor particular de β . (c) Encontre β em função dos parâmetros dados. Resp.: (a) 2 2 x x 2 2 E E z t ∂ = µε ∂ ∂ ∂ ; (b) Demonstração; (c) β = ω µε . 39) Na região 1, z < 0 , 11 1 ε = 2.10− , 6 1 µ = 2.10− , e 3 1 σ = 4.10− ; na região 2, z > 0 , 1 2 2 ε = ε , 2 2 1 µ = µ , e 1 2 4 σ = σ . Sabe-se que ( ) ( ) 9 1 x y z E 30a 20a 10a cos 10 t = + +     [V/m] em P1(0 ,0 ,0−). (a) Encontre EN1  , ET1  , DN1  , e DT1  em P1. (b) Encontre JN1  e JT1  em P1. (c) Encontre ET2  , DT2  , e JT2  em P2(0 ,0 ,0+). (d) Use a equação da continuidade para ajudar a mostrar que N2 N1 N1 N2 D D J J t t ∂ ∂ − = − ∂ ∂     e determine DN2  , JN2  , e EN2  . Resp.: (a) ( ) 9 N1 z E =10cos 10 t a   , ( ) ( ) 9 T1 x y E 30a 20a cos 10 t = +    , ( ) 10 9 N1 z D 2.10 cos 10 t a − =   , ( ) ( ) 10 9 T1 x y D 10 6a 4a cos 10 t − = +    ; (b) ( ) 2 9 N1 z J 4.10 − cos 10 t a =   , ( ) ( ) 9 T1 x y J 0,12a 0,08a cos 10 t = +    (c) ( ) ( ) 9 T2 x y E 30a 20a cos 10 t = +    , ( ) ( ) 10 9 T2 x y D 10 3a 2a cos 10 t − = +    , ( ) ( ) 9 T2 x y J 0,03a 0,02a cos 10 t = +    ; (d) Demonstração, ( ) 9 N2 z E 20,295cos 10 t 5,599 a = + °   , ( ) 12 9 N2 z D 202,95.10 cos 10 t 5,599 a − = + °   , ( ) 9 N2 z J ,020295cos 10 t 5,599 a = + °   40) (a) Partindo da lei de Ampère, obtenha a equação de Maxwell na forma integral baseada nesta lei. (b) Obtenha a relação pontual ou diferencial correspondente. Resp.: Demonstração. (23) Devemos utilizar as condições de contorno para campos magnéticos: μ1Ĥ1n - μ2Ĥ2n = 0 ∴ Ĥ2n = μ1/μ2 (μ1/μ2 ) (Ĥ1. R12) R12^2 / |R12|^2 Ĥ2n = 2 (-480 + 180 - 80) / 26 (-4âx + 3ây + âz) cos(10^6πt) ∴ Ĥ2n = -26,23 cos (10^6πt) (-4âx + 3ây + âz) Ĥ2t - Ĥ1t = Kt x Ň = 0 (não há corrente superficial) ∴ Ĥ2t = Ĥ1t = Ĥ1 - Ĥ1n ∴ Ĥ2t = (120âx + 60ây + 80âz ) cos (10^6πt) - 1/2 (-26,23 cos (10^6πt)) (-4âx + 3ây + âz) Ĥ2t = (67,54âx + 99,35ây + 66,89âz) cos(10^6πt) ∴ Ĥ2 = Ĥ2n + Ĥ2t = (172,46âx + 206,6ây - 93,1âz) cos(10^6πt) B2 = μ1Ĥ1 = 1,5μ1Ĥ1 ∴ B2 = μ0 (258,69âx + 30,99ây - 139,64âz) cos (10^6πt) (24) Em z>0: Ē = 0 (condutor perfeito) (a) ∇ x Ē = -∂B/∂t |âx ây âz| ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z Ex 0 0 = 200πsen(10^8πt) cos(pz)βây = -∂B/∂t ∴ B = 200π/10^8π cos(10^8πt) cos(pz)βây ∴ B2 = 2.10^-6 cos(10^8πt) cos(pz)βây ∇ x B = μ(Js + ∂E/∂t) ∴ + 2.10^-6 cos(10^8πt) sen(pz)p^2âz = 16μεδ200πsen(pz)cos(10^8πt)10^8πâx ∴ 2.10^-6β^2 = 16.2.10^2 β = 4.10^8/ ≈ 4,1888 rd/m (b) Pelas condições de contorno: σ (perfeitamente condutor): Ĥ2 - Ĥ1 = (Kt) -Ĥ1 = Ĥ = Ĥ - B1/μ1 = Ĥ - B1/μ1 = 1/2 2(2.10^-6 cos(10^8πt)ρây) /2.4π10^7 ∴ Ĥ2 = -3,3333 cos(10^8πt)ây A/m (25) Eind = -dfB/dt , Altinge p=2πr em t =40μs ∫B · d∧ = φB = ∫∫ 2π 0 p cos(5000t)ρ/cρdφ φB = 2π cos(5000t)p ∴ Eind = -dfB/dt = -2π = (dp dt/dt) cos (5000t) - ρsen(5000t).5000 Eind = -2π(500 cos(0;z) - 0,02.5000šin(0,z)) = -2954,1423V new t = 40μs (26) Temos formado um capacitor. ψ= ∫B2B1'∧A Precisamos então de E dentro do cilindro: ∫A E.dA= Q/ε ⇔ E1.2πrL=Q/ε ⇔ E = Q/2πεL 1/r Sabemos que para o capacitor cilíndrico: C = 2πεL/ln(b/a) Q = C·V ⇔ E(t)=2πfL.ωsen(ωt) . 1/ln(b/a) ⇔ Vosen(ωt) /ln(b/a)r ∂B/∂t = V0Ecωtcos(ωt) ln(b/a)r ψj=2i∋1Vω∫i cosi(ωt) ϕρdϕdz = 2π∈LωV0cos(ωt)/ ln(b/a) (27) ∇⃗ x 𝐵⃗ = μ𝐽⃗ |a_x a_y a_z| |∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z| = -10^-6 cos(10^6t) sen(5z) .5.𝑎_x o 𝐵_y o 𝐽⃗_d = 5.10^-6 cos(10^6t) sen(5z) 𝑎_x/μ Sabemos que 𝐽⃗_d ≠ ∂𝐷⃗/∂𝑡 𝐸⃗ = 5.10^-6 sen(5z) sen(10^6t) 𝑎_x/μ𝜀_0.10^6 𝐸_z = 5.10^-12 sen(10^6t) sen(5z) 𝑎_x/μ𝜀 Podemos então utilizar a Lei de Faraday para encontrar μ𝐸 ∇⃗ x 𝐸⃗ = -2𝐵⃗/∂𝑡 25.10^-12 sen(10^6t) cos(5z) 𝑎_y = + sen(10^6t) cos(5z) 𝑎_y μ𝐸 = 25.10^-12 (28) ∇⃗ x 𝐸⃗ = -∂𝐵⃗/∂𝑡 |a_ρ a_𝜑 a_z| |∂/∂ρ ∂/∂𝜑 ∂/∂z| = 1/ρ(d/ρ(cos(10^3t) cos(az) a𝜑)) -∂𝐸_z/∂𝑡 = 100 a cos(az) cos(10^6t) 𝑎𝜑 𝐵⃗ = -100 a cos(az) sen(10^9t)/10^9 𝑎𝜑 ∇⃗ x 𝐵⃗ = μ_0𝜀_0 ∂𝐸^2/∂𝑡 |a_ρ a_𝜑 a_z| |1/ρ ∂/∂ρ ∂/∂𝑧| = (1/ρ (100𝑎 sen(10^9t) sen(az) aρ)) -10^-7 a^2 sen(10^9t) sen(az) 𝑎ρ= -μ_0𝜀_0 100 sen(𝑎z) sen(10^9t) 𝐻⃗ = 𝐵⃗/μ_0 = -100.33333 sen(10^9t) cos(𝑎z) 𝑎ρ/μ_0 𝐻⃗ = -9.0653 cos(𝑎z) sen(10^9t) 𝑎𝜑 (29)(a) 1. ∇⃗ x 𝐻⃗ = ∂𝐷⃗/∂𝑡=r |a_x a_y a_z| |∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z| = (∂𝐻_y/∂x)𝑎⃗ − (∂𝐻_x/∂z)𝑎⃗ = ∂𝐷⃗/∂𝑡 o H_y o ∂𝐷⃗/∂𝑡 = 5e^(-1000t) 3x^2 𝑎_𝑧⃗ ,, 𝐷⃗ = -15 x^2 e^(-1000t)/10^3 𝑎𝐷⃗_z = -15.10^3 x^2 e^(-1000t) 𝑎_z 𝐸⃗ = -15/8ε_0 x^2 e^(-1000t) 𝑎_y ,, 𝐸^s = -15.10^9 x^2 e^(-1000t) 𝑎^s_𝑧 𝐺_𝑧 = -21186.10^8 x^2 e^(-1000t) 𝑎_z Vm 2. ∇⃗ x 𝐸⃗ = ∂𝐵⃗/∂𝑡 = ∂/∂𝑡 (5 x^3 e^(-1000t))(ax) 🠖 ∇⃗ x 𝐸⃗ = -2.4π.10^7.5.x.3.(-10^3)e^(-1000t) 𝑎_y Supondo 𝐸^s e 𝐸 𝐺_z ⟹ -∂𝐸_y/∂x = + 4π.10^3 x^3 e^(-1000t) 𝑎_n ; 𝐸 = -π.10^3 x^4 e^(-1000t) 𝑎_z ⟹ 𝐸^s_𝑧 = (10^3 π x^4 e^(-1000t) 𝑎_𝑧 (b) Foi usado 𝐸^s_𝑧 pois o que teríamos era variação de fluxo magnético, a partir da eq. ∇⃗ x 𝐸⃗ = -∂𝐵⃗/∂𝑡 (30) Já fizemos ex parecido e procederemos da mesma forma 1o Perceba que o vetor normal é â_ 2o Veja que H\_ | a_ e E\//a_x 3o Equações/Condições de contorno: o (Condutor perfeito): • (H2̅ - H1̅)b̅ . t̅ = K ̅x n̅ H1̅ = - H2̅ x n̅ => => H̅1 n̅ x H̅ = P̅ : n̅ = - a̅_x x (9,905â_y + 0,006â_z) cos(500t) n̅ = (0,006 â_y - 0,005 â_z) cos(500t) A/m o (condutor perfeito) • (D2̅ - D1̅)n̅ . n̅ = V ̅ : -εE̅_1 . â_x = V ̅: V ̅ = -12.5. 8,85 · 10¯¹² 2 cos(500t) V̅ = - o,22125 cos(500t) n C\^² h̅ Digitalizado com CamScanner