Lista - Capítulo 1 - Análise Vetorial - 2023-1

ELETROMAGNETISMO: Capítulo I – Análise Vetorial 1 Lista de Exercícios do Capítulo I 01) Transforme o campo vetorial y A = xa   para: (a) coordenadas cilíndricas e determine-o no ponto ( P 3, 4, 5) − − ; (b) coordenadas esféricas e determine-o no ponto P. Resp.: (a) ( ) A cos sen a cos a ρ φ = ρ φ φ + φ    , ( ) ( ) AP 12 5 a 9 5 a ρ φ = − +    ; (b) ( ) r A rsen cos sen sen a cos a cos a θ φ   = θ φ φ θ + θ + φ       , ( ) P r 3 A 2 2 a 2 2 a 3a 5 θ φ = − + +     . 02) Dado os três pontos ( A 2, 3,1) − , ( ) B −4, 2,6 − e ( C 1,5, 3) − , determine: (a) o vetor que se estende de A a C; (b) o vetor unitário dirigido de B até A; (c) a distância entre B e C; (d) o vetor que se estende de A até o ponto médio do segmento que une B a C. Resp.: (a) x y z a 8a 4a − + −    ; (b) x y z 0,762a 0,127a 0,635a − −    (c) 12,45; (d) x y z 3,5a 4,5a 0,5a − + +    . 03) Dados os vetores x y z A 6a 2a 4a = − + −     e x y z B 4a 3a 2a = + −     , ache: (a) A + 2B   ; (b) um vetor unitário na direção de A + 2B   ; (c) um vetor C  tal que A B C 0 + + =    . Resp.: (a) 11,49; (b) x y z 0,1741a 0,696a 0,696a + −    ; (c) x y z C 2a 5a 6a = − +     . 04) Um campo vetorial é definido por ( ) ( ) 2 2 x y z W 4x ya 7x 2z a 4xy 2z a = − + + +     . Pede-se: (a) A intensidade (ou módulo) do campo no ponto ( P 2, 3,4) − ; (b) Um vetor unitário que indique a direção do campo no ponto P; (c) Em que ponto (ou pontos) do eixo z a intensidade do campo é unitária. Resp.: (a) 53,404; (b) x y z 0,899a 0,412a 0,150a − − +    ; (c) ( ) z 1 2 2 = ± − + 05) Dados os vetores x y z F 2a 5a 4a = − −     e x y z G 3a 5a 2a = + +     , determine: (a) F G ⋅   ; (b) o ângulo entre F  e G  ; (c) a componente escalar de F  na direção de G  ; (d) a projeção vetorial de F  na direção de G  . Resp.: (a) 27 − ; (b) 130,8° ; (c) −4,38; (d) x y z 2,13a 3,55a 1,42a − − −    . 06) Se x y z F 45a 70a 25a = − + +     e x y z G 4a 3a 2a = − +     , determine: (a) F × G   ; (b) ( ) x y a a F × ×    ; (c) ( ) x y a a F × ×    ; (d) um vetor unitário perpendicular a F  e a G  . Resp.: (a) x y z 215a 190a 145a + −    ; (b) −45ay  ; (c) x y 70a 45a −  −  ; (d) x y z (0,669a 0,591a 0,451a ) ± + −    . 07) Dados os pontos ( ) P 6, 125 ,z 3 ρ = φ = ° = − e ( ) Q x 3,y 1,z 4 = = − = , determine a distância: (a) de P até a origem; (b) de Q até o pé da perpendicular que passa por este ponto, em relação ao eixo z; (c) entre P e Q. Resp.: (a) 6,71; (b) 3,16; (c) 11,20. ELETROMAGNETISMO: Capítulo I – Análise Vetorial 2 08) (a) Expresse o campo de temperaturas 2 T 240 z 2xy = + − em coordenadas cilíndricas. (b) Determine o valor da densidade ( ) z2 3 2 D e 2 cos = − + ρ φ no ponto ( ) P −2, 5,1 − . Resp.: (a) 2 2 T 240 z sen 2 = + − ρ φ; (b) DP = 8,66 09) (a) Expresse o campo vetorial ( ) y W x y a = −   em coordenadas cilíndricas. (b) Expresse o campo vetorial F = ρcos aρ φ   em coordenadas cartesianas. Resp.: (a) ( )( ) W cos sen sen a cos a ρ φ = ρ φ − φ φ + φ    ; (b) ( )( ) 2 2 x y F x x y xa ya = + +    10) Dados os pontos ( ) P r 6, 110 , 125 = θ = ° φ = ° e ( ) Q x 3,y 1,z 4 = = − = , determine a distância: (a) de Q até a origem; (b) de P até o plano y = 0 ; (c) entre P e Q. Resp.: (a) 5,10; (b) 4,62; (c) 10,35 11) (a) Expresse o campo de temperaturas 2 T 240 z 2xy = + − em coordenadas esféricas. (b) Determine o valor da densidade ( ) r 2 D re 5 cos sen cos − = + θ + θ φ no ponto ( ) P −2, 5,1 − . Resp.: (a) ( ) 2 2 2 T 240 r cos sen 2 sen = + θ − φ θ ; (b) DP =1,706 12) (a) Expresse o campo vetorial ( ) y W x y a = −   em coordenadas esféricas. (b) Expresse o campo vetorial r F = rcos a φ   em coordenadas cartesianas. Resp.: (a) ( ) ( ) r W rsen cos sen sen sen a cos a cos a θ φ   = θ φ − φ φ θ + θ + φ       ; (b) ( )( ) 2 2 x y z F x x y xa ya za = + + +     . 13) Os vetores x y z A 4a 5a 2a = + −     e x y z B 2a 8a 3a = + +     possuem suas origens coincidentes com a do sistema de coordenadas cartesianas. Determinar: (a) a distância entre suas extremidades; (b) um vetor unitário na direção de A  ; (c) um vetor C  que seja paralelo ao vetor A  e que possua módulo igual ao do vetor B  . Resp.: (a) 6,16; (b) x y z a 0,596a 0,745a 0,298a = + −     ; (c) x y z C 5,23a 6,54a 2,62a = + −     . 14) Um campo de velocidade em um gás é dado por ( ) ( ) 2 2 2 x y z v 5 xa ya za x y z 2 = + + + + +     . Para o ponto ( ) P −2,3,1 , determine: (a) o módulo da velocidade; (b) um vetor unitário especificando sua direção; (c) a equação do lugar geométrico dos pontos do espaço para os quais a velocidade tem módulo unitário. Resp.: (a) 1,169; (b) x y z 0,535a 0,802a 0,267a − + +    ; (c) esferas: 2 2 2 x y z 0,192 e 20,8 + + = . 15) Sendo ( ) ( ) ( ) x y z G 2x y a 4y z a 4x 2z a = − + + + −     , determine: (a) um vetor unitário que represente a direção de G  no ponto ( ) P 1,1,1 ; (b) o lugar geométrico dos pontos para os quais a direção de G  é a mesma do vetor x y z a a a + +    . Resp.: (a) x y z 0,182a 0,913a 0,365a + +    ; (b) ao longo da reta y 2x 11, z 12x 11 = = . ELETROMAGNETISMO: Capítulo I – Análise Vetorial 3 16) Dados ( ) 2 2 x y z F 2x a 4yz a 3 x y z a = − + + −     e ( ) ( ) 2 2 2 x y z G ya za xa x y z = + + + +     , determinar: (a) F(2, 1, 3) −  ; (b) F a em ( 1,2, 2) − − ; (c) F G ⋅   no ponto (2, 2, 4) − ; (d) o ângulo entre F  e G  no ponto (2, 2, 4) − . Resp.: (a) 37,36; (b) x y z 0,0601a 0,961a 0,270a − +    ; (c) 19,67; (d) 41,6°. 17) Sejam os vetores x x y z A a 7a 4a − +    e x y z 5a 4a 3a + −    . (a) Qual deve ser o ângulo entre eles se Ax =10 ? (b) Qual deve ser o valor de x A se ângulo entre os vetores for de 90º? (c) E qual o valor de x A se este ângulo for agora de 62,1º? Resp.: (a) 83,7º; (b) 8; (c) 26,03. 18) Dados x y z A 3a 4a 5a = − +     e x y z B a 2a 3a = − + −     , determine: (a) A × B   ; (b) ( ) A A B ⋅ ×    ; (c) ( ) A A B × ×    ; (d) o ângulo entre A  e B  . Resp.: (a) x y z 2a 4a 2a + +    ; (b) 0; (c) x y z 28a 4a 20a − + +    ; (d) 169,3º. 19) Os três pontos ( ) A −1,6,2 , ( B 2,4, 3) − B e ( C 4,1, 5) − definem um triângulo e um plano. Sabendo-se que um triângulo é a metade de um paralelogramo, pede-se determinar: (a) a área do triângulo; (b) um vetor unitário normal ao plano. Resp.: (a) 6,36; (b) x y z (0,864a 0,314a 0,393a ) ± + +    . 20) No ponto ( C 2,30 ,5) ° um vetor A  é expresso em coordenadas cilíndricas, como sendo: z A 20a 30a 10a ρ φ = − +     . Determinar: (a) A  no ponto C; (b) a distância da origem ao ponto C; (c) o ângulo entre A  e a superfície ρ = 2 no ponto C. Resp.: (a) 37,4166; (b) 5,385; (c) 57,7º. 21) Um campo de força é representado no ponto P(8, 120º, 5) por z F 25a 12a 20a ρ φ = + −     . Determine a componente vetorial de F  que é: (a) perpendicular ao cilindro ρ = 8; (b) tangente ao cilindro ρ = 8; (c) tangente ao plano φ = 120º. (d) Determinar um vetor unitário que seja perpendicular a F  e tangente ao cilindro ρ = 8. Resp.: (a) 25aρ  ; (b) z 12a φ − 20a   ; (c) z 25a ρ − 20a   ; (d) z (0,857a 0,514a ) φ ±  +  22) Um campo elétrico é dado por z E (50 / )a 4a ρ = ρ −    . Determinar: (a) o vetor unitário E a em coordenadas cartesianas no ponto P(10, 20º, 2); (b) a equação do lugar geométrico dos pontos para os quais E =10  . Resp.: (a) x y z 0,734a 0,267a 0,625a + −    ; (b) cilindro ρ = 5,46. 23) Sejam os pontos P(8, 2, 1) e Q(-2, 7, 4) expressos em coordenadas cartesianas. Determine: (a) as coordenadas cilíndricas de cada ponto; (b) a expressão de um vetor, em coordenadas cilíndricas, sabendo que tal vetor une o ponto P ao ponto Q; (c) idem para um vetor no ponto Q, sabendo que tal vetor une o ponto Q ao ponto P. (Note que o último resultado não é simétrico do resultado anterior porque aρ  e aϕ  têm direções diferentes nos dois pontos.) Resp.: (a) P(8,25; 14,04º; 1), Q(7,28; 105,9º; 4) ; (b) z 8,49a 7,28a 3a ρ φ − + +    ; (c) z 7,55a 8,24a 3a ρ φ − − −    . ELETROMAGNETISMO: Capítulo I – Análise Vetorial 4 24) Dados os pontos P(4, 7, 3) e Q(-3, 6,-5), determine: (a) as coordenadas cilíndricas do ponto P; (b) as coordenadas esféricas do ponto P; (c) o vetor RPQ  , em coordenadas cilíndricas, no ponto P. Resp.: (a) P(8,06; 60,3º; 3); (b) P(8,60; 69,6º; 60,3º); (c) z 4,34a 5,58a 8a ρ φ − + −    . 25) Dois vetores são definidos em um ponto P como sendo r F 10a 3a 5a θ φ = − +     e r G 2a 5a 3a θ φ = + +     . Determine no ponto P: (a) F G •   ; (b) a componente escalar de G  na direção de F  ; (c) a componente vetorial de G  na direção de F  ; (d) G × F   ; (e) um vetor unitário perpendicular a F  e a G  . Resp.: (a) 20; (b) 1,728; (c) 1,493ar 0,448a 0,746a θ φ − +    ; (d) 34ar 20a 56a θ φ + −    ; (e) (0,496ar 0,292a 0,818a ) θ φ ± + −    26) As superfícies que delimitam um volume são definidas por r = 5 e r = 12, θ = 20º e θ = 80º, φ = 0,1π e φ = 0,4π. Determine: (a) o comprimento de um segmento linear que una dois vértices opostos do volume; (b) as áreas determinadas pelas superfícies em questão; (c) o volume determinado pelas superfícies em questão. Resp.: (a) 11,21; (b) 18,05; 104,0; 19,18; 55,2; 62,31; 62,31 (ou 119π/6).; (c) 386 27) Expresse o campo vetorial 2 2 y z W (x y )a xza = − +    em: (a) coordenadas cilíndricas no ponto P(ρ = 6, φ = 60º, z = -4); (b) em coordenadas esféricas no ponto Q(r = 4, θ = 30º, φ = 120º). Resp.: (a) z 15,59a 9a 12a ρ φ − − −    ; (b) 3,87ar 0,232a a θ φ − + +    . 28) As superfícies que delimitam um volume são definidas por r = 0 e r = 1, θ = 0º e θ = 90º, φ = 60º e φ = 90º. Determine, por integração: (a) as áreas determinadas pelas superfícies em questão normais às direções dos vetores unitários ra , aθ  e aφ  ; (b) o volume determinado pelas superfícies em questão. Resp.: (a) π/6, π/12, π/4, π/4; (b) π/18. 29) (a) Ache a distância entre os pontos P(ρ = 2, φ = π/6, z = 0) e Q(ρ = 1, φ = π, z = 2). (b) Ache a distância entre os pontos P(r = 1, θ = π/4, φ = 0) e Q(r = 1, θ = 3π/4, φ = π) Resp.: (a) 3,53; (b) 2,0. 30) Um campo vetorial é definido no ponto B(r = 5, θ = 120º, φ = 75º) como sendo r G 12a 5a 9a θ φ = − − +     . Determine a componente vetorial de G  que é: (a) normal a superfície r = 5; (b) tangente à superfície r = 5; (c) tangente ao cone θ = 120º; (d) Determine um vetor unitário a perpendicular a G  e tangente ao cone θ = 120º. Resp.: (a) −12ar  ; (b) 5a 9a θ φ −  +  ; (c) 12ar 9aφ −  +  ; (d) r a (0,6a 0,8a ) φ = ± +    . 31) Um campo vetorial é definido, em coordenadas esféricas, por r F [(cos ) / r]a [(sen ) / r]aθ = θ + θ    . Determine: (a) a expressão deste campo em coordenadas esféricas no ponto P(x 1, y 1, z 2) = − = = ; (b) a expressão deste campo em coordenadas cartesianas no ponto P(x 1, y 1, z 2) = − = = . Resp.: (a) r F ( 2 / 4)a ( 2 / 4)aθ = +  ; (b) x y F ( 2 / 4)a ( 2 / 4)a = − +  . ELETROMAGNETISMO: Capítulo I – Análise Vetorial 5 32) O vetor dirigido da origem ao ponto A é dado por (6, −2, −4), e o vetor unitário dirigido da origem ao ponto B é (2, −2, 1)/3. Se os pontos A e B estão a 10 unidades de distância um do outro, encontre as coordenadas do ponto B. Resp.: B(7,83, −7,83, 3,92) 33) Uma circunferência centrada na origem tem raio 2 e está no plano xy. Determine o vetor unitário, em coordenadas retangulares, que está no plano xy, é tangente à circunferência em (− 3 , 1, 0) e aponta na direção de crescimento dos valores de y. Resp.: x y 0,5a + 0,866a 34) Dado o campo vetorial 2 2 x y z E = 4zy cos2xa 2zysen2xa y sen2xa + +     para a região |x|, |y|, e |z| < 2, encontre (a) as superfícies em que Ey = 0; (b) a região em que Ey = Ez; (c) a região em que E = 0. Resp.: (a) (1) o plano z = 0, com |x| < 2, |y| <2; (2) o plano y = 0 com |x| < 2, |z| < 2; (3) o plano x = 0 ,com |y| < 2, |z| <2 ; (4) o plano x = π/2, com |y| <2 , |z| < 2 (b) o plano 2z = y, com |x| < 2, |y| < 2, |z| < 1 (c) o plano y = 0, com |x| < 2, |z| < 2 35) Encontre o menor ângulo entre quaisquer duas diagonais de um cubo, onde cada diagonal liga vértices diametralmente opostos e passa pelo centro do cubo. Resp.: 70,5288º 36) Se os três lados de um triângulo são representados pelos vetores A, B, e C    , no sentido anti- horário, mostre que ( ) ( ) C 2 A B A B = + • +      e desenvolva o produto para obter a lei dos cossenos. Resp.: Demonstração 37) As superfícies ρ = 3, ρ = 5, φ = 100º, φ = 130º, z = 3, e z = 4,5 definem uma superfície fechada. Encontre (a) o volume envolvido pela superfície; (b) a área total da superfície; (c) o comprimento total dos 12 lados da superfície; (d) o comprimento do segmento de reta mais longo que se encontra dentro do volume. Resp.: a) 6,2832 (b) 20,6607 (c) 22,3775 (d) 3,204565 38) Expresse o vetor unitário x a em coordenadas esféricas no ponto: (a) r = 2, θ = 1, φ = 0,8; (b) x = 3, y = 2, z = −1; (c) ρ = 2.5, φ = 0.7, z = 1.5. Resp.: (a) 0,586ar 0,376a 0,717a θ φ + −    (b) 0,8ar 0,22a 0,55a θ φ − −    (c) 0,66ar 0,39a 0,64a θ φ + −    39) Uma esfera de raio a, centrada na origem, gira em torno do eixo z com velocidade angular Ω rad/s. O sentido de rotação é horário quando olhando na direção positiva do eixo z. (a) Usando coordenadas esféricas, escreva uma expressão para o campo de velocidade, V  , que dá a velocidade tangencial em todos os pontos da esfera; (b) converta para coordenadas retangulares. Resp.: (a) V(r, ) θ = Ωrsen aφ θ   (b) x y V(x,y) ya xa   = Ω − +      40) Se A  representa um vetor unitário que aponta para o leste, B  representa um vetor de módulo 3 que aponta para o norte, e A B 2C D + = −     e 2A B C 2D − = +    , determine C  e seu módulo. Resp.: C  = 0,8 x a + 0,6 y a ; |C  | = 1