Lista - Capítulo 5 - Dielétricos e Capacitância - 2023-1

ELETROMAGNETISMO: Capítulo V – Condutores, Dielétricos e Capacitância 1 Lista de Exercícios do Capítulo V 01) Certa densidade de corrente é expressa em coordenadas cilíndricas por: -2z 2 z J = 100e ( a +a ) A/m ρ ρ    . Determine a corrente total que atravessa cada uma das seguintes superfícies: (a) z = 0, 0 ρ 1 ≤ ≤ , na direção za ; (b) z = 1, 0 ρ 1 ≤ ≤ , na direção za ; (c) cilindro fechado 0 z 1 , 0 ρ 1 ≤ ≤ ≤ ≤ , na direção radial, apontando para fora. Resp.: (a) 314,16 A ; (b) 42,52 A ; (c) 0. 02) Sendo 2 2 2 2 x y z J =10y za -2x ya + 2x za A/m     , determine: (a) A corrente total atravessando a superfície x = 3, 2 y 3, 3,8 z 5,2 ≤ ≤ ≤ ≤ , na direção x a ; (b) o módulo da densidade de corrente no centro desta área; (c) o valor médio de Jx ao longo da superfície. Resp.: (a)399 A ; (b)296 2 A/m ; (c) 285 2 A/m . 03) Em uma região próxima à origem, há uma densidade de corrente apontando radialmente para fora, dada por -1,5 2 10r A/m . (a) Qual é a corrente que atravessa a superfície esférica r = 1 mm? (b) Repita para r = 2 mm. (c) Qual é a taxa de variação de ρ para r = 1 mm? (d) Com que taxa está aumentando a carga no interior da esfera r = 1 mm? Resp.: (a) 3,97 A ; (b) 5,62 A ; (c) 8 -1,581 10 C/m3 s × ⋅ ; (d) -3,97 C/s . 04) Determine o módulo da densidade de corrente no interior de uma amostra de alumínio se: (a) a intensidade do campo elétrico é 70 mV/m; (b) a velocidade de arrastamento dos elétrons é -4 10 m/s ; (c) a amostra tem a forma de um cubo de 1mm de lado, onde flui uma corrente total de 2,5 A; (d) a amostra tem a forma de um cubo de 1mm de lado, com uma diferença de potencial de 75 μV entre faces opostas. Resp.: (a) 2,67 2 MA/m ; (b) 3,18 2 MA/m ; (c) 2,50 2 MA/m ; (d) 2 2,86 MA/m . 05) Qual é a tensão entre os terminais de um condutor de cobre se ele: (a) tem uma seção de reta circular com um diâmetro igual a -4 0,007pol (1,778 10 m) × , seu comprimento é igual a 100 pés (30,48m) e ele transporta uma corrente de 8 mA; (b) é um cilindro vazado de raio interno de 2mm, raio externo de 3mm, cujo comprimento é 200 m e conduz uma corrente de 20 A? Resp.: (a) 0,1693 V ; (b) 4,39 V . 06) O ponto P (-2,4,1) está na superfície de um condutor onde x y z E = 400a -290a +310a V/m     . Sabendo-se que o condutor está situado no vácuo, determinar: (a) n E no ponto P; (b) tE no ponto P; (c) sρ no ponto P. Resp.: (a) 583,27 V/m ; (b) 0 ; (c) 2 5,16 nC/m . 07) Uma carga pontual igual a 18 μC está localizada no eixo z a 0,4 m do plano condutor z=0. Determine: (a) a densidade superficial de carga no ponto (0,3 ; 0,4 ; 0); (b) D no ponto (0 ; 0,2 ; 0,2). Resp.: (a) -4,364 2 μC/m ; (b) 2 19,767 μC/m . σ (S/m) 2 μ (m /V s) ⋅ Alumínio 3,82 107 × 0,0012 Cobre 5,80 107 × 0,0032 Prata 6,17 107 × 0,0056 ELETROMAGNETISMO: Capítulo V – Condutores, Dielétricos e Capacitância 2 08) Encontre a polarização no interior de um material que: (a) tenha uma densidade de fluxo elétrico igual a 2 1,5μ C/m em um campo elétrico de 15k V/m; (b) tenha 2 D=2,8 μC/m e eχ = 1,7 ; (c) tenha 20 3 10 moléculas/m , cada uma com um momento de dipolo igual a 1,5 10-26 C m × ⋅ quando 5 E = 10 V/m; (d) tenha E = 50 kV/m e ∈R = 4,4 . Resp.: (a) 1,367 2 μC/m ; (b) 1,763 2 μC/m ; (c) 1,500 2 μC/m (d) 2 1,505 μC/m . 09) A região z < 0 contém um material dielétrico para o qual ∈R1 = 2,5 , enquanto que z > 0 caracteriza-se por ∈R2 = 4 . Sabendo-se que 1 x y z E = -30a +50a +70a V/m     , determine: (a) n1 E ; (b) Et1  ; (c) t1 E ; (d) 1 E ; (e) 1θ . Resp.: (a) 70,0 V/m ; (b) x y -30a +50a V/m   ; (c) 58,3 V/m (d) 91,1 V/m ; (e)39,8° . 10) Determine a capacitância de um capacitor de placas paralelas que tem: (a) d = 8mm, 2 S= 2 m e εR = 250 ; (b) d = 0,08mm, 2 S= 2 m , 5 E=10 V/m e 2 S ρ = 2μ C/m ; (c) 5μ J de energia armazenada quando a tensão entre as placas é 4V. Resp.: (a) 0,553 μF ; (b) 0,500 μF ; (c) 0,625 μF. 11) Encontre a capacitância: (a) do cabo coaxial 58C/U cujo diâmetro do condutor interno é 0,0295 pol e do externo é 0,116 pol, tendo um dielétrico de polietileno e comprimento 100 pés (30,48m); (b) do sistema constituído por uma esfera condutora de 1cm de raio , recoberta com uma camada de polietileno de 1cm, envolvida por uma casa esférica, concêntrica, com 2cm de raio; (c) de um sistema igual ao do item (b) com exceção da casca externa, que agora tem raio igual a 3cm. (Dados: Polietileno εR = 2,26 ) Resp.: (a) 2800 pF; (b) 5,0291 pF; (c) 2,8683 pF (= 2 capacitores em série). 12) Determine a capacitância entre um cilindro condutor circular de raio 2,5 mm situado no ar e : (a) um plano condutor que dista 1cm do eixo do cilindro utilizando a equação L -1 2 2 1 ρ L 2π L 2π L C = = = V cosh (h/b) ln[(h+ h -b )/b] ε ε ; (b) o mesmo que no item (a), só que utilizando a equação 2π L C = ln(2h/b) ε onde(b<<h) ; (c) um cilindro semelhante, estando os eixos separados de 1cm. Resp.: (a) 26,96 pF/m; (b) 26,75 pF/m; (c) 21,1216 pF/m ou 20,06 pF/m (para b<<h). 13) Uma superfície, em z = 0, é um catodo do qual são emitidos elétrons com velocidade inicial nula. Eles sofrem a ação de um campo elétrico 6 z E = -2x10 a V/m   . Sabendo-se que e = 1,602 10-19 C × e m = 9,11x10-31 kg , determine: (a) velocidade v(t) para um elétron emitido em t = 0; (b) z(t); (c) v(z). (d) Se os elétrons deixam o catodo continuamente, segundo um feixe de 100μ C de corrente e com uma seção reta de -7 2 10 m , determine a densidade de corrente e a densidade volumétrica de carga. Resp.: (a) 17 3,52 10 t m/s × ; (b) 17 2 1,759 10 t m × ; (c) 8,39 108 z × ; (d) 2 -1000 A/m , -6 -1,1909 10 / z C/m3 × . 14) O componente z da densidade de corrente é az 2 2 0J e / [(x 1)(y 1)] − + + . Determine a corrente na direção z a , que atravessa a superfície: (a) z = 0, x 1, y 1 ≤ ≤ ; (b) z = 0. Resp.: (a) 0 2,4674J ; (b) 0 9,8696J . ELETROMAGNETISMO: Capítulo V – Condutores, Dielétricos e Capacitância 3 15) Próximo ao ponto P(5,7,-5), a densidade de corrente pode ser representada pelo vetor 3 2 2 2 2 x y z J=2x ya -5x z a + 4x ya A/m     . (a) Qual é a corrente deixando um cubo de 1m de lado, centrado em P com as arestas paralelas aos eixos coordenados? (b) Qual é a taxa de crescimento da densidade volumétrica de carga no ponto P? Resp.: (a) 1053,5 A; (b) -1050 C/m3 s⋅ . 16) Um pedaço de material condutor para o qual σ=5M S/m tem a forma de uma cunha truncada, 4< <10cm, 0< <0,2π, 0<z<6cm ρ φ . No interior do material E = 2a / mV/m φ ρ   . (a) Qual é a corrente total que atravessa o objeto? (b) Qual é a sua resistência? Resp.: (a) 549,77 A; (b) 2,286μΩ . 17) Duas placas condutoras paralelas têm, cada uma, 2 2 m de área, estando separadas de 1,25 mm no vácuo. Os terminais de uma bateria de 100 V são a ela conectados e, depois de algum tempo, são então desconectados. (a) Determine 0 V , E, D, S ρ , Q, E W e C. (b) Uma folha de material dielétrico, cuja forma e área são as mesmas das placas tendo 1 mm de espessura, é cuidadosamente introduzida entre as placas. Se ∈R = 5 para o dielétrico, determine Q, S ρ , E W , C e 0 V , bem como E e D no material dielétrico. Resp.: (a) 100V; 80k V/m; 2 0,708 μC/m ; 2 0,708 μC/m ; 1,417 μC ; 70,8 μJ ; 14,17 nF; (b) 1,417 μC ; 2 0,708 μC/m ; 25,5 μJ ; 39,4 nF; 36V; 16 kV/m; 2 0,708 μC/m . 18) Determine o J  em um condutor para o qual: (a) a mobilidade é -3 2 4,1 10 m /V s × ⋅ , a densidade volumétrica de carga é 9 -3,6 10 C/m3 × , e a intensidade do campo elétrico é 0,085 V/m; (b) a velocidade de arrastamento é 0,04 mm/s e há 6 1028 × elétrons de 3 condução/m ; (c) a resistividade é -8 3 10 Ω m × ⋅ e a intensidade do campo elétrico é 48 mV/m. Resp.: (a) 2 1,255 MA/m ; (b) 2 0,385 MA/m ; (c) 2 1,6 MA/m . 19) 2 V = 1000ρ em coordenadas cilíndricas. (a) Se a região 0,1<ρ<0,3m é vácuo e as superfícies ρ = 0,1 m e ρ = 0,3 m são condutoras, especifique a densidade superficial de carga em cada condutor. (b) Qual é a carga ao longo de 1 m de comprimento da região onde há vácuo? (c) Qual é a carga total ao longo de 1 m de comprimento, incluindo ambas as cargas superficiais? Resp.: (a) interno: 2 -1,771 nC/m ; externo: 2 5,31 nC/m ; (b)-8,90 nC ; (c) 0 . 20) Em um ponto P (-2,5,-4) em superfície condutora esférica, a densidade superficial de carga é 2 75 nC/m . Se o condutor está isolado no vácuo, encontre E  fora e dentro do condutor nas vizinhanças do ponto P. Resp.: dentro: 0; fora: x y z -2525,44a + 6313,59a - 5050,87a V/m    . 21) Um campo potencial é dado por 2 2 2 2 V = 100ln{[(x+1) +y ]/[(x-1) +y ]} V . Sabendo que o ponto P(2, 1, 1) está na superfície do condutor e que ele está situado no vácuo, determinar o vetor unitário normal à superfície bem como a densidade superficial de carga no condutor. Resp.: 2 n x y s a = (0,447a +0,894a ), = 792 pC/m ± ρ ±    . 22) Duas cascas esféricas condutoras possuem raios a = 2 cm e b = 5 cm. O interior é um dielétrico perfeito no qual εR = 10. (a) Determinar a capacitância do capacitor formado. (b) Uma porção do dielétrico é agora removida de modo que εR = 1, 0 < θ < π/6, e εR = 10, π/6 < θ < π. Determinar a capacitância para esta configuração do capacitor. Resp.: (a) 37,1 pF; (b) 34,9 pF;. ELETROMAGNETISMO: Capítulo V – Condutores, Dielétricos e Capacitância 4 23) A uma certa temperatura, as mobilidades do elétron e do buraco são, respectivamente, 0,43 e 2 0,21 m /V s⋅ para o germânio puro. Se as concentrações de elétrons e buracos são iguais a 19 2,3 10 m-3 × , determine a condutividade a essa temperatura. Resp.: 2,36 S/m. 24) Uma amostra semicondutora tem uma seção reta retangular de 1,5 por 2 mm e comprimento de 1,1 cm. As concentrações de elétrons e buracos são, respectivamente, 1,8 1018 x e 15 3 10 m-3 × . Se 2 e μ = 0,082 m /V s⋅ e 2 b μ = 0,0021 m /V s⋅ , determinar a resistência oferecida entre as faces terminais da amostra. Resp.: 155 kΩ. 25) O campo elétrico em um certo ponto no interior de um vidro pirex ( χe = 3 ) é dado por: x y z E = -50a +220a - 85a V/m     . (a) Determine o valor de R ∈ para este material. (b) Determine P  e D  no ponto em questão. Resp.: (a) R e = χ +1=4 ∈ ; (b) 2 x y z P = -1,328a + 5,84a - 2,26a nC/m     , 2 x y z D = -1,771a + 7,792a - 3,01a nC/m     . 26) O hidrogênio mono-atômico contém 25 5,42 10 átomos/m3 × sob certas condições de temperatura e pressão. Quando um campo elétrico de 2500 V/m é aplicado, o dipolo formado possui um comprimento efetivo d = 6,7 10-19 m × . Calcule a constante dielétrica com seis casas decimais. Resp.: 1,000263. 27) A superfície de separação de dois dielétricos passa pela origem, e o vetor x y A = -2a +5a +14az     lhe é perpendicular neste ponto, apontando da região 1 ( R ∈ = 1) para a região 2 ( R ∈ = 2) . Sendo 1 x y z E = 30a - 15a + 45a V/m     , determine o ângulo (agudo) entre A  e: (a) E1  ; (b) D1  ; (c) E2  ; (d) D2  . Resp.: (a)54,0°; (b)54,0°; (c) 70,0°; (d)70,0°. 28) Um condutor cilíndrico tem raio de 7 mm, e seu eixo dista 25mm de um plano condutor. O condutor está a um potencial de 2000 V e o plano está a 0 V. Considerando o conjunto no vácuo, determine: (a) a capacitância por unidade de comprimento; (b) a carga por unidade de comprimento do cilindro; (c) o campo elétrico no ponto do cilindro situado mais próximo do plano. Resp.: (a) 28,6 pF/m ; (b) 57,2 nC/m; (c) x -195,8a kV/m  . 29) Para um capacitor de placas paralelas, totalmente preenchido com um dielétrico, temos: d = 4 mm, 2 S = 64cm e R ∈ = 5 . (a) Determine a sua capacitância. Aplica-se uma tensão de 20 V entre as placas. (b) Determine E, D, Q e E W . Agora, removemos a fonte de tensão, sem alterar a tensão entre as placas, e retiramos, cuidadosamente, o dielétrico. (c) Qual é valor de Q após a operação? (d) Determine novamente os valores de E, D e E W . (e) Qual é o valor de V0 após a operação? Resp.: (a) 70,8 pF ; (b) 5 kV/m ; 2 0,221 μC/m ; 1,417 nC; 14,17 nJ; (c) 1,417 nC (d) 2 0,221 μC/m ; 25 kV/m, 70,8 nJ ; (e) 100 V. ELETROMAGNETISMO: Capítulo V – Condutores, Dielétricos e Capacitância 5 30) Os capacitores são tão mais caros quanto maiores forem a capacitância e Vmáx. A tensão Vmáx depende do campo elétrico ERD para qual o dielétrico está na iminência de romper (rigidez dielétrica). Qual dos seguintes dielétricos dará o maior produto CVmáx : (a) mica: 8 R = 5,4, ERD = 10 V/m ∈ ; (b) titanato de bário: 6 R = 1200, ERD = 3 10 V/m ∈ × ; (c) neoprene: 6 R = 6,6, ERD = 1,2 10 V/m ∈ × ; (d) ar: 6 R = 1, ERD = 3 10 V/m ∈ × ? Resp.: (b) titanato de bário. 31) Dado 2 r J 400sen / (r 4)a = θ +   A/m2. (a) Encontre a corrente total que flui através da porção da superfície esférica r = 0,8, limitada por 0,1π < θ < 0,3π, 0 < φ < 2π. (b) Encontre o valor médio de J  sobre a área definida. Resp.: (a) 77,4232 A (b) med r J = 53a   [A/m2] 32) Se a densidade volumétrica de carga é dada como 2 v ρ = (cos t) / r ω C/m2, encontre J  . Assuma que J  não é função de θ ou φ . Resp.: r J = ωsen t / ra ω   [A/m2] 33) Dado J = −k / (rsen )aθ θ   A/m2 em um meio condutor, onde k é constante. Determine a corrente total na direção za que atravessa um disco circular de raio R, centrado no eixo z e localizado em (a) z = 0; (b) z = h Resp.: (a) 2k R π (b) 2 2 2k ( R h h) π + − 34) Um tronco de cone tem altura de 16 cm. As faces circulares no topo e base têm raios de 2 mm e 0,1 mm, respectivamente. Se o material do tronco tem uma condutividade de 2×106 S/m, determine a resistência entre as duas faces circulares. Resp.: 0,12734 Ω 35) Duas superfícies condutoras perfeitas cilíndricas de comprimento L estão em ρ = 3 e ρ = 5 cm. A corrente total que sai radialmente do meio entre os cilindros é de 3 A. (a) Encontre a diferença de potencial e a resistência entre os cilindros, e E  na região entre os cilindros, se um material condutor de σ = 0,05 S/m está presente em 3 < ρ < 5 cm. (b) Mostre que a integral sobre o volume da potência dissipada por unidade de volume dá a potência total dissipada. Resp.: (a) R =1,626 / L Ω ; V = 4,878 / L V ; E = 9,55 / ( L)aρ ρ   V/m (b) P =14,634 / L W 36) Seja 2 V 10( 1)z cos = ρ + φ V no espaço livre. (a) Se a superfície equipotencial V = 20 V define uma superfície condutora, encontre a equação da superfície condutora. (b) Encontre ρ e E  no ponto da superfície condutora em que φ = 0,2π e z = 1,5. (c) Encontre |ρS| neste ponto. Resp.: (a) 2 ( 1)z cos 2 ρ + φ = (b) ρ = 0,0987 ; z E 18,203a 147,182a 26,667a ρ φ = − + −     (c) 1,49 nC/m2 37) O segmento de reta x = 0, −1 ≤ y ≤ 1, z = 1 contém uma densidade linear de carga ρL = π|y| μC/m. Se o plano z = 0 é condutor, determine a densidade de carga superficial em: (a) (0, 0, 0); (b) (0, 1, 0). Resp.: (a) −0,29289 C / m2 µ ; (b) −0,24339 C / m2 µ ELETROMAGNETISMO: Capítulo V – Condutores, Dielétricos e Capacitância 6 38) Seja 2 2 V 20x yz 10z = − V no espaço livre. (a) Determine as equações das superfícies equipotenciais em que V = 0 e V = 60 V. (b) Assuma que essas superfícies são condutoras e encontre a densidade superficial de carga no ponto da superfície V = 60 V onde x = 2 e z = 1. Sabendo que 0 ≤ V ≤ 60 V é uma região que contém campo. (c) Encontre o vetor unitário nesse ponto que é normal à superfície e dirigido para a superfície V = 0 V. Resp.: (a) 2 2x y z 0 (V=0) − = ; 2 6 2x y z z (V=60) − = (b) 1,04 nC/m2 ; (c) n x y z a 0,596a 0,681a 0,426a = − − −     39) Dado o campo potencial 2 V 100xz / (x 4) = + V no espaço livre: (a) Encontre D  na superfície z = 0. (b) Mostre que a superfície z = 0 é uma equipotencial. (c) Assuma que a superfície z = 0 é condutora e encontre a carga total na região definida por 0 < x < 2,−3 < y < 0. Resp.: (a) 0 z 2 100 x D a x 4 ε = − +   C/m2 ; (b) V(z=0) = 0 ; (c) Q = −0,9206 nC 40) A constante dielétrica da Ebonite é 2,8 e sua rigidez dielétrica vale 18 MV/m. Qual a menor área que podem ter as placas de um capacitor plano de 70 nF, usando a ebonite como dielétrico para que este suporte uma diferença de potencial de 4 kV? Resp.: 2 S = 0,6275 m