Lista - Cap Ix - Eletromagnetismo 2022-1

ELETROMAGNETISMO: Capítulo IX – Campos Variáveis no Tempo e Equações de Maxwell 1 Lista de Exercícios do Capítulo IX 01) A densidade de fluxo magnético pode ser representada, em coordenadas cilíndricas, por z 2 B [1/(1 100 )]sen1000πt = + ρ  mWb/m2 para ρ < 0,2 m. (a) Determine o fluxo magnético através da superfície ρ ≤ 0,1 m, z = 0, no sentido az + . (b) Determine E em ρ = 0,1 m, ϕ = π/4, z = 0. (c) Se o caminho circular ρ = 0,1 m, z = 0, é um fio condutor com uma resistência de 1 Ω/cm, que corrente circula por ele no sentido aφ + ? Resp.: (a) 21,8sen1000πt µWb; (b) 108,9cos1000πt(a ) φ −  mV/m; (c) – 1,089cos1000πt mA. 02) Para o dispositivo mostrado na figura, d = 0,15 m e z B  = 0,4a  Wb/m2. Se y v = 200ya   m/s e y = 0,1 m para t = 0, determine as seguintes grandezas no instante t = 10 ms: (a) Velocidade vy; (b) Leitura V12; (c) a corrente entrando no terminal 2 do voltímetro se a resistência do medidor é igual a 50 kΩ. Resp.: (a) 147,8 m/s; (b) -8,87 V; (c) 177,3 µA. 03) Encontre a densidade de corrente de deslocamento: (a) próximo ao seu rádio, se a estação de FM local emite um sinal tendo 8 z H 0,2cos[2,10(3 10 t x)]a = × −   A/m; (b) no espaço de ar no interior de um grande transformador de força, onde 6 8 x B 1,1cos[1,257 10 (3 10 t y)]a − = × × −   Wb/m2; (c) no interior de um capacitor a óleo, no qual εR = 6 e 6 8 x E 100sen[1,257 10 (3 10 t 2,45z)]a − = × × −   kV/m; (d) em um condutor metálico operando a 60 Hz e tendo σ = 5 107 × S/m, e ε = ε0 e 6 x J 10 sen[117,1(3,22t z)]a = −   A/m2. Resp.: (a) 8 y 0,42sen[2,10(3 10 t x)]a − × −  A/m2; (b) 6 8 z 1,1sen[1,257 10 (3 10 t y)]a − − × × −  A/m2; (c) 6 8 x 2,00cos[1,257 10 (3 10 t 2,45z)]a − × × −  mA/m2; (d) x 66,7cos[117,1(3,22t − z)]a  pA/m2. 04) Sendo σ = 0, ε = 2,5ε0 e µ = 10µ0, determine quais dos seguintes pares de campos satisfazem ou não às equações de Maxwell: (a) y E  = 2ya  , x H  = 5xa  ; (b) 7 y E =100sen6 10 tsenza ×   , 7 x H = −0,1328cos6 10 tcosza ×   ; (c) 7 x D (z 6 10 t)a = + ×   , 10 y B ( 754z 4,52 10 t)a = − − ×   . Resp.: (a) Não;(b) Sim; (c) Sim. 05) O vetor unitário x y z 0,48a 0,6a 0,64a − +    é dirigido da região 2 (εR2 = 2,5; µR2 = 2; σ2 = 0) para a região 1 (εR1 = 4,0; µR1 = 10; σ1 = 0). A fronteira não contém densidade superficial de carga. Sendo 1 x y z E ( 100a 50a 200a )sen400t = − − +     no ponto P da região 1, adjacente à fronteira, determine o módulo de: (a) Et1; (b) En2; (c) E2. Resp.: (a) 200,9975; (b) 176; (c) 266,9594 V/m. ELETROMAGNETISMO: Capítulo IX – Campos Variáveis no Tempo e Equações de Maxwell 2 06) Dois planos condutores perfeitos localizam-se em y = 2 e y = 2,1 m. Entre eles existe um material para o qual εR = 9, µR = 1, σ = 0. Sendo 8 y E 200cos(10 t z)a = −   V/m entre eles (os planos), ache: (a) H em (5; 2,06; 1,1; t = 2 ns); (b) |K| em (0,7; 2; 0; t = 0). Resp.: (a) 0,989323; (b) 1,59155 A/m. Utilizar 9 0 10 − 36 ε = π 07) Uma carga pontual de 8 2cos10 πt µC se localiza em (0; 0; -1,5) e uma outra de 8 −2cos10 πt µC em (0; 0; 1,5), ambas no vácuo. Determine V em: (a) (0; 0; 2998,5) para t = 0; (b) (0; 0; 2998,5) para t = 10 ns; (c) um ponto do eixo x que dista 2998,5 m de cada carga, como uma função de t. Resp.: (a) -5,9977; (b) 5,9977; (c) 0 mV. 08) Um condutor perfeito une as duas extremidades de um resistor conforme mostra a figura ao lado, sendo B = 0,4 sen 120 t Wb/m2 π . Considerando desprezível o fluxo produzido pela própria corrente da espira, isto é, desprezando a indutância própria da espira, determinar: (a) a diferença de potencial ab V (t); (b) a corrente I(t). Resp.: (a) 18,95 cos 120πt V ; (b) 0,1895 cos 120πt A − . 09) Sendo 8 2 z B = 2 cos(3 10 πt - πy)a Wb/m ×  µ , ache a fem V(t) induzida no sentido genérico +aφ  ao longo do caminho fechado: (a) (0,0,0) a (1,0,0) a (1,1,0) a (0,1,0) a (0,0,0); (b) (0,0,0) a (1,0,0) a (1,2,0) a (0,2,0) a (0,0,0). Resp.: (a) 8 -1200 cos 3×10 πt V ; (b) 0. 10) Com relação à figura ao lado, considere 2 B = 0,4 Wb/m para fora do papel e v = 8 m/s. (a) Ache a leitura no voltímetro como função no tempo, sabendo que para t = 0 temos x = 0. (b) Repita para o caso da posição da barra ser dada por 2 x = 300t metros. Resp.: (a) -0,128 -18,635t V; (b) 3 -9,6t - 52412t V . 11) Duas cascas esféricas condutoras concêntricas com raios r = a = 0,5 mm e r = b = 1 mm, acham- se separadas por um dielétrico com εR = 8,5. (a) Determine a capacitância para uma dada tensão aplicada entre as cascas condutoras de v =150sen5000t [V] calcule: (b) a corrente de condução (ic) por ci = Cdv/dt ; (c) a corrente de deslocamento (id) por 2 d d r d i J S J 4 r = = π . (d) Comentar a respeito dos dois valores de corrente obtidos. Resp.: (a) 0,9457 [pF]; (b) 7 ci 7,09 10 cos5000t [A] − = × ; (c) 7 di 7,09 10 cos5000t [A] − = × . (d) Os dois valores de corrente são iguais, como deveria ser esperado. ELETROMAGNETISMO: Capítulo IX – Campos Variáveis no Tempo e Equações de Maxwell 3 12) A região entre os trilhos da figura abaixo apresenta um campo uniforme 2 B = 0,15 Wb/m . A barra móvel se desloca para a direita com uma velocidade constante de 8 m/s e contém um voltímetro cuja resistência é alta, porém não é infinita. Determine a leitura no voltímetro quando a barra está em x = 5 m se: (a) os trilhos estiverem com as extremidades abertas conforme mostra a figura; (b) a extremidade x = 0 for curto-circuitada; (c) ambas as extremidades forem curto-circuitadas. Resp.: (a) 0; (b) 0,24 V; (c) 0,24 V. 13) Calcule a razão entre as amplitudes das densidades de corrente de condução e de deslocamento para o campo elétrico 0 E = E cosωt V/mno: (a) cobre, 7 σ = 5,8 × 10 S/m , 0 ε=ε , ω = 1.000 rad/s ; (b) água destilada, -4 R σ = 2 × 10 S/m, ε = 80, ω = 1.000 rad/s ; (c) polestireno, -16 R σ = 10 S/m, ε = 2,53, ω = 1.000 rad/s. Resp.: (a) 15 6,5506 × 10 ; (b) 282,3523; (c) 9 4,4641 × 10− . 14) A densidade de corrente de deslocamento é dada por 2 x 2 cos ( t - 5z) a A/m ω  µ em um material para o qual σ = 0 , 0 0 ε = 4ε e μ = 5μ . (a) Use a definição da densidade de corrente de deslocamento para encontrar D e E   . (b) Agora utilize a forma pontual da Lei de Faraday e uma integração no tempo, para encontrar B e H   . (c) Finalmente, utilize a forma pontual da lei circuital de Ampère para achar a densidade de corrente de deslocamento. Qual deve ser o valor de ω? Resp.: (a) -6 2 x (2 × 10 / ) sen ( t - 5z) a C/m ω ω  , -6 0 x (2 10 /4 ) sen ( t - 5z) a V/m × ε ω ω  ; (b) -5 2 2 0 y (10 /4 ε ω ) sen ( t - 5z) a Wb/m ω  , -6 2 0 0 y (10 /2 µ ε ω ) sen ( t - 5z) a A/m ω  ; (c) -6 2 2 0 0 x (2,5 10 /2 ) cos ( t - 5z) a A/m , 335 Mrad/s × µ ε ω ω  . 15) Sendo 4x - kt y E = 200e a V/m   no vácuo, use as equações de Maxwell para encontrar k e H  , sabendo que todos os campos variam com - kt e . Resp.: 8 -1 11,9917 × 10 s ; 8 (4x - 11,9917 10 t) z 0,5309e a A/m ×  . 16) O campo magnético próximo ao motor de um secador de cabelos varia senoidalmente com uma freqüência de 60 Hz. (a) Mostre que a expressão simples 2 x B = cos 2π60t a Wb/m   não satisfaz às equações de Maxwell no ar. (b) Ache o valor de k sabendo que 2 x B = cos( 2π60t - ky)a Wb/m   satisfaz às equações de Maxwell. Resp.: (a) Mostre que E B / t E f (t) ∇× = −∂ ∂ ⇒ =    e que H J D / t D f (t) ∇× = + ∂ ∂ ⇒ ≠     . Isto não é possível observando a relação 0 D = ε E . (b) -6 1,257 × 10 rad/m . ELETROMAGNETISMO: Capítulo IX – Campos Variáveis no Tempo e Equações de Maxwell 4 17) O campo elétrico na origem é dado por x y z 2a - 10a + 3a V/m    em t = 0. (a) Se a origem pertence a uma superfície condutora perfeita, enquanto que para o material adjacente à origem R R ε = 10, μ = 2 e σ = 0 , ache o módulo da densidade superficial de carga na origem em t = 0; (b) Se R R ε = 8, μ = 3 e σ = 0 para x ≤ 0 , enquanto que R R ε = 3, μ = 8 e σ = 0 para x > 0, ache E  em t = 0 no ponto + (0 , 0, 0) . Resp.: (a) 2 941,19 pC/m ; (b) 11,72 V/m. 18) Sejam R R1 1 ε = 1, μ = 1 e σ = 0 na região 1 (z < 0), enquanto que R2 R2 2 ε = 5, μ = 20 e σ = 0 na região 2 (z > 0). Sabendo que o campo elétrico na região 1 é 8 8 1 x E = [60cos(15 10 t - 5z) + 20cos (15 10 t + 5z)]a V/m × ×   , e que na região 2, 8 2 x E = Acos(15 × 10 t - 50z)a V/m   , determine: (a) A; (b) H1  ; (c) H2  . (d) Mostre que H1  e H2  satisfazem às condições de contorno necessárias em z = 0. Resp.: (a) 80 V/m ; (b) 8 8 y [0,15938 cos(15 10 t - 5z) - 0,05312 cos (15 10 t + 5z)]a A/m × ×  ; (c) 8 y 0,10625 cos(15 × 10 t - 50z)a A/m  ; (d) t1 t2 H = H . 19) Temos superfícies condutoras perfeitas localizadas em ρ = 5 mm, ρ = 20 mm , z = 0 e z = 50 cm (coordenadas cilíndricas). A região envolvida é um dielétrico para o qual R ε = 2,25 , R μ = 1 , σ = 0 . Nesta região, 8 H = (2/ ) cos 2πz cos 4π 10 ta A/m φ ρ   . Determine: (a) a densidade superficial de corrente em ρ = 5 mm , = 0, z = 5 cm φ ; (b) E  ; (c) a densidade superficial de carga em ρ = 20 mm , φ = π/2, z = 25 cm ; (d) a densidade de corrente de deslocamento em ρ = 10 mm , = 0,2π, z = 25 cm φ . Resp.: (a) 8 z 380,4194 cos 4π10 ta A/m  ; (b) 8 (502,6548/ ) sen 2πz sen 4π10 ta V/m ρ ρ  ; (c) -7 8 2 5,0069 × 10 sen 4π10 t C/m ; (d) 8 1258 cos 4π10 ta A/m2 ρ  . 20) O campo elétrico no interior de uma linha de transmissão em forma de duas lâminas condutoras muito longas e de pequena largura, pode ser considerado como sendo dado por 5 9 y E = -10 cos (10 t - 4z) a V/m   . Determinar: (a) A (x, y, z, t) se A (x, 0,z, t)   = 0; (b) V(x, y, z, t) se V(x, 0, z, t) = 0. Resp.: (a) 9 z 400,554y cos (10 t - 4z)a Wb/m  µ ; (b) 5 9 10 y cos (10 t - 4z) V . 21) Dentro de um círculo de r = 8 cm, z = 0, a densidade de fluxo magnético é dada muito aproximadamente por -3 2 z (10 / ) cos(120πt)a Wb/m ρ  . (a) Encontre Eφ no círculo. (b) Que corrente este fluxo estabelecerá em um filamento circular condutor, tendo resistência total 10Ω ? (c) Qual a amplitude da densidade de fluxo magnético que esta corrente estabelece no centro da espira? Resp.: (a) 376,99 sen(120πt) mV/m; (b) 18,9496 sen(120πt) mA ; (c) -7 2 1,488 × 10 Wb/m . 22) Que valores de A e β são necessários se dois campos 6 y E = 120π cos(10 πt - x)a V/m β   e 6 z H = A cos(10 πt - x)a A/m β   satisfazem às equações de Maxwell em um meio linear, isotrópico, homogêneo, onde R R 4 e 0 ε = µ = σ = ? ELETROMAGNETISMO: Capítulo IX – Campos Variáveis no Tempo e Equações de Maxwell 5 Resp.: 1,0006923 A/m; 0,041917 rad/m. 23) O ponto (1, -6, 4) pertence à fronteira entre a região 1, R1 R1 1 ε = 2, μ = 3, σ = 0 e a região 2, R2 R2 2 ε = 4, μ = 1,5 e σ = 0. Se 6 1 x y z H = (120a + 60a -80 a ) cos10 πt A/m     , encontre B2  . O vetor 12 x y R = - 4a + 3a + az     , é dirigido da região 1 para a região 2, sendo normal a fronteira. Resp.: 6 0 x y z µ (267,69a + 24,23a - 141,92 a ) cos10 πt Wb/m    . 24) Para z < 0, temos R1 R1 1 ε = 8, μ = 2, σ = 0 , enquanto z > 0 é um condutor perfeito. Se 8 x E = 200π sen 10 πt sen za V/m β   , para z < 0: (a) Use a forma diferencial das equações de Maxwell para encontrar β . (b) Que corrente superficial existe em z = 0? Resp.: (a) 4,1917 rad/m ; (b) 8 y 3,3356 cos 10 πta A/m  . 25) Próximo a um eixo de um sistema de coordenadas cilíndricas, a densidade de fluxo magnético é dada, muito aproximadamente por 2 z B = (1/ ) cos(5000t) a Wb/m ρ   . Encontre a fem desenvolvida em um percurso circular quando seu raio for ρ0 = 2 cm se o raio está crescendo linearmente a uma razão de 500m/s. Resp.: = −2954,1423 V em t = 40 s µ fem (o sinal negativo indica sentido aφ −  ). 26) Uma fonte de voltagem 0 V sen ωt foi conectada entre dois condutores cilíndricos coaxiais ρ = a e ρ = b, b > a, de comprimento L, sendo que a região entre eles foi preenchida com um material para o qual R 0 0 ε = ε ε , μ = μ e σ = 0. Encontre a corrente de deslocamento total e compare-a com a corrente da fonte. Resp.: d 0 fonte d i = 2π L V cos t / ln(b/a); i = Cdv/dt = i ε ω ω como esperado. 27) A densidade de fluxo magnético -6 6 2 y B = 10 cos 10 tcos 5za Wb/m   existe em um meio linear homogêneo e isotrópico, caracterizado por ε e μ . Encontre a densidade de corrente de deslocamento e o valor do produto µε . Resp.: 5 6 -6 6 2 x x (2 10 ) cos10 t sen 5za = (5 10 / ) cos10 t sen 5za A/m × ε × µ   , με = 25 × 10-12 . 28) Se 9 E = (100/ ) sen az cos 10 t a V/m ρ ρ   no espaço livre, encontre H  e a constante “a”. Resp.: 9 H = - (0,2654/ ) cos az sen10 t a A/m; a = 3,33564 m-1 φ ρ   29) Para um meio não condutor no qual R R ε = 8 e μ = 2, considera-se que 3 -1000t y H = 5x e a A/m   . (a) Use as equações de Maxwell para determinar as duas diferentes formas de E  . (b) Se o pesquisador estiver analisando um circuito magnético, que E  estaria sendo usado? Resp.: (a) -3 4 -1000t 7 2 -1000t z z - 10 x e a V/m; - 2,1176 10 x e a V/m π ×   ; (b) a primeira forma, a partir de B E t ∂ ∇× = − ∂    , pois a segunda forma, D H t ∂ ∇× = ∂    , considera H  sendo produzido por corrente de deslocamento ELETROMAGNETISMO: Capítulo IX – Campos Variáveis no Tempo e Equações de Maxwell 6 30) Se a região x < 0 for o material para o qual R R ε = 12,5 e μ = 2 e σ = 0 e um condutor perfeito estiver presente para x > 0, encontre o vetor densidade superficial de corrente e a densidade superficial de carga se x E = 2a cos 500t V/m   e y z H = (0,005a + 0,006a ) cos 500t A/m    em - x = 0 , y = 0, z = 0. Resp.: 2 y z (0,006a - 0,005a ) cos500t A/m; - 0,2214 cos500t nC/m   . 31) Dado 8 z H 300cos(3.10 t y)a = −   [A/m] no espaço livre, encontre a Fem gerada na direção aφ  no caminho fechado com vértices em (a) (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), e (0, 1, 0); (b) (0, 0, 0) (2π, 0, 0), (2π, 2π, 0), e (0, 2π, 0). Resp.: (a) ( ) ( ) 5 8 8 1,131.10 cos 3.10 t 1 cos 3.10 t   − − −   [V]; (b) 0 32) Uma espira filamentar quadrada de 25 cm de lado tem uma resistência de 125 Ω por unidade de comprimento. A espira está no plano z = 0 e com vértices em (0, 0, 0), (0,25; 0; 0), (0,25; 0,25; 0), e (0; 0,25; 0) em t = 0. Ela se move com velocidade vy = 50 m/s no campo ( ) 8 Bz 8cos 1,5.10 t 0,5x = − μT. Desenvolva uma função do tempo que expresse a potência dissipada por efeito Joule na espira. Resp.: ( ) ( ) 2 8 8 P(t) 2880 cos 1,5.10 t 0,125 cos 1,5.10 t   = − −   [W]. 33) Considere a região definida por |x|, |y|, |z| < 1. Seja R 5 ε = , R 4 µ = , e σ = 0 . Se ( ) 8 2 d y J 20cos 1,5.10 t bx a A / m = − µ   , (a) encontre D  e E  ; (b) use a forma pontual da lei de Faraday e a integral com relação ao tempo para encontrar B  e H  ; (c) use d H J J ∇× = +     para encontrar dJ  . (d) Qual o valor numérico de b? Resp.: (a) ( ) 13 8 y D 1,33.10 sen 1,5.10 t bx a − = −   [C/m2] ( ) 3 8 y E 3.10 sen 1,5.10 t bx a − = −   [V/m]; (b) ( ) 11 8 z B 2b.10 sen 1,5.10 t bx a − = −   [T] ( ) 6 8 z H 4b.10 sen 1,5.10 t bx a − = −   [A/m]; (c) ( ) 2 6 8 y 4b .10 cos 1,5.10 t bx a − −  [A/m2]; (d) -1 5 m . 34) Deduza a Equação da Continuidade através das equações de Maxwell Resp.: Demonstração. 35) (a) No espaço livre, junto a uma superfície condutora perfeita temos os campos de uma onda eletromagnética expressos por: E = 8 [V/m] e H = 2,8⋅10-3 [A/m]. Determinar os valores das densidades de carga e de corrente na superfície do condutor. (b) Em uma certa região do espaço livre o campo elétrico vale ( ) ( ) 0 x E(t) E sen z cos t a = β ω   . (b.1) Determinar 2 expressões para H(t)  nesta região partindo das equações de Maxwell; (b.2) A partir destas 2 expressões de H(t)  , calcular também o valor numérico de ω/β. Resp.: (a) S 8 0 ρ = ε [C/m2]; K = 2,8.10-3 [A/m]; (b1) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 y y 0 E E H cos z sen t a cos z sen t a β ε ω = − β ω = − β ω µ ω β    ; (b2) 0 0 1 c ω = = β µ ε (velocidade da luz no vácuo). ELETROMAGNETISMO: Capítulo IX – Campos Variáveis no Tempo e Equações de Maxwell 7 36) A intensidade do campo elétrico na região 0 x 5 < < , 0 y 12 π < < , 0 z 0,06 < < no espaço livre é dada por ( ) ( ) ( ) 10 x E = Csen 12y sen az cos 2.10 t a   [V/m]. Partindo de ∇× E   , use as equações de Maxwell para encontrar um valor numérico para "a", sabendo que este é maior que zero. Resp.: 1 65,625 m− . 37) O potencial vetor magnético é dado como ( ) 0 y A A cos t kz a = ω −   . (a) Assumindo o máximo possível de componentes como zero, encontre H  e E  . (b) Especifique "k" em termos de 0 A , ω, e as constantes de perdas do meio, ε e µ e determine V. Resp.: (a) ( ) 0 x kA H sen t kz a = − ω − µ   [A/m], ( ) 2 0 y k A E sen t kz a = ω − ωµε   [V/m]; (c) k = ω µε , V = 0. 38) Em um meio sem fontes, no qual J = 0  e V 0 ρ = , assuma um sistema de coordenadas retangulares no qual E  e H  são funções apenas de z e t. O meio tem permissividade ε e permeabilidade µ. (a) Se x x E = E a   e y y H = H a   , partindo das equações de Maxwell, determine a equação diferencial parcial de segunda ordem que x E deve satisfazer. (b) Mostre que ( ) x 0 E E cos t z = ω − β é uma solução dessa equação para um valor particular de β . (c) Encontre β em função dos parâmetros dados. Resp.: (a) 2 2 x x 2 2 E E z t ∂ = µε ∂ ∂ ∂ ; (b) Demonstração; (c) β = ω µε . 39) Na região 1, z < 0 , 11 1 ε = 2.10− , 6 1 µ = 2.10− , e 3 1 σ = 4.10− ; na região 2, z > 0 , 1 2 2 ε = ε , 2 2 1 µ = µ , e 1 2 4 σ = σ . Sabe-se que ( ) ( ) 9 1 x y z E 30a 20a 10a cos 10 t = + +     [V/m] em P1(0 ,0 ,0−). (a) Encontre EN1  , ET1  , DN1  , e DT1  em P1. (b) Encontre JN1  e JT1  em P1. (c) Encontre ET2  , DT2  , e JT2  em P2(0 ,0 ,0+). (d) Use a equação da continuidade para ajudar a mostrar que N2 N1 N1 N2 D D J J t t ∂ ∂ − = − ∂ ∂     e determine DN2  , JN2  , e EN2  . Resp.: (a) ( ) 9 N1 z E =10cos 10 t a   , ( ) ( ) 9 T1 x y E 30a 20a cos 10 t = +    , ( ) 10 9 N1 z D 2.10 cos 10 t a − =   , ( ) ( ) 10 9 T1 x y D 10 6a 4a cos 10 t − = +    ; (b) ( ) 2 9 N1 z J 4.10 − cos 10 t a =   , ( ) ( ) 9 T1 x y J 0,12a 0,08a cos 10 t = +    (c) ( ) ( ) 9 T2 x y E 30a 20a cos 10 t = +    , ( ) ( ) 10 9 T2 x y D 10 3a 2a cos 10 t − = +    , ( ) ( ) 9 T2 x y J 0,03a 0,02a cos 10 t = +    ; (d) Demonstração, ( ) 9 N2 z E 20,295cos 10 t 5,599 a = + °   , ( ) 12 9 N2 z D 202,95.10 cos 10 t 5,599 a − = + °   , ( ) 9 N2 z J ,020295cos 10 t 5,599 a = + °   40) (a) Partindo da lei de Ampère, obtenha a equação de Maxwell na forma integral baseada nesta lei. (b) Obtenha a relação pontual ou diferencial correspondente. Resp.: Demonstração. (a) \vec{B} = \left(\frac{10^3}{r}\right) \cos(120 \pi t) \vec{a}_z Como sabemos das eq. de Maxwell: \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial B}{\partial t} Considerando que \vec{E} = E \vec{a}_\phi (sem componentes \vec{a}_r e \vec{a}_z para gerar o \vec{B}): \begin{vmatrix} \vec{a}_r & \vec{a}_\phi & \vec{a}_z \\ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} & \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & rE & 0 \end{vmatrix} = -\frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{10^3}{r} \cos(120 \pi t)\right) \vec{a}_z \Rightarrow \frac{1}{r} \vec{a}_z \frac{\partial}{\partial r} (rE) = -10^3 \left(-\sin(120 \pi t) \cdot 120 \pi\right) \vec{a}_z \Rightarrow \frac{\partial}{\partial r} (rE) = 10^3 \sin(120 \pi t) \cdot 120 \pi rE = r \cdot 10^3 \sin(120 \pi t) \cdot 120 \pi E = 120 \pi \sin(120 \pi t) \cdot 10^3 \frac{V}{m} \vec{E}_r = 376,99 \sin(120 \pi t) \vec{a}_\phi \frac{mV}{m} (b) Sabemos que a \mathcal{E}_{\text{ind}} = -\frac{d \Phi_B}{dt} \Phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{A} = \int^{2\pi}_0 \int^{0,08}_0 \frac{10^3}{r} \cos(120 \pi t) \cdot r \cdot d\phi \Phi_B = 2 \pi \cdot 10^3 \cdot 9,08 \cdot \cos(120 \pi t) \mathcal{E}_{\text{ind}} = -\frac{d \Phi_B}{dt} = +9,16 \cdot 120 \pi \cdot 2 \cdot 10^3 \cdot \sin(120 \pi t) Da 1^a Lei de Ohm: i = \frac{\mathcal{E}_r}{R} = 0,16 \cdot 127 \cdot \sin(120 \pi t) \cdot 10^3 i = 18,9496 \sin(120 \pi t) \text{ m A} (c) Sendo uma espira circular sabemos que B = \frac{\mu i}{2r} \Rightarrow B = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 18,9496 \sin(120\pi t) \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 8 \cdot 10^{-2}} B_{\text{max}} = \frac{4\pi \cdot 18,9496 \cdot 10^{-3}}{16 \cdot 10^{-2}} = 1,488 \cdot 10^{-7} \frac{Wb}{m^2} (2) Pelas equações de Maxwell: \mu_R = \frac{\mu}{\mu_0} \quad \text{e} \quad \varepsilon_R = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \nabla \times \vec{E} = \begin{vmatrix} \vec{a}_x & \vec{a}_y & \vec{a}_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & E_y & 0 \end{vmatrix} = \frac{2x}{zx} \left(120\pi \cos(10^6\pi t - \beta x) \vec{a}_z \right) = \frac{2}{\partial z} \left[ \vec{E}_z \right] \nabla \times \vec{E} = 120\pi \sin(10^6\pi t - \beta x) \beta \vec{a}_x -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -\mu \mathcal{A} \left[ \cos(10^6\pi t - \beta x) \vec{a}_z \right] + \mu \mathcal{A} \cdot 10^6\pi \sin(10^6\pi t - \beta x) \vec{a}_z \\ \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \Rightarrow \mathcal{A} \cdot 10^6\pi = 120\pi \rho A = \frac{12\beta}{10^5\mu} (I) \nabla \times \vec{H} = \varepsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \Rightarrow -A \sin(10^6\pi t - \beta x) \beta \vec{a}_x = \varepsilon \cdot 120\pi \cdot 10^6\pi \sin(10^6\pi t - \beta x) \vec{a}_y \\ A \beta = \varepsilon \cdot 12\pi^2 \cdot 10^7 (II) (I) \Rightarrow (II) \Rightarrow \frac{12\beta^2}{10^5\mu} = \varepsilon \cdot 12\pi^2 \cdot 10^7 \Rightarrow \beta = \sqrt{\mu \varepsilon} \cdot 10^6\pi \sqrt{\varepsilon \mu} \Rightarrow \beta = \sqrt{4\mu \cdot 4\varepsilon_0} \cdot 10^6\pi \beta = \frac{4\pi \cdot 10^6}{c} = 0,0419 \frac{rad}{m} \quad \text{e} A = \frac{12 \beta}{10^5\mu} = 12 \cdot 0,0419 = 41,000629 \frac{A}{m} \text{A diferença do gabarito é devida ao valor de "c" utilizado} (23) Devemos utilizar as condições de contorno para campos magnéticos: μ1H⃗1n − μ2H⃗2n = 0 ∴ H⃗2n = μ1 μ0/μ2R^2/|R12|² (H⃗1, R⃗12) = 2 (−480 + 180 − 80)/26 (−4a⃗x + 3a⃗y + a⃗z)cos(10⁶πt); H⃗2n = −26,23 cos(10⁶πt)(−4a⃗x + 3a⃗y + a⃗z) H⃗2t − H⃗1t = K′ × n⃗ = 0 (não há corrente superficial): H⃗2t = H⃗1t − H⃗1n H⃗2t = (120a⃗x + 60a⃗y + 80a⃗z)(cos(10⁶πt) − 1/2 (−26,23 cos(10⁶πt)) (−4a⃗x + 3a⃗y + a⃗z)) H⃗2t = (67,54a⃗x + 99,35a⃗y + 66,89a⃗z)cos(10⁶πt) H⃗2 = H⃗2n + H⃗2t = (172,46a⃗x + 20,66a⃗y − 93,12a⃗z)cos(10⁶πt) B⃗2 = μ1H⃗2 = 1,5 μ0 H⃗2 B⃗2 = μ0(258,69a⃗x + 30,99a⃗y − 139,64a⃗z)cos(10⁶πt) (24) Em z ≥ 0: E⃗ = 0 (condu tor perfeito) (a) ∇⃗ × E⃗ = −∂B⃗/∂t: | a⃗x a⃗y a⃗z | | ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z | | Ex 0 0 | = 200πsen(10⁸πt)cos(ρz)βa⃗y = −∂E⃗/∂t: B⃗ = 200π/10⁸π (cos(10⁸πt)cos(ρz)βa⃗y) B⃗ = 2⋅10⁶cos(10⁸πt)cos(ρz)ρa⃗y ∇⃗ × B⃗ = μ ([∣]j0 + ε∂E⃗/∂t): + 2⋅10⁶cos(10⁸πt) sen(ρz)ρ²a⃗x = 16μεϵ300πsen(ρz)cos(10⁸πt)10⁸πa⃗x ⋅ 10⁸a⃗x 2⋅10⁶β² = 16⋅2⋅10⋅4⋅108π² 2 β=4⋅108π/c = 4,1888 rad/m (b) Pelas condições de contorno: σ(perfeitamente condutor) = : H⃗2t − H⃗1t = K′ × n⃗ −H⃗1n = H⃗2n = H⃗ ′2 − B⃗ 1 = 1/μ1 = 2(−2⋅10⁶cos(10⁸πt)ρa⃗y)/2⋅4π ⋅10⁷ H⃗ ′2 = −3,3333 cos(10⁸πt)a⃗y A/m (25) Eind = −dΦB/dt , Altinge p=2πr em t=40μs ΦB = ∫ B⃗ ⋅dA⃗ => ΦB = ∫ 0⁰²π∫ p1| P⃗ |cos(5000t'; t)2p/c p(p1) ΦB = 2πcos(5000t)p Eind = −dΦ/dt = −2π(dP'₁/dt) cos(5000t) − p sen(5000t).5000p → Eind = −2π(500cos(θ),2) − 0,02.5000 sen(θ,2) = −2954,1423Vnew ⇒t=40μs (26) Temas formado um capacitor. ψd = ∫ βd⋅dA⃗ => Фxd = ∫ Е (L1, T(RT,X)dT) = − Precisamos então de E⃗ dentro do cilindro: ∫ E⃗⋅dA⃗ = Q/ε => E(2πrL)=Q/ε => E = Q/2πεL ⋅1/r Sabemos que para o capacitor cilíndrico: C=2πεL/ln(b/a) Q=C⋅V => E(t)=2πεL⋅Vosen(ωt)⋅1/ln(b/a) = Vosen(ωt)/ln(b/a)r ∂B⃗/∂t = Voεωtcos(ωt)/ln(b/a)r ψd=/2πεL Vo cos(ω(res))/(π/) = ∫nd/a)ln( ) + ) res)cos() i_{fonte} = C \frac{dV}{dt} = \frac{2 \pi \varepsilon L}{\ln (b/a)} \frac{d}{dt} (V_0 \sin (\omega t)) = \frac{2 \pi \varepsilon L \omega V_0 \cos (\omega t)}{\ln (b/a)} = i_d.\quad\therefore\\ i_{fonte} = i_d\,(esperado)\\ (27)\\ \nabla \times \vec{B} = \mu \vec{J_d}:\\ \begin{vmatrix} \alpha_x & \alpha_y & \alpha_z \\ \partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\ 0 & B_y & 0 \\ \end{vmatrix} = -10^{-6} \cos(10^6 t) \sin(5z) . 5 . \alpha_x: \\ \vec{J_d} = \frac{-5.10^{-6} \cos(10^6 t) \sin(5z) \alpha_x}{\mu}\\\nSabemos que \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \neq \vec{J_{fd}} \\ \frac{\vec{E}}{\mu \varepsilon} = \frac{-5.10^{-6} \sin(5z) \sin(10^6 t) \alpha_x}{10^6}\\ E = \frac{5 . 10^{-12} \sin(10^6 t) \sin(5z) \alpha_x}{\mu \varepsilon}\\\nPodemos, então utilizar a Lei de Faraday para encontrar \mu \varepsilon:\\ \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\ \frac{25.10^{-12} \sin(10^6 t) \cos(5z) \alpha_y}{\mu \varepsilon} = +\sin(10^6 t) \cos(5z) \alpha_y \Therefore: \\ \boxed{\mu \varepsilon = 25 . 10^{-12}} (28)\\ \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}:\\ \begin{vmatrix} r_\rho & p \alpha_\phi & \alpha_z \\ \partial / \partial \rho & \partial / \partial \phi & \partial / \partial z \\ \varepsilon_\Phi & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} = \frac{1}{p} \left(\frac{100}{p} \cos(10^3 t) \cos(\alpha_z) \alpha_\Phi\right):\\ -\frac{\partial^2}{\partial t} = \frac{100 \alpha \cos(\alpha_z) \cos(10^6 t) \alpha_\phi}{p}:\\ \vec{B} = \frac{-100 \alpha \cos(\alpha_z) \sin(10^9 t) \alpha_\phi}{10^9}\\ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E^2}}{\partial t}: \\ \begin{vmatrix}\nr_\rho & p \alpha_\phi & \alpha_z \\ \partial / \partial \rho & \partial / \partial \phi & \partial / \partial z \\ 0 & p \varepsilon_\phi & 0 \\ \end{vmatrix} = \frac{1}{p} \left(\frac{+100 \alpha \sin(10^9 t) \sin(\alpha_z) \alpha_\phi}{10^9}\right):\\ -10^{-7} x^2 \sin(10^9 t) \sin(\alpha_z) \alpha_p: = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{100 \sin(\alpha_z) \sin(10^9 t) y^9 \vec{\alpha_p}}{p}: \\ 15^{-7} \alpha^2 = \mu_0 \varepsilon_0 \cdot 10^{11} \Rightarrow \alpha = \frac{10^9}{c} \cong 3.33333 \text{m}^{-1}\\ \vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} = \frac{-100.3.33333 \sin(10^9 t) \cos(\alpha_z) \vec{\alpha_\phi}}{p 10^9.4\pi.10^7}\\ \vec{H^2} = \frac{-9,02653 \cos(\alpha_z) \sin(10^9 t) \alpha_\phi}{p} (29) (a)\\ 1. \nabla \times \vec{H} = \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = \\ \begin{vmatrix} \alpha_x & \alpha_y & \alpha_z \\ \partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\ 0 & H_y & 0 \\ \end{vmatrix} = \frac{\partial H_y \vec{\alpha_z}}{\partial x} - \frac{\partial H_y \vec{\alpha_x}}{\partial z} = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}:\\ \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} = 3 e^{-1000t} :\begin{vmatrix}x^2\alpha_z\end{vmatrix} \\ \vec{D} = \frac{-1.5 x^2 e^{-1000t} \alpha_{z}}{10^3}: = -15.10^3 x^2 e^{-1000t} \vec{\alpha_z} \\ \vec{E} = \frac{-15.x^{-3}.x^2 e^{-1000t} \vec{\alpha_{z}}}{8\varepsilon_0}: =\\ \vec{E_1} = \frac{-15\cdot10^9 x^2 e^{-1000t} \alpha_z: = -21186 \cdot 10^8 x^2 e^{-1000t} \alpha_z}{8.854} \\ \Rightarrow \rm V/m\\ 2. \nabla\times\vec{E} = \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (N S x^3 e^{-1000t} \vec{\alpha_y}): \\ \nabla \times \vec{E} = -2.411.10^{-7}.5.x^3.(-10^3) e^{-1000t} \vec{\alpha_y}: \\ \supocando \vec{E} = E \vec{\alpha_y} \Rightarrow \\ \frac{-2E \vec{\alpha_y}}{\partial x} = +4\pi.10^{-3} x^3 e^{-1000t} \alpha_y : \\ E = -9 \pi \cdot x^4 e^{-1000t} \alpha_z \\ \Therefore \vec{E_2} = \frac{-\cdot x^4 e^{-1000t} \alpha_z}{10^{-3} \pi} \\ \box(113.333\\ (b) Era corrigo usado \vec{E_z}, pois o que teríamos era variação de \nfluxo magético, o partir da eq. \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} (30) Já fizemos ex parecido e procederemos da mesma forma 1º Perceba que o vetor normal é a_x 2º Veja que H^L a_x e E^// a_x 3º Equações/Condições de contorno: o (condutor perfeito) : (H2 - H1)/tₙ = K x n H1 = -H x n => => H^ n x H1 = P. n = -a_x x (9,905 a_y + 0,006 a_z) cos(500t) n = (0,006 a_y - 0,005 a_z) cos(500t) A/m (D2 - D1).n = V -eE1.a_x = V V = -12 s. 8,85.10^-12 2 cos(500t) V = -0,22125 cos(500t) n^2 Digitalizado com CamScanner