Aplicação de Derivadas: Problemas de Otimização - MAT 146 Cálculo I

Aplicação de derivadas MAT 146 Cálculo I Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos Universidade Federal de Viçosa CCE Departamento de Matemática Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Aplicação de derivadas 1 Aplicação de derivadas Problemas de Otimização Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Aplicação de derivadas Problemas de Otimização Nesta parte do conteúdo não se apresenta nenhuma teoria nova A diculdade é aprender a modelar os problemas matematicamente Os problemas se dividem na fase de Modelagem e de Resolução Na fase de Modelagem as respostas devem ser do tipo maximize ou minimize a função f x em R ou no intervalo a b ou a b ou 0 etc A parte de Resolução recai no conteúdo visto anteriormente onde aprendemos a determinar o máximomínimo de uma função num intervalo Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Aplicação de derivadas Problemas de Otimização Modele o seguinte problema e depois resolvao Exemplo Determine as dimensões do retângulo com área A 0 que possui o menor perímetro Solução Modelagem Considere x e y como as dimensões do retângulo Então queremos minimizar o perímetro p 2x 2y Como são duas variáveis utilizamos a restrição A xy para eliminar uma delas Assim y Ax Logo queremos o mínimo de px 2x 2Ax Note que x pode variar entre 0 e mas não pode ser zero Assim queremos o mínimo de px 2x 2Ax para x 0 Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Aplicação de derivadas Problemas de Otimização Resolução Como px 2 2Ax2 o número crítico é x0 A Como lim x0 px e lim x px este ponto é de mínimo em 0 Se x0 A como A x0y0 Ay0 então y0 A Como x0 y0 A concluímos que o retângulo com menor perímetro é o quadrado Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Aplicação de derivadas Problemas de Otimização Exemplo Com 80 metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma região retangular junto a um rio para connar alguns animais O lado da região retangular junto à margem do rio não é cercado Quais devem ser as medidas em metros da região para que a área cercada seja a maior possível Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Aplicação de derivadas Problemas de Otimização Solução Primeiramente fazemos uma ilustração do que deve ser feito Chamaremos de x a largura da região retangular Como a quantidade de arame utilizada deve ser de 80 metros devemos ter o outro lado do retângulo igual a 80 2x uma vez que a margem do rio não deve ser cercada Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Aplicação de derivadas Problemas de Otimização O objetivo é ter área máxima ou seja devemos maximizar a função que representa a área do cercado que é dada por Ax x80 2x 80x 2x2 0 x 40 O domínio em questão são os valores da variável x que fazem sentido a modelagem do problema Vamos utilizar as técnicas estudadas até aqui para resolver tal problema Primeiramente devemos encontrar os pontos crítico de A Como A é derivável os pontos críticos correspondem aos pontos que resolvem Ax 0 no intervalo 040 Ax 0 80 4x 0 x 20 Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Aplicação de derivadas Problemas de Otimização Para encontrar a área máxima basta comparar o valor da função A no ponto crítico encontrado e nos extremos do intervalo 0 40 Assim A0 0 A40 0 A20 800 Desta forma a largura do cercado deve ser de 20m e o comprimento deve ser de 40m Neste caso a área obtida é máxima e tem valor 800m2 Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Aplicação de derivadas Problemas de Otimização O gráco abaixo ilustra a área da região em função da largura do terreno Observase que a função área A atinge seu máximo em x 20 como havíamos encontrado anteriormente Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Aplicação de derivadas Problemas de Otimização Exemplo Quadrados iguais são cortados dos cantos de uma folha de papelão retangular medindo 30cm de largura e 50cm de comprimento As abas que sobram são então dobradas para cima de modo a formar uma caixa sem tampa Quanto deve ser a medida x em cm dos lados dos quadrados retirados para que o volume da caixa seja o maior possível Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Aplicação de derivadas Problemas de Otimização Solução A gura abaixo ilustra a situação Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Aplicação de derivadas Problemas de Otimização A modelagem do problema acima é dada pela fórmula V x 50 2x30 2xx 4x3 160x2 1500x 0 x 15 Os extremos do intervalo de denição da função V não fazem sentido prático mas serão considerados para garantir que a função V possua um máximo global neste intervalo uma vez que a função é contínua em 0 15 Os pontos crítico de V no intervalo aberto 0 15 são pontos tais que V x 0 uma vez que a função é derivável Assim V x 0 12x2 320x 1500 0 3x2 80x 375 0 x 80 1900 6 x 405 19 3 Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I 40 519 Ls Consideraremos somente x 37 Pois 0 Unico ponto critico no intervalo que estamos interessados em otimizar a funcdo V Para encontrar o maior volume possivel devemos comparar o valor de V neste ponto critico e nos extremos do intervalo Dai como V00 V150 e 40 5vV19 Vv 0 3 o maior volume é atingido quando retiramos nos cantos um 40 519 quadrado de lado medindo x e o volume maximo 40 5V19 sera V 3 Aplicação de derivadas Problemas de Otimização Exemplo Pretendese estender um cabo de uma usina de forca à margem de rio de 9m de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio 30m rio abaixo O custo para estender um cabo pelo rio é de R5 00 o metro enquanto que para estendêlo por terra custa R4 00 o metro Qual é o percurso mais econômico possível Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Aplicação de derivadas Problemas de Otimização Solução A gura abaixo ilustra a situação Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Devemos minimizar o custo total da obra Considere o ponto A como sendo o ponto mais préximo da fabrica localizado na margem oposta do rio Seja B o ponto localizado na margem do rio do mesmo lado da usina onde sera feita a transido entre o cabo por terra e o cabo por agua Seja x a distancia entre Ae B Assim estenderemos 30 x metros de cabo por terra e x2 81 metros de cabo sobre o rio Assim 0 custo total é dado por cx 4 30 x 5Vx81 0x 30 Queremos minimizar o custo de instalacdo da rede ou seja queremos minimizar a funcao c Como a funcdo c é derivavel em 0 30 para encontrar os pontos criticos neste intervalo devemos resolver cx 0 Para isso observe que 5 c x 4 2x 2Vx2 81 5x 44 Vx 81 Aplicação de derivadas Problemas de Otimização Daí cx 0 5x x2 81 4 25x2 x2 81 16 x2 144 x 12 O valor x 12 é descartado uma vez que não faz parte do domínio da função c e não faz sentido prático Agora basta comparar os valores de c em x 0 x 12 e x 30 Desta forma c0 165 c12 147 e c30 15 109 150 Logo o menor custo é obtido quando estendemos o cabo por terra por uma distância de 18 metros e o restante pelo rio e o custo mínimo é de c12 147 reais Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Aplicação de derivadas Problemas de Otimização Exemplo Um recipiente cilíndrico aberto em cima deve ter a capacidade de 375πcm3 O custo do material usado para a base do recipiente é de R0 15 por cm2 e o custo do material usado na lateral é de R0 05 por cm2 Se não há perda de material determine as dimensões que minimizam o custo do material para construílo Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Aplicação de derivadas Problemas de Otimização Solução Devemos encontrar dimensões para este cilindro de maneira que o custo de fabricação deste recipiente seja o menor possível Para isso devemos saber a área da base e a área lateral deste cilindro Se o raio da base é r e o cilindro tem altura h então a área da base e a área lateral são dadas respectivamente por Ab πr2 e AI 2πrh Desta forma o custo total de produção de tal recipiente em centavos é dado por C 15 Ab 5 Al 15πr2 10πrh Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Observe que o custo esta dependendo do raio da base e da altura do cilindro Temos ferramentas apenas para trabalhar com funcdes de uma varidvel Mas observe que foi imposta mais uma restricdo ao problema a saber o volume do cilindro é 375acm Assim podemos isolar uma das dimensdes em funcdo da outra V 3750 mreh 3750 375 h r Substituindo esta relacdo na funcdo custo teremos 375 Cra 157 10r r 3750 715r7 r0 r Como C é derivavel em todo o seu dominio os pontos criticos sao pontos tais que Cr 0 Observe que 3750 Crn 0 r Assim Cr 0 3750 30r r r 125 r5 Desta forma 0 Unico ponto critico r 5 Devemos verificar se tal ponto é realmente um ponto de minimo Para isso vamos utilizar o teste da derivada segunda Como 7500 iW Cr7 20 3 obtemos que 7500 c5 7 30 0 5 125 caracterizando um ponto de minimo como desejado Logo as dimensdes que minimizam o custo de producdo sdo r 5cm e h se 15cm e o menor custo é de C5 11257 centavos Aplicação de derivadas Problemas de Otimização Segue abaixo o gráco que descreve o volume do cilindro em função do raio da sua base Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Integral MAT 146 Cálculo I Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos Universidade Federal de Viçosa CCE Departamento de Matemática Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Integral 1 Integral Antiderivada Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Operacdes como adicao e subtracao definidas no conjunto dos ndmeros reais SA40 operacées reversiveis ou seja possuem inversa Neste tdpico vamos desenvolver a operacdo inversa da diferenciacao Uma funcdo f é dita ser diferenciavel em um ponto xo de seu dominio se existe a derivada f xq O processo para encontrar a derivada de uma funcdo f 6 chamado diferenciacdo Este processo f f é uma operacao no conjunto das funcdes O processo reverso é chamado antidiferenciaao e sera apresentado abaixo Definicao Se f é definida num intervalo C R uma primitiva de f em I é uma funcdo Fx tal que Fx fx Vx El e denotamos a integral de fx em relacdo 4 variavel x por food Fx onde y Fx c éa familia de todas as primitivas de f ec é uma constante cosx dx senx c pois sen x c cosx 1 dxkxc pois xtc 1 o fz dx Inx c pois Inx c i x fsecx dx tgx c pois tg x c sec x Propriedades Sec é uma constante qualquer entao fe fx dx c Fd Se f e fy estGo definidas num intervalo I entao J tG9 fox dx fi xdx foxdx Sen for um nimero real n 1 entdo dx pane aor n1 Demonstracao Observe que xt n 1x s x n1 n1 Teorema Se fi fof estao definidas num intervalo entao cr fix eafex Cnfax dx c fi xdx foxdx 4 cn tal Calcule ae dx 4 Solucdo Note que x x x3 Dai 4 xyxdx x3 dx 4 x3att 441 z x3 7 te 3 7 3x3 in 4 7 Calcule 812 3x1 dx Solucao J et 18 4301 de 2 tex 7 fred 3 f xc foe x x3 x 2 743 5 3 79 TE 2x De 3x te x 5 3 2 Calcule 5 1 pS dx x Solucao 5 1 1 ae 2 dx x x 1 x d f dx x ep Inx 4Inxe 2 Observacao Algumas integrais imediatas sao sen dx cosxc J c0sx dx senxc scx dx tgxc cossec x dx cotgxc secxtex dx secx c cossec x cotg x dx cossec x Calcule sen x sec x cossec x dx tg x Solucao sen x sec x cossec x sen xX SeC X COSSEC X x dx Wdx tg x tg x tg x 1 cosx dx ae dx sen x cos x dx cossec x dx senx cotgx c Calcule 5 3tgt4Acost Ste tT A C08 Ea cos t Solucao 3tgtAcost 3tgt cos t pag ana fat cos t cos t cost 3 secttgtdt4 costat 3sect 4sentc Integral MAT 146 Cálculo I Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos Universidade Federal de Viçosa CCE Departamento de Matemática Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Integral 1 Integral Método de Substituição Simples Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Muitas antiderivadas ndo podem ser encontradas diretamente Assim sera necessario 0 uso de técnicas que podem ser usadas no calculo de tais antiderivadas Para calcular a derivada da funcdo 1 100 fx 14x x i959 aplicamos a regra da cadeia e obtemos 99 fx 1 x 4x3 Suponhamos entdo que queiramos antidiferenciar a funcdo 99 hx 1 x 4x3 Precisamos entdo calcular 99 fo x Ax3 dx Consideremos assim gx 1 x4 Logo gxdx 4x3 dx Portanto Como J herds fxC segue que 1 leGoPe ax Foley 100 Observe agora que se escrevermos u gx entdo du gxdx e como ja vimos anteriormente 1 udu u 100 Isso motiva o seguinte teorema que é andlogo a regra da cadeia para derivada que é chamado método da substituicdo Teorema Se u gx for uma funcdo derivavel cuja imagem é um intervalo Img 1 e f for continua em I entdo J flee ode fudu Demonstracao Se Fx for uma primitiva de fx entdo Fgx uma primitiva de fgx gx Logo Fx Fx 8 dx EX 1 EWX EX fgx8x Se fizermos a substituicdo u gx entdo d Flexexdx Fexdx FgxC FuC Fudu fudu Calcule f sec5x 15dx Solucdo Seja u 5x 1 Logo du 5dx Portanto 26 15 dx Jee u du tguC tg5x14C Determine f 5x 2dx Soludo Podemos escrever a integral acima como 5x 22 dx Observe que se u 5x 2 entaéo du 5dx Logo podemos reescrever a integral como 1 1 x 2bax ube du 5 wiau 1 1 u2 2 3 2 3 y 5 22 Biya 15 7 pp Ox 2 e Determine f sen30 5d0 Solucdo Seja u 36 5 Logo du 3d Anadlogo a multiplicar e dividir por 3 o fator d dentro da integral é fazer du dé 3 Assim J sents0 5d0 Js uS 1 d 7 Js u du C cos 3 cosu 1 3 cos30 5 C 3 Determine x2e dx Solucdo Seja u x Assim du 3x7dx e du xdx Portanto 3 xe dx evdu 3 1 edu 3 1 u Se 3 1 3 x re C 3 Integração por Partes MAT 146 Cálculo I Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos Universidade Federal de Viçosa CCE Departamento de Matemática Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Integração por Partes 1 Integração por Partes Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Integração por Partes O método de integração por partes assim como o método da substituição explorado em aulas anteriores é uma técnica de integração que nos permite calcular primitivas de determinadas funções Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Para apresentar o método de integracdo por partes consideremos f e g funcées derivaveis no intervalo Cc R Neste caso f g é derivavel em e pela regra do produto temos f gx fxex Fxgx 1 Integrando ambos os lados de 1 com respeito 4 x obtemos Fwy de f F800 Floe de isto é Flxjelo Pode odx Flxe xa e assim J fe de Flxax f eet xa 2 Fazendo u fx v gx segue que du fxdx dv gxdx e assim substituindo essas relacdes em 2 obtemos Judvauev vd 3 A formula 3 conhecida como férmula de integrado por partes e O método de integracdo por partes adequado quando ao aplicar a formula 3 conseguimos transformar o problema de resolver a integral dificil udv em um problema mais simples de se determinar vdu e Dessa maneira as escolhas de u e dv devem ser feitas de tal forma que vdu resulte em uma integral mais simples que J udv Nem sempre isto é possivel Vejamos alguns exemplos Exemplo 1 Calcule etd Soludo Facamos ux dv edx Assim du xdx dx v f eXdx e Substituindo u du v dv na formula de integrado por partes obtemos m dv m Vv v du x edx x e e dx xeX e C Para comprovar que xe e C é de fato a antiderivada de xe basta derivar xe e C e notar que xe e C xe e C xe e 0 xeX Pergunta O que ocorreria se na integral anterior fizéssemos u e e dv xdx Neste caso edx edx 2 x v xdx Assim pela formula de integracdo por partes teriamos 2 2 x x exdx e edx 2 2 Neste caso trocamos o calculo de exdx pelo calculo de 2 se Pa y ew J eX dx Definitivamente esta nado é uma boa decisdo Integração por Partes Identificando u e dv Uma questão natural que surge aqui é a seguinte como escolher adequadamente u e dv Um mecanismo que funciona em muitos mas não em todos casos é seguir o seguinte anagrama L A T E Logarítmicas Algébricas Trigonométricas Exponenciais Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Integração por Partes Nesse caso nossas escolhas para u e dv seguirão o seguinte critério escolheremos como u a função cuja letra inicial de sua caracterização esteja mais à esquerda no anagrama escolheremos como dv a função cuja letra inicial de sua caracterização esteja mais à direita no anagrama Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Exemplo 2 Calcule 2 inde Solucdo Neste caso observe que x uma func3o algébrica nx uma funado logaritmica Dessa maneira como L precede A no anagrama faremos Ho 1 u Inx du Inxdx Zax dv xdx v ff xdx Pela formula de integracdo por partes obtemos Vv Vv du u dv u rs ST india in te nx xdx Inx dx 3 3 x 3 3 3 x 1 x 1x Inx 5 f Pde Inx 55 c 3 3 3 33 3 3 x x Inx C 25 Exemplo 3 Calcule seed Solugdo Observe que 3 2 secxdx secx secxdx Como ambas as funcées secx e secx sdo funcdes trigonométricas também nao podemos invocar o anagrama LATE para decidir o que chamar de u e de av Entretanto dentre as funcdes secx e secx a que pode ser integrada com mais facilidade secx Assim faremos as seguintes escolhas para u e dv dv secxdx v f secxdx tgx u secx du secx tgxdx Segue da férmula de integrado por partes que sede seclx secxas secx tel tax secx te SS SS secx tgx seo tgxdx secx tgx seo secx 1 dx secx tgx seelorde sect Portanto seas secx tgx sePlodie seclopar Isolando f sec3xdx na igualdade anterior ainda temos 2 secx ce secx tgx sel isto é 3 1 1 sec xdx secx tgx 5 In secx tgx C Na altima igualdade usamos o fato que J seclxas Insecx tgx Exemplo 4 Calcule Je senxdx Solucdo Neste caso senx é uma fundo trigonométrica x uma func3o algébrica Portanto seguindo o anagrama LIATE temos u x du 2xdx dv senxdx v cosx Aplicando a formula de integracdo por partes obtemos Je senxdx x cosx oc cosxdx 4 x cosx 2 J xc0sxa Aplicando novamente a férmula de integracdo por partes 4 integral J xc0sxa com u x du dx dv cosxdx v senx obtemos J 008xas xsenx senxdx x senx cosx Assim substituindo a informado acima em 4 concluimos que Je senxdx x cosx 2xsenx cosx C Exemplo 5 Calcule senxjede Solucdo Note que senx é uma fundo trigonométrica e é uma funcdo exponencial Dessa maneira como precede E no anagrama faremos u senx du cosxdx dv edx v exdx e Pela formula de integracdo por partes temos udv w val donde sentsjetde senxe costejetde 5 Seguindo os passos anteriores para resolver a integral do lado direito na igualdade acima usamos mais uma vez integrado por partes com u cosx du senxdx dv edx v edx e Dessa maneira J cosxedx cosxe senxedx 6 cosxe f senxedx Substituindo esta informado em 5 obtemos J senxeXdx senxe cosxe dx senxe cosxe f senxedx senxe cosxex f senxedx isto é senpeae senxe cosxe senderde 7 Isolando senxedx na igualdade acima obtemos 2 senxedx senxe cosxe que resulta em senxe cosxe senses eee c Integração por Partes Obrigada Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Motivação Cálculo de Áreas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 MAT 146 Cálculo I Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos Universidade Federal de Viçosa CCE Departamento de Matemática Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Motivação Cálculo de Áreas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 1 Motivação Cálculo de Áreas 2 Integral Definida 3 Propriedades da Integral Definida 4 Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Motivação Cálculo de Áreas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 Motivação Cálculo de Áreas A teoria de Cálculo Integral surge inicialmente para se responder questões relacionadas ao cálculo de área de regiões volumes e comprimento de arcos Para motivar a definição de integral definida consideremos f a b R uma função contínua f x 0 em a b R a região limitada pelo eixox pelas retas x a e x b e pelo gráfico de f veja figura a seguir Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Motivação Cálculo de Áreas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 a b R f Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Motivação Cálculo de Áreas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 Para atribuir um número à área da região R procedemos da seguinte forma Primeiramente subdividimos o intervalo a b em n subintervalos através de n 1 pontos a x0 x1 x2 xn b Neste caso dizemos que o conjunto P x0 x1 xn1 xn constitui uma partição do intervalo a b Através dessa partição obtemos os subintervalos x0 x1 x1 x2 xn1 xn Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Motivação Cálculo de Áreas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 Denotando por ix xi xi1 o comprimento do i ésimo intervalo xi1 xi definimos a norma da partição P como o maior valor dentre os comprimentos dos subintervalos acima ou seja P max 1x 2x nx x5 x6 x7 x3x4 x2 x1 x0 x8 x9 1x 2x 3x 4x5x 6x7x 8x 7x 9x Note que na partição da figura acima P 8x Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Motivagao Calculo de Areas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Calculo Parte 1 Por fim tomemos cy C2 Cn a b tais que C1 x0 x1 Co x1 X2 5 Cn Xn1 Xn consideremos a soma n S fc Aix f co Aox Sale f Cn Anx f cj Ajx i1 Desde que fx 0 em a b para cada 1 i no valor fcAx corresponde a area do retangulo de altura fc e base Ajx como pode ser visto na préxima figura Motivação Cálculo de Áreas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 a b c1 x1 c2 x2 c3 x3 c4 f c1 f c4 f c3 f c2 Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Motivação Cálculo de Áreas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 Quanto menor for a norma P ou equivalentemente quanto maior for o número de pontos da partição melhor será a aproximação entre a soma S e a área da região R assim como sugere as próximas figuras Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Motivação Cálculo de Áreas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 Figura n 10 Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Motivação Cálculo de Áreas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 Figura n 30 Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Motivagao Calculo de Areas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Calculo Parte 1 Dessa maneira é natural esperar que a area da regido R seja dada por n AR lim f c Ax P 40 i1 Este fato nos motiva a definir o conceito de integral definida Integral Definida Binal Definicao Seja f a b R uma funcdo real A integral definida de f de a até b denotada por f fxdx é definida por b n fxdx lim f c Ax 192 vo caso o limite exista Observacao A soma f c Aix chamada de Motivagao Calculo de Areas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Calculo Parte 1 Notacdo v integrando a limite inferior de integracdo e b limite superior de integracdo Motivacgao Calculo de Areas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Calculo Parte 1 b Seja f a b R Entdo f xdx tem a seguinte interpretacdo a Caso 1 Se fx 0 para todo x a b entdo b Fxdx AreaR a onde R a regido compreendida entre o eixox 0 grafico de f easretasxaexb Motivacgao Calculo de Areas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Calculo Parte 1 b Figura fxdx AreaR a Produzido por Editado por Alexa MAT 146 Calculo Motivacao Calculo de Areas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Calculo Parte 1 Caso 2 Se fx 0 para todo x a b entdo b fxdx AreaR a onde R a regido compreendida entre 0 eixox 0 grafico de f eas retasx aexb Motivagao Calculo de Areas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Calculo Parte 1 b Figura fxdx AreaR a Produzido por Editado por Alexa MAT 146 Calculo Motivagao Calculo de Areas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Calculo Parte 1 Caso 3 Se fx muda de sinal em a b e seu grafico como esbocado na préxima figura entdo b fxdx AreaR1 AreaR2 AreaR3 a onde as regides R1 Ro e R3 sdo como indicadas na figura a seguir Motivacgao Calculo de Areas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Calculo Parte 1 g NY b Figura fxdx AreaR AreaR2 AreaR3 a Produzido por Editado por Alexa MAT 146 Calculo Motivagao Calculo de Areas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Calculo Parte 1 Funcoes Integraveis e ndo Integraveis Nem todas as funcées reais definidas em um intervalo fechado a b sdo integraveis Como um exemplo podemos citar a fundo f 010 R definida por 1 sex 0 fx 4 x 0 sex0 Observe que a funcdo f é descontinua em x 0 Além disso note que lim fx co x0 Motivação Cálculo de Áreas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 Figura Podese mostrar que a área sob o gráfico da função f é infinita logo não existe a integral Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Motivação Cálculo de Áreas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 O seguinte teorema estabelece uma condição suficiente para que uma dada função seja integrável Teorema Seja f a b R uma função contínua Então f é integrável em a b Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Motivacao Calculo de Areas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do CAlculo Parte 1 es da Integral Definida Apresentaremos a seguir algumas propriedades da integral definida mo c 001 Sejam f e g funcées integraveis no intervalo a bacbek uma constante real Entao f f xdx P fxdx 2 fxdx 0 b b b kfx gxdx k fo Fxdx Jf gxdx Fxdx i fxdx f f xdx se fx gx para todo x a b entao i fxdx b J gxdx Motivação Cálculo de Áreas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 Em geral calcular integrais definidas através da definição não é uma tarefa trivial O seguinte teorema devido à Isaac Barrow 16301677 e seu brilhante aluno Isaac Newton 16431727 além de simplificar o problema de calcular integrais definidas estabelece uma importante relação entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Motivagao Calculo de Areas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Calculo Parte 1 Teorema Teorema Fundamental do Calculo Parte 1 Seja f uma fungdo continua no intervalo ab e F uma primitiva Cam A de f isto é Fx fx para todo x a b Entao f xdx Fb Fa a Observacao 1 O Teorema Fundamental do Calculo reduz o problema de calcular uma integral definida Aquele de determinar uma primitiva de f Observacdo 2 E usual denotarmos b Fb Fa Fx a Motivacao Calculo de Areas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Calculo Parte 1 Tv Exemplo 1 Determine senxdx 0 Solugdo Como senxdx cosx Csegue que Fx cosx uma primitiva de fx senx Dessa maneira como fx senx continua em 07 segue do Teorema Fundamental do Calculo que as wT senxdx Fx cos7r cos0 2 0 0 Motivagao Calculo de Areas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Calculo Parte 1 Além disso como fx senx 0 para todo x 07 segue que a area da regido R apresentada na figura a seguir 6 dada por wT AreaR senxdx 2 0 Os R 25 2 15 aa 05 ol f 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do CAalculo Parte 1 2 Exemplo 2 Calcule x3 3x 7 dx f Solucdo Note que fx x 3x 7 continua em 2 2 Além disso 4 2 x x J 8347 dx re 35 tixtC Portanto Fx xe 3 7x uma primitiva de f e assim pelo Teorema Fundamental do Calculo obtemos 2 2 x 3x7dx Fx 5 2 2 22 24 2 38 18 pt a2 19 28 Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Calculo Parte 1 Exemplo 3 Calcule sec 2xdx 0 Solucdo A funcao fx sec2x continua em 0 78 Alem disso fazendo u 2x segue que du 2dx e assim 2 1 2 1 1 sec2xdx 5 sec udu 5 teu c 5 82x c Portanto Fx tg2x é uma primitiva de f e pelo Teorema Fundamental do Calculo obtemos 3 5 z sec2xdx Fx 0 1 T 1 tg2 tg0 ste2 2 5ta0 i 2 Motivagao Calculo de Areas Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Calculo Parte 1 1 Exemplo 4 Mostre que 1 cosxdx V2 0 Solugdo Note que cosx 1 para todo x R portanto y1 cosx V2 Assim segue das propriedades da integral definida que 1 1 1 cosxdx V2dx V2 0 0 Motivação Cálculo de Áreas Integral Definida Propriedades da Integral Definida Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 Obrigada Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Cálculo de Áreas Área de regiões entre curvas MAT 146 Cálculo I Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos Universidade Federal de Viçosa CCE Departamento de Matemática Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Cálculo de Áreas Área de regiões entre curvas 1 Cálculo de Áreas 2 Área de regiões entre curvas Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Cálculo de Áreas Área de regiões entre curvas Cálculo de Áreas Na aula passada vimos como a integral definida é uma importante ferramenta no cálculo de áreas de regiões Nesta aula vamos explorar esse fato através de vários exemplos Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Area de regides entre curvas Area de regides entre curvas a ite1nnF Sejam f e g fundes continuas em a b tais que fx gx para todo x a b Entdo a area da regido R delimitada pelas curvas y fx e y gx de a até b é dada pela integral definida b J 0 2 de a Cálculo de Áreas Área de regiões entre curvas a b f g R x y Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Cálculo de Áreas Área de regiões entre curvas Exemplo 1 Determine a área da região compreendida entre a parábola y 2 x2 e a reta y x Solução a b 2 x2 x R x y Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Cálculo de Áreas Área de regiões entre curvas Primeiramente devemos encontrar os limites de integração a e b isto é as abscissas dos pontos de interseção do gráfico da parábola y 2 x2 com a reta y x Para isto igualamos as expressões das duas funções ou seja resolvemos 2 x2 x x2 x 2 0 x 1x 2 0 x 1 ou x 2 Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Area de regides entre curvas Assim os limites de integracdo serdéo a 1 e b 2 Observe que em 1 2 temse 2 x x Assim segue do teorema anterior que a area da regido R limitada pelas curvas dadas é b AreaR 2 x2 x ax a 2 2 x x dx 1 2 37 12 x x jox42 lax 2 1 4 8 1 1 447244 4433 24545 9 2 Cálculo de Áreas Área de regiões entre curvas Exemplo 2 Determine a área da região do primeiro quadrante que é delimitada pelas curvas y x e y x 2 x x 2 R1 R2 x y Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I erat toms WUT Area de regides entre curvas Neste caso vamos dividir a area da regido R de interesse em duas regides Ry e Ro Para determinar os limites de integracdo note inicialmente que a curva y x 2 intersecta o eixo x no ponto 20 Assim 2 D 2 J2 3 23 4V2 AreaR xdx x2 22 0 0 3 0 3 3 Cálculo de Áreas Área de regiões entre curvas Para determinar os limites de integração da região R2 devemos encontrar a interseção entre as curvas y x e y x 2 Dessa maneira devemos resolver x x 2 x x 22 x x2 4x 4 x2 5x 4 0 x 1 ou x 4 Observe que apenas o valor x 4 nos interessa a solução x 1 surgiu como consequência de termos elevado ao quadrado os dois lados da igualdade x x 2 Olhando para o gráfico apresentado acima notamos que de fato y x 2 intersecta y x apenas uma vez Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Area de regides entre curvas Assim os limites de integracdo da regido Ro sio a 2eb4 Além disso como x x 2 para todo x 24 segue do teorema anterior que 4 AreaR2 Vx x 2dx 2 2 3 x 49 3 2 IIo 2 2 42 8822 244 3 3 16 42 3 3 Portanto AreaR AreaR AreaR2 aye e aye 2 2 Cálculo de Áreas Área de regiões entre curvas Exemplo 3 Determine a área da região R limitada pela parábola y2 2x 2 e pela reta y x 5 y 2x 2 y 2x 2 x 5 R1 R2 x y Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Cálculo de Áreas Área de regiões entre curvas Solução Vamos novamente dividir a região R em duas regiões R1 e R2 Para encontrar os pontos onde as curvas se intersectam elevamos ao quadrado ambos os lados de y x 5 e igualamos à y2 2x 2 Assim obtemos x2 10x 25 2x 2 x2 12x 27 0 x 9x 3 0 x 9 ou x 3 Dessa forma os pontos de interseção entre as curvas dadas são 3 2 e 9 4 Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Cálculo de Áreas Área de regiões entre curvas Observe que extraindo a raiz dos dois lados de y2 2x 2 obtemos y 2x 2 ou y 2x 2 O gráfico da função y 2x 2 corresponde à parte superior da parábola acima do eixo x e o gráfico de y 2x 2 corresponde à parte inferior abaixo do eixo x Note que a região R1 é delimitada por cima pela curva y 2x 2 e por baixo pela curva y 2x 2 Por outro lado a região R2 é delimitada por cima pela curva y 2x 2 e por baixo pela curva y x 5 Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Area de regides entre curvas Assim as areas AreaR e AreaR2 sdo dadas respectivamente por 3 AreaR V2x 2 2x 2 dx 1 3 2 V2x 2dx 1 2 33 2x2 3 1 16 3 Area de regides entre curvas 9 AreaR2 V2x 2 x 5dx 3 1 1 9 32x28 52 54 64 288i 8 9 4 41 5 45 5 5 15 38 a Logo AreaR AreaR AreaR2 38 18 Cálculo de Áreas Área de regiões entre curvas Exemplo 4 Ache a área da região limitada pelas curvas y x3 6x2 8x e y x2 4x R1 R2 x y Figura y x3 6x2 8x e y x2 4x Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I erat toms WUT Area de regides entre curvas Solugdo Mais uma vez vamos dividir a regido de interesse em duas partes R e Ro Para determinar os pontos de intersecdo entre as curvas dadas resolvemos x3 6x 8x x 4x x 7x 12x 0 x x 7x 12 0 xx 3x 4 0 Assim os pontos de intersedo sdo 00 3 3 e 40 Cálculo de Áreas Área de regiões entre curvas Sejam f x x3 6x2 8x e gx x2 4x No intervalo 0 3 a curva y f x está acima da curva y gx já no intervalo 3 4 a curva y gx está acima da curva y f x Dessa forma a área da região total R é dada por ÁreaR ÁreaR1 ÁreaR2 onde Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I Area de regides entre curvas 3 AreaR AreaRo x 6x 8x x 4x dx 0 4 f x 4x x3 6x 8x dx 3 4 x3 7x2 12x dx f x 7x 12x dx 0 3 1a 73 2 pt 53 6x2 9 3 62 me 3x 6x 47 4 12 JA 6 Cálculo de Áreas Área de regiões entre curvas Obrigada Produzido por Editado por Alexandre Miranda Anderson Araújo Anderson T da Silva Bhavinkumar Edson Teixeira Fernanda Moura Lais Santos MAT 146 Cálculo I