Análise Nodal em Sistemas de Energia Elétrica

CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Matrizes de rede Prof Humberto Monteiro CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Equação dos nós análise nodal Considere o seguinte diagrama unifilar CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Equação dos nós análise nodal E seu diagrama de reatância CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Equação dos nós análise nodal Utilizando o conceito da transformação de fontes ao diagrama de reatâncias visto anteriormente temos CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Equação dos nós análise nodal Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff ao nó 1 temos CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Equação dos nós análise nodal Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff ao nó 2 temos 2 2 2 3 2 4 b g h I V Y V V Y V V Y CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Equação dos nós análise nodal Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff ao nó 3 temos 3 3 3 2 3 4 3 1 c g e f I V Y V V Y V V Y V V Y CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Equação dos nós análise nodal Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff ao nó 4 temos CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Equação dos nós análise nodal Rearranjando as equações temos 3 1 2 3 4 f g c g e f e I V Y V Y V Y Y Y Y V Y 2 2 3 4 b g h g h I V Y Y Y V Y V Y 1 1 3 4 a f d f d I V Y Y Y V Y V Y 1 2 3 4 0 d h e d e h V Y V Y V Y V Y Y Y CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Equação dos nós análise nodal Matricialmente temos 1 1 2 2 3 3 4 0 0 0 a f d f d b g h g h f g c g e f e d h e d e h Y Y Y Y Y V I Y Y Y Y Y V I V I Y Y Y Y Y Y Y V Y Y Y Y Y Y CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Matriz admitância barra Generalizando Ou Onde a matriz Y é denominada de matriz admitância barra I Y V CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Matriz admitância barra A matriz admitância barra é formada pelos seguintes elementos Yii É denominada admitância própria e é a soma das admitâncias conectadas ao nó i observado Yik É denominada admitância mútua e representa o negativo da soma das admitâncias conectadas entre o nó i e k CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo1 CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo1 CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo1 CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo2 CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo2 CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Matrizes Ybarra e Zbarra Até agora definimos a matriz admitância barra a partir de um conjunto de regras baseadas na aplicação da análise nodal para um dado sistema A matriz impedância por sua vez foi definida como a inversa da matriz admitância Nesta seção aprenderemos um novo método para definir a matriz admitância que também pode ser aplicado na definição da matriz de impedância CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Matrizes Ybarra e Zbarra Considere a seguinte equação Para um circuito com 3 nós temos 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 3 31 1 32 2 33 3 I Y V Y V Y V I Y V Y V Y V I Y V Y V Y V CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Matrizes Ybarra e Zbarra Observandose a equação de I2 Temos que 2 21 1 22 2 23 3 I Y V Y V Y V 1 3 2 22 2 0 V V I Y V CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Matrizes Ybarra e Zbarra De forma análoga observandose a equação de I1 Temos que 1 3 1 12 2 0 V V I Y V 1 11 1 12 2 13 3 I Y V Y V Y V CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Matrizes Ybarra e Zbarra Estabelecer V1V30 significa curtocircuitar as barras 1 e 3 conforme figura abaixo CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Matrizes Ybarra e Zbarra Estabelecer V1V30 significa curtocircuitar as barras 1 e 3 conforme figura abaixo CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Matrizes Ybarra e Zbarra Conclusão A admitância própria em uma barra pode ser encontrada curtocircuitando todas as barras exceto a barra para a qual estamos definindo a admitância própria e aplicando uma tensão ou corrente entre a barra analisada e a referência A admitância será 1 3 2 22 2 0 V V I Y V CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Matrizes Ybarra e Zbarra Conclusão A admitância mútua entre duas barras pode ser encontrada curto circuitando todas as barras exceto a barra para a qual estamos definindo a admitância mútua e aplicando uma tensão ou corrente entre a barra analisada e a referência A admitância será 1 3 1 12 2 0 V V I Y V CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Matrizes Ybarra e Zbarra A matriz Zbarra pode ser encontrada de forma semelhante Considerando a equação Para um sistema de três barras temos 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 3 31 1 32 2 33 3 V Z I Z I Z I V Z I Z I Z I V Z I Z I Z I barra V Z I CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Matrizes Ybarra e Zbarra Observandose a equação de V2 Temos que 1 3 2 22 2 0 I I V Z I CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Matrizes Ybarra e Zbarra De forma análoga observandose a equação de I1 Temos que 1 3 1 12 2 0 I I V Z I 1 11 1 12 2 13 3 V Z I Z I Z I CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Matrizes Ybarra e Zbarra Estabelecer I1I30 significa deixar em aberto as barras 1 e 3 conforme figura abaixo CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Matrizes Ybarra e Zbarra CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Matrizes Ybarra e Zbarra A tensão de Thévenin na barra 4 é a tensão antes da colocação do capacitor V4 de um exemplo anterior A impedância de Thévenin na barra 4 é Z44 CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Matrizes Ybarra e Zbarra CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Matrizes Ybarra e Zbarra CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Matrizes Ybarra e Zbarra CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Partição de matrizes A partição de matrizes é uma técnica matemática usada na manipulação de partes de uma matriz de forma a simplificar os cálculos Considere a seguinte matriz a ser particionada As partições estão determinadas pelas linhas tracejadas de modo que 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a D E A F G CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Partição de matrizes Onde Vamos supor que a matriz A deva ser multiplicada pela matriz B assim definida 13 11 12 23 21 22 31 32 33 a a a D E a a a F a a G a 11 21 31 b B b b H B J CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Partição de matrizes Onde O matriz C resultante do produto de AxB é 11 31 21 b H J b b D E H DH EJ C AB F G J FH GJ CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Partição de matrizes Se tivermos interesse em obter somente o elemento c21 da matriz C basta realizar as operações entre as submatrizes logo O método da partição de matrizes pode ser empregado desde que sejam respeitadas as regras de multiplicação de matrizes 11 21 31 32 33 31 21 b c FH GJ a a a b b CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Eliminação de nós OS nós do sistema de potência cuja solução não tem relevância para o problema solicitado podem ser eliminados através da manipulação da matriz admitância barra Somente poderão ser eliminados Nós que não possuam injeção de corrente Nós que não possuam saída de corrente CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Eliminação de nós Para a eliminação dos nós devese reordenar as matrizes de tensãocorrente nodal e a matriz admitância barra de modo que as linhas relacionadas aos nós que serão excluídos fiquem nas posições inferiores das matrizes As matrizes coluna tensão e corrente nodais são particionadas de modo a separar por linha horizontal os elementos nós a serem eliminados A matriz quadrada admitância barra é particionada de modo a separar por linhas horizontais e verticais os elementos nós a serem excluídos CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Eliminação de nós Seguindo as regras a equação Assume a seguinte forma Onde Ix e Vx submatriz das correntes e tensões dos nós a serem eliminados K submatriz com as admitâncias próprias e mútuas dos nós mantidos M submatriz com as admitâncias próprias e mútuas dos nós a serem eliminados L e LT submatriz contendo somente admitâncias mútuas comuns a um nó mantido e outro eliminado CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Eliminação de nós Efetuando a multiplicação das matrizes Temos Considerando Ix 0 e colocando a segunda equação em termos de Vx temos Substituindo na primeira equação temos Por analogia A A X T X A X I KV LV I L V MV 1 T X A V L V M 1 T A A I K LM L V 1 T Ybarra K LM L CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo Eliminando o gerador 3 temos CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo Aplicando a montagem da matriz Ybarra temos Particionando de modo a excluir os nós 3 e 4 CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo Calculando a matriz Ybarra Onde CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo A partir da análise da matriz de admitância barra podemos inferir que a admitância entre a barras 1 e a referência é O mesmo vale para a barra 2 O circuito resultante é CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Eliminação de nós A inversão da matriz M pode ser evitada fazendo a eliminação dos nós um a um Para isso basta determinar a partição da matriz da seguinte forma CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Eliminação de nós Aplicando a equação da matriz Ybarra temos CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Eliminação de nós A nova matriz Ybarra terá seus elementos definidos pela seguinte equação CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Determinação da matriz Zbarra método direto O método direto para determinação de Zbarra é utilizado em situações nas quais os sistemas elétricos analisados são complexos É um método voltado para soluções computacionais Sempre que houver uma modificação no sistema de potência estudado as matrizes Ybarra e Zbarra sofrem modificações necessitando que o sistema seja analisado novamente Veremos neste tópico como determinarmodificar diretamente a matriz Zbarra sem a necessidade de redefinila do zero CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Determinação da matriz Zbarra método direto O método direto consiste em construir a matriz Zbarra impedância a impedância a partir da barra de referência Imagine uma tela em branco exceto pela barra de referência A partir daí as impedâncias são inseridas conectando as barras que serão criadas CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Determinação da matriz Zbarra método direto Neste intuito quatro casos serão estudados 1 A adição de uma impedância entre uma nova barra e a barra de referência 2 A adição de uma impedância entre uma nova barra e uma barra já existente que não é a de referência 3 A adição de uma impedância entre uma barra já existente e a barra de referência 4 A adição de uma impedância entre duas barras já existentes CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Determinação da matriz Zbarra método direto Caso1 A adição de uma impedância entre uma nova barra e a barra de referência Neste caso a adição da nova barra p ligada à referência através da impedância Zb não interfere nas tensões de barra originais Sendo assim Note que a multiplicação da matriz Zbarra pela matriz de corrente nodal não afetará as tensões de barra originais e Vp será definida como ZbIp CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Determinação da matriz Zbarra método direto Caso1 A adição de uma impedância entre uma nova barra e a barra de referência CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Determinação da matriz Zbarra método direto Caso2 A adição de uma impedância entre uma nova barra e uma barra já existente que não é a de referência Consideremos a adição da nova barra p ligada a uma barra k através da impedância Zb CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Determinação da matriz Zbarra método direto A injeção de corrente na barra p que chamaremos de Ip causará uma corrente Ik Ip que entra na rede original A nova tensão na barra k será a tensão Vk original mais a tensão proporcionada pela corrente Ip nos elementos originais de Vk CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Determinação da matriz Zbarra método direto A tensão Vp será a tensão Vk original mais a tensão proporcionada pela corrente Ip nos elementos originais de Vk e de Vp Zb Expandindo a equação acima temos CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Determinação da matriz Zbarra método direto A matriz Zbarra será a matriz original mais a linha e coluna referentes aos elementos de Vk sendo o último elemento a soma da impedância da barra de Vk com a impedância da barra de Vp CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Determinação da matriz Zbarra método direto Caso2 A adição de uma impedância entre uma nova barra e uma barra já existente que não é a de referência CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Determinação da matriz Zbarra método direto Caso3 A adição de uma impedância entre uma barra já existente e a barra de referência Neste caso a barra p é conectada através da impedância Zb à barra k e curtocircuitada à barra de referência CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Determinação da matriz Zbarra método direto Caso3 A adição de uma impedância entre uma barra já existente e a barra de referência O resultado é similar a matriz vista para o caso 2 com a diferença que Vp0 CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Determinação da matriz Zbarra método direto Caso3 A adição de uma impedância entre uma barra já existente e a barra de referência De posse da Zbarra nova devemos eliminar a linha e a coluna relativa a barra p através do método de eliminação de nó visto em aula anterior CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Determinação da matriz Zbarra método direto Caso3 A adição de uma impedância entre uma barra já existente e a barra de referência CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Determinação da matriz Zbarra método direto Caso4 A adição de uma impedância entre duas barras já existentes CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Determinação da matriz Zbarra método direto Escrevendo as tensões nos nós Rearranjando De maneira similar temos que Sendo que Substituindo essa as equações anteriores nesta última podemos obter CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Determinação da matriz Zbarra método direto Agrupando os coeficiente de Ib definimos A matriz Zbarra CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Determinação da matriz Zbarra método direto A nova coluna é a coluna j menos a coluna k com Zbb na linha adicionada A nova linha é a transposta da nova coluna Após esse procedimento devemos reduzir a matriz eliminando a ultima linhacoluna formada Isso pode ser feito utilizando a técnica anteriormente mostrada CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Determinação da matriz Zbarra método direto Caso4 A adição de uma impedância entre duas barras já existentes CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Determinação da matriz Zbarra método direto Caso4 A adição de uma impedância entre duas barras já existentes CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo Determine Zbarra para a rede indicada na figura abaixo onde as impedâncias estão indicadas em porunidade Preserve todos os três nós CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo Partindo somente da barra de referência criaremos uma impedância entre a barra 1 e a referência Caso1 A matriz Zbarra desse sistema é CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo Criação da barra 2 com sua impedância para a barra 1 Caso2 temos A matriz Zbarra fica j14 soma de j12 j02 CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo Criando a barra 3 e conectando à barra 2 caso 2 temos CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo Adicionando a impedância j15 entre a barra 3 e a referência Caso3 temos CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo Neste momento a matriz Zbarra não representa o sistema uma vez que o sistema possui 3 barras logo sua matriz deve ser 3x3 Eliminando a linha e a coluna 4 através da redução de Kron temos CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo Finalmente adicionando uma impedância entre as barras 2 e 3 Caso4 temos CCET376 Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Exemplo A matriz Zbarra fica Aplicando a redução de Kron para eliminar a linha e a coluna 4 temos