Comportamento Dinâmico de um Sistema de 1a Ordem: Análise e Simulação em Simulink

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS LABORATÓRIO DE SISTEMA DE CONTROLE LAB 02 COMPORTAMENTO DINÂMICO DE UM SISTEMA DE 1a ORDEM OBJETIVOS 1 Compreender o comportamento dinâmico de um sistema de primeira ordem para entradas degrau e impulso 2 Compreender a abstração matemática conceitual que transforma uma função pulso em impulso unitário 3 Entender e determinar a constante de tempo de sistema de 1ª Ordem 1a Resposta ao Degrau Para circuito elétrico a Mostre que o circuito pode ser descrito matematicamente por 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝟏 𝝁𝑹𝟏 𝑹𝟑 𝑹𝟏𝑹𝟐 𝑹𝟐𝑹𝟑 𝑹𝟑𝑹𝟏𝑪 𝒚 𝝁𝑹𝟑 𝑹𝟏𝑹𝟐 𝑹𝟐𝑹𝟑 𝑹𝟑𝑹𝟏𝑪 𝒖𝒕 b Justifique a representatividade dos modelos ou seja o modelo matemático é coerente com o modelo físico c Faça uma realização do circuito no simulink Utilize os blocos analógicos integrador somador e amplificador Sinks e sources d Simule o circuito para R1 10 Ω R2 50 Ω e C 025 F para a entrada degrau unitário 1 t u t Mostre a resposta do sistema yt através de um bloco scope para os valores dos parâmetros da tabela abaixo Simulação R3 Ω 1 20 50 2 20 10 0 3 20 2000 4 05 50 5 05 10 6 05 2000 7 10 50 8 10 100 Interprete os resultados obtidos nas simulações face às respostas teóricas esperadas ou seja Confronte o resultado obtido com comportamento dinâmico esperado para a resposta do circuito através de análise física do circuito em regime transitório e permanente Confronte o resultado obtido com comportamento dinâmico determinado pela solução da equação diferencial Para os ensaios de simulações 1 2 e 3n verifique validade da constante de tempo saída em regime permanente e valor inicial Obsv denominase constante de tempo de um circuito RC o tempo necessário para a resposta ao degrau atingir o valor de regime permanente supondo uma taxa de crescimento constante desde a origem Faça uma simulação para Na prática a partir de quanto tempo se pode considerar que o regime permanente foi alcançado Expresse este resultado em termos de constantes de tempo Qual o comportamento esperado para R3 0 Ω e R3 aberto 2a Resposta ao pulso Com os valores de componentes da simulação 2 acima ajuste o modelo para simular a resposta para uma entrada pulso conforme mostrada na figura abaixo onde 𝐴 1 𝐿 Simulação L 1 80 2 05 3 0065 4 Interprete os resultados experimentais simulados face às respostas teóricas ou seja a Confronte o resultado obtido com comportamento dinâmico esperado para a resposta do circuito através de análise física do circuito em regime transitório e permanente b Confronte o resultado obtido com comportamento dinâmico determinado pela solução da equação diferencial Determine matematicamente a resposta a partir da resposta ao degrau e dos conceitos de linearidade e invariância no tempo Cuidado Atenção para a realização da simulação 9 e a obtenção da solução matemática c Dentro do domínio da aplicação sob que condição podese considerar que a resposta ao pulso se comporta de maneira suficientemente satisfatória como se fosse a resposta a um impulso Compare constante de tempo e condição inicial A L T ut t d Prove matematicamente a conjectura acima Use a resposta teórica obtida em b e a aproximação por série de Taylor Lembrete Expansão em Série de Taylor n n ax n a x a x ax e 1 2 1 1 1 1 2 2 a b Sim o modelo matemático é coerente com o modelo físico pois nas simulações os valores entre ambos foram iguais c d Como o circuito é dado pela equação dy dt 1μR1R3 R1R2R1 R3R2R3 C yt μR3 R1R 2R1 R3R2R3 C ut Substituindo os valores R110Ω R250Ω C025 F temse dy dt 1μ 10R3 12515 R3 yt μR3 12515R3 ut Ou reescrevendo de forma simplificada dy dt ay t but E sua função de transferência é H s b sa b a1 s a1 com 1 aConstantedetempo Considerando uma entrada ut da forma degrau unitário temse Simulação 1 R35 Ωe μ2 Notase que o sistema é instável pois ao substituir os valores em a temse a 1μ10R3 12515 R3 12105 125155 5 200 0 Simulação 2 R310 Ωe μ2 O sistema continua instável pois o valor de a é a 1μ10R3 12515 R3 121010 1251510 0 E como a entrada é um degrau unitário a saída é da forma de uma rampa Simulação 3 R3200 Ωe μ2 O sistema tornouse estável sendo a sua constante de tempo a 1μ10R3 12515 R3 1210200 12515200 190 312500608 Logo sua constante de tempo é 1 a16447 s E o seu valor de regime permanente é b a μR3 1μ10R3 2200 1210200400 190 21 Simulação 4 R35 Ωe μ05 O sistema continua estável mas com um valor de regime permanente menor Sua constante de tempo é a 105105 125155 10 200 005Logo 1 a20s Valor em regime permanente b a 055 10510525 10 025 Simulação 5 R31Ω e μ05 Raciocínio análogo ao anterior Sua constante de tempo é a 105101 125151 6 14000 428Logo 1 a2333 s Valor em regime permanente b a 051 10510105 6 0083 Simulação 6 R3200 Ωe μ05 Houve a diminuição de sua constante de tempo sendo seu valor igual a a 10510200 12515200 205 312500656Logo 1 a1524 s Valor em regime permanente b a 05200 10510200100 20504878 Simulação 7 R35 Ωe μ1 Houve um aumento em sua constante de tempo cujo valor é a 11105 125155 5 2000025 Logo 1 a 40s Valor em regime permanente b a 15 111055 51 Simulação 8 R31Ω e μ1 Houve um grande aumento em sua constante de tempo cujo valor é a 11101 125151 1 14000071 Logo 1 a 140s Valor em regime permanente b a 11 111015 51 Utilizando o critério de 2 para as simulações anteriores podese considerar que se obteve o regime permanente a partir de 4 constantes de tempo que é igual a 981 do valor de regime permanente teórico Entrada Pulso Considerando os dados da simulação 2 temse que R310 Ωe μ2 Simulação 1 L8 A0125 O sinal apresenta o mesmo formato do sinal da simulação 2 contudo quando a entrada cessa a saída se estabiliza e entra em regime permanente cujo valor é 0072 b a μR3 1μ10R3 210 12101020 5 Simulação 2 L05 A2 Simulação 3 L0065 A1338 Notase que a diferença entre as saídas das simulações se deve somente ao momento em que o sistema chega na situação de regime permanente pois este momento é igual ao valor da largura do pulso em cada caso simulado Comparando com a simulação 2 cuja entrada foi o degrau unitário percebese que nela o sistema era instável e aumentava o valor de sua saída conforme o tempo passava Neste caso o sistema continua instável mas a entrada dura uma quantidade finita de tempo e quando ela é retirada o valor na saída se mantém Conclusão Os experimentos obtiveram êxito de forma geral considerando as questões propostas os resultados teóricos esperados pela análise matemática e os resultados demonstrados por meio das simulações Durante a parte da análise matemática foi possível obter a EDO que modelava o sistema Após isso foram inseridos diferentes valores para o resistor R3 e a variável μ para se analisar como a saída se comportava com essas alterações A maior dificuldade se fez presente durante a análise das primeiras simulações para se demonstrar os motivos pelo qual a saída do circuito era instável