Sistemas de Controle - Lista de Exercícios 1 - Modelagem e Análise da Resposta Temporal

FTE029 Sistemas de controle Lista de exercícios 1 Modelagem e análise da resposta temporal de sistemas Professora Marenice Melo de Carvalho FT02 Engenharia Elétrica 14112022 1 A resposta ao impulso de um filtro passabaixa ideal é dado por gt 2ω sen2ωt t0 2ωt t0 para todo t onde ω e t0 são constantes Esse filtro é causal 2 Considere um sistema onde toda entrada ut e saída yt são relacionadas por yt u²tut1 se ut1 0 0 se ut1 0 para todo t O sistema é linear E causal E invariante 3 Considere o sistema mecânico mostrado na figura abaixo Sabese que J é o momento de inércia da barra de massa m1 Assumese que o deslocamento angular θ é muito pequeno e que o sistema está inicialmente na posição de equilíbrio Uma força externa u é aplicada na barra como indicado na figura Além disso x1 e x2 são respectivamente a posição da barra e do bloco de massa m2 Nesse sentido faça o que se pede a Determine a representação por espaço de estados do sistema b Determine a função de transferência para o sistema c Determine a representação por diagrama em blocos d Se l1 2l2 m2 2m1 e k1 4k2 determine a resposta temporal para uma entrada ao degrau unitário e Esboce a curva temporal do sistema 4 Considere o sistema mecânico a seguir composto por três blocos de massas m1 m2 e m3 Aplicase uma força externa ut no bloco m1 e observase a posição do bloco m3 como saída Nesse sentido responda o que se pede a Determine a representação por espaço de estados do sistema b Determine a função de transferência para o sistema c Determine a representação por diagrama em blocos 5 No sistema mecânico mostrado abaixo r1 é o raio do barril A saída é a posição x2 do bloco de massa m2 Nesse sentido responda o que se pede a Determine a representação por espaço de estados do sistema b Determine a função de transferência para o sistema 2 c Determine a representação por diagrama em blocos 6 O circuito elétrico a seguir é alimentado pela fonte de corrente ut Se a saída do circuito é a tensão sobre o capacitor C2 responda o que se pede a Determine a representação por espaço de estados do sistema b Determine a função de transferência para o sistema c Determine a representação por diagrama em blocos 7 O circuito elétrico a seguir é alimentado pela fonte de tensão ut Se a saída do circuito é a tensão sobre o indutor L1 e do resistor R1 responda o que se pede a Determine a representação por espaço de estados do sistema b Determine a função de transferência para o sistema c Determine a representação por diagrama em blocos 8 O circuito elétrico a seguir é alimentado pela fonte de tensão vint Se a saída do circuito é a tensão voutt responda o que se pede 3 a Determine a representação por espaço de estados do sistema b Determine a função de transferência para o sistema c Determine a representação por diagrama em blocos d Se R1 R3 1kΩ R2 R1 2 R5 2R4 10kΩ R5 R6 R7 2kΩ C1 C2 2µF C3 C4 C5 2C1 calcule os polos e zeros do circuito Qual o polo dominante e Considerando o item d calcule a resposta temporal para uma entrada ao degrau 9 Considere o diagrama em blocos a seguir Sabese que G1 k G2 G4 1 s G3 5 G4 2 G5 1 e G6 1 Nesse sentido responda o que se pede a Calcule a função de transferência global para o sistema b Discuta os valores de k que modifique o comportamento dinâmico do sistema c Se k 2 calcule a resposta temporal do sistema para uma entrada ao degrau 10 Considere o sistema de pêndulo duplo mostrado na figura abaixo Cada pêndulo tem massa m Os deslocamento angulares de cada pêndulo são representados por θ1 e θ2 Os pêndulos são conectados através de uma corda de constante elástica k o comprimento das cordas que prendem o pêndulo ao teto é l Nesse sentido faça o que se pede a Determine as equações para o modelo não linear do sistema b Realize a linearização do sistema em torno do ponto de operação θo 1 0 θo 2 0 e uo 0 c Determine a representação em espaço de estados sabendo que a saída é a abertura angular θ1 4 d Determine a representação em função de transferência sabendo que a saída é a abertura angular θ1 e Determine a representação em diagrama em blocos para o modelo linear e não linear 5 Resolução Lista de Exercícios 1 Modelagem e análise da resposta temporal de sistemas 1 A classificação de um sistema quanto à causalidade é dada da seguinte forma O sistema é causal se sua saída depende somente da entrada atual e de entradas anteriores Se a saída atual do sistema depende de entradas futuras o sistema é dito antecipativo Desta forma como o sinal de saída depende de 𝑡 𝑡0 o sistema é causal se 𝒕𝟎 𝟎 Se 𝑡0 0 teríamos uma entrada 𝑡 𝑡0 indicando assim um tempo futuro o que ocasionaria num sistema antecipativo 2 Para analisar a linearidade suponhamos que 𝑢𝑡 1 𝑢0 e que 𝑢𝑡 𝑘𝑢0 Desta forma fica evidente que a segunda propriedade de linearidade falha pois 𝑦𝑘𝑢𝑡 𝑘2𝑢02 𝑢0 𝑘2𝑢0 E 𝑘𝑦𝑢𝑡 𝑘𝑢0 Logo 𝑦𝑘𝑢𝑡 𝑘𝑦𝑢𝑡 Sendo assim o sistema é nãolinear Quanto à causalidade do sistema como ele depende apenas de entradas no tempo atual e em um tempo anterior podemos dizer que o sistema é causal Por fim dizemos que o sistema é variante no tempo visto que suas entradas variam em função do tempo Q4 m1 u m1 x1 k2x1x2 k1 x1 b1 x1 ponto u k2x1x2 k1 x1 b1 x1 ponto m1 x1 dois pontos 1 m1 u x1 k1 k2 x2 k2 b1 x1 ponto ponto x1 dois pontos z1 ponto 1 m1 u z1 k1 k2 z3 k2 b1 z2 m2 k2x2x1 b3x1 pontox3 ponto m2 k2x2x3 k3 x2 ponto b2 x2 x2 dois pontos 1 m2 x2 2 k2 k3 x1 ponto b2 b3 x3 k3 x3 ponto b3 m2 x2 dois pontos z4 dois pontos 1 m2 z3 2 k2 k3 z4 b2 b3 z5 k3 z6 b3 z1 k2 m3 b2x5 ponto x2 ponto m3 k4x3x2 m3 k4 x3 k4 x2 b3 x3 ponto b3 x2 ponto m3 x3 dois pontos x3 dois pontos 1 m3 k4 x2 b3 x2 ponto k4 x3 b3 x3 ponto z6 ponto 1 m3 z3 k4 z4 b3 z5 k4 z6 b3 z1 x1 z1 ponto x1 ponto z2 x1 ponto z2 ponto x1 dois pontos z3 x2 z3 ponto x2 ponto z4 x2 ponto z4 ponto x2 dois pontos z5 x3 z5 ponto x3 dois pontos z6 x3 ponto z6 ponto x3 dois pontos z1 ponto z2 z2 ponto 1m1 u z1 k1 k2 z3 k2 b1 z2 z3 ponto z4 z4 dois pontos 1m2 z3 2 k2 k3 z4 b2 b3 z5 k3 z6 b3 z5 ponto z6 z6 ponto 1m3 z3 k4 z4 b3 z5 k4 z6 b3 a z1 ponto z2 ponto z3 ponto z4 ponto z5 ponto z6 ponto T 0 1 0 0 0 0 k1 k2m1 b1m1 k2m1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 k2m2 0 2 k2 k3m2 b1 b3m2 k3m2 b3m2 0 0 0 0 0 1 0 0 k4m3 b3m3 k4m3 b3m3 z1 z2 z3 z4 z5 z6T 0 1m1 0 0 0 0T u y3 x3 y3 0 0 0 0 1 0 z1 z2 z3 z4 z5 z6T 0 u c 1m1 u x1 k1 k2 x2 k2 b1 x1 ponto ponto x1 dois pontos L M1 x1 dois pontos U X1 k1 k2 X2 k2 B1 λ x1 X1 M1 s2 B1 s K1K2 U X2 K2 X1 U X2 K2 1 M1 s2 B1 s K1 K2 U K2 X2 1 M1 s2 B1 s K1 K2 X2 1m2 X2 2k2 t k3 b2 b3 X3 k3 3 b3 X1 K2 g M2 s2 X2 2k2 k3 X2 λB2 B3 X2 X1 K2 X3 k3 λ B3 X2 X1 K2 X3 k3 λ B3 M2 s2 B2 B3 λ 2k2 k3 K2 k3 λ B3 X1 K2 X3 k3 λ B3 M2 s2 B2 B3 λ 2 k2 k3 m3 X3 1m3 K4 X2 b3 2 K4 X3 b3 3 g M3 s2 X3 K4 X2 X2 λ B3 K4 X3 B3 λ X3 X3 M3 s2 B3 λ K4 X2 K4 λ B3 X3 X2 k4 λ B3 M3 s2 B3 λ K4 c U M1 s2 B1 s K1 K2 X1 K2 K3 λ B3 M2 s2 B2 B3 λ 2 K2 K3 X2 b Por fim M2 s2 B2 B3 λ 2 K2 k3 X2 X1 K2 X3 k3 λ B3 X3 X2 k4 λ B3 M3 s2 B3 λ K4 X2 M3 s2 B3 λ K4 X3 K4 λ B3 X1 U X2 K2 1 M1 s2 B1 s K1 K2 U M3 s2 B3 λ K4 X3 K2 K4 λ B3 1 M1 s2 B1 s K1 K2 Resultando em M2 s2 B2 B3 λ 2 K2 k3 M3 s2 B3 λ K4 X3 k4 λ B3 U M3 s2 B3 λ K4 X3 K2 k4 λ B3 K2 M1 s2 B1 s K1 K2 X3 k3 λ B3 K4 λ B3 X3 M2 s2 B2 B3 λ 2 K2 k3 M3 s2 B3 λ K4 k4 λ B3 K2 M3 s2 B3 λ K4 k3 λ B3 K4 λ B3 M1 s2 B1 s K1 K2 U K2 M1 s2 B1 s K1 K2 X3 UK2 K4 λ B3 k4 λ B3 M2 s2 B2 B3 λ 2 K2 k3 M3 s2 B3 λ K4 k3 λ B3 K4 λ B3 k4 λ B3 M1 s2 B1 s K1 K2 UK2 k4 λ B3 k4 λ B3 K2 M3 s2 B3 λ K4 Q6 Circuit diagram equations and block diagrams for electrical components including capacitors C1 C2 resistors R1 R2 and inductor L1 with voltage and current notations relationships Laplace transforms and system inputoutput manipulations in Portuguese Equations and block diagrams showing the relationships between voltages currents resistances inductances capacitances and Laplace variable s including manipulation to avoid derivative blocks and simplification of the system for representation blocked system diagrams and notes on their interactions in Portuguese Derivation of the transfer function YU statespace equations block diagrams and matrix representations for the system in Portuguese with variables X1 X2 U Y and their derivatives and transformations Q7 U R1 L1 C2 VL2 VC1 C1 RL2 I1 I2 I3 VL L2 Simplificando Zeq Z1Z2 z1 frac1sC1 R2 z2 frac1sC2 sL2 Zeq frac1sC1 R2sL2 frac1sC2 fracL2C1 frac1s2C1C2 sR2L2 fracR2sC2 frac1sC1 R2 sL2 frac1sC2 fracC2 R2sC1C2 s2L2C1C2 C1sC1C2 Zeq fracs2C1 1 s3R2L2C1C2 R2sC1s2C1C2 fracC2 R2sC1C2 s2L2C1C2 C1s2C1C2 fracs2C2 s3R2L2C1C2 sR2C1 1s2L2C1C2 sR2C1C2 C1 C2 Desta forma R1 L1 y zg i1 rightarrow y sL1 R1 I1 I1 fracUZtotal fracUZy Zeq fracUs2C2 s3R2L2C1C2 sR2C1 1 sL1 R1 frac1s2L2C1C2 sR2C1C2 C1 C2 I1 fracs2L2C1C2 sR2C1C2 C1 C2 Us2C2 s3R2L2C1C2 sR2C1 1 sL1 R1s2L2C1C2 sR2C1C2 C1 C2 c U I1 y b fracyU fracsL1 R1s2L2C1C2 sR2C1C2 C1 C2s2C2 s3R2L2C1C2 sR2C1 1 sL1 R1s2L2C1C2 sR2C1C2 C1 C2 b fracyU fracsL1 R1s2L2C1C2 sR2C1C2 C1 C2s2C2 s3R2L2C1C2 sR2C1 1 sL1 R1s2L2C1C2 sR2C1C2 C1 C2