Lista de Exercícios sobre Sistema de Controle e Critério de Routh

Lista de Exercícios Sistema de Controle Questão 1 Letra a Seja ds s4 5s3 8s2 20s 16 e aplicando o critério de Routh temos em que Contudo a linha s1 inteira foi nula logo usando o polinômio P s 4s2 16 Ps 8s Temos Analisando a tabela de Routh de s4 até s2 não houve mudança de sinal logo os polos são estáveis A análise de P s de s1 a s0 indica que P s não tem polos no semiplano direito logo os polos de P s estão no eixo jω Assim existem 2 polos negativos e 2 polos sobre o eixo jω O sistema é marginalmente estável Letra b Seja ds s6 3s5 8s4 10s3 8s2 15s 20 e aplicando o critério de Routh temos em que Perceba que houveram 2 trocas de sinais logo ds possui duas raízes no semiplano direito e 4 no semiplano esquerdo O sistema é instável Letra c Seja ds s5 3s4 3s3 9s2 9s 1 e aplicando o critério de Routh temos em que Montando a tabela da primeira coluna e o sinal de ϵ temos Então concluímos que a tabela de Routh muda de sinal 2 vezes logo ds possui duas raízes no semiplano direito e 3 no semiplano esquerdo O sistema é instável Letra d Seja ds s3 3s2 8s 8 e aplicando o critério de Routh temos em que Como não existe mudança no sinal da primeira coluna o sistema é estável com todas as raízes no semiplano esquerdo Questão 2 Sistema 1 O LGR do sistema parte dos polos e zeros de malha aberta logo Sendo que a condição de ângulo do LGR requer é então verificamos onde no eixo real existe LGR escolhendo um ponto de testes em cada intervalo de interesse Assim temos O LGR no eixo real é ilustrado a seguir O ângulo das assíntotas é cujas assíntotas são 180 60 o LGR final é apresentado na figura acima Figura 1 Questão 2 a de G1 s Região de Estabilidade Para determinar a região de estabilidade obtemos a função transferência de malha fechada dada por Aplicando Routh temos A linha s2 é positiva somente se k 256 Admitindo que k 256 temos da linha s1 que cujas raízes do polinômio são Como a parábola tem concavidade positiva ela só será negativa entre as raízes Logo k 1989 309 Mas da linha s0 sabemos que k 0 e assim a região de estabilidade é Raízes Reais Observe pelo traçado que a medida que k cresce um dos polos em s 2 encontra com o polo na origem e formam um par complexo conjugado Para esse problema o ponto de partida ao eixo real pode ser determinado da seguinte maneira E logo igualando a 0 e resolvendo numericamente e procurando a raiz no intervalo 2 0 temos aplicando em Ks vemos que k 19 Então o sistema terá somente raízes reais se Raízes duplas Neste caso do LGR sabemos que a partir do ponto de partida os polos serão complexos conjugados Logo k 19 Raízes no eixo jω Para o sistema oscilar com amplitude constante isso quer dizer que ele tem um par de polos no eixo jω Sabemos da análise de estabilidade que o ganho que deixa o sistema marginalmente estável é pois assim a coluna s1 será toda nula e terão um par de polos sobre o eixo jω Lembrando que o outro valor instabiliza o sistema Coeficiente de amortecimento ζ 0707 Os polos de malha fechada com ζ 0707 situados em linhas que passam pela origem e formam os ângulos cos1 ζ cos1 0707 45 com o eixo real negativo No LGR esta reta toca o LGR em aproximadamente s 0625 j0625 Então o ganho é obtido pela condição de módulo Amortecimento crítico Um sistema de segunda ordem criticamente amortecido é aquele em que ζ 1 e logo seus polos são iguais Note então que o sistema só será criticamente amortecido no ponto de saído do eixo real pois assim a ação dos outros polos pode ser grosseiramente desconsiderada e então temos K 19 Sistema 2 cujos polos são p 0 p 4 e p 8 e o zero é s 05 Escolhendo um ponto de testes temos As assíntotas são O LGR final é apresentado na Figura abaixo Figura 2 Questão 2 b de G2 s Região de estabilidade A função transferência de malha fechada é Aplicando Routh temos Da linha s0 vêse k 0 Da linha s2 vemos que k 384 Admitindo 0 k 384 de s1 vemos que kk12 26 0 k 2612 312 Então o sistema é estável se 0 k 312 Raízes reais Pelo LGR sabemos que para qualquer ganho os polos da origem formaram complexo conjugados Logo as raízes serão todas reais somente para k 0 Raízes duplas Os polos serão complexos conjugados para Raízes no eixo jω Além da origem as raízes estarão no eixo jω um outro momento Sabemos da tabela de Routh que isso ocorrerá para o limite de k logo k 312 Coeficiente de amortecimento ζ 0707 O LGR toca a reta de ζ 0707 em 2 pontos como mostrado na Figura abaixo Figura 3 Zoom no LGR de G2 s Eles são aproximadamente S1 1 j1 e S2 079 j079 Então os ganhos são pela condição de módulo Em especial é melhor escolher o maior ganho visto que isso implica que os demais polos estarão mais afastados dos polos dominantes e assim o sistema se comportará mais similar a um de segunda ordem Amortecimento crítico Não há amortecimento crítico visto que os polos na origem instabilizarão o sistema para k 0 e após isso o sistema é sempre terá um par de complexo conjugados Sistema 3 Os polos são p 2 p 1 1j e os zeros são z 4 2j Lembrando que a fase de complexo conjugados é nula visto que um anula o outro Escolhendo um ponto de teste S temos As assíntotas são Observe que no eixo real o polo em 2 tenderá para e o par de polos complexos conjugados irão para os zeros complexo conjugados a medida que k aumenta O LGR final é apresentado na Figura abaixo Figura 4 Questão 2 c de G3 s Região de estabilidade A função transferência de malha fechada é Aplicando Routh temos Raízes reais Pelo LGR sabemos que para qualquer ganho o par de polos complexos continuarão existindo Raízes duplas Os polos serão complexos conjugados para Raízes no eixo jω Pelo LGR já vimos que o sistema não toca o eixo jω Coeficiente de amortecimento ζ 0707 Primeiro observamos que para K1 0 os polos complexos conjugados estão exatamente sob a reta de ζ 0707 Ainda existe outro ponto em aproximadamente s 454 j454 Pela condição de módulo temos Amortecimento crítico Não há amortecimento crítico visto que o sistema sempre será sub amortecido Sistema 4 Figura 5 Questão 2 d de G4 s Região de estabilidade A função transferência de malha fechada é Raízes reais Do LGR percebe que para qualquer ganho não nulo os polos em 3 serão complexos conjugados Portanto apenas para k 0 Raízes duplas Os polos serão complexos conjugados para Raízes no eixo jω O sistema será oscilatório com amplitude constante quando o ganho for k 784 de acordo com a tabela de Routh Coeficiente de amortecimento ζ 0707 O LGR não passa pela reta definida para ζ 0707 Amortecimento crítico O amortecimento crítico ocorre para k 784 Questão 3 O valor de ζ e ωn escolhidos para projeto dos compensadores são Sistema 1 Sistema 2