Projeto de Sistemas de Controle no Domínio do Tempo - UFAM

UNIVERSIDADE DO AMAZONAS DEPARTAMENTO DE ELETRICIDADE SISTEMA DE CONTROLE Avaliação Projeto Domínio do Tempo Considerações Trabalho de Equipe com 03 participantes Entrega dos trabalhos 05072023 Nas plantas os valores dos parâmetros são dados por 3 3 dezena da matricula do aluno j j da matricula do aluno j centena p i j i j i Projetar os controladores utilizan6do técnicas de projetos no domínio do tempo Apresentar os cálculos realizado comandos matlab seguidos dos resultados as equações dos root loci necessários para o projeto com os pontos selecionados usando a função rlocfind para mostrar o ponto selecionado ganho e os polos Mostrar gráfico de yt e rt em um único scope e ut em outro scope Avaliar o desempenho do controlador em função dos resultados obtidos frente as especificações requeridas A quinta é opcional será corrigida somente para quem precisar de nota na prova final 1a No diagrama de blocos abaixo 𝐺𝑠 𝐾 𝑠 𝑝2 𝑝1 𝑠 𝑝1 𝑝3 2 𝑠 𝑝2 onde Kp1 p3 p2 Projete um controlador P PD PI ou PID para obter erro de regime ao degrau igual a zero 0707 e ts 20 s Simule o sistema para rt t Cs Gs Rs Ys 2a Agora considere 𝐺𝑠 10𝑠 𝑝1 𝑠 𝑝2𝑠2 𝑝1 𝑝2𝑠 𝑝3 Projete um controlador de avanço oue atraso de fase tal que o erro de regime permanente ao degrau seja menor ou igual a 2 e 06 3a Projete um controlador para que a planta 1 2 2 2 3 2 1 10 p s p s p p s p p s s G tenha erro de regime permanente ao degrau 2 e 05 4a Um sistema de acionamento de uma unidade de fita de computador utilizando um motor CC de ímã permanente é mostrado abaixo e em seguida está o esquema em diagrama de blocos do sistema em malha fechada A constante KL representa a constante de mola da fita elástica e BL denota o coeficiente de atrito viscoso entre a fita e os cabrestantes Os parâmetros do sistema são os seguintes K constante de torque do motor l0 ozinA Kb constante de força contraeletromotriz do motor 00706 Vradseg B coeficiente de fricção do motor 3 oz inrads Ra 025 H La 008 H KL 3000 oz inrad BL 10 oz inrads JL 6 ozinlrads Kf 1 Vradseg J 005 ozb inrads2 a Represente o sistema por modelo de estado do sistema b O objetivo do sistema é controlar a velocidade da fita 𝜔𝐿 com precisão Proponha um controlador por realimentação de estado tal que as especificações sejam satisfeitas Erro ao degrau nulo Tempo de subida 002 s Tempo de acomodação 002 s Overshoot 1 ou no mínimo Traçar o c Projete um observador de estado de ordem completa e feche a malha utilizando os estados estimados pelo observador Compare o desempenho em relação ao caso anterior 5a Um sistema para aquecimento de água por radiação solar SAS para suprir ou complementar a necessidade de energia para aquecer água para fins doméstico ou industrial Atualmente há um crescente interesse por SAS pois A reserva convencional de combustível fóssil é limitada e cada vez está mais cara A tecnologia de geração de energia baseada em combustíveis fósseis tem sérias implicações no aquecimento global A energia solar é limpa renovável e inesgotável A tecnologia solar é ecoamigável A energia consumida é grátis e contribui para a redução do consumo de energia elétrica gás natuaral ou GLP principalmente nas residências e edifícios Três configurações típicas para SAS são mostradas abaixo A água fria do fundo do reservatório é bombeada para passar através do coletor solar onde é aquecida pela radiação solar absorvida no painel e flui para o topo do reservatório onde se concentra a água mais quente O reservatório é um tanque vertical isolado termicamente para armazenamento de água quente por aquecimento natural mas dispõe de um aquecedor elétrico auxiliar que é usado para suprir eou complementar a energia necessária para que a água permaneça em torno da temperatura desejada no ponto de consumo saída dágua quente Como não há um misturador no tanque este fica estratificado com diversas camadas isotérmicas dágua onde as camadas mais quentes ficam no topo e as mais frias na base do reservatório Em um SAS com aquecimento indireto é similar à configuração acima porém o fluido de transferência de calor é uma solução de água com etileno ou propileno glicol e a transmissão de calor para a água se processa através de um trocador de calor existente dentro do reservatório Como o ponto de fusão destas soluções são menores que 25 oC torna a configuração indireta adequada para uso em países de clima frio pois no inverno a temperatura ambiente pode alcançar valores abaixo se 0 oC congelando a água nos dutos do coletor solar levandoos à ruptura O trocador de calor é uma serpentina helicoidal tendo transferência de calor predominantemente por convecção natural Nesta configuração não há bomba para fazer a circulação da água quente através do coletor solar O fluxo do painel para o reservatório ocorre por termossifão enquanto que o fluxo contrário de água fria do tanque para o coletor ocorre por gravidade Termossifão é um fenômeno próprio da convecção natural que ocorre porque a densidade da água varia com a temperatura a água quente se torna mais leve em relação à água mais fria por conseguinte formase um escoamento que subirá de forma natural para o reservatório O processo continua até atigir o equilíbrio térmico quando as temperaturas da água no reservatório e no painel tornamse iguais Para evitar o fluxo inverso de água durante a noite o tanque precisa ser instalado a uma altura acima do painel do coletor Para eficiência do processo o fluido usado para transmissão de calor deve ter calor específico e condutibilidade térmica elevados viscosidade e coeficiente de expansão baixos além de ser anticorrosivo Escolha da Configuração de SAS 3 mod 1 3 i j Dj opção Onde Di Dezena da matricula do aluno i dois últimos algarismos A função modab retorna o resto da divisão ab a Modele matematicamente o sistema escolhido Considere que Características do reservatório Cilindro vertical com capacidade para 100 litros e termicamente isolado Suponha que o reservatório é instalado no telhado a uma altura suficiente para prover a pressão para abastecer a demanda dágua Estratificação de camadas isotérmicas número de camadas 𝑁 2 𝑚𝑜𝑑 𝐷𝑗 3 𝑗𝑖 5 A saída para consumo dágua fica localizada a terceira camada isotérmica a partir do topo do reservatório A entrada dágua fria está localizada na base do reservatório É alimentada pela caixa dágua principal que tem capacidade ilimitada e altura suficiente para abastecer o reservatório por gravidade A aberturafechamento da válvula de admissão de água fria do reservatório é acionada por um mecanismo com boia que controla a vazão de modo a manter o reservatório sempre cheio A entrada de água quente fica na parte superior reservatório Bomba tem vazão constante Coletor Solar É montado com painéis modulares retangulares que podem ser associados em série ou paralelos a fim de se obter a vazão e temperatura desejada A superfície de incidência solar do painel é feita com vidro duplo cobertos com películas de baixa emissividade separados por uma camada de ar O vidro tem característica de filtro solar passa baixa rejeita ondas de 3 a 50μm e deixa passar ondas de 03 a 3 μm infravermelho A placa absorvedora e a tubulação hidráulica do coletor são feitos de metal de alta condutibilidade térmica e espessura muito pequena A base do coletor é feita de isolante térmico Coeficiente global de transmissão de calor de módulo do painel é de 191 Wm2K Devido às características acima as perdas de energia do coletor para o ambiente é predominatemnte por convecção A eficiência do coletor depende do ângulo de incidência dos raios solares A incidência solar é constante das 0930 às 1530h razoável para a maior parte do dia nas proximidades da linha do equador Perfil de Consumo d água suporta variações de vazão do tipo degrau Por segurança o fluxo d agua quente do coletor para o reservatório é controlado por uma válvula comandada pela temperatura da camada do ponto de consumo d água a válvula fecha quando T Tmax e abre quando T Tmin Sugestão apresente blocos para representar a dinâmica do tanque aquecimento da água no coletor solar escoamento da água quente por termossifão ou por bombeamento Para modelar e projetar um controlador para manter a temperatura da camada de consumo d água constante em 30 oC b Faça a sintonia da malha de controle do nível do tanque c Proponha um subsistema para controlar a inclinação do coletor solar a fim de melhor absorver a incidência solar Projete um controlador PI para controlar a inclinação do coletor cProponha um subsistema de aquecimento elétrico para ajudar o sistema de aquecimento dágua e projete um controlador para o sistema Matrículas As três matrículas são Índice Matrícula Centena Dezena 1 21952064 0 6 2 21753836 8 3 3 21850586 5 8 Assim as constantes são p1 j13 cjj13 j dj 085162338 1336 p2 j23 cjj23 j dj 852338 1330 p3 j33 cjj33 j dj 538 524 Questão 1 Seja o processo Gs 024676s007222s02847s04333 a ser controlador por um controlador PID em cascata de modo que o desempenho da malha fechada apresente ζ 0707 e ts 2 s além de erro nulo em regime permanente O integrador já garante erro nulo de regime permanente mas para atingir ζ 0707 e ts 2 s temos ωn 4ζ ts 42 0707 28288 rads escolhendo ωn 3 rads vemos que os polos dominantes da malha fechada devem ser p12 ζωn jωn 1ζ2 2121 j21216 Supondo um sistema de controle como mostrado a seguir em que Cs é um controlador PID da forma Cs K1 K2s K3 s K1 s K2 K3 s2s K3 s2 K1K3 s K2K3s Note que o controlador é uma função transferência com dois zeros e um polo Observe que para atingir os polos desejados na malha fechada fazendo uma análise por LGR para o ganho K3 temos Cs Gs Cs Gs 1802k1 k 0 1 portanto é obrigatório que a fase do controlador seja projetada de modo a satisfazer Cs 1802k1 Gs A fase de Gs em relação aos polos dominantes desejados é obtida somando a contribuição de cada um dos seus polos fazendo θ1 180 tg1 21216212100722 1340 θ2 180 tg1 21216212102847 1309 θ3 180 tg1 21216212104333 1285 portanto Gs 3934 360 334 Então note que Cs 1802k1 360 334 O polinômio do numerador do controlador pode ser escrito na forma szcszi e logo Cs szc szi s szc szi 135 Aplicando na condição angular szc szi 1802k1 360 1684 Fazendo uma análise para os valores de k k 180 180 0 7084 3484 1 10684 116 2 14284 3716 Note que essa tabela é válida para controlador PI ou PID A distinção para controlador PID e PI é se haverá um ou dois zeros Somente com um zero é impossível realizar qualquer uma das deficiências angulares da tabela E os controladores sem o integrador não garantem erro nulo de regime permanente sobrando apenas a análise para um controlador PID Para zeros de fase mínima s zc ou s zi variam de 0 a 135 porque vimos que o polo localizado na origem faz 135 Portanto não há combinações possíveis de zi e zc para que o sistema tenha o desempenho requerido A solução seria adicionar zeros de fase não mínima bem a direita do polo dominante Por exemplo admitindose zc zi segue que szc szi 34842 1742 Fazendo a análise geométrica obtemos ωn1 ζ2zc ζωn tg180 1742 Resolvendo para zc zc zi 18766 e o controlador se torna Cs K s 187662 s Fazendo o LGR de Cs Gs obtemos Figura 1 LGR de CsGs O ganho necessário pode ser obtido pela regra do módulo como K 1 GsCss2121j21216 06214 O controlador PID projetado é Cs 06214s 187662 s A resposta da malha fechada para a entrada degrau é apresentada a seguir Note que o sistema ficou instável analisando a função transferência de malha fechada vemos que Hs CsGs 1 CsGs 015334s 18722 s2 3452s 5972s2 4242s 9 que tem o par de polos desejados mais um par de polos complexo conjugados instáveis Sendo assim o controlador PID projetado não foi capaz de satisfazer aos requisitos de pro jeto e ao invés disso instabilizou o processo Portanto sugerese flexibilizar o critério de tempo de acomodação permitindo uma acomodação mais lenta trazendo assim os polos dominantes de malha fechada mais perto do eixo jω onde se encontram os polos do processo em malha aberta Figura 2 Resposta ao degrau Questão 2 Seja o processo Gs 10s 03611 s 04333s2 07944s 02083 a ser controlador por um controlador de avanço ou atraso de fase de modo que o desempe nho da malha fechada apresente ζ 06 e erro de regime permanente menor que 2 O ganho estático é Kp lim s0 GcsGs Kα 1003611 0433302083 40Kα e como ess 1 1 Kp 002 segue que 1 002 40Kα 1 resolvendo para Kalpha Kalpha 1225 Podemos então escolher um valor de omegan e verificar se o ganho final satisfaz a tal condição Partindo de omegan 1 vemos que os polos dominantes desejados são p zeta omegan pm j omegan sqrt1zeta2 06 pm j 08 Os ângulos de p com o zero e os polos do sistema são phi1 180circ mathrmtg1 leftfrac0806 03611right 1066circ heta1 180circ mathrmtg1 leftfrac080224806 03972right 1012circ heta2 180circ mathrmtg1 leftfrac08 0224806 03972right 1094circ heta3 180circ mathrmtg1 leftfrac0806 04333right 1018circ A deficiência angular é defic angular 180circ 1012circ 1094circ 1018circ 1066circ 2575circ Vamos obter o zero e o polo do compensador de fase pelo método da bissetriz Primeiro traçamos uma reta horizontal que passa por P formando o segmento overlinePA Traçamos outro segmento da origem até P formando overlineOP Então traçamos a bissetriz do ângulo widehatAPO até que toque no eixo real que chamamos de ponto B Usando o segmento overlinePB como base e seccionando em duas partes iguais e tomando 2575circ2 de cada lado encontramse os lugares do zero e do polo como segue zero em s 0795 polo em s 1258 Assim Gcs pode ser dado como Gcs Ks 0795 s 1258 O ganho K é projetado por K 1 GcsGss06j08 00784 usando o critério vemos que Kα 0078407951258 005 bem abaixo do critério esti pulado Refazendo a abordagem anterior mas tomando ωn 10 segue que os polos domi nantes são 6 j8 e a deficiência angular é defic angular 180 1243 1258 1248 1252 6669 Aplicando o método da bissetriz novamente temos zero em s 2068 polo em s 4386 Assim Gcs pode ser dado como Gcs Ks 2068 s 4386 O ganho K é projetado por K 1 GcsGss3j4 1964 que satisfaz ao critério de erro de regime permanente Assim o controlador de avanço de fase projetado é Gcs 1964s 2068 s 4386 que torna a malha fechada em Hs GcsGs 1 GcsGs 1964s 4836s 03611 s 9547s 03612s2 12s 100 perceba que conseguimos o par de polos complexos desejados mas que um dos polos reais em 9547 não teve seu efeito cancelado e então o transitório pode ser levemente alterado Simulando a saída do sistema vemos que o sobressinal foi de 329 característico de ζ 0334 e que o erro de regime permanente é de ess 054 O sistema teve um sobres sinal maior do que o esperado devido a ação do polo real que não ficou localizo próximo a nenhum zero e nem uma década mais afastada que a parte real dos polos dominantes Pode ser projetado um précompensador para remover o efeito do zero e do polo que sobraram de modo que Gps 05065s 9547 s 4836 É mostrado comparativamente a saída compensada Observe que a resposta ocorre exatamente como desejado com um sobressinal de 95 ζ 06 e erro de regime sem alterações Figura 3 Resposta da malha fechada Questão 3 Seja a planta Gs 10s 07944 s 04333s 03611s2 04167s 04767 a ser controlador por um controlador de avanço ou atraso de fase de modo que o desempe nho da malha fechada apresente ζ 05 e erro de regime permanente menor que 2 Considere o controlador PID Cs Ks2 04167s 04767 s Perceba que a malha aberta se torna CsGs K 10s 07944 ss 04333s 03611 Traçando o LGR deste sistema temos Figura 4 LGR de CsGs Perceba que existe um ponto em que o sistema é estável e cruza com a reta em que ζ 05 Portanto clicando na tela verificamos que o ganho necessário para tal é aproxima damente K 00043 então o controlador PID projetado é Cs 00043s2 04167s 04767 s A malha fechada do sistema se torna Hs CsGs 1 CsGs 0043s 07944 s 05429s2 02515s 006292 cuja resposta para a entrada degrau é apresentada a seguir Figura 5 Resposta da malha fechada Observamos que o sistema apresenta um sobressinal máximo de 15 ζ 05169 bem próximo ao valor requerido de projeto Ainda vemos que o sistema segue a referência devido a ação integral portanto tem erro de regime permanente nulo Contudo não foi possível fazer a simulação da saída do controlador porque a simulação foi feita por código e a função transferência era não causal mais zeros do que polos Questão 4 letra a O torque do motor é dado por Tm Ktia Jeqdotomegam Beqomegam Keq hetam ou ainda dotomegam fracKtJeqia fracBeqJeqomegam fracKeqJeq hetam em que Jeq Jm JL Beq Bm BL e Keq KL Por fim a equação da armadura do motor leva a ea Raia Lafracdiadt Kbomegam Resolvendo para fracdiadt temos fracdiadt fraceaLa fracRaLaia fracKbLaomegam Perceba que dado a ligação e desprezando as perdas temos que hetam hetaL omegam omegaL Então as equações de estados se tornam fracddt hetaL omegaL fracddtomegaL fracKtJeqia fracBeqJeqomegaL fracKeqJeq hetaL fracdiadt fraceaLa fracRaLaia fracKbLaomegaL Por fim fracddt beginbmatrix hetaL omegaL ia endbmatrix beginbmatrix 0 1 0 KeqJeq BeqJeq KtJeq 0 KbLa RaLa endbmatrix beginbmatrix hetaL omegaL ia endbmatrix beginbmatrix 0 0 1La endbmatrix ea e a equação da saída é y omegaL 0 1 0 beginbmatrix hetaL omegaL ia endbmatrix Substituindo os valores dados no exercício fracddt beginbmatrix hetaL omegaL ia endbmatrix beginbmatrix 0 1 0 49587 21488 16529 0 08825 3125 endbmatrix beginbmatrix hetaL omegaL ia endbmatrix beginbmatrix 0 0 125 endbmatrix ea y 0 1 0 beginbmatrix hetaL omegaL ia endbmatrix letra b A topologia de controle adota é apresentada a seguir no qual os ganhos K k1 k2 k3 são projetados para que a malha fechada tenha o comportamento transitório desejado O ganho F é uma compensação para que o sistema apresente erro nulo de regime permanente Figura 6 Realimentação de estados Escolhendo um sobressinal máximo de 05 temos ζ 08602 e adotando ts 001 s segue ωn 4tsζ 46503 rads Os polos dominantes de malha fechada são p ζωn jωn1 ζ² 400 j2371766 e lembrando que ωL dθLdt isto é terá um derivador zero na origem alocamos pelo em 0 Então projetando pela fórmula de Acker temos K 10⁴19148 10360 00064 que leva a malha fechada para ẋ ξ A BKxt BFrt 0 1 0 49587 21488 16529 2393610⁵ 129510⁵ 79785xt F0 0 125rt y Cxt Os autovalores da matriz de malha fechada Acl A BK são λ₁ 0 λ₂₃ 400 j2371766 exatamente como desejado Projetamos o ganho F para que o sistema tenha erro nulo para entrada degrau fazendo F 1CI Acl¹B 1050510⁴ Então a malha fechada se torna ẋt Aclxt BFrt 0 1 0 49587 21488 16529 2393610⁵ 129510⁵ 79785xt 0 0 1050510⁴rt y Cxt 0 1 0xt A resposta para a entrada degrau do sistema é apresentada abaixo em que observamos que o sistema acomoda em menos de 002 s e que tem um sobressinal mínimo de 05 Além de erro nulo de regime permanente Sendo assim o controlador foi capaz de atingir todos os critérios de desempenho estipulados Figura 7 Resposta da MF para entrada degrau letra c A malha fechada com o observador de estado completo é mostrado abaixo Figura 8 Malha fechada com observador Desejamos que os observadores tenham a dinâmica 10 vezes maior que a malha fechada logo seus polos desejados são p 4000 4100 4200 Podemos então projetar os ganhos do observador usando a fórmula de Ackermann mas tomando Aᵀ e Cᵀ no MATLAB L ackerACp Ao qual obtemos L 4445110⁷ 1229510⁴ 1330510¹⁰ Analisando a topologia acima a malha fechada é descrita por ddt xt et A BK BK 0 A LC xt et BF 0 rt yt C 0 xt et sendo et xt xt o erro entre os estados da planta e os estados observados Então fazendo a simulação da malha fechada primeiro considerando estados iniciais nulos para a planta e o observador e depois considerando que somente a planta sai de x₀ 1 1 03 obtemos os resultados mostrados a seguir Observamos que se os estados iniciais do observador e da planta são iguais não há nenhuma distinção na resposta de malha fechada justamente porque os ganhos escolhidos são muito mais rápidos que a dinâmica do processo garantindo o mesmo desempenho do que quando obtidos os estados da planta Também partindo os dois de estados distintos foi visto a resposta de malha fechada foi capaz de atingir os requisitos de desempenho do sobressinal tempo de acomodação e tempo de subida e ainda os estados estimados convergiram para o estado da planta a Estados iniciais nulos b Estados iniciais da planta não nulos Figura 9 Resposta da malha fechada Portanto o projeto dos observadores obteve êxito em estimar os estados e não inter ferir no projeto do controlador feito no item b garantindo o desempenho desejado para a planta Códigos 1 Q1 2 clc clear close all 3 p1 1336 4 p2 1330 5 p3 524 6 7 constantes 8 K p1p3p2 9 z 0707 w 3 10 polo dominante 11 a zw bwsqrt1z2 12 P a 1jb 13 TF processo 14 G zpkp2p1 p1p32 p2K 15 pp poleG 16 contrib angular de G 17 th1 180 180piatanbapp1 18 th2 180 180piatanbapp2 19 th3 180 180piatanbapp3 20 th th1th2th3 21 k0 e 180 22 phi 180th1352 23 zero 24 zc btan180phi180pi a 25 Controlador 26 C zpkzczc 0 1 27 28 LGR 29 rlocusCG hold on 30 scatteraabbx 31 ylim1010 32 33 projeto K 34 K 1absevalfrCG P 35 resposta degrau 36 figure2 37 H feedbackKCG1 38 stepH 39 40 Q2 41 clc clear close all 42 constantes 43 p1 1336 44 p2 1330 45 p3 524 46 z 06 47 ess 002 48 49 TF processo 50 G tf101p1 conv1p21p1p2p3 51 G zpkG pppoleG zzzeroG 52 ganho K 53 K 1ess 1dcgainG 54 escolhe wn 55 w 10 56 P zw 1jwsqrt1z2 57 a zw bwsqrt1z2 58 fase de G 59 ph1 180 180piatanbazz1 60 th1 180 180piatanbimagpp1arealpp1 61 th2 180 180piatanbimagpp2arealpp2 62 th3 180 180piatanbimagpp3arealpp3 63 def angular 64 defAng 180 th1th2th3 ph1 65 obtidos método geométrico 66 zc 4836 pc2068 67 Gc tf1zc1pc 68 ganho 69 K 1absevalfrGcG P 70 MF 71 H feedbackKGcG1 72 tfU feedbackKGcG 73 Gp tf050651954714836 74 Hcomp GpH 75 tfUcomp GptfU 76 77 resp degrau 78 subplot211 79 stepHHcomp 80 grid on hold on plot02511 81 legendSem Comp Com compRef titleSaída 82 subplot212 83 steptfUtfUcomp grid on hold on titleSinal de Controle 84 85 86 Q3 87 clc clear close all 88 constantes 89 p1 1336 90 p2 1330 91 p3 524 92 z 05 w 10 93 ess 002 94 processo 95 den conv12p3p32 p2conv1p21p1 96 G tf101p1p2den GzpkG 97 PID 98 C tf12p3p32 p2 10 99 LGR 100 rlocusGC sgridz0 101 K projetado por click próximo a z05 102 K00043 103 H feedbackKminrealCG1 104 figure2 105 stepH 106 grid on hold on plot02511 107 legendSem Comp Ref titleSaída 108 109 Q4 110 clc clear close all 111 const 112 Kt 10 Kb 00706 113 Bm 3 BL 10 114 Ra 025 La008 115 KL 3000 116 Jm 005 JL 6 117 equivalente 118 Jeq Jm JL 119 Beq Bm BL 120 Keq KL 121 122 matrizes 123 A 010 124 KeqJeq BeqJeq KtJeq 125 0 KbLa RaLa 126 B 001La 127 C 010 128 D 0 129 130 letra b 131 OS 05100 ts 001 132 z logOSsqrtpi2 logOS2 133 w 4tsz 134 polos dom 135 a zw b wsqrt1z2 136 P a1jb 137 todos polos 138 pp P conjP 0 139 projeto controlador servo 140 Khat ackerAB pp 141 K Khat1end 142 143 malha fechada 144 Acl ABK 145 ganho comp 146 F 1Ceye3AclB 147 Bcl FB 148 Ccl C 149 espaço de estados 150 sys ssAclBclCcl0 151 stepsys 002 hold on grid on 152 plot000211k 153 154 letra c 155 pL 400041004200 156 ganhos do observador 157 L ackerACpL 158 Matrizes da malha fechada 159 At ABK BK 160 zerossizeA ALC 161 Bt BF 162 zerossizeB 163 Ct C zerossizeC 164 165 sysO ssAtBtCt0 166 usar lsim para mudar os estados iniciais 167 figure2 168 t 000001002 x0 1 1 03 x0 000 169 lsimsysOonessizettx0 000 170 grid on