Integrais Duplas em Retângulos Calculo de Volumes e Definições

Integrais Duplas sobre Retângulos Relembrando o Cálculo I f ab R fx K R x ab ᵢ₁ᵐ fxᵢΔx fx₁Δx fx₂Δx fxₙΔx ₐᵇ fx dx limₙ ᵢ₁ⁿ fxᵢΔx No caso em que f 0 A ₐᵇ fx dx Volumes e Integrais Duplas Seja z fxy uma função de duas variáveis definida em um retângulo fechado R ab x cd xy in R2 a x b e c y d Inicialmente vamos supor que fxy 0 xy R Seja S o sólido que está acima do retângulo R e abaixo do gráfico de f S xyz R³ 0 z fxy xy R Nosso objetivo agora é calcular o volume V de S Para isso vamos dividir o retângulo R em subretângulos Dividindo ab em m subintervalos xi1 xi de mesmo comprimento Δx bam e dividindo cd em n subintervalos yj1 yj de mesmo comprimento Δy dcn formamos os subretângulos Rij xi1 xi yj1 yj xy xi1 x xi e yj1 y yj Note que a área de cada retângulo Rij é ΔA Δx Δy Agora em cada retângulo Rij vamos escolher um ponto arbitrário xij yij o qual será denominado ponto de amostragem Note que podemos aproximar a parte de S que está acima do retângulo Rij por uma caixa retangular com base Rij e altura fxij yij O volume da caixa azul acima é fxij yij ΔA Rij fxij yij xij yij Se continuarmos com esse procedimento para todos os retângulos Rij e somarmos os volumes dessas caixas azuis obteremos uma aproximação do volume total de S V Σi1m Σj1n fxij yij Δx Intuitivamente a aproximação ocira melhor quando aumentarmos a quantidade de caixas azuis isto é quando aumentamos as quantidades m de subintervalos xi1 xi e n de subintervalos yj1 yj Assim é razoável esperar que V limmn i1m j1n fxij yij ΔA A expressão acima define o volume do sólido S que corresponde à região que está abaixo do gráfico de f e acima do retângulo R Def Integral Dupla Seja z fxy definida no retângulo R ab x cd A integral dupla de f sobre o retângulo R é R fxydA limmn i1m j1n fxij yij ΔA se esse limite existir Quando o limite acima existe dizemos que f é INTEGRÁVEL Comparando a definição de integral dupla com a definição de volume do sólido S temos Se fxy 0 então o volume V do sólido que está acima do retângulo R e abaixo do gráfico de z fxy é V R fxydA Observação A soma i1m j1n fxij yij ΔA é denominada soma dupla de Riemann