Integrais Duplos em Regiões Gerais - Teoremas, Exemplos e Aplicações

Teorema f é contínua em uma região D do tipo I isto é D xy ℝ² a x b e g₁x y g₂x contínuas então D fxydA ab g₁xg₂x fxydydx Teorema Se D é uma região do tipo 2 isto é D xy c y d h₁y x h₂y contínuas então D fxydA cd h₁yh₂y fxydxdy Exemplo Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z x² y² e acima da região D do plano xy limitado pela reta y2x e pela parábola y x² SOL y 2x e y x2 x2 2x xx2 0 x 0 e x 2 Assim as curvas acima se encontram em 00 e 24 Note que D é uma região do tipo I com D xy 0 x 2 x2 y 2x Assim o volume do sólido abaixo de z x2 y2 e acima de D V D x2 y2dA 02 x22x x2 y2 dy dx 02 x2 y y33yx22x dx 02 x22x 2x33 x2x2 x233 dx 02 x63 x4 14x33 dx 21635 OUTRA SOLUÇÃO Note que D também é uma região do tipo 2 y2x xy2 yx² xy com Dxy 0 y 4 y2 x y Logo VD x² y²dA 0⁴ y2y x² y² dx dy 0⁴ x³3 y²xy2y dy 0⁴ y³23 y²y y³24 y³2 dy 21635 Propriedades dos Integrais Duplos Suponha que todos os integrais seguintes existam Seja Dℝ² uma região geral limitada Então a D fxy gxy dA D fxy dA D gxy dA D cfxydA c D fxydA onde cℝ i constante c Se fxy gxy para todo xy D então D fxydA D gxydA d Se D D1 D2 onde D1 D2 não se sobrepõem exceto talvez nas fronteira então D fxydA D1 fxydA D2 fxydA Se fxy1 xy D entonces D 1dA AD VAD1 AD f Se m fxy M xy D então mAD fxy dA MAD Voltando aos exemplos de integrais duplas sobre regiões gerais Exemplo Calcule x dA onde D é a região limitada pela reta y x 1 e pela parábola y2 2x 6 Note que D é uma região do tipo II x 12 y2 3 y x1 y x 1 x y 1 54 x y 1 11 y2 2x 6 2x y2 6 x 12 y2 3 OBS x 12 y2 3 x y 1 12 y2 3 y 1 y22 y 4 0 y2 2y 8 0 y 1 or y 4 y 2 x 1 P 1 2 y 4 x 5 Q 5 4 PONTOS DE INTERSEÇÃO Assim D xy 2 y 4 e y22 3 x y 1 Logo D x dA 24 y22 3y1 x y dx dy 24 y x22y22 3y1 dy 12 24 y y12 y22 32 dy 12 24 y54 4 y3 2 y2 8 y dy 36 Observação Neste exemplo podemos considerar também D como uma região do tipo I Assim xy dA 3 to 1 2x6 to 2x6 xy dA 1 to 5 x1 to 2x6 xy dA D