Avaliação Final-2021 2

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - CAMPUS DE CRATEÚS CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO E SISTEMAS DE INFORMAÇÃO DISCIPLINA: MATEMÁTICA DISCRETA PROFESSORA: LÍLIAN DE OLIVEIRA CARNEIRO ALUNO(A): DATA: 16/02/2022 AVALIAÇÃO FINAL Orientações: ♣ Faça o download da avaliação. Caso algum imprevisto aconteça você terá acesso ao documento sem precisar de Internet; ♣ Resolva a avaliação em uma folha de seu caderno ou em papel A4 ou em papel almaço; ♣ As questões devem ser resolvidas com caneta para que as fotos ou a digitalização saiam com uma boa qualidade (existem alguns aplicativos que fazem digitalização, como o Google Drive). Caso faça à lápis, garanta que as questões fiquem legíveis; ♣ Indique a qual questão cada resposta está associada; ♣ Todas as questões devem ser justificadas. Questões sem justificativa não serão aceitas; ♣ As demonstrações devem ser bem escritas. Não será aceito apenas o rascunho da demonstração. Apresente a hipótese e desenvolva até chegar à conclusão. Não dê saltos enormes; ♣ Digitalize ou tire foto de cada uma das resposta, nomeando o arquivo. Exemplo: Q1.a-b-c-d (indicando que o arquivo possui os itens a), b) c) e d) da Questão 1). Após concluir a sua avaliação envie-a pelo Portfolio do Solar; ♣ Durante a correção da avaliação o aluno pode ser solicitado a explicar as suas resoluções. QUESTÕES 1. Usando os seus conhecimentos sobre Técnicas de Demonstração, faça o que se pede. (4,0) a) Use uma prova por contraposição para mostrar que “se 3 ∤ n2, então 3 ∤ n, ∀n ∈ Z. (0,5) b) Sejam r um número racional não nulo e s um número irracional qualquer. Mostre que r s é irracional, usando uma prova por contradição (ou absurdo). (0,5) c) Mostre que dois inteiros positivos consecutivos são primos entre si. (0,5) d) Mostre que “se n é um inteiro positivo ímpar, então n2 ≡ 1 (mod 8)”. (0,5) e) Use indução matemática para mostrar que 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n · (n + 1) = n(n + 1)(n + 2) 3 , ∀n ≥ 1. (1,0) f) Seja (a0, a1, a2, · · · ) uma sequência definida da seguinte maneira: (1,0)  a0 = 2 a1 = 2 a2 = 6 ai = 3ai−1, se i ≥ 3 . Mostre que o termo geral da sequência, an, é divisível por 2, ∀n ≥ 0. 2. Utilizando os seus conhecimentos sobre Teoria dos Números, faça o que se pede. (2,5) a) Na divisão de 525 por 27, determine o maior inteiro que se pode somar ao dividendo sem alterar o quociente. (0,5) b) Mostre que se mdc(n, k) = 1, então o mdc(n + k, k) = 1. (0,5) c) Se 632 ≡ 464(mod m), ache todos os valores possíveis de m. (0,5) d) Mostre que todo primo (exceto 2 e 3) é congruente módulo 6 a 1 ou 5. (0,5) e) Achar um sistema completo de restos {p0, p1, p2, p3, p4, p5, p6} módulo 7, tal que todo pi seja primo. (0,5) 3. Utilizando os seus conhecimentos sobre Relações, faça o que se pede. (3,5) a) Se R e S são relações simétricas sobre A, então R ∪ S também é simétrica? Por quê? (0,5) b) Considere as relações R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 1)} e S = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} definidas sobre o conjunto A = {1, 2, 3, 4} e seja T = {(x, y) ∈ Z2 : x ≡ y (mod 7)} uma relação sobre Z. i. Para cada uma das relações, determine se a relação é reflexiva, simétrica, antissimétrica ou transitiva. aso a relação satisfaça uma dada propriedade, demonstre-a; em caso contrário, apresente um contraexemplo. (1,2) ii. Apresente o fecho reflexivo, simétrico e transitivo das relações R e S. (1,8)