Teoria_morgado_binomiodenewton

Departamento de Estatística e Matemática Aplicada DEMA Universidade Federal do Ceará Semestre 2020.1 CC0279 - Elementos de Análise Combinatória Teoria do Cap 4- Seções 4.2 e 4.3 do Morgado - 20/07/2020 Prof. Mauricio Mota 1. (Teorema -pg 104) Se x e a são números reais e n é um inteiro positivo (x+a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k x^{n-k}. Note que: (x+a)^n = (x+a)(x+a)\ldots(x+a) = P_1 P_2 \ldots P_n. Quantas vezes aparece a^k x^{n-k}? Para isto devemos escolher um a de k produtos entre os produtos P_1 P_2 \ldots P_n dos restantes (n-k) a gente escolhe o fator x. Assim há \binom{n}{k} de escolher os k produtos. A expansão geral é a soma destes fatores. vamos expandir o somatório: (x+a)^n = \binom{n}{0} (x)^n \cdot 1^{n-1} + \binom{n}{1} a \cdot 2^{n-2} + \ldots + \binom{n}{n} a^n. Na realidade temos um polinômio de grau n na variável x: P(x) = (x+a)^n = A_0 + A_1 x + A_2 x^2 + \ldots + A_n x^n, em que A_k = \binom{n}{k} a^k, k=0,1,2,\ldots,n. Note que: P(1) = A_0 + A_1 + A_2 + \ldots + A_n = \sum_{k=0}^{n} A_k, isto é, a soma dos coeficientes do desenvolvimento P(x) = (x+a)^n é o valor numérico do polinômio calculado no ponto x=1, isto é, S = P(1) = (1+a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k. i. O desenvolvimento de (x+a)^n possui (n+1) termos. ii. Os coeficientes do desenvolvimento de (x+a)^n são os elementos da linha n do triângulo de Pascal. Note que: A linha 0 é dada por: (x+a)^0 = 1 = \binom{0}{0} Departamento de Estatística e Matemática Aplicada DEMA Universidade Federal do Ceará Semestre 2020.1 A linha 1 é dada por: (x+a)^1 = x + a = \binom{1}{0} x + \binom{1}{1} a A linha 2 é dada por: (x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 = \binom{2}{0} x^2 + \binom{2}{1} ax + \binom{2}{2} a^2 A linha 3 é dada por: (x+a)^3 = x^3 + 3ax^2 + 3a^2 x + a^3 = \binom{3}{0} x^3 + \binom{3}{1} ax^2 + \binom{3}{2} a^2 x + \binom{3}{3} a^3 A linha 4 é dada por: (x+a)^4 = x^4 + 4ax^3 + 6a^2 x^2 + 3a^3 x + a^4 = \binom{4}{0} x^4 + \binom{4}{1} ax^3 + \binom{4}{2} a^2 x^2 + \binom{4}{3} a^3 x + \binom{4}{4} a^4, e assim por diante. iii. Escrevendo os termos do desenvolvimento na ordem decrescente das potências de x, o termo de ordem (k+1) é dado por: T_{k+1} = \binom{n}{k} a^k x^{n-k}, k=0,1,2,\ldots,n. Geralmente o binômio de Newton pode aparecer como: (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k}. As vezes aparece na forma: P(x) = \left(a(x) + b(x)\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} [b(x)]^k [a(x)]^{n-k}. Neste caso a soma dos coeficientes de é dada por: )^n. Outras vezes aparece como: (a-b)^n = (a+(- Vamos resolver alguns exemplos: Exemplo 1. Determine o coeficiente de no desenvolvimento de _ Solução: Departamento de Estatística e Matemática Aplicada DEMA Universidade Federal do Ceará Semestre 2020.1 Vemos que n=9 e a(x) = x^3 e b(x) = \frac{1}{x^2} = -x^{-2}. O termo genérico do desenvolvimento é dado por: T_{k+1} = \binom{n}{k} a^k x^{n-k} = \binom{n}{k} (-x^{-2})^k (x^3)^{9-k} = \binom{n}{k} (-1)^k x^{-2k} (x)^{27-3k} = \binom{n}{k} (-1)^k x^{27-5k}. O problema pede o termo em x^2, logo 27 - 5k = 2, o que acarreta k = 5. Assim k+1 = 6. O termo de posição 6 é dado por: T_6 = \binom{9}{5} (-1)^5 x^{27-25} = -126x^2, e o coeficiente vale -126. Exemplo 2. Determine o termo máximo do desenvolvimento de \left(1+1/3\right)^{65}. Solução: Vemos que n = 65 e a = 1 e b = \frac{1}{3}. O termo genérico do desenvolvimento é dado por: T_{k+1} = \binom{65}{k} \left(\frac{1}{3}\right)^k 1^{65-k} = \binom{65}{k} \left(\frac{1}{3}\right)^k = \binom{65}{k} \frac{1}{3^k} = \frac{65!}{k! (65-k)! 3^k}. Para que valores de k temos Departamento de Estatística e Matemática Aplicada Universidade Federal do Ceará DEMA Semestre 2020.1 T_{k+1} > T_k? Note que T_k = T_{k-1+1} = \binom{65}{k-1} / \frac{1}{3^{k-1}} = \frac{65!}{k!(66-k)!}3^{k-1} Vamos arrumar de modo conveniente e cancelando 65! \frac{65!}{k!(65-k)!} \times \frac{k!}{(k-1)!} \times \frac{3^k}{3^{k-1}} Simplificando \frac{(66-k)!(65-k)!}{(65-k)!} \times \frac{k(k-1)!}{(k-1)!} \times \frac{3^k}{3^{k-1}} \Rightarrow k < 66 - 3k, e k < \frac{66}{4} = 16,5. Logo T_{k+1} > T_k para k \in \{0,1,2,\ldots,16\} e analogamente T_{k+1} < T_k para k \in \{17,18,\ldots,65\}. Vamos juntar tudo: T_1 < T_2 < T_3 < \ldots < T_{16} > T_{17} > T_{18} > \ldots > T_{66}. Assim o termo máximo é T_{17} = \binom{65}{16} Vamos ver a solução pelo > n=65 > k=0:n;k [1] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [26] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [51] 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 > ###a_k=T_{k+1} ak=choose(n,k)*(3^(-k)) > max(ak) [1] 15054479 > which.max(ak) ####assim k=16, e o máximo é T_{17}. [1] 17 > > Exemplo 3. Determine o termo máximo do desenvolvimento de P(x) = (1 + x)^9 = \sum_{k=0}^{9} \binom{9}{k} x^k. Solução: Assim T_{k+1} = \binom{9}{k}, k = 0, 1,2,\ldots,10. Logo T_1 = T_{10} = \binom{9}{0} = \binom{9}{9} = 1, T_2 = T_9 = \binom{9}{1} = \binom{9}{8} = 9, T_3 = T_8 = \binom{9}{2} = \binom{9}{7} = 36, T_4 = T_7 = \binom{9}{3} = \binom{9}{6} = 84, T_5 = T_6 = \binom{9}{4} = \binom{9}{5} = 126. Usando o software R temos: > n=9 > k=0:n;k [1] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 > T=k=choose(n,k);T_k [1] 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 > O valor máximo é 126. Os termos são T_5 e T_6. Perceba que neste caso são dois valores de k que atingem o valor máximo. Vamos formalizar? Quando há duas modas temos que procurar valores de k tais que: T_{k+1} = T_k? Sabemos que T_{k+1} = \binom{9}{k}, k = 0, 1, 2, \ldots, 10, e T_{k=k-1+1} = \binom{9}{k-1}, k = 1, 2, \ldots, 10. Assim, T_{k+1} = T_{k}, \binom{9}{k} = \binom{9}{k-1}. Logo como k \neq k-1 e usando as propriedades de combinações complementares temos: k + k - 1 = 9, 2k = 10, k = 5. Logo T_5 = T_6. Quando T_{k+1} < T_k? simplificando 9! e manipulando os termos: \frac{9!}{k!(9-k)!} < \frac{9!}{(k-1)!(10-k)!} vamos brincar um pouco mais: \frac{(k-1)!}{k!} < \frac{(9-k)!}{(10-k)!} simplificando \frac{(k-1)!}{k(k-1)!} \times \frac{k(k-1)!}{(9-k)!} < \frac{(9-k)!}{(10-k)!} simplificando \frac{1}{k} < \frac{1}{(10-k)}, logo 10 - k < k, 10 < 2k, Departamento de Estatística e Matemática Aplicada DEMA Universidade Federal do Ceará Semestre 2020.1 k > 5. Isto quer dizer: T_7 < T_6, T_8 < T_7, T_9 < T_8, T_10 < T_9, T_11 < T_10. Para k = 1, 2, 3, 4, 5 temos T_{k+1} > T_k Logo T_1 < T_2 < T_3 < T_4 < T_5. Juntando tudo temos: T_1 < T_2 < T_3 < T_4 < T_5 = T_6 > T_7 > T_8 > T_9 > T_10 > T_11. T_5 e T_6 são os termos com valores máximos. Esta técnica será empregada em Probabilidade I para calcular a moda das variáveis discretas como a Poisson, Pascal e a Binomial. > > n=9 > > k=0:n;k [1] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 > C_k=choose(n,k);C_k [1] 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 > ##o valor máximo 126 ocorre nas posições 5 e 6. > > max(C_k) [1] 126 > > which.max(C_k) ####Cuidado ele fornece a posição da primeira posição. [1] 5 > Exemplo 4. Qual é a soma dos coeficientes do desenvolvimento de P(x) = (x^3 - 2x^2)^{15} . Solução: O desenvolvimento do binômio tem 16 termos. Poderíamos calcular cada termo e depois somá-los. Esta técnica é muito trabalhosa. Vamos pensar em outra. Se tivermos um polinômio de grau m, isto é, Departamento de Estatística e Matemática Aplicada DEMA Universidade Federal do Ceará Semestre 2020.1 P(x) = \sum_{i=0}^{m} A_i x^i = A_0 + A_1 x + A_2 x^2 + \ldots + A_m x^m. O valor numérico de P(x) para x = 1 nos dará a soma pretendida. P(1) = \sum_{i=0}^{m} A_i 1^i = A_0 + A_1 + A_2 + \ldots + A_m = \sum_{i=0}^{m} A_i. Assim \sum_{i=0}^{m} A_i = P(1) = (1^3 - 2 \times 1^2)^{15} = (-1)^{15} =-1. Vamos fazer de outra maneira usando O software R: Note que o termo geral é dado por: T_k= \binom{15}{k}(-2 x^2)^k(x^3)^{15-k}= \binom{15}{k}(-2)^k(-1)^{15-k}. Para k = 0 temos o expoente m = 45 que é o grau do nosso polinômio. Logo \sum_{k=0}^{15} A_k = \sum_{k=0}^{15} \binom{15}{k} (-2)^k = \sum_{k=0}^{15} \binom{15}{k} (-2)^k 1^{15-k} = (-2 + 1)^{15} = -1, note que 1^{15-k} = 1, belo truque não? multiplicar por 1 não altera. Seja T_k o k-ésimo coeficiente termo. assim, T_k= \binom{15}{k-1}(-2)^{k-1}. > n=15 > k=1:(n+1);k [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > T_k=(-2)^{k-1}*choose(15,k-1);T_k [1] 1 -30 420 -3640 21840 -96096 320320 -823680 [9] 1647360 -2562560 3075072 -2795520 1863680 -860160 245760 -32768 > > sum(T_k) [1] -1 > Departamento de Estatística e Matemática Aplicada DEMA Universidade Federal do Ceará Semestre 2020.1 Os próximos exemplos são somatórios que precisam ser transformados em Binômio de Newton. Vamos aprender? Exemplo 5. Calcule S = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k. Solução: Note que: S = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k \times 1 = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k \times 1^{n-k} = . Temos a fórmula do Binômio de Newton. Logo S = (1 + x)^n = (x + 1)^n. Exemplo 6. Calcule S = \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} x^k. Solução: Note que para k = 0 o coeficiente é nulo e assim não altera a soma. Vamos começar o somatório com k = 1. S = \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} x^k = \sum_{k=1}^{n} k \binom{n}{k} x^k. Vamos simplificar usando o fato que k não é zero.: k \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! (n-k)!} = \dfrac{n!}{(k-1)! (n-k)!} = \dfrac{(n-1)!}{(k-1)! (n-k)!}\times n = (n-1)\binom{n-1}{k-1}. Logo, S = \sum_{k=1}^{n} k \binom{n}{k} x^k = \sum_{k=1}^{n} (n-1)\binom{n-1}{k-1} x^k. Fazendo a mudança de variável i = k-1 no somatório temos que para k = 1 temos i = 1-1 = 0 e para k = n temos i = n-1. Note que k = i + 1. Departamento de Estatística e Matemática Aplicada Universidade Federal do Ceará DEMA Semestre 2020.1 Dessa maneira S = n \sum_{k=1}^n \left( \begin{array}{c} n-1 \\ k-1 \end{array} \right) x^k = n \sum_{i=0}^{n-1} \left( \begin{array}{c} n-1 \\ i \end{array} \right) x^{i+1} = nx \sum_{i=0}^{n-1} \left( \begin{array}{c} n-1 \\ i \end{array} \right) x^i . S = nx \sum_{i=0}^{n-1} \left( \begin{array}{c} n-1 \\ i \end{array} \right) x^i = nx \sum_{i=0}^{n-1} \left( \begin{array}{c} n-1 \\ i \end{array} \right) x^i (1^n -1-i) = nx(1 +x)^{n-1}. Uma outra solução envolve derivada. Considere a função real de variável real f(x) = (1+x)^n, cujá derivada em relação a x é dada por: f'(x) = n(1+x)^{n-1}. Usando Binômio de Newton podemos pensar também: f(x) = (1+x)^n = \sum_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) x^k, cujá derivada em relação a x é dada por: f'(x) = \sum_{k=0}^n k \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) x^{k-1} . Igualando as duas temos: \sum_{k=0}^n k \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) x^{k-1} = n(1+x)^{n-1}, multiplicando ambos os lados por x temos \sum_{k=0}^n k \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) x^k = nx(1+x)^{n-1}. Exemplo 7. Usando o exemplo 6 mostre que: \sum_{k=0}^n k \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) = n2^{n-1}. Solução: Note que: f(1) = \sum_{k=0}^n k \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) 1^k = n \times 1 \times ( Exemplo 7. Mostre que Departamento de Estatística e Matemática Aplicada Universidade Federal do Ceará DEMA Semestre 2020.1 \sum_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) = 2^n. Solução: Vamos usar a fórmula do binômio de Newton: (x+a)^n = \sum_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) a^k x^{n-k}, fazendo a=x=1 temos: (1+1)^n = \sum_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) 1^{n-k} = \sum_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) = 2^n. Exemplo 8. Mostre que \sum_{k=0}^n (-1)^k \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) = 2^n. Solução: Vamos usar a fórmula do binômio de Newton: (x+a)^n = \sum_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) a^k x^{n-k}, fazendo a=-1 e x=1 temos: (1-1)^n = \sum_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) (-1)^k 1^{n-k} = \sum_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) (-1)^k = 0^n = 0. Exemplo 9. O próximo exemplo tratará de obter a soma dos termos de ordem par de um Binômio de Newton (x+a)^n ordenado segundo as potências decrescentes de x. Seja S_P esta soma e C_P a soma dos coeficientes dos termos de ordem par. Mostre que: S_P = \frac{x+a)^n - (x-a)^n}{2}, C_P = \frac{(1+a)^n - (1-a)^n}{2} Solução: Vamos expandir (x+a)^n (x+a)^n = T_1 + T_2 + T_3 + T_4 + \ldots e (x-a)^n = T_1 - T_2 + T_3 - T_4 \ldots Subtraindo as duas expressões temos: -(x-a)^n = 2 \left[T_2 + T_4 + \ldots \right]. Departamento de Estatística e Matemática Aplicada Universidade Federal do Ceará DEMA Semestre 2020.1 (x+a)^n = \sum_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) a^k x^{n-k} = \sum_{j=1}^{n+1} T_j. (x-a)^n = \sum_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) (-1)^k a^k x^{n-k} = \sum_{j=1}^{n+1} (-1)^j T_j. Subtraindo temos: (x+a)^n - (x-a)^n = \sum_{j=1}^{n+1} T_j - \sum_{j=1}^{n+1} (-1)^j T_j. Vamos colocar o - do segundo somatório para o interior do mesmo. (x+a)^n - (x-a)^n = \sum_{j=1}^{n+1} T_j + \sum_{j=1}^{n+1} (-1)^{j-1} T_j, (x+a)^n - (x-a)^n = \sum_{j=1}^{n+1} T_j + \sum_{j=1}^{n+1} (-1)^j T_j. Vamos deixar um único somatório (x+a)^n - (x-a)^n = \sum_{j=1}^{n+1} \left[ 1+(-1)^j \right] T_j (x+a)^n - (x-a)^n = \sum_{j=1}^{n+1} \left[ 1+(-1)^1 \right] mas \hspace{1cm} se \hspace{1cm} j \hspace{1cm} é \hspace{1cm} ímpar \hspace{1cm} \quad se \hspace{1cm} j \hspace{1cm} é \hspace{1cm} par . Assim, para todos os valores de \quad tais \quad que\quad . Assim, \qquad Para calcular a soma dos coeficientes de ordem par basta fazer \quad . \frac{+(1+a)^n-(1-a)^n}{2}. Departamento de Estatística e Matemática Aplicada Universidade Federal do Ceará DEMA Semestre 2020.1 Vamos considerar um exemplo para ilustrar: Considere (x + 2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16 = T_1x^4 + T_2x^3 + T_3x^2 + T_4x + T_5 e Considere (x - 2)^4 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16 = T_1x^4 - T_2x^3 + T_3x^2 - T_4x + T_5 Assim, S_p = T_2 + T_4 = 16x^3 - 64x = 2 \left[T_2 + T_4\right]. Se vc quiser saber a soma dos coeficientes de ordem par 8 + 32 = 40 é só fazer: C_P = P(1) = \frac{1}{2}(1 + a)^n - (1 - a)^n = \frac{1}{2}((1 + 2)^4 - (1 - 2)^4) = \frac{1}{2}(3^4 - (-1)^4) = \frac{81 - 1}{2} = 40. 2. Polinômio de Leibniz. Vamos generalizar a fórmula do binômio de Newton. O que seria por exemplo (a + b + c)^2? (a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c) = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc. O que seria por exemplo (a + b + c)^3? (a + b + c)^3 = (a + b + c)(a + b + c)^2 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3b^2c + 3ab^2 + 3ac^2 + 3bc^2 + Temos 10 termos. Como explicar isso a priori? Note que cada termo é da forma abc com não negativos. Se tem . Se tem . Se tem . Se k = 1 tem abc. Logo teremos tantos termos quantas são as soluções não negativas da equação: i + j + Sabemos que ( Morgado páginas 48 a 52 ) que o número de soluções inteiras não negativas da equação é dada por No nosso caso temos e . Logo \binom{3}{3 - 1} = ( Departamento de Estatística e Matemática Aplicada Universidade Federal do Ceará DEMA Semestre 2020.1 O termo geral de (a + b + c)^3 é dado por: TG = \frac{3!}{i!j!k!} a^i b^j c^k, \ i + j + k = 3. O termo geral de (a + b + c)^n é dado por: TG = \frac{n!}{i!j!k!} a^i b^j c^k, \ i + j + k = n. Vamos enunciar a generalização do teorema. (x_1 + x_2 + . . . + x_p)^n = \sum \frac{n!}{a_1!a_2!...a_p!}x_1^{a_1} x_2^{a_2} ... x_p^{a_p}, O somatório é feito para todos os valores inteiros não negativos de a_1, a_2, . . . , a_p tais que a_1 + a_2 + . . . + a_p = n. Exemplo 10. Considere a expressão (x^2 + 2x - 1)^4 . Responda: a. Quantos termos há na expressão? Solução: Fazendo a1 = x^2, x2 = 2x e x3 = -1 temos k = 3 e n = 4. O número de termos é dado CR^3_4 = \binom{3 + 4 - 1}{4} = \binom{6}{4} = 15 \text{ termos}. b. Qual a expressão do termo Geral? Solução: TG = \frac{4!}{a_1!a_2!a_3!}x_1^{a_1}x_2^{a_2}x_3^{a_3}, \ a_1 + a_2 + a_3 = 4. TG = \frac{4!}{a_1!a_2!a_3!}(2x)^{a_2}(-1)^{a_3}3^a_2, \ a_1 + a_2 + a_3 = 4. com a1 x^2 + c. Existe algum termo da expressão que independa de? Solução: Assim o coeficiente de neste termo deve valer zero. logo sujeito à condição a2 + a3 = 4. Logo, a1 = 0, Seu coeficiente é dado por: C = \frac{4!}{0!} d. Determine o coeficiente de Solução: Assim o coeficiente de neste termo deve valer zero. logo sujeito à condição 4. As possíveis soluções são: Departamento de Estatística e Matemática Aplicada Universidade Federal do Ceará DEMA Semestre 2020.1 \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 & \text{Termo} \\ 0 & 4 & 0 & 16x^4 \\ 1 & 2 & 1 & -48x^4 \\ 2 & 0 & 0 & 6x^4 \\ \end{array} Somando temos que o termo em x^4 do desenvolvimento é -26x^4. O coeficiente vale -26. e. Determine a soma dos coeficientes desse desenvolvimento. Solução: A maior potência é x^8. Assim P(x) = (x^2 + 2x - 1)^4 = A_0 + A_1 x + A_2 x^2 + A_3 x^3 + A_4 x^4 + A_5 x^5 + A_6 x^6 + A_7 x^7 + A_8 x^8. Assim, P(1) = (1^2 + 2 \times 1 - 1)^4 = A_0 + A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 + A_6 + A_7 + A_8 = 16. f. Mostre que P(x) = (x^2 + 2x - 1)^4 = 1 - 8x + 20x^2 - 8x^3 - 26x^4 + 8x^5 + 20x^6 + 8x^7 + x^8. Note que depois da redução dos termos semelhantes temos 9 termos. Solução: \begin{array}{cccc} \text{Ordem} & a_1 & a_2 & a_3 & \text{Termo} \\ 1 & 4 & 0 & 0 & x^8 \\ 2 & 0 & 4 & 0 & 16x^4 \\ 3 & 0 & 0 & 4 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 & 8x^7 \\ 5 & 3 & 0 & 1 & -4x^6 \\ 6 & 1 & 0 & 3 & -4x^2 \\ 7 & 1 & 3 & 0 & 32x^5 \\ 8 & 0 & 1 & 3 & -8x \\ 9 & 0 & 3 & 1 & -32x^3 \\ 10 & 2 & 2 & 1 & -24x^5 \\ 11 & 1 & 2 & 1 & -48x^4 \\ 12 & 1 & 1 & 2 & 24x^3 \\ 13 & 2 & 2 & 0 & 24x^6 \\ 14 & 2 & 0 & 0 & 6x^4 \\ 15 & 0 & 2 & 2 & 24x^2 \\ \end{array} Da última coluna ta tabela anterior obtemos: P(x) = (x^2 + 2x - 1)^4 = x \ 20x^6 + 8x^5 - \ 4 - 8 \ x^2 - 1.