Teoria de Conjuntos Matematica Discreta QXD0008 UFC- Resumo Completo

Teoria de Conjuntos QXD0008 Matematica Discreta Prof Lucas Ismaily ismailybfufcbr Universidade Federal do Ceara 1º semestre2024 Topicos desta aula Teoria basica de conjuntos Operacoes sobre conjuntos Identidades de conjuntos Conectivo condicional e conectivo bicondicional Tecnica de demonstracao de equivalˆencias 2 Referˆencias para esta aula Secoes 11 13 21 e 22 do livro Kenneth H Rosen Matematica Discreta e suas Aplicacoes Sexta Edicao Capıtulo 1 do livro Daniel J VELLEMAN How to Prove it A structured approach 3rd Edition Cambridge University Press 3rd Edition 2019 3 Teoria de Conjuntos Teoria de Conjuntos Um conjunto e uma colecao nao ordenada de objetos Os objetos no conjunto sao chamados de elementos ou membros do conjunto Dizse que os elementos pertencem ao conjunto Um conjunto e determinado pelos seus elementos Listar os elementos quando possıvel A 1 5 17 23 58 5 A 15 A Dois conjuntos sao iguais sse possuem exatamente os mesmos elementos 3 4 7 3 3 4 7 7 3 4 diferentes nomes para o mesmo conjunto Nem sempre e possıvel listar todos os elementos de um conjunto 5 Conjuntos alternativas para descricao reticˆencias 1 3 4 7 necessita que a regra de formacao seja entendida potencial para ambiguidade teste de pertinˆencia A x x primo elementos pertencentes ao conjunto passam no teste elementos nao pertencentes ao conjunto nao passam Exemplo 1 E 2 4 6 8 E n n e um numero inteiro positivo par 2 Q 1 4 9 16 25 Q n n e um quadrado perfeito 6 Conjuntos e variaveis x x2 9 y 2 y x x2 9 y 5 y x x2 9 Generalizando y R y x x2 9 Afirmacao sobre y A mesma coisa que afirmar y 2 9 Note que e necessario conhecer y e nao x para responder ao teste y e variavel livre Dar valores diferentes para uma variavel livre pode afetar o valorverdade da declaracao x e variavel dependente Variaveis dependentes sao letras usadas para ajudar a expressar uma ideia e nao representam nenhum objeto especıfico Uma variavel dependente sempre pode ser substituıda por uma nova variavel sem alterar o significado da declaracao 7 Conjuntos e sentencas y x Px e o mesmo que Py y x Px e o mesmo que Py Ambas sao afirmacoes sobre y e nao sobre x Importante diferenciar expressoes que sao sentencas matematicas e expressoes que sao nomes de objetos matematicos y x Px e uma sentenca matematica x Px e um nome de um conjunto 8 Conjuntoverdade Dada Px como analisar o seu valorverdade O conjuntoverdade de uma sentenca Px e o conjunto de todos os valores de x para os quais Px e verdadeira isto e e o conjunto definido pelo uso de Px como teste de pertinˆencia Conjuntoverdade de Px x Px Descreva o conjuntoverdade das sentencas abaixo 1 n e um numero par x x e um numero par 2 x satisfaz 2x2 x 1 0 x 2x 2 x 1 0 1 2 1 9 Universo do discurso Domınio Dada uma propriedade Px queremos conhecer o conjunto de elementos y para os quais Py e verdadeira Para quais elementos devemos testar Px Universo do discurso ou Domınio Alguns conjuntos aparecem frequentemente em matematica como universo do discurso 1 N 0 1 2 3 o conjunto dos numeros naturais 2 Z 3 2 1 0 1 2 3 o conjunto dos numeros inteiros 3 Q pq p q Z e q 0 o conjunto dos numeros racionais 4 I x x pq p q Z e q 0 o conjunto dos numeros irracionais 5 R I Q o conjunto dos numeros reais 10 Universo do discurso Domınio Considere o exemplo x satisfaz 2x2 x 1 0 U R 1 2 1 U Z 1 U Q 1 2 U Z ou y x U Px e o mesmo que y U Py 11 Dados dois conjuntos A e B Intersecao de A e B e A B x x A x B A B A B Uniao de A e B e A B x x A x B A B A B Diferenca de A e B e A B x x A x B A B A B 12 Conjuntosverdade A conjuntoverdade de Px y A e o mesmo que Py B conjuntoverdade de Qx y B e o mesmo que Qy O conjunto verdade de Px Qx e x Px Qx x Px Qx x x A x B x Px Qx x x A x B A B O conjunto verdade de Px Qx e x Px Qx x x A x B A B O conjunto verdade de Px Qx e x Px Qx x Px Qx x x A x B x Px Qx x x A x B A B O conjunto verdade de Px e x Px x Px x x A x Px x x A U A 13 Analise da forma logica de uma sentenca 1 x A B C x A x B C Definicao de x A x B x C Definicao de 2 x A B C x A x B C Definicao de x A x B x C Definicao de x A x B x C DeMorgan x A x B x C Definicao de Atencao Operadores de conjuntos estao relacionados com conec tivos logicos mas eles nao sao intercambiaveis 14 Demonstracao das identidades de conjuntos 1 A B C A B A C x A B C x A x B C Definicao de x A x B x C Definicao de x A x B x A x C Distributiva x A B x A C Definicao de x A B A C Definicao de 2 A B C A B A C x A B C x A x B C Definicao de x A x B x C Definicao de x A x B x C DeMorgan x A x B x C Definicao de x A x B x A x C Distributiva x A B x A C Definicao de x A B A C Definicao de 15 FIM