Teoria_morgado_binomiodenewton

TYLER, THE CREATOR SEE YOU AGAIN FEAT. KALI UCHIS Departamento de Estatística e Matemática Aplicada Universidade Federal do Ceará DEMA Semestre 2020.1 A linha 1 é dada por: (x+a)¹ = x + a = (1 0)x + (1 1)a A linha 2 é dada por: (x+a)² = x² + 2ax + a² = (2 0)x² + (2 1)ax + (2 2)a² A linha 3 é dada por: (x+a)³ = x³ + 3ax² + 3a²x + a³ = (3 0)x³ + (3 1)ax² + (3 2)a²x + (3 3)a³ A linha 4 é dada por: (x+a)⁴ = x⁴ + 4ax³ + 6a²x² + 3a³x + a⁴ = (4 0)x⁴ + (4 1)ax³ + (4 2)a²x² + (4 3)a³x + (4 4)a⁴, e assim por diante. iii. Escrevendo os termos do desenvolvimento na ordem decrescente das potências de x, o termo de ordem (k+1) é dado por: Tₖ₊₁ = (n k)aⁿ⁻ᵏ; k = 0,1,2,…,n. Geralmente o binômio de Newton pode aparecer como: (a+b)ⁿ = ∑ (n k)bⁿ⁻ᵏaⁿ⁻ᵏ. As vezes aparece na forma: P(x) = (a(x) + b(x))ⁿ = ∑(n k)[b(x)]ᵏ[a(x)]ⁿ⁻ᵏ Neste caso a soma dos coeficientes de é dada por: )}ⁿ. Outras vezes aparece como: (a−b)ⁿ = (a+(− Vamos resolver alguns exemplos: Exemplo 1. Detrmine o coeficiente de no desenvolvimento de — Solução: Departamento de Estatística e Matemática Aplicada Universidade Federal do Ceará DEMA Semestre 2020.1 Vemos que n = 9 e a(x) = x³ e b(x) = 1/x² = −x⁻². O termo genérico do desenvolvimento é dado por: Tₖ₊₁ = (n k)aⁿ⁻ᵏ = (n k)(−x⁻²)ᵏ(x³)⁹⁻ᵏ = (n k)(−1)ᵏxⁿ²(x²)²⁷⁻³ᵏ = (n k)(−1)ᵏx²²⁷⁻⁵ᵏ. O problema pede o termo em x², logo 27 − 5k = 2, o que acarreta k = 5. Assim k + 1 = 6. O termo de posição 6 é dado por: T₆ = (9 5)(−1)⁵x²²⁷⁻²⁵ = −126x², e o coeficiente vale −126. Exemplo 2. Determine o termo máximo do desenvolvimento de (1 + 1/3)⁶⁵. Solução: Vemos que n = 65 e a = 1 e b = 1/3. O termo genérico do desenvolvimento é dado por: Tₖ₊₁ = (65 k)(1/3)ᵏa⁶⁵⁻ᵏ = (65 k)(1/3)ᵏ = (65 k), 1/3ᵏ = 65!/(k!(65−k)!3ᵏ. Para que valores de k temos Departamento de Estatística e Matemática Aplicada Universidade Federal do Ceará DEMA Semestre 2020.1 T_{k+1} > T_k? Note que T_k = T_{k-1+1} = \binom{65}{k-1} \frac{1}{3^{k-1}} = \frac{65!}{k!(66-k)!3^{k-1}} Vamos arrumar de modo conveniente e cancelando 65! \frac{(66-k)!}{(65-k)!}\cdot\frac{k!}{(k-1)!}\cdot\frac{3^k}{3^{k-1}} Simplificando \frac{(66-k)(65-k)!}{(65-k)!}\cdot\frac{k(k-1)!}{(k-1)!}\cdot\frac{3^k}{3^{k-1}} > k(k-1)!\cdot\frac{3^k}{3^{k-1}} 66 - k > 3k, e k < \frac{66}{4} = 16,5. Logo T_{k+1} > T_k para k \in \{0,1,2,\ldots,16\} e analogamente T_{k+1} < T_k para k \in \{17,18,\ldots,65\}. Vamos juntar tudo: T_1 < T_2 < T_3 < \ldots < T_{16} > T_{17} > T_{18} > \ldots > T_{66}. Assim o termo máximo é T_{17} = \binom{65}{16}. Vamos ver a solução pelo > n = 65 > k = 0:n; k [1] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [26] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [51] 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 > ###a_k=T_{k+1} ak=choose(n,k)*(3^(-k)) > max(ak) [1] 15054479 > which.max(ak) ####assim k=16, e o máximo é T_17. [1] 17 Exemplo 3. Determine o termo máximo do desenvolvimento de P(x)=(1+x)^9=\sum_{k=0}^{9}\binom{9}{k}x^k. Solução: Assim T_{k+1} = \binom{9}{k}, k=0,1,2,\ldots,10. Logo T_1 = T_{10} = \binom{9}{0} = \binom{9}{9} = 1, T_2 = T_{9} = \binom{9}{1} = \binom{9}{8} = 9, T_3 = T_{8} = \binom{9}{2} = \binom{9}{7} = 36, T_4 = T_{7} = \binom{9}{3} = \binom{9}{6} = 84, T_5 = T_{6} = \binom{9}{4} = \binom{9}{5} = 126. Usando o software R temos: > n = 9 > k = 0:n; k [1] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 > T = k * choose(n,k); T_k [1] 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 O valor máximo é 126. Os termos são T_5 e T_6. Perceba que neste caso são dois valores de k que atingem o valor máximo. Vamos formalizar? Quando há duas modas temos que procurar valores de k tais que: T_{k+1} = T_k? Sabemos que T_{k+1} = \binom{9}{k},\ k=0,1,2,\ldots,10, e T_{k=k+1}=\binom{9}{k-1},\ k=1,2,\ldots,10. Assim, T_{k+1}=T_k, \binom{9}{k}=\binom{9}{k-1}. Logo como k \neq k-1 e usando as propriedades de combinações complementares temos: k+k-1=9, 2k=10, k=5. Logo T_5=T_6. Quando T_{k+1}<T_k? 9!<9!\frac{1}{k}\frac{1}{(10-k)!}, simplificando 9! e manipulando os termos: \frac{(k-1)!}{k!}<\frac{(9-k)!}{(10-k)!}, vamos brincar um pouco mais: \frac{(k-1)!}{k(k-1)!}<\frac{(9-k)!}{(10-k)(9-k)!}, simplificando \frac{1}{k}<\frac{1}{(10-k)}, logo 10-k<k, 10<2k, Departamento de Estatística e Matemática Aplicada DEMA Universidade Federal do Ceará Semestre 2020.1 e k>5. Isto quer dizer: T_7<T_6,T_8<T_7,T_9<T_8,T_10<T_9,T_11<T_10. Para k=1,2,3,4,5 temos T_{k+1}>T_k Logo T_1<T_2<T_3<T_4<T_5. Juntando tudo temos: T_1<T_2<T_3<T_4<T_5=T_5=T_6>T_7>T_8>T_9>T_10>T_11. T_5 e T_6 são os termos com valores máximos. Esta técnica será empregada em Probabilidade I para calcular a moda das variáveis discretas como a Poisson, Pascal e a Binomial. > > n=9 > > k=0:n;k [1] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 > C_k=choose(n,k);C_k [1] 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 > ##O valor máximo 126 ocorre nas posições 5 e 6. > > max(C_k) [1] 126 > > which.max(C_k) #####Cuidado ele fornece a posição da primeira posição. [1] 5 > Exemplo 4. Qual é a soma dos coeficientes do desenvolvimento de P(x)=(x^3-2x^2)^{15}. Solução: O desenvolvimento do binômio tem 16 termos. Poderíamos calcular cada termo e depois somá-los. Esta técnica é muito trabalhosa. Vamos pensar em outra. Se tivermos um polinômio de grau m, isto é, Departamento de Estatística e Matemática Aplicada DEMA Universidade Federal do Ceará Semestre 2020.1 P(x)=\sum_{i=0}^{m}A_ix^i=A_0+A_1x+A_2x^2+\cdots+A_mx^m. O valor numérico de P(x) para x=1 nos dará a soma pretendida. P(1)=\sum_{i=0}^{m}A_i1^i=A_0+A_1+A_2+\cdots+A_m=\sum_{i=0}^{m}A_i. Assim \sum_{i=0}^{m}A_i=P(1)=(1^3-2\times1^2)^{15}=(-1)^{15}=-1. Vamos fazer de outra maneira usando O software R: Note que o termo geral é dado por: T_k=\binom{15}{k}(-2)^kx^{15-k}=\binom{15}{k}(-1)^kx^{15-k}. Para k,o expoente m=45 que é o grau de nosso polinômio. Logo \sum_{k=0}^{15}A_k=\sum_{k=0}^{15}\binom{15}{k}(-2)^k=\sum_{k=0}^{15}\binom{15}{k}(-2)^k(-1)^{15-k}=(-2+1)^{15}=-1, note que 1^{15-k}=1, belo truque não? multiplicar por 1 não altera. Seja T_k o k-ésimo coeficiente termo. assim, T_k=\binom{15}{k-1}(-2)^{k-1}. > n=15 > k=1:(n+1);k [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > T_k=(-2)^{k-1}*choose(15,k-1);T_k [1] 1 -30 420 -3640 21840 -96096 320320 -823680 [9] 1647360 -2562560 3075072 -2795520 1863680 -860160 245760 -32768 > > sum(T_k) [1] -1 > Departamento de Estatística e Matemática Aplicada DEMA Universidade Federal do Ceará Semestre 2020.1 Os próximos exemplos são somatórios que precisam ser transformados em Binômio de Newton. Vamos aprender? Exemplo 5. Calcule S=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k. Solução: Note que: S=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k\times1=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k\times1^{n-k}=. Temos a fórmula do Binômio de Newton. Logo S=(1+x)^n=(x+1)^n. Exemplo 6. Calcule S=\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}x^k. Solução: Note que para k=0 o coeficiente é nulo e assim não altera a soma. Vamos começar o somatório com k=1. S=\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}x^k=\sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k}x^k. Vamos simplificar usando o fato que k não é zero.: k\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} =\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} =\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}(n-k) =\binom{n-1}{k-1}n. Logo, S=\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}x^k=\sum_{k=1}^{n}n\binom{n-1}{k-1}x^k. Fazendo a mudança de variável i=k-1 no somatório temos que para k=1 temos i=1-1=0 e para k=n temos i=n-1. Note que k=i+1. Dessa maneira\n\nS = \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1} x^k = n\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i} x^{i+1} = nx\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i} x^i.\n\n\nS = nx\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i} x^i = nx\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i} x^{i}1^{n-1-i} = nx(1+x)^{n-1}.\n\n\nUma outra solução envolve derivada. Considere a função real de variável real\n\n\quad f(x) = (1+x)^n,\n\ncuja derivada em relação a x é dada por:\n\n\quad f'(x) = n(1+x)^{n-1}.\n\nUsando Binômio de Newton podemos pensar também:\n\n\quad f(x) = (1+x)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^k,\n\ncuja derivada em relação a x é dada por:\n\n\quad f'(x) = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}k x^{k-1}.\n\nIgualando as duas temos:\n\n\quad \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}k x^{k-1} = n(1+x)^{n-1},\n\nmultiplicando ambos os lados por x temos\n\n\quad \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}k x^k = nx(1+x)^{n-1}.\n\nExemplo 7. Usando o exemplo 6 mostre que:\n\n\quad \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}k^2 = n2^{n-1}.\n\n\textbf{Solução:} Note que:\n\n\quad f(1) = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^k = n\times 1 \times (\n\nExemplo 7. Mostre que\n\n Departamento de Estatística e Matemática Aplicada\nUniversidade Federal do Ceará\n\hfill DEMA\n\hfill Semestre 2020.1\n\n\begin{equation*}\n \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n.\n\end{equation*}\n\textbf{Solução:} Vamos usar a fórmula do binômio de Newton:\n\n\begin{equation*}\n (x + a)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^k x^{n-k},\n\end{equation*}\nfazendo \(a = x = 1\) temos:\n\n\begin{equation*}\n (1 + 1)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} 1^{n-k} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n.\n\end{equation*}\n\textbf{Exemplo 8.} Mostre que\n\n\begin{equation*}\n \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k} = 2^n.\n\end{equation*}\n\textbf{Solução:} Vamos usar a fórmula do binômio de Newton:\n\n\begin{equation*}\n (x + a)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^k x^{n-k},\n\end{equation*}\nfazendo \(a = -1\) e \(x = 1\) temos:\n\n\begin{equation*}\n (1 - 1)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k1^{n-k} = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k} = 0^n = 0.\n\end{equation*}\n\textbf{Exemplo 9.} O próximo exemplo tratará de obter a soma dos termos de ordem par de um\nBinômio de Newton \((x + a)^n\) ordenado segundo as potências decrescentes de \(x\). Seja \(S_p\) esta\nsoma e \(C_p\) a soma dos coeficientes dos termos de ordem par . Mostre que:\n\n\begin{equation*}\n S_p = \frac{(x + a)^n - (x - a)^n}{2},\n\end{equation*}\n\begin{equation*}\n C_p = \frac{(1 + a)^n - (1 - a)^n}{2}.\n\end{equation*}\n\textbf{Solução:}\n\nVamos expandir \((x + a)^n\)\n\n\begin{equation*}\n (x + a)^n = T_1 + T_2 + T_3 + T_4 + \ldots\n\end{equation*}\ne\n\begin{equation*}\n (x - a)^n = T_1 - T_2 + T_3 - T_4 - \ldots\n\end{equation*}\nSubtraindo as duas expressões temos:\n\n\begin{equation*}\n (x - a)^n = 2\left[T_2 + T_4 + \cdots\right].\n\end{equation*}\n Departamento de Estatística e Matemática Aplicada Universidade Federal do Ceará DEMA Semestre 2020.1 Vamos considerar um exemplo para ilustrar: Considere (x + 2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16 = T_1 x^4 + T_2 x^3 + T_3 x^2 + T_4 x + T_5 e Considere (x - 2)^4 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16 = T_1 x^4 - T_2 x^3 + T_3 x^2 - T_4 x + T_5 Assim, S_P = T_2 + T_4 = 16x^3 + 64x = 2[T_2 + T_4]. Se vc quiser saber a soma dos coeficientes de ordem par 8 + 32 = 40 é só fazer: C_P = P(1) = \frac{(1 + a)^n - (1 - a)^n}{2} = \frac{(1 + 2)^4 - (1 - 2)^4}{2} = \frac{3^4 - (-1)^4}{2} = \frac{81 - 1}{2} = 40. 2. Polinômio de Leibniz. Vamos generalizar a fórmula do binômio de Newton. O que seria por exemplo (a + b + c)^2? (a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c) = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc. O que seria por exemplo (a + b + c)^3? (a + b + c)^3 = (a + b + c)(a + b + c)^2 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2 b + 3a^2 c + 3b^2 c + 3ab^2 + 3bc^2 + Temos 10 termos. Como explicar isso a priori? Note que cada termo é da forma com não negativos. Se tem . Se tem . Se tem . Se k = 1 tem abc. Logo teremos tantos termos quantas são as soluções não negativas da equação: i + j + Sabemos que ( Morgado páginas 48 a 52 ) que o número de soluções inteiras não negativas da equação é dada por No nosso caso temos e . Logo \binom{-1}{3} = ( Departamento de Estatística e Matemática Aplicada Universidade Federal do Ceará DEMA Semestre 2020.1 O termo geral de (a + b + c)^3 é dado por: TG = \frac{3!}{i!j!k!} a^i b^j c^k, i + j + k = 3. O termo geral de (a + b + c)^n é dado por: TG = \frac{n!}{i!j!k!} a^i b^j c^k, i + j + k = n. Vamos enunciar a generalização do teorema. (x_1 + x_2 + ... + x_p)^n = \sum \frac{n!}{a_1!a_2!...a_p!} x_1^{a_1} x_2^{a_2} ... x_p^{a_p}. O somatório é feito para todos os valores inteiros não negativos de a_1, a_2, ..., a_p tais que a_1 + a_2 + ... + a_p = n. Exemplo 10. Considere a expressão (x^2 + 2x - 1)^4 . Responda: a. Quantos termos há na expressão? Solução: Fazendo a_1 = x^2, x2 = 2x e x3 = -1 temos k = 3 e n = 4. O número de termos é dado CR_3^4 = \binom{3 + 4 - 1}{4} = \binom{6}{4} = 15 \text{ termos}. b. Qual a expressão do termo Geral? Solução: TG = \frac{4!}{a1!a2!a3!} x1^{a1} x2^{a2} x3^{a3}, a1 + a2 + a3 = 4. TG = \frac{4!}{a1!a2!a3!} (2x)^{2a1} (x^2)^{(−1)^a3} = (−1)^{3a2} x^{2a1} \frac{2a1 + 1}{a3!} a2(2x)^{2a2} com c. Existe algum termo da expressão que independa de? Solução: Assim o coeficiente de neste termo deve valer zero. logo sujeito à condição a2 + a3 = 4. Logo, a1 = 0, Seu coeficiente é dado por: C = \frac{4!}{0!} d. Determine o coeficiente de Solução: Assim o coeficiente de neste termo deve valer zero. logo sujeito à condição 4. As possíveis soluções são: Departamento de Estatística e Matemática Aplicada Universidade Federal do Ceará DEMA Semestre 2020.1 | a_1 | a_2 | a_3 | Termo | |-----|-----|-----|-------| | 0 | 4 | 0 | 16x^4 | | 1 | 2 | 1 | -48x^4 | | 2 | 0 | 0 | 6x^4 | Somando temos que o termo em x^4 do desenvolvimento é −26x^4. O coeficiente vale −26. e. Determine a soma dos coeficientes desse desenvolvimento. Solução: A maior potência é x^8. Assim P(x) = (x^2 + 2x - 1) ^4 = A_0 + A_1 x + A_2 x^2 + A_3 x^3 + A_4 x^4 + A_5 x^5 + A_6 x^6 + A_7 x^7 + A_8 x^8. Assim, P(1) = (1^2 + 2x * 1 − 1)^4 = A_0 + A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 + A_6 + A_7 + A_8 = 16. f. Mostre que P(x) = (x^2 + 2x − 1) ^4 = 1 − 8x + 20x^2 − 8x^3 − 26x^4 + 8x^5 + 20x^6 + 8x^7 + x^8. Note que depois da redução dos termos semelhantes temos 9 termos. Solução: | Ordem | a_1 | a_2 | a_3 | Termo | |-------|-----|-----|-----|-------| | 1 | 4 | 0 | 0 | x^8 | | 2 | 0 | 4 | 0 | 16x^4 | | 3 | 0 | 0 | 4 | 1 | | 4 | 3 | 1 | 0 | 8x^7 | | 5 | 3 | 0 | 1 | −4x^6 | | 6 | 1 | 0 | 3 | −4x^2 | | 7 | 1 | 3 | 0 | 32x^5 | | 8 | 0 | 1 | 3 | −8x | | 9 | 0 | 3 | 1 | −32x^3 | | 10 | 2 | 2 | 0 | −24x^5 | | 11 | 1 | 2 | 1 | −48x^4 | | 12 | 1 | 1 | 2 | 24x^3 | | 13 | 2 | 2 | 0 | 24x^6 | | 14 | 2 | 0 | 0 | 6x^4 | | 15 | 0 | 2 | 2 | 24x^2 | Da última coluna ta tabela anterior obtemos: P(x) = (x^2 + 2x - 1)^4 = x = 20x^6 + 8x^5 | − 4 − 8 x^2 − 1.