Introducao a Mecanica dos Fluidos - Fox McDonald Pritchard - 8a Edicao

OITAVA EDIÇÃO Introdução à Mecânica dos Fluidos FOX McDONALD PRITCHARD LTC INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS FLUIDOS abdr Respeite o direito autoral O GEN Grupo Editorial Nacional reúne as editoras Guanabara Koogan Santos Roca AC Farmacêutica Forense Método LTC EPU e Forense Universitária que publicam nas áreas científica técnica e profissional Essas empresas respeitadas no mercado editorial construíram catálogos inigualáveis com obras que têm sido decisivas na formação acadêmica e no aperfeiçoamento de várias gerações de profissionais e de estudantes de Administração Direito Enfermagem Engenharia Fisioterapia Medicina Odontologia Educação Física e muitas outras ciências tendo se tornado sinônimo de seriedade e respeito Nossa missão é prover o melhor conteúdo científico e distribuílo de maneira flexível e conveniente a preços justos gerando benefícios e servindo a autores docentes livreiros funcionários colaboradores e acionistas Nosso comportamento ético incondicional e nossa responsabilidade social e ambiental são reforçados pela natureza educacional de nossa atividade sem comprometer o crescimento contínuo e a rentabilidade do grupo INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS FLUIDOS OITAVA EDIÇÃO ROBERT W FOX Purdue University Professor Emérito ALAN T MCDONALD Purdue University Professor Emérito PHILIP J PRITCHARD Manhattan College Com a contribuição especial de JOHN C LEYLEGIAN Manhattan College Tradução e Revisão Técnica RICARDO NICOLAU NASSAR KOURY Departamento de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Minas Gerais LUIZ MACHADO Departamento de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Minas Gerais LTC Sumário CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 11 Nota aos Estudantes 12 Escopo da Mecânica dos Fluidos 13 Definição de um Fluido 14 Equações Básicas 15 Métodos de Análise Sistema e Volume de Controle Formulação Diferencial versus Formulação Integral Métodos de Descrição 16 Dimensões e Unidades Sistemas de Dimensões Sistemas de Unidades Sistemas de Unidades Preferenciais Consistência Dimensional e Equações de Engenharia 17 Análise de Erro Experimental 18 Resumo Problemas CAPÍTULO 2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 21 Fluido como um Contínuo 22 Campo de Velocidade Escoamentos Uni Bi e Tridimensionais Linhas de Tempo Trajetórias Linhas de Emissão e Linhas de Corrente 23 Campo de Tensão 24 Viscosidade Fluido Newtoniano Fluidos Não Newtonianos 25 Tensão Superficial 26 Descrição e Classificação dos Movimentos de Fluido Escoamentos Viscosos e Não Viscosos Escoamentos Laminar e Turbulento Escoamentos Compressível e Incompressível Escoamentos Interno e Externo 27 Resumo e Equações Úteis Referências Problemas CAPÍTULO 3 ESTÁTICA DOS FLUIDOS 31 A Equação Básica da Estática dos Fluidos 32 A AtmosferaPadrão 33 Variação de Pressão em um Fluido Estático Líquidos Incompressíveis Manômetros Gases 34 Sistemas Hidráulicos 35 Forças Hidrostáticas sobre Superfícies Submersas Força Hidrostática sobre uma Superfície Plana Submersa Força Hidrostática sobre uma Superfície Curva Submersa 36 Empuxo e Estabilidade 37 Fluidos em Movimento de Corpo Rígido no Site da LTC Editora 38 Resumo e Equações Úteis Referências Problemas CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES BÁSICAS NA FORMA INTEGRAL PARA UM VOLUME DE CONTROLE 41 Leis Básicas para um Sistema Conservação de Massa Segunda Lei de Newton O Princípio da Quantidade de Movimento Angular A Primeira Lei da Termodinâmica A Segunda Lei da Termodinâmica 42 Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume de Controle Derivação Interpretação Física 43 Conservação de Massa Casos Especiais 44 Equação da Quantidade de Movimento para um Volume de Controle Inercial Análise de Volume de Controle Diferencial Volume de Controle Movendo com Velocidade Constante 45 Equação da Quantidade de Movimento para um Volume de Controle com Aceleração Retilínea 46 Equação da Quantidade de Movimento para Volume de Controle com Aceleração Arbitrária no Site da LTC Editora 47 O Princípio da Quantidade de Movimento Angular Equação para Volume de Controle Fixo Equação para um Volume de Controle Rotativo no Site da LTC Editora 48 A Primeira Lei da Termodinâmica Taxa de Trabalho Realizado por um Volume de Controle Equação do Volume de Controle 49 A Segunda Lei da Termodinâmica 410 Resumo e Equações Úteis Problemas CAPÍTULO 5 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DIFERENCIAL DOS MOVIMENTOS DOS FLUIDOS 51 Conservação da Massa Sistema de Coordenadas Retangulares Sistema de Coordenadas Cilíndricas 52 Função de Corrente para Escoamento Incompressível Bidimensional 53 Movimento de uma Partícula Fluida Cinemática Translação de um Fluido Aceleração de uma Partícula Fluida em um Campo de Velocidade Rotação de Fluido Deformação de Fluido 54 Equação da Quantidade de Movimento Forças Atuando sobre uma Partícula Fluida Equação Diferencial da Quantidade de Movimento Fluidos Newtonianos As Equações de NavierStokes 55 Introdução à Dinâmica de Fluidos Computacional Por que a DFC É Necessária Aplicações de DFC Alguns Métodos NuméricosDFC Básicos Usando uma Planilha A Estratégia de DFC Discretização Usando o Método das Diferenças Finitas Montagem do Sistema Discreto e Aplicação de Condições de Contorno Solução do Sistema Discreto Malha de Convergência Lidando com a Não Linearidade Solucionadores Diretos e Iterativos Convergência Iterativa Considerações Finais 56 Resumo e Equações Úteis Referências Problemas CAPÍTULO 6 ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL DE FLUIDOS NÃO VISCOSOS 61 Equação da Quantidade de Movimento para Escoamento sem Atrito a Equação de Euler 62 As Equações de Euler em Coordenadas de Linhas de Corrente 63 A Equação de Bernoulli Integração da Equação de Euler ao Longo de uma Linha de Corrente para Escoamento Permanente Dedução Usando Coordenadas de Linha de Corrente Dedução Usando Coordenadas Retangulares Pressões Estática de Estagnação e Dinâmica Aplicações Precauções no Emprego da Equação de Bernoulli 64 A Equação de Bernoulli Interpretada como uma Equação de Energia 65 Linha de Energia e Linha Piezométrica 66 Equação de Bernoulli para Escoamento Transiente Integração da Equação de Euler ao Longo de uma Linha de Corrente no Site da LTC Editora 67 Escoamento Irrotacional A Equação de Bernoulli Aplicada a um Escoamento Irrotacional Potencial de Velocidade Função de Corrente e Potencial de Velocidade para Escoamento Bidimensional Irrotacional e Incompressível Equação de Laplace Escoamentos Planos Elementares Superposição de Escoamentos Planos Elementares 68 Resumo e Equações Úteis Referências Problemas CAPÍTULO 7 ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA 71 As Equações Diferenciais Básicas Adimensionais 72 A Natureza da Análise Dimensional 73 O Teorema Pi de Buckingham 74 Determinação dos Grupos Π 75 Grupos Adimensionais Importantes na Mecânica dos Fluidos 76 Semelhança de Escoamentos e Estudos de Modelos Semelhança Incompleta Transporte por Escala com Múltiplos Parâmetros Dependentes Comentários sobre Testes com Modelos 77 Resumo e Equações Úteis Referências Problemas CAPÍTULO 8 ESCOAMENTO INTERNO VISCOSO E INCOMPRESSÍVEL 81 Introdução Escoamento Laminar versus Turbulento A Região de Entrada PARTE A ESCOAMENTO LAMINAR COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO 82 Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre Placas Paralelas Infinitas Ambas as Placas Estacionárias Placa Superior Movendose com Velocidade Constante U 83 Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido em um Tubo PARTE B ESCOAMENTO EM TUBOS E DUTOS 84 Distribuição de Tensão de Cisalhamento no Escoamento Completamente Desenvolvido em Tubos 85 Perfis de Velocidade em Escoamentos Turbulentos Completamente Desenvolvidos em Tubos 86 Considerações de Energia no Escoamento em Tubos Coeficiente de Energia Cinética Perda de Carga 87 Cálculo da Perda de Carga Perdas Maiores Fator de Atrito Perdas Menores Bombas Ventiladores e Sopradores em Sistemas de Fluidos Dutos Não Circulares 88 Solução de Problemas de Escoamento em Tubo Sistemas de Trajeto Único Sistemas de Trajetos Múltiplos PARTE C MEDIÇÃO DE VAZÃO 89 Métodos Diretos 810 Medidores de Vazão de Restrição para Escoamentos Internos A Placa de Orifício O Bocal Medidor O Venturi Elemento de Escoamento Laminar 811 Medidores de Vazão Lineares 812 Métodos Transversos Referências Problemas CAPÍTULO 9 ESCOAMENTO VISCOSO INCOMPRESSÍVEL EXTERNO PARTE A CAMADASLIMITE 91 O Conceito de CamadaLimite 92 Espessuras de CamadaLimite 93 CamadaLimite Laminar sobre uma Placa Plana Solução Exata no Site da LTC Editora 94 Equação Integral da Quantidade de Movimento 95 Uso da Equação Integral da Quantidade de Movimento para Escoamento com Gradiente de Pressão Zero Escoamento Laminar Escoamento Turbulento Resumo dos Resultados para Escoamento em CamadaLimite com Gradiente de Pressão Zero 96 Gradientes de Pressão no Escoamento da CamadaLimite PARTE B ESCOAMENTO FLUIDO EM TORNO DE CORPOS SUBMERSOS 97 Arrasto Arrasto de Atrito Puro Escoamento sobre uma Placa Plana Paralela ao Escoamento Arrasto de Pressão Puro Escoamento sobre uma Placa Plana Normal ao Escoamento Arrastos de Pressão e de Atrito Escoamento sobre uma Esfera e um Cilindro Carenagem 98 Sustentação 99 Resumo e Equações Úteis Referências Problemas CAPÍTULO 10 MÁQUINAS DE FLUXO 101 Introdução e Classificação de Máquinas de Fluxo Máquinas para Realizar Trabalho sobre um Fluido Máquinas para Extrair Trabalho Potência de um Fluido Abrangência 102 Análise de Turbomáquinas O Princípio da Quantidade de Movimento Angular A Equação de Euler para Turbomáquinas Diagramas de Velocidade Eficiência Potência Hidráulica Análise Dimensional e Velocidade Específica 103 Bombas Ventiladores e Sopradores Aplicação da Equação de Euler para Tubomáquina para Bombas Centrífugas Aplicação da Equação de Euler para Bombas e Ventiladores Axiais Características de Desempenho Regras de Semelhança Cavitação e Altura de Carga de Sucção Positiva Líquida Seleção de Bomba Aplicação para Sistemas Fluidos Sopradores e Ventiladores 104 Bombas de Deslocamento Positivo 105 Turbinas Hidráulicas Teoria de Turbina Hidráulica Características de Desempenho para Turbinas Hidráulicas Dimensionamento de Turbinas Hidráulicas para Sistemas Fluidos 106 Hélices e Máquinas Eólicas Hélices Máquinas Eólicas 107 Turbomáquinas de Escoamento Compressível Aplicação da Equação da Energia para uma Máquina de Escoamento Compressível Compressores Turbinas de Escoamento Compressível 108 Resumo e Equações Úteis Referências Problemas CAPÍTULO 11 ESCOAMENTO EM CANAIS ABERTOS 111 Conceitos Básicos e Definições Considerações para Simplificação Geometria do Canal Velocidade de Ondas Superficiais e o Número de Froude 112 Equação de Energia para Escoamentos em Canal Aberto Energia Específica Profundidade Crítica Energia Específica Mínima 113 Efeito Localizado de Mudança de Área Escoamento sem Atrito Escoamento sobre um Ressalto 114 O Ressalto Hidráulico Aumento de Profundidade Através de um Ressalto Hidráulico Perda de Carga Através de um Ressalto Hidráulico 115 Escoamento Uniforme em Regime Permanente A Equação de Manning para Escoamento Uniforme Equação de Energia para Escoamento Uniforme Seção Transversal do Canal Ótima 116 Escoamento com Profundidade Variando Gradualmente Cálculo de Perfis de Superfície 117 Medição de Descarga Usando Vertedouros Vertedouro Retangular Suprimido Vertedouros Retangulares Contraídos Vertedouro Triangular Vertedor de Soleira Espessa 118 Resumo e Equações Úteis Referências Problemas CAPÍTULO 12 INTRODUÇÃO AO ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL 121 Revisão de Termodinâmica 122 Propagação de Ondas de Som Velocidade do Som Tipos de Escoamento O Cone de Mach 123 Estado de Referência Propriedades de Estagnação Isentrópica Local Propriedades Locais de Estagnação Isentrópica para o Escoamento de um Gás Ideal 124 Condições Críticas 125 Resumo e Equações Úteis Referências Problemas CAPÍTULO 13 ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL 131 Equações Básicas para Escoamento Compressível Unidimensional 132 Escoamento Isentrópico de um Gás Ideal Variação de Área Escoamento Subsônico M 1 Escoamento Supersônico M 1 Escoamento Sônico M 1 Condições Críticas e de Estagnação de Referência para Escoamento Isentrópico de um Gás Ideal Escoamento Isentrópico em um Bocal Convergente Escoamento Isentrópico em um Bocal ConvergenteDivergente 133 Choques Normais Equações Básicas para um Choque Normal Interpretação de Fanno e Rayleigh do Choque Normal Funções de Escoamento de Choque Normal para Escoamento Unidimensional de um Gás Ideal 134 Escoamento Supersônico em Canais com Choque Escoamento em um Bocal ConvergenteDivergente Difusor Supersônico no site da LTC Editora Operação de Túnel de Vento Supersônico no site da LTC Editora Escoamento Supersônico com Atrito em um Canal de Área Constante no site da LTC Editora Escoamento Supersônico com Adição de Calor em um Canal de Área Constante no site da LTC Editora 135 Escoamento em um Duto de Área Constante com Atrito Equações Básicas para o Escoamento Adiabático Escoamento Adiabático a Linha de Fanno Funções de Escoamento de Linha de Fanno para o Escoamento Unidimensional de um Gás Ideal Escoamento Isotérmico no site da LTC Editora 136 Escoamento sem Atrito em um Duto de Área Constante com Transferência de Calor Equações Básicas para Escoamento com Transferência de Calor A Linha de Rayleigh Funções de Escoamento de Linha de Rayleigh para Escoamento Unidimensional de um Gás Ideal 137 Choques Oblíquos e Ondas de Expansão Choques Oblíquos Ondas de Expansão Isentrópicas 138 Resumo e Equações Úteis Referências Problemas APÊNDICE A DADOS DE PROPRIEDADES DE FLUIDOS APÊNDICE B EQUAÇÕES DO MOVIMENTO EM COORDENADAS CILÍNDRICAS APÊNDICE C FILMES PARA MECÂNICA DOS FLUIDOS APÊNDICE D CURVAS DE DESEMPENHO SELECIONADAS PARA BOMBAS E VENTILADORES APÊNDICE E FUNÇÕES DE ESCOAMENTO PARA O CÁLCULO DE ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL APÊNDICE F ANÁLISE DE INCERTEZA EXPERIMENTAL APÊNDICE G UNIDADES SI PREFIXOS E FATORES DE CONVERSÃO APÊNDICE H UMA REVISÃO RESUMIDA SOBRE O EXCEL DA MICROSOFT NO SITE DA LTC EDITORA Respostas de Problemas Selecionados Índice Prefácio Introdução Este texto foi escrito para um curso de introdução em mecânica dos fluidos A nossa abordagem do assunto assim como nas edições anteriores enfatiza os conceitos físicos da mecânica dos fluidos e os métodos de análise que se iniciam a partir dos princípios básicos O objetivo principal deste livro é auxiliar os usuários a desenvolver uma metodologia ordenada para a solução de problemas Para isto partimos sempre das equações básicas estabelecemos com clareza as considerações ou hipóteses adotadas e tentamos relacionar os resultados matemáticos com o comportamento físico correspondente Mantivemos a ênfase no uso de volumes de controle como suporte de uma metodologia prática para resolver problemas bem como incluímos uma abordagem teórica Metodologia de Solução de Problemas A metodologia de solução FoxMcDonaldPritchard usada neste texto é ilustrada em numerosos Exemplos em cada capítulo As soluções para os Exemplos foram preparadas de modo a ilustrar a boa técnica de solução e a explicar pontos difíceis da teoria Os Exemplos aparecem em formato destacado na sequência do texto e por isso são de fácil identificação e acompanhamento As informações adicionais importantes sobre o texto e os nossos procedimentos são apresentados na Nota aos Estudantes existente na Seção 11 do livrotexto Aconselhamos que você analise essa seção com bastante atenção e que incorpore os procedimentos sugeridos à sua metodologia de solução de problemas e de representação de resultados Objetivos e Vantagens de Utilizar Este Texto As explicações completas apresentadas no texto juntamente com os numerosos Exemplos detalhados tornam este livro bem compreensível para estudantes Isso permite ao professor deixar de lado os métodos tradicionais de ensino que se baseiam em aulas expositivas O tempo em sala de aula pode ser utilizado então para apresentar material complementar aprofundar tópicos especiais tais como escoamento não newtoniano escoamento de camadalimite sustentação e arrasto ou métodos experimentais resolver exemplos de problemas ou explicar pontos difíceis dos problemas extraclasse propostos Além disso os 51 Exemplos com planilhas do Excel são úteis para apresentar uma variedade de fenômenos da mecânica dos fluidos especialmente os efeitos produzidos quando os parâmetros de entrada variam Desse modo cada período de aula pode ser utilizado da maneira mais apropriada para atender às necessidades dos estudantes Quando os estudantes terminarem o curso de mecânica dos fluidos esperamos que estejam aptos a aplicar as equações básicas em uma variedade de problemas incluindo aqueles com os quais eles não tenham tido contato previamente Enfatizamos em particular os conceitos físicos em todo o texto para ajudar os estudantes a modelar a variedade de fenômenos que ocorrem nas situações reais de escoamento fluido Embora nesta edição incluamos por conveniência um resumo das equações úteis no final da maioria dos capítulos salientamos que nossa filosofia é minimizar o uso de fórmulas mágicas e enfatizar a abordagem sistemática e fundamental para resolver o problema Seguindo esse formato acreditamos que os estudantes adquiram segurança em suas habilidades para aplicar o conteúdo e para descobrir que podem pensar em soluções para problemas um tanto desafiadores O livro é bem adequado para o estudo independente de estudantes ou engenheiros profissionais Sua leitura agradável e os exemplos claros ajudam a adquirir segurança As Respostas de Problemas Selecionados estão incluídas de forma que os estudantes podem conferir os resultados obtidos Cobertura do Texto O conteúdo deste livro foi selecionado cuidadosamente de modo a incluir uma ampla faixa de tópicos adequados para um curso de um ou dois semestres em mecânica dos fluidos de nível introdutório ou mais avançado Consideramos ser necessário um conhecimento prévio em dinâmica de corpo rígido e em equações diferenciais É desejável uma base em termodinâmica para o estudo de escoamento compressível Os conteúdos mais avançados que geralmente não são cobertos em um curso introdutório foram transferidos para o site da LTC Editora essas seções estão identificadas no Sumário e nos capítulos Esse conteúdo avançado está disponível online para os usuários do livro interessados em aprofundar seus estudos o que não prejudica a sequência textual no livrotexto Os assuntos no livrotexto foram organizados em áreas de tópicos abrangentes Conceitos introdutórios abrangência da mecânica dos fluidos e estática dos fluidos Capítulos 1 2 e 3 Desenvolvimento e aplicação de formas de volume de controle das equações básicas Capítulo 4 Desenvolvimento e aplicação de formas diferenciais das equações básicas Capítulos 5 e 6 Análise dimensional e correlação de dados experimentais Capítulo 7 Aplicações para escoamentos internos viscosos e incompressíveis Capítulo 8 Aplicações para escoamentos externos viscosos e incompressíveis Capítulo 9 Análise e aplicações de máquinas de fluxo Capítulo 10 Análise e aplicações de escoamentos em canais abertos Capítulo 11 Análise e aplicações do escoamento compressível em uma e duas dimensões Capítulos 12 e 13 O Capítulo 4 trata de análises usando tanto volumes de controles finitos quanto diferenciais A equação de Bernoulli é deduzida em uma subseção opcional na Seção 44 como um exemplo de aplicação das equações básicas a um volume de controle diferencial Estando aptos a usar a equação de Bernoulli no Capítulo 4 podemos incluir problemas mais desafiadores lidando com a equação da quantidade de movimento para volumes de controle finitos Outra dedução da equação de Bernoulli é apresentada no Capítulo 6 onde ela é obtida da integração das equações de Euler ao longo de uma linha de corrente Caso um professor prefira postergar a introdução da equação de Bernoulli os problemas desafiadores do Capítulo 4 podem ser resolvidos durante o estudo do Capítulo 6 Características do Texto Esta edição incorpora diversas características úteis Exemplos Cinquenta e um dos Exemplos incluem planilhas do Excel disponíveis online no site da LTC Editora tornandoas úteis para as discussões e análises pelos estudantes ou pelo professor durante as aulas Estudos de Caso Cada capítulo começa com um Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente que descreve uma aplicação interessante em mecânica dos fluidos na área de energia renovável ou na melhoria dos rendimentos de máquinas Também mantivemos os Estudos de Caso dos capítulos específicos da edição anterior que agora estão localizados no final de cada capítulo Eles exploram aplicações não usuais ou intrigantes de mecânica dos fluidos em diversas áreas Resumo do Capítulo e Equações Úteis No final da maior parte dos capítulos para a conveniência dos estudantes reunimos as equações mais usadas ou mais significativas do capítulo Embora isto seja conveniente não há como enfatizarmos suficientemente a necessidade de os estudantes se certificarem de que obtiveram uma compreensão da dedução e das limitações de cada equação antes de utilizálas Problemas de Projeto Onde apropriado usamos problemas de projeto de resposta aberta no lugar dos experimentos de laboratório tradicionais Nos cursos que não dispõem de um laboratório completo os estudantes podem formar grupos de trabalho para resolver esses problemas Os problemas de projeto encorajam os estudantes a despender mais tempo explorando aplicações dos princípios de mecânica dos fluidos em projetos de dispositivos e sistemas Como na edição anterior os problemas de projeto estão juntos com os problemas de fim de capítulo Problemas de Resposta Aberta Incluímos muitos problemas de resposta aberta Alguns são questões instigantes para testar a compreensão dos conceitos fundamentais outros requerem pensamento criativo síntese eou respostas discursivas Esperamos que esses problemas ajudem os professores a incentivar seus alunos no que se refere ao raciocínio e ao trabalho de forma mais dinâmica da mesma forma que eles estimulem os professores a desenvolver e usar mais problemas de resposta aberta Problemas de Final de Capítulo Em cada capítulo os problemas são agrupados por tópico nos quais o grau de complexidade ou de dificuldade aumenta à medida que eles se sucedem Esse recurso facilita a solicitação de problemas extraclasse para o professor de acordo com o nível de dificuldade apropriado para cada seção do livro Por conveniência os problemas agora estão agrupados de acordo com os títulos das seções dos capítulos Novidade Desta Edição Esta edição incorpora um número significativo de mudanças Estudos de Caso em Energia e Meio Ambiente No início da cada capítulo incluímos um novo estudo de caso Mediante seu uso esperamos fazer um levantamento das aplicações mais interessantes e novas em mecânica dos fluidos com o objetivo de gerar uma quantidade crescente de necessidades mundiais de energia a partir de fontes renováveis Os estudos de caso não se referem especificamente a cada capítulo isto é eles não têm necessariamente como base o conteúdo do capítulo nos quais estão inseridos Em vez disso esperamos que cada um desses novos estudos de caso sirva como narrativa estimulante no campo da energia renovável para o leitor e que eles forneçam material para discussão na sala de aula Os estudos de caso da edição anterior foram mantidos e reposicionados nos finais dos capítulos Vídeos de Demonstração há vídeos do National Committee for Fluid Mechanics Films NCFMF clássicos com duração aproximada de 20 minutos cada um apresentados pelo professor Ascher Shapiro do Massachusetts Institute of Technology MIT pioneiro no campo de engenharia biomédica e líder no ensino e na pesquisa em mecânica dos fluidos que explicam e demonstram os conceitos de mecânica dos fluidos e novos vídeos suplementares de curtíssima duração entre 30 segundos e dois minutos de duração cada um reunidos de diversas fontes Ambas as coletâneas de vídeos estão em língua inglesa Tanto os clássicos quanto os novos vídeos pretendem fornecer ajuda visual para muitos dos conceitos cobertos no texto e os links para acesso estão disponíveis no site da LTC Editora Consulte a Seção Material Suplementar ao final deste prefácio para mais detalhes quanto aos vídeos e os links de acesso CFD A seção sobre os conceitos básicos de dinâmica dos fluidos computacional no Capítulo 5 inclui agora material sobre uso de planilha para análise numérica de escoamentos simples uni e bidimensionais inclui também uma introdução ao método de Euler Máquinas de Fluxo O Capítulo 10 foi reestruturado primeiramente apresentando um conteúdo sobre bombas e ventiladores seguido por uma seção sobre turbinas hidráulicas Hélices e turbinas eólicas agora são apresentados em conjunto A seção sobre turbinas eólicas inclui agora a análise de turbinas eólicas de eixo vertical VAWTs com mais profundidade Uma seção sobre máquinas de escoamento compressível também foi adicionada para familiarizar os estudantes com as diferenças na avaliação do desempenho de máquinas de escoamento incompressível versus escoamento compressível Os dados no Apêndice D sobre bombas e ventiladores foram atualizados para refletir novos produtos e novas formas de apresentar dados Escoamento em Canal Aberto Nesta edição reescrevemos completamente o tópico sobre escoamentos em canal aberto Uma inovação deste novo conteúdo comparado com textos similares é a abordagem dos efeitos locais incluindo o ressalto hidráulico considerando antes escoamentos uniformes e gradualmente variáveis Esse material fornece um conhecimento prévio suficiente sobre o tópico para engenheiros mecânicos e serve como uma introdução para engenheiros civis Escoamento Compressível O material no Capítulo 13 foi reestruturado de forma que os choques normais são discutidos antes dos escoamentos de Fanno e de Rayleigh Fizemos isso porque muitos programas curriculares de ensino superior em mecânica dos fluidos incluem choques normais mas não escoamentos de Fanno ou de Rayleigh Novos Problemas Extraclasse A oitava edição inclui 1705 problemas de final de capítulo Muitos problemas foram combinados e contêm partes múltiplas Nem sempre todas elas necessitam de ser resolvidas de uma só vez e quase 25 por cento das subpartes foram pensadas para explorar questões de análises complementares Os problemas novos ou modificados para esta oitava edição totalizam 518 alguns criados por um grupo de professores e especialistas no assunto Os problemas extraclasse de final de capítulo são agora agrupados de acordo com as seções do texto VÍDEO CLÁSSICO Clâssicos em inglês VÍDEO Novos vídeos em inglês Agradecimentos Reconhecemos que não há uma abordagem única que possa satisfazer a todas as necessidades Somos gratos aos muitos estudantes e docentes que com seus comentários têm nos ajudado a aprimorar este livro desde a sua primeira edição Desejamos expressar nossos agradecimentos aos contribuintes e revisores do curso WileyPLUS Darrell W Pepper University of Nevada Las Vegas Brian P Sangeorzan Oakland University Asghar Esmaeeli Southern Illinois University Carbondale Andrew Gerhart Lawrence Technological University John Mitchell University of Wisconsin Madison David Benson Kettering University Donald Fenton Kansas State University Alison Griffin University of Central Florida John Leylegian Manhattan College Mark Cummings University of Idaho Gostaríamos também de agradecer a Bud Hosmy por sua ajuda em obter permissão junto à Stanford University à University of California Santa Barbara para licenciar vários vídeos cujos links estamos disponibilizando para aqueles que adotarem esta edição Agradecemos a Gordon McCreight igualmente por sua ajuda nesse processo Agradecemos às seguintes pessoas por suas inestimáveis contribuições no desenvolvimento de novos e interessantes problemas para vários capítulos Kenneth W Miller St Cloud State University Darrell W Pepper University of Nevada Las Vegas Shizhi Qian Old Dominion University Thomas Shepard University of Minnesota Esta oitava edição foi cuidadosamente revisada integral ou parcialmente por John Abbitt University of Florida Soyoung Stephen Cha University of Illinois Chicago Kangping Chen Arizona State University W Scott Crawford Stanford University Timothy J Fry University of Dayton James W Leach North Carolina State University Jed E Marquart Ohio Northern University Hans Mayer California Polytechnic State University San Luis Obispo Karl R Nelson Colorado School of Mines Siva Parameswaran Texas Tech University Brian P Sangeorzan Oakland University Brian Savilonis Worcester Polytechnic Institute Hayley H Shen Clarkson University Somos extremamente gratos por seus comentários e sugestões Finalmente nesta oitava edição temos uma imensa dívida de gratidão com John Leylegian do Manhattan College devido a sua enorme contribuição Ele reestruturou o Capítulo 10 e revisou o Apêndice D e contribuiu significativamente para as mudanças realizadas em todos os demais capítulos Ficou sob sua responsabilidade revisar atualizar ou trocar os problemas de final de capítulo em metade dos capítulos bem como produzir as respostas correspondentes para o manual de soluções Sua perícia foi essencial para a revisão do Capítulo 10 Esperamos continuar essas interações com esses e outros colegas que utilizam este livro O professor Pritchard admirou o incansável apoio da esposa dele Penelope que está consciente de todas as horas investidas na tarefa de preparar esta edição Agradecemos previamente as sugestões ou críticas recebidas dos usuários deste livro Philip J Pritchard Agosto de 2010 Recurso disponível apenas para a edição original em língua inglesa NE Material Suplementar Este livro conta com os seguintes materiais suplementares Apêndice H arquivo em formato pdf que contém uma revisão sintética do Microsoft Excel acesso livre Classic Videos coletânea de vídeos clássicos em inglês sobre mecânicas dos fluidos em preto e branco acesso livre Disponível no site do Massachusetts Institute of Technology MIT Instituto de Tecnologia de Massachusetts httpwebmiteduhmlncfmfhtml Acesse o vídeo clássico Boundary layer control controle de camadalimite pelo link httpwwwyoutubecomwatchvw1Q6NJPpkk Conteúdo online dos capítulos arquivos em formato pdf que disponibiliza conteúdo das seções online indicadas no livrotexto acesso livre Ilustrações da obra em formato de apresentação acesso restrito a docentes Lecture PowerPoint Slides arquivos em formato ppt com apresentações em inglês para uso em sala de aula acesso restrito a docentes Modelos em Excel arquivos em formato xls com planilhas de dados acesso livre Solutions Manual arquivos em formato pdf que apresentam as soluções de todos os problemas do livrotexto em inglês acesso restrito a docentes Vídeos coletânea de vídeos temáticos em inglês coloridos ou em preto e branco indicados no livrotexto Disponível no site httpbcswileycomhebcsBooks actionmininavbcsId6187itemId0470547553assetId233351resourceId22858newwindowtrue O acesso ao material suplementar é gratuito bastando que o leitor se cadastre em httpgeniogrupogencombr Estes sites seus conteúdos bem como as suas respectivas atualizações inclusões ou retiradas são de propriedade e responsabilidade dos seus criadores Não cabe à LTC Editora qualquer responsabilidade pela manutenção criação acesso retirada alteração ou suporte do conteúdo deles e das normas de uso NE Introdução 11 Nota aos Estudantes 12 Escopo da Mecânica dos Fluidos 13 Definição de um Fluido 14 Equações Básicas 15 Métodos de Análise 16 Dimensões e Unidades 17 Análise de Erro Experimental 18 Resumo Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente Energia Eólica No início de cada capítulo apresentamos um estudo de caso mostrando a importância da mecânica dos fluidos para ajudar a resolver a crise de energia e aliviar o impacto causado ao meio ambiente por nossas necessidades de energia os casos fornecem compreensão sobre a contínua importância da área da mecânica dos fluidos Tentamos apresentar desenvolvimentos novos e originais e não aplicações do tipo como os onipresentes parques eólicos Note por favor que o estudo de caso representa uma narrativa então cada estudo de caso de um capítulo não é necessariamente representativo do material existente no capítulo Talvez como um engenheiro criativo recém graduado você será capaz de criar caminhos ainda melhores de extrair formas de energia renovável e não poluente ou inventar algo para tornar os dispositivos fluidomecânicos ainda mais eficientes De acordo com a edição de 16 de julho de 2009 do New York Times o potencial global de energia eólica é muito maior do que o estimado anteriormente tanto pelos grupos industriais quanto pelas agências governamentais As turbinas eólicas são discutidas no Capítulo 10 Usando os dados obtidos a partir de milhares de estações meteorológicas a pesquisa indica que o potencial mundial de energia eólica é em torno de 40 vezes maior do que o consumo atual total de energia estudos anteriores haviam posto esse valor em torno de 7 vezes maior Nos 48 estados mais baixos dos EUA o potencial de energia eólica é 16 vezes maior do que a demanda total de energia elétrica nos EUA sugeriram os pesquisadores novamente muito além do que um estudo de 2008 do Departamento de Energia dos EUA que projetou que a energia eólica poderia suprir 15 de toda a energia elétrica no país até 2030 Os resultados indicam a validade da alegação muitas vezes feita de que os Estados Unidos são a Arábia Saudita da Energia Eólica A nova estimativa é baseada na ideia de implantação de turbinas eólicas de 25 a 30 megawatts MW em áreas rurais que não são congeladas e nem de florestas além de estarem longe de locais de mar raso Esta é uma estimativa conservativa de 20 para o fator de capacidade que é uma medida de quanta energia uma dada turbina realmente produz Tem sido estimado que a energia eólica total que concebivelmente poderia ser extraída está em torno de 72 terawatts TW 72 1012 watts Tendo em conta que o consumo total de energia de todos os seres humanos foi cerca de 16 TW como em 2006 fica claro que a energia eólica poderia suprir toda a necessidade mundial em um futuro previsível Pipas KiteGen poderiam voar a uma altitude de aproximadamente 1000 m e girar um carrossel sobre o solo Figura cortesia de Ben Shepard e Archer Caldeira Uma razão para a nova estimativa é decorrente da utilização cada vez mais comum de turbinas muito grandes que se elevam a quase 100 m de altura onde as velocidades do vento são maiores Estudos anteriores do vento foram baseados no uso de turbinas de 50 a 80 m Adicionalmente para chegar ainda a elevações mais altas e consequentemente maiores velocidades do vento duas abordagens foram propostas Em um artigo recente o Professor Archer da California State University e o Professor Caldeira da Carnegie Institution of Washington Stanford discutiram algumas possibilidades Uma delas é um projeto de uma pipa chamada KiteGen mostrada na figura que consiste em aerofólios amarrados pipas que são manipulados por uma unidade de controle conectada a uma base no solo um gerador em forma de carrossel as pipas são manobráveis de modo que elas dirigem o carrossel gerando energia possivelmente tanto quanto 100 MW Esta abordagem seria melhor para os primeiros quilômetros da atmosfera Uma abordagem usando maiores elevações teria que gerar energia elétrica e em seguida transmitila da parte superior para a superfície por meio de um cabo No projeto proposto por Sky Windpower quatro rotores são montados sobre uma estrutura aérea os rotores fornecem sustentação para o dispositivo e geração de energia elétrica A aeronave poderia se levantar do local com a energia elétrica fornecida para atingir a altitude desejada mas geraria até 40 MW de energia elétrica Conjuntos múltiplos poderiam ser usados para geração de energia elétrica em grande escala Os aerofólios são discutidos no Capítulo 9 Os geradores de energia elétrica voadores Sky Windpower poderiam voar a altitudes de aproximadamente 10000 m Figura cortesia de Ben Shepard e Archer Caldeira Vamos examinar alguns desenvolvimentos interessantes em energia eólica nos Estudos de Caso em Energia e Meio Ambiente nos capítulos subsequentes Decidimos dar o título Introdução à para este livrotexto pela seguinte razão Depois de estudar o livro você não estará apto para projetar a aerodinâmica de um novo carro ou avião ou projetar uma nova válvula cardíaca ou selecionar corretamente os extratores e dutos de ar para um edifício de 100 milhões de dólares contudo você terá desenvolvido uma boa compreensão dos conceitos que estão atrás de tudo isso e muitas outras aplicações Você terá feito significativo progresso na direção de estar pronto para trabalhar em projetos de ponta em mecânica dos fluidos tais como esses Para iniciar na direção desse objetivo abordamos alguns tópicos básicos neste capítulo um estudo de caso a abrangência da mecânica dos fluidos a definiçãopadrão do ponto de vista da engenharia para um fluido e equações básicas e métodos de análises Finalmente nós discutimos algumas confusões frequentes que o estudante de engenharia faz em temas como sistemas da unidade e a análise experimental 11 Nota aos Estudantes Este é um livro orientado para o estudante Nós acreditamos que ele seja bastante detalhado para um texto introdutório e que um estudante possa aprender por si através dele Contudo muitos estudantes usarão o texto em um ou mais cursos de graduação Em um caso ou no outro recomendamos uma leitura apurada dos capítulos relevantes De fato uma boa estratégia é ler rapidamente cada capítulo uma vez e então reler cuidadosamente uma segunda e mesmo uma terceira vez de modo que os conceitos formem um contexto e adquiram significado Tendo em vista que os estudantes frequentemente acham a mecânica dos fluidos bastante desafiadora nós acreditamos que essa técnica associada às informações dadas por seu professor que aumentarão e expandirão o material do texto isso se você estiver fazendo um curso revelarão que a mecânica dos fluidos é um fascinante e variado campo de estudo Outras fontes de informações sobre mecânica dos fluidos são facilmente encontradas Além daqueles fornecidos por seu professor há muitos outros textos e revistas de mecânica dos fluidos bem como a Internet uma busca recente feita no Google para fluid mechanics indicou 264 milhões de links incluindo muitos com cálculos e animações de mecânica dos fluidos Há alguns prérequisitos para ler este livrotexto Consideramos que você já tenha estudado introdutoriamente termodinâmica assim como estática dinâmica e cálculo em todo caso na medida da necessidade revisaremos alguns pontos desse conteúdo Acreditamos firmemente que se aprende melhor fazendo Isto é uma verdade seja o assunto estudado mecânica dos fluidos termodinâmica ou futebol Os fundamentos em qualquer um desses assuntos são poucos e o domínio deles vem com a prática Então é extremamente importante que você resolva problemas Os inúmeros problemas incluídos ao final de cada capítulo oferece a você a oportunidade de praticar aplicação de fundamentos na resolução de problemas Mesmo que tenhamos providenciado para a sua comodidade um resumo de equações úteis no final de cada capítulo a exceção deste você deve evitar a tentação de adotar métodos do tipo receita de bolo na resolução de problemas Muitos dos problemas propostos são tais que essa técnica simplesmente não funciona Para resolver problemas nós recomendamos fortemente que você desenvolva os seguintes passos lógicos 1 Estabeleça de forma breve e concisa com suas próprias palavras a informação dada 2 Identifique a informação que deve ser encontrada 3 Faça um desenho esquemático do sistema ou do volume de controle a ser usado na análise Certifiquese de assinalar as fronteiras do sistema ou do volume de controle e as direções e sentidos apropriados das coordenadas 4 Apresente a formulação matemática das leis básicas que você considera necessárias para resolver o problema 5 Relacione as considerações simplificadoras que você considera apropriadas para o problema 6 Complete a análise algebricamente antes de introduzir valores numéricos 7 Introduza os valores numéricos dados usando um sistema consistente de unidades para obter a resposta numérica desejada a Referencie a fonte de valores para as propriedades físicas b Certifiquese de que os algarismos significativos da resposta são compatíveis com aqueles dos dados fornecidos 8 Verifique a resposta e reveja as considerações feitas na solução a fim de assegurar que elas são razoáveis 9 Destaque a resposta Nos primeiros exercícios esta formatação do problema pode parecer longa e mesmo desnecessária Contudo da nossa experiência sabemos que essa técnica para resolver problemas é em último caso a mais eficiente ela o preparará também para a comunicação clara e precisa dos seus métodos de solução e dos seus resultados a terceiros como será frequentemente necessário na sua carreira como um profissional de sucesso Esse formato de solução é empregado em todos os Exemplos apresentados neste texto as respostas desses Exemplos são arredondadas para três algarismos significativos Finalmente nós o estimulamos firmemente a fazer um exame da vantagem das muitas ferramentas Excel disponíveis no site da LTC Editora para serem usadas na resolução de problemas Muitos deles podem ser resolvidos muito mais rapidamente usando essas ferramentas ocasionalmente certos problemas poderão ser resolvidos apenas com tais ferramentas ou com um programa computacional equivalente 12 Escopo da Mecânica dos Fluidos Como o nome indica a mecânica dos fluidos é o estudo de fluidos em repouso ou em movimento Ela tem sido tradicionalmente aplicada em áreas tais como o projeto sistemas de canal dique e represa o projeto de bombas compressores tubulações e dutos usados nos sistemas de água e condicionamento de ar de casas e edifícios assim como sistemas de bombeamento necessários na indústria química as aerodinâmicas de automóveis e aviões sub e supersônicos e o desenvolvimento de muitos diferentes medidores de vazão tais como os medidores de bombas de gás Como as áreas citadas anteriormente ainda são extremamente importantes veja por exemplo a ênfase atual dada à aerodinâmica dos carros e as falhas dos diques em Nova Orleans a mecânica dos fluidos é realmente uma disciplina de alta tecnologia ou de tope Ela permitiu o desenvolvimento de muitos campos instigantes no último quarto de século Alguns exemplos incluem questões sobre meio ambiente e energia por exemplo contenção de derramamento de óleos turbinas eólicas de grande escala geração de energia a partir de ondas do oceano aspectos aerodinâmicos de grandes edificações mecânica dos fluidos da atmosfera e do oceano e de fenômenos atmosféricos como tornados furacões e tsunamis biomecânica por exemplo corações e válvulas artificiais e outros órgãos como o fígado compreensão da mecânica dos fluidos do sangue líquido sinovial das juntas os sistemas respiratório circulatório e urinário esportes projeto de bicicletas e capacetes de bicicleta esquis vestimentas para corrida e natação a aerodinâmica de bolas de golfe tênis e futebol fluidos inteligentes por exemplo em sistemas de suspensão automotiva para otimizar o movimento sobre todas as condições do terreno uniformes militares contendo uma camada de fluido que é mole até o combate quando então ela pode tornarse firme para dar força e proteção ao soldado e líquidos de lentes com propriedades parecidas às humanas para uso em câmaras e telefones celulares e microfluidos por exemplo para aplicações extremamente precisas de medicações Esta é apenas uma pequena amostragem de novos campos de aplicação da mecânica dos fluidos Eles ilustram como esta disciplina ainda é altamente relevante e como os seus horizontes estão se ampliando ainda que ela exista há milhares de anos VÍDEO CLÁSSICO Deformação de um Meio Contínuo em inglês 13 Definição de um Fluido Nós temos um sentimento comum quando trabalhamos com um fluido que é oposto àquele do trabalho com um sólido fluidos tendem a escoar quando interagimos com eles por exemplo quando você agita seu café da manhã sólidos tendem a se deformar ou dobrar por exemplo quando você bate sobre um teclado as molas sob as teclas se comprimem Os engenheiros necessitam de uma definição mais formal e precisa de um fluido Um fluido é uma substância que se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento tangencial não importando o quão pequeno seja o seu valor Como o movimento do fluido continua sobre a aplicação dessa tensão definimos um fluido também como uma substância que não pode sustentar uma tensão de cisalhamento quando em repouso Fig 11 Diferença em comportamento de um sólido e um líquido devido à força de cisalhamento Assim líquidos e gases ou vapores são as formas ou fases que os fluidos podem se apresentar Gostaríamos de distinguir essas fases da fase sólida da matéria Podemos ver a diferença entre o comportamento de um sólido e um fluido na Fig 11 Se colocarmos uma espécie de uma ou da outra substância entre dois planos Fig 11a e depois aplicarmos uma força de cisalhamento F cada uma sofrerá uma deformação inicial Fig 11b contudo ao passo que um sólido ficará em repouso considerando que a força não seja suficientemente grande para leválo além do seu limite elástico um fluido continuará se deformando Fig 11c Fig 11d etc enquanto a força for aplicada Note que um fluido em contato com uma superfície sólida não desliza sobre ela O fluido tem a mesma velocidade da superfície por causa da condição de não deslizamento que é um fato experimental O tamanho da deformação do sólido depende do módulo de rigidez G do sólido no Capítulo 2 aprenderemos que a razão de deformação do fluido depende da viscosidade μ do fluido Referimos aos sólidos como elásticos e aos fluidos como viscosos Mais informalmente dizemos que os sólidos exibem elasticidade Por exemplo quando você dirige sobre um buraco o carro salta para cima e para baixo devido à compressão e expansão das molas de metal da suspensão do carro Por outro lado os fluidos exibem os efeitos do atrito de forma que os amortecedores da suspensão contendo um fluido que é forçado através de uma pequena abertura conforme o carro salta dissipam energia devido ao atrito do fluido que para o balanço do carro após poucas oscilações Se os seus amortecedores estão batendo o fluido contido em seu interior escapou de modo que quase não existe atrito enquanto o carro salta e o carro balança muitas vezes em vez de retornar rapidamente ao repouso A ideia de que substâncias podem ser classificadas como um sólido ou um líquido serve para a maioria das substâncias mas diversas substâncias exibem tanto rigidez quanto atrito estas substâncias são conhecidas como viscoelásticas Muitos tecidos biológicos são viscoelásticos Por exemplo o fluido sinovial no joelho humano lubrifica estas juntas mas também absorve parte do impacto que ocorre durante uma caminhada ou corrida Note que o sistema de molas e amortecedores que compreende a suspensão do carro é também viscoelástico embora os componentes individuais não sejam Teremos mais a dizer sobre este tópico no Capítulo 2 VÍDEO CLÁSSICO Fundamentos de CamadaLimite em inglês 14 Equações Básicas A análise de qualquer problema de mecânica dos fluidos inclui necessariamente o estabelecimento das leis básicas que governam o movimento do fluido As leis básicas que são aplicáveis a qualquer fluido são 1 A conservação da massa 2 A segunda lei do movimento de Newton 3 O princípio da quantidade de movimento angular 4 A primeira lei da termodinâmica 5 A segunda lei da termodinâmica Nem todas as leis básicas são necessárias para resolver um problema qualquer Por outro lado em muitos problemas é necessário buscar relações adicionais que descrevam o comportamento das propriedades físicas dos fluidos sob determinadas condições Você provavelmente se recorda por exemplo do estudo das propriedades dos gases na física básica ou na termodinâmica A equação de estado do gás ideal é um modelo que relaciona a massa específica com a pressão e a temperatura para muitos gases sob condições normais Na Eq 11 R é a constante do gás Valores de R são dados no Apêndice A para diversos gases comuns p e T na Eq 11 são a pressão e a temperatura absolutas respectivamente ρ é a massa especifica massa por unidade de volume O Exemplo 11 ilustra o emprego da equação de estado do gás ideal Exemplo 11 APLICAÇÃO DA PRIMEIRA LEI AO SISTEMA FECHADO Um dispositivo cilindropistão contém 095 kg de oxigênio inicialmente a uma temperatura de 27C e a uma pressão de 150 kPa absoluta Calor é adicionado ao gás até ele atingir uma temperatura de 627C Determine a quantidade de calor adicionado durante o processo Dados Cilindropistão contendo O2 m 095 kg T1 27C T2 627C Determinar Q12 Solução p constante 150 kPa abs Estamos lidando com um sistema m 095 kg Equação básica Primeira lei para o sistema Q12 W12 E2 E1 Considerações 1 E U visto que o sistema é estacionário 2 Gás ideal com calores específicos constantes Com as considerações acima E2 E1 U2 U1 mu2 u1 mcνT2 T1 O trabalho realizado durante o processo é o da fronteira em movimento Para um gás ideal p mRT Assim W12 mRT2 T1 Então da equação da primeira lei Q12 E2 E1 W12 mcνT2 T1 mRT2 T1 Q12 mT2 T1cν R Q12 mcpT2 T1 R cp cν Do Apêndice Tabela A6 para O2 cp 9094 J kg K Resolvendo para Q12 obtemos Este problema Foi resolvido usando as nove etapas lógicas discutidas anteriormente Reviu o uso da equação do gás ideal e a primeira lei da termodinâmica para um sistema É óbvio que as leis básicas com as quais lidaremos são as mesmas usadas na mecânica e na termodinâmica A nossa tarefa será formular essas leis de modo adequado para resolver problemas de escoamento de fluidos e então aplicálas a uma grande variedade de situações Devemos enfatizar que conforme veremos existem muitos problemas aparentemente simples na mecânica dos fluidos que não podem ser resolvidos de forma analítica Em tais casos devemos recorrer a soluções numéricas mais complicadas eou a resultados de testes experimentais 15 Métodos de Análise O primeiro passo na resolução de um problema é definir o sistema que você está tentando analisar Na mecânica básica fizemos uso intenso do diagrama de corpo livre Agora nós utilizaremos um sistema ou um volume de controle dependendo do problema que estiver sendo resolvido Esses conceitos são idênticos àqueles utilizados na termodinâmica exceto que você pode têlos chamados de sistema fechado e de sistema aberto respectivamente Nós podemos utilizar um ou outro para obter expressões matemáticas para cada uma das leis básicas Na termodinâmica esses conceitos foram utilizados basicamente na obtenção de expressões para a conservação da massa da primeira e da segunda leis da termodinâmica em nosso estudo de mecânica dos fluidos estaremos mais interessados na conservação da massa e na segunda lei do movimento de Newton Na termodinâmica o nosso foco era a energia na mecânica dos fluidos a ênfase será principalmente em forças e movimento Devemos estar sempre atentos ao conceito que estaremos utilizando sistema ou volume de controle pois cada um conduz a diferentes expressões matemáticas das leis básicas A seguir vamos rever as definições de sistema e de volume de controle Sistema e Volume de Controle Um sistema é definido como uma quantidade de massa fixa e identificável o sistema é separado do ambiente pelas suas fronteiras As fronteiras do sistema podem ser fixas ou móveis contudo nenhuma massa cruza essas fronteiras No clássico conjunto cilindropistão da termodinâmica Fig 12 o gás no cilindro é o sistema Se o gás for aquecido o pistão levantará o peso a fronteira do sistema movese então Calor e trabalho poderão cruzar as fronteiras do sistema mas a quantidade de matéria dentro delas permanecerá constante Nenhuma massa cruza as fronteiras do sistema Nos cursos de mecânica empregamos bastante o diagrama de corpo livre enfoque de sistema Isso era lógico porque lidávamos com um corpo rígido facilmente identificável Entretanto na mecânica dos fluidos normalmente estamos interessados em escoamentos de fluidos através de dispositivos como compressores turbinas tubulações bocais entre outros Nesses casos é difícil focar a atenção em uma quantidade de massa fixa identificável É muito mais conveniente para análise concentrar a atenção sobre um volume no espaço através do qual o fluido escoa Por isso usamos o enfoque do volume de controle Fig 12 Conjunto cilindropistão Um volume de controle é um volume arbitrário no espaço através do qual o fluido escoa A fronteira geométrica do volume de controle é denominada superfície de controle A superfície de controle pode ser real ou imaginária ela pode estar em repouso ou em movimento A Fig 13 mostra um escoamento em uma junção de tubos com uma superfície de controle delimitada pela linha tracejada Note que algumas regiões dessa superfície correspondem a limites físicos as paredes dos tubos e outras regiões e são imaginárias entradas ou saídas Para o volume de controle definido pela superfície de controle poderíamos escrever equações para as leis básicas e obter resultados como a vazão na saída dadas as vazões na entrada e na saída de modo semelhante ao problema que analisaremos no Exemplo 41 no Capítulo 4 a força requerida para manter a junção no lugar e assim por diante É sempre importante tomar cuidado na seleção de um volume de controle pois a escolha tem um grande efeito sobre a formulação matemática das leis básicas A seguir ilustraremos o uso de um volume de controle com um exemplo Fig 13 Escoamento de um fluido através de uma junção de tubos Exemplo 12 CONSERVAÇÃO DA MASSA APLICADA A VOLUME DE CONTROLE Um trecho de redução em um tubo de água tem um diâmetro de entrada de 50 mm e diâmetro de saída de 30 mm Se a velocidade na entrada média através da área de entrada é 25 m s encontre a velocidade de saída Dados Tubo entrada De 50 mm e saída Ds 30 mm Velocidade de entrada Ve 25 ms Determinar Velocidade de saída Vs Solução Consideração A água é incompressível massa específica ρ constante A lei física que usamos aqui é a conservação da massa que você aprendeu na termodinâmica quando estudou turbinas caldeiras entre outros dispositivos Você deve ter visto a vazão mássica na entrada e na saída expressas pelas fórmulas VAυ ou ρVA em que V A υ e ρ são a velocidade área volume específico e massa específica respectivamente Usaremos a equação na forma de massa específica Assim a vazão mássica é ρVA Aplicando a conservação da massa do nosso estudo de termodinâmica ρViAi ρVeAe Nota ρi ρe ρ de acordo com a primeira consideração feita Nota mesmo que nós já estejamos familiarizados com essa equação da termodinâmica nós a deduziremos no Capítulo 4 Resolvendo para Ve Este problema Foi resolvido usando as nove etapas lógicas Demonstrou o uso de volume de controle e a lei da conservação de massa Formulação Diferencial versus Formulação Integral As leis básicas que aplicamos em nosso estudo da mecânica dos fluidos podem ser formuladas em termos de sistemas e volumes de controle infinitesimais ou finitos Como você pode supor as equações parecerão diferentes nos dois casos Ambas as formulações são importantes no estudo da mecânica dos fluidos e as duas serão desenvolvidas no decorrer do nosso trabalho No primeiro caso as equações resultantes são equações diferenciais A solução das equações diferenciais do movimento fornece uma maneira de determinar o comportamento detalhado do escoamento Um exemplo pode ser a distribuição de pressão sobre a superfície de uma asa Frequentemente a informação procurada não requer um conhecimento detalhado do escoamento Muitas vezes estamos interessados no comportamento de um dispositivo como um todo nestes casos é mais apropriado empregar a formulação integral das leis básicas Um exemplo pode ser a sustentação total que uma asa produz As formulações integrais usando sistemas ou volumes de controle finitos em geral têm tratamento analítico mais fácil As leis básicas da mecânica e da termodinâmica formuladas em termos de sistemas finitos são a base para a dedução das equações do volume de controle no Capítulo 4 Métodos de Descrição A mecânica lida quase que exclusivamente com sistemas você já deve ter usado intensivamente as equações básicas aplicadas a uma quantidade de massa identificável e fixa Por outro lado ao tentar analisar dispositivos termodinâmicos muitas vezes você considerou necessário utilizar um volume de controle sistema aberto Claramente o tipo de análise depende do problema em questão Quando é fácil acompanhar elementos de massa identificáveis por exemplo em mecânica de partícula lançamos mão de um método de descrição que acompanha a partícula Referimos a isso usualmente como o método de descrição lagrangiano Considere por exemplo a aplicação da segunda lei de Newton a uma partícula de massa fixa Matematicamente podemos escrever a segunda lei de Newton para um sistema de massa m como Na Eq 12 é a soma de todas as forças externas atuantes sobre o sistema e são respectivamente a aceleração e a velocidade do centro de massa do sistema e é o vetor posição do centro de massa do sistema em relação a um sistema fixo de coordenadas Exemplo 13 QUEDA LIVRE DE UMA BOLA NO AR A resistência do ar força de arrasto sobre uma bola de 200 g em queda livre é dada por FD 2 104 V2 em que FD é dada em newtons e V em metros por segundo Se a bola for largada do repouso a 500 m acima do solo determine a velocidade com que ela atinge o solo Que porcentagem da velocidade terminal esse valor representa A velocidade terminal é a velocidade de regime permanente que um corpo em queda livre eventualmente atinge Dados Bola m 02 kg largada do repouso a y0 500 m Resistência do ar FD kV2 em que k 2 104 N s2m2 Unidades FDN Vms Determinar a A velocidade com a qual a bola atinge o solo b A razão entre a velocidade final e a velocidade terminal Solução Equação básica Consideração Desconsiderar a força de empuxo O movimento da bola é modelado pela equação Como V Vy escrevemos Então Separando as variáveis e integrando Aplicando os antilogarítmos obtemos Resolvendo para V achamos Substituindo valores numéricos com y 0 resulta Na velocidade terminal ay 0 e ΣFy 0 kV2t mg A razão entre a velocidade final real e a velocidade terminal é Este problema Reviu os métodos usados em mecânicas de partículas Introduziu a variável aerodinâmica força de arrasto Tente variações na formulação deste problema com o auxílio da planilha Excel Podemos utilizar esta formulação lagrangiana para analisar um escoamento considerando que o fluido seja composto de um grande número de partículas cujos movimentos devem ser descritos Entretanto acompanhar o movimento de cada partícula fluida separadamente seria um terrível quebracabeça Consequentemente uma descrição de partícula tornase impraticável Assim para analisar o escoamento de fluidos é conveniente em geral utilizar um tipo de descrição diferente Particularmente com a análise de volume de controle convém usar o campo de escoamento ou método de descrição euleriano que foca as propriedades de um escoamento em um determinado ponto no espaço como uma função do tempo No método de descrição euleriano as propriedades do campo de escoamento são descritas como funções das coordenadas espaciais e do tempo Veremos no Capítulo 2 que esse método de descrição é um desenvolvimento natural da hipótese de que os fluidos podem ser tratados como meios contínuos 16 Dimensões e Unidades Os problemas de engenharia são resolvidos para responder questões específicas É desnecessário dizer que uma resposta deve incluir unidades Em 1999 uma sonda da NASA para exploração de Marte despedaçouse porque os engenheiros da construtora JPL consideraram que as medidas eram em metros mas os engenheiros projetistas haviam usado medidas em pés Consequentemente é apropriado apresentar uma breve revisão de dimensões e unidades Dizemos revisão porque o tópico é familiar dos nossos estudos anteriores da mecânica Referimonos a quantidades físicas tais como comprimento tempo massa e temperatura como dimensões Em termos de um sistema particular de dimensões todas as quantidades mensuráveis podem ser subdivididas em dois grupos quantidades primárias e quantidades secundárias Referimonos a um pequeno grupo de dimensões básicas a partir do qual todos os outros podem ser formados como quantidades primárias para as quais estabelecemos arbitrariamente escalas de medida Quantidades secundárias são aquelas cujas dimensões são expressas em termos das dimensões das quantidades primárias Unidades são os nomes e módulos arbitrários dados às dimensões primárias adotadas como padrões de medidas Por exemplo a dimensão primária de comprimento pode ser medida em unidades de metros pés jardas ou milhas Cada unidade de comprimento é relacionada com as outras por fatores de conversão de unidades 1 milha 5280 pés 1609 metros Sistemas de Dimensões Qualquer equação válida relacionando quantidades físicas deve ser dimensionalmente homogênea cada termo da equação deve ter as mesmas dimensões Reconhecemos que a segunda lei de Newton α m relaciona as quatro dimensões F M L e t Portanto força e massa não podem ser selecionadas como dimensões primárias sem introduzir uma constante de proporcionalidade que tenha dimensões e unidades Comprimento e tempo são dimensões primárias em todos os sistemas dimensionais de uso corrente Em alguns deles a massa é tomada como uma dimensão primária Em outros a força é selecionada como tal um terceiro sistema escolhe ambas a força e a massa como dimensões primárias Temos assim três sistemas básicos de dimensões correspondendo aos diferentes modos de especificar as dimensões primárias a Massa M comprimento L tempo t temperatura T b Força F comprimento L tempo t temperatura T c Força F massa M comprimento L tempo t temperatura T No sistema a a força F é uma dimensão secundária e a constante de proporcionalidade na segunda lei de Newton é adimensional No sistema b a massa M é uma dimensão secundária e mais uma vez a constante de proporcionalidade na segunda lei de Newton não tem dimensão No sistema c tanto a força F quanto a massa M foram selecionadas como dimensões primárias Nesse caso a constante de proporcionalidade gc não confundila com g aceleração da gravidade na segunda lei de Newton escrita como m gc possui dimensões As dimensões de gc devem de fato ser MLFt2 para que a equação seja dimensionalmente homogênea O valor numérico da constante de proporcionalidade depende das unidades de medida escolhidas para cada uma das quantidades primárias Tabela 11 Sistemas de Unidades Mais Comuns Sistemas de Dimensões Sistema de Unidades Força F Massa M Comprimento L Tempo t Temperatura T a MLtT Sistema Internacional de Unidades SI N kg m s K b FLtT Gravitacional Britânico GB lbf slug ft s R c FMLtT Inglês de Engenharia EE lbf lbm ft s R Sistemas de Unidades Há mais de uma maneira de selecionar a unidade de medida para cada dimensão primária Apresentaremos apenas os sistemas de unidades mais comuns na engenharia para cada um dos sistemas básicos de dimensões A Tabela 11 mostra as unidades básicas assinaladas para as dimensões primárias para esses sistemas As unidades entre parênteses são aquelas destinadas à dimensão secundária para aquele sistema de unidades Seguindo a tabela apresentamos uma breve descrição de cada um dos sistemas de unidades a MLtT O SI que é a abreviatura oficial em todas as línguas do Sistema Internacional de Unidades1 é uma extensão e um refinamento do tradicional sistema métrico Mais de 30 países declararam o SI como o único sistema legalmente aceito No sistema de unidades SI a unidade de massa é o quilograma kg a unidade de comprimento é o metro m a unidade de tempo é o segundo s e a unidade de temperatura é o kelvin K A força é uma dimensão secundária e a sua unidade o newton N é definida da segunda lei de Newton como 1 N 1kg ms2 No sistema de unidades Métrico Absoluto a unidade de massa é o grama a unidade de comprimento é o centímetro a unidade de tempo é o segundo e a unidade de temperatura é o Kelvin Posto que a força é uma dimensão secundária a sua unidade o dina é definida em termos da segunda lei de Newton como 1 dina 1g cms2 b FLtT No sistema de unidades Gravitacional Britânico a unidade de força é a libraforça lbf a unidade de comprimento é o pé ft a unidade de tempo é o segundo e a unidade de temperatura é o Rankine ºR Como a massa é uma dimensão secundária a sua unidade o slug é definida em termos da segunda lei de Newton como 1 slug 1lbf s2ft VÍDEO CLÁSSICO Quantidade de Fluido e Escoamento em inglês c FMLtT No sistema de unidades Inglês Técnico ou de Engenharia a unidade de força é a libraforça lbf a unidade de massa é a libramassa lbm a unidade de comprimento é o pé a unidade de tempo é o segundo e a unidade de temperatura é o grau Rankine Posto que ambas força e massa são escolhidas como unidades primárias a segunda lei de Newton é escrita como Uma libraforça 1 lbf é a força que dá à massa de uma libramassa 1 lbm uma aceleração igual à aceleração padrão da gravidade na Terra 322 fts2 Da segunda lei de Newton concluímos que ou gc 322 ft lbmlbf s2 A constante de proporcionalidade gc tem dimensões e unidades As dimensões surgiram porque escolhemos ambas força e massa como dimensões primárias as unidades e o valor numérico são uma consequência de nossas escolhas para os padrões de medidas Como uma força de 1 lbf acelera 1 lbm a 322 fts2 ela aceleraria 322 lbm a 1 fts2 Um slug também é acelerado a 1 fts2 por uma força de 1 lbf Portanto 1 slug 322 lbm Muitos livrostextos e referências utilizam lb em vez de lbf ou lbm deixando para o leitor determinar segundo o contexto se é a força ou a massa que está sendo referenciada Sistemas de Unidades Preferenciais Neste texto usaremos tanto o SI quanto o sistema Gravitacional Britânico Em qualquer um dos casos a constante de proporcionalidade na segunda lei de Newton é sem dimensões e tem o valor da unidade Consequentemente a segunda lei de Newton é escrita como m Nesses sistemas resulta que a força gravitacional o peso2 sobre um objeto de massa m é dada por W mg As unidades e prefixos do SI assim como outras unidades e fatores de conversão úteis encontramse resumidos no Apêndice G Exemplo 14 USO DE UNIDADES A etiqueta em um pote de pasta de amendoim indica que o seu peso líquido é 510 g Expresse sua massa e peso em unidades SI GB e EE Dados Peso da pasta de amendoim m 510 g Determinar Massa e peso em unidades SI GB e EE Solução Este problema envolve conversões de unidades e uso da equação relacionando peso e massa W mg O peso dado de fato é a massa pois o valor está expresso em unidades de massa Usando os fatores de conversões da Tabela G2 Apêndice G Usando o fato de que 1 slug 322 lbm Para achar o peso usamos W mg Em unidades SI e usando a definição de um newton Em unidades GB e usando a definição de um slug Em unidades EE usamos a fórmula W mggc e usando a definição de gc Este problema ilustrou Este problema Conversões do SI para os sistemas GB e EE O uso de gc no sistema EE Notas O estudante deve perceber que este exemplo apresenta muitos detalhes desnecessários de cálculos por exemplo um fator de 322 aparece e logo depois desaparece Apesar disso é importante ver que esses passos minimizam os erros Se você não escrever todos os passos e unidades pode acontecer por exemplo de você multiplicar um número por um fator de conversão quando de fato você deveria dividir por ele Para os pesos em unidades SI GB e EE poderíamos ter realizado alternativamente a conversão de newton para lbf Consistência Dimensional e Equações de Engenharia Em engenharia nos esforçamos para que as equações e fórmulas tenham dimensões consistentes Isto é cada termo em uma equação e obviamente ambos os membros da equação devem ser reduzíveis às mesmas dimensões Por exemplo uma equação muito importante que deduziremos mais tarde é a equação de Bernoulli que relaciona a pressão p a velocidade V e a elevação z entre pontos 1 e 2 ao longo de uma linha de corrente de um escoamento incompressível sem atrito e em regime permanente massa específica ρ Essa equação é dimensionalmente consistente porque cada termo na equação pode ser reduzido às dimensões de L2t2 as dimensões do termo de pressão são FLM mas da segunda lei de Newton encontramos F MLt2 de forma que FLM ML2Mt2 L2t2 Provavelmente quase todas as equações que você encontrar serão dimensionalmente consistentes Contudo você deve ficar alerta para algumas ainda comumente usadas que não são em geral essas são equações de engenharia deduzidas muitos anos atrás ou obtidas de modo empírico baseadas mais na experiência do que na teoria ou são equações usadas em uma indústria ou companhia particular Por exemplo engenheiros civis usam com frequência a equação semiempírica de Manning que fornece a velocidade de escoamento V em um conduto aberto como um canal em função do raio hidráulico Rh que é uma relação entre a seção transversal do escoamento e da superfície de contato do fluido a inclinação S0 do conduto e de uma constante n o coeficiente de resistência de Manning O valor dessa constante depende das condições da superfície do conduto Por exemplo para um canal feito de concreto mal acabado muitas referências dão n 0014 Infelizmente essa equação é dimensionalmente inconsistente Para o segundo membro da equação Rh tem dimensão L enquanto S0 é adimensional Portanto para a constante n adimensional encontramos a dimensão de L23 para o primeiro membro da equação a dimensão deve ser Lt Supõese que um usuário dessa equação saiba que os valores de n fornecidos em muitas referências darão resultados corretos apenas se ignorar a inconsistência dimensional sempre usar Rh em metros e interpretar que V é dado em ms O estudante atento perceberá que embora os manuais forneçam apenas simples valores numéricos para n esses devem ter a unidade de sm13 Como a equação é dimensionalmente inconsistente o uso do mesmo valor de n com Rh em pés não gera o valor correto para V em fts Um segundo tipo de problema referese a uma equação em que as dimensões são consistentes mas o uso das unidades não é Uma razão comumente usada em condicionadores de ar CA é o EER que indica o quão eficientemente o CA trabalha um valor de EER elevado indica um melhor desempenho do aparelho A equação é dimensionalmente consistente com EER sendo adimensional a taxa de resfriamento e a energia elétrica de entrada ambas são medidas em energiatempo Contudo ela é usada de certo modo incorretamente pois as unidades tradicionalmente usadas nela não são consistentes Por exemplo um bom valor de EER é 10 que poderia aparentar indicar que você obtém digamos 10 kW de resfriamento para cada 1 kW de potência elétrica De fato um EER igual a 10 significa que você recebe 10 Btuh de resfriamento para cada 1 W de potência elétrica Nesse aspecto fabricantes comerciantes e clientes todos usam o EER incorretamente pois eles não deveriam dizer 10 BtuhW em vez de simplesmente 10 Do ponto de vista de unidades e como é usado atualmente o EER é uma versão inconsistente do coeficiente de performance COP estudado em termodinâmica Os dois exemplos anteriores ilustram os perigos de se usar certas equações Quase todas as equações encontradas neste texto serão dimensionalmente corretas mas você deve ficar preparado para ocasionalmente encontrar equações incômodas em seus estudos de engenharia Como uma nota final sobre unidades afirmamos anteriormente que nós usaremos as unidades SI e GB neste texto Através do uso dessas unidades você ficará bem familiarizado com elas Todavia fique consciente que muitas dessas unidades embora sejam corretas do ponto de vista científico e de engenharia não serão sempre as unidades que você usará em suas atividades diárias e viceversa na mercearia não recomendamos que você peça digamos 22 newtons ou 016 slug de batatas você também não deve esperar entender imediatamente qual é o significado de uma viscosidade do óleo de um motor igual a 5W20 Unidades SI e prefixos outras definições de unidades e fatores de conversão úteis são dados no Apêndice G 17 Análise de Erro Experimental A maior parte dos consumidores não sabe mas as latinhas de bebidas são cheias com mais ou menos certa quantidade como é permitido por lei A razão disso é a dificuldade de medir precisamente o conteúdo de um recipiente em um processo rápido de enchimento de latinhas de refrigerante uma latinha de 350 mL pode na realidade conter 352 mL ou 355 mL Nunca se supõe que o fabricante abasteça o produto com um valor menor que aquele especificado ele reduzirá os lucros se for desnecessariamente generoso Da mesma forma o fornecedor de componentes para o interior de um carro deve respeitar dimensões mínimas e máximas cada componente tem uma tolerância de modo que a aparência final do interior seja visualmente agradável Os experimentos de engenharia devem fornecer não apenas dimensões básicas como também as incertezas dessas medidas Eles devem também de alguma forma indicar como tais incertezas afetam a incerteza do produto final Todos estes exemplos ilustram a importância da incerteza experimental que é o estudo das incertezas nas medições e dos seus efeitos nos resultados globais Há sempre uma lei de compensação nos trabalhos experimentais ou nos produtos manufaturados Nós podemos reduzir as incertezas para um nível desejado mas quanto menor ela for maior precisão nas medidas ou no experimento mais caro será o produto Além disso em um processo de fabricação ou experimento complexo nem sempre é fácil saber qual incerteza de medidas exerce a maior influência sobre a encomenda final Os profissionais envolvidos com processos de fabricação ou com trabalhos experimentais devem ter conhecimento sobre incertezas experimentais No Apêndice F ou no site da LTC Editora você encontra detalhes sobre este tópico propomos uma seleção de problemas sobre esse assunto no final deste capítulo 18 Resumo Neste Capítulo introduzimos ou revimos alguns conceitos básicos e definições incluindo Como são definidos os fluidos e a condição de não deslizamento Conceitos de sistemavolume de controle Descrições lagrangiana e euleriana Unidades e dimensões incluindo os sistemas SI Gravitacional Britânico e Inglês de Engenharia Incertezas experimentais Estudo de Caso O avião com diversas formas instantâneas de asas Cortesia do Dr Rick Lind University of Florida No final de cada capítulo apresentamos um estudo de caso um interessante desenvolvimento em mecânica dos fluidos escolhido para ilustrar que a área está em evolução constante Nenhum avião ou modelo de avião voa como um pássaro todos eles têm asas fixas quando em voo enquanto os pássaros batem quase sempre constantemente as asas Uma das razões para isso é que asas de aviões e modelos devem suportar um peso relativamente significante e são por isso grossas e rígidas outra razão é que nós ainda não entendemos completamente o voo dos pássaros Engenheiros da University of Florida em Gainesville sob a coordenação do pesquisador Rick Lind se debruçaram sobre as pranchetas e desenvolveram um pequeno avião de vigilância envergadura de asa igual a 05 m e massa total de 1 kg que pode mudar a forma de sua asa durante o voo Como esse protótipo não voa exatamente como um pássaro a propulsão principal é obtida através do propulsor ele é uma concepção radical derivada dos atuais projetos de aviões O avião pode mudar por exemplo de uma asa em forma de M muito estável para planar para uma forma de W alta manobrabilidade Ele é surpreendentemente ágil Ele pode girar três vezes em torno de si em menos de um segundo comparável a um caça F15 e o seu voo é bem parecido com o dos pássaros que ele atrai pardais amigáveis e corvos não amigáveis As possíveis aplicações são em observação militar detecção de agentes biológicos em áreas de congestionamento urbano e estudos ambientais em espaços aéreos difíceis como florestas Problemas Definição de um Fluido Equações Básicas 11 Algumas substâncias comuns são Alcatrão Areia Massa de calafetar Gelatina Argila para modelar Pasta dental Cera Creme de barbear Alguns desses materiais apresentam características de ambos os comportamentos de sólido e de fluido sob condições diferentes Explique e dê exemplos 12 Enuncie com suas palavras cada uma das cinco leis básicas de conservação apresentadas na Seção 14 aplicadas a um sistema Métodos de Análise 13 O cilindro de uma bomba de pneu de bicicleta fica quente durante o uso Explique os mecanismos responsáveis pelo aumento de temperatura 14 Discuta a física do ricochete de uma pedra na superfície de um lago Compare esses mecanismos com aqueles de uma pedra quicando após ser atirada ao longo de uma rodovia 15 Faça uma estimativa da ordem de grandeza da massa de arpadrão contida em uma sala de 3 m por 3 m por 24 m por exemplo 001 01 10 10 100 ou 1000 kg Em seguida calcule essa massa em kg para verificar como foi a sua estimativa 16 Um tanque esférico de diâmetro interno igual a 500 cm contém oxigênio comprimido a 7 MPa e 25C Qual é a massa de oxigênio 17 Partículas muito pequenas movendose em fluidos são conhecidas por sofrerem uma força de arrasto proporcional à velocidade Considere uma partícula de peso W abandonada em um fluido A partícula sofre uma força de arrasto FD kV em que V é a sua velocidade Determine o tempo necessário para a partícula acelerar do repouso até 95 de sua velocidade terminal Vt em função de k W e g 18 Considere novamente a partícula do Problema 17 Expresse a distância percorrida para ela atingir 95 de sua velocidade terminal em função de g k e W 19 Um tanque cilíndrico deve ser projetado para conter 5 kg de nitrogênio comprimido a pressão de 200 atm manométrica e 20C deve ser projetado As restrições do projeto são que o comprimento do tanque deve ser o dobro do diâmetro e a espessura das paredes deve ser igual a 05 cm Quais são as dimensões externas do tanque 110 Em um processo de combustão partículas de gasolina são soltas no ar a 93C As partículas devem cair pelo menos 25 cm em 1 s Encontre o diâmetro d das gotinhas necessário para isso O arrasto sobre essas partículas é dado por FD 3 πμVd na qual V é a velocidade da partícula e μ é a viscosidade do ar Para resolver esse problema use uma planilha Excel 111 Para uma pequena partícula de isopor 16 kgm3 esférica com diâmetro d 03 mm caindo em arpadrão a uma velocidade V a força de arrasto é dada por FD 3πμVd em que μ é a viscosidade do ar Partindo do repouso determine a velocidade máxima e o tempo que a partícula leva para atingir 95 dessa velocidade Trace um gráfico da velocidade em função do tempo 112 Em um experimento para controle de poluição diminutas partículas sólidas massa típica 5 1011 kg são abandonadas no ar A velocidade terminal das partículas de 5 cm é medida O arrasto sobre as partículas é dado por FD kV em que V é a velocidade instantânea da partícula Encontre o valor da constante k Encontre o tempo necessário para se atingir 99 da velocidade terminal 113 Para o Problema 112 encontre a distância que as partículas viajam antes de atingirem 99 da velocidade terminal Trace o gráfico da distância viajada em função do tempo 114 Uma praticante de voo livre com uma massa de 70 kg pula de um avião Sabese que a força de arrasto aerodinâmico agindo sobre ela é dada por FD kV2 em que k 025 N s2m2 Determine a velocidade máxima de queda livre da esportista e a velocidade atingida depois de 100 m de queda Trace um gráfico da velocidade em função do tempo da esportista assim como em função da distância de queda 115 Para o Problema 114 considere que a velocidade horizontal da esportista seja 70 ms Como ela cai o valor de k para a vertical permanece como antes mas o valor para o movimento horizontal é k 005 N sm2 Faça cálculos e desenhe a trajetória 2D da esportista 116 Os ingleses aperfeiçoaram o arco e flecha como arma após o período Medieval Nas mãos de um arqueiro hábil a arma era considerada precisa a distâncias de 100 metros ou mais Considerando que a altitude máxima de uma flecha seja h 10 m no trajeto para um alvo a 100 m de distância do arqueiro e desprezando a resistência do ar estime a velocidade e o ângulo com os quais a flecha deve deixar o arco Trace os gráficos da velocidade e do ângulo de disparo como funções da altura h Dimensões e Unidades 117 Para cada grandeza física listada indique as dimensões usando a massa como a dimensão primária e dê as unidades SI e Inglesas típicas a Potência b Pressão c Módulo de elasticidade d Velocidade angular e Energia f Momento de uma força g Quantidade de movimento h Tensão de cisalhamento i Deformação j Quantidade de movimento angular 118 Para cada grandeza física listada indique as dimensões usando a força como a dimensão primária e dê as unidades SI e Inglesas típicas a Potência b Pressão c Módulo de elasticidade d Velocidade angular e Energia f Quantidade de movimento g Tensão de cisalhamento h Calor específico i Coeficiente de dilatação térmica j Quantidade de movimento angular 119 Deduza os seguintes fatores de conversão a Converta uma viscosidade de 1 m2s para ft2s b Converta uma potência de 100 W para horsepower c Converta uma energia específica de 1 kJkg para Btukg 120 Deduza os seguintes fatores de conversão a Converta uma pressão de 1 psi para kPa b Converta um volume de 1 litro para galões c Converta uma viscosidade de 1 lbfsft2 para Nsm2 121 Deduza os seguintes fatores de conversão a Converta um calor específico de 418 kJkgK para BtulbmºR b Converta uma velocidade de 30 ms para mph c Converta um volume de 50 L para in3 122 Expresse os seguintes valores em unidades SI a 5 acre ft b 150 in3s c 3 gpm d 3 mphs 123 Expresse os seguintes valores em unidades SI a 100 cfm ft3min b 5 gal c 65 mph d 54 acres 124 Expresse os seguintes valores em unidades GB a 50 m2 b 250 cc c 100 kW d 5 kgm2 125 Expresse os seguintes valores em unidades GB a 180 ccmin b 300 kW h c 50 N sm2 d 40 m2 h 126 Enquanto você está esperando pelas costelas para cozinhar você medita sobre o botijão com propano ligado ao fogão Você está curioso sobre o volume de gás versus o volume total do botijão Encontre o volume de propano líquido quando o botijão está cheio o peso do propano está especificado sobre o botijão Compare esse valor com o volume do botijão faça algumas medidas e considere a forma do botijão como cilíndrica com um hemisfério em cada extremidade Explique as discrepâncias 127 Um fazendeiro necessita de 4 cm de chuva por semana em sua fazenda que tem 10 hectares de área plantada Se há uma seca quantos galões por minuto Lmin deverão ser bombeados para irrigar a colheita 128 Deduza os seguintes fatores de conversão a Converta uma vazão volumétrica em in3min para mm3s b Converta uma vazão volumétrica em metros cúbicos por segundo para galões por minuto gpm c Converta uma vazão volumétrica em litros por minuto para gpm galões por minuto d Converta uma vazão volumétrica de arpadrão de pés cúbicos por minuto SCFM standard cubic feet per minute para metros cúbicos por hora Um pé cúbicopadrão de gás ocupa um pé cúbico na condiçãopadrão T 15C e p 1013 kPa absoluta 129 A massa específica do mercúrio é dada como 13550 kgm3 Calcule a densidade relativa e o volume específico do mercúrio em m3kg Calcule o seu peso específico em Nm3 na Terra e na Lua A aceleração da gravidade na Lua é 167 ms2 130 O quilogramaforça é comumente usado na Europa como unidade de força 1 kgf é a força exercida por uma massa de 1 kg na gravidadepadrão Pressões moderadas tais como aquelas aplicadas em pneus de automóveis e de caminhões são expressas em kgfcm2 Converta 220 kPa para essas unidades 131 Na Seção 16 aprendemos que a equação de Manning nos permite calcular a velocidade de escoamento V ms em um canal feito de concreto mal acabado dados o raio hidráulico Rh m a inclinação S0 do canal e o valor da constante do coeficiente de resistência n 0014 Determine a velocidade de escoamento para um canal com Rh 75 m e uma inclinação de 110 Compare esse resultado com aquele obtido usando o mesmo valor de n mas com Rh primeiro convertido para m considerando que a resposta seja em ms Finalmente encontre o valor de n se desejarmos usar corretamente a equação em unidades GB e calcule V para verificar 132 Da termodinâmica sabemos que o coeficiente de performance de um condicionador de ar ideal COPideal é dado por em que TL e TH são as temperaturas absolutas do recinto condicionado e do exterior Se um condicionador de ar é ajustado para uma temperatura do recinto de 20C quando a temperatura externa é de 40C encontre o COPideal Converta para um valor EER e compare o com um valor típico de EER para um condicionador real 133 A máxima vazão mássica teórica kgs através de um bocal supersônico é em que At m2 é a área da garganta do bocal p0 Pa é a pressão de estagnação e T0 K é a temperatura de estagnação Esta equação é dimensionalmente correta Se não encontre as unidades do termo 238 134 O livre caminho médio λ de uma molécula de gás é a distância média que ela percorre antes de colidir com outra molécula Ele é dado por em que m e d são a massa da molécula e o diâmetro respectivamente e ρ é a massa específica do gás Qual são as dimensões da constante C para uma equação dimensionalmente correta 135 No Capítulo 9 estudaremos a aerodinâmica e aprenderemos que a força de arrasto FD sobre um corpo é dada por Assim o arrasto depende da velocidade V da massa específica ρ do fluido e do tamanho do corpo indicado pela área frontal A e sua forma indicado pelo coeficiente de arrasto CD Qual são as dimensões de CD 136 Um recipiente pesa 155 N quando vazio Quando cheio com água a 32C a massa do recipiente e do seu conteúdo é de 365 kg Determine o peso da água no recipiente e o seu volume em pés cúbicos usando dados do Apêndice A 137 Uma importante equação na teoria de vibrações é em que m kg é a massa e x m é a posição no instante de tempo t s Para uma equação dimensionalmente consistente quais são as dimensões de c k e f Quais seriam as unidades convenientes para c k e f nos sistemas SI e GB 138 Um parâmetro que é frequentemente usado para descrever o desempenho de bombas é a velocidade específica NScu dada por Quais são as unidades da velocidade específica Uma bomba em particular tem uma velocidade específica de 2000 Qual será a velocidade específica em unidades SI velocidade angular em rads 139 Uma determinada bomba tem sua equação característica de desempenho relacionando a altura manométrica H com a vazão Q dada por H m 046 957 107 Q Litmin2 Quais são as unidades dos coeficientes 15 e 45 105 L Deduza uma versão SI dessa equação Análise de Erro Experimental 140 Calcule a massa específica do arpadrão a partir da equação de estado do gás ideal Estime a incerteza experimental na massa específica calculada para a condiçãopadrão 1013 kPa e 15C se a incerteza na medida da altura do barômetro é 25 mm de mercúrio e a incerteza na medida da temperatura é 03C 141 Repita o cálculo da incerteza do Problema 140 para o ar em um balão de ar quente Considere que a altura medida no barômetro é 759 mm de mercúrio com uma incerteza de 1 mm de mercúrio e a temperatura é 60C com uma incerteza de 1 C Note que 759 mmHg correspondem a 101 kPa abs 142 A massa da bola de golfe oficial americana é 454 03 g oz e o seu diâmetro médio é 43 025 mm Determine a massa específica e a densidade relativa da bola de golfe americana Estime as incertezas nos valores calculados 143 Uma lata de alimento para animais de estimação tem as seguintes dimensões internas altura de 102 mm e diâmetro de 73 mm cada uma com 1 mm com limite de confiança de 20 para 1 No rótulo da lata a massa do conteúdo é indicada como 397 g Avalie o valor da massa específica do alimento e sua incerteza estimada considerando que a incerteza no valor da massa é 1 g para o limite de confiança citado 144 A vazão mássica de um escoamento de água determinada pela coleta de descarga em um dado intervalo de tempo é 02 kgs A escala usada na medição permite leituras de 005 kg e a precisão do cronômetro é de 02 s Estime a precisão com a qual a vazão pode ser calculada para intervalos de tempo de a 10 s e b 1 min 145 A vazão mássica de água em um tubo é medida usandose um recipiente para coletar água durante um intervalo de tempo cronometrado A vazão mássica nominal é de 100 gs Suponha que a massa é medida com uma balança com precisão de 1 g e capacidade máxima de 1 kg e que a contagem mínima do cronômetro é 01 s Estime os intervalos de tempo e as incertezas na vazão medida que resultariam da utilização de recipientes de 100 500 e 1000 mL Haveria alguma vantagem em se usar o recipiente maior Considere que a massa de tara do recipiente de 1000 mL vazio é de 500 g 146 A massa da bola de golfe oficial inglesa é 459 03 g e o seu diâmetro médio é 411 03 mm Determine a massa específica e a densidade relativa da bola de golfe inglesa Estime as incertezas nos valores calculados 147 As dimensões estimadas de uma lata de refrigerante são D 660 05 mm e H 110 05 mm Meça as massas de uma lata cheia e de uma lata vazia utilizando uma balança de cozinha ou de correio Estime o volume de refrigerante contido na lata De suas medições estime até que profundidade a lata seja preenchida e a incerteza da estimativa Considere o valor da densidade relativa do refrigerante SG 1055 fornecida pelo fabricante 148 Do Apêndice A a viscosidade μ N sm2 da água à temperatura T K pode ser calculada a partir da equação μ A 10BTC em que A 2414 105 N sm2 B 2478 K e C 140 K Determine a viscosidade da água a 30C e estime a sua incerteza considerando uma incerteza na medida da temperatura de 05oC 149 Usando as dimensões nominais da lata de refrigerante dadas no Problema 147 determine a precisão com que o diâmetro e a altura devem ser medidos para que o volume da lata seja estimado dentro de uma incerteza de 05 150 Uma revista de aficionados publica dados dos seus testes de estrada sobre a capacidade de aceleração lateral de carros As medições são feitas utilizandose uma pista de 46 m de diâmetro Suponha que a trajetória do veículo desviase do círculo por 06 m e que a velocidade do veículo é medida por um dispositivo medidor de quinta roda com incerteza de 08 kmh Estime a incerteza experimental em uma aceleração lateral anotada de 07 g Como você poderia melhorar o procedimento experimental para reduzir a incerteza 151 A altura de um edifício pode ser estimada medindose a distância horizontal até um ponto no solo e o ângulo desse ponto ao topo do edifício Supondo que essas medições sejam L 30 015 m e θ 30 02 estime a altura H do edifício e a incerteza na estimativa Para a mesma altura de edifício e mesmas incertezas de medição utilize uma planilha Excel para determinar o ângulo e a correspondente distância a partir do edifício para o qual as medições devem ser feitas para minimizar a incerteza na estimativa da altura Avalie e trace um gráfico do ângulo de medição ótimo como função da altura do edifício para 15 H 300 m 152 Uma bola de golfe americana é descrita no Problema 142 Considerando a massa da bola e sua incerteza como dados determine a precisão com que o diâmetro da bola deve ser medido para que sua massa específica seja estimada dentro de uma incerteza de 1 153 Uma bomba tipo seringa é usada para bombear líquido a uma vazão de 100 mLmin O projeto para o pistão é tal que a incerteza na velocidade do pistão é de 000125 cm e o diâmetro interno do cilindro possui uma incerteza de 00025 cmmin Trace um gráfico da incerteza na vazão como função do diâmetro do cilindro Determine a combinação de velocidade do pistão e diâmetro do cilindro que minimiza a incerteza na vazão Os autores referemse às inundações ocorridas em agosto de 2005 em Nova Orleans nos EUA provocadas pelo furacão Katrina NT 1American Society for Testing and Materials ASTM Standard for Metric Practice E38097 Conshohocken PA ASTM 1997 2Note que no sistema Inglês de Engenharia o peso de um objeto é dado por W mggc Conceitos Fundamentais 21 O Fluido como um Contínuo 22 Campo de Velocidade 23 Campo de Tensão 24 Viscosidade 25 Tensão Superficial 26 Descrição e Classificação dos Movimentos de Fluidos 27 Resumo e Equações Úteis Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente Potência do Oceano Nós não estamos acostumados a pensar nisso mas os oceanos são enormes reservatórios de energia solar e de energia das marés O estoque de energia solar se dá inicialmente na forma de energia térmica uma vez que a água da superfície é aquecida durante o dia Quando a água esfria durante a noite gradientes de temperatura são estabelecidos que em última análise levam às correntes marinhas assim como os ventos contendo enormes quantidades de energia Segundo estudo de 2009 do Departamento de Energia dos Estados Unidos intitulado Tecnologia de Energia do Oceano há quatro tipos de conversão de energia do oceano energia das ondas energia das marés energia das correntes marinhas e conversão de energia térmica do oceano Acreditase que a potência total disponível das ondas seja aproximadamente 27 TW dos quais 500 GW 500 109 W são atualmente aproveitados Tenha em mente como mencionado no Capítulo 1 que a potência total consumida pela humanidade é cerca de 16 TW como a de 2006 de modo que na melhor das hipóteses a energia das ondas poderia suprir apenas cerca de 3 das necessidades humanas usando a tecnologia atual que trabalha tanto com dispositivos flutuantes na superfície da água quanto atracados no fundo dos oceanos Muitos desses dispositivos baseiamse nas forças de empuxo que serão discutidas no Capítulo 3 Por exemplo um dispositivo pode possuir um conjunto de juntas articuladas que se dobram com as ondas esse movimento pode bombear fluido para uma turbina gerando energia elétrica Alternativamente dispositivos estacionários usam flutuações de pressão produzidas ao longo de tubos de ondas que se dilatam e se contraem esse movimento pode acionar uma turbina A energia das ondas já está atingindo níveis bastante avançados com várias companhias sendo envolvidas A energia das marés usa as 12 horas do ciclo causada pela força gravitacional da Lua a diferença de altura da água da maré baixa para a alta é uma forma extraível de energia potencial Por exemplo a água pode ser capturada com a ajuda de uma barreira colocada em um estuário durante a maré alta e durante a maré baixa ser forçada a passar por uma turbina Alternativamente como mostrado na figura sistemas de turbinas podem ser montados de tal forma que eles balancem com as marés extraindo energia quando a maré vem e vai Há apenas 20 localizações na Terra com marés suficientemente altas para tornar prática o uso da energia das marés A Baía de Fundy entre Maine e a Nova Escócia caracterizase pelas maiores marés no mundo atingindo alturas de 17 m Esta área sozinha pode produzir até 15 GW de potência Acreditase que a potência total disponível das ondas seja cerca de 25 TW dos quais com a atual tecnologia é possível extrair apenas cerca de 65 GW A energia da corrente marinha é aquela decorrente das correntes do oceano que por sua vez são geradas pelo aquecimento do sol e pelos ventos em última análise de origem solar bem como pela rotação da Terra Acreditase que cerca de 5 TW de energia estejam disponíveis dos quais na prática são extraídos 450 GW na melhor das hipóteses esta fonte de energia supre algo menor do que 5 da atual necessidade total Nos Estados Unidos esta energia é muito abundante ao largo da costa da Flórida no fluxo conhecido como a Corrente do Golfo Energia cinética pode ser capturada da Corrente do Golfo e de outras correntes com turbinas submersas que são muito similares em aparência às turbinas eólicas Da mesma forma que nas turbinas eólicas o movimento contínuo das correntes marinhas move as pás do rotor para gerar energia elétrica As turbinas serão discutidas com alguns detalhes no Capítulo 10 A Conversão de energia térmica do oceano OTEC usa a diferença de temperatura entre a água da superfície e aquela em profundidades menores que 1000 m para extrair energia A temperatura da água do oceano a profundidades de 1000 m é um pouco acima da temperatura de congelamento uma diferença de temperatura de apenas 20C 293K pode render energia utilizável Você pode descobrir a temperatura mínima da superfície exigida A água morna da superfície pode ser usada como fonte de calor para evaporar um fluido tal como amônia que pode acionar uma turbina e a água no fundo atua como o reservatório que recebe calor Por causa das temperaturas envolvidas tais dispositivos terão um rendimento teórico muito baixo mas a quantidade de energia térmica estocada é enorme cerca de 200 TW de potência Proposta de turbinas de marés Ainda outra forma de energia do oceano em última análise obtida à base da energia solar é aquela decorrente da variação de salinidade causada pela evaporação da água Quando a água salgada do oceano salmoura está separada da água pura por uma membrana semipermeável um gradiente de pressão se forma através da membrana pressão osmótica Vamos aprender neste texto que um gradiente de pressão pode ser usado como uma força motriz para gerar energia A exploração dessa energia é chamada de conversão de energia por gradiente de salinidade Essa é uma tecnologia futura com enorme potencial Há cerca de 1000 TW de energia disponível aproximadamente 60 vezes de toda a demanda mundial de energia Discutiremos alguns desenvolvimentos interessantes em vários desses métodos de conversão de energia nos Estudos de Casos em Energia e Meio Ambiente nos próximos capítulos No Capítulo l discutimos em termos gerais o que é a mecânica dos fluidos e desenvolvemos algumas abordagens que serão utilizadas na análise de problemas nesta área Neste capítulo seremos mais específicos na definição de algumas propriedades importantes dos fluidos e das formas pelas quais os escoamentos podem ser descritos e caracterizados VÍDEO Fluido como um Contínuo em inglês 21 Fluido como um Contínuo Todos nós estamos familiarizados com os fluidos sendo os mais comuns a água e o ar e os tratamos como lisos e suaves isto é como um meio contínuo Não podemos estar seguros da natureza molecular dos fluidos a menos que utilizemos equipamentos especializados para identificála Essa estrutura molecular é tal que a massa não está distribuída de forma contínua no espaço mas está concentrada em moléculas que estão separadas por regiões relativamente grandes de espaço vazio O esboço na Fig 21a mostra uma representação esquemática disso Uma região do espaço preenchida por um fluido estacionário por exemplo o ar tratado como um único gás parece um meio contínuo mas se ampliarmos um pequeno cubo da região poderemos ver que a maior parte do espaço é vazia com moléculas de gás espalhadas ao redor movendose a alta velocidade indicada pela temperatura do gás Note que o tamanho das moléculas de gás está muito exagerado elas seriam quase invisíveis mesmo nesta escala e que colocamos vetores de velocidade somente sobre uma pequena amostra Gostaríamos de perguntar qual é o mínimo volume que um ponto C deve ter de modo a podermos falar sobre propriedades de fluido contínuo tal como a massa específica em um ponto Em outras palavras sob que circunstâncias um fluido pode ser tratado como um meio contínuo para o qual por definição as propriedades variam suavemente de ponto a ponto Essa é uma questão importante porque o conceito de um meio contínuo é a base da mecânica dos fluidos clássica Considere a forma como determinamos a massa específica em um ponto A massa específica é definida como a massa por unidade de volume na Fig 21a a massa δm será dada pelo número instantâneo de moléculas em e a massa de cada molécula de modo que a massa específica média no volume é dada por ρ δm Dizemos média porque o número de moléculas em e consequentemente a massa específica flutua Por exemplo se o ar na Figura 21a estivesse nas condiçõespadrão de temperatura e pressão CPPT1 e o volume fosse uma esfera de diâmetro 001 μm poderá haver 15 moléculas em como mostrado mas um instante mais tarde poderá haver 17 três podem entrar enquanto uma sai Consequentemente a massa específica em um ponto C flutua aleatoriamente com o tempo como mostrado na Figura 21b Nesta figura cada linha pontilhada vertical representa um volume específico escolhido e cada ponto dado representa a massa específica medida em um instante Para volumes muito pequenos a massa específica varia grandemente mas acima de certo volume a massa específica tornase estável o volume agora anexa um enorme número de moléculas Por exemplo se 0001 mm3 em torno do tamanho de um grão de areia existirão em média 25 1013 moléculas presentes Consequentemente podemos concluir que o ar nas CPPTs e outros gases e líquidos pode ser tratado como um meio contínuo enquanto considerarmos que um ponto não é maior do que aproximadamente este tamanho isto é suficientemente preciso para a maior parte das aplicações em engenharia Fig 21 Definição da massa específica em um ponto O conceito de um contínuo é a base da mecânica dos fluidos clássica A hipótese do contínuo é válida no tratamento do comportamento dos fluidos sob condições normais Ela falha no entanto somente quando a trajetória média livre das moléculas2 tornase da mesma ordem de grandeza da menor dimensão característica significativa do problema Isso ocorre em casos específicos como no escoamento de um gás rarefeito como encontrado por exemplo em voos nas camadas superiores da atmosfera Nestes casos específicos não tratados neste texto devemos abandonar o conceito de contínuo em favor do ponto de vista microscópico e estatístico Como consequência da consideração do contínuo cada propriedade do fluido é considerada como tendo um valor definido em cada ponto no espaço Dessa forma as propriedades dos fluidos tais como massa específica temperatura velocidade e assim por diante são consideradas funções contínuas da posição e do tempo Por exemplo temos agora uma definição exequível da massa específica em um ponto Uma vez que o ponto C foi arbitrário a massa específica em qualquer outro ponto no fluido poderia ser determinada pela mesma forma Se a massa específica fosse medida simultaneamente em um número infinito de pontos no fluido obteríamos uma expressão para a distribuição da massa específica como uma função das coordenadas espaciais ρ ρx y z no instante dado A massa específica em qualquer ponto pode também variar com o tempo como um resultado de trabalho realizado sobre o fluido ou por ele eou de transferência de calor para o fluido Portanto a representação completa da massa específica a representação do campo é dada por Como a massa específica é uma quantidade escalar requerendo para uma descrição completa apenas a especificação de um módulo o campo representado pela Eq 22 é um campo escalar Uma forma alternativa de expressar a massa específica de uma substância sólido ou fluido é comparála com um valor de referência aceito tipicamente a massa específica máxima da água ρH20 1000 kgm3 a 4C277K Desse modo a gravidade específica ou densidade relativa SG de uma substância é expressa como Por exemplo a SG do mercúrio é tipicamente 136 o mercúrio é 136 vezes mais denso que a água O Apêndice A contém dados de densidade relativa de materiais selecionados para a engenharia A densidade relativa de líquidos é uma função da temperatura para a maioria dos líquidos a densidade relativa decresce com o aumento da temperatura O peso específico γ de uma substância é outra propriedade útil da matéria Ele é definido como o peso de uma substância por unidade de volume e dado como Por exemplo o peso específico da água é aproximadamente 981 kNm3 22 Campo de Velocidade Na seção anterior vimos que a consideração do contínuo levou diretamente à noção do campo de massa específica Outras propriedades dos fluidos também podem ser descritas por campos Uma propriedade muito importante definida por um campo é o campo de velocidade dado por A velocidade é uma quantidade vetorial exigindo um módulo e uma direção para uma completa descrição Por conseguinte o campo de velocidade Eq 25 é um campo vetorial O vetor velocidade também pode ser escrito em termos de suas três componentes escalares Denotando as componentes nas direções x y e z por u ν e w então Em geral cada componente u ν e w será uma função de x y z e t Necessitamos ser claros sobre o que x y z t mede esse campo indica a velocidade de uma partícula fluida que está passando através do ponto x y z no instante de tempo t na percepção euleriana Podemos continuar a medir a velocidade no mesmo ponto ou escolher qualquer outro ponto x y z no próximo instante de tempo o ponto x y z não é a posição em curso de uma partícula individual mas um ponto que escolhemos para olhar Por isso x y e z são variáveis independentes No Capítulo 5 discutiremos a derivada material da velocidade na qual escolhemos x xpt y ypt e z zpt em que xpt ypt zpt é a posição de uma partícula específica Concluímos que x y z t deve ser pensado como o campo de velocidade de todas as partículas e não somente a velocidade de uma partícula individual Se as propriedades em cada ponto em um campo de escoamento não variam com o tempo o escoamento é dito em regime permanente Matematicamente a definição de escoamento em regime permanente é em que η representa qualquer propriedade do fluido Por isso para o regime permanente e Em regime permanente qualquer propriedade pode variar de ponto para ponto no campo porém todas as propriedades permanecem constantes com o tempo em cada ponto Escoamentos Uni Bi e Tridimensionais Um escoamento é classificado como uni bi ou tridimensional de acordo com o número de coordenadas espaciais necessárias para especificar seu campo de velocidade3 A Eq 25 indica que o campo de velocidade pode ser uma função de três coordenadas espaciais e do tempo Tal campo de escoamento é denominado tridimensional ele é também transiente porque a velocidade em qualquer ponto no campo de escoamento depende das três coordenadas requeridas para se localizar o ponto no espaço Fig 22 Exemplos de escoamentos uni e bidimensionais Embora a maioria dos campos de escoamento seja intrinsecamente tridimensional a análise baseada em uma quantidade menor de dimensões é com frequência significativa Considere por exemplo o escoamento permanente através de um longo tubo retilíneo que tem uma seção divergente conforme mostrado na Fig 22 Neste exemplo usaremos coordenadas cilíndricas r θ x Vamos aprender no Capítulo 8 que sob certas circunstâncias por exemplo longe da entrada do tubo e da seção divergente onde o escoamento pode ser bastante complicado a distribuição de velocidades pode ser descrita por Isso é mostrado à esquerda na Fig 22 O campo de velocidade ur é uma função de uma coordenada apenas e portanto o escoamento é unidimensional Por outro lado na seção divergente a velocidade decresce no sentido positivo de x e o escoamento tornase bidimensional u ur x Como você pode imaginar a complexidade da análise aumenta consideravelmente com o número de dimensões do campo de escoamento Para muitos problemas encontrados na engenharia uma análise unidimensional é adequada para fornecer soluções aproximadas com a precisão requerida na prática da engenharia Como todos os fluidos que satisfazem a hipótese do contínuo devem ter velocidade relativa zero em uma superfície sólida para atender à condição de não deslizamento a maioria dos escoamentos é intrinsecamente bi ou tridimensional Para simplificar a análise muitas vezes é conveniente introduzir a consideração de escoamento uniforme em uma dada seção transversal Em um escoamento que é uniforme em uma dada seção transversal a velocidade é constante através de qualquer seção normal ao escoamento Com esta consideraçãoFig 22 é modelado como o escoamento mostrado na Fig 23 onde o campo de velocidade é uma função de x somente e portanto o modelo do escoamento é unidimensional Outras propriedades tais como massa específica ou pressão também podem ser consideradas como uniformes em uma seção se for apropriado O termo campo de escoamento uniforme em contraposição a escoamento uniforme em uma seção transversal é empregado para descrever um escoamento no qual o módulo e o sentido do vetor velocidade são constantes ou seja independentes de todas as coordenadas espaciais através de todo o campo de escoamento Fig 23 Exemplo de escoamento uniforme em uma seção VÍDEO CLÁSSICO Visualização de Escoamento em inglês Linhas de Tempo Trajetórias Linhas de Emissão e Linhas de Corrente As empresas de aeronaves e automóveis e laboratórios de faculdades de engenharia entre outros usam frequentemente túneis de vento para visualizar os campos de escoamento 2 Por exemplo a Fig 24 mostra um modelo de escoamento para o escoamento em torno de um carro montado em um túnel de vento gerado por fumaça solta no escoamento em cinco pontos a montante Modelos de escoamentos podem ser visualizados usando linhas de tempo trajetórias linhas de emissão ou linhas de corrente Se em um campo de escoamento várias partículas fluidas adjacentes forem marcadas em um dado instante formarão uma linha no fluido naquele instante esta linha é chamada linha de tempo Observações subsequentes da linha podem fornecer informações a respeito do campo de escoamento Por exemplo ao discutirmos o comportamento de um fluido sob a ação de uma força de cisalhamento constante Seção 12 foram introduzidas linhas de tempo para demonstrar a deformação do fluido em instantes sucessivos VÍDEO Linhas de Emissão em inglês Uma trajetória é o caminho traçado por uma partícula fluida em movimento Para tornála visível temos que identificar uma partícula fluida em um dado instante por exemplo pelo emprego de um corante ou fumaça e em seguida tiramos uma fotografia de exposição prolongada do seu movimento subsequente A linha traçada pela partícula é uma trajetória Essa metodologia pode ser usada para estudar por exemplo a trajetória de um poluente liberado em uma chaminé Por outro lado poderíamos preferir concentrar a atenção em um local fixo do espaço e identificar novamente pelo emprego de corante ou fumaça todas as partículas fluidas passando por aquele ponto Após um curto período teríamos certo número de partículas fluidas identificáveis no escoamento e todas elas em algum momento passaram pelo mesmo local fixo no espaço A linha unindo estas partículas fluidas é definida como uma linha de emissão Linhas de corrente são aquelas desenhadas no campo de escoamento de modo que em um dado instante são tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo Como as linhas de corrente são tangentes ao vetor velocidade em cada ponto do campo de escoamento não pode haver fluxo de matéria através delas As linhas de corrente é uma das técnicas de visualização mais comumente utilizada Elas são utilizadas por exemplo para estudar o escoamento sobre um automóvel em uma simulação computacional O procedimento adotado para obter a equação de uma linha de corrente em um escoamento bidimensional é ilustrado no Exemplo 21 VÍDEO Linhas de Corrente em inglês No escoamento permanente a velocidade em cada ponto do campo permanece constante com o tempo e por conseguinte as linhas de corrente não variam de um instante a outro Isso implica que uma partícula localizada em uma determinada linha de corrente permanecerá sobre a mesma Além disso partículas consecutivas passando através de um ponto fixo do espaço estarão sobre a mesma linha de corrente e subsequentemente permanecerão nela Então em um escoamento permanente trajetórias linhas de emissão e linhas de corrente são idênticas no campo de escoamento A Fig 24 mostra uma fotografia de cinco linhas de emissão para o escoamento sobre um automóvel em um túnel de vento Uma linha de emissão é a linha produzida em um escoamento quando todas as partículas movendose sobre um ponto fixo são marcadas de alguma forma por exemplo usando fumaça Podemos também definir as linhas de corrente Estas são as linhas traçadas no campo de escoamento de modo que em um dado instante elas são tangentes à direção do escoamento em cada ponto no campo de escoamento Uma vez que as linhas de corrente são tangentes ao vetor velocidade em cada ponto no campo de escoamento não existe escoamento através de uma linha de corrente As trajetórias são o que está subentendido em seu nome elas mostram ao longo do tempo as trajetórias que partículas individuais tomam se você já viu fotos com lapsos de tempo do tráfego noturno essa é a ideia Finalmente as linhas de tempo são criadas marcando uma linha em um escoamento e observando como ela evolui ao longo do tempo Mencionamos que a Fig 24 mostra linhas de emissão mas na verdade o modelo mostrado também representa linhas de corrente e trajetórias O modelo em regime permanente mostrado existirá enquanto a fumaça for solta dos cinco pontos fixados Se tivéssemos que medir de alguma forma a velocidade em todos os pontos em um instante para gerar linhas de corrente gostaríamos de ter o mesmo padrão se tivéssemos que soltar apenas uma partícula de fumaça em cada local ou assistir seu movimento ao longo do tempo veríamos as partículas seguirem as mesmas curvas Concluímos que para o escoamento em regime permanente as linhas de emissão linhas de corrente e trajetórias são idênticas Fig 24 Linhas de emissão sobre um automóvel em um túnel de vento Cortesia da Audi AG As coisas são completamente diferentes para o escoamento em regime transiente Nesse caso as linhas de emissão linhas de corrente e trajetórias terão geralmente formas diferentes Por exemplo considere que uma mangueira de jardim seja segura pelas mãos e balançada para os lados enquanto a água sai com alta velocidade como está mostrado na Figura 25 Obteremos um lençol de água Se considerarmos partículas individuais de água veremos que cada partícula uma vez ejetada segue uma trajetória em linha reta aqui para simplificar desprezamos a gravidade as trajetórias são linhas retas conforme está mostrado Por outro lado se começarmos a injetar corante na água enquanto ela sai da mangueira geraremos uma linha de emissão e essa toma a forma de uma onda senoidal em expansão conforme mostrado Claramente as trajetórias e linhas de emissão não coincidem para este escoamento em regime transiente deixamos a determinação das linhas de corrente como um exercício Podemos usar o campo de velocidade para deduzir as formas das linhas de emissão trajetórias e linhas de corrente Iniciemos com as linhas de corrente como as linhas de corrente são paralelas ao vetor velocidade podemos escrever para 2D Fig 25 Trajetórias e linhas de emissão para o escoamento da saída de uma mangueira oscilante de jardim Note que as linhas de corrente são obtidas em um instante no tempo se o escoamento é em regime transiente o tempo t é mantido constante na Eq 28 A solução desta equação dá a equação y yx com uma constante de integração indeterminada cujo valor determina a linha de corrente particular Para trajetórias considerando novamente 2D fazemos x xpt e y ypt em que xpt e ypt são as coordenadas instantâneas de uma partícula específica Temos portanto A solução simultânea dessas equações fornece a trajetória de uma partícula na forma paramétrica xpt ypt O cálculo das linhas de emissão é um pouco complicado O primeiro passo é calcular a trajetória de uma partícula usando as Eqs 29 que foi solta a partir da fonte pontual de emissão coordenadas x0 y0 no tempo t0 na forma Em seguida em vez de interpretarmos isso como a posição de uma partícula ao longo do tempo reescrevemos essas equações como As Eqs 210 fornecem a linha gerada pelo tempo t a partir de uma fonte pontual x0 y0 Nestas equações t0 o tempo de soltura das partículas é variado de 0 a t para mostrar as posições instantâneas de todas as partículas soltas até o instante t Exemplo 21 LINHAS DE CORRENTE E TRAJETÓRIAS NO ESCOAMENTO BIDIMENSIONAL Um campo de velocidade é dado por Ax Ay as unidades de velocidade são ms x e y são dados em metros A 03 s1 a Obtenha uma equação para as linhas de corrente no plano xy b Trace a linha de corrente que passa pelo ponto x0 y0 2 8 c Determine a velocidade de uma partícula no ponto 2 8 d Se a partícula passando pelo ponto x0 y0 no instante t 0 for marcada determine a sua localização no instante t 6 s e Qual a velocidade dessa partícula em t 6 s f Mostre que a equação da trajetória da partícula é a mesma equação da linha de corrente Dados Campo de velocidade Ax Ay x e y em metros A 03 s1 Determinar a A equação das linhas de corrente no plano xy b O gráfico da linha de corrente pelo ponto 2 8 c A velocidade da partícula no ponto 2 8 d A posição em t 6 s da partícula localizada em 2 8 em t 0 e A velocidade da partícula na posição encontrada em d f A equação da trajetória da partícula localizada em 2 8 em t 0 Solução a Linhas de corrente são aquelas desenhadas no campo de escoamento de modo que em um dado instante são tangentes à direção do escoamento em cada ponto Consequentemente Separando as variáveis e integrando obteremos ou ln y lnx c1 Isso pode ser escrito como xy c b Para a linha de corrente que passa pelo ponto x0 y0 2 8 a constante c tem um valor de 16 e a equação da linha de corrente que passa pelo ponto 2 8 é então xy x0y0 16 m2 O gráfico está esquematizado na figura c O campo de velocidade é Ax Ay No ponto 2 8 a velocidade é d Uma partícula movendose no campo de escoamento terá a velocidade dada por Ax Ay Então Separando as variáveis e integrando em cada equação resulta Então ou x x0eAt e y y0eAt Em t 6 x 2 m e036 121 m e y 8 m e036 132 m Para t 6 s a partícula estará em 121 132 m e No ponto 121 132 m f Para determinar a equação da trajetória empregamos as equações paramétricas x x0eAt e y y0eAt e eliminamos t Resolvendo para eAt nas duas equações Portanto xy x0y0 16 m2 Notas Este problema ilustra o método de cálculo de linhas de corrente e trajetórias Posto que o escoamento é em regime permanente as linhas de correntes e as trajetórias têm a mesma forma isso não é verdade para um escoamento transiente Quando se acompanha uma partícula a formulação lagrangiana sua posição x y e velocidade up dxdt e νp dydt são funções do tempo mesmo se o escoamento for permanente 23 Campo de Tensão Em nosso estudo de mecânica dos fluidos precisamos entender que tipos de força agem sobre as partículas fluidas Cada partícula fluida pode sofrer a ação de forças de superfície pressão atrito que são geradas pelo contato com outras partículas ou com superfícies sólidas e forças de campo tais como forças de gravidade e eletromagnética que agem através das partículas A força de campo gravitacional atuando sobre um elemento de volume é dada por no qual ρ é a massa específica massa por unidade de volume e é a aceleração local da gravidade Portanto a força de campo gravitacional por unidade de volume é e por unidade de massa é Forças de superfície agindo sobre uma partícula fluida geram tensões O conceito de tensão é útil para descrever como é que forças agindo sobre as fronteiras de um meio fluido ou sólido são transmitidas através do meio Você provavelmente estudou tensões em mecânica dos sólidos Por exemplo quando você fica de pé sobre uma prancha de esqui tensões são geradas na prancha Por outro lado quando um corpo se move através de um fluido tensões são desenvolvidas no fluido A diferença entre um fluido e um sólido como já vimos é que as tensões em um fluido são majoritariamente geradas por movimento e não por deflexão Imagine a superfície de uma partícula fluida em contato com outras partículas fluidas e considere a força de contato sendo gerada entre as partículas Considere uma porção da superfície em um ponto qualquer C A orientação de é dada pelo vetor unitário mostrado na Fig 26 O vetor é normal à superfície da partícula apontando para fora dela A força agindo sobre pode ser decomposta em duas componentes uma normal e a outra tangente à área Uma tensão normal σn e uma tensão de cisalhamento τn são então definidas como e O subscrito n na tensão foi incluído para lembrar que as tensões estão associadas à superfície que passa por C tendo uma normal com a direção e sentido de O fluido é realmente um contínuo de modo que podemos imaginálo ao redor do ponto C como composto por um determinado número de partículas delimitadas de diferentes maneiras obtendo assim um número qualquer de diferentes tensões no ponto C Ao lidar com quantidades vetoriais tais como a força é usual considerar as componentes em um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Em coordenadas retangulares podemos considerar as tensões atuando em planos cujas normais orientadas para fora novamente em relação ao elemento fluido considerado estão nas direções dos eixos x y ou z Na Fig 27 consideramos a tensão no elemento δAx cuja normal orientada para fora está na direção do eixo x A força foi decomposta em componentes ao longo de cada eixo de coordenadas Dividindo o módulo de cada componente da força pela área δAx e tomando o limite quando δAx se aproxima de zero definimos as três componentes da tensão mostradas na Fig 27b Fig 26 O conceito de tensão em um meio contínuo Fig 27 Componentes da força e tensão sobre o elemento de área δAx Usamos uma notação com índice duplo para designar as tensões O primeiro índice neste caso x indica o plano no qual a tensão atua neste caso a superfície perpendicular ao eixo x O segundo índice indica a direção na qual a tensão atua Considerando agora a área elementar δAy definiremos as tensões σyy τyx e τyz a utilização da área elementar δAz levaria de modo semelhante à definição de σzz τzx e τzy Embora tenhamos focalizado apenas três planos ortogonais um infinito número de planos pode passar através do ponto C resultando em um número infinito de tensões associadas a esses planos Felizmente o estado de tensão em um ponto pode ser completamente descrito pela especificação das tensões atuantes em três planos quaisquer ortogonais entre si que passam pelo ponto A tensão em um ponto é especificada então pelas nove componentes em que σ foi usado para denotar uma tensão normal e τ para denotar uma tensão cisalhante A notação para designar tensão é mostrada na Fig 28 Referindonos ao elemento infinitesimal mostrado na Fig 28 vemos que há seis planos dois planos x dois planos y e dois planos z nos quais as tensões podem atuar Para designar o plano de interesse poderíamos usar termos como frontal e posterior superior e inferior ou esquerdo e direito Contudo é mais lógico nomear os planos em termos dos eixos de coordenadas Os planos são nomeados e denotados como positivos ou negativos de acordo com o sentido da sua normal Dessa forma o plano superior por exemplo é um plano y positivo o posterior é um plano z negativo Também é necessário adotar uma convenção de sinais para a tensão Uma componente da tensão é positiva quando o seu sentido e o do plano no qual atua são ambos positivos ou ambos negativos Assim τyx 35 Ncm2 representa uma tensão de cisalhamento em um plano y positivo no sentido de x positivo ou uma tensão de cisalhamento em um plano y negativo no sentido de x negativo Na Fig 28 todas as tensões foram traçadas como positivas As componentes da tensão são negativas quando seu sentido tem sinal oposto ao sinal do plano no qual atuam Fig 28 Notação para tensão 24 Viscosidade Qual a origem das tensões Para um sólido as tensões são desenvolvidas quando um material é deformado ou cisalhado elasticamente para um fluido as tensões de cisalhamento aparecem devido ao escoamento viscoso discutiremos sucintamente as tensões normais de um fluido Desse modo dizemos que os sólidos são elásticos e os fluidos são viscosos e é interessante notar que muitos tecidos biológicos são viscoelásticos significando que eles combinam características de um sólido e de um fluido Para um fluido em repouso não existirá tensão de cisalhamento Veremos a seguir que o exame da relação entre a tensão de cisalhamento aplicada e o escoamento especialmente a taxa de deformação do fluido pode ser usado para definir categorias de classificação de cada fluido Considere o comportamento de um elemento fluido entre duas placas infinitas conforme mostrado na Fig 29a O elemento fluido retangular está inicialmente em repouso no tempo t Consideremos agora que uma força constante para a direita δFx seja aplicada à placa de modo que ela é arrastada através do fluido a velocidade constante δu A ação de cisalhamento relativo da placa infinita produz uma tensão de cisalhamento τyx aplicada ao elemento fluido que é dada por em que δAy é a área de contato do elemento fluido com a placa e δFx é a força exercida pela placa sobre aquele elemento Imagens instantâneas do elemento fluido mostradas nas Fig 29ac ilustram a deformação do elemento fluido da posição MNOP no tempo t para a posição MNOP no tempo t δt e para MNOP no tempo t 2δt devido à tensão de cisalhamento imposta Como mencionado na Seção 12 o fato de que o fluido se deforma continuamente em resposta a uma tensão de cisalhamento aplicada é que o torna diferente dos sólidos Durante o intervalo de tempo δt Fig 29b a deformação do fluido é dada por Desejamos expressar dαdt em função de quantidades prontamente mensuráveis Isso pode ser feito facilmente A distância δl entre os pontos M e M é dada por δl δu δt Fig 29 a Elemento fluido no tempo t b deformação do elemento fluido no tempo t δt e c deformação do elemento fluido no tempo t 2δt Alternativamente para pequenos ângulos δl δy δα Igualando essas duas expressões para δl obteremos Tomando os limites de ambos os lados da igualdade obteremos Dessa forma o elemento fluido da Fig 29 quando submetido à tensão de cisalhamento τyx experimenta uma taxa de deformação taxa de cisalhamento dada por dudy Já estabelecemos que qualquer fluido sob a ação de uma tensão de cisalhamento escoará ele terá uma taxa de cisalhamento Qual é a relação entre tensão de cisalhamento e taxa de cisalhamento Os fluidos para os quais a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à taxa de deformação são fluidos newtonianos A expressão não newtoniano é empregada para classificar todos os fluidos em que a tensão cisalhante não é diretamente proporcional à taxa de deformação Fluido Newtoniano Os fluidos mais comuns aqueles discutidos neste texto tais como água ar e gasolina são newtonianos em condições normais Se o fluido da Fig 29 for newtoniano então Já estamos familiarizados com o fato de que alguns fluidos resistem mais ao movimento que outros Por exemplo é muito mais difícil agitar óleo SAE 30W em um reservatório do que agitar água nesse mesmo reservatório Portanto o óleo SAE 30W é muito mais viscoso que a água ele tem uma viscosidade mais alta Note que também é difícil agitar o mercúrio mas por uma razão diferente A constante de proporcionalidade na Eq 214 é a viscosidade absoluta ou dinâmica μ Desse modo em termos das coordenadas da Fig 29 a lei de Newton da viscosidade para o escoamento unidimensional é dada por Note que como as dimensões de τ são FL2 e as dimensões de dudy são 1t μ tem dimensões FtL2 Uma vez que as dimensões de força F massa M comprimento L e tempo t são relacionadas pela segunda lei do movimento de Newton as dimensões de μ também podem ser expressas como MLt No sistema SI as unidades de viscosidade são kgm s ou Pa s 1 Pa s 1 N sm2 O cálculo da tensão de cisalhamento viscoso é ilustrado no Exemplo 22 Na mecânica dos fluidos a razão entre a viscosidade absoluta μ e a massa específica ρ surge com frequência Esta razão toma o nome de viscosidade cinemática e é representada pelo símbolo ν Como a massa específica tem as dimensões ML3 as dimensões de ν são L2t No sistema SI a unidade de ν é m2s O Apêndice A apresenta dados de viscosidade para diversos fluidos newtonianos comuns Note que para gases a viscosidade aumenta com a temperatura enquanto para líquidos a viscosidade diminui com o aumento de temperatura Exemplo 22 VISCOSIDADE E TENSÃO DE CISALHAMENTO EM UM FLUIDO NEWTONIANO Uma placa infinita movese sobre uma segunda placa havendo entre elas uma camada de líquido como mostrado Para uma pequena altura da camada d podemos supor uma distribuição linear de velocidade no líquido A viscosidade do líquido é 00065 gcm s e sua densidade relativa é 088 Determine a A viscosidade absoluta do líquido em N sm2 b A viscosidade cinemática do líquido em m2s c A tensão de cisalhamento na placa superior em Nm2 d A tensão de cisalhamento na placa inferior em Pa e O sentido de cada tensão cisalhante calculada nas partes c e d Dados O perfil linear de velocidade no líquido entre placas paralelas infinitas conforme mostrado μ 00065 gcms SG 088 Determinar a μ em unidade de N sm2 b ν em unidades de m2s c τ na placa superior em unidades de Nm2 d τ na placa inferior em unidades de Pa e O sentido da tensão nas partes c e d Solução Equação básica τ yx μ Definição ν Considerações 1 Distribuição linear de velocidade dado 2 Escoamento em regime permanente 3 μ constante A parte c mostra que a tensão de cisalhamento é Constante através da folga para um perfil de velocidade linear Diretamente proporcional à velocidade da placa superior por causa da linearidade dos fluidos newtonianos Inversamente proporcional ao espaçamento entre as placas Note que em problemas como este a força requerida para manter o movimento é obtida pela multiplicação da tensão pela área da placa Como u varia linearmente com y e Sentido das tensões de cisalhamento nas placas superior e inferior Fluidos Não Newtonianos Fluidos para os quais a tensão de cisalhamento não é diretamente proporcional à taxa de deformação são não newtonianos Embora esse assunto não seja discutido profundamente neste texto muitos fluidos comuns apresentam comportamento não newtoniano Dois exemplos familiares são pasta dental e tinta LuciteFig 210 Inúmeras equações empíricas têm sido propostas 3 4 para modelar as relações observadas entre τyx e dudy para fluidos com comportamento independente do tempo Para muitas aplicações da engenharia essas relações podem ser adequadamente representadas pelo modelo exponencial que para o escoamento unidimensional tornase em que o expoente n é chamado de índice de comportamento do escoamento e o coeficiente k o índice de consistência Esta equação reduzse à lei da viscosidade de Newton para n 1 com k μ Fig 210 a Tensão de cisalhamento τ b viscosidade aparente η como uma função da taxa de deformação para o escoamento unidimensional de vários fluidos não newtonianos Para assegurar que τyx tenha o mesmo sinal de dudy a Eq 216 é reescrita na forma O termo η kdudyn1 é referenciado como a viscosidade aparente do fluido A ideia por trás da Eq 217 é usar uma viscosidade η em uma equação cujo formato seja idêntico ao da Eq 215 em que a viscosidade newtoniana μ é aplicada A grande diferença é que enquanto μ é constante exceto para efeitos de temperatura η depende da taxa de cisalhamento A maioria dos fluidos não newtonianos tem viscosidade aparente relativamente elevada quando comparada com a viscosidade da água Os fluidos em que a viscosidade aparente decresce conforme a taxa de deformação cresce n 1 são chamados de fluidos pseudoplásticos tornamse mais finos quando sujeitos a tensões cisalhantes A maioria dos fluidos não newtonianos enquadrase nesse grupo exemplos incluem as soluções de polímeros as suspensões coloidais e a polpa de papel em água Se a viscosidade aparente cresce conforme a taxa de deformação cresce n 1 o fluido é chamado dilatante Você pode ter uma ideia disso na praia se você andar lentamente e portanto gerando uma baixa taxa de cisalhamento sobre uma areia muito úmida você afunda nela mas se você corre sobre ela gerando uma alta taxa de cisalhamento a areia é firme Um fluido que se comporta como um sólido até que uma tensão limítrofe τy seja excedida e subsequentemente exibe uma relação linear entre tensão de cisalhamento e taxa de deformação é denominado plástico de Bingham ou plástico ideal O modelo correspondente para a tensão de cisalhamento é Suspensões de argila lama de perfuração e pasta dental são exemplos de substâncias que exibem esse comportamento O estudo dos fluidos não newtonianos é ainda mais complicado pelo fato de que a viscosidade aparente pode ser dependente do tempo Fluidos tixotrópicos mostram um decréscimo em η com o tempo sob uma tensão cisalhante constante muitas tintas são tixotrópicas Fluidos reopéticos mostram um aumento em η com o tempo Após a deformação alguns fluidos retornam parcialmente à sua forma original quando livres da tensão aplicada esses fluidos são denominados viscoelásticos muitos fluidos biológicos funcionam desse jeito VÍDEO CLÁSSICO Comportamento Reológico de Fluidos em inglês 25 Tensão Superficial Você pode dizer quando o seu carro precisa ser lavado as gotas de água tendem a parecer um pouco achatadas Após a lavagem as gotas de água sobre a superfície teriam contornos mais esféricos Esses dois casos são ilustrados na Fig 211 Dizemos que um líquido molha uma superfície quando o ângulo de contato θ é menor que 90 Por essa definição a superfície do carro estava molhada antes da lavagem e não molhada após a lavagem Este é um exemplo dos efeitos da tensão superficial Sempre que um líquido está em contato com outros líquidos ou gases ou com uma superfície gássólido como neste caso uma interface se desenvolve agindo como uma membrana elástica esticada e criando tensão superficial Esta membrana exibe duas características o ângulo de contato θ e o módulo da tensão superficial σ Nm Ambas dependem do tipo de líquido e do tipo da superfície sólida ou do outro líquido ou gás com a qual ele compartilha uma interface No exemplo da lavagem de carro o ângulo de contato mudou de um valor menor que 90 para um valor maior que 90 porque a lavagem mudou a natureza da superfície sólida Entre os fatores que afetam o ângulo de contato estão a limpeza da superfície e a pureza do líquido Outros exemplos de efeitos de tensão superficial aparecem quando você consegue colocar uma agulha sobre uma superfície de água e similarmente quando pequenos insetos aquáticos são capazes de caminhar sobre a superfície da água O Apêndice A contém dados de tensão superficial e ângulo de contato para líquidos comuns na presença de ar e de água Um balanço de força em um segmento de interface mostra que há um salto de pressão através da suposta membrana elástica sempre que a interface é curva Para uma gota de água no ar a pressão na água é maior que a pressão ambiente o mesmo é verdade para uma bolha de gás em um líquido Para uma bolha de sabão no ar a tensão superficial age em ambas as interfaces interna e externa entre a película de sabão e o ar ao longo da superfície curva da bolha A tensão superficial também conduz aos fenômenos de ondas capilares isto é de comprimentos de onda muito pequenos em uma superfície líquida 5 e de ascensão ou depressão capilar discutidos a seguir Em engenharia o efeito provavelmente mais importante da tensão superficial é a criação de um menisco curvo nos tubos de leitura de manômetros ou barômetros causando a normalmente indesejável ascensão ou depressão capilar conforme mostrado na Fig 212 A ascensão capilar pode ser pronunciada se o líquido estiver em um tubo de diâmetro pequeno ou em uma fenda estreita conforme mostrado no Exemplo 23 Fig 211 Efeitos da tensão superficial sobre gotas de água Fig 212 Ascensão capilar e depressão capilar no interior e no exterior de um tubo circular VÍDEO Interações Moleculares de Interface em inglês VÍDEO Afinando um Filme de Sabão em inglês VÍDEO Filme de Sabão Estourando em inglês VÍDEO Superfícies Molhadas e Não Molhadas em inglês Exemplo 23 ANÁLISE DO EFEITO CAPILAR EM UM TUBO Crie um gráfico mostrando a ascensão ou depressão capilar em uma coluna de mercúrio ou de água respectivamente como uma função do diâmetro do tubo D Determine o diâmetro mínimo requerido para cada coluna de modo que a magnitude da altura seja menor que 1 mm Dado Um tubo com líquido conforme mostrado na Fig 212 Determine Uma expressão geral para Δh como uma função de D Solução Aplique a análise do diagrama de corpo livre e a soma das forças verticais Equação básica Fz 0 Considerações 1 Medidas feitas no meio do menisco 2 Desconsiderar o volume na região do menisco Somando as forças na direção z Desconsiderando o volume na região do menisco Substituindo na Eq 1 e resolvendo para Δh resulta Para a água σ 728 mNm e θ 0º e para o mercúrio σ 484 mNm e θ 140º Tabela A4 Traçando o gráfico Notas Este problema reviu o uso do método do diagrama de corpo livre Verificouse que só é válido desprezar o volume na região do menisco quando Δh é grande em comparação com D Entretanto neste problema Δh é cerca de 1 mm quando D é 112 mm ou 30 mm portanto os resultados são apenas razoavelmente bons O gráfico e os resultados foram gerados com o auxílio da planilha Excel Utilizando a equação anterior para calcular Dmín obtivemos para o mercúrio e para a água e para ydh 1 mm Folsom 6 mostra que a análise simples do Exemplo 23 superestima o efeito da capilaridade e fornece resultados razoáveis somente para diâmetros menores do que 254 mm Para diâmetros na faixa 254 D 2794 mm dados experimentais para a ascensão capilar em uma interface águaar estão correlacionados por meio da expressão empírica Δh 0400e437D As leituras em barômetros e manômetros devem ser feitas no nível médio do menisco Esse local está afastado dos efeitos máximos da tensão superficial e portanto mais próximo do nível correto de líquido Todos os dados de tensão superficial do Apêndice A correspondem a medidas em líquidos puros em contato com superfícies verticais limpas Impurezas no líquido sujeiras sobre a superfície ou inclinação na superfície podem causar meniscos indistintos nessas condições tornase difícil determinar o nível de líquido com precisão O nível de líquido é mais distinto em um tubo vertical Quando tubos inclinados são utilizados para aumentar a sensibilidade de manômetros veja Seção 33 é importante fazer cada leitura no mesmo ponto sobre o menisco e evitar a utilização de tubos com inclinações maiores que 15º em relação à horizontal Compostos surfactantes reduzem significativamente a tensão superficial em mais de 40 com pequenas variações em outras propriedades 7 quando adicionados à água Essas substâncias têm grande aplicação comercial a maioria dos detergentes contém surfactantes para ajudar a água a penetrar e retirar sujeira de superfícies Os surfactantes são também bastante utilizados industrialmente na catálise em aerossóis e na recuperação de óleos minerais e vegetais VÍDEO Aumento Capilar em inglês VÍDEO CLÁSSICO Tensão Superficial em Mecânica dos Fluidos em inglês 26 Descrição e Classificação dos Movimentos de Fluido No Capítulo 1 e neste capítulo praticamente finalizamos nossa breve introdução a alguns conceitos e ideias que são frequentemente necessários para o estudo da mecânica dos fluidos Antes de prosseguirmos com a análise detalhada desta disciplina no restante do texto descreveremos alguns exemplos interessantes que ilustram uma classificação ampla da mecânica dos fluidos com base em características importantes do escoamento A mecânica dos fluidos é uma disciplina muito vasta cobre tudo desde a aerodinâmica de um veículo de transporte supersônico até a lubrificação das juntas do corpo humano pelo fluido sinuvial Por isso necessitamos delimitar a mecânica dos fluidos a proporções aceitáveis para um curso introdutório Os dois aspectos da mecânica dos fluidos mais difíceis de tratar são 1 a natureza viscosa dos fluidos e 2 sua compressibilidade De fato a primeira área da teoria da mecânica dos fluidos a se tornar altamente desenvolvida em torno de 250 anos atrás foi aquela que trata do escoamento incompressível e sem atrito Conforme veremos logo a seguir e com mais detalhes mais adiante esta teoria embora extremamente elegante leva ao famoso resultado denominado paradoxo de dAlembert nenhum corpo experimenta arrasto quando se movimenta em um fluido sem atrito um resultado que não é exatamente consistente com qualquer comportamento real Embora não seja a única forma de fazêlo a maioria dos engenheiros subdivide a mecânica dos fluidos em termos da presença ou não dos efeitos viscosos e de compressibilidade conforme mostrado na Fig 213 Nesta figura são mostradas também classificações em termos do tipo de escoamento se laminar ou turbulento e se interno ou externo Vamos agora discutir cada um desses casos VÍDEO Exemplos de Escoamento sobre uma Esfera em inglês Escoamentos Viscosos e Não Viscosos Quando se joga uma bola para o ar como no jogo de beisebol futebol ou em qualquer outro esporte além do efeito da gravidade a bola experimenta também o arrasto aerodinâmico do ar A questão que surge é qual é a natureza da força de arrasto do ar sobre a bola Em um primeiro momento poderemos concluir que o arrasto é decorrente do atrito do ar escoando sobre a bola com um pouco mais de reflexão poderemos chegar à conclusão de que o atrito não deve contribuir muito para o arrasto pois a viscosidade do ar é muito pequena e assim o arrasto seria decorrente principalmente do aumento da pressão do ar na região frontal da bola à medida que ela empurra o ar para fora de seu caminho A questão que surge podemos predizer em qualquer instante a importância relativa da força viscosa e da força de pressão na frente da bola Podemos fazer previsões similares para qualquer objeto como por exemplo um automóvel um submarino ou um glóbulo vermelho do sangue movendose através de um fluido qualquer como por exemplo ar água ou plasma sanguíneo A resposta que discutiremos com mais detalhes no Capítulo 7 é que podemos Podemos estimar se as forças viscosas são ou não desprezíveis em comparação com as forças de pressão pelo simples cálculo do número de Reynolds Fig 213 Possível classificação da mecânica dos fluidos de meios contínuos VÍDEO Escoamento Laminar Interno em um Tubo em inglês Re em que ρ e μ são respectivamente a massa específica e a viscosidade do fluido e V e L são a velocidade e o comprimento típicos ou característicos do escoamento nesse exemplo a velocidade e o diâmetro da bola respectivamente Se o número de Reynolds for grande os efeitos viscosos serão desprezíveis porém ainda terão importantes consequências conforme veremos em breve pelo menos na maior parte do escoamento se o número de Reynolds for pequeno os efeitos viscosos serão dominantes Finalmente se o número de Reynolds não for nem pequeno nem grande nenhuma conclusão geral poderá ser tirada Para ilustrar essa poderosa ideia considere dois exemplos simples Primeiro o arrasto na bola suponha que você chute uma bola de futebol diâmetro 2223 cm de modo que ela se mova a 97 kmh O número de Reynolds usando as propriedades do ar da Tabela A10 para este caso é em torno de 400000 por qualquer medida um número grande o arrasto sobre a bola de futebol é quase inteiramente decorrente do aumento de pressão do ar na região frontal da bola Para nosso segundo exemplo considere uma partícula de poeira modelada como uma esfera com diâmetro de 1 mm caindo com uma velocidade terminal de 1 cms sob o efeito da gravidade neste caso Re 07 um número bastante pequeno desse modo o arrasto é quase que inteiramente devido ao atrito do ar É claro que nestes dois exemplos se desejássemos determinar a força de arrasto teríamos que fazer uma análise mais detalhada VÍDEO O Ônibus Espacial Um Escoamento Turbulento Externo em inglês Esses exemplos ilustram um ponto importante um escoamento é considerado dominado ou não pelo atrito com base não apenas na viscosidade do fluido mas no sistema completo do escoamento Nestes exemplos o escoamento de ar representava pouco atrito para a bola de futebol mas muito atrito para a partícula de poeira Fig 214 Imagem qualitativa de escoamento incompressível em torno de uma esfera VÍDEO CLÁSSICO Fundamentos CamadaLimite em inglês Vamos retornar por um instante à noção idealizada do escoamento sem atrito denominado escoamento não viscoso ou escoamento invíscido Esse é o ramo mostrado à esquerda na Fig 213 Ele engloba a maior parte da aerodinâmica e entre outras coisas explica por exemplo porque aeronaves subsônicas e supersônicas possuem diferentes formas como uma asa gera sustentação e assim por diante Se essa teoria for aplicada à bola voando através do ar um escoamento que também é incompressível ela prediz linhas de corrente em coordenadas fixas à bola esférica conforme mostrado na Fig 214a As linhas de corrente são simétricas da frente para trás da bola Como a vazão mássica é constante entre duas linhas de corrente quaisquer sempre que essas linhas se abrem a velocidade deve decrescer e viceversa Desse modo podemos verificar que a velocidade do ar na vizinhança dos pontos A e C deve ser relativamente baixa no ponto B a velocidade será alta De fato o ar fica em repouso nos pontos A e C eles são pontos de estagnação Seguese que conforme estudaremos no Capítulo 6 a pressão neste escoamento é alta sempre que a velocidade é baixa e viceversa Assim os pontos A e C têm pressões relativamente grandes e iguais o ponto B será um ponto de pressão baixa De fato a distribuição de pressão sobre a bola esférica é simétrica da frente para trás e não existe força líquida de arrasto devido à pressão Como estamos supondo escoamento não viscoso não pode haver também arrasto devido ao atrito Temos então do paradoxo de dAlembert de 1752 a bola não sofre arrasto Isso obviamente não é realista Por outro lado tudo parece logicamente consistente nós verificamos que Re para a esfera era muito grande 400000 indicando que o atrito era desprezível Usamos então a teoria do escoamento invíscido para obter o nosso resultado de arrasto zero Como podemos conciliar essa teoria com a realidade Foram necessários cerca de 150 anos após o aparecimento do paradoxo para a resposta obtida por Prandtl em 1904 a condição de não deslizamento Seção 12 requer que a velocidade em todo local sobre a superfície da esfera seja zero em coordenadas esféricas porém a teoria do escoamento não viscoso estabelece que a velocidade seja grande no ponto B Prandtl sugeriu que embora de forma geral o atrito seja desprezível para escoamentos com valores altos do número de Reynolds existirá sempre uma camadalimite delgada na qual o atrito é significante e através dela a velocidade aumenta rapidamente de zero na superfície até o valor previsto pela teoria do escoamento invíscido sobre a borda externa da camadalimite Isso é mostrado na Fig 214b do ponto A ao ponto B e com mais detalhes na Fig 215 Esta camadalimite permitenos reconciliar imediatamente a teoria com a experimentação uma vez que temos atrito em uma camadalimite então teremos arrasto Entretanto essa camadalimite tem outra importante consequência ela frequentemente faz com que os corpos produzam uma esteira conforme mostrado na Fig 214 b do ponto D em diante no sentido do escoamento O ponto D é um ponto de separação ou de descolamento onde as partículas fluidas são afastadas da superfície do objeto causando o desenvolvimento de uma esteira Considere novamente o escoamento invíscido original Fig 214a conforme a partícula se movimenta ao longo da superfície do ponto B ao ponto C ela se desloca de uma região de baixa pressão para uma de alta pressão Esse gradiente de pressão adverso uma variação de pressão em oposição ao movimento do fluido causa uma diminuição na velocidade das partículas à medida que elas se movem ao longo da traseira da esfera Se nós agora somarmos a isso o fato de que as partículas estão se movendo em uma camadalimite com atrito que também diminui a velocidade do fluido as partículas serão eventualmente levadas ao repouso e então afastadas da superfície da esfera pelas partículas seguintes formando a esteira Isto é em geral uma situação muito ruim ocorre que a esteira terá sempre uma pressão relativamente baixa porém o ar à frente da esfera possuirá ainda uma pressão relativamente alta Desse modo a esfera estará sujeita a um considerável arrasto de pressão ou arrasto de forma assim chamado porque ele é decorrente da forma do objeto VÍDEO Escoamento em CamadaLimite em inglês Figura 215 Esquema de uma camadalimite Esta descrição reconcilia os resultados do escoamento invíscido de arrasto zero com os resultados experimentais do escoamento com arrasto significante sobre uma esfera É interessante notar que embora a presença da camadalimite seja necessária para explicar o arrasto sobre a esfera ele é realmente decorrente em sua maior parte da distribuição de pressão assimétrica criada pela separação da camadalimite o arrasto decorrente exclusivamente do atrito é ainda desprezível Podemos agora começar a ver também como funciona a carenagem de um corpo Em aerodinâmica a força de arrasto é decorrente em geral da esteira de baixa pressão se pudermos reduzir ou eliminar a esteira o arrasto será bastante reduzido Se considerarmos mais uma vez o porquê da separação da camadalimite recairemos sobre dois fatos o atrito na camadalimite reduz a velocidade das partículas mas também cria o gradiente de pressão adverso A pressão aumenta muito rapidamente na metade posterior da esfera na Fig 214a porque as linhas de corrente se abrem também muito rapidamente Se fizermos com que a esfera ganhe o formato de uma gota de lágrima conforme mostrado na Fig 216 as linhas de corrente vão se abrir gradualmente e desse modo o gradiente de pressão aumentará lentamente por uma extensão em que as partículas não serão forçadas a se separar do objeto até quase atingirem o seu final A esteira será muito menor e isso faz com que a pressão não seja tão baixa quanto antes resultando em um arrasto de pressão também bem menor O único aspecto negativo dessa carenagem é que a área total da superfície sobre a qual ocorre atrito aumenta e com isso o arrasto decorrente do atrito aumenta um pouco Devemos salientar que esta discussão não se aplica ao exemplo de uma partícula de pó caindo este escoamento com baixo número de Reynolds é viscoso não existe região invíscida Finalmente esta discussão ilustra a diferença bastante significativa entre escoamento não viscoso μ 0 e escoamento no qual a viscosidade é desprezível porém superior a zero μ 0 Figura 216 Escoamento sobre um objeto carenado VÍDEO Escoamento de Linhas de Corrente sobre um Aerofólio em inglês VÍDEO Linhas de Corrente em torno de um Carro em inglês Escoamentos Laminar e Turbulento Se você abrir uma torneira que não tem dispositivo de aeração ou outra derivação com uma vazão muito pequena a água escoará para fora suavemente quase vitrificada Se você aumentar a vazão a água sairá de forma agitada caótica Estes são exemplos de como um escoamento viscoso pode ser laminar ou turbulento respectivamente Um escoamento laminar é aquele em que as partículas fluidas movemse em camadas lisas ou lâminas um escoamento turbulento é aquele em que as partículas fluidas rapidamente se misturam enquanto se movimentam ao longo do escoamento devido a flutuações aleatórias no campo tridimensional de velocidades Exemplos típicos de trajetórias de cada um desses escoamentos são ilustrados na Fig 217 que mostra um escoamento unidimensional Na maioria dos problemas de mecânica dos fluidos por exemplo escoamento de água em um tubo a turbulência é um fenômeno quase sempre indesejável porém inevitável porque cria maior resistência ao escoamento em outros problemas por exemplo o escoamento de sangue através de vasos sanguíneos a turbulência é desejável porque o movimento aleatório permite o contato de todas as células de sangue com as paredes dos vasos para trocar oxigênio e outros nutrientes Fig 217 Trajetórias de partículas em escoamentos unidimensionais laminar e turbulento A velocidade do escoamento laminar é simplesmente u a velocidade do escoamento turbulento é composta pela velocidade média ū mais as três componentes das flutuações aleatórias de velocidade u υ e w Embora muitos escoamentos turbulentos de interesse sejam permanentes na média ū não é uma função do tempo a presença de flutuações aleatórias de velocidade e de alta frequência torna a análise do escoamento turbulento extremamente difícil Em um escoamento laminar unidimensional a tensão de cisalhamento está relacionada com o gradiente de velocidade pela relação simples VÍDEO CLÁSSICO Dinâmica de Fluido de Arrasto IIV em inglês Para um escoamento turbulento no qual o campo de velocidade média é unidimensional nenhuma relação simples como essa é válida Flutuações tridimensionais e aleatórias de velocidade u υ e w transportam quantidade de movimento através das linhas de corrente do escoamento médio aumentando a tensão de cisalhamento efetiva Essa tensão aparente é discutida com mais detalhes no Capítulo 8 Consequentemente para um escoamento turbulento não existem relações universais entre o campo de tensões e o campo de velocidade média Portanto para a análise de escoamentos turbulentos temos que nos apoiar fortemente em teorias semiempíricas e em dados experimentais VÍDEO Escoamento Laminar e Turbulento em inglês Escoamentos Compressível e Incompressível Escoamentos nos quais as variações na massa específica são desprezíveis denominamse incompressíveis quando as variações de massa específica não são desprezíveis o escoamento é denominado compressível O exemplo mais comum de escoamento compressível é o escoamento de gases enquanto o escoamento de líquidos pode geralmente ser tratado como incompressível Para muitos líquidos a temperatura tem pouca influência sobre a massa específica Sob pressões moderadas os líquidos podem ser considerados incompressíveis Entretanto em altas pressões os efeitos de compressibilidade nos líquidos podem ser importantes Mudanças de pressão e de massa específica em líquidos são relacionadas pelo módulo de compressibilidade ou módulo de elasticidade Se o módulo de compressibilidade for independente da temperatura a massa específica será uma função da pressão apenas o fluido é barotrópico Valores de módulos de compressibilidade para alguns líquidos comuns são dados no Apêndice A O golpe de aríete e a cavitação são exemplos da importância dos efeitos de compressibilidade nos escoamentos de líquidos O golpe de aríete ou martelo hidráulico é causado pela propagação e reflexão de ondas acústicas em um líquido confinado por exemplo quando uma válvula é bruscamente fechada em uma tubulação O ruído resultante pode ser similar ao da batida de um martelo em um tubo daí a origem do termo VÍDEO CLÁSSICO Cavitação em inglês A cavitação ocorre quando bolhas ou bolsas de vapor se formam em um escoamento líquido como consequência de reduções locais na pressão por exemplo nas extremidades das pás da hélice de um barco a motor Dependendo do número e da distribuição de partículas no líquido às quais pequenas bolhas de gás ou ar não dissolvido podem se agregar a pressão no local de início da cavitação pode ser igual ou menor do que a pressão de vapor do líquido Essas partículas agem como locais de nucleação para iniciar a vaporização A pressão de vapor de um líquido é a pressão parcial do vapor em contato com o líquido saturado a uma dada temperatura Quando a pressão em um líquido é reduzida abaixo da pressão de vapor o líquido pode passar abruptamente para a fase vapor em um fenômeno que lembra o espocar do flash de uma máquina fotográfica As bolhas de vapor em um escoamento de líquido podem alterar substancialmente a geometria do campo de escoamento O crescimento e o colapso ou implosão de bolhas de vapor em regiões adjacentes a superfícies sólidas podem causar sérios danos por erosão das superfícies do material Líquidos muito puros podem suportar grandes pressões negativas tanto quanto 6 MPa para a água destilada antes que as rupturas e a vaporização do líquido ocorram Ar não dissolvido está invariavelmente presente próximo à superfície livre da água doce ou da água do mar de modo que a cavitação ocorre onde a pressão total local está bastante próxima da pressão de vapor Escoamentos de gases com transferência de calor desprezível também podem ser considerados incompressíveis desde que as velocidades do escoamento sejam pequenas em relação à velocidade do som a razão entre a velocidade do escoamento V e a velocidade local do som c no gás é definida como o número de Mach Para M 03 a variação máxima da massa específica é inferior a 5 Assim os escoamentos de gases com M 03 podem ser tratados como incompressíveis um valor de M 03 no ar na condiçãopadrão corresponde a uma velocidade de aproximadamente 100 ms Por exemplo quando você dirige o seu carro a 105 kmh o ar escoando em torno dele apresenta pequena variação na massa específica embora isso possa parecer um pouco contrário à intuição Como veremos no Capítulo 12 a velocidade do som em um gás ideal é dada por c na qual k é a razão dos calores específicos R é a constante do gás e T é a temperatura absoluta Para o ar nas condiçõespadrão de temperatura e pressão k 140 e R 2869 Jkg K Os valores para k e R são fornecidos no Apêndice A nas condiçõespadrão de temperatura e pressão para diversos gases selecionados entre os mais comuns Adicionalmente o Apêndice A contém alguns dados úteis sobre propriedades atmosféricas tais como temperatura para várias elevações Escoamentos compressíveis ocorrem com frequência nas aplicações de engenharia Exemplos comuns incluem sistemas de ar comprimido empregados no acionamento de ferramentas e equipamentos pneumáticos e brocas dentárias a condução de gases em tubulações a altas pressões os controles pneumático e hidráulico e os sistemas sensores Os efeitos de compressibilidade são muito importantes nos projetos de aeronaves modernas e de mísseis de alta velocidade de instalações de potência de ventiladores e de compressores VÍDEO Escoamento Compressível Ondas de Choque em inglês Escoamentos Interno e Externo Escoamentos completamente envoltos por superfícies sólidas são chamados de escoamentos internos ou em dutos Escoamentos sobre corpos imersos em um fluido não contido são denominados escoamentos externos Tanto o escoamento interno quanto o externo podem ser laminares ou turbulentos compressíveis ou incompressíveis Mencionamos um exemplo de um escoamento interno quando discutimos o escoamento para fora de uma torneira o escoamento da água no interior do tubo até a torneira é um escoamento interno Ocorre que temos um número de Reynolds para escoamento em tubos definido por Re ρ Dρ em que é a velocidade média do escoamento e D é o diâmetro interno do tubo note que não usamos o comprimento do tubo Esse número de Reynolds indica se o escoamento em um tubo será laminar ou turbulento Os escoamentos serão geralmente laminares para Re 2300 e turbulentos para valores maiores o escoamento em um tubo de diâmetro constante será inteiramente laminar ou inteiramente turbulento dependendo do valor da velocidade Exploraremos escoamentos internos em detalhes no Capítulo 8 Na discussão do escoamento sobre uma esfera Fig 214b e sobre um objeto carenado Fig 216 vimos alguns exemplos de escoamentos externos O que não foi mencionado é que esses escoamentos podem ser laminares ou turbulentos Além disso nós mencionamos as camadaslimites Fig 215 elas também podem ser laminares ou turbulentas Quando discutirmos isso mais detalhadamente no Capítulo 9 começaremos com o tipo mais simples de camadalimite aquela sobre uma placa plana e aprenderemos que assim como existe um número de Reynolds para o escoamento externo global que indica a importância relativa das forças viscosas existirá também um número de Reynolds para a camadalimite Rex ρUxμ para o qual a velocidade característica U é a velocidade imediatamente do lado de fora da camadalimite e o comprimento característico x é a distância ao longo da placa contada a partir da sua borda de ataque Nessa borda Rex 0 e na borda de fuga da placa de comprimento L Rex ρULμ O significado do número de Reynolds é que conforme aprenderemos a camadalimite será laminar para Rex 5 105 e turbulenta para valores maiores a camadalimite iniciase laminar e se a placa for longa o suficiente a camada irá desenvolver uma região de transição e em seguida se tornará turbulenta Está claro neste instante que o cálculo do número de Reynolds traz em geral muita informação para os escoamentos internos e externos Discutiremos isso e outros grupos adimensionais importantes tais como o número de Mach no Capítulo 7 O escoamento interno através de máquinas de fluxo é considerado no Capítulo 10 O princípio da quantidade de movimento angular é aplicado no desenvolvimento das equações fundamentais para as máquinas de fluxo Bombas ventiladores sopradores compressores e hélices que adicionam energia à corrente fluida são considerados assim como turbinas e moinhos de vento que extraem energia O capítulo apresenta uma discussão detalhada da operação de sistemas fluidos O escoamento interno de líquidos em que o duto não fica plenamente preenchido onde há uma superfície livre submetida a uma pressão constante é denominado escoamento em canal aberto Exemplos comuns de escoamento em canal aberto incluem aqueles em rios canais de irrigação e aquedutos O escoamento em canais abertos será abordado no Capítulo 11 Tanto o escoamento interno quanto o externo podem ser compressíveis ou incompressíveis Os escoamentos compressíveis podem ser divididos nos regimes subsônico e supersônico Estudaremos escoamentos compressíveis nos Capítulos 12 e 13 e veremos entre outras coisas que os escoamentos supersônicos M 1 se comportam de maneira bastante diferente dos escoamentos subsônicos M 1 Por exemplo escoamentos supersônicos podem experimentar choques normais e oblíquos e também podem ter um comportamento que contraria a nossa intuição por exemplo um bocal supersônico um equipamento para acelerar um escoamento deve ser divergente isto é ter área da seção transversal crescente no sentido do escoamento Notamos aqui também que em um bocal subsônico que tem área de seção transversal convergente a pressão do escoamento no plano de saída será sempre a pressão ambiente para um escoamento sônico a pressão de saída pode ser maior que a do ambiente e para um escoamento supersônico a pressão de saída pode ser maior igual ou menor que a pressão ambiente 27 Resumo e Equações Úteis Neste capítulo nós completamos nossa revisão sobre alguns conceitos fundamentais que utilizaremos no estudo da mecânica dos fluidos Alguns deles são Como descrever os escoamentos linhas de tempo trajetórias linhas de corrente e linhas de emissão Forças de superfície e de campo e tensões cisalhante e normal Tipos de fluidos newtonianos não newtonianos dilatante pseudoplástico tixotrópico reopético plástico de Bingham e viscosidade cinemática dinâmica e aparente Tipos de escoamento viscosoinvíscido laminarturbulento compressívelincompressível internoexterno Discutimos também brevemente alguns fenômenos de interesse tais como tensão superficial camadalimite esteira e carenagem Finalmente apresentamos dois grupos adimensionais muito úteis o número de Reynolds e o número de Mach Nota A maior parte das Equações Úteis na tabela a seguir possui restrições ou limitações para usálas com segurança verifique os detalhes no capítulo conforme a numeração de referência Equações Úteis Definição da gravidade específica 23 Definição do peso específico 24 Definição de linhas de corrente 2D 28 Definição de trajetórias 2D 29 Definição de linhas de emissão 2D Xlinha de emissaão t0 xtx0y0t0 Ylinha de emissaão t0 ytx0y0t0 210 Lei da viscosidade de Newton Escoamento 1D 215 Tensão de cisalhamento para um fluido não newtoniano escoamento 1D 217 Estudo de Caso Mecânica dos Fluidos e o Seu Aparelho MP3 Aparelho de MP3 de um dos autores Algumas pessoas têm a impressão de que a mecânica dos fluidos é de tecnologia velha ou ultrapassada o escoamento de água em uma tubulação residencial as forças fluidas agindo sobre uma represa e assim por diante Embora seja verdade que muitos conceitos em mecânica dos fluidos possuam centenas de anos existem ainda muitas novas e excitantes áreas de pesquisa e desenvolvimento Todos já ouviram falar da área de mecânica dos fluidos de tecnologia relativamente de ponta chamada carenagem de carros aeronaves bicicletas de corrida e roupas para competição em natação para mencionar somente algumas mas existem muitas outras Se você é um estudante de engenharia típico existe uma boa chance de que enquanto estiver lendo este capítulo você esteja ouvindo música em seu aparelho de MP3 você pode agradecer à mecânica dos fluidos por sua capacidade de fazer isso O minúsculo disco rígido em um desses aparelhos guarda tipicamente em torno de 250 GB de dados portanto a superfície do disco deve ter uma enorme densidade maior do que 40000 faixas por cm adicionalmente o cabeçote leitorgravador deve ficar muito perto do disco enquanto ele transfere os dados tipicamente o cabeçote está 005 μm acima da superfície do disco um cabelo humano possui cerca de 100 μm O disco também gira a uma velocidade maior do que 500 rotações por segundo Consequentemente os rolamentos em que o eixo do disco gira devem ter pouquíssimo atrito e também não possuir balanços ou folgas caso contrário na pior das hipóteses o cabeçote vai colidir com o disco ou na melhor das hipóteses você não será capaz de ler os dados eles estarão guardados demasiadamente perto Projetar tal rolamento representa um grande desafio Até poucos anos atrás a maioria dos discos rígidos utilizava rolamentos de esferas que são essencialmente parecidos com aqueles na roda de uma bicicleta eles trabalham segundo o princípio de que um eixo pode rodar se ele está seguro por um anel de pequenas esferas que são suportadas em uma armação Os problemas com os rolamentos de esferas são que eles possuem muitos componentes são muito difíceis de construir com a precisão necessária ao disco rígido são vulneráveis ao choque se você soltar um disco rígido com uma unidade dessas é provável que uma das esferas se quebre assim que atingir o eixo destruindo o rolamento e esses rolamentos são relativamente ruidosos Os construtores de discos rígidos estão crescentemente adotando os rolamentos fluidodinâmicos Estes são mecanicamente mais simples do que os rolamentos de esferas eles consistem basicamente em um eixo montado diretamente sobre a abertura do rolamento somente com um lubrificante viscoso formulado especialmente tal como óleo ester na fenda de somente uns poucos mícrons O eixo eou superfícies do rolamento possuem o modelo de uma espinha para manter o óleo no lugar Esses rolamentos são extremamente duráveis eles podem frequentemente resistir a um impacto de 500 g e pouco ruidosos no futuro eles permitirão também velocidades de rotação acima de 15000 rpm tornando o acesso aos dados ainda mais rápido do que nos aparelhos atuais Os rolamentos fluidodinâmicos foram usados anteriormente em aparelhos tais como giroscópios mas a fabricação deles em tamanho tão pequeno é novidade Alguns rolamentos fluidodinâmicos usam o ar como fluido lubrificante mas um dos problemas é que eles algumas vezes param de trabalhar quando você tenta acionálos durante o voo em uma aeronave a pressão na cabine é insuficiente para manter a pressão que o rolamento necessita Recentemente os preços e a capacidade de memória flash têm melhorado tanto que muitos aparelhos de MP3 estão migrando da tecnologia de HD para a tecnologia de memória flash Eventualmente computadores do tipo notebook e desktop também usarão memória flash mas pelo menos para os próximos anos o meio primário de armazenagem de dados será o HD O seu computador ainda terá componentes vitais baseados na mecânica dos fluidos Referências 1 Vincenti W G and C H Kruger Jr Introduction to Physical Gas Dynamics New York Wiley 1965 2 Merzkirch W Flow Visualization 2nd ed New York Academic Press 1987 3 Tanner R I Engineering Rheology Oxford Clarendon Press 1985 4 Macosko C W Rheology Principles Measurements and Applications New York VCH Publishers 1994 5 Loh W H T Theory of the Hydraulic Analogy for Steady and Unsteady Gas Dynamics in Modern Developments in Gas Dynamics W H T Loh ed New York Plenum 1969 6 Folsom R G Manometer Errors Due to Capillarity Instruments 9 1 1937 pp 3637 7 Waugh J G and G W Stubstad Hydroballistics Modeling San Diego Naval Undersea Center ca 1972 Problemas Campo de velocidade 21 Para os campos de velocidade dados abaixo determine a Se o campo de escoamento é uni bi ou tridimensional e por quê b Se o escoamento é em regime permanente ou transiente e por quê As quantidades a e b são constantes 22 Para os campos de velocidade dados abaixo determine a Se o campo de escoamento é uni bi ou tridimensional e por quê b Se o escoamento é em regime permanente ou transiente e por quê As quantidades a e b são constantes 23 Um líquido viscoso é cisalhado entre dois discos paralelos o disco superior gira e o inferior é fixo O campo de velocidade entre os discos é dado por êθωzh A origem das coordenadas está localizada no centro do disco inferior o disco superior está em z h Quais são as dimensões desse campo de velocidade Ele satisfaz as condições físicas de fronteira apropriadas Quais são elas 24 Para o campo de velocidade em que Ax2y Bxy2 em que A 2 m2 s1 e B 1 m2 s1 e as coordenadas são medidas em metros obtenha uma equação para as linhas de corrente do escoamento Trace diversas linhas de corrente para valores no primeiro quadrante 25 O campo de velocidade em que Ax Ay em que A 2 s1 pode ser interpretado para representar o escoamento em um canto Determine uma equação para as linhas de corrente do escoamento Trace diversas linhas de corrente no primeiro quadrante incluindo aquela que passa pelo ponto x y 0 0 26 Um campo de velocidade é especificado como em que axy by2 em que a 2 m1s1 b 6 m1s1 e as coordenadas são medidas em metros O campo de escoamento é uni bi ou tridimensional Por quê Calcule as componentes da velocidade no ponto 2 ½ Deduza uma equação para a linha de corrente que passa por esse ponto Trace algumas linhas de corrente no primeiro quadrante incluindo aquela que passa pelo ponto 2 ½ 27 O campo de velocidade é dado por ax bty em que a 1 s1 b 1 s2 Determine a equação das linhas de corrente para qualquer tempo t Trace diversas linhas de corrente no primeiro quadrante para t 0 t 1 s e t 20 s 28 Um campo de velocidade é dado por ax3 bxy3 em que a 1 m2s1 e b 1 m3s1 Determine a equação das linhas de corrente Trace algumas linhas de corrente no primeiro quadrante 29 Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade Ax B Ay em que A 3 msm e B 6 ms Trace algumas linhas de corrente no plano xy incluindo aquela que passa pelo ponto x y 0306 210 A velocidade para um escoamento permanente incompressível no plano xy é dada por Ax Ax2 em que A 2 m2s e as coordenadas são medidas em metros Obtenha uma equação para a linha de corrente que passa pelo ponto x y 1 3 Calcule o tempo necessário para que uma partícula fluida se mova de x 1 m até x 2 m neste campo de escoamento 211 O campo de escoamento para um escoamento atmosférico é dado por em que M 1 s1 e as coordenadas x e y são paralelas à latitude e longitude locais Trace um gráfico com o módulo da velocidade ao longo do eixo x ao longo do eixo y e ao longo da linha y x e discuta o sentido da velocidade em relação a esses três eixos Para cada gráfico use a faixa 0 x ou y 1 km Determine a equação para as linhas de corrente e esboce diversas dessas linhas O que esse campo de escoamento modela 212 O campo de escoamento para um escoamento atmosférico é dado por em que K 105 m2s e as coordenadas x e y são paralelas à latitude e longitude locais Trace um gráfico com o módulo da velocidade ao longo do eixo x ao longo do eixo y e ao longo da linha y x e discuta o sentido da velocidade em relação a esses três eixos Para cada gráfico use a faixa 1 km x ou y 1 km excluindo x ou y 100 m Determine a equação para as linhas de corrente e esboce diversas dessas linhas O que esse campo de escoamento modela 213 Um campo de escoamento é dado por em que q 5 104 m2s Trace um gráfico com o módulo da velocidade ao longo do eixo x ao longo do eixo y e ao longo da linha y x e discuta o sentido da velocidade em relação a esses três eixos Para cada gráfico use a faixa 1 km x ou y 1 km excluindo x ou y 100 m Determine a equação para as linhas de corrente e esboce diversas dessas linhas O que esse campo de escoamento modela 214 Começando com o campo de velocidade do Problema 25 verifique que as equações paramétricas para o movimento da partícula são dadas por xp c1eAt e yp c2eAt Obtenha a equação para a trajetória da partícula localizada no ponto x y 2 2 no instante t 0 Compare essa trajetória com a linha de corrente passando pelo mesmo ponto 215 Um campo de velocidade é dado por Ax 2Ay em que A 2 s1 Verifique que as equações paramétricas para o movimento da partícula são dadas por xp c1eAt e yp c2e2At Obtenha a equação para a trajetória da partícula localizada no ponto x y 2 2 no instante t 0 Compare essa trajetória com a linha de corrente passando pelo mesmo ponto 216 Um campo de velocidade é dado por ayt bx em que a 1 s2 e b 4 s1 Determine a equação das linhas de corrente para qualquer tempo t Trace algumas curvas para t 0 s t 1 s e t 20 s 217 Verifique que xp asenωt yp acosωt é a equação para as trajetórias de partículas para o campo de escoamento do Problema 212 Determine a frequência de movimento ω como uma função da amplitude de movimento a e K Verifique que xp asenωt yp acosωt é também a equação para as trajetórias de partículas para o campo de escoamento do Problema 211 exceto que ω agora é uma função de M Trace trajetórias típicas para ambos os campos de escoamento e discuta a diferença 218 Ar escoando verticalmente para baixo atinge uma larga placa plana horizontal O campo de velocidade é dado por ax ay 2 cos ωt em que a 5 s1 ω 2πs1 x e y medidos em metros são direcionados para a direita na horizontal e para cima na vertical respectivamente e t é dado em segundos Obtenha uma equação algébrica para a linha de corrente em t 0 Trace a linha de corrente que passa pelo ponto x y 3 3 nesse instante A linha de corrente mudará com o tempo Explique brevemente Mostre no gráfico o vetor velocidade nesse mesmo ponto e para o mesmo instante O vetor velocidade é tangente à linha de corrente Explique 219 Considere o escoamento descrito pelo campo de velocidade A1 Bt Cty com A 1 ms B 1 s1 e C 1 s2 As coordenadas são medidas em metros Trace a trajetória da partícula que passou pelo ponto 1 1 no instante t 0 Comparea com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos instantes t 0 1 e 2 s 220 Considere o escoamento descrito pelo campo de velocidade Bx1 At Cy com A 05 s1 e B C 1 s1 As coordenadas são medidas em metros Trace a trajetória da partícula que passou pelo ponto 1 1 no instante t 0 Comparea com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos instantes t 0 1 e 2 s 221 Considere o campo de escoamento dado na descrição euleriana pela expressão A Bt em que A 2 ms B 2 ms2 e as coordenadas são medidas em metros Deduza as funções de posição lagrangiana para a partícula fluida que passou pelo ponto x y 1 1 no instante t 0 Obtenha uma expressão algébrica para a trajetória seguida por essa partícula Trace a trajetória e comparea com as linhas de corrente que passam por esse mesmo ponto nos instantes t 0 1 e 2 s 222 Considere o campo de velocidades ax by1 ct em que a b 2 s1 e c 04 s1 As coordenadas são medidas em metros Para a partícula que passa pelo ponto x y 1 1 no instante t 0 trace a trajetória durante o intervalo de tempo de t 0 a t 15 s Compare esta trajetória com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos instantes t 0 1 e 15 s 223 Considere o campo de escoamento dado na descrição euleriana pela expressão ax byt em que a 02 s1 b 004 s2 e as coordenadas são medidas em metros Deduza as funções de posição lagrangiana para a partícula fluida que passou pelo ponto x y 1 1 no instante t 0 Obtenha uma expressão algébrica para a trajetória seguida por essa partícula Trace a trajetória e comparea com as linhas de corrente que passam por esse mesmo ponto nos instantes t 0 10 e 20 s 224 Um campo de velocidade é dado por axt by em que a 01 s2 e b 1 s1 Para a partícula que passa pelo do ponto x y 1 1 no instante t 0 s trace a trajetória durante o intervalo de t 0 s a t 3 s Comparea com as linhas de corrente traçadas através do mesmo ponto nos instantes t 0 1 e 2 s 225 Considere o campo de escoamento axt b em que a 01 s2 e b 4 ms As coordenadas são medidas em metros Para a partícula que passa pelo ponto x y 3 1 no instante t 0 trace a trajetória durante o intervalo de tempo de t 0 a t 3 s Compare essa trajetória com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos instantes t 1 2 e 3 s 226 Considere a mangueira de jardim da Figura 25 Suponha que o campo de velocidade é dado por u0 v0 senωt xu0 onde a direção x é horizontal e a origem está na posição média da mangueira u0 10 ms ν0 2 ms e ω 5 cicloss Determine e trace em um gráfico as linhas de corrente instantâneas que passam através da origem em t 0 s 005 s 01 s e 015 s Também determine a trace um gráfico com as trajetórias das partículas que deixam a origem para os mesmos quatro instantes de tempos 227 Usando os dados do Problema 226 determine e trace a forma da linha de emissão produzida após o primeiro segundo de escoamento 228 Considere o campo de velocidade do Problema 220 Trace a linha de emissão formada por partículas que passaram pelo ponto 1 1 durante o intervalo de tempo de t 0 a t 3 s Compare com as linhas de corrente traçadas através do mesmo ponto nos instantes t 0 1 e 2 s 229 As linhas de emissão são visualizadas por meio de um fluido corante de empuxo neutro injetado em um campo de escoamento a partir de um ponto fixo no espaço Uma partícula do fluido corante que está no ponto x y no instante t deve ter passado pelo ponto de injeção x0 y0 em algum instante anterior t τ O histórico de uma partícula corante pode ser determinado pela solução das equações da trajetória para as condições iniciais x x0 y y0 quando t τ As localizações atuais das partículas sobre a linha de emissão são obtidas fazendose τ igual a valores na faixa 0 τ t Considere o campo de escoamento ax1 bt cy em que a c 1 s1 e b 02 s1 As coordenadas são medidas em metros Trace a linha de emissão que passa pelo ponto inicial x0 y0 1 1 durante o intervalo de t 0 a t 3 s Compare com as linhas de correntes que passam pelo mesmo ponto nos instantes t 0 1 e 2 s 230 Considere o campo de escoamento axt b em que a 14 s2 e b 13 ms As coordenadas são medidas em metros Para a partícula que passa pelo ponto x y 1 2 no instante t 0 trace a trajetória durante o intervalo de tempo de t 0 a 3 s Comparea com a linha de emissão que passa pelo mesmo ponto no instante t 3 segundos 231 Considere o campo de escoamento ay2 b em que a 1 m1s1 e b 2 ms As coordenadas são medidas em metros Obtenha a linha de corrente que passa pelo ponto 6 6 No instante t 1 s quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto 1 4 no instante t 0 Em t 3 s quais são as coordenadas da partícula que passou dois segundos antes pelo ponto 3 0 Mostre que as trajetórias as linhas de corrente e as linhas de emissão para este escoamento são coincidentes 232 Pequenas bolhas de hidrogênio estão sendo utilizadas na visualização de um escoamento Todas as bolhas são geradas na origem x 0 y 0 O campo de velocidade é transiente e obedece às equações u 1 ms ν 2 ms 0 t 2 s u 0 ν 1 ms 0 t 4 s Trace as trajetórias das bolhas que deixam a origem em t 0 1 2 3 e 4 s Marque as localizações dessas cinco bolhas em t 4 s Use uma linha tracejada para indicar a posição de uma linha de emissão em t 4 s 233 Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade ax b em que a 15 s1 b 1 ms As coordenadas são medidas em metros Obtenha uma equação para a linha de corrente que passa através do ponto 1 1 Em t 5 s quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto 1 1 em t 0 Quais são suas coordenadas em t 10 s Trace a linha de corrente e as posições da partícula no início em 5 s e 10 s Que conclusões você pode tirar sobre trajetória linha de corrente e linha de emissão para este escoamento 234 Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade a bx em que a 2 ms e b 1 s1 As coordenadas são medidas em metros Obtenha a equação para a linha de corrente que passa pelo ponto 2 5 Em t 2 s quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto 0 4 em t 0 Em t 3 s quais são as coordenadas da partícula que passou dois segundos antes pelo ponto x y 1 4 25 Que conclusões você pode tirar a respeito da trajetória linha de corrente e de emissão para esse escoamento 235 Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade ay bt em que a 02 sª1e b 04 ms2 Em t 2 s quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto 1 2 em t 0 Em t 3 s quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto 1 2 em t 2 s Trace a trajetória e linha de emissão através do ponto 1 2 e compare com as linhas de corrente através do mesmo ponto nos instantes t 0 1 2 e 3 s 236 Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade at b em que a 04 ms2e b 2 ms Em t 2 s quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto 2 1 em t 0 Em t 3 s quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto 2 1 em t 2 s Trace a linha de emissão e a trajetória pelo ponto 2 1 e compare com as linhas de corrente passando pelo mesmo ponto nos instantes t 0 1 e 2 s Viscosidade 237 A variação da viscosidade do ar com a temperatura é bem correlacionada pela equação empírica de Sutherland Os valores de b e S que melhor ajustam esta equação são dados no Apêndice A Use esses valores para desenvolver uma equação para calcular a viscosidade cinemática do ar em unidades do Sistema Internacional de Unidades como uma função da temperatura a pressão atmosférica Considere o comportamento de gás ideal Cheque a equação calculando a viscosidade cinemática do ar a 0C e a 100C e compare com os dados no Apêndice A Tabela A10 trace o gráfico da viscosidade cinemática para a faixa de temperatura de 0C a 100C usando a equação e dados na Tabela A10 238 A variação da viscosidade do ar com a temperatura é bem correlacionada pela equação empírica de Sutherland Os valores de b e S que melhor ajustam essa equação são dados no Apêndice A para serem usados em unidades do Sistema Internacional Use esses valores para desenvolver uma equação para calcular a viscosidade do ar em unidades do Sistema Gravitacional Britânico como uma função da temperatura absoluta em graus Rankine Verifique a exatidão dos seus resultados comparandoos com os dados do Apêndice A 239 Alguns dados experimentais para a viscosidade do hélio a 1 atm são T C 0 100 200 300 400 μ N sm2 105 186 231 272 311 346 Utilizando a metodologia descrita no Apêndice A3 correlacione estes dados com a equação empírica de Sutherland em que T é dado em kelvin e obtenha valores para as constantes b e S 240 A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por em que h é a distância separando as placas e a origem está situada na linha mediana entre as placas Considere um escoamento de água a 15ºC com umáx 010 ms e h 01 mm Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido Esboce a variação da tensão de cisalhamento em uma seção transversal do canal 241 A distribuição de velocidade para o escoamento laminar entre placas paralelas é dada por em que h é a distância separando as duas placas a origem está situada na linha mediana entre as placas Considere o escoamento de água a 15ºC com velocidade máxima de 005 ms e h 01 mm Calcule a força sobre uma seção de 1 m2 da placa inferior e dê o seu sentido 242 Explique como um patim interage com a superfície de gelo Que mecanismos agem no sentido de reduzir o atrito de deslizamento entre o patim e o gelo 243 Petróleo bruto com densidade relativa SG 085 e viscosidade μ 01 N sm2 escoa de forma permanente sobre uma superfície inclinada de θ 45 graus para baixo em relação à horizontal em uma película de espessura h 01 in O perfil de velocidade é dado por A coordenada x está ao longo da superfície e y é normal a ela Trace o perfil da velocidade Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento que atua sobre a superfície 244 Uma patinadora de estilo livre no gelo desliza sobre patins à velocidade V 6 ms O seu peso 450 N é suportado por uma fina película de água fundida do gelo pela pressão da lâmina do patim Considere que a lâmina tem comprimento L 03 m e largura w 3 mm e que a película de água tem espessura h 00015 mm Estime a desaceleração da patinadora que resulta do cisalhamento viscoso na película de água desprezando efeitos das extremidades do patim 245 Um bloco cúbico pesando 45 N e com arestas de 250 mm é puxado para cima sobre uma superfície inclinada sobre a qual há uma fina película de óleo SAE 10W a 37ºC Se a velocidade do bloco é de 06 ms e a película de óleo tem 0025 mm de espessura determine a força requerida para puxar o bloco Suponha que a distribuição de velocidade na película de óleo seja linear A superfície está inclinada de 25º a partir da horizontal 246 Um bloco cúbico de massa 10 kg e de aresta de 250 mm é puxado para cima em uma superfície inclinada sobre o qual há um filme de óleo SAE 10W30 a 11C de espessura 0025 mm Determine a velocidade constante do bloco se ele for liberado Se uma força de 75 N for aplicada para puxar o bloco para cima da superfície inclinada determine a velocidade constante de subida do bloco Se agora a força for aplicada para puxar o bloco para baixo determine a velocidade constante do bloco Considere que a distribuição de velocidade do bloco no filme seja linear A superfície está inclinada de 30 a partir da horizontal 247 Uma fita adesiva de espessura 038 mm e largura de 25 mm deve ser revestida em ambos os lados com cola Para isso ela puxada em posição centrada através de uma ranhura retangular estreita sobrando um espaço de 03 mm em cada lado A cola de viscosidade μ 1 N s m2 preenche completamente os espaços entre a fita e a ranhura Se a fita pode suportar uma força máxima de tração de 110 N determine o máximo comprimento através da ranhura que ela pode ser puxada a uma velocidade de 1 ms 248 Um pistão de alumínio SG 264 com 73 mm de diâmetro e 100 mm de comprimento está em tubo de aço estacionário com 75 mm de diâmetro interno Óleo SAE 10 W a 25ºC ocupa o espaço anular entre os tubos Uma massa m 2 kg está suspensa na extremidade inferior do pistão como mostrado na figura O pistão é colocado em movimento cortandose uma corda suporte Qual é a velocidade terminal da massa m Considere um perfil de velocidade linear dentro do óleo 249 O pistão no Problema 248 está viajando a velocidade terminal mas agora com a massa m desconectada do pistão Trace um gráfico com a velocidade do pistão em função do tempo Quanto tempo o pistão leva para alcançar 1 dessa nova velocidade terminal 250 Um bloco de massa M desliza sobre uma fina película de óleo A espessura da película é h e a área do bloco é A Quando liberada a massa m exerce tração na corda causando a aceleração do bloco Despreze o atrito na polia e a resistência do ar Desenvolva uma expressão algébrica para a força viscosa que atua sobre o bloco quando ele se move à velocidade V Deduza uma equação diferencial para a velocidade do bloco como uma função do tempo Obtenha uma expressão algébrica para a velocidade do bloco em função do tempo A massa M 5 kg m 1 kg A 25 cm2 e h 05 mm Se o bloco leva 1 segundo para atingir a velocidade de 1 ms determine a viscosidade μ do óleo Esboce a curva Vt 251 Um bloco cúbico com arestas de 01 metro e massa de 5 kg desliza em um plano inclinado 30º para baixo em relação à horizontal sobre um filme de óleo SAE 30 a 20ºC com 020 mm de espessura Se o bloco for liberado do repouso em t 0 qual a sua aceleração inicial Deduza uma expressão para a velocidade do bloco em função do tempo Trace a curva Vt Determine a velocidade do bloco após 01 s Se desejássemos que o bloco atingisse uma velocidade de 03 ms nesse tempo qual deveria ser a viscosidade µ do óleo 252 Um bloco cúbico com arestas de dimensão a mm desliza sobre uma fina película de óleo em uma placa plana O óleo tem viscosidade μ e a película tem espessura h mm O bloco de massa M movese com velocidade constante U sob a ação de uma força constante F Indique o módulo e o sentido das tensões de cisalhamento atuando no fundo do bloco e na placa Esboce uma curva para a velocidade resultante do bloco em função do tempo quando a força é repentinamente removida e o bloco começa a reduzir a velocidade Obtenha uma expressão para o tempo requerido para que o bloco perca 95 de sua velocidade inicial 253 Um fio magnético deve ser revestido com verniz isolante sendo puxado através de uma matriz circular com 10 mm de diâmetro e 50 mm de comprimento O diâmetro do fio é de 09 mm e ele passa centrado na matriz O verniz μ 20 centipoise preenche completamente o espaço entre o fio e as paredes da matriz O fio é puxado a uma velocidade de 50 ms Determine a força necessária para puxar o fio através da matriz 254 Em uma planta de processamento de alimentos mel é bombeado em um espaço anular de comprimento L 2 m e com raio interno Ri 5 mm e raio externo Re 25 mm A diferença de pressão aplicada é Δp 125 kPa e a viscosidade do mel é μ 5 N sm2 O perfil teórico de velocidade para o escoamento laminar através de um espaço anular é Mostre que a condição de não deslizamento é satisfeita por essa expressão Determine a localização em que a tensão de cisalhamento é zero Determine a força viscosa atuando nas superfícies interna e externa e compare esses valores com a força ΔpπRo2 Ri2 Explique 255 Óleo SAE 10W30 a 100C é bombeado através de um tubo de comprimento L 10 m e diâmetro D 20 mm A diferença de pressão aplicada é Δp 5 kPa A linha de centro do tubo é um filamento metálico de diâmetro d 1 μm O perfil teórico de velocidade para o escoamento laminar através do tubo é Mostre que a condição de não deslizamento é satisfeita por essa expressão Determine a localização em que a tensão de cisalhamento é zero Trace os gráficos das distribuições da velocidade e da tensão Para a curva da tensão defina um limite superior de tensão de 5 Pa Discuta os resultados 256 Fluidos com viscosidades µ1 01 N sm2 eµ2 015 N sm2 estão contidos entre duas placas cada placa tem área de 1 m2 As espessuras são h1 05 mm e h2 03 mm respectivamente Determine a força F para fazer com que a placa superior se mova a uma velocidade de 1 ms Qual é a velocidade do fluido na interface entre os dois fluidos 257 Fluidos com viscosidades µ1 015 N sm2 µ2 05 N sm2 e µ3 02 N sm2 estão contidos entre duas placas cada placa tem área de 1 m2 As espessuras são h1 05 mm h2 025 mm e h3 02 mm respectivamente Determine a velocidade constante V da placa superior e as velocidades das duas interfaces causadas por uma força F 100 N Trace o gráfico da distribuição da velocidade 258 Um viscosímetro com cilindros concêntricos pode ser formado pela rotação do membro interior de um par de cilindros bem ajustados Para pequenas folgas anulares um perfil de velocidade linear pode ser considerado no líquido que preenche essa folga Um viscosímetro possui um cilindro interno de diâmetro 100 mm e altura 200 mm com a largura da folga anular de 0001 in preenchida com óleo castor a 32C Determine o torque para manter o cilindro interno girando a 400 rpm 259 Um viscosímetro de cilindros concêntricos pode ser obtido pela rotação do membro interno de um par de cilindros encaixados A folga anular entre os cilindros deve ser muito pequena de modo a desenvolver um perfil de velocidade linear na amostra líquida que preenche a folga Um viscosímetro tem um cilindro interno de 75 mm de diâmetro e altura de 150 mm com uma folga anular de 002 mm Um torque de 0021 N m é requerido para manter o cilindro girando a 100 rpm Determine a viscosidade do líquido que preenche a folga do viscosímetro 260 Um viscosímetro de cilindros concêntricos é acionado pela queda de uma massa M conectada por corda e polia ao cilindro interno conforme mostrado O líquido a ser testado preenche a folga anular de largura a e altura H Após um breve transiente de partida a massa cai a velocidade constante Vm Deduza uma expressão algébrica para a viscosidade do líquido no dispositivo em termos de M g Vm r R a e H Avalie a viscosidade do líquido empregando M 010 kg r 25 R 50 mm a 020 mm H 80 mm Vm 30 mms 261 O viscosímetro do Problema 260 está sendo usado para verificar que a viscosidade de um fluido específico é µ 01 N sm2 Infelizmente a corda se rompe durante o experimento Quanto tempo o cilindro levará para perder 99 de sua velocidade O momento de inércia do sistema cilindroroldana é 00273 kg m2 262 Um eixo com diâmetro externo de 18 mm gira a 20 rotações por segundo dentro de um mancal de sustentação estacionário de 60 mm de comprimento Uma película de óleo com espessura de 02 mm preenche a folga anular entre o eixo e o mancal O torque necessário para girar o eixo é de 00036 N m Estime a viscosidade do óleo que preenche a folga anular 263 O delgado cilindro externo massa m2 e raio R de um pequeno viscosímetro portátil de cilindros concêntricos é acionado pela queda de uma massa m1 ligada a uma corda O cilindro interno é estacionário A folga entre os cilindros é a Desprezando o atrito do mancal externo a resistência do ar e a massa do líquido no viscosímetro obtenha uma expressão algébrica para o torque devido ao cisalhamento viscoso que atua no cilindro à velocidade angular ω Deduza e resolva uma equação diferencial para a velocidade angular do cilindro externo como função do tempo Obtenha uma expressão para a velocidade angular máxima do cilindro 264 Um acoplamento imune a choques para acionamento mecânico de baixa potência deve ser fabricado com um par de cilindros concêntricos O espaço anular entre os cilindros será preenchido com óleo O dispositivo deve transmitir uma potência 10 W Outras dimensões e propriedades estão indicadas na figura do exercício Despreze qualquer atrito de mancal e efeitos de extremidade Considere que a folga mínima prática para o dispositivo seja δ 025 mm A indústria Dow fabrica fluidos à base de silicone com viscosidades tão altas quanto 106 centipoises Determine a viscosidade que deverá ser especificada de modo a satisfazer os requisitos desse dispositivo 265 Um eixo circular de alumínio montado sobre um mancal de sustentação estacionário é mostrado A folga simétrica entre o eixo e o mancal está preenchida com óleo SAE 10W30 a T 30ºC O eixo é posto em rotação pela massa e corda a ele conectadas Desenvolva e resolva uma equação diferencial para a velocidade angular do eixo como função do tempo Calcule a velocidade angular máxima do eixo e o tempo requerido para ele atingir 95 dessa velocidade 266 Foi proposto empregar um par de discos paralelos para medir a viscosidade de uma amostra líquida O disco superior gira a uma altura h acima do disco inferior A viscosidade do líquido na folga deve ser calculada a partir de medições do torque necessário para girar o disco superior continuamente em regime permanente Obtenha uma expressão algébrica para o torque necessário para girar o disco superior Esse dispositivo poderia ser utilizado para medir a viscosidade de um fluido não newtoniano Explique 267 O viscosímetro de cone e placa mostrado é um instrumento frequentemente usado para caracterizar fluidos não newtonianos Ele consiste em uma placa plana e em um cone giratório com ângulo muito obtuso θ é tipicamente inferior a 05 Apenas o ápice do cone toca a superfície da placa e o líquido a ser testado preenche a estreita fenda formada pelas duas peças Deduza uma expressão para a taxa de cisalhamento no líquido que preenche a fenda em termos da geometria do sistema Avalie o torque de acionamento do cone em termos da tensão de cisalhamento e da geometria do sistema 268 O viscosímetro do Problema 267 foi usado para medir a viscosidade aparente de um fluido Os dados abaixo foram obtidos Que tipo de fluido não newtoniano é este Determine os valores para k e n usados nas Eqs 216 e 217 de definição da viscosidade aparente de um fluido Considere θ igual a 05º Avalie a viscosidade a 90 e a 100 rpm Velocidade rpm 10 20 30 40 50 60 70 80 μ N sm2 0121 0139 0153 0159 0172 0172 0183 0185 269 Uma empresa de isolamento está examinando um novo material para extrusão em cavidades Os dados experimentais são fornecidos a seguir para a velocidade U da placa superior que é separada de uma placa fixa inferior por uma amostra do material com 1 mm de espessura quando uma dada tensão de cisalhamento é aplicada Determine o tipo de material Se um material substituto com um limite de escoamento mínimo de 250 Pa for necessário que viscosidade o material deverá ter para apresentar o mesmo comportamento a uma tensão de cisalhamento de 450 Pa τPa 50 100 150 163 171 170 202 246 349 444 Ums 0 0 0 0005 001 0025 005 01 02 03 270 Um viscosímetro é usado para medir a viscosidade do sangue de um paciente A taxa de deformação taxa de cisalhamento em função da tensão de cisalhamento é apresentada a seguir Trace um gráfico da viscosidade aparente em função da taxa de deformação Determine o valor de k e n na Eq 217 e a partir desse valor examine o aforismo o sangue é mais grosso do que a água duldy s1 5 10 25 50 100 200 300 400 τ Pa 00457 0119 0241 0375 0634 106 146 178 271 Uma embreagem viscosa deve ser feita de um par de discos paralelos muito próximos com uma fina camada de líquido viscoso entre eles Desenvolva expressões algébricas para o torque e a potência transmitida pelo par de discos em termos da viscosidade do líquido μ do raio dos discos R do afastamento entre eles a e das velocidades angulares ωi do disco interno e ω0 do disco externo Desenvolva também expressões para a razão de deslizamento s Δωωi em termos de ωi e do torque transmitido Determine a eficiência η em termos da razão de deslizamento 272 Um viscosímetro de cilindros concêntricos é mostrado O torque viscoso é produzido pela folga anular em torno do cilindro interno Um torque viscoso adicional é produzido pelo fundo plano do cilindro interno à medida que gira acima do fundo plano do cilindro externo estacionário Obtenha expressões algébricas para o torque viscoso devido ao escoamento na folga anular de largura a e para o torque viscoso devido ao escoamento na folga do fundo de altura b Faça um gráfico mostrando a razão ba necessária para manter o torque do fundo a 1 ou menos do torque do espaço anular versus as outras variáveis geométricas Quais são as implicações do projeto Que modificações no projeto você recomendaria 273 Um viscosímetro é construído de um eixo de ponta cônica que gira em um mancal cônico como mostrado A folga entre o eixo e o mancal é preenchida com uma amostra do óleo de teste Obtenha uma expressão algébrica para a viscosidade μ do óleo como função da geometria do viscosímetro H a e θ da velocidade de rotação ω e do torque T aplicado Para os dados fornecidos determine com base na Figura A2 no Apêndice A o tipo de óleo para o qual o torque aplicado vale 0325 Nm O óleo está a 20C Dica Primeiro obtenha uma expressão para a tensão de cisalhamento sobre a superfície do eixo cônico como função de z 274 Projete um viscosímetro de cilindros concêntricos para medir a viscosidade de um líquido similar à água O objetivo é alcançar uma precisão de medida de 1 Especifique a configuração e dimensões do viscosímetro Indique quais os parâmetros medidos que serão utilizados para inferir a viscosidade da amostra de líquido 275 Um mancal de escora esférico é mostrado A folga entre o membro esférico e seu alojamento tem largura constante h Obtenha e faça o gráfico de uma expressão algébrica para o torque adimensional no membro esférico como uma função do ângulo α 276 Uma seção reta de um mancal giratório é mostrada O membro esférico gira com velocidade angular ω a uma pequena distância a acima da superfície plana A folga estreita é preenchida com óleo viscoso de viscosidade μ 1250 cp Obtenha uma expressão algébrica para a tensão de cisalhamento que atua no membro esférico Avalie a tensão máxima de cisalhamento que atua sobre o membro esférico para as condições mostradas A tensão máxima está necessariamente localizada no raio máximo Desenvolva uma expressão algébrica na forma de uma integral para o torque de cisalhamento viscoso total que age no membro esférico Calcule o torque utilizando as dimensões mostradas Tensão Superficial 277 Pequenas bolhas de gás são formadas quando uma garrafa ou uma lata de refrigerante é aberta O diâmetro médio de uma bolha é cerca de 01 mm Estime a diferença de pressão entre o interior e o exterior de uma dessas bolhas 278 Você pretende colocar cuidadosamente algumas agulhas de aço sobre a superfície livre da água em um grande tanque As agulhas vêm em dois comprimentos algumas com 5 cm e outras com 10 cm de comprimento e estão disponíveis nos diâmetros de 1 mm 25 mm e 5 mm Faça uma previsão de quais agulhas irão flutuar se é que alguma delas flutuará 279 De acordo com Folsom 6 a elevação capilar Δh mm de uma interface águaar em um tubo é correlacionada pela seguinte expressão empírica Δh AebD no qual D mm é o diâmetro do tubo A 0400 e b 437 Você faz um experimento para medir Δh em função de D e obtém D mm 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 Δh mm 58 46 225 148 130 083 043 025 015 01 008 Quais são os valores de A e b que melhor ajustam esses dados usando a ferramenta linha de tendência do Excel 280 Encha lentamente um copo de vidro com água até o máximo nível possível Observe o nível da água bem de perto Explique agora como esse nível pode ser superior ao da borda do copo 281 Planeje um experimento para medir a tensão superficial de um líquido similar à água O filme da NCFMF Surface Tension pode ajudar no desenvolvimento de ideias Qual método seria mais adequado para uso em um laboratório de graduação Qual a precisão esperada no experimento Descrição e Classificação de Movimentos de Fluidos 282 A água é normalmente considerada como um fluido incompressível quando se avaliam variações na pressão estática Na verdade a água é 100 vezes mais compressível que o aço Considerando que o módulo de compressibilidade da água seja constante calcule a variação percentual na sua massa específica para um aumento na pressão de 10 MPa Trace um gráfico mostrando a variação percentual na massa específica da água como função de ppatm até a pressão de 350 MPa que é aproximadamente a pressão utilizada em jatos líquidos de alta velocidade para corte de concreto e de outros materiais compostos A hipótese de massa específica constante seria razoável em cálculos de engenharia para jatos de corte 283 O perfil de velocidade da camadalimite viscosa mostrado na Fig 215 pode ser aproximado por uma equação parabólica A condição limite é u U a velocidade da corrente livre na borda limite θ onde o atrito viscoso se torna zero Determine os valores de a b e c 284 O perfil de velocidade da camadalimite viscosa mostrado na Fig 215 pode ser aproximado por uma equação cúbica A condição limite é u U a velocidade da corrente livre na borda limite θ onde o atrito viscoso tornase zero Determine os valores de a b e c 285 A que velocidade mínima em kmh um automóvel teria que viajar para que os efeitos de compressibilidade fossem importantes Considere que a temperatura local do ar atmosférico seja de 155C 286 Em um processo da indústria de alimentos tetracloreto de carbono a 20C escoa através de um bocal cônico de um diâmetro de entrada De 50 mm para um diâmetro de saída Ds A área varia linearmente com a distância ao longo do bocal e a área de saída é um quinto da área de entrada o comprimento do bocal é 250 mm A vazão é Q 2 Lmin Para o processo é importante que o escoamento na saída seja turbulento Ele é Se sim em que ponto ao longo do bocal o escoamento tornase turbulento 287 Qual é o número de Reynolds da água a 20C escoando a 025 ms através de tubo de diâmetro 5 mm Se agora o tubo for aquecido a que temperatura média da água irá ocorrer a transição do escoamento para turbulento Considere que a velocidade do escoamento permaneça constante 288 Uma aeronave supersônica viaja a 2700 kmh em uma altitude de 27 km Qual é o número de Mach da aeronave A que distância aproximada medida a partir da borda de ataque da asa da aeronave a camadalimite deve mudar de laminar para turbulenta 289 Óleo SAE 30 a 100ºC escoa através de um tubo de aço inoxidável com 12 mm de diâmetro Qual é a gravidade específica e o peso específico do óleo Se o óleo descarregado do tubo enche um cilindro graduado com 100 ml em 9 segundos o escoamento é laminar ou turbulento 290 Um hidroavião voa a 160 kmh através do ar a 7ºC A que distância da borda de ataque do lado inferior da fuselagem a camadalimite deve passar do regime laminar para turbulento Como essa transição do regime da camadalimite muda conforme o lado inferior da aeronave toca na água durante a aterrissagem Considere que a temperatura da água também é 7C 291 Um avião está em voo de cruzeiro a uma altitude de 55 km com uma velocidade de 700 kmh Conforme o avião aumenta a altitude a sua velocidade é ajustada de modo que o número de Mach permaneça constante Faça um esboço da velocidade em função da atitude Qual é a velocidade do avião a uma altitude de 8 km 292 Como as asas de um aeroplano desenvolvem sustentação 1A STP Standard Temperature and Pressure ou CPPT CondiçãoPadrão de Temperatura e Pressão para o ar corresponde a 15ºC 288K e 1013 kPa absolutos 2Aproximadamente 6 108 m na CPPT para moléculas de gás que se comportam como gás ideal 1 Muitos autores usam apenas o termo densidade com a notação d no lugar de densidade relativa ou gravidade específica NT 3Alguns autores preferem classificar um escoamento como uni bi ou tridimensional em função do número de coordenadas espaciais necessárias para se especificar todas as propriedades do fluido Neste texto a classificação dos campos de escoamento terá como base o número de coordenadas espaciais necessárias para especificar apenas o campo de velocidade 4Isto pode parecer uma simplificação não realista mas na verdade muitas vezes conduz a resultados de precisão aceitável Considerações amplas como essa de escoamento uniforme em uma seção transversal devem ser aplicadas sempre com cautela a fim de assegurar que o modelo analítico do escoamento real seja razoável 5 Marca registrada E I du Pont de Nemours Company Estática dos Fluidos 31 A Equação Básica da Estática dos Fluidos 32 A AtmosferaPadrão 33 Variação de Pressão em um Fluido Estático 34 Sistemas Hidráulicos 35 Forças Hidrostáticas sobre Superfícies Submersas 36 Empuxo e Estabilidade 37 Fluidos em Movimento de Corpo Rígido no site da LTC Editora 38 Resumo e Equações Úteis Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente Energia das Ondas Wavebob Os seres humanos têm se interessado por séculos em tomar a imensa energia do oceano mas com os combustíveis fósseis óleo e gás se esgotando o desenvolvimento de tecnologias para aproveitar a energia do oceano está se tornando importante Em particular a energia das ondas é atrativa para diversos países com acesso a fontes convenientes Acreditase que do ponto de vista geográfico e comercial os mais ricos recursos atualmente conhecidos de energia das ondas estão na costa da Europa banhada pelo oceano Atlântico em particular perto da Irlanda do Reino Unido e de Portugal na costa oeste da América do Norte de São Francisco até Colúmbia Britânica Havaí e Nova Zelândia Uma família de dispositivos chamados absorvedores pontuais está sendo desenvolvida por diversas empresas Esses dispositivos são normalmente simétricos em relação a um eixo vertical e por definição são pequenos em comparação com o comprimento de onda das ondas que eles são projetados para explorar Os dispositivos normalmente operam em um modo de oscilação vertical frequentemente referido como heave um flutuador penetrante na superfície sobe e desce conforme as ondas passam e reage contra o fundo do mar ou algo ligado a ele Em última análise estes dispositivos dependem de uma força de empuxo um dos tópicos deste capítulo Uma empresa chamada Wavebob Ltd desenvolveu um dos modelos mais simples desses dispositivos Inovador e epônimo conforme mostra a figura o dispositivo está provando ser um sucesso para extrair a energia das ondas Embora a figura não indique o tamanho do dispositivo ele é bastante grande a câmara superior possui um diâmetro de 20 m Ela parece apenas uma boia qualquer flutuando sobre a superfície mas embaixo dela existe constante captação de energia O componente inferior do Wavebob é amarrado ao fundo do oceano e assim permanece em sua posição vertical enquanto a seção na superfície oscila em consequência das ondas que passam sobre ela Por isso a distância entre os dois componentes varia constantemente com uma força significativa entre eles assim trabalho pode ser realizado sobre um gerador elétrico Os dois componentes do mecanismo contêm sistemas eletrônicos que podem ser controlados remotamente ou autorregulados e estes fazem o mecanismo interno reagir automaticamente a variações nas condições do oceano e das ondas retornando conforme necessário para que em todos os momentos a máxima quantidade de energia seja captada Esse dispositivo já foi testado na costa do oceano Atlântico da Irlanda e é projetado para ter uma vida útil de 25 anos e ser capaz de sobreviver às piores tempestades Esperase que cada Wavebob produza em torno de 500 kW de potência ou mais eletricidade suficiente para mais de mil casas pretendese que ele seja parte de um grande conjunto de tais dispositivos Parece provável que esse dispositivo se tornará onipresente porque é relativamente barato demanda pouca manutenção é durável e necessita de uma pequena área Desenho esquemático de um Wavebob figura cortesia da Gráinne Byrne Wavebob Ltd No Capítulo 1 definimos um fluido como qualquer substância que escoa deforma continuamente quando sofre uma tensão de cisalhamento portanto em um fluido em repouso ou em movimento de corpo rígido apenas tensão normal está presente ou em outras palavras pressão Neste capítulo estudaremos a estática dos fluidos frequentemente chamada de hidrostática apesar de ela não ser restrita ao estudo da água Embora os problemas de estática dos fluidos sejam do tipo mais simples da mecânica dos fluidos esta não é a única razão pela qual vamos estudálos A pressão gerada no interior de um fluido estático é um fenômeno importante em muitas situações práticas Usando os princípios da hidrostática nós podemos calcular forças sobre objetos submersos desenvolver instrumentos para medir pressões e deduzir propriedades da atmosfera e dos oceanos Os princípios da hidrostática também podem ser usados para determinar as forças desenvolvidas por sistemas hidráulicos em aplicações como prensas industriais ou freios de automóveis Em um fluido homogêneo e estático ou em movimento de corpo rígido uma partícula fluida mantém sua identidade por todo o tempo e os elementos do fluido não se deformam Nós podemos aplicar a segunda lei de Newton do movimento para avaliar as forças agindo sobre a partícula do fluido 31 A Equação Básica da Estática dos Fluidos O primeiro objetivo deste capítulo é obter uma equação para calcular o campo de pressão em um fluido estático Vamos deduzir o que já sabemos da experiência do dia a dia a pressão aumenta com a profundidade Para isso aplicamos a segunda lei de Newton a um elemento de fluido diferencial de massa dm ρd com lados dx dy e dz conforme mostrado na Fig 31 O elemento fluido está em repouso em relação ao sistema inercial de coordenadas retangulares mostrado Fluidos em movimento de corpo rígido serão abordados na Seção 37 no site da LTC Editora para este livro Fig 31 Elemento fluido diferencial de forças de pressão na direção y De nossas discussões anteriores vamos relembrar os dois tipos genéricos de forças que podem ser aplicados a um fluido forças de campo ou de ação a distância e forças de superfície ou de contato A única força de campo que deve ser considerada na maioria dos problemas de engenharia é aquela decorrente da gravidade Em algumas situações forças causadas por campos elétricos ou magnéticos podem estar presentes elas não serão consideradas neste texto Para um elemento de fluido diferencial a força de campo é em que é o vetor gravidade local ρ é a massa específica e d é o volume do elemento Em coordenadas cartesianas de modo que Em um fluido estático nenhuma tensão de cisalhamento pode estar presente Então a única força de superfície é a força de pressão A pressão é um campo escalar p px y z de modo geral esperamos que a pressão varie com a posição dentro do fluido A força líquida de pressão que resulta dessa variação pode ser avaliada pela soma de todas as forças que atuam nas seis faces do elemento fluido Seja p a pressão no centro e O a do elemento Para determinar a pressão em cada uma das seis faces do elemento utilizamos uma expansão em séries de Taylor da pressão em torno do ponto O A pressão na face esquerda do elemento diferencial é Os termos de ordem superior são omitidos porque desaparecerão no processo subsequente do desenvolvimento A pressão na face direita do elemento diferencial é VÍDEO CLÁSSICO Magnetohidrodinâmica em inglês As forças de pressão atuando nas duas superfícies y do elemento diferencial são mostradas na Fig 31 Cada força de pressão é um produto de três fatores O primeiro é o módulo da pressão Esse módulo é multiplicado pela área da face para dar o módulo da força de pressão e um vetor unitário é introduzido para indicar o sentido Note também na Fig 31 que a força de pressão em cada face atua contra a face Uma pressão positiva corresponde a uma tensão normal de compressão As forças de pressão sobre as outras faces do elemento são obtidas do mesmo modo Combinando todas essas forças obtemos a força superficial líquida ou resultante agindo sobre o elemento Assim Agrupando e cancelando os termos obtemos O termo entre parênteses é denominado gradiente da pressão ou simplesmente gradiente de pressão e pode ser escrito como grad p ou p Em coordenadas retangulares O gradiente pode ser visto como um operador vetorial tomando o gradiente de um campo escalar obtémse um campo vetorial Usando a designação de gradiente a Eq 3la pode ser escrita como Fisicamente o gradiente de pressão é o negativo da força de superfície por unidade de volume devido à pressão Note que o nível de pressão não é importante na avaliação da força resultante da pressão em vez disso o que importa é a taxa de variação da pressão com a distância o gradiente de pressão Encontraremos esse termo várias vezes ao longo do nosso estudo de mecânica dos fluidos Combinamos as formulações desenvolvidas para as forças de superfície e de campo de modo a obter a força total atuando sobre um elemento fluido Assim ou por unidade de volume Para uma partícula fluida a segunda lei de Newton fornece Para um fluido estático 0 Então Substituindo d d na Eq 32 obtemos Façamos uma breve revisão dessa equação O significado físico de cada termo é Essa é uma equação vetorial o que significa que ela é equivalente a três equações de componentes que devem ser satisfeitas individualmente As equações de componentes são As Eqs 34 descrevem a variação de pressão em cada uma das três direções dos eixos coordenados em um fluido estático É conveniente escolher um sistema de coordenadas no qual o vetor gravidade esteja alinhado com um dos eixos de coordenadas Se o sistema de coordenadas for escolhido com o eixo z apontando verticalmente para cima como mostrado na Fig 31 então gx 0 gy 0 gz g Sob tais condições as equações das componentes tornamse As Eqs 35 indicam que com as considerações feitas a pressão é independente das coordenadas x e y ela depende de z apenas Portanto como p é uma função de uma só variável a derivada total pode ser usada no lugar da derivada parcial Com essas simplificações as Eqs 35 reduzemse finalmente a Restrições 1 Fluido estático 2 A gravidade é a única força de campo 3 O eixo z é vertical e voltado para cima Na Eq 36 γ é o peso específico do fluido Essa equação é a relação básica pressãoaltura da estática dos fluidos Ela está sujeita às restrições mencionadas Portanto essa equação deve ser aplicada somente quando tais restrições forem razoáveis para a situação física Para determinar a distribuição de pressão em um fluido estático a Eq 36 pode ser integrada aplicandose em seguida as condições de contorno apropriadas Antes de considerarmos aplicações específicas dessa equação é importante relembrar que os valores de pressão devem ser estabelecidos em relação a um nível de referência Se o nível de referência for o vácuo as pressões são denominadas absolutas como mostrado na Fig 32 A maioria dos medidores de pressão indica uma diferença de pressão a diferença entre a pressão medida e aquela do ambiente usualmente a pressão atmosférica Os níveis de pressão medidos em relação à pressão atmosférica são denominados pressões manométricas Assim pmanométrica pabsoluta patmosférica Por exemplo uma medida manométrica poderia indicar 207 kPa a pressão absoluta seria próxima de 308 kPa Pressões absolutas devem ser empregadas em todos os cálculos com a equação de gás ideal ou com outras equações de estado Fig 32 Pressões absoluta e manométrica mostrando os níveis de referência 32 A AtmosferaPadrão Às vezes os cientistas e engenheiros precisam de um modelo numérico ou analítico da atmosfera da Terra para simular variações climáticas para estudar por exemplo efeitos do aquecimento global Não existe um modelopadrão simples Uma AtmosferaPadrão Internacional API foi definida pela Organização da Aviação Civil Internacional OACI existe também uma AtmosferaPadrão similar dos Estados Unidos O perfil de temperatura da AtmosferaPadrão nos EUA é mostrado na Fig 33 Valores para outras propriedades estão tabelados como funções da altitude no Apêndice A As condições da AtmosferaPadrão nos EUA ao nível do mar estão resumidas na Tabela 31 Fig 33 Variação da temperatura com a altitude na AtmosferaPadrão nos Estados Unidos Tabela 31 Condições da AtmosferaPadrão nos EUA ao nível do mar Propriedade Símbolo SI Temperatura T 15C Pressão p 1013 kPa abs Massa específica ρ 1225 kgm3 Peso específico γ Viscosidade μ 1789 105 kgm s Pa s 33 Variação de Pressão em um Fluido Estático Vimos que a variação de pressão em qualquer fluido em repouso é descrita pela relação básica pressãoaltura Embora ρg possa ser definido como o peso específico υ ele foi escrito como ρg na Eq 36 para enfatizar que ambos ρ e g devem ser considerados variáveis Na integração da Eq 36 para achar a distribuição de pressão devemos fazer considerações sobre as variações em ambos ρ e g Para a maioria das situações práticas da engenharia a variação em g é desprezível A variação em g precisa ser considerada apenas em situações de cálculo muito preciso da variação de pressão para grandes diferenças de elevação A menos que seja especificado de outra forma iremos supor que g é constante com a altitude em qualquer local dado Líquidos Incompressíveis Manômetros Para um fluido incompressível ρ constante Então considerando aceleração da gravidade constante Para determinar a variação de pressão devemos integrar e aplicar condições de contorno apropriadas Se a pressão no nível de referência z0 for designada como p0 então a pressão p no nível z é encontrada por integração ou p p0 ρgz z0 ρgz0 z Para líquidos em geral é conveniente colocar a origem do sistema de coordenadas na superfície livre nível de referência e medir distâncias para baixo a partir dessa superfície como positivas como mostrado na Fig 34 Com h medido positivo para baixo temos z0 z h e obtemos Fig 34 Uso das coordenadas z e h A Eq 37 indica que a diferença de pressão entre dois pontos em um fluido estático pode ser determinada pela medida da diferença de elevação entre os dois pontos Os dispositivos utilizados com esse propósito são chamados de manômetros A aplicação da Eq 37 a um manômetro é ilustrada no Exemplo 31 Exemplo 31 PRESSÕES SISTÓLICA E DIASTÓLICA A pressão sanguínea normal em um ser humano é de 12080 mmHg Simulando um manômetro de tubo em U como um esfigmomanômetro medidor de pressão arterial converta essas pressões para kPa Dados Pressões manométricas de 120 e 80 mmHg Determinar As pressões correspondentes em kPa Solução Aplique a equação básica da hidrostática aos pontos A A e B Equação básica Considerações 1 Fluido estático 2 Fluidos incompressíveis 3 Massa específica do ar desprezível em relação à massa específica do mercúrio Aplicando a equação governante entre os pontos A e B como pB é a pressão atmosférica o seu valor manométrico é zero Além disso a pressão aumenta quando se desce no fluido do ponto A ao fundo do manômetro e diminui de igual quantidade quando se sobe pelo ramo esquerdo até o ponto A Portanto os pontos A e A têm a mesma pressão e assim Substituindo SGHg 136 e ρH2O 1000 kgm3 do Apêndice A1 resulta para a pressão sistólica h 120 mmHg Por um processo similar a pressão diastólica h 80 mmHg é Notas Dois pontos em um mesmo nível de um fluido único contínuo têm a mesma pressão Em problemas de manômetro desprezamos variações na pressão com a altura em um gás pois ρgás ρlíquido Este problema mostra a conversão de mmHg para psi usando a Eq 37 120 mmHg é equivalente a cerca de 232 psi Generalizando as seguintes relações aproximadas são usadas em trabalhos de engenharia 1 atm 147 psi 101 kPa 760 mmHg Os manômetros são aparelhos simples e baratos usados com frequência em medições de pressão Como a mudança de nível do líquido é muito pequena para pequenas diferenças de pressão o manômetro de tubo em U pode dificultar leituras mais precisas A sensibilidade de um manômetro é uma medida do quão sensível ele é comparado a um manômetro simples de tubo em U cheio com água Especificamente a sensibilidade é definida como a razão entre a deflexão do manômetro e aquela do manômetro de tubo em U com água para uma mesma diferença de pressão Δp aplicada A sensibilidade pode ser aumentada modificandose o projeto do manômetro ou por meio do uso de dois líquidos imiscíveis com massas específicas ligeiramente diferentes A análise de um manômetro de tubo inclinado está ilustrada no Exemplo 32 Exemplo 32 ANÁLISE DE MANÔMETRO DE TUBO INCLINADO Um manômetro de reservatório com tubo inclinado é construído como mostrado Deduza uma expressão geral para a deflexão do líquido L no tubo inclinado em termos da diferença de pressão aplicada Δp Obtenha também uma expressão geral para a sensibilidade do manômetro e discuta os efeitos sobre a sensibilidade exercida nos parâmetros D d θ e SG Dados Manômetro de reservatório e tubo inclinado Determinar Expressão para L em termos de Δp Expressão geral para a sensibilidade do manômetro Efeito de valores dos parâmetros sobre a sensibilidade Solução Use o nível do líquido em equilíbrio como referência Equações básicas Considerações 1 Fluido estático 2 Fluido incompressível Aplicando as equações governantes entre os pontos 1 e 2 obtemos Para eliminar h1 usamos a condição de que o volume do líquido no manômetro permanece constante o volume deslocado do reservatório deve ser igual ao volume que sobe na coluna do tubo e então Além disso a partir da geometria do manômetro h2 L senθ Substituindo na Eq 1 resulta Então Para obter a sensibilidade do manômetro nós precisamos comparar a deflexão acima com a deflexão h de um manômetro comum de tubo em U usando água massa específica ρ e que é dada por Então a sensibilidade s é em que SGl ρlρ Essa fórmula mostra que para aumentar a sensibilidade os parâmetros SGl senθ e dD devem ser tão pequenos quanto possível Portanto o projetista do aparelho deve escolher um líquido manométrico e de dois parâmetros geométricos conforme discutido a seguir Líquido Manométrico O líquido manométrico deve ter a menor densidade relativa possível de modo a aumentar a sensibilidade do aparelho Além disso o líquido manométrico deve ser seguro não tóxico e não inflamável ser imiscível com o fluido cuja pressão se deseja medir sofrer perda mínima por evaporação e desenvolver um menisco satisfatório Portanto o líquido manométrico deve apresentar tensão superficial relativamente baixa e aceitar coloração para melhorar sua visibilidade As Tabelas A1 A2 e A4 mostram que hidrocarbonetos líquidos satisfazem muitos desses critérios A menor densidade relativa tabelada é cerca de 08 valor que aumenta a sensibilidade do manômetro em 25 em relação a água Razão de Diâmetros Os gráficos mostram o efeito da razão de diâmetros sobre a sensibilidade para um manômetro de reservatório vertical com um líquido manométrico de densidade relativa unitária Note que dD 1 corresponde a um manômetro de tubo em U ordinário a sua sensibilidade vale 05 porque para esse caso a deflexão total será h e para cada lado ela será h2 de modo que L h2 A sensibilidade dobra para 10 quando dD se aproxima de zero pois a maior parte da variação no nível do líquido ocorre no tubo de medição O diâmetro d mínimo do tubo deve ser maior que 6 mm para evitar efeito capilar excessivo O diâmetro D máximo do reservatório é limitado pelo tamanho do manômetro Se D for fixado em 60 mm de modo que dD seja 01 então dD2 será 001 e a sensibilidade aumentará para 099 bem perto do máximo valor atingível de 10 Ângulo de Inclinação O último gráfico mostra o efeito do ângulo de inclinação sobre a sensibilidade para dD 0 A sensibilidade aumenta abruptamente quando o ângulo de inclinação é reduzido para valores abaixo de 30 Um limite prático é estabelecido em torno de 10 o menisco tornase indistinto e a leitura do nível tornase difícil para ângulos menores Resumo Combinando os melhores valores SG 08 dD 01 e θ 10 obtémse uma sensibilidade de 681 para o manômetro Fisicamente essa é a razão entre a deflexão observada no líquido e a altura de coluna de água equivalente Portanto a deflexão no tubo inclinado é ampliada 681 vezes em relação àquela de uma coluna de água vertical Com a sensibilidade melhorada uma pequena diferença de pressão pode ser lida com maior precisão que em um manômetro de água ou uma menor diferença de pressão pode ser lida com a mesma precisão Neste Exemplo os gráficos foram gerados com o auxílio da planilha Excel Este aplicativo pode gerar gráficos mais detalhados mostrando curvas de sensibilidade para uma faixa de valores de dD e θ Às vezes os estudantes têm dificuldades em analisar situações de manômetros de múltiplos líquidos As seguintes regras são úteis nessas análises 1 Quaisquer dois pontos na mesma elevação em um volume contínuo do mesmo líquido estão à mesma pressão 2 A pressão cresce à medida que se desce na coluna de líquido lembrese da mudança de pressão quando se mergulha em uma piscina Para se determinar a diferença de pressão Δp entre dois pontos separados por uma série de fluidos a seguinte modificação da Eq 37 pode ser utilizada em que ρi e hi representam as massas específicas e as profundidades dos vários fluidos respectivamente Tenha cuidado na aplicação dos sinais para as alturas hi elas serão positivas para baixo e negativas para cima O Exemplo 33 ilustra o uso de um manômetro de múltiplos líquidos para medição de uma diferença de pressão Exemplo 33 MANÔMETRO DE MÚLTIPLOS LÍQUIDOS Água escoa no interior dos tubos A e B Óleo lubrificante está na parte superior do tubo em U invertido Mercúrio está na parte inferior dos dois tubos em U Determine a diferença de pressão pA pB nas unidades kPa Dados Manômetro de múltiplos líquidos conforme mostrado Determinar A diferença de pressão pA pB em kPa Solução Equações básicas Considerações 1 Fluidos estáticos 2 Fluidos incompressíveis Trabalhando do ponto B para o ponto A com a aplicação das equações básicas obtemos Essa equação também pode ser deduzida pelo uso repetido da Eq 37 na seguinte forma p2 p1 ρgh2 h1 Iniciando no ponto A e aplicando a equação entre os pontos sucessivos ao longo do manômetro obtemos pC pA ρH2Ogd1 pD pC ρHggd2 pE pD ρôleogd3 pF pE ρHggd4 pB pF ρH2Ogd5 A Eq 1 é obtida multiplicando cada uma dessas equações por 1 e somandoas em seguida Substituindo ρ SGρH2O com SGHg 136 e SGóleo 088 Tabela A2 resulta Este Exemplo ilustra o uso das Eqs 37 e 38 O emprego de uma ou de outra é uma questão de preferência pessoal A pressão atmosférica pode ser obtida por um barômetro no qual a altura de uma coluna de mercúrio é medida A altura medida pode ser convertida para pressão usando a Eq 37 e os dados de densidade relativa do mercúrio apresentados no Apêndice A como discutido nas Notas do Exemplo 31 Embora a pressão de vapor do mercúrio possa ser desprezada nos trabalhos de precisão correções de temperatura e altitude devem ser aplicadas ao valor do nível medido e os efeitos de tensão superficial também devem ser considerados O efeito capilar em um tubo causado pela tensão superficial foi ilustrado no Exemplo 23 Gases Em muitos problemas práticos de engenharia a massa específica varia consideravelmente com a altitude e resultados precisos requerem que essa variação seja levada em consideração A variação da pressão em um fluido compressível pode ser avaliada pela integração da Eq 36 se a massa específica for expressa como uma função de p ou z Uma equação de estado ou uma informação de propriedades pode ser usada para a obtenção da correlação requerida para a massa específica Diversos tipos de variação de propriedades podem ser analisados Veja Exemplo 34 A massa específica de gases depende geralmente da pressão e da temperatura A equação de estado de gás ideal em que R é a constante universal dos gases veja Apêndice A e T a temperatura absoluta modela com exatidão o comportamento de grande parte dos gases em condições usadas em engenharia Entretanto o uso da Eq 11 introduz a temperatura do gás como uma variável adicional Então uma hipótese adicional deve ser feita sobre a variação da temperatura antes da integração da Eq 36 Na AtmosferaPadrão dos EUA a temperatura decresce linearmente com a altitude até uma elevação de 110 km Para uma variação linear de temperatura com a altitude dada por T T0 mz obtemos a partir da Eq 36 Separando as variáveis e integrando de z 0 em que p p0 até a elevação z em que a pressão é p resulta Então e a variação da pressão em um gás cuja temperatura varia linearmente com a elevação é dada por Exemplo 34 VARIAÇÃO DA PRESSÃO E DA MASSA ESPECÍFICA NA ATMOSFERA A máxima capacidade de fornecimento de potência de um motor de combustão interna decresce com a altitude porque a massa específica do ar e portanto a vazão mássica de ar decresce Um caminhão parte de Denver elevação de 1610 m em um dia em que a temperatura e a pressão barométrica são respectivamente 27C e 630 mm de mercúrio Ele passa por Vail Pass elevação de 3230 mm onde a temperatura é de 17C Determine a pressão barométrica em Vail Pass e a variação percentual na massa específica do ar entre as duas cidades Dados Caminhão trafega de Denver para Vail Pass Denver z 1610 m Vail Pass z 3230 m p 630 mmHg T 17C T 27C Determinar A pressão atmosférica em Vail Pass A variação percentual na massa específica do ar entre Denver e Vail Pass Solução Equações básicas Considerações 1 Fluido estático 2 O ar comportase como um gás ideal Vamos considerar quatro hipóteses para as variações de propriedades com a altitude a Supondo que a massa específica varie linearmente com a altitude a Eq 39 fornece A avaliação da constante m dá e Então e Note que a temperatura deve ser expressa como uma temperatura absoluta na equação de gás ideal A variação percentual na massa específica é dada por b Supondo a massa específica do ar constante e igual a ρ0 temos c Supondo a temperatura constante temos e Para T constante T0 d Supondo uma atmosfera adiabática pρk constante e assim Podemos notar que para variações modestas na altitude a pressão predita não é muito dependente da forma suposta para a variação de propriedades os valores calculados para as quatro diferentes hipóteses apresentam um desvio máximo em torno de 9 Há um desvio consideravelmente maior na variação percentual da massa específica A hipótese de variação linear da temperatura com a altitude é a suposição mais razoável Este Exemplo ilustra o uso da equação de gás ideal com a relação básica pressãoaltura para obter a variação na pressão atmosférica com a altura sob várias hipóteses atmosféricas VÍDEO Amplificação de Força Hidráulica em inglês 34 Sistemas Hidráulicos Os sistemas hidráulicos são caracterizados por pressões muito elevadas de modo que as variações de pressão hidrostática podem ser frequentemente desprezadas Os freios hidráulicos automotivos desenvolvem pressões de até 10 MPa sistemas de atuação hidráulica de aviões e máquinas são frequentemente projetados para pressões de até 40 MPa e os macacos hidráulicos usam pressões de até 70 MPa Equipamentos de testes de laboratório para tarefas especiais são comercialmente disponíveis para uso com pressões de até 1000 MPa Embora os líquidos sejam geralmente considerados incompressíveis sob pressões ordi nárias variações em suas massas específicas podem ser apreciáveis sob pressões elevadas Os módulos de compressibilidade de fluidos hidráulicos sob pressões elevadas também podem apresentar variação acentuada Nos problemas de escoamento transiente tanto a compressibilidade do fluido quanto a elasticidade da estrutura envoltória por exemplo paredes de tubo devem ser consideradas A análise de problemas tais como ruído de golpe de aríete e vibração em sistemas hidráulicos atuadores e amortecedores de choque é complexa e está além do escopo deste livro 35 Forças Hidrostáticas sobre Superfícies Submersas Agora que já determinamos a maneira pela qual a pressão varia em um fluido estático podemos examinar a força que atua sobre uma superfície submersa em um líquido Para determinar completamente a resultante de força atuando sobre uma superfície submersa devemos especificar 1 O módulo da força 2 O sentido da força 3 A linha de ação da força Consideraremos tanto superfícies submersas planas quanto curvas Força Hidrostática sobre uma Superfície Plana Submersa A Fig 35 mostra uma superfície plana submersa em cuja face superior nós queremos achar a força hidrostática resultante As coordenadas foram escolhidas de modo que a superfície situase no plano xy e a origem O está localizada na interseção da superfície plana ou de sua extensão com a superfície livre Além do módulo da força resultante FR também desejamos localizar o ponto de coordenadas x y de aplicação dessa força sobre a superfície Como não há tensões de cisalhamento em um fluido em repouso a força hidrostática sobre qualquer elemento da superfície age normalmente à superfície A força de pressão atuando sobre um elemento dA dx dy da face superior é dada por dF p dA Fig 35 Superfície submersa plana A força resultante agindo sobre a superfície é encontrada somando as contribuições das forças infinitesimais sobre a área inteira Normalmente quando somamos forças devemos fazêlo utilizando a soma de vetores Neste caso contudo todas as forças infinitesimais são perpendiculares ao plano Portanto a força resultante também o será O seu módulo é dado por Para avaliar a integral da Eq 3l0a tanto a pressão p quanto o elemento de área dA devem ser expressos em termos das mesmas variáveis Podemos usar a Eq 37 para expressar a pressão p em uma profundidade h do líquido como p p0 pgh Nesta expressão p0 é a pressão na superfície livre h 0 Temos ainda da geometria do sistema que h y senθ Substituindo essa expressão e a equação anterior da pressão na Eq 310a obtemos A integral é o primeiro momento de área da superfície em torno do eixo x que pode ser escrita como em que yc é a coordenada y do centroide da área A Então FR p0A pg seb θ ycA p0 ρghcA ou Fig 36 Distribuição de pressão sobre uma superfície submersa plana em que pc é a pressão absoluta no líquido na posição do centroide de área A A Eq 310b exprime a força resultante devido ao líquido incluindo o efeito da pressão ambiente p0 sobre um lado de uma superfície plana submersa Ela não leva em conta qualquer pressão ou distribuição de forças que eventualmente existam no outro lado da superfície submersa Entretanto se a mesma pressão p0 da superfície livre do líquido existir no lado externo da superfície conforme mostrado na Fig 36 seu efeito sobre FR é cancelado e se desejamos obter a força líquida sobre a superfície podemos usar a Eq 310b com pc expresso como uma pressão manométrica em vez de pressão absoluta Para o cálculo de FR podemos usar a integral da Eq 310a ou a Eq 310b resultante É importante notar que embora a força resultante possa ser calculada a partir da pressão no centro da placa centroide da área esse não é o seu ponto de aplicação Nossa próxima tarefa é determinar x y a localização do ponto de aplicação da força resultante Vamos primeiramente obter y reconhecendo que o momento da força resultante em torno do eixo x deve ser igual ao momento devido à força distribuída da pressão Tomando a soma isto é integral dos momentos das forças infinitesimais dF em torno do eixo x nós obtemos Como feito anteriormente podemos fazer a integração expressando p como uma função de y A primeira integral é como já definimos igual a ycA A segunda A y2 dA é o segundo momento de área em torno do eixo x Ixx Podemos usar o teorema dos eixos paralelos translação de eixo Ixx I Ayc2 para substituir Ixx pelo segundo momento de áreapadrão em torno do eixo x com origem do centroide Usando essas relações obtemos Finalmenteobtemos para y A Eq 311b é conveniente para o cálculo da coordenada y do ponto de aplicação da força sobre o lado submerso da superfície quando se deseja incluir a pressão ambiente p0 Se esta mesma pressão atua sobre o outro lado da superfície podemos usar a Eq 310b desprezando p0 no cálculo da força líquida FR pcmanométrica A ρghc A ρgycsen θ A e a Eq 311b tornase neste caso A Eq 311a é a equação integral para o cálculo da localização y da força resultante A Eq 311b é uma forma algébrica útil para calcular y quando se está interessado na força resultante sobre o lado submerso da superfície a Eq 311c é conveniente para calcular y quando o interesse é na força líquida no caso em que a mesma pressão p0 atua sobre os dois lados da superfície submersa Para problemas em que a pressão sobre o outro lado da superfície não é p0 podemos ou analisar cada um dos lados da superfície separadamente ou reduzir as duas distribuições de pressão a uma distribuição líquida de pressão Isso corresponde em efeito a criar um sistema para ser resolvido usando a Eq 310b com a pressão pc expressa como uma pressão manométrica Note que em qualquer situação y yc a localização do ponto de aplicação da força é sempre abaixo do centroide Isto faz sentido como mostra a Fig 36 as pressões serão sempre maiores nas regiões mais baixas deslocando a força resultante para abaixo do plano Uma análise similar pode ser feita para calcular x a coordenada x do ponto de aplicação da força resultante sobre a superfície Tomando a soma dos momentos das forças infinitesimais dF em torno do eixo y obtemos Podemos expressar p como uma função de y como antes A primeira integral é xcA em que xc é a distância do centroide medida a partir do eixo y A segunda integral é A xy dA Ixy Usando ainda o teorema dos eixos paralelos Ixy I ŷ Axc yc encontramos Finalmente obtemos para x A Eq 312b é conveniente para calcular x quando se deseja incluir a pressão ambiente p0 Quando a pressão ambiente age sobre o outro lado da superfície podemos de novo usar a Eq 310b desprezando p0 no cálculo da força líquida e a Eq 312b tornase neste caso A Eq 312a é a equação integral para o cálculo da localização x da força resultante A Eq 312b pode ser usada nos cálculos em que há interesse na força apenas sobre o lado submerso A Eq 312c é útil quando o que interessa é a força líquida e a pressão p0 atua sobre os dois lados da superfície submersa Em resumo as Eqs 310 a 312 constituem um conjunto completo de equações para o cálculo do módulo e localização da força resultante devido à pressão hidrostática sobre uma superfície plana submersa A direção da força será sempre perpendicular ao plano da superfície Podemos agora considerar diversos exemplos usando essas equações No Exemplo 35 nós usamos ambos os conjuntos de equações integrais e algébricas Exemplo 35 FORÇA RESULTANTE SOBRE UMA SUPERFÍCIE PLANA INCLINADA SUBMERSA A superfície inclinada mostrada articulada ao longo de A tem 5 m de largura Determine a força resultante FR da água e do ar sobre a superfície inclinada Dados Comporta retangular articulada ao longo de A w 5 m Determinar A força resultante FR da água e do ar sobre a comporta Solução Para determinar FR completamente devemos encontrar a o módulo e b a linha de ação da força o sentido da força é o da normal à superfície em uma convenção de compressão Resolveremos este problema usando i integração direta e ii as equações algébricas Integração Direta Equações básicas Como a pressão atmosférica p0 age sobre ambos os lados da placa fina o seu efeito é cancelado Assim podemos trabalhar com a pressão hidrostática manométrica p ρgh Além disso embora pudéssemos integrar usando a variável y será mais conveniente definir aqui uma variável η conforme mostrado na figura Usando η para obter expressões para h e dA resulta h D ηsen30 e dA w dη Substituindo essas equações na equação básica para a força resultante obtemos Para a localização da força calculamos η a distância medida a partir da borda superior da placa Então Ainda da consideração de momentos sobre o eixo y em torno da articulação A No cálculo do momento das forças distribuídas lado direito da equação lembrese dos estudos anteriores de estática que o centroide do elemento de área deve ser usado para x O valor de x medido a partir de A em uma normal ao plano da figura para dentro dela pode ser tomado igual a w2 pois o elemento de área tem largura constante Assim Equações Algébricas Ao usar as equações algébricas devemos tomar cuidado para selecionar o conjunto adequado de equações Neste problema temos que p0 patm em ambos os lados da placa de forma que a Eq 310b com pc como uma pressão manométrica pode ser usada para avaliar a força líquida Esta é a mesma expressão que foi obtida por integração direta A coordenada y do centro de pressão é dada pela Eq 311c Para a comporta retangular inclinada temos A coordenada x do centro de pressão é dada pela Eq 312c Para a comporta retangular Este Exemplo ilustra O uso de equações algébricas e integrais O uso de equações algébricas no cálculo da força líquida Exemplo 36 FORÇA SOBRE UMA SUPERFÍCIE VERTICAL PLANA SUBMERSA COM PRESSÃO MANOMÉTRICA DIFERENTE DE ZERO NA SUPERFÍCIE LIVRE A porta mostrada na lateral do tanque é articulada ao longo da sua borda inferior Uma pressão de 4790 Pa manométrica é aplicada na superfície livre do líquido Determine a força Ft requerida para manter a porta fechada Dados Porta conforme o mostrado na figura Determinar A força necessária para manter a porta fechada Solução Este problema requer um diagrama de corpo livre DCL da porta As distribuições de pressão sobre os lados interno e externo da porta levarão à força líquida e à sua localização que será incluída no DCL Devemos ser cuidadosos na escolha do conjunto de equações para os cálculos da força resultante e de sua localização Podemos usar tanto pressões absolutas como no DCL da esquerda e calcular duas forças uma sobre cada lado ou pressões manométricas e calcular apenas uma força como no DCL da direita Para simplificar usaremos pressões manométricas Nesse caso o DCL da direita deixa claro que devemos usar as Eqs 310b e 311b que foram deduzidas para problemas nos quais desejamos incluir os efeitos de uma pressão ambiente p0 ou em outras palavras para problemas em que temos uma pressão manométrica diferente de zero na superfície livre As componentes da força devido à articulação são Ay e Az A força Ft pode ser determinada tomando momentos em torno da articulação A a dobradiça Equações básicas A força resultante e sua localização são e Tomando os momentos em torno do ponto A Substituindo essa equação nas Eqs 1 e 2 encontramos Poderíamos ter resolvido este problema considerando as duas distribuições distintas de pressão sobre cada um dos lados da porta resultando em duas forças resultantes e suas localizações A soma dos momentos dessas forças sobre o ponto A daria o mesmo resultado para a força resultante Ft veja Problema 359 Note também que a Eq 3 poderia ter sido obtida diretamente sem determinar separadamente FR e y pelo método de integração direta Este Exemplo ilustra O uso de equações algébricas para pressões manométricas diferentes de zero na superfície livre do líquido O uso da equação de momento da estática no cálculo da força aplicada requerida Força Hidrostática sobre uma Superfície Curva Submersa Para superfícies curvas deduziremos novamente expressões para a força resultante por integração da distribuição de pressões sobre a superfície Contudo diferentemente da superfície plana temos um problema mais complicado a força de pressão é normal à superfície em cada ponto mas agora os elementos infinitesimais de área apontam em diversas direções por causa da curvatura da superfície Isso significa que em vez de integrar sobre um elemento de área dA nós devemos integrar sobre o elemento vetorial d Inicialmente isso levará a uma análise mais complicada porém veremos que uma técnica simples para a solução será desenvolvida Considere a superfície curva mostrada na Fig 37 A força de pressão agindo sobre o elemento de área d é dada por d p d em que o sinal menos indica que a força age sobre a área em sentido oposto ao da normal da áreaA força resultante é dada por Podemos escrever em que FRx FRy e FRz são as componentes de R nas direções positivas de x y e z respectivamente Para avaliar a componente da força em uma dada direção tomamos o produto escalar da força pelo vetor unitário na direção considerada Por exemplo tomando o produto escalar em cada lado da Eq 3l3 com vetor unitário î obtemos em que dAx é a projeção de d sobre um plano perpendicular ao eixo x veja a Fig 37 e o sinal menos indica que a componente x da força resultante é no sentido de x negativo Em qualquer problema como o sentido da componente da força pode ser determinado por inspeção o emprego de vetores não é necessário Em geral o módulo da componente da resultante na direção l é dado por em que dAl é a projeção do elemento de área dA sobre um plano perpendicular à direção l A linha de ação de cada componente da força resultante é encontrada reconhecendo que o momento da componente da força resultante em relação a um dado eixo deve ser igual ao momento da componente da força distribuída correspondente em relação ao mesmo eixo A Eq 314 pode ser utilizada para avaliar as forças horizontais FRx e FRy Assim nós chegamos ao resultado interessante de que a força horizontal e sua localização Fig 37 Superfície submersa curva Fig 38 Forças sobre superfície submersa curva são as mesmas que para uma superfície plana vertical imaginária da mesma área projetada Isto é ilustrado na Fig 38 onde chamamos a força horizontal de FH A Fig 38 também ilustra como podemos calcular a componente vertical da força Quando a pressão atmosférica atua sobre a superfície livre e sobre o outro lado da superfície curva a força líquida vertical é igual ao peso do fluido diretamente acima da superfície Isso pode ser confirmado aplicando a Eq 314 para determinar o módulo da componente vertical da força resultante Como p ρgh em que ρgh dAz ρg d é o peso de um cilindro diferencial de líquido acima do elemento de área da superfície dAz estendendose de uma distância h desde a superfície curva até a superfície livre A componente vertical da força resultante é obtida pela integração sobre a superfície submersa inteira Então Em resumo para uma superfície curva podemos usar duas fórmulas simples para calcular as componentes de força horizontal e vertical devidas apenas ao fluido sem a pressão ambiente em que pc e A são a pressão no centro e a área respectivamente de uma superfície plana vertical de mesma área projetada e é o volume do fluido acima da superfície curva Pode ser mostrado que a linha de ação da componente vertical da força passa através do centro de gravidade do volume de líquido diretamente acima da superfície curva veja Exemplo 37 Mostramos que a força hidrostática resultante sobre uma superfície curva submersa é especificada em termos de suas componentes Dos estudos de estática sabemos que a resultante de qualquer sistema de forças pode ser representada por um sistema forçaconjugado isto é a força resultante aplicada em um ponto e um conjugado ou momento em relação ao ponto Se os vetores força e conjugado forem ortogonais como é o caso para uma superfície curva bidimensional a resultante pode ser representada por uma força pura com uma linha de ação única De outro modo a resultante pode ser representada por um torque também com uma única linha de ação Exemplo 37 COMPONENTES DA FORÇA SOBRE UMA SUPERFÍCIE CURVA SUBMERSA A comporta mostrada é articulada em O e tem largura constante w 5 m A equação da superfície é x y2a com a 4 m A profundidade da água à direita da comporta é D 4 m Determine o módulo da força Fa aplicada como mostrado requerida para manter a comporta em equilíbrio se o peso da comporta for desprezado Dados Comporta de largura constante w 5 m A equação da superfície no plano xy é x y2a em que a 4 m A água tem profundidade D 4 m à direita da comporta A força Fa é aplicada como mostrado e o peso da comporta deve ser desconsiderado Note que por simplicidade nós não mostramos a reação em O Determinar A força Fa requerida para manter a comporta em equilíbrio Solução Vamos tomar os momentos em relação ao ponto O após encontrar os módulos e as localizações das forças horizontal e vertical devido à ação da água O diagrama de corpo livre DCL do sistema é mostrado na parte a da figura Antes de prosseguir devemos pensar sobre como calcular FV a componente vertical da força do fluido já estabelecemos que ela é igual em módulo e localização ao peso do fluido diretamente acima da superfície Entretanto não temos fluido nessa região o que pode nos levar à falsa conclusão de que não existe força vertical Nesse caso devemos usar a imaginação para entender que esse problema é equivalente a um sistema com água em ambos os lados da comporta com forças nulas sobre ela menos um sistema com água diretamente acima da comporta com forças não nulas sobre ela Esta lógica é demonstrada acima o sistema DCL a o DCL nulo b o DCL de forças do fluido c Desse modo as forças vertical e horizontal do fluido sobre o sistema DCL a são iguais e opostas àquelas sobre o DCL c Em resumo o módulo e a localização da força fluida vertical FV são dadas pelo peso e a posição do centroide do fluido acima da comporta o módulo e a localização da força horizontal do fluido FH são dados pelo módulo e localização da força sobre uma superfície plana vertical equivalente à projeção da comporta Equações básicas x centro de gravidade da água Para o cálculo de FH a coordenada y d o centroide a área e o segundo momento da superfície placa fina vertical projetada são respectivamente yc hc D2 A Dw e Ixx wD312 e Para FV é necessário calcular o peso da água acima da comporta Para fazer isso definimos uma coluna de volume diferencial D yw dx e integramos A localização x dessa força é dada pela posição do centro de gravidade da água acima da comporta Da estática isso pode ser obtido pelo uso do conceito de que o momento de FV deve ser igual ao momento da soma dos pesos diferenciais em torno do eixo y Assim Uma vez determinadas as forças do fluido podemos agora tomar os momentos sobre O tendo o cuidado de aplicar os sinais apropriados usando os resultados da Eqs 1 a 4 Este Exemplo ilustra O uso das equações de placa plana vertical para cálculo da força horizontal e as equações de peso do fluido para a força vertical sobre uma superfície curva O uso da imaginação para converter um problema com fluido abaixo da superfície curva em um problema equivalente com fluido acima dessa superfície 36 Empuxo e Estabilidade Se um objeto estiver imerso em um líquido ou flutuando em sua superfície a força líquida vertical agindo sobre ele devido à pressão do líquido é denominada empuxo Considere um objeto totalmente imerso em um líquido estático conforme mostrado na Fig 39 A força vertical sobre o corpo devido à pressão hidrostática pode ser encontrada mais facilmente considerando elementos de volume cilíndricos similares àquele mostrado na Fig 39 Lembremos que é possível usar a Eq 37 para calcular a pressão p em um líquido a uma profundidade h p p0 ρgh Fig 39 Corpo imerso em um líquido em repouso A força vertical líquida decorrente da pressão sobre o elemento é então dFz p0 ρgh2 dA p0 ρgh1 dA ρgh2 hi dA Porém h2 h1dA d que é o volume do elemento Portanto em que é o volume do objeto Assim concluímos que para um corpo submerso a força de empuxo do fluido é igual ao peso do fluido deslocado Essa relação foi usada por Arquimedes no ano 220 aC para determinar o teor de ouro na coroa do Rei Hiero II Por isso é muitas vezes chamada de Princípio de Arquimedes Nas aplicações técnicas mais correntes a Eq 316 é empregada no projeto de embarcações peças flutuantes e equipamentos submersíveis O objeto submerso não necessita ser sólido Bolhas de hidrogênio usadas na visualização de linhas de tempo e de emissão em água veja Seção 22 estão sujeitas a um empuxo positivo elas sobem lentamente enquanto são arrastadas pelo escoamento Por outro lado gotas de água em óleo geram um empuxo negativo e tendem a afundar Dirigíveis e balões são conhecidos como máquinas mais leves que o ar A massa específica de um gás ideal é proporcional ao seu peso molecular de modo que o hidrogênio e o hélio são menos densos que o ar para as mesmas condições de temperatura e pressão O hidrogênio Mm 2 é menos denso que o hélio Mm 4 mas extremamente inflamável enquanto o hélio é inerte O hidrogênio não tem sido usado comercialmente desde a desastrosa explosão do dirigível alemão Hindenburg em 1937 O uso da força de empuxo para gerar sustentação está ilustrado no Exemplo 38 A Eq 316 prediz a força líquida vertical decorrente da pressão sobre um corpo que está totalmente submerso em um único fluido Nos casos de imersão parcial um corpo flutuante desloca um volume de líquido com peso igual ao peso do corpo A linha de ação da força de empuxo que pode ser determinada usando os métodos da Seção 35 age através do centroide do volume deslocado Como os corpos flutuantes estão em equilíbrio sob a ação de forças de campo e de empuxo a localização da linha de ação da força de empuxo determina a estabilidade conforme mostrado na Fig 310 Exemplo 38 FORÇA DE EMPUXO EM UM BALÃO DE AR QUENTE Um balão de ar quente com a forma aproximada de uma esfera de 15 m de diâmetro deve levantar um cesto com carga de 2670 N Até que temperatura o ar deve ser aquecido de modo a possibilitar a decolagem Dados Atmosfera na condiçãopadrão diâmetro do balão d 15 m e carga de peso Wcarga 2670 N Determinar A temperatura do ar quente para decolagem Solução Aplique a equação do empuxo para determinar a sustentação gerada pela atmosfera e aplique a equação de equilíbrio de forças verticais para obter a massa específica do ar quente Em seguida use a equação do gás ideal para obter a temperatura do ar quente Equações básicas Fempuxo ρg ΣFy 0 p ρRT Considerações 1 Gás ideal 2 A pressão atmosférica age em todos os lados Somando as forças verticais obtemos Rearranjando e resolvendo para ρar quente usando dados do Apêndice A Finalmente para obter a temperatura do ar quente podemos usar a equação do gás ideal na seguinte forma e com par quente patm Notas Pressões e temperaturas absolutas devem sempre ser empregadas na equação de gás ideal Este problema demonstra que para veículos mais leves que o ar a força de empuxo excede o peso do veículo isto é o peso do fluido ar deslocado excede o peso do veículo O peso de um objeto atua sobre o seu centro de gravidade CG Na Fig 310a as linhas de ação das forças de empuxo e do peso estão deslocadas de modo a produzir um conjugado que tende a aprumar a embarcação Na Fig 310b o conjugado tende a emborcar a embarcação O uso de lastro pode ser necessário para se obter estabilidade de rolamento em embarcações Naus de guerra feitas de madeira transportavam lastro de pedras nos porões para compensar o grande peso dos canhões no convés de armas Os navios modernos também podem ter problemas de estabilidade barcos de transporte têm naufragado quando os passageiros se acumulam em um dos lados do convés superior deslocando o CG lateralmente Em navios cargueiros os grandes empilhamentos de carga devem ser feitos com cuidado para evitar o deslocamento do centro de gravidade para um nível que possa resultar na condição de instabilidade descrita na Fig 310b Para uma embarcação com fundo relativamente plano conforme mostrado na Fig 310a o momento ou conjugado restaurador aumenta conforme o ângulo de rolamento tornase maior Para alguns ângulos tipicamente para aquele em que a borda do barco fica abaixo do nível da água o conjugado restaurador passa por um pico e começa a decrescer O momento pode tornarse nulo para um ângulo de rolamento grande conhecido como ângulo de perda de estabilidade O barco pode emborcar se o rolamento exceder esse ângulo em seguida caso ainda esteja intacto o barco pode achar um novo estado de equilíbrio na posição emborcada A forma real da curva do conjugado restaurador depende da forma do casco Um casco de viga larga permite um grande deslocamento lateral na linha de ação da força de empuxo e portanto um grande conjugado restaurador Bordas livres altas acima da linha da água aumentam o ângulo de pico do momento restaurador mas podem fazêlo cair rapidamente abaixo desse ângulo Embarcações a vela são submetidas a grandes forças laterais quando o vento bate nas velas um veleiro sob um vento forte opera tipicamente com ângulo de rolamento considerável A força de vento lateral deve ser contrabalançada por uma quilha pesada e estendida abaixo do fundo do casco Em pequenos barcos a vela como os de competição a tripulação deve inclinarse sobre um lado do barco no sentido de aumentar o momento restaurador e evitar o emborcamento 2 Dentro de limites largos o empuxo de uma embarcação flutuante é ajustado automaticamente à medida que ela navega acima ou mais abaixo na superfície da água Entretanto um engenho que opere totalmente submerso deve ajustar efetivamente o empuxo e a força de gravidade para permanecer flutuando submerso Em submarinos isso é feito com o auxílio de tanques de lastro que são inundados para reduzir o excesso de empuxo ou drenados com ar comprimido para aumentar o empuxo 1 Dirigíveis deixam escapar gás para descer ou soltam lastro para subir O empuxo de um balão de ar quente é controlado pela variação da temperatura do ar no interior do balão Para mergulhos em grandes profundidades no oceano o uso de ar comprimido tornase impraticável por causa das altas pressões envolvidas o Oceano Pacífico tem mais de 10 km de profundidade a pressão da água do mar nessa profundidade é superior a 1000 atmosferas Um líquido como a gasolina que flutua na água do mar pode ser usado para aumentar o empuxo Entretanto como a gasolina é mais compressível do que a água seu empuxo diminui com o aumento da profundidade É necessário portanto carregar e soltar lastro para obter empuxo positivo a fim de retornar à superfície Fig 310 Estabilidade de corpos flutuantes A forma de casco estruturalmente mais eficiente para dirigíveis e submarinos é aquela com seção transversal circular A força de empuxo passa através do centro do círculo Portanto para estabilidade de rolamento o CG deve estar localizado abaixo da linha de centro do casco Por isso o compartimento da tripulação de um dirigível está localizado abaixo do casco de modo a deslocar o CG para baixo 37 Fluidos em Movimento de Corpo Rígido no Site da LTC Editora 38 Resumo e Equações Úteis Neste capítulo revisamos os conceitos básicos de estática dos fluidos Isso incluiu Dedução das equações básicas de estática dos fluidos na forma vetorial Aplicação destas equações para calcular a variação de pressão em um fluido estático Líquidos incompressíveis a pressão aumenta uniformemente conforme a profundidade aumenta Gases a pressão dependente de outras propriedades termodinâmicas diminui não uniformemente com o aumento da altitude Estudo de Pressão absoluta e pressão manométrica Uso de manômetros e barômetros Análise do módulo e localização da força de um fluido sobre Superfície submersa plana Superfície submersa curva Dedução e utilização do Princípio do Empuxo de Arquimedes Análise do movimento retilíneo uniforme de fluido no site da LTC Editora Nota A maior parte das Equações Úteis na tabela a seguir possuem determinadas restrições e limitações para usá las com segurança verifique os detalhes no capítulo conforme numeração de referência Equações Úteis Variação de pressão hidrostática 36 Variação de pressão hidrostática fluido incompressível p p0 Δp ρgh 37 Variação de pressão hidrostática 38 diversos fluidos incompressíveis Força hidrostática sobre um plano submerso forma integral 310a Força hidrostática sobre um plano submerso FR pcA 310b Localização y da força hidrostática sobre um plano submerso integral 311a Localização y da força hidrostática sobre um plano submerso algébrica 311b Localização y da força hidrostática sobre um plano submerso desprezandose p0 311c Localização x da força hidrostática sobre um plano submerso integral 312a Localização x da força hidrostática sobre um plano submerso algébrica 312b Localização x da força hidrostática sobre um plano submerso desprezandose p0 312c Forças hidrostáticas horizontal e vertical sobre uma superfície submersa curva FH pcA e FV ρg 315 Força de empuxo sobre um objeto submerso Fexpuxo ρg 316 Concluímos a nossa introdução aos conceitos fundamentais de mecânica dos fluidos e os conceitos básicos de estática dos fluidos No próximo capítulo começaremos o estudo sobre os fluidos em movimento Estudo de Caso A Roda de Falkirk A Roda de Falkirk A hidrostática o estudo de fluidos em repouso é uma disciplina muito antiga e alguém pode pensar que não há mais novidades ou aplicações a serem desenvolvidas nesta área A Roda de Falkirk na Escócia é uma clara demonstração de que esse pensamento não é correto ela é um dispositivo para mover um barco de um nível da água para outro nível A roda que tem um diâmetro de 35 metros consiste em dois jogos de braços opostos em forma de machado celta inspirada no machado céltico de duas cabeças Nas extremidades desses braços existem duas gôndolas ou tanques de água cada uma com a capacidade de 80 mil galões O princípio de Arquimedes que nós estudamos neste capítulo estabelece que o peso da água deslocada por objetos flutuantes é igual ao próprio peso do objeto Assim o barco mostrado na figura e que está entrando na gôndola inferior desloca uma quantidade de água cujo peso é exatamente igual ao peso do próprio barco Isso significa que a roda inteira permanece em equilíbrio durante todo o tempo as duas gôndolas sempre carregam o mesmo peso estejam com barcos ou não Dessa forma apesar de sua enorme massa a roda gira 180 em menos de quatro minutos precisando de muito pouca potência Nessa tarefa o motor elétrico usa 225 quilowatts kW de potência de modo que a energia despendida em quatro minutos vale 15 quilowatthora kWh mesmo para os preços atuais o custo dessa energia é de poucos centavos Referências 1 Burcher R and L Rydill Concepts in Submarine Design Cambridge UK Cambridge University Press 1994 2 Marchaj C A AeroHydrodynamics of Sailing rev ed Camden ME International Marine Publishing 1988 Problemas 31 Nitrogênio comprimido 635 Kg é armazenado em um tanque esférico de diâmetro D 075 m a uma temperatura de 25ºC Qual é a pressão no interior do tanque se a tensão máxima admissível na parede do tanque é 210MPa determine a sua espessura mínima teórica A AtmosferaPadrão 32 A temperatura de ebulição da água diminui com o aumento da altitude devido à queda de pressão Por isso misturas para bolos e ovos cozidos entre outros alimentos devem ser preparados em diferentes períodos de tempo Determine a temperatura de ebulição da água a 1000 e 2000 m de altitude em um dia padrão e compare com o valor referente ao nível do mar 33 Estalos nos ouvidos é um fenômeno desconfortável experimentado quando ocorrem variações na pressão ambiente por exemplo em um elevador rápido ou em um avião se você está em um aeroplano a 3000 m de altitude e uma rápida descida de 100 m causa estalos em seus ouvidos qual é a variação de pressão em milímetro de mercúrio que causa esse desconforto Se em seguida o avião sobe 8000 m e novamente começa a descer quanto o avião descerá antes que os seus ouvidos estalem novamente Considere a AtmosferaPadrão Americana 34 Você está sobre a lateral de uma montanha e ao ferver água nota que a temperatura de ebulição é 90ºC Qual é a altitude aproximada em que você se encontra No dia seguinte você está em outro local nesta montanha onde a água ferve a 85ºC Considere a AtmosferaPadrão Americana Variação de Pressão em um Fluido Estático 35 Um cubo de carvalho maciço de volume 125 mL é mantido submerso por um tirante conforme mostrado Calcule a força real da água sobre a superfície inferior do cubo e a tração no tirante 36 O tubo mostrado está cheio com mercúrio a 20C Calcule a força aplicada no pistão 37 As seguintes medidas de pressão e temperatura foram tomadas por um balão meteorológico subindo através da atmosférica inferior p em 103 Pa 1014 1008 1002 996 990 984 978 972 966 960 954 T em C 120 111 105 102 101 100 103 108 116 122 121 Os valores iniciais no topo da tabela correspondem ao nível do solo Usando a lei de gás ideal p ρRT com R 287m2S2 K calcule a massa específica do ar em kgm3 em função da altura e trace o gráfico correspondente 38 Um cubo metálico oco com arestas de 100 mm flutua na interface entre uma camada de água e uma camada de óleo SAE 10W de tal forma que 10 do cubo está imerso no óleo Qual é a diferença de pressão entre a face horizontal superior e a inferior do cubo Qual é a massa específica média do cubo 39 Um manômetro indicou uma pressão de 025 MPa nos pneus frios do seu carro em uma altitude de 3500 m sobre uma montanha Qual é a pressão absoluta nos pneus Com a descida até o nível do mar os pneus foram aquecidos até 25ºC Que pressão o manômetro indica nesta condição Considere a AtmosferaPadrão Americana 310 Uma bolha de ar de 8mm de diâmetro é liberada pelo aparelho regulador de respiração de um mergulhador a 30m abaixo da superfície do mar A temperatura da água é 30ºC Estime o diâmetro da bolha no momento em que ela atinge a superfície 311 Um cubo com arestas de 150mm suspenso por um fio está submerso em um líquido de modo que sua face horizontal superior está 203 mm abaixo da superfície livre A massa do cubo é M 29 kg e a tração no fio é T 226 N Determine a densidade relativa do líquido e com ela identifique o líquido Quais são as pressões manométricas na face horizontal superior e na inferior do cubo 312 Considerando que o módulo de compressibilidade seja constante para a água do mar deduza uma expressão para a variação da massa específica com a profundidade h abaixo da superfície Mostre que o resultado pode ser escrito como ρ ρ0 bh em que ρ0 é a massa específica na superfície Determine a constante b Em seguida usando essa aproximação obtenha uma equação para a variação de pressão com a profundidade abaixo da superfície Determine a profundidade em metros na qual o erro na pressão estimada pela solução aproximada é de 001 313 Veículos de pesquisa oceanográfica já desceram a 10 km abaixo do nível do mar Nessas profundidades extremas a compressibilidade da água do mar pode ser significativa O comportamento da água do mar pode ser modelado supondo que o seu módulo de compressibilidade permanece constante Usando essa hipótese avalie para essa profundidade os desvios na massa específica e na pressão em relação aos valores calculados considerando a água do mar incompressível a uma profundidade h de 10 km na água do mar Expresse as suas respostas em valores percentuais Plote os resultados na faixa de 0 h 11 km 314 Um recipiente cilíndrico é imerso vagarosamente de boca para baixo em uma piscina O ar aprisionado no recipiente é comprimido isotermicamente enquanto a pressão hidrostática aumenta Desenvolva uma expressão para a altura de água y dentro do recipiente em termos da altura do recipiente H e da profundidade de imersão h Trace um gráfico de yh em função de hH 315 Com o polegar você fecha o topo do canudinho do seu refrigerante e levantao para fora do copo que contém a bebida Mantendoo na vertical o seu comprimento total é 45 cm mas o refrigerante ocupa 15 cm no interior do canudinho contadas a partir do fundo Qual é a pressão dentro do canudinho logo abaixo do seu polegar Ignore qualquer efeito de tensão superficial 316 Um tanque cheio com de água até uma profundidade de 5 m tem uma abertura quadrada 25 cm 25 cm em sua base para ensaios onde um suporte de plástico é colocado O suporte pode suportar uma carga de 40 N Para as condições desse teste o suporte é suficientemente forte Em caso afirmativo que profundidade de água deveria ser usada para causar a sua ruptura 317 Um reservatório com dois tubos cilíndricos verticais de diâmetros d1 395 mm e d2 127 mm é parcialmente preenchido com mercúrio O nível de equilíbrio do líquido é mostrado no diagrama da esquerda Um objeto cilíndrico sólido feito de latão flutua no tubo maior conforme mostrado no diagrama da direita O objeto tem diâmetro D 375 mm e altura H 762 mm Calcule a pressão na superfície inferior necessária para fazer flutuar o objeto Determine o novo nível de equilíbrio h do mercúrio com a presença do cilindro de metal 318 Um tanque repartido contém água e mercúrio conforme mostrado na figura Qual é a pressão manométrica do ar preso na câmara esquerda A que pressão deveria o ar da câmara esquerda ser comprimido de modo a levar a superfície da água para o mesmo nível da superfície livre na câmara direita 319 No tanque do Problema 318 se a abertura para a atmosfera na câmara direita estiver inicialmente bloqueada a que pressão deveria o ar na câmara esquerda ser comprimido de modo a levar a superfície da água para o mesmo nível da superfície livre na câmara direita Considere que a temperatura do ar aprisionado na câmara direita permaneça constante 320 Considere o manômetro de dois fluidos mostrado Calcule a diferença de pressão aplicada 321 Um manômetro é construído com um tubo de vidro de diâmetro interno uniforme D 635 mm conforme mostrado na figura O tubo em U é preenchido parcialmente com água Em seguida um volume 325 cm3 de óleo Meriam vermelho é adicionado no lado esquerdo do tubo Calcule a altura de equilíbrio H quando ambas as pernas do tubo em U estão abertas para a atmosfera 322 O manômetro mostrado contém água e querosene Com ambos os tubos abertos para a atmosfera as elevações da superfície livre diferem de H0 200 mm Determine a diferença de elevação quando uma pressão de 980 Pa manométrica é aplicada no tubo da direita 323 O manômetro mostrado contém dois líquidos O líquido A tem densidade relativa 088 e o líquido B 295 Calcule a deflexão h quando a diferença de pressão aplicada é p1 p2 860 Pa 324 Determine a pressão manométrica em kPa no ponto a se o líquido A tiver densidade relativa 120 e o líquido B tiver 075 O líquido em torno do ponto a é água e o tanque da esquerda está aberto para a atmosfera 325 Um departamento de engenharia de uma empresa de pesquisa está avaliando um sofisticado sistema a laser de 8000000 para medir a diferença entre os níveis de água de dois grandes tanques de armazenagem Você sugere que esta tarefa pode ser feita por um arranjo de manômetro de apenas 20000 Para isso um óleo menos denso que a água pode ser usado para fornecer uma ampliação significativa do movimento do menisco uma pequena diferença de nível entre os tanques provocará uma deflexão muito maior nos níveis de óleo do manômetro Se você configurar um equipamento usando o óleo Meriam vermelho como fluido manométrico determine o fator de amplificação que será visto no equipamento 326 Água flui para baixo ao longo de um tubo inclinado de 30º em relação à horizontal conforme mostrado A diferença de pressão pA pB é causada parcialmente pela gravidade e parcialmente pelo atrito Deduza uma expressão algébrica para a diferença de pressão Calcule a diferença de pressão se L 15 m e h 150 mm 327 Considere um tanque contendo mercúrio água benzeno e ar conforme mostrado Determine a pressão do ar manométrica Determine o novo nível de equilíbrio do mercúrio no manômetro se uma abertura for feita na parte superior do tanque 328 Um manômetro de reservatório tem tubos verticais com diâmetros D 18 mm e d 6 mm O líquido manométrico é o óleo Meriam vermelho Desenvolva uma expressão algébrica para a deflexão do líquido L no tubo pequeno quando uma pressão manométrica Δp é aplicada no reservatório Calcule a deflexão do líquido quando a pressão aplicada for equivalente a 25 mm de coluna dágua manométrica 329 Um tanque retangular aberto para a atmosfera está cheio com água até uma profundidade de 25 m conforme mostrado Um manômetro de tubo em U é conectado ao tanque em um local 07 m acima do fundo do tanque se o nível zero do fluido óleo Meriam azul está a 02 m abaixo da conexão determine a deflexão l após a instalação do manômetro e a remoção de todo o ar no tubo de conexão 330 Um manômetro de reservatório é calibrado para uso com um líquido de densidade relativa 0827 O diâmetro do reservatório é 16 mm e o do tubo vertical é 5 mm Calcule a distância necessária entre marcas na escala vertical para a leitura de uma diferença de pressão de 25 mm de coluna dágua 331 O fluido do manômetro do Problema 329 é substituído por mercúrio mesmo nível zero de referência O tanque é vedado e a pressão do ar aumentada para um valor manométrico de 5065 kPa Determine a deflexão l 332 O manômetro de tubo inclinado mostrado tem D 96 mm e d 8 mm Determine o ângulo θ necessário para fornecer um aumento de 51 na deflexão do líquido L comparada com a deflexão total de um manômetro comum de tubo em U Avalie a sensibilidade do manômetro de tubo inclinado 333 O manômetro de tubo inclinado mostrado tem D 76 mm e d 8 mm e está cheio com óleo Meriam vermelho Calcule o ângulo θ que dará uma deflexão de 15 cm ao longo do tubo inclinado para uma pressão aplicada de 25 mmH2O manométrica Determine a sensibilidade desse manômetro 334 Um barômetro contém acidentalmente 165 mm de água no topo da coluna de mercúrio nesse caso existe vapor dágua em vez de vácuo no topo do barômetro Em um dia em que a temperatura ambiente é 21ºC a altura da coluna de mercúrio é 720 mm com correção para expansão térmica Determine a pressão barométrica em psia se a temperatura ambiente aumentasse para 29ºC sem variação na pressão barométrica a coluna de mercúrio seria maior menor ou permaneceria com o mesmo comprimento Justifique sua resposta 335 Um aluno deseja projetar um manômetro com sensibilidade melhor que aquela de um tubo em U de diâmetro constante com água A concepção do aluno envolve o emprego de tubos com diferentes diâmetros e dois líquidos conforme mostrado Avalie a deflexão h desse manômetro se a diferença de pressão aplicada for Δp 250 Nm2 Determine a sensibilidade do manômetro Trace um gráfico da sensibilidade do manômetro como função da razão de diâmetros d2d1 336 Uma coluna de água de 50 mm de altura está em um tubo de vidro de 25 mm de diâmetro Qual seria a altura da coluna se a tensão superficial fosse zero Qual seria a altura da coluna em um tubo com 10 mm de diâmetro 337 Se o tanque do Problema 329 for selado hermeticamente e a água for drenada lentamente pelo fundo determine a deflexão l após o sistema ter atingido o equilíbrio 338 Considere um tubo de pequeno diâmetro e de extremidades abertas inserido na interface entre dois líquidos imiscíveis de massas específicas diferentes Deduza uma expressão para a diferença de nível Δh entre os níveis das interfaces interna e externa ao tubo em termos do diâmetro do tubo D das duas massas específicas dos fluidos ρ1 e ρ2 da tensão superficial σ e do ângulo θ para as duas interfaces dos fluidos se os dois fluidos forem água e mercúrio determine a diferença de altura Δh se o diâmetro do tubo é 40 mils 1 mil 00254 mm 339 Um manômetro consiste em um tubo de diâmetro interno de 125 cm Em um dos lados a perna do manômetro contém mercúrio 10 cc de um óleo densidade relativa de 14 e 3 cc de ar na forma de uma bolha no óleo A outra perna contém apenas mercúrio Ambas as pernas estão abertas para a atmosfera e estão em repouso Um acidente ocorre de modo que 3cc de óleo e a bolha de ar são removidos de uma das pernas De quanto mudam os níveis das colunas de mercúrio 340 Compare a altura devido à ação capilar da água exposta ao ar em um tubo circular de diâmetro D 05 mm e entre duas placas planas verticais infinitas com espaçamento a 05 mm entre elas 341 Duas placas de vidro verticais de 300 mm 300 mm são colocadas em um tanque aberto contendo água Em uma das extremidades laterais a folga entre as placas é de 01 mm e na outra é de 2 mm Trace a curva da altura da água entre as placas de uma extremidade lateral a outra 342 Baseado nos dados da temperatura atmosférica da Figura 33 para a AtmosferaPadrão Americana calcule e trace um gráfico da variação da pressão com a altitude e compare com os dados de pressão da Tabela A3 343 Em um certo dia calmo uma inversão moderada faz a temperatura atmosférica permanecer constante em 30ºC entre o nível do mar e 5000 m de altitude Nestas condições a calcule a variação de elevação para que ocorra uma redução de 3 na pressão do ar b determine a variação de elevação necessária para que ocorra uma redução de 5 na massa específica e c plote p2p1 e ρ2ρ1 como funções de Δz 344 No nível do solo em Denver Colorado a pressão e a temperatura atmosféricas são respectivamente 832 kPa e 25ºC Calcule a pressão em Pikes Peak em uma elevação de 2690 m acima da cidade considerando uma atmosfera a incompressível e b adiabática Trace um gráfico da razão entre a pressão e a pressão na superfície de Denver como uma função da elevação para ambos os casos 345 A atmosfera de Marte comportase como um gás ideal com massa molecular média de 320 e temperatura constante de 200 K A massa específica da atmosfera na superfície do planeta é ρ 0015 kgm3 e a gravidade é igual a 392 ms2 Calcule a massa específica da atmosfera Marciana em uma altitude z 20 km acima da superfície Trace um gráfico da razão entre a massa específica e a massa específica na superfície como uma função da elevação Compare o resultado com os dados da atmosfera terrestre 346 Uma porta de acesso de 1 m de largura e 15 m de altura está localizada em uma parede plana e vertical de um tanque de água A porta é articulada ao longo da sua borda superior que está 1 m abaixo da superfície da água A pressão atmosférica atua na superfície externa da porta a Determine o módulo e a linha de ação da força resultante de todos os fluidos agindo sobre a porta b se a pressão manométrica na superfície da água for aumentada para 03 atm qual será a resultante da força e a sua linha de ação c Trace os gráficos da razão FF0 e yyc para valores diferentes da razão de pressões superficiais pspatm F0 é a força resultante quando ps patm 347 Uma porta de acesso de 1 m de largura e 15 m de altura está localizada em uma parede plana e vertical de um tanque de água A porta é articulada ao longo da sua borda superior que está 1 m abaixo da superfície da água A pressão atmosférica atua na superfície externa da porta a se a pressão atmosférica atua na superfície da água que força mínima deve ser aplicada na borda inferior da porta de modo a mantêla fechada b se a pressão manométrica na superfície da água for de 05 atm que força mínima deve ser aplicada na borda inferior da porta de forma a mantêla fechada c Determine a razão FF0 como uma função da razão de pressões na superfície p0patm F0 é a força mínima requerida quando ps patm 348 Um elevador hidráulicopneumático consiste em um conjunto pistãocilindro para içar a cabine do elevador Óleo hidráulico armazenado em um tanque acumulador pressurizado por ar aciona o pistão por meio de uma válvula sempre que é necessário içar a cabine Quando o elevador desce o óleo hidráulico retorna para o acumulador Projete o acumulador mais barato que atenda às necessidades do sistema Considere uma ascensão de três andares com carga máxima de 10 passageiros e pressão máxima do sistema de 800 kPa manométrica Para resistir à flambagem o pistão deve ter diâmetro mínimo de 150 mm O pistão e a cabine do elevador têm massa total de 3000 kg e devem ser comprados Tendo como base a pressão de operação do sistema faça a análise necessária para definir o diâmetro do pistão o volume e o diâmetro do acumulador e a espessura da sua parede Discuta aspectos de segurança que a sua firma deve considerar no sistema completo do elevador Seria preferível utilizar um projeto totalmente pneumático ou totalmente hidráulico Por quê 349 Encontre as pressões nos pontos A B e C como mostrado e também nas duas cavidades de ar Forças Hidrostáticas sobre Superfícies Submersas 350 Uma comporta plana semicircular AB articulada ao longo de B é suportada pela força horizontal FA aplicada em A O líquido à esquerda da comporta é água Calcule a força FA requerida para o equilíbrio 351 Uma portinhola triangular de acesso deve ser projetada para ser colocada na lateral de uma forma contendo concreto líquido Usando as coordenadas e dimensões mostradas determine a força resultante que age sobre a portinhola e seu ponto de aplicação 352 Uma comporta plana de espessura uniforme suporta uma coluna de água conforme mostrado Determine o peso mínimo da comporta necessário para mantêla fechada 353 Considere um recipiente semicilíndrico de raio R e comprimento L Desenvolva expressões gerais para o módulo e a linha de ação da força hidrostática em uma extremidade se o recipiente estiver parcialmente cheio com água e aberto para a atmosfera Plote os resultados na forma adimensional para a faixa de profundidade da água de 0 dR 1 354 Uma comporta retangular de largura w 2 m é articulada conforme mostrado com um batente na borda inferior Em que profundidade H a comporta estará prestes a abrir 355 Considere uma caneca de chá com 65 mm de diâmetro Imagine a caneca cortada simetricamente ao meio por um plano vertical Encontre a força que cada metade experimenta devido a coluna de 80 mm de chá 356 As comportas de Poe Lock no Salto de Santa Maria em Michigan fecham um canal com largura W 34 m comprimento L 360 m e profundidade D 10 m A geometria de um par de comportas é mostrada na figura cada comporta é articulada na junção com a parede do canal Quando fechadas as bordas das comportas são forçadas no centro uma contra a outra pela água Avalie a força exercida pela água sobre a comporta A Determine o módulo e o sentido das componentes da força exercida pela comporta sobre a articulação Despreze o peso da comporta 357 Uma seção de parede vertical deve ser construída com mistura pronta de concreto derramada entre formas A seção de parede tem 3 m de altura 025 m de espessura e 5 m de largura Calcule a força exercida pelo concreto sobre cada forma Determine a linha de aplicação da força 358 Uma janela de acesso na forma de um triângulo isósceles e articulada no topo é colocada na parede vertical de uma forma contendo concreto líquido Determine a força mínima que deve ser aplicada no ponto D para manter a janela fechada considerando a configuração da forma e do concreto conforme mostrado Plote os resultados para a faixa de profundidade do concreto de 0 c a 359 Resolva novamente o Exemplo 36 usando o método das duas pressões separadas Considere a força distribuída como a soma de uma força F1 causada pela pressão manométrica uniforme com uma força F2 causada pelo líquido Calcule essas forças e determine suas linhas de ação Some então os momentos em relação à articulação para avaliar Ft 360 Um grande tanque aberto contém água e está conectado a um condutor com 2m de diâmetro conforme mostrado Um tampo circular é usado para selar o condutor Determine o modulo o sentido e a localização da força da água sobre o tampo 361 O que sustenta um carro sobre seus pneus A maioria das pessoas pensa que é a pressão do ar dentro dos pneus Contudo a pressão interna é a mesma em volta do pneu Assim a pressão de ar que empurra o pneu para cima é a mesma que o empurra para baixo não havendo nenhum efeito líquido na roda Resolva esse paradoxo explicando onde está a força que impede o carro de afundar no chão 362 O pórtico circular de acesso na lateral de um reservatório vertical de água tem diâmetro de 06 m e está fixado por oito parafusos igualmente espaçados em torno da circunferência se o diâmetro da coluna de água no reservatório é 7 m e o centro do pórtico está localizado a 12 metros abaixo da superfície livre da água determine a a força total sobre o pórtico e b o diâmetro adequado do parafuso 363 A comporta retangular mostrada na figura abrese automaticamente quando o nível da água no seu lado esquerdo atinge uma determinada altura A que profundidade acima da articulação isto acontece Despreze a massa da comporta 364 A comporta AOC mostrada na figura tem 18 m de largura e é articulada em O Desconsiderando o peso da comporta determine a força na barra AB A comporta é vedada em C 365 A comporta mostrada na figura tem 3 m de largura e para fins de análise pode ser considerada sem massa Para qual profundidade de água esta comporta retangular ficará em equilíbrio como mostrado 366 A comporta mostrada na figura é articulada em H A comporta tem 3 m de largura em um plano normal ao diagrama mostrado Calcule a força requerida em A para manter a comporta fechada 367 Um longo bloco de madeira de seção quadrada é articulado em uma de suas arestas O bloco está em equilíbrio quando imerso em água na profundidade mostrada Avalie a densidade relativa da madeira se o atrito no pivô for desprezível 368 Uma sólida represa de concreto deve ser construída de modo a reter água até uma profundidade D Para facilitar a construção as paredes da represa devem ser planas Sua supervisora solicita que você considere as seguintes seções transversais para a represa um retângulo um triângulo retângulo com a hipotenusa em contato com a água e um triângulo retângulo com um cateto vertical em contato com a água Ela quer que você determine quais dessas três seções requer a menor quantidade de concreto O que estará escrito em seu relatório Você decide estudar uma possibilidade a mais um triângulo qualquer conforme mostrado Desenvolva e trace um gráfico de uma expressão para a área da seção transversal A como função de α e determine a área mínima requerida da seção transversal 369 Para a geometria mostrada qual é a força vertical sobre a represa Os degraus têm 05 m de altura 05 de profundidade e 3 m de largura 370 Para a geometria mostrada qual é a força vertical da água sobre a represa 371 A comporta mostrada tem 15 m de largura e é articulada em O a 10 m2 D 120 m e H 140 m Determine a o módulo e o momento da componente vertical da força em torno de O e b a força horizontal que deve ser aplicada em torno do ponto A para manter a comporta na posição mostrada 372 A comporta parabólica mostrada na figura tem 2 metros de largura e é articulada em O c 025 m1 D 2 m e H 3 m Determine a o módulo e a linha de ação da força vertical sobre a comporta causada pela água b a força horizontal aplicada em A requerida para manter a comporta em equilíbrio e c a força vertical aplicada em A requerida para manter a comporta em equilíbrio 373 Concreto líquido é despejado na forma mostrada R 0313 m A forma tem largura w 425 m normal ao diagrama Calcule o módulo da força vertical exercida sobre a forma pelo concreto e especifique sua linha de ação 374 Um tanque aberto está cheio com água na profundidade indicada A pressão atmosférica atua sobre todas as superfícies externas do tanque Determine o módulo e a linha de ação da componente vertical da força da água sobre a parte curva do fundo do tanque 375 Uma comporta de vertedouro com a forma de um arco circular tem w metros de largura Determine o módulo e a linha de ação da componente vertical da força devida a todos os fluidos atuando sobre a comporta 376 Uma represa deve ser construída usando a seção transversal mostrada Suponha que a largura da represa seja w 50 m Para uma altura de água H 25 m calcule o módulo e a linha de ação da força vertical da água sobre a face da represa É possível que a força da água derrube essa represa Sob quais circunstâncias 377 Uma comporta Tainter usada para controlar a vazão de água na represa de Uniontown no Rio Ohio é mostrada na figura a sua largura é w 35 m Determine o módulo o sentido e a direção da linha de ação da força da água sobre a comporta 378 Uma comporta na forma de um quarto de cilindro articulada em A e vedada em B tem 3 m de largura O fundo da comporta está 45 m abaixo da superfície da água Determine a força sobre o batente B se a comporta for feita de concreto R 3 m 379 Considere a barragem cilíndrica com diâmetro de 3 m e comprimento de 6 m Se o fluido no lado esquerdo tem SG 16 e o fluido no lado direito tem SG 08 determine o módulo e o sentido da força resultante 380 Uma barragem cilíndrica tem diâmetro de 3 m e comprimento de 6 m Determine o módulo e o sentido da força resultante da água agindo sobre a barragem 381 Uma grande tora cilíndrica de madeira com diâmetro D apoiase contra o topo de uma barragem A água está nivelada com o topo da tora e o centro dessa está nivelado com o topo da barragem Obtenha expressões para a a massa da tora por unidade de comprimento e b a força de contato entre a tora e a barragem por unidade de comprimento 382 Uma superfície curva é formada com um quadrante de um cilindro circular de raio R 0750 m conforme mostrado A superfície tem largura w 355 m Água permanece à direita da superfície até uma profundidade H 0650 m Calcule a força hidrostática vertical sobre a superfície curva Avalie a linha de ação dessa força Determine o módulo e a linha de ação da força horizontal sobre a superfície Empuxo e Estabilidade 383 Se você jogar para fora de sua canoa uma âncora e a corda for muito curta para a âncora chegar ao fundo da lagoa a sua canoa flutuará mais alto mais baixo ou no mesmo nível Prove a sua resposta 384 Uma superfície submersa curva no formato de um quarto de cilindro com raio R 03 m está mostrada na figura A forma pode resistir a uma carga máxima vertical de 16 kN antes de se romper A largura é w 125 m Determine a profundidade máxima H para a qual a configuração pode ser mantida Determine a linha de ação da força vertical para esta condição Trace um gráfico dos resultados em função da profundidade da faixa de concreto 0 H R 385 O perfil da seção reta de uma canoa é modelado pela curva y ax2 em que a 389 m1 e as coordenadas são medidas em pés Suponha que a largura da canoa tenha valor constante w 06 m em todo o seu comprimento L 525 m Estabeleça uma expressão algébrica geral relacionando a massa total da canoa e seu conteúdo com a distância d entre a superfície da água e a borda da canoa Calcule a massa total máxima para que a canoa não afunde 386 O cilindro mostrado é suportado por um líquido incompressível de massa específica ρ e é articulado ao longo do seu comprimento O cilindro de massa M comprimento L e raio R está imerso no líquido até uma profundidade H Obtenha uma expressão geral para a densidade relativa do cilindro em função da razão entre a profundidade no líquido e o raio do cilindro α HR necessária para manter o cilindro em equilíbrio para 0 α 1 Trace um gráfico com os resultados 387 Uma canoa é representada por um semicilindro circular reto com R 035 m e L 525 m A canoa flutua sozinha em água com seu fundo a uma profundidade d 0245 m Estabeleça uma expressão algébrica geral para a massa total canoa e carga que pode flutuar em função da profundidade Avalie para as condições dadas Plote os resultados para a faixa de profundidade na água 0 d R 388 Uma estrutura de vidro deve ser instalada em um canto inferior de um aquário para servir como observatório marinho O aquário está cheio com água do mar até uma profundidade de 10 m O vidro é um segmento de esfera com raio 15 m montado simetricamente em uma quina no fundo do aquário Calcule o módulo e o sentido da força líquida da água sobre a estrutura de vidro 389 Um densímetro é um indicador de densidade relativa sendo o valor indicado pelo nível no qual a superfície livre intercepta a haste que flutua em um líquido A marca 10 é o nível em água destilada Para o instrumento mostrado o volume imerso em água destilada é de 15 cm3 A haste tem 6 mm de diâmetro Determine a distância h da marca 10 à superfície quando o densímetro é colocado em uma solução de ácido nítrico de densidade relativa 15 390 Determine o peso específico da esfera mostrada na figura se o seu volume é de 0025 m3 Enuncie todas as considerações feitas Qual será a posição de equilíbrio da esfera se o peso for removido 391 A relação entre gordura e músculo de uma pessoa pode ser determinada por uma medição de densidade relativa A medição é feita imergindo o corpo em um tanque de água e medindo o peso líquido Desenvolva uma expressão para a densidade relativa de uma pessoa em termos do seu peso no ar peso líquido na água e da densidade relativa SG fT para a água 392 Quantifique o enunciado Somente a ponta de um iceberg aparece na água do mar 393 Um tanque aberto está cheio com água até o topo Um recipiente cilíndrico de aço com espessura de parede δ 1 mm diâmetro externo D 100 mm e altura H 1 m é delicadamente colocado dentro dágua com a abertura voltada para cima Qual é o volume de água que derrama do tanque Quantas massas de 1 kg devem ser colocadas no recipiente para que ele afunde Despreze os efeitos de tensão superficial 394 Quantifique o experimento realizado por Arquimedes para identificar o material da coroa do Rei Hiero Suponha que você possa medir o peso da coroa do rei no ar Wa e também o peso na água Ww Expresse a densidade relativa da coroa como uma função desses valores medidos 395 Bolhas de gás são liberadas do regulador do equipamento de respiração de um mergulhador submerso O que acontece com essas bolhas enquanto elas sobem na água do mar Explique 396 O balonismo a ar quente é um esporte popular De acordo com um artigo recente os volumes de ar quente devem ser grandes porque o ar aquecido a 65ºC acima da temperatura ambiente levanta apenas 029 kgm3 comparado com 106 e 114 para o hélio e o hidrogênio respectivamente Verifique esses dados para as condições ao nível do mar Avalie o efeito de aumentar a temperatura máxima do ar quente para 121ºC acima da ambiente 397 Bolhas de hidrogênio são usadas para a visualização de linhas de emissão no filme Flow Visualization O diâmetro típico de uma bolha de hidrogênio é d 0025 mm As bolhas tendem a subir lentamente na água por causa do empuxo eventualmente elas atingem uma velocidade terminal em relação à água A força de arrasto da água sobre a bolha é dada por FD 3πμVd em que μ é a viscosidade da água e V é a velocidade da bolha relativa à água Determine a força de empuxo que atua sobre uma bolha de hidrogênio imersa na água Estime a velocidade terminal de uma bolha em ascensão na água 398 Desejase usar um balão de ar quente com um volume de 9060 m3 para passeios planejados em manhãs de verão quando a temperatura do ar é de 9C A tocha aquecerá o ar dentro do balão a uma temperatura de 70C Ambas as pressões dentro e fora do balão serão padrão 1013 kPa Que massa o balão pode levar cesto combustível passageiros itens pessoais e os próprios equipamentos do balão para que um empuxo equilibrante seja garantido E que massa pode ser levada para o balão subir com uma aceleração vertical de 075 ms2 Para isso considere que tanto o balão quanto o ar interno tenham que ser acelerados bem como algum ar vizinho que passa pelo balão A regra prática é que a massa total sujeita à aceleração é igual à massa do balão com todos seus pertences e duas vezes a massa do seu volume de ar Dado que o volume de ar quente é fixo durante o voo o que os balonistas podem fazer quando eles querem descer 399 Balões científicos operando em uma pressão de equilíbrio com o ambiente têm sido usados para levar instrumentos a altitudes extremamente elevadas Um desses balões construído em poliéster com espessura de 0013 mm e diâmetro de 120 m elevou uma carga de 230 kg A densidade relativa do material do balão é 128 Determine a altitude na qual o hélio usado no balão está em equilíbrio térmico com o ar ambiente Suponha que o balão seja perfeitamente esférico 3100 Um balão de hélio deve elevar uma carga a uma altitude de 40 km onde a pressão e a temperatura atmosféricas são respectivamente 30 mbar e 25ºC O material do balão é poliéster com densidade relativa de 128 e espessura de 0015 mm Para manter uma forma esférica o balão é pressurizado até uma pressão manométrica de 045 mbar Determine o diâmetro máximo do balão se a tensão máxima admissível no tecido está limitada a 62 MNm2 Que carga pode ser transportada 3101 Um bloco de volume 0025 m3 está imerso na água conforme mostrado Um tirante de seção circular de 5 m de comprimento e 20 cm2 de seção transversal está preso ao bloco assim como à parede Se a massa do tirante é 125 kg e o tirante faz um ângulo de 12 graus com a horizontal qual será a massa do bloco 3102 A haste de vidro de um densímetro utilizado na medição de densidade relativa tem 5 mm de diâmetro A distância entre marcas na haste é de 2 mm por 01 mm de incremento de densidade relativa Calcule o módulo e o sentido da tendência do erro introduzido pela tensão superficial se o densímetro flutua em querosene Considere que o ângulo de contato entre o querosene e o vidro é zero grau 3103 Uma esfera de raio R está parcialmente imersa a uma profundidade d em um líquido com densidade relativa SG Obtenha uma expressão algébrica para a força de empuxo atuando sobre a esfera como uma função da profundidade de submersão d Plote os resultados para um faixa de profundidade na água de 0 d 2R 3104 Se a massa M no Problema 3101 for liberada do tirante quanto do tirante permanecerá submerso na nova condição de equilíbrio Qual será a força mínima para cima necessária para levantar a extremidade do tirante até imediatamente fora dágua 3105 Em uma operação de extração de madeira a tora de madeira flutua rio abaixo em direção a uma serraria É um ano seco e o leito do rio está tão baixo que em alguns locais a profundidade é de 60 cm Qual é o maior diâmetro de tora que pode ser transportado dessa forma partindo de uma distância mínima de 5 cm entre a tora e o fundo do rio e considerando que a madeira tem SG 08 3106 Uma esfera de raio 25 mm feita de material de densidade específica SG 095 está submersa em um tanque contendo água A esfera é colocada sobre um furo de raio 188 mm no fundo do tanque Quando a esfera é solta ela permanecerá no fundo do tanque ou flutuará para a superfície 3107 Uma tora cilíndrica com D 03 m e L 4 m é mais pesada na sua extremidade inferior de modo que flutua verticalmente com 3 m submersos na água Quando deslocada verticalmente da sua posição de equilíbrio a tora oscila ou saltita na direção vertical ao ser solta Estime a frequência de oscilação da tora Despreze efeitos viscosos e o movimento da água 3108 Você está no Triângulo das Bermudas quando vê uma erupção de plumas de bolhas uma extensa massa de bolhas de ar similar a uma espuma fora e ao lado do barco Você gostaria de ir em direção a ela e sentir a sua ação Qual é a massa específica da mistura de água e bolhas de ar no desenho à direita que causará o afundamento do barco Seu barco tem 3 m de comprimento e o peso é o mesmo em ambos os casos 3109 Uma tigela é invertida e emborcada em um fluido denso com densidade relativa SG 156 A tigela é mantida a uma profundidade de 200 mm medida ao longo de sua linha central e a partir do seu fundo externo A tigela tem uma altura de 80 mm e o fluido denso penetra 20 mm dentro dela A tigela é única o diâmetro interno da base vale 100 mm e ela é feita de uma velha receita de barro de densidade relativa SG 61 O volume da tigela é aproximadamente 09 L Qual é a força necessária para mantêla no local 3110 Em um brinquedo infantil um mergulhador em miniatura é imerso em uma coluna de líquido Quando um diafragma no topo da coluna é empurrado para baixo o mergulhador afunda Quando o diafragma é liberado o mergulhador sobe de novo Explique o princípio de funcionamento desse brinquedo 3111 Considere um funil cônico imerso lentamente com a boca maior para baixo em um recipiente com água Discuta a força necessária para submergir o funil se a sua ponta estiver aberta para a atmosfera Compare com a força necessária para submergir o funil quando sua ponta estiver bloqueada com uma rolha 3112 Três bolas de aço cada uma com um diâmetro em torno de meio centímetro estão no fundo de uma concha plástica que flutua na superfície da água em um balde parcialmente cheio Alguém remove as bolas de aço da concha e cuidadosamente as conduz ao fundo do balde deixando a concha flutuar vazia O que acontece com o nível da água no balde Ele aumenta abaixa ou permanece inalterado Explique 3113 Um esquema proposto para resgate em altomar envolve o bombeamento de ar em bolsões colocados dentro e em volta da embarcação naufragada Discuta a praticidade dessa estratégia fundamentando suas conclusões em análises consistentes Fluidos em Movimento de Corpo Rígido 3114 Um contêiner cilíndrico semelhante ao analisado no Exemplo 310 no site da LTC Editora é girado a uma velocidade angular constante de 2 Hz em torno do seu eixo O cilindro tem 05 m de diâmetro e inicialmente contém água com profundidade de 03 m Determine a altura da superfície livre do líquido ao centro do contêiner A sua resposta depende da massa específica do líquido Explique 3115 Um acelerômetro rudimentar pode ser feito com um tubo em U cheio de líquido conforme mostrado Deduza uma expressão para a diferença de nível h causada por uma aceleração em termos da geometria do tubo e das propriedades do fluido 3116 Um contêiner de água retangular é submetido a uma aceleração constante na descida de um plano inclinado conforme mostrado Determine a inclinação da superfície livre usando o sistema de coordenadas indicado 3117 O tubo em U mostrado está cheio com água a T 20ºC Ele é vedado em A e aberto para a atmosfera em D O tubo gira a 1600 rpm em torno do eixo vertical AB Para as dimensões mostradas ocorreria cavitação no tubo 3118 Se o tubo em U do Problema 3117 for centrifugado a 300 rpm qual será a pressão em A Se uma pequena trinca aparecer em A quanta água será perdida em D 3119 Um micromanômetro centrífugo pode ser usado para criar pequenas e precisas pressões diferenciais no ar para trabalhos de medição de alta precisão O dispositivo consiste em um par de discos paralelos que giram desenvolvendo uma diferença de pressão radial Não há escoamento entre os discos Obtenha uma expressão para a diferença de pressão em termos da velocidade de rotação raio do dispositivo e massa específica do ar Avalie a velocidade de rotação necessária para desenvolver uma pressão diferencial de 8 μm de água usando um dispositivo com 50 mm de raio 3120 Um tubo de ensaio é girado em uma centrifuga O suporte do tubo é montado em um pivô de modo que o tubo báscula para fora à medida que a rotação aumenta Para altas velocidades o tubo fica aproximadamente na horizontal Encontre a uma expressão para a componente radial da aceleração de um elemento líquido localizado no raio r b o gradiente de pressão radial dpdr e c a velocidade angular requerida para gerar uma pressão de 250 MPa no fundo de um tubo de ensaio contendo água A superfície livre e o fundo do tubo têm raios de giro de 50 e 130 mm respectivamente 3121 Um contêiner retangular com dimensões da base 04 m 02 m e altura 04 m contém água com uma profundidade de 02 m a massa do recipiente vazio é l0 kg O contêiner é colocado em um plano inclinado de 30 com a horizontal Determine o ângulo da superfície da água em relação à horizontal para um coeficiente de atrito de deslizamento entre o recipiente e o plano de 03 3122 Se o recipiente do Problema 3121 desliza sem atrito determine o ângulo da superfície da água em relação à horizontal Qual é a inclinação da superfície livre da água para a mesma aceleração da rampa acima 3123 Uma caixa cúbica de arestas de 80 cm preenchida até a metade com óleo SG 080 recebe uma aceleração horizontal constante igual a 025 g paralela a uma das bordas Determine a inclinação da superfície livre e a pressão ao longo do fundo horizontal da caixa 3124 Centrífugas de gás são usadas em um processo de produção de urânio enriquecido para varetas de combustível nuclear A velocidade periférica máxima de um gás nessas centrífugas é limitada por considerações de tensões a cerca de 300 ms Considere uma centrífuga contendo hexafluoreto de urânio gasoso com massa molecular Mm 352 e comportamento de gás ideal Desenvolva uma expressão para a razão entre a pressão máxima e a pressão no eixo da centrífuga Avalie a razão para uma temperatura do gás de 325ºC 3125 Um balde cilíndrico com diâmetro e altura de 400 mm pesa 15 N e contém água até uma altura de 200 mm O balde é girado a 5 ms em uma trajetória circular vertical de raio igual a 1 m Suponha que o movimento da água seja de corpo rígido No instante em que o balde está no cume de sua trajetória calcule a tração na corda e a pressão no fundo do balde 3126 Uma lata de refrigerante parcialmente cheia é colocada na borda externa de um carrossel localizada a R 15 m do eixo de rotação O diâmetro da lata é D 65 mm e a sua altura é H 120 mm A lata contém refrigerante pela metade com densidade relativa SG 105 Avalie a inclinação da superfície líquida na lata se o carrossel gira a uma velocidade de 20 rpm Calcule a velocidade de rotação para a qual o líquido transbordará supondo que não há deslizamento da lata O que é mais provável a lata escorregar ou o líquido transbordar 3127 Quando uma bola de polo aquático é imersa abaixo da superfície em uma piscina e solta a partir do repouso observase que a mesma pula para fora dágua Qual seria a altura provável atingida pela bola fora dágua em função da profundidade de submersão da bola na piscina Você esperaria o mesmo resultado para uma bola de praia E para uma bola de tênis de mesa 3128 Moldes de ferro fundido ou de aço são usados em máquinas rotativas de eixo horizontal para a fabricação de peças fundidas tubulares Uma carga de metal líquido é vazada dentro do molde giratório A aceleração radial permite a obtenção de espessuras de parede aproximadamente uniformes Um tubo de aço com comprimento L 2 m raio externo ro 015 m e raio interno ri 010 m deve ser fabricado por esse processo Para obter espessura aproximadamente uniforme a velocidade angular mínima deve ser de 300 rpm Determine a a aceleração radial resultante sobre a superfície interior do revestimento de aço e b a pressão máxima e a pressão mínima na superfície do molde 3129 A análise do Problema 3121 sugere que talvez seja possível determinar o coeficiente de atrito de deslizamento entre duas superfícies pela medida do ângulo da superfície livre em um recipiente contendo líquido e deslizando para baixo em uma superfície inclinada Investigue a viabilidade dessa ideia Esta seção pode ser omitida sem perda de continuidade no material do texto Esta seção pode ser omitida sem perda de continuidade no material do texto Esta seção pode ser omitida sem perda de continuidade no material do texto Estes problemas requerem material das seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Estes problemas requerem material das seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Estes problemas requerem material das seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Estes problemas requerem material das seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Equações Básicas na Forma Integral para um Volume de Controle 41 Leis Básicas para um Sistema 42 Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume de Controle 43 Conservação de Massa 44 Equação da Quantidade de Movimento para um Volume de Controle Inercial 45 Equação da Quantidade de Movimento para um Volume de Controle com Aceleração Retilínea 46 Equação da Quantidade de Movimento para Volume de Controle com Aceleração Arbitrária no Site da LTC Editora 47 O Princípio da Quantidade de Movimento Angular 48 A Primeira Lei da Termodinâmica 49 A Segunda Lei da Termodinâmica 410 Resumo e Equações Úteis Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente Energia das Ondas Conversor de Energia das Ondas Pelamis Como vimos no Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente anterior existe muita energia renovável nas ondas do oceano que pode ser explorada Um bom exemplo de uma máquina para fazer isso é o Conversor de Energia das Ondas Pelamis desenvolvido pela Companhia de Energia Pelamis Ltda na Escócia Esse conversor foi a primeira máquina do mundo em escala comercial a gerar energia e a fornecêla para uma rede de energia de ondas do mar e foi a primeira a ser usada em um projeto comercial em uma espécie de fazenda de ondas Esquema de uma possível fazenda de ondas Pelamis Figura de cortesia da Companhia de Energia Pelamis Ltda A máquina de geração de eletricidade pela energia das ondas consiste em uma estrutura parcialmente submersa composta de seções cilíndricas conectadas por juntas articuladas Como as ondas passam sobre a estrutura o movimento de flexão das juntas de gerado pelas forças de empuxo discutidas no Capítulo 3 é resistido por um arranjo de carneiros hidráulicos dentro das seções cilíndricas esses carneiros são usados para bombear um fluido à alta pressão através de motores hidráulicos que em última análise acionam geradores elétricos para produzir eletricidade A energia que é gerada em cada junta é enviada por um único cabo até um dispositivo de junção no fundo do mar diversos dispositivos podem ser conectados juntos como sugerido no esquema e ligados à costa através de um cabo submarino As últimas gerações de máquinas têm 180 metros de comprimento elas apresentam quatro seções cada uma com 45 metros e 4 metros de diâmetro com quatro módulos de conversores de energia Cada máquina pode gerar até 750 quilowatts dependendo das condições ambientais locais elas vão produzir de 25 a 40 da produção total avaliada em média ao longo de um ano Assim cada máquina pode fornecer energia suficiente para atender a demanda anual de eletricidade de cerca de 500 casas Isso não é uma tecnologia do futuro as três primeiras gerações de máquinas já foram instaladas na costa de Portugal e uma máquina está sendo construída e quatro unidades gerando 3 megawatts de potência estão sendo projetadas para uso no litoral norte da Escócia A Companhia de Energia Pelamis Ltda também manifestou interesse de instalar máquinas Pelamis na costa de Cornwall na Inglaterra e no Oceano Pacífico na costa de Tillamook no Oregon nos Estados Unidos As máquinas Pelamis têm muitas vantagens elas são duráveis e de baixa manutenção usam tecnologia disponível e geram eletricidade barata Estamos agora prontos para estudar fluidos em movimento e devemos decidir como examinar um escoamento fluido Existem duas opções disponíveis discutidas no Capítulo 1 1 Podemos estudar o movimento de uma partícula individual de fluido ou um grupo de partículas conforme elas se movem através do espaço Esta é a abordagem de sistema que possui a vantagem de que as leis físicas por exemplo a segunda lei de Newton d dt em que é a força e d dt é a taxa de variação da quantidade de movimento do fluido se aplicam à matéria e portanto diretamente ao sistema Uma desvantagem é que a matemática associada a essa abordagem pode se tornar um tanto complicada normalmente levando a um conjunto de equações diferenciais parciais Examinaremos essa metodologia em detalhes no Capítulo 5 A abordagem de sistema é necessária se estivermos interessados em estudar a trajetória de partículas ao longo do tempo por exemplo em estudos de poluição 2 Podemos estudar uma região do espaço conforme o fluido escoa através dela que é a abordagem de volume de controle Esse é frequentemente o método escolhido pois ele possui uma grande quantidade de aplicações práticas por exemplo em aerodinâmica geralmente estamos mais interessados na sustentação e no arrasto sobre uma asa que é selecionada como parte do volume de controle do que saber o que acontece com partículas individuais do fluido A desvantagem dessa abordagem é que as leis da física aplicamse à matéria e não diretamente à região do espaço de modo que devemos trabalhar matematicamente para converter as leis físicas de sua formulação para sistema para a formulação de volume de controle Examinaremos a abordagem de volume de controle neste capítulo O leitor atento notará que este capítulo possui a palavra integral em seu título e que o Capítulo 5 possui a palavra diferencial Esta é uma distinção importante ela indica que estudaremos uma região finita neste capítulo e o movimento de uma partícula um infinitesimal no Capítulo 5 apesar de que na Seção 44 vamos analisar um volume de controle diferencial para deduzir a famosa equação de Bernoulli A agenda para este capítulo é rever as leis da física tal como elas se aplicam a um sistema Seção 41 desenvolver um pouco de matemática para converter a representação de um sistema para um volume de controle Seção 42 e obter fórmulas para as leis físicas para a análise de volume de controle por meio da combinação dos resultados das Seções 41 e 42 41 Leis Básicas para um Sistema As leis básicas que aplicaremos são a conservação da massa a segunda lei de Newton o princípio da quantidade de movimento angular e a primeira e segunda leis de termodinâmica Para converter este sistema de equações em fórmulas equivalentes para volume de controle desejamos expressar cada uma das leis como uma equação de taxa Conservação de Massa Para um sistema por definição uma quantidade de matéria fixa M que escolhemos temos o resultado simples de que M constante Entretanto como desejamos expressar cada lei física como uma equação de taxa escrevemos em que Segunda Lei de Newton Para um sistema com movimento relativo a um sistema de referência inercial a segunda lei de Newton estabelece que a soma de todas as forças externas agindo sobre o sistema é igual à taxa de variação com o tempo da quantidade de movimento linear do sistema em que a quantidade de movimento linear do sistema é dada por O Princípio da Quantidade de Movimento Angular O princípio da quantidade de movimento angular para um sistema estabelece que a taxa de variação da quantidade de movimento angular é igual à soma de todos os torques atuando sobre o sistema em que a quantidade de movimento angular do sistema é dada por O torque pode ser produzido por forças de superfície e de campo neste caso a gravidade e também por eixos que cruzam a fronteira do sistema A Primeira Lei da Termodinâmica A primeira lei da termodinâmica é um enunciado da conservação de energia para um sistema δQ δW dE Esta equação pode ser escrita na forma de taxa como em que a energia total do sistema é dada por e Na Eq 44a a taxa de transferência de calor é positivo quando calor é adicionado ao sistema pela sua vizinhança a taxa de trabalho é positivo quando o trabalho é realizado pelo sistema sobre sua vizinhança Na Eq 44c u é a energia interna específica V a velocidade e z a altura relativa a uma referência conveniente de uma partícula de substância de massa dm A Segunda Lei da Termodinâmica Se uma quantidade de calor δQ for transferida para um sistema à temperatura T a segunda lei da termodinâmica estabelece que a variação de entropia dS do sistema satisfaz a relação Em uma base de taxa podemos escrever em que a entropia total do sistema é dada por 42 Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume de Controle Agora temos as cinco leis básicas expressas como equações de taxa para um sistema Nosso trabalho nesta seção é desenvolver uma expressão geral para converter uma equação de taxa para um sistema em uma equação equivalente para um volume de controle Em vez de converter as equações para taxas de variação de M E e S Eqs 41a 42a 43a 44a e 45a uma a uma representamos todas as variáveis pelo símbolo N Portanto N representa a quantidade de massa ou quantidade de movimento ou quantidade de movimento angular ou energia ou entropia de um sistema Correspondendo a esta propriedade extensiva necessitaremos também da propriedade intensiva isto é por unidade de massa η Portanto Comparando a Eq 46 com as Eqs 4lb 42b 43b 44b e 45b constatamos que se N M enlão η 1 N enlão η N enlão η X N E enlão η e N S enlão η s Como podemos deduzir uma descrição para volume de controle a partir da descrição de sistema de um escoamento Antes de responder especificamente essa questão nós podemos descrever a dedução em termos gerais Vamos imaginar que nós selecionamos uma porção arbitrária de um fluido em escoamento em algum instante t0 conforme mostrado na Fig 41a poderíamos imaginar que tingimos essa porção de fluido digamos com um corante azul Essa forma inicial do sistema fluido é escolhida como nosso volume de controle que está fixo no espaço relativo às coordenadas xyz Após um tempo infinitesimal Δt o sistema terá se movimentado provavelmente modificando sua forma para um novo local conforme mostrado na Fig 41b As leis que nós discutimos anteriormente se aplicam a essa porção de fluido por exemplo sua massa será constante Eq 41a Examinando cuidadosamente a geometria do par sistemavolume de controle em t t0 e em t t0 Δt seremos capazes de obter as formulações das leis básicas para um volume de controle Fig 41 Configuração para sistema e volume de controle Derivação Observando a Fig 41 notamos que o sistema que estava inteiramente dentro do volume de controle no instante t0 está parcialmente fora do volume de controle no instante t0 Δt De fato três regiões podem ser identificadas São elas as regiões I e II que juntas formam o volume de controle e a região III que junto com a região II delimita o sistema no instante t0 Δt Lembrese de que o nosso objetivo é relacionar a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva arbitrária N do sistema com quantidades associadas ao volume de controle Da definição de uma derivada a taxa de variação de Nsistema é dada por Por conveniência o índice s foi usado para denotar o sistema na definição de uma derivada na Eq 47 Da geometria da Fig 41 Nst0 Δt NII NIIIt0 Δt NVC N1 NIIIt0 Δt e Nst0 NVCt0 Substituindo na definição da derivada do sistema Eq 47 obtivemos Como o limite da soma é igual à soma dos limites podemos escrever A nossa tarefa agora é avaliar cada um dos três termos da Eq 48 O termo na Eq 48 é simplificado para Para avaliar o termo primeiro desenvolveremos uma expressão para NIIIt0 Δt examinando a vista ampliada de uma subregião típica da região III subregião 3 mostrada na Fig 42 O vetor elemento de área d tem o módulo do elemento de área dA da superfície de controle o sentido de d é o da normal à superfície para fora do elemento Em geral o vetor velocidade V fará um ângulo qualquer α com relação a d Fig 42 Vista ampliada da subregião 3 da Fig 41 Para essa subregião temos dNIIIt0 Δt η ρ d t0 Δt Precisamos obter uma expressão para o volume d deste elemento cilíndrico O vetor comprimento do cilindro é dado por Δ Δt O volume de um cilindro prismático cuja área d está em um ângulo α com relação ao seu comprimento é dado por d Δl dA cos α Δ d d Δt Portanto para a subregião 3 podemos escrever dNIIIt0 Δt η ρ d Δt Desse modo podemos integrar sobre toda a região III e obter para o termo na Eq 48 Podemos desenvolver uma análise similar para a subregião 1 e obter para o termo na Eq 48 Para a subregião 1 o vetor velocidade age para dentro do volume de controle mas a normal à área sempre por convenção aponta para fora ângulo α π2 de modo que o produto escalar na Eq 49c é negativo Portanto o sinal negativo na Eq 49c é necessário para cancelar o resultado negativo do produto escalar para certificar a obtenção de um resultado positivo para a quantidade de matéria que estava na região I não podemos ter matéria negativa Este conceito do sinal do produto escalar é ilustrado na Fig 43 para a o caso geral de uma entrada ou saída b uma velocidade de saída paralela à normal à superfície e c uma velocidade de entrada paralela à normal à superfície Os casos b e c são obviamente casos especiais convenientes de a o valor do cosseno no caso a gera automaticamente o sinal correto tanto na entrada quanto na saída Finalmente podemos usar as Eqs 49a 49b e 49c na Eq 48 para obter e as duas últimas integrais podem ser combinadas porque SCI e SCIII constituem a superfície de controle inteira Fig 43 Avaliando o produto escalar A Eq 410 é a relação que buscávamos obter É a relação fundamental entre a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva arbitrária N de um sistema e as variações dessa propriedade associadas a um volume de controle Alguns autores referemse à Eq 410 como o Teorema de Transporte de Reynolds Interpretação Física Foram necessárias várias páginas mas atingimos o nosso objetivo agora temos uma fórmula Eq 410 que podemos usar para converter a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva N de um sistema para uma formulação equivalente para uso com um volume de controle Agora podemos usar a Eq 410 nas várias equações das leis físicas fundamentais Eqs 41a 42a 43a 44a e 45a uma a uma com N substituído por cada uma das propriedades M E e S com os símbolos correspondentes para η para substituir as derivadas do sistema com as expressões para o volume de controle Como esta equação é considerada básica vamos repetila para enfatizar a sua importância Neste momento é necessário que seja claro o seguinte o sistema é a matéria que está passando através do volume de controle escolhido e no instante escolhido Por exemplo se escolhemos como um volume de controle a região contida por uma asa de aeronave e por um limite imaginário retangular em torno dela o sistema seria a massa de ar que está instantaneamente contida entre o retângulo e o aerofólio Antes de aplicar a Eq 410 às leis físicas vamos discutir o significado de cada termo da equação é a taxa de variação da propriedade extensiva do sistema N Por exemplo se N obtemos a taxa de variação da quantidade de movimento é a taxa de variação da quantidade da propriedade N dentro do volume de controle O termo VC η ρ d calcula o valor instantâneo de N dentro do volume de controle VC η ρ d é a massa instantânea dentro do volume de controle Por exemplo se N então η e VC ρd e calculam a quantidade instantânea de quantidade de movimento no volume de controle é a taxa na qual a propriedade N está saindo da superfície do volume de controle O termo calcula a taxa de transferência de calor saindo através do elemento de área da superfície de controle multiplicandose por η calculase a taxa de fluxo da propriedade N através do elemento e por consequência a integração calcula o fluxo líquido de N para fora do volume de controle Por exemplo se N então η e VC ρ d e calculam o fluxo líquido de quantidade de movimento para fora do volume de controle Vamos fazer dois comentários sobre a velocidade na Eq 410 Primeiramente reiteramos a discussão para a Fig 43 de que deve ser tomado cuidado na avaliação do produto escalar como está sempre direcionado para fora o produto escalar será positivo quando está para fora e negativo quando está para dentro Em segundo lugar é medido com relação ao volume de controle quando as coordenadas do volume de controle xyz estão estacionárias ou se movendo com uma velocidade linear constante o volume de controle constituirá um sistema inercial e as leis físicas especificamente a segunda lei de Newton que descrevemos serão aplicadas1 Com esses comentários estamos preparados para combinar as leis físicas Eqs 41a 42a 43a 44a e 45a com a Eq 410 para obter algumas equações úteis para volume de controle 43 Conservação de Massa O primeiro princípio físico para o qual nós aplicamos a relação entre as formulações de sistema e de volume de controle é o princípio de conservação da massa a massa do sistema permanece constante em que As formulações de sistema e de volume de controle são relacionadas pela Eq 410 em que Para deduzir a formulação de volume de controle da conservação de massa fazemos N M e η 1 Com essa substituição obtivemos Comparando as Eqs 4la e 411 chegamos após rearranjos à formulação de volume de controle da conservação de massa Na Eq 412 o primeiro termo representa a taxa de variação da massa dentro do volume de controle o segundo termo representa a taxa líquida de fluxo de massa para fora através da superfície de controle A Eq 412 indica que a soma da taxa de variação da massa dentro do volume de controle com a taxa líquida de fluxo de massa através da superfície de controle é zero A equação da conservação da massa é também chamada de equação da continuidade Em outras palavras a taxa de aumento da massa no volume de controle é decorrente do fluxo líquido de entrada de massa Taxa de aumento de masse no VC Taxa líquida de massa para dentro do VC VÍDEO Conservação de Massa Enchimento de um Tanque em inglês Mais uma vez notamos que ao usar a Eq 412 um cuidado deve ser tomado na avaliação do produto escalar d VdA cos α ele poda ser positivo escomentos para fora α π2 negativo escoamento para dentro α π2 ou mesmo zero α π2 Lembrese de que a Fig 43 ilustra o caso geral bem como os casos convenientes α 0 e α π Casos Especiais Em casos especiais é possível simplificar a Eq 412 Considere primeiramente o caso de um fluido incompressível no qual a massa específica permanece constante Quando ρ é constante ele não é uma função do espaço e nem do tempo Consequentemente para fluidos incompressíveis a Eq 412 pode ser escrita como A integral de sobre todo o volume de controle é simplesmente o volume total do volume de controle Assim dividindo por ρ escrevemos Para um volume de controle não deformável de forma e tamanho fixos constante A conservação de massa para escoamento incompressível através de um volume de controle fixo tornase Um caso especial útil é quando a velocidade é ou pode ser aproximada como uniforme em cada entrada e saída Neste caso a Eq 413a é simplificada para Note que não consideramos escoamento permanente na redução da Eq 412 para as formas 413a e 413b Impusemos apenas a restrição de escoamento incompressível Assim as Eqs 413a e 413b são expressões da conservação de massa para um escoamento de um fluido incompressível que pode ser em regime permanente ou em regime transiente As dimensões do integrando na Eq 413a são L3t A integral sobre uma seção da superfície de controle é comumente chamada taxa de fluxo de volume ou vazão em volume ou ainda vazão volumétrica Desse modo para um escoamento incompressível a vazão volumétrica para dentro de um volume de controle deve ser igual à vazão volumétrica para fora do volume de controle A vazão volumétrica Q através de uma seção de uma superfície de controle de área A é dada por O módulo da velocidade média em uma seção é definido por Considere agora o caso geral de escoamento permanente compressível através de um volume de controle fixo Como o escoamento é permanente significa que no máximo ρ ρx y z Por definição nenhuma propriedade do fluido varia com o tempo em um escoamento permanente Consequentemente o primeiro termo da Eq 412 deve ser zero e assim para escoamento permanente o enunciado da conservação de massa reduzse a Um caso especial útil é quando a velocidade é ou pode ser aproximada como uniforme em cada entrada e saída Nesse caso a Eq 415a é simplificada para Então para escoamento permanente a vazão mássica para dentro do volume de controle deve ser igual à vazão mássica para fora do volume de controle Vamos agora considerar três Exemplos para ilustrar algumas peculiaridades das diversas formas da equação da conservação de massa para um volume de controle O Exemplo 41 ilustra uma situação na qual existe escoamento uniforme em todas as seções o Exemplo 42 ilustra uma situação na qual temos escoamento não uniforme em uma seção e o Exemplo 43 ilustra uma situação de escoamento transiente Exemplo 41 FLUXO DE MASSA EM UMA JUNÇÃO DE TUBOS Considere o escoamento permanente de água em uma junção de tubos conforme mostrado no diagrama As áreas das seções são A1 02 m2 A2 02 m2 e A3 015 m2 O fluido também vaza para fora do tubo através de um orifício em com uma vazão volumétrica estimada em 01 m3s As velocidades médias nas seções e são V1 5 ms e V3 12 ms respectivamente Determine a velocidade do escoamento na seção Dados Escoamento permanente de água através do dispositivo mostrado A1 02 m2 A2 02 m2 A3 015 m2 V1 5ms V3 12ms ρ 999kgm3 Vazão volumétrica em 01 m3s Determinar A velocidade na seção Solução Escolha um volume de controle fixo conforme mostrado Considere a hipótese de que o escoamento na seção é para fora e sinalize no diagrama se esta suposição for incorreta o resultado final nos dirá Equação básica A equação geral para um volume de controle é a Eq 412 porém podemos escrever imediatamente a Eq 413b por causa das considerações 2 e 3 a seguir ΣSC 0 Considerações 1 Escoamento permanente dado 2 Escoamento incompressível 3 Propriedades uniformes em cada seção Por isso usando a Eq 414a para o vazamento em que Q4 é a vazão volumétrica do vazamento Vamos examinar os três primeiros termos na Eq 1 com base na Fig 43 e nos sentidos dos vetores velocidades Usando estes resultados na Eq 1 V1A1 V2A2 V3A3 Q4 0 ou Lembrese de que V2 representa o módulo da velocidade que foi suposta apontar para fora do volume de controle O fato de V2 ter sinal negativo significa que na verdade temos uma entrada de escoamento na seção a nossa suposição inicial não era válida Este problema demonstra o uso da convenção de sinais para avaliar A d ou ΣSC Em particular a normal à área é ou sempre traçada para fora da superfície de controle Exemplo 42 VAZÃO MÁSSICA NA CAMADALIMITE O fluido em contato direto com uma fronteira sólida estacionária tem velocidade zero não há deslizamento na fronteira Então o escoamento sobre uma placa plana aderese à superfície da placa e forma uma camadalimite como esquematizado a seguir O escoamento a montante da placa é uniforme com velocidade UîU 30 ms A distribuição de velocidade dentro da camadalimite 0 y δ ao longo de cd é aproximada por uU 2y δ yδ2 A espessura da camadalimite na posição d é δ 5 mm O fluido é ar com massa específica ρ 124 kgm3 Supondo que a largura da placa perpendicular ao papel seja w 06 m calcule a vazão mássica através da superfície bc do volume de controle abcd Dados Escoamento permanente incompressível sobre uma placa plana ρ 124 kgm3 Largura da placa w 06 m A velocidade a montante da placa é uniforme U U 30 ms Determinar A vazão mássica através da superfície bc Solução O volume de controle fixo é mostrado pelas linhas tracejadas Equação básica A equação geral para um volume de controle é a Eq 412 porém podemos escrever diretamente a Eq 415a por causa da consideração 1 a seguir SC ρ d 0 Considerações 1 Escoamento permanente dado 2 Escoamento incompressível dado 3 Escoamento bidimensional as propriedades são independentes de z Considerando que não exista escoamento na direção z temse Precisamos avaliar as integrais no lado direito da equação Para uma profundidade w na direção z obtivemos Substituindo na Eq 1 obtivemos Este problema demonstra o uso da equação da conservação da massa quando temos escoamento não uniforme em uma seção Exemplo 43 VARIAÇÃO DE MASSA ESPECÍFICA EM TANQUE DE VENTILAÇÃO Um tanque com volume de 005 m3 contém ar a 800 kPa absoluta e 15ºC Em t 0 o ar começa a escapar do tanque por meio de uma válvula com área de escoamento de 65 mm2 O ar passando pela válvula tem velocidade de 300 ms e massa específica de 6 kgm3 Determine a taxa instantânea de variação da massa específica do ar no tanque em t 0 Dados Um tanque de volume 005 m3 contendo ar a p 800 kPa absoluta e T 15ºC Em t 0 o ar começa a escapar por uma válvula O ar sai com velocidade V 300 ms e massa específica ρ 6 kgm3 por meio de uma área A 65 mm2 Determinar A taxa de variação da massa específica do ar no tanque em t 0 Solução Escolha um volume de controle fixo conforme mostrado pela linha tracejada Equação básica Considerações 1 As propriedades no tanque são uniformes mas dependentes do tempo 2 Escoamento uniforme na seção Uma vez que as propriedades são consideradas uniformes no tanque em qualquer instante podemos colocar ρ para fora da integral do primeiro termo Mas e então O único lugar onde massa atravessa a fronteira do volume de controle é na seção Assim Na superfície o sinal de é positivo de modo que Como o escoamento é considerado uniforme sobre a superfície então Uma vez que o volume do tanque não é uma função do tempo e Em t 0 Este problema demonstra o uso da equação de conservação da massa para problemas de escoamento em regime transiente 44 Equação da Quantidade de Movimento para um Volume de Controle Inercial Agora nós desejamos obter uma formulação matemática da segunda lei de Newton adequada para aplicação a um volume de controle Usamos o mesmo procedimento adotado para a conservação da massa com uma nota de precaução as coordenadas do volume de controle em relação as quais medimos todas as velocidades são inerciais isto é as coordenadas do volume de controle xyz estão em repouso ou movendose a velocidade constante em relação a um conjunto de coordenadas absolutas XYZ Nas Seções 46 e 47 serão analisados os volumes de controle não inerciais Iniciamos com a formulação matemática para um sistema e em seguida usamos a Eq 410 para chegar à formulação para volume de controle Lembrese de que a segunda lei de Newton para um sistema movendose em relação a um sistema de coordenadas inerciais foi dada pela Eq 42a como em que a quantidade de movimento linear do sistema é dada por e a força resultante inclui todas as forças de campo e de superfície atuando sobre o sistema S B As formulações para sistema e para volume de controle são relacionadas usando a Eq 410 Para deduzir a formulação para volume de controle da segunda lei de Newton fazemos N e η Da Eq 410 com esta substituição obtivemos Da Eq 42a Como na dedução da Eq 410 o sistema e o volume de controle coincidiam em t0 segue que sobre o sistema sobre o volume de controle À luz disso as Eqs 42a e 416 podem ser combinadas para dar a formulação da segunda lei de Newton para um volume de controle não acelerado Para os casos quando temos escoamento uniforme em cada entrada e saída podemos usar As Eqs 417a e 417b são as nossas formulações sem aceleração para a segunda lei de Newton Ela estabelece que a força total devido às forças de superfície e de campo atuando sobre o volume de controle leva à taxa de variação da quantidade de movimento dentro do volume de controle a integral de volume eou à taxa líquida na qual a quantidade de movimento está saindo do volume de controle através da superfície de controle Devemos ter um pouco de cuidado na aplicação das Eqs 417 O primeiro passo será sempre escolher cuidadosamente um volume de controle e sua superfície de controle de forma que possamos avaliar a integral de volume e a integral de superfície ou somatório cada entrada e saída deve ser cuidadosamente rotulada de modo a indicar como as forças externas agem Em mecânica dos fluidos a força de campo é normalmente a gravidade e B VC ρ d VC M em que é a aceleração da gravidade e VC é o peso instantâneo de todo o volume de controle Em muitas aplicações a força de superfície é decorrente da pressão S A ρd Note que o sinal negativo é para assegurar que sempre calculamos as forças de pressão atuando sobre a superfície de controle lembrese de que d foi escolhido para ser um vetor apontando para fora do volume de controle Vale a pena ressaltar que mesmo em pontos sobre a superfície que possui um escoamento para fora a força de pressão atua sobre o volume de controle Nas Eqs 417 devemos também ter cuidado na avaliação de SC ρ d ou ΣSC ρ isso pode ser fácil de fazer se escrevermos essas expressões com parênteses subentendidos SC ρ d ou ΣSC ρ A velocidade V deve ser medida com relação às coordenadas do volume de controle xyz com os sinais apropriados para as componentes vetoriais u ν e w lembre também que o produto escalar será positivo para escoamentos para fora e negativo para escoamentos para dentro referentes à Fig 43 A equação da quantidade de movimento Eqs 417 é uma equação vetorial Geralmente escreveremos as três componentes escalares como medidas nas coordenadas xyz do volume de controle ou para escoamento uniforme em cada entrada e saída Note que conforme achamos para a equação da conservação da massa Eq 412 para escoamento em regime permanente o primeiro termo no lado direito nas Eqs 417 e 418 é zero VÍDEO Efeito da Quantidade de Movimento Um Jato Impactando uma Superfície em inglês Examinaremos agora Exemplos para ilustrar algumas peculiaridades das várias formas da equação da quantidade de movimento para um volume de controle O Exemplo 44 demonstra como uma escolha inteligente do volume de controle pode simplificar a análise do problema o Exemplo 45 ilustra uma situação em que existem forças de campo significativas o Exemplo 46 explica como simplificar a avaliação de forças de superfície trabalhando com pressões manométricas o Exemplo 47 envolve forças de superfície não uniformes e o Exemplo 48 ilustra uma situação de escoamento não permanente Exemplo 44 ESCOLHA DO VOLUME DE CONTROLE PARA ANÁLISE DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO A água sai de um bocal estacionário e atinge uma placa plana conforme mostrado A água deixa o bocal a 15 ms a área do bocal é 001 m2 Considerando que a água é dirigida normal à placa e que escoa totalmente ao longo da placa determine a força horizontal sobre o suporte Dados A água é dirigida de um bocal estacionário normal a uma placa plana o escoamento subsequente é paralelo à placa Velocidade do jato 15 ms Área do bocal An 001 m2 Determinar A força horizontal sobre o suporte Solução Já escolhemos um sistema de coordenadas quando definimos o problema Devemos agora escolher um volume de controle adequado Duas escolhas possíveis são mostradas pelas linhas tracejadas nas figuras Em ambos os casos a água proveniente do bocal cruza a superfície de controle através da área A1 considerada igual à área do bocal e considerase que ela deixa o volume de controle tangencialmente à superfície da placa no sentido y ou y Antes de tentarmos decidir sobre qual o melhor volume de controle vamos escrever as equações de governo Considerações 1 Escoamento permanente 2 Escoamento incompressível 3 Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do VC A despeito da nossa escolha do volume de controle as considerações 1 2 e 3 levam a S B ΣSC ρ e ΣSC ρ 0 A avaliação do termo de fluxo da quantidade de movimento conduzirá ao mesmo resultado para ambos os volumes de controle Devemos então escolher o volume de controle que permita a avaliação mais direta das forças Lembrese ao aplicar a equação da quantidade de movimento de que a força representa todas as forças atuando sobre o volume de controle Vamos resolver o problema utilizando cada um dos volumes de controle VCI O volume de controle foi selecionado de modo que a área da superfície esquerda seja igual à área da superfície direita Esta área é denotada por A O volume de controle atravessa o suporte Sejam Rx e Ry as componentes supostas positivas da força de reação do suporte sobre o volume de controle As componentes da força do volume de controle sobre o suporte são iguais e opostas a Rx e Ry A pressão atmosférica age sobre todas as superfícies do volume de controle Note que a pressão em um jato livre é a ambiente isto é a pressão atmosférica neste caso A força distribuída devido à pressão atmosférica foi mostrada somente nas faces verticais A força de campo no volume de controle é simbolizada por W Como estamos à procura da força horizontal escrevemos a componente x da equação da quantidade de movimento para escoamento permanente FSx FBx ΣSC u ρ Não há forças de campo na direção x logo FBx 0 e FSx ΣSC u ρ Para avaliar FSx devemos incluir todas as forças de superfície atuando sobre o volume de controle FSx patmA patmA Rx força devido a ação da pressão atmosferica para a direita direção positiva sobre a superficie esquerda força devido a ação da pressão atmosferica para a esquerda direção negativa sobre a superficie direita força sobre o suporte sobre o volume de controle considerada positiva Consequentemente FSx Rx e A força horizontal sobre o suporte é VCII com as Forças Horizontais Mostradas O volume de controle foi selecionado de modo que as áreas das superfícies esquerda e direita sejam iguais à área da placa Esta área é denotada por Ap O volume de controle está em contato com a placa sobre toda a sua superfície Seja Bx a força horizontal suposta positiva de reação da placa sobre o volume de controle A pressão atmosférica age sobre a superfície esquerda do volume de controle e sobre as duas superfícies horizontais A força de campo sobre o volume de controle não tem componente na direção x Desse modo a componente x da equação da quantidade de movimento FSx ΣSC u ρ resulta FSx patmAp Bx u ρ 1 u1V1A1 225 kN Então Bx patmAp 225 kN Para determinar a força líquida sobre a placa precisamos de um diagrama de corpo livre da placa ΣFx 0 Bx patmAp Rx Rx patmAp Bx Rx patmAp patmAp 225 kN 225 kN Assim a força horizontal sobre o suporte é Kx Rx 225 kN Note que a escolha de VCII resultou na necessidade de um novo diagrama de corpo livre Em geral é vantajoso selecionar o volume de controle de modo que a força aja explicitamente sobre o volume de controle Notas Este problema demonstra como uma escolha cuidadosa do volume de controle pode simplificar o uso da equação da quantidade de movimento A análise poderia ser muito simplificada se tivéssemos trabalhado com pressões manométricas veja o Exemplo 46 Para este problema a força gerada foi inteiramente decorrente da absorção da quantidade de movimento horizontal do jato pela placa Exemplo 45 TANQUE SOBRE BALANÇA FORÇA DE CAMPO Um recipiente de metal com 061 m de altura e seção reta interna de 009 m2 pesa 222 N quando vazio O recipiente é colocado sobre uma balança e a água escoa para o interior do recipiente por uma abertura no topo e para fora por meio de duas aberturas iguais nas laterais do recipiente conforme mostrado no diagrama Sob condições de escoamento permanente a altura da água no tanque é h 058 m A1 0009m2 1 3ĵ ms A2 A3 0009 m2 O seu chefe quer que a balança leia o peso do volume de água no tanque mais o peso do tanque isto é que o problema seja tratado como um simples problema de estática Você discorda dizendo que uma análise de escoamento do fluido é necessária Quem está certo e que leitura a balança indica Dados Recipiente metálico com altura de 061 m e seção reta A 009 m2 pesando 222 N quando vazio O recipiente repousa sobre uma balança Sob condições de escoamento permanente a profundidade da água é h 058 m A água entra verticalmente pela seção e sai horizontalmente através das seções e A1 0009m2 1 3ĵ ms A2 A3 0009 m2 Determinar A leitura da balança Solução Escolha um volume de controle como mostrado Ry é a força da balança sobre o volume de controle exercida sobre o volume de controle através dos suportes e é suposta como positiva O peso do tanque é designado por Wtanque o peso da água no tanque é WH2O A pressão atmosférica age uniformemente sobre todas as superfícies do volume de controle e portanto não possui efeito líquido sobre o volume de controle Por isso não foi mostrada a distribuição de pressões no diagrama Equações básicas As equações gerais para quantidade de movimento e conservação da massa em um volume de controle são as Eqs 417 e 412 respectivamente Note que nos exemplos anteriores nós começamos com as formas mais simples das equações da conservação da massa e da quantidade de movimento simplificadas como as considerações do problema por exemplo escoamento permanente Entretanto neste problema para fins de ilustração vamos começar com a formulação mais geral dessas equações Considerações 1 Escoamento permanente dado 2 Escoamento incompressível 3 Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do VC Nós estamos interessados apenas na componente y da equação da quantidade de movimento Usando estes resultados na Eq l resulta Ry Wtanque γAh v1 ρV1A1 Note que ν1 é1 a componente y da velocidade de modo que ν V1 sendo V1 3 ms é o módulo da velocidade Assim resolvendo para Ry Note que esta é a força da balança sobre o volume de controle é também a leitura da balança Podemos verificar que a leitura da balança devese ao peso do tanque 222 N ao peso instantâneo da água sobre o tanque 5116 N e à força de equilíbrio da quantidade de movimento do fluido para baixo na seção 81 N Portanto o procedimento sugerido pelo seu superior não é correto desconsiderar os resultados da quantidade de movimento resulta em um erro de quase 13 Este problema ilustra o uso da equação de quantidade de movimento incluindo forças de campo significativas Exemplo 46 ESCOAMENTO ATRAVÉS DE UM COTOVELO USO DE PRESSÕES MANOMÉTRICAS A água escoa em regime permanente através do cotovelo redutor de 90 mostrado no diagrama Na entrada do cotovelo a pressão absoluta é 220 kPa e a área da seção transversal é 001 m2 Na saída a área da seção transversal é 00025 m2 e a velocidade média é 16 ms O cotovelo descarrega para a atmosfera Determine a força necessária para manter o cotovelo estático Dados Escoamento em regime permanente de água através de um cotovelo redutor de 90 p1 220kPa abs A1 001 m2 2 16 ĵ ms A2 00025 m2 Determinar A força requerida para manter o cotovelo estático Solução Escolha um volume de controle fixo conforme mostrado Note que temos diversos cálculos de forças de superfície de p1 sobre a área A1 e de patm sobre as demais superfícies A saída na seção é para um jato livre e portanto para a pressão ambiente neste caso pressão atmosférica Aqui podemos usar uma simplificação Subtraindo patm de toda a superfície um efeito nulo no que se refere às forças podemos trabalhar com pressões manométricas conforme mostrado Note que como o cotovelo está ancorado no tubo de suprimento em adição às forças de reação Rx e Ry mostradas existirá também um momento de reação não mostrado Equações básicas Considerações 1 Escoamento uniforme em cada seção 2 Pressão atmosférica patm 101 kPa abs 3 Escoamento incompressível 4 Escoamento em regime permanente dado 5 Desprezar o peso do cotovelo e da água no cotovelo Mais uma vez embora não seja obrigatório iniciamos com a formulação mais geral das equações de governo A componente x da equação da quantidade de movimento resulta em então Note que u1 é a componente x da velocidade de modo que u1 V1 Para determinar V1 use a equação de conservação da massa e Podemos agora calcular Rx Escrevendo a componente y da equação da quantidade de movimento obtémse ou Note que ν2 é a componente y da velocidade de modo que ν2 V2 sendo V2 o módulo da velocidade de saída Substituindo os valores conhecidos Desprezando FBy resulta Este problema ilustra como a utilização de pressões manométricas simplifica a avaliação das forças de superfície na equação da quantidade de movimento Exemplo 47 ESCOAMENTO SOB UMA COMPORTA VERTICAL FORÇA DA PRESSÃO HIDROSTÁTICA A água de um canal aberto escoa sob uma comporta Compare a força horizontal da água sobre a comporta a quando a comporta está fechada e b quando a comporta está aberta considerando escoamento permanente conforme mostrado Considere que o escoamento nas seções e seja incompressível e uniforme e que visto que as linhas de correntes ali são retilíneas as distribuições de pressão são hidrostáticas Dados Escoamento sob uma comporta Largura w Determinar A força horizontal exercida por unidade de largura sobre a comporta aberta e fechada Solução Escolha um volume de controle conforme mostrado para a comporta aberta Note que é muito mais simples trabalhar com pressões manométricas conforme aprendemos no Exemplo 46 As forças agindo sobre o VC incluem Força da gravidade W Força de atrito Ff Componentes Rx e Ry da força de reação da comporta Distribuição de pressão hidrostática sobre as superfícies verticais consideração 6 Distribuição da pressão pbx ao longo da superfície de fundo não mostrado Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento Equação básica Considerações 1 Ff desprezível despreze o atrito no fundo do canal 2 FBx 0 3 Escoamento em regime permanente 4 Escoamento incompressível dado 5 Escoamento uniforme em cada seção dado 6 Distribuições de pressão hidrostática em e dado Então FSx FR1 FR2 Rx u1ρV1wD1 u2ρV2wD2 As forças de superfície atuando sobre o VC são decorrentes das distribuições de pressão e da força desconhecida Rx Da consideração 6 podemos integrar as distribuições de pressões manométricas sobre cada lado para calcular as forças hidrostáticas FR1 e FR2 em que y é medido para baixo a partir da superfície livre na seção e em que y é medido para baixo a partir da superfície livre na seção Note que poderíamos ter usado a equação de força hidrostática Eq 310b diretamente para obter essas forças Avaliando FSx resulta Substituindo na equação da quantidade de movimento com u1 V1 e u2 V2 obtivemos ou O segundo termo no lado direito desta equação é a força hidrostática resultante sobre a comporta o primeiro termo é uma correção leva a uma força líquida menor para o caso da comporta aberta Qual é a natureza desta correção A pressão no fluido longe da comporta em ambas as direções é sem dúvida hidrostática mas considere o escoamento perto da comporta como existem ali variações significativas de velocidade em módulo e direção as distribuições de pressão desviamse significativamente da hidrostática por exemplo à medida que o fluido é acelerado sob a comporta haverá uma queda de pressão significativa no lado esquerdo inferior da comporta Deduzir este campo de pressões seria uma tarefa difícil mas graças a escolha cuidadosa de nosso volume de controle pudemos evitar essa dedução Podemos agora calcular a força horizontal por unidade de largura Rx é a força externa atuando sobre o volume de controle aplicada pela comporta Portanto a força de todos os fluidos sobre a comporta é Kx na qual Kx Rx Então Esta força pode ser comparada com a força sobre a comporta fechada de 441 kNm que é obtida a partir do segundo termo à direita da equação de cálculo de Rxw fazendo D2 igual a zero porque para a comporta fechada não há fluido no lado direito a força sobre a comporta aberta é significativamente menor quando a água é acelerada para fora sob a comporta Este problema ilustra a aplicação da equação da quantidade de movimento a um volume de controle para o qual a pressão não é uniforme sobre a superfície de controle Exemplo 48 ENCHIMENTO DE CORREIA TRANSPORTADORA TAXA DE VARIAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO NO VOLUME DE CONTROLE Uma correia transportadora horizontal movendose a 09 ms recebe areia de um carregador A areia cai verticalmente sobre a correia com velocidade de 15 ms e vazão de 225 kgs a massa específica da areia é de aproximadamente 1580 kgm3 A correia transportadora está inicialmente vazia e vai se enchendo gradativamente com areia Se o atrito no sistema de acionamento e nos roletes for desprezível determine a força de tração necessária para puxar a correia enquanto é carregada Dados Correia transportadora e carregador mostrados no esquema Determinar Tcorreia no instante mostrado Solução Use o volume de controle e coordenadas mostrados Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento Equações básicas Considerações 1 FSx Tcorreia T 2 FBx 0 3 Escoamento uniforme na seção 4 Toda a areia na correia movese com Vcorreia Vb Então Como u1 0 e não existe fluxo de areia na seção Da consideração 4 dentro do VC u Vb constante e assim em que Ms é a massa de areia na correia dentro do volume de controle Talvez este resultado não seja uma surpresa a tração na correia é a força requerida para aumentar a quantidade de movimento no interior do volume de controle que é crescente pois a massa não é constante no interior do volume de controle embora a velocidade seja Da equação da continuidade Então Este problema ilustra a aplicação da equação da quantidade de movimento a um volume de controle no qual a quantidade de movimento varia Análise de Volume de Controle Diferencial A metodologia do volume de controle conforme vimos nos exemplos anteriores fornece resultados úteis quando aplicada a uma região finita Se aplicarmos a metodologia a um volume de controle diferencial podemos obter equações diferenciais descrevendo um campo de escoamento Nesta seção aplicaremos as equações da conservação da massa e da quantidade de movimento a um volume de controle diferencial para obter uma equação diferencial simples descrevendo um escoamento incompressível sem atrito e em regime permanente e integrála ao longo de uma linha de corrente para deduzir a famosa equação de Bernoulli Apliquemos as equações da continuidade e da quantidade de movimento a um escoamento em regime permanente incompressível e sem atrito conforme mostrado na Fig 44 O volume de controle escolhido é fixo no espaço e limitado pelas linhas de corrente do escoamento e é portanto um elemento de um tubo de corrente O comprimento do volume de controle é ds Como o volume de controle é limitado por linhas de corrente escoamentos cruzando as superfícies de controle ocorrem somente nas seções transversais das extremidades do tubo de corrente Estas seções estão localizadas nas coordenadas s e s ds medidas ao longo da linha de corrente central Valores simbólicos arbitrários foram atribuídos às propriedades na seção de entrada Considerase que na seção de saída as propriedades aumentam de uma quantidade diferencial Então em s ds a velocidade do escoamento é considerada como Vs dVs e assim por diante As variações diferenciais dp dVs e dA são todas consideradas positivas na formulação do problema Tal como em uma análise de diagrama de corpo livre na estática ou na dinâmica o sinal algébrico real de cada variação diferencial será determinado pelos resultados da análise Agora vamos aplicar a equação da continuidade e a componente s da equação da quantidade de movimento ao volume de controle da Fig 44 a Equação da Continuidade Equação básica Considerações 1 Escoamento em regime permanente 2 Não há escoamento através das linhas de corrente limitadoras do VC 3 Escoamento incompressível ρ constante Fig 44 Volume de controle diferencial para análise da quantidade de movimento de escoamento através de um tubo de corrente Então ρVsA ρVs dVsA dA 0 então Expandindo o lado esquerdo e simplificando obtivemos VsdA A dVs dAdVs 0 Mas dA dVs é um produto de diferenciais que pode ser desprezado comparado com Vs dA ou A dVs Assim b Componente da Equação da Quantidade de Movimento na Direção da Linha de Corrente Equação básica Consideração 4 Não existe atrito portanto FSb é decorrente somente das forças de pressão A força de superfície decorrente somente da pressão terá três termos O primeiro e o segundo termos da Eq 421a são as forças de pressão sobre as faces das extremidades da superfície de controle O terceiro é FSb a força de pressão atuando na direção s sobre a superfície do tubo de corrente O seu módulo é o produto da pressão média agindo na superfície do tubo de corrente p dp pela componente de área dA da superfície do tubo de corrente na direção s A Eq 421a é simplificada para A componente da força de campo na direção s é Mas sen θ ds dz de modo que O fluxo de quantidade de movimento será uma vez que não há fluxo de massa através das superfícies do tubo de corrente De acordo com a equação da continuidade Eq 419a os fatores de fluxo de massas entre parênteses e chaves são iguais de modo que Substituindo as Eqs 421b 421c e 422 na Eq 420 a equação da quantidade de movimento resulta Dividindo por ρA e observando que os termos com produtos de diferenciais são desprezíveis em relação aos demais obtivemos ou Como o escoamento é incompressível esta equação pode ser integrada para obter ou retirando o subscrito s Esta equação está sujeita às seguintes restrições 1 Escoamento em regime permanente 2 Ausência de atrito 3 Escoamento ao longo de uma linha de corrente 4 Escoamento incompressível Deduzimos uma forma da equação talvez uma das mais famosas e mal empregada em mecânica dos fluidos a equação de Bernoulli Ela somente pode ser usada quando as quatro restrições listadas anteriormente forem aplicadas para obter pelo menos uma precisão razoável Embora nenhum escoamento real satisfaça todas estas restrições especialmente a segunda nós podemos aproximar o comportamento de muitos escoamentos com a Eq 424 Por exemplo a equação é largamente usada em aerodinâmica para relacionar a pressão com a velocidade em um escoamento por exemplo ela explica a sustentação em uma asa subsônica Ela pode também ser usada para determinar a pressão na entrada do cotovelo de redução analisado no Exemplo 46 ou para determinar a velocidade da água saindo da comporta vertical do Exemplo 47 esses dois escoamentos satisfazem aproximadamente as quatro restrições Por outro lado a Eq 424 não descreve corretamente a variação da pressão da água no escoamento em um tubo Pela equação para um tubo horizontal de diâmetro constante a pressão será constante porém na verdade a pressão cai significativamente ao longo do tubo nós necessitaremos da maior parte do Capítulo 8 para explicar isso A equação de Bernoulli e os seus limites de utilização são tão importantes que a deduziremos novamente e discutiremos suas limitações em detalhes no Capítulo 6 Exemplo 49 ESCOAMENTO EM BOCAL APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI A água escoa em regime permanente através de um bocal horizontal que a descarrega para a atmosfera Na entrada o diâmetro do bocal é D1 e na saída D2 Deduza uma expressão para a pressão manométrica mínima necessária na entrada do bocal para produzir uma vazão volumétrica dada Q Avalie a pressão manométrica para D1 75 mm e D2 25 mm quando a vazão volumétrica desejada for 002 m3s Dados Escoamento em regime permanente de água através de um bocal horizontal descarregando para a atmosfera D1 75 mm D2 25 mm p2 patm Determinar a p1g como uma função da vazão volumétrica Q b p1g para Q 002 m3s Solução Equações básicas Considerações 1 Escoamento permanente dado 2 Escoamento incompressível 3 Escoamento sem atrito 4 Escoamento ao longo de uma linha de corrente 5 z1 z2 6 Escoamento uniforme nas seções e Para avaliar p1 devemos aplicar a equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente entre os pontos e Então A aplicação da equação da continuidade resulta em ρV1A1 ρV2A2 0 ou V1A1 V2A2 Q de modo que Então Como A πD24 resulta Note que para um dado bocal a pressão requerida é proporcional ao quadrado da vazão isto não é surpresa pois usamos a Eq 424 que mostra que p V2 Q2 Com D1 75 mm D2 25 mm e ρ 1000 kgm3 Este problema ilustra a aplicação da equação de Bernoulli a um escoamento onde as restrições de escoamento em regime permanente incompressível e sem atrito ao longo de uma linha de corrente são razoáveis Volume de Controle Movendo com Velocidade Constante Nos problemas precedentes que ilustram a aplicação da equação da quantidade de movimento a volumes de controle inerciais consideramos apenas volumes de controle estacionários Suponha agora que temos um volume de controle em movimento com velocidade constante Podemos neste caso definir dois sistemas de coordenadas o referencial XYZ de nossas coordenadas estacionárias originais inercial portanto e o referencial xyz das coordenadas fixas ao volume de controle também inercial porque o volume de controle não está acelerado em relação a XYZ A Eq 410 que expressa as derivadas do sistema em termos das variáveis do volume de controle é válida para qualquer movimento do sistema de coordenadas xyz fixo ao volume de controle desde que todas as velocidades sejam medidas em relação ao volume de controle Para ressaltar este ponto reescrevemos a Eq 410 como Posto que todas as velocidades devam ser medidas em relação ao volume de controle ao usar esta equação para obter a equação de quantidade de movimento para um volume de controle inercial partindo da formulação de sistema devemos fazer N xyz e η xyz A equação de volume de controle é então escrita como A Eq 426 é a formulação da segunda lei de Newton aplicada a qualquer volume de controle inercial estacionário ou movendo com velocidade constante Ela é idêntica à Eq 417a exceto pela inclusão do subscrito xyz para assinalar que as velocidades devem ser medidas em relação ao volume de controle É didático imaginar que as velocidades são aquelas que seriam detectadas por um observador em movimento junto ao volume de controle O Exemplo 410 ilustra o uso da Eq 426 para um volume de controle movendo com velocidade constante Exemplo 410 PÁ DEFLETORA MOVENDOSE COM VELOCIDADE CONSTANTE O esquema mostra uma pá defletora com ângulo de curvatura de 60 Ela se move com velocidade constante U 10 ms e recebe um jato de água que deixa um bocal estacionário com velocidade V 30 ms O bocal tem área de saída de 0003 m2 Determine as componentes da força que age sobre a pá Dados Pá defletora com ângulo de curvatura θ 60 movendose com velocidade constante Água proveniente de um bocal de área constante A 0003 m2 com velocidade escoa sobre a pá conforme mostrado Determinar As componentes da força agindo sobre a pá Solução Selecione um volume de controle que se move com a pá a velocidade constante conforme mostrado pelas linhas tracejadas Rx e Ry são as componentes da força requerida para manter a velocidade do volume de controle em O volume de controle é inercial pois não está com aceleração U constante Lembrese de que todas as velocidades devem ser medidas em relação ao volume de controle para aplicação das equações básicas Equações básicas Considerações 1 Escoamento permanente em relação à pá defletora 2 A magnitude da velocidade relativa ao longo da pá é constante 3 Propriedades uniformes nas seções e 4 FBx 0 5 Escoamento incompressível A componente x da equação da quantidade de movimento é Não há força resultante de pressão pois patm atua em todos os lados do VC Assim Rx A1 uρVdA A2 uρVdA u1ρV1A1 u2V2A2 Todas as velocidades são medidas em relação a xyz Da equação da continuidade A1 ρVdA A2 uρVdA ρV1A1 u2V2A2 0 ou ρV1A1 ρV2A2 Portanto Rx u2 u1ρV1A1 Todas as velocidades devem ser medidas em relação ao volume de controle Logo notamos que V1 V U V2 V U u1 V U u2 V Ucosθ Substituindo resulta Escrevendo a componente y da equação da quantidade de movimento obtivemos Denotando a massa do VC por M segue que Assim a força vertical é Desse modo a força resultante sobre a pá desprezando o peso da pá e da água dentro do VC é Este problema ilustra como aplicar a equação da quantidade de movimento para um volume de controle em movimento com velocidade constante pela avaliação de todas as velocidades relativas ao volume de controle 45 Equação da Quantidade de Movimento para um Volume de Controle com Aceleração Retilínea Para um volume de controle inercial sem aceleração em relação a um referencial estacionário a formulação apropriada da segunda lei de Newton é dada pela Eq 426 Nem todos os volumes de controle são estacionários por exemplo um foguete deve acelerar para sair do chão Como estamos interessados na análise de volumes de controle que podem acelerar em relação a um referencial estacionário é lógico questionar se a Eq 426 pode ser usada para um volume de controle acelerado Para responder a esta pergunta revisemos brevemente os dois elementos principais usados no desenvolvimento da Eq 426 Primeiramente ao relacionarmos as derivadas do sistema à formulação de volume de controle Eq 425 ou 410 o campo de escoamento x y z t foi especificado em relação às coordenadas do volume de controle x y e z Nenhuma restrição foi feita quanto ao movimento do referencial xyz Consequentemente a Eq 425 ou Eq 410 é válida em qualquer instante para qualquer movimento arbitrário das coordenadas x y e z desde que todas as velocidades na equação sejam medidas em relação ao volume de controle Em segundo lugar a equação de sistema em que a quantidade de movimento linear do sistema é dada por é válida apenas para velocidades medidas em relação a um referencial de coordenadas inerciais Assim se denotarmos o referencial inercial por XYZ a segunda lei de Newton estabelece que Uma vez que as derivadas temporais de XYZ e xyz não são iguais quando o referencial xyz está acelerando em relação ao referencial inercial a Eq 426 não é válida para um volume de controle acelerado Para desenvolver a equação da quantidade de movimento para um volume de controle com aceleração linear é necessário relacionar XYZ do sistema com xyz do sistema A derivada do sistema d xyzdt pode ser relacionada com as variáveis do volume de controle pela Eq 425 Começaremos escrevendo a segunda lei de Newton para um sistema lembrando que a aceleração deve ser medida em relação ao referencial inercial que designamos por XYZ Escrevemos então As velocidades relativas ao referencial inercial XYZ e às coordenadas do volume de controle xyz são relacionadas pela equação do movimento relativo em que rf é a velocidade do sistema de coordenadas xyz do volume de controle com relação ao sistema de coordenadas XYZ estacionário absoluto Como nós estamos considerando que o movimento de xyz é de translação pura sem rotação e relativo ao referencial estacionário XYZ então em que XYZ é a aceleração retilínea do sistema em relação ao referencial estacionário XYZ xyz é a aceleração retilínea do sistema em relação ao referencial não estacionário xyz isto é relativo ao volume de controle e rf é a aceleração retilínea do referencial não estacionário xyz isto é do volume de controle em relação ao referencial estacionário XYZ Substituindo da Eq 430 na Eq 428 resulta ou em que a quantidade de movimento linear do sistema é dada por e a força inclui todas as forças de campo e de superfície agindo sobre o sistema Para deduzir a formulação de volume de controle da segunda lei de Newton fazemos N xyz e η xyz Da Eq 425 com essa substituição obtivemos Combinando a Eq 431a a equação da quantidade de movimento linear e a Eq 432 a conversão de sistema para volume de controle e considerando que no tempo t0 o sistema e o volume de controle coincidem a segunda lei de Newton para um volume de controle acelerado sem rotação em relação a um referencial estacionário é Posto que a equação tornase Comparando esta equação da quantidade de movimento para um volume de controle com aceleração retilínea com aquela para um volume de controle sem aceleração Eq 426 vemos que a única diferença é a presença de um termo adicional na Eq 433 Quando o volume de controle não está acelerando em relação ao referencial estacionário XYZ então rf 0 e a Eq 433 reduzse à Eq 426 As precauções concernentes ao emprego da Eq 426 também se aplicam ao uso da Eq 433 Antes de tentar aplicar qualquer uma delas devemse desenhar as fronteiras do volume de controle e assinalar direções e sentidos apropriados para as coordenadas de referência Para um volume de controle com aceleração dois conjuntos de coordenadas devem ser definidos um xyz sobre o volume de controle e o outro XYZ estacionário Na Eq 433 S representa todas as forças de superfície atuando sobre o volume de controle Como a massa dentro do volume de controle pode variar com o tempo ambos os termos remanescentes no lado esquerdo da equação podem ser funções do tempo Além disso a aceleração rf do referencial xyz em relação ao referencial inercial será em geral função do tempo Todas as velocidades na Eq 433 são medidas em relação ao volume de controle O fluxo de quantidade de movimento xyzρ xyz d através de um elemento de área da superfície de controle d é um vetor Conforme já visto para um volume de controle sem aceleração o sinal do produto escalarρ xyz d depende do sentido do vetor velocidade xyz em relação ao vetor área d A equação da quantidade de movimento é uma equação vetorial Ela pode portanto como todas as equações vetoriais ser escrita na forma de três componentes escalares As componentes escalares da Eq 433 são Consideraremos duas aplicações para um volume de controle com aceleração linear o Exemplo 411 analisará um volume de controle acelerado com massa em seu interior constante com o tempo o Exemplo 412 analisará um volume de controle acelerado com massa em seu interior variÁvel com o tempo Exemplo 411 PÁ DEFLETORA MOVENDO COM ACELERAÇÃO RETILÍNEA Uma pá com ângulo de deflexão θ 60 está fixada em um carrinho O conjunto de massa M 75 kg rola sobre uma pista horizontal O atrito e a resistência do ar podem ser desprezados A pá recebe um jato de água que sai com velocidade V 35 ms de um bocal horizontal estacionário A área de saída do bocal é A 0003 m2 Determine a velocidade do carrinho com a pá como uma função do tempo e trace um gráfico dos resultados Dados Pá defletora fixada a um carrinho conforme mostrado na figura com M 75 kg Determinar Ut e traçar o gráfico correspondente Solução Adote o volume de controle e o sistema de coordenadas mostrados Note que XY é um referencial fixo enquanto xy movese com o volume de controle Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento Equação básica Considerações 1 FSx 0 pois nenhuma resistência está presente 2 FBx 0 3 A massa de água em contato com a pá é desprezível comparada com a massa total do dispositivo 4 A taxa de variação de quantidade de movimento do líquido dentro do volume de controle é desprezível 5 Escoamento uniforme nas seções e 6 A velocidade da corrente de água não é desacelerada pelo atrito com a pá portanto 7 A2 A1 A Assim retirando os índices rf e xyz para maior clareza sem esquecer porém que todas as velocidades são medidas em relação ao sistema de coordenadas movendose com o volume de controle obtemos Para o lado esquerdo desta equação temos tal que ou Separando variáveis resulta Note que sendo V constante dU dV U Integrando entre os limites U 0 para t 0 e U U para t t ou Resolvendo para U obtemos Avaliando Vb temos Assim Gráfico O gráfico foi gerado a partir de uma planilha Excel Esta planilha é interativa ela nos permite ver o efeito de valores diferentes de ρ A M e θ sobre UV em função do tempo t e também determinar o tempo necessário para o carrinho atingir por exemplo 95 da velocidade do jato Exemplo 412 FOGUETE LANÇADO VERTICALMENTE Um pequeno foguete com massa inicial de 400 kg deve ser lançado verticalmente Após a ignição o foguete consome combustível a uma taxa de 5 kgs e ejeta gás à pressão atmosférica com velocidade relativa de 3500 ms Determine a aceleração inicial do foguete e sua velocidade 10 segundos após o lançamento desprezando a resistência do ar Dados Um pequeno foguete acelera verticalmente partindo do repouso Massa inicial M0 400 kg Resistência do ar pode ser desprezada Taxa de consumo de combustível 5 kgs Velocidade da descarga à pressão atmosférica Ve 3500 ms relativa ao foguete Determinar a A aceleração inicial do foguete b A velocidade do foguete 10 s após o lançamento Solução Adote o volume de controle mostrado pelas linhas tracejadas Como o volume de controle está acelerando defina o sistema de coordenadas inerciais XY e o sistema xy ligado ao VC Aplique a componente y da equação da quantidade de movimento Equação básica Considerações 1 A pressão atmosférica atua sobre todas as superfícies do VC como a resistência do ar é desprezada FSy 0 2 A gravidade é a única força de campo g é constante 3 O fluxo deixando o foguete é uniforme e Ve é constante Com estas considerações a equação da quantidade de movimento reduzse a Examinemos esta equação termo a termo A massa do VC será uma função do tempo porque a massa está saindo dele a uma taxa Para determinar MVC como uma função do tempo utilizamos a equação de conservação da massa Então O sinal negativo indica que a massa do VC está diminuindo com o tempo Uma vez que a massa do VC é função apenas do tempo podemos escrever Para determinar a massa do VC em qualquer instante t integramos Portanto M M0 ou M M0 t Substituindo a expressão para M no termo obtemos A aceleração arf do VC é aquela detectada por um observador no sistema de coordenadas XY Dessa forma arfy não é uma função das coordenadas xyz e Esta é a taxa de variação na direção y da quantidade de movimento do fluido no volume de controle medida em relação ao volume de controle Mesmo que a quantidade de movimento do fluido segundo y dentro do VC e medida em relação a ele tenha um valor considerável ela não deve variar significativamente com o tempo Esta hipótese baseiase nas seguintes considerações 1 O combustível não queimado e a estrutura do foguete têm quantidade de movimento zero em relação ao foguete 2 A velocidade do gás na saída do bocal permanece constante com o tempo assim como a velocidade em outros pontos no bocal Consequentemente é razoável considerar que A velocidade υxyz relativa ao volume de controle é Ve está no sentido de y negativo e é uma constante de modo que foi colocada do lado de fora da integral A integral restante é simplesmente a vazão mássica na saída positiva porque o escoamento é para fora do volume de controle e então Substituindo os termos de a na Eq 1 obtemos ou em tempo t 0 A aceleração do VC é por definição Substituindo da Eq 2 Separando variáveis e integrando temos em tempo t 10 s O gráfico da velocidade em função do tempo é mostrado em uma planilha do livro Excel Esta planilha é interativa ela nos permite ver o efeito de valores diferentes de M0 Ve e sobre VVC em função do tempo t Também o tempo necessário para o foguete atingir uma determinada velocidade por exemplo 2000 ms pode ser determinado 46 Equação da Quantidade de Movimento para Volume de Controle com Aceleração Arbitrária no Site da LTC Editora 47 O Princípio da Quantidade de Movimento Angular A nossa próxima tarefa é deduzir uma formulação de volume de controle para o princípio do momento da quantidade de movimento ou da quantidade de movimento angular Existem duas abordagens óbvias que nós podemos utilizar para expressar o princípio da quantidade de movimento angular podemos utilizar um volume de controle inercial fixo XYZ podemos também utilizar um volume de controle rotativo xyz Para cada uma destas abordagens nós iniciaremos com formulação do princípio para um sistema Eq 43a em seguida escreveremos a quantidade de movimento angular para sistema em termos das coordenadas XYZ ou xyz e finalmente usaremos a Eq 410 ou sua forma ligeiramente diferente Eq 425 para converter a formulação de sistema para volume de controle Para verificar que essas duas abordagens são equivalentes nós vamos usar as duas para resolver o mesmo problema nos Exemplos 414 e 415 no site da LTC Editora respectivamente Existem duas razões para o material dessa seção desejamos desenvolver uma equação de volume de controle para cada uma das leis físicas fundamentais da Seção 42 necessitaremos dos resultados para usar no Capítulo 10 onde discutiremos máquinas rotativas Equação para Volume de Controle Fixo O princípio da quantidade de movimento angular para um sistema é em que torque total exercido sobre o sistema pela sua vizinhança e quantidade de movimento angular do sistema Todas as quantidades na equação de sistema devem ser formuladas com respeito ao referencial inercial Sistemas de referência em repouso ou em movimento de translação com velocidade linear constante são inerciais e a Eq 43b pode ser empregada diretamente para desenvolver a formulação de volume de controle do princípio da quantidade de movimento angular O vetor posição localiza cada elemento de massa ou de volume do sistema com respeito ao sistema de coordenadas O torque aplicado a um sistema pode ser escrito em que é a força de superfície exercida sobre o sistema A relação entre as formulações de sistema e de volume de controle estacionário é em que Se fizermos N então η e Combinando as Eqs 43a 43c e 445 obtivemos Posto que o sistema e o volume de controle coincidiam no instante t0 e A Eq 446 é uma formulação geral do princípio da quantidade de movimento angular para um volume de controle inercial O lado esquerdo da equação expressa todos os torques que atuam sobre o volume de controle Os termos no lado direito expressam a taxa de variação da quantidade de movimento angular dentro do volume de controle e a taxa líquida de fluxo da quantidade de movimento angular atravessando a superfície do volume de controle Todas as velocidades na Eq 446 são medidas em relação ao volume de controle fixo Para a análise de máquinas rotativas a Eq 446 é frequentemente empregada na forma escalar considerando apenas a componente orientada ao longo do eixo de rotação Esta aplicação é ilustrada no Capítulo 10 A aplicação da Eq 446 na análise de um simples regador giratório de gramados é ilustrada no Exemplo 414 Este mesmo problema é considerado no Exemplo 415 no site da LTC Editora usando o princípio da quantidade de movimento angular expresso em termos de um volume de controle rotativo Exemplo 414 REGADOR GIRATÓRIO DE GRAMADOS ANÁLISE USANDO VOLUME DE CONTROLE FIXO Um pequeno regador giratório de gramados é mostrado na figura Para uma pressão manométrica de entrada de 20 kPa a vazão volumétrica total de água é de 75 litros por minuto e o dispositivo gira a 30 rpm O diâmetro de cada jato é 4 mm Calcule a velocidade do jato em relação a cada bocal do regador Avalie o torque de atrito no pivô do regador Dados Um pequeno regador giratório de jardim conforme mostrado Determinar a A velocidade do jato relativa a cada bocal b O torque devido ao atrito no pivô Solução Aplique as equações da continuidade e da quantidade de movimento angular usando o volume de controle fixo que envolve os braços do regador Equações básicas em que todas as velocidades são medidas em relação às coordenadas inerciais XYZ Considerações 1 Escoamento incompressível 2 Escoamento uniforme em cada seção 3 constante Da equação da continuidade a velocidade do jato em relação ao bocal é dada por Considere separadamente os termos na equação da quantidade de movimento angular Visto que a pressão atmosférica atua sobre toda a superfície de controle e a força de pressão na entrada não causa momento em torno de As quantidades de movimento das forças de campo isto é da gravidade são iguais e de sinal contrário nos dois braços do dispositivo logo o segundo termo no lado esquerdo da equação é igual a zero O único torque externo atuando sobre o VC é o atrito no pivô Ele opõese ao movimento de modo que A nossa próxima tarefa é determinar os dois termos de quantidade de movimento angular do lado direito da Eq 1 Considere o termo em regime transiente ele é a taxa de variação da quantidade de movimento angular no interior do volume de controle Está claro que embora a posição e a velocidade das partículas de fluido sejam funções do tempo nas coordenadas XYZ porque o regador gira com velocidade constante a quantidade de movimento do volume de controle é constante nas coordenadas XYZ e portanto esse termo é zero contudo como exercício de manipulação de quantidades vetoriais vamos deduzir este resultado Para determinar a integral do volume de controle necessitamos antes desenvolver expressões para o vetor posição instantânea e para o vetor velocidade instantânea medido em relação ao sistema de coordenadas fixas XYZ para cada elemento do fluido no volume de controle OA situase no plano XY AB é inclinada de um ângulo α em relação ao plano XY o ponto B é a projeção do ponto B sobre o plano XY Consideramos que o comprimento L da extremidade AB é pequeno comparado com o comprimento R do braço horizontal OA Assim podemos desprezar a quantidade de movimento angular do fluido nas extremidades comparada com a quantidade de movimento angular nos braços horizontais Considere agora o escoamento no tubo horizontal OA de comprimento R Denote a posição radial a partir de O por r Em qualquer ponto no tubo a velocidade do fluido em relação às coordenadas fixas XYZ é a soma da velocidade relativa ao tubo com a velocidade tangencial Deste modo Note que θ é uma função do tempo O vetor posição é e Então e em que A é a área da seção transversal do tubo horizontal Resultados idênticos são obtidos para o outro tubo horizontal no volume de controle Dessa forma confirmamos a nossa assertiva de que a quantidade de movimento angular no interior do volume de controle não varia com o tempo Precisamos agora determinar o segundo termo no lado direito da equação 1 a taxa líquida de fluxo de quantidade de movimento através da superfície de controle Existem três superfícies através das quais detectamos fluxo de massa e portanto de quantidade de movimento a seção transversal do tubo de suprimento de água para o qual 0 porque 0 e as seções dos dois bocais Considere o bocal no final do braço OAB Para L R temos e para a velocidade instantânea do jato temos A integral do fluxo avaliada para o escoamento atravessando a superfície de controle na posição B é então Os vetores raio e velocidade para o escoamento no braço esquerdo devem ser descritos em termos dos mesmos vetores unitários usados para o braço direito No braço esquerdo as componentes Î e Ĵ do produto vetorial são de sinais opostos pois sen θ π sen θ e cos θ π cos θ Assim para todo o VC Substituindo os termos 2 3 e 4 na Eq 1 obtemos ou Esta expressão indica que quando o regador gira com velocidade constante o torque de atrito no pivô balanceia o torque gerado pela quantidade de movimento angular dos dois jatos Dos dados fornecidos Substituindo resulta Este problema ilustra o uso do princípio da quantidade de movimento angular para um volume de controle inercial Note que neste exemplo o vetor posição da partícula fluida e o vetor velocidade são dependentes do tempo através de θ em coordenadas XYZ Este problema será novamente resolvido usando um sistema de coordenadas não inerciais xyz rotativo no Exemplo 415 no site da LTC Editora Equação para um Volume de Controle Rotativo no Site da LTC Editora 48 A Primeira Lei da Termodinâmica A primeira lei da termodinâmica é um enunciado da conservação da energia Lembrese de que a formulação para sistema da primeira lei foi em que a energia total do sistema é dada por e Na Eq 44a a taxa de transferência de calor é positiva quando calor é adicionado ao sistema pelo meio que o envolve a taxa de transferência de trabalho é positiva quando trabalho é realizado pelo sistema sobre o meio Note que alguns textos usam a notação oposta para o trabalho Para deduzir a formulação de volume de controle da primeira lei da termodinâmica nós fazemos N E e η e na Eq 410 e obtivemos Como o sistema e o volume de controle coincidem no instante t0 À luz disso as Eqs 44a e 453 fornecem a formulação de volume de controle da primeira lei da termodinâmica em que Note que para escoamento em regime permanente o primeiro termo no lado direito da Eq 454 é zero A Eq 454 é a forma da primeira lei usada na termodinâmica Mesmo para escoamento permanente a Eq 454 não é exatamente a mesma forma usada na aplicação da primeira lei a problemas de volume de controle Para obter uma formulação adequada e conveniente à solução de problemas vamos examinar mais detidamente o termo de taxa de trabalho Taxa de Trabalho Realizado por um Volume de Controle O termo na Eq 454 tem um valor numérico positivo quando o trabalho é realizado pelo volume de controle sobre o meio que o envolve A taxa de trabalho realizado sobre o volume de controle é de sinal oposto ao trabalho feito pelo volume de controle A taxa de trabalho realizado pelo volume de controle é convenientemente subdividida em quatro classificações Vamos considerálas separadamente 1 Trabalho de Eixo Designaremos o trabalho de eixo por e portanto a taxa de trabalho de eixo transferido para fora através da superfície de controle é designada por Exemplos de trabalho de eixo são o trabalho produzido por uma turbina a vapor trabalho de eixo positivo de uma central termelétrica e o trabalho requerido para acionar um compressor de um refrigerador trabalho de eixo negativo 2 Trabalho Realizado por Tensões Normais na Superfície de Controle Lembrese de que o trabalho requer que uma força aja através de uma distância Assim quando uma força age através de um deslocamento infinitesimal d o trabalho realizado é Para obter a taxa na qual o trabalho é realizado pela ação da força divida pelo incremento de tempo Δt e tome o limite quando Δt 0 Assim procedendo a taxa de trabalho realizado pela ação da força é dada por Podemos utilizar isso para calcular a taxa de trabalho realizado pelas tensões normais e cisalhantes Considere o segmento de superfície de controle mostrado na Fig 46 Para uma área elementar d podemos escrever uma expressão para a força da tensão normal d normal ela será dada pela tensão normal σnn multiplicada pelo vetor do elemento de área d normal à superfície de controle Então a taxa de trabalho realizado sobre um elemento de área é Uma vez que o trabalho para fora através da superfície de controle é o negativo do trabalho feito sobre o volume de controle a taxa total de trabalho para fora do volume de controle devido às tensões normais é 3 Trabalho Realizado por Tensões de Cisalhamento na Superfície de Controle Da mesma forma que trabalho é realizado por tensões normais nas fronteiras do volume de controle também pode ser feito por tensões de cisalhamento Conforme mostrado na Fig 46 a força de cisalhamento atuando sobre um elemento de área da superfície de controle é dada por em que o vetor tensão de cisalhamento é a tensão de cisalhamento atuando em alguma direção no plano de dA A taxa de trabalho feito sobre toda a superfície de controle pelas tensões de cisalhamento é dada por Fig 46 Forças de tensão normal e de cisalhamento Uma vez que o trabalho para fora através das fronteiras do volume de controle é o negativo do trabalho feito sobre o volume de controle a taxa total de trabalho para fora do volume de controle devido às tensões de cisalhamento é dada por Esta integral é melhor descrita através dos três termos Nós já consideramos o primeiro termo visto que incluímos Em superfícies sólidas 0 de modo que o segundo termo é zero para um volume de controle fixo Então Este último termo pode ser feito igual a zero pela escolha apropriada das superfícies de controle Se escolhermos uma superfície de controle que corte cada passagem perpendicularmente ao escoamento então d será paralelo a Como está no plano de dA é perpendicular a Assim para uma superfície de controle perpendicular a 4 Outros Trabalhos Energia elétrica poderia ser adicionada ao volume de controle Energia eletromagnética também poderia ser absorvida como por exemplo em radares ou feixes de laser Na maioria dos problemas tais contribuições estão ausentes mas devemos considerálas em nossa formulação geral Com a avaliação de todos os termos em obtemos Equação do Volume de Controle Substituindo a expressão para da Eq 455 na Eq 454 temos Rearranjando esta equação resulta Como ρ 1υ em que υ é o volume específico segue que Então Efeitos viscosos podem fazer a tensão normal σnn diferente do negativo da pressão termodinâmica p Contudo para a maioria dos escoamentos de interesse comum em engenharia σnn p Desse modo Finalmente substituindo e u V22 gz no último termo à direita obtivemos a forma familiar da primeira lei para um volume de controle Cada termo de trabalho na Eq 456 representa a taxa de trabalho realizado pelo volume de controle sobre o meio Note que na termodinâmica por conveniência a combinação u pυ a energia interna do fluido mais o que é comumente chamado de trabalho do fluxo é substituída pela entalpia esta é uma das razões pelas quais o termo h foi criado Exemplo 416 COMPRESSOR ANÁLISE DA PRIMEIRA LEI Ar a 101 kPa 21ºC entra em um compressor com velocidade desprezível e é descarregado a 344 kPa 38ºC através de um tubo com área transversal de 009 m2 A vazão em massa é 9 kgs A potência fornecida ao compressor é 447 kW Determine a taxa de transferência de calor Dados Ar entra em um compressor em e sai em com as condições mostradas A razão em massa de ar é 9 kgs e a potência fornecida ao compressor é 447 kW Determinar A taxa de transferência de calor Solução Equações básicas Considerações 1 Escoamento em regime permanente 2 Propriedades uniformes nas seções de entrada e saída 3 O ar é tratado como um gás ideal p ρRT 4 As áreas do VC em e são perpendiculares à velocidade assim 5 z1 z2 6 Energia cinética desprezível na entrada Com estas considerações a primeira lei tornase ou Para hipótese de propriedades uniformes consideração 2 podemos escrever Da equação da conservação de massa para escoamento em regime permanente obtivemos Portanto ρ1V1A1 ρ2V2A2 0 ou ρ1V1A1 ρ2V2A2 Então podemos escrever Considere que o ar comportase como um gás ideal com calor específico cp constante Então h2 h1 cpT2 T1 e Da equação da continuidade V2 ρ2A2 Como p2 ρ2RT2 Note que a potência é fornecida ao VC logo 447 k W e Este problema ilustra o uso da primeira lei da termodinâmica para um volume de controle Também é um exemplo para mostrar que muito cuidado deve ser tomado com as conversões de unidades de massa energia e potência Exemplo 417 ENCHIMENTO DE UM TANQUE ANÁLISE DA PRIMEIRA LEI Um tanque com volume de 01 m3 está conectado a uma linha de ar de alta pressão linha de ar comprimido tanto a linha quanto o tanque estão inicialmente a uma temperatura uniforme de 20ºC A pressão manométrica inicial no tanque é 100 kPa A pressão absoluta na linha de ar é 20 MPa a linha é suficiente grande de modo que a temperatura e a pressão do ar comprimido podem ser consideradas constantes A temperatura no tanque é monitorada por um termopar de resposta rápida Imediatamente após a abertura da válvula a temperatura do ar no tanque sobe à taxa de 005ºCs Determine a vazão em massa instantânea de ar entrando no tanque se a transferência de calor é desprezível Dados Tubulação de suprimento de ar e tanque conforme mostrado Em t 0 Tt 005Cs Determinar para t 0 Solução Escolha o VC mostrado e aplique a equação da energia Equação básica Considerações 1 0dado 2 0 3 cisalhamento 0 4 outros 0 5 As velocidades na linha e no tanque são pequenas 6 A energia potencial é desprezível 7 Escoamento em regime uniforme na entrada do tanque 8 Propriedades uniformes no tanque 9 Gás ideal p ρRT du cυdT Então Isto expressa o fato de que o ganho de energia no tanque é decorrente da energia específica na forma de entalpia h u pυ contida no escoamento de ar da linha para o tanque O que nos interessa é o instante inicial quando T é uniforme e igual 20ºC logo utanque ulinha u a energia interna a T também pυlinha RTlinha RT e Uma vez que as propriedades no tanque são uniformes t pode ser substituída por ddt e em que M é a massa instantânea no tanque e ρVA é a vazão mássica instantânea para dentro do tanque ou O termo dMdt pode ser avaliado da equação da continuidade Equação básica Substituindo na Eq 1 obtemos ou Mas em t 0 ptanque 100 kPa manométrica e Substituindo na Eq 2 obtemos Este problema ilustra o uso da primeira lei da termodinâmica para um volume de controle Também é um exemplo para mostrar que muito cuidado deve ser tomado com as conversões de unidades de massa energia e potência 49 A Segunda Lei da Termodinâmica Recorde que a formulação da segunda lei da termodinâmica para um sistema pode ser escrita como onde a entropia total do sistema é dada por Para deduzir a formulação de volume de controle da segunda lei da termodinâmica fazemos N S e η S na Eq 410 de modo a obter O sistema e o volume de controle coincidem em t0 logo na Eq 45a À luz disso as Eqs 45a e 457 resultam na formulação da segunda lei da termodinâmica para volume de controle Na Eq 458 o termo A representa a taxa de transferência de calor por unidade de área para dentro do volume de controle através do elemento de área dA Para avaliar o termo tanto o fluxo local de calor A quanto a temperatura local T devem ser conhecidos para cada elemento de área da superfície de controle 1Para um volume de controle em aceleração um cujas coordenadas xyz estejam aceleradas com relação a um conjunto absoluto de coordenadas XYZ nós devemos modificar a forma da segunda lei de Newton Eq 42a Faremos isso nas Seções 46 aceleração linear e 47 aceleração arbitrária Esta seção pode ser omitida sem perda de continuidade no material do texto Esta seção pode ser omitida sem perda de continuidade no material do texto 410 Resumo e Equações Úteis Neste capítulo nós escrevemos as leis básicas para um sistema conservação de massa ou continuidade segunda lei de Newton equação da quantidade de movimento angular primeira lei da termodinâmica e segunda lei da termodinâmica Desenvolvemos em seguida uma equação por vezes chamada de Teorema do Transporte de Reynolds para relacionar as formulações de sistema às de volume de controle Usando esta equação deduzimos as formas para volumes de controle da Equação da conservação de massa comumente chamada de equação da continuidade Segunda lei de Newton ou equação da quantidade de movimento linear para Um volume de controle inercial Um volume de controle com aceleração retilínea Um volume de controle com aceleração arbitrária no site da LTC Editora Equação da quantidade de movimento angular ou do momento da quantidade de movimento para Um volume de controle fixo Um volume de controle rotatório no site da LTC Editora Primeira lei da termodinâmica ou equação da energia Segunda lei da termodinâmica O significado físico de cada termo contido nessas equações de volume de controle foi discutido e usamos as equações para a solução de uma variedade de problemas de escoamento Em particular usamos um volume de controle diferencial para deduzir uma equação famosa da mecânica dos fluidos a equação de Bernoulli e enquanto fizemos isso aprendemos sobre as restrições ao seu uso para a solução de problemas Nota A maior parte das Equações Úteis na tabela a seguir possui determinadas restrições ou limitações para usálas com segurança verifique os detalhes no capítulo conforme numeração de referência Equações Úteis Continuidade conservação da massa fluido incompressível 413a Continuidade conservação da massa escoamento uniforme 413b Continuidade conservação da massa escoamento em regime permanente 415a Continuidade conservação da massa escoamento em regime permanente escoamento uniforme 415b Quantidade de movimento segunda lei de Newton 417a Quantidade de movimento segunda lei de Newton escoamento uniforme 417b Quantidade de movimento segunda lei de Newton componentes escalares 418a 418b 418c Quantidade de movimento segunda lei de Newton escoamento uniforme componentes escalares 418d 418e 418f Equação de Bernoulli escoamento incompressível em regime permanente sem atrito ao longo de uma linha de corrente 424 Quantidade de movimento segunda lei de Newton volume de controle inercial estacionário ou com velocidade constante 426 Quantidade de movimento segunda lei de Newton aceleração retilínea do volume de controle 433 Princípio da quantidade de movimento angular 446 Primeira lei da termodinâmica 456 Segunda lei da termodinâmica 458 Estudo de Caso Laboratório em um Chip Mistura de dois fluidos em um laboratório em um chip Uma área nova e excitante em mecânica dos fluidos é a micromecânica dos fluidos aplicada aos sistemas microeletromecânicos MEMS a tecnologia de dispositivos muito pequenos geralmente abrangendo a faixa em tamanho de 1 micrômetro a 1 milímetro Em particular um grande número de pesquisas está sendo realizado com a tecnologia laboratório em um chip a qual possui muitas aplicações Um exemplo ocorre na medicina com dispositivos para uso em diagnósticos de doenças em atendimentos de urgência tais como detecção em tempo real de bactérias vírus e cânceres no corpo humano Na área de segurança existem dispositivos que recolhem e testam continuamente amostras de água ou de ar para analisar a existência de toxinas bioquímicas e outras patogenias perigosas tais como aquelas para as quais os sistemas de alerta precoce estão sempre ligados Por causa da geometria extremamente pequena os escoamentos em tais dispositivos terão números de Reynolds muito baixos e portanto serão laminares os efeitos da tensão superficial também serão significativos Em muitas aplicações ordinárias por exemplo tubulações de água típicas e dutos de condicionamento de ar os escoamentos laminares seriam desejáveis porém o escoamento é turbulento o custo econômico de se bombear um escoamento turbulento é maior em comparação com um escoamento laminar Em determinadas aplicações a turbulência é desejável por atuar como um mecanismo de mistura Caso você não pudesse gerar uma turbulência em sua xícara de café seria necessário muito movimento antes que o creme e o café estivessem suficientemente misturados se o escoamento de seu sangue nunca se tornasse turbulento você não teria oxigênio suficiente para os órgãos e músculos No laboratório em um chip o escoamento turbulento é normalmente desejável porque o objetivo nesses dispositivos é frequentemente misturar pequenas quantidades de dois ou mais fluidos Como fazemos para misturar fluidos em tais dispositivos que são inerentemente laminares Poderíamos usar geometrias complexas ou canais relativamente longos contando com a difusão molecular ou algum tipo de dispositivo MEM com pás Uma pesquisa realizada pelos professores Goullet Glasgow e Aubry no Instituto de Tecnologia de Nova Jersey sugere como alternativa pulsar os dois fluidos A parte a da figura mostra um esquema de dois fluidos a uma taxa constante em torno de 25 nanolitross velocidade média menor do que 2 mms em dutos com largura em torno de 200 μm se encontrando em uma junção tipo T Os dois fluidos não se misturam por causa da forte natureza laminar do escoamento A parte b da figura mostra um esquema instantâneo de um escoamento pulsante e a parte c mostra um instante calculado usando um modelo para dinâmica dos fluidos computacionais CFD para o mesmo escoamento Nesse caso a interface entre as amostras dos dois fluidos estica e dobra levando a uma boa mistura não turbulenta no espaço de 2 mm a montante da confluência depois de aproximadamente 1 s de contato Tal equipamento compacto de mistura seria ideal para muitas das aplicações anteriormente mencionadas Problemas Leis Básicas para um Sistema 41 Uma massa de 227 kg é liberada quando ela está exatamente em contato com uma mola de constante elástica de 365 kgs2 que está fixa no solo Qual é a máxima compressão da mola Compare esse valor à deflexão da mola se a massa estivesse apenas em repouso sobre ela Qual seria a máxima compressão da mola se a massa fosse liberada de uma distância de 15 m acima do topo da mola 42 Uma forma de cubos de gelos contendo 250 mL de água fria a 15C é colocada em um freezer a 5C Determine a mudança de energia interna kJ e de entropia kJK da água quando ela for congelada 43 Uma pequena bola de aço de raio r 1 mm é colocada no topo de um tubo horizontal de raio externo maior R 50 mm e começa a rolar para baixo sob a influência da gravidade As resistências de rolamento e do ar são desprezíveis Como a velocidade da bola aumenta ela eventualmente deixa a superfície do tubo e tornase um projétil Determine a velocidade e o local em que a bola perde o contato com o tubo 44 Um jato comercial Boeing 777200 pesa totalmente carregado 325000 kg O piloto leva as duas turbinas ao empuxo máximo de decolagem de 450 kN cada antes de liberar os freios Desprezando resistências aerodinâmicas e de rolamento estime o comprimento de pista e o tempo mínimo necessários para atingir a velocidade de decolagem de 225 kmh Considere que o empuxo das turbinas permaneça constante durante o trajeto no solo 45 Uma investigação policial de marcas de pneus mostrou que um carro trafegando ao longo de uma rua nivelada e reta tinha deslizado por uma distância total de 50 m até parar após a aplicação dos freios O coeficiente de atrito estimado entre os pneus e o pavimento é μ 06 Qual era a velocidade mínima provável do carro kmh quando os freios foram aplicados Por quanto tempo o carro derrapou 46 Um experimento de escola consiste em um bloco de massa 2 kg deslizando sobre uma superfície de coeficiente de atrito μ 06 Se a velocidade inicial de 5 ms é dada qual distância ele irá percorrer e quanto tempo levará até parar A rugosidade da superfície é reduzida um pouco de modo que com a mesma velocidade inicial o bloco percorre uma distância de 2 m Qual o novo coeficiente de atrito e por quanto tempo o bloco desliza 47 Um carro viajando a 48 kmh chega a uma curva na estrada O raio da curva é 30 m Encontre a máxima velocidade kmh antes da perda de tração se o coeficiente de atrito com a pista seca é μs 07 e com ela molhada é μm 03 48 Ar a 20C e pressão absoluta de 1013 kPa é comprimido adiabaticamente em um cilindropistão sem atrito até uma pressão absoluta de 9053 kPa Determine o trabalho fornecido MJ 49 Em um experimento com uma lata de refrigerante ela leva 3 horas para ser resfriada de uma temperatura inicial de 24C até uma temperatura de 10C dentro de um refrigerador a 4C Em seguida se ela é retirada do refrigerador e exposta a uma temperatura ambiente de 20C quanto tempo ela levará para atingir 15C Considere que para ambos os processos a transferência de calor é modelada por kT T amb na qual T é a temperatura da lata T amb é a temperatura ambiente e k é um coeficiente de transferência de calor 410 Um bloco de cobre de massa 5 kg é aquecido a 90C e mergulhado em um recipiente isolado contendo 4 L de água a 10C Encontre a temperatura final do sistema O calor específico do cobre é 385 Jkg K e o da água é 4186 Jkg K 411 A taxa média de transferência de calor de uma pessoa para o ambiente é cerca de 85 W quando a pessoa não está trabalhando ativamente Suponha que em um auditório com volume de aproximadamente 35 105 m3 com 6000 pessoas presentes o sistema de ventilação falhe Qual o aumento da energia interna do ar do auditório durante os primeiros 15 minutos após a pane Considerando o auditório e as pessoas como um sistema e também considerando que não haja transferência de calor para o meio ambiente qual a variação da energia interna do sistema Como você explica o fato de que a temperatura do ar aumenta Estime a taxa de aumento de temperatura nessas condições Conservação da Massa 412 Um campo de velocidade na região mostrada dado por aĵ by em que a 10 ms e b 5 s1 Para o volume de controle triangular de 1 m 1 m com profundidade w 1 m perpendicular ao diagrama um elemento de área pode ser representado por d wdzĵ wdy e um elemento de área por d 2 wdy a Encontre uma expressão para dA1 b Avalie c Encontre uma expressão para dA2 d Encontre uma expressão para dA2 e Avalie 413 A área sombreada mostrada está em um escoamento onde o campo de velocidade é dado por axî byĵ a b 1 s1 e as coordenadas são medidas em metros Avalie a vazão volumétrica e o fluxo de quantidade de movimento através da área sombreada ρ 1 kgm3 414 A área sombreada mostrada está em um escoamento onde o campo de velocidade é dado por axî byĵ c a b 2 s1 e c 1 ms Escreva uma expressão vetorial para um elemento da área sombreada Avalie as integrais sobre a área sombreada 415 Obtenha expressões para a vazão volumétrica e para o fluxo de quantidade de movimento através da seção transversal do volume de controle mostrado no diagrama 416 Para o escoamento do Problema 415 obtenha uma expressão para o fluxo de energia cinética através da seção transerval do volume de controle mostrado 417 A distribuição de velocidades para escoamento laminar em um longo tubo circular de raio R é dada pela expressão unidimensional Para este perfil obtenha expressões para a vazão volumétrica e para o fluxo de quantidade de movimento através da seção normal ao eixo do tubo 418 Para o escoamento do Problema 417 obtenha uma expressão para o fluxo de energia cinética através da seção normal ao eixo do tubo 419 A ducha de um chuveiro alimentado por um tubo de água com diâmetro interno de 1905 mm consiste em 50 bocais de diâmetros internos de 079 mm Considerando uma vazão de 139 104 m3s qual é a velocidade ms de cada jato de água Qual é a velocidade média ms no tubo 420 Um agricultor está pulverizando um líquido através de 10 bocais com diâmetro interno de 3 mm a uma velocidade média na saída de 3 ms Qual é a velocidade média na entrada do alimentador que possui diâmetro interno igual a 25 mm Qual é a vazão do sistema em Lmin 421 Um reservatório cilíndrico de exploração de água possui um diâmetro interno igual a 3 m e uma altura de 3 m Existe somente uma entrada com diâmetro igual a 10 cm uma saída com diâmetro de 8 cm e um dreno Inicialmente o tanque está vazio quando a bomba de entrada é acionada produzindo uma velocidade média na entrada de 5 ms Quando o nível do tanque atinge 07 m a bomba de saída é acionada causando uma vazão para fora do tanque na saída a velocidade média na saída é 3 ms Quando o nível de água atinge 2 m o dreno é aberto de tal forma que o nível permanece em 2 m Determine a o tempo no qual a bomba de saída é acionada b o tempo no qual o dreno é aberto e c a vazão no dreno m3min 422 Um laboratório universitário deseja construir um túnel de vento de vazão 15 m3s com velocidades variáveis do ar Para isso propõese construir o túnel com uma sequência de três seções de teste circulares A seção 1 terá um diâmetro de 15 m a seção 2 um diâmetro de 1 m e a seção 3 um diâmetro tal que a velocidade média seja 75 ms a Qual serão as velocidades nas seções 1 e 2 b Qual deve ser o diâmetro da seção 3 para atender a velocidade desejada para as condições de projeto 423 Uma torre de arrefecimento resfria água quente pulverizandoa contra um escoamento forçado de ar seco Uma parte da água evapora nesse ar e é carregada para a atmosfera fora da torre a evaporação resfria as gotas de água remanescentes que são coletadas no tubo de saída da torre com 150 mm de diâmetro interno Medições indicam que a vazão de água quente é 315 kgs e a água fria 21ºC escoa a uma velocidade média de 17 ms no tubo de saída A massa específica do ar úmido é 106 kgm3 Determine a as vazões mássica kgs e volumétrica Lmin da água fria b a vazão mássica kgs do ar úmido e c a vazão mássica kgs do ar seco Sugestão No Google digite density of moist air ou massa específica do ar úmido para obter informações sobre a massa específica do ar úmido e seco 424 Um fluido com massa específica de 1040 kgm3 flui em regime permanente através da caixa retangular mostrada Dados A1 0046 m2 A2 0009 m2 A3 0056 m2 3î ms e 6j ms determine a velocidade 3 425 Considere o escoamento incompressível e permanente através do dispositivo mostrado Determine o módulo e o sentido da vazão volumétrica através da porta 3 426 Um agricultor de arroz necessita encher de água uma área de plantio de 150 m 400 m com uma profundidade de 75 cm em 1 h Quantos tubos de suprimento de água com 375 cm de diâmetro são necessários se a velocidade média em cada um deve ser menor que 25 ms 427 Você está fazendo cerveja O primeiro passo é encher o garrafão de vidro com o mosto líquido O diâmetro interno do garrafão é 375 cm e você deseja enchêlo até o nível de 06 m Se o seu mosto é retirado da chaleira usando um sifão com uma vazão de 1136 Lmin quanto tempo levará o enchimento 428 Em sua cozinha a pia tem 06 m por 457 cm e tem 305 cm de profundidade Você a está enchendo com água com uma vazão de 252 106 m3s Quanto tempo em minutos você leva para encher metade da pia Depois disso você fecha a torneira e abre um pouco a válvula de drenagem de modo que a vazão de saída é de 63 106 m3s Qual a taxa em ms na qual o nível de água abaixa 429 Normas para ventilação de ar em salas de aula especificam uma renovação do ar da sala com uma vazão de pelo menos 80 Ls de ar fresco por pessoa estudantes e professor Um sistema de ventilação para alimentar 6 salas com capacidade para 20 estudantes deve ser projetado O ar entra através de um duto central com ramificações curtas que chegam sucessivamente em cada sala As grelhas de saídas de ar das ramificações para as salas têm 200 mm de altura e 500 mm de largura Calcule a vazão volumétrica e a velocidade do ar que entra em cada sala Ruídos de ventilação aumentam com a velocidade do ar Fixando a altura do duto de alimentação em 500 mm determine a largura do duto que limitará a velocidade do ar a um valor máximo de 175 ms 430 Você está tentando bombear água para fora de seu porão durante uma tempestade A bomba pode extrair 06 Ls O nível de água no porão está agora reduzindo a uma taxa de 04 mmmin Qual é a vazão Ls da tempestade para o porão O porão tem uma área de 76 m 6 m 431 Em um escoamento a montante em regime permanente a massa específica é 1 kgm3 a velocidade é 1000 ms e a área é 01 m2 A jusante a velocidade é 1500 ms e a área é 025 m2 Qual é a massa específica a jusante 432 No escoamento incompressível através do dispositivo mostrado as velocidades podem ser consideradas uniformes em todas as seções de entrada e de saída As seguintes condições são conhecidas A1 01 m2 A2 02 m2 A3 015 m2 V1 10et2 ms e V2 2 cos2πt ms t em segundos Obtenha uma expressão para a velocidade na seção e trace um gráfico de V3 como uma função do tempo Em que instante V3 tornase zero pela primeira vez Qual é a vazão volumétrica total média na seção 433 Óleo escoa em regime permanente formando uma fina camada em um plano inclinado para baixo O perfil de velocidade é dado por Expresse a vazão mássica por unidade de largura em termos de ρ μ g θ e h 434 Água entra em um canal largo e plano de altura 2h com uma velocidade de 25 ms Na saída do canal a distribuição de velocidades é dada por em que y é medido a partir da linha de centro do canal Determine a velocidade umáx na linha de centro na saída do canal 435 Água escoa em regime permanente através de um tubo de comprimento L e raio R 75 mm Calcule a velocidade de entrada uniforme U se a distribuição de velocidade através da saída é dada por e umáx 3 ms 436 Um fluido incompressível escoa em regime permanente por meio de um canal plano divergente Na seção de entrada de altura H o escoamento é uniforme com módulo V1 Na saída de altura 2H o perfil de velocidade é em que y é medido a partir da linha de centro do canal Expresse Vm em termos de V1 437 O perfil de velocidade para escoamento laminar em uma seção anular é dado por em que ΔpL 10 kPam é o gradiente de pressão μ é a viscosidade óleo SAE 10 a 20C e Ro 5 mm e Ri 1 mm são os raios externo e interno do anel Determine a vazão volumétrica a velocidade média e a velocidade máxima Faça um gráfico da distribuição de velocidades 438 Uma curva redutora bidimensional tem um perfil de velocidade linear na seção O escoamento é uniforme nas seções e O fluido é incompressível e o escoamento é permanente Determine o módulo e o sentido da velocidade uniforme na seção 439 Água entra em um canal bidimensional de largura constante h 755 mm com velocidade uniforme U O canal faz uma curva de 90º que distorce o escoamento de modo a produzir na saída o perfil linear de velocidade mostrado com υmáx 2υmín Avalie υmín se U 75ms 440 Um líquido viscoso é drenado de um tanque circular com diâmetro D 300 mm através de um longo tubo circular de raio R 50 mm O perfil de velocidade no tubo de descarga é Mostre que a velocidade média do escoamento no tubo de drenagem é Avalie a taxa de variação do nível de líquido no tanque no instante em que umáx 0155 ms 441 Um tubo redondo e poroso com D 60 mm transporta água A velocidade de entrada é uniforme com V1 70 ms A água vaza para fora do tubo através das paredes porosas radialmente e com simetria em relação ao eixo do tubo A distribuição de velocidades da água vazando ao longo do tubo é dada por em que V0 003 ms e L 0950 m Calcule a vazão mássica dentro do tubo em x L 442 Um tanque retangular usado para fornecer água em uma experiência de número de Reynolds tem profundidade de 230 mm largura W 150 mm e comprimento L 230 mm O número de Reynolds da água do tubo de saída diâmetro interno D 635 mm é Re 2000 quando o tanque está metade cheio A válvula de admissão de água para o tanque está fechada Determine a taxa de variação do nível da água nesse instante 443 Um acumulador hidráulico é projetado para reduzir as pulsações de pressão do sistema hidráulico de uma máquina operatriz Para o instante mostrado determine a taxa à qual o acumulador ganha ou perde óleo hidráulico 444 Água é drenada de um tanque cilíndrico de 03 m de diâmetro através de um orifício no fundo do tanque No instante em que a profundidade da água é 06 m a vazão em massa observada no dreno é 4 kgs Determine a taxa de variação do nível da água nesse instante 445 Um tanque com volume de 04 m3 contém ar comprimido Uma válvula é aberta e o ar escapa com velocidade de 250 ms através de uma abertura de 100 mm2 de área A temperatura do ar passando pela abertura é igual a 20C e a pressão absoluta é 300 kPa Determine a taxa de variação da massa específica do ar no tanque nesse instante 446 Ar entra em um tanque através de uma área de 0018 m2 com velocidade de 46 ms e massa específica de 155 kgm3 Ar sai com uma velocidade de 15 ms e uma massa específica igual àquela no tanque A massa específica inicial do ar no tanque é 103 kgm3 O volume total do tanque é 06 m3e a área de saída é 004 m2 Determine a taxa de variação inicial da massa específica do ar no tanque 447 Em uma notícia divulgada recentemente na TV sobre o abaixamento do nível do lago Shafer perto de Monticello Indiana pelo aumento na descarga através da comporta do lago as seguintes informações foram repassadas a respeito do escoamento na comporta Vazão normal 82 m3s Vazão durante a drenagem do lago 57 m3s A vazão durante a drenagem foi dita ser equivalente a 605 m3s O repórter disse também que durante a drenagem esperavase uma diminuição no nível do lago à taxa de 03 m a cada 8 horas Calcule a vazão real durante a drenagem em m3s Estime a área superficial do lago 448 Um tanque cilíndrico de diâmetro D 50 mm possui o esgoto por uma abertura de diâmetro d 5 mm em seu fundo A velocidade do líquido saindo do tanque é aproximadamente em que y é a altura do fundo do tanque à superfície livre Se o tanque inicialmente está cheio com água a y0 04 m determine a profundidade da água em t 60 s t 120 s e t 180 s Trace o gráfico de y m em função de t para os primeiros 180 segundos 449 Para as condições do Problema 448 estime o tempo requerido para drenar o tanque à profundidade de y 03 m uma mudança na profundidade de 01 m e de y 03 m para y 02 m também uma mudança na profundidade de 01 m Você pode explicar a discrepância nesses tempos Trace o gráfico do tempo de drenagem do tanque como função do diâmetro do furo na profundidade y 01 m do tanque variando de d 25 mm para d 125 mm 450 Um frasco cônico contém água até uma altura H 368 mm no qual o diâmetro do vaso é D 294 mm A água é drenada do frasco através de um orifício circular de bordas lisas e diâmetro d 735 mm no vértice do cone A velocidade da água na saída do orifício é dada aproximadamente por em que y é a distância vertical da superfície livre do líquido até o orifício Uma corrente de água entra pelo topo do frasco com uma vazão volumétrica constante Q 375 107 m3h Determine a vazão em volume no fundo do vaso Avalie a taxa de variação do nível da superfície livre no vaso e o seu sinal nesse instante 451 Um funil cônico com meio ângulo θ 15 com diâmetro máximo D 70 mm e altura H deixa escapar líquido por um orifício diâmetro d 312 mm no seu vértice A velocidade do líquido deixando o reservatório é dada aproximadamente por em que y é a altura da superfície livre do líquido acima do orifício Determine a taxa de variação do nível da superfície no reservatório no instante em que y H2 452 Água escoa em regime permanente sobre uma placa plana porosa Uma sucção constante é aplicada ao longo da seção porosa O perfil de velocidade na seção cd é Avalie a vazão mássica através da seção bc 453 Considere um escoamento incompressível e permanente de arpadrão em uma camadalimite sobre toda a extensão da superfície porosa mostrada Considere também que a camadalimite na extremidade a jusante da superfície tenha um perfil de velocidade aproximadamente parabólico dado por uU 2yδ yδ2 Uma sucção uniforme é aplicada ao longo da superfície porosa como mostrado Calcule a vazão volumétrica por meio da superfície cd da superfície porosa de sucção e da superfície bc 454 Um tanque de volume fixo contém salmoura com massa específica inicial ρi maior que a da água Água pura entra no tanque em regime permanente e misturase perfeitamente com a salmoura O nível do líquido no tanque permanece constante Deduza expressões para a a taxa de variação da massa específica da mistura líquida no tanque e b o tempo requerido para que a massa específica dessa mistura atinja o valor ρf sendo ρi ρf ρH 2 O 455 Em um funil cônico com meio ângulo θ 30 o líquido é drenado através de um pequeno orifício de diâmetro d 625 mm no vértice do funil A velocidade do líquido através do orifício é dada aproximadamente por em que y é a altura da superfície livre do líquido acima do orifício Inicialmente o funil está cheio até uma altura y0 300 mm Obtenha uma expressão para o tempo t de drenagem do funil Encontre o tempo de drenagem de 300 mm para 150 mm uma variação de profundidade de 150 mm e de 150 mm para o esvaziamento total também uma variação de profundidade de 150 mm Você pode explicar a discrepância desse tempo Trace o gráfico do tempo de drenagem t em função de d para esse diâmetro variando de 625 mm até 125 mm 456 Para o funil do Problema 455 determine o diâmetro d requerido se o funil é drenado em t 1 min para uma profundidade inicial y0 30 cm Trace o gráfico do diâmetro d requerido para drenar o funil em 1 min em função da profundidade y0 para y0 variando de 25 cm para 60 cm 457 Com o passar do tempo o ar escapa dos pneus de alta pressão de uma bicicleta por migração através dos poros da borracha É regra corrente dizer que um pneu perde pressão a uma taxa de 69 kPa por dia A taxa real de perda de pressão não é constante o que ocorre é que a taxa de perda de massa de ar instantânea é proporcional à massa específica e à pressão manométrica do ar no pneu ρp Como a taxa de vazamento é baixa o ar no pneu é aproximadamente isotérmico Considere um pneu que está inicialmente inflado com 07 MPa manométrica Considere que a taxa inicial de perda de pressão seja de 69 kPa por dia Estime o tempo necessário para que a queda de pressão atinja 500 kPa Quão preciso é 69 kPa por dia no período total de 30 dias Trace um gráfico da pressão no pneu versus tempo para um período de 30 dias Compare os resultados obtidos com aqueles da regra prática de uma libra por dia Equação da Quantidade de Movimento para um Volume de Controle Inercial 458 Avalie a taxa líquida de fluxo de quantidade de movimento para fora da superfície de controle do Problema 424 459 Para as condições do Problema 434 avalie a razão entre o fluxo de quantidade de movimento na direção x na saída do canal e aquele na entrada 460 Para as condições do Problema 435 avalie a razão entre o fluxo de quantidade de movimento na direção x na saída do tubo e aquele na entrada 461 Avalie o fluxo líquido de quantidade de movimento através da curva do Problema 438 se a profundidade normal ao diagrama for w 1 m 462 Avalie o fluxo líquido de quantidade de movimento através do canal do Problema 439 Você esperaria que a pressão na saída fosse maior menor ou a mesma que a pressão na entrada Por quê 463 Jatos de água estão sendo usados cada vez com maior frequência para operações de cortes de metais Se uma bomba gera uma vazão de 63 106 m3s através de um orifício de diâmetro 0254 mm qual é a velocidade média do jato Que força N o jato produzirá por impacto considerando como uma aproximação que a água segue pelos lados depois do impacto 464 Considerando que na região de escoamento completamente desenvolvido de um tubo a integral da quantidade de movimento axial é a mesma em todas as seções transversais explique a razão para a queda de pressão ao longo do tubo 465 Calcule a força requerida para manter o tampão fixo na saída do tubo de água A vazão é 15 m3s e a pressão a montante é 35 MPa 466 Um jato de água saindo de um bocal estacionário a 10 ms Aj 01 m2 atinge uma pá defletora montada sobre um carrinho conforme mostrado A pá vira o jato em um ângulo θ 40 Determine o valor da massa M requerida para manter o carrinho estacionário Se o ângulo da pá θ for regulável trace um gráfico do valor de M necessário para manter o carrinho estacionário em uma função de θ para 0 θ 180 467 Um grande tanque de altura h 1 m e diâmetro D 075 m está fixado sobre uma plataforma rolante conforme mostrado Água jorra do tanque por meio de um bocal de diâmetro d 15 mm A velocidade uniforme do líquido saindo do bocal é aproximadamente em que y é a distância vertical do bocal até a superfície livre do líquido Determine a tração no cabo para y 09 m Trace um gráfico da tração no cabo como uma função da profundidade de água para a faixa 0 y 09 m 468 Um cilindro circular inserido de través em uma corrente de água conforme mostrado deflete o escoamento de um ângulo θ Isto é chamado de efeito Coanda Para a 125 mm b 25 mm V 3 ms e θ 20 determine a componente horizontal da força sobre o cilindro devido ao escoamento da água 469 Uma placa vertical tem um orifício de bordas vivas no seu centro Um jato de água com velocidade V atinge a placa concentricamente Obtenha uma expressão para a força externa requerida para manter a placa no lugar se o jato que sai do orifício também tem velocidade V Avalie a força para V 46 ms D 100 mm e d 25 mm Trace um gráfico da força requerida versus a razão de diâmetros para uma faixa adequada do diâmetro d 470 Em um experimento laboratorial a vazão de água deve ser medida capturandoa conforme a água sai verticalmente de um tubo dentro de um tanque aberto e vazio que está sobre uma balança zerada O fundo do tanque está a 10 m diretamente abaixo da saída do tubo e o diâmetro do tubo é de 50 mm Um estudante obtém uma vazão constatando que após 60 segundos o volume de água a 4ºC foi de 3 m3 Outro estudante obtém uma vazão observando a massa instantânea de 3150 kg indicada no instante 60 segundos Determine a vazão mássica que cada estudante calcula Por que eles estão em desacordo Qual das vazões é a mais precisa Mostre que o módulo da discrepância pode ser explicado por algum conceito que você já pode conhecer 471 Um tanque de água está apoiado sobre um carrinho com rodas sem atrito como mostrado O carro está ligado a uma massa M 10 kg por meio de um cabo e o coeficiente de atrito estático da massa com o solo é µ 055 Se a porta bloqueando a saída do tanque é removida o escoamento resultante na saída será suficiente para iniciar o movimento do tanque Considere que escoamento de água sem atrito e que a velocidade do jato é em que h 2 m é a profundidade da água Encontre o valor da massa M justamente necessária para manter o tanque no lugar 472 Uma comporta possui 1 m de largura e 12 m de altura é articulada no fundo De um lado a comporta suporta uma coluna de água com 1 m de profundidade De outro lado um jato de água com 5 cm de diâmetro atinge a comporta a uma altura de 1 m Qual velocidade V é necessária para que o jato mantenha a comporta na vertical Qual será essa velocidade se a coluna de água for diminuída para 05 m Qual será a velocidade se a coluna de água for diminuída para 025 m 473 Um fazendeiro compra 675 kg de grãos a granel da cooperativa local Os grãos são despejados na sua caminhonete através de um alimentador afunilado com um diâmetro de saída de 03 m O operador do alimentador determina a carga a pagar observando a variação como o tempo do peso bruto da caminhonete indicado na balança O fluxo de grãos do alimentador 40 kgs é interrompido quando a leitura da balança atinge o peso bruto desejado Se a massa específica do grão é 600 kgm3 determine a verdadeira carga a pagar 474 Água escoa em regime permanente pelo bocal de uma mangueira de incêndio A mangueira tem diâmetro interno de 75 mm e a ponta do bocal de 25 mm a pressão manométrica na mangueira é 510 kPa e a corrente de água deixando o bocal é uniforme Na saída do bocal a velocidade de água é 32 ms e a pressão é atmosférica Determine a força transmitida pelo acoplamento entre a mangueira e o bocal Indique se o bocal está sob tração ou compressão 475 Um tipo de prato raso e circular tem um orifício de bordas vivas no centro Um jato de água de velocidade V atinge o prato concentricamente Obtenha uma expressão para a força externa necessária para manter o prato no lugar se o jato que sai pelo orifício também tem velocidade V Avalie a força para V 5 ms D 100 mm e d 25 mm Trace um gráfico da força requerida em função do ângulo θ 0 θ 90 com a razão de diâmetros como parâmetro para uma faixa adequada do diâmetro d 476 Obtenha expressões para a taxa de variação em massa do volume de controle mostrado bem como as forças horizontal e vertical requeridas para manter o volume de controle fixo em função de p1 A1 V1 p2 A2 V2 p3 A3 V3 p4 A4 V4 e da massa específica constante 477 Em um cotovelo redutor de 180 de diâmetro interno de 02 m a água tem uma velocidade média de 08 ms e uma pressão manométrica de 350 kPa Na saída a pressão é 75 kPa e o diâmetro interno é 004 m Qual é a força requerida para manter o cotovelo no lugar 478 Água está escoando em regime permanente por um cotovelo de 180 Na entrada do cotovelo a pressão manométrica é 103 kPa A água é descarregada para a atmosfera Considere que as propriedades são uniformes nas seções de entrada e de saída A1 2500 mm2 A2 650 mm2 e V1 3 ms Determine a componente horizontal da força necessária para manter o cotovelo no lugar 479 Água escoa em regime permanente pelo bocal mostrado descarregando para a atmosfera Calcule a componente horizontal da força na junta flangeada Indique se a junta está sob tração ou compressão 480 Suponha que a curva do Problema 439 seja um segmento de um canal largo no plano horizontal A pressão na entrada é de 170 kPa abs e na saída 130 kPa abs Determine a força requerida para manter a curva no lugar 481 Um dispositivo de formação de jato é mostrado no diagrama A água é fornecida a p 10 kPa manométrica através da abertura flangeada de área A 1900 mm2 A água sai do dispositivo em um jato livre em regime permanente à pressão atmosférica A área e a velocidade do jato são a 650 mm2e V 46 ms O dispositivo tem massa de 009 kg e contém 196 cm3 de água Determine a força exercida pelo dispositivo sobre o tubo de suprimento de água 482 Uma placa plana com um orifício de 50 mm de diâmetro está instalada na extremidade de um tubo de 100 mm de diâmetro Água escoa através do tubo e do orifício com uma vazão de 057 m3s O diâmetro do jato a jusante do orifício é 38 mm Calcule a força externa necessária para manter a placa de orifício no lugar Despreze o atrito na parede do tubo 483 O bocal mostrado descarrega uma cortina de água por meio de um arco de 180o A uma distância radial de 03 m a partir da linha de centro do tubo de suprimento a velocidade da água é 15 ms e a espessura do jato é 30 mm Determine a a vazão volumétrica da cortina de água e b a componente y da força necessária para manter o bocal no lugar 484 Um motor de foguete a combustível líquido consome na condição de empuxo nominal 80 kgs de ácido nítrico como oxidante e 32 kgs de anilina como combustível Os gases de escape saem axialmente a 180 ms em relação ao bocal de descarga e a 110 kPa O diâmetro de saída do bocal é D 06 m Calcule o empuxo produzido pelo motor em uma bancada de testes instalada no nível do mar 485 Uma máquina típica para testes de motores a jato é mostrada na figura juntamente com alguns dados de testes O combustível entra verticalmente no topo da máquina a uma taxa igual a 2 da vazão em massa do ar de admissão Para as condições dadas calcule a vazão mássica de ar através da máquina e estime o empuxo produzido 486 Considere o escoamento através da expansão súbita mostrada Se o escoamento for incompressível e o atrito desprezível mostre que o aumento de pressão Δp p2 p1 é dado por Trace o gráfico do aumento de pressão adimensional versus a razão de diâmetros para determinar o valor ótimo de dD e o valor correspondente do aumento adimensional de pressão Sugestão Suponha que a pressão seja uniforme e igual a p1 na superfície vertical da expansão 487 Um jato livre de água com área de seção transversal constante e igual a 001 m2 é defletido por uma placa suspensa de 2 m de comprimento suportada por uma mola com constante k 500 Nm e comprimento normal x0 1 m Determine e trace um gráfico do ângulo de deflexão θ como uma função da velocidade do jato V Qual velocidade do jato tem ângulo de deflexão θ 5 488 Uma cabeça cônica de jateamento é mostrada O fluido é a água e a corrente de saída é uniforme Avalie a a espessura do jato em forma de cortina de água no raio de 400 mm e b a força axial exercida pelo dispositivo sobre o tubo de alimentação de água 489 A figura mostra um redutor em uma tubulação O volume interno do redutor é 02 m3e a sua massa é 25 kg Avalie a força total de reação que deve ser feita pelos tubos adjacentes para suportar o redutor O fluido é a gasolina 490 Uma montagem com um bocal curvo que descarrega para a atmosfera é mostrada A massa do bocal é 45 kg e seu volume interno é de 0002 m3 O fluido é a água Determine a força de reação exercida pelo bocal sobre o acoplamento para o tubo de entrada 491 Uma bomba a jato de água tem área do jato de 0009 m2 e velocidade do jato de 305 ms O jato está dentro de uma corrente secundária de água com velocidade V 3 ms A área total do duto a soma das áreas do jato principal e da corrente secundária é de 007 m2 As duas correntes são vigorosamente misturadas e a água deixa a bomba como uma corrente uniforme As pressões do jato e da corrente secundária são iguais na entrada da bomba Determine a velocidade na saída da bomba e o aumento de pressão p2 p1 492 Um cotovelo redutor de 30o é mostrado O fluido é água Avalie as componentes da força que deve ser aplicada pelos tubos adjacentes para manter o cotovelo estático 493 Considere o escoamento permanente e adiabático de ar através de um longo tubo retilíneo com área de seção transversal de 005 m2 Na entrada do tubo o ar está a 200 kPa manométrica 60C e tem uma velocidade de 150 ms Na saída o ar está a 80 kPa com velocidade de 300 ms Calcule a força axial do ar sobre o tubo Certifiquese de estabelecer com clareza o sentido da força 494 Uma caldeira monotubular consiste em um tubo de 6 m de comprimento e 95 mm de diâmetro interno Água líquida entra no tubo a uma taxa de 0135 kgs com pressão de 345 MPa abs Vapor sai do tubo a 276 MPa manométrica com massa específica de 124 kgm3 Determine o módulo e o sentido da força exercida pelo fluido sobre o tubo 495 Um gás escoa em regime permanente por meio de um tubo poroso aquecido de área de seção transversal constante e igual a 015 m2Na entrada do tubo a pressão absoluta é 400 kPa a massa específica é 6 kgm3 e a velocidade média é de 170 ms O fluido que atravessa a parede porosa sai em uma direção normal ao eixo do tubo com vazão mássica total de 20 kgs Na saída do tubo a pressão absoluta é 300 kPa e a massa específica é 275 kgm3 Determine a força axial do fluido sobre o tubo 496 Água é descarregada a vazão de 03 m3s por uma fenda estreita em um tubo de 200 mm de diâmetro O jato resultante horizontal e bidimensional tem 1 m de comprimento e espessura de 20 mm mas com velocidade não uniforme a velocidade na localização é o dobro da velocidade na localização A pressão na seção de entrada é 50 kPa manométrica Calcule a a velocidade no tubo e nas localizações e e b as forças requeridas no acoplamento para manter o tubo de jateamento no lugar Despreze as massas do tubo e da água nele contida 497 Água escoa em regime permanente através da curva de 90o do Problema 439 O escoamento na entrada está a p1 185 kPa absoluta O escoamento na saída é não uniforme vertical e à pressão atmosférica A massa da estrutura do canal é Mc 205 kg o volume interno do canal é 000355 m3 Avalie a força exercida pelo canal sobre o duto de suprimento de água 498 Um bocal para um sistema de jateamento é projetado para produzir uma cortina de água radial e plana A cortina de água sai do bocal com V2 10 ms cobre um arco de 180 e tem espessura t 15 mm O raio da descarga do bocal é R 50 mm O tubo de suprimento de água tem 35 mm de diâmetro e a pressão de entrada é p1 150 kPa absoluta Avalie a força axial exercida pelo bocal sobre o acoplamento com o tubo de suprimento 499 Um pequeno objeto redondo é testado em um túnel de vento de 075 m de diâmetro A pressão é uniforme nas seções e A pressão a montante é 30 mm de H2O manométrica a pressão a jusante é 15 mm de H2O manométrica e a velocidade média do ar é 125 ms O perfil de velocidade na seção é linear ele varia de zero na linha de centro do túnel a um máximo na parede do túnel Calcule a a vazão mássica no túnel de vento b a velocidade máxima na seção e c o arrasto sobre o objeto e sua haste de sustentação Despreze a resistência viscosa na parede do túnel 4100 A velocidade horizontal na esteira atrás de um objeto posicionado em uma corrente de ar de velocidade uniforme U é dada por em que r é a coordenada radial adimensional medida na direção perpendicular ao escoamento Encontre uma expressão para o arrasto sobre o objeto 4101 Um fluido incompressível escoa em regime permanente na região de entrada de um canal bidimensional de altura 2h 100 mm e largura w 25 mm A vazão é Q 0025 m3s Encontre a velocidade uniforme U1 na entrada A distribuição de velocidades em uma seção a jusante é Avalie a velocidade máxima na seção a jusante Calcule a queda de pressão que existiria no canal se o atrito viscoso nas paredes fosse desprezível 4102 Um fluido incompressível escoa em regime permanente na região de entrada de um tubo circular de raio R 75 mm A vazão é Q 01 m3s Encontre a velocidade uniforme U1 na entrada A distribuição de velocidades em uma seção a jusante é Avalie a velocidade máxima na seção a jusante Calcule a queda de pressão que existiria no tubo se o atrito viscoso nas paredes fosse desprezível 4103 Ar entra em um duto de diâmetro D 250 mm por uma entrada bem arredondada com velocidade uniforme U1 0870 ms Em uma seção a jusante onde L 225 m o perfil de velocidade inteiramente desenvolvido é A queda de pressão entre essas seções é p1 p2 192 Nm2 Determine a força total de atrito exercida pelo tubo sobre o ar 4104 Considere o escoamento incompressível de um fluido em uma camadalimite como descrito no Exemplo 42 Mostre que a força de arrasto devido ao atrito do fluido sobre a superfície é dada por Avalie a força de arrasto para as condições do Exemplo 42 4105 Um fluido com massa específica ρ 750 kgm3 escoa ao longo de uma placa plana de largura 1 m A velocidade da corrente livre não perturbada é U0 10 ms Em L 1 m a jusante da borda de ataque da placa a espessura da camadalimite é δ 5 mm O perfil de velocidade nesse local é Trace o gráfico do perfil da velocidade Calcule a componente horizontal da força requerida para manter a placa estacionária 4106 Ar na condiçãopadrão escoa ao longo de uma placa plana A velocidade da corrente livre não perturbada é U0 20 ms Em L 04 m a jusante da borda de ataque da placa a espessura da camadalimite é δ 2 mm O perfil de velocidade nesse local é aproximado para uU0 yδ Calcule a componente horizontal da força por unidade de largura requerida para manter a placa estacionária 4107 Uma placa divisora de jato de borda viva inserida parcialmente em uma corrente plana de água produz o padrão de escoamento mostrado Analise a situação de modo a avaliar θ como uma função de α na qual 0 α 05 Avalie a força necessária para manter a placa divisora no lugar Despreze qualquer força de atrito entre a corrente de água e a placa divisora Trace um gráfico de ambos θ e Rx como funções de α 4108 Os gases saindo do bocal de propulsão de um foguete são modelados como se escoassem radialmente para fora a partir de um ponto a montante da garganta do bocal Considere que a velocidade do escoamento na saída Ve possui módulo constante Desenvolva uma expressão para o empuxo axial Ta resultante do escoamento deixando o plano de saída do bocal Compare seus resultados com a aproximação unidimensional T Ve Avalie o erro percentual para α 15 Trace um gráfico do erro percentual versus α para 0 α 225 4109 Quando um jato plano de líquido atinge uma placa inclinada ele se parte em duas correntes de velocidades iguais mas de espessuras desiguais Para escoamento sem atrito não pode haver força tangencial na superfície da placa Use esta simplificação para desenvolver uma expressão para h2h como função do ângulo da placa θ Trace um gráfico dos seus resultados e comente sobre os casos limites θ 0 e θ 90 4110 Dois grandes tanques contendo água têm pequenos orifícios de contornos lisos e arredondados e de áreas iguais Um jato de líquido sai do tanque da esquerda Considere que o fluxo seja uniforme e não afetado por atrito O jato atinge uma placa plana cobrindo a abertura do tanque da direita Determine o mínimo valor da altura h requerida para manter a placa no lugar sobre a abertura do tanque da direita 4111 Um jato de ar horizontal com 13 mm de diâmetro e axialmente simétrico atinge um disco estacionário vertical com 203 mm de diâmetro A velocidade do jato é de 69 ms na saída do bocal Um manômetro está conectado ao centro do disco Calcule a a deflexão h se o líquido do manômetro tem densidade relativa SG 175 e b a força exercida pelo jato sobre o disco 4112 Estudantes estão brincando com uma mangueira de água Quando eles a apontam para cima o jato de água atinge apenas uma das janelas do escritório do Professor Pritchard a 10 m de altura Se o diâmetro da mangueira é de 1 cm estime a vazão de água Lmin O Professor Pritchard desce e coloca sua mão um pouco acima da mangueira obrigando o jato a sair pelos lados assimetricamente Estime a pressão máxima e a força total que ele sente No dia seguinte os estudantes estão brincando novamente dessa vez a meta é a janela do Professor Fox 15 m acima Ache a vazão Lmin e a força total e a pressão máxima quando ele naturalmente aparece e bloqueia o escoamento 4113 Um jato uniforme de água sai de um bocal de 15 mm de diâmetro e escoa diretamente para baixo A velocidade do jato no plano de saída do bocal é 25 ms O jato atinge um disco horizontal e escoa radialmente para fora como uma lâmina de água Obtenha uma expressão geral para a velocidade que a corrente líquida atingiria no nível do disco Desenvolva uma expressão para a força requerida para manter o disco estacionário desprezando as massas do disco e da lâmina de água Avalie para h 3 m 4114 Um disco de 2 kg é restringido horizontalmente mas está livre para mover na direção vertical O disco é atingido por baixo por um jato vertical de água Na saída do bocal a velocidade e o diâmetro do jato de água são 10 ms e 25 mm Obtenha uma expressão geral para a velocidade do jato de água como uma função da altura h Determine a altura que o disco subirá e permanecerá estacionário 4115 A água de um jato de diâmetro D é usada para suportar o objeto cônico mostrado Deduza uma expressão para a massa combinada do cone e da água M que pode ser suportada pelo jato em termos de parâmetros associados a um volume de controle adequadamente escolhido Use a expressão obtida para calcular M quando V0 10 ms H 1 m h 08 m D 50 mm e θ 30 Estime a massa de água no volume de controle 4116 Uma corrente de água na condiçãopadrão sai de um bocal de 50 mm de diâmetro e atinge uma pá curva conforme mostrado Um tubo de estagnação conectado a um manômetro de em tubo U com água é instalado no plano de saída do bocal Calcule a velocidade do ar deixando o bocal Estime a componente horizontal da força exercida pelo jato sobre a pá Comente sobre cada uma das considerações usadas na solução do problema 4117 Um medidor Venturi instalado em uma tubulação de água consiste em uma seção convergente uma garganta de área constante e uma seção divergente O diâmetro do tubo é D 100 mm e o diâmetro da garganta é d 50 mm Determine a força resultante do fluido atuando sobre a seção convergente se a pressão da água no tubo é 200 kPa manométrica e a velocidade média é 1000 Lmin Para a análise despreze efeitos viscosos 4118 Um bocal plano descarrega verticalmente para baixo 1200 Ls por unidade de largura na atmosfera O bocal é alimentado com um fluxo permanente de água Uma placa plana estacionária inclinada colocada abaixo do bocal é atingida pela corrente de água A corrente de água dividese e escoa ao longo da placa inclinada as duas correntes deixando a placa têm espessuras desiguais Efeitos de atrito são desprezíveis no bocal e no escoamento ao longo da superfície da placa Avalie a mínima pressão manométrica requerida na saída do bocal 4119 Você abre a torneira da cozinha muito lentamente de modo que um filete de água escoa para a pia Você nota que o escoamento é laminar e que isso se reforça para os primeiros 50 mm de descida Para medir a vazão você leva três minutos para encher uma garrafa de 1 L e você estima que o filete de água tem 5 mm de diâmetro Considerando que a velocidade em qualquer seção transversal seja uniforme e desprezando os efeitos viscosos deduza expressões e construa um gráfico para as variações da velocidade da corrente e do diâmetro como função de z adote a origem de coordenadas na saída da torneira Qual a velocidade e o diâmetro do filete 50 mm abaixo desse ponto 4120 No antigo Egito vasos circulares cheios de água eram por vezes utilizados como relógios primitivos Os vasos tinham um formato tal que à medida que a água drenava pelo fundo o nível da superfície descia a uma taxa constante s Considere que a água drene por um pequeno orifício de área A Determine uma expressão para o raio do vaso r como função do nível de água h Obtenha uma expressão para o volume de água necessário para que o relógio funcione por n horas 4121 Uma corrente de fluido incompressível movendose a baixa velocidade sai de um bocal apontado diretamente para baixo Considere que a velocidade em qualquer seção reta seja uniforme e despreze efeitos viscosos A velocidade e a área do jato na saída do bocal são V0 e A0 respectivamente Aplique a equação da conservação de massa e a equação da quantidade de movimento a um volume de controle diferencial de comprimento dz na direção do escoamento Deduza expressões para as variações da velocidade e da área do jato como funções de z Encontre a posição na qual a área do jato é a metade do seu valor original Adote a origem de coordenadas na saída do bocal 4122 Um fluido incompressível de viscosidade desprezível é bombeado com uma vazão volumétrica total Q por uma superfície porosa para o interior de uma pequena fresta entre placas paralelas estreitamente espaçadas conforme mostrado O fluido tem apenas movimento horizontal dentro da fresta Considere escoamento uniforme através de qualquer seção vertical Obtenha uma expressão para a variação de pressão como uma função de x Sugestão Aplique a equação da conservação da massa e a equação da quantidade de movimento a um volume de controle diferencial de espessura dx localizado na posição x 4123 Um líquido incompressível de viscosidade desprezível é bombeado com uma vazão volumétrica total Q através de dois pequenos orifícios para dentro de uma pequena fresta entre discos paralelos estreitamente espaçados conforme mostrado Considere que na fresta o líquido tenha apenas movimento radial e que o escoamento é uniforme através de qualquer seção vertical A descarga é feita para a pressão atmosfera em r R Obtenha uma expressão para a variação de pressão como uma função do raio Sugestão Aplique a conservação de massa e a equação da quantidade de movimento a um volume de controle diferencial de tamanho dr localizado no raio r 4124 Uma fresta estreita entre duas placas circulares está inicialmente preenchida com líquido incompressível Em t 0 a placa superior inicialmente distante h0 da placa inferior começa a moverse para baixo de encontro à placa inferior com velocidade constante V0 provocando a expulsão do líquido através da fresta Desprezando efeitos viscosos e considerando escoamento uniforme na direção radial desenvolva uma expressão para o campo de velocidade entre as placas paralelas Sugestão Aplique a equação da conservação de massa a um volume de controle com superfície externa localizada no raio r Note que o escoamento não é permanente embora a velocidade da placa superior seja constante Para V0 001 ms e h0 2 mm encontre a velocidade no raio de saída R 100 mm em t 0 e t 01 s Trace o gráfico da velocidade de saída em função do tempo e explique a tendência 4125 Um líquido cai verticalmente dentro de um canal retangular aberto curto e horizontal de largura b A vazão volumétrica total Q é uniformemente distribuída sobre a área bL Despreze efeitos viscosos Obtenha uma expressão para h1 em termos de h2 Q e b Sugestão Escolha um volume de controle com fronteira externa localizada em x L Esboce o perfil da superfície hx Sugestão Use um volume de controle diferencial de largura dx 4126 Projete uma clepsidra relógio de água Egípcio um recipiente do qual água é drenada por gravidade através de um orifício no fundo e que indica o tempo pelo nível da água remanescente Especifique as dimensões do recipiente e o tamanho do orifício de drenagem indique a quantidade de água necessária para encher o recipiente e o intervalo de tempo ao fim do qual ele deve ser novamente enchido Trace um gráfico do raio do vaso em função da elevação 4127 Um jato de água é dirigido contra uma pá defletora que poderia ser uma pá de turbina ou outra peça de uma máquina hidráulica qualquer A água sai de um bocal estacionário de 40 mm de diâmetro com uma velocidade de 25 ms e entra na pá tangente à sua superfície em A A superfície interna da pá em B faz um ângulo θ 150 com a direção x Calcule a força que deve ser aplicada sobre a pá para manter sua velocidade constante em U 5 ms 4128 Água proveniente de um bocal estacionário atinge uma pá fixa sobre um carrinho O ângulo da pá é θ 120o O carrinho afastase do bocal com velocidade constante U 10 ms à medida que a pá recebe o jato de água com velocidade V 30 ms O bocal tem uma área de saída de 0004 m2 Determine a força que deve ser aplicada sobre o carrinho de modo a manter a sua velocidade constante 4129 O prato circular cuja seção reta é mostrada tem um diâmetro externo de 020 m Um jato de água com velocidade de 35 ms atinge o prato concentricamente O diâmetro do jato saindo do bocal é 20 mm e o prato distanciase do bocal a uma velocidade de 15 ms O disco tem um orifício central que permite a passagem sem resistência de uma corrente de água com 10 mm de diâmetro O restante do jato é defletido e escoa pelo prato Calcule a força requerida para manter o movimento do prato 4130 Um barco a jato capta água através de aberturas laterais e a ejeta por meio de um bocal de diâmetro D 75 mm a velocidade do jato é Vj O arrasto sobre o barco é dado por Farrasto kV2 em que V é a velocidade do barco Encontre uma expressão para a velocidade em regime permanente V em função da massa específica da água ρ da vazão volumétrica através do sistema Q da constante k e da velocidade do jato Vj Uma velocidade do jato Vj 15 ms produz uma velocidade do barco V 10 ms a Nestas condições qual é a vazão Q b Encontre o valor da constante k c Que velocidade V será produzida se a velocidade do jato aumentar para Vj 25 ms d Qual será a nova vazão 4131 Um jato de óleo SG 08 atinge uma lâmina curva que desvia o fluido de um ângulo θ 180 A área do jato é 1200 mm2 e sua velocidade relativa ao bocal estacionário é de 20 ms A lâmina aproximase do bocal a uma velocidade de 10 ms Determine a força que deve ser aplicada sobre a lâmina para manter a sua velocidade constante 4132 O avião anfíbio Canadair CL215T é especialmente projetado para combater incêndios Ele é o único avião em produção que pode sugar água 1620 litros em 12 segundos de qualquer lago rio ou oceano Determine o empuxo adicional requerido durante a sucção de água como uma função da velocidade do avião para uma faixa razoável de velocidades 4133 Considere uma pá defletora simples com curvatura θ movendose horizontalmente com velocidade constante U sob a ação de um jato impingente como no Problema 4128 A velocidade absoluta do jato é V Obtenha expressões gerais para a força resultante e para a potência que a pá poderia produzir Mostre que a potência é maximizada quando U V3 4134 Um jato de água de 100 mm de diâmetro e velocidade de 3 ms para a direita é defletido por um cone que se move de encontro ao jato a uma taxa de 14 ms conforme mostrado Determine a a espessura da lâmina de água em um raio de 230 mm e b a força externa horizontal necessária para mover o cone 4135 O prato circular cuja seção transversal é mostrada tem um diâmetro externo de 015 m Um jato de água o atinge concentricamente e em seguida escoa para fora ao longo da superfície do prato A velocidade do jato é 45 ms e o prato movese para a esquerda a uma velocidade de 10 ms Determine a espessura da lâmina de água em um raio de 75 mm a partir do eixo do jato Que força horizontal sobre o prato é requerida para manter o seu movimento 4136 Considere uma série de pás curvas atingidas por um jato contínuo de água com velocidade constante V 866 ms O jato sai de um bocal de 50 mm de diâmetro e as pás se movem com velocidade constante U 50 ms Note que toda a vazão em massa do jato atravessa as pás A curvatura das pás é descrita pelos ângulos θ1 30 e θ2 45 conforme mostrado Avalie o ângulo do bocal α requerido para assegurar que o jato penetre tangentemente à borda de ataque de cada pá Calcule a força que deve ser aplicada para manter a velocidade das pás constante 4137 Considere novamente o sistema móvel de pás múltiplas do Problema 4136 Considerando que pode ser encontrada uma maneira de tornar o ângulo α aproximadamente zero portanto θ1 aproximadamente 90 avalie a velocidade das pás U que resultaria na máxima potência gerada pelo sistema 4138 Um jato contínuo de água é empregado para propelir um carrinho ao longo de uma pista horizontal conforme mostrado A resistência total ao movimento do carrinho é dada por FD kU2 com k 092 N s2m2 Avalie a aceleração do carrinho no instante em que a sua velocidade é U 10 ms 4139 Um jato plano de água atinge uma pá divisora repartindose em duas correntes planas conforme mostrado Determine a razão entre as vazões mássicas 2 3 necessária para produzir uma força resultante vertical igual a zero sobre a pá divisora Se há uma força resistiva de 16 N aplicada na pá divisora determine a velocidade de regime permanente U da pá Equação da Quantidade de Movimento para Volume de Controle com Aceleração Retilínea 4140 A catapulta hidráulica do Problema 4138 é acelerada por um jato de água que atinge sua pá curva e se move ao longo de uma pista horizontal com resistência desprezível Em um dado instante sua velocidade é U Calcule o tempo requerido para acelerar o carrinho do repouso até U V2 4141 Um conjunto pábloco deslizante movese sob a ação do jato de um líquido conforme mostrado O coeficiente de atrito cinético para o movimento do bloco ao longo da superfície é μk 030 Calcule a velocidade terminal do bloco 4142 Um carrinho é propelido por um jato de líquido que sai horizontalmente de um tanque conforme mostrado A pista é horizontal e a resistência ao movimento pode ser desprezada O tanque é pressurizado de modo que a velocidade do jato pode ser considerada constante Obtenha uma expressão geral para a velocidade do carrinho à medida que ele acelera a partir do repouso Se M0 100 kg ρ 999 kgm3 e A 0005 m2 determine a velocidade do jato V requerida para que o carrinho atinja uma velocidade de 15 ms após 30 segundos Para esta condição trace um gráfico da velocidade U como uma função do tempo Trace um gráfico da velocidade do carrinho em função da velocidade do jato para o tempo após 30 segundos 4143 Para o conjunto pábloco deslizante do Problema 4141 encontre e trace gráficos das expressões para a aceleração e velocidade do bloco como funções do tempo 4144 se o carrinho do Problema 4138 inicia o movimento em t 0 em que instante você esperaria a aceleração máxima Esboce a sua expectativa para a curva de aceleração em função do tempo Qual o valor de θ que daria a máxima aceleração em qualquer instante Por quê A velocidade do carrinho poderá em algum instante igualarse à velocidade do jato Explique de forma sucinta 4145 A aceleração do conjunto carrinhopá do Problema 4128 deve ser controlada pela variação do ângulo da sua pá θ a partir do instante em que ele inicia o movimento Uma aceleração constante a 15 ms2 é desejada O jato de água deixa o bocal de área A 0025 m2 com velocidade V 15 ms O conjunto carrinhopá tem massa de 55 kg despreze o atrito Determine θ no instante t 5 s Trace um gráfico de θt para uma dada aceleração constante sobre uma faixa adequada de tempo 4146 O carrinho mostrado rola com resistência desprezível Ele deve acelerar para a direita a uma taxa constante de 25 ms2 Isso deverá ser realizado pela programação da velocidade do jato de água Vt que atinge o carinho A área do jato permanece constante em 50 mm2 Encontre a velocidade inicial do jato e a velocidade do jato e as velocidades do carrinho depois de 25 s e 5 s Teoricamente o que acontece ao valor de V U ao longo do tempo 4147 Um veículofoguete pesando 44500 N e viajando a 960 kmL deve ser freado pelo abaixamento de uma concha para dentro de um reservatório de água A concha tem 150 mm de largura Determine o tempo necessário após o abaixamento da concha até uma profundidade de 75 mm na água para reduzir a velocidade do veículo a 32 kmL Trace um gráfico da velocidade do veículo em função do tempo 4148 Um veículofoguete com velocidade inicial de 300 ms deve ser desacelerado pelo abaixamento de uma concha para dentro de um reservatório de água A concha tem 03 m de largura e deflete a água de 150o O reservatório tem 800 m de comprimento e a massa do veículo é 8000 kg Na velocidade inicial o veículo é submetido a uma força de arrasto aerodinâmico de 90 kN A força aerodinâmica é proporcional ao quadrado da velocidade do veículo Desejase diminuir a velocidade do veículo para 100 ms Determine a profundidade requerida D de imersão da concha na água 4149 Partindo do repouso o carrinho mostrado é propelido por uma catapulta hidráulica jato de líquido O jato atinge a superfície curva e é defletido de 180 saindo na horizontal As resistências de rolamento e do ar podem ser desprezadas Se a massa do carrinho é de 100 kg e o jato de água sai do bocal área 0001 m2 com uma velocidade de 35 ms determine a velocidade do carrinho 5 s após ser atingido pelo jato Trace um gráfico da velocidade do carrinho em função do tempo 4150 Considere novamente o jato e o carrinho do Problema 4149 mas inclua agora uma força de arrasto aerodinâmico proporcional ao quadrado da velocidade do carrinho FD kU2 com k 20 N s2m2 Deduza uma expressão para a aceleração do carrinho como uma função de sua velocidade e de outros parâmetros dados Avalie a aceleração do carrinho para U 10 ms Esta velocidade representa que fração da velocidade terminal do carrinho 4151 Um carrinho com uma pá defletora fixa está livre para rolar sobre uma superfície nivelada A massa do conjunto carrinhopá é M 5 kg e sua velocidade inicial é U0 5 ms Em t 0 a pá é atingida por um jato de água em sentido oposto ao movimento do carrinho conforme mostrado Despreze quaisquer forças externas decorrentes de resistência do ar e de rolamento Determine a velocidade do jato V requerida para levar o carrinho ao repouso em a 1 s e b 2 s Em cada caso encontre a distância total percorrida 4152 Resolva o Problema 4141 considerando o blocopá deslizando sobre uma película de óleo em vez de estar em contato direto com a superfície Admita que a resistência ao movimento seja proporcional à velocidade do bloco FR kU com k 75 N sm 4153 Para o conjunto bloco deslizantepá do Problema 4152 encontre e trace o gráfico da aceleração velocidade e posição do bloco como funções do tempo Considere integração numérica 4154 Um bloco retangular de massa M com faces verticais rola sem resistência ao longo de um plano horizontal liso conforme mostrado O bloco viaja inicialmente à velocidade U0 Em t 0 ele é atingido por um jato líquido e a sua velocidade começa a diminuir Obtenha uma expressão algébrica para a aceleração do bloco para t 0 Resolva a equação a fim de determinar o instante em que U 0 4155 Um bloco retangular de massa M com faces verticais rola sobre uma superfície horizontal entre dois jatos opostos conforme mostrado Em t 0 o bloco é posto em movimento com velocidade U0 Em seguida ele movese sem atrito paralelamente aos eixos dos jatos com velocidade Ut Despreze a massa de líquido aderente ao bloco em comparação com M Obtenha expressões gerais para a aceleração do bloco at e para sua velocidade Ut 4156 Considere o diagrama do Problema 4154 Se M 100 kg ρ 999 kgm3 e A 001 m2 determine a velocidade V do jato requerida para que o carrinho seja levado ao repouso depois de um segundo se a velocidade inicial do carrinho for U0 5 ms Para esta condição trace um gráfico da velocidade U e da posição x do carrinho como funções do tempo Qual é o máximo valor de x e quanto tempo o carrinho leva para retornar à sua posição inicial 4157 Considere o enunciado e o diagrama do Problema 4155 Considere que em t 0 quando o bloco de massa M 5 kg está em x 0 ele seja posto em movimento para a direita com velocidade U 10 ms O jato de água tem velocidade V 20 ms e área A 100 mm2 Calcule o tempo requerido para reduzir a velocidade do bloco a U 25 ms Trace o gráfico da posição do bloco versus o tempo Calcule a posição final do bloco em repouso Explique por que esse é um repouso momentâneo 4158 Um jato vertical de água atinge um disco horizontal conforme mostrado O peso do disco é igual a 30 kg No instante em que o disco encontrase a 3 m acima da saída do bocal o seu movimento é para cima com velocidade U 5 ms Calcule a aceleração vertical do disco nesse instante 4159 Um jato vertical de água sai de um bocal de 75 mm de diâmetro O jato atinge um disco horizontal veja Problema 4158 O disco é restringido horizontalmente mas está livre para se mover verticalmente A massa do disco é 35 kg Trace um gráfico da massa do disco versus vazão para determinar a vazão de água requerida para elevar o disco 3 m acima do plano de saída do jato 4160 Um trenófoguete viajando sobre uma pista horizontal é desacelerado por um retrofoguete com queima no sentido do trajeto A velocidade inicial do trenó é U0 500 ms A massa inicial do trenó é M0 1500 kg O retrofoguete consome combustível a uma taxa de 775 kgs e os gases de descarga saem à pressão atmosférica e com uma velocidade de 2500 ms em relação à cápsula O retrofoguete opera por 20 s Despreze o atrito de rolamento e o arrasto aerodinâmico Obtenha uma expressão algébrica para a velocidade U do trenó como uma função do tempo de funcionamento do retrofoguete e trace o gráfico de U em função do tempo Calcule a velocidade do trenó no final do funcionamento do retrofoguete 4161 Uma cápsula espacial tripulada viaja em voo nivelado acima da atmosfera terrestre com velocidade inicial U0 800 kms A cápsula deve ser desacelerada por um retrofoguete até U 500 kms na preparação para a manobra de reentrada A massa inicial da cápsula é M0 1600 kg O foguete consome combustível à taxa 80 kgs e os gases de descarga saem a Ve 3000 ms em relação à cápsula com pressão desprezível Avalie o tempo de funcionamento do retrofoguete necessário para realizar a desaceleração Trace um gráfico da velocidade final como uma função do tempo de duração da operação para uma faixa de 10 do tempo de queima do combustível 4162 Um trenófoguete acelera do repouso sobre uma pista com resistências do ar e de rolamento desprezíveis A massa inicial do trenó é M0 600 kg e o foguete contém inicialmente 150 kg de combustível O motor do foguete queima combustível a uma taxa constante mo 15 kgs Os gases de combustão saem do bocal do foguete à pressão atmosférica em um fluxo uniforme e axial e com velocidade Ve 2900 ms em relação ao bocal Determine a velocidade máxima alcançada pelo trenófoguete Calcule a aceleração máxima do trenó durante a corrida 4163 Um trenófoguete tem massa inicial de 5000 kg incluindo 1000 kg de combustível As resistências do ar e de rolamento na pista sobre a qual o trenó corre totalizam kU em que k é 50 N sm e U é a velocidade do trenó em ms A velocidade de saída dos gases de combustão relativa ao foguete é de 1750 ms e a pressão de saída é atmosférica A queima de combustível ocorre a uma taxa de 50 kgs a Trace o gráfico da velocidade em função do tempo b Encontre a velocidade máxima c Que aumento percentual seria obtido na velocidade máxima pela redução de k em 10 4164 Um trenófoguete com massa inicial de 900 kg deve ser acelerado em um pista nivelada O motor do foguete queima combustível a uma taxa constante 135 kgs Os gases de combustão saem do bocal do foguete à pressão atmosférica em um fluxo uniforme e axial e com velocidade de 2750 ms em relação ao bocal Determine a massa mínima de combustível necessária para propelir o trenó a uma velocidade de 265 ms antes que o foguete apague Como primeira aproximação despreze forças de resistências 4165 Um motor de foguete é usado para acelerar um míssil até uma velocidade de 5600 kmh em voo horizontal Os gases de combustão deixam o bocal do foguete axialmente e à pressão atmosférica com uma velocidade de 9600 kmh em relação ao foguete A ignição do motor do foguete ocorre no momento do lançamento do míssil por uma aeronave voando horizontalmente a U0 960 kmh Desprezando resistência do ar obtenha uma expressão algébrica para a velocidade alcançada pelo míssil em voo nivelado Determine a mínima fração da massa inicial do míssil que deve ser combustível para realizar a aceleração desejada 4166 Um trenófoguete com massa inicial de três toneladas métricas incluindo uma tonelada de combustível repousa sobre um trecho de uma pista nivelada Em t 0 ocorre a ignição do combustível sólido do foguete e a queima dáse a uma taxa de 75 kgs A velocidade de saída dos gases de combustão em relação ao foguete é de 2500 ms e a pressão de saída é atmosférica Desprezando o atrito e a resistência do ar calcule a aceleração e a velocidade do trenó em t 10 s 4167 Um destemido piloto considerando a possibilidade de um recorde o mais longo salto de motocicleta do mundo pede ajuda ao seu consultor para realizar o salto o piloto deve atingir 875 km h a partir do repouso sobre um terreno plano e para tanto ele precisa da propulsão de um foguete A massa total da motocicleta mais o motor do foguete sem combustível e mais o motociclista é de 375 kg Os gases de combustão deixam o bocal do foguete horizontalmente com velocidade de 2510 ms e à pressão atmosférica Avalie a mínima quantidade de combustível do foguete necessária para acelerar a motocicleta e o motociclista até a velocidade requerida 4168 Um foguete de construção caseira a combustível sólido tem uma massa inicial de 9 kg 68 kg são de combustível O foguete é lançado verticalmente para cima a partir do repouso queima combustível a uma taxa constante de 0225 kgs e expele os gases de combustão a uma velocidade de 1980 ms em relação ao foguete Considere que a pressão na saída seja atmosférica e que a resistência do ar possa ser desprezada Calcule a velocidade do foguete e a distância percorrida por ele 20 s após o lançamento Trace o gráfico da velocidade do foguete e a distância percorrida como funções do tempo 4169 Um grande foguete de dois estágios a combustível líquido com massa de 30000 kg deve ser lançado de uma plataforma no nível do mar O motor principal queima uma mistura estequiométrica de hidrogênio líquido e oxigênio líquido a uma taxa de 2450 kgs O bocal de empuxo tem um diâmetro de saída de 26 m Os gases de combustão saem a 2270 ms e a pressão absoluta no plano de saída do bocal é 66 kPa Calcule a aceleração do foguete ao deixar o solo Obtenha uma expressão para a velocidade como uma função do tempo desprezando a resistência do ar 4170 Desprezando a resistência do ar que velocidade atinge um foguete 5 s após o seu lançamento vertical a partir do repouso se a sua massa inicial é de 350 kg a taxa de queima é de 10 kgs e os gases são expelidos à pressão atmosférica com velocidade de 2500 ms em relação ao foguete Qual seria a velocidade máxima Trace um gráfico da velocidade do foguete em função do tempo para os primeiros minutos de voo 4171 Encha um balão de brinquedo com ar e em seguida solteo em um quarto Observe como o balão se desloca bruscamente de um lado para outro no quarto Explique o que causa esse fenômeno 4172 O conjunto carrinhopá de massa M 30 kg mostrado no Problema 4128 é movido por um jato de água A água deixa o bocal estacionário de área A 002 m2 com uma velocidade de 20 ms O coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e a superfície é 010 Trace um gráfico da velocidade terminal do conjunto como uma função do ângulo de deflexão da pá θ para 0 θ π2 Para qual ângulo o conjunto começa a mover se o coeficiente de atrito estático é 015 4173 Considere o veículo mostrado no Problema 4149 Partindo do repouso ele é propelido por uma catapulta hidráulica jato de líquido O jato atinge a superfície curva e faz uma volta de 180o saindo na horizontalmente As resistências do ar e de rolamento podem ser desprezadas Usando a notação mostrada obtenha uma equação para a aceleração do veículo em qualquer instante e determine o tempo requerido para o veículo desenvolver a velocidade U V2 4174 O tanque móvel mostrado deve ser desacelerado pelo abaixamento de uma concha que capta água de um reservatório A massa e a velocidade iniciais do tanque com seu conteúdo são M0 e U0 respectivamente Despreze forças externas de pressão e de atrito e considere que a pista seja horizontal Aplique as equações da continuidade e da quantidade de movimento para mostrar que em qualquer instante U U0M0M Obtenha uma expressão geral para UU0 como uma função do tempo 4175 O tanque mostrado pode movimentar ao longo de uma pista horizontal com resistência desprezível Ele deve ser acelerado do repouso por um jato líquido que se choca contra sua parede curva e é defletido para dentro do tanque A massa inicial do tanque é M0 Aplique as equações da continuidade e da quantidade de movimento para mostrar que em qualquer instante a massa do veículo mais a do líquido no seu interior é M M0VV U Obtenha uma expressão geral para UV como uma função do tempo 4176 Um modelo de foguete a propelente sólido tem uma massa de 696 g da qual 125 g são de combustível O foguete produz 575 N de empuxo por um período de 17 s Para essas condições calcule a velocidade máxima e altura atingida na ausência de resistência do ar Trace um gráfico da velocidade do foguete e da distância percorrida como funções do tempo 4177 Um pequeno motor de foguete é utilizado para acionar um dispositivo a jato portátil destinado a elevar um só astronauta acima da superfície da Lua O motor do foguete produz um jato uniforme com velocidade constante Ve 3000 ms O impulso é alterado pela mudança do tamanho do jato A massa total inicial a do astronauta e a do aparelho vale M0 200 kg dos quais 100 kg são de combustível para o motor do foguete Encontre a a vazão mássica de exaustão requerida para iniciar o voo b a vazão mássica no momento que o combustível e o oxigênio tiverem se esgotados e c o tempo máximo previsto de voo Note que a aceleração da gravidade da Lua é cerca de 17 da terrestre 4178 Diversos fabricantes de brinquedos vendem foguetes de água que consistem em um tanque de plástico a ser parcialmente enchido com água e em seguida pressurizado com ar Quando liberado o ar força a água a sair do bocal rapidamente impulsionando o foguete Você é chamado a ajudar na especificação das condições ótimas para esse sistema de propulsão a jato de água Para simplificar a análise considere movimento apenas horizontal Faça a análise e o projeto necessários para definir o desempenho em aceleração do foguete de brinquedo Identifique a fração do volume do tanque que deve ser cheia inicialmente com ar comprimido para se atingir o desempenho máximo isto é a máxima velocidade da carga de água Descreva o efeito obtido com a variação da pressão inicial do ar no tanque 4179 Um disco de massa M é restringido horizontalmente mas está livre para movimentar na vertical Um jato de água atinge o disco por baixo O jato sai do bocal com velocidade inicial V0 Obtenha uma equação diferencial para a altura variável do disco ht acima do plano de saída do jato se o disco for largado na horizontal de uma altura H Você não poderá resolver essa equação pois ela é altamente não linear Considere que quando o disco atinge o equilíbrio a sua altura acima do plano de saída do bocal é h0 a Esboce um gráfico de ht para o disco liberado em t 0 partindo de H h0 b Explique por que a curva ht tem o aspecto encontrado 4180 Considere a configuração do jato vertical atingindo o disco vertical conforme mostrado no Problema 4158 Suponha que o disco seja largado do repouso a uma altura inicial de 2 m acima do plano de saída do jato Usando um método numérico tal como o método de Euler veja Seção 55 resolva para o movimento subsequente do disco Identifique a altura de regime permanente do disco 4181 Um pequeno motor de foguete a combustível sólido é testado em uma bancada A câmara de combustão é circular com 100 mm de diâmetro O combustível de massa específica 1660 kgm3 queima uniformemente à taxa de 127 mms Medições mostram que os gases de combustão saem do foguete para o ambiente com uma velocidade de 2750 ms A pressão e a temperatura absolutas na câmara de combustão são 70 MPa e 3610 K Trate os produtos da combustão como um gás ideal com massa molecular 258 Avalie as taxas de variação da massa e da quantidade de movimento dentro do motor do foguete Expresse esta taxa de variação da quantidade de movimento como um percentual do empuxo do motor 4182 A capacidade do Laboratório do Centro de Pesquisas para Cargas de Solo e Tração de Aeronaves da NASA em Langley deve ser ampliada A instalação consiste em um reboque montado em trilhos e impulsionado por um jato dágua proveniente de um tanque pressurizado O conjunto é idêntico conceitualmente à catapulta hidráulica do Problema 4138 As especificações requerem aceleração do reboque com massa de 49000 kg até uma velocidade de 40709 kmh em uma distância de 122 m O ângulo da pá defletora é 170 Identifique as faixas de dimensões e velocidades dos jatos de água necessários para realizar a operação Especifique a pressão de operação recomendada para o sistema de jato de água e determine a forma e tamanho estimado do tanque de contenção da água pressurizada 4183 Uma demonstração em sala de aula da quantidade de movimento linear é planejada usando um sistema de propulsão a jato de água para um carrinho trafegando sobre uma pista horizontal retilínea A pista tem 5 m de comprimento e a massa do carrinho é 155 g O objetivo do projeto é obter o melhor desempenho para o carrinho usando 1 litro de água contida em um tanque cilíndrico aberto feito de material plástico com massa específica de 00819 gcm3 Para estabilidade a máxima altura do tanque de água não deve exceder 05 m O diâmetro do bocal de jato de água liso e bem arredondado não pode exceder 10 do diâmetro do tanque Determine as melhores dimensões do tanque e do jato de água por modelagem do desempenho do sistema Usando um método numérico tal como o método de Euler veja Seção 55 trace os gráficos da aceleração da velocidade e da distância como funções do tempo Encontre as dimensões ótimas do tanque e do bocal Discuta as limitações de sua análise Discuta como as hipóteses afetam o desempenho previsto do carrinho Seria o desempenho real do carrinho melhor ou pior que o previsto Por quê Que fatores contribuem para as diferenças entre o desempenho real e o previsto 4184 Analise o projeto e otimize o desempenho de um carrinho impulsionado ao longo de uma pista horizontal por um jato de água que sai sob a ação da gravidade de um tanque cilíndrico aberto fixado na carroceria do carrinho Um carrinho a jato de água é mostrado no diagrama do Problema 4142 Despreze qualquer variação na inclinação da superfície livre do líquido no tanque durante a aceleração Analise o movimento do carrinho ao longo de uma pista horizontal considerando que ele parte do repouso e começa a acelerar quando o jato de água começa a escoar Deduza equações algébricas ou resolva numericamente para a aceleração e a velocidade do carrinho como funções do tempo Apresente os resultados como gráficos da aceleração e da velocidade em função do tempo desprezando a massa do tanque Determine as dimensões de um tanque de massa mínima requerida para acelerar o carrinho ao longo de uma pista horizontal do repouso até uma velocidade especificada em um intervalo de tempo especificado O Princípio da Quantidade de Movimento Angular 4185 Um grande dispositivo de irrigação montado sobre um carrinho descarrega um jato de água com velocidade de 40 ms a um ângulo de 30 com a horizontal O bocal de 50 mm de diâmetro está 3 m acima do solo A massa do dispositivo mais o carrinho é M 350 kg Calcule o módulo do momento que tende a tombar o carrinho Que valor de V levará à condição de movimento iminente do carrinho Qual será a natureza desse movimento Qual é o efeito do ângulo de inclinação do jato sobre os resultados Para o caso de movimento iminente do carrinho trace um gráfico da velocidade do jato como função do seu ângulo de inclinação para uma faixa apropriada de ângulos do jato 4186 O cotovelo redutor de 90 do Exemplo 46 descarrega para a atmosfera A Seção está localizada 03 m à direita da Seção Estimar o momento exercido pelo flange no cotovelo 4187 Petróleo bruto SG 095 proveniente de um petroleiro ancorado escoa através de uma tubulação de 025 m de diâmetro com a configuração mostrada A vazão é 058 m3s e as pressões manométricas são mostradas no diagrama Determine a força e o torque que são exercidos pela tubulação sobre os seus suportes 4188 Um regador comum de gramados pode girar no plano horizontal conforme mostrado Água entra verticalmente pelo pivô central com uma vazão Q 15 Lmin A água é descarregada em jatos através dos dois bicos no plano horizontal Considerando o pivô sem atrito calcule o torque resistente necessário para manter o regador imóvel Desprezando a inércia do regador calcule a aceleração angular que resulta quando o torque resistente é removido 4189 Considere novamente o regador do Problema 4188 Deduza uma equação diferencial para a sua velocidade angular como uma função do tempo Avalie a velocidade de rotação em regime permanente considerando que não haja atrito no pivô 4190 Repita o Problema 4189 mas considerando a existência de um torque resistivo constante no pivô igual a 005 N m Que torque resistivo impediria o regador de girar 4191 Água escoa em fluxos uniformes através de ranhuras de 25 mm do sistema rotativo mostrado A vazão é de 3 Ls Determine a o torque requerido para manter o dispositivo estacionário e b a velocidade de rotação em regime permanente após a retirada do torque resistente 4192 Se a mesma vazão no mesmo sistema rotativo do Problema 4191 for não uniforme mas variar linearmente de um máximo no raio externo até zero no raio interno determine a o torque requerido para manter o dispositivo estacionário e b a velocidade de rotação em regime permanente 4193 Um dispositivo simples de irrigação gira com velocidade angular constante conforme mostrado Água é bombeada através do tubo com uma vazão Q 138 Lmin Determine o torque que deve ser aplicado para manter o dispositivo com rotação constante usando dois métodos de análise a um volume de controle rotativo e b um volume de controle fixo 4194 0 regador de gramados mostrado é suprido com água a uma taxa de 68 Lmin Desprezando o atrito no pivô determine a velocidade angular do regador em regime permanente para θ 30 Trace um gráfico da velocidade angular do regador em regime permanente para 0 θ 90 4195 A figura mostra um pequeno regador de gramados Ele opera com uma pressão manométrica de 140 kPa A vazão volumétrica total de água através dos braços do regador é de 4 Lmin Cada jato descarrega água a 17 ms em relação ao braço do regador com uma inclinação de 30 para cima em relação ao plano horizontal O regador gira em torno de um eixo vertical pivô O atrito no pivô causa um torque de oposição à rotação de 018 N m Avalie o torque necessário para manter o regador estacionário 4196 No Problema 4195 calcule a aceleração inicial do regador a partir do repouso considerando que não haja torque externo aplicado e que o momento de inércia do cabeçote de irrigação é de 01 kg m2 quando cheio de água 4197 Um pequeno regador de gramados é mostrado Problema 4196 Ele opera com uma pressão manométrica na entrada de 140 kPa A vazão total em volume de água através do regador é de 40 Lmin Cada jato descarrega água a 17 ms em relação ao braço do regador com uma inclinação de 30 para cima em relação ao plano horizontal O regador gira em torno de um eixo vertical pivô O atrito no pivô causa um torque de oposição à rotação de 018 N m Determine a velocidade de rotação em regime permanente do regador e a área aproximada coberta pelos jatos de água 4198 Quando uma mangueira de jardim é usada para encher um balde a água no interior do balde pode desenvolver um movimento giratório como o de um redemoinho Por que isso ocorre Como poderia ser avaliada aproximadamente a quantidade de movimento giratório 4199 Água escoa com vazão de 015 m3s através de uma tubulação com bocal que gira com velocidade constante de 30 rpm As massas do tubo inclinado e do bocal são desprezíveis comparadas com a massa de água no interior Determine o torque necessário para girar o conjunto e os torques de reação no flange 4200 Um tubo bifurca simetricamente em duas pernas de comprimento L e o sistema todo gira com velocidade angular ω em torno do seu eixo de simetria Cada perna é inclinada de um ângulo em relação ao eixo de rotação Líquido entra no tubo em regime permanente com quantidade de movimento angular igual a zero e com uma vazão volumétrica Q O diâmetro do tubo D é muito menor que L Obtenha uma expressão para o torque externo necessário para girar o conjunto Que torque adicional seria necessário para imprimir uma aceleração angular 4201 Líquido em um jato fino de largura w e espessura h escoa de uma ranhura e atinge uma placa plana estacionária Experiências mostram que a força resultante do jato de líquido sobre a placa não atua através do ponto O em que a linha de centro do jato intercepta a placa Determine o módulo e a linha de ação da força resultante como funções de θ Avalie o ângulo de equilíbrio da placa se a força resultante fosse aplicada no ponto O Despreze qualquer efeito viscoso 4202 Para o regador giratório do Exemplo 414 que valor de produzirá a máxima velocidade de rotação Que ângulo fornecerá a máxima área de cobertura do regador Desenhe um diagrama de velocidades usando um sistema de coordenadas r θ z para indicar a velocidade absoluta do jato de água deixando o bocal O que governa a velocidade de rotação do regador no regime permanente A velocidade de rotação do regador afeta a área coberta pelos jatos de água Como você estimaria essa área Para α fixo o que pode ser feito para aumentar ou diminuir a área coberta pelos jatos de água A Primeira Lei da Termodinâmica 4203 Ar na condiçãopadrão entra em um compressor a 75 ms e sai com pressão e temperatura absolutas de 200 kPa e 345 K e velocidade V 125 ms A vazão é 1 kgs A água de resfriamento que circula na carcaça do compressor remove 18 kJkg de ar Determine a potência requerida pelo compressor 4204 Ar comprimido é armazenado a 500 kPa e 20C em um recipiente de pressão com volume de 100 L Em um determinado instante uma válvula é aberta e ar escoa do recipiente à taxa 001 kgs Determine a taxa de variação da temperatura do ar no recipiente nesse instante 4205 Uma bomba centrífuga com diâmetro de 01 m nos tubos de sucção e de descarga fornece uma vazão de água de 002 m3s A pressão na sucção é de 02 m de Hg vácuo e a pressão manométrica na descarga é de 240 kPa As seções de entrada e de saída da bomba estão na mesma elevação A potência elétrica medida no motor da bomba é 675 kW Determine a eficiência da bomba 4206 Uma turbina é alimentada com 06 m3s de água por meio de um tubo com 03 m de diâmetro o tubo de descarga tem diâmetro de 04 m Determine a queda de pressão através da turbina se ela fornece 60 kW 4207 Ar entra em um compressor a 96 kPa e 27C com velocidade desprezível e é descarregado a 480 kPa e 260C com velocidade de 152 ms Se a potência fornecida ao compressor for 239 MW e a vazão mássica for 9 kgs determine a taxa de transferência de calor 4208 Ar é aspirado da atmosfera para dentro de uma turbomáquina Na saída as condições são 500 kPa manométrica e 130C A velocidade de saída é de 100 ms e a vazão é de 08 kgs O escoamento é permanente e não há transferência de calor Calcule a potência da turbomáquina 4209 Todos os grandes portos são equipados com barcos de combate a incêndio em navios cargueiros Uma mangueira com 75 mm de diâmetro está conectada à descarga de uma bomba de 11 kW em um desses barcos O bocal conectado à extremidade da mangueira tem um diâmetro de 25 mm Se a descarga do bocal for mantida 3 m acima da superfície da água determine a vazão volumétrica através do bocal a altura máxima que a água poderia atingir e a força sobre o barco se o jato de água for dirigido horizontalmente sobre a popa 4210 Uma bomba retira água de um reservatório por um tubo de sucção de 150 mm de diâmetro e a descarrega para um tubo de saída de 75 mm de diâmetro A extremidade do tubo de sucção está 2 m abaixo da superfície livre do reservatório O manômetro no tubo de descarga 2 m acima da superfície do reservatório indica 170 kPa A velocidade média no tubo de descarga é de 3 ms Se a eficiência da bomba é 75 determine a potência necessária para acionála 4211 A massa total do tipo de helicóptero mostrado é de 1000 kg A pressão do ar é a atmosférica na saída Considere que o escoamento seja permanente e unidimensional Trate o ar como incompressível nas condiçõespadrão e calcule para uma posição em que o aparelho paira no ar a velocidade do ar saindo da aeronave e a potência mínima que deve ser fornecida ao ar pela hélice 4212 Líquido escoando a alta velocidade em um largo canal horizontal aberto pode sob certas condições produzir um ressalto hidráulico conforme mostrado Para um volume de controle convenientemente escolhido os escoamentos entrando e saindo do ressalto podem ser considerados uniformes com distribuições hidrostáticas de pressão veja o Exemplo 47 Considere um canal de largura w com escoamento de água com D 1 06 m e V 1 5 ms Mostre que em geral D 2 D 1 Avalie a variação na energia mecânica através do ressalto hidráulico Se a transferência de calor para o meio ambiente for desprezível determine a variação na temperatura da água através do ressalto Estes tópicos aplicamse a seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Estes problemas requerem material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Estes problemas requerem material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Estes problemas requerem material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Estes problemas requerem material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Estes problemas requerem material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Estes problemas requerem material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Estes problemas requerem material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Estes problemas requerem material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Introdução à Análise Diferencial dos Movimentos dos Fluidos 51 Conservação da Massa 52 Função de Corrente para Escoamento Incompressível Bidimensional 53 Movimento de uma Partícula Fluida Cinemática 54 Equação da Quantidade de Movimento 55 Introdução à Dinâmica de Fluidos Computacional DFC 56 Resumo e Equações Úteis Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente Energia das Ondas Conversor de Energia das Ondas Aquamarine Ostra Aquamarine Power uma empresa de energia das ondas localizada na Escócia desenvolveu um inovador conversor de energia das ondas hidroelétrico conhecido como Ostra um modelo de demonstração em escala foi instalado em 2009 e começou a produzir energia para residências em algumas regiões da Escócia Eles eventualmente planejam possuir fazendas de ondas Ostra comercialmente viáveis em todo o mundo sendo a primeira planejada para 2013 Uma fazenda com 20 dispositivos Ostra forneceria energia suficiente para 9000 residências evitando as emissões de cerca de 20000 toneladas métricas de carbono Em dispositivo esquemático da Aquamarine Ostra Figura de cortesia da Aquamarine Power O dispositivo Ostra consiste em uma simples aba mecânica articulada como mostrado na figura conectada ao fundo do mar em torno de 10 metros de profundidade Conforme as ondas passam elas forçam a aba a se mover a aba por sua vez aciona pistões hidráulicos que entregam água à alta pressão por uma tubulação a uma turbina elétrica situada em terra Esperase que as fazendas Ostras usando múltiplos dispositivos sejam capazes de gerar 100 MW ou até mais O dispositivo Ostra possui diversas vantagens possui boa eficiência e durabilidade e com seu baixo custo de fabricação operação e manutenção esperase que ele produzirá energia elétrica confiável com custo competitivo a partir da energia das ondas pela primeira vez O dispositivo usa componentes mecânicos robustos e simples situados em altomar combinados com componentes hidroelétricos convencionais de uso comprovado situados em terra Projetado com o conceito de que o simples é o melhor menos é mais o dispositivo possui um mínimo de partes móveis submersas em altomar não existem geradores sob a água eletrônica de potência ou caixas de transmissão O Ostra é projetado para tirar proveito das ondas mais consistentes encontradas perto da terra visando a durabilidade qualquer excesso de energia a partir de ondas excepcionalmente grandes simplesmente transbordam sobre o topo da aba do dispositivo Ostra A empresa Aquamarine Power acredita que o seu dispositivo é competitivo com dispositivos pesando até cinco vezes mais e com múltiplas bombas alimentando um único gerador em terra o Ostra oferecerá boas economias de escala Como um benefício final o Ostra usa água em vez de óleo como fluido hidráulico para minimizar o impacto ambiental e não produzir poluição sonora No Capítulo 4 desenvolvemos as equações básicas na forma integral para um volume de controle As equações integrais são úteis quando estamos interessados no comportamento genérico de um campo de escoamento e nos seus efeitos sobre um ou mais dispositivos Contudo a abordagem integral não nos permite obter conhecimentos detalhados ponto por ponto do campo de escoamento Por exemplo a metodologia integral pode fornecer informações sobre a sustentação gerada por uma asa mas ela não pode ser usada para determinar a distribuição de pressão que produz a sustentação na asa Para obter o conhecimento detalhado de um escoamento devemos aplicar as equações de movimento dos fluidos na forma diferencial Neste capítulo desenvolveremos equações diferenciais para a conservação da massa e a segunda lei de Newton Como estamos interessados na formulação de equações diferenciais a nossa análise será em termos de sistemas e volumes de controle infinitesimais 51 Conservação da Massa No Capítulo 2 desenvolvemos a representação de campos de propriedades dos fluidos Os campos de propriedades são definidos por funções contínuas das coordenadas espaciais e do tempo Os campos de massa específica e de velocidade foram relacionados pela conservação da massa na forma integral no Capítulo 4 Eq 412 Neste capítulo vamos deduzir a equação diferencial para conservação da massa em coordenadas retangulares e cilíndricas Em ambos os casos a dedução é feita aplicando a conservação da massa a um volume de controle diferencial Sistema de Coordenadas Retangulares Em coordenadas retangulares o volume de controle escolhido é um cubo infinitesimal com lados de comprimento dx dy dz conforme mostrado na Fig 51 A massa específica no centro O do volume de controle é considerada ρ e a velocidade ali é considerada Para avaliar as propriedades em cada uma das seis faces da superfície de controle vamos usar uma expansão por série de Taylor em torno do ponto O Por exemplo na face direita Desprezando os termos de ordem superior podemos escrever e em que ρ u ρx e ux são todos avaliados no ponto O Os termos correspondentes na face esquerda são Podemos escrever expressões similares envolvendo ρ e υ para as faces da frente e de trás e ρ e w para as faces de cima e de baixo do cubo infinitesimal dx dy dz Essas Fig 51 Volume de controle diferencial em coordenadas retangulares expressões podem ser usadas para avaliar a integral de superfície na Eq 412 lembrese de que é o fluxo líquido de massa saindo do volume de controle Tabela 51 Fluxo de Massa através da Superfície de Controle de um Volume de Controle Diferencial Retangular Os detalhes desta avaliação são mostrados na Tabela 51 Nota consideramos que as componentes da velocidade u υ e w são positivas nos sentidos x y e z respectivamente a convenção de que a normal da área é positiva para fora de cada face foi aplicada e termos de ordem superior por exemplo dx2 foram desprezados no limite quando dx dy e dz 0 O resultado de todo esse trabalho é Essa expressão é a avaliação da integral de superfície para o nosso cubo diferencial Para completar a Eq 412 precisamos avaliar a integral de volume lembrese de que é a taxa de variação de massa no volume de controle Assim depois de cancelar dx dy dz obtemos da Eq 412 uma forma diferencial da lei de conservação da massa A Eq 51a é frequentemente chamada de equação da continuidade Posto que o operador vetorial em coordenadas retangulares é dado por então Note que o operador del age sobre ρ e Pense nele como ρ A conservação da massa pode ser escrita como Dois casos de escoamento para os quais a equação diferencial da continuidade pode ser simplificada devem ser destacados Para um fluido incompressível ρ constante a massa específica não é função nem das coordenadas espaciais nem do tempo Para um fluido incompressível a equação da continuidade é simplificada para Portanto o campo de velocidade xyzt para escoamento incompressível deve satisfazer 0 Para escoamento em regime permanente todas as propriedades dos fluidos são por definição independentes do tempo assim ρt 0 e no máximo ρ ρx y z Para escoamento em regime permanente a equação da continuidade pode ser escrita como e lembrese de que o operador age sobre ρ e Exemplo 51 INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL BIDIMENSIONAL DA CONTINUIDADE Para um escoamento bidimensional no plano xy a componente x da velocidade é dada por u Ax Determine uma possível componente y para escoamento incompressível Quantas componentes y são possíveis Dados Escoamento bidimensional no plano xy para o qual u Ax Determinar a Uma possível componente y da velocidade para escoamento incompressível b Número possível de componentes y Solução Equação básica Para escoamento incompressível essa equação se reduz a Em coordenadas retangulares Para escoamento bidimensional no plano xy xy Então as derivadas parciais com relação a z são nulas e Então que dá uma expressão para a taxa de variação de υ mantendo x constante Esta equação pode ser integrada para obter uma expressão para υ O resultado é A função de x e de t aparece porque tínhamos uma derivada parcial de υ com relação a y Qualquer função fx t é permitida visto que y fx t 0 Desse modo qualquer número de expressões para pode satisfazer a equação diferencial da continuidade sob as condições dadas A expressão mais simples para υ é obtida estabelecendo f x t 0 Neste caso υ Ay e Este problema Ilustra o uso da equação diferencial da continuidade para obter informação sobre um campo de escoamento Demonstra a integração de uma derivada parcial Prova que o escoamento originalmente discutido no Exemplo 21 é de fato incompressível Exemplo 52 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CONTINUIDADE PARA REGIME NÃO PERMANENTE Um amortecedor a gás na suspensão de um automóvel comportase como um dispositivo pistãocilindro No instante em que o pistão está afastado de uma distância L 015 m da extremidade fechada do cilindro a massa específica do gás ρ 18 kgm3 é uniforme e o pistão começa a se mover afastandose da extremidade fechada do cilindro com uma velocidade V 12 ms Considere como modelo simples que a velocidade do gás é unidimensional e proporcional à distância em relação à extremidade fechada ela varia linearmente de zero na extremidade a u V no pistão Encontre a taxa de variação da massa específica do gás nesse instante Obtenha uma expressão para a massa específica média como uma função do tempo Dados Conjunto pistãocilindro conforme mostrado Determinar a A taxa de variação da massa específica b ρt Solução Equação básica Em coordenadas retangulares Como u ux as derivadas parciais com relação a y e z são nulas e Então Como ρ é suposto uniforme no volume então Posto que então Contudo note que L L 0 Vt Separando as variáveis e integrando Em t 0 Este problema demonstra o uso da equação diferencial da continuidade para obter a variação temporal da massa específica em um escoamento transiente O gráfico da massa específica como função do tempo é mostrado em uma planilha Excel A planilha é interativa Ela permite que se veja o efeito de diferentes valores de ρo L e V sobre ρ em função de t Além disso o tempo para o qual a massa específica atinge um valor prescrito também pode ser determinado Sistema de Coordenadas Cilíndricas Um volume de controle adequado em coordenadas cilíndricas é mostrado na Fig 52 A massa específica no centro O do volume de controle é considerada ρ e a velocidade ali é considerada são vetores unitários nas direções r θ e z respectivamente e Vr Vθ e Vz são as componentes da velocidade nas direções r θ e z respectivamente Para avaliar devemos considerar o fluxo de massa através de cada uma das seis faces da superfície de controle As propriedades em cada uma das faces da superfície de controle são obtidas a partir de um desenvolvimento por série de Taylor em torno do ponto O Os detalhes da avaliação do fluxo de massa são mostrados na Tabela 52 As componentes da velocidade Vr Vθ e Vz são todas consideradas no sentido positivo das coordenadas a convenção de que a normal da área é positiva para fora de cada face foi aplicada e os termos de ordem superior foram desprezados Vemos que a taxa líquida de fluxo de massa para fora da superfície de controle o termo na Eq 412 é dada por A massa dentro do volume de controle em qualquer instante é o produto da massa por unidade de volume ρ pelo volume rdθ dr dz Desse modo a taxa de variação da massa no interior do volume de controle o termo na Eq 412 é dada por Em coordenadas cilíndricas a equação diferencial para a conservação da massa é então Fig 52 Volume de controle diferencial em coordenadas cilíndricas ou Dividindo por r resulta Em coordenadas cilíndricas o operador vetorial é dado por Tabela 52 Fluxo de Massa através da Superfície de Controle de um Volume de Controle Diferencial Cilíndrico A Eq 52a também pode ser escrita1 em notação vetorial como Para um fluido incompressível ρ constante e a Eq 52a reduzse a Assim o campo de velocidade x y z para escoamento incompressível deve satisfazer Para escoamento em regime permanente a Eq 52a reduzse a e lembrese mais uma vez de que o operador age sobre ρ e Quando escrita na forma vetorial a equação diferencial da continuidade o enunciado matemático da conservação da massa Eq 51b pode ser aplicada em qualquer sistema de coordenadas Nós simplesmente substituímos a expressão apropriada para o operador vetorial Em retrospecto esse resultado não surpreende posto que a massa precisa ser conservada a despeito da nossa escolha do sistema de coordenadas Exemplo 53 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CONTINUIDADE EM COORDENADAS CILÍNDRICAS Considere um escoamento radial e unidimensional no plano rθ caracterizado por Vr fr e Vθ 0 Determine as condições sobre fr necessárias para que o escoamento seja incompressível Dados Escoamento radial e unidimensional no plano rθ Vr fr e Vθ 0 Determinar Os requisitos de fr para escoamento incompressível Solução Equação básica Para escoamento incompressível em coordenadas cilíndricas esta equação reduzse à Eq 52b Para o campo de velocidade dado r Vθ 0 e as derivadas parciais em relação a z são nulas de modo que Integrando em r resulta rVr constante Assim a equação da continuidade mostra que a velocidade radial deve ser Vr fr Cr para o escoamento radial e unidimensional de um fluido incompressível Este não é um resultado surpreendente conforme o fluido afastase do centro a vazão volumétrica por unidade de profundidade na direção z Q 2πrV para qualquer raio r permanece constante 52 Função de Corrente para Escoamento Incompressível Bidimensional Já discutimos brevemente as linhas de corrente no Capítulo 2 onde as descrevemos como linhas tangentes aos vetores velocidades em um escoamento em um instante Podemos desenvolver agora uma definição mais formal das linhas de corrente por meio da introdução da função de corrente ψ Isso nos permitirá representar matematicamente duas entidades as componentes ux y t e υ x y t da velocidade de um escoamento incompressível bidimensional usando uma única função ψx y t Há várias formas de definir a função de corrente Vamos começar pela versão bidimensional da equação da continuidade para escoamento incompressível Eq 51c Essa expressão que em princípio parece um exercício puramente matemático mais tarde discutiremos o conceito físico disso permite definir a função de corrente por de modo que a Eq 53 é automaticamente satisfeita para qualquer ψx y t que venhamos a escolher Para se certificar disso substitua a Eq 54 na Eq 53 VÍDEO Um Exemplo de Linhas de CorrenteLinhas de Emissão em inglês Usando a Eq 28 podemos obter uma equação válida sempre ao longo de uma linha de corrente udy vdx 0 ou usando a definição da nossa função de corrente Por outro lado de um ponto de vista estritamente físico em qualquer instante de tempo t a variação em uma função ψ x y t no espaço x y é dada por Comparando as Eqs 55 e 56 verificamos que ao longo de uma linha de corrente instantânea dψ 0 em outras palavras ψ é uma constante ao longo de uma linha de corrente Portanto podemos especificar linhas de corrente individuais pelos valores de suas funções de corrente ψ 0 1 2 etc Qual é o significado dos valores de ψ A resposta é que eles podem ser usados para obter a vazão volumétrica entre duas linhas de corrente quaisquer Considere as linhas de corrente mostradas na Fig 53 Podemos calcular a vazão volumétrica entre as linhas de corrente ψ1 e ψ2 usando a linha AB BC DE ou EF lembrese de que não existe escoamento através de uma linha de corrente Fig 53 Linhas de corrente instantâneas em um escoamento bidimensional Vamos calcular a vazão usando a linha AB e em seguida usando a linha BC elas devem ser as mesmas Para uma profundidade unitária dimensão perpendicular ao plano xy a vazão através de AB é Porém ao longo de AB x constante e a partir da Eq 56 dψ ψy dy Por consequência Para uma profundidade unitária a vazão através de BC é Ao longo de BC y constante e a partir da Eq 56 dψ ψx dy Por consequência Assim quando usamos as linhas AB ou a linha BC ou as linhas DE ou DF no que diz respeito ao assunto encontramos que a vazão volumétrica por unidade de profundidade entre duas linhas de corrente é dada pela diferença entre dois valores da função corrente2 As demonstrações feitas com as linhas AB e BC são as justificativas para o uso da definição de função de corrente da Eq 54 Se a linha de corrente através da origem for designada ψ 0 então o valor de ψ para qualquer outra linha de corrente representa a vazão entre a origem e aquela linha de corrente Nós estamos livres para selecionar qualquer linha de corrente como a linha de corrente zero porque a função de corrente é definida como uma diferencial Eq 53 também a vazão será dada sempre por uma diferença de valores de ψ Note que como a vazão em volume entre duas linhas de corrente quaisquer é constante a velocidade será relativamente alta onde as linhas de corrente estiverem muito próximas e relativamente baixa onde as linhas de corrente estiverem afastadas um conceito muito útil para identificar visualmente regiões de alta ou de baixa velocidade no campo de escoamento Para um escoamento incompressível e bidimensional no plano rθ a conservação da massa Eq 52b pode ser escrita como Usando uma lógica similar àquela usada para a Eq 54 a função de corrente ψr θ t é definida então de modo que Com ψ definido de acordo com a Eq 58 a equação da continuidade Eq 57 é satisfeita com exatidão Exemplo 54 FUNÇÃO DE CORRENTE PARA ESCOAMENTO EM UM CANTO Dado o campo de velocidade para o escoamento permanente e incompressível em um canto Exemplo 21 com A 03 s1 determine a função de corrente que resultará desse campo de velocidade Trace gráficos e interprete a configuração das linhas de corrente nos primeiro e segundo quadrantes do plano xy Dados Campo de velocidade com A 03 s1 Determinar A função de corrente ψ traçar configurações nos primeiro e segundo quadrantes interpretar os resultados Solução O escoamento é incompressível de modo que a função de corrente satisfaz a Eq 54 A partir da Eq 54 Do campo de velocidade dado Integrando em y resulta em que fx é arbitrária A função fx pode ser avaliada usando a equação para υ Assim da Eq 1 Do campo de velocidade dado υ Ay A comparação dessa expressão com a Eq 2 mostra que ou que fx constante Por conseguinte a Eq l tornase As linhas de ψ constante representam linhas de corrente no campo de escoamento A constante c pode ser escolhida como qualquer valor conveniente para fins de traçado do gráfico A constante é escolhida como zero para que a linha de corrente através da origem seja designada como ψ ψ1 0 Desse modo o valor para qualquer outra linha de corrente representa a vazão entre a origem e aquela linha de corrente Com c 0 e A 03 s1 temos ψ 03xy m3sm Esta equação de uma linha de corrente é idêntica ao resultado xy constante obtido no Exemplo 21 Gráficos separados das linhas de corrente nos primeiro e segundo quadrantes são apresentados a seguir Note que no quadrante 1 u 0 de modo que os valores de ψ são positivos No quadrante 2 u 0 e os valores de ψ são negativos No primeiro quadrante como u 0 e υ 0 o escoamento é da esquerda para a direita e para baixo A vazão em volume entre a linha de corrente ψ ψ1 que passa pela origem e a linha de corrente ψ ψ2 é Q12 ψ2 ψ1 03 m3sm No segundo quadrante como u 0 e υ 0 o escoamento é da direita para a esquerda e para baixo A vazão em volume entre as linhas de corrente ψ7 e ψ9 é Q79 ψ9 ψ7 12 06m3sm 06 m3sm O sinal negativo é consistente com o escoamento que tem u 0 Conforme indicam tanto o espaçamento entre as linhas de corrente no gráfico quanto a equação para a velocidade é menor próximo da origem um canto Há uma planilha Excel para este problema que pode ser usada para gerar linhas de corrente para esta e outras funções de corrente 53 Movimento de uma Partícula Fluida Cinemática A Fig 54 mostra um elemento finito de fluido típico no interior do qual selecionamos uma partícula infinitesimal de massa dm e volume inicial dx dy dz no tempo t e como o elemento e a partícula infinitesimal pode aparecer após um intervalo de tempo dt O elemento finito moveu e mudou sua forma e orientação Note que enquanto o elemento finito apresenta distorções bastante graves a partícula infinitesimal tem variações na forma limitadas a estiramentocontração e rotação dos lados do elemento isso acontece porque estamos considerando tanto um passo temporal infinitesimal quanto uma partícula infinitesimal de modo que os lados permanecem retos Vamos examinar a partí cula infinitesimal de modo a eventualmente obter resultados aplicáveis a um ponto Podemos decompor o movimento desta partícula em quatro componentes translação na qual a partícula deslocase de um ponto para outro rotação da partícula que pode ocorrer em torno de qualquer um dos eixos x y ou z ou de todos eles deformação linear na qual os lados da partícula esticam ou contraem e deformação angular na qual os ângulos entre os lados que eram inicialmente 90º na partícula variam Fig 54 Elemento de fluido finito e partícula infinitesimal nos instantes t e t dt Pode parecer difícil por uma análise visual da Fig 54 distinguir entre rotação e deformação angular da partícula infinitesimal de fluido É importante reconhecer então que a rotação pura não envolve nenhuma deformação ao contrário do que ocorre com a deformação angular e conforme aprendemos no Capítulo 2 a deformação do fluido gera tensões de cisalhamento A Fig 55 ilustra o movimento da partícula no plano xy decomposto nas quatro componentes descritas e conforme examinamos separadamente cada uma dessas quatro componentes concluímos que podemos distinguir entre rotação e deformação angular VÍDEO Movimento de uma Partícula em um Canal em inglês VÍDEO Movimento de uma Partícula sobre um Cilindro em inglês Translação de um Fluido Aceleração de uma Partícula Fluida em um Campo de Velocidade A translação de uma partícula de fluido está obviamente conectada com o campo de velocidade que discutimos previamente na Seção 22 Necessitaremos da aceleração de uma partícula fluida para uso na segunda lei de Newton A princípio poderíamos ser tentados a calcular a aceleração simplesmente como Isso é incorreto porque é um campo ou seja ele descreve o escoamento inteiro e não somente o movimento individual de uma partícula Podemos ver que esta forma de cálculo é incorreta examinando o Exemplo 54 no qual as partículas estão claramente acelerando e desacelerando de modo que O problema então consiste em reter a descrição de campo para as propriedades do fluido e obter uma expressão para a aceleração de uma partícula à medida que ela se move em um campo de escoamento Simplificando o enunciado do problema é Dado o campo de velocidade encontre a aceleração de uma partícula fluida Considere uma partícula em movimento em um campo de velocidade No instante t a partícula está na posição x y z e tem uma velocidade correspondente à velocidade naquele ponto no espaço no tempo t Fig 55 Representação esquemática das componentes do movimento de fluido Em t dt a partícula foi deslocada para uma nova posição com as coordenadas x dx y dy z dz e tem uma velocidade dada por Isto é mostrado no esquema da Fig 56 A velocidade da partícula no tempo t posição é dada por Então a variação na velocidade da partícula no deslocamento da posição para a posição no intervalo de tempo dt é dada pela regra da cadeia A aceleração total da partícula é dada por Uma vez que temos Fig 56 Movimento de uma partícula em um campo de escoamento Para deixar bem claro que o cálculo da aceleração de uma partícula fluida em um campo de velocidade requer uma derivada especial ela recebe o símbolo Assim A derivada DDt definida pela Eq 59 é comumente chamada de derivada substancial para lembrarnos de que ela é calculada para uma partícula de substância Ela é também frequentemente chamada de derivada material ou de derivada de partícula Os significados físicos dos termos na Eq 59 são Da Eq 59 reconhecemos que uma partícula fluida em movimento em um campo de escoamento pode sofrer aceleração por duas razões Como uma ilustração vamos nos referir ao Exemplo 54 que aborda um escoamento em regime permanente no qual as partículas são conduzidas por convecção em direção à região de baixa velocidade próxima do canto e em seguida para uma região de alta velocidade Se um campo de escoamento é não permanente uma partícula fluida estará submetida a uma aceleração adicional local pois o campo de velocidade é função do tempo A aceleração convectiva pode ser escrita como uma única expressão vetorial com a utilização do operador gradiente Δ Assim VÍDEO CLÁSSICO Descrições Euleriana e Lagrangiana em Mecânica dos Fluidos em inglês Sugerimos que você verifique esta igualdade expandindo o lado direito da equação usando a operação familiar do produto escalar de vetores Assim a Eq 59 pode então ser escrita como Para um escoamento bidimensional digamos a Eq 59 reduzse a Para um escoamento unidimensional digamos a Eq 59 reduzse a Finalmente para um escoamento em regime permanente em três dimensões a Eq 59 tornase que conforme já vimos não é necessariamente igual a zero embora o escoamento seja em regime permanente Assim uma partícula fluida pode estar submetida a uma aceleração convectiva devido ao seu movimento mesmo em um campo de velocidade permanente A Eq 59 é uma equação vetorial Assim como todas as equações vetoriais ela pode ser escrita na forma de suas componentes escalares Em relação a um sistema de coordenadas xyz as componentes escalares da Eq 59 são escritas As componentes da aceleração em coordenadas cilíndricas podem ser obtidas da Eq 510 expressando a velocidade em coordenadas cilíndricas Seção 51 e utilizando a expressão apropriada Eq 319 no site da LTC Editora para o operador vetorial Δ Desse modo3 As Eqs 59 511 e 512 são úteis para o cálculo da aceleração de uma partícula fluida em qualquer parte de um escoamento a partir do seu campo de velocidade uma função de x y z e t este é o método euleriano de descrição a abordagem mais utilizada em mecânica dos fluidos Como alternativa por exemplo se desejarmos rastrear o movimento de uma partícula individual em estudos de poluição podemos utilizar o método de descrição lagrangiano do movimento de uma partícula no qual a posição a velocidade e a aceleração de uma partícula são especificadas como funções do tempo apenas Ambas as descrições estão ilustradas no Exemplo 55 Exemplo 55 ACELERAÇÃO DE PARTÍCULA NAS DESCRIÇÕES EULERIANA E LAGRANGIANA Considere o escoamento bidimensional em regime permanente e incompressível através do canal plano convergente mostrado A velocidade sobre a linha de centro horizontal eixo x é dada por Determine uma expressão para aceleração de uma partícula movendose ao longo da linha de centro usando a o método euleriano e b o método lagrangiano Avalie a aceleração quando a partícula estiver no início e no final do canal Dados Escoamento permanente bidimensional e incompressível através do canal convergente mostrado Determinar a A aceleração de uma partícula movendo ao longo da linha central usando o método euleriano b A aceleração de uma partícula movendo ao longo da linha central usando o método lagrangiano c A aceleração quando a partícula se acha no início e no final do canal Solução a O método euleriano A Eq 59 é a equação de governo para a aceleração de uma partícula fluida Nesse caso estamos interessados na componente x da velocidade Eq 511a No eixo x ν w 0 e de modo que para o escoamento em regime permanente obtemos ou Essa expressão fornece a aceleração de qualquer partícula que está no ponto x em um dado instante b O método lagrangiano Neste método obtemos o movimento de uma partícula fluida da forma como faríamos para uma partícula mecânica ou seja a partir da posição podemos obter a velocidade e a aceleração De fato estamos considerando o movimento ao longo do eixo x de modo que queremos Nós não fornecemos xpt mas sim Separando as variáveis e usando os limites xpt 0 0 e xpt t xp Explicitando xpt obtemos Então a velocidade e a aceleração são e Essa expressão fornece a aceleração em qualquer instante t da partícula que estava inicialmente em x 0 c Queremos achar a aceleração quando a partícula está em x 0 e x L Pelo método euleriano isso é direto Pelo método lagrangiano precisamos achar os instantes de tempo para os quais x 0 e x L Usando a Eq 1 essas instantes são Então da Eq 2 Note que ambos os métodos forneceram os mesmos resultados para a aceleração da partícula como era esperado Este problema ilustra o uso dos métodos euleriano e lagrangiano para descrever o movimento de uma partícula Rotação de Fluido Uma partícula de fluido movendo em um campo de escoamento genérico tridimensional pode girar em relação a todos os três eixos de coordenadas Portanto a rotação de uma partícula é uma quantidade vetorial e em geral em que ωx é a rotação sobre o eixo x ωy é a rotação sobre o eixo y e ωz é a rotação sobre o eixo z O sentido positivo da rotação é dado pela regra da mão direita Vamos agora ver como podem ser extraídas as componentes da rotação no movimento de uma partícula Considere a vista no plano xy de uma partícula no tempo t Os lados esquerdo e inferior da partícula são dados pelos dois segmentos de linha perpendiculares oa e ob de comprimentos Δx e Δy respectivamente mostrados na Fig 57a Em geral após um intervalo de tempo Δt a partícula terá transladado para uma nova posição e terá também girado e deformado Uma possível orientação instantânea das linhas no instante t Δt é mostrada na Fig 57b Precisamos ter cuidado com os sinais dos ângulos De acordo com a regra da mão direita a rotação no sentido anti horário é positiva e mostramos o lado oa girando do ângulo Δα no sentido antihorário mas veja que mostramos o lado ob girando do ângulo Δβ no sentido horário Obviamente esses ângulos são arbitrários mas para facilitar a visualização de nossa discussão vamos indicar valores para eles digamos Δα 6 e Δβ 4 Fig 57 Rotação e deformação angular de segmentos de linha perpendiculares em um escoamento bidimensional Como podemos extrair dos ângulos Δα e Δβ uma medida da rotação da partícula A resposta é que devemos calcular a média das rotações Δα e Δβ de modo que a rotação no sentido antihorário da partícula de corpo rígido é como mostrado na Fig 57c O sinal menos é necessário porque a rotação no sentido horário de ob é Δβ Usando os valores escolhidos a rotação da partícula é então Fornecidas as duas rotações o uso da média é a única forma de medir a rotação da partícula pois qualquer outro método poderia favorecer a rotação de um lado sobre o outro o que não faz sentido Agora podemos determinar a partir de Δα e Δβ uma medida da deformação angular da partícula como mostrado na Fig 57d Usando os valores escolhidos a deformação do lado oa é Por um processo similar para o lado ob obtemos ou uma deformação no sentido horário de como mostrado na Fig 57d A deformação total da partícula é a soma das deformações dos lados ou Δα Δβ igual a 10 usando os valores do nosso exemplo Verificamos que isso deixanos o valor correto para a deformação da partícula lembrese de que na Seção 24 vimos que a deformação é medida pela mudança em relação ao ângulo de 90 Na Fig 57a vemos que isso é o ângulo aob e na Fig 57d vemos que a mudança total desse ângulo é de fato Necessitamos converter estas medidas angulares em quantidades que possam ser extraídas do campo de escoamento Para fazer isso consideramos que para pequenos ângulos Porém Δξ surge porque se no intervalo Δt o ponto o desloca horizontalmente de uma distância uΔt então o ponto b terá deslocado de uma distância u uyΔyΔt usando uma expansão em séries de Taylor Do mesmo modo Δη surge porque se no intervalo Δt o ponto o desloca verticalmente de uma distância υΔt então o ponto a terá deslocado de uma distância υ uxΔxΔt Portanto Podemos agora calcular a velocidade angular da partícula sobre o eixo z ωz pela combinação de todos estes resultados Considerando a rotação dos pares de segmentos de linhas perpendiculares nos planos yz e xz podese mostrar similarmente que Portanto tornase O termo entre colchetes é reconhecido como Então em notação vetorial podemos escrever É importante notar aqui que não devemos confundir rotação de uma partícula fluida com um escoamento consistindo em linhas de corrente circulares ou escoamento de vórtice Conforme veremos no Exemplo 56 em tais escoamentos as partículas podem girar à medida que elas escoam em um movimento circular mas elas não têm que girar obrigatoriamente Quando devemos esperar que as partículas de fluido tenham rotação em um escoamento Uma primeira possibilidade é um escoamento no qual por alguma razão as partículas já possuam rotação Por outro lado se considerarmos que as partículas não estejam inicialmente em rotação elas só começarão a girar quando forem submetidas a um torque causado por tensões superficiais de cisalhamento as forças de corpo e as forças normais de pressão da partícula podem acelerar e deformar a partícula mas não podem gerar um torque Podemos concluir então que a rotação de partículas fluidas sempre ocorrerá em escoamentos nos quais temos tensões de cisalhamento Já aprendemos no Capítulo 2 que tensões de cisalhamento estão presentes sempre que um fluido viscoso experimenta uma deformação angular cisalhamento Concluímos então que a rotação de partículas fluidas ocorrerá somente em escoamentos viscosos4 a menos que as partículas estejam inicialmente em rotação como no Exemplo 310 VÍDEO CLÁSSICO Vorticidade em inglês Escoamentos para os quais nenhuma rotação de partícula ocorre são chamados de escoamentos irrotacionais Embora nenhum escoamento real seja verdadeiramente irrotacional todos os fluidos possuem viscosidade muitos escoamentos podem ser estudados com sucesso considerando que eles sejam invíscidos não viscosos e irrotacionais porque os efeitos viscosos são frequentemente desprezíveis Conforme foi discutido no Capítulo 1 e que discutiremos novamente no Capítulo 6 boa parte da teoria aerodinâmica é tratada com a hipótese de escoamento não viscoso É preciso ressaltar no entanto que em qualquer escoamento sempre existirão regiões por exemplo a camadalimite do escoamento sobre uma asa nas quais os efeitos viscosos não podem ser ignorados O fator de 12 pode ser eliminado da Eq 514 por meio da definição de vorticidade que é duas vezes a rotação A vorticidade é uma medida da rotação de um elemento de fluido conforme ele se move no campo de escoamento Em coordenadas cilíndricas a vorticidade é5 A circulação Γ que abordaremos no Exemplo 612 é definida como a integral de linha da componente de velocidade tangencial sobre qualquer curva fechada delimitada no escoamento 5Ao efetuar a operação do rotacional lembrese de que êr e êθ são funções de θ reveja a nota 1 de rodapé em que é um elemento de vetor tangente à curva e que tem comprimento ds do elemento de arco um sentido positivo corresponde a um caminho de integração no sentido antihorário ao redor da curva Podemos desenvolver uma relação entre a circulação e a vorticidade considerando o circuito retangular mostrado na Fig 58 em que as componentes da velocidade em o são consideradas u υ e as velocidades ao longo dos segmentos bc e ac podem ser deduzidas usando aproximações em séries de Taylor Para a curva fechada oacb Fig 58 Componentes de velocidade nas fronteiras de um elemento de fluido Então A Eq 518 é um enunciado do Teorema de Stokes em duas dimensões Dessa forma a circulação sobre um contorno fechado é a soma da vorticidade encerrada pelo contorno Exemplo 56 ESCOAMENTOS DE VÓRTICES LIVRE E FORÇADO Considere campos de escoamento com movimento puramente tangencial linhas de corrente circulares Vr 0 e Vθ fr Avalie a rotação a vorticidade e a circulação para rotação de corpo rígido um vórtice forçado Mostre que é possível escolher f r de modo que o escoamento seja irrotacional isto é a produzir um vórtice livre Dados Campo de escoamento com movimento tangencial Vr 0 e Vθ f r Determinar a Rotação vorticidade e circulação para movimento de corpo rígido um vórtice forçado b Vθ fr para movimento irrotacional um vórtice livre Solução Equação básica Para movimento no plano rθ as únicas componentes de rotação e vorticidade estão na direção z Posto que V r 0 em qualquer ponto destes campos a expressão acima reduzse a a Para rotação de corpo rígido Vθ ωr Como ω2 ω constante a circulação sobre qualquer contorno fechado é dada por Γ 2ωA em que A é a área delimitada pelo contorno Assim para movimento de corpo rígido um vórtice forçado a rotação e vorticidade são constantes a circulação depende da área no interior do contorno b Para escoamento irrotacional Integrando encontramos Para este escoamento a origem é um ponto singular onde Vθ A circulação para qualquer contorno envolvendo a origem é A circulação sobre qualquer contorno que não envolva o ponto singular na origem é igual a zero Linhas de corrente para os dois escoamentos de vórtice são mostradas na figura a seguir ilustrando a localização e a orientação em diferentes instantes de uma marca de cruz no fluido localizada inicialmente na posição de doze horas de um relógio Para o movimento de corpo rígido que ocorre por exemplo no olho de um tornado criando a região morta bem no centro a cruz gira à medida que realiza um movimento circular também as linhas de corrente estão mais próximas à medida que se afasta da origem Para o movimento irrotacional que ocorre por exemplo fora do olho de um tornado em uma grande região onde os efeitos viscosos são desprezíveis a cruz não gira ao realizar o movimento circular também as linhas de corrente estão mais distantes umas das outras à medida que se afasta da origem Deformação de Fluido a Deformação Angular Conforme discutido anteriormente e como mostrado na Fig 57d a deformação angular de uma partícula é dada pela soma de duas deformações angulares ou em outras palavras por Δα Δβ Relembramos também que Δα ΔηΔx e Δβ ΔξΔy e que Δξ e Δη são dados por Podemos agora calcular a taxa de deformação angular da partícula no plano xy por meio da combinação desses resultados VÍDEO CLÁSSICO Deformação de um Meio Contínuo em inglês Expressões similares podem ser escritas para a taxa de deformação angular da partícula nos planos yz e zx Vimos no Capítulo 2 que para um escoamento Newtoniano unidimensional e laminar a tensão de cisalhamento é dada pela taxa de deformação dudy da partícula de fluido Vamos ver rapidamente como podemos generalizar a Eq 215 para o caso de um escoamento laminar tridimensional isso conduzirá a expressões para tensões de cisalhamento tridimensionais envolvendo as três taxas de deformação angular dadas anteriormente Eq 215 é um caso especial da Eq 519a O cálculo de deformação angular está ilustrado no Exemplo 57 para um campo de escoamento simples Exemplo 57 ROTAÇÃO EM ESCOAMENTO VISCOMÉTRICO Um escoamento viscométrico no espaço estreito entre duas grandes placas paralelas é mostrado na figura ao lado O campo de velocidade na folga estreita é dado por em que U 4 mms e h 4 mm Em t 0 os segmentos de linhas ac e bd são marcados no fluido para formar uma cruz conforme mostrado Avalie as posições dos pontos marcados em t 15 s e faça um esquema para comparação Calcule a taxa de deformação angular e a taxa de rotação de uma partícula fluida neste campo de velocidade Comente sobre os seus resultados Dados Campo de velocidade U 4 mms e h 4 mm Partículas fluidas marcadas em t 0 formando uma cruz como mostrado Determinar a As posições dos pontos a b c e d em t 15 s traçar gráfico b A taxa de deformação angular c A taxa de rotação de uma partícula fluida d Significado destes resultados Solução Para o campo de escoamento dado υ 0 ou seja não há movimento vertical A velocidade de cada ponto permanece constante de modo que Δx uΔt para cada ponto No ponto b u 3 mms e então Similarmente os pontos a e c deslocam de 3 mm cada um e o ponto d desloca de 15 mm O gráfico para t 15 s é A taxa de deformação angular é A taxa de rotação é Neste problema temos um escoamento viscoso e portanto seria esperado tanto deformação angular quanto rotação de partícula b Deformação Linear Durante uma deformação linear a forma de um elemento de fluido descrita pelos ângulos em seus vértices permanece imutável visto que todos os ângulos retos continuam retos veja a Fig 55 O comprimento do elemento variará na direção x somente se ux for diferente de zero Analogamente uma mudança na dimensão y requer um valor diferente de zero para υy e uma mudança na dimensão z requer um valor diferente de zero para wz Estas quantidades representam as componentes das taxas longitudinais de deformação nas direções x y e z respectivamente VÍDEO Deformação Linear em inglês Variações no comprimento dos lados podem produzir alterações no volume do elemento A taxa de dilatação volumétrica local instantânea é dada por Para escoamento incompressível a taxa de dilatação volumétrica é zero Eq 51c Exemplo 58 TAXAS DE DEFORMAÇÃO PARA ESCOAMENTO EM UM CANTO O campo de velocidade representa escoamento em um canto como mostrado no Exemplo 54 em que A 03 s1 e as coordenadas são medidas em metros Um quadrado é marcado no fluido em t 0 conforme mostrado na figura a seguir Avalie as novas posições dos quatro pontos dos vértices quando o ponto a tiver movido para x 32 m após ι segundos Avalie as taxas de deformação linear nas direções x e y Compare a área abcd em t τ com a área abcd em t 0 Comente sobre o significado dos resultados Dados A 03 s1 x e y em metros Determinar a A posição do quadrado em t τ quando a está em a em x 32 m b Taxas de deformação linear c Área abcd comparada com a área abcd d Significado dos resultados Solução Primeiro devemos determinar τ e para isso vamos seguir uma partícula fluida usando a descrição lagrangiana Assim Na direção y As coordenadas do ponto em τ são Ponto t 0 t τ a 11 b 12 c 22 d 21 As taxas de deformação linear são A taxa de dilatação volumétrica é A área abcd 1 m 2 e a área Notas Planos paralelos permanecem paralelos há deformação linear mas não há deformação angular O escoamento é irrotacional υx uy 0 O volume é conservado porque as duas taxas de deformação linear são iguais e opostas O filme da NCFMF Flow Visualization veja grátis este filme no site httpwebmitedufluidswwwShapironcfmfhtml usa bolhas de hidrogênio para marcar linhas de tempo e de emissão na demonstração experimental de que a área do quadrado marcado no fluido é conservada em um escoamento bidimensional incompressível A planilha Excel para este problema mostra animações deste movimento Mostramos nesta seção que o campo de velocidade contém todas as informações necessárias para achar a aceleração a rotação e as deformações angular e linear de uma partícula em um campo de escoamento 54 Equação da Quantidade de Movimento Uma equação dinâmica descrevendo o movimento do fluido pode ser obtida aplicando a segunda lei de Newton a uma partícula Para deduzir a forma diferencial da equação da quantidade de movimento aplicaremos a segunda lei de Newton a uma partícula fluida infinitesimal de massa dm Já vimos que a segunda lei de Newton para um sistema é dada por em que a quantidade de movimento linear do sistema é dada por Então para um sistema infinitesimal de massa dm a segunda lei de Newton pode ser escrita Introduzindo a expressão obtida para a aceleração de um elemento de fluido de massa dm em movimento em um campo de velocidade Eq 59 podemos escrever a segunda lei de Newton na seguinte forma vetorial Necessitamos agora obter uma formulação adequada para a força ou para suas componentes dFx dFy e dFz atuando sobre o elemento Forças Atuando sobre uma Partícula Fluida Lembrese de que as forças que atuam sobre um elemento fluido podem ser classificadas como forças de campo e forças de superfície forças de superfície incluem tanto forças normais quanto forças tangenciais de cisalhamento Consideremos a componente x da força atuando sobre um elemento diferencial de massa dm e volume Somente aquelas tensões que atuam na direção x darão origem a forças de superfície na direção x Se as tensões no centro do elemento diferencial forem tomadas como σxx τyx e τzx então as tensões atuando na direção x em cada face do elemento obtidas por uma expansão em séries de Taylor em torno do centro do elemento são conforme mostrado na Fig 59 Fig 59 Tensões sobre um elemento de fluido na direção x Para obter a força de superfície resultante na direção x devemos somar as forças nesta direção Assim procedendo Simplificando obtemos Quando a força da gravidade é a única força de corpo atuante a força de corpo por unidade de massa é igual A força resultante na direção x dFx é dada por Expressões semelhantes podem ser deduzidas para as componentes da força nas direções y e z Equação Diferencial da Quantidade de Movimento Acabamos de formular expressões para as componentes dFx dFy e dFz da força atuando sobre o elemento de massa dm Se substituirmos essas expressões Eqs 523 nas componentes x y e z da força na Eq 522 obteremos as equações diferenciais do movimento As Eqs 524 são as equações diferenciais do movimento de qualquer partícula fluida satisfazendo a hipótese do contínuo Antes que elas possam ser usadas na solução para u υ e w expressões adequadas para as tensões devem ser obtidas em termos dos campos de velocidade e de pressão Fluidos Newtonianos As Equações de NavierStokes Para um fluido newtoniano a tensão viscosa é diretamente proporcional à taxa de deformação por cisalhamento taxa de deformação angular Vimos no Capítulo 2 que para um escoamento newtoniano unidimensional e laminar a tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de deformação angular τyx dudy Eq 215 Para um escoamento tridimensional a situação é um pouco mais complicada entre outras coisas necessitamos usar expressões mais complexas para a taxa de deformação angular Eq 519 As tensões podem ser expressas em termos de gradientes de velocidade e de propriedades dos fluidos em coordenadas retangulares como segue6 em que p é a pressão termodinâmica local7 A pressão termodinâmica está relacionada com a massa específica e com a temperatura por meio de relações termodinâmicas usualmente chamadas de equações de estado Introduzindo estas expressões para as tensões nas equações diferenciais do movimento Eqs 524 obtemos Estas equações de movimento são chamadas de equações de NavierStokes Elas são bastante simplificadas quando aplicadas ao escoamento incompressível com viscosidade constante Sob estas condições as equações se reduzem a Esta forma das equações de NavierStokes é provavelmente junto com a equação de Bernoulli o conjunto de equações mais famoso em mecânica dos fluidos e tem sido largamente estudado Estas equações mais a equação da continuidade Eq 51c formam um conjunto de quatro equações diferenciais parciais não lineares acopladas para u υ w e p Em princípio essas quatro equações descrevem muitos escoamentos comuns as únicas restrições são que o fluido deve ser newtoniano com uma viscosidade constante e incompressível Por exemplo teoria de lubrificação descrição do comportamento de rolamento de máquinas escoamento em tubos e até mesmo o movimento do seu café quando você o mexe são explicadas por essas equações Infelizmente elas não podem ser resolvidas analiticamente exceto para casos muito básicos 3 nos quais as geometrias e as condições iniciais ou de contorno são simples Resolveremos as equações para um problema igualmente simples no Exemplo 59 As equações de NavierStokes para massa específica e viscosidade constantes são dadas em coordenadas cilíndricas no Apêndice B na referência 3 elas podem ser obtidas também em coordenadas esféricas Aplicaremos a formulação em coordenadas cilíndricas na solução do Exemplo 510 Nos últimos anos programas de computador tais como Fluent 6 e STARCD 7 de aplicação em dinâmica de fluidos computacional DFC têm sido desenvolvidos para análise das equações de NavierStokes em problemas mais complexos ou seja problemas do mundo real Embora um tratamento detalhado desses tópicos esteja além do alcance deste texto faremos uma breve introdução em DFC na próxima seção Para o caso de escoamento sem atrito μ 0 as equações do movimento Eqs 526 ou Eqs 527 reduzemse à equação de Euler Consideraremos o caso de escoamento sem atrito no Capítulo 6 Exemplo 59 ANÁLISE DE UM ESCOAMETO LAMINAR COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO PARA BAIXO SOBRE UM PLANO INCLINADO Um líquido escoa para baixo sobre uma superfície plana inclinada em um filme laminar permanente completamente desenvolvido e de espessura h Simplifique as equações da continuidade e de NavierStokes para modelar este campo de escoamento Obtenha expressões para o perfil de velocidades do líquido a distribuição de tensões de cisalhamento a vazão volumétrica e a velocidade média Relacione a espessura do filme de líquido com a vazão volumétrica por unidade de profundidade da superfície normal ao escoamento Calcule a vazão volumétrica em um filme de água com espessura h 1 mm escoando sobre uma superfície de largura b 1 m inclinada de θ 15º em relação à horizontal Dados Líquido escoando para baixo sobre uma superfície plana inclinada em um filme laminar permanente completamente desenvolvido e de espessura h Determinar a As equações simplificadas da continuidade e de NavierStokes para modelar este campo de escoamento b O perfil de velocidades c A distribuição da tensão de cisalhamento d A vazão volumétrica por unidade de profundidade da superfície normal ao diagrama e A velocidade média de escoamento f A espessura do filme em termos da vazão volumétrica por unidade de profundidade da superfície normal ao diagrama g A vazão volumétrica em um filme de água de 1 mm de espessura sobre uma superfície de 1 m de largura inclinada de 15º em relação à horizontal Solução A geometria e o sistema de coordenadas usados para modelar o campo de escoamento são mostrados na figura É conveniente alinhar uma coordenada com a direção do escoamento para baixo sobre a superfície plana As equações de governo escritas para um escoamento incompressível com viscosidade constante são Os termos cancelados para simplificar as equações básicas estão relacionados com as seguintes considerações que foram listadas e discutidas na ordem em que foram aplicadas para simplificar as equações Considerações 1 Escoamento em regime permanente dado 2 Escoamento incompressível ρ constante 3 Nenhum escoamento ou variação das propriedades na direção z w 0 e z 0 4 Escoamento completamente desenvolvido logo nenhuma propriedade varia na direção x x 0 A consideração 1 elimina variações do tempo em qualquer propriedade do fluido A consideração 2 elimina variações espaciais na massa específica A consideração 3 estabelece que não existe componente z da velocidade e que não existem variações das propriedades na direção z Todos os termos na componente z da equação de NavierStokes se cancelam Após a aplicação da consideração 4 a equação da continuidade reduzse a υy 0 As considerações 3 e 4 também indicam que υz 0 e υx 0 Portanto υ deve ser constante Como υ é igual a zero na superfície sólida então υ deve ser também igual a zero em qualquer lugar O fato de υ ser igual a zero simplifica ainda mais a equação de NavierStokes como indicado por 5 As equações finais simplificadas são Como uz 0 consideração 3 e ux 0 consideração 4 então u é no máximo uma função de y e 2uy2 d2udy2 Então da Eq 1 resulta Integrando e integrando novamente As condições de contorno necessárias para avaliar as constantes são as condições de não deslizamento na superfície sólida u 0 em y 0 e a condição de tensão de cisalhamento zero na superfície livre do líquido dudy 0 em y h Avaliando a Eq 4 em y 0 obtemos c2 0 Da Eq 3 em y h Substituindo na Eq 4 obtemos o perfil de velocidades A distribuição da tensão de cisalhamento é da Eq 525a após fazer υy igual a zero ou alternativamente da Eq 215 para um escoamento unidimensional A tensão de cisalhamento no fluido atinge seu valor máximo na parede y 0 conforme esperado ela é zero na superfície livre y h Na parede a tensão de cisalhamento τyx é positiva porém a superfície normal para o fluido está na direção negativa de y portanto a força de cisalhamento age na direção negativa de x e apenas contrabalança a componente x da força de corpo agindo sobre o fluido A vazão volumétrica é em que b é a largura da superfície na direção z Substituindo A velocidade média do escoamento é Então Resolvendo para a espessura de filme resulta Um filme de água com h 1 mm de espessura sobre um plano de largura b 1 m inclinado em θ 15º transportaria Notas Este problema ilustra como as equações completas de NavierStokes Eqs 527 podem às vezes ser reduzidas a um conjunto de equações de solução relativamente fácil Eqs 1 e 2 neste problema Após a integração das equações simplificadas condições de contorno ou iniciais são usadas para completar a solução Uma vez obtido o campo de velocidade outras quantidades úteis por exemplo tensão de cisalhamento vazão volumétrica etc podem ser determinadas As Eqs 5 e 6 mostram que mesmo para problemas relativamente simples os resultados podem ser bastante complicados a profundidade do escoamento depende de forma não linear da vazão h Q13 Exemplo 510 ANÁLISE DE UM ESCOAMENTO LAMINAR VISCOMÉTRICO ENTRE CILINDROS COAXIAIS Um líquido viscoso enche o espaço anular entre dois cilindros concêntricos verticais O cilindro interno é estacionário e o cilindro externo gira com velocidade constante O escoamento é laminar Simplifique as equações da continuidade de NavierStokes e da tensão de cisalhamento tangencial para modelar este campo de escoamento Obtenha expressões para o perfil de velocidades do líquido e para a distribuição de tensões de cisalhamento Compare a tensão de cisalhamento na superfície do cilindro interior com aquela calculada por meio de uma aproximação obtida pelo desdobramento do espaço anular em um plano e com a consideração de um perfil de velocidade linear através da folga Determine a razão entre os raios dos cilindros para a qual a aproximação planar prediz a tensão de cisalhamento na superfície do cilindro interno com incerteza máxima de 1 Dados Escoamento viscométrico laminar de um líquido no espaço anular entre dois cilindros verticais concêntricos O cilindro interno é estacionário e o externo gira com velocidade constante Determinar a As equações da continuidade e de NavierStokes simplificadas para modelar este campo de escoamento b O perfil de velocidades na folga anular c A distribuição de tensões de cisalhamento na folga anular d A tensão de cisalhamento na superfície do cilindro interno e Comparação com uma aproximação planar para tensão de cisalhamento constante na folga estreita entre os cilindros f A razão entre os raios dos cilindros para a qual a aproximação planar prediz a tensão de cisalhamento com incerteza máxima de 1 em relação ao valor correto Solução A geometria e o sistema de coordenadas utilizados para modelar o campo de escoamento são mostrados na figura anterior A coordenada z está direcionada verticalmente para cima como consequência gr gθ 0 e gz g As equações da continuidade de NavierStokes e da tensão de cisalhamento tangencial do Apêndice B escritas para um escoamento incompressível com viscosidade constante são componente r componente θ componente z Os termos cancelados para simplificar as equações básicas estão relacionados com as seguintes considerações que foram listadas e discutidas na ordem em que foram aplicadas para simplificar as equações Considerações 1 Escoamento em regime permanente a velocidade angular do cilindro externo é constante 2 Escoamento incompressível ρ constante 3 Nenhum fluxo ou variação das propriedades na direção z υz 0 e z 0 4 Escoamento axissimétrico logo as propriedades não variam com θ e θ 0 A consideração 1 elimina variações temporais nas propriedades do fluido A consideração 2 elimina variações espaciais na massa específica A consideração 3 causa o cancelamento de todos os termos na componente z da equação de NavierStokes exceto para a distribuição de pressão hidrostática Após a aplicação das considerações 3 e 4 a equação da continuidade Eq B1 fica reduzida a Como θ 0 e z 0 pelas considerações 3 e 4 então de modo que a integração fornece rυr constante Como υr é zero na superfície sólida de cada cilindro então υr deve ser zero em qualquer lugar O fato de υr ser igual a zero simplifica ainda mais as equações de NavierStokes conforme indicado pelos cancelamentos 5 As equações finais Eqs B3a e B3b ficam reduzidas a Mas como θ 0 e z 0 pelas considerações 3 e 4 então υθ é uma função somente do raio e Integrando uma vez Integrando novamente Duas condições de contorno são necessárias para determinar as constantes c1 e c2 As condições de contorno são υθ ωR2 em r R2 e υθ 0 em r R1 Substituindo Após algumas operações algébricas Substituindo na expressão para υθ A distribuição da tensão de cisalhamento é obtida da Eq B2 após o uso da consideração 4 Na superfície do cilindro interno r R1 e então Para uma folga planificada ou Fatorando o denominador da expressão exata para a tensão de cisalhamento na superfície resulta Portanto Para uma precisão de 1 ou O critério de precisão é encontrado quando a largura da folga é menor que 2 do raio do cilindro Notas Este problema ilustra como as equações completas de NavierStokes em coordenadas cilíndricas Eqs B1 a B3 podem às vezes ser reduzidas a um conjunto de equações de solução relativamente fácil Como no Exemplo 59 após a integração das equações simplificadas condições de contorno ou iniciais são usadas para completar a solução Uma vez obtido o campo de velocidade outras quantidades úteis neste problema a tensão de cisalhamento podem ser determinadas A planilha Excel para este problema compara os perfis de velocidade linear e viscométrico Ela permite também que seja determinado um valor adequado do raio externo que atenda uma exigência de precisão prescrita para o resultado da aproximação planar No Capítulo 8 discutiremos novamente a aproximação de cilindros concêntricos infinitos planos e paralelos 55 Introdução à Dinâmica de Fluidos Computacional Nesta seção discutiremos de maneira muito básica as ideias por trás da dinâmica de fluidos computacional DFC Revisaremos primeiramente alguns conceitos básicos de métodos numéricos aplicandoos para resolver uma equação diferencial ordinária e uma equação diferencial parcial usando uma planilha tal como o Excel com um par de Exemplos Após o estudo desses Exemplos o leitor será capaz de usar o seu computador para resolver numericamente uma variedade de problemas simples em DFC Em seguida para aqueles com interesse adicional em DFC iremos rever em mais detalhes alguns conceitos após os métodos numéricos particularmente a DFC esta revisão ressaltará algumas das vantagens e armadilhas da DFC Aplicaremos alguns desses conceitos para um modelo unidimensional simples mas esses conceitos são tão fundamentais que são aplicáveis a quase todos os cálculos em DFC Conforme aplicarmos o procedimento de solução ao modelo comentaremos sobre a extensão ao caso geral O objetivo é capacitar o leitor a aplicar o procedimento de solução de DFC para equações não lineares simples Por que a DFC É Necessária Como discutido na Seção 54 as equações que descrevem o escoamento de fluidos podem ser bastante complicadas Por exemplo mesmo quando limitamos os problemas para escoamentos incompressíveis com viscosidade constante ainda ficamos com as seguintes equações A Eq 51c é a equação da continuidade conservação da massa e as Eqs 527 são as equações de NavierStokes quantidade de movimento expressas em coordenadas cartesianas Em princípio podemos resolver essas equações para o campo de velocidade e para o campo de pressão p fornecidas as condições inicial e de contorno suficientes Note que em geral u υ w e p dependem das coordenadas x y e z além do instante de tempo t Na prática não há solução analítica geral para estas equações pelo efeito combinado de uma série de razões nenhuma delas é insuperável por si mesma 1 Elas são equações acopladas As incógnitas u υ w e p aparecem em todas as equações p não aparece na Eq 51c e não podemos manipulálas de modo a obter uma só equação em função de qualquer uma das incógnitas Assim devemos resolver as equações para todas as incógnitas simultaneamente 2 Elas são equações não lineares Por exemplo na Eq 527a o termo de aceleração convectiva uux υuy wuz apresenta produtos envolvendo u consigo mesmo bem como com υ e w A consequência disso é que não podemos tomar uma solução das equações a combinála com uma segunda solução para obter uma terceira solução Veremos no Capítulo 6 que se pudermos limitar o problema a um escoamento sem atrito poderemos deduzir equações lineares que nos permitirão fazer procedimentos de combinações se você quiser veja a Tabela 63 que apresenta belos exemplos sobre isso 3 Elas são equações diferenciais parciais de segunda ordem Por exemplo na Eq 527a o termo referente à viscosidade μ2ux2 2uy2 2uz2 é de segunda ordem em relação a u Obviamente essas equações são mais complicadas do que por exemplo equações diferenciais ordinárias de primeira ordem Estas dificuldades levaram engenheiros cientistas e matemáticos a adotar várias aproximações para a solução de problemas de mecânica dos fluidos Para geometrias físicas e condições de contorno ou iniciais relativamente simples as equações podem ser frequentemente reduzidas a uma forma solucionável Vimos dois exemplos desses casos nos Exemplos 59 e 510 para formas cilíndricas das equações Se pudermos desprezar os termos viscosos a incompressibilidade resultante o escoamento invíscido pode ser frequentemente analisado com sucesso Esse é o escopo do Capítulo 6 Naturalmente muitos escoamentos incompressíveis de interesse não apresentam geometrias simples e não são invíscidos para esses casos caímos nas Eqs 51c e 527 A única opção que resta é usar métodos numéricos para analisar os problemas É possível obter soluções aproximadas através de cálculos com computador para as equações em uma variedade de problemas de engenharia Esse é o objetivo principal sobre a matéria de DFC Aplicações de DFC A DFC é empregada em uma variedade de aplicações sendo hoje largamente adotada por várias indústrias Para ilustrar aplicações industriais de DFC apresentamos a seguir alguns exemplos desenvolvidos usando FLUENT um programa de DFC da empresa ANSYS A dinâmica de fluidos computacional é usada para estudar o campo de escoamento em torno de meios de transporte incluindo carros caminhões aviões helicópteros e navios A Fig 510 mostra os caminhos formados por partículas fluidas selecionadas em volta de um carro de Fórmula 1 Estudando tais linhas de trajetórias e outros atributos do escoamento engenheiros tiram ideias para projetar o carro com um menor arrasto e um maior desempenho A Fig 511 mostra um escoamento através de uma descarga com catalisador Esse é um dispositivo usado para reduzir a poluição dos gases de exaustão automotivos e permitir que todos nós possamos respirar um ar de melhor qualidade A imagem na Fig 511 mostra linhas de trajetórias coloridas de acordo com o módulo da velocidade A DFC ajuda os engenheiros a desenvolver descargas com catalisadores mais eficientes permitindo estudar como diferentes espécies químicas se misturam e reagem no dispositivo A Fig 512 representa os contornos de pressão estática em um ventilador centrífugo inclinado para trás usado em aplicações de ventilação As características de desempenho do ventilador obtidas através de simulações com DFC concordaram bem com os resultados obtidos em testes experimentais VÍDEO Escoamento Turbulento em um Canal em inglês VÍDEO Escoamento sobre um Cilindro em inglês Fig 510 Linhas de trajetórias em torno de um carro de Fórmula 1 Imagem cortesia da empresa ANSYS Inc 2008 Fig 511 Escoamento através de uma descarga automotiva com catalisador Imagem cortesia da empresa ANSYS Inc 2008 Fig 512 Contornos de pressão estática para um escoamento através de um ventilador centrífugo Imagem cortesia da empresa ANSYS Inc 2008 A DFC é atraente à indústria desde que o método tenha um custo efetivo melhor que testes experimentais Contudo devemos observar que simulações de escoamentos complexos são desafiantes e propensas a erros Por isso as análises dos resultados devem ser realizadas por engenheiros capazes de obter soluções realistas Alguns Métodos NuméricosDFC Básicos Usando uma Planilha Antes de discutir a DFC um pouco mais detalhadamente podemos compreender melhor os métodos numéricos para resolver alguns problemas simples em mecânica dos fluidos com o auxílio de uma planilha eletrônica Estes métodos mostraram como os estudantes devem realizar a DFC usando um computador pessoal Primeiramente consideraremos a solução da forma mais simples de uma equação diferencial uma equação diferencial ordinária de primeira ordem em que fx y é uma função dada Percebemos que graficamente a derivada dydx é a inclinação da curva solução yx ainda desconhecida Se estivermos no mesmo ponto xn yn sobre a curva podemos seguir a tangente àquele ponto como uma aproximação do movimento real ao longo da própria curva para achar um novo valor para y yn1 correspondente a um novo valor de x xn1 como mostrado na Fig 513 Temos então Se escolhermos um tamanho de passo h xn1 x então a equação anterior pode ser combinada com a equação diferencial A Eq 528 para fornecer As Eqs 529 são o conceito básico oculto no famoso método de Euler para resolver uma equação diferencial ordinária EDO de primeira ordem uma diferencial é substituída por uma diferença finita Como veremos na próxima subseção equações similares às Eqs 529 poderiam também ter sido deduzidas mais formalmente como resultado de uma expansão em séries de Taylor truncada Nessas equações yn1 representa agora a nossa melhor estimativa para determinar o próximo ponto sobre a curva de solução A partir da Fig 513 vemos que yn1 não está sobre a curva de solução mas perto dela se fizermos o triângulo bem menor diminuindo o tamanho de passo h então yn1 estará ainda mais perto da solução desejada Podemos usar repetidamente as duas equações iterativas de Euler para iniciar em x0 y0 e obter x1 y1 em seguida x2 y2 x3 y3 e assim por diante Não finalizamos o processo com uma equação para a solução mas sim com um conjunto de números portanto é uma representação numérica em vez de um método analítico Esta é a abordagem do método de Euler Fig 513 O método de Euler Esse método é muito fácil de ser configurado tornandoo uma abordagem atrativa porém não é muito exato seguindo a tangente a uma curva a cada ponto em uma tentativa de seguir a curva é muito bruto Se fizermos o tamanho de passo h menor a exatidão do método geralmente crescerá mas obviamente necessitaremos de mais passos para encontrar a solução Acontece que se usarmos muitos passos se o valor de h for extremamente pequeno a exatidão dos resultados pode realmente decrescer porque embora cada pequeno passo seja muito exato necessitaremos agora de muitos passos de modo que os erros de arredondamento podem se acumular Como com qualquer método numérico que não garantem a obtenção de uma solução ou uma solução que seja bastante exata O método de Euler é o método numérico mais simples porém menos exato para solução de equações diferenciais ordinárias EDO de primeira ordem existem diversos métodos mais sofisticados disponíveis apresentados em qualquer bom livrotexto de métodos numéricos 8 9 Vamos ilustrar o método de Euler com um Exemplo Exemplo 511 A SOLUÇÃO DO MÉTODO DE EULER PARA A DRENAGEM DE UM TANQUE Um tanque contém água com uma profundidade inicial y0 1 m O diâmetro do tanque é D 250 mm Um furo com diâmetro d 2 mm aparece no fundo do tanque Um modelo aceitável para o nível de água em função do tempo é Usando os métodos de Euler com 11 pontos e com 21 pontos estime a profundidade de água após o tempo t 100 min e calcule os erros comparados com a solução exata Trace os resultados obtidos pelo método de Euler e pela solução exata Dados Água sendo drenada de um tanque Determinar A profundidade de água após 100 min traçar um gráfico da profundidade em função do tempo exatidão dos resultados Solução Use as equações de Euler Eq 529 Equações básicas yn1 yn hf tn yn tn1 tn h com Note que aplicando as Eqs 529 nós usamos t em vez de x Este tipo de problema é conveniente de ser resolvido com uma planilha eletrônica do tipo Excel como mostrado a seguir Obtivemos os seguintes resultados Este Exemplo mostra uma aplicação simples do método de Euler Note que embora os erros após o tempo de 100 minutos sejam grandes para as duas soluções pelo método de Euler os seus gráficos são razoavelmente perto da solução exata A planilha Excel deste problema pode ser modificada para resolver diversos problemas de fluidos que envolvem EDOs de primeira ordem Outra aplicação básica de um método numérico a um problema de mecânica dos fluidos é quando temos um escoamento não viscoso bidimensional incompressível em regime permanente Estas parecem um conjunto grave de restrições sobre um escoamento mas a análise de escoamentos com estas considerações leva a predições de es coamen tos reais muito boas como por exemplo para a sustentação sobre uma seção de asa Este é o tópico do Capítulo 6 mas por enquanto simplesmente declaramos que sob tais circunstâncias tais escoamentos podem ser modelados com a equação de Laplace em que é a função de corrente Deixamos de apresentar a sequência de passos eles consistem da aproximação de cada diferencial com uma expansão em séries de Taylor mas uma aproximação numérica desta equação é Aqui h é o tamanho de passo na direção de x ou de y e ij é o valor de no iésimo valor de x e o jésimo valor de y veja a Fig 514 Rearranjando e simplificando Esta equação indica que o valor da função corrente é simplesmente a média de seus quatro vizinhos Para usar esta equação necessitamos especificar os valores da função corrente em todos os contornos a Eq 530 permite então o cálculo dos valores interiores A Eq 530 é ideal para resolver usando uma planilha eletrônica como o Excel Consideremos novamente um exemplo Fig 514 Esquema para discretização da equação de Laplace Exemplo 512 MODELAGEM NUMÉRICA DO ESCOAMENTO SOBRE UM CANTO Considere um escoamento não viscoso incompressível unidimensional em regime permanente em um canal onde a área é reduzida pela metade Trace um gráfico com as linhas de corrente Dados Escoamento em um canal onde a área é reduzida pela metade Determinar Gráfico das linhas de corrente Solução Use a aproximação numérica da equação de Laplace Equação básica Novamente este é um problema conveniente de ser resolvido usando uma planilha eletrônica tal como o Excel Cada célula na planilha representa um local no espaço físico e o valor na célula representa o valor da função corrente naquele local Referentemente à figura atribuímos valores de zero para uma faixa de células que representam o fundo do canal Em seguida atribuímos um valor de 10 para uma segunda faixa de células para representar o topo do canal A escolha de 10 é arbitrária para finalidade do gráfico tudo que ela determina são os valores de velocidade e não as formas das linhas de correntes Em seguida atribuímos uma distribuição uniforme de valores nas extremidades direita e esquerda para gerar escoamento uniforme nesses locais Todos os valores inseridos estão mostrados em negrito na figura Podemos agora entrar com as fórmulas no interior das células para calcular a função corrente Em vez da equação de governo anterior é mais intuitivo reescrevêla na seguinte forma em que ψA ψR ψB e ψL representam os valores estocados nas células Acima à Direita Abaixo e à Esquerda da célula atual É fácil trabalhar com esta fórmula isso está mostrado na célula C5 na figura Em seguida ela é copiada para o interior de todas as células com uma ressalva a planilha indicará um erro de cálculo circular Isto é uma advertência que levará você a pensar que está cometendo um erro por exemplo a célula C5 necessita da célula C6 para ser calculada mas a célula C6 necessita da célula C5 Lembre de que o valor no interior de cada célula é a média de seus vizinhos A matemática circular não é o que normalmente queremos mas neste caso desejamos que ela ocorra Precisamos ligar as iterações na planilha No caso do Excel isso está sob o item do menu FerramentasOpçõesCálculos Finalmente necessitamos de iterações repetidas no Excel aperte a tecla F9 diversas vezes até que a convergência seja obtida os valores no interior das células irão sendo atualizados repetidamente até que as variações nesses valores sejam iguais a zero ou desprezíveis Após isso os resultados podem ser colocados em gráfico usando uma superfície gráfica como mostrado Podemos ver que as linhas de corrente parecem muito como prevemos embora na realidade provavelmente houvesse separação de escoamento no canto Note também uma imprecisão matemática pois existem leves oscilações das linhas de corrente conforme elas fluem para a superfície vertical usando uma grade mais fina aumentando o número de células este problema seria reduzido Este Exemplo mostra uma modelagem numérica simples da equação de Laplace A planilha Excel para este problema pode ser modificada para resolver uma variedade de problemas de fluidos que envolvem a equação de Laplace Os Exemplos 511 e 512 fornecem orientações sobre o uso de computadores pessoais para resolver alguns problemas simples de DFC A Estratégia de DFC Quase sempre a estratégia de DFC é substituir o domínio contínuo de um problema para um domínio discreto usando uma malha ou grade No domínio contínuo cada variável do escoamento é definida em cada ponto no domínio Por exemplo a pressão p no domínio contínuo 1D mostrado na Fig 515 poderia ser dado como p px 0 x 1 No domínio discreto cada variável do escoamento é definida apenas nos pontos da malha Assim no domínio discreto na Fig 515 a pressão poderia ser definida apenas nos N pontos da malha pi pxi i 12N Podemos estender essa conversão de domínio contínuo para domínio discreto também para duas ou três dimensões A Fig 516 mostra uma malha em 2D para a solução do escoamento sobre um aerofólio Os pontos da malha indicam as posições onde as linhas da malha se cruzam Em uma solução por DFC poderíamos resolver diretamente para as variáveis relevantes do escoamento apenas nos pontos da malha Os valores nas outras localizações são determinados por interpolação dos valores dos pontos da malha As equações diferenciais parciais de governo e as condições de contorno são definidas em termos das variáveis contínuas p e assim por diante Podemos aproximar essas variáveis no domínio discreto em termos de valores discretos pi e assim por diante Usando esse procedimento achamos um sistema discreto que consiste em um grande conjunto de equações algébricas acopladas com as variáveis discretas Depois da montagem do sistema discreto a sua resolução que é um problema de inversão de matriz Fig 515 Domínios contínuo e discreto para um problema unidimensional Fig 516 Exemplo de uma malha usada para resolver o escoamento em torno de um aerofólio envolve um grande número de cálculos repetidos uma tarefa que se tornou possível apenas com o advento dos modernos computadores Discretização Usando o Método das Diferenças Finitas Para simplificar vamos ilustrar a mudança do domínio contínuo para o domínio discreto para a seguinte equação em uma dimensão Primeiramente vamos considerar m 1 que é o caso quando a equação é linear Depois vamos considerar o caso não linear em que m 2 Tenha em mente que este é um problema de valor inicial enquanto o procedimento de solução numérica apresentado na sequência é mais adequado para problemas de condição de contorno A maioria dos problemas de DFC envolve condições de contorno Deduziremos uma representação discreta da Eq 531 com m 1 sobre a malha grosseira mostrada na Fig 517 Esta malha é constituída por quatro pontos de malhas uniformemente espaçados sendo o espaço entre pontos sucessivos Desde que a equação de governo seja válida em qualquer ponto da malha temos em que o subscrito i representa o valor no ponto xi da malha A fim de obtermos uma expressão para dudxi em termos dos valores de u nos pontos da malha expandimos ui1 em uma série de Taylor Fig 517 Uma malha simples unidimensional com quatro pontos de grade Rearranjando os termos obtemos No segundo membro dessa expressão vamos desprezar os termos de segunda ordem terceira ordem e ordens superiores Assim o primeiro termo no segundo membro é a representação em diferenças finitas para dudxi que buscávamos O erro em dudxi devido aos termos desprezados na série de Taylor é chamado de erro de truncamento Em geral o erro de truncamento é a diferença entre a equação diferencial e a sua representação em diferenças finitas O termo de ordem preeminente no erro de truncamento na Eq 533 é proporcional a Δx A Eq 533 pode ser reescrita como em que o último termo é denominado ordem de delta x A notação OΔx possui um significado preciso em matemática que não abordaremos aqui Em vez disso para ganhar tempo falaremos desse significado mais a frente no tópico referente à convergência da malha Desde que o erro de truncamento seja proporcional à primeira potência de Δx essa representação de discrepância é chamada de exatidão de primeira ordem Substituindo a Eq 534 na Eq 532 obtemos a seguinte representação discreta para nossa equação do modelo Note que passamos de uma equação diferencial para uma equação algébrica Embora não a tenhamos escrito explicitamente não se esqueça de que o erro nesta representação é OΔx Este método de dedução da equação discreta usando expansões de séries de Taylor é o chamado método de diferenças finitas Saiba que a maioria dos programas computacionais industriais de DFC usa os métodos de discretização por volumes finitos ou elementos finitos uma vez que eles são mais adequados para modelar escoamentos através de geometrias complexas Usaremos o método das diferenças finitas neste texto porque ele é de entendimento mais fácil além disso os conceitos discutidos também se aplicam em outros métodos de discretização Montagem do Sistema Discreto e Aplicação de Condições de Contorno Rearranjando a equação discreta Eq 535 obtemos ui1 1 Δxui 0 A aplicação dessa equação aos pontos i 2 3 4 da malha para 1D na Fig 517 fornece A equação discreta não pode ser aplicada ao contorno esquerdo i 1 pois ui1 u0 não está definido Em vez disso usamos a condição de contorno dada As Eqs 536 formam um sistema de quatro equações algébricas simultâneas com quatro incógnitas u1 u2 u3 e u4 É conveniente escrever esse sistema na forma matricial Em uma situação geral por exemplo domínios 2D ou 3D iríamos aplicar as equações discretas aos pontos da malha no interior do domínio Para pontos da malha sobre ou próximo do contorno aplicaríamos uma combinação das equações discretas e de condições de contorno No final seria obtido um sistema de equações algébricas e simultâneas similar às Eqs 536 e uma equação matricial similar à Eq 537 com o número de equações igual ao número de variáveis discretas independentes O processo é essencialmente o mesmo daquele das equações do modelo anterior com os detalhes obviamente sendo muito mais complexos Solução do Sistema Discreto O sistema discreto Eq 537 para nosso exemplo simples unidimensional pode ser facilmente invertido usando qualquer técnica de álgebra linear de modo a obter as incógnitas nos pontos da malha Para a solução é A solução exata para a Eq 531 com m 1 que pode ser obtida facilmente é uexata ex A Fig 518 mostra a comparação da solução discreta obtida na malha de quatro pontos com a solução exata usando a planilha Excel O erro maior no contorno direito onde ele é igual a 147 Também é mostrado os resultados usando oito pontos N 8 e dezesseis pontos N 16 que discutimos na sequência Em uma aplicação prática de DFC teríamos milhares até mesmo milhões de variáveis no sistema discretizado caso usássemos um procedimento de eliminação de Gauss para inverter os cálculos seria necessário um tempo de computação extremamente grande mesmo com um computador rápido Consequentemente muito trabalho foi dedicado para aperfeiçoar a inversão de matriz de modo a minimizar o tempo de CPU e memória requerida A matriz a ser invertida é esparsa isto é a maior parte das suas entradas são zeros As entradas diferentes de zero são agregadas em torno da diagonal visto que a equação discreta em um ponto da grade contém somente quantidades na vizinhança dos pontos de grade como mostrado na Eq 537 Um programa de DFC armazenaria somente os valores diferentes de zero para minimizar a utilização de memória Esse programa também geralmente usa um procedimento iterativo para inverter a matriz quanto mais iterações mais perto se chega da verdadeira solução para a inversão de matriz Retornaremos a essa ideia mais tarde Fig 518 Comparação da solução numérica obtida para três diferentes malhas com a solução exata Malha de Convergência Ao desenvolver a aproximação por diferenças finitas para o problema do modelo 1D Eq 537 vimos que o erro de truncamento em nosso sistema discreto é OΔx Assim quando aumentamos o número de pontos da malha e reduzimos Δx é esperado que o erro na solução numérica viesse a diminuir e que a concordância entre as soluções numérica e exata fique melhor Vamos considerar o efeito do aumento do número N de pontos da malha na solução numérica do problema 1D Consideraremos N 8 e N 16 em extensão ao caso N 4 resolvido anteriormente Repetimos a montagem anterior e os passos da solução para cada uma dessas novas malhas em vez de termos um problema 4 4 da Eq 537 encontramos com um problema 8 8 e um 16 16 respectivamente A Fig 518 compara os resultados obtidos usando uma planilha Excel em três malhas a solução exata Como era esperado o erro numérico diminui à medida que o número de pontos da malha é aumentado mas isso funciona apenas até certo ponto se fizermos Δx muito pequeno começaremos a acumular erros de arredondamentos e os resultados ficarão piores Quando as soluções numéricas obtidas para diferentes malhas concordam com um nível de tolerância especificada pelo usuário elas são chamadas de soluções de malha convergida É muito importante investigar o efeito de resolução da malha na solução em todo problema de DFC Nunca devemos confiar em uma solução de DFC sem estarmos convencidos de que ela é realmente uma solução de malhaconvergida para um nível de tolerância aceitável que será dependente do problema Seja ε alguma medida de concordância do erro na solução numérica obtida em uma malha específica Para as soluções numéricas na Fig 519 ε é por exemplo estimado como a raiz média quadrática das diferenças RMQ da diferença entre as soluções numérica e exata É razoável esperar que ε Δxn Fig 519 A variação do erro de concordância ε em função de Δx Uma vez que o erro de truncamento em nosso esquema de discretização é OΔx esperamos n 1 ou mais precisamente n 1 quando Δx 0 Os valores de ε para as três malhas estão em escala logarítmica na Fig 519 A inclinação da reta gerada pelo método dos mínimos quadrados fornece o valor de n Para a Fig 519 temos n 092 que é quase igual a 1 Esperamos que conforme a grade é refinada adicionalmente e Δx tornase progressivamente menor o valor de n se aproximará de 1 Para um esquema de segunda ordem esperaríamos n 2 isso significa que o erro da discretização diminui duas vezes com o refinamento da malha Lidando com a Não Linearidade As equações de NavierStokes Eqs 527 contêm termos convectivos não lineares por exemplo na Eq 527a o termo de aceleração convectiva uux υuy wuz tem produtos de u consigo mesmo bem como com υ e w Fenômenos tais como turbulência e reações químicas introduzem não linearidades extras O alto grau de não linearidade das equações de governo para um fluido torna a obtenção de soluções numéricas precisas um grande desafio para escoamentos complexos de interesse prático Demonstraremos o efeito da não linearidade fazendo m 2 em nosso exemplo simples em 1D a Eq 531 Uma aproximação de primeira ordem em diferenças finitas para essa equação análoga àquela na Eq 535 para m 1 é Essa é uma equação algébrica não linear com termo sendo a fonte da não linearidade A estratégia que é adotada para lidar com a não linearidade é linearizar as equações em torno de um valor arbitrado da solução e iteragir até que haja concordância da solução para um nível de tolerância especificada Ilustraremos isso no exemplo seguinte Vamos considerar que ugi seja o valor suposto para ui Assim Δui ui ugi Rearranjando os termos e elevando ao quadrado obtivemos Considerando que podemos desprezar o termo Δui2 resultando Assim A aproximação por diferenças finitas Eq 538 após a linearização em ui fica Como o erro devido à linearização é OΔu2 e que tende a zero quando ug u Para calcular a aproximação por diferenças finitas a Eq 540 precisamos arbitrar valores de ug nos pontos da malha Começamos com um valor inicial na primeira iteração Para cada iteração subsequente o valor u obtido na iteração anterior é usado para realimentar o processo Continuamos com as iterações até que elas convirjam Mais adiante no texto explicaremos como avaliar a convergência A discussão apresentada até aqui é essencialmente o processo usado nos códigos em DFC para linearizar os termos não lineares nas equações de conservação com os detalhes variando de acordo com o código Os pontos importantes a serem destacados são que a linearização é baseada em uma suposição e que essa é necessária para promover as sucessivas aproximações que antecedem a convergência Solucionadores Diretos e Iterativos Vimos que é preciso fazer iterações envolvendo os termos não lineares nas equações de governo Agora vamos discutir outros fatores que são importantes para executar tais iterações em problemas práticos de DFC Como um exercício você pode verificar que o sistema de equações discreto que resulta das aproximações por diferenças finitas da Eq 540 em nossa malha de quatro pontos é Em um problema prático usualmente teríamos de milhares a milhões de pontos de malha ou células de modo que cada dimensão da matriz anterior seria da ordem de um milhão com a maioria dos elementos iguais a zero A inversão direta de tal matriz demandaria uma quantidade proibitiva de memória Em vez disso a matriz é invertida usando um esquema iterativo como discutido na sequência Primeiro devemos rearranjar a aproximação por diferença finita a Eq 540 no ponto da malha i de modo que ui seja expresso em termos dos valores na vizinhança dos pontos da malha e dos valores arbitrados Se um valor vizinho na iteração corrente não está disponível então usamos o valor arbitrado Digamos que vamos percorrer a nossa malha da direita para a esquerda isto é em cada interação utilizamos u4 depois u3 e finalmente u2 Em qualquer iteração ui1 β não está disponível enquanto ui está sendo atualizado de modo que usamos o valor arbitrado ugi 1 em seu lugar Uma vez que usamos os valores arbitrados nos pontos vizinhos estamos efetivamente obtendo apenas uma solução aproximada para a inversão de matriz na Eq 541 durante cada iteração Contudo neste processo reduzimos consideravelmente a memória requerida para a inversão da matriz Esta troca é uma boa estratégia desde que ela não despenda recursos em demasia na geração da matriz inversa à medida que os elementos da matriz são continuamente corrigidos De fato combinamos a iteração para tratar termos não lineares com a iteração da inversão matriz em um processo de iteração único O mais importante é que como as iterações convergem e ug u a solução aproximada para a inversão de matriz tende para a solução exata pois o erro devido ao uso de ug em vez de u na Eq 542 também tende a zero Chegamos à solução sem obter explicitamente o sistema matricial Eq 541 o que simplifica enormemente a implantação computacional Assim a iteração serve a dois propósitos 1 Ela conduz a uma inversão eficiente de matriz com grande redução da memória requerida 2 Ela nos capacita a resolver equações não lineares Em problemas sobre regime permanente uma estratégia comum e efetiva usada em programas de DFC consiste em resolver a parte dinâmica das equações de governo e fazer uma marcha das soluções no tempo até que a solução convirja para um valor do regime permanente Nesse caso cada passo no tempo é efetivamente uma iteração com o valor arbitrado em qualquer instante de tempo sendo dado pela solução no instante de tempo anterior Convergência Iterativa Como vimos quando ug u os erros de linearização e de inversão de matriz tendem a zero A partir desse ponto continuamos com o processo de iteração até que alguma medida selecionada da diferença entre ug e u chamada de resíduo seja suficientemente pequena Poderíamos por exemplo definir o resíduo R como o valor da raiz média quadrática RMQ da diferença entre u e ug na malha É útil criar uma escala para esse resíduo em termos do valor médio de u no domínio Essa escala assegura que o resíduo é um valor relativo e não uma medida absoluta Dividindo o resíduo pelo valor médio de u obtivemos a escala desejada Em nosso exemplo não linear 1D tomaremos o valor inicial arbitrado em todos os pontos da malha como iguais aos valores no contorno esquerdo isto é onde1 significa a primeira iteração Em cada iteração atualizamos ug varrendo a malha da direita para a esquerda para atualizar a sua vez u4 u3 e u2 usando a Eq 542 e calculando o resíduo usando a Eq 543 As iterações terminarão quando o resíduo ficar abaixo de 109 esse valor é denominado critério de convergência A variação do resíduo com iterações é mostrada na Fig 520 Note que uma escala logarítmica é usada para a ordenada O processo iterativo converge a um nível menor que 109 em apenas seis iterações Em problemas mais complexos muito mais iterações seriam necessárias para a convergência ser atingida A solução depois de duas quatro e seis iterações e a solução exata são mostradas na Fig 521 É fácil verificar que a solução exata é dada por Fig 520 História da convergência para o problema do modelo não linear Fig 521 Progressão da solução iterativa As soluções para quatro e seis iterações são indistinguíveis no gráfico Isso é outra indicação que a solução convergiu A solução convergida não concorda bem com a solução exata porque usamos uma malha grosseira para a qual o erro de truncamento é muito grande repetiremos esse problema com malhas mais refinadas através de problemas no final do capítulo O erro de convergência das iterações que é da ordem de 109 é consumido pelo de truncamento que é da ordem de 101 Portanto como o erro de truncamento é da ordem de 101 conduzir o resíduo abaixo de 109 é obviamente um desperdício de recursos computacionais Em um cálculo eficiente ambos os erros seriam estabelecidos em níveis comparáveis e menores que um nível de tolerância que foi escolhido pelo usuário O acordo entre a solução numérica e a solução exata deve tornarse muito melhor com o refinamento da malha como foi o caso linear para m 1 Os vários códigos de DFC usam definições ligeiramente diferentes para o resíduo Você sempre poderá ler os seus tutoriais para entender como o resíduo é calculado Considerações Finais Nesta seção introduzimos algumas formas simples de usar uma planilha eletrônica para a solução numérica de dois tipos de problemas de mecânica dos fluidos Os Exemplos 511 e 512 mostram como certos escoamentos unidimensionais e bidimensionais podem ser calculados Estudamos então alguns conceitos em maiores detalhes tais como os critérios de convergência envolvidos com os métodos numéricos e DFC considerando uma equação diferencial ordinária de primeira ordem Em nosso exemplo simples 1D as iterações convergem muito rapidamente Na prática encontramos muitos exemplos em que o processo iterativo não converge ou converge letargicamente Por isso é útil conhecer a priori as condições sobre as quais um dado esquema numérico converge Isso é determinado efetuando uma análise de estabilidade do esquema numérico A análise de estabilidade de esquemas numéricos e as várias estratégias de estabilização usadas para superar a não convergência são tópicos muito importantes Você deverá estudá los caso queira avançar os estudos em DFC Muitos escoamentos em engenharia são turbulentos caracterizados por grandes flutuações quase aleatórias na velocidade e na pressão tanto no espaço quanto no tempo Em geral escoamentos turbulentos ocorrem no limite de números de Reynolds elevados A maioria dos escoamentos não pode ser resolvida em uma vasta faixa de tempo e comprimento exceto com o uso de computadores potentes Em vez disso podemos resolvêlos para uma média estatística das propriedades do escoamento Para fazer isso é preciso aumentar as equações de governo com um modelo de turbulência Infelizmente não existe um modelo único de turbulência que seja uniformemente válido para todos os escoamentos Assim os pacotes em DFC ajudam você a selecionar um modelo entre tantos existentes Antes de usar um modelo de turbulência você precisa compreender as suas possibilidades e limitações para o tipo de escoamento que está sendo estudado VÍDEO Escoamento em Tubo Completamente Turbulento em inglês Nesta breve introdução procuramos explorar alguns dos conceitos por trás da DFC O desenvolvimento de códigos em DFC é difícil e demanda algum tempo Por isso a maioria dos engenheiros usa pacotes comerciais tais como Fluent 6 e STARCD 7 Esta introdução advertiu você sobre a complexidade destas aplicações Assim um pacote de DFC não é exatamente uma caixa preta de truques de mágica 56 Resumo e Equações Úteis Neste capítulo Deduzimos a formulação diferencial da equação da conservação da massa continuidade na forma vetorial e em coordenadas cilíndricas e retangulares Definimos a função de corrente ψ para um escoamento bidimensional incompressível e aprendemos como deduzir as componentes da velocidade a partir dessa função bem como a determinar ψ a partir do campo de velocidade Aprendemos como obter as acelerações total local e convectiva de uma partícula fluida a partir do campo de velocidade Apresentamos exemplos de translação e rotação de uma partícula fluida e da deformação angular e linear Definimos vorticidade e circulação de um escoamento Deduzimos e resolvemos para casos simples as equações de NavierStokes e discutimos o significado físico de cada termo Introduzimos alguns conceitos básicos sobre as ideias por trás da dinâmica de fluidos computacional Também exploramos ideias do tipo como determinar se um escoamento é incompressível usando o campo de velocidade e dada uma componente da velocidade de um campo de escoamento incompressível e bidimensional como deduzir as outras componentes da velocidade Neste capítulo estudamos os efeitos das tensões viscosas sobre a deformação e a rotação de uma partícula fluida no próximo capítulo examinaremos escoamentos para os quais os efeitos viscosos são desprezíveis Nota A maior parte das Equações Úteis na tabela a seguir possui determinadas restrições ou limitações para usálas com segurança verifique os detalhes no capítulo conforme numeração de referência Equações Úteis Equação da continuidade geral coordenadas retangulares 51a 51b Equação da continuidade incompressível coordenadas retangulares 51c Equação da continuidade regime permanente coordenadas retangulares 51d Equação da continuidade geral coordenadas cilíndricas 52a 51b Equação da continuidade incompressível coordenadas cilíndricas 52b Equação da continuidade regime permanente coordenadas cilíndricas 52c Equação da continuidade 2D incompressível coordenadas retangulares 53 Função de corrente 2D incompressível coordenadas retangulares 54 Equação da continuidade 2D incompressível coordenadas cilíndricas 57 Função de corrente 2D incompressível coordenadas cilíndricas 58 Aceleração de partícula coordenadas retangulares 59 Componentes da aceleração de partícula em coordenadas retangulares 511a 511b 511c Componentes da aceleração de partícula em coordenadas cilíndricas 512a 512b 512c Equações de NavierStokes incompressível viscosidade constante 527a 527b 527c Estudo de Caso Natação Olímpica e Bobsledding Simulação em DFC do escoamento de água sobre uma nadadora típica de elite feminina na posição de planeio mostrando os contornos da tensão de cisalhamento Cortesia da Speedo e Fluent Inc Atletas em muitos esportes de competição estão se valendo da tecnologia para tirar vantagem Nos últimos anos o tecido Fastskin foi desenvolvido pela Speedo Esse material permite os mais baixos arrastos nos maiôs de natação nas competições mundiais O tecido imita os dentículos ásperos da pele de tubarão para reduzir o arrasto em áreas estratégicas do corpo As escamas de tubarão são muito pequenas comparadas àquelas da maioria dos peixes e elas apresentam uma estrutura semelhante a dentes denominados dentículos dérmicos literariamente minúsculos dentes de pele Esses dentículos constituem a forma natural de redução de arrasto no tubarão O projeto detalhado de maiôs de natação foi baseado em testes realizados em um canal de água e em análises de dinâmica de fluido computacional DFC A figura mostra um exemplo do resultado obtido Para otimizar os maiôs os resultados foram usados para guiar a posição das costuras do prendedor que dá a forma ao lado inferior dos antebraços e dos vórtices que se formam no peito nos ombros e nas costas do maiô bem como o posicionamento de diferentes emendas e revestimentos dos tecidos A mesma tecnologia está sendo usada agora para fazer equipamentos de atletas de bobsled e luge em eventos nas Olimpíadas de Inverno Através de testes realizados em túnel de vento o tecido foi modificado para reduzir o arrasto com base na direção do escoamento do ar unicamente para esportes com trenó Os novos equipamentos também eliminam a maior parte da vibração a maior fonte de arrasto no tecido encontrada em outras vestimentas de velocidade Para ambos os esportes de verão e inverno as alterações no projeto da vestimenta realizadas por meio de análises dinâmicas de fluidos experimental e teórica pode fazer a diferença e aumentar a velocidade em alguns pontos percentuais o suficiente para fazer a diferença entre a prata e o ouro Referências 1 Li W H and S H Lam Principles of Fluid Mechanics Reading MA AddisonWesley 1964 2 Daily J W and D R F Harleman Fluid Dynamics Reading MA AddisonWesley 1966 3 Schlichting H BoundaryLayer Theory 7th ed New York McGrawHill 1979 4 White F M Viscous Fluid Flow 3rd ed New York McGrawHill 2000 5 Sabersky R H A J Acosta E G Hauptmann and E M Gates Fluid FlowA First Course in Fluid Mechanics 4th ed New Jersey Prentice Hall 1999 6 Fluent Fluent Incorporated Centerra Resources Park 10 Cavendish Court Lebanon NH 03766 wwwfluentcom 7 STARCD Adapco 60 Broadhollow Road Melville NY 11747 wwwcdadapcocom 8 Chapra S C and R P Canale Numerical Methods for Engineers 5th ed New York McGrawHill 2005 9 Epperson J F An Introduction to Numerical Methods and Analysis rev ed New York Wiley 2007 Problemas Conservação da Massa 51 Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível a u 2x2 y2 x2y υ x3 xy2 4y b u 2xy x2y υ 2xy y2 x2 c u x2t 2y υ xt2 yt d u 2x 4yxt υ 3xyyt 52 Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento tridimensional incompressível a u 2y2 2xz υ 2yz 6x2yz w 3x2z2 x3y4 b u xyzt υ xyzt2 w z2xt2 yt c u x2 2y z2 υ x 2y z w 2xz y2 2z 53 Para um escoamento no plano xy a componente x da velocidade é dada por u Axy B em que A 33 m1 s1 B 18 m e x e y são medidos em ft Encontre uma possível componente y para escoamento em regime permanente e incompressível Ela também é válida para escoamento incompressível não permanente Por quê Quantas são as possíveis componentes y 54 As três componentes da velocidade em um campo de velocidade são dadas por u Ax By Cz υ Dx Ey Fz e w Gx Hy Jz Determine a relação entre os coeficientes de A a J que é necessária para que este seja um possível campo de escoamento incompressível 55 Para um escoamento no plano xy a componente x da velocidade é dada por u 3x2y y3 Encontre uma possível componente y para escoamento em regime permanente e incompressível Ela também é válida para escoamento incompressível em regime não permanente Por quê Quantas são as possíveis componentes y 56 A componente x da velocidade em um campo de escoamento em regime permanente e incompressível no plano xy é u Ax em que A 2 m2s e x é medido em metros Determine a mais simples componente y da velocidade para este campo de escoamento 57 A componente y da velocidade em um campo de escoamento em regime permanente e incompressível no plano xy é υ Axyx2 y2 em que A 3 m3 s1 e x e y são medidos em metros Determine a mais simples componente x da velocidade para este campo de escoamento 58 A componente x da velocidade em um campo de escoamento em regime permanente e incompressível no plano xy é Mostre que a expressão mais simples para a componente x da velocidade é 59 A componente x da velocidade em um campo de escoamento em regime permanente e incompressível no plano xy é u Aexbcosyb em que A 10 ms e b 5 m e x e y são medidos em metros Determine a mais simples componente y da velocidade para este campo de escoamento 510 Uma aproximação grosseira para a componente x da velocidade em uma camadalimite laminar e incompressível é uma variação linear de u 0 na superfície y 0 até a velocidade de corrente livre U na borda da camadalimite y δ A equação do perfil é u Uyδ em que δ cx12 sendo c uma constante Mostre que a expressão mais simples para a componente y da velocidade é υ uy4x Avalie o valor máximo da razão υU em um local em que x 05 m e δ 5 mm 511 Uma aproximação útil para a componente x da velocidade em uma camadalimite laminar e incompressível é uma variação parabólica de u 0 na superfície y 0 até a velocidade de corrente livre U na borda da camadalimite y δ A equação do perfil é uU 2πyδ yδ2 em que δ cx12 sendo c uma constante Mostre que a expressão mais simples para a componente y da velocidade é Trace υU em função de yδ e determine o local do máximo valor da razão υU Determine a razão em que δ 5 mm e x 05 m 512 Uma aproximação útil para a componente x da velocidade em uma camadalimite laminar e incompressível é uma variação senoidal de u 0 na superfície y 0 até a velocidade de corrente livre U na borda da camadalimite y δ A equação do perfil é u U senπy2δ em que δ cx12 sendo c uma constante Mostre que a expressão mais simples para a componente y da velocidade é Trace υU e υU em função de yδ e determine o local do máximo valor da razão υU Avalie a razão em que x 05 m e δ 5 mm 513 Uma aproximação útil para a componente x da velocidade em uma camadalimite laminar e incompressível é uma variação cúbica de u 0 na superfície y 0 até a velocidade de corrente livre U na borda da camadalimite y δ A equação do perfil é em que δ cx12 sendo c uma constante Deduza a expressão mais simples para δ U a componente y da razão de velocidades Trace uU e υ U em função de yδ e determine o local do máximo valor da razão υU Avalie a razão na qual δ 5 mm e x 05 m 514 Para um escoamento no plano xy a componente da velocidade em x é dada por u Ax2y2 em que A 03 m3 s1 e x e y são medidos em metros Determine uma possível componente y para escoamento em regime permanente e incompressível Ela é válida também para um escoamento não permanente incompressível Por quê Quantas possíveis componentes y existem Determine a equação da linha de corrente para a mais simples componente y da velocidade Trace as linhas de corrente que passam pelos pontos 1 4 e 2 4 515 A componente y da velocidade em um campo de escoamento em regime permanente e incompressível no plano xy é υ Bxy3 em que B 02 m3 s1 e x e y são medidos em metros Encontre a mais simples componente x da velocidade para este campo de escoamento Determine a equação da linha de corrente para este escoamento Trace as linhas de corrente que passam pelos pontos 1 4 e 2 4 516 Considere um jato dágua saindo de um irrigador oscilatório de gramados Descreva as trajetórias e as linhas de emissão correspondentes 517 Deduza a forma diferencial da conservação da massa em coordenadas retangulares por expansão em série de Taylor em torno do ponto O dos produtos da massa específica pelas componentes da velocidade ρu ρυ e ρw Mostre que o resultado é idêntico à Eq 51a 518 Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento incompressível a Vr U cos θ Vθ U sen θ b Vr q2πr Vθ K2πr c Vr U cos θ 1 ar2 Vθ U sen θ1 ar2 519 Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento incompressível a Vr Kr Vθ 0 b Vr 0 Vθ Kr c Vr K cos θr2 Vθ K sen θr2 520 Para um escoamento incompressível no plano rθ a componente r da velocidade é dada por Vr U cos θ a Determine uma possível componente θ da velocidade b Quantas possíveis componentes θ existem 521 Para um escoamento incompressível no plano rθ a componente r da velocidade é dada por Vr Λcos θr2 Determine uma possível componente θ da velocidade Quantas possíveis componentes θ existem 522 Um líquido viscoso é submetido a cisalhamento entre dois discos paralelos de raio R um dos quais gira enquanto o outro permanece fixo O campo de velocidade é puramente tangencial e a velocidade varia linearmente com z de Vθ 0 em z 0 o disco fixo até a velocidade do disco rotativo na sua superfície z h Deduza uma expressão para o campo de velocidade entre os discos 523 Avalie em coordenadas cilíndricas Use a definição de Δ em coordenadas cilíndricas Substitua o vetor velocidade e aplique o operador gradiente usando a informação da nota 1 de rodapé Agrupe termos e simplifique mostre que o resultado é idêntico à Eq 52c Função de Corrente para Escoamento Incompressível Bidimensional 524 Um campo de velocidade em coordenadas cilíndricas é dado por em que A e B são constantes com dimensões de m2s Isso representa um possível escoamento incompressível Trace a linha de corrente que passa pelo ponto r0 1 m θ 90º se A B 1 m2s se A 1 m2s e B 0 e se B 1 m2s e A 0 Exemplo 57 é Determine a função de corrente para este escoamento Localize a linha de corrente que divide a vazão volumétrica total em duas partes iguais 526 Determine a família de funções ψ que resultará do campo de velocidade 527 O campo de velocidade do Problema 524 representa um possível caso de escoamento incompressível Se afirmativo avalie e trace a função de corrente para o escoamento Se negativo avalie a taxa de variação da massa específica no campo de escoamento 528 A função de corrente para certo campo de escoamento incompressível é dada pela expressão ψ Ur sen θ qθ2π Obtenha uma expressão para o campo de velocidade Encontre os pontos de estagnação em que e mostre que ali ψ 0 529 Considere um escoamento com as componentes da velocidade u z3x2 z2 υ 0 e w xx2 3z2 a Este escoamento é uni bi ou tridimensional b Demonstre se este é um escoamento incompressível ou compressível c Se possível deduza uma função de corrente para este escoamento 530 Um campo de escoamento incompressível sem atrito é especificado pela função de corrente ψ 5Ax 2Ay em que A 2 ms e x e y são coordenadas em metros a Esboce as linhas de corrente ψ 0 e ψ 5 e indique a direção do vetor velocidade no ponto 0 0 em um desenho esquemático b Determine o módulo da vazão volumétrica entre as linhas de corrente que passam pelos pontos 2 2 e 4 1 531 Um perfil de velocidade linear foi usado para modelar o escoamento em uma camadalimite laminar e incompressível no Problema 510 Deduza a função de corrente para este campo de escoamento Localize as linhas de corrente a um quarto e a um meio da vazão volumétrica total na camadalimite 532 Um perfil de velocidade parabólico foi usado para modelar o escoamento em uma camadalimite laminar e incompressível no Problema 511 Deduza a função de corrente para este campo de escoamento Localize as linhas de corrente a um quarto e a um meio da vazão volumétrica total na camadalimite 533 Deduza a função de corrente que representa a aproximação senoidal usada para modelar a componente x da velocidade na camadalimite do Problema 512 Localize as linhas de corrente a um quarto e a um meio da vazão volumétrica total na camada limite 534 Um perfil cúbico de velocidade foi usado para modelar o escoamento em uma camadalimite laminar e incompressível no Problema 513 Deduza a função de corrente para este campo de escoamento Localize as linhas de corrente a um quarto e a um meio da vazão volumétrica total na camadalimite Exemplo 56 pelo campo de velocidade Determine a função de corrente para este escoamento Avalie a vazão em volume por unidade de profundidade entre r1 010 m e r2 012 m se ω 05 rads Esboce o perfil de velocidade ao longo de uma linha de θ constante Confira a vazão em volume calculada a partir da função de corrente integrando o perfil de velocidade ao longo dessa linha 536 Em um escoamento unidimensional e paralelo na direção positiva de x a velocidade varia linearmente de zero em y 0 até 30 ms em y 15 m Determine uma expressão para a função de corrente ψ Determine também a coordenada y acima da qual a vazão volumétrica é a metade da total entre y 0 e y 15 m Exemplo 56 mostrou que o campo de velocidade para um vórtice livre no plano rθ é Determine a função de corrente para este escoamento Avalie a vazão em volume por unidade de profundidade entre r1 020 m e r2 024 m se C 03 m2s Esboce o perfil de velocidade ao longo de uma linha de θ constante Confira a vazão calculada a partir da função de corrente integrando o perfil de velocidade ao longo dessa linha Movimento de uma Partícula Fluida Cinemática 538 Considere o campo de escoamento dado por Determine a o número de dimensões do escoamento b se ele é um possível escoamento incompressível e c a aceleração de uma partícula fluida no ponto x y z 1 2 3 539 Considere o campo de velocidade no plano xy dado por em que A 025 m3 s1 e as coordenadas são medidas em metros Este é um possível campo de escoamento incompressível Calcule a aceleração de uma partícula fluida no ponto x y 2 1 540 Considere o campo de escoamento dado por em que a 2 m2 s1 b 2 s1 e c 1 m1 s1 Determine a o número de dimensões do escoamento b se ele é um possível escoamento incompressível e c a aceleração de uma partícula fluida no ponto x y z 2 1 3 541 A componente x da velocidade em um campo de escoamento em regime permanente incompressível no plano xy é u Ax5 10x3y2 5xy4 em que A 2 m4 s1 e x é medido em metros Encontre a mais simples componente y da velocidade deste campo de escoamento Avalie a aceleração de uma partícula fluida no ponto x y 1 3 542 O campo de velocidade em uma camadalimite laminar é dado pela expressão Nesta expressão A 141 m12 e U 0240 ms é a velocidade da corrente livre Mostre que este campo de velocidade representa um possível escoamento incompressível Calcule a aceleração de uma partícula fluida no ponto x y 05 m 5 mm Determine a inclinação da linha de corrente através desse ponto 543 Um escoamento em onda de um fluido incompressível em uma superfície sólida segue um modelo senoidal O escoamento é bidimensional com o eixo x normal à superfície e o eixo y ao longo da parede A componente x do escoamento segue o modelo Determine a componente y do escoamento υ e as componentes convectiva e local do vetor aceleração 544 A componente y da velocidade em um campo de escoamento bidimensional incompressível é dada por υ Axy em que υ é em ms x e y são em metros e A é uma constante dimensional Não há componente ou variação de velocidade na direção z Determine as dimensões da constante A Determine a mais simples componente x da velocidade neste campo de escoamento Calcule a aceleração de uma partícula fluida no ponto x y 1 2 545 Considere o campo de velocidade no plano xy dado por em que A 10 m2s e x e y são medidos em metros Este é um possível campo de escoamento incompressível Deduza uma expressão para a aceleração do fluido Avalie a velocidade e a aceleração ao longo do eixo x do eixo y e ao longo da linha definida por y x O que você pode concluir sobre este escoamento 546 Um líquido incompressível com viscosidade desprezível escoa em regime permanente no interior de um tubo horizontal de diâmetro constante Em uma seção porosa de comprimento L 03 m líquido é removido a uma taxa constante por unidade de comprimento de modo que a velocidade axial no tubo é ux U1 x2L em que U 5 ms Desenvolva uma expressão para a aceleração de uma partícula fluida ao longo da linha de centro da seção porosa 547 Um líquido incompressível com viscosidade desprezível escoa através de um tubo horizontal O escoamento é permanente O diâmetro do tubo varia linearmente de 10 cm até 25 cm ao longo de um comprimento de 2 m Desenvolva uma expressão para a aceleração de uma partícula fluida ao longo da linha central do tubo Trace um gráfico da velocidade e da aceleração na linha central versus a posição ao longo do tubo se a velocidade na linha central for igual a 1 ms 548 Considere o escoamento de ar de baixa velocidade entre dois discos paralelos conforme mostrado Suponha que o escoamento é incompressível e não viscoso e que a velocidade é puramente radial e uniforme em qualquer seção A velocidade do escoamento é V 15 ms em R 75 mm Simplifique a equação da continuidade para uma forma aplicável a este campo de escoamento Mostre que uma expressão geral para o campo de velocidade é para ri r R Calcule a aceleração de uma partícula fluida em r ri e r R 549 Resolva o Problema 4123 para mostrar que a velocidade radial na folga estreita é Vr Q2πrh Deduza uma expressão para a aceleração de uma partícula fluida na folga 550 Como uma das etapas de um estudo sobre poluição um modelo da concentração c em função da posição x foi desenvolvido em que a concentração é dada por cx Aex2a exa em que A 3 105 ppm partes por milhão e a 1 m Trace o gráfico desta concentração desde x 0 até x 10 m Se um veículo com um sensor de poluição viaja através desta atmosfera a u U 20 ms desenvolva uma expressão para a taxa de concentração medida da mudança de c com o tempo e trace um gráfico usando esses dados a Em qual localização o sensor indicará a maior taxa de mudança b Qual é o valor dessa taxa de mudança 551 Após uma chuva a concentração de sedimentos em um certo ponto de um rio aumenta à taxa de 100 partes por milhão ppm por hora Além disso a concentração de sedimentos aumenta com a distância rio abaixo como resultado do recebimento de correntes tributárias este aumento é de 30 ppm por quilômetro Neste ponto a corrente de água flui a 08 kmh Um barco é usado para inspecionar a concentração de sedimentos O operador fica surpreso ao descobrir três taxas aparentes de variação de sedimentos quando o barco sobe o rio ou se deixa levar pela corrente ou desce o rio Explique fisicamente por que as diferentes taxas são observadas Se a velocidade do barco é de 4 kmh calcule as três taxas de variação 552 Quando um avião voa através de uma frente fria um instrumento de bordo indica que a temperatura ambiente cai à taxa de 028ºC por minuto Outros instrumentos mostram uma velocidade no ar de 154 ms e uma taxa de subida de 18 ms A frente fria é estacionária e verticalmente uniforme Calcule a taxa de variação da temperatura com respeito a distância horizontal através da frente fria 553 Um avião voa para o norte a 480 kmh em relação ao solo Sua taxa de subida é 15 ms O gradiente vertical de temperatura é 56ºC por 1 quilômetro de altitude A temperatura do solo varia com a posição através de uma frente fria caindo a uma razão de 0345ºC por quilômetro Calcule a taxa de variação da temperatura mostrada por um registrador a bordo da aeronave 554 Um escoamento em onda de um fluido incompressível em uma superfície sólida segue um modelo senoidal O escoamento é axissimétrico em torno do eixo z o qual é normal à superfície A componente z do escoamento segue o modelo Determine a a componente radial do escoamento Vr e b as componentes convectiva e local do vetor aceleração 555 Expanda em coordenadas retangulares pela substituição direta do vetor velocidade para obter a aceleração convectiva de uma partícula fluida Verifique os resultados dados nas Eqs 511 556 Um campo de velocidade bidimensional permanente é dado por em que A 1 s1 Mostre que as linhas de corrente para este escoamento são hipérboles retangulares xy C Obtenha uma expressão geral para a aceleração da partícula neste campo de velocidade Calcule a aceleração das partículas fluidas nos pontos em que x e y são medidos em metros Trace as linhas de corrente que correspondem a C 01 e 2 m2 e mostre os vetores aceleração sobre o gráfico das linhas de corrente 557 Um campo de velocidade é representado pela expressão em que A 02 s1 B 06 m s1 e as coordenadas são medidas em metros Obtenha uma expressão geral para a aceleração da partícula neste campo de velocidade Calcule a aceleração das partículas fluidas nos pontos 1 2 e 2 4 Trace algumas linhas de corrente no plano xy Mostre os vetores de aceleração sobre o gráfico das linhas de corrente 558 Um campo de velocidade é dado por em que A 2 s1 B 4 m s1 D 5 m s2 e as coordenadas são medidas em metros Determine o valor próprio para C se o escoamento é incompreensível Calcule a aceleração de uma partícula fluida localizada no ponto x y 3 2 Esboce algumas linhas de corrente do escoamento no plano xy 559 Um perfil de velocidade aproximadamente linear foi usado no Problema 510 para modelar uma camadalimite laminar e incompressível sobre uma placa plana Para este perfil obtenha expressões para as componentes x e y da aceleração de uma partícula fluida na camadalimite Localize as componentes x e y da aceleração de módulos máximos Calcule a razão entre o módulo máximo da aceleração em x e o módulo máximo da aceleração em y para as condições de escoamento do Problema 510 560 Um perfil de velocidade aproximadamente parabólico foi usado no Problema 511 para modelar o escoamento em uma camadalimite laminar e incompressível sobre uma placa plana Para este perfil encontre a componente x da aceleração ax de uma partícula fluida dentro da camadalimite Trace ax para a posição x 08 m em que δ 12 mm para um escoamento com U 6 ms Determine o máximo valor de ax nesta posição x 561 Mostre que o campo de velocidade do Problema 218 representa um possível campo de escoamento incompressível Determine e trace a linha de corrente passando pelo ponto x y 2 4 em t 15 s Para a partícula no mesmo ponto e instante mostre sobre o gráfico o vetor velocidade e os vetores representando as acelerações total local e convectiva 562 Um perfil de velocidade aproximadamente senoidal foi usado no Problema 512 para modelar o escoamento em uma camada limite laminar e incompressível sobre uma placa plana Para este perfil obtenha expressões para as componentes x e y da aceleração de uma partícula fluida na camadalimite Trace axeay para a posição x 1 m em que δ 1 mm para um escoamento com U 5 ms Encontre os máximos de axeay nesta posição x 563 Ar escoa em uma folga estreita de altura h entre duas placas paralelas muito próximas através de uma superfície porosa conforme mostrado Use um volume de controle com superfície externa localizada na posição r para mostrar que a velocidade uniforme na direção r é V υ0r2h Encontre uma expressão para a componente da velocidade na direção z υ0 V Avalie a aceleração de uma partícula fluida na folga 564 O campo de velocidade para um escoamento permanente e não viscoso da esquerda para a direita sobre um cilindro circular de raio R é dado por Obtenha expressões para a aceleração de uma partícula fluida movendo ao longo da linha de corrente de estagnação θ π e para a aceleração ao longo da superfície do cilindro r R Trace um gráfico de ar como uma função de rR para θ π e outro de ar como função de θ para r R trace um gráfico de aθ como uma função de θ para r R Comente sobre os gráficos Determine os locais em que estas acelerações atingem valores máximo e mínimo 565 Ar escoa em uma folga estreita de altura h entre dois discos paralelos muito próximos através de uma superfície porosa conforme mostrado Use um volume de controle com superfície externa localizada na posição x para mostrar que a velocidade uniforme na direção r é u υ0xh Encontre uma expressão para a componente da velocidade na direção y Avalie as componentes da aceleração de uma partícula fluida na folga 566 Considere o escoamento incompressível de um fluido através de um bocal conforme mostrado A área do bocal é dada por A A01 bx e a velocidade de entrada varia de acordo com U U005 05cos ωt em que A0 05 m2 L 5 m b 01 m1 w 016 rads e U0 5 ms Determine e trace um gráfico da aceleração na linha central usando o tempo como parâmetro 567 Considere novamente o campo de velocidade bidimensional em regime permanente do Problema 556 Obtenha expressões para as coordenadas de partícula xp f1t e yp f2t como funções do tempo e da posição inicial da partícula x0 y0 em t 0 Determine o tempo requerido para a partícula deslocar da sua posição inicial para as posições Compare as acelerações da partícula determinadas pela derivação de f1t e f2t com aquelas obtidas no Problema 556 568 Considere o escoamento unidimensional e incompressível através do duto circular mostrado A velocidade na seção é dada por U U 0 U 1 sen ωt em que U 0 20 ms U 1 2 ms e ω 03 rads As dimensões do duto são L 1 m R1 02 m e R2 01 m Determine a aceleração da partícula na saída do duto Trace um gráfico dos resultados como uma função do tempo para um ciclo completo Sobre o mesmo gráfico mostre a aceleração na saída do duto se esse apresentar área constante em vez de convergente e explique a diferença entre as curvas 569 Quais se existir algum dos seguintes campos de escoamento são irrotacionais a u 2x2 y2 x2y υ x3 xy2 2y b u 2xy x2 y υ 2xy y2 x2 c u xt 2y υ xt2 yt d u x 2yxt υ 2x yyt 570 Expanda em coordenadas cilíndricas pela substituição direta do vetor velocidade para obter a aceleração convectiva de uma partícula fluida Lembrese de reler a nota 1 de rodapé Compare os resultados com as Eqs 512 571 Considere novamente o perfil de velocidade senoidal usado para modelar a componente x velocidade para a camadalimite no Problema 512 Despreze a componente vertical da velocidade Avalie a circulação sobre o contorno limitado por x 04 m x 06 m y 0 e y 8 mm Quais seriam os resultados dessa avaliação se ela fosse feita 02 m mais a jusante Considere U 05 ms 572 Considere o campo de velocidade para escoamento em um canto com A 03 s1 como no Exemplo 58 Avalie a circulação sobre o quadrado unitário do Exemplo 58 573 Um escoamento é representado pelo campo de velocidade Determine se o campo é a um possível escoamento incompressível e b irrotacional 574 Considere o campo de escoamento bidimensional no qual u Ax2 e υ Bxy em que A 16 m1 s1 B 33 m1 s1 e as coordenadas são medidas em ft Mostre que este campo de velocidade representa um possível escoamento incompressível Determine a rotação no ponto x y 03 03 Avalie a circulação sobre a curva delimitada por y 0 x 03 y 03 e x 0 575 Considere o campo de escoamento bidimensional no qual u Axy e ψ By2 em que A 1 m1 s1 B 12 m1 s1 e as coordenadas são medidas em metros Mostre que este campo de velocidade representa um possível escoamento incompressível Determine a rotação no ponto x y 1 1 Avalie a circulação sobre a curva delimitada por y 0 x 1 y 1 e x 0 576 Considere o campo de escoamento representado pela função de corrente ψ 3x5y 10x3y3 3xy5 Esse é um possível escoamento bidimensional incompressível O escoamento é irrotacional 577 Considere o campo de escoamento representado pela função de corrente ψ x6 15x4y2 15x2y4 y6 Esse é um possível escoamento bidimensional incompressível O escoamento é irrotacional 578 Considere um campo de velocidade para um movimento paralelo ao eixo x com cisalhamento constante A taxa de cisalhamento é dudy A em que A 01 s1 Obtenha uma expressão para o campo de velocidade Calcule a taxa de rotação Avalie a função de corrente para este campo de escoamento 579 Considere o campo de escoamento representado pela função de corrente ψ A2x2 y2 em que A é constante Esse é um possível escoamento bidimensional incompressível O escoamento é irrotacional 580 Considere o campo de escoamento representado pela função de corrente ψ Axy Ay2 em que A 1 s1 Mostre que este campo de velocidade representa um possível escoamento incompressível Avalie a rotação do escoamento Trace algumas linhas de corrente no semiplano superior 581 Um campo de escoamento é representado pela função de corrente ψ x2 y2 Determine o campo de velocidade correspondente Mostre que este campo de escoamento é irrotacional Trace diversas linhas de corrente e ilustre o campo de velocidade 582 Considere o campo de velocidade dado por em que A 33m1 s1 B 66m1 s1 e as coordenadas são medidas em ft a Determine a rotação do fluido b Avalie a circulação sobre a curva delimitada por y 0 x 03 y 03 e x 0 c Obtenha uma expressão para a função de corrente d Trace diversas linhas de corrente no primeiro quadrante 583 Considere o escoamento representado pelo campo de velocidade em que A 10 s1 B 3 ms e as coordenadas são medidas em metros a Obtenha uma expressão para a função de corrente b Trace algumas linhas de corrente incluindo a linha de corrente de estagnação no primeiro quadrante c Avalie a circulação sobre a curva delimitada por y 0 x 1 y 1 e x 0 584 Considere novamente o escoamento viscométrico do Exemplo 57 Avalie a taxa média de rotação de um par de segmentos de linha perpendiculares orientados a 45 em relação ao eixo x Mostre que os resultados são os mesmos do exemplo 585 Considere o escoamento induzido por pressão entre placas paralelas e estacionárias separadas pela distância b A coordenada y é medida a partir da placa inferior O campo de velocidade é dado por u Uyb1 yb Obtenha uma expressão para a circulação sobre o contorno fechado de altura h e comprimento L Avalie para h b2 e para h b Mostre que o mesmo resultado é obtido a partir da integral de área do Teorema de Stokes Eq 518 586 O campo de velocidade perto do núcleo de um furacão pode ser aproximado por Este é um campo de escoamento irrotacional Obtenha a função de corrente para este escoamento 587 O perfil de velocidade para o escoamento inteiramente desenvolvido em um tubo circular é Vz Vmáx1 rR2 Avalie as taxas de deformação linear e angular para este escoamento Obtenha uma expressão para o vetor vorticidade 588 Considere o escoamento induzido por pressão entre placas paralelas e estacionárias separadas pela distância 2b A coordenada y é medida a partir da linha de centro do canal entre as placas O campo de velocidade é dado por u umáx1 yb2 Avalie as taxas de deformação linear e angular Obtenha uma expressão para o vetor vorticidade Determine o local onde a vorticidade é máxima Equação da Quantidade de Movimento 589 Considere um escoamento em regime permanente laminar incompressível completamente desenvolvido entre duas placas planas infinitas conforme mostrado O escoamento ocorre devido ao movimento da placa esquerda bem como de um gradiente de pressão que é aplicado na direção y Dadas as condições de que w 0 e que a aceleração gravitacional age na direção negativa de y prove que u 0 e que o gradiente de pressão na direção y deve ser constante 590 Considere que o filme líquido no Exemplo 59 não é isotérmico mas possui a seguinte distribuição em que T0 e Tw são respectivamente a temperatura ambiente e a temperatura da parede A viscosidade do fluido decresce com o aumento da temperatura e é considerado descrito por com a 0 De forma similar ao Exemplo 59 deduza uma expressão para o perfil de velocidade 591 A componente x da velocidade em uma camadalimite laminar na água é aproximada por u U sen πy2δ em que U 3 ms e δ 2 mm A componente y da velocidade é muito menor que u Obtenha uma expressão para a força de cisalhamento resultante sobre um elemento fluido por unidade de volume na direção x Calcule o seu valor máximo para este escoamento 592 Um perfil de velocidade linear foi usado para modelar o escoamento em uma camadalimite laminar incompressível no Problema 510 Expresse a rotação de uma partícula fluida Localize a taxa máxima de rotação Expresse a taxa de deformação angular de uma partícula fluida Localize a taxa máxima de deformação angular Expresse as taxas de deformação linear de uma partícula fluida Localize as taxas máximas de deformação linear Expresse a força de cisalhamento por unidade de volume na direção x Localize a força de cisalhamento máxima por unidade de volume interprete este resultado 593 O Problema 435 deu o perfil de velocidade para um escoamento laminar inteiramente desenvolvido em um tubo circular como u umáx1 rR2 Obtenha uma expressão para a força de cisalhamento por unidade de volume na direção x Avalie o seu máximo valor para as condições do Problema 435 594 Considere que o filme líquido no Exemplo 59 é horizonte isto é θ 0º e que o escoamento é acionado por uma tensão de cisalhamento constante sobre a superfície superior y h πyx C Considere que o filme de líquido é bastante fino e plano e que o escoamento é completamente desenvolvido com vazão líquida igual a zero vazão Q 0 Determine o perfil de velocidade uy e o gradiente de pressão dpdx 595 Considere um microcanal plano com largura h conforme mostrado o microcanal realmente é muito longo na direção x e aberto em ambas extremidades Um sistema de coordenadas Cartesianas com a sua origem posicionada no centro do microcanal é usado neste estudo O microcanal é preenchido com uma solução de baixa condutividade elétrica Quando uma corrente elétrica é aplicada através das duas paredes condutivas a densidade de corrente elétrica transmitida através da solução é paralela ao eixo y Todo este dispositivo é colocado em um campo magnético constante que está apontado para fora do plano xy a direção z como mostrado A interação entre a densidade de corrente elétrica e o campo magnético induz uma força de Lorentz de densidade Considere que a solução condutiva é incompressível e uma vez que o volume de amostragem é muito pequeno em aplicações em um laboratório integrado em um chip a força de campo gravitacional pode ser desprezada Em regime permanente o escoamento acionado pela força de Lorentz é descrito pela equação da continuidade Eq 51a e pelas equações de NavierStokes Eqs 527 exceto as componentes x y e z das equações de NavierStokes que possuem componentes da força de Lorentz extra no lado direito Considerando que o escoamento é completamente desenvolvido e que o campo de velocidade é uma função somente de y determine as três componentes da velocidade 596 O processo da reação em cadeia da polimerase comum térmica PCR requer a ciclagem dos reagentes através das três temperaturas distintas para desnaturação 9094ºC recozimento 5055ºC e extensão 72ºC Em reatores PCR de escoamento contínuo as temperaturas das três zonas térmicas são mantidas fixas enquanto os reagentes são ciclados continuamente através destas zonas Estas variações de temperaturas induzem variações significativas nas massas específicas dos fluidos que sob condições apropriadas podem ser usados para gerar movimento de fluido A figura representa um dispositivo PCR baseado em termossifão Chen et al 2004 Analytical Chemistry 76 37073715 O circuito fechado é preenchido com reagentes PCR O plano do circuito é inclinado em um ângulo α com relação à vertical O circuito é cercado por três aquecedores e resfriadores que mantêm as diferentes temperaturas a Explique por que o fluido circula automaticamente no circuito fechado ao longo do sentido antihorário b Qual é o efeito do ângulo α sobre a velocidade do fluido 597 Escoamento eletroosmótico EOF é o movimento de líquido induzido por um campo elétrico aplicado através de um tubo capilar ou microcanal carregado com energia elétrica Considere que a parede do canal está negativamente carregada uma camada final chamada camada dupla elétrica EDL na sigla em inglês se forma na vizinhança da parede do canal na qual o número de íons positivos é muito maior do que o número de íons negativos Os íons carregados negativamente na EDL arrastam então juntamente consigo a solução eletrolítica e causam o escoamento do fluido em direção ao cátodo A espessura da EDL tem valor típico da ordem de 10 nm Quando as dimensões do canal são muito maiores do que a espessura da EDL existirá uma velocidade de deslizamento sobre a parede do canal em que ε é a permissividade do fluido ζ é o potencial elétrico da superfície negativa é a intensidade do campo elétrico e µ é a viscosidade dinâmica do fluido Considere um microcanal formado por duas placas paralelas As paredes do canal possuem um potencial elétrico de superfície negativo de ζ O microcanal é preenchido com uma solução eletrolítica e as extremidades do microcanal são submetidas a uma diferença de potencial elétrico que dá origem a um campo elétrico uniforme de magnitude E ao longo da direção x O gradiente de pressão no canal é zero Deduza a velocidade do escoamento eletroosmótico em regime permanente completamente desenvolvido Compare o perfil de velocidade do EOF com aquele do escoamento devido a um diferencial de pressão Calcule a velocidade do EOF usando ε 708 1010 CV1m1 ζ 01 V µ 103 Pa s e E 1000 Vm Introdução à Dinâmica dos Fluidos Computacional DFC 598 Um tanque contém água 20ºC a uma profundidade inicial y0 1 m O diâmetro do tanque é D 250 mm e um tubo de diâmetro d 3 mm e comprimento L 4 m é anexado ao fundo do tanque Para escoamento laminar um modelo razoável para o nível de água em função do tempo é Usando os métodos de Euler com passos temporais de 12 min e de 6 min a Estime a profundidade de água após 120 min e calcule os erros comparados com a solução exata b Trace um gráfico com os resultados do método de Euler e da solução exata 599 Use o método de Euler para resolver e traçar o gráfico de x 0 a x π2 usando passo espacial de π48 π96 π144 Trace também um gráfico com a solução exata yx senx e calcule os erros em x π2 para as soluções obtidas pelo método de Euler 5100 Use uma planilha Excel para gerar a solução da Eq 531 para m 1 mostrada na Fig 518 Para fazer isso você precisa aprender a resolver sistemas de equações algébricas lineares em uma planilha Excel Por exemplo para N 4 você terminará com a equação matricial da Eq 537 Para resolver essa equação para os valores de u você terá que calcular a matriz inversa 4 4 e então multiplicar essa matriz inversa pela matriz 4 1 no lado direito da equação Na planilha Excel para fazer operações matriciais use as seguintes regras préselecione as células que conterão o resultado use a função arranjo do Excel veja detalhes na ajuda do Excel aperte Ctrl Shift Enter e não somente Enter Por exemplo para inverter a matriz 4 4 você deve préselecionar uma tabela em branco 4 4 que conterá a matriz inversa digitar minversa tabela contendo a matriz a ser invertida apertar Ctrl Shift Enter Para multiplicar uma matriz 4 4 por uma matriz 4 1 você deve préselecionar uma tabela em branco 4 4 que conterá o resultado digitar mmulttabela contendo a matriz 4 4 tabela contendo a matriz 4 1 apertar Ctrl Shift Enter 5101 Seguindo os passos para converter a equação diferencial Eq 531 para m 1 em uma equação por diferenças por exemplo Eq 537 para N 4 resolva para N 4 8 e 16 e compare com a solução exata Sugestão Siga as regras para operações matriciais do Excel descritas no Problema 5100 Apenas o lado direito das equações por diferenças mudarão comparado ao método de solução da Eq 531 por exemplo apenas o lado direito da Eq 537 precisa de modificação 5102 Seguindo os passos para converter a equação diferencial Eq 531 para m 1 em uma equação por diferenças por exemplo Eq 537 para N 4 resolva Para N 4 8 e 16 e compare com a solução exata uexata 2x2 3x 3 Sugestão Siga as orientações dadas no Problema 5101 5103 Um cubo de aresta 50 mm e de massa M 3 kg está deslizando através de uma superfície recoberta com óleo A viscosidade do óleo é μ 045 N sm2 e a espessura de óleo entre o cubo e a superfície é δ 02 mm Se a velocidade inicial do bloco for u0 1 ms use o método numérico que foi aplicado à forma linear da Eq 531 para prever a velocidade do cubo para o 1º segundo do movimento Use N 4 8 e 16 e compara com a solução exata uexata u0eAμMδt em que A é a área de contato Sugestão Siga as orientações dadas no Problema 5101 5104 Use a planilha Excel para gerar soluções da Eq 531 para m 2 como mostradas na Fig 521 5105 Use a planilha Excel para gerar soluções da Eq 531 para m 2 como mostradas na Fig 521 exceto o uso de 16 pontos e a necessidade de tantas iterações para obter uma convergência razoável 5106 Use a planilha Excel para gerar soluções da Eq 531 para m 1 com u0 3 usando 4 e 16 pontos sobre o intervalo de x 0 a x 3 com suficientes iterações e compare à solução exata Para fazer isso siga os passos descritos na seção Lidando com a não linearidade 5107 Um engenheiro ambiental solta uma sonda de medição de poluição com uma massa de 44 kg em um rio com grande correnteza a velocidade da água no rio é U 75 ms A equação do movimento para sua velocidade u é em que k 0958 kgm é uma constante indicando o arrasto da água Use a planilha Excel para gerar e traçar um gráfico da sua velocidade em função do tempo para os primeiros 10 s usando as mesmas aproximações da Eq 531 para m 2 como mostradas na Fig 521 exceto o uso de 16 pontos e a necessidade de tantas iterações para obter uma convergência razoável Compare os seus resultados com a solução exata Sugestão Use uma substituição para U u de modo que a equação do movimento fique semelhante à Eq 531 Embora tenhamos optado pela sigla DFC a sigla inglesa CFD computational fluid dynamics é bastante difundida entre os profissionais e os estudantes no Brasil NT 1Para avaliar ρ em coordenadas cilíndricas devemos lembrar que Esta seção pode ser omitida sem perda de continuidade no material do texto 2Para escoamento compressível permanente e bidimensional no plano xy a função de corrente ψ pode ser definida de forma que A diferença entre os valores constantes de ψ que definem duas linhas de corrente é nesse caso a vazão em massa por unidade de profundidade entre as duas linhas de corrente 3Ao avaliar lembrese de que êr e êθ são funções de θ reveja a nota 1 de rodapé 4Uma prova rigorosa utilizando as equações completas do movimento de uma partícula fluida é dada em Li e Lam pp 142145 6A dedução destes resultados está além dos objetivos deste livro Deduções detalhadas podem ser encontradas em Daily e Harleman 2 Schlichting 3 e White 4 7Sabersky et al 5 discute a relação entre a pressão termodinâmica e a pressão média definida como p σxx σyy σzz3 Esta seção pode ser omitida sem perda de continuidade no material do texto Estes tópicos aplicamse a uma seção que pode ser omitida sem perda de continuidade no material do texto Bobsledding é um esporte de inverno em que dois ou quatro atletas em um trenó ou apenas um em um luge realizam descidas cronometradas em uma pista de gelo sinuosa e estreita Movidos apenas pela ação gravitacional esses equipamentos atingem velocidades de até 100 kmh NT Estes problemas requerem material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Estes problemas requerem material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Estes problemas requerem material das seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Escoamento Incompressível de Fluidos Não Viscosos 61 Equação da Quantidade de Movimento para Escoamento sem Atrito a Equação de Euler 62 As Equações de Euler em Coordenadas de Linhas de Corrente 63 A Equação de Bernoulli Integração da Equação de Euler ao Longo de uma Linha de Corrente para Escoamento Permanente 64 A Equação de Bernoulli Interpretada como uma Equação de Energia 65 Linha de Energia e Linha Piezométrica 66 Equação de Bernoulli para Escoamento Transiente Integração da Equação de Euler ao Longo de uma Linha de Corrente no site da LTC Editora 67 Escoamento Irrotacional 68 Resumo e Equações Úteis Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente Energia da Onda A Central Limpet Conforme já discutimos nos Estudos de Casos em Meio Ambiente anteriores ondas do oceano contêm bastante energia algumas regiões do mundo apresentam uma densidade de energia energia por largura do escoamento da água de até 75 kWm de profundidade da água e de até 25 kWm no litoral Muitas ideias estão sendo exploradas algumas das quais nós discutimos anteriormente para extrair essa energia desde boias amarradas até mecanismos articulados Questões técnicas estão sendo rapidamente resolvidas com muitos desses dispositivos mas o calcanhar de aquiles de cada um deles é gerar energia a um custo tal que o consumidor possa pagar Em longo prazo combustíveis fósseis ficarão mais caros e o custo da energia das ondas irá cair contudo nós ainda não chegamos nesse ponto de interseção Na década de 1980 a geração de energia por meio dos ventos apresentava o mesmo problema mas após muitos países terem inicialmente subsidiado esta indústria hoje ela apresenta um custo muito competitivo Como na geração de energia com os ventos os custos de capital inicial correspondem a mais de 90 do custo de produção da energia com as ondas no caso das usinas com combustíveis fósseis o fornecimento do combustível em si é uma parte permanente dos custos Para ter sucesso os empreendedores da geração de energia de ondas deverão concentrar esforços na redução de custos do capital inicial Duas vistas do dispositivo Limpet da Wavegen Cortesia da Wavegen LTDA A companhia Voith Hydro Wavegen Ltda fez grandes esforços para analisar os custos e os benefícios na geração de energia com as ondas através do seu protótipo Limpet do inglês Land Installed Marine Powered Energy Transformer mostrada na fotografia Esse dispositivo foi projetado para ser colocado em áreas litorâneas com alta atividade de ondas mas em longo prazo eles serão projetados para regiões marítimas de alta atividade Embora não tenha um visual particularmente impressionante a usina Limpet tem algumas características interessantes Ela se parece com um simples bloco de concreto mas na verdade é oca e aberta ao mar na parte de baixo criando uma câmara de ar aprisionado na qual uma turbina de ar está ligada Ela funciona como as máquinas de onda das piscinas de natação dos parques de diversão exceto que ela funciona no sentido inverso Nessas máquinas o ar é soprado para dentro e para fora de uma câmara ao lado da piscina fazendo a água subir e descer e provocando ondas Na usina Limpet como as ondas que chegam fazem a água subir e descer o ar aprisionado na câmara ora é comprimido ora é expandido Se isso fosse tudo teríamos apenas um dispositivo em que as ondas de água repetidamente comprimem e expandem o ar aprisionado A inovação inteligente da usina Limpet é que uma turbina especialmente projetada está ligada na câmara de ar de modo que o ar escoa dentro dela primeiro por um caminho e depois por outro extraindo energia A turbina Wells desenvolvida pelo Professor Alan Wells da Queens University em Belfast é uma turbina de baixa pressão que gira continuamente em uma direção apesar de ser a direção do fluxo de ar que a conduz Suas pás apresentam um aerofólio simétrico com o seu plano de simetria situado no plano de rotação e perpendicular à corrente de ar O uso dessa turbina bidirecional permite que a energia seja extraída quando o ar entra e quando ela sai da câmara evitando o emprego de um sistema de válvulas de retenção caro A desvantagem da turbina bidirecional é que sua eficiência é menor que a de uma turbina com uma mesma direção de fluxo de ar Contudo a turbina é muito simples e robusta As pás são fixadas sobre o rotor e têm um mecanismo ou caixa de velocidades para ajuste de passo que não entra em contato com a água do mar No Capítulo 10 vamos discutir mais detalhadamente as turbinas e no Capítulo 9 alguns conceitos de projetos de pás de turbinas Todo o dispositivo câmara de concreto turbina Wells e componentes eletrônicos é robusto barato e durável de modo que a meta de minimizar o custo do capital inicial está perto de ser atingido A tecnologia usada é denominada OSW do inglês oscillating water column Um novo projeto envolvendo a instalação de 16 turbinas em um quebramar na costa da Espanha está sendo construído cujo destino é fornecer de forma limpa eletricidade para cerca de 250 famílias com uma potência avaliada em aproximadamente 300 kW No Capítulo 5 trabalhamos muito na dedução das equações diferenciais Eqs 524 que descrevem o comportamento de qualquer fluido satisfazendo a hipótese de contínuo Vimos também como essas equações podem ser reduzidas para várias formas particulares as mais notáveis sendo as equações de NavierStokes para um fluido incompressível com viscosidade constante Eqs 527 Embora as Eqs 527 descrevam o comportamento de fluidos comuns isto é água ar óleo lubrificante para uma larga faixa de problemas conforme discutido no Capítulo 5 elas não possuem solução analítica exceto para geometrias e escoamentos mais simples A aplicação dessas equações para modelar por exemplo o movimento do café em uma xícara após ser agitado suavemente com uma colher necessitaria de ferramentas computacionais avançadas de mecânica dos fluidos e a predição necessitaria de um longo tempo computacional maior do que o tempo para agitar o café Neste capítulo em vez das equações de NavierStokes nós vamos estudar a equação de Euler que se aplica a um fluido sem viscosidade Embora não existam fluidos reais sem viscosidade muitos problemas de escoamento especialmente em aerodinâmica podem ser analisados com sucesso pela aproximação de μ 0 61 Equação da Quantidade de Movimento para Escoamento sem Atrito a Equação de Euler A equação de Euler obtida das Eqs 527 após desconsiderar os termos viscosos é Essa equação estabelece que para um fluido invíscido a variação na quantidade de movimento de uma partícula fluida é causada pela força de campo considerada somente a gravidade e pela força líquida de pressão Por conveniência vamos relembrar que a aceleração da partícula é Neste capítulo aplicaremos a Eq 61 na solução de problemas de escoamentos incompressíveis e sem viscosidade Além da Eq 61 usaremos também a formulação diferencial da equação da conservação de massa para escoamentos incompressíveis A Eq 61 escrita em coordenadas retangulares é Se o eixo z for considerado vertical e orientado para cima então gx 0 gy 0 e gz g de modo que Em coordenadas cilíndricas tendo apenas a gravidade como força de campo as equações na forma das componentes são Se o eixo z for orientado verticalmente para cima então gr gθ 0 e gz g As Eqs 61 62 e 63 aplicamse a problemas nos quais não existem tensões viscosas Antes de continuar com o tópico principal deste capítulo escoamento invíscido vamos considerar quando é que não temos tensões viscosas diferentemente de quando μ 0 Em nossas discussões anteriores concluímos que em geral tensões viscosas estão presentes quando há deformação do fluido de fato foi com isso que definimos inicialmente um fluido quando não existe deformação do fluido isto é quando lidamos com um movimento de corpo rígido nenhuma tensão viscosa estará presente mesmo se μ 0 Desse modo as equações de Euler aplicamse tanto aos movimentos de corpo rígido quanto aos escoamentos sem viscosidade Nós discutimos o movimento de corpo rígido detalhadamente na Seção 37 como um caso especial da estática dos fluidos Como exercício seria interessante você mostrar que as equações de Euler podem ser utilizadas para resolver os Exemplos 39 e 310 62 As Equações de Euler em Coordenadas de Linhas de Corrente Nos Capítulos 2 e 5 assinalamos que as linhas de corrente desenhadas tangentes aos vetores velocidade em cada ponto do campo de escoamento fornecem uma representação gráfica conveniente do escoamento No escoamento em regime permanente uma partícula fluida movese ao longo de uma linha de corrente porque para esse tipo de escoamento as trajetórias e as linhas de corrente coincidem Assim na descrição do movimento de uma partícula fluida em um escoamento em regime permanente adicionalmente ao uso das coordenadas ortogonais x y z a distância ao longo de uma linha de corrente é uma coordenada lógica para se usar na formulação das equações do movimento As coordenadas de linha de corrente também podem ser usadas para descrever um escoamento em regime transiente As linhas de corrente no escoamento transiente fornecem uma representação gráfica do campo instantâneo de velocidade Para simplificar considere o escoamento no plano yz mostrado na Fig 61 Queremos escrever as equações do movimento em termos da coordenada s distância ao longo de uma linha de corrente e da coordenada n distância normal à linha de corrente A pressão no centro do elemento fluido é p Aplicando a segunda lei de Newton na direção s da linha de corrente ao elemento fluido de volume ds dn dz desprezando forças viscosas obtemos em que β é o ângulo entre a tangente à linha de corrente e a horizontal e as é a aceleração da partícula de fluido ao longo da linha de corrente Simplificando a equação obtemos Fig 61 Movimento de uma partícula fluida ao longo de uma linha de corrente Como sen β zs podemos escrever Ao longo de qualquer linha de corrente V Vs t de modo que a aceleração material ou total de uma partícula fluida na direção da linha de corrente é dada por A equação de Euler na direção da linha de corrente com o eixo z dirigido verticalmente para cima é então Para escoamento em regime permanente e desprezando forças de campo a equação de Euler na direção da linha de corrente reduzse a que indica que para um escoamento incompressível e não viscoso uma diminuição na velocidade é acompanhada de um aumento na pressão e viceversa Isso faz sentido A única força experimentada pela partícula é a força líquida de pressão de forma que a partícula é acelerada em direção das regiões de baixa pressão e desacelerada quando se aproxima das regiões de alta pressão Para obter a equação de Euler em uma direção normal às linhas de corrente aplicamos a segunda lei de Newton na direção n ao elemento fluido Novamente desprezando forças viscosas obtemos em que β é o ângulo entre a direção n e a vertical e an é a aceleração da partícula fluida na direção n Simplificando a equação obtemos Como cos β zn escrevemos VÍDEO CLÁSSICO Campos de Pressão e Aceleração do Fluido em inglês A aceleração normal do elemento fluido é dirigida para o centro de curvatura da linha de corrente ou seja no sentido negativo de n assim no sistema de coordenadas da Fig 61 a familiar aceleração centrípeta é escrita para escoamento em regime permanente em que R é o raio de curvatura da linha de corrente Então a equação de Euler normal à linha de corrente é escrita para escoamento permanente como Para escoamento em regime permanente em um plano horizontal a equação de Euler normal a uma linha de corrente tornase VÍDEO CLÁSSICO Campos de Pressão e Aceleração do Fluido em inglês A Eq 65b indica que a pressão aumenta para fora na direção normal às linhas de corrente a partir do centro de curvatura dessas linhas Isso também faz sentido Posto que a única força que age sobre a partícula é a força líquida de pressão é o campo de pressão que cria a aceleração centrípeta Em regiões onde as linhas de corrente são retas o raio de curvatura R é infinito de forma que não há variação de pressão em uma direção normal às linhas de corrente Exemplo 61 ESCOAMENTO EM UMA CURVA A vazão de ar na condiçãopadrão em um duto plano deve ser determinada pela instalação de tomadas de pressão em uma curva O duto tem 03 m de altura por 01 m de largura O raio interno da curva é 025 m Se a diferença de pressão medida entre as tomadas for 40 mm de coluna de água estime a vazão volumétrica Dados Escoamento através de um duto curvo conforme mostrado em que Δh 40 mm H2O O ar está na condiçãopadrão Determinar A vazão volumétrica Q Solução Aplique a componente n da equação de Euler através das linhas de corrente do escoamento Equação básica Considerações 1 Escoamento sem atrito 2 Escoamento incompressível 3 Escoamento uniforme na seção de medição Para este escoamento p pr então ou Integrando obtemos e assim Mas Substituindo os valores numéricos Para escoamento uniforme Neste problema nós consideramos que a velocidade é uniforme através da seção Na verdade a velocidade na curva se aproxima de um perfil de vórtice livre irrotacional no qual V 1r em que r é o raio em vez de V constante Portanto este dispositivo de medida de escoamento somente poderia ser utilizado para obter valores aproximados da vazão veja o Problema 632 63 A Equação de Bernoulli Integração da Equação de Euler ao Longo de uma Linha de Corrente para Escoamento Permanente Comparada às equações equivalentes de escoamentos viscosos a equação da quantidade de movimento ou de Euler para um escoamento incompressível e sem viscosidade Eq 61 é matematicamente mais simples mas a sua solução em conjunto com a equação da conservação de massa Eq 51c ainda apresenta dificuldades consideráveis exceção feita aos problemas mais básicos de escoamento Uma aproximação conveniente para um problema de escoamento em regime permanente é integrar a equação de Euler ao longo de uma linha de corrente Faremos isso em seguida utilizando duas metodologias matemáticas diferentes que resultarão na equação de Bernoulli Lembrese de que na Seção 44 nós deduzimos a equação de Bernoulli a partir de um volume de controle diferencial essas duas deduções alternativas nos proporcionarão uma maior compreensão das restrições inerentes ao uso dessa equação Dedução Usando Coordenadas de Linha de Corrente A equação de Euler para escoamento em regime permanente ao longo de uma linha de corrente é da Eq 64a Se uma partícula fluida deslocase de uma distância ds ao longo de uma linha de corrente então Assim após multiplicar a Eq 66 por ds podemos escrever A integração dessa equação fornece Antes de aplicar a Eq 67 devemos conhecer a relação entre a pressão e a massa específica Para o caso especial de escoamento incompressível ρ constante e a Eq 67 tornase a equação de Bernoulli Restrições 1 Escoamento em regime permanente 2 Escoamento incompressível 3 Escoamento sem atrito 4 Escoamento ao longo de uma linha de corrente A equação de Bernoulli é provavelmente a equação mais famosa e usada em toda a mecânica dos fluidos Ela é sempre atraente de ser usada pois é uma simples equação algébrica que relaciona as variações de pressão com aquelas de velocidade e de elevação em um fluido Por exemplo ela é usada para explicar a sustentação de uma asa em aerodinâmica geralmente o termo gravitacional é desprezível e então a Eq 68 indica que onde quer que a velocidade seja relativamente alta por exemplo sobre a superfície superior de uma asa a pressão deve ser relativamente baixa e onde quer que a velocidade seja relativamente baixa por exemplo sob a superfície inferior de uma asa a pressão deve ser relativamente alta gerando uma substancial sustentação Por outro lado essa equação não pode ser usada para explicar a perda de pressão em um escoamento através de um tubo horizontal com diâmetro constante de acordo com essa equação para z constante e V constante p constante A Equação 68 indica que de modo geral se o escoamento não possui alguma restrição se uma partícula aumenta sua elevação z ou se move para uma região de maior pressão p ela tende a desacelerar V isso faz sentido do ponto de vista da quantidade de movimento lembrese de que a equação foi deduzida a partir de considerações de quantidade de movimento Estes comentários aplicamse somente no caso em que as quatro restrições listadas foram razoáveis Salientamos que você deve manter firmemente as restrições em mente sempre que usar a equações de Bernoulli Em geral a constante de Bernoulli na Eq 68 tem valores diferentes ao longo de linhas de corrente diferentes1 Dedução Usando Coordenadas Retangulares A forma vetorial da equação de Euler Eq 61 também pode ser integrada ao longo de uma linha de corrente Restringiremos a dedução ao escoamento em regime permanente desse modo o resultado final do nosso esforço será a Eq 67 Para escoamento em regime permanente a equação de Euler em coordenadas retangulares pode ser expressa como Para escoamento em regime permanente o campo de velocidade é dado por xyz As linhas de corrente são linhas traçadas no campo de escoamento tangentes ao vetor velocidade em cada ponto Novamente lembrese de que para escoamento em regime permanente as linhas de corrente de trajetória e de emissão coincidem O movimento de uma partícula ao longo de uma linha de corrente é governado pela Eq 69 Durante o intervalo de tempo dt a partícula tem um vetor deslocamento ao longo da linha de corrente Se nós tomarmos o produto escalar dos termos da Eq 69 pela distância ao longo da linha de corrente obtemos uma equação escalar relacionando a pressão a velocidade e a elevação ao longo da linha de corrente Tomando o produto escalar de com a Eq 69 obtemos em que Agora vamos avaliar cada um dos três termos na Eq 610 começando com aqueles à direita do sinal de igualdade e Usando uma identidade vetorial2 podemos escrever o terceiro termo como O último termo à direita nesta equação é zero pois é paralelo a lembrese da matemática vetorial de que Consequentemente Substituindo esses três termos na Eq 610 obtemos Integrando essa equação obtemos Para o caso de massa específica constante obtemos a equação de Bernoulli Conforme esperado vemos que as duas últimas equações são idênticas às Eqs 67 e 68 deduzidas anteriormente usando coordenadas de linha de corrente A equação de Bernoulli deduzida com o uso de coordenadas retangulares continua sujeita às restrições 1 escoamento em regime permanente 2 escoamento incompressível 3 escoamento sem atrito e 4 escoamento ao longo de uma linha de corrente Pressões Estática de Estagnação e Dinâmica A pressão p que utilizamos na dedução da equação de Bernoulli Eq 68 é a pressão termodinâmica ela é comumente chamada de pressão estática A pressão estática é a pressão sentida pela partícula fluida em movimento portanto ela é de certa forma uma designação incorreta temos também as pressões de estagnação e dinâmica que iremos definir resumidamente Como medimos a pressão em um fluido em movimento Na Seção 62 mostramos que não há variação de pressão em uma direção normal a linhas de corrente retilíneas Este fato torna possível medir a pressão estática em um fluido em movimento usando uma tomada de pressão instalada na parede do duto em uma região onde as linhas de corrente são retilíneas conforme mostrado na Fig 62a A tomada de pressão é um pequeno orifício cuidadosamente perfurado na parede de modo a ter o seu eixo perpendicular à superfície Se o orifício for perpendicular à parede do duto e isento de rebarbas medições precisas da pressão estática poderão ser feitas por um instrumento de medição adequadamente conectado à tomada de pressão 1 Em uma corrente do fluido afastada da parede ou onde as linhas de corrente são curvas medições precisas da pressão estática podem ser feitas com o emprego criterioso de uma sonda de pressão estática mostrada na Fig 62b Tais sondas devem ser projetadas de modo que os pequenos orifícios de medição sejam posicionados corretamente com respeito à ponta e haste da sonda de modo a evitar resultados errôneos 2 Fig 62 Medição da pressão estática Em uso a seção de medição deve estar alinhada com a direção do escoamento local Nestas figuras pode parecer que a tomada de pressão e os pequenos orifícios permitiriam o escoamento entrar ou sair nas mesmas ou serem arrastadas pelo escoamento principal mas cada uma dessas tomadas é perfeitamente anexada a um sensor de pressão ou manômetro e é portanto um beco sem saída não permitindo que o escoamento seja possível veja o Exemplo 62 Sondas de pressão estática como a mostrada na Fig 62b e em uma variedade de outras formas encontramse disponíveis no comércio em tamanhos tão pequenos quanto 15 mm de diâmetro 3 A pressão de estagnação é obtida quando um fluido em escoamento é desacelerado até a velocidade zero por meio de um processo sem atrito Para escoamento incompressível a equação de Bernoulli pode ser usada para relacionar variações na velocidade e na pressão ao longo de uma linha de corrente nesse processo Desprezando diferenças de elevação a Eq 68 tornase Se a pressão estática é p em um ponto do escoamento no qual a velocidade é V então a pressão de estagnação p0 no qual a velocidade de estagnação V0 é zero pode ser obtida de ou A Eq 611 é um enunciado matemático da definição de pressão de estagnação válido para escoamento incompressível O termo ρV2 é usualmente chamado de pressão dinâmica A Eq 611 estabelece que a pressão de estagnação ou total é igual à pressão estática mais a pressão dinâmica Uma maneira de descrever as três pressões é imaginar o vento batendo contra a palma de sua mão em regime permanente A pressão estática será a pressão atmosférica a pressão maior que você sente no centro da palma de sua mão será a pressão de estagnação e o acréscimo de pressão em relação à pressão atmosférica será a pressão dinâmica Resolvendo a Eq 611 para a velocidade Assim se a pressão de estagnação e a pressão estática puderem ser medidas em um ponto a Eq 612 fornecerá a velocidade local do escoamento Fig 63 Medição da pressão de estagnação A pressão de estagnação é medida no laboratório por meio de uma sonda com orifício posicionada na direção do escoamento principal e em sentido oposto a esse conforme mostrado na Fig 63 Tal instrumento é chamado de sonda de pressão de estagnação ou tubo pitot De novo a seção de medição deve ficar alinhada com a direção do escoamento local Vimos que a pressão estática em um ponto pode ser medida com uma sonda ou uma tomada de pressão estática Fig 62 Se conhecermos a pressão de estagnação no mesmo ponto então a velocidade do escoamento poderá ser calculada com a Eq 612 Duas possíveis configurações experimentais são mostradas na Fig 64 Na Fig 64a a pressão estática correspondente ao ponto A é lida a partir da tomada na parede A pressão de estagnação é medida diretamente em A pelo tubo de pressão total conforme mostrado A haste do tubo de pressão total é posicionada a jusante do ponto de medição a fim de minimizar a perturbação do escoamento local Frequentemente as duas sondas são combinadas como no tubo pitotestática mostrado na Fig 64b O tubo interno é usado para medir a pressão de estagnação no ponto B enquanto a pressão estática em C é captada pelos pequenos orifícios no tubo externo Em escoamentos em que a variação da pressão estática no sentido do escoamento é pequena o dispositivo mostrado pode ser empregado para avaliar a velocidade no ponto B do escoamento considerando que pB pC e usando a Eq 612 Note que quando pB pC esse procedimento fornecerá resultados errôneos Lembrese de que a equação de Bernoulli aplicase somente a escoamento incompressível número de Mach M 03 A definição e o cálculo da pressão de estagnação para escoamento compressível serão discutidos na Seção 123 Fig 64 Medições simultâneas das pressões de estagnação e estática Exemplo 62 TUBO DE PITOT Um tubo pitot é inserido em um escoamento de ar na condiçãopadrão para medir a velocidade do escoamento O tubo é inserido apontando para montante dentro do escoamento de modo que a pressão captada pela sonda é a pressão de estagnação A pressão estática é medida no mesmo local do escoamento com uma tomada de pressão na parede Se a diferença de pressão é de 30 mm de mercúrio determine a velocidade do escoamento Dados Um tubo pitot inserido em um escoamento conforme mostrado O fluido é ar e o líquido do manômetro é mercúrio Determinar A velocidade do escoamento Solução Equação básica Considerações 1 Escoamento em regime permanente 2 Escoamento incompressível 3 Escoamento ao longo de uma linha de corrente 4 Desaceleração sem atrito ao longo da linha de corrente de estagnação Escrevendo a equação de Bernoulli para a linha de corrente de estagnação com Δz 0 obtemos p0 é a pressão de estagnação na ponta do tubo pitot onde a velocidade foi reduzida a zero sem atrito Resolvendo para V temos Da figura p0 p ρHggh ρH20ghSGHg e Para T 20ºC a velocidade do som no ar é 343 ms Portanto M 0236 e a hipótese de escoamento incompressível é válida Este problema ilustra o uso de um tubo de pitot para determinar a velocidade do escoamento Os tubos de pitot ou pitot estáticos são frequentemente colocados no exterior de aeronaves para indicar a velocidade do ar relativa à aeronave e portanto a velocidade da aeronave relativa ao ar Aplicações A equação de Bernoulli pode ser aplicada entre dois pontos quaisquer em uma linha de corrente desde que as outras três restrições sejam atendidas O resultado é em que os índices 1 e 2 representam dois pontos quaisquer em uma linha de corrente Aplicações das Eqs 68 e 613 a problemas típicos de escoamento são ilustradas nos Exemplos 63 a 65 Em algumas situações o escoamento aparenta ser em regime transiente se observado de um sistema de referência porém em regime permanente se observado de outro que translada com o escoamento Como a equação de Bernoulli foi deduzida por integração da segunda lei de Newton para uma partícula fluida ela pode ser aplicada em qualquer sistema de referência inercial veja a discussão sobre sistemas de referência em translação na Seção 44 O procedimento é ilustrado no Exemplo 66 Exemplo 63 ESCOAMENTO EM UM BOCAL Ar escoa em regime permanente e com baixa velocidade através de um bocal por definição um equipamento para acelerar um escoamento horizontal que o descarrega para a atmosfera Na entrada do bocal a área é 01 m2 e na saída 002 m2 Determine a pressão manométrica necessária na entrada do bocal para produzir uma velocidade de saída de 50 ms Dados Escoamento através de um bocal conforme mostrado Determinar p1 patm Solução Equações básicas Equação da continuidade para escoamento incompressível e uniforme Considerações 1 Escoamento em regime permanente 2 Escoamento incompressível 3 Escoamento sem atrito 4 Escoamento ao longo de uma linha de corrente 5 z1 z2 6 Escoamento uniforme nas seções e A velocidade máxima de 50 ms está bem abaixo do valor de 100 ms que corresponde a um número de Mach M 03 no arpadrão Portanto o escoamento pode ser considerado incompressível Aplique a equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente entre os pontos e para avaliar p1 Assim Aplique a equação da continuidade para determinar V1 de modo que Para o ar na condiçãopadrão ρ 123 kgm3 Então Notas Este problema ilustra uma aplicação típica da equação de Bernoulli As linhas de corrente devem ser retas na entrada e na saída de modo a ter pressões uniformes nesses locais Exemplo 64 ESCOAMENTO ATRAVÉS DE UM SIFÃO Um tubo em U atua como um sifão de água A curvatura no tubo está 1 m acima da superfície da água a saída do tubo está 7 m abaixo da superfície da água A água sai pela extremidade inferior do sifão como um jato livre para a atmosfera Determine após listar as considerações necessárias a velocidade do jato livre e a pressão absoluta mínima da água na curvatura Dados Água escoando através de um sifão conforme mostrado Determinar a A velocidade da água saindo como um jato livre b A pressão no ponto o ponto de pressão mínima do escoamento Solução Equação básica Considerações 1 Atrito desprezível 2 Escoamento em regime permanente 3 Escoamento incompressível 4 Escoamento ao longo de uma linha de corrente 5 O reservatório é grande comparado com o tubo Aplique a equação de Bernoulli entre os pontos e Visto que a área do reservatório é muito maior que a área do tubo V1 0 Além disso p1 p2 patm de modo que Para determinar a pressão no ponto nós escrevemos a equação de Bernoulli entre e Novamente V1 0 e da conservação da massa VA V2 Então Notas Este problema ilustra uma aplicação da equação de Bernoulli que inclui variações de elevação É interessante notar que quando se aplica a equação de Bernoulli entre um reservatório e um jato livre alimentado pelo reservatório em um local h abaixo de sua superfície a velocidade do jato será de V esta é a mesma velocidade que uma gotícula ou pedra teria se caísse de uma distância h sem atrito a partir do nível do reservatório Você pode explicar por quê Sempre tome cuidado ao desprezar o atrito em um escoamento interno Neste problema desprezar o atrito é razoável se o tubo possuir uma superfície lisa e for relativamente curto No Capítulo 8 estudaremos os efeitos do atrito em escoamentos internos Exemplo 65 ESCOAMENTO SOB UMA COMPORTA Água escoa sob uma comporta em um leito horizontal na entrada de um canal A montante da comporta a profundidade da água é 045 m e a velocidade é desprezível Na seção contraída vena contracta a jusante da comporta as linhas de corrente são retilíneas e a profundidade é de 50 mm Determine a velocidade do escoamento a jusante da comporta e a vazão em pés cúbicos por segundo por metro de largura Dados Escoamento de água sob uma comporta conforme mostrado Determinar a V2 b Q em m3sm de largura Solução Com as considerações listadas a seguir o escoamento satisfaz todas as condições necessárias para a aplicação da equação de Bernoulli A questão é que linha de corrente utilizar Equação básica Considerações 1 Escoamento em regime permanente 2 Escoamento incompressível 3 Escoamento sem atrito 4 Escoamento ao longo de uma linha de corrente 5 Escoamento uniforme em cada seção 6 Distribuição hidrostática de pressão em cada local a pressão aumenta linearmente com a profundidade Se considerarmos a linha de corrente que passa ao longo do chão do canal z 0 por causa da consideração 6 as pressões em e são p1 patm ρgD1 e p2 patm ρgD2 de modo que a equação de Bernoulli para essa linha de corrente é ou Por outro lado considere a linha de corrente que passa ao longo da superfície livre em ambos os lados e abaixo na superfície interna da comporta Para esta linha de corrente ou Nós chegamos à mesma equação Eq 1 para a linha de corrente no chão e a linha de corrente na superfície livre implicando a constante da equação de Bernoulli ser igual para ambas as linhas de corrente Veremos na Seção 66 que esse escoamento pertence a uma família de escoamentos em que isto acontece Resolvendo para V2 obtemos Porém 0 logo Para escoamento uniforme Q VA VDw ou Exemplo 66 A EQUAÇÃO DE BERNOULLI EM UM SISTEMA DE REFERÊNCIA EM TRANSLAÇÃO Um pequeno avião voa a 150 kmh no arpadrão em uma altitude de 1000 m Determine a pressão de estagnação na borda de ataque da asa Em certo ponto perto da asa a velocidade do ar relativa à asa é 60 ms Calcule a pressão nesse ponto Dados Pequeno avião em voo no arpadrão a 150 kmh e 1000 m de altitude conforme mostrado Determinar A pressão de estagnação p0A no ponto A e a pressão estática pB no ponto B Solução O escoamento é transiente quando observado de um referencial fixo isto é por um observador no solo Entretanto um observador sobre a asa vê o seguinte escoamento em regime permanente Em z 1000 m no arpadrão a temperatura é 281 K e a velocidade do som é 336 ms Portanto no ponto B MB VBc 0178 Isto é inferior a 03 de modo que o escoamento pode ser considerado incompressível Assim a equação de Bernoulli pode ser aplicada ao longo de uma linha de corrente no sistema de referência inercial do observador em movimento Equação básica Considerações 1 Escoamento em regime permanente 2 Escoamento incompressível V 100 ms 3 Escoamento sem atrito 4 Escoamento ao longo de uma linha de corrente 5 Δz desprezível Os valores da pressão e da massa específica podem ser encontrados na Tabela A3 Assim a 1000 m ppSL 08870 e ρρSL 09075 Consequentemente e Uma vez que a velocidade é VA 0 no ponto de estagnação Resolvendo para a pressão estática em B obtemos Este problema fornece uma dica de como uma asa gera sustentação O ar que chega possui uma velocidade Var 150 kmh 417 ms e acelerase para 60 ms sobre a superfície superior Isso conduz por meio da equação de Bernoulli a uma queda de pressão de 1 kPa de 896 kPa para 886 kPa Acontece que o escoamento desacelerase sobre a superfície inferior conduzindo a um aumento de pressão de aproximadamente 1 kPa Portanto a asa sofre uma diferença líquida de pressão para cima de aproximadamente 2 kPa um efeito significativo Precauções no Emprego da Equação de Bernoulli Verificamos nos Exemplos 63 a 66 diversas situações nas quais a equação de Bernoulli pôde ser aplicada porque as restrições ao seu uso conduziam a um modelo razoável do escoamento Contudo em algumas situações você poderá ser tentado a aplicála quando as restrições não são satisfeitas Nesta seção são discutidos brevemente alguns casos sutis que violam essas restrições No Exemplo 63 foi examinado o escoamento em um bocal Em um bocal subsônico uma seção convergente a pressão cai acelerando o escoamento Como a pressão cai e as paredes do bocal convergem não existe separação do escoamento da parede e as camadaslimites permanecem delgadas Além disso um bocal é normalmente relativamente curto de modo que os efeitos de atrito não são significantes Tudo isso leva à conclusão de que a equação de Bernoulli é adequada para uso em escoamentos em bocais subsônicos VÍDEO CLÁSSICO Visualização de Escoamento em inglês Às vezes é necessário desacelerar um escoamento Isso pode ser realizado por meio de um difusor subsônico uma seção divergente ou pela utilização de uma expansão súbita por exemplo de um tubo para um reservatório Nesses dispositivos o escoamento é desacelerado por causa de um gradiente de pressão adverso Conforme discutido na Seção 26 um gradiente de pressão adverso tende a causar um rápido crescimento na camadalimite e a sua separação Portanto devemos ser cuidadosos na aplicação da equação de Bernoulli em tais dispositivos na melhor das hipóteses será uma aproximação Por causa do bloqueio de área causado pelo crescimento da camadalimite o aumento de pressão nos difusores reais é sempre menor que aquele previsto para um escoamento unidimensional sem viscosidade A equação de Bernoulli foi um modelo razoável para o sifão do Exemplo 64 pois a entrada era bem arredondada as curvas suaves e o comprimento total curto A separação do escoamento que pode ocorrer em entradas com cantos vivos e em curvas bruscas causa o afastamento do escoamento em relação ao previsto por um modelo unidimensional e pela equação de Bernoulli Os efeitos de atrito não seriam desprezíveis se o tubo fosse longo No Exemplo 65 apresentamos um escoamento em um canal aberto análogo àquele em um bocal para o qual a equação de Bernoulli é um bom modelo O ressalto hidráulico é um exemplo de um escoamento em canal aberto com gradiente de pressão adverso O escoamento através de um ressalto hidráulico é fortemente turbilhonado tornando impossível a identificação de linhas de corrente Desse modo a equação de Bernoulli não pode ser usada para modelar o escoamento através de um ressalto hidráulico Veremos uma apresentação mais detalhada de escoamentos em canais abertos no Capítulo 11 A equação de Bernoulli não pode ser aplicada através de uma máquina tal como uma hélice propulsora bomba turbina ou moinho de vento A equação foi deduzida por integração ao longo de um tubo de corrente Seção 44 ou de uma linha de corrente Seção 63 na ausência de superfícies móveis tais como pás ou hélices É impossível ter um escoamento localmente em regime permanente ou identificar linhas de corrente em um escoamento através por exemplo de uma turbo máquina Portanto a equação de Bernoulli pode ser aplicada entre pontos antes de uma máquina e entre pontos após uma máquina desde que as restrições ao seu emprego sejam satisfeitas ela não pode ser aplicada através da máquina De fato a máquina irá modificar significativamente o valor da constante de Bernoulli VÍDEO CLÁSSICO Ondas em Fluidos e Escoamento em Campo estratificado em inglês Finalmente a compressibilidade deve ser considerada no escoamento de gases As variações de massa específica causadas pela compressão dinâmica decorrente do movimento podem ser desprezadas para fins de engenharia se o número de Mach local permanecer abaixo de M 03 conforme assinalado nos Exemplos 63 e 66 Variações de temperatura podem causar mudanças significativas na massa específica de um gás mesmo nos escoamentos com baixa velocidade Dessa forma a equação de Bernoulli não seria aplicável ao escoamento do ar através de um elemento de aquecimento por exemplo um secador de cabelos portátil em que ocorrem variações consideráveis de temperatura 64 A Equação de Bernoulli Interpretada como uma Equação de Energia A equação de Bernoulli Eq 68 foi obtida por integração da equação de Euler ao longo de uma linha de corrente para escoamento em regime permanente incompressível e sem atrito Então a Eq 68 foi deduzida a partir da equação da quantidade de movimento aplicada a uma partícula fluida Uma equação idêntica em forma à Eq 68 embora requerendo restrições muito diferentes pode ser obtida a partir da primeira lei da termodinâmica Nosso objetivo nesta seção é reduzir a equação da energia à forma da equação de Bernoulli dada pela Eq 68 Tendo chegado a esta forma compararemos as restrições às duas equações buscando com isso compreender com mais clareza as restrições ao emprego da Eq 68 Considere um escoamento em regime permanente na ausência de forças de cisalhamento Escolhemos um volume de controle limitado por linhas de corrente ao longo da periferia do escoamento Um volume de controle como este mostrado na Fig 65 é usualmente chamado de tubo de corrente Equação básica Restrições 1 s 0 2 cisalhamento 0 3 outros 0 4 Escoamento em regime permanente 5 Escoamento e propriedades uniformes em cada seção Lembrese de que aqui υ representa o volume específico e u representa a energia interna específica e não velocidade Sob estas restrições a Eq 456 tornase Porém da continuidade e com as restrições 4 e 5 ou ρ1V1A1 ρ2V2A2 0 Isto é ρ1V1A1 ρ2V2A2 Também Assim da equação de conservação de energia após rearranjar ou Fig 65 Escoamento através de um tubo de corrente Com a consideração adicional 6 de escoamento incompressível υ1 υ2 1ρ e então A Eq 614 ficaria reduzida à equação de Bernoulli se o termo entre parênteses fosse zero Assim sob a restrição adicional a equação da energia reduzse a ou A Eq 615 é idêntica em forma à equação de Bernoulli Eq 68 A equação de Bernoulli foi deduzida a partir de considerações de quantidade de movimento segunda lei de Newton e é válida para escoamento em regime permanente incompressível sem atrito e ao longo de uma linha de corrente A Eq 615 foi obtida pela aplicação da primeira lei da termodinâmica a um volume de controle na forma de um tubo de corrente sujeito às restrições de 1 a 7 citadas anteriormente Desse modo a equação de Bernoulli Eq 68 e a forma idêntica derivada da equação da energia Eq 615 foram desenvolvidas a partir de modelos inteiramente diferentes de conceitos básicos totalmente diversos e envolvendo diferentes restrições Parece que necessitamos da restrição 7 para finalmente transformar a equação de energia na equação de Bernoulli Na verdade não necessitamos Acontece que para um escoamento incompressível e sem atrito restrição 6 e o fato de que estamos considerando somente escoamentos sem forças de cisalhamento a restrição 7 fica automaticamente satisfeita conforme demonstramos no Exemplo 67 Exemplo 67 ENERGIA INTERNA E TRANSFERÊNCIA DE CALOR NO ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL SEM ATRITO Considere um escoamento incompressível sem atrito e com transferência de calor Mostre que Dados Escoamento incompressível sem atrito com transferência de calor Demonstre Solução Em geral a energia interna pode ser expressa como u uT υ Para escoamento incompressível υ constante e u uT Então o estado termodinâmico do fluido é determinado apenas pela propriedade termodinâmica T Para qualquer processo a variação de energia interna u2 u1 depende somente das temperaturas nos estados final e inicial Da equação de Gibbs Tds du pdυ válida para uma substância pura submetida a um processo qualquer obtemos Tds du para escoamento incompressível uma vez que dυ 0 Como a variação de energia interna du entre os estados inicial e final especificados é independente do processo supomos um processo reversível para o qual Tds dδQdm du Desse modo Para o escoamento em regime permanente incompressível e sem atrito abordado nesta seção é verdade que a primeira lei da termodinâmica reduzse à equação de Bernoulli Cada termo na Eq 615 possui dimensões de energia por unidade de massa algumas vezes nos referimos aos três termos na equação como a energia de pressão a energia cinética e a energia potencial por unidade de massa do fluido Não é uma surpresa o fato de a Eq 615 conter termos de energia afinal nós utilizamos a primeira lei da termodinâmica em sua dedução Como é que pudemos obter os mesmos termos de energia na equação de Bernoulli com uma dedução a partir da equação da quantidade de movimento A resposta é que nós integramos a equação da quantidade de movimento que envolve termos de força ao longo de uma linha de corrente que envolve distância fazendo aparecer então os termos de trabalho ou de energia trabalho sendo definido como força vezes distância o trabalho das forças de gravidade e de pressão leva à variação da energia cinética que vem da integração de quantidade de movimento sobre uma distância Neste contexto nós podemos pensar a equação de Bernoulli como um balanço de energia mecânica a energia mecânica de pressão mais potencial mais cinética será constante Nós devemos ter sempre em mente que para a equação de Bernoulli ser válida ao longo de uma linha de corrente é requerido um escoamento incompressível e não viscoso adicionalmente ao regime permanente É interessante que essas duas propriedades do escoamento sua compressibilidade e atrito vinculam as energias termodinâmica e mecânica Se um fluido é compressível quaisquer variações de pressão induzidas no escoamento comprimirão ou expandirão o fluido realizando trabalho e variando a energia térmica da partícula e o atrito conforme sabemos da experiência do dia a dia converte sempre energia mecânica em energia térmica A sua ausência portanto corta o vínculo entre as energias térmica e mecânica e elas ficam independentes é como se estivessem em universos paralelos Em resumo quando as condições que validam a aplicação da equação de Bernoulli são satisfeitas nós podemos considerar separadamente a energia mecânica e a energia interna térmica de uma partícula fluida isto está ilustrado no Exemplo 68 quando as condições não são satisfeitas existirá uma interação entre estas energias a equação de Bernoulli não será válida e a formulação completa da primeira lei da termodinâmica deverá ser aplicada Exemplo 68 ESCOAMENTO SEM ATRITO COM TRANSFERÊNCIA DE CALOR Água escoa em regime permanente de um grande reservatório aberto através de um tubo curto e de um bocal com área de seção transversal A 560 mm2 Um aquecedor de 10 kW bem isolado termicamente envolve o tubo Determine o aumento de temperatura da água Dados Água escoa de um grande reservatório através do sistema mostrado na figura e descarrega à pressão atmosférica O aquecedor é de l0 kW A4 560 mm2 Determinar O aumento da temperatura da água entre os pontos e Solução Equações básicas Considerações 1 Escoamento em regime permanente 2 Escoamento sem atrito 3 Escoamento incompressível 4 Não há trabalho de eixo nem de cisalhamento 5 Escoamento ao longo de uma linha de corrente 6 Escoamento uniforme ao longo de cada seção uma consequência da consideração 2 Com as considerações adotadas a primeira lei da termodinâmica para o VC mostrado tornase Para propriedades uniformes em e Da conservação de massa ρV1A1 ρV2A2 de modo que Para escoamento incompressível sem atrito permanente e ao longo de uma linha de corrente Portanto Como para um fluido incompressível u2 u1 cT2 T1 temse Da continuidade ρV4A4 Para determinar V4 escreva a equação de Bernoulli entre a superfície livre em e o ponto Como p3 p4 e V3 0 segue que e Considerando que não há perda de calor para o ambiente resulta Este problema ilustra que Geralmente a primeira lei da termodinâmica e a equação de Bernoulli são equações independentes Para um escoamento incompressível e não viscoso a energia interna somente varia por um processo de transferência de calor e é independente da mecânica dos fluidos 65 Linha de Energia e Linha Piezométrica Nós aprendemos que para um escoamento em regime permanente incompressível sem atrito podemos usar a equação de Bernoulli Eq 68 deduzida a partir da equação da quantidade de movimento e também podemos usar a Eq 615 deduzida a partir da equação de energia Nós também interpretamos os três termos na equação de pressão energias cinética e potencial para perfazer a energia mecânica total por unidade de massa do fluido Se dividirmos a Eq 615 por g obteremos outra forma Aqui H é a altura de carga total do escoamento ela mede a energia mecânica total em unidades de metros ou pés Aprenderemos no Capítulo 8 que para um fluido real um com atrito essa altura de carga não é constante mas diminui continuamente em valor conforme a energia mecânica é convertida em energia térmica neste capítulo H é constante Podemos ir um passo adiante e encontrarmos uma aproximação gráfica muito útil caso definamos a altura de carga total também como sendo a linha de energia LE Isso pode ser medido usando o tubo pitot carga total mostrado na Fig 63 Colocandose um tubo como esse em um escoamento medese a pressão total p0 p ρV2 de modo que isso causará um aumento de altura na coluna de um mesmo fluido h p0ρg pρg V22g Se a posição vertical do tubo de pitot for z medida a partir de algum ponto referencial por exemplo o solo a altura de coluna de fluido medida a partir do ponto referencial será então h z pρg V22g z LE H Em resumo a altura da coluna medida a partir do ponto referencial anexado a um tubo pitot indica diretamente a LE Podemos também definir a linha piezométrica LP Isso pode ser medido usando a tomada de pressão estática mostrada na Fig 62a Colocandose um tubo desse tipo em um escoamento podemos medir a pressão estática p de modo que isso causará um aumento de altura na coluna de um mesmo fluido h pρg Se a posição vertical da tomada é também em z medida a partir de algum ponto referencial a altura da coluna do fluido medida a partir do ponto referencial será então h z pρg z LP A altura da coluna anexada à tomada de pressão estática indica portanto diretamente a LP A partir das Eqs 616b e 616c obtemos que mostra que a diferença entre a LE e a LP é sempre o termo da pressão dinâmica Para ver uma interpretação gráfica da LE e da LP remeta ao exemplo mostrado na Fig 66 que mostra escoamento sem atrito a partir de um reservatório através de um redutor tubular Em todas as posições a LE é a mesma porque não existe perda de energia mecânica A posição está no reservatório e aqui a LE e a LP coincidem com a superfície livre nas Eqs 616b e 616c como p 0 manométrica V 0 e z z1 então LE1 LP1 H z1 toda a energia mecânica é potencial Se tivéssemos que colocar um tubo de pitot no fluido na posição é claro que o fluido se elevaria somente até o nível da superfície livre Na posição nós temos um tubo carga total de pitot e uma tomada de pressão estática A coluna do tubo de pitot indica o valor correto da LE LE1 LE2 H porém alguma coisa mudou entre as duas posições O fluido agora possui energia cinética significativa e perdeu alguma energia potencial você pode determinar a partir da figura o que aconteceu com a pressão A partir da Eq 616d nós podemos verque a LP é menor do que a LE pelo fator 2g a LP na posição mostra isso Fig 66 Linhas de energia e piezométrica para escoamento sem atrito Da posição para a posição existe uma redução no diâmetro de modo que a equação da continuidade requer que V3 V2 portanto a separação entre a LE e a LP aumenta adicionalmente como mostrado A posição está na saída para a atmosfera Como a pressão é zero manométrica então a LE consiste totalmente nos termos de energia cinética e potencial e LP4 LP3 Podemos resumir duas ideias importantes quando esboçamos as curvas da LE e da LP 1 A LE é constante para escoamento incompressível não viscoso na ausência de dispositivos que produzam ou recebam trabalho Veremos no Capítulo 8 que os dispositivos que produzem ou recebem trabalho podem aumentar ou diminuir a LE e o atrito causará sempre uma queda na LE 2 A LP está sempre abaixo da LE pela distância V22g Note que o valor da velocidade V depende do sistema global por exemplo altura do reservatório diâmetro do tubo etc mas variações na velocidade somente ocorrem quando o diâmetro varia 66 Equação de Bernoulli para Escoamento Transiente Integração da Equação de Euler ao Longo de uma Linha de Corrente no Site da LTC Editora 67 Escoamento Irrotacional Já discutimos escoamentos irrotacionais na Seção 53 Eles são escoamentos nos quais as partículas do fluido não rodam 0 Lembremos que somente as tensões de cisalhamento podem gerar rotação da partícula portanto escoamentos não viscosos isto é sem tensões de cisalhamento serão irrotacionais a menos que as partículas estivessem inicialmente em rotação Usando a Eq 514 obtemos a condição de irrotacionalidade levando a Em coordenadas cilíndricas a partir da Eq 516 a condição de irrotacionalidade requer que A Equação de Bernoulli Aplicada a um Escoamento Irrotacional Na Seção 63 nós integramos a equação de Euler ao longo de uma linha de corrente para escoamento em regime permanente incompressível e sem viscosidade para obter a equação de Bernoulli A equação 68 pode ser aplicada entre quaisquer dois pontos sobre a mesma linha de corrente Geralmente o valor da constante variará de linha de corrente para linha de corrente Se o campo de escoamento além de ser em regime permanente incompressível e não viscoso adicionalmente for também irrotacional isto é as partículas não possuem rotação inicial de forma que 0 Eq 622 nós podemos mostrar que a equação de Bernoulli pode ser aplicada entre quaisquer e todos os pontos no escoamento Então o valor da constante na Eq 68 é o mesmo para todas as linhas de corrente Para ilustrar isso iniciamos com a equação de Euler na formulação vetorial Usando a identidade vetorial vemos que para escoamento irrotacional onde 0 que e a equação de Euler para escoamento irrotacional pode ser escrita como Considere um deslocamento no campo de escoamento da posição para a posição o deslocamento é um deslocamento infinitesimal arbitrário em qualquer direção não necessariamente ao longo de uma linha de corrente Tomando o produto escalar de com cada um dos termos na Eq 625 temos e portanto ou Integrando essa equação para escoamento incompressível obtemos Visto que foi um deslocamento arbitrário a Eq 626 é válida entre quaisquer dois pontos isto é não somente ao longo de uma linha de corrente em um escoamento em regime permanente incompressível e não viscoso que também é irrotacional veja o Exemplo 65 Potencial de Velocidade Na Seção 52 nós introduzimos a notação da função de corrente ψ para um escoamento bidimensional e incompressível Para escoamento irrotacional nós podemos introduzir uma função associada a função potencial ϕ definida por VÍDEO Um Exemplo de Escoamento Irrotacional em inglês Por que essa definição Porque ela garante que qualquer função escalar contínua ϕx y z t satisfaz automaticamente a condição de irrotacionalidade Eq 622 por causa de uma identidade fundamental3 O sinal de menos usado na maior parte dos livrostextos é inserido simplesmente para que ϕ diminua na direção do escoamento analogamente à temperatura diminuindo na direção do fluxo de calor na condução de calor Portanto Você pode checar que a condição de irrotacionalidade Eq 622 é identicamente satisfeita Em coordenadas cilíndricas A partir da Eq 627 então em coordenadas cilíndricas VÍDEO CLÁSSICO Vorticidade em inglês Como ϕ 0 para todo o ϕ o potencial de velocidade existe somente para escoamento irrotacional A irrotacionalidade pode ser uma consideração válida para aquelas regiões de um escoamento nas quais as forças viscosas são desprezíveis Por exemplo uma região assim existe externamente à camadalimite no escoamento sobre uma superfície de asa e pode ser analisada para determinar a sustentação produzida pela asa A teoria para o escoamento irrotacional é desenvolvida em termos de um fluido ideal imaginário cuja viscosidade é identicamente igual a zero Visto que em um escoamento irrotacional o campo de velocidade pode ser definido pela função potencial ϕ a teoria é frequentemente referenciada como teoria do escoamento potencial Todos os fluidos reais possuem viscosidade mas existem muitas situações em que a consideração de escoamento não viscoso simplifica consideravelmente a análise e ao mesmo tempo fornece resultados significativos Por causa de sua relativa simplicidade e beleza matemática o escoamento potencial tem sido extensivamente estudado4 Função de Corrente e Potencial de Velocidade para Escoamento Bidimensional Irrotacional e Incompressível Equação de Laplace Para um escoamento bidimensional incompressível e irrotacional nós temos expressões para as componentes da velocidade u e υ em termos tanto da função corrente ψ quanto do potencial de velocidade ϕ Substituindo u e υ da Eq 54 na condição de irrotacionalidade obtemos Substituindo u e υ da Eq 629 na equação da continuidade obtemos As Eqs 631 e 632 são formas da equação de Laplace uma equação que surge em muitas áreas das ciências físicas e engenharia Qualquer função ψ ou ϕ que satisfaz a equação de Laplace representa um possível campo de escoamento bidimensional incompressível e irrotacional A Tabela 61 resume os resultados de nossa discussão da função de corrente e potencial de velocidade para escoamentos bidimensionais As mesmas regras de quando aplicar a incompressibilidade e a irrotacionalidade e com a forma apropriada da equação de Laplace são válidas para a função de corrente e para o potencial de velocidade quando expressas em coordenadas cilíndricas e Tabela 61 Definições de ψ e de ϕ e Condições Necessárias para Satisfazer a Equação de Laplace Na Seção 52 mostramos que a função corrente ψ é constante ao longo de qualquer linha de corrente Para ψ constante dψ 0 e A inclinação de uma linha de corrente uma linha de ψ constante é dada por Ao longo de uma linha de ϕ constante dϕ 0 e Consequentemente a inclinação de uma linha de potencial uma linha de ϕ constante é dada por A última igualdade da Eq 635 com auxílio da Eq 629 Comparando as Eqs 634 e 635 vemos que a inclinação de uma linha de ψ constante em qualquer ponto é a recíproca negativa da inclinação da linha de ϕ constante neste ponto isso significa que as linhas de ψ constante e de ψ constante são ortogonais Esta propriedade das linhas de potencial e de corrente é útil na análise gráfica de campos de escoamento Exemplo 610 POTENCIAL DE VELOCIDADE Considere o campo de escoamento dado por ψ ax2 ay2 em que a 3 s1 Mostre que o escoamento é irrotacional Determine o potencial de velocidade para este escoamento Dados Campo de escoamento incompressível com ψ ax2 ay2 em que a 3 s1 Determinar a Se o escoamento é irrotacional b O potencial de velocidade para este escoamento Solução Se o escoamento é irrotacional 2ψ 0 Checando para o escoamento dado de modo que o escoamento é irrotacional Como prova alternativa podemos calcular a rotação da partícula fluida no plano xy a única componente de rotação é ωz então também Mais uma vez concluímos que o escoamento é irrotacional Como o escoamento é irrotacional ϕ deve existir e Consequentemente Integrando em relação a x obtémse ϕ 2axy fy em que fy é uma função arbitrária de y Então Portanto e f constante Assim Nós também podemos mostrar que as linhas ψ constante de ϕ constante são ortogonais ψ ax2 ay2 e ϕ 2axy Para ψ constante e dψ 0 2axdx 2aydy portanto Para ϕ constante dϕ 0 2aydx 2axdy portanto As inclinações de linhas de ϕ constante e ψ constante são as recíprocas negativas Portanto as linhas de ϕ constante são ortogonais às linhas de ψ constante Este problema ilustra as relações entre a função de corrente potencial de velocidade e campo de velocidade A função de corrente ψ e o potencial de velocidade ϕ são mostrados na planilha do Excel Utilizando nesta planilha as equações para ψ e ϕ podem ser traçados gráficos para outros campos de velocidade Escoamentos Planos Elementares As funções ϕ e ψ para cinco escoamentos bidimensionais elementares um escoamento uniforme uma fonte um sumidouro um vórtice e um dipolo estão resumidos na Exemplo 610 que nós podemos obter ϕ a partir de u e υ Tabela 62 Escoamentos Planos Elementares Escoamento Uniforme sentido positivo de x u U ψ Uy v 0 ϕ Ux Γ 0 em torno de qualquer curva fechada Escoamento Fonte a partir da origem Vr q2πr ψ q2π θ Vθ 0 ϕ q2π ln r A origem é um ponto singular q é a vazão volumétrica por unidade de profundidade Γ 0 em torno de qualquer curva fechada Escoamento Sorvedouro para a origem Vr q2πr ψ q2π θ Vθ 0 ϕ q2π ln r A origem é um ponto singular q é a vazão volumétrica por unidade de profundidade Γ 0 em torno de qualquer curva fechada Vórtice Irrotacional no sentido antihorário centro de origem Vr 0 ψ K2π ln r Vθ K2π r ϕ K2π θ A origem é um ponto singular K é a intensidade do vórtice Γ K em torno de qualquer curva fechada contendo a origem Γ 0 em torno de qualquer curva fechada não contendo a origem Dipolo centro na origem Vr Λr2 cos θ ψ Λ sen θ r Vθ Λr2 sen θ ϕ Λ cos θ r A origem é um ponto singular Λ é a intensidade do dipolo Γ 0 em torno de qualquer curva fechada Um escoamento uniforme de velocidade constante paralela ao eixo x satisfaz identicamente a equação da continuidade assim como a condição de irrotacionalidade Na Tabela 62 mostramos as funções ψ e ϕ para um escoamento uniforme e na direção positiva de x Para um escoamento uniforme de magnitude constante V inclinado de um ângulo α em relação ao eixo x ψ V cos αy V sen αx ϕ V sen αy V cos αx Uma fonte elementar é um modelo de escoamento no plano xy em que o escoamento é radial e para fora do eixo z e simétrico em todas as direções A intensidade q da fonte é a vazão volumétrica por unidade de profundidade Para qualquer raio r de uma fonte a velocidade tangencial Vθ é zero a velocidade radial Vr é a vazão volumétrica por unidade de profundidade q dividida pela área de escoamento por unidade de profundidade 2πr Portanto Vr q2πr para uma fonte Conhecendose Vr e Vθ obtémse diretamente ψ e ϕ a partir das Eqs 58 e 633 respectivamente Em um sumidouro elementar o escoamento é radialmente para dentro um sumidouro é uma fonte negativa As funções ψ e ϕ para uma fonte mostrada na Tabela 62 são as funções negativas correspondentes a um escoamento fonte A origem tanto da fonte quanto do sumidouro é um ponto singular visto que a velocidade radial se aproxima do infinito conforme o raio se aproxima de zero Portanto embora um escoamento real possa se assemelhar a uma fonte ou sumidouro para alguns valores de r as fontes e sumidouros não possuem homólogos fisicamente exatos O principal valor do conceito de fontes e sumidouros é que quando combinados com outros escoamentos elementares produzem modelos de escoamentos que representam adequadamente escoamentos reais Um modelo de escoamento em que as linhas de corrente são círculos concêntricos é um vórtice em um vórtice livre irrotacional as partículas fluidas não rodam enquanto transladam em uma trajetória circular em torno do centro do vórtice Existem diversas formas de se obter o campo de velocidade como por exemplo combinando a equação do movimento equação de Euler e a equação de Bernoulli para eliminar a pressão Aqui entretanto para linhas de corrente circulares temos somente Vr 0 e Vθ fθ Introduzimos previamente também a condição de irrotacionalidade em coordenadas cilíndricas Portanto usando as formulações conhecidas para Vr e Vθ obtemos A integração dessa equação fornece Vθ r constante A intensidade K do vórtice é definida como K 2πrVθ as dimensões de K são L2t vazão volumétrica por unidade de profundidade Mais uma vez conhecendose Vr e Vθ obtémse diretamente ϕ e ϕ a partir das Eqs 58 e 633 respectivamente O vórtice irrotacional é uma aproximação razoável para o campo de escoamento em um tornado exceto na região da origem a origem é um ponto singular O escoamento elementar final listado na Tabela 62 é um dipolo de intensidade Λ Este escoamento é produzido matematicamente combinandose os efeitos de uma fonte e de um sumidouro de intensidades iguais No limite conforme a distância δs entre eles se aproxima de zero suas intensidades aumentam de modo que o produto qδs2π tende para um valor finito Λ o que é chamado de intensidade do dipolo Superposição de Escoamentos Planos Elementares Vimos anteriormente que ϕ e ψ satisfazem a equação de Laplace para um escoamento que é incompressível e irrotacional Visto que a equação de Laplace é uma equação diferencial parcial homogênea as soluções podem ser superpostas adicionada uma à outra para desenvolver modelos de escoamentos mais complexos e interessantes Portanto se ψ1 ψ2 satisfazem a equação de Laplace então temos ψ3 ψ1 ψ2 Os escoamentos planos elementares são os blocos de construção nesse processo de superposição Preste atenção ao seguinte enquanto a equação de Laplace para a função de corrente e as equações para função de corrente e campo de velocidade Eq 53 são lineares a equação de Bernoulli não é portanto no processo de superposição teremos ψ3 ψ1 ψ2 u3 u1 u2 e ν3 ν1 ν2 mas p3 p1 p2 Devemos usar a equação de Bernoulli que é não linear em V para achar p3 Podemos misturar escoamentos elementares por tentativas e gerar modelos de escoamentos reconhecíveis A metodologia de superposição mais simples é chamada de método direto no qual tentamos diferentes combinações de escoamentos elementares e verificamos que tipos de modelos de escoamentos são produzidos Isso pode parecer um processo aleatório mas com um pouco de experiência tornase um processo bastante lógico Por exemplo olhe para alguns dos exemplos clássicos listados na Tabela 63 A combinação de escoamento uniforme e fonte faz sentido intuitivamente esperaríamos uma fonte impelir parcialmente o seu caminho corrente acima e se afastar em torno do escoamento A fonte o sumidouro e o escoamento uniforme gerando o que é chamado de corpo de Rankine também não são surpreendentes todo o escoamento para fora da fonte caminha para o sumidouro conduzindo a uma linha de corrente fechada Qualquer linha de corrente pode ser interpretada como uma superfície sólida porque não existe escoamento através dela portanto podemos supor que esta linha de corrente fechada representa um sólido Poderíamos facilmente generalizar esta metodologia fontesumidouro para qualquer número de fontes e de sumidouros distribuídos ao longo do eixo x e desde que a soma das intensidades das fontes e sumidouros seja zero geraríamos uma forma de corpo por meio de linhas de corrente fechadas O escoamento uniforme dipolo com ou sem um vórtice gera um resultado muito interessante escoamento sobre um cilindro com ou sem circulação Primeiramente vimos o escoamento sem circulação na Tabela 63 o vórtice par sugere uma forma para criar escoamentos que simulam a presença de uma ou várias paredes para o eixo y ser uma linha de corrente e portanto uma parede somente certifiquese de que quaisquer objetos por exemplo uma fonte um vórtice nos quadrantes positivos de x possuam objetos imagem nos quadrantes negativos de x o eixo y será portanto uma linha de simetria Para um modelo de escoamento em um canto com 90º necessitamos colocar objetos de modo que tenhamos simetria com relação aos eixos x e y Para o escoamento em um canto cujo ângulo é uma fração de 90º por exemplo 30º necessitamos colocar objetos de modo radialmente simétrico Como a equação de Laplace aparece em muitos problemas de engenharia e aplicações físicas ela tem sido extensivamente estudada Uma abordagem é usar uma técnica matemática conversora com auxílio de variáveis complexas Acontece que qualquer função complexa contínua fz em que z x iy e i é uma solução da equação de Laplace e pode portanto representar tanto ϕ quanto ψ Muitos resultados matematicamente elegantes têm sido deduzidos com esta metodologia 710 Mencionamos somente dois a teoria do círculo que possibilita que qualquer escoamento dado por exemplo de uma fonte no mesmo ponto a b seja facilmente transformado para permitir a presença de um cilindro na origem e a teoria de SchwarzChristoffel que possibilita que um dado escoamento seja transformado para permitir a presença de fronteiras lineares contínuas por partes praticamente de forma ilimitada por exemplo a presença sobre o eixo x da silhueta de um prédio Muito desse trabalho analítico foi realizado séculos atrás quando essa área era chamada de hidrodinâmica em vez de teoria do potencial Uma lista de contribuintes importantes inclui Bernoulli Lagrange dAlembert Cauchy Rankine e Euler 11 Tabela 63 Superposição de Escoamentos Planos Elementares Fonte e Escoamento Uniforme escoamento decorrido metade corpo Fonte e Sorvedouro intensidade igual distância de separação sobre o eixo x 2a Fonte Sorvedouro e Escoamento Uniforme escoamento decorrido sobre um corpo de Rankine Vórtice sentido horário e Escoamento Uniforme Dipolo e Escoamento Uniforme escoamento decorrido sobre um cilindro Dipolo Vórtice sentido horário e Escoamento Uniforme escoamento decorrido sobre um cilindro com circulação Fonte e Vórtice vórtice em espiral Sorvedouro e Vórtice Par de Vórtice intensidade igual rotação oposta e distância de separação sobre o eixo x 2a Como discutimos na Seção 26 a teoria imediatamente passou por dificuldades em um escoamento ideal nenhum corpo sofre arrasto o paradoxo de dAlembert de 1752 um resultado totalmente contra a experiência Prandtl em 1904 resolveu esta discrepância descrevendo como escoamentos reais podem ser essencialmente não viscosos quase em toda a parte existindo porém sempre uma camadalimite adjacente ao corpo Nessa camada ocorrem efeitos viscosos significativos e a condição de não deslizamento é satisfeita na teoria do escoamento potencial a condição de não deslizamento não é satisfeita O desenvolvimento deste conceito e o histórico primeiro voo humano dos irmãos Wright permitiu rápidos desenvolvimentos na aeronáutica a partir de 1990 Estudaremos as camadaslimite detalhadamente no Capítulo 9 em que veremos que a sua existência leva a arrasto sobre corpos e também afeta a sustentação de corpos Uma metodologia de superposição alternativa é o método inverso no qual as distribuições de objetos tais como fontes sumidouros e vórtices são usadas para modelar um corpo 12 A metodologia é chamada de inversa porque a forma do corpo é deduzida baseada sobre uma distribuição de pressão desejada Ambos os métodos direto e inverso incluindo o espaço tridimensional são atualmente a maior parte das vezes analisados com o auxílio de programas computacionais como o Fluent 13 e o STARCD 14 Exemplo 611 ESCOAMENTO SOBRE UM CILINDRO SUPERPOSIÇÃO DE UM DIPOLO E UM ESCOAMENTO UNIFORME Para um escoamento bidimensional incompressível e irrotacional a superposição de um dipolo e um escoamento uniforme representam um escoamento em torno de um cilindro circular Obtenha a função de corrente e o potencial de velocidade para este modelo de escoamento Determine o campo de velocidade localize os pontos de estagnação e a superfície do cilindro e obtenha a distribuição de pressão superficial Integre a distribuição de pressão para obter as forças de arrasto e sustentação sobre o cilindro circular Dados Escoamento bidimensional incompressível e irrotacional formado a partir da superposição de um dipolo e um escoamento uniforme Determinar a A função de corrente e o potencial de velocidade b O campo de velocidade c Os pontos de estagnação d A superfície do cilindro e A distribuição de pressão superficial f A força de arrasto sobre o cilindro circular g A força de sustentação sobre o cilindro circular Solução As funções de corrente podem ser adicionadas por que o campo de escoamento é incompressível e irrotacional Portanto a partir da Tabela 62 a função de corrente para esta combinação é O potencial de velocidade é As componentes da velocidade correspondentes são obtidas usandose as Eqs 630 O campo de velocidade é Os pontos de estagnação estão onde Portanto V r 0 quando Portanto Vθ 0 quando θ 0 π Os pontos de estagnação são r θ a 0 a π Note que Vr 0 ao longo de r a de modo que isso representa um escoamento em torno de um cilindro circular como mostrado na Tabela 63 O escoamento é irrotacional de modo que a equação de Bernoulli pode ser aplicada entre dois pontos quaisquer Aplicando a equação entre um ponto longe a montante e um ponto sobre a superfície do cilindro desprezando as diferenças de elevação obtemos Portanto Ao longo da superfície r 0 e visto que Λ Ua2 Substituindose obtemos ou O arrasto é a componente da força paralela à direção do escoamento da corrente livre A força de arrasto é dada por como dA a dθ b em que b é o comprimento do cilindro normal ao diagrama Substituindo A sustentação é a componente da força normal na direção do escoamento da corrente livre Por convenção a sustentação positiva é uma força para cima A força de sustentação é dada por Substituindose p obtemos Este problema ilustra Como escoamentos planos elementares podem ser combinados para gerar modelos de escoamentos interessantes e úteis O paradoxo de dAlembert em que escoamentos potenciais sobre um corpo não geram arrasto A função de corrente e a distribuição de pressão estão traçadas em uma planilha Excel Exemplo 612 ESCOAMENTO EM TORNO DE UM CILINDRO COM CIRCULAÇÃO SUPERPOSIÇÃO DE UM DIPOLO ESCOAMENTO UNIFORME E VÓRTICE LIVRE NO SENTIDO HORÁRIO Para escoamento bidimensional incompressível e irrotacional a superposição de um dipolo com um escoamento uniforme e um vórtice livre representa o escoamento em torno de um cilindro circular com circulação Obtenha a função de corrente e o potencial de velocidade para este modelo de escoamento usando um vórtice livre no sentido horário Determine o campo de velocidade localize os pontos de estagnação e a superfície do cilindro e obtenha a distribuição de pressão superficial Integre a distribuição de pressão para obter as forças de arrasto e de sustentação sobre o cilindro circular Relacione a força de sustentação sobre o cilindro com a circulação do vórtice livre Dados Escoamento bidimensional incompressível e irrotacional formado a partir da superposição de um dipolo com um escoamento uniforme e um vórtice livre no sentido horário Determinar a A função de corrente e o potencial de velocidade b O campo de velocidade c Os pontos de estagnação d A superfície do cilindro e A distribuição de pressão superficial f A força de arrasto sobre o cilindro circular g A força de sustentação sobre o cilindro circular h A força de sustentação em função da circulação do vórtice livre Solução As funções de corrente podem ser somadas porque o campo de escoamento é incompressível e irrotacional A partir da Tabela 62 a função corrente e o potencial de velocidade para um vórtice livre no sentido horário são Usando os resultados do Exemplo 611 a função de corrente para a combinação é O potencial de velocidade para a combinação é As componentes da velocidade correspondentes são obtidas usando as Eqs 630 como O campo de velocidade é Os pontos de estagnação estão localizados onde Vr êr Vθ êθ 0 A partir da Eq 1 Portanto Vr 0 quando Os pontos de estagnação estão localizados sobre r a Substituindo na Eq 2 com r a Portanto Vθ 0 ao longo de r a quando Pontos de estagnação Como no Exemplo 611 Vr 0 ao longo de r a de modo que este campo de escoamento representa mais uma vez um escoamento em torno de um cilindro circular como mostrado na Exemplo 611 A presença do vórtice livre K 0 move os pontos de estagnação para baixo do centro do cilindro Portanto o vórtice livre altera a simetria vertical do campo de escoamento O campo de escoamento possui dois pontos de estagnação para uma faixa de intensidade de vórtices entre K 0 e K 4πUa Um ponto de estagnação único é localizado em θ π2 quando K 4πUa Mesmo com o vórtice livre presente o campo de escoamento é irrotacional de modo que a equação de Bernoulli pode ser aplicada entre dois pontos quaisquer Aplicando a equação entre um ponto longe a montante e um ponto sobre a superfície do cilindro obtemos Portanto desprezando as diferenças de elevação Ao longo da superfície r a e Vr 0 de modo que e Portanto O arrasto é a componente da força paralela à direção do escoamento da corrente livre Como no Exemplo 611 a força de arrasto é dada por sendo dA a dθ b em que b é o comprimento do cilindro normal ao diagrama Comparando as distribuições de pressão o vórtice livre contribui apenas para os termos contendo o fator K A contribuição desses termos para a força de arrasto é A sustentação é a componente da força normal na direção do escoamento da corrente livre A força para cima é definida como sustentação positiva A força de sustentação é dada por Comparando as distribuições de pressão o vórtice livre contribui somente para os termos que contêm o fator K A contribuição desses termos para a força de sustentação é Então A circulação é definida por meio da Eq 518 como Sobre a superfície do cilindro r a e Vθ êθ então Substituindo na expressão para a sustentação ou a força de sustentação por unidade de comprimento do cilindro é Este problema ilustra Mais uma vez o paradoxo de dAlembert em que os escoamentos potenciais não geram arrasto sobre um corpo Que a sustentação por unidade de comprimento é ρUΓ Acontece que essa expressão para a sustentação é a mesma para todos os corpos em um escoamento fluido ideal não importando o modelo A função de corrente e a distribuição de pressão são traçadas em uma planilha do Excel 68 Resumo e Equações Úteis Neste capítulo nós Deduzimos a equação de Euler na forma vetorial e em coordenadas retangulares cilíndricas e de linhas de corrente Obtivemos a equação de Bernoulli por integração da equação de Euler ao longo de uma linha de corrente em um escoamento em regime permanente e discutimos suas restrições Vimos também como a equação da primeira lei da termodinâmica reduzse à equação de Bernoulli para um escoamento em regime permanente e incompressível através de um tubo de corrente quando certas restrições são satisfeitas Definimos pressões estática dinâmica e de estagnação total Definimos as linhas de energia e piezométrica Deduzimos a equação de Bernoulli para um escoamento transiente e discutimos suas restrições Observamos que para um escoamento irrotacional em regime permanente e incompressível a equação de Bernoulli aplicase entre dois pontos quaisquer do escoamento Definimos o potencial de velocidade ϕ e discutimos suas restrições Nós também exploramos em detalhe escoamentos bidimensionais incompressíveis e irrotacionais e aprendemos que para estes escoamentos a função de corrente ψ e o potencial de velocidade ϕ satisfazem a equação de Laplace ψ e ϕ podem ser deduzidos a partir das componentes da velocidade e viceversa e as isolinhas da função de corrente ψ e do potencial de velocidade ϕ são ortogonais Nós exploramos como combinar escoamentos potenciais de modo a gerar diversas configurações de escoamentos e como determinar a distribuição de pressão e a sustentação e o arrasto sobre por exemplo uma forma cilíndrica Nota A maior parte das Equações Úteis na tabela a seguir possui diversas restrições ou limitações para usálas com segurança verifique os detalhes no capítulo conforme numeração de referência Equações Úteis A equação de Euler para escoamento incompressível e não viscoso 61 A equação de Euler coordenadas retangulares 62a 62b 62c A equação de Euler coordenadas cilindricas 63a 63b 63c A equação de Bernoulli escoamento em regime permanente incompressível e não viscoso ao longo de uma linha de corrente 68 Definição da carga total de um escoamento 616a Definição da linha de energia LE 616b Definição da linha piezométrica LP 616c Relação entre LE LP e pressão dinâmica 616d A equação de Bernoulli em regime transiente incompressível não viscoso ao longo de uma linha de corrente 621 Definição de função de corrente 2D escoamento incompressível 54 Definição de potencial de velocidade 2D escoamento irrotacional 629 Definição de função de corrente 2D escoamento incompressível coordenadas cilíndricas 58 Definição de potencial de velocidade 2D escoamento irrotacional coordenadas cilíndricas 633 Estudo de Caso O Avião Blended Wing Body O protótipo X48B no túnel da NASA em escala real Crédito Boeing Bob Ferguson A Boeing Phantom Works fez uma parceria com a NASA e o Centro de Pesquisas da Força Aérea dos Estados Unidos para estudar o conceito de uma aeronave avançada que economiza combustível Chamado de BWB do inglês blended wingbody algo como mistura de fuselagemasa o avião se parece mais com uma asa plana triangular do que com o tradicional avião constituído basicamente por um tubo com asas e uma cauda De fato o conceito de um BWB remonta da década de 1940 mas atualmente desenvolvimentos em materiais compósitos e voos por controle estão ficando mais viáveis Pesquisadores testaram um protótipo com 63 m de envergadura modelo em escala 85 do X48B um avião BWB que teria aplicações militares e comerciais O próximo passo é a NASA testar modelos em escala do chamado X48C Esse protótipo será usado para examinar como as montagens dos motores na parte traseira e acima da fuselagem ajudarão a reduzir os barulhos no solo provenientes do motor na decolagem e na aproximação da aeronave O protótipo também possui aletas na cauda para a blindagem adicional de ruído e para ajudar no controle de voo A grande diferença entre o avião BWB e o tradicional avião tuboasa além do fato do tubo ser absorvido em forma de asa é que ele não tem uma cauda O avião convencional precisa de uma cauda para ter estabilidade e controle o BWB usa diferentes superfícies de múltiplos controles e possivelmente aletas de cauda para controlar o aparelho Se for viável o avião BWB terá muitas vantagens Como toda a superfície gera sustentação é necessária menos potência para sua decolagem Estudos mostram também que o BWB pode realizar manobras dentro de um contorno de 80 m de raio que é o valorpadrão nos aeroportos Um BWB poderia transportar até 1000 pessoas tornandose um futuro produto nos Estados Unidos que provocaria mudanças no A380 da Airbus e de suas futuras versões Além da economia de até 30 de combustível devido ao seu melhor desempenho o interior de um avião BWB pode ser radicalmente diferente daquele de um avião atual Os passageiros entrariam em um ambiente parecido ao de uma sala de cinema e não mais em uma metade de cilindro não haveria janelas telas poderiam ser conectadas em câmaras externas e os passageiros se sentariam em um largo teatro eles se sentariam não apenas na parte central da aeronave mas também no interior das asas Referências 1 Shaw R The Influence of Hole Dimensions on Static Pressure Measurements J Fluid Mech 7 Part 4 April 1960 pp 550564 2 Chue S H Pressure Probes for Fluid Measurement Progress in Aerospace Science 16 2 1975 pp 147223 3 United Sensor Corporation 3 Northern Blvd Amherst NH 03031 4 Robertson J M Hydrodynamics in Theory and Application Englewood Cliffs NJ PrenticeHall 1965 5 Streeter V L Fluid Dynamics New York McGrawHill 1948 6 Vallentine H R Applied Hydrodynamics London Butterworths 1959 7 Lamb H Hydrodynamics New York Dover 1945 8 MilneThomson L M Theoretical Hydrodynamics 4th ed New York Macmillan 1960 9 Karamcheti K Principles of IdealFluid Aerodynamics New York Wiley 1966 10 Kirchhoff R H Potential Flows Computer Graphic Solutions New York Marcel Dekker 1985 11 Rouse H and S Ince History of Hydraulics New York Dover 1957 12 Kuethe A M and CY Chow Foundations of Aerodynamics Bases of Aerodynamic Design 4th ed New York Wiley 1986 13 Fluent Fluent Incorporated Centerra Resources Park 10 Cavendish Court Lebanon NH 03766 wwwfluentcom 14 STARCD Adapco 60 Broadhollow Road Melville NY11747 wwwcdadapcocom Problemas Equação de Euler 61 Considere o campo de escoamento com velocidade dada por em que A 328 m1 s1 B 328 m1 s1 e as coordenadas são medidas em metros A massa específica é 1030 kgm3 e a gravidade age no sentido de y negativo Determine a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto x y 03 03 62 Um campo de escoamento incompressível e sem atrito é dado por em que A 2 s1 B 2 s1 e as coordenadas são medidas em metros Determine o módulo e o sentido da aceleração de uma partícula fluida no ponto x y 2 2 Determine o gradiente de pressão no mesmo ponto se g e o fluido for a água 63 Um escoamento horizontal de água é descrito pelo campo de velocidade em que A 1 s1 B 2 ms2 x e y são em metros e t é em segundos Encontre expressões para a aceleração local aceleração convectiva e aceleração total Avalie essas no ponto 1 2 em t 5 s Avalie p neste mesmo ponto e tempo 64 Um campo de velocidade em um fluido com massa específica de 1000 kgm3 é dado por em que A 2 s 2 B 1 s 2 x e y são em metros e t é em segundos As forças de campo são desprezíveis Avalie p no ponto x y 1 2 para t 1 s 65 Considere o campo de escoamento com a velocidade dada por em que A 328 m1 s1 B 1 s1 e as coordenadas são medidas em metros A massa específica é 1030 kgm3e a gravidade age no sentido negativo do eixo y Determine a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto x y 1 1 66 A componente em x da velocidade em um campo de escoamento incompressível é dada por u Ax em que A 2 s1 e as coordenadas são medidas em metros A pressão no ponto x y 0 0 é p0 190 kPa manométrica A massa específica é ρ 150 kgm3 e o eixo z é na vertical Determine a componente mais simples possível da velocidade em y Calcule a aceleração do fluido e determine o gradiente de pressão no ponto x y 2 1 Encontre a distribuição de pressão ao longo do eixo de x positivo 67 Considere o campo de escoamento dado por Ay sen 2πωt em que A 2 s 1 e 1 s 1 A massa específica do fluido é 2 kgm3 Encontre expressões para a aceleração local aceleração convectiva e aceleração total Avalie no ponto 1 1 para t 0 05 e 1 segundo Avalie p neste mesmo ponto e instantes 68 O campo de velocidade para uma fonte plana localizada a uma distância h 1 m acima de uma parede infinita alinhada ao longo do eixo x é dado por em que q 2 m3sm A massa específica do fluido é 1000 kgm3 e as forças de campo são desprezíveis Deduza expressões para a velocidade e aceleração de uma partícula fluida movendose ao longo da parede e trace um gráfico de x 0 a x 10h Verifique se a velocidade e a aceleração normais à parede são iguais a zero Trace um gráfico do gradiente de pressão px ao longo da parede O gradiente de pressão ao longo da parede é adverso ele opõese ao movimento do fluido ou não 69 A distribuição de velocidade em um campo de escoamento bidimensional e em regime permanente no plano xy é em que A 2 s1 B 5 m s1 e C 3 m s1 as coordenadas são medidas em metros e a distribuição das forças de campo é O campo de velocidade representa o escoamento de um fluido incompressível Encontre o ponto de estagnação do campo de escoamento Obtenha uma expressão para o gradiente de pressão no campo de escoamento Avalie a diferença de pressão entre o ponto x y 1 3 e a origem se a massa específica for 12 kgm3 610 Em um escoamento bidimensional sem atrito e incompressível ρ 1500 kgm3 o campo de velocidade em ms é dado por as coordenadas são medidas em metros e A 4 s1 e B 4 s1 A pressão é p0 200 kPa no ponto x y 0 0 Obtenha uma expressão para o campo de pressão px y em função de p0 A e B e avalie a pressão no ponto x y 2 2 611 Um líquido incompressível com massa específica igual a 1250 kgm3 e viscosidade desprezível escoa em regime permanente através de um tubo horizontal de diâmetro constante Em uma seção porosa de comprimento L 5 m líquido é removido a uma taxa constante por unidade de comprimento de tal forma que a velocidade uniforme axial no tubo é ux U1 xL em que U 15 ms Desenvolva expressões para a aceleração de uma partícula fluida ao longo da linha de centro da seção porosa e para o gradiente de pressão ao longo desta linha Avalie a pressão de saída se a pressão na entrada da seção porosa for igual a 100 kPa manométrica 612 Um líquido incompressível com massa específica igual a 900 kgm3 e viscosidade desprezível escoa em regime permanente através de um tubo horizontal de diâmetro constante Em uma seção porosa de comprimento L 2 m líquido é removido a uma taxa variável ao longo do comprimento de tal forma que a velocidade uniforme axial no tubo é ux UexL em que U 20 ms Desenvolva expressões para a aceleração de uma partícula fluida ao longo da linha de centro da seção porosa e para o gradiente de pressão ao longo desta linha Avalie a pressão de saída se a pressão na entrada da seção porosa for igual a 50 kPa manométrica 613 Para o escoamento do Problema 4123 mostre que a variação da velocidade radial uniforme é Vr Q2πrh Obtenha expressões para a componente r da aceleração de uma partícula fluida na fresta e para a variação de pressão como uma função da distância radial a partir dos orifícios centrais 614 O campo de velocidade para um sorvedouro plano do tipo vórtice é dado por q2πrêr K2πrêθ em que q 2 m3sm e K 1 m 3sm A massa específica do fluido é 1000 kgm 3 Calcule a aceleração em 1 0 1 π2 e 2 0 Determine p para estas mesmas situações 615 Um fluido incompressível e invíscido escoa para dentro de um tubo circular horizontal através de sua parede porosa O tubo é fechado na extremidade esquerda e o escoamento descarrega para a atmosfera pela extremidade direita Para simplificar considere a componente x da velocidade uniforme através de qualquer seção transversal no interior do tubo A massa específica do fluido é ρ o diâmetro e o comprimento do tubo são D e L respectivamente e a velocidade uniforme de entrada do fluido é υ0 O escoamento é em regime permanente Obtenha uma expressão algébrica para a componente x da aceleração de uma partícula fluida localizada na posição x em termos de υ0 x e D Encontre uma expressão para o gradiente de pressão px na posição x Integre para obter uma expressão para a pressão manométrica em x 0 616 Um líquido incompressível com viscosidade desprezível e massa específica ρ 850 kgm3 escoa em regime permanente através de um tubo horizontal A área da seção transversal do tubo varia linearmente de 100 cm2 para 25 cm2 ao longo de um comprimento de 2 m Desenvolva uma expressão e trace o gráfico para o gradiente de pressão e para a pressão em função da posição ao longo do tubo se a velocidade da linha de centro na entrada é 1 ms e a pressão na entrada é 250 kPa Qual é a pressão na saída Sugestão Use a relação 617 Um líquido incompressível com viscosidade desprezível e massa específica ρ 1250 kgm3 escoa em regime permanente através de um tubo de 5 m de comprimento com seção convergentedivergente cuja área varia de acordo com a equação em que A0 025 m2 e a 15 m Trace o gráfico da área para os primeiros 5 m Desenvolva uma expressão e trace o gráfico para o gradiente de pressão e para a pressão em função da posição ao longo do tubo para os primeiros 5 m se a velocidade da linha de centro na entrada for 10 ms e a pressão na entrada for 300 kPa Sugestão Use a relação 618 Um bocal para um fluido incompressível e invíscido com massa específica ρ 1000 kgm3 consiste em uma seção de tubo convergente Na entrada o diâmetro é De 100 mm e na saída o diâmetro é Ds 20 mm O comprimento do difusor é L 500 mm e o diâmetro decresce linearmente com a distância x ao longo do bocal Deduza e trace um gráfico da aceleração de uma partícula fluida considerando escoamento uniforme em cada seção se a velocidade na entrada for Ve 1 ms Trace um gráfico do gradiente de pressão ao longo do bocal e determine seu valor máximo absoluto Qual deve ser o comprimento do bocal de modo que o gradiente de pressão não ultrapasse 5 MPam em valor absoluto 619 Um difusor para um fluido incompressível e invíscido com massa específica ρ 1000 kgm3 consiste em uma seção de tubo divergente Na entrada o diâmetro é De 025 m e na saída o diâmetro é Ds 075 m O comprimento do difusor é L 1 m e o diâmetro cresce linearmente com a distância x ao longo do difusor Deduza e trace um gráfico da aceleração de uma partícula fluida considerando escoamento uniforme em cada seção se a velocidade na entrada for Ve 5 ms Trace um gráfico do gradiente de pressão ao longo do difusor e determine seu valor máximo Qual deve ser o comprimento do difusor de modo que o gradiente de pressão não ultrapasse 25 kPam 620 Considere o escoamento do Problema 548 Avalie o módulo direção e sentido da força resultante de pressão que age sobre a placa superior entre ri e R se ri R2 621 Considere novamente o campo de escoamento do Problema 565 Considere que o escoamento é incompressível com ρ 123 kgm3 e sem atrito Suponha ainda que a velocidade vertical do fluxo de ar é ν0 15 mms que a meialargura da cavidade é L 22 mm e a sua altura é h 12 mm Calcule o gradiente de pressão em x y L h Obtenha uma equação para as linhas de corrente do escoamento dentro da cavidade 622 Uma camada de líquido separa duas superfícies planas conforme mostrado A superfície inferior é estacionária a superfície superior movese para baixo com velocidade constante V A superfície móvel tem largura w perpendicular ao plano da figura e w L A camada de líquido incompressível de massa específica ρ é espremida para fora do espaço entre as superfícies Considere que o escoamento é uniforme em qualquer seção e despreze a viscosidade como primeira aproximação Use um volume de controle adequadamente escolhido para mostrar que u Vxb dentro da fresta em que b b0 Vt Obtenha uma expressão algébrica para a aceleração de uma partícula fluida localizada em x Determine o gradiente de pressão px na camada líquida Determine a distribuição de pressão px Obtenha uma expressão para a força resultante de pressão que age sobre a superfície móvel plana superior 623 Um chip retangular de microcircuito flutua sobre uma fina camada de ar com espessura h 05 mm acima de uma superfície porosa A largura do chip é b 40 mm conforme mostrado O seu comprimento L é muito grande na direção perpendicular ao plano da figura Não há escoamento na direção z Considere que o escoamento na direção x na fresta sob o chip é uniforme O escoamento é incompressível e os efeitos de atrito podem ser desprezados Use um volume de controle adequadamente escolhido para mostrar que Ux qxh na fresta Encontre uma expressão geral 2D para a aceleração de uma partícula fluida na fresta em função de q h x e y Obtenha uma expressão para o gradiente de pressão px Considere que a face superior do chip está sujeita à pressão atmosférica e ache uma expressão para a força líquida de pressão no chip essa força é voltada para cima ou para baixo Explique Determine a vazão q requerida m3sm2 e a velocidade máxima se a massa por unidade de comprimento do chip for 0005 kgm Trace o gráfico da distribuição de pressão como parte da sua explicação sobre o sentido da força líquida 624 Grandes cargas podem ser movimentadas com relativa facilidade sobre colchões de ar com o emprego de uma plataforma de carga conforme mostrado O ar é suprido da câmara ou pleno através da superfície porosa AB Ele penetra no espaço abaixo da plataforma verticalmente com velocidade uniforme q Neste espaço todo o ar escoa no sentido positivo do x não há escoamento através do plano em x 0 Considere que o fluxo de ar na fresta é incompressível e uniforme em cada seção com velocidade ux conforme mostrado na vista ampliada Embora a fresta seja estreita h L despreze efeitos de atrito em primeira aproximação Use um volume de controle adequadamente escolhido para mostrar que ux qxh na fresta Calcule a aceleração de uma partícula fluida na fresta Avalie o gradiente de pressão px e esboce a distribuição de pressão através da fresta Certifiquese de indicar a pressão em x L 625 Um campo de velocidade é dado por B é uma constante e as coordenadas são medidas em metros Determine o valor e as unidades de B considerando que este campo de velocidade representa um escoamento incompressível Determine a aceleração de uma partícula fluida no ponto x y 2 1 Avalie a componente da aceleração da partícula normal ao vetor velocidade neste ponto 626 A componente x da velocidade em um campo de escoamento incompressível bidimensional é dada por υ Axy em que υ é em ms as coordenadas são medidas em metros e A 1 m1 s1 Não há componente ou variação de velocidade na direção z Calcule a aceleração de uma partícula fluida no ponto x y 1 2 Estime o raio de curvatura da linha de corrente que passa por este ponto Trace a linha de corrente e mostre os vetores velocidade e aceleração no gráfico Considere a forma mais simples da componente da velocidade em x 627 Considere o campo de escoamento B é uma constante e as coordenadas são medidas em metros Determine B para este escoamento ser incompressível Obtenha a equação para a linha de corrente que passa através do ponto x y 1 2 Deduza uma expressão algébrica para a aceleração de uma partícula fluida Estime o raio de curvatura da linha de corrente em x y 1 2 628 O campo de velocidade para um dipolo plano é dado na Tabela 62 Determine uma expressão para o gradiente de pressão em qualquer ponto r θ 629 Escoamento de ar em regime permanente incompressível e sem atrito da direita para a esquerda sobre um cilindro circular estacionário de raio a é dado pelo campo de velocidade Considere o escoamento ao longo da linha de corrente que forma a superfície do cilindro r a Obtenha uma expressão para a variação de pressão manométrica sobre a superfície do cilindro Para U 75 ms e a 150 mm trace o gráfico da distribuição da pressão manométrica e encontre a pressão mínima Trace um gráfico da velocidade V como função de r ao longo da linha radial θ π2 para r a isto é diretamente acima do cilindro e explique 630 Para modelar a distribuição de velocidade na seção curva de entrada de um túnel de vento o raio de curvatura das linhas de corrente é expresso como R LR02y Em primeira aproximação considere que a velocidade do ar ao longo de cada linha de corrente é V 10 ms Encontre uma expressão e trace o gráfico da distribuição de pressão de y 0 até a parede do túnel em y L2 se a pressão manométrica na linha de centro for 50 kPa L 75 mm e R0 02 m Avalie o valor de V para o qual a pressão estática na parede se torna igual a 35 kPa 631 Ar a 138 kPa abs e 38ºC escoa em torno de uma quina arredondada na entrada de um difusor A velocidade do ar é 46 ms e o raio de curvatura das linhas de corrente é 75 mm Determine o módulo da aceleração centrípeta experimentada por uma partícula fluida percorrendo a quina Expresse a sua resposta em gs número de acelerações da gravidade Avalie o gradiente de pressão pr 632 Repita o Exemplo 61 porém com uma consideração um pouco mais realista de que o escoamento é similar a um perfil de vórtice livre irrotacional Vθ cr em que c é uma constante como mostrado na Fig P632 Fazendo isso prove que a vazão é dada por em que k é e w é a profundidade da curva 633 O campo de velocidade em um campo de escoamento bidimensional em regime permanente e não viscoso no plano horizontal xy é dado por em que A 1 s1 e B 2 ms x e y são medidos em metros Mostre que as linhas de corrente para este escoamento são dadas por x BAy constante Trace linhas de corrente passando pelos pontos x y 1 11 2 e 2 2 Determine a aceleração e a velocidade no ponto x y 1 2 e trace seus vetores no gráfico da linha de corrente Determine a componente da aceleração ao longo da linha de corrente neste ponto expressea como um vetor Avalie o gradiente de pressão no mesmo ponto se o fluido for ar Que afirmação se houver você pode fazer sobre o valor relativo da pressão nos pontos 1 1 e 2 2 634 Usando as análises do Exemplo 61 e do Problema 632 trace um gráfico da discrepância percentual entre as vazões obtidas a partir da consideração de escoamento uniforme e perfil de vórtice irrotacional livre em função do raio interno r1 635 A componente x da velocidade em um campo de escoamento bidimensional e incompressível é dada por u Ax2 A 328 m1 s 1e as coordenadas são medidas em metros Não há componente ou variação de velocidade na direção z Calcule a aceleração de uma partícula fluida no ponto x y 03 06 Estime o raio de curvatura da linha de corrente que passa por este ponto Trace a linha de corrente e mostre os vetores velocidade e aceleração no gráfico Considere a forma mais simples da componente da velocidade em y 636 A componente x da velocidade em um escoamento incompressível e bidimensional é dada por u Λx2 y2x2 y22 em que u é dada em ms as coordenadas são medidas em metros e Λ 2 m3 s1 Mostre que a forma mais simples da velocidade em y é dada por υ 2Λxyx2 y22 Não há componente ou variação de velocidade na direção z Calcule a aceleração de uma partícula fluida nos pontos x y 0 1 0 2 e 0 3 Estime os raios de curvatura das linhas de corrente passando por estes pontos O que a relação entre estes três pontos e os seus raios de curvatura sugere sobre o campo de escoamento Verifique isso traçando as três linhas de corrente Sugestão Será necessário usar um fator integrante 637 A componente x da velocidade em um campo de escoamento bidimensional incompressível é dada por u Axy as coordenadas são medidas em metros e A 2 m1 s1 Não há componente ou variação de velocidade na direção z Calcule a aceleração de uma partícula fluida no ponto x y 2 1 Estime o raio de curvatura da linha de corrente que passa por este ponto Trace um gráfico da linha de corrente e mostre os vetores velocidade e aceleração Considere a forma mais simples da componente da velocidade em y A Equação de Bernoulli 638 Água escoa com velocidade de 3 ms Calcule a pressão dinâmica deste escoamento Expresse sua resposta em polegadas de mercúrio 639 Calcule a pressão dinâmica que corresponde a uma velocidade de 100 kmh no arpadrão Expresse sua resposta em milímetros de água 640 Trace o gráfico da velocidade do ar versus a pressão dinâmica em milímetros de mercúrio para uma pressão dinâmica de até 250 mmHg 641 Você coloca a mão aberta para fora da janela em um automóvel em uma posição perpendicular ao escoamento do ar Considerando por simplicidade que a pressão do ar em toda a superfície frontal da sua mão é a pressão de estagnação com respeito às coordenadas do automóvel e que a pressão atmosférica age sobre o dorso da sua mão estime a força líquida que você sente na mão quando o automóvel está a a 48 kmh e b 96 kmh Você acha que este resultado se aproxima bem ou apenas grosseiramente do valor real As simplificações feitas levam a um valor subestimado ou superestimado da força sobre a mão 642 Um jato de ar é soprado de um bocal perpendicularmente contra uma parede na qual existem duas tomadas de pressão Um manômetro conectado à tomada colocada diretamente na frente do jato mostra uma altura de carga de 25 mm de mercúrio acima da pressão atmosférica Determine a velocidade aproximada do ar que sai do bocal a 10C e 200 kPa Na segunda tomada um manômetro indica uma altura de carga de 5 mm de mercúrio acima da pressão atmosférica qual é a velocidade aproximada do ar neste local 643 Um tubo pitotestático é usado para medir a velocidade do ar na condiçãopadrão em um ponto de um escoamento A fim de assegurar que o escoamento possa ser considerado incompressível para cálculos de engenharia a velocidade deve ser mantida em 100 ms ou menos Determine a deflexão do manômetro em milímetros de água que corresponde à velocidade máxima desejada 644 A contração de entrada e a seção de teste de um túnel de vento de laboratório estão esquematizadas na figura A velocidade do ar na seção de teste é U 50 ms Um tubo pitot apontado diretamente para montante no escoamento indica que a pressão de estagnação na linha de centro da seção de teste é 10 mm de água abaixo da pressão atmosférica O laboratório é mantido na pressão atmosférica e à temperatura de 5ºC Avalie a pressão dinâmica na linha de centro da seção de teste do túnel de vento Calcule a pressão estática no mesmo ponto Qualitativamente compare a pressão estática na parede do túnel com aquela na linha de centro Explique por que as duas não podem ser idênticas 645 Trabalhos de manutenção em sistemas hidráulicos de alta pressão exigem cuidados especiais Um pequeno vazamento pode causar um jato de fluido hidráulico de alta velocidade que pode penetrar na pele e provocar ferimentos sérios por isso os mecânicos são instruídos a usar um pedaço de papel ou de papelão e não um dedo para detectar vazamentos Calcule e trace um gráfico da velocidade do jato de um vazamento versus a pressão do sistema para pressões até 40 MPa manométrica Explique como um jato de alta velocidade de fluido hidráulico pode causar ferimentos 646 Um túnel de vento de circuito aberto aspira ar da atmosfera através de um bocal com perfil aerodinâmico Na seção de teste onde o escoamento é retilíneo e aproximadamente uniforme há uma tomada de pressão estática instalada na parede do túnel Um manômetro conectado a essa tomada mostra que a pressão estática dentro do túnel é 45 mm de água abaixo da pressão atmosférica Considere que o ar é incompressível e que está a 25ºC e 100 kPa absoluta Calcule a velocidade do ar na seção de teste do túnel de vento 647 O carrinho com pá defletora do Problema 4128 se movimenta sem atrito Ele deve acelerar para a direita A velocidade do jato é V 40 ms A área do jato permanece constante em A 25 mm2 Desconsidere forças viscosas entre a água e a pá Para o instante em que o carrinho atinge a velocidade U 15 ms calcule a pressão de estagnação da água saindo do bocal com respeito a um observador fixo a pressão de estagnação do jato de água saindo do bocal com respeito a um observador sobre o carrinho a velocidade absoluta do jato saindo da válvula com respeito a um observador fixo e a pressão de estagnação do jato saindo da válvula com respeito a um observador fixo Como as forças viscosas afetariam a pressão de estagnação do jato isto é as forças viscosas aumentariam diminuiriam ou não alterariam a pressão de estagnação Justifique a sua resposta 648 A água escoa em regime permanente para cima no interior do tubo vertical de 01 m de diâmetro e é descarregada para a atmosfera através do bocal que tem 005 m de diâmetro A velocidade média do escoamento na saída do bocal deve ser de 20 ms Calcule a pressão manométrica mínima requerida na seção Se o equipamento fosse invertido verticalmente qual seria a pressão mínima requerida na seção para manter a velocidade na saída do bocal em 20 ms 649 A água escoa em um duto circular Em uma seção o diâmetro é 03 m a pressão estática é 260 kPa manométrica a velocidade é 3 ms e a elevação é l0 m acima do nível do solo Em uma seção a jusante no nível do solo o diâmetro do duto é 015 m Determine a pressão manométrica na seção de jusante desprezando os efeitos de atrito 650 O seu carro fica sem combustível inesperadamente Para você resolver o problema você retira gasolina de outro usando um sifão A diferença de altura do sifão é cerca de 150 mm O diâmetro da mangueira é de 25 mm Qual é a vazão de gasolina para o seu carro 651 Você um jovem com idade permitida para beber está fazendo cerveja caseira Como parte do processo você deve sugar o mosto a cerveja fermentada com sedimentos no fundo de um tanque limpo por meio de ma mangueira de 5 mm de diâmetro interno Sendo um jovem engenheiro você está curioso sobre a vazão que você pode produzir Encontre uma expressão para a vazão Q em litros por minuto versus a diferença de altura h em milímetros entre a superfície livre do líquido e a boca de saída da mangueira Encontre o valor de h para o qual Q 2 Lmin 652 Um tanque a pressão de 50 kPa manométrica fura um tubo de modo que benzeno é ejetado no ar para cima Ignorando as perdas que altura o benzeno atinge 653 Uma lata de refrigerante você não sabe se a bebida é diet ou normal possui um pequeno vazamento em um orifício que pulveriza o refrigerante verticalmente para cima no ar a uma altura de 05 m Qual é a pressão no interior da lata de refrigerante estime para os dois tipos de refrigerante 654 A vazão de água através do sifão é 5 Ls a temperatura é de 20ºC e o diâmetro do tubo é 25 mm Calcule a máxima altura permitida h de modo que a pressão no ponto A fique acima da pressão de vapor da água Considere o escoamento sem atrito 655 Uma corrente de líquido movendo a baixa velocidade sai de um bocal apontado diretamente para baixo A velocidade pode ser considerada uniforme na seção de saída do bocal e os efeitos de atrito podem ser desprezados Na saída do bocal localizada na elevação z0 a velocidade e área do jato são V0 e A0 respectivamente Determine a variação da área do jato com a elevação 656 Água escoa de um tanque muito grande através de um tubo de 5 cm de diâmetro O líquido escuro no manômetro é mercúrio Estime a velocidade no tubo e a vazão de descarga Considere o escoamento sem atrito 657 Em uma experiência de laboratório água escoa radialmente para fora através do espaço entre dois discos planos paralelos com velocidade moderada O perímetro dos discos é aberto para a atmosfera Os discos têm diâmetro D 150 mm e o espaçamento entre eles é h 08 mm A vazão mássica medida da água é 305 gs Estime a pressão estática teórica no espaço entre os discos em r 50 mm considerando escoamento sem atrito Na situação de laboratório em que algum atrito existe a pressão medida nesse local nos discos seria acima ou abaixo do valor teórico Por quê 658 Considere um escoamento em regime permanente incompressível e sem atrito sobre a asa de um aeroplano voando a 200 kmh O ar que se aproxima da asa está a 65 kPa manométrica e 10ºC Em certo ponto no escoamento a pressão é 60 kPa Calcule a velocidade do ar relativa à asa nesse ponto e a velocidade absoluta do ar 659 Uma lancha com hidrofólios está se movendo a 20 ms em um lago de água doce Cada hidrofólio está 3 m abaixo da superfície Considere como primeira aproximação que o escoamento é incompressível e invíscido Encontre a pressão de estagnação manométrica na frente de cada hidrofólio Em um ponto do hidrofólio a pressão é 75 kPa manométrica Calcule a velocidade da água relativa ao hidrofólio nesse ponto e a velocidade absoluta da água 660 Um barômetro de mercúrio é transportado em um carro em um dia em que não há vento e a temperatura do ar é 20ºC A leitura correta do barômetro é 761 mm de mercúrio Uma janela é ligeiramente aberta quando o carro viaja a 105 kmh A leitura do barômetro com o carro em movimento é 5 mm de mercúrio mais baixa do que aquela com o carro parado Explique o que está acontecendo Avalie a velocidade local do ar escoando pela janela em relação ao carro 661 Um bocal está acoplado na ponta de uma mangueira de incêndio com diâmetro interno D 75 mm O bocal é de perfil liso e tem diâmetro de saída d 25 mm A pressão de projeto na entrada do bocal é p1 690 kPa manométrica Avalie a máxima vazão volumétrica que este bocal pode fornecer 662 Um carro de corrida trafega em Indianapolis a 983 ms em uma reta O engenheiro da equipe deseja instalar uma tomada de ar na carroceria para obter ar de refrigeração para o piloto A ideia é colocar a tomada em algum lugar ao longo da superfície do carro em que a velocidade do ar seja de 255 ms Calcule a pressão estática no local proposto para a tomada de ar Expresse o aumento de pressão acima da ambiente como uma fração da pressão dinâmica da corrente livre 663 Um escoamento incompressível em regime permanente e sem atrito da esquerda para a direita sobre um cilindro circular estacionário de raio a é representado pelo campo de velocidade Obtenha uma expressão para a distribuição de pressão ao longo da linha de corrente formando a superfície do cilindro r a Determine os locais onde a pressão estática sobre o cilindro é igual à pressão estática da corrente livre 664 O campo de velocidade para uma fonte plana a uma distância h acima de uma parede infinita alinhada ao longo do eixo x foi dado no Problema 68 Usando os dados desse problema trace um gráfico da distribuição de pressões ao longo da parede de x 10h a x 10h considere que a pressão no infinito é atmosférica Determine a força resultante sobre a parede se a pressão sobre a superfície inferior for atmosférica A força tende a puxar a parede em direção à fonte ou a afastála da fonte 665 O campo de velocidade para um dipolo plano é dado na Tabela 62 Se Λ 3 m3 s1 a massa específica do fluido é ρ 15 kgm3 e a pressão no infinito é 100 kPa trace um gráfico da pressão ao longo do eixo x de x 20 m a x 05 m e de x 05 m a x 20 m 666 Um bocal de perfil aerodinâmico com diâmetro de saída d 20 mm está acoplado a um tubo reto por meio de flanges Água escoa no tubo de diâmetro D 50 mm e o bocal a descarrega para a atmosfera Para escoamento em regime permanente e desprezando efeitos de viscosidade determine a vazão em volume no tubo correspondente a uma força axial calculada de 455 N necessária para manter o bocal fixo no tubo 667 Um bocal está acoplado na ponta de uma mangueira de incêndio com diâmetro interno D 75 mm O bocal é de perfil liso e tem diâmetro de saída d 25 mm O bocal foi projetado para operar com uma pressão de água na entrada de 700 kPa manométrica Determine a vazão volumétrica de projeto do bocal Expresse a resposta em Ls Avalie a força axial necessária para manter o bocal imóvel Indique se o acoplamento da mangueira está sob tração ou compressão 668 Água escoa em regime permanente no interior de um tubo de 82 mm in de diâmetro sendo descarregada para a atmosfera através de um bocal com diâmetro 32 mm A vazão é 93 Lmin Calcule a pressão estática mínima requerida na água do tubo para produzir essa vazão Avalie a força axial do bocal sobre o flange do tubo 669 Água escoa em regime permanente através de um cotovelo redutor conforme mostrado O cotovelo é liso e curto e o escoamento acelera de modo que o efeito do atrito é pequeno A vazão em volume é Q 25 Ls O cotovelo está em um plano horizontal Estime a pressão manométrica na seção Calcule a componente x da força exercida pelo cotovelo redutor sobre o tubo de suprimento de água 670 Um bocal é um dispositivo para medir a vazão em um tubo Este bocal específico deve ser usado para medir um escoamento de ar com baixa velocidade para o qual a compressibilidade pode ser desprezada Durante a operação as pressões p1 e p2 são registradas bem como a temperatura a montante T1 Determine a vazão mássica em função de Δp p2 p1 e T1 a constante do gás para o ar e os diâmetros do dispositivo D1 e D2 Considere o escoamento sem atrito O escoamento real será maior ou menor do que o escoamento predito Por quê 671 A ramificação de um vaso sanguíneo é mostrada Sangue à pressão de 140 mmHg escoa no vaso principal a uma vazão de 45 Lmin Estime a pressão do sangue em cada ramo considerando que os vasos comportamse como tubos rígidos que o escoamento é sem atrito e que o vasos situamse em um plano horizontal Qual é a força gerada em um ramo pelo sangue Você pode aproximar a massa específica do sangue em 1060 kgm3 672 Um objeto com superfície inferior plana movese para baixo com velocidade U 15 ms dentro do jato de líquido do Problema 481 Determine a pressão mínima de suprimento necessária para produzir o jato de saída com velocidade V 46 ms Calcule a pressão máxima exercida pelo jato líquido sobre o objeto plano no instante em que ele está h 046 m acima da saída do jato Estime a força do jato de água sobre o objeto 673 Um jato de água é direcionado para cima a partir de um bocal bem projetado com área A1 600 mm2 a velocidade do jato na saída é V1 63 ms O escoamento é em regime permanente e a corrente de líquido não se quebra O ponto está localizado em H 155 m acima do plano de saída do bocal Determine a velocidade no ponto no jato não perturbado Calcule a pressão que seria sentida por um tubo de estagnação posicionado ali Avalie a força que seria exercida sobre uma placa plana posicionada normal à corrente no ponto Esboce a distribuição de pressão sobre a placa 674 Água escoa por uma torneira de cozinha de 125 cm de diâmetro com vazão de 01 Ls O fundo da pia está 45 cm abaixo da saída da torneira A área da seção transversal da corrente de água aumentará diminuirá ou permanecerá constante entre a saída da torneira e o fundo da pia Explique sucintamente Obtenha uma expressão para a área da seção transversal da corrente como uma função da distância y acima do fundo da pia Se uma placa for mantida sob a torneira na posição horizontal como variará a força requerida para segurar a placa com a altura da placa acima da pia Explique sucintamente 675 Um velho truque de mágica é feito com um carretel vazio e uma carta de baralho A carta é apoiada contra o fundo do carretel Contrariamente à intuição quando alguém sopra para baixo através do orifício central do carretel a carta não é expelida na outra extremidade Em vez disso ela é sugada para cima contra o carretel Explique 676 Um jato de ar horizontal e assimétrico com 10 mm de diâmetro atinge um disco vertical de 190 mm de diâmetro A velocidade do jato é 69 ms na saída do bocal Um manômetro é conectado ao centro do disco Calcule a a deflexão se o líquido do manômetro tem SG 175 b a força exercida pelo jato sobre o disco e c a força sobre o disco se for considerado que a pressão de estagnação age sobre toda a superfície frontal do disco Esboce a configuração de linhas de corrente e a distribuição de pressão sobre a face do disco 677 O tanque de diâmetro D tem um orifício arredondado e liso de diâmetro d Em t 0 o nível da água está na altura h0 Desenvolva uma expressão para a relação adimensional entre a altura instantânea e a altura inicial da água hh0 Para Dd 10 trace um gráfico de hh0 como uma função do tempo com h0 como parâmetro para 01 h0 1 m Para h0 1 m trace um gráfico de hh0 como uma função do tempo com Dd como parâmetro para 2 Dd 10 678 O nível de água em um grande tanque é mantido na altura H acima do terreno plano em volta Um bocal bem configurado é instalado na lateral do tanque de modo a produzir um jato de descarga horizontal Desprezando o atrito determine a altura h em que o orifício deve ser feito de modo que a água atinja o solo na máxima distância horizontal X a partir do tanque Trace um gráfico da velocidade do jato V e da distância X como funções de h 0 h H 679 O escoamento sobre uma cabana semicilíndrica pode ser aproximado pela distribuição de velocidade do Problema 663 com 0 θ π Durante uma tempestade a velocidade do vento atinge 100 kmh a temperatura externa é 5ºC Um barômetro dentro da cabana dá uma leitura de 720 mmHg a pressão p é também de 720 mmHg A cabana tem diâmetro de 6 m e comprimento de 18 m Determine a força que tende a arrancar a cabana das suas fundações 680 Muitos parques de recreação utilizam estruturas de bolha inflável Uma bolha cobrindo o equivalente a quatro quadras de tênis tem grosseiramente o formato de um semicilindro com diâmetro de 30 m e comprimento de 70 m Os sopradores usados para inflar a estrutura mantêm a pressão do ar no interior da bolha em 10 mm de coluna de água acima da pressão ambiente A bolha está submetida a um vento que sopra a 60 kmh em uma direção perpendicular ao eixo do semicilindro Usando coordenadas polares com o ângulo θ medido a partir do solo sobre a face da bolha do lado que bate o vento a distribuição de pressões resultante pode ser expressa como em que p é a pressão na superfície p é a pressão atmosférica V é a velocidade do vento Determine a força vertical resultante exercida sobre a estrutura 681 Ar a alta pressão força uma corrente de água através de um pequeno orifício arredondado de área A em um tanque A pressão do ar é suficientemente grande para que a gravidade possa ser desprezada O ar expandese lentamente de modo que a expansão pode ser considerada isotérmica O volume inicial de ar no tanque é Nos instantes posteriores o volume de ar é o volume total do tanque é Obtenha uma expressão algébrica para a vazão mássica da água saindo do tanque Encontre uma expressão algébrica para a taxa de variação na massa de água no interior do tanque Desenvolva uma equação diferencial ordinária e resolva para a massa de água no interior do tanque em qualquer instante Se 5 m3 10 m3 A 25 mm2 e p0 1 MPa trace um gráfico da massa de água no tanque versus o tempo para os primeiros 40 minutos 682 Água escoa com baixa velocidade através de um tubo circular com diâmetro interno de 50 mm Um tampão arredondado e liso de 38 mm de diâmetro é mantido na extremidade do tubo onde a água é descarregada para a atmosfera Ignore efeitos de atrito e considere perfis uniformes de velocidade em cada seção Determine a pressão medida pelo manômetro e a força requerida para manter o tampão no lugar 683 Repita o Problema 681 considerando que o ar se expande de forma tão rápida que a expansão pode ser considerada como adiabática 684 Descreva a distribuição de pressões sobre o exterior de um edifício de lojas sujeito a um vento em regime permanente Identifique os locais de pressões máxima e mínima sobre o lado externo do prédio Discuta o efeito dessas pressões sobre a infiltração de ar externo para o interior do prédio 685 Imagine uma mangueira de jardim com um jato de água saindo através de um bocal na ponta da mangueira Explique por que a extremidade da mangueira pode ficar instável quando ela é segura a cerca de meio metro do bocal 686 Um aspirador produz sucção por meio de uma corrente de água escoando através de um venturi Analise a forma e as dimensões de tal aparelho Comente sobre as limitações sobre o seu uso 687 Um tanque com um orifício reentrante chamado bocal de Borda é mostrado O fluido é não viscoso e incompressível O orifício reentrante essencialmente elimina o escoamento ao longo das paredes do tanque de modo que a pressão ali é aproximadamente hidrostática Calcule o coeficiente de contração CC AjA0 Sugestão Equacione a força de pressão hidrostática e a quantidade de movimento do jato Equação de Bernoulli para Regime Transiente 688 Aplique a equação de Bernoulli para escoamento não permanente ao manômetro de tubo em U de diâmetro constante mostrado Considere que o líquido no manômetro é inicialmente deslocado pela aplicação de um diferencial de pressão e em seguida liberado Obtenha uma equação diferencial para l como uma função do tempo 689 Ar comprimido é usado para acelerar a água que sai de um tanque através de um tubo conforme mostrado Despreze a velocidade da água no tanque e considere que o escoamento no tubo seja uniforme em qualquer seção Em um instante particular sabese que V 18 ms e dVdt 23 ms2 A área da seção reta do tubo é A 20 645 mm2 Determine a pressão no tanque nesse instante 690 Se a água no tubo do Problema 689 está inicialmente em repouso e a pressão do ar é mantida em 21 kPa manométrica qual será a aceleração da água no tubo 691 Considere o sistema de escoamento constituído de reservatório e discos com o nível do reservatório constante conforme mostrado O escoamento entre os discos é iniciado do repouso em t 0 Avalie a taxa de variação da vazão volumétrica em t 0 se r1 50 mm 692 Se a água no tubo do Problema 689 está inicialmente em repouso e a pressão é mantida em 10 3 kPa manométrica deduza uma equação diferencial para a velocidade V no tubo como uma função do tempo integre e trace um gráfico de V em função de t para t 0 a t 5 s 693 Considere o tanque do Problema 446 Usando a equação de Bernoulli para escoamento não permanente ao longo de uma linha de corrente avalie a mínima razão entre diâmetros Dd necessária para justificar a hipótese de que o escoamento no tanque é quase permanente 694 Dois discos circulares de raio R estão separados pela distância b O disco superior se move em direção ao inferior com uma velocidade constante V O espaço entre eles está cheio de um líquido sem atrito não viscoso que é esguichado para fora quando os discos se encontram Considere que a velocidade é uniforme em qualquer seção radial através da fresta de largura b Entretanto note que b é uma função do tempo A pressão em torno dos discos é a atmosférica Determine a pressão manométrica em r 0 Linha de Energia e Linha Piezométrica 695 Esboce cuidadosamente as linhas de energia LE e as linhas piezométricas LP para o sistema mostrado na Fig 66 se o tubo for horizontal isto é a saída está na base do reservatório e uma turbina de água extraindo energia estiver localizada no ponto ou no ponto No Capítulo 8 investigaremos os efeitos do atrito nos escoamentos internos Você seria capaz de antecipar e esboçar o efeito do atrito sobre a LE e a LP para estes dois casos 696 Esboce cuidadosamente as linhas de energia LE e as linhas piezométricas LP para o sistema mostrado na Fig 66 se uma bomba adicionando energia ao fluido estiver localizada no ponto ou no ponto de modo que o escoamento seja para dentro do reservatório No Capítulo 8 investigaremos os efeitos do atrito nos escoamentos internos Você seria capaz de antecipar e esboçar o efeito do atrito sobre a LE e a LP para estes dois casos Escoamento Irrotacional 697 Determine se a equação de Bernoulli pode ser aplicada entre raios diferentes para os campos de escoamento dos vórtices a ωr êθ e b ê K2πr 698 Considere um escoamento bidimensional u ax by e υ cx dy em que a b c e d são constantes Se o escoamento for incompressível e irrotacional encontre a relação entre a b c e d Encontre a função corrente e a função potencial de velocidade deste escoamento 699 Considere o escoamento representado pela função de corrente ψ Ax2y em que A é uma constante dimensional igual a 25 m1 s1 A massa específica é 1200 kgm3 O escoamento é rotacional Pode a diferença de pressão entre os pontos x y 1 4 e 2 1 ser calculada Se afirmativo calcule caso contrário explique por quê 6100 O campo de velocidade para um escoamento bidimensional é em que A 1 s2 B 2 s2 t é dado em segundos e as coordenadas são medidas em metros Este é um possível escoamento incompressível O escoamento é em regime permanente ou transiente Mostre que o escoamento é irrotacional e deduza uma expressão para o potencial de velocidade 6101 Usando a Tabela 62 determine a função de corrente e o potencial de velocidade para uma fonte plana de intensidade q próxima de um canto em 90º A fonte é equidistante h de cada um dos dois planos infinitos que formam o canto Determine a distribuição de velocidades ao longo de um dos planos considerando p p0 no infinito Escolhendo valores adequados para q e h trace linhas de corrente e de potencial de velocidade constantes Sugestão Use a planilha Excel do Exemplo 610 6102 O campo de escoamento para uma fonte plana a uma distância h acima de uma parede infinita alinhada ao longo do eixo x é dada por em que q é a intensidade da fonte O escoamento é irrotacional e incompressível Deduza a função de corrente e o potencial de velocidade Escolhendo valores convenientes para q e h trace linhas de corrente e linhas de potencial de velocidade constante Sugestão Use a planilha Excel do Exemplo 610 6103 Usando a Tabela 62 determine a função de corrente e o potencial de velocidade para um vórtice plano de intensidade K próximo de um canto em 90º O vórtice é equidistante h de cada um dos dois planos infinitos que formam o canto Determine a distribuição de velocidades ao longo de um dos planos considerando p p0 no infinito Escolhendo valores adequados para K e h trace linhas de corrente e de potencial de velocidade constante Sugestão Use a planilha Excel do Exemplo 610 6104 A função de corrente de um campo de escoamento é ψ Ax2y By3 em que A 1 m1 s1 B 13 m1 s1 e as coordenadas são medidas em metros Encontre uma expressão para o potencial de velocidade 6105 Um campo de escoamento é representado pela função de corrente ψ x5 10x3y2 5xy4 Determine o campo de velocidade correspondente Mostre que este campo de escoamento é irrotacional e obtenha a função potencial 6106 A função de corrente de um campo de velocidade é ψ Ax3 Bxy2 em que A 1 m1 s1 e B 3 m1 s1 e as coordenadas são medidas em metros Encontre a expressão para o potencial de velocidade 6107 A função de corrente de um campo de velocidade é ψ Ax3 Bxy2 x2 y2 em que ψ x y A e B são todos adimensionais Encontre a relação entre A e B para esse escoamento Encontre o potencial de velocidade 6108 Um campo de escoamento é representado pela função de potencial ψ x5 15x4y2 15x2y4 y6 Mostre que esse é um campo de escoamento irrotacional e obtenha a função potencial 6109 Considere o campo de escoamento representado pela função potencial ϕ Ax2 Bxy Ay2 Verifique se esse é um escoamento incompressível e determine a função de corrente correspondente 6110 Considere o campo de escoamento representado pela função potencial ϕ x5 10x3y2 5xy4 x2 y2 Verifique se esse é um escoamento incompressível e determine a função de corrente correspondente 6111 Considere o campo de escoamento representado pela função potencial ϕ x6 15x4y2 15x2y4 y6 Verifique se esse é um escoamento incompressível e determine a função de corrente correspondente 6112 Mostre por expansão e separando os termos real e imaginário que f z6 em que z é o número complexo z x iy conduz a um potencial de velocidade válido a parte real de f e a uma função de corrente correspondente a parte negativa imaginária de f de um escoamento irrotacional e incompressível Mostre que as partes real e imaginária de dfdz conduzem a u e υ respectivamente 6113 Mostre que qualquer função diferenciável fz do número complexo z x iy conduz a um potencial válido a parte real de f e a uma função de corrente correspondente a parte negativa imaginária de f de um escoamento irrotacional e incompressível Para fazer isso prove usando a regra da cadeia que fz satisfaz automaticamente a equação de Laplace Então mostre que dfdz u iv 6114 Considere o campo de escoamento representado pelo potencial de velocidade ϕ Ax Bx2 By2 em que A 1 m s1 B 1 m 1 s1 e as coordenadas são medidas em metros Obtenha expressões para o campo de velocidade e a função de corrente Calcule a diferença de pressão entre a origem e o ponto x y 1 2 6115 Um campo de escoamento é representado pela função potencial ϕ Ay3 Bx2y em que A 13 m1 s1 B 1 m1 s1 e as coordenadas são medidas em metros Obtenha uma expressão para o módulo do vetor velocidade Determine a função de corrente para o escoamento Trace linhas de corrente e de potencial constante e verifique visualmente que elas são ortogonais Sugestão Use a planilha Excel do Exemplo 610 6116 Um campo de escoamento incompressível é caracterizado pela função de corrente ψ 3Ax2y Ay3 em que A 1 m1 s1 Deduza o potencial de velocidade para o escoamento Trace linhas de corrente e linhas de potencial e verifique visualmente que elas são ortogonais Sugestão Use a planilha Excel do Exemplo 610 6117 Certo campo de escoamento irrotacional no plano xy tem a função de corrente ψ Bxy em que B 025 s1 e as coordenadas são medidas em metros Determine a vazão entre os pontos x y 2 2 e 3 3 Determine o potencial de velocidade para este escoamento Trace algumas linhas de corrente e de potencial de velocidade e verifique visualmente que elas são ortogonais Sugestão Use a planilha Excel do Exemplo 610 6118 A distribuição de velocidades em um escoamento bidimensional em regime permanente não viscoso no plano xy é em que A 3 s1 B 6 ms C 4 ms e as coordenadas são medidas em metros A distribuição de força de campo é e a massa específica é 825 kgm3 Isso representa um possível campo de escoamento incompressível Trace linhas de corrente no semiplano superior Encontre os pontos de estagnação do campo de escoamento O escoamento é irrotacional Se afirmativo obtenha a função potencial Avalie a diferença de pressão entre a origem e o ponto x y z 2 2 2 6119 Considere o escoamento em torno de um cilindro circular com velocidade de corrente livre da direita para a esquerda e um vórtice livre de sentido antihorário Mostre que a força de sustentação sobre o cilindro pode ser expressa como FL ρUΓ conforme ilustrado no Exemplo 612 6120 Considere o escoamento sobre um cilindro circular de raio a como no Exemplo 611 Mostre que Vr 0 ao longo das linhas r θ r π2 Trace um gráfico de VθU versus o raio para r a ao longo da linha r θ r π2 Determine a distância além da qual a influência do cilindro é inferior a 1 de U 6121 Um modelo grosseiro de um tornado é formado pela combinação de um sorvedouro de intensidade q 2800 m2s e um vórtice livre de intensidade K 5600 m2s Obtenha a função de corrente e o potencial de velocidade para este campo de escoamento Estime o raio além do qual o escoamento pode ser tratado como incompressível Determine a pressão manométrica nesse raio 6122 Uma fonte e um sorvedouro com intensidades de igual magnitude q 3π m2s são colocados sobre o eixo x em x a e x a respectivamente Um escoamento uniforme com velocidade U 20 ms no sentido positivo de x é somado para obter o escoamento sobre um corpo de Rankine Obtenha a função de corrente o potencial de velocidade e o campo de velocidade para o escoamento combinado Determine o valor de ψ constante para a linha de corrente de estagnação Localize os pontos de estagnação se a 03 m 6123 Considere novamente o escoamento sobre um corpo de Rankine do Problema 6122 A meialargura h do corpo na direção y é dada pela equação transcendente Avalie a meialargura h Determine a velocidade local e a pressão nos pontos x y 0 h Considere a massa específica do fluido igual àquela do arpadrão 6124 Um campo de escoamento é formado pela combinação de um escoamento uniforme no sentido positivo de x com U l0 ms e um vórtice de sentido antihorário localizado na origem com intensidade K 16π m2s Obtenha a função de corrente o potencial de velocidade e o campo de velocidade para o escoamento combinado Localize os pontos de estagnação do escoamento Trace linhas de corrente e linhas de potencial Sugestão Use a planilha Excel do Exemplo 610 6125 Considere o campo de escoamento formado pela combinação de um escoamento uniforme no sentido positivo de x e um sorvedouro localizado na origem Seja U 50 ms e q 90 m2s Use um volume de controle adequadamente escolhido para avaliar a força resultante por unidade de profundidade necessária para manter imóvel no arpadrão a forma de superfície gerada pela linha de corrente de estagnação 6126 Considere o campo de escoamento formado pela combinação de um escoamento uniforme no sentido positivo de x e uma fonte localizada na origem Obtenha expressões para a função de corrente o potencial de velocidade e o campo de velocidade para o escoamento combinado Para U 25 ms determine a intensidade da fonte se o ponto de estagnação estiver localizado em x 1 m Trace linhas de corrente e de potencial Sugestão Use a planilha Excel do Exemplo 610 6127 Considere o campo de escoamento formado pela combinação de um escoamento uniforme no sentido positivo de x e uma fonte localizada na origem Seja U 30 ms e q 150 m2s Trace um gráfico da razão entre a velocidade local e a velocidade da corrente livre versus θ ao longo da linha de corrente de estagnação Localize os pontos sobre a linha de corrente de estagnação onde a velocidade atinge seu valor máximo Determine a pressão manométrica ali considerando a massa específica do fluido igual a 12 kgm3 1Para o caso de escoamento irrotacional a constante tem valor único para todo o campo de escoamento Seção 67 Esta seção pode ser omitida sem perda de continuidade no material do texto 2A identidade vetorial pode ser verificada expandindo cada lado em suas componentes Esta seção pode ser omitida sem perda de continuidade no material do texto Note que a Seção 52 apresenta conhecimento sobre o material necessário para o estudo desta seção 3Que 0 pode ser facilmente demonstrado mediante a expansão em componentes 4Pessoas interessadas em um estudo detalhado sobre a teoria do escoamento potencial podem achar as referências 46 de interesse Esses tópicos aplicamse a seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Esses problemas requerem material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Esses problemas requerem material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Esses problemas requerem material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Esses problemas requerem material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Análise Dimensional e Semelhança 71 As Equações Diferenciais Básicas Adimensionais 72 A Natureza da Análise Dimensional 73 O Teorema Pi de Buckingham 74 Determinação dos Grupos Π 75 Grupos Adimensionais Importantes na Mecânica dos Fluidos 76 Semelhança de Escoamentos e Estudos de Modelos 77 Resumo e Equações Úteis Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente Energia das Correntes em Rios e Oceanos O Vivace Temos até agora apresentado Estudos de Caso em Energia e Meio Ambiente principalmente sobre energia das ondas porém muitos desenvolvimentos estão ocorrendo em energia das correntes em rios e oceanos na verdade em energia disponível em qualquer local que exista uma corrente tais como os estuários e rios e não somente nos oceanos Uma abundância de energia está disponível Embora as correntes dos rios e dos oceanos se movam lentamente em comparação com as velocidades típicas dos ventos elas carregam uma grande quantidade de energia porque a água é em torno de 1000 vezes mais densa que o ar e o fluxo de energia em uma corrente é diretamente proporcional à massa específica Consequentemente água movendose a 16 kmh exerce aproximadamente a mesma quantidade de força do que o vento a 160 kmh As correntes dos rios e oceanos contêm uma enorme quantidade de energia que pode ser capturada e convertida para uma forma usável Por exemplo perto da superfície da corrente do estreito da Flórida EUA a densidade de energia extraível relativamente constante é da ordem de 1 kWm2 de área de escoamento Estimase que a captura de apenas 11000 da energia disponível da corrente do golfo poderia fornecer à Flórida 35 de suas necessidades de energia elétrica Uma turbina de eixo vertical e outra de eixo horizontal e um dispositivo de pá flutuante Cortesia da Universidade de Strathclyde O aproveitamento da energia das correntes dos oceanos está em um estágio inicial de desenvolvimento e apenas um pequeno número de protótipos e unidades de demonstração foi testado até agora Uma equipe de jovens engenheiros na University of Strathclyde na Escócia fez recentemente uma pesquisa sobre os desenvolvimentos na área Eles concluíram que talvez a abordagem mais óbvia seja o uso de turbinas submersas A primeira figura mostra uma turbina de eixo horizontal que é similar à turbina eólica e uma turbina de eixo vertical Em cada caso colunas cabos ou ancoras são necessárias para manter as turbinas estacionárias com relação às correntes com as quais elas interagem Por exemplo amarradas com cabos de tal forma que a corrente interage com a turbina para manter a sua posição e estabilidade isto é análogo à pipa voadora submersa com a turbina desempenhando o papel da pipa e a âncora no fundo do oceano o papel da pipa voadora As turbinas podem ser recobertas com tubos de Venturi em torno das pás para aumentar a velocidade de escoamento e a saída de energia da turbina Em regiões com correntes potentes sobre uma grande área as turbinas poderiam ser montadas em aglomerados similarmente às fazendas de turbinas eólicas Um espaço seria necessário entre as turbinas de água para eliminar os efeitos interativos de esteira e para permitir o acesso para os navios de manutenção Os engenheiros em Strathclyde discutem também o terceiro dispositivo mostrado na figura um projeto de uma folha oscilante onde um ângulo de ataque do hidrofólio seria ajustado repetidamente para gerar uma força de sustentação que é para cima e em seguida para baixo O mecanismo e controles usariam esta força oscilante para gerar energia A vantagem desse projeto é que não existem partes rotativas que poderiam ser obstruídas mas a desvantagem é que os sistemas de controle envolvidos seriam bastante complexos Para que a energia de correntes dos oceanos seja explorada comercialmente com sucesso uma diversidade de desafios técnicos necessita ser abordada incluindo problemas de cavitação prevenção do acúmulo de crescimento marinho nas pás das turbinas e resistência à corrosão As preocupações ambientais incluem a proteção da vida selvagem peixes e mamíferos marinhos do movimento das pás das turbinas Conforme a pesquisa nestes tipos de turbinas e folhas continua os engenheiros procuram também outros dispositivos alternativos Um bom exemplo é o trabalho do Professor Michael Bernitsas do Departamento de Arquitetura Naval e Engenharia Marinha da University of Michigan Ele desenvolveu um novo dispositivo chamado de Conversor Vivace que usa um fenômeno bem conhecido de vibrações induzidas por vórtex para extrair energia de uma corrente escoando Estamos todos familiarizados com as vibrações induzidas por vórtex nas quais um objeto em um escoamento é colocado para vibrar devido ao derramamento de vórtices primeiramente de um lado e depois do outro lado da traseira do objeto Por exemplo cabos ou fios frequentemente vibram no vento às vezes o suficiente para fazer ruído tons eólicos muitas chaminés industriais e antenas de automóvel possuem uma superfície em espiral construída em seu interior especificamente para suprimir esta vibração Outro exemplo famoso é o colapso em 1940 da ponte Tacoma Narrows no estado de Washington nos EUA que muitos engenheiros acreditam que foi devido ao derramamento de vórtices de ventos cruzados um vídeo bastante assustador mas fascinante deste acontecimento pode facilmente ser obtido na Internet O Professor Bernitsas fez uma fonte de energia a partir de um fenômeno que é normalmente um estorvo ou um perigo O Conversor Vivace Cortesia do Professor Michael Bernitsas A figura mostra uma conceitualização desse dispositivo que consiste de uma montagem de cilindros submersos horizontais Conforme a corrente escoa através desses cilindros ocorre um derramamento de vórtices gerando uma força oscilatória para cima e para baixo sobre cada cilindro Em vez de serem rigidamente montados os cilindros são anexados a um sistema hidráulico projetado de tal forma que conforme os cilindros são forçados para cima e para baixo eles geram energia Enquanto os sistemas de turbinas existentes necessitam de uma corrente de em torno de 25 ms para operar eficientemente o conversor Vivace pode gerar energia usando correntes lentas com velocidade de apenas 05 ms a maior parte das correntes na terra tem velocidade menor do que 15 ms O dispositivo também não obstrui vistas ou acessos sobre a superfície da água porque pode ser instalado no fundo do rio ou oceano É provável que esta nova tecnologia seja mais amigável com a vida aquática porque possui movimento mais lento e imita os modelos de vórtice naturais criados pelo movimento de peixes nadando Uma instalação de 1 15 km em uma corrente de 15 ms poderia gerar energia suficiente para abastecer 100000 residências Um protótipo financiado pelo Departamento de Energia e pelo Escritório de Pesquisa naval dos EUA está atualmente em operação no Laboratório de Hidrodinâmica Marinha da University of Michigan O fenômeno de derramamento de vórtice é discutido no Capítulo 9 o medidor de vazão tipo vórtice que explora o fenômeno para medir vazão é discutido no Capítulo 8 Discutiremos o projeto de aerofólio no Capítulo 9 e os conceitos envolvidos na operação de turbinas e propulsores no Capítulo 10 Nos capítulos precedentes mencionamos diversos exemplos nos quais alegamos que um escoamento simplificado existe Por exemplo estabelecemos que um escoamento com uma velocidade típica V será essencialmente incompressível se o número de Mach M Vc em que c é a velocidade do som for menor do que 03 e que podemos desprezar os efeitos viscosos na maior parte de um escoamento se o número de Reynolds Re ρVLμ em que L é um comprimento típico ou característico do escoamento for grande Também faremos uso extensivo do número de Reynolds baseado no diâmetro do tubo D Re ρVDμ para predizer com alto grau de exatidão se o escoamento no tubo é laminar ou turbulento Acontece que existem muitos desses números ou grupos adimensionais na ciência da engenharia por exemplo na transferência de calor o valor do número de Biot Bi hLk de um corpo quente em que L é um comprimento característico e k a condutividade térmica indica se aquele corpo tenderá a resfriar primeiramente na superfície externa ou resfriará uniformemente quando mergulhado em um fluido refrigerante com coeficiente de transferência de calor por convecção h Você pode descobrir o que um alto número de Biot prediz Como fazemos para obter estes grupos adimensionais e por que os seus valores possuem um poder de predição tão grande As respostas a estas questões serão fornecidas neste capítulo quando for apresentado o método da análise adimensional Esta é uma técnica para adquirir conhecimento em escoamentos de fluidos na verdade em muitos fenômenos de ciência e de engenharia antes de fazermos extensas análises teóricas ou experimentais esta técnica também permite extrair tendências a partir de dados que de outra forma ficariam desorganizados e incoerentes Discutiremos também modelagem Por exemplo como fazer para realizar testes corretos de arrasto em um túnel de vento sobre um modelo de automóvel em escala 38 para prever o arrasto que existiria sobre um automóvel em escala 11 movendose a certa velocidade Devemos usar a mesma velocidade para o modelo e para o automóvel real Como fazer para obter o arrasto sobre o automóvel real a partir do arrasto medido sobre o modelo em escala reduzida 71 As Equações Diferenciais Básicas Adimensionais Antes de descrever a análise dimensional vamos ver o que podemos aprender de nossas descrições analíticas prévias do escoamento de fluidos Considere por exemplo um escoamento em regime permanente incompressível e bidimensional de um fluido Newtoniano com viscosidade constante isto já é realmente uma lista de considerações A equação da conservação da massa Eq 51c tornase e as equações de NavierStokes Eqs 527 reduzemse a e Conforme discutido na Seção 54 estas equações formam um conjunto de equações diferenciais parciais e não lineares acopladas para u υ e p e são de difícil solução para a maioria dos escoamentos A Equação 71 possui dimensões de 1tempo e as Eqs 72 e 73 possuem dimensões de forçavolume Vejamos o que acontece quando nós as convertemos em equações adimensionais Mesmo que você não tenha estudado a Seção 54 você será capaz de entender o material seguinte Para tornar estas equações adimensionais dividimos todos os comprimentos por um comprimento de referência L e todas as velocidades por uma velocidade de referência V que usualmente é a velocidade da corrente livre Tornemos a pressão adimensional dividindoa por ρV2 o dobro da pressão dinâmica da corrente livre Denotando as quantidades adimensionais por asteriscos obteremos de modo que x xL y yL u uV e assim por diante Podemos substituir nas Eqs de 71 a 73 mostramos a seguir duas substituições representativas e Usando este procedimento as equações tornamse Dividindo a Eq 75 por VL e as Eqs 76 e 77 por ρV2L resulta As Eqs 78 79 e 710 são as formas adimensionais de nossas equações originais Eqs 71 72 e 73 Como tais podemos pensar em suas soluções com as condições de contorno apropriadas como um exercício em matemática aplicada A Eq 79 contém um coeficiente adimensional μρVL que reconhecemos como sendo o inverso do número de Reynolds na frente dos termos de segunda ordem viscosos a Eq 710 contém este e outro coeficiente adimensional o qual nós discutiremos sucintamente para o termo da força de gravidade Lembramos da teoria das equações diferenciais que a forma matemática da solução de tais equações é muito sensível aos valores dos coeficientes nas equações por exemplo certas equações diferenciais parciais de segunda ordem podem ser elípticas parabólicas ou hiperbólicas dependendo dos valores dos coeficientes Estas equações informam que a solução e portanto a configuração real do escoamento que elas descrevem depende dos valores dos dois coeficientes Por exemplo se μρVL é muito pequeno isto é o número de Reynolds é alto as diferenciais de segunda ordem representando as forças viscosas podem ser desconsideradas pelo menos na maior parte do escoamento e nos deparamos com a formulação das equações de Euler Eqs 62 Dizemos na maior parte do escoamento porque já aprendemos que na realidade para este caso nós teremos uma camada limite na qual existe um efeito significativo da viscosidade além do mais do ponto de vista matemático é sempre perigoso desconsiderar derivadas de ordem superior mesmo se os seus coeficientes forem pequenos porque a redução para uma equação de ordem inferior significa a perda de uma condição de contorno especialmente a condição de não deslizamento Podemos prever então que se μρVL é grande ou pequeno as forças viscosas serão significativas ou não respectivamente se é grande ou pequeno podemos prever que as forças de gravidade serão significativas ou não respectivamente Podemos portanto ganhar compreensão antes de partir para a solução das equações diferenciais Note que para completar a análise deveríamos aplicar o mesmo procedimento de adimensionalização às condições de contorno do problema o que em geral faz aparecer outros coeficientes adimensionais A escrita das equações de governo na forma adimensional pode então ajudar na compreensão dos fundamentos do fenômeno físico e na identificação das forças dominantes Caso nós tivéssemos dois escoamentos geometricamente semelhantes mas em escalas diferentes satisfazendo as Eqs 78 79 e 710 por exemplo um modelo e um protótipo as equações somente dariam os mesmos resultados matemáticos se os dois escoamentos tivessem os mesmos valores para os dois coeficientes isto é apresentassem a mesma importância relativa da gravidade viscosidade e das forças de inércia Esta formulação não dimensional das equações é também o ponto de partida em métodos numéricos que é com frequência o único meio de obter suas soluções Deduções adicionais e exemplos de estabelecimento de semelhança a partir das equações de governo de um problema são apresentados em Kline 1 e Hansen 2 Veremos agora como o método de análise dimensional pode ser usado para encontrar agrupamentos adimensionais apropriados de parâmetros físicos Como já mencionamos o uso de grupamentos adimensionais é muito útil para medidas experimentais e veremos nas duas próximas seções que podemos obter esses agrupamentos mesmo quando não podemos trabalhar a partir das equações básicas como as Eqs 71 72 e 73 72 A Natureza da Análise Dimensional A maioria dos fenômenos em mecânica dos fluidos apresenta dependência complexa de parâmetros geométricos e do escoamento Por exemplo considere a força de arrasto sobre uma esfera lisa estacionária imersa em uma corrente uniforme Que experimentos devem ser conduzidos para determinar a força de arrasto sobre a esfera Para responder esta questão nós devemos especificar os parâmetros que acreditamos serem importantes na determinação da força de arrasto Obviamente esperamos que a força de arrasto dependa do tamanho da esfera caracterizado pelo diâmetro D da velocidade do fluido V e da sua viscosidade μ Além disso a massa específica do fluido ρ também pode ser importante Representando a força de arrasto por F podemos escrever a equação simbólica F fD V ρ μ Embora possamos ter desconsiderado parâmetros dos quais a força de arrasto dependa tal como a rugosidade superficial ou possamos ter incluído parâmetros sem influência sobre a força de arrasto formulamos o problema de determinação da força de arrasto para uma esfera estacionária em função de quantidades que são controláveis e mensuráveis em laboratório Poderíamos estabelecer um procedimento experimental para a determinação da dependência de F em relação a V D ρ e μ Para verificar como o arrasto F é afetado pela velocidade V colocaríamos a esfera em um túnel de vento e mediríamos F para uma faixa de valores de V Em seguida faríamos mais testes para explorar o efeito de D sobre F utilizando esferas com diâmetros diferentes Já estaríamos gerando uma grande quantidade de dados Se fizermos experimentos em um túnel de vento com 10 velocidades diferentes e 10 tamanhos de esferas diferentes teríamos dados de 100 pontos experimentais Poderíamos apresentar estes resultados sobre um gráfico por exemplo 10 curvas de F em função de V uma para cada tamanho da esfera mas um bom tempo seria consumido na obtenção dos dados Se considerarmos que cada experimento consome 12 hora já teríamos acumulado 50 horas de trabalho E ainda não terminamos em um tanque de água deveríamos repetir todos esses experimentos para valores diferentes de ρ e de μ Nesta etapa talvez fosse necessário pesquisar meios de utilizar outros fluidos de modo a criar condições de testes em uma faixa de valores de ρ e de μ digamos 10 valores de cada Findo os testes de fato ao final de 2 anos e meio com a semana de 40 horas teríamos realizado em torno de 104 testes experimentais Em seguida viria a etapa de tratamento de dados e análise de resultados Como traçaríamos gráficos de F em função de V tendo D ρ e μ como parâmetros Esta seria uma tarefa gigantesca mesmo sendo o fenômeno relativamente simples como o arrasto sobre uma esfera Felizmente não temos que fazer todo esse trabalho Como veremos no Exemplo 71 todos os dados para arrasto sobre uma esfera lisa podem ser expressos como uma simples relação entre dois parâmetros adimensionais na forma VÍDEO Escoamento em Torno de uma Esfera 1 em inglês A forma da função f ainda deve ser determinada experimentalmente mas o interessante é que todas as esferas em todos os fluidos para a maior parte das velocidades irão se ajustar sobre a mesma curva Entretanto em vez de realizar 104 experimentos poderíamos estabelecer a natureza da função com exatidão a partir de 10 experimentos apenas O tempo economizado na realização de apenas 10 em vez de 104 experimentos é óbvio O mais importante neste caso é a grande conveniência experimental Não teremos que pesquisar fluidos com 10 valores diferentes de massa específica e viscosidade nem haverá necessidade de providenciar 10 esferas com diâmetros diferentes Em vez disso somente o parâmetro ρVDμ deve ser variado Isso pode ser realizado simplesmente usando uma esfera por exemplo com 25 mm de diâmetro em um fluido por exemplo o ar e variando somente a velocidade por exemplo Fig 71 Relação de deduzida experimentalmente entre os parâmetros adimensionais 3 VÍDEO Escoamento em Torno de uma Esfera 2 em inglês A Fig 71 mostra alguns dados clássicos para escoamento sobre uma esfera os fatores 12 e π4 foram incluídos no denominador do parâmetro à esquerda na equação apenas para colocálo na forma de um grupo adimensional muito usado o coeficiente de arrasto CD que discutiremos em detalhes no Capítulo 9 Se realizarmos os experimentos conforme delineado anteriormente nossos resultados cairiam sobre essa mesma curva dentro de uma faixa de incertezas experimentais evidentemente Os pontos de dados representam resultados obtidos por vários experimentadores para diversos fluidos e esferas diferentes Note que o resultado final é uma curva que pode ser usada para obter a força de arrasto sobre uma grande faixa de combinações esfera fluido Ela poderia por exemplo ser usada para obter o arrasto sobre um balão de ar quente devido a uma corrente de vento ou sobre uma célula vermelha de sangue considerando que a mesma possa ser modelada como uma esfera à medida que ela se move através da aorta em ambos os casos dados o fluido ρ e μ a velocidade do escoamento V e o diâmetro da esfera D poderíamos calcular o valor de ρVDμ ler em seguida o valor correspondente para CD e finalmente calcular o valor da força de arrasto F Na Seção 73 introduzimos o teorema Pi de Buckingham um procedimento formalizado para deduzir grupos adimensionais apropriados para um dado problema de mecânica dos fluidos ou outro problema de engenharia Esta seção e a Seção 74 podem parecer um pouco difíceis de seguir sugerimos que você leia essas seções uma vez e que em seguida estude os Exemplos 71 72 e 73 para ver o quão útil e prático o método é na verdade antes de fazer uma releitura das duas seções O teorema Pi de Buckingham é um enunciado da relação entre uma função expressa em termos de parâmetros dimensionais e uma função correlata expressa em termos de parâmetros adimensionais O teorema Pi de Buckingham permite o desenvolvimento rápido e fácil de parâmetros adimensionais importantes 73 O Teorema Pi de Buckingham Na seção precedente discutimos como a força de arrasto F sobre uma esfera depende do diâmetro da esfera D da massa específica do fluido ρ da viscosidade μ e da velocidade do fluido V ou F FD ρ μ V sendo necessária teoria ou experimentos para a determinação da natureza da função f Mais formalmente escrevemos gF D ρ μ V 0 em que g é uma função não especificada diferente de f O teorema Pi de Buckingham 4 declara que podemos transformar uma relação entre n parâmetros da forma gq1 q2 qn 0 em uma relação correspondente entre n m parâmetros adimensionais П na forma GП1 П2 Пnm 0 ou П1 G1П2 Пnm em que m é normalmente o número mínimo r de dimensões independentes por exemplo massa comprimento tempo requerido para definir as dimensões de todos os parâmetros q1 q2 qn Algumas vezes m r veremos isto no Exemplo 73 Por exemplo para o problema da esfera veremos no Exemplo 71 que levando a O teorema não prediz a forma funcional de G ou de G1 A relação funcional entre os parâmetros Π adimensionais independentes deve ser determinada experimentalmente Os n m parâmetros Π adimensionais obtidos a partir do procedimento são independentes Um parâmetro Π não é independente se pode ser formado a partir de qualquer combinação de outros parâmetros Π Por exemplo se então nem Π5 e nem Π6 são independentes dos outros parâmetros adimensionais Existem diversos métodos para determinar os parâmetros adimensionais Um procedimento detalhado é apresentado na próxima seção 74 Determinação dos Grupos Π Qualquer que seja o método empregado na determinação dos parâmetros adimensionais o primeiro passo é listar todos os parâmetros que sabemos ou julgamos saber de seus efeitos sobre o fenômeno de escoamento em questão Reconhecidamente alguma experiência é de valia na organização da lista Os estudantes que não têm essa experiência sentemse muitas vezes em dificuldades pela necessidade de aplicar julgamento de engenharia em uma dose aparentemente maciça Contudo é difícil errar se fizermos uma seleção abundante de parâmetros Se você suspeitar que um fenômeno depende de um dado parâmetro incluao Se a sua suspeita for correta as experiências mostrarão que o parâmetro deve ser incluído para a obtenção de resultados consistentes Se no entanto ele for estranho ou inócuo um parâmetro Π extra poderá resultar mas as experiências mostrarão que ele poderá ser eliminado Por conseguinte não receie incluir todos os parâmetros que você julgar importantes Os seis passos listados a seguir que podem parecer um pouco abstratos são na verdade fáceis de fazer delineiam um procedimento recomendado para determinar os parâmetros Π Passo 1 Liste todos os parâmetros dimensionais envolvidos Seja n o número de parâmetros Se nem todos os parâmetros pertinentes forem incluídos uma relação poderá ser obtida mas ela não fornecerá a história completa do fenômeno físico Se houver inclusão de parâmetros que na verdade não têm efeito sobre o fenômeno físico ou o processo de análise dimensional mostrará que eles não entrarão na relação imaginada ou então um ou mais grupos adimensionais estranhos aos fenômenos serão obtidos conforme mostrarão os experimentos Passo 2 Selecione um conjunto de dimensões fundamentais primárias por exemplo MLt ou FLt Note que para problemas de transferência de calor você pode precisar também de T para a temperatura e em sistemas elétricos de q para a carga elétrica Passo 3 Liste as dimensões de todos os parâmetros em termos das dimensões primárias Seja r o número de dimensões primárias Tanto a força quanto a massa podem ser selecionadas como uma dimensão primária Passo 4 Selecione da lista um conjunto de r parâmetros dimensionais que inclua todas as dimensões primárias Estes parâmetros juntos chamados de parâmetros repetentes serão combinados com cada um dos parâmetros remanescentes um de cada vez Nenhum dos parâmetros repetentes pode ter dimensões que seja uma potência das dimensões de outro parâmetro repetente por exemplo que não inclua uma área L2 e um momento de inércia de área L4 como parâmetros repetentes Os parâmetros repetentes escolhidos podem aparecer em todos os grupos adimensionais obtidos por isso não inclua o parâmetro dependente entre aqueles selecionados neste passo Passo 5 Forme equações dimensionais combinando os parâmetros selecionados no Passo 4 com cada um dos outros parâmetros remanescentes um de cada vez a fim de formar grupos dimensionais Haverá n m equações Resolva as equações dimensionais para obter os n m grupos adimensionais Passo 6 Certifiquese de que cada grupo obtido é adimensional Se a massa for selecionada inicialmente como uma dimensão primária é aconselhável verificar os grupos obtidos utilizando a força como uma dimensão primária ou viceversa A relação funcional entre os parâmetros Π deve ser determinada experimentalmente O procedimento detalhado para determinar os parâmetros Π adimensionais é ilustrado nos Exemplos 71 e 72 Exemplo 71 FORÇA DE ARRASTO SOBRE UMA ESFERA LISA Conforme descrito na Seção 72 a força de arrasto F sobre uma esfera lisa depende da velocidade relativa V do diâmetro da esfera D da massa específica do fluido ρ e da viscosidade do fluido μ Obtenha um conjunto de grupos adimensionais que podem ser usados para correlacionar dados experimentais Dados F fρ V D μ para uma esfera lisa Determinar Um conjunto apropriado de grupos adimensionais Solução Os números circunscritos referemse aos passos no procedimento de determinação dos parâmetros adimensionais Π F V D ρ μ n 5 parâmetros dimensionais Selecione as dimensões primárias M L e t Selecione como parâmetros repetentes ρ V D m r 3 parâmetros repetentes Então resultarão n m 2 grupos adimensionais Formando as equações dimensionais obtivemos Equacionando os expoentes de M L e t resulta em De modo análogo Verifique usando as dimensões F L e t em que significa tem as dimensões de e A relação funcional é Π1 fΠ2 ou como visto anteriormente A forma da função f deve ser determinada experimentalmente veja a Fig 71 A planilha Excel é conveniente para o cálculo dos valores de a b e c neste e em outros problemas Exemplo 72 QUEDA DE PRESSÃO NO ESCOAMENTO EM UM TUBO A queda de pressão Δp para escoamento em regime permanente incompressível e viscoso através de um tubo retilíneo horizontal depende do comprimento do tubo l da velocidade média da viscosidade do fluido μ do diâmetro do tubo D da massa especifica do fluido ρ e da altura média da rugosidade e Determine um conjunto de grupos adimensionais que possa ser usado para correlacionar dados Dados Δp fρ D l μ e para escoamento em um tubo circular Determinar Um conjunto adequado de grupos adimensionais Solução Os números circunscritos referemse aos passos no procedimento de determinação dos parâmetros adimensionais Π Δp ρ μ D l μ e n 7 parâmetros dimensionais Escolha as dimensões primárias M L e t Selecione como parâmetros repetentes ρ D m r 3 parâmetros repetentes Então resultarão n m 4 grupos adimensionais Formando as equações dimensionais temos Verifique usando as dimensões F L t Finalmente a relação funcional é ou Notas Como veremos mais adiante quando estudarmos em detalhes escoamento em tubos no Capítulo 8 esta relação funciona bem Cada grupo Π é único por exemplo existe somente um grupamento adimensional possível de μ ρ e D Podemos frequentemente deduzir os grupos Π por inspeção por exemplo lD é o único grupamento adimensional óbvio de l com ρ e D A planilha Excel do Exemplo 71 é conveniente para calcular os valores de a b e c para este problema O procedimento descrito anteriormente em que m é tomado igual a r o menor número de dimensões independentes necessário para especificar as dimensões de todos os parâmetros envolvidos quase sempre produz o número correto de parâmetros adimensionais Π Em alguns casos poucos felizmente surgem dificuldades porque o número de dimensões primárias difere quando as variáveis são expressas em termos de diferentes sistemas de dimensões por exemplo MLt ou FLt O valor de m pode ser definido com exatidão a partir do posto da matriz dimensional m é igual ao posto da matriz dimensional Embora não seja usado na maior parte das aplicações para maior clareza este procedimento é ilustrado no Exemplo 73 Os n m grupos adimensionais obtidos a partir do procedimento são independentes mas não únicos Se um conjunto diferente de parâmetros repetentes for escolhido resultarão diferentes grupos Os parâmetros repetentes escolhidos são assim chamados porque podem aparecer em todos os grupos adimensionais obtidos Por experiência a viscosidade deveria aparecer apenas em um único parâmetro adimensional Desse modo μ não seria uma escolha adequada para um parâmetro repetente Quando temos escolha a opção de trabalhar com a massa específica ρ com dimensões ML3 no sistema MLt a velocidade V com dimensões Lt e um comprimento característico L com dimensão L como parâmetros repetentes leva em geral a um conjunto de parâmetros adimensionais adequados para correlacionar uma larga faixa de dados experimentais adicionalmente ρ V e L são normalmente bastante fáceis de se medir ou de se obter de outra forma Os valores dos parâmetros adimensionais obtidos usando estes parâmetros repetentes quase sempre possuem um significado muito tangível mostrando a relação entre as intensidades de várias forças fluidas por exemplo viscosas com as forças inerciais discutiremos concisamente diversos adimensionais clássicos Vale a pena ressaltar também que dados os parâmetros que você está combinando nós podemos frequentemente determinar os parâmetros dimensionais únicos por inspeção Por exemplo se tivéssemos como parâmetros repetentes ρ V e L e estivéssemos combinandoos com um parâmetro Af representando a área frontal de um objeto é bastante óbvio que somente a combinação AfL2 seria adimensional profissionais experientes em mecânica dos fluidos também sabem que ρV2 produz dimensões de tensão de modo que sempre que uma tensão ou parâmetro de força surge a sua divisão por ρV2 ou ρV2L2 produzirá uma quantidade adimensional Acharemos útil uma medida dos módulos das forças de inércia do fluido obtida a partir da segunda lei de Newton F ma as dimensões da força de inércia são portanto MLt2 O uso de ρ V e L para construir as dimensões de ma leva à combinação única ρV2L2 somente ρ possui dimensão M e somente V2 produzirá a dimensão t2 L2 é assim requerido para trabalharmos com MLt2 Se n m 1 então um único parâmetro Π adimensional será obtido Neste caso o teorema Pi de Buckingham indica que o único parâmetro Π resultante deve ser uma constante Exemplo 73 EFEITO CAPILAR USO DA MATRIZ DIMENSIONAL Quando um pequeno tubo é imerso em uma poça de líquido a tensão superficial causa a formação de um menisco na superfície livre para cima ou para baixo dependendo do ângulo de contato na interface líquido sólidogás Experiências indicam que o módulo do efeito capilar Δh é uma função do diâmetro do tubo D do peso específico do líquido γ e da tensão superficial σ Determine o número de parâmetros Π independentes que podem ser formados e obtenha um conjunto Dados Δh fD γ σ Determinar a Número de parâmetros Π independentes b Um conjunto de Π parâmetros Solução Os números circunscritos referemse aos passos no procedimento de determinação dos parâmetros adimensionais Π Δh D γ σ n 4 parâmetros dimensionais Escolha as dimensões primárias use tanto as dimensões M L t quanto F L t para ilustrar o problema na determinação de m Desse modo para cada conjunto de dimensões primárias podemos questionar m é igual a r Verifiquemos cada matriz dimensional para descobrir As matrizes dimensionais são O posto de uma matriz é igual à ordem do seu maior determinante não nulo m 2 Escolha D γ como parâmetros repetentes n m 2 resultarão adimensionais resultantes m 2 Escolha D γ como parâmetros repetentes n m 2 resultarão adimensionais resultantes Confira usando as dimensões F L e t Confira usando as dimensões F L e t Assim ambos os sistemas de dimensões fornecem os mesmos parâmetros adimensionais Π A relação funcional prevista é Notas Este resultado é razoável à luz dos fundamentos físicos O fluido está estático não esperamos que o tempo seja uma dimensão importante Analisamos este problema no Exemplo 23 em que achamos que Δh 4σcosθρgD θ é o ângulo de contato Portanto ΔhD é diretamente proporcional a σD2γ O objetivo deste problema é ilustrar o uso da matriz dimensional para determinar o número requerido de parâmetros repetentes 75 Grupos Adimensionais Importantes na Mecânica dos Fluidos Ao longo dos anos várias centenas de diferentes grupos adimensionais importantes para a engenharia foram identificadas Seguindo a tradição cada um desses grupos recebeu o nome de um cientista ou engenheiro proeminente geralmente daquele que pela primeira vez o utilizou Alguns desses grupos são tão fundamentais e ocorrem com tanta frequência na mecânica dos fluidos que reservamos algum tempo para aprender suas definições O entendimento do significado físico desses grupos também aumenta a percepção dos fenômenos que estudamos As forças encontradas nos fluidos em escoamento incluem as de inércia viscosidade pressão gravidade tensão superficial e compressibilidade A razão entre duas forças quaisquer será adimensional Mostramos previamente que a força de inércia é proporcional a ρV2L2 Podemos agora comparar as intensidades relativas das várias forças fluidas em relação às forças de inércia usando o seguinte esquema Todos os parâmetros adimensionais listados anteriormente ocorrem tão frequentemente e são tão poderosos na predição das intensidades relativas das diversas forças fluidas que ligeiramente modificados normalmente tomando o seu inverso receberam nomes identificativos O primeiro parâmetro μρVL é tradicionalmente invertido para a forma ρVLμ e foi na verdade explorado independentemente da análise dimensional na década de 1880 por Osborne Reynolds engenheiro britânico que estudou a transição entre os regimes de escoamentos laminar e turbulento em um tubo Ele descobriu que o parâmetro que mais tarde recebeu seu nome é um critério pelo qual o regime do escoamento pode ser determinado Experiências posteriores mostraram que o número de Reynolds é um parâmetrochave também para outros casos de escoamento Assim em geral em que L é um comprimento característico descritivo da geometria do campo de escoamento O número de Reynolds é a razão entre forças de inércia e viscosas Escoamentos com grande número de Reynolds são em geral turbulentos Aqueles escoamentos em que as forças de inércia são pequenas em comparação com as forças viscosas são tipicamente escoamentos laminares Em testes de modelos aerodinâmicos e outros é conveniente modificar o segundo parâmetro ΔpρV2 inserindo um fator de 12 para fazer o denominador representar a pressão dinâmica o fator é claro não afeta as dimensões A razão é usada em que Δp é a pressão local menos a pressão da corrente livre e ρ e V são propriedades do escoamento na corrente livre Esta razão recebeu o nome de Leonhard Euler matemático suíço que foi um dos pioneiros nos trabalhos analíticos em mecânica dos fluidos Euler recebeu o crédito de ter sido o primeiro a reconhecer o papel da pressão no movimento dos fluidos as equações de Euler do Capítulo 6 demonstram esse papel O número de Euler é a razão entre forças de pressão e de inércia O número de Euler é usualmente chamado coeficiente de pressão Cp No estudo dos fenômenos de cavitação a diferença de pressão Δp é tomada como Δp p pυ em que p é a pressão na corrente líquida e pυ é a pressão de vapor do líquido na temperatura de teste Combinando estes parâmetros com ρ e V o parâmetro adimensional resultante é denominado número ou índice de cavitação Quanto menor o número de cavitação maior a probabilidade de ocorrer cavitação Este fenômeno é quase sempre indesejável William Froude foi um arquiteto naval britânico Juntamente com seu filho Robert Edmund Froude ele descobriu que o parâmetro era significativo para escoamentos com efeitos de superfície livre Elevando o número de Froude ao quadrado obtemos que pode ser interpretado como a razão entre forças de inércia e de gravidade ele é o inverso da terceira razão de forças gLV2 que apresentamos anteriormente O comprimento L é um comprimento característico descritivo do campo de escoamento No caso de escoamento em canal aberto o comprimento característico é a profundidade da água números de Froude menores que a unidade indicam escoamento subcrítico e valores maiores que a unidade indicam escoamentos supercríticos Discutiremos muito mais sobre este assunto no Capítulo 11 Por convenção o inverso da quarta razão de força σρV2L apresentada anteriormente é chamado de número de Weber ele indica a razão entre forças de inércia e forças de tensão superficial O valor do número de Weber é um indicativo da existência e da frequência de ondas capilares em uma superfície livre Na década de 1870 o físico austríaco Ernst Mach introduziu o parâmetro em que V é a velocidade do escoamento e c é a velocidade local do som Análises e experimentos têm mostrado que o número de Mach é um parâmetrochave que caracteriza os efeitos de compressibilidade em um escoamento O número de Mach pode ser escrito que é o inverso da última razão de forças EυρV2 apresentada anteriormente e que pode ser interpretado como uma razão entre forças de inércia e forças de compressibilidade Para um escoamento verdadeiramente incompressível e note que sob algumas condições mesmo os líquidos são bastante compressíveis c de modo que M 0 As Equações de 711 a 716 são algumas dos grupos adimensionais mais utilizados em mecânica dos fluidos porque para qualquer modelo de escoamento eles indicam imediatamente mesmo antes de realizar qualquer experimento ou análise a importância relativa da inércia viscosidade pressão gravidade tensão superficial e compressibilidade 76 Semelhança de Escoamentos e Estudos de Modelos Para ser de utilidade um teste de modelo deve resultar em dados que possam por meio de transposição por escala fornecer forças quantidades de movimentos e cargas dinâmicas que existiriam no protótipo em tamanho real Que condições devem ser atendidas para assegurar a semelhança entre os escoamentos do modelo e do protótipo Talvez o requisito mais óbvio seja que o modelo e o protótipo devam ser geometricamente semelhantes A semelhança geométrica requer que ambos tenham a mesma forma e que todas as dimensões lineares do modelo sejam relacionadas com as correspondentes dimensões do protótipo por um fator de escala constante Um segundo requisito é que os escoamentos de modelo e de protótipo sejam cinematicamente semelhantes Dois escoamentos são cinematicamente semelhantes quando as velocidades em pontos correspondentes têm a mesma direção e sentido e diferem apenas por um fator de escala constante Assim dois escoamentos cinematicamente semelhantes também têm configurações de linhas de corrente relacionadas por um fator de escala constante Como as fronteiras sólidas formam as linhas de corrente de contorno do sólido escoamentos cinematicamente semelhantes devem ser também geometricamente semelhantes Em princípio de modo a modelar corretamente o fenômeno em um campo de escoamento infinito a semelhança cinemática exigiria que um túnel de vento de seção reta infinita fosse utilizado na obtenção de dados para arrasto sobre um objeto Na prática esta restrição pode ser consideravelmente relaxada permitindo o uso de equipamento de tamanho razoável A semelhança cinemática exige que os regimes de escoamento sejam os mesmos para modelo e protótipo Se efeitos de compressibilidade ou de cavitação que podem mudar os padrões qualitativos de um escoamento não estiverem presentes no escoamento de protótipo eles devem ser evitados no escoamento de modelo Quando dois escoamentos têm distribuições de força tais que tipos idênticos de forças são paralelos e relacionamse em módulo por um fator de escala constante em todos os pontos correspondentes então os dois escoamentos são dinamicamente semelhantes Os requisitos para semelhança dinâmica são os mais restritivos Semelhança cinemática requer semelhança geométrica a semelhança cinemática é um requisito necessário mas não é suficiente para assegurar a semelhança dinâmica VÍDEO Similaridade Geométrica Não Dinâmica Escoamento Através de um Bloco 1 em inglês VÍDEO Similaridade Geométrica Não Dinâmica Escoamento Através de um Bloco 2 em inglês A fim de estabelecer as condições necessárias para a completa semelhança dinâmica todas as forças que são importantes na situação do escoamento devem ser consideradas Assim os efeitos de forças viscosas de forças de pressão de forças de tensão superficial e assim por diante devem ser considerados As condições de teste devem ser estabelecidas de tal forma que todas as forças importantes estejam relacionadas pelo mesmo fator de escala entre os escoamentos de modelo e de protótipo Quando a semelhança dinâmica existe os dados medidos em um escoamento de modelo podem ser relacionados quantitativamente com as condições do escoamento de protótipo Quais são então as condições para assegurar a semelhança dinâmica entre os escoamentos do modelo e do protótipo O teorema Pi de Buckingham pode ser usado para obter os grupos adimensionais governantes de um fenômeno de escoamento para alcançar a semelhança dinâmica entre escoamentos geometricamente semelhantes devemos estar certos de que cada grupo adimensional independente tem o mesmo valor no modelo e no protótipo Desse modo não apenas as forças terão a mesma importância relativa mas também os grupos adimensionais dependentes terão o mesmo valor no modelo e no protótipo Por exemplo considerando a força de arrasto sobre uma esfera no Exemplo 71 nós começamos com F fD V ρ μ O teorema Pi de Buckingham previu a relação funcional Na Seção 75 mostramos que os parâmetros adimensionais podem ser vistos como razões entre forças Assim considerando escoamentos de modelo e de protótipo em torno de uma esfera os escoamentos são geometricamente semelhantes eles também serão dinamicamente semelhantes se o valor do parâmetro independente ρVDμ for repetido entre o modelo e o protótipo isto é se Além disso se Remodelo Reprotótipo então o valor do parâmetro dependente FρV2D2 será duplicado entre o modelo e o protótipo isto é e os resultados determinados a partir do estudo do modelo podem ser usados na predição do arrasto sobre o protótipo em tamanho real A força real causada pelo fluido sobre o objeto não é a mesma nos dois casos modelo e protótipo mas o valor do seu grupo adimensional é o mesmo Os dois testes podem ser realizados usando fluidos diferentes se desejado desde que os números de Reynolds sejam igualados Por conveniência experimental os dados de teste podem ser medidos em um túnel de vento em ar e os resultados usados para predizer o arrasto em água conforme ilustrado no Exemplo 74 Exemplo 74 SEMELHANÇA ARRASTO DE UM TRANSDUTOR DE SONAR O arrasto de um transdutor de sonar deve ser previsto com base em testes em túnel de vento O protótipo uma esfera de 03 m de diâmetro deve ser rebocado a 257 ms na água do mar a 45C O modelo tem 152 mm de diâmetro Determine a velocidade de teste requerida no ar Se a força de arrasto sobre o modelo nas condições de teste for 27 N estime a força de arrasto sobre o protótipo Dados Transdutor de sonar a ser testado em um túnel de vento Determinar a Vm b Fp Solução Uma vez que o protótipo opera em água e o teste do modelo deve ser feito com ar os resultados serão úteis somente quando não houver efeito de cavitação no escoamento de protótipo e não houver efeito de compressibilidade nos testes com o modelo Sob estas condições e o teste deve ser conduzido com Remodelo Reprotótipo para assegurar semelhança dinâmica Para a água do mar a 45C ρ 1000 kgm3 e υ 157 105 m2s Nas condições do protótipo As condições de teste com o modelo devem reproduzir este número de Reynolds Então Para o ar na condiçãopadrão de temperatura e pressão ρ 1227 kgm3 e υ 146 105 m2s O túnel de vento deve ser operado a Esta velocidade é baixa o suficiente para desprezar efeitos de compressibilidade Nestas condições de teste os escoamentos de modelo e de protótipo são dinamicamente semelhantes Portanto e No caso de cavitação provável se a sonda do sonar fosse operada em alta velocidade próximo da superfície livre da água não seriam obtidos resultados úteis de um teste com modelo em ar Este problema Demonstra o cálculo dos valores do protótipo a partir dos dados do modelo Reinvenção da roda os resultados para o arrasto sobre uma esfera lisa são muito bem conhecidos de modo que não necessitamos realizar um experimento com o modelo mas poderíamos simplesmente ler a partir do gráfico da Fig 71 o valor de correspondente a um número de Reynolds de 491 105 Em seguida Fp 233 N pode ser facilmente calculado Discutiremos mais sobre os coeficientes de arrasto no Capítulo 9 Semelhança Incompleta Mostramos que para obter semelhança dinâmica completa entre escoamentos geometricamente semelhantes é necessário duplicar os valores dos grupos adimensionais independentes assim procedendo o valor do parâmetro dependente é também duplicado Na situação simplificada do Exemplo 74 a reprodução do número de Reynolds entre modelo e protótipo assegurou escoamentos dinamicamente semelhantes Testes em ar permitiram que o número de Reynolds fosse duplicado com exatidão o que também poderia ter sido obtido em um túnel de água para esta situação A força de arrasto sobre uma esfera realmente depende da natureza do escoamento de camadalimite Por conseguinte a semelhança geométrica requer que a rugosidade superficial relativa seja a mesma para modelo e para protótipo Isso significa que a rugosidade relativa também é um parâmetro que deve ser reproduzido entre as situações para modelo e para protótipo Se considerarmos que o modelo foi construído cuidadosamente os valores de arrasto nele medidos poderão ser transpostos por escala para predizer o arrasto nas condições de operação do protótipo Em muitos estudos com modelos para conseguir semelhança dinâmica é preciso duplicar diversos grupos adimensionais Em alguns casos a semelhança dinâmica completa entre modelo e protótipo pode não ser atingida A determinação da força de arrasto resistência sobre um navio é um exemplo de uma dessas situações A resistência sobre um navio surge do atrito de contato da água com o casco forças viscosas e da resistência das ondas forças de gravidade A semelhança dinâmica completa requer que os números de Froude e de Reynolds sejam ambos reproduzidos entre modelo e protótipo Em geral não é possível predizer a resistência de ondas analiticamente ela deve então ser modelada Isso exige que Para igualar os números de Froude entre o modelo e o protótipo é necessário que a razão entre as velocidades seja para garantir configurações de ondas dinamicamente semelhantes Desse modo para qualquer escala do modelo a reprodução do número de Froude define a razão entre as velocidades Apenas a viscosidade cinemática pode ser alterada a fim de reproduzir o número de Reynolds Assim leva à condição que Se utilizarmos a razão entre velocidade obtida da reprodução dos números de Froude a igualdade dos números de Reynolds conduz a uma razão requerida entre as viscosidades cinemáticas de Se LmLp 1100 uma escala típica para comprimento em testes com navios então υmυp deve ser igual a 11000 A Fig A3 mostra que o mercúrio é o único líquido com viscosidade cinemática inferior à da água Contudo a relação é apenas de uma ordem de grandeza inferior aproximadamente dessa forma a razão requerida entre viscosidades cinemáticas para igualar os números de Reynolds não pode ser obtida Concluímos que temos um problema para esta escala de modeloprotótipo de 1100 é impossível na prática satisfazer ambos os critérios do número de Reynolds e do número de Froude na melhor das hipóteses nós seremos capazes de atender a um deles apenas Além disso a água é o único fluido viável para a maioria dos testes de modelo com escoamentos de superfície livre A obtenção de semelhança dinâmica completa exigiria então um teste em escala natural Mas nem tudo está perdido Estudos com modelos fornecem informações úteis mesmo quando a semelhança dinâmica completa não é obtida Como um exemplo a Fig 72 mostra dados de um teste com um modelo de navio em escala 180 realizado no Laboratório de Hidromecânica da Academia Naval dos Estados Unidos O gráfico mostra dados do coeficiente de resistência versus o número de Froude Os marcadores quadrados foram calculados a partir de valores da resistência total medida no teste Gostaríamos de obter a curva de resistência total correspondente para o navio em escala natural Analisando o problema verificamos que somente o arrasto total pode ser medido as marcações com quadrados O arrasto total é devido tanto à resistência de ondas dependente do número de Froude quanto à resistência por atrito dependente do número de Reynolds e não é possível determinar experimentalmente o quanto cada uma dessas resistências contribui para o arrasto Não podemos usar a curva de arrasto total da Fig 72 para o navio em escala natural porque conforme discutimos anteriormente nunca obteremos na prática condições para o modelo que levem à reprodução simultânea dos números de Reynolds e de Froude do navio em escala natural Contudo gostaríamos de extrair da Fig 72 a curva de arrasto total correspondente para o navio em escala natural Em muitas situações experimentais lançamos mão de algum truque criativo para chegar a uma solução Neste caso os experimentadores utilizaram a teoria da camadalimite discutida no Capítulo 9 para predizer a componente de resistência viscosa no modelo mostrada com losangos na Fig 72 em seguida eles estimaram a resistência de onda não obtenível da teoria simplesmente subtraindo esta resistência viscosa teórica da resistência experimental total ponto a ponto mostrada com círculos na Fig 72 Fig 72 Dados do teste de modelo em escala 180 do navio fragata americano de míssil teleguiado Oliver Hazard Perry FFG7 Dados do Laboratório de Hidromecânica da Academia Naval dos EUA cortesia do Prof Bruce Johnson Fig 73 Resistência prevista de um navio em tamanho real a partir de resultados de teste de modelo Dados do Laboratório de Hidromecânica da Academia Naval dos EUA cortesia do Prof Bruce Johnson Usando esta ideia inteligente típica das aproximações que os experimentadores necessitam empregar a Fig 72 fornece então a resistência de onda do modelo como uma função do número de Froude Isto é válido também para o navio em escala natural porque a resistência de onda depende apenas do número de Froude Podemos agora construir um gráfico similar ao da Fig 72 válido para o navio em escala natural Simplesmente calcule da teoria da camada limite a resistência viscosa do navio em escala natural e adicione isso aos valores da resistência de onda ponto a ponto O resultado é mostrado na Fig 73 Os pontos da resistência de onda são idênticos àqueles na Fig 72 os pontos da resistência viscosa são calculados da teoria e são diferentes daqueles da Fig 72 a curva de resistência total para o navio em escala natural foi obtida afinal Neste exemplo as restrições de uma modelagem incompleta foram superadas usando cálculos analíticos os experimentos em escala reduzida modelaram o número de Froude mas não o número de Reynolds Como o número de Reynolds não pode ser reproduzido para testes com modelos de navios o comportamento de camadalimite não é o mesmo para o modelo e o protótipo O número de Reynolds do modelo é apenas uma fração LmLp32 do valor do Reynolds do protótipo de modo que a extensão do escoamento laminar na camadalimite sobre o modelo será maior que a extensão real O método que acabamos de descrever considera que o comportamento de camadalimite pode ser transportado por escala Para tornar isso possível a camada limite no modelo é forçada ou estimulada a tornarse turbulenta em um local que corresponda ao comportamento do navio em tamanho real Tachas ou rebites foram usados para estimular a camadalimite nos testes com modelo cujos resultados são apresentados na Fig 72 Uma correção é às vezes incluída nos coeficientes de escala natural calculados a partir dos dados de teste de modelo Este fator de correção leva em conta a rugosidade a ondulação e a não uniformidade que inevitavelmente são mais pronunciadas no navio protótipo que no modelo Comparações entre as predições de testes com modelo e medições feitas em provas de mar com o protótipo em escala natural sugerem uma precisão global dentro de 5 5 Como veremos no Capítulo 11 o número de Froude é um importante parâmetro na modelagem de rios e portos Nessas situações não é prático obter semelhança completa O emprego de uma escala adequada para o modelo resultaria em profundidades de água extremamente pequenas As forças viscosas e as forças de tensão superficial teriam efeitos relativos muito mais pronunciados no escoamento do modelo do que no do protótipo Consequentemente diferentes escalas de comprimento são empregadas nas direções vertical e horizontal As forças viscosas no escoamento mais profundo do modelo são aumentadas por meio de elementos artificiais de rugosidade A ênfase na economia de combustível tornou importante a redução do arrasto aerodinâmico para automóveis caminhões e ônibus A maioria dos trabalhos de desenvolvimento de configurações de baixo arrasto usa testes de modelo Tradicionalmente os modelos de automóveis têm sido construídos na escala de 38 na qual um modelo de um automóvel real tem uma área frontal de aproximadamente 03 m2 Dessa forma os testes podem ser feitos em um túnel de vento com área de seção transversal de 6 m2 ou maior Na escala de 38 uma velocidade do vento de cerca de 240 kmh é necessária para modelar um protótipo trafegando no limite legal de velocidade Assim não há problema quanto aos efeitos de compressibilidade mas os testes são caros e os modelos consomem muito tempo de construção Um grande túnel de vento com dimensões da seção de teste de 54 m de altura 104 m de largura e 213 m de comprimento velocidade máxima do ar de 250 kmh com o túnel vazio é usado pela General Motors para testar automóveis em tamanho real com velocidades de estrada A grande seção de teste permite o uso de automóveis da linha de produção ou maquetes de argila em tamanho real com as linhas de carroceria propostas Muitas outras fábricas de veículos automotores estão usando equipamentos similares A Fig 74 mostra um sedan em tamanho real sendo testado no túnel de vento da Volvo A velocidade relativamente baixa permite a visualização do escoamento com o uso de tufos ou correntes de fumaça1 Empregando modelos em escala natural estilistas e engenheiros podem trabalhar juntos na otimização dos resultados Fig 74 Automóvel em tamanho real sendo testado no túnel de vento da Volvo usando linhas de emissão de fumaça para visualização do escoamento Cortesia de Fotografia de Carros Volvo da América do Norte Inc É mais difícil obter semelhança dinâmica em testes de caminhões e ônibus os modelos devem ser feitos em escalas menores que aquelas usadas para automóveis2 Uma escala grande para testes de caminhões e ônibus é 18 Para obter semelhança dinâmica completa pela reprodução do número de Reynolds nesta escala uma velocidade de teste de 700 kmh seria necessária Isso introduziria efeitos indesejáveis de compressibilidade e os escoamentos de modelo e de protótipo não seriam cinematicamente semelhantes Felizmente caminhões e ônibus são objetos rombudos Experiências mostram que acima de certo número de Reynolds o arrasto adimensional nestes objetos tornase independente do número de Reynolds 8 A Fig 71 na verdade mostra um exemplo disso para uma esfera o arrasto adimensional é aproximadamente constante para 2000 Re 2 105 Embora a semelhança não seja completa dados obtidos nos testes podem ser transportados por escala para avaliar as forças de arrasto sobre o protótipo O procedimento é ilustrado no Exemplo 75 Exemplo 75 SEMELHANÇA INCOMPLETA ARRASTO AERODINÂMICO SOBRE UM ÔNIBUS Os seguintes dados de teste em um túnel de vento de um modelo em escala 116 de um ônibus estão disponíveis Velocidade do ar ms 180 218 260 301 350 385 409 441 467 Força de Arrasto N 310 441 609 797 107 129 147 169 189 Usando as propriedades do arpadrão calcule e trace um gráfico do coeficiente adimensional de arrasto aerodinâmico versus o número de Reynolds Re ρVwμ em que w é a largura do modelo Determine a velocidade mínima de teste acima da qual CD permanece constante Estime a força de arrasto aerodinâmico e o requisito de potência para o veículo protótipo a 100 kmh A largura e a área frontal do protótipo são respectivamente 244 m e 78 m2 Dados Dados de um túnel de vento de teste de um modelo de ônibus As dimensões do protótipo são 244 m de largura e 78 m2 de área frontal A escala do modelo é 116 O fluido de teste é o arpadrão Determinar a O coeficiente de arrasto aerodinâmico CD FD ρV2A versus o número de Reynolds Re ρVwμ trace o gráfico b Determine a velocidade acima da qual CD é constante c Estime a força de arrasto aerodinâmico e a potência requerida para o veículo em tamanho real a 100 kmh Solução A largura do modelo é A área do modelo é O coeficiente de arrasto aerodinâmico pode ser calculado como O número de Reynolds pode ser calculado como Os valores calculados estão no gráfico da figura seguinte O gráfico mostra que o coeficiente de arrasto do modelo tornase constante em CDm 046 acima de Rem 4 105 correspondente a uma velocidade do ar de aproximadamente 40 ms Visto que o coeficiente de arrasto é independente do número de Reynolds acima de Re 4 105 então para o veículo protótipo Re 45 106 CD 046 A força de arrasto no veículo em escala natural é A potência correspondente requerida para vencer o arrasto aerodinâmico é Este problema ilustra um fenômeno comum na aerodinâmica Acima de certo valor mínimo do número de Reynolds o valor do coeficiente de arrasto de um objeto usualmente aproximase de uma constante isto é tornase independente do número de Reynolds Então nestas situações não precisamos igualar os números de Reynolds de modelo e protótipo para resultar no mesmo coeficiente de arrasto uma vantagem considerável Contudo o SAE Recomended Practices 8 sugere Re 2 106 para testes em caminhões e ônibus Para detalhes adicionais sobre as técnicas e aplicações da análise dimensional consulte 912 Transporte por Escala com Múltiplos Parâmetros Dependentes Em algumas situações de importância prática pode haver mais de um parâmetro dependente Em tais casos os grupos adimensionais devem ser formados separadamente para cada parâmetro dependente Como exemplo considere uma bomba centrífuga típica A configuração detalhada do escoamento dentro de uma bomba varia com a vazão volumétrica e com a velocidade estas mudanças afetam o desempenho da bomba Os parâmetros de desempenho de interesse incluem o aumento de pressão altura manométrica ou de carga desenvolvido a potência de entrada requerida e a eficiência medida da máquina sob condições específicas de operação3 As curvas de desempenho são geradas variando um parâmetro independente tal como a vazão volumétrica Desse modo as variáveis independentes são a vazão volumétrica a velocidade angular o diâmetro do rotor e as propriedades do fluido As variáveis dependentes são os diversos parâmetros de desempenho de interesse A determinação dos parâmetros adimensionais começa com as equações simbólicas para a dependência da altura de carga h energia por unidade de massa L2t2 e potência com relação aos parâmetros independentes dadas por h g1Q ρ ω D μ e O emprego direto do teorema Pi fornece o coeficiente adimensional de altura de carga e o coeficiente adimensional de potência como e O parâmetro adimensional QωD3 nestas equações é chamado de coeficiente de escoamento O parâmetro adimensional ρωD2μ ρVDμ é uma forma de número de Reynolds A altura de carga e a potência em uma bomba são desenvolvidas por forças de inércia Tanto a configuração do escoamento no interior de uma bomba quanto o desempenho da bomba variam com a vazão volumétrica e a velocidade de rotação É difícil prever analiticamente o desempenho da bomba exceto no ponto de projeto do equipamento Por isso o desempenho é medido experimentalmente Curvas características típicas elaboradas a partir de dados experimentais para uma bomba centrífuga testada a velocidade constante são mostradas na Fig 75 como funções da vazão volumétrica As curvas de altura de carga e de potência na Fig 75 estão ajustadas e suavizadas entre os pontos experimentais obtidos A eficiência máxima ocorre geralmente no ponto de projeto Fig 75 Curvas características típicas para uma bomba centrífuga testada a velocidade constante A semelhança completa nos testes de desempenho de bombas exigiria coeficientes de escoamento e número de Reynolds idênticos A prática tem mostrado que os efeitos viscosos são relativamente sem importância quando duas máquinas geometricamente semelhantes operam sob condições semelhantes de escoamento Assim das Eqs 717 e 718 quando segue que e A observação empírica de que os efeitos viscosos são desprezíveis sob condições similares de escoamento permite o emprego das Eqs 719 a 721 para transportar por escala as características de desempenho de máquinas para diferentes condições de operação quando se varia o diâmetro ou a velocidade Estas relações úteis de transporte por escala são conhecidas como leis das bombas ou dos ventiladores Se as condições de operação de uma máquina forem conhecidas as condições de operação de qualquer outra máquina geometricamente semelhante podem ser determinadas variando D e ω de acordo com as Eqs 719 a 721 Mais detalhes sobre análise dimensional projeto e curvas de desempenho de máquinas de fluxo são apresentados no Capítulo 10 Um outro parâmetro de bomba útil pode ser obtido pela eliminação do diâmetro da máquina nas Eqs 719 e 720 Denotando Π1 QωD3 e Π2 hω2D2 então a razão é outro parâmetro adimensional este parâmetro é a velocidade específica Ns A velocidade específica como definida na Eq 722a é um parâmetro adimensional desde que a altura de carga h seja expressa como energia por unidade de massa Você pode pensar na velocidade específica como a velocidade requerida para uma máquina produzir uma altura de carga unitária a uma taxa de volume unitária Uma velocidade específica constante descreve todas as condições de operação de máquinas geometricamente semelhantes com condições semelhantes de escoamento Embora a velocidade específica seja um parâmetro adimensional é prática comum usar um conjunto conveniente porém inconsistente de unidades na especificação das variáveis ω e Q e usar a energia por unidade de peso H em lugar da energia por unidade de massa h na Eq 722a Quando isto é feito a velocidade específica deixa de ser um parâmetro sem unidades e o seu módulo depende das unidades usadas para calculálo Unidades costumeiras para bombas no Sistema Internacional de Medidas são rpm para ω m3L para Q e metros energia por unidade de peso para H Nestas unidades velocidade específica baixa significa 580 NScu 4645 e alta significa 11615 NScu 17420 O Exemplo 76 ilustra o emprego das leis das bombas e do parâmetro de velocidade específica Mais detalhes sobre cálculos de velocidade específica e exemplos adicionais de aplicações em máquinas de fluxo são apresentados no Capítulo l0 Exemplo 76 LEIS DAS BOMBAS Uma bomba centrífuga tem eficiência de 80 na sua velocidade específica de projeto de 2323 unidades rpm m3h e h O diâmetro do rotor é 200 mm Nas condições de escoamento do ponto de projeto a vazão em volume é 68 m3h de água a 1170 rpm Para obter uma vazão volumétrica maior a bomba deve ser equipada com um motor de 1750 rpm Use as leis das bombas para determinar as características de desempenho da bomba no ponto de projeto na velocidade mais alta Mostre que a velocidade específica permanece constante para a velocidade de operação mais alta Determine o tamanho potência requerido do motor Dados Bomba centrífuga com velocidade específica de projeto de 2323 em unidades rpm m3h e metros O diâmetro do rotor é D 200 mm No ponto de projeto da bomba as condições de escoamento são ω 1170 rpm e Q 68 m3h com água Determinar a As características de desempenho b a velocidade específica e c o tamanho requerido do motor para condições similares de escoamento a 1750 rpm Solução Das leis das bombas QωD3 constante logo A altura de carga da bomba não é especificada em ω1 1170 rpm mas pode ser calculada a partir da velocidade específica NScu 2323 Usando as unidades dadas e a definição de NScu Então Hω2D2 constante logo A potência fornecida pela bomba é 1 ρgQ1H1 portanto em ω1 1170 rpm Mas ρω3D5 constante logo A potência de entrada requerida na bomba pode ser calculada como Assim um motor a 56 kW o tamanho comercial maior mais próximo provavelmente seria especificado A velocidade específica em ω2 1750 rpm é Este problema ilustra a aplicação das leis das bombas e da velocidade específica para transportar por escala dados de desempenho As leis das bombas e ventiladores são largamente utilizadas nas indústrias na elaboração de curvas de desempenho para famílias de máquinas a partir dos dados de uma única curva de desempenho e na especificação de velocidades específicas e potências de acionamento em aplicações de máquinas de fluxo Comentários sobre Testes com Modelos Ao descrever os procedimentos adotados nos testes com modelos tentamos não sugerir que esta atividade seja uma tarefa simples e que forneça automaticamente resultados facilmente interpretáveis exatos e completos Como em todo trabalho experimental planejamento e execução criteriosos são requisitos necessários para que os resultados obtidos sejam válidos Os modelos devem ser construídos com cuidado e com precisão e eles devem incluir detalhes suficientes em áreas críticas para o fenômeno avaliado Balanças aerodinâmicas ou outros sistemas de medição de forças devem ser cuidadosamente alinhados e calibrados corretamente Devem ser concebidos métodos de montagem que ofereçam rigidez e movimento adequados ao modelo sem interferir com o fenômeno a ser mensurado As referências 1315 são consideradas as fontespadrão de referência para detalhes sobre técnicas de testes em túneis de vento Técnicas mais especializadas para testes de impacto de água são descritas em Waugh e Stubstad 16 As instalações experimentais devem ser projetadas e construídas cuidadosamente A qualidade do escoamento em um túnel de vento deve ser documentada O escoamento na seção de teste deve ser tão uniforme quanto possível a menos que se deseje simular um perfil especial tal como uma camadalimite atmosférica isento de quinas e com o mínimo de redemoinhos Se interferirem com as medições as camadaslimite nas paredes do túnel devem ser removidas por sucção ou energizadas por sopro Os gradientes de pressão na seção de teste de um túnel de vento podem causar leituras errôneas da forca de arrasto devido a variações de pressão na direção do escoamento Instalações especiais são necessárias para atender condições incomuns ou requisitos especiais de testes particularmente para alcançar grandes números de Reynolds Muitas instalações são tão grandes ou especializadas que não podem ser mantidas por laboratórios de universidades ou pela indústria privada Alguns exemplos incluem 1719 Complexo Nacional de Aerodinâmica em Escala natural NASA Centro de Pesquisa Ames Moffett Field Califórnia Dois túneis de vento acionados por sistema elétrico de 93255 kW Seção de teste com 12 m de altura por 24 m de largura máxima velocidade do vento de 154 ms Seção de teste com 24 m de altura por 36 m de largura máxima velocidade do vento de 705 ms Marinha dos Estados Unidos Centro de Pesquisas David Taylor Carderock Maryland Tanque de Reboque de Alta Velocidade com 905 m de comprimento 64 m de largura e 49 m de profundidade O carro de reboque pode trafegar com velocidade de até 51 ms enquanto mede cargas de arrasto de até 35600 N e cargas laterais de até 8900 N Túnel de água de pressão variável de 091 m com máxima velocidade de teste de 257 ms para pressões entre 138 e 4134 kPa abs Instalações para Escoamento Antieco com escoamento de ar calmo de baixa turbulência em uma seção de teste de jato aberto de 075 m2 por 64 m de comprimento O ruído do escoamento na velocidade máxima de 61 ms é menor do que aquele de uma conversação normal Corpo de Engenheiros do Exército dos Estados Unidos Sausalito Califórnia Modelos da Baía de San Francisco e do Delta com pouco mais de 4047 m2 de área escala horizontal de 11000 e escala vertical de 1100 capacidade de bombeamento de 085 m3s uso de água doce e salgada e simulação de maré NASA Centro de Pesquisas Langley Hampton Virgínia Instalação Transônica Nacional NTF com tecnologia criogênica temperatura tão baixa quanto 184C para reduzir a viscosidade do gás aumentando o número de Reynolds de um fator 6 enquanto a potência de acionamento é diminuída pela metade 77 Resumo e Equações Úteis Neste capítulo nós Obtivemos coeficientes adimensionais pela adimensionalização das equações diferenciais de governo de um problema Enunciamos o teorema Pi de Buckingham e o utilizamos para determinar os parâmetros adimensionais dependentes e independentes a partir dos parâmetros físicos de um problema Definimos alguns grupos adimensionais importantes o número de Reynolds o número de Euler o número de cavitação o número de Froude o número de Weber e o número de Mach e discutimos os seus significados físicos Também exploramos algumas ideias de suporte da modelagem semelhança geométrica cinemática e dinâmica modelagem incompleta e predição de resultados para protótipos a partir de testes com modelos Nota A maior parte das Equações Úteis na tabela a seguir possui diversas restrições ou limitações certifiquese de referir aos seus números de páginas para detalhes Equações Úteis Número de Reynolds inércia com viscosas 711 Número de Euler pressão com inércia 712 Número de cavitação 713 Número de Froude inércia com gravidade 714 Número de Weber inércia com tensão superficial 715 Número de Mach inércia com compressibilidade 716 Velocidade específica da bomba centrífuga em função da altura de carga h 722a Velocidade específica da bomba centrífuga em função da altura de carga H 722b Estudo de Caso T Rex Tyrannosaurus rex California Academy of Sciences A análise dimensional o principal tópico deste capítulo é usada em muitas pesquisas científicas Esta metodologia tem sido usada pelo Professor Alexander McNeil agora trabalhando na Universidade HeriotWatt na Escócia para tentar determinar a velocidade com a qual os dinossauros tais como o Tyrannosaurus rex podem ter sido capazes de correr Os únicos dados disponíveis sobre essas criaturas estão no registro fóssil sendo que os dados mais pertinentes são os comprimentos médios l das pernas e s dos passos dos dinossauros Estes dados poderiam ser utilizados para avaliar a velocidade dos dinossauros A comparação de dados de l e s e da velocidade V de quadrúpedes por exemplo cavalos cachorros e de bípedes por exemplo seres humanos não tinha levado a nenhuma conclusão até a análise dimensional ter sido usada para mostrar que todos esses dados deveriam ser utilizados para traçar um gráfico da seguinte forma Trace um gráfico com a quantidade adimensional V2gl em que V é a velocidade do animal medida e g é a aceleração da gravidade em função da razão adimensional sl Quando isto é feito magicamente os dados para a maior parte dos animais se ajustam aproximadamente sobre uma curva Portanto o comportamento de corrida da maior parte dos animais pode ser obtido a partir do gráfico Neste caso o valor de sl para os dinossauros permite que um valor correspondente de V2gl seja interpolado a partir da curva levando a uma estimativa de V para os dinossauros porque l e g são conhecidos Baseado nisso em contraste com os filmes Jurassic Park parece que os seres humanos poderiam facilmente ultrapassar o Tyrannosaurus rex em uma corrida Referências 1 Kline S J Similitude and Approximation Theory New York McGrawHill 1965 2 Hansen A G Similarity Analysis of BoundaryValue Problems in Engineering Englewood Cliffs NJ PrenticeHall 1964 3 Schlichting H Boundary Layer Theory 7th ed New York McGrawHill 1979 4 Buckingham E On Physically Similar Systems Illustrations of the Use of Dimensional Equations Physical Review 4 4 1914 pp 345 376 5 Todd L H Resistance and Propulsion in Principles of Naval Architecture J P Comstock ed New York Society of Naval Architects and Marine Engineers1967 6 Aerodynamic Flow Visualization Techniques and Procedures Warrendale PA Society of Automotive Engineers SAE Information Report HS J1566 January 1986 7 Merzkirch W Flow Visualization 2nd ed New York Academic Press 1987 8 SAE Wind Tunnel Test Procedure for Trucks and Buses Recommended Practice SAE J1252 Warrendale PA Society of Automotive Engineers 1981 9 Sedov L I Similarity and Dimensional Methods in Mechanics New York Academic Press 1959 10 Birkhoff G HydrodynamicsA Study in Logic Fact and Similitude 2nd ed Princeton NJ Princeton University Press 1960 11 Ipsen D C Units Dimensions and Dimensionless Numbers New York McGrawHill 1960 12 Yalin M S Theory of Hydraulic Models New York Macmillan 1971 13 Pankhurst R C and D W Holder WindTunnel Technique London Pitman 1965 14 Rae W H and A Pope LowSpeed Wind Tunnel Testing 2nd ed New York WileyInterscience 1984 15 Pope A and K L Goin HighSpeed Wind Tunnel Testing New York Krieger 1978 16 Waugh J G and G W Stubstad Hydroballistics Modeling San Diego CA US Naval Undersea Center ca 1965 17 Baals D W and W R Corliss Wind Tunnels of NASA Washington DC National Aeronautics and Space Administration SP 440 1981 18 Vincent M The Naval Ship Research and Development Center Carderock MD Naval Ship Research and Development Center Report 3039 Revised November 1971 19 Smith B E P T Zell and P M Shinoda Comparison of Model and FullScale WindTunnel Performance Journal of Aircraft 27 3 March 1990 pp 232238 Problemas As Equações Diferenciais Básicas Adimensionais Muitos dos Problemas deste capítulo envolvem a obtenção dos grupos Π que caracterizam um problema A planilha Excel usada no Exemplo 71 é muito útil para executar cálculos de modo geral Para evitar duplicação desnecessária o símbolo do mouse será usado para marcar somente aqueles Problemas em que o uso desta planilha forneça algum benefício adicional por exemplo para traçado de gráficos 71 A velocidade de propagação de ondas superficiais de pequena amplitude em uma região de profundidade uniforme é dada por em que h é a profundidade do líquido não perturbado e λ é o comprimento de onda Usando L como comprimento característico e V0 como uma velocidade característica obtenha os grupos adimensionais que caracterizam a equação 72 A equação que descreve a vibração de pequena amplitude de uma viga é em que y é a deflexão da viga no local x e no tempo t ρ e E são a massa específica e o módulo de elasticidade do material da viga respectivamente e A e I são a área de seção transversal da viga e o segundo momento de inércia respectivamente Use o comprimento da viga L e a frequência de vibração ω para adimensionalizar esta equação Obtenha os grupos adimensionais que caracterizam esta equação 73 A inclinação da superfície livre de uma onda em regime permanente em um escoamento unidimensional em uma camada de líquido pouco profunda é descrito pela equação Use um escala de comprimento L e uma escala de velocidade V0 para tornar esta equação adimensional Obtenha os grupos adimensionais que caracterizam esse escoamento 74 Um escoamento em regime não permanente e unidimensional em uma fina camada de líquido é descrito pela equação Use uma escala de comprimento L e uma escala de velocidade V0 para tornar esta equação adimensional Obtenha os grupos adimensionais que caracterizam esse escoamento 75 Um escoamento bidimensional em regime permanente em um líquido viscoso é descrito pela equação Use uma escala de comprimento L e uma escala de velocidade V0 para tornar esta equação adimensional Obtenha os grupos adimensionais que caracterizam esse escoamento 76 Em estudos atmosféricos o movimento da atmosfera terrestre pode algumas vezes ser modelado com a equação em que é a velocidade de grande escala da atmosfera através da superfície terrestre Δp é o gradiente de pressão climática e é a velocidade angular da terra Qual é o significado do termo Use a diferença de pressão Δp e a escala de comprimento típico L que poderia ser por exemplo o módulo de ou a diferença entre camadas atmosféricas alta e baixa respectivamente para tornar esta equação adimensional Obtenha os grupos adimensionais que caracterizam este escoamento 77 Usando análise de ordem de grandeza as equações da continuidade e de NavierStokes podem ser simplificadas para as equações de camadalimite de Prandtl Para escoamento em regime permanente incompressível e bidimensional desconsiderando a gravidade o resultado é Use L e V0como comprimento e velocidade característicos respectivamente Torne estas equações adimensionais e identifique os parâmetros de semelhança que resultam 78 Um escoamento em regime transiente bidimensional compressível e não viscoso pode ser descrito pela equação em que ψ é a função de corrente u e υ são as componentes da velocidade em x e em y respectivamente c é a velocidade do som no local e t é o tempo Usando L como um comprimento característico e c0 a velocidade do som no ponto de estagnação para adimensionalizar esta equação obtenha os grupos adimensionais que caracterizam a equação 79 A equação descrevendo o movimento de um fluido em um tubo quando o escoamento parte do repouso devido a um gradiente de pressão aplicado é Use a velocidade média a queda de pressão Δp e o diâmetro D para tornar esta equação adimensional Obtenha os grupos adimensionais que caracterizam esse escoamento Determinação dos Grupos Π 710 Experiências mostram que a queda de pressão para escoamento através de uma placa de orifício de diâmetro d montada em um trecho de tubo de diâmetro D pode ser expressa como Δp p1 p2 fρ μ d D Organize alguns dados experimentais Obtenha os parâmetros adimensionais resultantes 711 Em velocidades relativamente muito altas o arrasto sobre um objeto é independente da viscosidade do fluido Desse modo a força de arrasto aerodinâmico F sobre um automóvel é uma função somente da velocidade V da massa específica do ar ρ e do tamanho do veículo caracterizado pela sua área frontal A Use a análise dimensional para determinar como a força de arrasto F depende da velocidade V 712 Em velocidades muito baixas a força de arrasto sobre um objeto é independente da massa específica do fluido Desse modo a força F sobre uma pequena esfera é uma função somente da velocidade V da viscosidade do fluido μ e do diâmetro da esfera D Use a análise dimensional para determinar como a força de arrasto F depende da velocidade V 713 A força de arrasto sobre a Estação Espacial Internacional depende da trajetória livre média das moléculas λ um comprimento da massa específica ρ um comprimento característico L e da velocidade média das moléculas de ar c Determine uma forma adimensional dessa relação funcional 714 Vimos no Capítulo 3 que a força de empuxo FB sobre um corpo submerso em um fluido é diretamente proporcional ao peso específico do fluido γ Demonstre isso usando a análise dimensional iniciando com a força de atrito como sendo uma função do volume do corpo e do peso específico do fluido 715 Quando um objeto se move em velocidades supersônicas a força de arrasto aerodinâmico F que atua sobre o objeto é uma função da velocidade V da massa específica do ar ρ do tamanho do objeto caracterizado por alguma área de referência A e da velocidade do som c note que todas as variáveis com exceção de c foram consideradas quando o objeto se movia a velocidades subsônicas como no Problema 711 Desenvolva uma relação funcional entre um conjunto de variáveis adimensionais para descrever este problema 716 A velocidade V de uma onda de superfície livre devido à gravidade é em águas profundas uma função da profundidade D da massa específica ρ da aceleração da gravidade g e da tensão Use a análise dimensional para determinar a dependência funcional de V em relação às outras variáveis Expresse V na forma mais simples possível 717 A tensão de cisalhamento na parede τw em uma camadalimite depende da distância a partir da borda de ataque do objeto x da massa especifica ρ e da viscosidade μ do fluido e da velocidade da corrente livre do escoamento U Obtenha os grupos adimensionais e expresse a relação funcional entre eles 718 A espessura da camada limite δ sobre uma placa plana e lisa em um escoamento incompressível sem gradiente de pressão depende da velocidade de corrente livre U da massa específica do fluido ρ da viscosidade do fluido μ e da distância a partir da borda de ataque da placa x Expresse estas variáveis em forma adimensional 719 Se um objeto for leve o suficiente ele pode ser suportado sobre a superfície de um fluido pela tensão superficial Testes devem ser realizados para investigar este fenômeno O peso W suportável desta forma depende do perímetro do objeto p da massa específica do fluido ρ da tensão superficial σ e da aceleração da gravidade g Determine os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema 720 A velocidade V de uma onda gravitacional na superfície livre para águas profundas é uma função do comprimento de onda λ da profundidade D da massa específica ρ e da aceleração da gravidade g Use a análise dimensional para determinar a dependência funcional de V sobre as outras variáveis Expresse V na forma mais simples possível 721 A velocidade média para escoamento turbulento em um tubo ou em uma camadalimite pode ser correlacionada usando a tensão de cisalhamento na parede τw a distância da parede y e as propriedades do fluido ρ e μ Use a análise dimensional para encontrar um parâmetro adimensional contendo e outro contendo y que sejam adequados para organizar dados experimentais Mostre que o resultado pode ser escrito como em que u τwρ12 é a velocidade de atrito 722 A energia liberada durante uma explosão E é uma função do tempo t após a detonação do raio R da explosão no tempo t e da pressão do ar ambiente p e de sua massa específica ρ Determine por meio da análise dimensional a forma geral da expressão para E em função das outras variáveis 723 Ondas capilares são formadas na superfície livre de um líquido como resultado da tensão superficial Elas têm comprimentos de onda curtos A velocidade de uma onda capilar depende da tensão superficial σ do comprimento de onda λ e da massa específica do líquido ρ Use a análise dimensional para expressar a velocidade da onda como uma função dessas variáveis 724 Medições da altura de líquido a montante de uma obstrução colocada em um escoamento de canalaberto podem ser usadas para determinar a vazão em volume Tais obstruções projetadas e calibradas para medir a vazão de um escoamento de canalaberto são chamadas de vertedores Considere que a vazão em volume Q sobre um vertedor é uma função da altura a montante h da gravidade g e da largura do canal b Use a análise dimensional para determinar a dependência funcional de Q em relação às outras variáveis 725 O torque T de uma máquina manual para polir automóvel é uma função da velocidade de rotação ω da força normal aplicada F da rugosidade superficial do automóvel e da viscosidade da pasta polidora μ e da tensão superficial σ Determine os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema 726 A potência usada por um aspirador de pó deve ser correlacionada com a quantidade de sucção fornecida indicada pela queda de pressão Δp abaixo da pressão ambiente Ela também depende do diâmetro da hélice D e de sua largura d da velocidade de rotação do motor ω da massa específica do ar ρ e das larguras da entrada e da saída do aspirador de e ds respectivamente Determine os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema 727 Sabese que a capacidade de carga W de um mancal de deslizamento depende do diâmetro D do comprimento l da folga c além da velocidade angular ω e da viscosidade do lubrificante μ no mancal Determine os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema 728 O tempo t para drenagem de óleo para fora de um recipiente de calibração de viscosidade depende da viscosidade μ e massa específica ρ do fluido do diâmetro do orifício d e da aceleração da gravidade g Use a análise dimensional para determinar a dependência funcional de t em relação às outras variáveis Expresse t na forma mais simples possível 729 A potência por unidade de área de seção transversal E transmitida por uma onda sonora é uma função da velocidade da onda V da massa específica do meio ρ da amplitude da onda r e da frequência da onda n Determine por análise dimensional a forma geral da expressão de E em função das outras variáveis 730 Encontre um conjunto adequado de parâmetros adimensionais para organizar dados oriundos de uma experiência de laboratório na qual um tanque é drenado através de um orifício a partir de um nível inicial de líquido h0 O tempo τ para esvaziar o tanque depende do seu diâmetro D do diâmetro do orifício d da aceleração da gravidade g da massa específica do líquido ρ e da viscosidade do líquido μ Quantos parâmetros adimensionais resultarão Quantas variáveis repetentes devem ser selecionadas para determinar os parâmetros adimensionais Explicite o parâmetro Π que contém a viscosidade 731 Uma correia contínua movendo verticalmente através de um banho de líquido viscoso arrasta uma camada de líquido de espessura h ao longo dela Considere que a vazão volumétrica de líquido Q depende de μ ρ g h e V em que V é a velocidade da correia Aplique a análise dimensional para prever a forma de dependência de Q em relação às outras variáveis 732 Supõese que a potência requerida para acionar um ventilador depende da massa específica do fluido ρ da vazão em volume Q do diâmetro das pás D e da velocidade angular ω Use a análise dimensional para determinar a dependência de em relação às outras variáveis 733 Em uma experiência de mecânica dos fluidos em laboratório um tanque de água de diâmetro D é drenado a partir de um nível inicial h0 O orifício de drenagem perfeitamente arredondado e de bordas muito lisas tem diâmetro d Considere que a taxa de massa através do orifício é uma função de h D d g ρ e μ em que g é a aceleração da gravidade e ρ e μ são propriedades do fluido Os dados medidos devem ser correlacionados na forma adimensional Determine o número de parâmetros adimensionais resultantes Especifique o número de parâmetros repetentes que deverão ser selecionados para determinar os parâmetros adimensionais Explicite o parâmetro Π que contém a viscosidade 734 Tanques de água cilíndricos são frequentemente encontrados no topo de altos prédios Quando um tanque é cheio com água o fundo do tanque normalmente deflete sob o peso da água que está dentro do tanque A deflexão δ é uma função do diâmetro do tanque D da altura da coluna de água h da espessura do fundo do tanque d do peso específico da água γ e do módulo de elasticidade do material do tanque E Determine a relação funcional entre estes parâmetros usando grupos adimensionais 735 Gotículas são formadas quando um jato de líquido é borrifado por spray em processos de injeção de combustível Considere que o diâmetro da gotícula resultante d dependa da massa específica da viscosidade e da tensão superficial do líquido bem como da velocidade V e do diâmetro D do jato Quantas razões adimensionais são necessárias para caracterizar este processo Determine estas razões 736 O esquema mostra um jato de ar descarregando verticalmente Experiências mostram que uma bola colocada no jato fica suspensa em uma posição estável A altura de equilíbrio da bola no jato depende de D d V ρ μ e de W em que W é o peso da bola Análise dimensional é sugerida para correlacionar os dados experimentais Determine os parâmetros Π que caracterizam este fenômeno 737 O diâmetro d dos pontos impressos por uma impressora a jato de tinta depende da viscosidade μ da massa específica ρ e da tensão superficial σ da tinta bem como do diâmetro do bocal D da distância L do bocal à superfície do papel e da velocidade do jato de tinta V Use a análise dimensional para encontrar os parâmetros Π que caracterizam o comportamento do jato de tinta 738 O diâmetro d de bolhas de sabão produzidas por um brinquedo depende da viscosidade μ massa específica ρ e da tensão superficial σ da água com sabão bem como do diâmetro do anel do brinquedo D e do diferencial de pressão Δp gerando as bolhas Use a análise dimensional para encontrar os parâmetros Π que caracterizam este fenômeno 739 A velocidade terminal V de caixas de transporte deslizando para baixo sobre uma camada de ar em uma rampa injetada por meio de inúmeros orifícios na superfície inclinada depende da massa da caixa m da área da base A da aceleração da gravidade g do ângulo de inclinação da rampa θ da viscosidade do ar μ e da espessura da camada de ar δ Use a análise dimensional para encontrar os parâmetros Π que caracterizam este fenômeno 740 O comprimento w da esteira atrás de um aerofólio é uma função da velocidade do escoamento V do comprimento de corda L da espessura t da massa específica ρ e da viscosidade dinâmica μ do fluido Determine os parâmetros adimensionais que caracterizam este fenômeno 741 O agitador de uma máquina de lavar deve ser projetado A potência requerida para o agitador deve ser correlacionada com a quantidade de água usada indicada pela profundidade H de água A potência também depende do diâmetro do agitador D da altura h da velocidade angular máxima ωmáx da frequência de oscilações f da massa específica da água ρ e da viscosidade da água μ Determine os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema 742 Bocais com escoamento com ondas de choque são frequentemente usados para medir o escoamento de gases através de tubulações A vazão mássica do gás supostamente depende da área do bocal A da pressão p da temperatura T a montante do medidor e da constante R do gás Determine quantos parâmetros Π independentes podem ser formados para este problema Estabeleça a relação funcional para a vazão mássica em função dos parâmetros adimensionais 743 O tempo t para um volante com momento de inércia I alcançar uma velocidade angular ω a partir do repouso depende do torque aplicado T bem como das seguintes propriedades do mancal do volante a viscosidade do óleo μ a folga Δ o diâmetro D e o comprimento L Use a análise dimensional para determinar os parâmetros Π que caracterizam este fenômeno 744 Um grande tanque de líquido sob pressão é drenado através de um bocal de perfil suave e liso de área A Considerase que a vazão em massa depende da área do bocal A da massa específica do líquido ρ da diferença de altura entre a superfície do líquido e o bocal h da pressão manométrica no tanque Δp e da aceleração da gravidade g Determine quantos parâmetros Π independentes podem ser formados para este problema Determine os parâmetros adimensionais Enuncie a relação funcional para a vazão em massa em função dos parâmetros adimensionais 745 O spin giro em torno do próprio eixo tem papel importante na trajetória de bolas de golfe pinguepongue e tênis Então é importante conhecer a taxa com a qual o spin decresce para uma bola em voo Supõese que o torque aerodinâmico T atuando sobre a bola em voo dependa da velocidade da bola V da massa específica do ar ρ da sua viscosidade μ do diâmetro da bola D da taxa de giro velocidade angular ω e da profundidade ou diâmetro das cavidades da bola d Determine os parâmetros adimensionais que resultam 746 A ventilação na boate de um navio de turismo é insuficiente para limpar a fumaça de cigarros e similares neste navio ainda não é completamente proibido fumar Testes devem ser realizados para verificar se um ventilador extrator mais potente funcionará A concentração de fumaça c partículas por metro cúbico de ar depende do número de fumantes N da perda de pressão produzida pelo ventilador Δp do diâmetro do ventilador D da velocidade do motor ω da massa específica das partículas de fumaça e do ar ρp e ρ respectivamente da aceleração da gravidade g e da viscosidade do ar μ Determine os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema 747 A taxa de combustão de massa de um gás inflamável é uma função da espessura da chama δ da massa específica do gás ρ da difusividade térmica e da difusividade de massa D Usando a análise dimensional determine a forma funcional desta dependência em função dos parâmetros adimensionais Note que e D possuem as dimensões L2t 748 A potência dissipada em um mancal de deslizamento depende do comprimento l do diâmetro D da folga c do mancal e da sua velocidade angular ω A viscosidade do lubrificante e a pressão média também são importantes Obtenha os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema Determine a forma funcional da dependência de em relação a estes parâmetros 749 Em um forno de convecção assistido por ventilador a taxa de transferência de calor para um assado energia por unidade de tempo depende por suposição do calor específico do ar cp da diferença de temperatura Θ de uma escala de comprimento L da massa específica do ar ρ da viscosidade do ar μ e da velocidade do ar V Quantas dimensões básicas estão incluídas nestas variáveis Determine o número de parâmetros Π necessários para caracterizar o forno Avalie os parâmetros Π 750 O empuxo de uma hélice de embarcação deve ser medido durante testes de águaaberta a diversas velocidades angulares e velocidades à frente velocidades de avanço Supõese que o empuxo FT depende da massa específica da água ρ do diâmetro da hélice D da velocidade de avanço V da aceleração da gravidade g da velocidade angular ω da pressão no líquido p e da viscosidade do líquido μ Desenvolva um conjunto de parâmetros adimensionais para caracterizar o desempenho da hélice Um dos parâmetros resultantes gDV2 é conhecido como a velocidade de avanço de Froude 751 A taxa dTdt à qual a temperatura T no centro de um grão de arroz diminui durante um processo de tecnologia de alimentos é crítica um valor muito alto leva à quebra do grão e um valor muito baixo torna o processo lento e caro A taxa depende do calor específico c da condutividade térmica k e do tamanho L do grão de arroz bem como do calor específico cp da massa específica ρ da viscosidade μ e da velocidade V do ar de resfriamento Quantas dimensões básicas estão incluídas nestas variáveis Determine os parâmetros Π para este problema 752 A potência necessária para acionar uma hélice depende das seguintes variáveis velocidade da corrente livre V diâmetro da hélice D velocidade angular ω viscosidade do fluido μ massa específica do fluido ρ e velocidade do som no fluido c Quantos grupos adimensionais são necessários para caracterizar esta situação Obtenha estes grupos adimensionais 753 A velocidade do fluido u em qualquer ponto em uma camadalimite depende da distância y do ponto acima da superfície da velocidade da corrente livre U e do gradiente de velocidade da corrente livre dUdx da viscosidade cinemática do fluido υ e da espessura da camadalimite δ Quantos grupos adimensionais são requeridos para descrever este problema Determine a dois grupos Π por inspeção b um grupo Π que é um grupopadrão em mecânica dos fluidos e c quaisquer grupos Π remanescentes usando o teorema Pi de Buckingham 754 Quando uma válvula é subitamente fechada em um tubo em que escoa água uma onda de pressão se desenvolve martelo hidráulico ou golpe de aríete As elevadas pressões geradas por essas ondas podem danificar o tubo A pressão máxima pmáx gerada pelo martelo hidráulico é uma função da massa específica do líquido ρ da velocidade inicial do escoamento U0 e do módulo de compressibilidade do líquido Eυ Quantos grupos adimensionais são necessários para caracterizar o martelo hidráulico Determine a relação funcional entre as variáveis em termos dos grupos Π necessários Semelhança de Escoamentos e Estudos de Modelos 755 Os projetistas de um grande balão que operará ancorado para coleta de amostras e análise de poluição atmosférica desejam saber que arrasto haverá sobre o balão para uma velocidade máxima de vento admitida de 5 ms o ar é considerado a 20 C Para isso um modelo em escala 120 é construído para teste em água a 20 C Que velocidade de água é requerida para modelar o protótipo Em que velocidade o arrasto medido do modelo será 2 kN Qual será o arrasto correspondente do protótipo 756 Uma aeronave deve operar a 20 ms no ar na condiçãopadrão Um modelo é construído em escala 120 e testado em um túnel de vento com ar na temperaturapadrão para determinar o arrasto Que critério deve ser considerado para se obter semelhança dinâmica Se o modelo for testado a 75 ms que pressão deve ser usada no túnel de vento Se a força de arrasto sobre o modelo for 250 N qual será a força sobre o protótipo 757 Para igualar os números de Reynolds em escoamentos de ar e de água utilizando modelos de mesmo tamanho qual escoamento requererá maior velocidade Quanto maior deve ser a velocidade 758 Um navio deve ser movido por um cilindro circular rotativo Testes de modelo são planejados para estimar a potência requerida para girar o cilindro protótipo Uma análise dimensional é necessária para transportar por escala os resultados dos testes do modelo para o protótipo Liste os parâmetros que deveriam ser incluídos na análise dimensional Faça uma análise dimensional para identificar os grupos adimensionais importantes 759 Medições da força de arrasto são feitas em um modelo de automóvel em um tanque de provas cheio com água doce A escala do modelo é 15 em relação ao protótipo Enuncie as condições necessárias para garantir semelhança dinâmica entre o modelo e o protótipo Determine a fração da velocidade do protótipo no ar com a qual deve ser feito o teste do modelo em água a fim de assegurar condições de semelhança dinâmica Medições feitas em várias velocidades mostram que a razão adimensional de forças tornase constante para velocidades de teste do modelo acima de Vm 4 ms A força de arrasto medida durante um teste com esta velocidade é FDm 182 N Calcule o arrasto esperado sobre o veículo protótipo trafegando a 90 kmh 760 Em um navio de turismo os passageiros reclamam sobre o ruído proveniente dos propulsores do navio provavelmente devido aos efeitos do escoamento turbulento entre os propulsores e o navio Você já esteve engajado na determinação da fonte deste ruído Você estudará o modelo de escoamento em torno dos propulsores e usará um tanque de água em escala 19 Se os propulsores do navio giram a 100 rpm estime a rotação do propulsor do modelo se a o número de Froude ou b o número de Reynolds é o grupo adimensional de governo Qual deles conduzirá à melhor modelagem 761 Um modelo de torpedo em escala 15 é testado em um túnel de vento para determinar a força de arrasto O protótipo opera em água tem 533 mm de diâmetro e 67 m de comprimento A velocidade de operação desejada do protótipo é 28 ms Para evitar efeitos de compressibilidade no túnel de vento a velocidade máxima é 1imitada em 110 ms Entretanto a pressão no túnel de vento pode variar enquanto a temperatura é mantida constante em 20 C Em que pressão mínima deverá o túnel de vento operar para se obter um teste dinamicamente semelhante Em condições de teste dinamicamente semelhante a força de arrasto sobre o modelo é medida como 618 N Avalie a força de arrasto esperada sobre o torpedo em escala natural 762 O arrasto de um aerofólio em ângulo de ataque zero é uma função da massa específica viscosidade e velocidade além de um parâmetro de comprimento Um modelo em escala 15 de um aerofólio foi testado em um túnel de vento a uma velocidade de 40 ms temperatura de 15 C e pressão absoluta de 3800 mm Hg O aerofólio protótipo tem um comprimento de corda igual a 18 m e voará no arpadrão Determine o número de Reynolds no qual o modelo foi testado no túnel de vento e a correspondente velocidade do protótipo no mesmo número de Reynolds 763 Considere uma esfera lisa de diâmetro D imersa em um fluido movendo com velocidade V A força de arrasto sobre um balão meteorológico com 3 m de diâmetro movendo no ar a 15 ms deve ser calculada partindo de dados de teste O teste deve ser realizado na água usando um modelo com 50 mm de diâmetro Sob condições de semelhança dinâmica a força de arrasto sobre o modelo é medida como 38 N Avalie a velocidade de teste do modelo e a força de arrasto esperada sobre o balão em escala natural 764 Uma asa de avião com comprimento de corda igual a 15 m e 9 m de envergadura é projetada para voar no arpadrão a uma velocidade de 75 ms Um modelo em escala 110 desta asa deve ser testado em um túnel de água Que velocidade é necessária no túnel de água para atingir a semelhança dinâmica Qual será a razão entre as forças medidas no modelo e aquelas sobre a asa protótipo 765 As características fluidodinâmicas de uma bola de golfe devem ser testadas usando um modelo em um túnel de vento Os parâmetros dependentes são a força de arrasto FD e a força de sustentação FL sobre a bola Os parâmetros independentes devem incluir a velocidade angular ω e a profundidade das cavidades da bola d Determine parâmetros adimensionais adequados e expresse a dependência funcional entre eles Um profissional de golfe pode golpear uma bola a V 75 ms e ω 8100 rpm Para modelar estas condições em um túnel de vento com velocidade máxima de 25 ms que diâmetro de modelo deve ser utilizado Quão rápido deve o modelo girar O diâmetro de uma bola de golfe oficial americana é 427 cm 766 Uma bomba de água com diâmetro de hélice igual a 60 cm deve ser projetada para bombear 04 m3s quando operando a 750 rpm Testes são realizados sobre um modelo em escala 14 operando a 2400 rpm usando o ar 20 C como fluido de trabalho Para condições similares desprezando os efeitos do número de Reynolds qual será a vazão do modelo Se o modelo consome 75 W qual será o requerimento de potência do protótipo 767 Um teste de modelo é realizado para determinar as características de voo de um Frisbee Os parâmetros dependentes são a força de arrasto FD e a força de sustentação FL Os parâmetros independentes deverão incluir a velocidade angular ω e a altura das rugosidades h Determine parâmetros adimensionais adequados e expresse a dependência funcional entre eles O teste usando ar em um modelo em escala de 17 de um Frisbee deve assegurar semelhança geométrica cinemática e dinâmica para o protótipo As condições de teste no túnel de vento são Vm 42 ms e ωm 5000 rpm Quais são os valores correspondentes de Vp e ωp 768 Um modelo de hidrofólio deve ser testado em escala de 120 A velocidade de teste escolhida deve reproduzir o número de Froude correspondente à velocidade do protótipo de 30 ms Para modelar a cavitação corretamente o índice de cavitação também deve ser reproduzido Em que pressão ambiente deve ser realizado o teste A água no tanque de teste do modelo pode ser aquecida a 54 C comparada aos 7 C para o protótipo 769 Óleo SAE 10W a 25 C escoa em um tubo horizontal de diâmetro 25 mm a uma velocidade média de 1 ms produzindo uma queda de pressão de 450 kPa manométrica sobre um comprimento de 150 m Água a 15 C escoa através do mesmo tubo sob condições de semelhança dinâmica Usando os resultados do Exemplo 72 calcule a velocidade média do escoamento de água e a correspondente queda de pressão 770 Em algumas faixas de velocidade vórtices são formados atrás de cilindros rombudos colocados atravessados em um escoamento Os vórtices alternadamente partem do topo e do fundo do cilindro como mostrado causando uma força alternante normal à velocidade da corrente livre Supõese que a frequência de formação dos vórtices f depende de ρ d V e μ Use análise dimensional para desenvolver uma relação funcional para f Esteiras de vórtices ocorrem no arpadrão sobre dois cilindros com razão de diâmetros igual a 2 Determine a razão entre as velocidades para haver semelhança dinâmica e a razão entre as frequências de formação dos vórtices 771 Um modelo em escala 18 de um conjunto cavaloreboque é testado em um túnel de vento pressurizado A largura altura e comprimento do modelo são respectivamente W 0305 m H 0476 m e L 248 m Para uma velocidade do vento de V 750 ms a força de arrasto sobre o modelo é FD 128 N A massa específica do ar no túnel é ρ 323 kgm3 Calcule o coeficiente de arrasto aerodinâmico para o modelo Compare os números de Reynolds para o teste com modelo e para a carreta protótipo a 88 kmh Calcule a força de arrasto aerodinâmico sobre o protótipo a uma velocidade de estrada de 88 kmh com vento contrário de 16 kmh 772 Em um navio de turismo os passageiros reclamam sobre a quantidade de fumaça proveniente da descarga do motor de combustão Você já esteve engajado no estudo o modelo escoamento em torno da tubulação de descarga de um motor de combustão e decidiu usar um modelo em escala 115 do tubo de descarga com 475 m de comprimento Que faixa de velocidade do túnel de vento você poderia usar se a velocidade do navio em que o problema ocorre fosse de 6 a 12 ms 773 O comportamento aerodinâmico de um inseto voador deve ser investigado em um túnel de vento usando um modelo em escala de 18 Se o inseto bate suas asas 60 vezes por segundo quando voa a 15 ms determine a velocidade do ar no túnel de vento e a frequência de oscilação da asa requerida para semelhança dinâmica Você esperaria que isso fosse um modelo prático ou de sucesso para gerar uma sustentação de asas facilmente mensurável Se não você teria uma sugestão de um fluido diferente por exemplo água ou ar a uma pressão eou temperatura diferente que pudesse produzir uma modelagem melhor 774 Um teste de modelo de um conjunto cavaloreboque é realizado em um túnel de vento A força de arrasto FD é considerada ser dependente da área frontal A da velocidade do vento V da massa específica do ar ρ e da viscosidade do ar μ A escala do modelo é 14 a área frontal do modelo é A 0625 m2 Obtenha um conjunto de parâmetros adimensionais adequados para organizar os resultados do teste com o modelo Defina as condições necessárias para alcançar a semelhança dinâmica entre os escoamentos de modelo e de protótipo Quando testado à velocidade do vento V 896 ms no arpadrão a força de arrasto medida sobre o modelo foi FD 246 kN Considerando semelhança dinâmica estime a força de arrasto aerodinâmico sobre a carreta em tamanho real a V 224 ms Calcule a potência necessária para vencer esta força de arrasto se não houver vento 775 Testes são realizados em um modelo de barco em escala 110 Qual deve ser a viscosidade cinemática do fluido do modelo se os fenômenos de arrasto de atrito e de onda forem corretamente modelados O barco em escala real será utilizado em um lago de água doce onde a temperatura média da água é de 10 C 776 O seu professor favorito pratica alpinismo portanto há sempre a possibilidade de que ele caia em uma fenda de alguma geleira Se isto acontecesse hoje e o professor ficasse preso em uma geleira de movimento lento talvez você ficasse curioso em saber se ele reapareceria a jusante no ponto de deságue da geleira ainda durante o ano letivo Considerando que o gelo seja um fluido newtoniano com a massa específica da glicerina porém um milhão de vezes mais viscoso você decide construir um modelo e utilizar análise dimensional e semelhança para estimar após quanto tempo o azarado professor reapareceria Considere que a geleira real tenha 15 m de profundidade e encontrese em uma encosta que cai 15 m em uma distância horizontal de 1850 m Desenvolva os parâmetros adimensionais e as condições esperadas para governar a semelhança dinâmica neste problema Se o modelo do professor reaparecer no laboratório após 96 horas quando é que você deveria retornar ao sopé da geleira real para oferecer auxílio a seu professor favorito 777 Um automóvel deve trafegar a 96 kmh em arpadrão Para determinar a distribuição de pressão um modelo em escala 15 deve ser testado em água Que fatores devem ser considerados de modo a assegurar semelhança cinemática nos testes Determine a velocidade da água que deve ser empregada Qual a razão correspondente de forças de arrasto entre os escoamentos sobre o protótipo e sobre o modelo O mais baixo coeficiente de pressão é Cp 14 no local de mínima pressão estática sobre a superfície Estime a mínima pressão no túnel necessária para evitar cavitação se este fenômeno se desencadeia a um índice de 05 778 Um modelo em escala 150 de um submarino deve ser testado em um tanque de teste de reboque sob duas condições movimento na superfície livre e movimento bem abaixo da superfície livre Os testes são realizados em água doce Na superfície o submarino tem velocidades de 12 ms A que velocidade deve o modelo ser rebocado para garantir similaridade dinâmica Abaixo da superfície a velocidade do submarino é 018 ms A que velocidade deve o modelo ser rebocado para garantir similaridade dinâmica Por qual fator o arrasto do modelo deve ser multiplicado para obter o arrasto do submarino em tamanho real 779 Um túnel de vento está sendo usado para estudar a aerodinâmica de um modelo de foguete em tamanho real que possui 30 cm de comprimento A escala para cálculo do arrasto é baseada no número de Reynolds O foguete possui uma velocidade máxima prevista em 190 kmh Qual é o número de Reynolds para esta velocidade Considere que o ar ambiente está a 20 C O túnel de vento é capaz de produzir velocidades até 160 kmh de modo que uma tentativa é feita para melhorar esta velocidade máxima por meio da variação da temperatura do ar Calcule a velocidade equivalente para o túnel de vento usando ar a 5 C e 65 C Se o ar fosse substituído por dióxido de carbono as velocidades atingidas seriam maiores 780 Considere o escoamento de água em torno de um cilindro circular de diâmetro D e comprimento l Além da geometria sabese que a força de arrasto é dependente da velocidade do líquido V da massa específica ρ e da viscosidade μ Expresse a força de arrasto FD em forma adimensional como uma função de todas as variáveis relevantes A distribuição de pressão estática sobre um cilindro circular medida no laboratório pode ser expressa em termos do coeficiente adimensional de pressão o mais baixo coeficiente de pressão é Cp 24 no ponto da mínima pressão estática sobre a superfície do cilindro Estime a máxima velocidade com a qual um cilindro pode ser rebocado na água à pressão atmosférica sem causar cavitação se o índice de cavitação incipiente for 05 781 Um recipiente circular parcialmente cheio com água é girado em torno do seu eixo com velocidade angular constante ω Em um instante qualquer τ após o início da rotação a velocidade Vθ na distância normal r em relação ao eixo de rotação foi determinada como uma função de τ w e das propriedades do líquido Escreva os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema Se em outra experiência mel for girado no mesmo cilindro com a mesma velocidade angular avalie usando seus parâmetros adimensionais se o mel atingirá um movimento permanente tão rápido quanto a água Explique por que o número de Reynolds não seria um parâmetro adimensional importante na modelagem do movimento do líquido em regime permanente no recipiente 782 Um modelo em escala 110 de um conjunto cavaloreboque é testado em um túnel de vento A área frontal do modelo é Am 01 m2 Quando testado a Vm 75 ms em arpadrão a força de arrasto medida é FD 350 N Avalie o coeficiente de arrasto para o modelo nas condições dadas Admitindo que o coeficiente de arrasto seja o mesmo para modelo e protótipo calcule a força de arrasto sobre uma carreta protótipo a uma velocidade de estrada de 90 kmh Determine a velocidade do ar na qual o modelo deve ser testado para assegurar resultados dinamicamente semelhantes se a velocidade do protótipo for 90 kmh Esta velocidade no ar é prática Sim ou não Por quê 783 É recomendado em 8 que a área frontal de um modelo seja inferior a 5 da área da seção de teste de um túnel de vento e Re Vwv 2 106 em que w é a largura do modelo Além disso a altura do modelo deve ser inferior a 30 da altura da seção de teste e a largura máxima projetada do modelo na obliquidade máxima 20 deve ser menor que 30 da largura da seção de teste A velocidade máxima do ar deve ser inferior a 91 ms para minimizar efeitos de compressibilidade Um modelo de um conjunto cavaloreboque deve ser testado em um túnel com seção de teste de 046 m de altura por 061 m de largura A altura largura e comprimento da carreta em tamanho real são 41 m 24 m e 198 m respectivamente Avalie a razão de escala do maior modelo que atenderia os critérios recomendados Avalie também se um número de Reynolds adequado pode ou não ser atingido nestas instalações de teste 784 Considerase que a potência requerida para acionar um ventilador depende da massa específica do fluido ρ da vazão em volume Q do diâmetro da hélice D e da velocidade angular ω Se um ventilador com D1 200 mm fornece Q1 04 m3s de ar a ω1 2500 rpm qual o tamanho esperado para o diâmetro de um ventilador para que o mesmo forneça Q2 238 m3s de ar a ω2 1800 desde que os mesmos fossem geométrica e dinamicamente semelhantes 785 Sobre uma determinada faixa de velocidades do ar V a sustentação FT produzida por um modelo de uma aeronave completa em um túnel de vento depende da velocidade do ar da massa específica do ar r e de um comprimento característico o comprimento da corda da base da asa c 150 mm Os seguintes dados experimentais foram obtidos para o ar nas condições de atmosferapadrão V ms 10 15 20 25 30 35 40 45 50 FL N 22 48 87 133 196 265 345 438 54 Trace a curva da sustentação em função da velocidade Usando o Excel faça uma análise de linha de tendência desta curva e em seguida gere e trace um gráfico de dados para a sustentação produzida pelo protótipo que tem comprimento de corda de 5 m sobre uma faixa de velocidades de 75 ms a 250 ms 786 O aumento de pressão Δp de um líquido escoando em regime permanente através de uma bomba centrífuga depende do diâmetro da bomba D da velocidade angular do rotor ω da vazão volumétrica Q e da massa específica ρ A tabela fornece dados para o protótipo e para um modelo de bomba geometricamente semelhante Para condições correspondentes à semelhança dinâmica entre as bombas modelo e protótipo calcule os valores que faltam na tabela Variável Protótipo Modelo Δp 525 kPa Q 00928 m3min ρ 800 kgm3 999 kgm3 ω 183 rads 367 rads D 150 mm 50 mm 787 Testes são realizados em um modelo de embarcação com 1 m de comprimento em um tanque de água Os resultados obtidos após a realização de análise de dados são os seguintes V ms 3 6 9 12 15 18 20 DOnda N 0 0125 05 15 3 4 55 DAtrito N 01 035 075 125 2 275 325 A consideração é de que a modelagem do arrasto de onda é feita usando o número de Froude e o arrasto de atrito pelo número de Reynolds A embarcação em tamanho normal terá 50 m de comprimento quando construída Estime o arrasto total quando esta embarcação está navegando a 77 ms e a 103 ms em um lago de água doce 788 Uma bomba de água centrífuga funcionando à velocidade ω 800 rpm tem os seguintes dados para a vazão Q e altura de carga Δp Q m3h 0 100 150 200 250 300 325 350 Δp kpa 361 349 328 293 230 145 114 59 A altura de carga Δp é uma função da vazão Q da velocidade ρ do diâmetro do rotor D e da massa específica da água ρ Trace um gráfico da altura de carga em função da vazão Determine os dois parâmetros Π para este problema e a partir dos dados da tabela trace a curva de um parâmetro versus o outro Usando o Excel faça uma análise de linha de tendência desta curva e em seguida gere e trace um gráfico da altura de carga em função da vazão para velocidades do rotor de 600 rpm e 1200 rpm 789 Uma bomba de fluxo axial é necessária para fornecer 075 m3s de água com uma altura de carga de 15 Jkg O diâmetro do rotor é 025 m e ele será acionado a 500 rpm O protótipo deve ser modelado em um pequeno dispositivo de teste com potência 225 kW a 1000 rpm Para a condição de desempenho semelhante entre protótipo e modelo calcule a altura de carga a vazão volumétrica e o diâmetro do rotor do modelo 790 Um modelo de hélice de 1 m de diâmetro é testado em um túnel de vento O ar aproximase da hélice a 50 ms quando ela gira a 1800 rpm O empuxo e o torque medidos sob estas condições são 100 N e 10 N m respectivamente Um protótipo 8 vezes maior que o modelo deve ser construído Em um ponto de operação dinamicamente semelhante a velocidade de aproximação do ar deve ser de 130 ms Calcule a velocidade o empuxo e o torque da hélice do protótipo sob estas condições desprezando o efeito da viscosidade mas incluindo a massa específica 791 Considere novamente o Problema 751 A experiência mostra que para hélices de navios os efeitos viscosos são pequenos sobre as transposições por escala Também quando a cavitação não está presente o parâmetro adimensional contendo a pressão pode ser ignorado Considere que o torque T e a potência dependam dos mesmos parâmetros que o empuxo Para condições em que os efeitos de μ e p podem ser desprezados deduza leis de escala para hélices similares às leis das bombas da Seção 76 que relacionem empuxo torque e potência com a velocidade angular e o diâmetro da hélice 792 Gotas de água são produzidas por um mecanismo que se acredita seguir o modelo dp D We35 Nesta equação dp é o tamanho da gota D é proporcional a um comprimento em escala e We é o número de Weber Na construção do modelo ampliado se o comprimento característico em escala for aumentado por 20 e a velocidade for diminuída por um fator de 5 como difeririam as gotas em pequena e em larga escala para o mesmo material da gota por exemplo a água 793 Túneis de vento de circuito fechado podem produzir velocidades mais altas do que aqueles de circuitoaberto com a mesma potência de acionamento porque há recuperação de energia no difusor a jusante da seção de teste A razão de energia cinética é uma figura de mérito definida como a razão entre o fluxo de energia cinética na seção de teste e a potência de acionamento Estime a razão de energia cinética para o túnel de vento de 122 m 244 m da NASAAmes descrito no final da Seção 76 794 Um modelo em escala 116 de um caminhão de 20 m de comprimento é testado a 80 ms em um túnel de vento onde o gradiente axial de pressão estática é 1117 Nm2 A área frontal do protótipo é 99 m2 Estime a correção para o empuxo horizontal para esta situação Expresse a correção como uma fração do CD medido se CD 085 795 Com frequência observase uma bandeira tremulando ao vento em um mastro Explique por que isso ocorre 796 Um modelo em escala 116 de um ônibus é testado em um túnel de vento com arpadrão O modelo tem 152 mm de largura 200 mm de altura e 762 mm de comprimento A força de arrasto medida a uma velocidade do vento de 265 ms é 609 N O gradiente de pressão longitudinal na seção de teste do túnel de vento é 118 Nm2m Estime a correção que deverá ser feita na força de arrasto medida para compensar o efeito do empuxo horizontal causado pelo gradiente de pressão na seção de teste Calcule o coeficiente de arrasto do modelo Avalie a força de arrasto aerodinâmico sobre o protótipo a 100 kmh em um dia calmo 797 Explore a variação na velocidade de propagação de ondas dada pela equação do Problema 71 para um escoamento de água de superfície livre Determine a profundidade de operação para minimizar a velocidade de ondas capilares ondas de pequeno comprimento de onda também chamadas de ondulações Inicialmente considere que o comprimento de onda é muito menor que a profundidade da água Em seguida explore o efeito da profundidade Que profundidade você recomenda para uma mesa dágua de visualização do fenômeno de ondas em escoamento compressível Qual é o efeito da redução da tensão superficial pela adição de um detergente 1Uma mistura de nitrogênio líquido e vapor pode ser usada para produzir linhas de emissão de fumaça que evaporam e não entopem as finas malhas das telas usadas para reduzir o nível de turbulência no túnel As linhas de emissão podem ser feitas coloridas nas fotografias pela instalação de um filtro sobre a lente da máquina fotográfica Esta e outras técnicas de visualização do escoamento são detalhadas na referência 6 e em Merzkirch 7 2O comprimento do veículo é particularmente importante em testes com grandes ângulos de ataque para simular o comportamento sob ventos cruzados Considerações de bloqueio do túnel limitam o tamanho aceitável do modelo Veja a referência 8 para práticas recomendadas 3Eficiência é definida como a razão entre a potência fornecida ao fluido e a potência de entrada na bomba Para escoamento incompressível veremos no Capítulo 8 que a equação de energia reduzse a ρQH quando a altura h é expressa como energia por unidade de massa ou a ρgQHquando a altura H é expressa como energia por unidade de peso Escoamento Interno Viscoso e Incompressível 81 Introdução Parte A Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido 82 Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre Placas Paralelas Infinitas 83 Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido em um Tubo Parte B Escoamento em Tubos e Dutos 84 Distribuição de Tensão de Cisalhamento no Escoamento Completamente Desenvolvido em Tubos 85 Perfis de Velocidade em Escoamentos Turbulentos Completamente Desenvolvidos em Tubos 86 Considerações de Energia no Escoamento em Tubos 87 Cálculo da Perda de Carga 88 Solução de Problemas de Escoamento em Tubo Parte C Medição de Vazão 89 Métodos Diretos 810 Medidores de Vazão de Restrição para Escoamentos Internos 811 Medidores de Vazão Lineares 812 Métodos Transversos 813 Resumo e Equações Úteis Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente Energia do vento A Turbina Eólica FloDesign Todos nós estamos familiarizados com a turbina eólica de três pás que tem sido usada para gerar quantidades crescentes de energia Como essa tecnologia já está bastante aperfeiçoada novos estudos estão sendo desenvolvidos gradualmente a melhora no projeto das pás e nos controles e pesquisas em materiais compósitos para grandes turbinas A maior turbina eólica do mundo está sendo construída por uma equipe norueguesa ela terá 162 m de altura e um diâmetro do rotor de 145 m e irá gerar cerca de 10 MW o suficiente para abastecer mais de 2000 casas Tendo em conta que o Empire State Building tem 381 m de altura esta turbina eólica será enorme tão grande que ela deverá ser instalada no exterior Engenheiros ainda estão investigando alternativas para estes projetos A FloDesign Wind Turbine é um departamento da FloDesign companhia aeroespacial sediada em Wilbraham Massachusetts que está desenvolvendo um estudo de uma nova turbina eólica que de acordo com o CEO Stanley Kowalsky III será até três vezes mais eficiente do que as turbinas eólicas convencionais De frente a turbina eólica parece com a entrada de ar de um motor a jato não surpreendentemente considerando a história da FloDesign A estrutura mostrada na figura guia o ar que gira em vórtices à medida que sai do dispositivo acelerando o fluxo e causando uma queda significativa na pressão Na entrada da turbina o ar passa por um conjunto de pás do estator fixo que direciona o escoamento às pás do rotor para extrair energia da corrente de ar Portanto o ar tem menor energia e velocidade na saída do que o ar que flui ao redor da turbina A carenagem de proteção do dispositivo possui uma forma que permite que o ar exterior relativamente rápido se misture ao ar que sai atrás dos rotores criando uma região de baixa pressão atrás das palhetas da turbina Essa é a vantagem do dispositivo em relação às turbinas convencionais a região de baixa pressão induzida na verdade suga o ar para o dispositivo a uma taxa aumentada gerando mais potência Esta ideia não é nova mas os projetos similares desenvolvidos anteriormente foram limitados pelo alinhamento da turbina na mesma direção do fluxo de ar com uma inclinação entre a turbina e o vento em torno de 4 o presente dispositivo irá funcionar com uma inclinação de 20 Teoricamente como veremos no Capítulo 10 as turbinas convencionais capturam no máximo 593 da energia do vento O novo protótipo gera tanta energia quanto uma turbina eólica que possui lâminas convencionais duas vezes maior O menor tamanho da pá da nova turbina significa que a Turbina Eólica FloDesign poderia compactar as turbinas convencionais aumentando a quantidade de energia gerada por acre de terra Pelo fato de as pás serem mais leves e menores o novo modelo de turbina começa a girar e a gerar potência em baixas velocidades de vento e é mais tolerante com os padrões de vento instável tornandoo excelente para regiões ventosas onde as turbinas grandes não podem ser utilizadas como nas cidades Pás menores podem também girar mais rapidamente reduzindo a necessidade de caixas de marchas caras das turbinas eólicas convencionais usadas para ligar os rotores ao gerador de alta velocidade Com menos equipamentos e menos partes móveis a empresa afirma que pode reduzir o número de componentes em até 75 reduzindo custos e tornando a manutenção mais fácil A FloDesign já construiu um pequeno protótipo para testes em túnel de vento O próximo passo é construir um sistema com 36 m de diâmetro capaz de gerar 10 kW para testes de campo O protótipo será concluído em 2010 seguido da construção de turbinas eólicas comerciais Visualização da turbina eólica FloDesign Os escoamentos completamente limitados por superfícies sólidas são denominados escoamentos internos Desse modo os escoamentos internos incluem escoamentos em tubos dutos bocais difusores contrações e expansões súbitas válvulas e acessórios Os escoamentos internos podem ser laminares ou turbulentos Alguns casos de escoamentos laminares podem ser resolvidos analiticamente No caso de escoamento turbulento as soluções analíticas não são possíveis e devemos apoiarnos fortemente em teorias semiempíricas e em dados experimentais A natureza dos escoamentos laminar e turbulento foi discutida na Seção 26 Para escoamentos internos o regime de escoamento laminar ou turbulento é primariamente uma função do número de Reynolds Neste capítulo consideraremos somente escoamentos incompressíveis portanto estudaremos o escoamento de líquidos bem como de gases que possuem transferência de calor desprezível e para os quais o número de Mach é M 03 um valor de M 03 no ar corresponde a uma velocidade de aproximadamente 100 ms Após uma breve introdução este capítulo é dividido nas seguintes partes Parte A A parte A apresenta uma discussão sobre o escoamento laminar completamente desenvolvido de um fluido newtoniano entre placas paralelas e em um tubo Estes dois casos podem ser estudados analiticamente Parte B A parte B é sobre escoamentos laminares e turbulentos em tubos e dutos A análise do escoamento laminar segue a partir da parte A o escoamento turbulento que é o mais comum é muito complexo para ser analisado teoricamente dessa forma dados experimentais serão utilizados para desenvolver técnicas de solução Parte C A parte C é uma discussão de métodos de medição de escoamento VÍDEO Experimento sobre Transição do Número de Reynolds em inglês VÍDEO Experimento sobre Viscosidade Variável Animação em inglês 81 Introdução Escoamento Laminar versus Turbulento Como discutido previamente na Seção 26 o regime de escoamento em um tubo laminar ou turbulento é determinado pelo número de Reynolds Re ρ Dμ Podese demonstrar pelo clássico experimento de Reynolds a diferença qualitativa entre escoamentos laminar e turbulento Neste experimento a água escoa de um grande reservatório através de um tubo transparente Um fino filamento de corante injetado na entrada do tubo permite a observação visual do escoamento Em vazões baixas números de Reynolds baixos o corante injetado no escoamento mantémse em um filamento único ao longo do tubo há pouca dispersão de corante porque o escoamento é laminar Um escoamento laminar é aquele no qual o fluido escoa em lâminas ou camadas não há mistura macroscópica de camadas adjacentes de fluido VÍDEO Experimento sobre Viscosidade Variável Queda de Pressão em inglês À medida que a vazão através do tubo é aumentada o filamento de corante tornase instável e partese em um movimento aleatório pelo tubo a linha de corante tornase esticada e torcida em uma miríade de novelos de fluido e rapidamente se dispersa por todo o campo de escoamento Este comportamento do escoamento turbulento é causado por pequenas flutuações de velocidade de alta frequência superpostas ao movimento médio de um escoamento turbulento conforme ilustrado anteriormente na Fig 215 a mistura de partículas de camadas adjacentes de fluido resulta na rápida dispersão do corante Mencionamos no Capítulo 2 um exemplo diário sobre a diferença entre escoamento laminar e turbulento quando você gira suavemente a torneira de água da cozinha não gaseificada Para vazões muito baixas a água sai lentamente indicando escoamento laminar no tubo para altas vazões o escoamento é agitado escoamento turbulento Sob condições normais a transição para turbulência ocorre em Re 2300 para escoamento em tubos para o escoamento de água em um tubo com diâmetro interno de 25 mm isso corresponde a uma velocidade média de 0091ms Com o cuidado necessário para manter o escoamento livre de perturbações e com superfícies lisas os experimentos realizados até hoje têm sido capazes de manter escoamento laminar dentro de um tubo com números de Reynolds de até cerca de 100000 Contudo na maioria das situações de engenharia o escoamento não é controlado com tanto cuidado de modo que vamos tomar Re 2300 como nossa referência para a transição para a turbulência Números de Reynolds de transição para algumas outras situações de escoamento são dados nos Exemplos A turbulência ocorre quando as forças viscosas no fluido não são capazes de conter flutuações aleatórias no movimento do fluido geradas por exemplo pela rugosidade da parede de um tubo e o escoamento tornase caótico Por exemplo um fluido de alta viscosidade tal como óleo de motor é capaz de conter as flutuações mais efetivamente do que um fluido de baixa viscosidade e por isso permanece laminar mesmo em vazões relativamente altas Por outro lado um fluido de alta densidade irá gerar forças de inércia significativas devido às flutuações aleatórias no movimento e este fluido experimentará transição para turbulência em vazões relativamente baixas VÍDEO CLÁSSICO Turbulência em inglês VÍDEO Escoamento Laminar em Tubo Perfil de Velocidade em inglês A Região de Entrada A Fig 81 ilustra um escoamento laminar na região de entrada de um tubo circular O escoamento tem velocidade uniforme U0 na entrada do tubo Por causa da condição de não deslizamento sabemos que a velocidade na parede do tubo deve ser zero em toda a extensão do tubo Uma camada limite Seção 26 desenvolvese ao longo das paredes do tubo A superfície sólida exerce uma força de cisalhamento de retardamento sobre o escoamento assim a velocidade do fluido nas vizinhanças da superfície sólida é reduzida Nas seções sucessivas ao longo do tubo nesta região de entrada o efeito da superfície sólida é sentido cada vez mais para dentro do escoamento VÍDEO Escoamento em Tubo Laminar em inglês Para escoamento incompressível a conservação de massa exige que conforme a velocidade na proximidade da parede é reduzida a velocidade na região central sem atrito do tubo deve crescer ligeiramente para compensar para esta região central não viscosa portanto a pressão conforme indicado pela equação de Bernoulli também deve cair um pouco Suficientemente longe da entrada do tubo a camada limite em desenvolvimento sobre a parede do tubo atinge a linha de centro do tubo e o escoamento tornase inteiramente viscoso A forma do perfil de velocidade muda então ligeiramente depois que o núcleo invíscido desaparece Quando a forma do perfil não mais varia com o aumento da distância x o escoamento está completamente desenvolvido A distância a jusante a partir da entrada até o local onde se inicia o escoamento completamente desenvolvido é chamada de comprimento de entrada A forma real do perfil de velocidade completamente desenvolvido depende do escoamento ser laminar ou turbulento Na Fig 81 o perfil é mostrado qualitativamente para um escoamento laminar Embora os perfis de velocidade para alguns escoamentos laminares completamente desenvolvidos possam ser obtidos pela simplificação das equações completas do movimento apresentadas no Capítulo 5 escoamentos turbulentos não podem ser tratados assim Para escoamento laminar o comprimento de entrada L é uma função do número de Reynolds VÍDEO Escoamento em Tubo Transição em inglês VÍDEO Escoamento em Tubo Turbulento em inglês Fig 81 Escoamento na região de entrada de um tubo em que QA é a velocidade média como a vazão Q A AU0 nós temos U0 Escoamento laminar em um tubo pode ser esperado apenas para números de Reynolds menores que 2300 Assim o comprimento de entrada para escoamento laminar em tubos pode ser tão grande quanto ou aproximadamente 140 diâmetros do tubo Se o escoamento for turbulento a mistura intensa entre camadas de fluido causa o crescimento mais rápido da camada limite Experiências mostram que o perfil de velocidades médias tornase plenamente desenvolvido para distâncias entre 25 e 40 diâmetros de tubo a partir da entrada Contudo os detalhes do movimento turbulento podem não estar completamente desenvolvidos para distâncias de 80 ou mais diâmetros de tubo Agora nós estamos prontos para estudar escoamentos internos laminares Parte A bem como escoamentos laminar e turbulentos em tubos e dutos Parte B Para esses nos vamos focar o que acontece depois da região de entrada isto é na região de escoamento completamente desenvolvido VÍDEO CLÁSSICO Turbulência em inglês VÍDEO Escoamento Desenvolvido em Tubo em inglês Parte A Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido Nesta seção consideraremos alguns poucos exemplos clássicos de escoamento laminar completamente desenvolvido Nosso objetivo é acumular informações detalhadas a respeito do campo de velocidade pois o conhecimento do campo de velocidade permite cálculos de tensão de cisalhamento de queda de pressão e de vazão 82 Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre Placas Paralelas Infinitas O escoamento entre placas paralelas é atraente porque essa é a geometria mais simples possível mas por que haveria um fluxo entre as placas A resposta é que o escoamento poderia ser gerado pela aplicação de um gradiente de pressão paralelo às placas ou pelo movimento de uma placa em relação à outra ou pela ação de uma força de campo por exemplo a gravidade paralela aos planos ou pela combinação destes mecanismos de movimento Vamos considerar todas estas possibilidades Ambas as Placas Estacionárias O fluido de um sistema hidráulico de alta pressão tal como o sistema de freios de um automóvel com frequência vaza através da folga anular entre um pistão e um cilindro Para folgas muito pequenas tipicamente 0005 mm ou menos esse campo de escoamento pode ser modelado como um escoamento entre placas paralelas infinitas como indicado no esquema da Fig 82 Para calcular a taxa de vazamento devemos primeiro determinar o campo de velocidade Consideremos o escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas planas horizontais paralelas infinitas As placas estão separadas pela distância a conforme mostrado na Fig 83 As placas são consideradas infinitas na direção z sem variação de qualquer propriedade do fluido nesta direção O escoamento é considerado também permanente e incompressível Antes de começar a nossa análise o que sabemos a respeito do campo de escoamento Uma coisa nós já sabemos que a componente x da velocidade deve ser zero tanto na placa superior quanto na placa inferior como resultado da condição de não deslizamento na parede As condições de contorno são Fig 82 Cilindropistão aproximado com placas paralelas Fig 83 Volume de controle para análise de escoamento laminar entre placas paralelas infinitas estacionárias Uma vez que o escoamento é completamente desenvolvido a velocidade não pode variar com x e portanto depende apenas de y ou seja u uy Além disso não há componente de velocidade na direção y ou z υ w 0 De fato para escoamentos completamente desenvolvidos somente a pressão pode e irá variar de uma maneira a ser determinada por meio da análise na direção x Este é um caso óbvio para a utilização das equações de NavierStokes em coordenadas retangulares Eqs 527 Aplicando as considerações anteriores estas equações podem ser grandemente simplificadas e em seguida resolvidas usando as condições de contorno veja o Problema 817 Nesta seção seguiremos um caminho mais longo usando um volume de controle diferencial para mostrar alguns aspectos importantes da mecânica dos fluidos Para nossa análise selecionamos um volume de controle diferencial de tamanho d dx dy dz e aplicamos a componente x da equação da quantidade de movimento Equação básica Considerações 1 Escoamento permanente dado 2 Escoamento completamente desenvolvido dado 3 FBx 0 dado É bem natural que o perfil de velocidades seja o mesmo em todas as localizações ao longo do escoamento completamente desenvolvido desde que não haja nenhuma mudança na quantidade de movimento Assim a Equação 418a reduzse ao resultado simples de que a soma das forças de superfícies sobre o volume de controle é zero O próximo passo é somar as forças atuando sobre o volume de controle na direção x Reconhecemos que as forças normais forças de pressão atuam nas faces esquerda e direita e que as tangenciais forças de cisalhamento atuam nas faces superior e inferior Se a pressão no centro do elemento for p então a força de pressão na face esquerda será e a força de pressão na face direita é Se a tensão de cisalhamento no centro do elemento for τyx então a força de cisalhamento na face inferior será e a força de cisalhamento na face superior será Note que ao expandirmos a tensão de cisalhamento τyx em uma série de Taylor em torno do centro do elemento usamos a derivada total em lugar de uma derivada parcial Assim fizemos porque reconhecemos que τyx é uma função somente de y visto que u uy Usando as quatro forças de superfície dFL dFR dFB e dFT na Eq 82 essa equação simplificase para Não havendo variação na quantidade de movimento da partícula a força líquida de pressão que realmente é px contrabalança a força líquida de atrito que realmente é dτyxdy A Eq 83 tem um aspecto interessante o lado esquerdo é quando muito uma função apenas de x isso resulta imediatamente da escrita da componente y da equação da quantidade de movimento e o lado direito é quando muito uma função penas de y o escoamento é completamente desenvolvido de modo que não há mudança com x Então a única forma desta equação poder ser válida para todos os valores de x e de y é aquela em que cada lado da equação é de fato uma constante Integrando esta equação obtemos que indica que a tensão de cisalhamento varia linearmente com y Nós desejamos determinar a distribuição de velocidade Para fazer isso precisamos relacionar a tensão de cisalhamento com o campo de velocidade Para um fluido newtoniano podemos usar a Eq 215 porque temos um escoamento unidimensional ou poderíamos ter começado com a equação completa da tensão Eq 525a e simplificado em seguida então obtemos Integrando novamente É interessante notar que se tivéssemos começado com as equações de NavierStokes Eqs 527 em vez de usar um volume de controle diferencial após alguns passos apenas isto é simplificando e integrando duas vezes teríamos obtido a Eq 84 veja o Problema 817 Para avaliar as constantes c1 e c2 devemos aplicar as condições de contorno Em y 0 u 0 Consequentemente c2 0 Em y a u 0 Assim Isso dá e então Neste ponto temos o perfil de velocidade Esta é a chave para encontrar outras propriedades do escoamento como discutiremos a seguir Distribuição da Tensão de Cisalhamento A distribuição da tensão de cisalhamento é dada por Vazão em Volume A vazão em volume é dada por Para uma profundidade l na direção z Então a vazão volumétrica por unidade de profundidade é dada por Vazão Volumétrica como uma Função da Queda de Pressão Como px é constante a pressão varia linearmente com x e Substituindo na expressão para a vazão em volume obtemos Velocidade Média O módulo da velocidade média é dada por Ponto de Velocidade Máxima Para determinar o ponto de velocidade máxima fazemos dudy igual a zero e resolvemos para o valor de y correspondente Da Eq 85 Então Em Transformação de Coordenadas Ao deduzirmos as relações anteriores a origem de coordenadas y 0 foi tomada na placa inferior Poderíamos do mesmo modo ter escolhido a origem na linha de centro do canal Denotando as coordenadas com origem na linha de centro do canal como x y as condições de contorno são u 0 em y a2 Para obter o perfil de velocidade em termos de x y substituímos y y a2 na Eq 85 O resultado é A Equação 87 mostra que o perfil de velocidade para escoamento laminar entre placas planas paralelas e estacionárias é parabólico conforme mostrado na Fig 84 Como todas as tensões foram relacionadas com gradientes de velocidade através da lei da viscosidade de Newton e as tensões adicionais que surgem como resultado de flutuações turbulentas não foram consideradas todos os resultados desta seção são válidos apenas para escoamento laminar Experimentos mostram que o escoamento laminar tornase turbulento para números de Reynolds definidos como Re ρ aμ maiores que aproximadamente 1400 Consequentemente após o emprego das Eqs 86 o número de Reynolds deve ser verificado sempre para assegurar uma validade da solução Fig 84 Perfil de velocidade adimensional para escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas Exemplo 81 VAZAMENTO EM TORNO DE UM PISTÃO Um sistema hidráulico opera em uma pressão manométrica de 20 MPa e 55C O fluido hidráulico é óleo SAE 10W Uma válvula de controle consiste em um pistão com diâmetro de 25 mm introduzido em um cilindro com uma folga radial média de 0005 mm Determine a vazão volumétrica de vazamento se a pressão manométrica sobre o lado de baixa pressão do pistão for 10 MPa O pistão tem 15 mm de comprimento Dados Escoamento de óleo hidráulico entre pistão e cilindro conforme mostrado O fluido é óleo SAE 10W a 55C Determinar A vazão volumétrica de vazamento Q Solução A largura da folga é muito pequena de modo que o escoamento pode ser modelado como um escoamento entre placas paralelas A Eq 86c pode ser aplicada Equação básica Considerações 1 Escoamento laminar 2 Escoamento permanente 3 Escoamento incompressível 4 Escoamento completamente desenvolvido Note que La 150005 3000 A largura da placa l é aproximada como l D Assim Para o óleo SAE 10W a 55C μ 0018 kgm s da Fig A2 do Apêndice A Então Para termos certeza de que o escoamento é laminar devemos verificar também o número de Reynolds e Para o óleo SAE 10W SG 092 da Tabela A2 do Apêndice A Então Portanto o escoamento é certamente laminar pois Re 1400 Placa Superior Movendose com Velocidade Constante U A segunda forma básica para gerar escoamento entre placas infinitas paralelas é quando uma placa se move paralela a outra seja com ou sem um gradiente de pressão aplicado A seguir analisaremos este problema para o caso do escoamento laminar Este é um escoamento comum que ocorre por exemplo em um mancal de deslizamento um tipo de mancal muito usado por exemplo os mancais do virabrequim do motor de um automóvel Em tal mancal um cilindro interno o cilindro deslizante gira dentro de um suporte estacionário o mancal propriamente dito Para cargas leves os centros dos dois membros essencialmente coincidem e a pequena folga é simétrica Como a folga é pequena é razoável desenrolar o mancal e modelar o campo de escoamento como um escoamento entre placas paralelas infinitas como indicado no esquema da Fig 85 Consideremos agora um caso em que a placa superior se move para a direita com velocidade constante U Tudo o que fazemos para passar de uma placa superior estacionária para uma placa superior móvel é mudar uma das condições de contorno As condições de contorno para o caso da placa móvel são u 0 em y 0 u U em y a Como apenas as condições de contorno mudaram não há necessidade de repetir toda a análise da seção precedente A análise que leva à Eq 84 é igualmente válida para o caso da placa móvel Dessa forma a distribuição de velocidade é dada por e a nossa única tarefa é avaliar as constantes c1 e c2 usando as condições de contorno apropriadasNote uma vez mais que usando as equações completas de NavierStokes Eqs 527 teríamos chegado muito rapidamente à Eq 84 Em y 0 u 0 Consequentemente c2 0 Em y a u U Consequentemente Fig 85 Mancal de deslizamento aproximado como placas paralelas Portanto Note como esperado que fazendo U 0 a Eq 88 reduzse à Eq 85 para uma placa superior estacionária Da Eq 88 para o gradiente de pressão zero px 0 a velocidade varia linearmente com y Esse foi o caso tratado anteriormente no Capítulo 2 esse perfil linear é chamado de um escoamento de Couette Podemos obter informações adicionais sobre o escoamento a partir da distribuição de velocidade da Eq 88 Distribuição de Tensão de Cisalhamento A distribuição de tensão de cisalhamento é dada por τyx μdudy Vazão em Volume A vazão em volume é dada por Q A d Para a profundidade l na direção z Então a vazão volumétrica por unidade de profundidade é dada por Velocidade Média O módulo da velocidade média é dado por Ponto de Velocidade Máxima Para determinar o ponto de velocidade máxima fazemos dudy igual a zero e resolvemos para o valor de y correspondente Da Eq 88 Então Fig 86 Perfil de velocidade adimensional para escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas placa superior movendo com velocidade constante U Não existe uma relação simples entre a velocidade máxima umáx e a velocidade média para este caso de escoamento A Eq 88 sugere que o perfil de velocidade pode ser tratado como uma combinação de perfis linear e parabólico o último termo na Eq 88 é idêntico àquele na Eq 85 O resultado é uma família de perfis de velocidade dependentes de U e de 1μpx três perfis foram esboçados na Fig 86 Conforme mostrado na Fig 86 algum escoamento reverso escoamento no sentido de x negativo pode ocorrer quando px 0 Repetindo todos os resultados desenvolvidos nesta seção são válidos apenas para escoamento laminar Experimentos mostram que o escoamento laminar tornase turbulento para px 0 em um número de Reynolds de aproximadamente 1500 em que Re ρUaμ para este caso de escoamento Não há muitas informações disponíveis para o caso em que o gradiente de pressão é diferente de zero Exemplo 82 TORQUE E POTÊNCIA EM UM MANCAL DE DESLIZAMENTO Um mancal de virabrequim em um motor de automóvel é lubrificado por óleo SAE 30 a 99ºC O diâmetro do cilindro interno é 76 mm a folga diametral é 00635 mm e o eixo gira a 3600 rpm o seu comprimento é 318 mm O mancal não está sob carga de modo que a folga é simétrica Determine o torque requerido para girar o eixo e a potência dissipada Dados Mancal de deslizamento conforme mostrado Note que a largura da folga a é metade da folga diametral O lubrificante é óleo SAE 30 a 99ºC A frequência de rotação é 3600 rpm Determinar a O torque T b A potência dissipada Solução O torque sobre o eixo girante decorre do cisalhamento viscoso na película de óleo A largura da folga é pequena de modo que o escoamento pode ser modelado como um escoamento entre placas paralelas infinitas Equação básica Considerações 1 Escoamento laminar 2 Escoamento permanente 3 Escoamento incompressível 4 Escoamento completamente desenvolvido 5 Largura infinita La 318003175 1000 de modo que esta é uma hipótese razoável 6 px 0 o escoamento é simétrico no mancal real sem carga Logo Para óleo SAE 30 a 99ºC μ 96 103 N sm2 da Fig A2 do Apêndice A Então A força total de cisalhamento é dada pela tensão de cisalhamento vezes a área Ela é aplicada na superfície do eixo Portanto para o torque A potência dissipada no mancal é Para assegurar que o escoamento é laminar verifiquemos o número de Reynolds Considere como uma aproximação que a densidade relativa do óleo SAE 30 é igual à do óleo SAE 10W Da Tabela A2 do Apêndice A SG 092 Assim Portanto o escoamento é laminar pois Re 1500 Neste problema aproximamos o escoamento de linha de corrente circular em uma pequena folga anular como um escoamento linear entre placas paralelas infinitas Assim como visto no Exemplo 510 para pequenos valores da largura da folga a em relação ao raio R aR neste problema é menor que 1 de R o erro na tensão de cisalhamento é cerca de da razão aR Portanto o erro introduzido é insignificante muito menor do que a incerteza associada à obtenção da viscosidade do óleo Vimos que os escoamentos laminares unidimensionais permanentes entre duas placas podem ser gerados pela aplicação de um gradiente de pressão pela movimentação de uma placa em relação a outra ou por terem ambos os mecanismos motrizes presentes Para finalizar nossa discussão deste tipo de escoamento no Exemplo 83 vamos examinar um escoamento permanente laminar unidimensional movido por gravidade para baixo em uma parede vertical Mais uma vez a abordagem direta seria começar com a formulação bidimensional em coordenadas retangulares das equações de NavierStokes Eqs 527 veja o Problema 844 em vez disso utilizaremos um volume de controle diferencial Exemplo 83 PELÍCULA LAMINAR SOBRE UMA PAREDE VERTICAL Um fluido newtoniano viscoso e incompressível escoa em regime laminar permanente para baixo sobre uma parede vertical A espessura δ da película de liquido é constante Como a superfície livre do líquido é exposta à pressão atmosférica não há gradiente de pressão Para este escoamento movido pela gravidade aplique a equação da quantidade de movimento ao volume de controle diferencial dx dy dz a fim de deduzir a distribuição de velocidade na película de líquido Dados Escoamento laminar completamente desenvolvido de um líquido newtoniano incompressível escoando para baixo sobre uma parede vertical a espessura δ do filme de líquido é constante e px 0 Determinar Uma expressão para a distribuição de velocidade na película Solução A componente x da equação da quantidade de movimento para um volume de controle é Sob as condições dadas estamos lidando com um escoamento laminar permanente incompressível e completamente desenvolvido Para escoamento permanente Para escoamento completamente desenvolvido Então a equação da quantidade de movimento para o caso presente reduzse a FSx FBx 0 A força de campo FBx é dada por FBx ρg d ρg dx dy dz As únicas forças de superfície atuando sobre o volume de controle diferencia1 são as forças de cisalhamento sobre as superfícies verticais Uma vez que nós temos um escoamento de superfície livre com as linhas de correntes retilíneas a pressão é a atmosférica não há força líquida de pressão atuando sobre o volume de controle Se a tensão de cisalhamento no centro do volume de controle diferencial for τyx então e O sentido do vetor tensão de cisalhamento é consistente com a convenção de sinais da Seção 23 Assim sobre a face esquerda uma superfície de y negativo τyxL atua para cima e sobre a face direita uma superfície de y positivo τyxR atua para baixo As forças de superfície são obtidas multiplicando cada tensão de cisalhamento pela área sobre a qual ela atua Substituindo em FSx FBx 0 obtemos τyxL dx dz τyxR dx dz ρg dx dy dz 0 ou Simplificando vem Como Integrando em y obtemos Integrando novamente obtemos Para avaliar as constantes c1 e c2 aplicamos as condições de contorno apropriadas i y 0 u 0 não deslizamento ii y δ despreze a resistência do ar isto é considere tensão de cisalhamento nula na superfície livre Da condição de contorno i c2 0 Da condição de contorno ii Portanto Usando o perfil de velocidade pode ser mostrado que O escoamento na película líquida é laminar para Re δν 1000 1 Notas Este problema é um caso especial θ 90 do escoamento de placa inclinada analisado no Exemplo 59 que foi resolvido usando as equações de NavierStokes Este problema e o Exemplo 59 demonstram que a abordagem por volume de controle diferencial ou o uso das equações de Navier Stokes leva ao mesmo resultado 83 Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido em um Tubo Como um exemplo final de escoamento laminar completamente desenvolvido consideremos o escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo Aqui o escoamento é axissimétrico Assim é mais conveniente trabalhar em coordenadas cilíndricas Esse é mais um caso no qual poderíamos utilizar as equações de NavierStokes dessa vez em coordenadas cilíndricas Eqs B3 Em vez disso novamente tomaremos o caminho mais longo usando um volume de controle diferencial para mostrar alguns aspectos importantes da mecânica dos fluidos O desenvolvimento será muito similar àquele utilizado para placas paralelas na seção precedente as coordenadas cilíndricas tornam a análise matemática um pouco mais requintada Como o escoamento é axissimétrico o volume de controle será um espaço anular diferencial conforme mostrado na Fig 87 O comprimento do volume de controle é dx e sua espessura é dr VÍDEO Escoamento Laminar Saindo de um Tubo em inglês Para um regime permanente completamente desenvolvido a componente x da equação da quantidade de movimento Eq 418a quando aplicada ao volume de controle diferencial reduzse a FSx 0 O passo seguinte é somar as forças atuando sobre o volume de controle na direção x Sabemos que as forças normais forças de pressão atuam nas extremidades esquerda e direita do volume de controle e que forças tangenciais forças de cisalhamento atuam nas superfícies cilíndricas interna e externa Se a pressão na face esquerda do volume de controle é p então a força de pressão na extremidade esquerda é dFL p2πr dr A força de pressão na extremidade direita é Se a tensão de cisalhamento na superfície interna do volume de controle anular é τrx então a força de cisalhamento sobre a superfície cilíndrica interna é dF1 τrx2πr dx A força de cisalhamento sobre a superfície cilíndrica externa é A soma das componentes x das forças dFL dFR dFl e dFO atuando sobre o volume de controle deve ser zero Isso leva à condição de Fig 87 Volume de controle diferencial para análise de escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo Dividindo esta equação por 2πr dr dx e resolvendo para px resulta A comparação dessa equação com a correspondente para placas paralelas Eq 83 mostra a complexidade introduzida pela adoção de coordenadas cilíndricas O lado esquerdo da equação é quando muito uma função somente de x a pressão é uniforme em cada seção o lado direito é quando muito uma função somente de r porque o escoamento é completamente desenvolvido Portanto a única forma dessa equação válida para todos os valores de x e de r é aquela em que ambos os lados da equação são de fato constantes Quase finalizamos o problema mas já temos um resultado importante em um tubo de diâmetro constante a pressão cai uniformemente ao longo do tubo exceto para a região de entrada Integrando esta equação obtemos ou Como τrx μdudr temos e Precisamos avaliar as constantes c1 e c2 Entretanto temos apenas uma condição de contorno que é u 0 em r R O que fazer Antes de desistir vamos olhar a solução para o perfil de velocidade dado pela Eq 811 Embora não conheçamos a velocidade na linha de centro do tubo sabemos de considerações físicas que ela deve ser finita em r 0 O único modo de tornar isso verdadeiro é fazer c1 igual a zero Poderíamos também ter concluído que c1 0 da Eq 810 que de outra forma resultaria em uma tensão infinita em r 0 Assim de considerações físicas concluímos que c1 0 e então A constante c2 é avaliada usando a condição de contorno disponível na parede do tubo em r R u 0 Consequentemente Isso dá e assim ou Uma vez que temos o perfil de velocidade podemos obter várias características adicionais do escoamento Distribuição de Tensão de Cisalhamento A tensão de cisalhamento é Vazão volumétrica Esta vazão é Vazão em Volume como uma Função da Queda de Pressão No escoamento completamente desenvolvido o gradiente de pressão px é constante Portanto px p2 p1L ΔpL Substituindo na Eq 813b para a vazão volumétrica obtemos para escoamento laminar em um tubo horizontal Note que Q é uma função sensível de D Q D 4 de modo que por exemplo duplicandose o diâmetro D a vazão Q é aumentada por um fator 16 Velocidade Média O módulo da velocidade média é dado por Ponto de Velocidade Máxima Para determinar o ponto de velocidade máxima fazemos dudr igual a zero e resolvemos para o valor correspondente de r Da Eq 812 Então Em r 0 O perfil de velocidade Eq 812 pode ser escrito em termos da velocidade máxima linha de centro como O perfil de velocidade parabólico dado pela Eq 814 para escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo foi esboçado na Fig 81 Exemplo 84 VISCOSÍMETRO CAPILAR Um viscosímetro simples e preciso pode ser feito com um tubo capilar Se a vazão em volume e a queda de pressão forem medidas e a geometria do tubo for conhecida a viscosidade de um fluido newtoniano poderá ser calculada a partir da Eq 813c Um teste de certo líquido em um viscosímetro capilar forneceu os seguintes dados Vazão em volume 880 mm3s Comprimento do tubo 1 m Diâmetro do tubo 050 mm Queda de pressão 10 MPa Determine a viscosidade do líquido Dados Escoamento em um viscosímetro capilar A vazão volumétrica é Q 880 mm3s Determinar A viscosidade do fluido Solução A Equação 813c pode ser aplicada Equação básica Considerações 1 Escoamento laminar 2 Escoamento permanente 3 Escoamento incompressível 4 Escoamento completamente desenvolvido 5 Tubo horizontal Então Verificação do número de Reynolds Considerando que a massa específica do fluido seja similar à da água 999 kgm3 temos e Consequentemente como Re 2300 o escoamento é laminar Este problema está bastante simplificado Para o projeto de um viscosímetro capilar o comprimento de entrada a temperatura do líquido e a energia cinética do líquido escoando devem ser considerados Parte B Escoamento em Tubos e Dutos Nesta seção estaremos interessados em determinar os fatores que afetam a pressão em um fluido incompressível quando ele escoa em um tubo ou duto quando nos referirmos a tubo significa que também estaremos nos referindo a dutos Se por um momento ignorarmos o atrito e considerarmos escoamento permanente e uma linha de corrente no escoamento a equação de Bernoulli do Capítulo 6 se aplica Dessa equação podemos ver aquilo que tende a levar a um decréscimo de pressão ao longo da linha de corrente neste escoamento sem atrito uma redução de área em algum ponto no tubo causando um decréscimo na velocidade V ou o tubo tendo uma inclinação positiva de modo que z aumente Contrariamente a pressão tenderá a aumentar se a área do escoamento for aumentada ou a inclinação do tubo diminuir Dizemos tender a porque um fato pode se contrapor a outro por exemplo podemos ter uma diminuição da inclinação do tubo tendendo a aumentar a pressão com uma redução no diâmetro tendendo a diminuir a pressão Na realidade escoamentos em tubos e dutos ocorrem com significativo atrito e são frequentemente turbulentos de modo que a equação de Bernoulli não se aplica além disso não faz sentido usar V em vez disso devemos usar para representar a velocidade média em um ponto ao longo do tubo Vamos aprender que de fato efeitos de atrito levam a uma contínua redução no valor da constante de Bernoulli da Eq 68 isso representa uma perda de energia mecânica Já vimos que em contraste com a equação de Bernoulli para um escoamento laminar há uma queda de pressão mesmo para um tubo horizontal de diâmetro constante nesta seção veremos que escoamentos turbulentos experimentam uma perda de pressão ainda maior Precisaremos substituir a equação de Bernoulli por uma equação de energia que incorpore os efeitos do atrito Resumindo podemos estabelecer que três fatores tendem a reduzir a pressão em um escoamento tubular uma diminuição na área do tubo uma ascensão na inclinação e atrito Por enquanto focaremos sobre a perda de pressão devido ao atrito e consequentemente analisaremos tubos que possuem área constante e que são horizontais Na seção anterior já vimos que para o escoamento laminar podemos deduzir teoricamente a perda de pressão Rearranjando a Eq 813c para resolvêla em termos da perda de pressão Δp Gostaríamos de desenvolver uma expressão similar que se aplique para escoamentos turbulentos mas veremos que isso não é possível de ser feito analiticamente em vez disso desenvolveremos expressões baseadas em uma combinação de aproximações teóricas e experimentais Antes de fazer esses desenvolvimentos é conveniente dividir as perdas decorrentes do atrito em duas categorias perdas maiores que são perdas causadas pelo atrito nas seções de área constantes do tubo e perdas menores algumas vezes maiores que as perdas maiores que são perdas decorrentes de válvulas cotovelos e outros elementos nós trataremos a perda de pressão na região de entrada como um termo de perda menor Como tubos de seção circular são os mais comuns nas aplicações de engenharia a análise básica será feita para geometrias circulares Os resultados podem ser estendidos para outras formas pela introdução do diâmetro hidráulico que é tratado na Seção 87 Escoamentos em canal aberto serão tratados no Capítulo 11 e escoamento compressível em dutos será tratado no Capítulo 13 84 Distribuição de Tensão de Cisalhamento no Escoamento Completamente Desenvolvido em Tubos Vamos considerar novamente o escoamento completamente desenvolvido no interior de um tubo horizontal circular exceto que agora podemos ter escoamento laminar ou turbulento Na Seção 83 mostramos que um balanço entre as forças de atrito e de pressão leva a Eq 810 Como não podemos ter tensão infinita na linha de centro a constante de integração c1 deve ser zero de modo que A Eq 815 indica que para escoamentos completamente desenvolvidos tanto laminares quanto turbulentos a tensão de cisalhamento varia linearmente através do tubo desde zero na linha de centro até um valor máximo na parede do tubo A tensão na parede τw igual e oposta à tensão no fluido na parede é dada por Para escoamento laminar usamos nossa equação familiar de tensão τrx μ dudr na Eq 815 para eventualmente obter a distribuição de velocidade laminar Isso levou a um conjunto de equações aplicáveis Eqs 813 para a obtenção de várias características do escoamento por exemplo a Eq 813c forneceu uma relação para a vazão volumétrica Q um resultado obtido experimentalmente pela primeira vez por Jean Louis Poiseuille um físico francês e independentemente por Gotthilf H L Hagen um engenheiro alemão na década de 1850 2 Infelizmente não existe equação equivalente da tensão para escoamento turbulento de modo que não podemos repetir a análise do escoamento laminar para deduzir equações equivalentes das Eqs 813 para o escoamento turbulento Tudo o que podemos fazer nesta seção é indicar alguns resultados semiempíricos clássicos Conforme discutido na Seção 26 e ilustrado na Fig 217 o escoamento turbulento é representado em cada ponto pela velocidade média temporal mais as componentes u e ν nas direções x e y para um escoamento bidimensional da flutuação aleatória de velocidade neste contexto y representa a distância a partir da parede do tubo Estas componentes continuamente transferem quantidade de movimento entre as camadas de fluido adjacentes tendendo a reduzir qualquer gradiente de velocidade presente Este efeito que é o mesmo de uma tensão aparente foi introduzido pela primeira vez por Osborne Reynolds e denominado tensões de Reynolds1 Esta tensão é dada por onde a barra superior significa uma média temporal Dessa forma encontramos Fig 88 Tensão de cisalhamento turbulenta tensão de Reynolds para escoamento turbulento completamente desenvolvido em um tubo Dados de Laufer 5 Não confunda o sinal menos na Eq 817 ocorre que as velocidades u e ν são negativamente correlacionadas de modo que τturb é positiva Na Fig 88 medições experimentais da tensão principal de Reynolds para escoamento completamente desenvolvido em um tubo são apresentadas para dois números de Reynolds ReU UDν em que U é a velocidade na linha de centro A tensão de cisalhamento turbulenta foi reduzida a uma forma adimensional pela tensão de cisalhamento na parede Lembrese de que a Eq 815 revelou que a tensão de cisalhamento no fluido varia linearmente de τw na parede do tubo yR 0 a zero na linha central yR 1 da Fig 88 vemos que a tensão de Reynolds tem mais ou menos a mesma tendência de modo que o atrito é quase todo devido à tensão de Reynolds O que a Fig 88 não mostra é que próximo à parede yR 0 a tensão de Reynolds cai a zero Isso é porque a condição de não deslizamento prevalece de modo que não apenas a velocidade média 0 mas também as flutuações de velocidade u e ν 0 a parede tende a suprimir as flutuações Portanto a tensão turbulenta τturb 0 conforme nos aproximamos da parede e vale zero na parede Como a tensão de Reynolds é zero na parede a Eq 817 indica que a tensão de cisalhamento de parede é dada por τw μd dyy 0 Na região muito próxima à parede do tubo a camada de parede o cisalhamento viscoso é dominante Na região entre a camada de parede e a porção central do tubo tanto o cisalhamento viscoso quanto o turbulento são importantes VÍDEO A Barragem de Glen Canyon Um Escoamento Tubular Turbulento em inglês 85 Perfis de Velocidade em Escoamentos Turbulentos Completamente Desenvolvidos em Tubos Exceto para escoamentos de fluidos muito viscosos em tubos de diâmetro pequenos os escoamentos internos são em geral turbulentos Como mencionado na discussão da distribuição de tensão de cisalhamento em escoamento completamente desenvolvido em tubo Seção 84 no escoamento turbulento não existe uma relação universal entre o campo de tensões e o campo de velocidade média Desse modo para escoamentos turbulentos somos forçados a recorrer a dados experimentais Dividindo a Eq 817 por ρ resulta Fig 89 Perfil de velocidade para escoamento turbulento completamente desenvolvido em um tubo liso Dados de Laufer 5 O termo τρ surge frequentemente na análise de escoamentos turbulentos ele tem dimensões de velocidade ao quadrado A quantidade τwρ12 é chamada de velocidade de atrito e é denotada pelo símbolo u Ela é uma constante para um dado escoamento O perfil de velocidade para escoamento turbulento completamente desenvolvido no interior de um tubo liso é mostrado na Fig 89 O gráfico é semilogarítmico u está plotado contra log yuν Os parâmetros adimensionais u e yuν surgem da análise dimensional quando se considera razoável que a velocidade na vizinhança da parede é determinada pelas condições na parede pelas propriedades do fluido e pela distância até a parede É meramente fortuito o fato de o gráfico adimensional da Fig 89 dar uma representação bastante precisa do perfil de velocidade em um tubo na região afastada da parede note os pequenos desvios na região da linha de centro do tubo Na região muito próxima à parede onde o cisalhamento viscoso predomina o perfil de velocidade média segue a relação viscosa linear em que y é a distância medida a partir da parede y R r R é o raio do tubo e u é a velocidade média A Eq 819 é válida para 0 y 5 7 esta região é chamada de subcamada viscosa Para valores de yuν 30 os dados são bem representados pela equação semilogarítmica Nesta região ambos os cisalhamentos viscoso e turbulento são importantes embora a expectativa seja de cisalhamento turbulento significativamente maior Existe uma dispersão considerável nas constantes numéricas da Eq 820 os valores dados representam médias sobre muitos experimentos 6 A região entre y 5 7 e y 30 é chamada de região de transição ou camada tampão Se a Eq 820 for avaliada na linha de centro y R e u U e a expressão geral da Eq 820 for subtraída da equação avaliada na linha de centro obteremos VÍDEO Simulação Computacional Escoamento Turbulento em Canal 1 em inglês em que U é a velocidade na linha de centro A Eq 821 referida como lei da deficiência mostra que a deficiência de velocidade e por conseguinte a forma geral do perfil de velocidade na vizinhança da linha de centro é uma função da razão de distância somente não dependendo da viscosidade do fluido O perfil de velocidade para escoamento turbulento através de um tubo liso pode ser representado pela equação empírica da lei de potência VÍDEO Simulação Computacional Escoamento Turbulento em Canal 2 em inglês VÍDEO Simulação Computacional Escoamento Turbulento em Canal 3 em inglês em que o expoente n varia com o número de Reynolds Na Fig 810 os dados de Laufer 5 são mostrados em um gráfico de ln yR versus U Se o perfil da lei de potência fosse uma representação precisa dos dados todos os pontos cairiam sobre uma linha reta de inclinação n Claramente os dados para ReU 5 104 desviamse na vizinhança da parede do ajuste ótimo de linha reta O perfil de lei de potência não é aplicável próximo da parede yR 004 Como a velocidade é baixa nesta região o erro no cálculo de quantidades integrais tais como fluxos de massa quantidade de movimento e energia em uma seção é relativamente pequeno O perfil da lei de potência dá um gradiente de velocidade infinito na parede e portanto não pode ser usado nos cálculos da tensão de cisalhamento de parede Embora o perfil ajustese aos dados próximo da linha de centro ele falha por não dar ali inclinação nula Apesar destes inconvenientes o perfil da lei de potência fornece resultados adequados em muitos cálculos Dados de Hinze 7 sugerem que a variação do expoente n da lei de potência com o número de Reynolds baseado no diâmetro do tubo D e na velocidade da linha de centro U para escoamentos completamente desenvolvidos em tubos lisos é dada por para ReU 2 104 Como a velocidade média é QA e Fig 810 Perfis de velocidade da lei de potência para escoamento turbulento completamente desenvolvido em um tubo liso Dados de Laufer 5 a razão entre a velocidade média e a velocidade na linha de centro pode ser calculada para os perfis da lei de potência da Eq 822 admitindo que os perfis são válidos da parede até a linha de centro O resultado é Da Eq 824 verificamos que quando n aumenta com o aumento do número de Reynolds a razão entre a velocidade média e a velocidade da linha de centro também aumenta com o aumento do número de Reynolds o perfil de velocidade tornase mais rombudo ou mais cheio para n 6 U 079 e para n 10 U 087 Como um valor representativo 7 é frequentemente usado para o expoente isso dá origem ao termo um perfil de potência um sétimo para escoamento turbulento completamente desenvolvido A Fig 811 mostra perfis de velocidade para n 6 e n 10 O perfil parabólico para escoamento laminar completamente desenvolvido foi incluído para comparação Está claro que o perfil turbulento tem uma inclinação muito mais acentuada próximo da parede Isto é consistente com a nossa discussão para chegar à Eq 817 as flutuações de velocidade u e ν transferem continuamente quantidade de movimento entre as camadas adjacentes de fluido tendendo a reduzir o gradiente de velocidade 86 Considerações de Energia no Escoamento em Tubos Até aqui usamos as equações da quantidade de movimento e da conservação da massa na forma de volume de controle para discutir escoamentos viscosos Obviamente os efeitos viscosos terão um importante efeito sobre considerações de energia Na Seção 65 discutimos a Linha de Energia LE e vimos que ela é uma medida da energia mecânica total de pressão cinética e potencial por unidade de massa em um escoamento Nós podemos esperar que em vez de ficar constante o que ocorreu para o escoamento não viscoso a LE diminuirá Fig 811 Perfis de velocidade para escoamento completamente desenvolvido em um tubo Fig 812 Volume de controle e coordenadas para análise de energia de escoamento através de um cotovelo redutor de 90 continuamente na direção do escoamento pois o atrito come a energia mecânica Os Exemplos 89 e 810 apresentam esboços de curvas da LE e também de curvas da Linha Piezométrica LP você pode desejar prevêlas Agora podemos considerar a equação da energia a primeira lei da termodinâmica para obter informações sobre efeitos de atrito Considere por exemplo o escoamento permanente através de um sistema de tubos incluindo um cotovelo redutor mostrado na Fig 812 As fronteiras do volume de controle são mostradas como linhas tracejadas Elas são perpendiculares ao escoamento nas seções e coincidem com a superfície interna do tubo nas outras partes Equação básica Considerações 1 S 0 outro 0 2 cisalhamento embora as tensões de cisalhamento estejam presentes nas paredes do cotovelo as velocidades ali são zero de modo que não há possibilidade de trabalho 3 Escoamento permanente 4 Escoamento incompressível 5 Energia interna e pressão uniformes através das seções e Com essas considerações a equação da energia reduzse a Note que não consideramos velocidade uniforme nas seções e pois sabemos que para escoamentos viscosos a velocidade em uma seção transversal não pode ser uniforme Contudo é conveniente introduzir a velocidade média na Eq 825 de modo a permitir a eliminação das integrais Para fazer isso definimos um coeficiente de energia cinética Coeficiente de Energia Cinética O coeficiente de energia cinética α é definido tal que ou Podemos imaginar α como um fator de correção que nos permite usar a velocidade média na equação da energia para calcular a energia cinética em uma seção transversal Para escoamento laminar em um tubo perfil de velocidade dado pela Eq 812 α 20 No escoamento turbulento em tubos o perfil de velocidade é bastante achatado conforme mostrado na Fig 811 Podemos usar a Eq 826b juntamente com as Eqs 822 e 824 para determinar α Substituindo o perfil de velocidade da lei de potência da Eq 822 na Eq 826b obtemos A Eq 824 dá o valor de U como uma função do expoente n da lei de potência a combinação disso com a Eq 827 leva a uma expressão em n bastante complicada O resultado global é que na faixa realista de n de n 6 a n 10 para altos números de Reynolds α varia de 108 a 103 para o perfil de potência de um sétimo n 7 α 106 tendo em vista que α é razoavelmente próximo de 1 para altos números de Reynolds e como a variação na energia cinética é em geral pequena comparada com os termos dominantes na equação de energia podemos quase sempre usar a aproximação α 1 em nossos cálculos de escoamento em tubo Perda de Carga Usando a definição de α a equação da energia Eq 825 pode ser escrita Dividindo pela vazão mássica obtemos Rearranjando esta equação escrevemos Na Eq 828 o termo representa a energia mecânica por unidade de massa em uma seção transversal compareo à expressão de LE Eq 616b para calcular a energia mecânica que discutimos no início desta seção As diferenças são que na expressão de LE dividimos por g para obter a LE em unidades de pés ou metros e aqui α 2 decorre do fato de que em um tubo temos um perfil de velocidades e não um escoamento uniforme O termo u2 u1 δQdm é igual à diferença em energia mecânica por unidade de massa entre as seções e Ele representa a conversão irreversível de energia mecânica na seção em energia térmica não desejada u2 u1 e em perda de energia por transferência de calor δQdm Identificamos este grupo de termos como a perda de energia total por unidade de massa e o designamos pelo símbolo hlT Então As dimensões de energia por unidade de massa FLM são equivalentes às dimensões de L2t2 A Eq 829 é uma das mais importantes e úteis equações na mecânica dos fluidos Ela nos permite calcular a perda de energia mecânica causada pelo atrito entre duas seções de um tubo Vamos voltar à nossa discussão no início da Parte B em que discutimos o que causaria uma variação de pressão Idealizamos um escoamento sem atrito isto é aquele descrito pela equação de Bernoulli ou Eq 829 com α 1 e hlT 0 no qual a pressão somente poderia variar se a velocidade variasse caso o tubo tivesse uma variação no diâmetro ou se o potencial variasse caso o tubo não fosse horizontal Agora com atrito a Eq 829 indica que a pressão variará mesmo para um tubo horizontal de área constante a energia mecânica será continuamente transformada em energia térmica Na ciência empírica da hidráulica desenvolvida durante o Século XIX era prática comum expressar o balanço de energia em termos de energia por unidade de peso do líquido escoando água por exemplo em lugar de energia por unidade de massa como na Eq 829 Quando a Eq 829 é dividida pela aceleração gravitacional g resulta Cada termo na Eq 830 tem dimensões de energia por unidade de peso do líquido escoando Então as dimensões resultantes de HlT hlTg são L2t2t2L L ou metros de líquido em escoamento Como o termo perda de carga é de uso generalizado nós o usaremos tanto para HlT com as dimensões de comprimento ou de energia por unidade de peso quanto para hlT gHlT com dimensões de energia por unidade de massa A Eq 829 ou Eq 830 pode ser usada para calcular a diferença de pressão entre dois pontos quaisquer em uma tubulação desde que a perda de carga hlT ou HlT possa ser determinada Na próxima seção abordaremos o cálculo da perda de carga 87 Cálculo da Perda de Carga A perda de carga total hlT é considerada como a soma das perdas maiores hl causadas por efeitos de atrito no escoamento completamente desenvolvido em tubos de seção constante com as perdas localizadas hlm causadas por entradas acessórios variações de área e outras Por isso consideraremos as perdas maiores e menores separadamente Perdas Maiores Fator de Atrito O balanço de energia expresso pela Eq 829 pode ser usado para avaliar a perda de carga maior Para escoamento completamente desenvolvido em um tubo de área constante hlm 0 e α1 α2 a Eq 829 reduzse a Se o tubo é horizontal temse z2 z1 e Dessa forma a perda de carga maior pode ser expressa como a perda de pressão para escoamento completamente desenvolvido através de um tubo horizontal de área constante Como a perda de carga representa a energia mecânica convertida em energia térmica por efeitos de atrito a perda de carga para escoamento completamente desenvolvido em tubos de área constante depende tão somente dos detalhes do escoamento através do duto A perda de carga é independente da orientação do tubo a Escoamento Laminar No escoamento laminar a queda de pressão pode ser calculada analiticamente para o escoamento completamente desenvolvido em um tubo horizontal Assim da Eq 813c Substituindo na Eq 832 resulta Veremos adiante a razão para escrever hl nesta forma b Escoamento Turbulento No escoamento turbulento não podemos avaliar a queda de pressão analiticamente devemos recorrer a resultados experimentais e utilizar a análise dimensional para correlacionálos A experiência mostra que no escoamento turbulento completamente desenvolvido a queda de pressão Δp causada por atrito em um tubo horizontal de área constante depende do diâmetro D do comprimento L e da rugosidade do tubo e da velocidade média do escoamento da massa específica ρ e viscosidade do fluido μ Em forma de função Δp ΔpD L e V ρ μ A aplicação da análise dimensional a este problema feita no Exemplo 72 resultou em uma correlação da forma Reconhecemos que μρ D 1Re de modo que podemos justamente escrever Substituindo da Eq 832 vemos que Embora a análise dimensional preveja a relação funcional os valores reais devem ser obtidos experimentalmente Experiências mostram que a perda de carga adimensional é diretamente proporcional a LD Assim podemos escrever Visto que a função ϕ1 é ainda indeterminada é permitido introduzir uma constante no lado esquerdo da equação anterior O número ½ é introduzido no denominador para tornar o termo do lado esquerdo da equação igual à razão entre a perda de carga e a energia cinética por unidade de massa Assim A função desconhecida ϕ2Re eD é definida como o fator de atrito f e ou O fator de atritoFig 813 Para determinar a perda de carga em um escoamento completamente desenvolvido sob condições conhecidas o número de Reynolds é o primeiro parâmetro a ser avaliado A rugosidade e é obtida da Fig 813 para os valores conhecidos de Re e eD Finalmente a perda de carga pode ser determinada com a Eq 834 ou a Eq 835 Vários aspectos da Fig 813 merecem discussão O fator de atrito para escoamento laminar pode ser obtido comparando as Eqs 833 e 834 Consequentemente para escoamento laminar Dessa forma no escoamento laminar o fator de atrito é uma função do número de Reynolds apenas ele é independente da rugosidade Embora não tenhamos levado em conta a rugosidade na dedução da Eq 833 resultados experimentais confirmam que o fator de atrito é uma função apenas do número de Reynolds em escoamento laminar Tabela 81 Rugosidade para Tubos de Materiais Comuns de Engenharia Rugosidade e Tubo Milímetros Aço rebitado 099 Concreto 033 Madeira 0209 Ferro fundido 026 Ferro galvanizado 015 Ferro fundido asfaltado 012 Aço comercial ou ferro forjado 0046 Trefilado 00015 Fonte Dados da Referência 8 Fig 813 Fator de atrito para escoamento completamente desenvolvido em tubos circulares Dados de Moody 8 usados com permissão O número de Reynolds em um tubo pode ser mudado com facilidade variando a velocidade média do escoamento Se o escoamento em um tubo for originalmente laminar o aumento da velocidade até que o número de Reynolds crítico seja atingido provoca a ocorrência da transição o escoamento laminar cede lugar ao escoamento turbulento O efeito da transição sobre o perfil de velocidade foi discutido na Seção 85 A Fig 811 mostra que o gradiente de velocidade na parede do tubo é muito maior para o escoamento turbulento do que para o escoamento laminar Esta mudança no perfil de velocidade causa o aumento acentuado da tensão de cisalhamento na parede com mesmo efeito sobre o fator de atrito À medida que o número de Reynolds é aumentado acima do valor de transição o perfil de velocidade continua a tornarse mais cheio ou achatado como observado na Seção 85 Para valores da rugosidade relativa eD 0001 o fator de atrito logo após a transição tende a seguir a curva para tubo liso ao longo da qual o fator de atrito é uma função do número de Reynolds apenas Entretanto quando o número de Reynolds aumenta o perfil de velocidade tornase ainda mais cheio A espessura da fina subcamada viscosa perto da parede do tubo diminui Quando os elementos de rugosidade começam a emergir através desta camada o efeito da rugosidade tornase importante e o fator de atrito tornase uma função do número de Reynolds e também da rugosidade relativa Para número de Reynolds muito grande a maioria dos elementos de rugosidade na parede do tubo emerge através da subcamada viscosa o arrasto e por conseguinte a perda de pressão dependem somente do tamanho dos elementos de rugosidade Tal situação é chamada de regime de escoamento completamente rugoso neste regime o fator de atrito depende apenas de eD Quando o número de Reynolds é aumentado acima do valor de transição para valores da rugosidade relativa eD 0001 o fator de atrito é maior do que aquele para um tubo liso Como foi o caso para baixos valores de eD o valor do número de Reynolds para o qual o regime de escoamento tornase completamente turbulento decresce com o aumento da rugosidade relativa Resumindo a discussão precedente vimos que o fator de atrito decresce com o aumento do número de Reynolds enquanto o escoamento permanecer laminar Na transição f aumenta bruscamente No regime de escoamento turbulento o fator de atrito decresce gradualmente e por fim nivelase em um valor constante para grandes números de Reynolds Tenha em mente que a perda de energia real é hl Eq 834 que é proporcional a f e a 2 Portanto para um escoamento laminar hl porque f 64Re e Re na região de transição existe um súbito crescimento de hl para a zona inteiramente rugosa hl 2 porque f constante e para o resto da região turbulenta hl aumenta a uma taxa algo entre e 2 Assim concluímos que a perda de carga sempre aumenta com a vazão mássica e mais rapidamente quando o escoamento é turbulento Para evitar a necessidade do uso de métodos gráficos na obtenção de f para escoamentos turbulentos diversas expressões matemáticas foram criadas por ajuste de dados experimentais A expressão mais usual para o fator de atrito é a de Colebrook 9 A Equação 837 é implícita em f mas atualmente a maior parte das calculadoras científicas possui programas para resolver equações que podem ser prontamente utilizados na determinação de f para uma dada razão de rugosidade eD e um dado número de Reynolds Re algumas calculadoras têm até a própria equação de Colebrook em suas bibliotecas Certamente uma planilha Excel ou outro aplicativo matemático para computador pode também ser utilizado No Website há disponível um addin Excel para calcular f para escoamentos laminar e turbulento Mesmo sem usar métodos automatizados a Eq 837 não é muito difícil de ser resolvida para f Basta fazer algumas iterações pois a Eq 837 é muito estável Iniciamos com um valor estimado para f no lado direito e depois de muito poucas iterações teremos um valor convergido para f com três algarismos significativos Da Fig 813 podemos ver que para escoamentos turbulentos f 01 assim f 01 poderia ser um bom valor inicial Outra estratégia é usar a Fig 813 para obter uma boa primeira aproximação assim em geral uma iteração usando a Eq 837 já leva a um bom valor para f Como alternativa Haaland 10 desenvolveu a seguinte equação como uma aproximação à equação de Colebrook para Re 3000 ela dá resultados que diferem cerca de 2 da equação de Colebrook sem a necessidade de fazer iterações Para escoamento turbulento em tubos lisos a correlação de Blasius válida para Re 105 é Quando esta relação é combinada com a expressão para tensão de cisalhamento de parede Eq 816 a expressão da perda de carga Eq 832 e a definição do fator de atrito Eq 834 uma expressão útil para a tensão de cisalhamento de parede é obtida Fig 814 Seção de tubo removida após 40 anos de serviço como linha de suprimento de água mostrando a formação de incrustações Foto cortesia de Alan T McDonald Esta equação será usada mais tarde em nosso estudo de camadalimite turbulenta sobre uma placa plana Capítulo 9 Todos os valores de e dados na Fig 814 As curvas apresentadas na Fig 813 representam valores médios de dados extraídos de vários experimentos As curvas devem ser consideradas precisas dentro de aproximadamente 10 o que é suficiente para muitas análises de engenharia Caso uma maior precisão seja necessária dados de teste real devem ser usados Perdas Menores O escoamento em uma tubulação pode exigir a passagem do fluido através de uma variedade de acessórios curvas ou mudanças súbitas de área Perdas de carga adicionais são encontradas sobretudo como resultado da separação do escoamento A energia é eventualmente dissipada por forte mistura nas zonas separadas Estas perdas serão relativamente menores daí o termo perdas menores se o sistema incluir longos trechos retos de tubo de seção constante Dependendo do dispositivo as perdas de carga menores ou localizadas tradicionalmente são calculadas de duas formas ou através da equação em que o coeficiente de perda K deve ser determinado experimentalmente para cada situação ou pela equação em que Le é o comprimento equivalente de tubo reto Para escoamento em curvas e acessórios de uma tubulação o coeficiente de perda K varia com a bitola diâmetro do tubo do mesmo modo que o fator de atrito f para o escoamento através de um tubo reto Consequentemente o comprimento equivalente LρD tende para uma constante para diferentes bitolas de um dado tipo de acessório Existem dados experimentais em profusão para as perdas menores mas eles estão espalhados entre diversas fontes bibliográficas Fontes diferentes podem fornecer valores diferentes para a mesma configuração de escoamento Os dados aqui apresentados devem ser considerados como representativos para algumas situações comumente encontradas na prática em cada caso a fonte dos dados é identificada a Entradas e Saídas Uma entrada mal projetada de um tubo pode causar uma perda de carga apreciável Se a entrada tiver cantos vivos a separação do escoamento ocorre nas quinas e a vena contracta veia contraída é formada O fluido deve acelerarse localmente para passar através da área reduzida de escoamento na vena contracta Perdas de energia mecânica resultam da mistura não confinada quando a corrente fluida desacelera para preencher novamente o tubo Três geometrias básicas de entradas são mostradas na Exemplo 89 ilustra um procedimento para determinação experimental do coeficiente de perda para uma entrada de tubo A energia cinética por unidade de massa α 22 é completamente dissipada pela mistura quando o escoamento descarrega de um duto para um grande reservatório ou câmara A situação corresponde ao escoamento através de uma expansão súbita com a razão de áreas RA 0 Fig 815 Assim o coeficiente de perda menor é igual a α que como vimos na seção precedente é usualmente fixado em 1 para escoamento turbulento Não é possível melhorar o coeficiente de perda menor para uma saída entretanto a adição de um difusor pode reduzir 22 e portanto hlm consideravelmente veja o Exemplo 810 Tabela 82 Coeficientes de Perdas Menores para Entradas de Tubos aBaseado em hlm K 22 em que é a velocidade média no tubo Fonte Dados da Referência 11 Fig 815 Coeficientes de perda para escoamento através de mudança súbita de área Dados de Streeter 1 b Expansões e Contrações Os coeficientes de perda menor para expansões e contrações súbitas em dutos circulares são dados na Fig 815 Note que ambos os coeficientes baseiamse no maior valor de 22 Desse modo as perdas para uma expansão súbita são baseadas em 2 aquelas para uma contração são baseadas em 2 As perdas causadas por variação de área podem ser reduzidas um pouco com a instalação de um bocal ou difusor entre as duas seções de tubo reto Dados para bocais são apresentados no Fig 815 As perdas em difusores dependem de diversas variáveis geométricas e do escoamento Os dados para difusores são em geral apresentados em termos de um coeficiente de recuperação de pressão Cp definido como a razão entre o aumento da pressão estática e a pressão dinâmica de entrada Isso indica que fração da energia cinética do escoamento de entrada se transforma em um aumento de pressão Não é difícil mostrar usando as equações da continuidade e de Bernoulli veja o Problema 8201 que o coeficiente de recuperação de pressão ideal sem atrito é dado por Tabela 83 Coeficientes de Perda K para Contrações Graduais Dutos Circulares e Retangulares Angulo Incluso θ Graus A2A1 10 1540 5060 90 120 150 180 050 005 005 006 012 018 024 026 025 005 004 007 017 027 035 041 010 005 005 008 019 029 037 043 Nota Os coeficientes são baseados em h lm K Fonte Dados da ASHRAE 12 em que RA é a razão de áreas Portanto o coeficiente de recuperação de pressão ideal é uma função apenas da razão de áreas Na realidade um difusor possui um escoamento tipicamente turbulento e o aumento da pressão estática na direção do escoamento pode causar separação de escoamento das paredes caso o difusor não seja bem projetado pulsações de escoamento podem também ocorrer Por isso o Cp real será menor que o indicado pela Eq 842 Por exemplo dados para difusores cônicos com escoamento completamente desenvolvido no interior de um tubo são apresentados na Fig 816 como uma função da geometria Note que difusores menos afunilados com pequeno ângulo de divergência ϕ ou grande comprimento adimensional NR1 tendem a apresentar um coeficiente Cp mais próximo do valor ideal Quando fazemos o cone mais curto começamos a ver uma queda em Cp para uma dada razão fixa de área nós podemos considerar o comprimento do cone onde isso começa a acontecer como o comprimento ótimo ele é o menor comprimento para o qual obtemos o máximo coeficiente para uma dada razão de área mais próximo do previsto pela Eq 842 Podemos relacionar Cp com a perda de carga Se a gravidade for desprezada e α1 α2 10 a equação da perda de carga Eq 829 reduzse a Então Da continuidade A1 1 A2 2 de modo que Fig 816 Recuperação de pressão para difusores cônicos com escoamento turbulento completamente desenvolvido na entrada Dados de Cockrell e Bradley 13 ou O resultado para ausência de atrito Eq 842 é obtido a partir da Eq 843 se hlm 0 Nós podemos combinar as Eqs 842 e 843 de modo a obter uma expressão para a perda de carga em termos dos valores real e ideal de Cp Os mapas de desempenho para difusores anulares e de parede plana 14 e para difusores radiais 15 estão disponíveis na literatura A recuperação de pressão do difusor é essencialmente independente do número de Reynolds de entrada se os valores desse número forem superiores a 75 104 16 A recuperação de pressão do difusor com escoamento de entrada uniforme é um pouco melhor do que aquela para escoamento de entrada completamente desenvolvido Os mapas de desempenho para difusores anulares cônicos e de parede plana para uma variedade de condições de escoamento de entrada são apresentados em 17 Como a pressão estática aumenta no sentido do fluxo em um difusor o escoamento pode separarse das paredes Para algumas geometrias o escoamento de saída é distorcido Para difusores com ângulos grandes palhetas ou repartidores podem ser empregados para suprimir o estol e melhorar a recuperação de pressão 18 VÍDEO CLÁSSICO Visualização de Escoamento em inglês c Curvas em Tubos A perda de carga em uma curva de tubo é maior do que aquela para escoamento completamente desenvolvido em um trecho reto de tubo de igual comprimento A perda adicional é essencialmente o resultado do escoamento secundário e ela é representada de maneira mais conveniente por um comprimento equivalente de tubo reto O comprimento equivalente depende do raio de curvatura relativo da curva conforme mostrado na Fig 817a para curvas de 90 Um procedimento aproximado para cálculo da resistência de curvas com outros ângulos é apresentado em 11 Fig 817 Resistência total representativa Le D para a curvas de 90 em tubos e cotovelos flangeados e b curvas de gomos Dados da Referência 11 Por elas serem simples e de construção barata no campo as curvas de gomos ou de meia esquadria são utilizadas com frequência em grandes tubulações Dados de projeto para curvas de gomos são apresentados na Fig 817b Observe que você colhe aquilo que semeia da Fig 817a o comprimento equivalente para curvas de tubos varia de aproximadamente 10 até aproximadamente 40 diâmetros para a curva de gomos de 90 a mais barata da Fig 817b nós encontramos um enorme comprimento equivalente de 60 diâmetros d Válvulas e Acessórios As perdas em escoamentos através de válvulas e acessórios também podem ser expressas em termos de um comprimento equivalente de tubo reto Alguns dados representativos são apresentados na Tabela 84 Todas as resistências são dadas para válvulas totalmente abertas as perdas aumentam muito quando as válvulas estão parcialmente fechadas O projeto de válvulas varia significativamente entre fabricantes Sempre que possível as resistências fornecidas pelo fabricante da válvula devem ser usadas principalmente quando uma maior exatidão nos resultados é necessária Os acessórios de uma tubulação podem ter conexões rosqueadas flangeadas ou soldadas Para pequenos diâmetros as junções rosqueadas são mais comuns tubulações de grandes diâmetros maiores têm em geral conexões flangeadas ou soldadas Na prática as perdas introduzidas por acessórios e válvulas variam consideravelmente dependendo dos cuidados na fabricação da tubulação Se for permitida a permanência de rebarbas do corte de trechos de tubos elas causarão obstruções locais com aumento apreciável das perdas Embora as perdas discutidas nesta seção sejam denominadas perdas menores elas podem representar uma grande parcela da perda total do sistema notadamente em tubulações curtas Assim em um sistema para o qual as perdas de carga vão ser calculadas as perdas localizadas devem ser cuidadosamente identificadas e quantificadas e ter os seus valores bem estimados Se os cálculos forem feitos cuidadosamente os resultados terão exatidão satisfatória para cálculos de engenharia Podese esperar incerteza na previsão das perdas reais de cerca de 10 A seguir incluímos mais um dispositivo que varia a energia do fluido exceto que agora a energia do fluido será aumentada ou seja o dispositivo cria uma perda negativa de energia Tabela 84 Comprimentos Equivalentes Adimensionais Representativos LρD para Válvulas e Acessórios Tipo de Acessório Comprimento EquivalenteaLρD Válvulas completamente abertas Válvula de gaveta 8 Válvula globo 340 Válvula angular 150 Válvula de esfera 3 Válvula de retenção globo 600 angular 55 Válvula de pé com crivo disco solto 420 disco articulado 75 Cotovelopadrão 90 30 45 16 Curva de retorno modelo estreito 50 Têpadrão escoamento principal 20 escoamento lateral ramal 60 aBaseado em hlm fLeD 22 Fonte dados da Referência 11 Bombas Ventiladores e Sopradores em Sistemas de Fluidos Em muitas situações práticas de escoamento por exemplo o sistema de refrigeração de um motor de automóvel o sistema de ventilação aquecimento e refrigeração de um prédio a força motriz para manter o escoamento contra o atrito é fornecida por uma bomba para líquidos ou por um ventilador ou soprador para gases Aqui vamos considerar as bombas embora todos os resultados sejam igualmente aplicáveis a ventiladores ou sopradores Se desconsiderarmos as transferência de calor e as variações na energia interna do fluido vamos incorporálas mais tarde juntamente com a definição de eficiência da bomba a primeira lei da termodinâmica aplicada através da bomba é Podemos também calcular a altura de carga Δhbomba energiamassa produzida pela bomba Em muitos casos os diâmetros de entrada e de saída da bomba e portanto as velocidades e elevações são as mesmas ou têm diferenças desprezíveis de modo que a Eq 845 pode ser simplificada para É interessante notar que uma bomba adiciona energia ao fluido na forma de um ganho em pressão a percepção corriqueira de que a bomba adiciona energia cinética ao fluido não é correta É verdade que na partida de uma bomba ela realiza um trabalho para acelerar o fluido até a sua velocidade de escoamento uniforme é nesse momento que o motor elétrico de acionamento da bomba apresenta maior risco de queima A ideia é que em um sistema bombatubulação a altura de carga produzida pela bomba Eq 845 ou 846 é usada para superar a perda de carga de toda a tubulação Portanto a vazão em tal sistema depende das características da bomba e das perdas de carga maiores e menores da tubulação Aprenderemos no Capítulo 10 que a altura de carga produzida por uma dada bomba não é constante mas varia com a vazão através da bomba levando à noção de ajuste de uma bomba a um dado sistema para alcançar a vazão desejada Uma relação útil é obtida a partir da Eq 846 multiplicandoa por ρQ Q é a vazão volumétrica e relembrando que Δhbomba é a potência fornecida ao fluido Podemos também definir a eficiência da bomba em que bomba é a potência que chega ao fluido e entrada é a potência de alimentação normalmente elétrica da bomba Notamos que na aplicação da equação da energia Eq 829 a um sistema de tubos podemos algumas vezes escolher os pontos 1 e 2 de modo a incluir uma bomba no sistema Para estes casos podemos simplesmente incluir a altura de carga da bomba como uma perda negativa Dutos Não Circulares As correlações empíricas para escoamento em tubos também podem ser empregadas para cálculos que envolvem dutos não circulares desde que suas seções transversais não sejam demasiadamente grandes Dessa forma dutos com seções transversais quadradas ou retangulares podem ser tratados como dutos circulares se a razão entre a altura e a largura for inferior a cerca de 3 ou 4 As correlações para escoamento turbulento em tubos são estendidas para uso com geometrias não circulares pela introdução do diâmetro hidráulico definido como no lugar do diâmetro do tubo D Na Eq 850 A é a área da seção transversal e P é o perímetro molhado o comprimento de parede em contato com o fluido escoando em qualquer seção transversal O fator 4 é introduzido para que o diâmetro hidráulico seja igual ao diâmetro do duto para uma seção circular Para um duto circular A πD24 e P πD de modo que Para um duto retangular de largura b e altura h A bh e P 2b h de modo que Se a razão de aspecto ra é definida como ra hb então para dutos retangulares Para um duto quadrado ra 1 e Dh h Como observado o conceito do diâmetro hidráulico pode ser aplicado na faixa aproximada de ra 4 Sob essas condições as correlações para o escoamento em tubos dão resultado com exatidão aceitável para dutos retangulares Como a fabricação desses dutos em chapa metálica fina é fácil e barata eles são comumente usados em sistemas de aquecimento ventilação e condicionamento de ar Existem muitos dados disponíveis sobre perdas para o escoamento de ar veja por exemplo 12 19 As perdas causadas por escoamentos secundários aumentam rapidamente para geometrias mais extremas de modo que as correlações não se aplicam a dutos largos e achatados ou a dutos de seção triangular ou irregular Dados experimentais devem ser utilizados quando informações precisas de projeto são requeridas para situações específicas 88 Solução de Problemas de Escoamento em Tubo A Seção 87 fornece um esquema completo para a solução de muitos problemas diferentes de escoamento em tubo Por conveniência coletamos ali as equações de cálculo relevantes A equação de energia relacionando as condições em dois pontos quaisquer 1 e 2 para um sistema de trajeto único é Esta equação expressa o fato de que haverá uma perda de energia mecânica de pressão cinética eou potencial no tubo Relembre que para escoamentos turbulentos α 1 Note que pela escolha criteriosa dos pontos 1 e 2 podemos analisar não somente a tubulação inteira mas também um trecho específico no qual estejamos interessados A perda de carga total é dada pela soma das perdas maiores e menores Lembrese de que nós podemos incluir também perdas negativas para quaisquer bombas presentes entre os pontos 1 e 2 A forma relevante da equação de energia é portanto a Eq 849 Cada perda maior é dada por em que o fator de atrito é obtido de ou e Eqs 836 e 837 são representadas graficamente no diagrama de Moody Fig 813 Cada perda menor é dada ou por em que K é o coeficiente de perda do dispositivo ou em que Le é o comprimento equivalente de tubo adicional Notamos também que a vazão Q está relacionada com a velocidade média em cada seção transversal do tubo por Aplicaremos estas equações primeiramente em sistemas de trajeto único Sistemas de Trajeto Único Em problemas de trajeto simples ou único nós em geral conhecemos a configuração do sistema tipo do material do tubo e portanto a rugosidade do tubo o número e tipo de cotovelos válvulas e outros acessórios etc e variações de elevação bem como o fluido ρ e μ com o qual lidaremos Embora não sejam as únicas possibilidades o objetivo usualmente é um entre estes a Determinar a queda de pressão Δp para um dado tubo L e D e uma dada vazão Q b Determinar o comprimento L do tubo para uma dada perda de carga Δp diâmetro do tubo D e vazão Q c Determinar a vazão Q para um dado tubo L e D e uma perda de carga Δp d Determinar o diâmetro D do tubo para um dado comprimento L do tubo queda de pressão Δp e vazão Q Cada um destes casos aparece com frequência em situações práticas do mundo real Por exemplo o caso a é uma etapa necessária na seleção do tamanho potência correto de bomba para manter a vazão desejada em um sistema a bomba deve ser capaz de produzir o Δp do sistema na vazão Q especificada Discutiremos isso com mais detalhes no Capítulo 10 Os casos a e b têm solução computacional direta veremos que as soluções dos casos c e d podem ser um pouco mais trabalhosas Vamos discutir cada caso e apresentar um Exemplo para cada um Os Exemplos apresentam soluções que podem ser implantadas em uma calculadora mas existe também uma planilha Excel para cada um Lembrese de que há um Excel addin no Website que uma vez instalado calculará automaticamente f a partir de Re e eD A vantagem de utilizar um aplicativo computacional tal como uma planilha é que nós não temos de utilizar o diagrama de Moody Fig 813 ou de resolver a equação implícita de Colebrook Eq 837 para obter os fatores de atrito turbulentos o aplicativo pode determinálos para nós Além disso conforme veremos os casos c e d envolvem cálculos iterativos significantes que podem ser evitados pelo uso de um aplicativo computacional Finalmente uma vez encontrada a solução usando um aplicativo computacional a análise de engenharia tornase fácil como por exemplo se a altura de carga produzida por uma bomba dobrar de quanto será o aumento na vazão em um dado sistema a Determinar Δp para L Q e D Dados Estes tipos de problemas são bastante diretos a equação de energia Eq 829 pode ser resolvida diretamente escrevendo Δp p1 p2 em termos de variáveis conhecidas ou calculáveis A vazão leva ao número de Reynolds ou números caso existam variações no diâmetro e portanto ao fator ou fatores de atrito para o escoamento dados tabelados podem ser usados para os coeficientes e comprimentos equivalentes das perdas menores A equação de energia pode então ser usada diretamente para obter a queda de pressão O Exemplo 85 ilustra esse tipo de problema b Determinar L para Δp D e Q Dados Estes tipos de problemas também são diretos a equação de energia Eq 829 pode ser resolvida diretamente escrevendo L em termos de variáveis conhecidas ou calculáveis A vazão leva novamente ao número de Reynolds e por conseguinte ao fator de atrito para o escoamento Dados tabelados podem ser utilizados para os coeficientes e comprimentos equivalentes das perdas menores A equação de energia pode ser então rearranjada e resolvida diretamente para o comprimento de tubo O Exemplo 86 ilustra este tipo de problema c Determinar Q para Δp L e D Dados Estes tipos de problemas requerem ou iterações manuais ou o uso de um aplicativo computacional como o Excel A vazão ou a velocidade desconhecida é necessária antes do número de Reynolds e assim o fator de atrito não pode ser determinado diretamente Para iteração manual resolvemos primeiro a equação de energia diretamente para em termos das quantidades conhecidas e do fator de atrito desconhecido f Para iniciar o processo iterativo fazemos uma estimativa para f uma boa escolha é tomar um valor da região completamente turbulenta do diagrama de Moody porque muitos escoamentos práticos estão nesta região e obtemos um valor para Em seguida podemos calcular um número de Reynolds e daí obtermos um novo valor para f Repetimos o processo iterativo f Re f até a convergência ou seja até que o valor do f anterior se iguale ou esteja bastante próximo do novo valor de f em geral duas ou três iterações são suficientes Um procedimento mais rápido é usar um aplicativo computacional Por exemplo planilhas tais como a do Excel têm procedimentos internos macros construídos para resolver sistemas de equações algébricas para uma ou mais variáveis O Exemplo 87 ilustra este tipo de problema d Determinar D para Δp L e Q Dados Estes tipos de problemas aparecem por exemplo quando projetamos um sistema bombatubulação e desejamos escolher o melhor diâmetro de tubo entendendo como melhor o diâmetro mínimo para custo mínimo da tubulação que fornecerá a vazão de projeto Iteração manual ou o uso de um aplicativo computacional tal como o Excel é necessário O diâmetro desconhecido é requerido antes do número de Reynolds e da rugosidade relativa e assim o fator de atrito poder ser determinados diretamente Para iteração manual poderíamos primeiro resolver diretamente a equação de energia para D em termos das quantidades conhecidas e do fator de atrito desconhecido f e em seguida fazer iterações a partir de um valor estimado para f de forma similar ao caso c f D Re e eD f Na prática isto é pouco produtivo de modo que em vez de buscar manualmente uma solução fazemos estimativas sucessivas para D até que a queda de pressão correspondente Δp para a vazão de escoamento dada Q calculada a partir da equação de energia coincida ou se aproxime o bastante da perda de carga de projeto Δp Como no caso c um procedimento mais rápido é utilizar um aplicativo computacional Por exemplo planilhas tais como a do Excel têm procedimentos internos macros construídos para resolver sistemas de equações algébricas para uma ou mais variáveis O Exemplo 88 ilustra este tipo de problema Ao escolher a bitola do tubo é lógico trabalhar com diâmetros que são comercialmente disponíveis Os tubos são fabricados em um número limitado de bitolas padronizadas Alguns dados para tubos de bitola padronizada são apresentados na Tabela 85 Para dados sobre tubo extraforte ou duplo extraforte consulte um manual por exemplo 11 Tubos com mais de 300 mm de diâmetro nominal são fabricados em múltiplos de 50 mm até o diâmetro nominal de 900 mm e em múltiplos de 150 mm para bitolas ainda maiores Tabela 85 Diâmetros padronizados Bitolas para Tubos de Aço Carbono Aço Ligado e Aço Inoxidável Diâmetro Nominal do Tubo mm Diâmetro Interno mm Diâmetro Nominal do Tubo mm Diâmetro Interno mm 3175 6832 63500 62712 6350 9245 76200 77927 3525 12522 101600 102260 12700 15798 127000 128193 19050 20929 152400 154051 25400 26644 203200 202717 38100 40894 254000 254508 50800 52501 304800 304800 Fonte Dados da Referência 11 Exemplo 85 ESCOAMENTO NO TUBO DE SAÍDA DE UM RESERVATÓRIO QUEDA DE PRESSÃO DESCONHECIDA Um tubo liso horizontal de 100 m de comprimento está conectado a um grande reservatório Uma bomba é ligada ao final do tubo para bombear água do reservatório a uma vazão volumétrica de 001 m3s Que pressão manométrica a bomba deve produzir para gerar essa vazão O diâmetro interno do tubo liso é 75 mm Dados Água é bombeada a 001 m3s através de um tubo liso de diâmetro 75 mm e comprimento L 100 m vinda de um reservatório de nível constante com profundidade d 10 m Determinar A pressão fornecida pela bomba p1 para manter o escoamento Solução Equações básicas Em que Para o problema dado p1 pbomba e p2 0 manométrica de modo que Δp p1 p2 pbomba 1 2 0 K perda de saída 10 e α1 10 Se z1 0 então z2 d Simplificando a Eq 829 obtemos O lado esquerdo da equação é a perda de energia mecânica entre os pontos e o lado direito representa as perdas maior e menor que contribuíram para as perdas totais Resolvendo para a perda de pressão Δp pbomba Todas as variáveis no lado direito da equação são conhecidas ou podem ser facilmente calculadas A vazão Q leva à Essa velocidade por sua vez leva ao número de Reynolds Considerando a água a 20C ρ 999 kgm3 e μ 10 03 kgms Para escoamento turbulento em um tubo liso e 0 da Eq 837 f 00162 Então Portanto Este problema ilustra o método de solução manual para cálculo da perda de carga total A planilha do Excel para este problema calcula automaticamente Re e f a partir dos dados fornecidos Em seguida ela resolve a Eq 1 diretamente para a pressão pbomba sem a necessidade de primeiramente explicitálo na equação A planilha pode ser facilmente usada para mostrar por exemplo como a pressão da bomba pbomba requerida para manter a vazão Q PortantoD é afetada pela variação no diâmetro a planilha pode ser editada e facilmente adaptada para outros casos a de problemas deste tipo Exemplo 86 ESCOAMENTO EM UMA TUBULAÇÃO COMPRIMENTO DESCONHECIDO Petróleo cru escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca a uma taxa de 2944 m3s O diâmetro interno do tubo é 122 m a rugosidade do tubo é equivalente à do ferro galvanizado A pressão máxima admissível é 827 MPa a pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução no petróleo cru é 3445 kPa O petróleo cru tem SG 093 sua viscosidade à temperatura de bombeamento de 60ºC é μ 00168 Nsm2 Para estas condições determine o espaçamento máximo possível entre estações de bombeamento Se a eficiência da bomba é de 85 determine a potência que deve ser fornecida a cada estação de bombeamento Dados Escoamento de petróleo cru através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca D 122 m rugosidade de ferro galvanizado SG 093 μ 00168 Nsm2 Determinar a Espaçamento máximo L b Potência necessária em cada estação de bombeamento Solução Conforme mostrado na figura nós consideramos que o oleoduto no Alasca é feito de trechos bombatubo repetidos Podemos então traçar dois volumes de controle VC1 para o escoamento no tubo do estado para o estado VC2 para a bomba do estado para o estado Primeiro aplicamos ao VC1 a equação de energia para escoamento permanente e incompressível Equações básicas em que Considerações 1 2 Tubo horizontal z1 z2 3 Perdas menores desprezíveis 4 Viscosidade constante Então usando o VC1 ou assim Da Fig 837 f 0017 e assim Para determinar a potência de bombeamento nós podemos aplicar a primeira lei da termodinâmica ao VC2 Este volume de controle consiste somente da bomba e vimos na Seção 87 que esta lei é simplificada para e a eficiência de bomba é Lembramos que bomba é a potência recebida pelo fluido e entrada é potência de alimentação da bomba Como temos um sistema que se repete o aumento de pressão através da bomba isto é do estado para o estado iguala a queda de pressão no tubo isto é do estado para o estado Δpbomba Δp de modo que E a potência requerida na bomba é Este problema ilustra o método de solução manual para cálculo do comprimento de tubo L A planilha do Excel para este problema calcula automaticamente Re e f a partir dos dados fornecidos Em seguida ela resolve a Eq 1 diretamente para L sem a necessidade de primeiramente explicitálo na equação A planilha pode ser facilmente usada para mostrar por exemplo como a vazão Q depende de L a planilha pode ser editada e facilmente adaptada para outros casos b de problemas deste tipo Exemplo 87 ESCOAMENTO PROVENIENTE DE UMA TORRE DE ÁGUA VAZÃO EM VOLUME DESCONHECIDA Um sistema de proteção contra incêndio é suprido por um tubo vertical de 244 m de altura a partir de uma torre de água O tubo mais longo no sistema tem 1829 m e é feito de ferro fundido com cerca de 20 anos de uso O tubo contém uma válvula de gaveta outras perdas menores podem ser desprezadas O diâmetro do tubo é 1016 mm Determine a vazão máxima em gpm de água através desse tubo Dados Sistema de proteção contra incêndio conforme mostrado Determinar Q em gpm Solução Equações básicas em que Considerações 1 p1 p2 patm 2 1 0 e 2 10 Então a Eq 829 pode ser escrita como Para uma válvula de gaveta completamente aberta da Tabela 84 LeD 8 Assim Para iteração manual resolvemos para 2 e obtemos Para ser conservativo admita que o tubo vertical tenha o mesmo diâmetro do tubo horizontal Então Também z1 z2 h 244 m Para resolver manualmente a Eq 2 nós necessitamos de iterações Para iniciar fazemos uma estimativa para f admitindo que o escoamento seja inteiramente turbulento no qual f é constante Este valor pode ser obtido da solução da Eq 837 usando uma calculadora ou da Eq 813 Para um valor grande de Re por exemplo 108 e uma razão de rugosidade eD 0005 e 026 mm é obtido para o ferro fundido da Tabela 81 e duplicado para levar em conta a idade do tubo encontramos f 003 Portanto a primeira iteração para 2 a partir da Eq 2 é Obtenha agora um novo valor para f Para eD 0005 f 00308 da Eq 837 Portanto obtemos Os valores que obtivemos para 2 277 ms e 273 ms diferem menos de 2 um nível aceitável de precisão Caso a precisão desejada não tivesse sido encontrada deveríamos continuar o processo iterativo até atingila em geral duas iterações adicionais são suficientes para atingir uma precisão razoável Note que em vez de iniciar com um valor grosseiro para f nós poderíamos ter iniciado com um valor para 2 de digamos 03 ms ou 3 ms A vazão volumétrica é Este problema ilustra o método de solução manual iterativa para cálculo da vazão A planilha do Excel para este problema resolve para a vazão Q automaticamente por iteração Em seguida ela resolve a Eq 1 sem a necessidade de primeiramente obter a Eq 2 que explicita 2 ou Q A planilha pode ser usada para realizar inúmeros procedimentos de avaliação de variáveis ou de suas influências que são muito trabalhosos manualmente como por exemplo avaliar como Q é afetado pela variação na rugosidade eD A planilha mostra que a substituição do tubo velho de ferro fundido por um tubo novo eD 00025 aumentaria a vazão de 00221 m3s para cerca de 00244 m3s um aumento de 10 A planilha pode ser modificada para resolver outros casos c de problemas deste tipo Exemplo 88 ESCOAMENTO EM UM SISTEMA DE IRRIGAÇÃO DIÂMETRO DESCONHECIDO As cabeças borrifadoras sprinklers de um sistema de irrigação agrícola devem ser supridas com água proveniente de uma bomba acionada por motor de combustão interna através de 1524 m de tubos de alumínio trefilado Na sua faixa de operação de maior eficiência a descarga da bomba é 00946 m3s a uma pressão não superior a 4482 kPa manométrica Para operação satisfatória os borrifadores devem operar a 2068 kPa manométrica ou mais Perdas menores e variações de elevação podem ser desprezadas Determine o menor diâmetro de tubopadrão que pode ser empregado Dados Sistema de suprimento de água conforme mostrado Determinar O menor diâmetropadrão D Solução Δp L e Q são conhecidos D é desconhecido de modo que um processo iterativo é necessário para determinar o menor diâmetropadrão que satisfaça o requisito de queda de pressão para a vazão dada A máxima queda de pressão admissível no comprimento L é Δpmáx p1máx p2máx 4482 2068 kPa 2414 kPa Equações básicas Considerações 1 Escoamento permanente 2 Escoamento incompressível 3 hlT hl isto é hlm 0 4 z1 z2 5 Então A Eq 1 é difícil de resolver para D porque tanto quanto f dependem de D A melhor abordagem é usar um aplicativo computacional tal como o Excel para resolver automaticamente para D Para uma melhor compreensão mostramos aqui o procedimento iterativo manual O primeiro passo é expressar a Eq 1 e o número de Reynolds em termos de Q em vez de Q é constante mas varia com D Sabemos que QA 4QπD2 logo O número de Reynolds em termos de Q é Como estimativa inicial tome um diâmetro nominal do tubo de 100 mm di de 1023 mm Para tubo trefilado e 00015 mm Tabela 81 logo eD 147 105 de modo que f 0012 Eq 837 e Como essa queda de pressão é grande demais tente o diâmetro nominal D 150 mm na verdade um diâmetro interno de 154 mm Para tubo trefilado com D 150 mm eD 97 106 de modo que f 00125 Eq 837 e Como este valor é menor que a queda de pressão permitida devemos verificar para um tubo de 125 mm de diâmetro nominal Com um diâmetro interno real de 128 mm Para tubo trefilado com D 125 mm eD 17 105 de modo que f 00125 Eq 837 e Desse modo o critério para a queda de pressão é satisfeito para um diâmetro nominal mínimo de 150 mm Este problema ilustra o método de solução manual iterativa para cálculo do diâmetro do tubo A planilha do Excel para este problema resolve automaticamente por iteração para o diâmetro exato D do tubo que satisfaz a Eq 1 sem ter que primeiro obter a equação explícita Eq 2 para D Em seguida tudo que é necessário fazer é selecionar o diâmetro comercial mais próximo igual ou maior que D Para o valor dado D 142 mm a bitola de tubo mais adequada é 150 mm A planilha pode ser usada para realizar vários procedimentos de avaliação de variáveis ou de suas influências que são muito trabalhosos manualmente por exemplo avaliar como o diâmetro requerido D é afetado pela variação no comprimento do tubo L A planilha mostra que a redução de para 76 m permitiria que um tubo de 125 mm nominal fosse utilizado A planilha pode ser modificada para resolver outros casos d de problemas deste tipo Resolvemos os Exemplos 87 e 88 por iteração manual ou usando o Excel Diversos diagramas especializados de fator de atrito versus número de Reynolds têm sido introduzidos para resolver problemas desse tipo sem a necessidade de iteração Para exemplos desses diagramas especializados veja as referências 20 e 21 Os Exemplos 89 e 810 ilustram a avaliação dos coeficientes de perdas menores e a aplicação de um difusor para reduzir a energia cinética de saída de um sistema de escoamento Exemplo 89 CÁLCULO DO COEFICIENTE DE PERDA DE ENTRADA Hamilton 22 relata resultados de medições feitas para determinar as perdas de entrada no escoamento de um reservatório para um tubo com diversos graus de acabamento da entrada Um tubo de cobre de 3 m de comprimento com diâmetro interno de 38 mm foi utilizado nos testes O tubo descarregava para a atmosfera Para uma entrada de bordaviva uma vazão de 0016 m3s foi medida quando o nível do reservatório estava 259 m acima da linha de centro do tubo A partir desses dados avalie o coeficiente de perda para uma entrada de bordaviva Dados Tubo com entrada de bordaviva descarregando de um reservatório conforme mostrado Determinar Kentrada Solução Aplique a equação de energia para escoamento permanente e incompressível Equações básicas Considerações 1 p1 p2 patm 2 1 0 Substituindo para h lT e dividindo por g resulta ou A velocidade média é Considere T 21C de modo que ν 975 107 m2s Tabela A7 Então Para tubo trefilado e 00015 mm Tabela 81 de modo que eD 000004 e f 00135 Eq 837 Neste problema é preciso ter cuidado na determinação do fator de correção de energia cinética α2 pois ele é um fator significante no cálculo de Kentrada a partir da Eq 1 Relembre da Seção 86 e do Exemplo anterior que temos normalmente considerado α 1 mas aqui calcularemos um valor a partir da Eq 827 Para usar esta equação nós necessitamos de valores para o coeficiente turbulento da lei de potência n e para a razão entre a velocidade média e a velocidade de linha de centro U Para n da Seção 85 em que usamos a aproximação ReU Re Para U temos Usando esses resultados na Eq 827 determinamos α 104 Substituindo na Eq 1 obtemos Este coeficiente concorda bem com aquele apresentado na Exemplo 812 O arredondamento da quina da entrada reduz significativamente a extensão da separação Isto reduz o aumento da velocidade através da vena contracta e por conseguinte reduz a perda de carga causada pela entrada Uma entrada bem arredondada quase elimina a separação do escoamento a configuração do escoamento aproximase daquela mostrada na Fig 81 A perda de carga adicional em uma entrada bemarredondada comparada com o escoamento completamente desenvolvido é o resultado de tensões de cisalhamento de parede maiores no comprimento de entrada Este problema Ilustra o método de obtenção do valor do coeficiente de perda menor localizada a partir de dados experimentais Mostra como as linhas LE e LP primeiramente introduzidas na Seção 65 para escoamento invíscido são modificadas pela presença de perdas maiores e menores A linha LE cai continuamente enquanto a energia mecânica é consumida muito acentuadamente quando por exemplo temos uma perda de entrada de bordaviva a linha LP em cada local está posicionada abaixo da LE por uma quantidade igual à altura de carga dinâmica 22g na vena contracta por exemplo a LP experimenta uma grande queda seguida de uma recuperação parcial Exemplo 810 EMPREGO DE DIFUSOR PARA AUMENTAR A VAZÃO Direitos sobre a água concedidos pelo Imperador de Roma davam permissão a cada cidadão para conectar um bocal tubular circular de bronze calibrado ao distribuidor público principal de água 23 Alguns cidadãos eram espertos o suficiente para tirar vantagem de uma lei que regulava a vazão por esse método indireto Eles instalavam difusores nas saídas dos bocais calibrados para aumentar suas vazões Considere que a altura de carga estática disponível no distribuidor principal seja z0 15 m e que o diâmetro do bocal seja D 25 mm A descarga era para a pressão atmosférica Determine o aumento na vazão se um difusor com NR1 30 e RA 20 fosse acoplado à extremidade do bocal Dados Bocal conectado ao distribuidor principal de água conforme mostrado Determinar O aumento na vazão se um difusor com NR1 30 e RA 20 for instalado Solução Aplique a equação de energia para escoamento permanente e incompressível em um tubo Equação básica Considerações 1 0 0 2 α1 1 Para o bocal sozinho Desse modo Resolvendo para a velocidade e substituindo o valor de Kentrada 004 da Tabela 82 Para o bocal com o difusor acoplado ou Da continuidade 1A1 2A2 logo e a Eq 2 tornase A Fig 816 fornece dados para para difusores Para obter Kdifusor aplique a equação de energia de para Resolvendo com α2 1 obtemos Da Fig 816 Cp 045 então Resolvendo a Eq 3 para a velocidade e substituindo os valores de Kentrada e Kdifusor obtemos assim e O aumento de vazão que resulta da adição de um difusor é A adição do difusor aumenta significativamente a vazão Aqui estão duas maneiras de explicar isso A primeira maneira é traçando as curvas de energia e piezométrica LE e LP aproximadamente em escala conforme mostrado a seguir Podemos ver que como requerido a LP na saída é zero para ambos os escoamentos lembrese de que a LP é a soma das alturas de carga da pressão estática e potencial Contudo a pressão aumenta através do difusor de modo que a pressão na entrada do difusor será conforme mostrado muito baixa abaixo da atmosférica Portanto com o difusor a força motriz Δp para o bocal é muito maior que aquela para o bocal sozinho levando a uma velocidade e uma vazão muito maiores no plano de saída do bocal é como se o difusor atuasse como um dispositivo de sucção sobre o bocal A segunda maneira de explicar o aumento da vazão é examinando as equações de energia para os dois escoamentos para o bocal sozinho Eq 1 e para o bocal com o difusor Eq 3 Estas equações podem ser rearranjadas para fornecer equações para as velocidades na saída do bocal Comparando estas duas expressões vemos que o difusor introduziu um termo extra seu coeficiente de perda Kdifusor 03 ao denominador tendendo a reduzir a velocidade no bocal porém por outro lado o termo 1 representando a perda de energia cinética no plano de saída do bocal sem o difusor foi substituído por 1RA2 025 representando uma perda menor a energia cinética no plano de saída do difusor O efeito líquido é que substituímos 1 no denominador por 025 03 055 levando a um aumento líquido na velocidade no bocal A resistência ao escoamento introduzida pela adição do difusor é superada pelo efeito de jogar fora muito menos energia cinética na saída do dispositivo a velocidade de saída para o bocal sozinho é 532 ms enquanto para o bocal com difusor é 177 ms O Comissário de Águas Frontinus padronizou condições de distribuição de água para todos os romanos em 97 aC Ele exigiu que para cada consumidor o tubo conectado à descarga do bocal tivesse diâmetro constante por pelo menos metros lineares contados a partir da tubulação pública principal veja o Problema 8157 Sistemas de Trajetos Múltiplos Muitos sistemas de tubos do mundo real por exemplo a tubulação que supre de água os apartamentos de um grande edifício consistem em uma rede de tubos de vários diâmetros montados em uma configuração complexa que pode conter conexões em série e em paralelo Como um exemplo considere uma parte de um sistema de tubos conforme mostrado na Fig 818 A água é fornecida a uma determinada pressão a partir do ponto 1 de um tubo principal distribuidor e escoa através dos componentes mostrados até o dreno no ponto 5 Certa quantidade de água escoa através dos tubos A B C e D constituindo tubos em série e o tubo B tem uma vazão menor do que os outros algum escoamento ocorre também através de A E F ou G H C e D F e G são paralelos e estes dois ramos principais estão em paralelo Analisamos este tipo de problema de modo similar à análise de circuitos de resistência de corrente contínua na teoria elétrica aplicando umas poucas regras básicas ao sistema O potencial elétrico em cada ponto no circuito é análogo ao da LP ou da carga de pressão estática se desprezamos a gravidade em pontos correspondentes no sistema A corrente em cada resistor é análoga à vazão em cada trecho de tubo Temos uma dificuldade adicional no sistema de tubos porque a resistência ao escoamento em cada tubo é uma função da vazão resistores elétricos são normalmente considerados constantes As regras simples para analisar redes de tubos podem ser expressas de várias maneiras Vamos expressálas assim 1 O fluxo vazão líquido para fora de qualquer nó junção é zero 2 Cada nó tem uma única altura de carga de pressão LP Fig 818 Esquema de uma parte de uma rede de tubos Por exemplo na Fig 818 a regra 1 significa que o fluxo para dentro do nó 2 proveniente do tubo A deve ser igual à soma dos fluxos de saída para os tubos B e E A regra 2 significa que a altura de carga de pressão no nó 7 deve ser igual à altura de carga de pressão no nó 6 menos as perdas de carga através do tubo F ou do tubo G assim como deve ser igual à altura de carga no nó 3 mais a perda de carga no tubo H Estas regras aplicamse em adição a todas as restrições para escoamentos em tubos que já discutimos por exemplo para Re 2300 o escoamento será turbulento e ao fato de que podemos ter perdas menores significantes tais como aquelas para expansões súbitas Podemos antecipar que a vazão no tubo F diâmetro de 25 mm será bem menor do que a vazão no tubo G diâmetro de 38 mm e a vazão através do ramal E será maior do que aquela através do ramal B por quê Os problemas que aparecem com redes de tubos podem ser tão variados quanto aqueles que discutimos quando estudamos sistemas de trajeto único porém o mais comum envolve encontrar a vazão através de cada tubo para uma dada diferença de pressão aplicada Nós examinamos este caso no Exemplo 811 Obviamente redes de tubos são muito mais difíceis e consomem mais tempo de análise do que problemas de trajeto único quase sempre requerendo métodos de solução iterativos e em geral são resolvidos na prática com o auxílio de um computador Um grande número de esquemas de cálculo para analisar redes de tubos tem sido desenvolvido 24 e muitas empresas de consultoria em engenharia usam aplicativos computacionais desenvolvidos por elas para tais análises Um aplicativo computacional tal como o Excel é também muito útil para a organização e resolução desses problemas Exemplo 811 VAZÕES EM UMA REDE DE TUBOS Na seção de uma rede de tubos de ferro fundido mostrada na Fig 818 a altura de carga de pressão estática pressão manométrica disponível no ponto 1 é de 30 m de água e o ponto 5 é um dreno pressão atmosférica Determine as vazões Lmin em cada tubo Dados Altura de pressão h15 de 30 m na rede de tubos Determinar A vazão em cada tubo Solução Equações básicas Para cada seção de tubo em que e f é obtido ou a partir da Eq 836 laminar ou da Eq 837 turbulento Para tubo de ferro fundido a Tabela 81 fornece uma rugosidade e 026 mm Considerações 1 Ignore efeitos da gravidade 2 Ignore perdas menores A consideração 2 é aplicada para tornar a análise mais clara perdas menores podem ser incorporadas facilmente mais tarde Além disso nós temos expressões matemáticas para as regras básicas 1 O fluxo líquido para fora de qualquer nó junção é zero 2 Cada nó possui uma única altura de pressão LP Podemos aplicar a regra básica 1 aos nós 2 e 6 Nó 2 QA QB QE 1 Nó 6 QE QF QG 2 e também temos as restrições óbvias QA QC 3 QA QD 4 QE QH 5 Podemos aplicar a regra básica 2 para obter as seguintes restrições de perda de carga h15 h hA hB hC hD 6 h24 hB hE hF hH 7 h67 hF hG 8 Este conjunto de oito equações deve ser resolvido por iteração Se fossemos fazer iteração manual usaríamos as Eqs 3 4 e 5 para reduzir imediatamente o número de incógnitas e equações para cinco QA QB QE QF QG Existem diversos procedimentos para a iteração um deles é 1 Fazer uma estimativa para QA QB e QF 2 As Equações 1 e 2 levam então a valores para QE e QG 3 As Equações 6 7 e 8 são finalmente usadas para verificar se a regra 2 para pressões únicas nos nós é satisfeita 4 Se qualquer uma das Equações 6 7 ou 8 não for satisfeita use o conhecimento de escoamento em tubo ou um método numérico como o da secante ou de NewtonRaphson para ajustar os valores de QA QB ou QF 5 Repita os passos de 2 a 5 até atingir a convergência Um exemplo de aplicação do passo 4 seria se a Eq 8 não tivesse sido satisfeita Suponha que hF hG neste caso teríamos selecionado um valor muito grande para QFentãoreduziríamos este valor discretamente e recalcularíamos todas as vazões e alturas de carga Este processo iterativo é obviamente bastante dispendioso para cálculos manuais lembrese de que a obtenção de cada perda de carga h a partir de cada Q envolve uma boa quantidade de cálculos Felizmente podemos usar planilhas como as do Excel para automatizar todos estes cálculos e resolver simultaneamente para todas as oito variáveis envolvidas O primeiro passo é organizar em uma planilha do Excel tabelas para cada seção de tubo para cálculo da altura de carga h do tubo dada a vazão Q Uma planilha típica é mostrada abaixo Nesta planilha uma dada vazão Q é usada para calcular valores para Re eD f e h a partir de L D e e O próximo passo é organizar uma página de cálculo que armazene juntas as vazões e as perdas de carga correspondentes para todas as seções de tubos e em seguida usar estes valores para verificar se as equações de 1 a 8 são satisfeitas Apresentamos a seguir um exemplo de página de cálculo com valores iniciais estimados em 28 103 m3s para cada uma das vazões A lógica do procedimento é que os oitos valores estimados para as vazões de QA a QH determinam todos os outros valores isto é hA até hH e os valores das equações de restrição Os erros para cada uma das equações de restrição são mostrados assim como sua soma Podemos então utilizar procedimentos disponíveis no Excel para resolução de sistemas de equações tantas vezes quanto necessário para minimizar o erro total inicialmente de 7681 pela variação de QA a QH Os resultados finais obtidos pelo Excel são As taxas de escoamento são QA QC QD 6256 Lmin QBLmin 2720 Lmin QELmin QH Lmin 3536 Lmin QFLmin 871 Lmin QGLmin 2665 Lmin Este problema ilustra o uso do Excel para resolver um conjunto de equações não lineares acopladas para vazões desconhecidas A planilha do Excel para este problema pode ser modificada para resolver uma variedade de outros sistemas de trajetos múltiplos Parte C Medição de Vazão Neste texto nos referimos com frequência à vazão Q ou à velocidade média em um tubo A questão que surge é como são medidas estas quantidades Vamos encaminhar esta questão por meio da discussão dos vários tipos de medidores de vazão disponíveis A escolha de um medidor de vazão é influenciada pela incerteza exigida faixa de medida custo complicações facilidade de leitura ou de redução de dados e tempo de vida em serviço O dispositivo mais simples e mais barato que forneça a exatidão desejada deve ser escolhido 89 Métodos Diretos A maneira mais óbvia de medir vazão em um tubo é o método direto medir simplesmente a quantidade de fluido que se acumula em um recipiente durante um período fixo de tempo Tanques podem ser utilizados para determinar a vazão de líquidos em escoamentos permanentes pela medição do volume ou da massa coletada durante um intervalo de tempo conhecido Se o intervalo for longo o suficiente para ser medido com incerteza pequena as vazões poderão ser determinadas também com boa precisão A compressibilidade deve ser considerada nas medições de volume em escoamentos de gases As massas específicas dos gases são em geral muito pequenas para permitirem medição direta precisa da vazão em massa Contudo uma amostra de volume pode eventualmente ser coletada pelo deslocamento de um sino bell prover ou de um vaso invertido sobre água se a pressão for mantida constante por meio de contrapesos Se as medições de volume ou de massa forem cuidadosamente organizadas nenhuma calibração é requerida esta é uma grande vantagem dos métodos diretos Em aplicações especializadas particularmente para uso ou registro remoto de vazão os medidores de deslocamento positivo podem ser especificados nos quais o fluido move um componente tal como um pistão alternativo ou um disco oscilante à medida que ele passa através do medidor Exemplos comuns incluem os medidores residenciais de água e de gás natural que são calibrados para leitura direta em unidades do produto ou as bombas de gás ou de gasolina que integram a vazão no tempo e automaticamente calculam o custo total do produto despejado no tanque do veículo Muitos medidores de deslocamento positivo estão disponíveis no comércio Consulte a literatura de fabricantes ou as Referências por exemplo 25 para projeto e detalhes de instalação 810 Medidores de Vazão de Restrição para Escoamentos Internos A maioria dos medidores de restrição redução de área para escoamentos internos exceto o elemento de escoamento laminar discutido rapidamente baseiamse no princípio da aceleração de uma corrente fluida através de alguma forma de bocal conforme mostrado esquematicamente na Fig 819 A ideia é que a variação na velocidade leva a uma variação na pressão Este Δp pode ser medido com a utilização de um medidor de pressão diferencial eletrônico ou mecânico ou de um manômetro e a vazão inferida a partir de uma análise teórica ou de uma correlação experimental para o dispositivo A separação do escoamento na bordaviva da garganta do bocal causa a formação de uma zona de recirculação conforme mostrado pelas linhas tracejadas a jusante do bocal A corrente principal do escoamento continua a acelerar após a garganta formando uma vena contracta na seção e em seguida desacelera para preencher o duto Na vena contracta a área de escoamento é um mínimo e as linhas de corrente são essencialmente retas e a pressão é uniforme através da seção do canal A vazão teórica pode ser relacionada com o diferencial de pressão entre as seções e pela aplicação das equações da continuidade e de Bernoulli Em seguida fatores de correção empíricos podem ser aplicados para obter a vazão real Fig 819 Escoamento interno através de um bocal genérico mostrando o volume de controle usado para análise Equações básicas Vamos precisar da equação de conservação da massa nós podemos usar esta equação em vez da Eq 412 devido à consideração 5 abaixo e a equação de Bernoulli que nós podemos usar se a consideração 4 for válida Para a pequena seção de tubo considerada isso é razoável Considerações 1 Escoamento permanente 2 Escoamento incompressível 3 Escoamento ao longo de uma linha de corrente 4 Não há atrito 5 Velocidade uniforme nas seções e 6 Não há curvatura das linhas de corrente nas seções e logo a pressão é uniforme através destas seções 7 z1 z2 Então da equação de Bernoulli e da continuidade ρV1A1 ρV2A2 0 ou Substituindo obtemos Resolvendo para a velocidade teórica V2 A vazão em massa teórica é dada então por ou A Eq 852 mostra que levando em conta o nosso conjunto de considerações para um dado fluido ρ e geometria do medidor A1 e A2 a vazão é diretamente proporcional à raiz quadrada da queda de pressão detectada pelas tomadas de pressão do medidor teórico que é a ideia básica destes dispositivos Esta relação limita as vazões que podem ser medidas com precisão para uma faixa aproximadamente de 41 Diversos fatores limitam a utilidade da Eq 852 para calcular a vazão em massa real através de um medidor A área real do escoamento na seção é desconhecida quando a vena contracta é pronunciada por exemplo em placas de orifício quando Dt é uma pequena fração de D1 Os perfis de velocidade aproximamse do escoamento uniforme somente para números de Reynolds muito grandes Os efeitos de atrito podem tornarse importantes especialmente a jusante do medidor quando os contornos do medidor são abruptos Finalmente a localização das tomadas de pressão influencia a leitura da pressão diferencial A equação teórica é ajustada para o número de Reynolds e para razão de diâmetros DtD1 pela definição de um coeficiente de descarga C empírico tal que substituindoo na Eq 852 obtemos Fazendo β DtD1 então AtA12 DtD14 β4 de modo que Na Eq 854 é o fator de velocidade de aproximação O coeficiente de descarga e o fator de velocidade de aproximação frequentemente são combinados em um único coeficiente de vazão Em termos do coeficiente de vazão a vazão em massa real é expressa como Para medidores padronizados dados de testes 25 26 têm sido usados para desenvolver equações empíricas que predizem os coeficientes de descarga e de vazão a partir do orifício do medidor do diâmetro do tubo e do número de Reynolds A precisão das equações dentro de faixas especificadas é usualmente adequada de modo que o medidor pode ser usado sem calibração Se o número de Reynolds diâmetro do tubo ou diâmetro do orifício cai fora da faixa especificada da equação os coeficientes devem ser medidos experimentalmente Para o regime de escoamento turbulento número de Reynolds no tubo maior que 4000 o coeficiente de descarga pode ser expresso por uma equação da forma 25 A forma correspondente da equação do coeficiente de vazão é Nas Eqs 857 e 858 o subscrito denota o coeficiente para número de Reynolds infinito as constantes b e n permitem o transporte por escala para números de Reynolds finitos Equações de correlação e curvas de coeficientes versus número de Reynolds são dadas nas próximas três subseções logo após uma comparação geral das características de elementos medidores específicos Tabela 86 Características de Medidores de Vazão de Orifício Bocal Medidor e Venturi Tipo de Medidor de Vazão Diagrama Perda de Carga Custo Inicial Orifício Alta Baixo Bocal Medidor Intermediaria Intermediário Venturi Baixa Alto Como já frisamos a seleção de um medidor de vazão depende de fatores como custo precisão necessidade de calibração e facilidade de instalação e manutenção Alguns desses fatores são comparados na Tabela 86 para medidores de placa de orifício bocal de vazão e venturi Note que uma perda de carga grande significa que o custo de operação do dispositivo é alto ele consumirá boa quantidade de energia do fluido Um alto custo inicial deve ser amortizado durante a vida útil do dispositivo Este é um exemplo de cálculo de custo comum para uma companhia e para um consumidor decidir entre um alto custo inicial com baixo custo de operação ou um baixo custo inicial com alto custo de operação Os coeficientes de medidores de vazão relatados na literatura têm sido medidos com distribuições de velocidades turbulentas completamente desenvolvidas na entrada do medidor Seção Se um medidor deve ser instalado a jusante de uma válvula cotovelo ou outro elemento perturbador do escoamento um trecho de tubo reto deve ser previsto a montante do medidor Aproximadamente 10 diâmetros de tubo reto são necessários para medidores venturi e até 40 diâmetros para medidores de placa de orifício ou de bocal de vazão Para medidores de vazão instalados corretamente a vazão pode ser obtida das Eqs 854 ou 856 após escolha de um valor apropriado para o coeficiente de descarga empírico C ou para o coeficiente de vazão K definidos nas Eqs 853 e 855 respectivamente Alguns dados de projeto para escoamento incompressível são apresentados nas seções seguintes Os mesmos métodos básicos podem ser estendidos para escoamentos compressíveis mas estes não serão abordados aqui Para detalhes completos consulte Miller 25 ou Bean 26 Fig 820 Geometria do orifício e localização de tomadas de pressão 25 A Placa de Orifício A placa de orifício Fig 820 é uma placa fina que pode ser interposta entre flanges de tubos Como a sua geometria é simples ela é de baixo custo e de fácil instalação ou reposição A bordaviva do orifício não deve ficar incrustada com depósitos ou matéria em suspensão Contudo material em suspensão pode se acumular no lado da entrada de um orifício concêntrico em um tubo horizontal uma placa de orifício excêntrico posicionado rente ao fundo do tubo pode ser instalada para evitar esse problema As principais desvantagens do orifício são a sua capacidade limitada e a elevada perda de carga permanente decorrente da expansão não controlada a jusante do elemento medidor As tomadas de pressão para orifícios podem ser colocadas em diversos locais conforme mostrado na Fig 820 consulte 25 ou 26 para mais detalhes Como a localização das tomadas de pressão influencia o coeficiente de vazão empírico valores para C ou K consistentes com a localização das tomadas devem ser selecionados de manuais ou de normas preferencialmente A equação de correlação recomendada para um orifício concêntrico com tomadas de canto 25 é A Eq 859 é a forma da Eq 857 para o coeficiente de descarga C para a placa de orifício ela prediz os coeficientes de descarga com precisão de 06 para 02 β 075 e 104 ReD1 107 Alguns coeficientes de vazão calculados com as Eqs 859 e 855 são apresentados na Fig 821 Uma equação de correlação similar está disponível para placas de orifício com tomadas de pressão D e D2 As tomadas de flange requerem uma correlação diferente para cada diâmetro de tubo As tomadas de pressão localizadas a 2½ e 8 D não são mais recomendadas para trabalhos de precisão O Exemplo 812 que aparece mais adiante nesta seção ilustra a aplicação de dados do coeficiente de vazão no dimensionamento de uma placa de orifício Fig 821 Coeficientes de vazão para orifícios concêntricos com tomadas de canto O Bocal Medidor Os bocais medidores podem ser empregados como elementos medidores em plenos ou câmaras pressurizadas ou em dutos conforme mostrado na Fig 822 a seção do bocal é aproximadamente um quarto de elipse Detalhes de projeto e localizações recomendadas para as tomadas de pressão são dados em 26 A equação de correlação recomendada para um bocal ASME de raio longo 25 é A Eq 860 é a forma da Eq 857 para o coeficiente de descarga C para o local medidor ela prediz coeficientes de descarga para bocais medidores com precisão de 20 para 025 β 075 e 104 ReD1 107 Alguns coeficientes de vazão calculados com as Eqs 860 e 855 são apresentados na Fig 823 K pode ser maior que 1 quando o fator de velocidade de aproximação excede a unidade a Instalação em Tubo Para instalação no tubo K é uma função de β e de ReD1 A Fig 823 mostra que K é essencialmente independente do número de Reynolds para ReD1 106 Assim vazões altas podem ser calculadas diretamente da Eq 856 Para vazões mais baixas onde K é uma função fraca do número de Reynolds alguma iteração pode ser necessária b Instalação em Pleno Para instalação em pleno ou câmara pressurizada os bocais podem ser fabricados de alumínio expandido fibra de vidro moldada ou outros materiais de baixo custo Eles são portanto de fabricação e instalação simples e barata Como a pressão no pleno é igual a p2 a localização da tomada de pressão de jusante não é crítica Medidores adequados a uma ampla faixa de vazões podem ser feitos instalando diversos bocais em paralelo no pleno Para baixas vazões a maioria deles estaria bloqueada Para vazões maiores os bocais seriam convenientemente desbloqueados Para os bocais de pleno β 0 que está fora da faixa de aplicabilidade da Eq 858 Coeficientes de vazão típicos estão na faixa 095 K 099 os valores maiores aplicamse para altos números de Reynolds Portanto a vazão em massa pode ser calculada com erro próximo de 2 usando a Eq 856 com K 097 O Venturi Os medidores venturi ou tubos de venturi como esquematizados na Tabela 86 são em geral fundidos e usinados com tolerâncias muito pequenas de modo a reproduzir o desempenho do projetopadrão Como resultado os medidores venturi são pesados volumosos e caros A seção do difusor cônico a jusante da garganta fornece excelente recuperação de pressão por isso a perda de carga total é baixa O medidor venturi é também autolimpante por causa do seu contorno interno muito liso Fig 822 Instalações típicas de bocais medidores Fig 823 Coeficientes de vazão para bocais ASME de raio longo Dados experimentais mostram que os coeficientes de descarga para medidores venturi variam de 0980 a 0995 para números de Reynolds elevados ReD1 2 105 Por isso C 099 pode ser usado para a medição da vazão em massa com cerca de 1 de erro para altos números de Reynolds 25 Consulte os manuais ou a literatura dos fabricantes para informações específicas relativas a números de Reynolds abaixo de 105 A placa de orifício o bocal e o venturi produzem diferenciais de pressão proporcionais ao quadrado da vazão em massa de acordo com a Eq 856 Na prática o tamanho de medidor deve ser escolhido de modo a acomodar a maior vazão esperada Como a relação entre a queda de pressão e a vazão em massa é não linear a faixa de vazões que pode ser medida com precisão é limitada Medidores com uma única garganta geralmente são considerados apenas para vazões na faixa de 41 25 A perda de carga irrecuperável introduzida por um elemento medidor pode ser expressa como uma fração da pressão diferencial Δp através do elemento As perdas de pressão são mostradas como funções da razão de diâmetros na Fig 824 25 Note que o medidor venturi tem uma perda de carga permanente muito menor do que a da placa de orifício que tem a maior perda ou do que a do bocal em conformidade com as tendências resumidas na Tabela 86 Elemento de Escoamento Laminar O elemento de escoamento laminar3 é projetado para produzir um diferencial de pressão diretamente proporcional à vazão A ideia é que o elemento de escoamento laminar LFE de Laminar Flow Element contenha uma seção medidora na qual o escoamento passa através de um grande número de tubos ou passagens semelhantes a uma estrutura tubular de canudos estreitas o suficiente para que o escoamento interno seja laminar independentemente das condições do escamento no tubo principal lembrese de que Retubo ρVtubo Dtuboμ de modo que Dtubo deve ser pequeno o suficiente para assegurar que Retubo Recrit 2300 Para cada tubo com escoamento laminar podemos aplicar os resultados da Seção 83 especificamente Fig 824 Perda de carga permanente produzida por vários elementos medidores de vazão 25 de modo que a vazão em cada tubo é uma função linear da queda de pressão através do equipamento A vazão total será a soma das vazões de cada um desses tubos e será também uma função linear da queda de pressão Normalmente esta relação linear é fornecida pelo fabricante após calibração do elemento e o LFE pode ser usado em uma faixa de vazões de 101 A relação entre a queda de pressão e a vazão para escoamento laminar também depende da viscosidade que é uma forte função da temperatura Portanto a temperatura do fluido deve ser conhecida para que uma medição precisa seja obtida com um LFE Um elemento de escoamento laminar custa aproximadamente tanto quanto um venturi porém é muito menor e muito mais leve Por isso o LFE está sendo muito usado em aplicações onde compacidade e faixa estendida de vazão são importantes Exemplo 812 ESCOAMENTO ATRAVÉS DE UMA PLACA DE ORIFÍCIO Uma vazão de ar de 1 m3s na condiçãopadrão é esperada em um duto de 025 m de diâmetro Uma placa de orifício é usada para medir a vazão O manômetro disponível para a medição tem alcance máximo de 300 mm de água Que diâmetro de orifício deve ser empregado com tomadas de canto Analise a perda de carga para uma área de escoamento na vena contracta A2 065 At Compare com os dados da Fig 824 Dados Escoamento através de um duto com placa de orifício conforme mostrado Determinar a Dt b A perda de carga entre as seções e c O grau de concordância com os dados da Fig 824 Solução A placa de orifício pode ser projetada usando a Eq 856 e os dados da Fig 821 Equação básica Considerações 1 Escoamento permanente 2 Escoamento incompressível Como AtA1 DtD12 β2 ou Como K é uma função de β Eq 1 e de ReD1 Fig 821 devemos promover iterações para determinar β O número de Reynolds no duto é Façamos β 075 Da Fig 821 K deve ser 072 Da Eq 1 Assim nossa estimativa para β é grande demais Façamos β 070 Da Fig 821 K deve ser 069 Da Eq 1 Assim a nossa estimativa para β ainda é grande demais Façamos β 065 Da Fig 821 K deve ser 067 Da Eq 1 Existe concordância satisfatória com β 066 e Para avaliar a perda de carga permanente para este dispositivo nós poderíamos simplesmente usar a razão de diâmetros β 066 na Fig 824 mas em vez disso faremos a determinação a partir dos dados disponíveis Para avaliar a perda de carga permanente aplique a Eq 829 entre as seções e Equação básica Considerações 3 α1 α3 4 Δz desprezível Então A Eq 2 indica a nossa aproximação encontraremos p1 p3 fazendo p1 p2 300 mm H2O máxima pressão diferencial permitida na placa e obtendo um valor para p3 p2 a partir da componente x da equação da quantidade de movimento para um volume de controle entre as seções e Equação básica Considerações 5 FBx 0 6 Escoamento uniforme nas seções e 7 Pressão uniforme através do duto nas seções e 8 Força de atrito desprezível sobre o VC Assim simplificando e rearranjando p2 p3A1 u2ρ 2A2 u3ρ 3A3 u3 u2ρQ 3 2ρQ ou Mas 3 QA1 e ou A razão de diâmetros β foi selecionada para dar deflexão máxima no manômetro na vazão máxima Portanto Substituindo na Eq 2 obtemos Para comparação com a Fig 824 expresse a perda de carga permanente como uma fração do diferencial do medidor A fração da Fig 824 é cerca de 057 Isto é uma concordância satisfatória Este problema ilustra cálculos de medidor de vazão e mostra a utilização da equação da quantidade de movimento para calcular o aumento de pressão em uma expansão súbita 811 Medidores de Vazão Lineares A desvantagem de medidores de vazão de restrição de área exceto o LFE é que a saída medida Δp não é linear Vários tipos de medidores produzem saídas que são diretamente proporcionais à vazão Estes medidores produzem sinais sem a necessidade de medir a pressão diferencial Os medidores de vazão lineares mais comuns são discutidos brevemente nos parágrafos seguintes Medidores de área variável ou de flutuador podem ser empregados para indicar diretamente a vazão de líquidos e gases Um exemplo é mostrado na Fig 825 Em operação a bola ou outro flutuador é carregado para cima dentro do tubo cônico transparente pelo fluido em escoamento até que a força de arrasto e o peso do flutuador se equilibrem Tais medidores denominados rotâmetros no comércio são disponíveis com calibração de fábrica para diversos fluidos comuns e faixas de vazão variadas Um rotor com palhetas livre para girar pode ser montado em uma seção cilíndrica de um tubo Fig 826 constituindo um medidor de turbina Com um projeto apropriado a taxa de rotação do rotor pode ser feita aproximadamente proporcional à vazão em volume em uma ampla faixa A velocidade de rotação da turbina pode ser medida usando um detector magnético ou modulado externo ao medidor Este tipo de sensor de medida não requer assim penetrações ou selos no duto Desse modo os medidores de turbina podem ser empregados com segurança na medição de vazões de fluidos corrosivos ou tóxicos O sinal elétrico pode ser visualizado registrado ou integrado para fornecer informações completas do escoamento Fig 825 Medidor de vazão do tipo área variável com flutuador rotâmetro Cortesia de Dwyer Instrument Co Michigan City Indiana Fig 826 Medidor de vazão de turbina Cortesia da Potter Aeronautical Corp Union New Jersey Um interessante dispositivo é o medidor de vazão de vórtice Este dispositivo de medição tira vantagem do fato de que um escoamento uniforme gera uma trilha de vórtices quando encontra um corpo rombudo tal como um cilindro perpendicular ao escoamento Uma trilha de vórtices é uma série de esteiras alternadas de vórtices a partir da traseira do corpo a alternância gera força oscilatória e portanto oscilação do cilindro o exemplo clássico do cantar das linhas de telefonia sob ventos fortes O grupo adimensional que caracteriza este fenômeno é o número de Strouhal St fLV f é a frequência da esteira de vórtices L é o diâmetro do cilindro e V é a velocidade da corrente livre que é aproximadamente constante St 021 Desse modo temos um dispositivo para o qual V f Medições de f indicam então diretamente a velocidade entretanto como o perfil de velocidade não afeta a frequência de formação da esteira é necessário calibrar o instrumento O cilindro usado em um medidor de vazão de vórtice é em geral bem pequeno 10 mm de comprimento ou menos e é posicionado perpendicular ao escoamento e para alguns medidores não é exatamente um cilindro mas algum outro pequeno objeto rombudo A oscilação pode ser medida por um strain gage ou outro sensor Os medidores de vórtice podem ser usados em uma faixa de vazões de 201 25 O medidor de vazão eletromagnético utiliza o princípio da indução magnética Um campo magnético é criado transversalmente ao tubo Quando um fluido condutor passa através do campo uma tensão elétrica é gerada em ângulos retos em relação aos vetores de velocidade e de campo Eletrodos colocados diametralmente opostos são usados para detectar o sinal de tensão resultante O sinal de tensão é proporcional à velocidade média axial quando o perfil é axissimétrico Os medidores de vazão magnéticos podem ser usados com líquidos que têm condutividade elétrica acima de 100 microsiemens por metro 1 siemen 1 ampere por volt A velocidade mínima de escoamento deve ser superior a 03 ms mas não há restrições quanto ao número de Reynolds A faixa de vazões normalmente mencionada é de 101 25 Os medidores de vazão ultrassônicos também respondem à velocidade média em uma seção transversal de um tubo Dois tipos principais de medidores ultrassônicos são comuns o tempo de propagação é medido para líquidos limpos e o desvio da frequência de reflexão efeito Doppler é medido para fluidos transportando particulados A velocidade de uma onda acústica aumenta no sentido do escoamento e decresce quando transmitida contra o escoamento Para líquidos limpos uma trajetória acústica inclinada em relação ao eixo do tubo é usada para inferir a velocidade do escoamento Trajetórias múltiplas são usadas para avaliar a vazão em volume com precisão Os medidores ultrassônicos de efeito Doppler dependem da reflexão das ondas sonoras na faixa de MHz em partículas espalhadas no fluido Quando as partículas se movem à velocidade do escoamento o desvio da frequência é proporcional à velocidade do fluido para uma trajetória adequadamente escolhida o sinal de saída é proporcional à vazão em volume Um ou dois transdutores podem ser usados e o medidor pode ser fixado na parte externa do tubo Os medidores ultrassônicos podem requerer calibração no local de instalação A faixa de vazões é de 101 25 812 Métodos Transversos Em situações como no manuseio de ar ou de equipamentos de refrigeração pode ser impraticável ou mesmo impossível instalar medidores de vazão fixos Em tais casos é possível obter dados de vazão utilizando técnicas denominadas transversas Para fazer uma medição de vazão pelo método transverso a seção transversal do duto é teoricamente subdividida em segmentos de áreas iguais A velocidade é medida no centro de área de cada segmento por meio de um tubo de Pitot um tubo de carga pressão total ou um anemômetro adequado A vazão em volume para cada segmento é aproximada pelo produto da velocidade medida e a área do segmento A vazão total no duto é a soma dessas vazões segmentais Detalhes dos procedimentos recomendados para medições de vazão por esse método são dados em 27 VÍDEO Visualização de Escoamento Fluorescência Induzida a Laser em inglês VÍDEO Laser Doppler Anemometria Animação em inglês O emprego do pitot ou pitotestático para medições transversas requer acesso direto ao campo de escoamento Tubos de Pitot dão resultados incertos quando gradientes de pressão ou curvaturas de linha de corrente estão presentes além disso seus tempos de resposta são grandes Dois tipos de anemômetros anemômetros térmicos e anemômetros de laser Doppler LDAs de LaserDoppler Anemometers superam essas dificuldades parcialmente embora eles introduzam novas complicações Os anemômetros térmicos usam elementos diminutos elementos de fioquente ou de filmequente que são aquecidos eletricamente Circuitos eletrônicos sofisticados de retroalimentação são usados para manter a temperatura do elemento constante e para medir a taxa de aquecimento necessária para manter a temperatura A taxa de aquecimento é relacionada com a velocidade local do escoamento por calibração A vantagem principal dos anemômetros térmicos é o pequeno tamanho do elemento sensor Sensores tão pequenos quanto 0002 mm de diâmetro e 01 mm de comprimento estão disponíveis comercialmente Como a massa térmica desses elementos é extremamente pequena sua resposta a flutuações na velocidade do escoamento é muito rápida Frequências de resposta de até 50 kHz têm sido mencionadas 28 Dessa forma os anemômetros térmicos são ideais para medições de quantidades turbulentas Revestimentos isolantes podem ser aplicados para permitir seu emprego em gases e líquidos corrosivos ou condutores Por causa da sua resposta rápida e do seu tamanho reduzido os anemômetros térmicos são usados extensivamente em trabalhos de pesquisa Inúmeros esquemas têm sido publicados para tratamento dos dados resultantes 29 Técnicas de processamento digital incluindo transformações rápidas de Fourier podem ser aplicadas aos sinais para obter momentos e valores médios e para analisar conteúdo de frequência e correlações O emprego dos anemômetros de laserDoppler está sendo largamente difundido em aplicações especiais onde o acesso físico direto ao campo de escoamento é difícil ou até mesmo impossível Um ou mais raios laser são focalizados em um pequeno volume no escoamento no local de interesse como mostrado na Fig 827 A luz laser é espalhada pelas partículas presentes no escoamento poeira ou particulados ou introduzidas no escoamento para essa finalidade Um desvio na frequência é causado pela velocidade do escoamento local efeito Doppler A luz espalhada e um raio de referência são coletados por receptores ópticos O desvio de frequência é proporcional à velocidade do escoamento esta relação pode ser calculada de modo que não há necessidade de calibração Como a velocidade é medida diretamente o sinal não é afetado por variações de temperatura massa específica ou composição no campo de escoamento As principais desvantagens dos LDAs são o alto custo e a fragilidade do equipamento óptico e a necessidade de um alinhamento extremamente cuidadoso como os autores podem atestar Fig 827 Um Anemômetro de Laser Doppler de Sonda de Volume com duas componentes Cortesia Dr Frank W Chambers Oklahoma State University Esta denominação é em homenagem a Maurice Marie Alfred Couette que foi um professor de física da Universidade de Angers na França no final do Século XIX NT 1Os termos de tensão de Reynolds surgem da consideração das equações completas de movimento para escoamento turbulento 4 2O fator de atrito definido pela Eq 834 é o fator de atrito de Darcy O fator de atrito de Fanning menos usado que o de Darcy é definido no Problema 895 Esta seção pode ser omitida sem perda de continuidade no material do texto 3Patenteado e manufaturado por Meriam Instrument Co 10920 Madison Ave Cleveland Ohio 44102 813 Resumo e Equações Úteis Neste capítulo nós Definimos muitos termos usados no estudo do escoamento interno viscoso incompressível tais como comprimento de entrada escoamento completamente desenvolvido velocidade de atrito tensão de Reynolds coeficiente de energia cinética fator de atrito perdas maiores e menores e diâmetro hidráulico Analisamos o escoamento laminar entre placas paralelas e em tubos e observamos que a distribuição de velocidade pode ser obtida analiticamente e a partir dela pode deduzirse a velocidade média a velocidade máxima e sua localização a vazão a tensão de cisalhamento de parede e a distribuição de tensão de cisalhamento Estudamos o escoamento turbulento em dutos e tubos e aprendemos que aproximações semiempíricas são necessárias como por exemplo o perfil de lei de potência Escrevemos a equação de energia em uma forma útil para analisar escoamento em tubo Discutimos como incorporar bombas ventiladores e sopradores em uma análise de escoamento em tubo Descrevemos vários dispositivos de medição de vazão medição direta elementos de restrição placa de orifício bocal e venturi medidores lineares rotâmetros vários dispositivos acústicos ou eletromagnéticos e medidor de vórtice e dispositivos de medição transversa tubos de Pitot anemômetros térmicos e a laserDoppler Aprendemos que problemas de escoamentos em tubos e dutos são resolvidos em geral por procedimentos iterativos a vazão Q não é uma função linear da força motriz usualmente Δp exceto para escoamentos laminares que não são comuns na prática Nós também vimos que redes de tubo podem ser analisadas usando as mesmas técnicas como para um sistema simples de um tubo com a adição de regras básicas Vimos que na prática um programa de computador tal como Excel é necessário para resolver mais facilmente uma rede de tubos Nota A maior parte das Equações Úteis na tabela a seguir possui determinadas restrições ou limitações para usálas com segurança verifique os detalhes no capítulo conforme numeração de referência Equações Úteis Perfil de velocidade para escoamento laminar com gradiente de pressão entre placas estacionárias e paralelas 85 Vazão volumétrica para escoamento laminar com gradiente de pressão entre placas estacionárias e paralelas 86c Perfil de velocidade para escoamento laminar com gradiente de pressão entre placas estacionárias e paralelas coordenadas centralizadas 87 Perfil de velocidade para escoamento laminar com gradiente de pressão entre placas estacionárias e paralelas placa superior em movimento 88 Vazão volumétrica para escoamento laminar com gradiente de pressão entre placas estacionárias e paralelas placa superior em movimento 89b Perfil de velocidade para escoamento laminar em um tubo 812 Vazão volumétrica para escoamento laminar em um tubo 813c Perfil de velocidade para escoamento laminar em um tubo forma normalizada 814 Perfil de velocidade para escoamento turbulento em um tubo liso equação de lei de potência 822 Equação de perda de carga 829 Equação de perda de carga maior 834 Fator de atrito escoamento laminar 836 Fator de atrito escoamento turbulento equação de Colebrook 837 Perda menor usando o coeficiente K 840a Perda menor usando o comprimento equivalente Le 840b Coeficiente de recuperação de pressão de difusores 841 Coeficiente de recuperação de pressão de difusores ideais 842 Perda de carga em difusores em termos de coeficientes de recuperação de pressão 844 Trabalho de bomba bomba QΔpbomba 847 Eficiência de bomba 848 Diâmetro hidráulico 850 Equação da vazão mássica para um medidor em termos do coeficiente de descarga C 854 Equação da vazão mássica para um medidor em termos do coeficiente de vazão K 856 Coeficiente de descarga como uma função de Re 857 Coeficiente de vazão como uma função de Re 858 Referências 1 Streeter V L ed Handbook of Fluid Dynamics New York McGrawHill 1961 2 Rouse H and S Ince History of Hydraulics New York Dover 1957 3 Moin P and J Kim Tackling Turbulence with Supercomputers Scientific American 276 1 January 1997 pp 6268 4 Panton R L Incompressible Flow 2nd ed New York Wiley 1996 5 Laufer J The Structure of Turbulence in Fully Developed Pipe Flow US National Advisory Committee for Aeronautics NACA Technical Report 1174 1954 6 Tennekes H and J L Lumley A First Course in Turbulence Cambridge MA The MIT Press 1972 7 Hinze J O Turbulence 2nd ed New York McGrawHill 1975 8 Moody L F Friction Factors for Pipe Flow Transactions of the ASME 66 8 November 1944 pp 671684 9 Colebrook C F Turbulent Flow in Pipes with Particular Reference to the Transition Region between the Smooth and Rough Pipe Laws Journal of the Institution of Civil Engineers London 11 193839 pp 133156 10 Haaland S E Simple and Explicit Formulas for the Friction Factor in Turbulent Flow Transactions of ASME Journal of Fluids Engineering 103 1983 pp 8990 11 Flow of Fluids Through Valves Fittings and Pipe New York Crane Company Technical Paper No 410 1982 12 ASHRAE HandbookFundamentals Atlanta GA American Society of Heating Refrigerating and Air Conditioning Engineers Inc 1981 13 Cockrell D J and C I Bradley The Response of Diffusers to Flow Conditions at Their Inlet Paper No 5 Symposium on Internal Flows University of Salford Salford England April 1971 pp A32A41 14 Sovran G and E D Klomp Experimentally Determined Optimum Geometries for Rectilinear Diffusers with Rectangular Conical or Annular CrossSections in Fluid Mechanics of Internal Flows G Sovran ed Amsterdam Elsevier 1967 15 Feiereisen W J R W Fox and A T McDonald An Experimental Investigation of Incompressible Flow Without Swirl in R Radial Diffusers Proceedings Second International Japan Society of Mechanical Engineers Symposium on Fluid Machinery and Fluidics Tokyo Japan September 49 1972 pp 8190 16 McDonald A T and R W Fox An Experimental Investigation of Incompressible Flow in Conical Diffusers International Journal of Mechanical Sciences 8 2 February 1966 pp 125139 17 Runstadler P W Jr Diffuser Data Book Hanover NH Creare Inc Technical Note 186 1975 18 Reneau L R J P Johnston and S J Kline Performance and Design of Straight TwoDimensional Diffusers Transactions of the ASME Journal of Basic Engineering 89D 1 March 1967 pp 141150 19 Aerospace Applied Thermodynamics Manual New York Society of Automotive Engineers 1969 20 Daily J W and D R F Harleman Fluid Dynamics Reading MA AddisonWesley 1966 21 White F M Fluid Mechanics 6th ed New York McGrawHill 2007 22 Hamilton J B The Suppression of Intake Losses by Various Degrees of Rounding University of Washington Seattle WA Experiment Station Bulletin 51 1929 23 Herschel C The Two Books on the Water Supply of the City of Rome from Sextus Julius Frontinus ca 40103 AD Boston 1899 24 Lam C F and M L Wolla Computer Analysis of Water Distribution Systems Part 1 Formulation of Equations Proceedings of the ASCE Journal of the Hydraulics Division 98 HY2 February 1972 pp 335344 25 Miller R W Flow Measurement Engineering Handbook 3rd ed New York McGraw Hill 1996 26 Bean H S ed Fluid Meters Their Theory and Application New York American Society of Mechanical Engineers 1971 27 ISO 7145 Determination of Flowrate of Fluids in Closed Conduits or Circular Cross SectionsMethod of Velocity Determination at One Point in the Cross Section ISO UDC 5325708225532542 1st ed Geneva International Standards Organization 1982 28 Goldstein R J ed Fluid Mechanics Measurements 2nd ed Washington DC Taylor Francis 1996 29 Bruun H H HotWire AnemometryPrinciples and Signal Analysis New York Oxford University Press 1995 30 Bruus H Theoretical Microfluidics Oxford University Press 2007 31 Swamee P K and A K Jain Explicit Equations for PipeFlow Problems Proceedings of the ASCE Journal of the Hydraulics Division 102 HY5 May 1976 pp 657664 32 Potter M C and J F Foss Fluid Mechanics New York Ronald 1975 Estudo de Caso As Fontes do Bellagio em Las Vegas As Fontes do Bellagio em Las Vegas Qualquer visitante em Las Vegas reconhecerá as fontes de água no hotel Bellagio Elas são constituídas de uma sequência coreográfica de jatos de água de alta potência criados e construídos pela Companhia de Projeto WET de maneira que a intensidade e a direção dos jatos variam de acordo com as peças de músicas selecionadas A companhia WET desenvolveu muitas inovações para fabricar este sistema As fontes tradicionais usam bombas e tubos que devem ser combinados para gerar escoamentos otimizados um dos tópicos discutidos neste capítulo Muitos dos projetos da WET usaram ar comprimido em vez de bombas de água permitindo que a energia seja continuamente gerada e acumulada ficando pronta para uso instantâneo Esse uso original do ar comprimido permitiu que as fontes se transformassem em uma realidade com o sistema tradicional de tubos e bombas uma fonte tal como a do Bellagio seria impraticável e onerosa Por exemplo seria difícil obter as alturas de 73 m nas fontes sem usar bombas de água muito caras grandes e barulhentas O Pulo do Gato do projeto da WET consistiu em introduzir uma grande bolha de ar comprimido na tubulação forçando a água coletada através de um bocal de alta pressão Os sistemas instalados no Bellagio são capazes de disparar até 75 galões de água por segundo a uma altura de 73 m no ar Além de obter um efeito espetacular esses sistemas consomem apenas um décimo da energia de bombas tradicionais para produzir o mesmo efeito Outros dispositivos de ar comprimido produzem jatos pulsantes de água alcançando uma altura máxima de 38 m Além de toda essa potência as inovações permitiram reduzir em 80 ou mais os custos de energia e o custo de construção do projeto é cerca de 50 menor que o de fontes tradicionais com tubos e bombas Problemas Escoamento Laminar versus Turbulento 81 Ar a 100C entra em um duto circular de diâmetro 125 mm Encontre a vazão volumétrica na qual o escoamento tornase turbulento Para essa vazão estime o comprimento de entrada necessário para estabelecer escoamento completamente desenvolvido 82 Considere um escoamento incompressível em um duto circular Deduza expressões gerais para o número de Reynolds em termos de a vazão volumétrica e diâmetro do tubo b vazão mássica e diâmetro do tubo O número de Reynolds é 1800 em uma seção onde o diâmetro do tubo é 10 mm Encontre o número de Reynolds para a mesma vazão em uma seção onde o diâmetro do tubo é 6 mm 83 Ar a 40C escoa em um sistema de tubos em que o diâmetro é reduzido em dois estágios de 25 mm para 15 mm e para 10 mm Cada seção tem 2 m de comprimento À medida que a vazão é aumentada em qual seção o escoamento tornarseá turbulento primeiro Determine as vazões nas quais uma duas e em seguida as três seções tornamse turbulentas em primeira instância Para cada uma destas vazões determine quais seções se existir alguma atingirão escoamento completamente desenvolvido 84 Para escoamento em tubos circulares a transição para escoamento turbulento ocorre usualmente em torno de Re 2300 Investigue as condições sob as quais os escoamentos de a arpadrão e b água a 15C tornamse turbulentos Em um gráfico loglog trace a velocidade média a vazão volumétrica e a vazão mássica para as quais a turbulência ocorre em primeira instância como funções do diâmetro do tubo Escoamento Laminar entre Placas Paralelas 85 Para o escoamento laminar na seção de tubo mostrada na Fig 81 trace a tensão de cisalhamento de parede a pressão e a velocidade na linha de centro como funções da distância ao longo do tubo Explique as características significativas dos gráficos comparandoos com o escoamento completamente desenvolvido Pode a equação de Bernoulli ser aplicada em alguma parte do campo de escoamento Se afirmativo onde Explique brevemente 86 Um fluido incompressível escoa entre duas placas paralelas estacionárias infinitas O perfil de velocidade é dado por umáx Ay2 By C na qual A B e C são constantes e y é a distância medida para cima a partir da placa inferior O espaçamento entre as placas é h Use condições de contorno apropriadas para expressar o módulo e as unidades SI das constantes em termos de h Desenvolva uma expressão para a vazão em volume por unidade de profundidade e avalie a razão umáx 87 O perfil de velocidade para escoamento completamente desenvolvido entre placas planas paralelas estacionadas é dado por u ah24 y2 na qual a é uma constante h é o espaçamento entre as placas e y é a distância medida a partir da linha de centro da folga Desenvolva a razão umáx 88 Um fluido escoa em regime permanente entre duas placas paralelas O escoamento é completamente desenvolvido e laminar A distância entre as placas é h a Deduza uma equação para a tensão de cisalhamento como uma função de y Trace um gráfico dessa função b Para μ 115 Nsm2 px 58 Pam e h 13 mm calcule a máxima tensão de cisalhamento em Pa 89 Óleo está confinado em um cilindro de 100 mm diâmetro por um pistão que possui uma folga radial de 0025 mm e um comprimento de 50 mm Uma força constante de 20000 N é aplicada ao pistão Use as propriedades do óleo SAE 30 a 49C Estime a taxa à qual o óleo vaza pelo pistão 810 Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas estacionárias O escoamento é laminar e completamente desenvolvido O espaçamento entre as placas é h 5 mm A viscosidade do óleo é 05 N sm2 e o gradiente de pressão é 1000 Nm2m Determine o módulo e o sentido da tensão de cisalhamento sobre a placa superior e a vazão volumétrica através do canal por metro de largura 811 Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas O escoamento é laminar e completamente desenvolvido O gradiente de pressão é 125 kPam e a meiaaltura do canal é h 15 mm Calcule o módulo e o sentido da tensão de cisalhamento na superfície da placa superior Determine a vazão em volume através do canal μ 050 N sm2 812 Uma grande massa é suportada por um pistão de diâmetro D 100 mm e comprimento L 100 mm O pistão está assentado em um cilindro fechado no fundo A folga a 0025 mm entre a parede do cilindro e o pistão é preenchida com óleo SAE 10 a 20C O pistão desliza lentamente devido ao peso da massa e o óleo é forçado a sair à taxa de 6106 m3s Qual é o valor da massa em kg 813 Uma alta pressão em um sistema é criada por um pequeno conjunto pistãocilindro O diâmetro do pistão é 6 mm e ele penetra 50 mm no cilindro A folga radial entre o pistão e o cilindro é 0002 mm Despreze deformações elásticas do pistão e do cilindro causadas pela pressão Considere que as propriedades do fluido são aquelas do óleo SAE 10W a 35C Estime a taxa de vazamento para uma pressão no cilindro de 600 MPa 814 Um macaco hidráulico suporta uma carga de 9000 kg Os seguintes dados estão disponíveis Diâmetro do pistão 100 mm Folga radial entre o pistão e o cilindro 005 mm Comprimento do pistão 120 mm Estime a taxa de vazamento de fluido hidráulico pelo pistão admitindo que o fluido seja óleo SAE 30 a 30ºC 815 Um mancal hidrostático deve suportar uma carga de 50000 Nm por pé de comprimento perpendicular ao diagrama O mancal é alimentado com óleo SAE 10 W 30 a 35C e 700 kPa através do rasgo central Como o óleo é viscoso e a folga é estreita o escoamento na folga pode ser considerado completamente desenvolvido Calcule a a largura requerida para a plataforma do mancal b o gradiente de pressão resultante dpdx e c a altura h da folga se Q 1 mLminm 816 O componente básico de um aparelho de teste de manômetros consiste de um dispositivo pistãocilindro conforme mostrado O pistão de 6 mm de diâmetro é carregado de modo a desenvolver uma pressão de módulo conhecido O comprimento do pistão é 25 mm Calcule a massa M requerida para produzir 15 MPa manométrica no cilindro Determine a taxa de vazamento como uma função da folga radial a para essa carga se o líquido for óleo SAE 30 a 20C Especifique a máxima folga radial admissível de modo que o movimento vertical do pistão devido ao vazamento seja inferior a 1 mmmin 817 Na Seção 82 nós deduzimos o perfil de velocidades entre placas paralelas Eq 85 usando um volume de controle diferencial Em vez disso seguindo o procedimento que nós usamos no Exemplo 59 deduza a Eq 85 partindo das equações de NavierStokes Eqs 527 Assegurese de fazer todas as considerações necessárias para a dedução 818 Considere o modelo simples de lei de potência para um fluido não newtoniano dado pela Eq 216 Estenda a análise da Seção 82 para mostrar que o perfil de velocidade da lei potência para escoamento laminar completamente desenvolvido de um fluido entre placas paralelas separadas pela distância 2h pode ser escrito em que y é a coordenada medida a partir da linha de centro do canal Trace um gráfico dos perfis uUmáx versus yh para n 07 10 e 13 819 Líquido viscoso com vazão volumétrica Q é bombeado através da abertura central para dentro da folga estreita entre os discos paralelos mostrados A vazão é baixa de modo que o escoamento é laminar e o gradiente de pressão devido à aceleração convectiva na folga é desprezível comparado com o gradiente causado pelas forças viscosas isto é chamado escoamento de arrasto ou creeping flow Obtenha uma expressão geral para a variação da velocidade média no espaço entre os discos Para escoamento de arrasto o perfil de velocidade em qualquer seção transversal na folga é o mesmo que para escoamento completamente desenvolvido entre placas paralelas estacionárias Avalie o gradiente de pressão dpdr como uma função do raio Obtenha uma expressão para pr Mostre que a força líquida requerida para manter a placa superior na posição mostrada é 820 Um mancal de deslizamento selado é formado por cilindros concêntricos O raio interno e o externo são 25 e 26 mm respectivamente o comprimento do mancal é 100 mm e ele gira a 2800 rpm A folga radial é preenchida com óleo em movimento laminar O perfil de velocidade é linear através da folga O torque necessário para girar o cilindro interno é 02 N m Calcule a viscosidade do óleo O torque aumentará ou diminuirá com o tempo Por quê 821 Usando o perfil do Problema 818 mostre que a vazão obtida a partir da lei de potência para escoamento laminar completamente desenvolvido de um fluido entre placas planas paralelas pode ser escrita como Aqui w é a largura da placa Em uma montagem experimental os seguintes dados foram obtidos para a diferença de pressão Δp e a vazão Q Δp kPa 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Q Lmin 0451 0759 101 115 141 157 166 185 205 225 Determine se o fluido é pseudoplástico ou dilatante e obtenha um valor experimental para n 822 Considere o escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas espaçadas de d 10 mm A placa superior se move para a direita com velocidade U2 05 ms a placa inferior se move para a esquerda com velocidade U1 025 ms O gradiente de pressão no sentido do escoamento é zero Desenvolva uma expressão para a distribuição de velocidade na folga Determine a vazão volumétrica por unidade de largura m³sm que passa por uma dada seção transversal 823 Água a 60C escoa para a direita entre duas grandes placas planas A placa inferior se move para a esquerda com velocidade de 03 ms a placa superior está parada O espaçamento entre as placas é 3 mm e o escoamento é laminar Determine o gradiente de pressão necessário para produzir vazão resultante zero em uma seção transversal 824 Dois fluidos imiscíveis estão contidos entre placas paralelas infinitas As placas estão separadas pela distância 2h e as duas camadas de fluidos têm a mesma espessura h 5 mm A viscosidade dinâmica do fluido superior é quatro vezes aquela do fluido inferior que é μinferior 01 N sm2 Se as placas são estacionárias e o gradiente de pressão aplicado for 50 kPam encontre a velocidade na interface Qual é a velocidade máxima no escoamento Trace um gráfico da distribuição de velocidade 825 Dois fluidos imiscíveis estão contidos entre placas paralelas infinitas As placas estão separadas pela distância 2h e as duas camadas de fluidos têm espessuras iguais h a viscosidade dinâmica do fluido superior é três vezes aquela do fluido inferior Se a placa inferior é estacionária e a placa superior se move com velocidade constante U 61 ms qual é a velocidade na interface Admita escoamentos laminares e que o gradiente de pressão na direção do escoamento é zero 826 A cabeça de leituragravação do disco rígido de um computador flutua acima do disco giratório sobre uma delgada camada de ar a espessura do filme de ar é 025 μm A cabeça está a 25 mm da linha de centro do disco o disco gira a 8500 rpm A cabeça de leituragravação é quadrada com 5 mm de lado Para arpadrão no espaço entre a cabeça e o disco determine a o número de Reynolds do escoamento b a tensão de cisalhamento viscoso e c a potência requerida para superar o cisalhamento viscoso 827 O perfil adimensional de velocidade para escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas com a placa superior se movendo com velocidade constante U é mostrado na Fig 86 Determine os gradientes de pressão px em termos de U a e μ para os quais a a placa superior e b a placa inferior experimentam tensão de cisalhamento zero Trace um gráfico dos perfis de velocidade adimensional para estes casos 828 Considere o escoamento laminar permanente completamente desenvolvido de um fluido viscoso para baixo sobre uma superfície inclinada A camada de líquido tem espessura constante h Utilize um volume de controle diferencial escolhido convenientemente para obter o perfil de velocidade Desenvolva uma expressão para a vazão volumétrica 829 Considere o escoamento laminar permanente completamente desenvolvido de um líquido viscoso para baixo sobre uma superfície inclinada sem gradiente de pressão O perfil de velocidade foi deduzido no Exemplo 59 Trace o perfil de velocidade Calcule a viscosidade cinemática do líquido se a espessura do filme com inclinação de 30 for 08 mm e a velocidade máxima 157 mms 830 Dois líquidos imiscíveis de mesma massa específica estão escoando para baixo sobre uma superfície inclinada de 60 em relação à horizontal As duas camadas de fluidos têm a mesma espessura h 10 mm a viscosidade cinemática do fluido superior é um quinto daquela do fluido inferior que é νinferior 001 m2s Determine a velocidade na interface e a velocidade na superfície livre Faça um gráfico da distribuição de velocidade 831 A distribuição de velocidade em uma fina película de fluido escoando para baixo sobre uma superfície inclinada foi desenvolvida no Exemplo 59 Considere um filme de 7 mm de espessura de um líquido com SG 12 e viscosidade dinâmica de 160 N sm2 Deduza uma expressão para a distribuição da tensão de cisalhamento dentro da película Calcule a máxima tensão cisalhamento dentro da película e indique seu sentido Avalie a vazão volumétrica no filme em mm3s por milímetro de largura da superfície Calcule o número de Reynolds baseado na velocidade média 832 Considere o escoamento completamente desenvolvido entre placas paralelas com a placa superior movendo a U 15 ms o espaçamento entre as placas é a 25 mm Determine a vazão em volume por unidade de profundidade para o caso de gradiente de pressão zero Se o fluido for ar avalie a tensão de cisalhamento sobre a placa inferior e trace a distribuição de tensão de cisalhamento através do canal para o caso de gradiente de pressão zero A vazão aumentará ou diminuirá se o gradiente de pressão for adverso Determine o gradiente de pressão que dará tensão de cisalhamento zero em y 025a Trace o gráfico da distribuição de tensão de cisalhamento em uma seção do canal para o último caso 833 Glicerina a 15C escoa entre placas paralelas com espaçamento b 25 mm entre elas A placa superior move com velocidade U 06 ms no sentido positivo de x O gradiente de pressão é px 1150 kPam Localize o ponto de velocidade máxima e determine a seu módulo faça y 0 na placa inferior Determine o volume de glicerina m² que passa por uma dada seção transversal x constante em l0 s Trace gráficos das distribuições de velocidade e de tensão de cisalhamento 834 O perfil de velocidade para escoamento completamente desenvolvido de óleo castor a 20C entre placas paralelas com a placa superior em movimento é dado pela Eq 88 Considere U 15 ms e a 5 mm Determine o gradiente de pressão para o qual não há vazão resultante na direção x Trace um gráfico das distribuições esperadas de velocidade e de tensão de cisalhamento em uma seção do canal para este escoamento Para o caso em que u U e ya 05 trace as distribuições esperadas de velocidade e de tensão de cisalhamento no canal Comente sobre as características dos gráficos 835 O perfil de velocidade para escoamento completamente desenvolvido de tetracloreto de carbono a 15C entre placas paralelas espaçamento a 125 mm com a placa superior em movimento é dado pela Eq 88 Considere uma vazão volumétrica por unidade de 315104 m3sm para gradiente de pressão zero Encontre a velocidade U Avalie a tensão de cisalhamento sobre a placa inferior A vazão volumétrica aumentaria ou diminuiria com um ligeiro gradiente adverso de pressão Calcule o gradiente de pressão que dará tensão de cisalhamento zero em ya 025 Esboce a distribuição de tensão de cisalhamento para este caso 836 Ondas de superfície livre começam a formarse sobre uma película laminar de um líquido escoando para baixo sobre uma super fície inclinada sempre que o número de Reynolds baseado na vazão mássica por unidade de largura do filme é maior que 33 aproximadamente Estime a máxima espessura do filme laminar de água que permanece livre de ondas em um escoamento para baixo sobre uma superfície vertical 837 Microcomponentes eletrônicos microchips são suportados por uma fina película de ar sobre uma superfície horizontal durante um estágio do processo de fabricação Os chips têm 117 mm de comprimento 935 mm de largura e massa de 0325 g O filme de ar tem 0125 mm de espessura A velocidade inicial de um chip é V0 175 mms a velocidade do chip diminui como resultado do atrito viscoso no filme de ar Analise o movimento do chip durante a desaceleração de modo a desenvolver uma equação diferencial para a velocidade V do chip como uma função do tempo t Calcule o tempo requerido para o chip perder 5 da sua velocidade inicial Esboce a variação da velocidade do chip versus o tempo durante a desaceleração Explique porque o perfil de variação de velocidade aparenta a forma que você esboçou 838 Uma bomba de arrasto viscoso é feita de um invólucro estacionário com um tambor rotativo bem ajustado no seu interior A folga é pequena comparada com o diâmetro do tambor de modo que o escoamento no espaço anular entre o invólucro e o tambor pode ser tratado como um escoamento entre placas paralelas O fluido é arrastado em volta do anel por forças viscosas Avalie as características de desempenho da bomba de arrasto diferencial de pressão potência requerida e eficiência como funções da vazão volumétrica Considere que a profundidade normal ao diagrama é b 839 A força de fixação de uma peça durante uma operação de torneamento mecânico é causada por óleo de alta pressão suprido por uma bomba O óleo vaza axialmente através de um espaço anular com diâmetro D comprimento L e folga radial a O membro interno do anel gira com velocidade angular ω Potência é requerida tanto para bombear o óleo quanto para vencer a dissipação viscosa no espaço anular Desenvolva expressões em termos da geometria especificada para a potência da bomba e para a potência de dissipação viscosa Mostre que a potência total requerida é minimizada quando a folga radial a é escolhida de forma que 840 A eficiência da bomba de arrasto viscoso da Fig P839 é dada por em que q QabRω é uma vazão adimensional Q é a vazão volumétrica para o diferencial de pressão Δp e b é a profundidade normal ao diagrama Trace um gráfico da eficiência versus a vazão adimensional e determine a vazão para a eficiência máxima Explique porque a eficiência tem picos e porque ela é zero para certos valores de q 841 O projeto de automóveis está tendendo para a tração nas quatro rodas de modo a melhorar o desempenho e a segurança do veículo Um veículo de tração total deve ter um diferencial especial para permitir operação em qualquer estrada Inúmeros veículos estão sendo construídos com um diferencial viscoso constituído de placas múltiplas contendo fluido viscoso entre elas Faça a análise e o projeto necessários para definir o torque transmitido pelo diferencial para uma dada diferença de velocidade em termos dos parâmetros de projeto Identifique dimensões adequadas para o diferencial viscoso discos paralelos rotativos transmitir um torque de 150 N m com uma perda de velocidade de 125 rpm usando um lubrificante com propriedades do óleo SAE 30 Discuta como determinar o custo mínimo de material para o diferencial viscoso se o custo de placa por metro quadrado for constante 842 Um inventor propõe fabricar um cronômetro viscoso colocando um cilindro pesado dentro de outro cilindro ligeiramente maior contendo um líquido viscoso formando assim uma película anular delgada entre os dois cilindros Analise o campo de escoamento criado quando o aparelho é invertido e o cilindro interno começa a deslizar para baixo sob a ação da gravidade Seria este sistema um marcador de tempo satisfatório se afirmativo para qual intervalo de tempo Qual seria o efeito de uma mudança de temperatura sobre o tempo medido 843 Um mancal de deslizamento consiste de um eixo de diâmetro D 35 mm e comprimento L 50 mm momento de inércia I 0125 kg m2 instalado simetricamente em um invólucro estacionário de modo que a folga anular é δ 1 mm O fluido na folga tem viscosidade μ 01 N sm2 Se é dada ao eixo uma velocidade angular inicial ω 500 rpm determine o tempo para que a velocidade do eixo abaixe para 100 rpm Em outro dia um fluido desconhecido foi testado da mesma forma levando 10 minutos para a velocidade passar de 500 rpm para 100 rpm Qual é a sua viscosidade 844 No Exemplo 83 deduzimos o perfil de velocidades para escoamento laminar sobre uma parede vertical usando um volume de controle diferencial Em vez disso seguindo o procedimento que nós usamos no Exemplo 59 deduza o perfil de velocidades partindo das equações de NavierStokes Eqs 527 Assegurese de fazer todas as considerações necessárias para a dedução 845 Uma correia contínua movendo com velocidade U0 para cima através de um banho químico arrasta uma película de líquido de espessura h massa específica ρ e viscosidade μ A gravidade tende a fazer com que o líquido desça mas o movimento da correia impede que ele retorne completamente Admita que o escoamento seja laminar completamente desenvolvido com gradiente de pressão zero e que a atmosfera não produz tensão de cisalhamento na superfície externa da película Enuncie claramente as condições de contorno a serem satisfeitas pela velocidade em y 0 e y h Obtenha uma expressão para o perfil de velocidade 846 Uma película de tinta molhada de espessura uniforme δ está pintada sobre uma parede vertical A tinta molhada pode ser aproximada como um fluido de Bingham com uma tensão de escoamento τy e massa específica ρ Deduza uma expressão para o máximo valor de δ que pode ser sustentado sem que a tinta escorra para baixo na parede Calcule a máxima espessura para tinta de litografia cuja tensão de escoamento é τy 40 Pa e a massa específica é aproximadamente ρ 1000 kgm3 847 Quando lidamos com a lubrificação de rolamentos a equação de governo que descreve a pressão é a equação de Reynolds geralmente escrita em uma dimensão como em que h é a altura do degrau e U é a velocidade da superfície inferior O degrau tem um desenho relativamente simples no qual são usados fluidos de baixa viscosidade como água gasolina e solventes A espessura mínima do filme nessas aplicações é muito pequena A altura do degrau deve ser pequena o suficiente para ter boa capacidade de carga mas grande o suficiente para não ficar depois de algum desgaste liso e plano Usando a equação unidirecional para o movimento do fluido na direção x mostre que a distribuição de pressão no degrau do rolamento é a mostrada no gráfico em que Escoamento Laminar em um Tubo 848 Considere primeiro água e em seguida óleo lubrificante SAE 10W fluindo a 40C em um tubo de 6 mm de diâmetro Determine para cada fluido a máxima vazão e o correspondente gradiente de pressão px para a qual ainda seria esperado escoamento laminar 849 Para escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo determine a distância radial a partir do eixo do tubo na qual a velocidade igualase à velocidade média 850 Usando a Eq A3 no Apêndice A para a viscosidade da água encontre a viscosidade da água a 20C e 120C Trace o gráfico da viscosidade para essa faixa de temperatura Encontre a vazão laminar máxima Lh em um tubo de diâmetro 75 mm para essas temperaturas Trace o gráfico da vazão laminar máxima para essa faixa de temperatura 851 Uma agulha hipodérmica de diâmetro interno d 0127 mm e comprimento L 25 mm é utilizada para injetar uma solução salina com viscosidade cinco vezes a da água O diâmetro do êmbolo é D 10 mm a força máxima que pode ser exercida pelo polegar sobre o êmbolo é F 334 N Estime a vazão em volume de solução salina que a seringa pode produzir 852 Na ciência da engenharia analogias entre fenômenos semelhantes são frequentemente aplicadas Por exemplo a diferença de pressão Δp aplicada e a correspondente vazão Q em um tubo podem ser comparadas respectivamente com a tensão contínua V e a corrente contínua I através de um resistor elétrico Por analogia encontre a fórmula para a resistência do escoamento laminar do fluido de viscosidade μ em um tubo de comprimento L e diâmetro D correspondendo à resistência elétrica R Para um tubo de comprimento 250 mm e diâmetro 75 mm encontre a os valores máximos da vazão e da diferença de pressão para que esta analogia funcione para a querosene e b óleo castor ambos a 40C Quando a vazão excede este máximo porque a analogia falha 853 Considere escoamento laminar completamente desenvolvido no espaço anular entre dois tubos concêntricos O tubo externo é estacionário e o tubo interno move na direção x com velocidade V Considere gradiente axial de pressão zero px 0 Obtenha uma expressão geral para a tensão de cisalhamento τ como uma função do raio r em termos de uma constante C1 Obtenha uma expressão geral para o perfil de velocidade ur em termos de duas constantes C1 e C2 Obtenha expressões para C1 e C2 854 Considere escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo circular Use um volume de controle cilíndrico conforme mostrado Indique as forças que atuam sobre o volume de controle Usando a equação da quantidade de movimento desenvolva uma expressão para a distribuição de velocidade 855 Considere o escoamento laminar completamente desenvolvido no espaço anular formado pelos dois cilindros concêntricos mostrados no diagrama do Problema 853 porém com gradiente de pressão px e o cilindro interno estacionário Seja r0 R e ri kR Mostre que o perfil de velocidade é dado por Obtenha uma expressão para a localização da velocidade máxima como uma função de k Trace um gráfico da localização da velocidade máxima α rR como uma função da razão de raios k Compare o caso limite k 0 com a expressão correspondente para escoamento em um tubo circular 856 Para o escoamento descrito no Problema 855 mostre que a vazão volumétrica é dada por Encontre uma expressão para a velocidade média Compare o caso limite k 0 com a expressão correspondente para escoamento em um tubo circular 857 Foi sugerido no projeto de um sprinkler agrícola que um elemento estrutural fosse mantido fixo por meio de um arame esticado ao longo da linha de centro de um tubo acreditavase que um arame relativamente fino teria pouco efeito sobre a queda de pressão para uma dada vazão Usando o resultado do Problema 856 deduza uma expressão que dê a variação percentual em queda de pressão como uma função da razão entre o diâmetro do arame e o diâmetro do tubo para escoamento laminar Trace um gráfico da variação percentual na queda de pressão como uma função da razão de raios k para 0001 k 010 858 Considere um escoamento completamente desenvolvido em um tubo cilíndrico de raio R e comprimento L 10 mm com o escoamento gerado pela aplicação de um gradiente de pressão Δp Testes foram realizados com água a temperatura ambiente para vários valores de R com uma vazão fixada Q 10 μLmin A resistência hidráulica é definida por Rhid ΔpQ em analogia com a resistência elétrica Relét ΔVI em que ΔV é a queda de potencial elétrico e I é a corrente elétrica Calcule o gradiente de pressão requerido e a resistência para os raios de tubo listados na tabela Baseado no resultado você acha que seria apropriado usar um gradiente de pressão para bombear fluidos em microcanais ou deveria ser usado algum outro tipo de mecanismo de impulsão R mm Δp pa RhidPa sm3 1 101 102 103 104 859 A figura ilustra esquematicamente um difusor cônico que é projetado para aumentar a pressão e diminuir a energia cinética Vamos considerar que o ângulo α seja pequeno α 10 de modo que tg α α e re ri αl em que ri é o raio de entrada do difusor re é o raio na saída e l é o comprimento do difusor O escoamento em um difusor é complexo mas aqui vamos considerar que cada camada do escoamento do fluido no difusor é laminar como em um tubo cilíndrico com seção transversal de área constante Baseado em um raciocínio similar aquele apresentado na Seção 83 a diferença de pressão Δp entre as extremidades de um tubo cilíndrico é em que x é a localização no difusor μ é a viscosidade dinâmica do fluido e Q é a vazão A equação acima é aplicável para escoamentos em um difusor considerando que a força inercial e efeitos de saída são desprezíveis Deduza uma expressão para a resistência hidráulica Rhid ΔpQ do difusor 860 Considere escoamento de sangue em uma artéria O sangue é um fluido não newtoniano a tensão de cisalhamento versus a taxa de cisalhamento é descrita pela relação de Casson em que τc é a tensão de cisalhamento crítica e μ é uma constante que tem a mesma unidade da viscosidade dinâmica A relação de Casson mostra uma relação linear entre e com coeficiente linear e coeficiente angular inclinação A relação de Casson se aproxima do comportamento newtoniano para altos valores da taxa de deformação Deduza o perfil de velocidades para escoamento do sangue em regime permanente e completamente desenvolvido em uma artéria de raio R Deduza uma expressão para a vazão do sangue Calcule a vazão devido a um gradiente de pressão dpdx 100 Pam em uma artéria de raio R 1 mm usando os seguintes dados para o sangue μ 35 cP e τc 005 dinacm2 861 Usando a Eq 216 deduza os perfis de velocidade vazão e velocidade média de um fluido não newtoniano em um tubo circular Para uma vazão Q 1 μLmin e R 1 mm com k tendo valor unitário em unidadespadrões SI compare os gradientes de pressão requeridos para n 05 10 e 15 Que fluido demanda a menor bomba para o mesmo comprimento de tubo 862 O clássico escoamento de Poiseuille Eq 812 mostra a condição de não deslizamento na parede Se o fluido é um gás e quando o livre caminho médio l distância média que uma molécula viaja antes de colidir com outra molécula é comparável ao comprimento de escala L do escoamento então ocorrerá deslizamento na parede de modo que a vazão e a velocidade serão aumentadas para um dado gradiente de pressão Na Eq 811 c1 ainda será zero c2 deverá satisfazer a condição de deslizamento u l ur em r R Deduza o perfil de velocidade e da vazão do gás em um microtubo ou nanotubo onde há deslizamento na parede Calcule a vazão para R 10 m μ 184 105 N sm2 l 68 nm e px 10 106 Pam 863 A seguinte solução pode ser usada como um modelo para o perfil de velocidade de um escoamento pressurizado completamente desenvolvido em um canal com seção transversal elíptica O centro da elipse é y z 0 0 e o eixo maior de comprimento a e o eixo menor de comprimento b são paralelos aos eixos y e z respectivamente O gradiente de pressão px é constante Baseado na equação de NavierStokes determine a velocidade máxima u0 em termos de a e b da viscosidade μ e de px Fazendo ρ ϕ ser as coordenadas polares radial e azimutal respectivamente de um disco unitário 0 ρ 1 e 0 ϕ 2π as coordenadas y z e a velocidade uy z podem ser expressas como funções de ρ ϕ yρ ϕ aρ cos ϕ zρ ϕ bρ sen ϕ uρ ϕ u0 1 ρ2 A vazão é Q uy zdydz ab ρuρ ϕdρ dϕ Deduza a vazão do escoamento completamente desenvolvido em um tubo elíptico Compare a vazão em um canal de seção transversal elíptica com a 15R e b R e em um tubo de raio R com o mesmo gradiente de pressão 864 Para um escoamento pressurizado em regime permanente e completamente desenvolvido de um fluido incompressível através de um canal retilíneo de comprimento L podemos definir a resistência hidráulica Rhid ΔpQ em analogia com a resistência elétrica Relét ΔVI em que ΔV é a queda de potencial elétrico e I é a corrente elétrica A tabela a seguir apresenta um resumo da resistência hidráulica de canais com diferentes formas de seção transversal 30 Forma Fórmula da Rhid Valor calculado da Rhid Círculo Elípse Triângulo Duas placas Retângulo Quadrado Calcule a resistência hidráulica de um canal retilíneo com a forma de seção transversal listada usando os seguintes parâmetros μ 1 mPa s água L 10 mm a 100 μm b 33 μm h 100 μm e w 300 μm Baseado no cálculo da resistência hidráulica que forma é a mais eficiente para bombear água 865 Em uma indústria de alimentos dois fluidos imiscíveis são bombeados através de um tubo de modo que o fluido 1 μ1 05 N sm2 forme um núcleo de r 14D1 e o fluido 2 μ2 5 N sm2 forme um espaço anular externo O tubo tem D 5 mm de diâmetro e comprimento L 5 m Deduza e trace a distribuição de velocidade se a diferença de pressão aplicada Δp é 5 MPa 866 Um tubo horizontal transporta fluido em escoamento turbulento completamente desenvolvido A diferença de pressão estática medida entre duas seções é 35 kPa A distância entre as seções é 10 m e o diâmetro do tubo é 150 mm Calcule a tensão de cisalhamento τw que atua sobre as paredes 867 Um dos extremos de um tubo horizontal é conectado por meio de cola a um tanque pressurizado contendo líquido e o outro extremo possui uma tampa O diâmetro interno do tubo é 25 cm e a pressão no tanque é 250 kPamanométrica Determine a força que a cola deve resistir com o tubo tampado e a força que a cola deve resistir quando a tampa é retirada com o líquido sendo descarregado para a atmosfera 868 Querosene é bombeado através de um tubo liso com diâmetro interno D 30 mm na proximidade do número de Reynolds crítico O escoamento é instável e flutua entre os estados laminar e turbulento fazendo com que o gradiente de pressão varie intermitentemente de 45 kPam a 11 kPam aproximadamente Que gradiente de pressão corresponde ao escoamento laminar e ao escoamento turbulento Para cada escoamento calcule a tensão de cisalhamento na parede do tubo e trace as distribuições de tensão de cisalhamento 869 A queda de pressão entre duas tomadas separadas de 9 m em um duto horizontal conduzindo água em escoamento completamente desenvolvido é 69 kPa A seção transversal do duto é um retângulo de 25 mm 240 mm Calcule a tensão de cisalhamento média na parede 870 Um medicamento líquido com a viscosidade e a massa específica da água deve ser administrado através de uma agulha hipodérmica O diâmetro interno da agulha é 025 mm e o seu comprimento é de 50 mm Determine a a máxima vazão volumétrica para a qual o escoamento será laminar b a queda de pressão requerida para fornecer a vazão máxima e c a correspondente tensão de cisalhamento na parede 871 O experimento pitchdrop piche em queda vem sendo repetido continuamente na Universidade de Queensland desde 1927 httpwwwphysicsuqeduauphysicsmuseumpitchdropshtml Neste experimento um funil com piche é usado para medir a viscosidade desse óleo Médias de vazão em gotas são obtidas ao longo de décadas A viscosidade é calculada usando a equação de vazão em que D é o diâmetro da vazão do funil h é a profundidade de piche no corpo principal do funil L é o comprimento da haste do funil e t é o lapso de tempo Compare essa equação com a Eq 813c usando a força hidrostática ao invés de um gradiente de pressão Depois da 6ª gota em 1979 eles mediram que levava 17708 dias para 47105 m3 de piche cair do bico do funil Dadas as medições D 94 mm h 75 mm L 29 mm e ρpiche 11103 kgm3 qual é a viscosidade do piche Perfis de Velocidades de Escoamento Turbulento Completamente Desenvolvido em Tubo 872 Considere o perfil empírico de velocidade de lei de potência para escoamento turbulento em tubo Eq 822 Para n 7 determine o valor de rR para o qual u é igual à velocidade média Trace um gráfico dos resultados na faixa de 6 n 10 e compare com o caso de escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo Eq 814 873 Laufer 5 mediu os seguintes dados para velocidade média no escoamento turbulento completamente desenvolvido em tubos para ReU 50000 U 0996 0981 0963 0937 0907 0866 0831 yr 0898 0794 0691 0588 0486 0383 0280 U 0792 0742 0700 0650 0619 0551 yR 0216 0154 0093 0062 0041 0024 Além disso Laufer mediu os seguintes dados para velocidade média no escoamento turbulento completamente desenvolvido em tubos para ReU 500000 U 0997 0988 0975 0959 0934 0908 yr 0898 0794 0691 0588 0486 0383 U 0874 0874 0818 0771 0736 0690 yR 0280 0216 0154 0093 0062 0037 Utilizando a análise de linha de tendência do Excel ajuste cada conjunto de dados ao perfil de lei de potência para escoamento turbulento Eq 822 e obtenha um valor de n para cada conjunto Os dados tendem a confirmar a validade da Eq 822 Trace no mesmo gráfico os dados e sua correspondente linha de tendência 874 A Equação 823 dá o expoente n do perfil de velocidade de lei de potência como uma função do número de Reynolds na linha de centro ReU para escoamento turbulento completamente desenvolvido em tubos lisos A Eq 824 relaciona a velocidade média com a velocidade na linha de centro U para diversos valores de n Prepare um gráfico de U como uma função do número de Reynolds Re 875 Um coeficiente de quantidade de movimento β é definido como Avalie β para um perfil de velocidade laminar Eq 814 e para um perfil de velocidade turbulenta de lei de potência Eq 822 Trace β como uma função de n para perfil turbulento de lei de potência na faixa 6 n 10 e compare com o caso do escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo Considerações de Energia em Escoamento em Tubo 876 Considere o escoamento laminar completamente desenvolvido de água entre placas paralelas infinitas A velocidade máxima do escoamento o espaçamento e a largura das placas são 61 ms 19 mm e 38 mm respectivamente Determine o coeficiente de energia cinética α 877 Considere escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo circular Avalie o coeficiente de energia cinética para este escoamento 878 Mostre que o coeficiente de energia cinética α para o perfil de velocidade turbulenta da lei de potência da Eq 822 é dado pela Eq 827 Trace α como uma função de Re para Re 1 104 a 1 107 Na análise de problemas de escoamento no interior de tubos é prática comum considerar α 1 Trace um gráfico do erro associado a esta consideração como uma função de Re para Re 1 104 a 1 107 879 Medidas foram feitas para a configuração de escoamento mostrada na Fig 812 Na entrada seção a pressão é 70 kPa manométrica a velocidade média é 175 ms e a elevação é 225 m Na saída seção a pressão a velocidade média e a elevação são respectivamente 45 kPa manométrica 35 ms e 3 m respectivamente Calcule a perda de carga em metros Converta para unidades de energia por unidade de massa 880 Água escoa em um tubo horizontal de área transversal constante o diâmetro do tubo é 75 mm e a velocidade média do escoamento é 5 ms Na entrada do tubo a pressão manométrica é 275 kPa e a saída é à pressão atmosférica Determine a perda de carga no tubo Se o tubo estiver alinhado agora de modo que a saída fique 15 m acima da entrada qual será a pressão na entrada necessária para manter a mesma vazão se o tubo estiver alinhado agora de modo que a saída fique 15 m abaixo da entrada qual será a pressão na entrada necessária para manter a mesma vazão Finalmente quão mais baixa deve estar a saída do tubo em relação à entrada para que a mesma vazão seja mantida se ambas as extremidades estão à pressão atmosférica isto é campo gravitacional 881 Para a configuração de escoamento da Fig 812 é sabido que a perda de carga é 1 m Da entrada para a saída a queda de pressão é 50 kPa a velocidade dobra da entrada para a saída e o aumento de elevação é de 2 m Calcule a velocidade de entrada da água Cálculo da Perda de Carga 882 Para uma dada vazão volumétrica e sistema de bombeamento a perda de carga será maior para água quente ou água fria Explique 883 Considere o escoamento do tubo da torre de água do Exemplo 87 Após 5 anos a rugosidade do tubo aumentou de modo que o escoamento tornouse completamente turbulento e f 004 Determine de quanto a vazão diminuiu 884 Considere o escoamento do tubo da torre de água do Problema 883 Para aumentar a vazão o comprimento do tubo é reduzido de 183 m a 91 m o escoamento ainda é completamente turbulento e f 004 Qual é a vazão agora 885 Água escoa de um tubo horizontal para dentro de um grande tanque O tubo está localizado a 25 m abaixo da superfície livre da água no tanque A perda de carga é 2 kJkg Calcule a velocidade média do escoamento no tubo 886 A velocidade média de escoamento em um trecho de diâmetro constante da tubulação do Alasca é 25 ms Na entrada a pressão é 825 MPa manométrica e a elevação é 45 m na saída a pressão é 350 kPa manométrica e a elevação é 115 m Calcule a perda de carga nesse trecho da tubulação 887 Na entrada de um trecho de diâmetro constante da tubulação do Alasca a pressão é 85 MPa e a elevação é 45 m na saída a elevação é de 115 m A perda de carga nessa seção da tubulação é 69 kJkg Calcule a pressão na saída 888 Água escoa a 10 Lmin através de um tubo horizontal de diâmetro 15 mm A queda de pressão ao longo de 20 m de tubo é 85 kPa Calcule a perda de carga 889 Laufer 5 obteve os seguintes dados para média de velocidade próxima à parede no escoamento turbulento completamente desenvolvido de ar em um tubo para ReU 50000 U 3 ms e R 123 mm U 0343 0318 0300 0264 0228 0221 0179 0152 0140 yR 00082 00075 00071 00061 00055 00051 00041 00034 00030 Trace um gráfico com os dados e obtenha a inclinação de melhor ajuste d dy Use isso para estimar a tensão de cisalhamento na parede a partir de τw μ d dy Compare o valor estimado com aquele obtido a partir do fator de atrito f calculado com a a fórmula de Colebrook Eq 837 e b a correlação de Blasius Eq 838 890 Água é bombeada à taxa de 0075 m3s de um reservatório que está 20 m acima de uma bomba para uma descarga livre 35 m acima da bomba A pressão no lado da admissão da bomba é 150 kPa e no lado da descarga é 450 kPa Todos os tubos são de aço comercial com diâmetro nominal de 15 cm Determine a a altura de carga fornecida pela bomba e b a perda de carga total entre a bomba e o ponto de descarga livre 891 Um tubo liso horizontal de 75 mm de diâmetro transporta água 65C Quando a vazão é 0075 kgs a queda de pressão medida é 75 Pa por 100 m de tubo Com base nestas medidas qual é o fator de atrito Qual é o número de Reynolds Este número de Reynolds normalmente indica escoamento turbulento ou laminar Afinal o escoamento é realmente turbulento ou laminar 892 Um tubo capilar de pequeno diâmetro feito de alumínio trefilado é usado no lugar de uma válvula de expansão em um refrigerador doméstico O diâmetro interno é 05 mm Calcule a rugosidade relativa correspondente Comente se esse tubo deve ou não ser considerado como liso com respeito ao escoamento do fluido 893 A equação de Colebrook Eq 837 para calcular o fator de atrito é implícito em f Uma expressão explícita 31 que dá precisão razoável é Compare a precisão desta expressão para f com a Eq 837 calculando a discrepância percentual como uma função de Re e eD para Re 104 a 108 e eD 0 00001 0001 001 e 005 Qual é a máxima discrepância para esses valores de Re e de eD Trace o gráfico de f em função de Re tendo a razão eD como um parâmetro 894 Utilizando as Eqs 836 e 837 gere o diagrama de Moody da Fig 813 895 O diagrama de Moody dá o fator de atrito de Darcy f em termos do número de Reynolds e da rugosidade relativa O fator de atrito de Fanning para escoamento em tubo é definido como em que τw é a tensão de cisalhamento na parede do tubo Mostre que a relação entre os fatores de atrito de Darcy e de Fanning para escoamento completamente desenvolvido é dada por f 4fF 896 Vimos na Seção 87 que em vez da equação implícita de Colebrook Eq 837 para calcular o fator de atrito turbulento f uma expressão explícita que fornece exatidão razoável é Compare a exatidão desta equação para f com a Eq 837 pelo cálculo da discrepância percentual como uma função de Re e eD para Re 104 até 108 e eD 0 00001 0001 001 e 005 Qual é a discrepância máxima para estes valores de Re e eD Trace um gráfico de f em função de Re com eD como um parâmetro 897 Água escoa a 25 Ls através de uma constrição suave em que o diâmetro do tubo é reduzido de 75 mm para 375 mm segundo um ângulo de 150 Se a pressão antes da constrição for 500 kPa estime a pressão depois da constrição Refaça o problema se o ângulo da constrição for 180 uma constrição brusca 898 Água escoa através de um tubo de 25 mm de diâmetro que subitamente alargase para um diâmetro de 50 mm A vazão através do alargamento é de 125 Ls Calcule o aumento de pressão através do alargamento Compare com o valor para escoamento sem atrito 899 Água escoa através de um tubo de 50 mm de diâmetro que subitamente contraise para 25 mm A queda de pressão através da contração é 345 kPa Determine a vazão volumétrica 8100 Ar na condiçãopadrão escoa através de uma expansão súbita em um duto circular Os diâmetros do duto a montante e a jusante da expansão são 75 mm e 225 mm respectivamente A pressão a jusante é 5 mm de água maior que aquela a montante Determine a velocidade média e a vazão volumétrica do ar aproximandose da expansão 8101 Como um trabalho de laboratório de fluidos foi solicitada a construção de um medidor para medir de forma aproximada a vazão de água em um tubo de 45 mm de diâmetro Você decide instalar um trecho de tubo de 225 mm de diâmetro e um manômetro de tubo em U para medir a queda de pressão na contração súbita Deduza uma expressão para a constante teórica de calibração k em Q k no qual Q é a vazão volumétrica em Lmin e h é a deflexão no manômetro em mm Trace a curva teórica de calibração para uma faixa de vazão de 10 a 50 Lmin Qual seria a sua expectativa de uso deste dispositivo como um real medidor de vazão 8102 Água escoa de um grande tubo de diâmetro de D1 100 mm e entra em um tubo menor de diâmetro D2 50 mm por meio de um dispositivo reentrante Encontre a perda de carga entre os pontos e Considere Q 001 m3s 8103 O escoamento através de uma contração súbita é mostrado A área mínima de escoamento na vena contracta é dada pelo coeficiente de contração 32 em termos da razão entre áreas A perda de carga em uma contração súbita é essencialmente um resultado da vena contracta o fluido acelerase no sentido da contração ocorre separação do escoamento conforme mostrado pelas linhas pontilhadas e a vena contracta age como uma expansão súbita em miniatura com perdas secundárias menores significativas no escoamento Use estas considerações para obter e traçar estimativas do coeficiente de perda menor para uma contração súbita e compare com os dados apresentados na Fig 815 8104 Água escoa do tanque mostrado através de um tubo muito curto Considere que o escoamento seja quase permanente Estime a vazão no instante mostrado Como você poderia melhorar o sistema de escoamento se uma vazão maior fosse desejada 8105 Considere novamente o escoamento através do cotovelo analisado no Exemplo 46 Usando as condições dadas calcule o coeficiente de perda menor para o cotovelo 8106 Ar escoa para fora de uma câmara de teste de uma sala limpa através de um duto de 150 mm de diâmetro e de comprimento L O duto original tinha uma entrada de bordaviva mas essa foi substituída por outra de entrada bem arredondada A pressão na câmara é 25 mm de água acima da ambiente As perdas por atrito são desprezíveis comparadas com as perdas de entrada e de saída Estime o aumento na vazão volumétrica que resulta da mudança no contorno da entrada 8107 Um tanque de água aberto para a atmosfera contém água a uma profundidade de 5 m Um furo com diâmetro de 25 mm é perfurado no fundo Modele o furo como de bordaviva e estime a vazão Ls que sai do tanque Se você fixar um pequeno trecho de tubo no furo de quanto mudaria a vazão se em vez disso você polir a saída do furo arredondando as bordas r 5 mm de quanto mudaria a vazão 8108 Um difusor cônico é usado para expandir um tubo de um diâmetro de 100 mm para um diâmetro de 150 mm Determine o comprimento mínimo do difusor se desejamos um coeficiente de perda a Kdifusor 02 b Kdifusor 035 8109 Um difusor cônico com 150 mm de comprimento é usado para expandir um tubo de um diâmetro de 50 mm para um diâmetro de 89 mm Para uma vazão de água de 47 Ls estime o aumento na pressão estática Qual é o valor aproximado do coeficiente de perda 8110 Encontrouse espaço para a instalação de um difusor cônico com comprimento de 045 m no sistema de ventilação da sala limpa descrito no Problema 8106 O melhor difusor com este comprimento deve ser empregado Considere que os dados da Fig 816 possam ser usados Determine o ângulo apropriado do difusor e a razão de áreas para esta instalação e estime a vazão volumétrica que será fornecida após a instalação do difusor 8111 Analise o escoamento através de uma expansão súbita aplicando as equações básicas a um volume de controle começando na expansão e terminando a jusante dela admita que a pressão de entrada p1 age sobre a área A2 na expansão Desenvolva uma expressão e trace um gráfico da perda de carga menor através da expansão como uma função da razão de áreas e compare com os dados da Fig 815 8112 Água a 45C entra em um chuveiro através de um tubo circular com 158 mm de diâmetro interno A água sai em 24 filetes cada um com 105 mm de diâmetro A vazão volumétrica é 567 Lmin Estime a pressão mínima de água necessária na entrada do chuveiro Avalie a força necessária para manter o chuveiro fixo na extremidade do tubo circular Indique claramente se essa é uma força de compressão ou de tração 8113 Analise o escoamento através de uma expansão súbita para obter uma expressão para a velocidade média 1 em termos da variação de pressão Δp p2 p1 da razão de áreas RA da massa específica ρ e do coeficiente de perda K Se o escoamento fosse sem atrito a vazão indicada por uma variação de pressão medida seria maior ou menor do que a vazão real e por quê Ou ainda se o escoamento fosse sem atrito uma dada vazão daria uma variação de pressão maior ou menor do que a variação real e por quê 8114 Água descarrega para a atmosfera a partir de um grande reservatório através de um bocal horizontal de 25 mm de diâmetro moderadamente arredondado A superfície livre está 25 m acima do plano da saída do bocal Calcule a variação na vazão quando um trecho curto de tubo de 50 mm de diâmetro é instalado na extremidade do bocal para formar uma expansão súbita Determine a localização e estime o módulo da pressão mínima com a expansão súbita instalada Se o escoamento fosse sem atrito com a expansão súbita instalada a pressão mínima seria maior menor ou a mesma A vazão seria maior menor ou a mesma 8115 Água é descarregada para a atmosfera a partir de um grande tanque em regime permanente e através de um trecho de tubo de plástico liso O diâmetro interno do tubo é 318 mm e seu comprimento é 153 m Calcule a máxima vazão volumétrica para a qual o escoamento no tubo ainda será laminar Estime o nível de água no tanque abaixo do qual o escoamento será laminar para escoamento laminar α 2 e Kentrada 14 8116 Você foi questionado a comparar o comportamento dos escoamentos laminar e turbulento completamente desenvolvidos em um tubo horizontal sob diferentes condições Para a mesma vazão qual deles terá a maior velocidade de linha de centro Por quê Se o tubo descarrega para a atmosfera qual a sua expectativa sobre a aparência da corrente de descarga de cada escoamento para a mesma vazão Esboce suas expectativas para cada caso Para a mesma vazão qual escoamento daria a maior tensão de cisalhamento de parede Por quê Esboce a distribuição de tensão ττw como uma função do raio para cada escoamento Para o mesmo número de Reynolds qual escoamento teria a maior queda de pressão por unidade de comprimento Por quê Para um dado diferencial de pressão imposto qual escoamento teria a maior vazão Por quê A maioria dos problemas enunciados a seguir neste capítulo envolve a determinação do fator de atrito turbulento f a partir do número de Reynolds Re e da rugosidade relativa adimensional eD Para cálculos aproximados f pode ser lido da Fig 813 um valor mais preciso pode ser obtido usando esse valor aproximado ou algum outro valor até mesmo f 1 como primeiro valor da iteração na Eq 837 O procedimento mais conveniente é usar a solução da Eq 837 já programada ou construída dentro da sua calculadora ou dentro de uma planilha do Excel Portanto a maioria dos problemas finais deste capítulo é resolvida mais facilmente com o auxílio do Excel Para evitar duplicação desnecessária o símbolo do mouse somente será usado ao lado de um desses problemas remanescentes se ele trouxer alguma novidade por exemplo solução por iteração ou por gráfico 8117 Estime o nível mínimo de água no tanque do Problema 8115 de modo que o escoamento seja ainda turbulento 8118 Um experimento de laboratório é organizado para medir a queda de pressão em um escoamento de água através de um tubo liso O diâmetro do tubo é 159 mm e seu comprimento é 356 m O escoamento desenvolvese no tubo a partir de um reservatório por uma entrada de bordaviva Calcule a vazão volumétrica necessária para obter escoamento turbulento no tubo Avalie a altura diferencial no reservatório requerida para obter escoamento turbulento no tubo 8119 Um experimento de bancada consiste em um reservatório com um tubo longo e horizontal de 500 mm de comprimento e diâmetro 75 mm ligado em sua base O tubo sai de um tanque O escoamento de água a 10C deve ser gerado de modo a atingir um número de Reynolds de 10000 Qual é a vazão Se o tubo na entrada é de bordaviva que profundidade deve ter o reservatório E se a entrada do tubo for bem arredondada que profundidade o reservatório deve ter 8120 Conforme discutido no Problema 852 a diferença de pressão aplicada Δp e a correspondente vazão volumétrica Q para escoamento laminar em um tubo podem ser comparadas respectivamente à tensão aplicada V e à corrente contínua I através de um resistor elétrico Investigue se esta analogia é válida ou não para escoamento turbulento traçando um gráfico da resistência ΔpQ como uma função de Q para o escoamento turbulento de querosene a 40C em um tubo de 250 mm de comprimento e diâmetro interno de 75 mm 8121 Trace o gráfico da profundidade requerida no reservatório de água para criar escoamento em um tubo liso de 10 mm de diâmetro e comprimento de 100 m como uma função da vazão na faixa de 1 Lmin a 10 Lmin 8122 Óleo com viscosidade cinemática ν 000005 m2s escoa a 0003 m3s em um tubo de aço horizontal de 25 m de comprimento e 4 cm de diâmetro Percentualmente de quanto a perda de energia aumentará se a vazão for mantida a mesma mas o diâmetro do tubo for reduzido para 1 cm 8123 Um sistema de água é usado em um laboratório para estudar escoamento em um tubo liso Para atender uma faixa razoável o número de Reynolds máximo no tubo deve ser 100000 O sistema é abastecido a partir de um tanque elevado de altura de carga constante O sistema consiste de uma entrada de bordaviva dois cotovelospadrão de 45 dois cotovelospadrão de 90 e uma válvula de gaveta totalmente aberta O diâmetro do tubo é 75 mm e o seu comprimento total é de 1 m Calcule a altura mínima do nível do tanque de abastecimento acima do tubo de descarga do sistema necessária para atingir o número de Reynolds desejado Se uma câmara de pressão for usada em vez do reservatório qual será a pressão requerida 8124 Água é bombeada através de um tubo comercial de aço carbono de 230 mm de diâmetro por uma distância de 6400 m desde a descarga da bomba até um reservatório aberto para a atmosfera O nível da água no reservatório está 15 m acima da descarga da bomba e a velocidade média da água no tubo é 3 ms Calcule a pressão na descarga da bomba 8125 Água deve escoar por gravidade de um reservatório para outro mais baixo através de um tubo de aço galvanizado retilíneo e inclinado O diâmetro do tubo é 50 mm e o comprimento total é de 250 m Os dois reservatórios estão abertos para atmosfera Trace um gráfico da diferença de elevação requerida Δz como uma função da vazão Q para Q variando de 0 a 001 m3s Estime a fração de Δz decorrente de perdas menores 8126 Uma linha de água potável com diâmetro de 5 cm está para ser instalada em uma sala de um edifício comercial Três possíveis layouts para a linha de água foram propostos como mostrado Pensando em minimizar as perdas qual seria a melhor opção Considere a linha de ferro galvanizado e uma vazão de 350 Lmin 8127 Em uma instalação de arcondicionado é requerida uma vazão de 35 m3min de ar a 10C Um duto de chapa de aço lisa de seção retangular 023 m por 075 m é usado Determine a queda de pressão em mm de água para um trecho de 30 m de duto horizontal 8128 Um sistema para teste de bombas de descarga variável consiste de uma bomba quatro cotovelospadrão e uma válvula de gaveta totalmente aberta formando um circuito fechado conforme mostrado O circuito deve absorver a potência adicionada pela bomba A tubulação é de ferro fundido com 75 mm de diâmetro e o comprimento total do circuito é 20 m Trace um gráfico da diferença de pressão requerida da bomba para vazões de água Q variando de 001 m3s a 006 m3s 8129 Um experimento de atrito em tubo usando água deve ser projetado para atingir número de Reynolds de 100000 O sistema usará tubo liso de PVC de 5 cm de um tanque de nível constante até a bancada de teste e 20 m de tubo liso de PVC de 25 cm montados horizontalmente para a seção de teste O nível de água no tanque de altura de carga constante é 05 m acima da entrada para o tubo de PVC de 5 cm Determine a velocidade média da água requerida no tubo de 25 cm Verifique a viabilidade do uso de um tanque de altura de carga constante Calcule a diferença de pressão esperada entre tomadas distanciadas de 5 m na seção horizontal de teste 8130 Dois reservatórios são conectados por meio de três tubos limpos de ferro fundido em série L1 600 m D1 03 m L2 900 m D2 04 m L3 1500 m e D3 045 m Para uma vazão de 011 m3s de água a 15ºC determine a diferença de elevação entre os reservatórios 8131 Considere o escoamento de arpadrão a 06 m3s Compare a queda de pressão por unidade de comprimento de um duto redondo com aquela de dutos retangulares de razão de aspecto 1 2 e 3 Considere que todos os dutos são lisos com área de seção transversal de 009 m2 8132 Dados foram obtidos por medições em um trecho vertical de tubo de ferro galvanizado velho e corroído com diâmetro interno de 50 mm Em uma seção a pressão era p1 750 kPa manométrica em uma segunda seção 40 m abaixo a pressão era p2 250 kPa manométrica A vazão volumétrica da água era 0015 m3s Estime a rugosidade relativa do tubo Que porcentagem de economia de potência de bombeamento resultaria se o tubo fosse restaurado ao estado de rugosidade de tubo novo e limpo 8133 Uma vazão volumétrica de água Q 21 Ls é fornecida através de uma mangueira de incêndio com bocal A mangueira L 76 m D 75 mm eD 0004 é constituída de quatro trechos de 18 m acoplados por engates rápidos A entrada é de bordaviva o coeficiente de perda localizada de cada engate é Kc 05 baseado na velocidade média na mangueira O coeficiente de perda localizada do bocal é Kn 002 com base na velocidade de saída do jato cujo diâmetro é D2 25 mm Estime a pressão na entrada da mangueira requerida para essa vazão 8134 O escoamento em um tubo pode alternar entre os regimes laminar e turbulento para números de Reynolds na zona de transição Projete uma bancada de testes consistindo de um cilindro transparente de plástico de nível constante altura de carga constante com graduação de profundidade e um trecho de tubo de plástico admitido liso conectado à base do cilindro através do qual escoa água para um recipiente de medição Selecione as dimensões do tanque cilíndrico e do tubo de modo que o sistema seja compacto mas que opere na faixa de transição Projete o experimento de modo que você possa facilmente variar a altura de carga no tanque de um nível baixo escoamento laminar até níveis da zona de transição para escoamento turbulento e viceversa Escreva instruções para os estudantes reconhecerem quando o escoamento é laminar ou turbulento Gere curvas sobre um mesmo gráfico da profundidade do tanque versus número de Reynolds considerando escoamento laminar ou turbulento 8135 Uma piscina pequena é drenada usando uma mangueira de jardim A mangueira tem 20 mm de diâmetro interno uma rugosidade absoluta de 02 mm e 30 m de comprimento A extremidade livre da mangueira está localizada 3 m abaixo da elevação do fundo da piscina A velocidade média na descarga da mangueira é 12 ms Estime a profundidade da água na piscina Se o escoamento fosse invíscido qual seria a velocidade 8136 Quando você toma um refrigerante usando um canudinho você precisa vencer a força da gravidade e o atrito no canudinho Estime a fração do seu esforço total para você saciar sua sede fazendo considerações sobre as propriedades do líquido e do canudinho e sobre a vazão com que você toma a bebida por exemplo quanto tempo você levaria para tomar 350 mL de refrigerante de uma só vez O escoamento é laminar ou turbulento Ignore as perdas menores Solução de Problemas de Escoamentos em Tubos 137 A mangueira no Problema 8135 é trocada por uma mangueira mais larga de diâmetro 25 mm com o mesmo comprimento e rugosidade Considerando uma profundidade da piscina de 15 m qual será a nova velocidade média e a nova vazão 8138 Que vazão gpm será produzida em um tubo de água de 75 mm de diâmetro para o qual existe uma queda de pressão de 425 kPa ao longo de um comprimento de 200 m A rugosidade do tubo é 25 mm A água está a 0C 8139 Uma furadeira a ar comprimido requer 025 kgs de ar a 650 kPa manométrica na broca A mangueira que conduz ar do compressor até a furadeira tem 40 mm de diâmetro interno A pressão manométrica máxima na descarga do compressor é 670 kPa o ar deixa o compressor a 40ºC Despreze variações na massa específica e quaisquer efeitos decorrentes da curvatura da mangueira Calcule o comprimento máximo de mangueira que pode ser usado 8140 Recentemente você comprou uma casa e quer aumentar a vazão de água para o andar de cima A baixa vazão se deve a três razões A pressão de água que chega ao relógio medidor da casa é baixa p 200 kPa manométrica a tubulação tem um diâmetro pequeno D 127 cm e desgastada aumentando sua rugosidade eD 005 o andar superior da casa está 15 m acima do relógio de água Você está considerando duas alternativas para aumentar a vazão a opção 1 é trocar todas as tubulações depois do relógio com novos tubos lisos com diâmetro de 19 cm a opção 2 é instalar uma bomba mantendo a tubulação original A bomba tem uma pressão de entrada de 300 kPa Que opção é a mais efetiva Ignore as perdas menores 8141 Os alunos da residência universitária estão colocando uma piscina infantil no segundo andar e pretendem enchêla com água de uma mangueira de jardim A piscina tem um diâmetro de 15 m e uma profundidade de 076 m O andar está 55 m acima da torneira A mangueira internamente muito lisa tem um comprimento de 15 m e o seu diâmetro é de 16 cm Se a pressão da água na torneira é de 414 kpa quanto tempo levará para ela encher completamente a piscina Ignore as perdas menores 8142 Gasolina escoa em uma linha longa subterrânea a uma temperatura constante de 15C Duas estações de bombeamento na mesma elevação estão distanciadas 13 km uma da outra A queda de pressão entre as estações é de 14 MPa A tubulação é feita de tubo de aço de 06 m de diâmetro Embora o tubo seja feito de aço comercial a idade e a corrosão aumentaram a rugosidade do tubo para aquela do ferro galvanizado aproximadamente Calcule a vazão em volume 8143 Água escoa em regime permanente em um tubo de ferro fundido horizontal de 125 mm de diâmetro O tubo tem comprimento de 150 m e a queda de pressão entre as seções e é 150 kPa Determine a vazão volumétrica através do tubo 8144 Água escoa em regime permanente em um tubo de ferro fundido de 125 mm de diâmetro e comprimento de 150 m A queda de pressão entre as seções e é de 150 kPa e a seçã estão 15 m acima da seção Determine a vazão volumétrica 8145 Dois tubulões verticais de igual diâmetro abertos para a atmosfera estão conectados por um tubo reto conforme mostrado Água escoa por gravidade de um tubulão para o outro Para o instante mostrado estime a taxa de variação do nível de água no tubulão da esquerda 8146 Dois tubos de ferro galvanizado de diâmetro D estão conectados a um grande reservatório de água conforme mostrado O tubo A tem comprimento L e o tubo B tem comprimento 2L Ambos os tubos descarregam para a atmosfera Por qual tubo passará a maior vazão Justifique sem calcular a vazão em cada tubo Calcule as vazões se H 10 m D 50 mm e L 10 m 8147 Tubos para coletar água de chuva com diâmetros de 50 mm feitos em ferro galvanizado estão localizados nos quatro cantos de um edifício mas três deles ficaram entupidos com destroços Determine o índice pluviométrico cmmin para o qual apenas um tubo funcionando não poderá mais drenar a água da chuva sobre o telhado A área do prédio é de 500 m2 e a sua altura é de 5 m Considere que os tubos são da mesma altura do prédio e que ambas as extremidades são abertas para a atmosfera Ignore perdas menores 8148 Um engenheiro de minas planeja fazer mineração hidráulica com um jato de água de alta velocidade Um lago está localizado a H 300 m acima do local da mina A água será conduzida através de L 900 m de uma mangueira de incêndio a mangueira tem diâ metro interno D 75 mm e rugosidade relativa eD 001 Engates com comprimento equivalente Le 20 D estão acoplados a cada l0 m ao longo da mangueira O diâmetro de saída do bocal é d 25 mm O seu coeficiente de perda menor é K 002 com base na velocidade de saída Estime a máxima velocidade do jato de saída que o sistema pode fornecer Determine a máxima força exercida sobre uma face de rocha por esse jato de água 8149 Investigue o efeito da rugosidade do tubo sobre a vazão calculando a vazão gerada por uma diferença de pressão Δp 100 kPa aplicada a um comprimento L 100 m de um tubo de diâmetro D 25 mm Trace um gráfico da vazão versus a rugosidade relativa eD para eD variando de 0 a 005 isso poderia ser reproduzido experimentalmente através do aumento progressivo na rugosidade da superfície do tubo O fluido é a água É possível estabelecer uma rugosidade grande o suficiente para este tubo de modo que o escoamento seja trazido para a faixa de escoamento zlaminar 8150 Investigue o efeito do comprimento de tubo sobre a vazão calculando a vazão gerada por uma diferença de pressão Δp 100 kPa aplicada a um comprimento L de um tubo liso de diâmetro D 25 mm Trace um gráfico da vazão versus o comprimento do tubo para uma faixa de vazões do escoamento laminar até o escoamento completamente turbulento 8151 Para o escoamento no tubo do reservatório do Exemplo 85 considere o efeito da rugosidade do tubo sobre a vazão considerando que a pressão da bomba seja mantida a 153 kPa Trace o gráfico da vazão volumétrica em função da rugosidade do tubo desde o caso de tubo liso e 0 até a situação em que a rugosidade é muito grande e 375 mm Considere também o efeito do comprimento do tubo novamente considerando que a bomba produza sempre 153 kPa para um tubo liso Trace o gráfico da vazão volumétrica em função do comprimento do tubo desde L 100 m até L 1000 m 8152 Água para um sistema de proteção a incêndios é retirada de uma torre de água através de um tubo de 150 mm de ferro fundido Um manômetro no hidrante indica 600 kPa quando não há escoamento de água O comprimento total da tubulação entre o tanque elevado e o hidrante é 200 m Determine a altura da torre de água acima do hidrante Calcule a máxima vazão volumétrica que pode ser alcançada quando o sistema é acionado pela abertura da válvula do hidrante considere que as perdas menores são 10 das perdas maiores nesta condição Quando uma mangueira é conectada ao hidrante a vazão volumétrica é 075 m3min Determine a leitura da pressão no manômetro nesta condição de escoamento 8153 O sifão mostrado é fabricado de tubo de alumínio trefilado de 50 mm de diâmetro interno O líquido é água a 15C Calcule a vazão volumétrica através do sifão Estime a pressão mínima no interior do tubo 8154 Um grande tanque de água aberto tem conectado à sua base um tubo horizontal de ferro fundido de diâmetro D 25 cm e de comprimento L 15 m usado para drenar a água do tanque Se a profundidade da água é h 35 m encontre a vazão m3h se a entrada do tubo é a reentrante b de bordaviva e c arredondada r 375 mm 8155 Repita o Problema 8154 mas agora considerando que o tubo seja vertical como mostrado 8156 Um tanque contendo 30 m3 de querosene deve ser esvaziado por gravidade usando uma mangueira de drenagem de diâmetro 15 mm rugosidade 02 mm e comprimento 1 m O topo do tanque está aberto para a atmosfera e a mangueira sai para uma câmara aberta Se o nível inicial do querosene for 10 m acima da saída de drenagem estime supondo escoamento permanente a taxa de drenagem inicial Estime a vazão quando o nível de querosene abaixa para 5 m e depois para 1 m Com base nestas três estimativas faça uma estimativa grosseira do tempo que o nível do tanque levou para ser abaixado até 1 m 8157 Considere novamente o sistema de abastecimento de água de Roma discutido no Exemplo 8l0 Considere que o comprimento de 15 m de tubo horizontal de diâmetro constante exigido por lei tenha sido instalado A rugosidade relativa do tubo é 001 Estime a vazão em volume de água fornecida pelo tubo sob as condições de entrada do exemplo Qual seria o efeito de adicionar o mesmo difusor na extremidade do tubo de 15 m 8158 Você está regando o gramado com uma mangueira velha Por causa dos depósitos que se formaram ao longo dos anos a mangueira de 19 mm diâmetro interno tem agora uma altura média de rugosidade de 056 mm Uma mangueira de 15 m de comprimento conectada ao borrifador fornece 57 Lmin de água 15C Calcule a pressão no borrifador em kPa Estime a vazão se um comprimento de mangueira de 15 m de comprimento for adicionada Considere que a pressão no borrifador varie com a vazão e que a pressão no distribuidor principal de água permaneça constante em 345 kPa 8159 No Exemplo 810 verificamos que a vazão no distribuidor principal de água seria aumentada algo em torno de 33 pelo acoplamento de um difusor na saída do bocal instalado nesse distribuidor Vimos que o comissário de águas Romano exigia que o tubo conectado ao bocal de cada derivação para o consumidor tivesse o mesmo diâmetro por uma distância mínima de 15 m medida a partir do distribuidor principal Teria sido o comissário por demais conservador Usando os dados do problema estime o comprimento de tubo com eD 001 para o qual o sistema de tubo e difusor daria uma vazão igual àquela com o bocal apenas Trace um gráfico da razão de vazões volumétricas QQi como uma função de LD em que L é o comprimento do tubo entre o bocal e o difusor Qi é a vazão para o bocal apenas e Q é a vazão real com o tubo inserido entre o bocal e o difusor 8160 O seu chefe lembrando dos tempos de escola afirma que para escoamento em tubos a vazão volumétrica é proporcional à raiz quadrada de Q em que Δp é a diferença de pressão geradora do escoamento Você resolve analisar essa afirmativa e faz alguns cálculos Para isso você considera um tubo de aço comercial de diâmetro 25 mm e considera um escoamento inicial de 47 Lmin de água A seguir você aumenta a pressão aplicada de incrementos iguais e calcula as novas vazões de forma a construir o gráfico de Q versus Δp No mesmo gráfico você traça a curva com base na afirmativa do seu chefe Você observa as duas curvas O seu chefe estava certo 8161 Para o Problema 8146 que diâmetro seria necessário para o tubo de comprimento 2L gerar a mesma vazão que a do tubo de comprimento L 8162 Uma prensa hidráulica é acionada por uma bomba remota de alta pressão A pressão manométrica na saída da bomba é 207 MPa enquanto a pressão requerida na prensa é 189 MPa manométrica a uma vazão de 000057 m3s A prensa e a bomba são conectadas por um tubo liso de aço trefilado com 503 m de comprimento O fluido é óleo SAE 10W a 38C Determine o mínimo diâmetro de tubo que pode ser utilizado 8163 Uma bomba está localizada 45 m para o lado e 35 m acima de um reservatório Ela foi projetada para uma vazão de 6 Ls Para operação satisfatória a pressão estática manométrica na aspiração da bomba não deve ser inferior a 6 m de coluna de água manométrica Determine o menor tubo de aço comercial que dará o desempenho desejado 8164 Determine o menor duto retangular liso e com razão de aspecto igual a 3 que deixará passar 1 m3s de ar a 10C com uma perda de carga de 25 mm de água por 100 m de duto 8165 Uma nova instalação industrial requer uma vazão de água de 57 m3min A pressão manométrica na tubulação principal de água localizada na rua à 50 m da fábrica é 800 kPa O ramal de alimentação exigirá a instalação de 4 cotovelos em um comprimento total de 65 m A pressão manométrica requerida na fábrica é 500 kPa Que bitola de tubo de ferro galvanizado deve ser empregada 8166 Ar a 20C escoa em uma seção quadrada de um duto feito de aço comercial O duto tem 25 m de comprimento Que tamanho de duto comprimento de um lado deve ser empregado para produzir uma vazão de 2 m3s de ar com uma queda de pressão de 15 cm de água 8167 Investigue o efeito do diâmetro de tubo sobre a vazão calculando a vazão gerada por uma diferença de pressão Δp 100 kPa aplicada a um comprimento L 100 m de um tubo liso Trace um gráfico da vazão versus o diâmetro do tubo que inclua os escoamentos laminar e turbulento 8168 Que diâmetro deve ser empregado em um tubo de água para gerar 0075 m3s a uma perda de carga de 500 kPa O comprimento do tubo é 175 m e a sua rugosidade é 25 mm 8169 Um grande reservatório fornece água para a comunidade Uma parte do sistema de abastecimento de água é mostrada A água é bombeada de um reservatório para um grande tanque de armazenagem antes de ser enviada para a instalação de tratamento de água O sistema é projetado para fornecer 1310 Ls de água a 20C De B para C o sistema consiste em uma entrada de bordaviva 760 m de tubo três válvulas de gaveta quatro cotovelos de 45 e dois cotovelos de 90 A pressão manométrica em C é 197 kPa O sistema entre F e G contém 760 m de tubo duas válvulas de gaveta e quatro cotovelos de 90 Todo o tubo é de ferro fundido de 508 mm de diâmetro Calcule a velocidade média da água no tubo a pressão manométrica na seção transversal em F a potência de acionamento da bomba sua eficiência é de 80 e a tensão de cisalhamento de parede no trecho FG 8170 Um experimento de atrito de ar consiste de um tubo de latão liso de 635 mm de diâmetro interno a distância entre tomadas de pressão é 152 m A queda de pressão é indicada por um manômetro de tubo em U com óleo Merian vermelho A velocidade U na linha de centro é medida com um pitot Em uma condição de escoamento U 231 ms e a queda de pressão é 123 mm de óleo Para esta condição avalie o número de Reynolds baseado na velocidade média do escoamento Calcule o fator de atrito e compare com o valor obtido a partir da Eq 837 use n 7 no perfil de velocidade da lei de potência 8171 Petróleo está escoando de um grande tanque em uma colina para um petroleiro no cais O compartimento de carga no navio está quase cheio e um operador inicia o processo de interrupção do escoamento Uma válvula no cais é fechada a uma taxa tal que uma pressão de 1 MPa é mantida na linha imediatamente a montante da válvula Considere Comprimento da linha do tanque até a válvula 3 km Diâmetro interno da linha 200 mm Elevação da superfície do óleo no tanque 60 m Elevação da válvula no cais 6 m Vazão volumétrica instantânea 25 m3min Perda de carga na linha para esta vazão exclusiva do fechamento da válvula 23 m de óleo Densidade relativa do óleo 088 Calcule a taxa instantânea inicial de variação da vazão volumétrica 8172 O problema 8171 descreve uma situação na qual o escoamento em uma longa tubulação partindo de um tanque elevado é lentamente reduzido para evitar um aumento grande de pressão golpe de aríete Estenda essa análise para predizer e traçar graficamente a programação de fechamento coeficiente de perda da válvula versus tempo necessária para manter a pressão máxima na válvula igual ou abaixo de um dado valor durante o processo de interrupção de escoamento do tanque 8173 Uma bomba impulsiona água a uma vazão constante de 113 kgs através de um sistema de tubos A pressão na sucção da bomba é 172 kPa manométrica A pressão na descarga da bomba é 345 kPa manométrica O diâmetro do tubo de entrada é 75 mm o diâmetro do tubo de saída é 50 mm A eficiência da bomba é 70 Calcule a potência requerida para acionar a bomba 8174 O aumento de pressão através de uma bomba de água é 75 kPa quando a vazão volumétrica é 25 Ls Se a eficiência da bomba for 80 determine a potência fornecida para a bomba 8175 Uma tubulação de 125 mm de diâmetro para transporte de água a 10C é constituída por 50 m de trecho reto e horizontal de tubo galvanizado cinco válvulas de gaveta totalmente abertas uma válvula angular totalmente aberta sete cotovelospadrão de 90 uma entrada de bordaviva do reservatório e uma descarga livre As condições de entrada e de saída são p1 150 kPa e z1 15 m e as condições de saída são p2 0 kPa e z2 30 m Uma bomba centrífuga é instalada na linha para impulsionar a água Que aumento de pressão a bomba deve prover para que a vazão volumétrica seja Q 50 Ls 8176 Água para resfriamento de perfuratrizes de rocha é bombeada de um reservatório para um canteiro de obras usando o sistema de tubos mostrado A vazão deve ser de 38 Ls e a água deve deixar o bocal de resfriamento spray a 37 ms Calcule a mínima pressão necessária na saída da bomba Estime a potência de acionamento requerida sendo a eficiência da bomba de 70 8177 Você é chamado para especificar uma instalação de bomba de abastecimento de água do Sears Tower em Chicago O sistema requer 100 gpm de água bombeada para um reservatório no topo da torre situada 340 m acima do nível da rua A pressão da água na entrada da bomba no nível da rua é 400 kPa manométrica A tubulação deve ser de aço comercial Determine o mínimo diâmetro requerido para manter a velocidade média da água abaixo de 35 ms na tubulação Calcule o aumento de pressão requerido através da bomba Estime a potência mínima necessária para acionar a bomba 8178 O sistema de arcondicionado do campus de uma universidade é suprido por água a 10C de um chiller bombeada através de uma tubulação distribuidora principal A tubulação faz um circuito fechado de 5 km de comprimento O diâmetro do tubo é 075 m e o material é aço comercial A máxima vazão em volume de projeto é 065 m3s A bomba de recirculação é acionada por um motor elétrico As eficiências da bomba e do motor são ηb 85 e ηm 85 respectivamente O custo da eletricidade é 014 dólarkW h Determine a a queda de pressão b a taxa de adição de energia à água e c o custo diário de energia elétrica para bombeamento 8179 Um bocal é conectado à uma mangueira de incêndio lisa revestida de borracha com 100 m de comprimento e 35 cm de diâmetro Água de um hidrante é fornecida a 350 kPa manométrica para uma bomba auxiliar instalada no carro dos bombeiros Nas condições de projeto a pressão na entrada do bocal é 700 kPa manométrica e a queda de pressão ao longo da mangueira é de 750 kPa por 100 m de comprimento Determine a a vazão de projeto b a velocidade na saída do bocal considerando inexistência de perdas no bocal e c a potência requerida para acionar a bomba auxiliar sendo sua eficiência de 70 8180 Petróleo bruto SG 0925 e ν 10104m2s é bombeado através de uma tubulação reta sobre piso plano A linha é feita de tubos de aço de 600 mm diâmetro interno com espessura de parede de 12 mm A tensão admissível na parede do tubo é limitada em 275 MPa por considerações de corrosão É importante manter o petróleo a uma pressão na qual os gases permaneçam em solução A menor pressão recomendada é de 500 kPa A tubulação transporta 400000 barris por dia na indústria de petróleo um barril equivale a 42 galões Determine o máximo espaçamento entre estações de bombeamento Calcule a potência adicionada ao petróleo em cada estação de bombeamento 8181 A vazão volumétrica através de uma fonte em um prédio do campus é 0075 m3s Cada jato de água pode alcançar uma altura de 10 m Estime o custo diário de funcionamento da fonte Considere que a eficiência do motor da bomba é de 85 que a eficiência da bomba é de 85 e que o custo da energia elétrica é de 014 dólarkW h 8182 Derivados de petróleo são transportados a longas distâncias por uma tubulação como por exemplo a tubulação do Alasca veja o Exemplo 86 Estime a energia necessária para bombear um derivado de petróleo típico expressa como uma fração da energia transportada por toda a tubulação Enuncie e critique suas hipóteses claramente 8183 O sistema de teste de bombas do Problema 8128 está funcionando com uma bomba que gera uma diferença de pressão dada por Δp 750 15104 Q2 em que Δp é dado em kPa e a vazão gerada é Q em expressa em m3s Determine a vazão de água a diferença de pressão e a potência de acionamento da bomba sendo sua eficiência de 70 8184 Uma bomba de água pode gerar uma diferença de pressão p kPa dada por Δp 999 859 Q2 em que a vazão volumétrica Q é dada em m3s Ela alimenta um tubo de 05 m de diâmetro rugosidade de 13 mm e comprimento de 760 m Determine a vazão volumétrica a diferença de pressão e a potência de acionamento da bomba sendo sua eficiência de 70 Se o tubo fosse substituído por outro com rugosidade de 6 mm qual seria o aumento na vazão e qual seria a potência requerida 8185 Um duto de seção transversal quadrada 035 m 035 m 175 m é usado para fornecer ar ρ 11 kgm3 para uma sala limpa em uma fábrica de produtos eletrônicos O ar é insuflado por um ventilador e passa através de filtros instalados no duto O fator de atrito no duto é f 0003 o filtro tem um coeficiente de perda K 3 O ventilador produz uma diferença de pressão Δp 2250 250Q 150Q2 em que Δp Pa é a pressão gerada pelo ventilador à vazão Q m3s Determine a vazão volumétrica de ar fornecida à sala 8186 A curva de altura de carga versus capacidade para certo ventilador pode ser aproximada pela equação H 762 114 Q2 em que H é a altura de carga estática na saída em polegadas de água e Q é a vazão volumétrica de ar em m3s As dimensões na saída do ventilador são 200 400 mm Determine a vazão de ar liberada pelo ventilador para dentro de um duto retangular de 200 400 mm com 61 m de comprimento 8187 O sistema de tubos mostrado conduz água e é construído com tubos de ferro galvanizado Perdas menores podem ser desprezadas A entrada está a 400 kPa manométrica e todas as saídas estão à pressão atmosférica Determine as vazões volumétricas Q0 Q1 Q2 Q3 e Q4 8188 Determine as vazões volumétricas Q0 Q1 Q2 e Q4 se o ramal 3 for bloqueado 8189 Um sistema de tubos de ferro fundido conduzindo água é constituído de um trecho de 46 m após o qual o escoamento se divide em dois ramais de 46 m cada um que se juntam em um trecho final de 46 m Perdas menores podem ser desprezadas Todos os trechos são de 38 mm de diâmetro exceto um dos dois ramais que tem 25 mm de diâmetro Se a diferença de pressão através do sistema for 345 kPa determine a vazão total e as vazões em cada um dos ramais 8190 Uma piscina tem um sistema de filtragem de fluxo parcial Água a 24C é bombeada da piscina através do sistema mostrado A bomba fornece 19 Ls O tubo é de PVC com diâmetro nominal de 20 mm diâmetro interno de 2093 mm A perda de pressão através do filtro é aproximadamente Δp 1039 Q2 onde Δp é dada em kPa e Q em Ls Determine a pressão na bomba e a vazão através de cada ramal do sistema 8191 Por que a temperatura da água do chuveiro muda quando a descarga do vaso sanitário é acionada Esboce as curvas de pressão para os sistemas de suprimento de água quente e de água fria para explicar o que acontece Medidores de Vazão 8192 Um orifício de bordaviva com tomadas de canto e um manômetro de coluna de água são usados para medir vazão de ar comprimido Os seguintes dados são disponíveis Diâmetro interno da linha de ar 150 mm Diâmetro da placa de orifício 100 mm Pressão a montante 600 kPa Temperatura do ar 25C Deflexão no manômetro 750 mm H2O Calcule a vazão em volume na linha expressa em metros cúbicos por hora 8193 Água a 65C escoa através de um orifício com diâmetro de 75 mm instalado em um tubo de 150 mm de diâmetro interno A vazão é 20 Ls Determine a diferença de pressão entre as tomadas de canto 8194 Um tubo liso de 200 m de comprimento e diâmetro de 100 mm liga dois reservatórios a entrada e a saída do tubo são de bordas vivas No ponto médio do trecho de tubo está uma placa de orifício com diâmetro de 40 mm Se os níveis de água nos reservatórios diferem de 30 m estime o diferencial de pressão indicado pela placa de orifício e a vazão volumétrica 8195 Um medidor venturi com 762 mm de diâmetro na garganta é instalado em uma linha de 152 mm de diâmetro que transporta água a 24ºC A queda de pressão entre a tomada de montante e a garganta do venturi é 305 mm de mercúrio Calcule a vazão 8196 Considere um venturi horizontal de 50 mm 25 mm com escoamento de água Para um diferencial de pressão de 150 kPa calcule a vazão volumétrica gpm 8197 Gasolina escoa através de um medidor venturi de 50 mm 25 mm O diferencial de pressão é 380 mm de mercúrio Determine a vazão em volume 8198 Ar escoa através do medidor venturi descrito no Problema 8195 Considere que a pressão a montante é 413 kPa e que a temperatura é constante em todos os pontos com valor de 20C Determine a máxima vazão mássica de ar admissível para a qual a hipótese de escoamento incompressível é válida para aproximações de engenharia Calcule a correspondente leitura do diferencial de pressão em um manômetro de mercúrio 8199 A vazão de ar em um teste de um motor de combustão interna deve ser medida usando um bocal medidor instalado em uma câmara pressurizada O deslocamento do motor é 16 litros e a sua velocidade máxima de operação é 6000 rpm Para evitar carregamento do motor a queda de pressão máxima através do bocal não deve exceder 025 m de água O manômetro pode ser lido com precisão de 05 mm de água Determine o diâmetro do bocal que deve ser especificado Determine a mínima vazão de ar que pode ser medida com precisão de 2 usando este sistema de medição 8200 Água a 10C escoa em regime permanente através de um venturi A pressão a montante da garganta é 200 kPa manométrica O diâmetro da garganta é 50 mm o diâmetro a montante é 100 mm Estime a máxima vazão que pode passar por esse dispositivo sem cavitação 8201 Deduza a Eq 842 do coeficiente de perda de pressão para um difusor considerando escoamento ideal sem atrito 8202 Considere a instalação de um bocal medidor em um tubo Aplique as equações básicas ao volume de controle indicado para mostrar que a perda de carga permanente através do medidor pode ser expressa em forma adimensional como o coeficiente de perda de carga Trace um gráfico de Cl como uma função da razão de diâmetros D2D1 8203 Canudinhos de refrigerante podem ser usados para melhorar o escoamento de ar em um experimento O preenchimento de um trecho do tubo com canudos de modo a formar um elemento de escoamento laminar poderia permitir a medição direta da vazão de ar e ao mesmo tempo atuaria como um retificador de fluxo Para avaliar esta ideia determine a o número de Reynolds para o escoamento em cada canudo b o fator de atrito para o escoamento em cada canudo e c a pressão manométrica na saída dos canudos Para escoamento laminar em um tubo o coeficiente de perda localizada é Kentrada 14 e α 20 Comente sobre a utilidade desta ideia 8204 Em alguns estados do oeste água para mineração e irrigação era vendida por polegada de mineiro ou seja a taxa para a qual a água escoa através de uma abertura de 645 mm2 de área em uma tábua vertical com altura de até 102 mm com queda de pressão de 152 a 229 mm de água Desenvolva uma equação para prever a vazão mássica através de tal orifício Especifique claramente a razão de aspecto da abertura a espessura da tábua e o nível de referência para medida de altura de carga topo fundo ou meio da abertura Mostre que a unidade de medida varia de 384 no Colorado a 50 no Arizona Idaho Nevada e Utah polegadas de mineiro para igualar 00283 m3s 8205 A vazão volumétrica em um duto circular pode ser medida por um pitot transverso isto é pela medida da velocidade em vários segmentos de área através do duto seguida do somatório das vazões segmentais Comente sobre o modo de realização da medição transversa Quantifique e trace o erro esperado na medida da vazão como uma função do número de posições fundamentais usadas no pitot transverso Este tópico aplicase a uma seção que pode ser omitida sem perda de continuidade no material do texto Estes problemas requerem material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Estes problemas requerem material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Escoamento Viscoso Incompressível Externo Parte A CamadasLimite 91 O Conceito de CamadaLimite 92 Espessuras de CamadaLimite 93 CamadaLimite Laminar sobre uma Placa Plana Solução Exata no Site da LTC Editora 94 Equação Integral da Quantidade de Movimento 95 Uso da Equação Integral da Quantidade de Movimento para Escoamento com Gradiente de Pressão Zero 96 Gradientes de Pressão no Escoamento da CamadaLimite Parte B Escoamento Fluido em Torno de Corpos Submersos 97 Arrasto 98 Sustentação 99 Resumo e Equações Úteis Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente Energia Eólica O Sistema Rotativo a Ar Magenn MARS No Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente do Capítulo 8 focamos em uma alternativa para as fazendas de turbinas eólicas com três pás que estão surgindo em todo o mundo Neste Estudo de Caso focamos em uma segunda ideia original para energia eólica o Sistema Rotativo a Ar Magenn MARS A Magenn Power é uma empresa que tem trabalhado no assunto por muitas décadas e que iniciou projetando o Navio Espacial Esférico Magnus em 1978 O fundador da Magenn Power Fred Ferguson patenteou a Aeronave Magnus na década de 1980 Esta aeronave original gera sustentação extra devido ao efeito Magnus Discutiremos o efeito Magnus neste capítulo por enquanto simplesmente vamos considerar que esse efeito é aquele em que uma força de sustentação é gerada sempre que uma esfera ou um cilindro gira em um escoamento cruzado o exemplo clássico é no golfe em que uma bola tacada com backspin terá um percurso adicional devido à sustentação gerada pela rotação A aeronave era um grande envelope esférico cheio de gás hélio para alcançar a sustentação estática de empuxo Ela foi projetada para girar conforme se movimentava de modo que a sustentação Magnus era gerada Com a sustentação Magnus conforme aprenderemos neste capítulo quanto mais rápida a rotação ou força motor do veículo para a frente maior será a sustentação Magnus O MARS mostrado em apresentação é um dispositivo acorrentado mais leve que o ar para trabalhar em grandes alturas que gira em torno de um eixo horizontal em resposta ao vento é essencialmente uma turbina eólica do tipo Savonius com eixo horizontal veja a Fig P997 na seção de problemas deste capítulo O empuxo é fornecido pelo gás hélio contido no dispositivo mas a sua rotação também gera sustentação via o efeito Magnus A sustentação extra permite que o dispositivo seja estabilizado em voo mantendoo em local preciso e prevenindo danos pelo efeito do vento em suas amarras quanto mais forte for o vento maior será a sustentação Magnus A rotação do MARS aciona um gerador no interior do dispositivo e a energia elétrica flui para baixo através da corrente para um transformador existente na estação de base no solo O MARS possui diversas vantagens sobre as turbinas eólicas convencionais de três pás A empresa Magenn Power acredita que produzirá energia elétrica muito mais barata e terá tempo médio de saída muito mais próximo da sua capacidade nominal do que o fator de capacidadeNT de projetos convencionais é também operacional sobre uma grande faixa de velocidades do vento de 2 ms até mais do que 30 ms Acreditase que o rendimento será de 25 a 60 As fazendas eólicas com o MARS poderiam ser localizadas mais próximas a centros de demanda do que as turbinas eólicas convencionais reduzindo os custos de investimento inicial das linhas de transmissão assim como perdas operacionais Os dispositivos poderiam ser levantados para grandes alturas onde os ventos são mais fortes são possíveis altitudes a partir de 100 m até em torno de 300 m acima do nível do solo sem necessidade da construção de infraestrutura onerosa Os MARS são móveis e poderiam ser muito úteis em situações de emergência e no alívio de desastres O protótipo mostrado na figura com capacidade de 10 a 25 kW está agora em fase de testes Um exemplo do dispositivo MARS Foto cortesia de Magenn Power Escoamentos externos são escoamentos sobre corpos imersos em um fluido sem fronteiras O escoamento sobre uma esfera Fig 216 são exemplos de escoamento externo que foram discutidos qualitativamente no Capítulo 2 Exemplos mais interessantes são os campos de escoamento em torno de objetos tais como aerofólios Fig 91 automóveis e aviões O nosso objetivo neste capítulo é quantificar o comportamento de fluidos incompressíveis viscosos em escoamentos externos Fig 91 Detalhes do escoamento viscoso em torno de um aerofólio Diversos fenômenos que ocorrem no escoamento externo sobre um corpo são ilustrados no esboço do escoamento com alto número de Reynolds de um fluido viscoso sobre um aerofólio Fig 91 O escoamento da corrente livre dividese no ponto de estagnação e circunda o corpo O fluido em contato com a superfície adquire a velocidade do corpo como resultado da condição de não deslizamento Camadaslimite formamse tanto na superfície superior quanto na superfície inferior do corpo A espessura da camadalimite em ambas as superfícies na Fig 91 está exageradamente ampliada para maior clareza O escoamento da camadalimite é inicialmente laminar A transição para escoamento turbulento ocorre a alguma distância do ponto de estagnação distância esta que depende das condições da corrente livre da rugosidade da superfície e do gradiente de pressão Os pontos de transição estão indicados por T na figura A camadalimite turbulenta que se desenvolve após a transição cresce mais rapidamente que a camadalimite laminar Um leve deslocamento das linhas de corrente do escoamento externo é causado pelo crescimento das camadas limite sobre as superfícies Em uma região de pressão crescente um gradiente de pressão adverso assim chamado porque ele se opõe ao movimento do fluido tendendo a desacelerar as partículas fluidas uma separação do escoamento pode ocorrer Os pontos de separação estão indicados por S na figura O fluido que estava nas camadaslimite sobre a superfície do corpo forma a esteira viscosa atrás dos pontos de separação VÍDEO Escoamento em Torno de um Aerofólio em inglês Este capítulo tem duas partes A Parte A é uma revisão dos escoamentos de camadalimite Nela discutimos com um pouco mais de detalhes as ideias introduzidas no Capítulo 2 e em seguida aplicamos os conceitos já adquiridos de mecânica dos fluidos para analisar a camadalimite de um escoamento ao longo de uma placa plana a camadalimite mais simples possível porque o campo de pressão é constante Estamos interessados em verificar como cresce a espessura da camadalimite qual será o atrito superficial e assim por diante Vamos explorar uma solução analítica clássica para uma camadalimite laminar e entendemos que é necessário recorrer a métodos aproximados quando a camadalimite é turbulenta somos capazes também de usar esses métodos aproximados para camadaslimite laminares de modo a evitar o uso de métodos analíticos mais complicados Isso concluirá nossa introdução às camadaslimite não sem antes discutirmos brevemente os efeitos de gradientes de pressão presentes para todas as formas de corpos exceto placas planas sobre o comportamento da camadalimite Na Parte B nós discutimos a força sobre um corpo submerso tal como o aerofólio da Fig 91 Vemos que esta força resulta tanto das forças de cisalhamento quanto das forças de pressão agindo sobre a superfície do corpo e que ambas são profundamente afetadas pelo fato de que há uma camadalimite especialmente quando ocorre separação do escoamento e formação de esteira Tradicionalmente a força que um corpo experimenta é decomposta na componente paralela ao escoamento o arrasto e na componente perpendicular ao escoamento a sustentação Posto que a maioria dos corpos possui ponto de separação e esteira é difícil usar métodos analíticos para determinar as componentes da força e por isso apresentamos análises aproximadas e dados experimentais para diversos formatos interessantes de corpos VÍDEO Separação de Escoamento em um Aerofólio em inglês Parte A CamadasLimite 91 O Conceito de CamadaLimite O conceito de uma camadalimite foi introduzido originariamente em 1904 por Ludwig Prandtl 1 um alemão estudioso da aerodinâmica Antes da histórica contribuição de Prandtl a ciência da mecânica dos fluidos tinha sido desenvolvida em duas direções distintas A hidrodinâmica teórica evoluiu das equações de Euler para o movimento de um fluido não viscoso a Eq 61 publicada por Leonhard Euler em 1755 Como os resultados da hidrodinâmica especialmente aquele que como vimos no Capítulo 6 sob a consideração de escoamento invíscido nenhum corpo experimenta arrasto contradiziam muitas observações experimentais engenheiros práticos desenvolveram suas próprias artes empíricas da hidráulica Estes estudos baseavamse em dados experimentais e diferiam significativamente da abordagem puramente matemática da hidrodinâmica teórica Embora as equações completas que descrevem o movimento de um fluido viscoso as Eqs 526 de NavierStokes desenvolvidas por Navier em 1827 e independentemente por Stokes em 1845 fossem conhecidas antes de Prandtl as dificuldades matemáticas para a sua solução exceto para alguns casos simples proibiam um tratamento teórico dos escoamentos viscosos Prandtl mostrou 1 que muitos escoamentos viscosos podem ser analisados dividindo o escoamento em duas regiões uma perto das fronteiras sólidas e a outra cobrindo o resto do escoamento Apenas na delgada região adjacente a uma fronteira sólida a camadalimite o efeito da viscosidade é importante Na região fora da camadalimite o efeito da viscosidade é desprezível e o fluido pode ser tratado como não viscoso O conceito de camadalimite forneceu o elo que faltava entre a teoria e a prática principalmente porque ele introduziu a possibilidade teórica do arrasto Além disso o conceito de camadalimite permitiu a solução de problemas de escoamentos viscosos o que seria impossível pela aplicação das equações de NavierStokes ao campo completo do escoamento1 Desse modo a introdução do conceito de camadalimite marcou o começo da era moderna da mecânica dos fluidos O desenvolvimento de uma camadalimite sobre uma superfície sólida foi discutido na Seção 26 Na camadalimite tanto as forças viscosas quanto as forças de inércia são importantes Por conseguinte não é surpreendente que o número de Reynolds que representa a razão entre as forças de inércia e as forças viscosas seja significativo na caracterização dos escoamentos da camadalimite O comprimento característico usado no número de Reynolds ou é o comprimento na direção do escoamento no qual a camadalimite desenvolveuse ou é alguma medida da espessura da camadalimite Como acontece nos escoamentos em dutos o escoamento de camadalimite pode ser laminar ou turbulento Não há valor único do número de Reynolds para o qual ocorre a transição de escoamento laminar para turbulento em uma camadalimite Entre os fatores que afetam a transição de camadalimite estão o gradiente de pressão a rugosidade superficial a transferência de calor as forças de campo e as perturbações da corrente livre Considerações detalhadas destes efeitos estão além dos objetivos deste livro Em muitas situações de escoamento real uma camadalimite desenvolvese sobre uma superfície longa essencialmente plana Os exemplos incluem escoamentos sobre cascos de navios e de submarinos asas de aviões e movimentos atmosféricos sobre terreno plano camadalimite atmosférica Como as características básicas de todos esses escoamentos são ilustradas no caso mais simples de uma placa plana consideraremos este caso em primeiro lugar A simplicidade do escoamento sobre uma placa plana infinita é que a velocidade U fora da camadalimite é constante e por isso a pressão também será constante considerando que esta região é não viscosa incompressível está em regime permanente e a pressão também será constante Esta pressão constante obviamente o campo de pressão mais simples possível é a pressão sentida pela camadalimite Este é um escoamento com gradiente de pressão zero Fig 92 Camadalimite sobre uma placa plana a espessura vertical está exageradamente ampliada A Fig 92 mostra um quadro qualitativo do crescimento de uma camadalimite sobre uma placa plana A camada limite é laminar por uma curta distância a jusante da borda de ataque a transição ocorre sobre uma região da placa e não sobre uma linha única transversal à placa A região de transição estendese para jusante até o local onde o escoamento da camadalimite tornase inteiramente turbulento Para escoamento incompressível sobre uma placa plana lisa gradiente de pressão zero na ausência de transferência de calor a transição de escoamento laminar para turbulento na camadalimite pode ser retardada para números de Reynolds Rex ρUxμ superiores a um milhão se as perturbações externas forem minimizadas O comprimento x é medido a partir da borda de ataque da placa Para fins de cálculo sob condições típicas de escoamento considerase que a transição ocorre geralmente em um número de Reynolds de 500000 Para o ar na condiçãopadrão com velocidade de corrente livre U 30 ms isto corresponde a x 024 m No esquema qualitativo da Fig 92 mostramos a camadalimite turbulenta crescendo mais rápido que a camadalimite laminar Em seções posteriores deste capítulo mostraremos que isto é realmente verdadeiro Na próxima seção nós discutiremos diversas formas de quantificar a espessura de uma camadalimite VÍDEO CamadasLimite Turbulenta e Laminar em inglês 92 Espessuras de CamadaLimite A camadalimite é a região adjacente a uma superfície sólida na qual tensões viscosas estão presentes em contraposição à corrente livre em que as tensões viscosas são desprezíveis Estas tensões estão presentes porque existe cisalhamento das camadas do fluido isto é gradientes de velocidade na camadalimite Conforme indicado na Fig 92 tanto a camadalimite laminar quanto a camada turbulenta possuem tais gradientes Porém a dificuldade é que os gradientes apenas aproximamse assintoticamente de zero quando se atinge a borda da camadalimite Portanto a definição de borda isto é de espessura da camadalimite não é muito óbvia nós não podemos simplesmente definila como o local onde a velocidade u é igual à velocidade da corrente livre U Por causa disso diversas definições de camadalimite têm sido desenvolvidas a espessura de perturbação ou da camadalimite simplesmente δ a espessura de deslocamento δ e a espessura de quantidade de movimento θ Cada uma destas grandezas aumenta conforme se avança na direção e sentido do escoamento de uma forma que ainda iremos determinar VÍDEO Crescimento da CamadaLimite em inglês A definição mais direta é a espessura de perturbação δ Ela é definida usualmente como a distância da superfície na qual a velocidade situase dentro de 1 da velocidade da corrente livre isto é u 099U conforme mostrado na Fig 93b As outras duas definições são baseadas na noção de que a camadalimite retarda o fluido de modo que tanto o fluxo de massa quanto o fluxo de quantidade de movimento são menores do que seriam na ausência da camadalimite Imaginemos então que o fluido permanecesse com a velocidade uniforme U porém que a superfície da placa fosse movida para cima de modo a reduzir ambos os fluxos de massa e de quantidade de movimento da mesma quantidade que a camadalimite realmente reduz A espessura de deslocamento δ é a distância que a placa seria deslocada de modo que a perda de fluxo de massa devido à redução na área do escoamento uniforme fosse equivalente à perda causada pela camadalimite Caso não existisse camadalimite o fluxo de massa seria ρU dy w em que w é a largura da placa perpendicular ao escoamento O fluxo de massa real do escoamento é ρu dy w Portanto a perda devido à camadalimite é ρU u dy w Por outro lado se imaginarmos o escoamento com velocidade constante U com a placa deslocada para cima de uma distância δ conforme mostrado na Fig 93a a perda de fluxo de massa seria δUδw Igualando essas perdas resulta VÍDEO Efeito da Viscosidade sobre o Crescimento da CamadaLimite em inglês Para escoamento incompressível ρ constante e Como u U para y δ o integrando é essencialmente zero para y δ A aplicação do conceito de espessura de deslocamento é ilustrada no Exemplo 91 A espessura de quantidade de movimento δ é a distância que a placa seria movida de modo que a perda de fluxo de quantidade de movimento fosse equivalente à perda real causada pela camadalimite O fluxo da quantidade de movimento caso não existisse camadalimite seria ρuU dy w posto que o fluxo de massa real é ρu dy w e a quantidade de movimento por unidade de fluxo de massa do escoamento uniforme é o próprio U O fluxo real de quantidade de movimento da camadalimite é ρu2 dy w Portanto a perda de quantidade de movimento na camada limite é ρuU u dy w Por outro lado se imaginarmos o escoamento com velocidade constante U com a placa deslocada para cima de uma distância θ conforme mostrado na Fig 93c a perda de fluxo de quantidade de movimento seria ρUU dy w ρU2 θw Igualando essas perdas obtivemos e Fig 93 Definições de espessura de camadaslimite Novamente o integrando é essencialmente zero para y δ As espessuras de deslocamento e de quantidade de movimento δ e θ são espessuras integrais porque as suas definições Eqs 91 e 92 estão em termos de integrais através da camadalimite Como estas espessuras são definidas em termos de integrais cujos integrandos tornamse nulos na corrente livre elas são consideravelmente mais fáceis de avaliar com precisão a partir de dados experimentais que a espessura de perturbação δ da camadalimite Este fato junto com o seu significado físico justifica o emprego comum da espessura de quantidade de movimento na definição de camadaslimite Vimos que o perfil de velocidade em uma camadalimite une assintoticamente com a velocidade da corrente livre Pouco erro é introduzido se a pequena diferença entre as velocidades na borda da camadalimite for ignorada em uma análise aproximada Hipóteses simplificadoras usualmente feitas em análises de engenharia para o desenvolvimento da camadalimite são 1 u U em y δ 2 uy 0 em y δ 3 υ U dentro da camadalimite Os resultados das análises desenvolvidas nas duas próximas seções mostram que a camadalimite é muito fina comparada com o seu comprimento desenvolvido ao longo da superfície Portanto também é razoável supor que 4 A variação de pressão através da camadalimite delgada seja desprezível A distribuição de pressão da corrente livre é impressa sobre a camadalimite Exemplo 91 ESCOAMENTO DE CAMADALIMITE EM UM CANAL Um túnel de vento de laboratório tem seção de teste quadrada com 305 mm de lado Os perfis de velocidade da camadalimite são medidos em duas seções transversais e as espessuras de deslocamento são avaliadas a partir dos perfis medidos Na seção em que a velocidade da corrente livre é U1 26 ms a espessura de deslocamento é 15 mm Na seção localizada a jusante da seção 21 mm Calcule a variação na pressão estática entre as seções e Expresse o resultado como uma fração da pressão dinâmica da corrente livre na seção Considere atmosfera na condiçãopadrão Dados Escoamento de arpadrão em um túnel de vento de laboratório A seção de teste é quadrada com L 305 mm As espessuras de deslocamento são 15 mm e 21 mm A velocidade da corrente livre é U1 26 ms Determinar A variação na pressão estática entre as seções e Expresse o resultado como uma fração da pressão dinâmica da corrente livre na seção Solução A ideia aqui é que em cada posição a espessura de deslocamento da camadalimite reduz a área do escoamento uniforme conforme indicado nas figuras A posição tem uma área de escoamento efetiva menor que a posição porque Então da conservação de massa a velocidade uniforme na posição será maior Finalmente da equação de Bernoulli a pressão na posição será menor que aquela na posição Aplique as equações da continuidade e de Bernoulli ao escoamento de corrente livre fora da espessura de deslocamento da camadalimite em que os efeitos viscosos são desprezíveis Equação básica Considerações 1 Escoamento em regime permanente 2 Escoamento incompressível 3 Escoamento uniforme em cada seção fora de δ 4 Escoamento ao longo de uma linha de corrente entre as seções e 5 Não há efeitos de atrito na corrente livre 6 Variações de elevação desprezíveis Da equação de Bernoulli obtivemos ou Da continuidade V1 A1 U1 A1 V2 A2 U2 A2 logo U2U1 A1A2 em que A L 2δ2 é a área efetiva do escoamento Substituindo obtivemos Notas Este problema ilustra uma aplicação básica do conceito de espessura de deslocamento Devido ao fato do escoamento ser confinado a redução na área de escoamento causada pelo crescimento das camadaslimite nas paredes leva ao resultado de que a pressão na região de escoamento não viscoso diminui mesmo que levemente Na maioria das aplicações a distribuição de pressão é determinada a partir do escoamento não viscoso e em seguida aplicada ao escoamento da camadalimite Vimos um fenômeno similar na Seção 81 em que descobrimos que a velocidade de linha de centro na entrada de um tubo aumenta devido ao fato de a camadalimite espremer a área efetiva de escoamento 93 CamadaLimite Laminar sobre uma Placa Plana Solução Exata no Site da LTC Editora 94 Equação Integral da Quantidade de Movimento A solução exata de Blasius discutida na Seção 93 no site da LTC Editora analisou uma camadalimite laminar sobre uma placa plana Mesmo este caso mais simples isto é velocidade de corrente livre U e pressão p constantes e escoamento laminar envolveu a realização de uma transformação matemática bastante sutil de duas equações diferenciais A solução foi baseada no sentimento de que o perfil de velocidade da camadalimite laminar é similar apenas sua escala muda no escoamento ao longo da placa Mesmo com esta transformação notamos que uma integração numérica foi necessária para gerar resultados para a espessura de camadalimite δx perfil de velocidade uU como função de yδ e tensão de cisalhamento na parede τwx Gostaríamos de obter um método para analisar o caso geral isto é para camadaslimite laminar e turbulenta para o qual a velocidade de corrente livre Ux e pressão px são funções conhecidas de posição ao longo da superfície x tal como sobre a superfície curva de um aerofólio ou sobre superfícies planas mas divergentes de um escoamento em difusor A metodologia é aquela na qual aplicaremos novamente as equações de governo para um volume de controle A dedução a partir da equação da conservação da massa ou da continuidade e da equação da quantidade de movimento ocupará várias páginas Considere um escoamento em regime permanente incompressível bidimensional sobre uma superfície sólida A espessura da camadalimite δ cresce de algum modo com o aumento da distância x Para nossa análise escolhemos um volume de controle diferencial de comprimento dx largura w e altura δx conforme mostrado na Fig 94 A velocidade da corrente livre é Ux Desejamos determinar a espessura da camadalimite δ como uma função de x Haverá fluxo de massa através das superfícies ab e cd do volume de controle diferencial abcd E quanto à superfície bc A superfície bc não é uma linha de corrente mostramos isso no Exemplo 92 no site da LTC Editora é o limite imaginário que separa a camada limite viscosa e o escoamento não viscoso da corrente livre Então haverá fluxo de massa através da superfície bc Como a superfície de controle ad é adjacente a uma fronteira sólida não haverá fluxo de massa através de ad Antes de considerarmos as forças que atuam sobre o volume de controle e os fluxos de quantidade de movimento através da superfície de controle apliquemos a equação da continuidade a fim de determinar o fluxo de massa através de cada porção da superfície de controle a Equação da Continuidade Equação básica Fig 94 Volume de controle diferencial em uma camadalimite Considerações 1 Escoamento em regime permanente 2 Escoamento bidimensional Portanto Consequentemente ab bc cd 0 ou bc ab cd Avaliemos agora estes termos para o volume de controle diferencial de largura w Superfície Fluxo de massa ab A superfície ab está localizada em x Uma vez que o escoamento é bidimensional sem variação em z o fluxo de massa através de ab é cd A superfície cd está localizada em x dx Expandindose em séries de Taylor em torno do ponto x obtivemos e consequentemente bc Assim para a superfície bc obtivemos a partir da equação da continuidade e dos resultados anteriores Note que a velocidade u e a espessura da camadalimite δ o limite superior na integral dependem de x Consideremos agora os fluxos de quantidade de movimento e as forças associadas ao volume de controle abcd Estas quantidades estão relacionadas pela equação da quantidade de movimento b Equação da Quantidade de Movimento Apliquemos a componente x da equação da quantidade de movimento ao volume de controle abcd Equação básica Consideração 3 FBx 0 Então FSx mfab mfbc mfcd em que mf representa a componente x do fluxo de quantidade de movimento Para aplicarmos esta equação ao volume de controle diferencial abcd nós devemos obter expressões para o fluxo da quantidade de movimento na direção x através da superfície de controle e também para as forças superficiais que atuam sobre o volume de controle na direção x Consideremos primeiro o fluxo de quantidade de movimento de novo para cada segmento da superfície de controle Superfície Fluxo de Quantidade de Movimento mf ab A superfície ab está localizada em x Uma vez que o escoamento é bidimensional o fluxo de quantidade de movimento através de ab é cd A superfície cd está localizada em x dx Expandindose o fluxo de quantidade de movimento mf em séries de Taylor em torno do ponto x obtivemos ou bc Uma vez que a massa atravessando a superfície bc possui uma componente de velocidade U na direção x o fluxo de quantidade de movimento através de bc é dado por Do exposto podemos avaliar o fluxo líquido de quantidade de movimento segundo x através da superfície de controle como Agrupando termos verificamos que Agora que temos uma expressão adequada para o fluxo de quantidade de movimento segundo x através da superfície de controle vamos considerar as forças superficiais que atuam sobre o volume de controle na direção x Por conveniência o volume de controle diferencial foi redesenhado na Fig 95 Note que as superfícies ab bc e cd estão sob ação de forças normais isto é pressão que geram força na direção x Como por definição de camadalimite o gradiente de velocidade tende a zero na borda da camadalimite a força de cisalhamento que atua ao longo de bc é desprezível Fig 95 Volume de controle diferencial Superfície Força ab Se a pressão em x é p então a força agindo sobre a superfície ab é dada por Fab pwδ A camadalimite é muito delgada sua espessura foi bastante exagerada em todos os esboços que fizemos Como a camadalimite é delgada as variações de pressão na direção y podem ser desprezadas e consideramos somente que no interior da camadalimite p px cd Expandindo em séries de Taylor a pressão em x dx é dada por A força sobre a superfície cd é então dada por bc A pressão média agindo sobre a superfície bc é Então a componente em x da força normal agindo sobre a superfície bc é dada por ad A força de cisalhamento média agindo sobre ad é dada por Somando as componentes na direção x das forças que atuam sobre o volume de controle obtivemos em que podemos inferir que dx dδ δ dx e dτw τw e por isso desprezamos o segundo e o quarto termos Substituindo as expressões para SC u ρ d e FSx na equação da quantidade de movimento Eq 418a obtivemos Dividindo esta equação por w dx resulta A Eq 916 é uma equação de integral de quantidade de movimento que fornece uma relação entre as componentes x das forças que atuam em uma camadalimite e o fluxo de quantidade de movimento na direção x O gradiente de pressão dpdx pode ser determinado aplicando a equação de Bernoulli ao escoamento não viscoso fora da camadalimite dpdx ρU dUdx Reconhecendo que δ dy a Eq 916 pode ser escrita como Visto que temos e Usando as definições de espessura de deslocamento δ Eq 91 e espessura de quantidade de movimento θ Eq 92 obtivemos A Eq 917 é a equação integral da quantidade de movimento Esta equação resultará em uma equação diferencial ordinária para a espessura da camadalimite δ como uma função de x Em que δ aparece na Eq 917 Ela aparece nos limites superiores das integrais que definem δ e θ Tudo o que temos de fazer é fornecer uma expressão adequada para o perfil de velocidade uU e relacionar de alguma forma a tensão na parede τw com outras variáveis que não são necessariamente tarefas fáceis Uma vez determinada a espessura da camadalimite as expressões para a espessura de quantidade de movimento e de deslocamento e a tensão de cisalhamento na parede podem ser obtidas A Eq 917 foi obtida pela aplicação das equações básicas continuidade e quantidade de movimento em x a um volume de controle diferencial Revendo as considerações que fizemos na dedução verificamos que a equação fica restrita a escoamento em regime permanente incompressível bidimensional e sem forças de campo paralelas à superfície Nós não fizemos nenhuma hipótese específica relacionando a tensão de cisalhamento na parede τw com o campo de velocidade Desse modo a Eq 917 é válida para um escoamento da camadalimite laminar ou turbulento A fim de usar esta equação para estimar a espessura da camadalimite como uma função de x devemos primeiramente 1 Obter uma primeira aproximação para a distribuição de velocidade Ux Esta aproximação é obtida da teoria para escoamento invíscido a velocidade que existiria na ausência de uma camadalimite e ela depende da forma do corpo 2 Considerar uma forma razoável para o perfil de velocidade dentro da camadalimite 3 Deduzir uma expressão para τw usando os resultados obtidos do item 2 Para ilustrar a aplicação da Eq 917 a escoamentos da camadalimite nós vamos considerar primeiro o caso de escoamento sobre uma placa plana com gradiente de pressão zero Seção 95 os resultados que obtivermos para uma camadalimite laminar podem então ser comparados com os resultados exatos de Blasius Os efeitos de gradientes de pressão no escoamento de camadalimite serão discutidos na Seção 96 95 Uso da Equação Integral da Quantidade de Movimento para Escoamento com Gradiente de Pressão Zero Para o caso especial de uma placa plana gradiente de pressão zero a pressão p e a velocidade U da corrente livre são ambas constantes de modo que para o item 1 nós temos Ux U constante A equação integral da quantidade de movimento reduzse então a A distribuição de velocidade uU na camadalimite é considerada similar para todos os valores de x e é normalmente especificada como uma função de yδ Note que uU é adimensional e δ é uma função somente de x Consequentemente convém mudar a variável de integração de y para yδ Definindo obtemos dy δ dη e a equação integral da quantidade de movimento para gradiente de pressão zero é escrita Queremos resolver esta equação para a espessura da camadalimite como uma função de x Para fazer isso devemos cumprir os itens restantes 2 Considerar uma distribuição de velocidade na camadalimite uma relação funcional da forma a A distribuição de velocidade suposta deverá satisfazer as seguintes condições físicas aproximadas de contorno em y 0 u 0 em y δ u U em y δ 0 b Note que uma vez que supomos uma distribuição de velocidade a partir da definição de espessura de quantidade de movimento Eq 92 o valor numérico da integral na Eq 919 é simplesmente e a equação integral da quantidade de movimento tornase 3 Obter uma expressão para τw em termos de δ Isso permitirá então resolver para δx como ilustrado a seguir Escoamento Laminar Para escoamento laminar sobre uma placa plana uma hipótese razoável para o perfil de velocidade é um polinômio em y u a by cy2 As condições físicas de contorno são Avaliando as constantes a b e c vem A Eq 920 satisfaz o item 2 Para o item 3 lembramos que a tensão de cisalhamento na parede é dada por Substituindo o perfil de velocidade considerado Eq 920 na expressão para τw resulta ou Note que isso mostra que a tensão na parede τw é uma função de x visto que a espessura da camadalimite é δ δx Tendo agora completado então os itens 1 2 e 3 podemos retornar à equação integral para a quantidade de movimento Substituindo τw e uU obtivemos ou Integrando e substituindo os limites resulta que é uma equação diferencial para δ Integrando novamente vem Se considerarmos que δ 0 em x 0 então c 0 logo Note que isso mostra que a espessura da camadalimite laminar δ cresce na forma ela possui uma forma parabólica Tradicionalmente isto é expresso na forma adimensional VÍDEO Exemplos de Crescimento de CamadaLimite em inglês A Eq 921 mostra que a razão entre a espessura da camadalimite laminar e a distância ao longo de uma placa plana varia inversamente com a raiz quadrada do número de Reynolds do comprimento Ela tem a mesma forma que a solução exata deduzida por H Blasius em 1908 a partir das equações diferenciais completas do movimento É notável constatar que o erro da Eq 921 é apenas de 10 a constante é muito grande em comparação com a solução exata Seção 93 no site da LTC Editora A Tabela 92 resume os resultados correspondentes calculados usando outros perfis aproximados de velocidade e lista os resultados obtidos a partir da solução exata A única coisa que muda na análise quando escolhemos um perfil de velocidade diferente é o valor de β em τw ρU2dδdxβ no item 2b As formas dos perfis aproximados podem ser prontamente comparadas traçando uU versus yδ Uma vez conhecida a espessura da camadalimite todos os detalhes do escoamento podem ser determinados O coeficiente da tensão de cisalhamento na parede ou coeficiente de atrito superficial é definido como Tabela 92 Resultados do Cálculo do Escoamento na CamadaLimite Laminar sobre uma Placa Plana com Incidência Zero Baseados em Perfis de Velocidade Aproximados Distribuição de velocidade Constante a em Constante b em 300 346 0577 250 548 0730 269 464 0647 255 584 0685 266 480 0654 Exata 0133 0344 259 500 0664 Aplicando o perfil de velocidade e a Eq 921 resulta Finalmente Uma vez que a variação de τw é conhecida o arrasto viscoso sobre a superfície pode ser avaliado por integração sobre a área da placa plana conforme ilustrado no Exemplo 93 A Eq 921 pode ser usada para calcular a espessura da camadalimite laminar na transição Para Rex 5 105 com U 30 ms x 024 m para o ar na condiçãopadrão Assim e a espessura da camadalimite é δ 000775x 000775024 m 186 mm A espessura da camadalimite na transição é menor que 1 do comprimento de desenvolvimento x Estes cálculos confirmam que os efeitos viscosos ficam confinados a uma camada muito delgada próxima da superfície do corpo Os resultados na Tabela 92 indicam que informações razoáveis podem ser obtidas com uma variedade de perfis aproximados de velocidade Exemplo 93 CAMADALIMITE LAMINAR SOBRE UMA PLACA PLANA SOLUÇÃO APROXIMADA USANDO PERFIL DE VELOCIDADE SENOIDAL Considere o escoamento bidimensional da camadalimite laminar sobre uma placa plana Considere que o perfil de velocidade na camadalimite é senoidal Encontre expressões para a A taxa de crescimento de δ como uma função de x b A espessura de deslocamento δ como uma função de x c A força de atrito total sobre uma placa de comprimento L e largura b Dados Escoamento bidimensional da camadalimite laminar ao longo de uma placa plana O perfil de velocidade da camadalimite é e Determinar a δx b δx c A força de atrito total sobre uma placa de comprimento L e largura b Solução Para escoamento sobre a placa plana U constante dpdx 0 e Considerações 1 Escoamento em regime permanente 2 Escoamento incompressível Substituindo sen na Eq 919 obtivemos Mas Portanto Separando variáveis obtivemos Integrando obtivemos Mas c 0 pois δ 0 em x 0 logo ou A espessura de deslocamento δ é dada por Como da parte a temse A força de atrito total sobre um lado da placa é dada por Como dA b dx e 0 x L então Da parte a β 0137 eδL logo Este problema ilustra a aplicação da equação integral da quantidade de movimento a uma camadalimite laminar sobre uma placa plana A planilha Excel para este Exemplo traça os gráficos do crescimento de δ e δ na camadalimite e da solução exata Eq 913 no site da LTC Editora Mostra também as distribuições de tensão de cisalhamento para o perfil de velocidade senoidal e para a solução exata Escoamento Turbulento Para a placa plana nós temos também para o item 1 que U constante Da mesma forma que para a camadalimite laminar necessitamos satisfazer o item 2 uma aproximação para o perfil de velocidade turbulenta e o item 3 uma expressão para τw de modo a resolver a Eq 919 para δx Os detalhes do perfil de velocidade turbulento para camadaslimite com gradiente de pressão zero são muito semelhantes àqueles para escoamento turbulento em tubos e canais Dados para camadaslimite turbulentas ajustamse sobre o perfil de velocidade universal usando coordenadas de versus yuv conforme mostrado na Fig 89 Contudo para uso em engenharia esse perfil é mais complexo matematicamente que a equação integral da quantidade de movimento A equação integral da quantidade de movimento é aproximada assim um perfil de velocidade aceitável para camadalimite turbulenta sobre placa plana lisa é o perfil empírico de lei de potência Um expoente de 17 é tipicamente usado para modelar o perfil de velocidade turbulento Portanto Entretanto este perfil não prevalece nas vizinhanças imediatas da parede uma vez que ele prevê dudy na parede Por isso não podemos usálo na definição de τw a fim de obter uma expressão para τw em termos de δ como fizemos para o escoamento da camadalimite laminar Para escoamento da camadalimite turbulenta adaptamos a expressão desenvolvida para escoamento em tubo Para um perfil de potência 17 em um tubo a Eq 824 fornece 0817 Substituindo 0817U e R δ na Eq 839 obtivemos Substituindo para τw e uU na Eq 919 e integrando resulta Assim obtivemos uma equação diferencial para δ Integrando vem Se considerarmos que δ 0 para x 0 isto é equivalente a considerar escoamento turbulento desde a borda de ataque então c 0 e Note que isso mostra que a espessura da camadalimite turbulenta δ cresce conforme x45 este crescimento é quase linear lembre que δ cresce mais lentamente conforme para a camadalimite laminar Tradicionalmente isto é expresso na forma adimensional Usando a Eq 925 obtivemos o coeficiente de atrito superficial em função de δ Substituindo para δ obtivemos Experimentos mostram que a Eq 927 prediz muito bem o atrito superficial turbulento em uma placa plana para 5 105 Rex 107 Esta concordância é notável em vista da natureza aproximada de nossa análise A aplicação da equação integral da quantidade de movimento para escoamento de camadalimite turbulenta é ilustrada no Exemplo 94 Exemplo 94 CAMADALIMITE TURBULENTA SOBRE UMA PLACA PLANA SOLUÇÃO APROXIMADA USANDO PERFIL DE VELOCIDADE DE POTÊNCIA 17 Água escoa a U 1 ms sobre uma placa plana com L 1 m na direção do escoamento A camadalimite é provocada de modo que ela se torna turbulenta na borda de ataque Avalie a espessura de perturbação δ a espessura de deslocamento δ e a tensão de cisalhamento de parede τw para x L Compare com os resultados nesta posição para o escoamento mantido laminar Considere um perfil de lei de potência 17 para a velocidade na camadalimite turbulenta Dados Escoamento de camadalimite sobre placa plana escoamento turbulento a partir da borda de ataque Considere perfil de velocidade de lei de potência 17 Determinar a A espessura de perturbação δL b A espessura de deslocamento δL c A tensão de cisalhamento de parede τwL d Compare com os resultados para escoamento laminar a partir da borda de ataque Solução Aplique os resultados da equação integral da quantidade de movimento Equações básicas Em x L com υ 100 106m2s para a água T 20C Da Eq 926 Usando a Eq 91 com uU yδ17 η17 obtivemos Da Eq 927 Para escoamento laminar usamos os valores da solução de Blasius Da Eq 913 no site da LTC Editora Do Exemplo 92 δδ 0344 de modo que Da Eq 915 de modo que Comparando os valores para x L obtivemos Espessura de perturbação 482 Espessura de deslocamento 175 Tensão de cisalhamento na parede 563 Este problema ilustra a aplicação da equação integral de quantidade de movimento para uma camadalimite turbulenta sobre placa plana Os resultados quando comparados com aqueles para escoamento laminar indicam claramente o crescimento muito mais rápido da camadalimite turbulenta porque a tensão de cisalhamento turbulenta de parede é significativamente maior que aquela da camadalimite laminar A planilha Excel para este Exemplo traça os gráficos do perfil de velocidade de lei de potência 17 para a camadalimite turbulenta Eq 926 e do perfil de velocidade para a camadalimite laminar Eq 913 no site da LTC Editora Mostra também as distribuições de tensão de cisalhamento para ambos os casos Resumo dos Resultados para Escoamento em CamadaLimite com Gradiente de Pressão Zero O uso da equação integral da quantidade de movimento é uma técnica aproximada para predizer o desenvolvimento da camadalimite a equação prediz corretamente as tendências Os parâmetros da camadalimite laminar variam conforme e os parâmetros para a camadalimite turbulenta variam conforme Assim a camadalimite turbulenta se desenvolve mais rapidamente do que a camadalimite laminar Camadaslimite laminar e turbulenta foram comparadas no Exemplo 94 A tensão de cisalhamento na parede é muito maior na camadalimite turbulenta do que na camadalimite laminar Esta é a principal razão para o desenvolvimento mais rápido das camadaslimite turbulentas A concordância que obtivemos com os resultados experimentais mostra que o uso da equação integral da quantidade de movimento é um método aproximado efetivo que nos fornece considerável conhecimento sobre o comportamento geral das camadaslimite 96 Gradientes de Pressão no Escoamento da CamadaLimite A camadalimite laminar ou turbulenta com um escoamento uniforme ao longo de uma placa plana infinita é mais fácil de ser estudada porque o gradiente de pressão é zero as partículas fluidas têm suas velocidades reduzidas por tensões de cisalhamento apenas resultando no crescimento da camadalimite Consideremos agora os efeitos causados por um gradiente de pressão que estará presente para todos os corpos exceto conforme já vimos para uma placa plana Um gradiente de pressão favorável é aquele no qual a pressão diminui no sentido do escoamento isto px 0 ele é chamado de favorável porque tende a agir contra a redução da velocidade das partículas fluidas na camadalimite Este gradiente de pressão aparece quando a velocidade de corrente livre U está aumentando com x como por exemplo em um campo de escoamento convergente em um bocal Por outro lado um gradiente adverso de pressão é um no qual a pressão cresce no sentido do escoamento isto px 0 ele é chamado de adverso porque provocará uma redução da velocidade das partículas fluidas a uma taxa maior do que aquele devido somente ao atrito na camadalimite Se o gradiente adverso de pressão for grave o bastante as partículas fluidas na camadalimite serão de fato levadas ao repouso Quando isso ocorre estas partículas serão forçadas a afastarse da superfície do corpo um fenômeno chamado separação de escoamento de modo a dar espaço para as partículas seguintes resultando então em uma esteira na qual o escoamento é turbulento Exemplos disso acontecem quando as paredes de um difusor divergem tão rapidamente e quando um aerofólio possui um ângulo de ataque muito grande ambos os casos geralmente são muito indesejáveis Esta descrição do gradiente adverso de pressão e do atrito viscoso na camadalimite juntos forçando a separação do escoamento certamente faz sentido intuitivo a questão que aparece é se nós podemos ver de uma maneira mais formal quando é que este fenômeno ocorre Por exemplo podemos ter separação de escoamento e uma esteira em um escoamento uniforme sobre uma placa plana em que px 0 Podemos entender melhor esta questão verificando quando é que a velocidade na camadalimite será igual a zero Considere a velocidade u na camadalimite a uma distância infinitesimal Δy acima da placa Por desenvolvimento em série de Taylor temos VÍDEO Separação de Escoamento Expansão Súbita em inglês em que u0 0 é a velocidade na superfície da placa Está claro que uyΔy será zero isto é a separação ocorrerá somente quando uyy0 0 Então podemos usar isso como teste indicador de separação de escoamento É importante relembrar que o gradiente de velocidade próximo da superfície em uma camadalimite laminar e na subcamada viscosa de um escoamento turbulento foi relacionado com a tensão de cisalhamento de parede por VÍDEO Separação de Escoamento Aerofólio em inglês Além disso nós aprendemos nas seções precedentes que a tensão de cisalhamento na parede de uma placa plana é dada por para uma camadalimite laminar e para uma camadalimite turbulenta Vemos que para o escoamento sobre uma placa plana a tensão na parede é sempre τw 0 Portanto uyy0 0 sempre e então finalmente uyΔy 0 sempre Concluímos assim que para um escoamento uniforme sobre uma placa plana o escoamento nunca separa e nunca se desenvolve em uma região de esteira seja a camadalimite laminar ou turbulenta e qualquer que seja o comprimento da placa Concluímos que não há separação para um escoamento sobre uma placa plana quando px 0 Claramente para escoamentos nos quais px 0 em que a velocidade da corrente livre está aumentando nós podemos estar certos de que não ocorrerá separação de escoamento para escoamentos nos quais px 0 isto é gradientes adversos de pressão pode ocorrer separação de escoamento Nós não devemos inferir no entanto que um gradiente adverso de pressão sempre leva a uma separação de escoamento e a uma esteira concluímos apenas que px 0 é uma condição necessária para ocorrer separação de escoamento Para ilustrar estes resultados considere o escoamento através de uma seção transversal variável conforme mostrado na Fig 96 Fora da camadalimite o campo de velocidade é de tal forma que o fluido é acelerado Região 1 apresenta uma região de velocidade constante Região 2 e em seguida uma região de desaceleração Região 3 Correspondente a isto o gradiente de pressão é favorável zero e adverso respectivamente conforme mostrado Note que a configuração não é uma simples placa plana ela apresenta esses diversos gradientes de pressão porque o escoamento acima da parede plana não é um escoamento uniforme Dessa discussão concluímos que a separação não pode ocorrer na Região 1 ou 2 mas pode ocorrer conforme mostrado na Região 3 Podemos evitar a separação do escoamento em um dispositivo como este Intuitivamente verificamos que se fizermos a seção divergente menos grave a separação do escoamento pode ser eliminada Em outras palavras nós podemos eliminar a separação do escoamento reduzindo suficientemente a magnitude do gradiente de pressão adverso px A questão final que resta é quão pequeno o gradiente de pressão adverso necessita ser para que isso aconteça A resposta a esta questão assim como uma prova mais rigorosa de que devemos ter px 0 para que haja possibilidade de separação do escoamento está além dos objetivos deste texto 3 A conclusão a que chegamos é que a separação do escoamento é possível mas não garantida quando existe um gradiente de pressão adverso Os perfis adimensionais de velocidade para escoamentos da camadalimite laminar e turbulento sobre uma placa plana são mostrados na Fig 97a O perfil turbulento é muito mais cheio mais abaulado que o perfil laminar Para uma mesma velocidade de corrente livre o fluxo de quantidade de movimento no interior da camadalimite turbulenta é maior que aquele no interior da camadalimite laminar Fig 97b A separação ocorre quando a quantidade de movimento das camadas de fluido próximas da superfície é reduzida para zero pela ação combinada das forças viscosas e de pressão Como mostrado na Fig 97b a quantidade de movimento do fluido próximo da superfície é significativamente maior para o perfil turbulento Consequentemente a camada turbulenta é mais capaz de resistir à separação em um gradiente de pressão adverso Discutiremos algumas consequências deste comportamento na Seção 97 Gradientes de pressão adversos causam importantes mudanças nos perfis de velocidade para ambos os escoamentos da camadalimite laminar e turbulento Soluções Fig 96 Escoamento em camadalimite com gradiente de pressão espessura da camadalimite exagerada para melhor compreensão Fig 97 Perfis adimensionais para escoamento em camadalimite sobre uma placa plana aproximadas para gradientes de pressão diferentes de zero podem ser obtidas a partir da equação integral da quantidade de movimento Expandindo o primeiro termo podemos escrever ou em que H δθ é um fator de forma do perfil de velocidade O fator de forma aumenta em um gradiente de pressão adverso Para escoamento da camadalimite turbulento H aumenta de 13 para gradiente de pressão zero para aproximadamente 25 na separação Para escoamento laminar com gradiente de pressão zero H 26 na separação H 35 A distribuição de velocidade de corrente livre Ux deve ser conhecida antes que a Eq 928 possa ser aplicada Uma vez que dpdx ρU dUdx especificar Ux é equivalente a especificar o gradiente de pressão Podemos obter uma primeira aproximação para Ux da teoria de escoamento ideal para um escoamento não viscoso nas mesmas condições Como assinalado no Capítulo 6 para escoamento irrotacional sem atrito escoamento potencial a função de corrente ψ e o potencial de velocidade ϕ satisfazem a equação de Laplace Isso pode ser usado para determinar Ux sobre a superfície do corpo Muito esforço tem sido dedicado ao cálculo de distribuições de velocidade sobre corpos de formas conhecidas o problema direto e à determinação de geometrias de corpos para produzir uma distribuição de pressão desejada o problema inverso Smith et al 6 desenvolveram métodos de cálculo que utilizam singularidades distribuídas sobre a superfície do corpo para solucionar o problema direto para formas de corpo bidimensionais ou axissimétricas Um tipo de método de elementos finitos que usa singularidades definidas sobre painéis superficiais discretos o método do painel 7 tem ganhado adeptos para aplicação a escoamentos tridimensionais Lembre também que na Seção 55 revisamos brevemente algumas ideias básicas de DFC Dinâmica dos Fluidos Computacional Uma vez que a distribuição de velocidade Ux é conhecida a Eq 928 pode ser integrada para determinar θx se H e Cf puderem ser correlacionados com θ Uma discussão detalhada de vários métodos de cálculo para escoamentos com gradientes de pressão diferentes de zero está além dos objetivos deste livro Inúmeras soluções para escoamentos laminares são dadas em Kraus 8 Os métodos de cálculo para escoamentos da camadalimite turbulenta baseados na equação integral da quantidade de movimento são revistos em Rotta 9 Por causa da importância das camadaslimite turbulentas em problemas de engenharia envolvendo escoamentos o estado da arte dos esquemas de cálculo tem avançado rapidamente Vários procedimentos de cálculo têm sido propostos 10 11 a maioria destes esquemas para escoamento turbulento utiliza modelos para prever a tensão turbulenta de cisalhamento e em seguida resolver as equações de camadalimite numericamente 12 13 As melhorias contínuas na capacidade e velocidade dos computadores estão tornando possível a solução das equações completas de NavierStokes usando métodos numéricos 14 15 Parte B Escoamento Fluido em Torno de Corpos Submersos VÍDEO Escoamento em torno de um Carro Esportivo em inglês Sempre que existir movimento relativo entre um corpo sólido e o fluido viscoso que o circunda o corpo experimentará uma força resultante O módulo desta força depende de muitos fatores certamente da velocidade relativa mas também da forma e do tamanho do corpo e das propriedades do fluido ρ μ etc Conforme o fluido escoa em torno do corpo ele gerará tensões superficiais sobre cada elemento da superfície e é isso que fará aparecer a força resultante As tensões superficiais são compostas de tensões tangenciais devido à ação viscosa e de tensões normais devido à pressão local Nós podemos ser tentados a pensar que a força líquida pode ser deduzida analiticamente por meio da integração dessas tensões sobre a superfície do corpo O primeiro passo poderia ser Dada a forma do corpo e considerando que o número de Reynolds é grande o suficiente para que a teoria do escoamento não viscoso possa ser usada calcule a distribuição de pressão Em seguida integre a pressão sobre a superfície do corpo para obter a contribuição das forças de pressão para a força líquida Conforme discutido no Capítulo 6 esta etapa foi desenvolvida muito cedo na história da mecânica dos fluidos e levou ao resultado de que não havia arrasto sobre o corpo O segundo passo poderia ser Use esta distribuição de pressão para determinar pelo menos em princípio usando a Eq 917 por exemplo a tensão viscosa superficial τw Em seguida integre a tensão viscosa sobre a superfície do corpo para obter sua contribuição para a força resultante Conceitualmente este procedimento parece de aplicação direta mas ele é bastante difícil de ser realizado na prática exceto para formas de corpo mais simples Além disso mesmo se fosse possível realizálo esse procedimento levaria a resultados errôneos na maior parte dos casos porque ele não leva em conta uma consequência muito importante da existência das camadaslimite a separação do escoamento Isso causa uma esteira que não somente cria uma região de baixa pressão que geralmente leva a um arrasto maior sobre o corpo mas também muda radicalmente o campo de escoamento global e por conseguinte a região de escoamento não viscoso e a distribuição de pressão sobre o corpo Por essas razões nós devemos recorrer a métodos experimentais para determinar a força resultante sobre a maioria das formas de corpos embora as abordagens com DFC estejam melhorando rapidamente Tradicionalmente a força resultante é decomposta na força de arrasto FD definida como a componente da força paralela à direção do movimento e na força de sustentação FL caso ela exista para o corpo definida como a componente da força perpendicular à direção do movimento Nas Seções 97 e 98 examinaremos estas forças para algumas diferentes formas de corpo 97 Arrasto O arrasto é a componente da força sobre um corpo que atua paralelamente à direção do movimento relativo Ao discutirmos a necessidade de resultados experimentais na mecânica dos fluidos Capítulo 7 nós consideramos o problema de determinar a força de arrasto FD sobre uma esfera lisa de diâmetro d movendose através de um fluido viscoso incompressível com velocidade V a massa específica e a viscosidade eram ρ e μ respectivamente A força de arrasto FD foi escrita na forma funcional FD f1d V μ ρ A aplicação do teorema Pi de Buckingham resultou em dois parâmetros adimensionais Π que foram escritos na forma funcional como Note que d2 é proporcional à área de seção transversal A πd24 e que portanto podemos escrever Embora a Eq 929 tenha sido obtida para uma esfera a sua forma é válida para escoamento incompressível sobre qualquer corpo o comprimento característico usado no número de Reynolds depende da forma do corpo O coeficiente de arrasto CD é definido como O número 12 foi inserido como foi feito na definição da equação para o fator de atrito para formar a familiar pressão dinâmica Desse modo a Eq 929 pode ser escrita como Nós não consideramos compressibilidade ou efeitos de superfície livre nesta discussão da força de arrasto Se eles tivessem sido incluídos nós teríamos obtido a forma funcional CD fRe Fr M Neste ponto nós consideraremos a força de arrasto sobre diversos corpos para os quais a Eq 931 é válida A força de arrasto total é a soma do arrasto de atrito e do arrasto de pressão Contudo o coeficiente de arrasto é uma função somente do número de Reynolds Agora nós vamos considerar a força de arrasto e o coeficiente de arrasto para alguns corpos começando com o mais simples uma placa plana paralela ao escoamento que tem somente arrasto de atrito uma placa normal ao escoamento que tem somente arrasto de pressão e cilindros e esferas os corpos 2D e 3D mais simples que apresentam ambos os arrastos de atrito e de pressão Nós também discutiremos brevemente a carenagem Arrasto de Atrito Puro Escoamento sobre uma Placa Plana Paralela ao Escoamento Esta situação de escoamento foi considerada em detalhe na Seção 95 Como o gradiente de pressão é zero e como as forças de pressão são perpendiculares à placa em qualquer evento elas não contribuem para o arrasto o arrasto total é igual ao arrasto de atrito Logo e em que A é a área total da superfície em contato com o fluido isto é a área molhada O coeficiente de arrasto para uma placa plana paralela ao escoamento depende da distribuição de tensão de cisalhamento ao longo da placa Para escoamento laminar sobre uma placa plana o coeficiente de tensão de cisalhamento foi dado por O coeficiente de arrasto para escoamento com velocidade de corrente livre V sobre uma placa plana de comprimento L e largura b é obtido substituindo τw da Eq 915 na Eq 932 Assim Considerando que a camadalimite é turbulenta a partir da borda de ataque o coeficiente de tensão de cisalhamento baseado na análise aproximada da Seção 95 é dado por Substituindo τw da Eq 927 na Eq 932 obtivemos A Eq 934 é válida para 5 105 ReL 107 Para ReL 109 a equação empírica dada por Schlichting 3 se ajusta muito bem aos dados experimentais Para uma camadalimite que é inicialmente laminar e passa por uma transição em algum local sobre a placa o coeficiente de arrasto turbulento deve ser ajustado para levar em conta o escoamento laminar no comprimento inicial O ajuste é feito pela subtração da quantidade BReL do CD determinado para escoamento completamente turbulento O valor de B depende do número de Reynolds na transição B é dado por Para um número de Reynolds na transição de 5 105 o coeficiente de arrasto pode ser calculado fazendo o ajuste da Eq 934 caso em que ou na Eq 935 caso em que A variação no coeficiente de arrasto para uma placa plana paralela ao escoamento é mostrada na Fig 98 No gráfico da Fig 98 a transição foi considerada como ocorrendo em Rex 5 105 para escoamentos em que a camadalimite era inicialmente laminar O número de Reynolds real para o qual a transição ocorre depende de uma combinação de fatores tais como rugosidade da superfície e perturbações da corrente livre A transição tende a ocorrer mais cedo em números de Reynolds mais baixos quando a rugosidade da superfície ou a turbulência da corrente livre é aumentada Para a transição em números de Reynolds que não Rex 5 105 a constante no segundo termo da Eq 937 é modificada usando a Eq 936 A Fig 98 mostra que o coeficiente de arrasto é menor para um dado comprimento de placa quando o escoamento laminar é mantido sobre a distância mais longa possível No entanto para grandes ReL 107 a contribuição do arrasto laminar é desprezível Fig 98 Variação do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds para uma placa plana lisa paralela ao escoamento Exemplo 95 ARRASTO DE ATRITO SUPERFICIAL EM UM SUPERPETROLEIRO Um superpetroleiro com 360 m de comprimento tem um través de 70 m e um calado de 25 m Estime a força e a potência requeridas para vencer o arrasto devido ao atrito superficial para uma velocidade de cruzeiro de 669 ms em água do mar a 10C Dados Superpetroleiro navegando a U 669 ms Determinar a Força b Potência requerida para vencer o arrasto de atrito superficial Solução Modele o casco do navio como uma placa plana de comprimento L e largura b B 2D em contato com a água Estime o arrasto devido ao atrito superficial a partir do coeficiente de arrasto Equações básicas A velocidade do navio é 669 ms logo U 669ms Do Apêndice A para 10C υ 137 106 m2s para a água do mar Então Considerando que a Eq 937b seja válida e da Eq 932 A potência correspondente é Este problema ilustra a aplicação das equações de coeficiente de arrasto para uma placa plana paralela ao escoamento A potência requerida cerca de 970 MW é muito grande porque embora a tensão de atrito seja pequena ela age sobre uma área muito grande A camadalimite é turbulenta para quase todo o comprimento do navio a transição ocorre em x 01 m Arrasto de Pressão Puro Escoamento sobre uma Placa Plana Normal ao Escoamento No escoamento sobre uma placa plana normal ao escoamento Fig 99 a tensão de cisalhamento na parede é perpendicular à direção do escoamento e portanto ela não contribui para a força de arrasto O arrasto é dado por Para esta geometria o escoamento separase a partir das bordas da placa há fluxo reverso na esteira de baixa energia da placa Embora a pressão sobre a superfície posterior da placa seja essencialmente constante a sua magnitude não pode ser determinada analiticamente Em consequência nós devemos recorrer a experimentos para determinar a força de arrasto O coeficiente de arrasto para escoamento sobre um objeto imerso baseiase usualmente em uma área frontal ou área projetada do objeto Para aerofólios e asas a área planiforme é utilizada veja a Seção 98 O coeficiente de arrasto para uma placa finita normal ao escoamento depende da razão entre a sua largura e a sua altura e do número de Reynolds Para Re baseado na altura maior que cerca de 1000 o coeficiente de arrasto é essencialmente independente do número de Reynolds A variação de CD com a razão entre largura e altura da placa bh é mostrada na Fig 910 A razão bh é definida como a razão de aspecto da placa Para bh 10 o coeficiente de arrasto é um mínimo em CD 118 isto é ligeiramente maior que para um disco circular CD 117 em grandes números de Reynolds O coeficiente de arrasto para todos os objetos com bordas proeminentes é essencialmente independente do número de Reynolds para Re 1000 porque os pontos de separação e por conseguinte o tamanho da esteira são fixados pela geometria do objeto Coeficientes de arrasto para alguns objetos selecionados são apresentados na Tabela 93 Arrastos de Pressão e de Atrito Escoamento sobre uma Esfera e um Cilindro Acabamos de estudar dois casos especiais de escoamento em que ou o arrasto de atrito ou o arrasto de pressão era a única forma de arrasto presente No primeiro caso o coeficiente de arrasto era uma forte função do número de Reynolds enquanto no segundo CD era essencialmente independente do número de Reynolds para Re 1000 No caso de escoamento sobre uma esfera ambos os arrastos de atrito e de pressão contribuem para o arrasto total O coeficiente de arrasto para escoamento sobre uma esfera lisa é mostrado na Fig 911 como uma função do número de Reynolds2 VÍDEO Placa Normal ao Escoamento em inglês Fig 99 Escoamento sobre uma placa plana normal ao escoamento Fig 910 Variação do coeficiente de arrasto em função da razão de aspecto para uma placa plana de largura finita normal ao escoamento com Reh 1000 16 Para números de Reynolds muito baixos3 Re 1 não há separação do escoamento para uma esfera a esteira é laminar e o arrasto é predominantemente arrasto de atrito Stokes mostrou analiticamente que para escoamentos com números de Reynolds muito baixos em que as forças de inércia podem ser desprezadas a força de arrasto sobre uma esfera de diâmetro d movendo com velocidade V através de um fluido de viscosidade μ é dada por FD 3πμVd VÍDEO CLÁSSICO A Dinâmica dos Fluidos de Arrasto em inglês VÍDEO Um Objeto com um Alto Coeficiente de Arrasto em inglês Tabela 93 Dados de Coeficiente de Arrasto para Objetos Selecionados Re 10 3 a Objeto Diagrama CDRe 103 Prisma retangular 205 105 Disco 117 Anel 120b Hemisfério extremidade aberta voltada para o escoamento 142 Hemisfério extremidade aberta voltada para jusante 038 Seção em C lado aberto voltado para o escoamento 230 Seção em C lado aberto voltado para jusante 120 aDados de Hoerner 16 bBaseado na área do anel Fig 911 Coeficiente de arrasto de uma esfera lisa em função do número de Reynolds 3 O coeficiente de arrasto CD definido pela Eq 930 é então Conforme mostrado na Fig 911 esta expressão concorda com valores experimentais para baixos números de Reynolds mas começa a desviarse significativamente dos dados experimentais para Re 10 VÍDEO CLÁSSICO Escoamentos com Baixo Número de Reynolds em inglês Quando o número de Reynolds é aumentado adicionalmente o coeficiente de arrasto cai continuamente até um número de Reynolds em torno de 1000 porém não tão rapidamente conforme predito pela teoria de Stokes Uma esteira turbulenta não incorporada na teoria de Stokes desenvolvese e cresce na parte de trás da esfera conforme o ponto de separação movese da traseira em direção à frente da esfera esta esteira está a uma pressão relativamente baixa causando um grande arrasto de pressão No momento em que Re 1000 cerca de 95 do arrasto total é decorrente da pressão Para 103 Re 3 105 o coeficiente de arrasto é aproximadamente constante Nesta faixa uma esteira turbulenta de baixa pressão ocupa toda parte de trás da esfera conforme indicado na Fig 912 e a maior parte do arrasto é causada pela assimetria de pressão entre as partes frontal e posterior da esfera Note que CD 1Re corresponde a FD V e que CD constante corresponde a FD V 2 indicando um crescimento bastante rápido no arrasto VÍDEO Exemplos de Escoamento em torno de uma Esfera em inglês Para números de Reynolds maiores que 3 105 a transição ocorre e a camadalimite na porção frontal da esfera tornase turbulenta O ponto de separação movese então para jusante da seção média da esfera e o tamanho da esteira diminui A força de pressão resultante sobre a esfera é reduzida Fig 912 e o coeficiente de arrasto diminui abruptamente Uma camadalimite turbulenta visto que possui quantidade de movimento maior que uma camadalimite laminar pode resistir melhor a um gradiente de pressão adverso conforme discutido na Seção 96 Consequentemente o escoamento de camadalimite turbulenta é desejável sobre um corpo rombudo porque ele retarda a separação e por conseguinte reduz o arrasto de pressão A transição na camadalimite é afetada pela rugosidade da superfície da esfera e pela turbulência na corrente do escoamento Portanto a redução no arrasto associada a uma camadalimite turbulenta não ocorre em um valor único do número de Reynolds Experimentos com esferas lisas em um escoamento com baixo nível de turbulência mostram que a transição pode ser retardada para um número de Reynolds crítico ReD próximo de 4 105 Para superfícies rugosas eou escoamento de corrente livre altamente turbulento a transição pode ocorrer em um número de Reynolds crítico tão baixo quanto 50000 Fig 912 Distribuição de pressão em torno de uma esfera lisa para escoamento nas camadaslimite laminar e turbulenta comparado com escoamento não viscoso 18 VÍDEO Escoamentos Turbulento e Laminar após uma Esfera em inglês O coeficiente de arrasto de uma esfera com escoamento da camadalimite turbulenta é cerca de um quinto daquele para escoamento laminar próximo do número de Reynolds crítico A correspondente redução na força de arrasto pode afetar apreciavelmente a faixa de alcance de uma esfera por exemplo de uma bola de golfe As mossas em uma bola de golfe são desenhadas de modo a disparar a camadalimite e assim garantir escoamento da camadalimite turbulenta e arrasto mínimo Para ilustrar este efeito nós fizemos alguns anos atrás testes com amostras de bolas de golfe lisas e com mossas Um dos nossos alunos foi voluntário para golpear as bolas Em 50 tentativas com cada tipo de bola a distância média atingida com as bolas tipopadrão foi de 197 m a distância média com as bolas lisas foi de apenas 114 m VÍDEO Separação de Escoamento sobre um Cilindro em inglês A inclusão de elementos de rugosidade a uma esfera também pode suprimir oscilações locais na posição de transição entre escoamentos laminar e turbulento na camadalimite Estas oscilações podem levar a variações no arrasto e a flutuações aleatórias na sustentação veja a Seção 98 No beisebol o lançamento knuckle ball é feito com o intuito de confundir o rebatedor com a trajetória errática da bola Arremessando a bola quase sem rotação o lançador espera que as costuras da bola provoquem a transição de maneira imprevisível à medida que a bola se aproxima do rebatedor Isso causa a desejada variação na trajetória da bola A Fig 913 mostra o coeficiente de arrasto para escoamento sobre um cilindro liso A variação de CD com o número de Reynolds mostra as mesmas características observadas no caso de uma esfera lisa mas os valores de CD são cerca de duas vezes maiores O escoamento em torno de um cilindro circular liso pode desenvolver uma configuração regular de vórtices alternados a jusante A trilha de vórtices4 causa uma força de sustentação oscilatória sobre o cilindro perpendicular ao movimento da corrente A formação de vórtices excita oscilações que causam o cantar das linhas de transmissão e as batidas incômodas das adriças nos mastros de bandeiras Algumas vezes as oscilações estruturais podem atingir magnitudes perigosas e causar tensões elevadas elas podem ser reduzidas ou eliminadas pela aplicação de elementos de rugosidade ou aletas axiais ou helicoidais algumas vezes vistas sobre uma chaminé ou uma antena de automóvel que destroem a simetria do cilindro e estabilizam o escoamento Fig 913 Coeficiente de arrasto para um cilindro circular liso como função do número de Reynolds 3 VÍDEO Trilha de um Vórtice atrás de um Cilindro em inglês VÍDEO Escoamento com Baixo Número de Reynolds sobre um Cilindro em inglês VÍDEO Separação de Escoamento atrás de um Cilindro em inglês Dados experimentais mostram que a formação de vórtices regulares ocorre mais fortemente na faixa de números de Reynolds de cerca de 60 a 5000 Para Re 1000 a frequência adimensional da formação de vórtices expressa como um número de Strouhal St fDV é aproximadamente igual a 021 3 A rugosidade afeta o arrasto de cilindros e esferas de modo similar o número crítico de Reynolds é reduzido pela superfície rugosa e a transição de escoamento laminar para turbulento nas camadaslimite ocorre mais cedo O coeficiente de arrasto é reduzido por um fator de aproximadamente 4 quando a camadalimite sobre o cilindro tornase turbulenta Exemplo 96 ARRASTO AERODINÂMICO E MOMENTO FLETOR SOBRE UMA CHAMINÉ Uma chaminé cilíndrica com 1 m de diâmetro e 25 m de altura está exposta a um vento uniforme de 50 kmh na condição de atmosferapadrão Os efeitos de extremidade e de rajadas podem ser desprezados Estime o momento fletor na base da chaminé devido à força do vento Dados Chaminé cilíndrica D 1 m L 25 m sujeita a escoamento uniforme de ar com V 50 kmh p 101 kPa abs T 15C Efeitos de extremidade desprezíveis Determinar O momento fletor na base da chaminé Solução O coeficiente de arrasto é dado por CD FD ρV2 A e assim FD CDA ρV2 Uma vez que a força por unidade de comprimento é uniforme sobre todo o comprimento a força resultante FD atuará no ponto médio da chaminé Portanto o momento em relação à base da chaminé será Para o ar na condiçãopadrão ρ 123 kgm3 e μ 179 105kgm s Logo Da Fig 913 CD 035 Para um cilindro A DL então Este problema ilustra a aplicação de dados de coeficiente de arrasto para calcular a força e o momento sobre uma estrutura Modelamos o vento como um escoamento uniforme mais realisticamente a atmosfera mais baixa é usualmente modelada grosso modo como uma camadalimite turbulenta com um perfil de velocidade de lei de potência u y1n y é a elevação Veja o Problema 9135 em que isto é analisado para o caso n 7 Exemplo 97 DESACELERAÇÃO DE UM VEÍCULO POR UM PARAQUEDAS DE ARRASTO Um carro de competição pesando 7120 N atinge uma velocidade de 430 kmh no quarto de milha Imediatamente após passar pelo sinalizador de tempo o piloto abre o paraquedas de frenagem de área A 23 m2 As resistências do ar e do rolamento do carro podem ser desprezadas Determine o tempo necessário para que o veículo desacelere para 160 kmh no arpadrão Dados Um carro de competição pesando 7120 N movendose com velocidade inicial V0 430 kmh tem sua velocidade reduzida pela força de arrasto de um paraquedas de área A 23 m2 Despreze as resistências do ar e do rolamento do carro Considere arpadrão Determinar O tempo requerido para que o veículo desacelere para 160 kmh Solução Considerando o carro como um sistema e escrevendo a segunda lei de Newton na direção do movimento temos Como C D segue que F D C D ρV 2 A Substituindo na segunda lei de Newton resulta Separando variáveis e integrando obtivemos Finalmente Modele o paraquedas de frenagem como um hemisfério com a extremidade aberta faceando o escoamento Da Tabela 93 CD 142 considerando Re 103 Assim substituindo os valores numéricos Verifiquemos a hipótese sobre o número de Reynolds Então a hipótese é válida Este problema ilustra a aplicação de dados de coeficiente de arrasto para calcular o arrasto sobre um paraquedas veicular A planilha Excel para este Exemplo traça o gráfico da velocidade do carro de competição e da distância percorrida como uma função do tempo ela também permite interações como por exemplo nós podemos encontrar a área do paraquedas requerida para desacelerar o veículo para 96 kmh em 5 s Todos os dados experimentais apresentados nesta seção são para objetos únicos imersos em uma corrente fluida não confinada O objetivo de testes em túneis de vento é simular as condições de um escoamento sem fronteiras Limitações quanto ao tamanho dos equipamentos tornam este objetivo inatingível na prática Frequentemente é necessário aplicar correções aos dados medidos a fim de obter resultados aplicáveis às condições de escoamento não confinado Em inúmeras situações de escoamentos reais ocorrem interações com objetos ou superfícies vizinhas O arrasto pode ser reduzido significativamente quando dois ou mais objetos movendose um atrás do outro interagem Este fenômeno é bem conhecido dos adeptos do ciclismo e das corridas de automóvel em que seguir no vácuo é uma prática comum Reduções de arrasto de 80 podem ser alcançadas por meio de espaçamento ótimo 20 O arrasto também pode ser aumentado significativamente quando o espaçamento não é ótimo O arrasto pode ser afetado também por objetos adjacentes Pequenas partículas caindo sob a ação da gravidade movemse mais vagarosamente quando têm vizinhos do que quando estão isoladas Este fenômeno tem importantes aplicações nos processos de mistura e de sedimentação Os dados experimentais para os coeficientes de arrasto sobre objetos devem ser selecionados e aplicados cuidadosamente A devida atenção deve ser dada às diferenças entre as condições reais e aquelas condições mais controladas sob as quais as medições foram feitas VÍDEO CLÁSSICO Escoamentos com Baixos Números de Reynolds em inglês Carenagem A extensão da região do escoamento separado atrás de muitos dos objetos discutidos na seção anterior pode ser reduzida ou eliminada por carenagem da forma do corpo Nós vimos que devido à forma convergente do corpo na parte de trás de qualquer objeto afinal todo objeto tem comprimento finito as linhas de corrente divergirão de modo que a velocidade diminuirá e como consequência mais importante conforme mostrado pela equação de Bernoulli aplicável na região de corrente livre a pressão aumentará Portanto nós temos inicialmente um gradiente de pressão adverso na parte de trás do corpo que leva à separação da camadalimite e por fim a uma esteira de baixa pressão que por sua vez provoca um grande arrasto de pressão A carenagem é uma tentativa de reduzir o arrasto sobre um corpo Nós podemos reduzir o arrasto sobre um corpo afunilando ou adelgaçando a sua região posterior por exemplo o arrasto sobre uma esfera pode ser reduzido fazendo com que ela ganhe a forma de uma gota de lágrima o que reduzirá o gradiente de pressão adverso e por conseguinte tornará a esteira turbulenta menor Entretanto quando fazemos isso corremos o risco de aumentar o arrasto de atrito de superfície simplesmente porque aumentamos a área da superfície do corpo Na prática existe uma quantidade ótima de carenagem para a qual o arrasto total a soma dos arrastos de pressão e de atrito é minimizado VÍDEO CLÁSSICO Escoamentos com Baixos Números de Reynolds em inglês O gradiente de pressão em torno de uma forma de lágrima um cilindro carenado é menos grave que aquele em torno de um cilindro de seção circular A troca entre arrasto de pressão e de atrito neste caso é ilustrada pelos resultados apresentados na Fig 914 para testes com Rec 4 105 Este número de Reynolds é típico daquele para uma estrutura de asa dos primeiros aviões Da figura o coeficiente mínimo de arrasto é CD 006 que ocorre quando a razão entre a espessura e a corda é tc 025 Este valor é aproximadamente 20 do coeficiente de arrasto mínimo de um cilindro circular de mesma espessura Portanto mesmo um avião pequeno terá tipicamente carenagens sobre muitos de seus membros estruturais como por exemplo as estruturas que compõem o trem de pouso levando a economia significativa de combustível A espessura máxima para as formas mostradas na Fig 914 está localizada aproximadamente a uma distância igual a 25 do comprimento da corda medida a partir da borda de ataque A maior parte do arrasto sobre as seções mais finas é decorrente do atrito superficial nas camadaslimite turbulentas das seções posteriores afuniladas O interesse em aerofólios de baixo arrasto cresceu durante a década de 1930 O National Advisory Committee for Aeronautics NACA desenvolveu diversas séries de aerofólios de escoamento laminar para os quais a transição era postergada para 60 ou 65 do comprimento da corda medido para trás a partir do nariz do aerofólio VÍDEO CLÁSSICO A Dinâmica dos Fluidos do Arrasto em inglês Fig 914 Coeficiente de arrasto sobre uma estrutura carenada como uma função da razão de espessura mostrando as contribuições do atrito superficial e da pressão sobre o arrasto total 19 Fig 915 Distribuições teóricas de pressão para duas seções simétricas de aerofólio com razão de espessura de 15 com ângulo de ataque zero Dados de Abbott e Doenhoff 21 A distribuição de pressão e os coeficientes de arrastoFig 915 A transição no aerofólio convencional NACA 0015 ocorre quando o gradiente de pressão tornase adverso em xc 013 próximo do ponto de espessura máxima Desse modo a maior parte da superfície do aerofólio é coberta por uma camadalimite turbulenta o coeficiente de arrasto é CD 00061 O ponto de espessura máxima foi deslocado para trás no aerofólio projetado para escoamento laminar NACA 662015 A camadalimite é mantida no regime laminar por um gradiente de pressão favorável até xc 063 Desse modo a maior parte do escoamento é laminar CD 00035 para esta seção baseado na área planiforme O coeficiente de arrasto baseado na área frontal é CDr CD015 00233 ou cerca de 40 do ótimo para as formas mostradas na Fig 914 Testes em túneis de vento especiais mostraram que o escoamento laminar pode ser mantido até números de Reynolds do comprimento da ordem de 30 milhões por configuração adequada do perfil Pelo fato de terem características de arrasto favoráveis os aerofólios de escoamento laminar são utilizados no projeto da maioria dos modernos aviões subsônicos Avanços recentes tornaram possível o desenvolvimento de formas de baixo arrasto ainda melhores que aquelas das séries NACA 60 Experimentos 21 22 levaram ao desenvolvimento de uma distribuição de pressão que impede a separação enquanto mantém a camadalimite turbulenta em uma condição de atrito superficial desprezível Métodos aperfeiçoados para cálculo da geometria de corpos que produzem uma desejada distribuição de pressão 23 24 levaram ao desenvolvimento de formas quase ótimas para estruturas espessas de baixo arrasto A Fig 916 mostra um exemplo dos resultados Fig 916 Forma quase ótima para estrutura de baixo arrasto 24 VÍDEO Escoamento após o Modelo A e um Carro Esportivo em inglês A redução de arrasto aerodinâmico também é importante em aplicações de veículos rodoviários O interesse em economia de combustível tem incentivado bastante os projetos de automóveis que apresentem desempenho aerodinâmico eficiente aliado a formas atraentes A redução do arrasto também tem se tornado importante para ônibus e caminhões Considerações práticas limitam o comprimento total de veículos rodoviários Traseiras inteiramente carenadas não são práticas exceto para veículos de recorde de velocidade Em consequência não é possível alcançar resultados comparáveis àqueles para as formas ótimas de aerofólios Contudo é possível otimizar os contornos dianteiro e traseiro dentro das restrições impostas para o comprimento total 2527 Atenção maior tem sido dada aos contornos dianteiros Os estudos sobre ônibus têm mostrado que reduções de arrasto da ordem de 25 são possíveis com o devido cuidado ao contorno dianteiro 27 Desse modo é possível reduzir o coeficiente de arrasto de um ônibus de cerca de 065 para menos de 05 com projetos práticos Os conjuntos cavaloreboque de carga rodoviária têm coeficientes mais elevados valores de CD de 090 a 11 têm sido verificados Dispositivos adicionais comercialmente disponíveis oferecem reduções de arrasto de até 15 particularmente em condições de vento em que o ângulo de ataque é diferente de zero A economia típica de combustível é metade da porcentagem de redução do arrasto aerodinâmico Os contornos e os detalhes dianteiros são importantes nos automóveis Uma frente baixa e contornos suavemente arredondados são as principais características que promovem um baixo arrasto Os raios da coluna a moldura do para brisa e o escamoteamento de acessórios a fim de reduzir arrastos parasitas e de interferência têm recebido atenção crescente Como resultado os coeficientes de arrasto têm sido reduzidos de cerca de 055 dos automóveis antigos para 030 ou menos nos automóveis modernos Os avanços recentes em métodos computacionais têm levado ao desenvolvimento de formas ótimas geradas por computador Diversos projetos têm sido propostos com valores alegados de CD abaixo de 02 para veículos rodoviários 98 Sustentação Para a maioria dos objetos em movimento em um fluido a força mais significativa do fluido é o arrasto Entretanto existem alguns objetos tais como aerofólios para os quais a sustentação é significativa A sustentação é definida como a componente da força do fluido perpendicular ao movimento do fluido Para um aerofólio o coeficiente de sustentação CL é definido como É importante notar que o coeficiente de sustentação definido anteriormente e o coeficiente de arrasto Eq 930 são definidos cada um como a razão entre uma força real sustentação ou arrasto e o produto da pressão dinâmica pela área Este denominador pode ser visto como a força que seria gerada se imaginarmos levar ao repouso o fluido que se aproxima diretamente da área lembrese de que a pressão dinâmica é a diferença entre as pressões total e estática Isso nos dá um sentimento do significado dos coeficientes eles indicam a razão entre a força real e essa força não realista mas não obstante intuitivamente significativa Notamos também que as definições dos coeficientes incluem V2 no denominador de modo que FL ou FD sendo proporcional a V2 corresponde a um valor constante de CL ou de CD e que FL ou FD aumentando com V a uma taxa mais baixa que a quadrática corresponde a um decréscimo em CL ou em CD com V Os coeficientes de arrasto e de sustentação para um aerofólio são funções do número de Reynolds e do ângulo de ataque o ângulo de ataque α é o ângulo entre a corda do aerofólio e o vetor velocidade da corrente livre A corda de um aerofólio é o segmento de reta ligando a extremidade da borda de ataque à extremidade da borda de fuga de um aerofólio A forma da seção da asa é obtida por meio da combinação de uma linha média e uma distribuição de espessura veja 21 para detalhes Quando o aerofólio tem uma seção simétrica tanto a linha média quanto a corda são linhas retas e elas coincidem Um aerofólio de linha média curva é chamado de cambado A área perpendicular ao escoamento muda com o ângulo de ataque Consequentemente a área planiforme Ap a área projetada máxima da asa é usada para definir os coeficientes de arrasto e de sustentação para um aerofólio O fenômeno da sustentação aerodinâmica é comumente explicado pelo aumento da velocidade sobre a superfície superior extradorso do aerofólio causando nesta região um decréscimo na pressão o efeito Bernoulli e pelo decréscimo da velocidade causando um aumento de pressão ao longo da superfície inferior intradorso do aerofólio As distribuições de pressão resultantes são mostradas claramente no filme Boundary Layer Control Por causa das diferenças de pressão relativas à atmosfera o extradorso do aerofólio pode ser chamado de superfície de sucção e o intradorso de superfície de pressão Conforme mostrado no Exemplo 612 a sustentação sobre um corpo pode também ser relacionada com a circulação resultante em torno do perfil Para que a sustentação seja gerada deve haver uma circulação líquida em torno do perfil Podese imaginar que a circulação é causada por um vórtice ligado ao perfil Os avanços continuam nos métodos computacionais e na capacidade operacional dos computadores Entretanto a maioria dos dados de aerofólios disponível na literatura foi obtida a partir de testes em túnel de vento A referência 21 contém resultados de um grande número de testes conduzidos pela NACA the National Advisory Committee for Aeronautics o predecessor da NASA Dados para algumas formas de perfis representativos da NACA são descritos nos próximos poucos parágrafos Dados de coeficientes de arrasto e de sustentação para perfis convencionais típicos e de escoamento laminar para um número de Reynolds de 9 106 baseado no comprimento da corda são apresentados na Fig 917 As formas das seções na Fig 917 são designadas como segue VVÍDEO CLÁSSICO Controle de CamadaLimite em inglês VÍDEO Escoamento Passando por um Aerofólio α 0º em inglês VÍDEO Escoamento Passando por um Aerofólio α 10º em inglês VÍDEO Escoamento Passando por um Aerofólio α 20º em inglês Ambas as seções são cambadas para dar sustentação com ângulo de ataque zero À medida que o ângulo de ataque é aumentado o Δp entre as superfícies inferior e superior aumenta fazendo com que o coeficiente de sustentação aumente suavemente até que um máximo seja alcançado Aumentos adicionais no ângulo de ataque produzem um decréscimo súbito em CL Dizse que o aerofólio estolou quando CL cai desta maneira O estol do aerofólio acontece quando a separação do escoamento ocorre sobre a maior porção do extradorso do aerofólio À medida que o ângulo de ataque é aumentado o ponto de estagnação é deslocado para trás ao longo do intradorso do aerofólio conforme mostrado esquematicamente para a seção simétrica de escoamento laminar na Fig 918a O escoamento sobre a superfície superior deve então acelerar abruptamente a fim de contornar o nariz do aerofólio O efeito do ângulo de ataque sobre a distribuição de pressão teórica no extradorso é mostrado na Fig 918b A pressão mínima tornase mais baixa e o seu local de ocorrência é deslocado para a frente sobre a superfície superior Um grave gradiente adverso de pressão aparece em seguida ao ponto de pressão mínima por fim o gradiente adverso de pressão causa a completa separação do escoamento da superfície superior e o aerofólio estola a pressão uniforme na esteira turbulenta será aproximadamente igual à pressão imediatamente antes da separação isto é baixa O movimento do ponto de pressão mínima e a acentuação do gradiente adverso de pressão são responsáveis pelo aumento súbito em CD para a seção de escoamento laminar o que é aparente na Fig 917 O aumento súbito em CD é causado pela transição prematura de laminar para turbulento do escoamento de camadalimite na superfície superior Aeronaves com seções de escoamento laminar são projetadas para voar na região de baixo arrasto Como as seções de escoamento laminar têm bordas de ataque muito proeminentes todos os efeitos que descrevemos são ampliados e elas estolam em ângulos de ataque inferiores aos das seções convencionais conforme mostrado na Fig 917 O máximo coeficiente de sustentação possível CLmax também é menor para seções de escoamento laminar Gráficos de CL versus CD chamados polares arrastosustentação são com frequência usados para apresentar dados de aerofólios Um gráfico polar é dado na Fig 919 para as duas seções que discutimos A razão sustentaçãoarrasto CLCD é mostrada no coeficiente de sustentação de projeto para ambas as seções Esta razão é muito importante no projeto de uma aeronave o coeficiente de sustentação determina a sustentação da asa e portanto a carga que pode ser carregada e o coeficiente de arrasto indica uma grande parte em adição àquele causado pela fuselagem etc do arrasto que o motor da aeronave deve superar de modo a gerar a sustentação necessária então em geral o objetivo é um alto valor para CLCD no que o aerofólio laminar claramente supera Melhorias recentes em modelagem e nas capacidades dos computadores tornaram possível projetar aerofólios com seções que desenvolvem elevada sustentação enquanto mantêm o arrasto muito baixo 23 24 Programas computacionais de cálculo da camadalimite são empregados junto com métodos inversos para a determinação do escoamento potencial para desenvolver as distribuições de pressão e as formas resultantes para os corpos que postergam a transição para a posição mais atrás possível no aerofólio A camadalimite turbulenta em seguida à transição é mantida em um estado de separação incipiente com atrito superficial aproximadamente zero pela configuração apropriada da distribuição de pressão Fig 917 Coeficientes de sustentação e de arrasto em função do ângulo de ataque para duas seções de aerofólio para Rec 9 106 Dados de Abbott e von Doenhoff 21 Tais aerofólios com projetos obtidos por computador têm sido usados em carros de corrida para desenvolver sustentação negativa força para baixo muito elevada a fim de melhorar a estabilidade em altas velocidades e o desempenho nas curvas 23 Seções de aerofólios especialmente projetados para operação com baixos números de Reynolds foram empregadas para as asas e a hélice do dispositivo de propulsão do homempássaro Gossamer Condor ganhador do prêmio Kremer 28 que agora está exposto no Museu Aeroespacial Nacional em Washington DC Todos os aerofólios reais asas têm extensão finita e possuem menos sustentação e mais arrasto que os dados de suas seções de aerofólio indicavam Existem diversas formas de explicar isso Se considerarmos a distribuição de pressão próxima do final da asa a baixa pressão sobre o extradorso e a alta pressão sobre o intradorso fazem com que um escoamento ocorra na extremidade da asa gerando uma trilha de vórtices conforme mostrado na Fig 920 e a diferença de pressão é reduzida diminuindo a sustentação Estes vórtices de borda de fuga podem também ser explicados mais abstratamente em termos da circulação aprendemos na Seção 66 que a circulação em torno de uma seção de asa está presente sempre que temos sustentação e que a circulação é solenoidal isto é ela não pode ter fim no fluido assim a circulação estendese para fora dos limites da asa em forma de uma trilha de vórtices Os vórtices de fuga podem ser muito fortes e persistentes podendo criar problemas para outra aeronave por 8 a 16 km atrás de uma grande aeronave velocidades do ar superiores a 320 kmh foram registradas6 Fig 918 Efeito do ângulo de ataque sobre a configuração do escoamento e a distribuição de pressão teórica para aerofólio de escoamento laminar simétrico de razão de espessura de 15 Dados de 21 Fig 919 Polares de sustentaçãoarrasto para duas seções de aerofólio de razão de espessura de 15 Dados de Abbott e von Doenhoff 21 Fig 920 Representação esquemática do sistema de vórtice de fuga de uma asa finita Vórtices de borda de fuga reduzem a sustentação por causa da perda de diferença de pressão conforme já mencionamos Esta redução e um aumento no arrasto chamado arrasto induzido podem também ser explicados da seguinte maneira as velocidades induzidas para baixo pelos vórtices downwash significam redução no ângulo de ataque efetivo a asa vê um escoamento a aproximadamente meio caminho entre as direções de montante e de jusante do fluxo de ar explicando porque a asa possui menos sustentação que os dados de sua seção sugerem Isso faz também com que a força de sustentação que é perpendicular ao ângulo de ataque efetivo incline um pouco no sentido da borda traseira da asa resultando em que uma parte da sustentação apareça como arrasto A perda de sustentação e o aumento do arrasto causados pelos efeitos de envergadura finita estão concentrados próximo da ponta da asa assim fica evidente que uma asa curta e grossa experimentará estes efeitos mais gravemente que uma asa muito longa Nós devemos esperar então que os efeitos correlacionem com a razão de aspecto da asa definida como VÍDEO Vórtices na Extremidade da Asa em inglês em que Ap é a área planiforme e b é a envergadura Para uma forma plana retangular de envergadura b e comprimento de corda c A máxima razão sustentaçãoarrasto LD CLCD para uma moderna seção de baixo arrasto pode ser tão alta quanto 400 para uma razão de aspecto infinita Um planador leve de alto desempenho voo sem uso do motor com AR 40 pode ter LD 40 um avião leve típico AR l2 pode ter LD 20 ou próximo disso Dois exemplos de formas bastante inferiores são os corpos de sustentação utilizados para reentrada na atmosfera terrestre e os esquis aquáticos que são hidrofólios de baixa razão de aspecto Para estas duas formas LD é tipicamente menor que a unidade Variações na razão de aspecto são vistas na natureza As aves planadoras como os albatrozes ou o condor da Califórnia têm asas delgadas de longa envergadura Os pássaros que fazem manobras rápidas para pegar suas presas como as corujas têm asas de envergadura relativamente curta porém de grande área o que lhes dá baixo carregamento de asa a razão entre o peso e a área planiforme e por conseguinte alta manobrabilidade Faz sentido que quando tentamos gerar mais sustentação de uma asa finita por exemplo aumentando o ângulo de ataque os vórtices de fuga e portanto o downwash aumenta nós aprendemos também que o downwash faz com que o ângulo de ataque efetivo seja menor que aquele da seção de aerofólio correspondente isto é quando AR levando em última instância à perda de sustentação e ao arrasto induzido Desse modo concluímos que os efeitos da razão de aspecto finita podem ser caracterizados como uma redução α no ângulo de ataque efetivo e que este efeito normalmente indesejável tornase pior à medida que geramos mais sustentação isto é conforme o coeficiente de sustentação CL aumenta e conforme a razão de aspecto ar é feita menor A teoria e a experimentação indicam que Comparado com uma seção de aerofólio AR o ângulo geométrico de ataque de uma asa com AR finito deve ser aumentado desta quantidade para dar a mesma sustentação como mostrado na Fig 921 Isso também significa que em vez de ser perpendicular ao movimento a força de sustentação inclinase de um ângulo Δα para trás a partir da perpendicular com isso nós temos um acréscimo no coeficiente de arrasto devido a uma componente do arrasto induzido A partir de simples geometria Isso também está mostrado na Fig 921 Quando escrito em termos da razão de aspecto o arrasto de uma asa de envergadura finita tornase 21 em que CD é o coeficiente de arrasto da seção para CL CDi é o coeficiente de arrasto induzido para CL e AR é a razão de aspecto efetiva da asa de envergadura finita Fig 921 Efeito da razão de aspecto finita sobre os coeficientes de sustentação e de arrasto para uma asa Fig 922 Decomposição do arrasto sobre corpos com e sem sustentação O arrasto em aerofólios tem origem nas forças viscosas e de pressão O arrasto viscoso varia com o número de Reynolds mas apenas ligeiramente com o ângulo de ataque Estas interações e alguma terminologia comumente empregada são ilustradas na Fig 922 Uma aproximação útil para o polar de arrasto de uma aeronave completa pode ser obtida pela adição do arrasto induzido ao arrasto de sustentação zero O arrasto para qualquer coeficiente de sustentação é obtido de em que CD0 é o coeficiente de arrasto para sustentação zero e AR é a razão de aspecto É possível aumentar a razão de aspecto efetiva de uma asa de razão de aspecto geométrica dada acrescentando uma placa de extremidade ou uma winglet à ponta da asa Uma placa de extremidade pode ser uma simples placa acoplada à ponta da asa perpendicular à sua envergadura como aquelas no aerofólio de um carro de corrida veja a Fig 926 Uma placa de extremidade funciona bloqueando o escoamento que tende a migrar da região de alta pressão abaixo da ponta da asa para a região de baixa pressão acima da ponta quando a asa está produzindo sustentação Quando a placa de extremidade é acrescentada as intensidades dos vórtices de fuga e do arrasto induzido são diminuídas As winglets são asas curtas de contorno aerodinâmico montadas perpendicularmente à ponta da asa Assim como a placa de extremidade a winglet reduz as intensidades do sistema de vórtices de fuga e do arrasto induzido A winglet também produz uma pequena componente de força na direção e sentido do voo cujo efeito é uma redução adicional no arrasto total do avião O contorno e o ângulo de ataque da winglet são ajustados com base em testes de túneis de vento de modo a proporcionar resultados ótimos Conforme vimos as aeronaves podem ser equipadas com aerofólios de baixo arrasto para obter excelente desempenho na condição de cruzeiro Entretanto visto que o máximo coeficiente de sustentação é baixo para aerofólios finos um esforço extra deve ser despendido para a obtenção de baixas velocidades aceitáveis de pouso Nos voos de regime permanente a sustentação deve ser igual ao peso da aeronave Então A velocidade mínima de voo é portanto obtida quando CL CLmáx Resolvendo para Vmín De acordo com a Eq 944 a velocidade mínima de aterrissagem pode ser reduzida pelo aumento ou de CLmáx ou da área da asa Duas técnicas básicas são empregadas para controlar estas variáveis seções de asa de geometria variável por exemplo pelo uso de flapes ou técnicas de controle da camadalimite Os flapes são porções móveis da borda de fuga de uma asa que podem ser estendidas durante a aterrissagem e a decolagem para aumentar a área efetiva da asa Os efeitos sobre a sustentação e o arrasto de duas configurações de flapes são mostrados na Fig 923 para uma seção de aerofólio NACA 23012 O coeficiente máximo de sustentação para esta seção é aumentado de 152 na condição limpa para 348 com flapes duplos embutidos Da Eq 944 a correspondente redução na velocidade de aterrissagem seria de 34 A Fig 923 mostra que o arrasto da seção é aumentado substancialmente por dispositivos de alta sustentação Da Fig 923b o arrasto da seção para CLmáx CD 028 com flapes duplos embutidos é cerca de cinco vezes maior que o arrasto da seção para CLmáx CD 0055 para o aerofólio limpo O arrasto induzido decorrente da sustentação deve ser adicionado ao arrasto da seção para obter o arrasto total Como o arrasto induzido é proporcional a Eq 941 o arrasto total cresce abruptamente em baixas velocidades da aeronave Para velocidades próximas do estol o arrasto pode aumentar o suficiente para exceder o empuxo provido pelos motores A fim de evitar esta região perigosa de operação instável a Federal Aviation Administration FAA limita a operação de aviões comerciais a velocidades acima de 12 vez a velocidade de estol Fig 923 Efeito de flapes sobre características aerodinâmicas da seção do aerofólio NACA 23012 Dados de Abbott e von Doenhoff 21 Fig 924 a Aplicação de dispositivos de controle da camadalimite de alta sustentação para reduzir velocidade de aterrissagem de um avião de transporte a jato A asa do Boeing 777 é altamente mecanizada Na configuração de aterrissagem grandes flapes embutidos na borda traseira da asa rolam da parte inferior da asa e defletem para baixo para aumentar a área e o camber da asa aumentando assim o coeficiente de sustentação Lâminas slats na borda de ataque da asa movemse para a frente e para baixo para aumentar o raio efetivo da borda de ataque e prevenir a separação do escoamento e para abrir uma fenda que ajuda a manter o escoamento de ar junto à superfície superior da asa Após tocar o solo chapas defletoras spoilers não mostrados em uso são levantadas à frente de cada flape para reduzir a sustentação e assegurar que o avião permaneça no solo a despeito do uso de dispositivos de aumento de sustentação Esta fotografia foi tirada durante um voo de teste Cones de fluxo são anexados aos flapes e ailerons para identificar regiões de escoamento separado sobre essas superfícies Foto cortesia da Boeing Airplane Company Fig 924 b Aplicação de dispositivos de controle da camadalimite de alta sustentação para reduzir velocidade de decolagem de um avião de transporte a jato Esta é outra vista da asa do Boeing 777 Na configuração de decolagem grandes flapes embutidos na borda traseira da asa defletem para aumentar o coeficiente de sustentação O aileron de baixa velocidade próximo da ponta da asa também deflete para melhorar a envergadura durante a decolagem Esta vista mostra também o flape único de popa o aileron de alta velocidade e mais próximo da fuselagem o flape duplo de convés Foto cortesia da Boeing Airplane Company Embora os detalhes das técnicas de controle da camadalimite estejam além dos objetivos deste livro o propósito básico de todas elas é retardar a separação ou reduzir o arrasto seja por adição de quantidade de movimento à camada limite por injeção ou sopro seja por remoção de fluido da camadalimite de baixa quantidade de movimento por sucção Muitos exemplos de sistemas práticos de controle da camadalimite podem ser vistos em aviões de transporte comercial no aeroporto da sua cidade Dois sistemas típicos são mostrados na Fig 924 VÍDEO Lâminas Slats na Borda de Ataque em inglês Exemplo 98 DESEMPENHO ÓTIMO DE CRUZEIRO DE UM AVIÃO DE TRANSPORTE A JATO O motor a jato queima combustível a uma taxa proporcional ao empuxo produzido A condição ótima de cruzeiro para um avião a jato é na velocidade máxima para um dado empuxo Em voo nivelado permanente o empuxo e o arrasto são iguais Então a situação ótima de cruzeiro ocorre na velocidade para a qual a razão entre a força de arrasto e a velocidade do ar é minimizada Um jato de transporte Boeing 727200 tem área planiforme de asa Ap 149 m2 e razão de aspecto efetiva AR 65 A velocidade de estol desta aeronave ao nível do mar com os flapes erguidos e um peso bruto de 667500 N é 280 kmh Abaixo de M 06 o arrasto devido aos efeitos de compressibilidade é desprezível de modo que a Eq 943 pode ser usada para estimar o arrasto total sobre a aeronave O CD0 para a aeronave é constante e vale 00182 Considere que a velocidade sônica ao nível do mar é c 1214 kmh Avalie a envoltória de desempenho para este avião ao nível do mar traçando a força de arrasto versus a velocidade entre a condição de estol e M 06 Use esse gráfico para estimar a velocidade ótima de cruzeiro para a aeronave nas condições de nível do mar Comente sobre as velocidades de estol e de cruzeiro em uma altitude de 9140 m em um diapadrão Dados Jato de transporte Boeing 727200 nas condições de nível do mar W 667500 N A 149 m2 AR 65 e CD0 00182 A velocidade de estol é Vestol 280 kmh e os efeitos de compressibilidade sobre o arrasto são desprezíveis para M 06 a velocidade sônica ao nível do mar é c 1124 kmh Determinar a Avalie e plote a força de arrasto versus velocidade de Vestol até M 06 b Estime a velocidade ótima de cruzeiro ao nível do mar c Velocidades de estol e ótima de cruzeiro na altitude de 9140 m Solução Para voo nivelado em regime permanente o peso iguala a sustentação e o empuxo iguala o arrasto Equações básicas Ao nível do mar ρ 1227 kgm3 e c 1214 kmh Como FL W para voo nivelado em qualquer velocidade segue que Na condição de estol V 280 kmh logo Portanto Para M 06 V Mc 061214 kmh 728 kmh logo CL 0178 e então Cálculos semelhantes resultam na seguinte tabela elaborada usando o Excel V kmh 280 320 480 640 730 CL 1207 0924 0411 0231 0178 CD 00895 00600 00265 00208 00197 FDN 49510 43348 43009 60150 74237 Estes dados podem ser traçados como Do gráfico a velocidade ótima de cruzeiro ao nível do mar é estimada como 5168 kmh usando o Excelnós obtivemos 5184 kmh Da Tabela A3 para uma altitude de 9140 m a massa específica do ar é somente cerca de 0375 vez o valor da massa específica ao nível do mar As velocidades para as forças correspondentes são calculadas de Assim as velocidades aumentam de 63 em uma altitude de 9140 m Vestol 456 kmh Vcruzeiro 845 kmh Este problema ilustra que voo em grande altitude aumenta a velocidade ótima de cruzeiro em geral esta velocidade depende da configuração da aeronave peso bruto comprimento de segmento e ventos superiores A planilha Excel para este Exemplo traça o gráfico do arrasto ou empuxo ou potência como funções da velocidade Ela também permite interações como por exemplo o que acontece com a velocidade ótima se a altitude for aumentada ou se a razão de aspecto for aumentada e assim por diante 1Hoje soluções por computador das equações de NavierStokes são comuns 2 Uma curva de ajuste aproximado aos dados da Fig 911 é apresentada no Problema 9132 VÍDEO CLÁSSICO Controle de CamadaLimite em inglês A sustentação aerodinâmica é uma consideração importante no projeto de veículos terrestres de alta velocidade tais como carros de corrida e de quebra de recordes Um veículo rodoviário gera sustentação em virtude da sua forma 29 Uma distribuição de pressão de linha de centro representativa medida em um túnel de vento para automóvel é mostrada na Fig 925 30 A pressão é baixa ao redor do nariz por causa da curvatura das linhas de corrente quando o escoamento contorna o nariz A pressão atinge um máximo na base do parabrisa novamente por causa da curvatura das linhas de corrente Regiões de baixa pressão também ocorrem no topo do parabrisa e sobre o teto do automóvel A velocidade do ar acima do teto é aproximadamente 30 maior que a velocidade de corrente livre O mesmo efeito ocorre em torno das colunas e nas laterais do parabrisa O aumento de arrasto causado pela inclusão de um objeto tal como uma antena holofote ou espelho nesses locais seria portanto 132 17 vez o arrasto que o objeto experimentaria em um campo de escoamento não perturbado Desse modo o arrasto parasita de um componente adicionado pode ser muito maior do que aquele que seria calculado para escoamento livre Em altas velocidades as forças de sustentação aerodinâmica podem aliviar os pneus do solo causando sérios problemas de manobrabilidade e controle de direção além de reduzir a estabilidade perigosamente As forças de sustentação nos carros de corrida mais antigos eram contrabalançadas parcialmente por defletores spoilers com um pesado ônus de arrasto Em 1965 Jim Hall introduziu o emprego de aerofólios móveis invertidos nos seus carros esportivos Chaparral com a finalidade de desenvolver forças para baixo e prover frenagem aerodinâmica 31 Desde então os desenvolvimentos na aplicação de dispositivos aerodinâmicos têm sido muito rápidos O projeto aerodinâmico é utilizado para reduzir a sustentação em todos os carros modernos de corrida como exemplificado na Fig 926 Aerofólios Liebeck 23 são usados frequentemente em automóveis de alta velocidade Os seus elevados coeficientes de sustentação e relativamente baixos coeficientes de arrasto permitem que seja desenvolvida uma força para baixo igual ou maior que o peso do carro nas velocidades de circuito Os carros de efeito de solo usam dutos em forma de venturi sob eles e saias laterais para bloquear escoamentos de vazamento lateral O resultado líquido destes efeitos aerodinâmicos é que a força para baixo que aumenta com a velocidade do carro gera excelente tração sem a adição de peso significativo ao veículo permitindo velocidades maiores em curvas e reduzindo o tempo de percurso do circuito Fig 925 Distribuição de pressão ao longo da linha de centro de um automóvel 30 Fig 926 Carro esporte de corrida contemporâneo mostrando características do projeto aerodinâmico A frente e a asa traseira do carro são projetadas para produzir significativa força para baixo em alta velocidade para melhorar a tração Capotas são também visíveis para direcionar o ar quente dos radiadores em torno dos pneus traseiros e na frente do carro e o ar fresco em direção aos freios Outros recursos aerodinâmicos não estão visíveis tais como a parte inferior da fuselagem que é projetada para encaminhar cuidadosamente o escoamento de ar usando difusores para desenvolver o máximo de pressão negativa e para fazer com que esta pressão negativa atue sobre a maior área possível sob o carro para desenvolver força para baixo adicional Mrfocoz Dreamstimecom Outro método de controle da camadalimite é usar superfícies móveis para reduzir os efeitos de atrito superficial sobre a camadalimite 32 Este método é difícil de aplicar a dispositivos práticos por causa das complicações geométricas e de peso mas é muito importante em dispositivos de lazer A maioria dos jogadores de golfe tênis futebol e beisebol pode dar testemunho disso Os jogadores de tênis e futebol utilizam a rotação ou o giro spin para controlar a trajetória e o repique de suas rebatidas No golfe uma tacada pode dar à bola uma velocidade de 84 ms ou mais com uma rotação antihorária de 9000 rpm A rotação provê significativa sustentação aerodinâmica aumentando o alcance de uma tacada A rotação também é grandemente responsável pelos efeitos das tacadas quando as rebatidas não são secas e contundentes No beisebol o lançador de beisebol usa a rotação para arremessar uma bola em trajetória curva O escoamento em torno de uma esfera girando sobre si mesma é mostrado na Fig 927a A rotação altera a distribuição de pressão e também afeta a localização da separação da camadalimite A separação é retardada na superfície superior da esfera da Fig 927a e antecipada na superfície inferior Assim a pressão é reduzida por causa do efeito Bernoulli na superfície superior e aumentada na superfície inferior a esteira é defletida para baixo conforme mostrado As forças de pressão causam uma sustentação no sentido mostrado rotação no sentido contrário produziria sustentação negativa uma força para baixo A força é dirigida perpendicularmente a ambos V e o eixo de rotação Fig 927 Configuração de escoamento sustentação e coeficientes de arrasto para uma esfera lisa girando em escoamento uniforme Dados de 19 Dados de sustentação e arrasto para esferas lisas em rotação são apresentados na Fig 927b O parâmetro mais importante é a razão de rotação ωD2V a razão entre a velocidade de superfície e a velocidade de corrente livre o número de Reynolds tem papel apenas secundário Para baixas razões de rotação a sustentação é negativa em termos dos sentidos mostrados na Fig 927a Somente acima de ωD2V 05 a sustentação tornase positiva e continua a aumentar à medida que a razão de rotação aumenta Para altas razões de rotação os coeficientes de sustentação tendem a um valor constante em torno de 035 A rotação tem pequeno efeito sobre o coeficiente de arrasto da esfera que varia de 05 a 065 aproximadamente na totalidade da faixa de razão de rotação mostrada Mencionamos anteriormente o efeito das cavidades sobre o arrasto de uma bola de golfe Dados experimentais para os coeficientes de sustentação e de arrasto de bolas de golfe girando sobre si mesmas são apresentados na Fig 928 para números de Reynolds subcríticos entre 126000 e 238000 Mais uma vez a variável independente é a razão de rotação uma faixa muito menor de razão de rotação típica de bolas de golfe é apresentada na Fig 928 Fig 928 Comparação de bolas de golfe convencional e com cavidade hexagonal 33 Há claramente uma tendência o coeficiente de sustentação aumenta consistentemente com a razão de rotação tanto para as cavidades hexagonais quanto para as convencionais redondas O coeficiente de sustentação de uma bola de golfe com marcas hexagonais é significativamente maior tão grande quanto 15 que aquele de uma bola com marcas redondas A vantagem das cavidades hexagonais mantémse para razões de rotação maiores O coeficiente de arrasto para uma bola com cavidades hexagonais é consistentemente 5 a 7 mais baixo que o coeficiente de arrasto para uma bola com cavidades redondas para baixas razões de rotação porém a diferença tornase menos pronunciada à medida que a razão de rotação cresce A combinação de maior sustentação e menor arrasto aumenta o alcance de uma tacada de golfe Um projeto recente o Callaway HX trouxe mais melhorias de desempenho com o uso de uma estrutura tubular cruzada com nervuras hexagonais e pentagonais com altura exata de 021 mm em lugar de cavidades 34 A campanha publicitária assegurava aos golfistas que as tacadas com a Callaway HX seriam mais longas que a de qualquer outra bola já testada Exemplo 99 SUTENTAÇÃO DE UMA BOLA GIRANDO SOBRE SI MESMA Uma bola de tênis lisa com massa de 57 g e 64 mm de diâmetro é golpeada na sua parte superior topspin a 25 ms o que lhe confere uma rotação de 7500 rpm Calcule a sustentação aerodinâmica atuando sobre a bola Avalie o raio de curvatura da sua trajetória na máxima elevação no plano vertical Compare com o raio quando não houver rotação Dados Bola de tênis lisa em voo com m 57 g e D 64 mm rebatida com V 25 ms e topspin de 7500 rpm Determinar a A sustentação aerodinâmica atuando sobre a bola b O raio de curvatura da trajetória no plano vertical c Comparação com o raio sem rotação Solução Considere que a bola é lisa Use os dados da Fig 927 para determinar a sustentação A partir dos dados para o arpadrão υ 146 105m2s Da Fig 927 CL 03 logo Como a bola é golpeada na sua parte superior ganhando rotação no sentido contrário ao do escoamento relativo de ar esta força é para baixo Use a segunda lei de Newton para avaliar a curvatura da trajetória No plano vertical Então o topspin tem efeito significativo sobre a trajetória da bola Há muito se sabe que um projétil girando em voo é afetado por uma força perpendicular à direção do movimento e ao eixo de rotação Este efeito conhecido como efeito Magnus é responsável pelo desvio sistemático das granadas de artilharia O escoamento transversal sobre um cilindro circular em rotação é qualitativamente similar ao escoamento sobre uma esfera girando mostrado na Fig 927a Se a velocidade da superfície superior de um cilindro está no mesmo sentido da velocidade da corrente livre a separação é retardada na superfície superior ela ocorre mais cedo na superfície inferior Dessa forma a esteira é defletida e a distribuição de pressão sobre a superfície do cilindro é alterada quando uma rotação está presente A pressão é reduzida na superfície superior e aumentada na superfície inferior originando uma força de sustentação resultante que atua para cima A rotação no sentido contrário inverte estes efeitos e causa uma força de sustentação para baixo Os coeficientes de sustentação e arrasto para o cilindro em rotação baseiamse na área projetada LD Coeficientes de arrasto e de sustentação medidos experimentalmente para números de Reynolds subcríticos entre 40000 e 660000 são mostrados como funções da razão de rotação na Fig 929 Quando a velocidade superficial excede a velocidade do escoamento o coeficiente de sustentação aumenta para valores surpreendentemente altos enquanto no escoamento bidimensional o arrasto é afetado apenas moderadamente O arrasto induzido que deve ser considerado para cilindros finitos pode ser reduzido pelo uso de discos de extremidade maiores em diâmetro que o corpo do cilindro Fig 929 Arrasto e sustentação em um cilindro em rotação como uma função da velocidade relativa de rotação força Magnus Dados de 35 A potência requerida para girar um cilindro pode ser estimada a partir do arrasto de atrito de superfície do cilindro Hoerner 35 sugere que a estimativa do arrasto de atrito superficial deve se basear na velocidade de superfície tangencial e na área da superfície Goldstein 19 sugere que a potência requerida para girar o cilindro quando expressa como um coeficiente de arrasto equivalente pode representar 20 ou mais do CD aerodinâmico de um cilindro estacionário 99 Resumo e Equações Úteis Neste capítulo nós Definimos e discutimos vários termos comumente empregados em aerodinâmica tais como espessuras de perturbação de deslocamento e de quantidade de movimento de camadalimite separação de escoamento carenagem arrastos de atrito superficial e de pressão e coeficiente de arrasto sustentação e coeficiente de sustentação corda envergadura e razão de aspecto de asa e arrasto induzido Deduzimos expressões para a espessura da camadalimite sobre uma placa plana gradiente de pressão zero utilizando métodos exatos e métodos aproximados usando a equação da quantidade de movimento integral Aprendemos como estimar o arrasto e a sustentação a partir de dados publicados para uma diversidade de objetos Durante a investigação dos fenômenos citados nós desenvolvemos conhecimento em alguns dos conceitos básicos do projeto aerodinâmico tais como minimização de arrasto determinação de velocidade ótima de cruzeiro para uma aeronave e assim por diante Nota A maior parte das Equações Úteis na tabela a seguir possui determinadas restrições ou limitações para usá las com segurança verifique os detalhes no capítulo conforme numeração de referência Equações Úteis Definição de espessura do deslocamento 91 Definição de espessura da quantidade de movimento 92 Espessura da camadalimite laminar exata Blasius 913 Tensão na parede laminar exataBlasius 914 Coeficiente de atrito superficial laminar exata Blasius 915 Equação integral da quantidade de movimento 917 Espessura da camadalimite para placa plana laminar perfil de velocidade polinomial aproximado 921 Definição de coeficiente de atrito superficial 922 Coeficiente de atrito superficial para placa plana laminar perfil de velocidade polinomial aproximado 923 Espessura de camadalimite para placa plana turbulento perfil de velocidade de 17 de potênciaaproximado 926 Coeficiente de atrito superficial para placa plana turbulento perfil de velocidade de 17 de potênciaaproximado 927 Definição de coeficiente de arrasto 930 Coeficiente de arrasto para placa plana completamente laminar baseado na solução de Blasius 933 Coeficiente de arrasto para placa plana completamente turbulento baseado no perfil de velocidade de 17 de potência 934 Coeficiente de arrasto para placa plana empírico ReL 109 935 Coeficiente de arrasto para placa plana baseado no perfil de velocidade de 17 de potência 5 105 ReL 107 937a Coeficiente de arrasto para placa plana empírico 5 105 ReL 109 937b Definição de coeficiente de sustentação 938 Definição de razão de aspecto 939 Coeficiente de arrasto de uma asa aerofólio de envergadura finita usando CD 942 Coeficiente de arrasto de uma asa aerofólio de 943 envergadura finita usando CD0 Estudo de Caso A Nadadeira da Baleia Jubarte A nadadeira da baleia jubarte e o novo projeto de aerofólio No Capítulo 5 desenvolvemos as equações de NavierStokes para descrever muitos dos campos de escoamentos que são suscetíveis de estudo e no Capítulo 6 desenvolvemos a equação de Euler e a equação de Bernoulli que são úteis quando analisamos escoamentos que podemos considerar como não viscosos como em grande parte da aerodinâmica No Capítulo 9 expandimos este material considerando muitos fenômenos existentes no mundo real tais como camadaslimite separação de escoamento e assim por diante Entretanto ainda temos bastante a aprender sobre muitos problemas diferentes de escoamento Por exemplo é de conhecimento convencional que os aerofólios e os hidrofólios devem possuir bordas de ataque suaves e carenadas até detritos de insetos presos na borda de ataque de um rotor de uma turbina de vento por exemplo podem reduzir o desempenho Entretanto o Dr Frank E Fish da West Chester University Pennsylvania e colegas pesquisadores da Duke University e da US Naval Academy estudaram a mecânica dos fluidos das nadadeiras da baleia jubarte que não são nada suaves como mostradas na figura Os pesquisadores estavam curiosos pois mesmo sabendo da variabilidade natural que qualquer perfil de animal possa ter a baleia parecia ter desenvolvido nadadeiras com uma única linha de protuberâncias ou tubérculos ao longo de suas bordas de ataque que apresentam uma aparência serrilhada O que as protuberâncias estão fazendo sobre aquelas nadadeiras Testes e análises usando muitas das ideias discutidas nos Capítulos 5 6 e 9 têm sido feitos comparando aerofólios dentados com aerofólios similares com uma borda de ataque suave tradicional Esta pesquisa mostrou que se o ângulo de estol lembre que este é o ângulo em que ocorre a separação do escoamento levando a uma súbita perda na sustentação for muito aumentado o estol ocorrerá gradualmente e não repentinamente como na maior parte dos aerofólios tradicionais Adicionalmente o aerofólio dentado foi mais eficiente ele apresentou significativamente menos arrasto e mais sustentação Acreditase que isso ocorra porque as protuberâncias canalizam o vento conforme ele atinge a borda de ataque do aerofólio causando vórtices conforme o escoamento se desenvolve ao longo da superfície do aerofólio estabilizando o escoamento e entre outras coisas prevenindo escoamento secundário a partir do movimento através de todo o vão do aerofólio até a sua extremidade causando ruído e perda de sustentação A possível futura utilização de seções de aerofólio dentadas inclui virtualmente qualquer aplicação que necessite desempenho trabalho silencioso com excelente comportamento de estol turbinas eólicas asas de aeronaves hélices e lemes de navios ventiladores domésticos entre outros exemplos É até mesmo possível a existência de dispositivos tais como turbinas eólicas em grande escala que possam ser remontadas para melhorar seu desempenho e reduzir seu ruído Ainda teremos muito a dizer sobre novos desenvolvimentos nessa área no próximo Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente no início do Capítulo 10 Referências 1 Prandtl L Fluid Motion with Very Small Friction in German Proceedings of the Third International Congress on Mathematics Heidelberg 1904 English translation available as NACA TM 452 March 1928 2 Blasius H The Boundary Layers in Fluids with Little Friction in German Zeitschrift für Mathematik und Physik 56 1 1908 pp 1 37 English translation available as NACA TM 1256 February 1950 3 Schlichting H BoundaryLayer Theory 7th ed New York McGrawHill 1979 4 Stokes G G On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of Pendulums Cambridge Philosophical Transactions IX 8 1851 5 Howarth L On the Solution of the Laminar BoundaryLayer Equations Proceedings of the Royal Society of London A164 1938 pp 547579 6 Hess J L and A M O Smith Calculation of Potential Flow About Arbitrary Bodies in Progress in Aeronautical Sciences Vol 8 D Kuchemann et al eds Elmsford NY Pergamon Press 1966 7 Kraus W Panel Methods in Aerodynamics in Numerical Methods in Fluid Dynamics H J Wirz and J J Smolderen eds Washington DC Hemisphere 1978 8 Rosenhead L ed Laminar Boundary Layers London Oxford University Press 1963 9 Rotta J C Turbulent Boundary Layers in Incompressible Flow in Progress in Aeronautical Sciences A Ferri et al eds New York Pergamon Press 1960 pp 1220 10 Kline S J et al eds Proceedings Computation of Turbulent Boundary Layers1968 AFOSRIFPStanford Conference Vol I Methods Predictions Evaluation and Flow Structure and Vol II Compiled Data Stanford CA Thermosciences Division Department of Mechanical Engineering Stanford University 1969 11 Kline S J et al eds Proceedings 1980 81 AFOSRHTTMStanford Conference on Complex Turbulent Flows Comparison of Computation and Experiment three volumes Stanford CA Thermosciences Division Department of Mechanical Engineering Stanford University 1982 12 Cebeci T and P Bradshaw Momentum Transfer in Boundary Layers Washington DC Hemisphere 1977 13 Bradshaw P T Cebeci and J H Whitelaw Engineering Calculation Methods for Turbulent Flow New York Academic Press 1981 14 Fluent Fluent Incorporated Centerra Resources Park 10 Cavendish Court Lebanon NH 03766 wwwfluentcom 15 STARCD Adapco 60 Broadhollow Road Melville NY 11747 wwwcdadapcocom 16 Hoerner S F FluidDynamic Drag 2nd ed Midland Park NJ Published by the author 1965 17 Shapiro A H Shape and Flow the Fluid Dynamics of Drag New York Anchor 1961 paperback 18 Fage A Experiments on a Sphere at Critical Reynolds Numbers Great Britain Aeronautical Research Council Reports and Memoranda No 1766 1937 19 Goldstein S ed Modern Developments in Fluid Dynamics Vols I and II Oxford Clarendon Press 1938 Reprinted in paperback by Dover New York 1967 20 Morel T and M Bohn Flow over Two Circular Disks in Tandem Transactions of the ASME Journal of Fluids Engineering 102 1 March 1980 pp 104111 21 Abbott I H and A E von Doenhoff Theory of Wing Sections Including a Summary of Airfoil Data New York Dover 1959 paperback 22 Stratford B S An Experimental Flow with Zero Skin Friction Journal of Fluid Mechanics 5 Pt 1 January 1959 pp 1735 23 Liebeck R H Design of Subsonic Airfoils for High Lift AIAA Journal of Aircraft 15 9 September 1978 pp 547561 24 Smith A M O Aerodynamics of HighLift Airfoil Systems in Fluid Dynamics of Aircraft Stalling AGARD CP102 1973 pp 101 through 10 26 25 Morel T Effect of Base Slant on Flow in the Near Wake of an Axisymmetric Cylinder Aeronautical Quarterly XXXI Pt 2 May 1980 pp 132147 26 Hucho W H The Aerodynamic Drag of CarsCurrent Understanding Unresolved Problems and Future Prospects in Aerodynamic Drag Mechanisms of Bluff Bodies and Road Vehicles G Sovran T Morel and W T Mason eds New York Plenum 1978 27 McDonald A T and G M Palmer Aerodynamic Drag Reduction of Intercity Buses Transactions Society of Automotive Engineers 89 Section 4 1980 pp 44694484 SAE Paper No 801404 28 Grosser M Gossamer Odyssey Boston Houghton Mifflin 1981 29 Carr G W The Aerodynamics of Basic Shapes for Road Vehicles Part 3 Streamlined Bodies The Motor Industry Research Association Warwickshire England Report No 1074 1969 30 Goetz H The Influence of Wind Tunnel Tests on Body Design Ventilation and Surface Deposits of Sedans and Sports Cars SAE Paper No 710212 1971 31 Hall J Whats Jim Hall Really Like Automobile Quarterly VIII 3 Spring 1970 pp 282293 32 Moktarian F and V J Modi Fluid Dynamics of Airfoils with Moving Surface BoundaryLayer Control AIAA Journal of Aircraft 25 2 February 1988 pp 163169 33 Mehta R D Aerodynamics of Sports Balls in Annual Review of Fluid Mechanics ed by M van Dyke et al Palo Alto CA Annual Reviews 1985 17 pp 151189 34 The Year in Ideas New York Times Magazine December 9 2001 pp 5860 35 Hoerner S F and H V Borst FluidDynamic Lift Bricktown NJ Hoerner Fluid Dynamics 1975 36 Chow CY An Introduction to Computational Fluid Mechanics New York Wiley 1980 37 Carr G W The Aerodynamics of Basic Shapes for Road Vehicles Part 1 Simple Rectangular Bodies The Motor Industry Research Association Warwickshire England Report No 19682 1967 Problemas O Conceito de CamadaLimite 91 O teto de uma minivan é aproximadamente uma placa plana horizontal Trace um gráfico do comprimento da camadalimite laminar sobre o teto como uma função da velocidade da minivan V quando a minivan acelera de 16 kmh até 144 kmh 92 Um modelo de um rebocador fluvial deve ser testado em uma escala de 118 O barco foi projetado para navegar a 35 ms em água doce a 10C Estime a distância a partir da proa em que a transição ocorre Em que posição a transição deveria ser estimulada no modelo do rebocador 93 A velocidade de decolagem de um Boeing 757 é 260 kmh A que distância aproximadamente a camadalimite sobre as asas se tornará turbulenta Se o Boeing estava em velocidade de cruzeiro de 850 kmh a 10000 m a que distância aproximadamente a camadalimite se tornará turbulenta 94 Uma estudante deve projetar um banco de ensaios experimentais envolvendo o arrasto de uma esfera através de um tanque contendo fluido para ilustrar a um escoamento creeping flow ReD 1 e b escoamento para o qual a camadalimite se torna turbulenta ReD 25 105 Ela propõe utilizar uma esfera lisa com diâmetro de 1 cm escoamento através do óleo SAE 10 a temperatura ambiente Isto é prático para os dois casos Se para um caso não for prático selecione uma alternativa razoável para o diâmetro da esfera e para um fluido comum para esse caso 95 Para o escoamento em torno de uma esfera a camadalimite se torna turbulenta aproximadamente a ReD 25 105 Determine a velocidade na qual a uma bola de golfe norteamericana D 43 mm uma bola de golfe britânica D 411 mm e c uma bola de futebol D 222 mm desenvolvem camadaslimite turbulentas Considere as condições atmosféricas padrão 96 Uma placa de madeira tipo compensado com dimensões de 1 m 2 m é colocada no topo de seu carro após ser comprada em uma loja de equipamentos A que velocidade em quilômetros por hora no ar a 20C a camadalimite começará a ficar turbulenta E em que velocidade a camadalimite é 90 turbulenta 97 Trace em um gráfico o comprimento da camadalimite laminar sobre uma placa plana como uma função da velocidade da corrente livre para a água e arpadrão b ao nível do mar e c na altitude de 10 km Use eixos loglog e calcule valores para o comprimento de camadalimite variando de 001 m a 10 m 98 A extensão da camadalimite laminar sobre a superfície de uma aeronave ou míssil varia com a altitude Para uma dada velocidade o comprimento da camadalimite laminar aumentará ou diminuirá com a altitude Por quê Trace um gráfico da razão entre o comprimento da camadalimite laminar em uma altitude z e o comprimento da camadalimite ao nível do mar como função de z até a altitude de z 30 km para a atmosferapadrão Espessura da CamadaLimite 99 O perfil de velocidade senoidal mais geral para o escoamento laminar da camadalimite sobre uma placa plana é u A sen By C Estabeleça três condições de contorno aplicáveis ao perfil de velocidade laminar da camadalimite Avalie as constantes A B e C 910 Os perfis de velocidade das camadaslimite laminares frequentemente são aproximados pelas equações Linear Senoidal Parabόlico Compare as formas destes perfis de velocidade traçando um gráfico de yδs na ordenada como uma função de uU na abscissa 911 Uma aproximação para o perfil de velocidade em uma camadalimite laminar é Esta expressão satisfaz as condições de contorno aplicáveis ao perfil de velocidade da camadalimite laminar Avalie δδ e θδ 912 Uma aproximação para o perfil de velocidade em uma camadalimite laminar é Esta expressão satisfaz as condições de contorno aplicáveis ao perfil de velocidade da camadalimite laminar Avalie δδ e θδ 913 Um modelo simplificado para camadalimite laminar é Esta expressão satisfaz as condições de contorno aplicáveis ao perfil de velocidade da camadalimite laminar Avalie δδ e θδ 914 O perfil de velocidade em uma camadalimite turbulenta é frequentemente aproximado pela equação de lei de potência 17 Compare a forma deste perfil com o perfil parabólico de velocidade da camadalimite laminar Problema 910 traçando yδ na ordenada versus uU na abscissa para ambos os perfis 915 Avalie θδ para cada um dos perfis de velocidade da camadalimite laminar dados no Problema 910 916 Avalie δδ para cada um dos perfis de velocidade da camadalimite laminar dados no Problema 910 917 Avalie δδ e θδ para o perfil de velocidade turbulento da lei de potência 17 dado no Problema 914 Compare com as razões para o perfil parabólico de velocidade de camadalimite laminar dado no Problema 910 918 Um fluido de massa específica ρ 800 kgm3 escoa a U 3 ms sobre uma placa plana de 3 m de comprimento e 1 m de largura Na borda de fuga a espessura da camadalimite é δ 25 mm Considere que o perfil de velocidade é linear conforme mostrado e que o escoamento é bidimensional as condições do escoamento são independentes de z Usando o volume de controle abcd mostrado por linhas tracejadas calcule a vazão através da superfície ab Determine a força de arrasto sobre a superfície superior da placa Explique como este arrasto viscoso pode ser calculado a partir dos dados fornecidos mesmo se a viscosidade do fluido não for conhecida veja o Problema 941 919 A placa plana do Problema 918 é virada de modo que 1 m de lado é paralelo ao escoamento a largura tornase 3 m Devemos esperar que o arrasto aumente ou diminua Por quê A espessura da camadalimite na borda de fuga é agora δ 14 mm Considere novamente que o perfil de velocidade é linear e que o escoamento é bidimensional as condições de escoamento são independentes de z Repita a análise do Problema 918 920 Resolva novamente o Problema 918 com o perfil de velocidade na seção bc dado pela expressão parabólica do Problema 910 921 A seção de testes de um túnel de vento de baixa velocidade possui 15 m de comprimento precedido por um bocal e com um difusor na saída A seção transversal do túnel possui dimensões de 20 cm 20 cm O túnel de vento deve operar com ar atmosférico a 40C e possui uma velocidade de projeto igual a 50 ms na seção de testes Um problema em potencial com túnel de vento deste tipo é o bloqueio da camadalimite A espessura da camadalimite reduz a área da seção transversal efetiva a área de testes na qual temos escoamento uniforme e adicionalmente o escoamento uniforme será acelerado Caso estes efeitos sejam pronunciados nós finalizaremos com uma pequena seção transversal de testes útil com uma velocidade um pouco maior do que a prevista Se a espessura da camadalimite na entrada for igual a 10 mm e igual a 25 mm na saída e o perfil de velocidade na camadalimite for dado por uU yδ17 estime a espessura do deslocamento no final da seção de testes e a variação percentual na velocidade uniforme entre a entrada e a saída 922 Ar escoa em um duto horizontal cilíndrico de diâmetro D 100 mm Em uma seção a poucos metros da entrada a espessura da camadalimite turbulenta é δ1 525 mm e a velocidade no escoamento central não viscoso é U1 125 ms Mais a jusante a camadalimite tem espessura δ2 24 mm O perfil de velocidade na camada limite é bem aproximado pela expressão de lei de potência 17 Determine a velocidade U2 no escoamento central não viscoso na segunda seção e a queda de pressão entre as duas seções 923 Um túnel de vento de laboratório tem seções de teste com 25 cm2 e comprimento de 50 cm Com uma velocidade nominal do ar U1 25 ms na entrada da seção de teste formamse camadaslimite turbulentas no topo fundo e paredes laterais do túnel A espessura da camadalimite é δ1 20 mm na entrada e δ2 30 mm na saída da seção de teste Os perfis de velocidade da camada limite são da forma lei de potência com uU yδ17 Avalie a velocidade de corrente livre U2 na saída da seção de teste do túnel de vento Determine a variação na pressão estática ao longo da seção de teste 924 A seção de teste quadrada de um pequeno túnel de vento de laboratório tem lados com extensão W 40 cm Em um local de medição as camadaslimite turbulentas sobre as paredes do túnel têm espessuras δ1 1 cm O perfil de velocidade é bem aproximado pela expressão de lei de potência 17 Neste local a velocidade do ar de corrente livre é U1 20 ms e a pressão estática é p1 250 kPa manométrica Em um segundo local de medição a jusante a espessura da camadalimite é δ2 13 cm Avalie a velocidade do ar na corrente livre na segunda seção Calcule a diferença na pressão estática da seção para a seção 925 Ar escoa na região de entrada de um duto quadrado conforme mostrado A velocidade é uniforme U0 30 ms e o duto tem área de 76 mm2 Em uma seção a 03 m a jusante da entrada a espessura de deslocamento δ em cada parede mede 09 mm Determine a variação de pressão entre as seções e 926 Um escoamento de ar a 20C desenvolvese em um duto plano horizontal após uma seção de entrada bem arredondada A altura do duto é H 300 mm Camadaslimite turbulentas crescem nas paredes do duto mas o escoamento ainda não está inteiramente desenvolvido Considere que o perfil de velocidade em cada camadalimite é uU yδ17 O escoamento de entrada é uniforme com V 10 ms na seção Na seção a espessura da camadalimite sobre cada parede do duto é δ2 100 mm Mostre que para este escoamento δ δ8 Avalie a pressão estática manométrica na seção Determine a tensão de cisalhamento média entre a entrada e a seção localizada em L 5 m 927 Um túnel de vento de laboratório tem uma seção de teste quadrada com lados de extensão W 305 mm e comprimento L 610 mm Quando a velocidade de corrente livre do ar na entrada da seção de teste é U1 244 ms a perda de carga no túnel é 65 mm H2O Camadaslimite turbulentas formamse no topo fundo e paredes laterais da seção de teste Medições mostram que as espessuras da camadalimite são δ1 203 mm na entrada e δ2 254 mm na saída da seção de teste Os perfis de velocidade são de lei de potência 17 Avalie a velocidade do ar na corrente livre na saída da seção de teste Determine as pressões estáticas na entrada e na saída da seção de teste 928 Um escoamento de ar desenvolvese em um duto horizontal cilíndrico com diâmetro D 400 mm após uma seção de entrada bem arredondada Uma camadalimite turbulenta cresce sobre a parede do duto mas o escoamento ainda não está inteiramente desenvolvido Considere que o perfil de velocidade na camadalimite é uU yδ17 O escoamento de entrada é uniforme com U 15 ms na seção Na seção a espessura da camadalimite sobre cada parede do duto é δ2 100 mm Avalie a pressão estática manométrica na seção localizada em L 6 m Determine a tensão de cisalhamento média na parede 929 Ar escoa para dentro da seção de contração de entrada de um túnel de vento de um laboratório de graduação O ar entra em seguida na seção de teste que é um duto de seção quadrada com lados de 305 mm A seção de teste tem 609 mm de comprimento Em uma condição de operação o ar deixa a contração a 502 ms com espessura da camadalimite desprezível Medições mostram que as camadaslimite a jusante no final da seção de teste têm 203 mm de espessura Avalie a espessura de deslocamento das camadas limite neste local Calcule a variação na pressão estática ao longo da seção de teste do túnel de vento Estime a força de arrasto total causada pelo atrito superficial sobre cada parede do túnel de vento CamadaLimite Laminar em Placa Plana Solução Exata 930 Usando resultados numéricos da solução exata de Blasius para escoamento laminar da camadalimite sobre uma placa plana trace o perfil de velocidade adimensional uU na abscissa como uma função da distância adimensional a partir da superfície yδ na ordenada Compare com o perfil de velocidade parabólico aproximado do Problema 910 931 Usando os resultados numéricos obtidos por Blasius Tabela 91 avalie a distribuição de tensão de cisalhamento em uma camadalimite laminar sobre uma placa plana Trace ττw versus yδ Compare com os resultados deduzidos a partir do perfil de velocidade aproximado senoidal dado no Problema 910 932 Usando os resultados numéricos obtidos por Blasius Tabela 91 avalie a distribuição de tensão de cisalhamento em uma camadalimite laminar sobre uma placa plana Trace ττw versus yδ Compare com os resultados deduzidos a partir do perfil de velocidade aproximado parabólico dado no Problema 910 933 Usando resultados numéricos obtidos por Blasius Tabela 91 avalie a componente vertical de velocidade em uma camadalimite laminar sobre uma placa plana Trace υU versus yδ para Rex 105 934 Verifique que a componente y da velocidade para a solução de Blasius das equações da camadalimite de Prandtl é dada pela Eq 910 Obtenha uma expressão algébrica para a componente x da aceleração de uma partícula fluida na camadalimite laminar Trace ax versus η para determinar a máxima componente x da aceleração para um dado valor de x 935 Resultados numéricos da solução de Blasius para as equações de Prandtl da camadalimite são apresentados na Tabela 91 Considere o escoamento em regime permanente incompressível de arpadrão sobre uma placa plana com a velocidade de corrente livre U 5 ms Em x 20 cm estime a distância da superfície para a qual u 095 U Avalie a inclinação da linha de corrente que passa por esse ponto Obtenha uma expressão algébrica para o atrito de superfície local τwx Obtenha uma expressão algébrica para a força de arrasto total de atrito de superfície sobre a placa Avalie a espessura de quantidade de movimento para L 1 m 936 Considere o escoamento de ar sobre uma placa plana Em um gráfico trace a espessura da camadalimite laminar como uma função da distância ao longo da placa até a transição para velocidades de corrente livre U 1 ms 2 ms 3 ms 4 ms 5 ms e 10 ms 937 A solução exata de Blasius envolve a resolução de uma equação não linear Eq 911 com condições iniciais e de contorno dadas pela Eq 912 Desenvolva em uma planilha no software Excel um procedimento para obter uma solução numérica para este sistema de equações A planilha deve apresentar colunas para η f f e f contendo linhas com os valores calculados destas três últimas para passos numéricos adequados de η por exemplo 1000 linhas de valores de f f e f para passos de η de 001 com η variando de 0 a 10 para ir além dos dados na Tabela 91 Os valores de f e f para a primeira linha são iguais a zero conforme as condições iniciais Eq 912 um valor inicial estimado é necessário para f tente 05 Os valores subsequentes das linhas para f f f podem ser obtidos dos valores da linha anterior usando por exemplo o método de Euler de diferenças finitas da Seção 55 para aproximação de derivadas de primeira ordem e a Eq 911 Finalmente uma solução pode ser encontrada usando as funções do Resolvedor Excel Excels Goal Seek or Solver para alterar o valor inicial de f até que f seja igual a 1 para grandes valores de η por exemplo η 10 condição de contorno da Eq 912 Trace um gráfico dos resultados Nota O método de Euler é relativamente grosseiro e o seu uso levará a resultados com erros de aproximadamente 1 938 Uma placa plana delgada de comprimento L 025 m e largura b 1 m é instalada em um túnel de água como uma divisora de fluxo A velocidade de corrente livre é U 175 ms e o perfil de velocidade na camadalimite é aproximado como parabólico Trace δ δ e τw versus xL para a placa 939 Considere o escoamento sobre a placa divisora do Problema 938 Mostre algebricamente que a força de arrasto total sobre um lado da placa pode ser escrita como FD ρU2θLb Avalie θL e o arrasto total para as condições dadas 940 Uma placa plana delgada é instalada em um túnel de água como uma divisora de fluxo A placa tem 03 m de comprimento e 1 m de largura A velocidade de corrente livre é 16 ms Camadaslimite laminares formamse sobre ambos os lados da placa O perfil de velocidade da camadalimite é aproximado como parabólico Determine a força total de arrasto viscoso sobre a placa considerando que o arrasto de pressão é desprezível 941 Nos Problemas 918 e 919 o arrasto sobre a superfície superior da placa para escoamento de corrente livre com U 3 ms massa específica do fluido ρ 800 kgm3 foi determinado a partir de cálculos do fluxo de quantidade de movimento O arrasto foi determinado para a placa com sua borda larga 3 m e sua borda estreita 1 m paralela ao escoamento Sabendo que o fluido tem μ 002 N sm2 calcule o arrasto usando as equações da camadalimite 942 Considere um escoamento na camadalimite laminar para estimar o arrasto sobre a placa plana mostrada quando colocada em um escoamento de ar a 5 ms O ar está a 20C e 1013 kPa 943 Considere um escoamento na camadalimite laminar para estimar o arrasto sobre a placa plana mostrada quando colocada em um escoamento de ar a 5 ms porém considerando que a base da placa está de frente para o escoamento Você esperaria que o arrasto neste caso fosse maior igual ou menor do que o arrasto para o Problema 942 944 Considere um escoamento na camadalimite laminar para estimar o arrasto sobre a placa plana mostrada quando colocada em um escoamento de ar a 75 ms O ar está a 20C e a 1013 kPa Note que a forma da placa é dada por x y225 em que x e y são dados em centímetros 945 Considere um escoamento na camadalimite laminar para estimar o arrasto sobre a placa plana mostrada quando colocada em um escoamento de ar a 75 ms porém considerando que a base da placa está de frente para o escoamento Você esperaria que o arrasto neste caso fosse maior igual ou menor do que o arrasto para o Problema 944 946 Considere um escoamento na camadalimite laminar para estimar o arrasto sobre as quatro placas quadradas cada uma com dimensões de 75 cm 75 cm colocadas paralelas a um escoamento de água a 1 ms para as duas configurações mostradas Antes de calcular que configuração você esperaria experimentar o menor arrasto Considere que as placas conectadas por um cordão estão suficientemente distantes umas das outras para tornar desprezíveis os efeitos de esteira também que a água está a 20C Equação Integral da Quantidade de Movimento 947 O perfil de velocidade em um escoamento da camadalimite laminar com gradiente de pressão zero é aproximado pela expressão linear dada no Problema 910 Use a equação integral da quantidade de movimento com este perfil para obter expressões para δx e Cf 948 Uma superfície horizontal de comprimento L 18 m e largura b 09 m está imersa em uma corrente de arpadrão escoando a U 32 ms Considere a formação de uma camadalimite laminar e aproxime o perfil de velocidade como senoidal Trace δ δ e τw versus xL para a placa 949 Água a 10C escoa sobre uma placa plana a uma velocidade de 08 ms A placa tem 035 m de comprimento e 1 m de largura A camadalimite sobre cada face da placa é laminar Considere que o perfil de velocidade pode ser aproximado como linear Determine a força de arrasto sobre a placa 950 Uma superfície horizontal de comprimento L 08 m e largura b 19 m está imersa em uma corrente de arpadrão escoando a U 53 ms Considere a formação de uma camadalimite laminar e aproxime o perfil de velocidade como linear Trace δ δ e τw versus xL para a placa 951 Para as condições de escoamento do Problema 950 desenvolva uma expressão algébrica para a variação da tensão de cisalhamento na parede com a distância ao longo da superfície Integre para obter uma expressão algébrica para o arrasto total de atrito superficial Avalie o arrasto para as condições dadas 952 Arpadrão escoa da atmosfera para dentro de um canal plano largo conforme mostrado Camadaslimite laminares formamse sobre as paredes de topo e de fundo do canal ignore efeitos de camadalimite sobre as paredes laterais Considere que as camadaslimite comportamse como sobre uma placa plana com perfis lineares de velocidade Em qualquer distância axial a partir da entrada a pressão estática é uniforme na seção transversal do canal Considere escoamento uniforme na seção Indique onde a equação de Bernoulli pode ser aplicada neste campo de escoamento Determine a pressão estática manométrica e a espessura de deslocamento na seção Trace a pressão de estagnação manométrica através do canal na seção e explique o resultado Determine a pressão estática manométrica na seção e compare com a pressão estática manométrica na seção 953 Para as condições de escoamento do Exemplo 94 desenvolva uma expressão algébrica para a variação na tensão de cisalhamento de parede com a distância ao longo da superfície Integre a fim de obter uma expressão algébrica para o arrasto total de atrito sobre a superfície Avalie o arrasto para as condições dadas 954 Uma camadalimite de arpadrão em desenvolvimento sobre uma placa plana é mostrada na Fig P918 O escoamento de corrente livre fora da camadalimite não é perturbado com velocidade U 50 ms A placa tem 3 m de largura perpendicular ao diagrama Considere que o escoamento na camadalimite é turbulento com perfil de velocidade de potência 17 e que δ 19 mm na superfície bc Calcule a vazão mássica através da superfície ad e o fluxo de massa através da superfície ab Avalie o fluxo de quantidade de movimento segundo x através da superfície bc Avalie a força de arrasto exercida sobre a placa plana entre d e c Estime a distância a partir da borda de ataque na qual a transição de laminar para turbulento pode ser esperada 955 Considere o escoamento de ar sobre uma placa plana de comprimento L 5 m Em um gráfico trace a espessura da camada limite como uma função da distância ao longo da placa para uma velocidade de corrente livre U 10 ms considerando a camada limite laminar em todo o escoamento b camadalimite turbulenta em todo o escoamento e c uma camadalimite que se torna turbulenta em Rex 5 105 Use o Resolvedor do Excel Excels Goal Seek and Solver para encontrar a velocidade U para a qual a transição ocorre na borda de fuga e em x 4 m 3 m 2 m e 1 m 956 Considere as condições de escoamento dadas no Exemplo 94 Trace um gráfico de δ δ e τw versus xL para a placa 957 Repita o Problema 942 considerando agora que o escoamento de ar é a 25 ms considere escoamento na camadalimite turbulenta 958 Repita o Problema 944 considerando agora que o escoamento de ar é a 25 ms considere escoamento em camadalimite turbulenta 959 Repita o Problema 946 considerando agora que o escoamento de ar é a 10 ms considere escoamento na camadalimite turbulenta 960 O perfil de velocidade em um escoamento turbulento da camadalimite com gradiente de pressão zero é aproximado pela expressão de perfil de potência 16 Use a equação integral de quantidade de movimento com este perfil para obter expressões para δx e Cf Compare com os resultados obtidos na Seção 95 para o perfil de potência 17 961 Para as condições de escoamento do Exemplo 94 porém usando o perfil de velocidade de potência 16 do Problema 960 desenvolva uma expressão algébrica para a variação na tensão de cisalhamento de parede com a distância ao longo da superfície Integre a fim de obter uma expressão algébrica para o arrasto total de atrito sobre a superfície Avalie o arrasto para as condições dadas 962 Repita o Problema 960 usando a expressão do perfil de velocidade de potência 18 963 Arpadrão escoa sobre uma placa horizontal plana e lisa com velocidade de corrente livre U 20 ms O comprimento da placa é L 15 m e a sua largura é b 08 m O gradiente de pressão é zero A camadalimite é desencadeada turbulenta desde a borda de ataque o perfil de velocidade é bem representado pela expressão de potência 17 Avalie a espessura de camadalimite δ na borda de fuga da placa Calcule a tensão de cisalhamento de parede na borda de fuga da placa Estime o arrasto de atrito superficial sobre a porção da placa entre x 05 m e a borda de fuga 964 Ar na condiçãopadrão escoa sobre uma placa plana A velocidade de corrente livre é 10 ms Determine δ e τw em x 1 m medido a partir da borda de ataque considerando a escoamento completamente laminar considere um perfil de velocidade parabólico e b escoamento completamente turbulento considere um perfil de velocidade de potência 17 Uso da Equação Integral da Quantidade de Movimento para Escoamento com Gradiente de Pressão Zero 965 Um escoamento uniforme de arpadrão a 60 ms entra em um difusor de parede plana com espessura da camadalimite desprezível A largura da entrada é 75 mm As paredes do difusor divergem ligeiramente para acomodar o crescimento da camada limite de modo que o gradiente de pressão é desprezível Considere comportamento da camadalimite de placa plana Explique por que a equação de Bernoulli é aplicável a este escoamento Estime a largura do difusor 12 m a jusante da entrada 966 Um túnel de vento de laboratório tem uma parede superior móvel que pode ser ajustada para compensar o crescimento da camadalimite dando gradiente de pressão zero ao longo da seção de teste As camadaslimite sobre as paredes são bem representadas por perfis de velocidade de potência 17 Na entrada a seção transversal do túnel é quadrada com altura H1 e largura W1 iguais a 305 mm Com velocidade de corrente livre U1 265 ms medições mostram que δ1 122 mm e a jusante δ6 166 mm Calcule a altura das paredes do túnel na seção Determine o comprimento equivalente de placa plana que produziria a espessura de camadalimite de entrada Estime a distância no sentido da corrente entre as seções e no túnel Considere o arpadrão Gradientes de Pressão em Escoamento da CamadaLimite 967 Um pequeno túnel de vento em um laboratório de graduação tem seção de teste quadrada com lado de 305 mm Medições mostram que as camadaslimite sobre as paredes do túnel são completamente turbulentas e bem representadas por perfis de potência 17 Na seção transversal com velocidade de corrente livre U1 261 ms dados mostram que δ1 122 mm na seção localizada a jusante δ2 166 mm Avalie a variação na pressão estática entre as seções e Estime a distância entre as duas seções 968 Ar escoa em um duto cilíndrico de diâmetro D 150 mm Na seção a camadalimite turbulenta tem espessura δ1 10 mm e a velocidade na região central invíscida é U1 25 ms Mais a jusante na seção a camadalimite tem espessura δ2 30 mm O perfil de velocidade na camadalimite é bem aproximado por uma expressão de potência 17 Determine a velocidade U2 na região central não viscosa da segunda seção e a queda de pressão entre as duas seções A magnitude da queda de pressão calculada justifica a hipótese adotada de gradiente de pressão zero entre as seções e Estime a distância a jusante da seção na qual a espessura da camadalimite é δ 20 mm Considere o arpadrão 969 Considere as aproximações de camadalimite laminar linear senoidal e parabólica do Problema 910 Compare os fluxos de quantidade de movimentos destes perfis Qual deles provavelmente separa primeiro quando encontra um gradiente adverso de pressão 970 Elabore uma análise de custobenefício para um grande navio petroleiro típico Determine como uma porcentagem da carga de petróleo a quantidade de petróleo que é consumida em um percurso de 3200 km Use dados do Exemplo 95 e mais Considere que o petróleo constitui 75 do peso total que a eficiência dos propulsores é 70 que o arrasto de onda e a potência para operar equipamentos auxiliares constituem perdas adicionais equivalentes a 20 que os motores têm eficiência térmica de 40 e que a energia poder calorífico do petróleo é 46520 kJkg Compare também o desempenho deste petroleiro com o desempenho do Oleoduto do Alasca que requer cerca de 79 kJ de energia para cada toneladamilha de petróleo transportado 971 Considere o difusor de parede plana mostrado na Fig P971 Primeiro considere que o fluido é não viscoso Descreva a configuração do escoamento incluindo a distribuição de pressão quando o ângulo do difusor ϕ é aumentado a partir de zero grau paredes paralelas Segundo modifique sua descrição para levar em conta efeitos da camadalimite Qual fluido não viscoso ou viscoso terá em geral maior pressão de saída Tabela 91 mostra os resultados numéricos extraídos da solução exata de Blasius para as equações da camadalimite laminar Trace o gráfico da distribuição de velocidade note que da Eq 913 η 50 yδ Sobre o mesmo gráfico trace a distribuição de velocidade turbulenta dada pela expressão de potência 17 da Eq 924 Qual deles é o mais provável de separar primeiro quando encontrar um gradiente adverso de pressão Para justificar sua resposta compare os fluxos de quantidade de movimento destes perfis os dados do perfil laminar podem ser integrados usando um método numérico tal como a regra de Simpson 973 Ar de resfriamento é suprido através do canal largo e plano mostrado Para o mínimo de ruído e perturbação do fluxo de saída camadaslimite laminares devem ser mantidas sobre as paredes do canal Estime a máxima velocidade do escoamento na entrada para a qual o escoamento de saída será laminar Considerando perfis de velocidade parabólicos nas camadaslimite laminares avalie a queda de pressão p1 p2 Expresse a sua resposta em polegadas de água 974 A separação da camadalimite ocorre quando a tensão de cisalhamento na superfície tornase zero Considere uma representação polinomial para a camadalimite laminar da forma uU a bλ cλ2 dλ3 em que λ yδ Especifique condições de contorno para o perfil de velocidade na separação Determine constantes apropriadas a b c e d para o perfil de separação Calcule o fator de forma H na separação Trace o perfil e compareo com o perfil parabólico aproximado 975 Para escoamento sobre uma placa plana com gradiente de pressão zero a tensão de cisalhamento aumentará diminuirá ou permanecerá constante ao longo da placa Justifique sua resposta O fluxo de quantidade de movimento aumenta diminui ou permanece constante à medida que o escoamento prossegue ao longo da placa Justifique sua resposta Compare os comportamentos de escoamento laminar e escoamento turbulento ambos a partir da borda de ataque sobre uma placa plana Para uma dada distância da borda de ataque qual escoamento terá espessura de camadalimite maior A sua resposta depende da distância ao longo da placa Como você justifica sua resposta 976 A seção de teste de um túnel de vento de laboratório é quadrada com largura W1 e altura H1 de entrada iguais a 305 mm Para uma velocidade de corrente livre U1 245 ms medições mostram que a espessura da camadalimite é δ1 975 mm com um perfil de velocidade turbulento de potência 17 O gradiente de pressão nesta região é dado aproximadamente por dpdx 0035 mm H2Omm Avalie a redução na área efetiva de escoamento causada pelas camadaslimite no topo fundo e paredes laterais do túnel na seção Calcule a taxa de variação da espessura de quantidade de movimento da camadalimite dθdx na seção Estime a espessura de quantidade de movimento no final da seção de teste localizada L 254 mm a jusante 977 O conceito de parede variável é proposto para manter constante a espessura da camadalimite no túnel de vento do Problema 976 Partindo das condições iniciais do Problema 976 avalie a distribuição de velocidade de corrente livre necessária para manter constante a espessura da camadalimite Considere largura constante W1 Estime o ajuste das alturas do topo do túnel ao longo da seção de teste de x 0 na seção até x 254 mm na seção a jusante Arrasto 978 Uma barcaça de fundo chato de 24 m de comprimento e 107 m de largura submersa até uma profundidade de 15 m deve ser rebocada rio acima a água do rio está a 155C Estime e plote a potência requerida para vencer o atrito superficial para velocidades de até 24 kmh 979 Repita o Problema 946 porém agora considere que o escoamento de água é a 10 ms use as fórmulas para o CD da Seção 97 980 Um rebocador de barcaças fluviais é testado em um tanque de provas O modelo do rebocador é construído em uma razão de escala de 1135 As dimensões do modelo são comprimento total 35 m través 1 m e calado 02 m O deslocamento do modelo em água doce é 5500 N Estime o comprimento médio da superfície molhada do casco Calcule a força de arrasto de atrito superficial no protótipo a uma velocidade de 3601 ms com relação à água 981 Um avião de transporte a jato voa a 12 km de altitude em voo estável nivelado a 800 kmh Modele a fuselagem do avião como um cilindro circular de diâmetro D 4 m e comprimento L 38 m Desprezando efeitos de compressibilidade estime a força de arrasto de atrito superficial sobre a fuselagem Avalie a potência necessária para vencer esta força 982 A resistência de uma barcaça deve ser determinada a partir de testes com modelos O modelo é construído em uma razão de escala de 1135 e tem comprimento través e calado de 700 m 14 m e 02 m respectivamente O teste deve simular o desempenho do protótipo a 185 kmh Em que velocidade o modelo deve ser testado de maneira que o modelo e o protótipo exibam efeitos de arrasto similares A camadalimite no protótipo é predominantemente laminar ou turbulenta A camadalimite no modelo tornase turbulenta em um ponto semelhante ao do protótipo Se não a camadalimite do modelo poderia ser artificialmente estimulada por fios fixados de través sobre o casco do navio Onde os fios seriam colocados Estime o arrasto de atrito superficial sobre o modelo e sobre o protótipo 983 Uma aleta vertical estabilizadora sobre um carro de recorde de velocidade tem comprimento L 165 m e altura H 0785 m O automóvel deve ser dirigido na pista de Bonneville Salt Flats em Utah onde a elevação é de 1340 m e a temperatura de verão atinge 50C A velocidade do carro é 560 kmh Avalie o número de Reynolds de comprimento da aleta Estime o local de transição de escoamento laminar para turbulento nas camadaslimite Calcule a potência necessária para vencer o arrasto de atrito superficial na aleta 984 Um submarino nuclear navega a 139 ms inteiramente submerso O casco é aproximadamente um cilindro circular de diâmetro D 110 m e comprimento L 107 m Estime a porcentagem do comprimento do casco para a qual o escoamento é laminar Calcule o arrasto de atrito superficial sobre o casco e a potência consumida 985 Você é chamado pela equipe de canoagem do Flamengo para estimar o arrasto de atrito superficial sobre a canoa de competição de oito lugares com patrão O casco da canoa pode ser aproximado como um meio cilindro circular com diâmetro de 457 mm e comprimento de 732 m A velocidade da canoa através da água é 671 ms Estime o local de transição de escoamento laminar para turbulento na camadalimite sobre o casco da canoa Calcule a espessura da camadalimite turbulenta na popa da canoa Determine o arrasto de atrito superficial total de atrito superficial sobre o casco para as condições dadas 986 Uma folha de material plástico com espessura de 10 mm e SG 15 é deixada cair dentro de um grande tanque contendo água A folha tem 05 m 1 m Estime a velocidade terminal da folha quando ela cai com a o lado pequeno na vertical e b o lado longo na vertical Considere que o arrasto é devido somente ao atrito superficial e que as camadaslimite são turbulentas a partir da borda de ataque 987 O avião de transporte a jato de 600 lugares proposto pela Indústria Airbus tem uma fuselagem de 70 m de comprimento e 75 m de diâmetro O avião deve operar 14 horas por dia 6 dias por semana sua velocidade de cruzeiro é 257 ms M 087 a 12 km de altitude Os motores consomem combustível na taxa de 006 kg por hora para cada N de empuxo produzido Estime a força de arrasto de atrito superficial sobre a fuselagem do avião em voo de cruzeiro Calcule a economia anual de combustível decorrente da redução de 1 no arrasto de atrito sobre a fuselagem por modificação no revestimento da superfície do avião 988 O deslocamento de um superpetroleiro é aproximadamente de 600000 toneladas métricas Esse navio tem comprimento L 300 m través largura b 80 m e calado profundidade D 25 m O cargueiro navega a 720 ms na água do mar a 4C Para estas condições estime a a espessura da camadalimite na popa do navio b o arrasto total de atrito superficial atuando sobre o navio e c a potência requerida para vencer a força de arrasto 989 Na Seção 76 a resistência de onda e a resistência viscosa sobre um modelo e sobre um protótipo de navio foram discutidas Para o protótipo L 130 m e A 1800 m2 A partir dos dados das Figs 72 e 73 trace um gráfico das resistências em N total viscosa e de onda experimentadas pelo protótipo como uma função da velocidade Trace um gráfico similar para o modelo Discuta os resultados Finalmente plote a potência kW requerida para o navio protótipo superar a resistência total 990 Como parte das comemorações do bicentenário da independência em 1976 um grupo empreendedor pendurou uma gigantesca bandeira norteamericana 59 m de altura e 122 m de largura nos cabos de suspensão da ponte sobre o estreito Verrazano Aparentemente os fabricantes da bandeira relutaram em fazer furos na bandeira para aliviar a força do vento e dessa forma o que se tinha efetivamente era uma placa plana normal ao escoamento A bandeira foi arrancada das suas amarras quando o vento atingiu 16 kmh Estime a força do vento agindo sobre a bandeira para essa velocidade Eles deveriam ter ficado surpresos com o fato de a bandeira ter sido arrancada 991 Uma rede de pesca é feita com fio de nylon com 075 mm de diâmetro e tecida em formato retangular As distâncias vertical e horizontal entre as linhas de centro dos fios adjacentes são 1 cm Estime o arrasto sobre uma seção de 2 m 12 m desta rede quando ela é arrastada perpendicularmente ao escoamento através de água a 15C a 6 nós Qual é a potência requerida para manter este movimento 992 Um misturador rotativo é construído com dois discos circulares conforme mostrado O misturador é acionado a 60 rpm dentro de um grande vaso contendo uma solução de salmoura SG 11 Despreze o arrasto sobre as hastes e o movimento induzido no líquido Estime o torque e a potência mínimos requeridos para acionar o misturador 993 Você é um engenheiro recémformado e decide fazer com que um misturador rotativo seja melhorado por meio da substituição dos discos por anéis Os anéis podem ter a vantagem adicional de fazer com que o misturador misture mais eficientemente Se o misturador absorve 350 W a 60 rpm refaça o projeto Existe uma restrição no projeto de que o diâmetro externo dos anéis não deve exceder 125 mm 994 A componente vertical da velocidade de aterrissagem de um paraquedas deve ser inferior a 6 ms A massa total do paraquedas e do paraquedista é 120 kg Determine o mínimo diâmetro do paraquedas aberto 995 Você é um engenheiro de projetos e foi encarregado de projetar um sistema de frenagem de emergência por paraquedas para uso em um avião militar de massa igual a 9500 kg O avião aterrissa a 350 kmh e o sistema de paraquedas sozinho deve reduzir a velocidade do avião para 100 kmh em menos de 1200 m Determine o diâmetro mínimo requerido para um único paraquedas e para três paraquedas não interferentes Trace o gráfico da velocidade do avião em função da distância e também em função do tempo Qual é a máxima força g sofrida 996 Um sistema de frenagem de emergência de um avião militar consiste em um grande paraquedas de 6 m de diâmetro Se o avião tem massa de 8500 kg e aterrissa a 400 kmh determine o tempo e a distância para os quais o avião é desacelerado para 100 kmh somente pelo paraquedas Trace o gráfico da velocidade em função da distância e também em função do tempo Qual é a máxima forçag experimentada Um engenheiro propõe que menos espaço seria tomado substituindo o grande paraquedas por três paraquedas não interferentes cada um com diâmetro de 375 m Que efeito isso teria sobre o tempo e a distância de desaceleração do avião para 100 kmh 997 Foi proposta a utilização de tambores excedentes de óleo de 208 litros para fazer moinhos de vento simples em países subdesenvolvidos É uma turbina tipo Savonius simples Duas configurações possíveis são mostradas Estime qual seria a melhor por quê e quanto melhor O diâmetro e o comprimento de um tambor de 208 litros são D 610 mm e H 737 mm 998 A resistência ao movimento de uma boa bicicleta sobre um pavimento liso é decorrente quase que inteiramente do arrasto aerodinâmico Considere que a massa total de ciclista e bicicleta é W 100 kg A área frontal medida de uma fotografia é A 046 m2 Experiências em uma colina com declive de 9 mostram que a velocidade terminal é Vt 15 ms A partir desses dados o coeficiente de arrasto é estimado como CD 12 Verifique os cálculos do coeficiente de arrasto Estime a distância necessária para que ciclista e bicicleta desacelerem de 15 ms para 10 ms enquanto o ciclista descansa nos pedais após atingir o piso plano 999 Uma ciclista pode atingir uma velocidade máxima de 30 kmh em um dia calmo A massa total da ciclista e da bicicleta é 65 kg A resistência de rolamento dos pneus é FR 75 N e o coeficiente de arrasto e a área frontal são CD 12 e A 025 m2 A ciclista aposta que hoje mesmo com velocidade contrária do vento de 10 kmh ela pode manter uma velocidade de 24 kmh Ela aposta também que pedalando com o vento a favor pode atingir uma velocidade de 40 kmh Avalie as possibilidades da ciclista ganhar estas apostas 9100 Dados balísticos obtidos de uma bancada de tiro mostram que o arrasto aerodinâmico reduz a velocidade de uma bala de revólver magnum 44 de 250 ms para 210 ms em um trajeto horizontal de 150 m O diâmetro e a massa do projétil são respectivamente 112 mm e 156 g Avalie o coeficiente médio de arrasto da bala 9101 Considere a ciclista no Problema 99 Ela agora tem que subir uma colina com inclinação de 5 Qual é a velocidade máxima que ela pode atingir Qual é a velocidade máxima se há também um vento contrário de 10 kmh Ela alcança o topo da colina faz a volta e desce a colina Se ela ainda pedala tão forte quanto possível qual será a sua velocidade máxima quando está calmo e quando o vento está presente Qual será sua velocidade máxima se ela decide descansar no pedal durante a descida da colina com e sem a ajuda do vento 9102 Considere a ciclista no Problema 999 Determine a máxima velocidade que ela pode realmente atingir hoje com vento de 10 kmh pedalando contra o vento e pedalando com o vento a favor Se ela substituísse os pneus por outros de alta tecnologia que têm uma resistência de rolamento de apenas 35 N determine sua máxima velocidade em um dia calmo pedalando contra o vento e pedalando com o vento a favor Se além disso um dispositivo ou melhora aerodinâmica fosse aplicado para reduzir o coeficiente de arrasto para CD 09 qual seria sua nova velocidade máxima 9103 Em uma festa surpresa para um amigo você amarrou uma série de balões inflados com o gás hélio com diâmetro de 20 cm a um mastro de bandeira Cada amarra com um pequeno cordão O primeiro é amarrado a 1 m acima do solo e os outros oito são amarrados a espaçamentos de 1 m de modo que o último é amarrado a uma altura de 9 m Sendo um engenheiro completamente nerd você nota que para vento em regime permanente cada balão é soprado pelo vento de forma que parece que os ângulos que os cordões fazem com a vertical são respectivamente em torno de 10 20 30 35 40 45 50 60 e 65 Estime a trace um gráfico do perfil de velocidade do vento para a faixa de 9 m Considere que o gás hélio está a 20C e 10 kPa manométrica e que cada balão é feito com 3 gramas de látex 9104 Uma esfera de plástico oca com 05 cm de diâmetro contendo equipamento para teste de poluição está sendo dragada através do Rio Hudson em Nova York por um mergulhador que conduz um dispositivo subaquático a jato A esfera com SG 030 está completamente submersa e está amarrada ai mergulhador por um fino cordão com 15 m de comprimento Qual é o ângulo que o cordão faz com a horizontal se a velocidade do mergulhador e esfera relativa à água é de 5 ms A água está a 10C 9105 Um anemômetro simples porém eficaz para medir a velocidade do vento pode ser feito com uma placa fina pendurada de modo a defletir sob a ação do vento Considere uma placa fina de latão tendo 20 mm de altura e 10 mm de largura Deduza uma relação para a velocidade do vento como uma função do ângulo de deflexão θ Que espessura de latão deveria ser usada para dar θ 30 para 10 ms 9106 Um anemômetro para medir velocidade do vento é fabricado com quatro taças hemisféricas de 50 mm de diâmetro conforme mostrado O centro de cada taça é colocado a uma distância R 80 mm do pivô Determine a constante de calibração teórica k na equação de calibração V kω em que V kmh é a velocidade do vento e ω rpm é a velocidade de rotação Em sua análise baseie os cálculos do torque no arrasto gerado no instante em que duas taças estão ortogonais e as outras duas estão paralelas e ignore o atrito nos mancais Explique por que na ausência de atrito para uma dada velocidade do vento o anemômetro gira com velocidade constante em vez de acelerar continuamente Se o mancal do anemômetro real tem atrito constante tal que o anemômetro necessita de uma velocidade mínima do vento de 1 kmh para começar a girar compare as velocidades de rotação com e sem atrito para V 10 kmh 9107 Um disco circular é pendurado em uma corrente de ar a partir de um suporte articulado conforme mostrado Em um experimento de túnel de vento realizado no ar a 15 ms com um disco de 25 mm de diâmetro foi medido como 10 Para estas condições determine a massa do disco Considere que o coeficiente de arrasto para o disco aplicase quando a componente da velocidade do vento normal ao disco é usada Considere também que o arrasto na haste e o atrito no pivô são desprezíveis Trace uma curva teórica de como uma função da velocidade do ar 9108 Dados experimentais 16 sugerem que as áreas de arrasto máxima e mínima CD A para um paraquedista de salto livre variam de cerca de 085 m2 para uma posição de decúbito ventral com as pernas e os braços abertos a 011 m2 para queda vertical Estime as velocidades terminais para um paraquedista de 75 kg em cada posição Calcule o tempo e a distância necessários para o paraquedista atingir 90 da velocidade terminal em uma altitude de 3000 m de um diapadrão 9109 Um veículo foi construído para tentar bater o recorde de velocidade nas pistas de Bonneville Salt Flats cuja elevação é de 1340 m O motor libera 373 kW para as rodas traseiras e uma carenagem cuidadosa resultou em um coeficiente de arrasto de 015 com base na área frontal de 14 m2 Calcule a velocidade teórica máxima do carro relativa ao solo a no ar calmo e b com um vento contrário de 32 kmh 9110 Um avião F4 é desacelerado após a aterrissagem por paraquedas duplos disparados da traseira Cada um dos paraquedas tem 37 m de diâmetro O F4 pesa 142400 N e aterrissa a 160 ms Estime o tempo e a distância necessários para desacelerar o avião para 100 ms considerando que os freios não são aplicados e que o arrasto do avião é desprezível 9111 Um conjunto cavaloreboque tem uma área frontal A 95 m2 e coeficiente de arrasto CD 09 A resistência de rolamento é 6 N por 1000 N de peso do veículo O consumo específico de combustível do motor diesel é 0206 kg de combustível por kmh e a eficiência do sistema de transmissão é 92 A massa específica do óleo diesel é 812 kgm3 Estime a economia de combustível do conjunto a 88 kmh se seu peso bruto for 320400 N Um dispositivo de carenagem aerodinâmica reduz o arrasto de 15 O caminhão percorre 192000 km por ano Calcule o combustível economizado por ano pela carenagem do teto 9112 Um ônibus trafega a 80 kmh no arpadrão A área frontal do veículo é 75 m2 e o coeficiente de arrasto é 092 Quanta potência é requerida para superar o arrasto aerodinâmico Estime a máxima velocidade do ônibus se o motor tem potência nominal de 34675 kW Um jovem engenheiro propõe adicionar dispositivos aerodinâmicos sobre a frente e a traseira do ônibus para reduzir o coeficiente de arrasto Testes indicam que isso reduziria o coeficiente de arrasto para 086 sem alterar a área frontal Qual seria a potência requerida a 80 kmh e qual a nova velocidade máxima Se o custo do combustível para o ônibus é cerca de 300 dólares por dia qual o tempo de amortização do investimento orçado em 4800 dólares 9113 Compare de trace um gráfico da potência kW requerida por um sedan americano grande típico da década de 1970 e por um atual sedan de tamanho médio para superar o arrasto aerodinâmico em função da velocidade no arpadrão para a faixa de velocidades de 32 kmh a 160 kmh Utilize os seguintes valores representativos Peso N Coeficiente de Arrasto Área Frontal m2 Sedan de 1970 20025 05 223 Sedan Atual 15575 03 186 Se a resistência de rodagem for igual a 15 do peso de frenagem determine para cada veículo a velocidade na qual a força aerodinâmica excede a resistência de atrito 9114 Um carro esportivo de 13423 kW com área frontal de 172 m2 e coeficiente de arrasto de 031 requer 12677 kW para trafegar a 100 kmh Para qual velocidade o arrasto aerodinâmico superará pela primeira vez a resistência de rolamento A resistência de rolamento é 12 do peso do carro e a massa do carro é 1250 kg Determine a eficiência de transmissão Qual é a aceleração máxima a 100 kmh Qual é a máxima velocidade Qual modificação de projeto levaria a uma maior velocidade máxima melhoria da eficiência de transmissão em 6 do seu valor corrente redução do coeficiente de arrasto para 029 ou redução da resistência de rolamento para 091 do peso do carro 9115 Considere uma partícula esférica com raio a carregada negativamente tendo uma carga Qs suspensa em um fluido dielétrico puro não contendo íons Quando submetido a um campo elétrico uniforme a partícula sofrerá translação sob a influência elétrica que age sobre ela O movimento induzido da partícula referese à eletroforese que tem sido amplamente usado para caracterizar e purificar moléculas a partículas coloidais A força elétrica líquida sobre a partícula carregada será simplesmente E QS Tão logo a partícula inicia seu movimento sob a influência desta força elétrica ela encontra uma força de arrasto fluida diretamente oposta a Sob o regime de escoamento de Stokes e desprezando a força gravitacional e a força de empuxo agindo sobra a micropartícula deduza uma expressão para calcular a velocidade de translação da partícula em regime permanente b Baseado nos resultados do item anterior explique por que a eletroforese pode ser usada para separar amostras biológicas c Calcule as velocidades de translação de duas partículas de raios a 1 μm e 10 m usando Qs 1012 C E 1000 Vm e μ 103 Pas 9116 Repita a análise para o anemômetro sem atrito do Problema 9106 porém agora baseie os cálculos do torque no modelo mais realista de que o torque médio é obtido pela integração sobre um giro completo do torque instantâneo gerado por taça isto é conforme a orientação da taça para o vento varia 9117 Um disco redondo fino de raio R está posicionado normal a uma corrente fluida As distribuições de pressão sobre as superfícies frontal e posterior são medidas e apresentadas na forma de coeficientes de pressão Os dados são modelados com as seguintes expressões para as superfícies frontal e posterior respectivamente Calcule o coeficiente de arrasto para o disco 9118 Um objeto cai no ar no interior de um longo duto vertical A velocidade do objeto é constante em 3 ms A configuração do escoamento em volta do objeto é mostrada A pressão estática é uniforme nas seções e a pressão é atmosférica na seção A área efetiva de escoamento na seção é 20 da área transversal livre do duto Os efeitos de atrito entre as seções e são desprezíveis Avalie a velocidade do escoamento relativa ao objeto na seção Calcule a pressão estática na seção Determine a massa do objeto 9119 Um objeto de massa m de área de seção transversal igual à metade da área do tubo cai em um tubo de correio O movimento é em regime permanente A área da esteira é 34 da área do tubo na sua seção máxima Use a hipótese de pressão constante na esteira Aplique as equações da continuidade de Bernoulli e da quantidade de movimento para desenvolver uma expressão para a velocidade terminal do objeto em termos de sua massa e de outras quantidades 9120 Um aeroplano reboca uma faixa de propaganda acima de um estádio de futebol em uma tarde de sábado A faixa tem 12 m de altura e 137 m de comprimento Segundo Hoerner 16 o coeficiente de arrasto baseado na área Lh para um objeto como esta faixa é aproximado por CD 005 Lh em que L é o comprimento da faixa e h é a sua altura Estime a potência requerida para rebocar a faixa a V 88 kmh Compare com o arrasto de uma placa plana rígida Por que o arrasto da faixa é maior 9121 Uma grande roda de pás está imersa na correnteza de um rio para gerar potência Cada pá tem área A e coeficiente de arrasto CD o centro de cada pá está localizado no raio R a partir da linha de centro da roda Considere que o equivalente a uma pá está continuamente submerso na corrente de água Obtenha uma expressão para a força de arrasto sobre uma única pá em termos das variáveis geométricas velocidade da correnteza V e velocidade linear do centro da pá U Rμ Desenvolva expressões para o torque e a potência produzidos pela roda Determine a velocidade na qual a roda de pás deveria girar para dar a máxima produção de potência em uma dada correnteza 9122 A antena de um carro tem 10 mm de diâmetro e 18 m de comprimento Estime o momento fletor que tende a arrancála se o carro for conduzido a 120 kmh em um diapadrão 9123 Uma grande turbina eólica de três lâminas com eixo horizontal HAWT pode ser danificada se a velocidade do vento for muito grande Para evitar este problema as lâminas da turbina podem ser orientadas de tal forma que estejam paralelas ao escoamento do ar Determine o momento fletor na base de cada lâmina quando a velocidade do vento for igual a 45 ms Modele cada lâmina como uma placa plana com 35 m de largura e 045 m de comprimento 9124 A HAWT do Problema 9123 não possui partida automática O gerador é utilizado como um motor elétrico para iniciar o movimento da turbina até a velocidade de rotação de 20 unidades Para facilitar este processo as lâminas são alinhadas de forma a situarse no plano de rotação Considerando uma eficiência global do motor e do acionamento de 65 determine a potência requerida para manter a turbina na velocidade de rotação mínima de operação Como uma aproximação modele cada lâmina como uma série de placas planas a região externa da cada lâmina se move a uma velocidade significativamente maior do que a região interna 9125 Um corredor mantém uma velocidade de 12 kmh durante uma corrida de 4 km A pista de corrida consiste em uma estrada descendente reta por 322 km e em seguida virandose e retornando a 322 km direto ao ponto de partida O CD A para o corredor é de 084 m2 Em um dia sem vento quantas calorias em kcal o corredor queimará para vencer o arrasto Em um dia em que a velocidade do vento é de 8 kmh no sentido do movimento do corredor quantas calorias em kcal o corredor queimará para vencer o arrasto 9126 Considere pequenas gotas de óleo SG 085 subindo na água Desenvolva uma relação para calcular a velocidade terminal de uma gotícula em ms como uma função do seu diâmetro em mm considerando escoamento de Stokes Para que faixa de diâmetro de gota o escoamento de Stokes é uma hipótese razoável 9127 Arpadrão é puxado para dentro de um túnel de vento de baixa velocidade Uma esfera de 30 mm de diâmetro é montada em um dinamômetro para medir sustentação e arrasto Um manômetro de óleo é usado para medir a pressão estática dentro do túnel a leitura é 40 mm de óleo SG 085 Calcule a velocidade do ar na corrente livre no túnel o número de Reynolds do escoamento sobre a esfera e a força de arrasto sobre a esfera As camadaslimite sobre a esfera são laminares ou turbulentas Explique 9128 Um balão esférico de 06 m de diâmetro cheio de hidrogênio exerce uma força vertical de 13 N sobre a corda que o retém quando mantido estacionário no arpadrão sem vento Com uma velocidade do vento de 3 ms a corda que retém o balão faz um ângulo de 60 com a horizontal Calcule o coeficiente de arrasto do balão nestas condições desprezando o peso da corda 9129 Uma bola de hockey tem diâmetro D 73 mm e massa m 160 g Quando bem golpeada ela parte do bastão com velocidade inicial U0 50 ms A bola é essencialmente lisa Estime a distância percorrida em trajetória horizontal antes que a velocidade da bola seja reduzida em 10 pelo arrasto aerodinâmico 9130 Calcule a velocidade terminal de uma gota de chuva de 3 mm de diâmetro considere esférica no arpadrão 9131 Uma pequena esfera D 6 mm é observada cair com uma velocidade terminal de 60 mms através de óleo de rícino A temperatura é 20C Calcule o coeficiente de arrasto para a esfera Determine a sua massa específica Se largada na água a esfera cairia mais depressa ou mais devagar Por quê 9132 O seguinte ajuste de curva para o coeficiente de arrasto de uma esfera lisa em função do número de Reynolds foi proposto por Chow 36 CD 24Re Re 1 CD 24Re0646 1 Re 400 CD 05 400 Re 3 105 CD 0000366 Re04275 3 105 Re 2 106 CD 018 Re 2 106 Use os dados da Fig 911 para estimar a magnitude e a localização do erro máximo entre o ajuste de curva e os dados 9133 O Problema 9107 mostrou um disco circular pendurado em uma corrente de ar por meio de uma haste cilíndrica Considere que a haste tem L 40 mm de comprimento e d 3 mm de diâmetro Resolva o Problema 9107 incluindo o efeito de arrasto sobre o suporte 9134 Uma bola de tênis com massa de 57 g e diâmetro 64 mm é solta em arpadrão ao nível do mar Calcule a velocidade terminal da bola Considerando como uma aproximação que o coeficiente de arrasto permanece constante no seu valor para a velocidade terminal estime o tempo e a distância requeridos para a bola atingir 95 da sua velocidade terminal 9135 Considere um mastro de bandeira cilíndrico de altura H Para coeficiente de arrasto constante avalie a força de arrasto e o momento fletor sobre o mastro se a velocidade do vento varia como uU yH17 em que y é a distância medida a partir do solo Compare com o arrasto e o momento para um perfil de vento uniforme com velocidade constante U 9136 Uma torre de água consiste em uma esfera de 12 m de diâmetro no topo de uma torre vertical cilíndrica de 30 m de altura e 2 m de diâmetro Estime o momento fletor na base da torre devido à força aerodinâmica imposta por um vento de 100 kmh em um dia padrão Despreze a interferência da junta entre a esfera e a torre 9137 Um modelo de aerofólio com corda de 15 cm e envergadura de 60 cm é colocado em um túnel de vento com um escoamento de ar igual a 30 ms o ar está a 20ºC O aerofólio está montado sobre uma haste suporte cilíndrica com diâmetro e altura iguais a 2 cm e 25 cm respectivamente Os instrumentos na base da haste indicam uma força vertical de 50 N e uma força horizontal de 6 N Calcule os coeficientes de sustentação e de arrasto do aerofólio 9138 Uma bala de canhão de ferro fundido de 12 libras rola para fora do convés de um navio e cai no oceano em um local onde a profundidade é de 1000 m Estime o tempo decorrido antes que a bala de canhão atinja o fundo do mar 9139 A lei de arrasto de Stokes para esferas lisas deve ser verificada experimentalmente deixando cair esferas de aço de rolamentos em glicerina Avalie o maior diâmetro de esfera de aço para o qual Re 1 para a velocidade terminal Calcule a altura da coluna de glicerina necessária para que uma esfera atinja 95 da sua velocidade terminal 9140 O gráfico mostra diferença de pressão versus ângulo medido para o escoamento de ar em torno de um cilindro circular para Re 80000 Use estes dados para estimar CD para este escoamento Compare com os dados da Fig 913 Como você explica a diferença 9141 Considere a bola de tênis do Problema 9134 Use as equações para coeficiente de arrasto dadas no Problema 9132 e um esquema de integração numérica por exemplo regra de Simpson para calcular o tempo e a distância requeridos para a bola alcançar 95 da sua velocidade terminal 9142 A bolha de ar do Problema 310 se expande conforme sobe na água Determine o tempo decorrido para que a bolha atinja a superfície Repita o procedimento para bolhas com diâmetro de 5 mm e de 15 mm Calcule e trace um gráfico da profundidade das bolhas em função do tempo decorrido 9143 Considere a bola de tênis do Problema 9134 Suponha que ela seja golpeada de modo a ter uma velocidade inicial para cima de 50 ms Estime a elevação máxima da bola considerando a um coeficiente de arrasto constante e b as equações para o coeficiente de arrasto dadas no Problema 9132 e um esquema de integração numérica por exemplo a regra de Simpson 9144 Por que é possível lançar uma bola de futebol americano mais facilmente em um movimento espiral do que em um movimento de rotação da bola em torno das suas extremidades 9145 As dimensões aproximadas de um bagageiro de teto de aluguel são mostradas na figura Estime a força de arrasto sobre o bagageiro r 10 cm a 100 kmh Se a eficiência do sistema de transmissão do veículo for 085 e o consumo específico de combustível do motor for 03 kgkW h estime a taxa adicional de consumo de combustível devido ao bagageiro Calcule o efeito sobre a economia de combustível se o veículo faz 1275 quilômetros por litro sem o bagageiro A empresa locadora oferece um bagageiro mais barato quadrado com quinas vivas a um preço US5 menor que o atual Estime o custo extra de utilizar este bagageiro em vez do atual de quinas arredondadas em uma viagem de 750 km considerando que o litro de combustível custa US092 O bagageiro oferecido como mais barato é no final realmente mais barato 9146 Uma barcaça pesando 8820 kN que possui largura de 10 m 30 m de comprimento e 7 m de altura chegou livre de seu rebocador no Rio Mississipi Isso em uma seção do rio que possui uma correnteza de 1 ms e vento soprando direto acima do leito no sentido contrário ao da correnteza do rio com velocidade de 10 ms Considere que o coeficiente de arrasto é de 13 para as partes da barcaça que ficam acima e abaixo do nível da água Determine a velocidade na qual a barcaça se moverá em regime permanente A barcaça se moverá para jusante ou para montante 9147 Testes rodoviários realizados em uma estrada plana em um dia calmo podem ser usados para medir os coeficientes de arrasto aerodinâmico e de resistência de rolamento para um veículo em escala real A resistência de rolamento é estimada a partir de dVdt medido em baixa velocidade em que o arrasto aerodinâmico é pequeno A resistência de rolamento é então deduzida de dVdt medido em alta velocidade a fim de determinar o arrasto aerodinâmico Os seguintes dados foram obtidos durante um teste com um veículo de peso W 111250 N e área frontal A 734 m2 Estime o coeficiente de arrasto aerodinâmico para este veículo Para qual velocidade o arrasto aerodinâmico excede pela primeira vez a resistência de rolamento 9148 Um transdutor sonar esférico de 0375 m de diâmetro deve ser rebocado em água do mar O transdutor deve estar inteiramente submerso a 16 ms Para evitar cavitação a pressão mínima na superfície do transdutor deve ser maior que 30 kPa abs Calcule a força de arrasto aerodinâmico atuando sobre o transdutor para a velocidade de reboque requerida Estime a profundidade mínima na qual o transdutor deve estar submerso para evitar cavitação 9149 Enquanto caminhava pelo campus em um dia de ventania um aluno de mecânica dos fluidos especulava sobre a possibilidade de usar um guardachuva como uma vela para impulsionar uma bicicleta Desenvolva uma expressão algébrica para a velocidade que uma bicicleta poderia atingir sobre uma pista plana com um sistema de propulsão a guardachuva A área frontal da bicicleta e ciclista é estimada em 03 m2 e o coeficiente de arrasto é em torno de 12 Considere que a resistência de rolamento é 075 do peso da bicicleta e do ciclista a massa combinada é 75 kg Avalie a velocidade que poderia ser alcançada pela bicicleta com um guarda chuva de 122 m de diâmetro em um vento que sopra a 24 kmh Discuta a viabilidade deste sistema de propulsão 9150 O movimento de um pequeno foguete foi analisado no Exemplo 412 considerando o arrasto aerodinâmico desprezível A velocidade final calculada de 369 ms não era realista Use o método de diferenças finitas de Euler da Seção 55 de aproximação de derivadas de primeira ordem em uma planilha Excel para resolver a equação de movimento para o foguete Trace um gráfico da velocidade do foguete como uma função do tempo considerando CD 03 e um diâmetro do foguete de 700 mm Compare com os resultados para CD 0 9151 Uma bola de beisebol é disparada para cima com uma velocidade inicial de 25 ms A bola de beisebol tem um diâmetro de 0073 m e uma massa de 0143 kg O coeficiente de arrasto para a bola de beisebol pode ser estimado como igual a 047 para Re 104 e 010 para Re 104 Determine quanto tempo a bola de beisebol ficará no ar e a altura que ela subirá 9152 Bolas WiffleTM feitas de plástico leve com vários furos são usadas para praticar beisebol e golfe Explique os propósitos dos furos e como eles funcionam Explique como você verificaria suas hipóteses experimentalmente 9153 Torres de transmissão de sinais de televisão podem ter 500 m de altura No inverno formase gelo na estrutura metálica Quando o gelo derrete pedaços quebramse e caem no solo Quão distante da base da torre você recomendaria colocar uma cerca para limitar o perigo da queda de pedaços de gelo sobre pedestres 9154 A torre de bala usada para produzir bala de chumbo esférica tem sido reconhecida como um marco da engenharia mecânica Em uma torre de bala chumbo derretido é derramado de uma torre alta à medida que o chumbo solidifica a tensão superficial puxa cada bala para uma forma esférica Discuta a possibilidade de aumentar o tempo de residência da bala ou de usar uma torre mais curta fazendo o chumbo fundido cair em uma corrente ascendente de ar Suporte sua discussão com cálculos apropriados 9155 Projete um anemômetro de vento que utiliza arrasto aerodinâmico para mover ou defletir uma peça ou acoplamento produzindo uma saída que pode ser relacionada com a velocidade do vento para a faixa de 1 a 10 ms no arpadrão Considere três conceitos de projeto alternativos Selecione o melhor conceito e prepare um projeto detalhado Especifique a forma tamanho e material para cada componente Quantifique a relação entre velocidade do vento e saída do anemômetro Apresente resultados como uma curva de calibração da saída do anemômetro versus velocidade do vento Discuta as razões pelas quais você rejeitou projetos alternativos e escolheu o conceito final de projeto 9156 Um modelo de aerofólio com corda de 150 mm e envergadura de 750 mm é colocado em um túnel de vento com um escoamento de ar igual a 300 ms o ar está a 20C O modelo é montado sob uma haste suporte cilíndrica com 25 mm de diâmetro e 250 mm de altura Instrumentos na base da haste indicam uma força vertical de 445 N e uma força horizontal de 67 N Calcule os coeficientes de sustentação e de arrasto do aerofólio 9157 Um antigo avião carrega 50 m de fios de corda estirados na direção normal à direção do movimento O diâmetro do fio é 5 mm Estime a economia máxima de potência decorrente de uma carenagem ótima dos fios para uma velocidade do avião de 175 kmh no arpadrão ao nível do mar 9158 Por que os revólveres modernos têm canos estriados 9159 Como funciona o defletor de vento montado sobre a cabina de um caminhão de carga Explique usando diagramas da configuração do escoamento em torno do caminhão e da distribuição de pressão sobre a superfície do caminhão 9160 Um avião com uma área efetiva de sustentação igual a 25 m2 é equipado com aerofólios de seção NACA 23012 Fig 923 O ajuste máximo de flape que pode ser usado na decolagem corresponde à configuração na Fig 923 Determine a máxima massa bruta possível para o avião se a sua velocidade de decolagem for 150 kmh ao nível do mar despreze a sustentação adicional devido ao efeito de solo Determine a velocidade mínima de decolagem requerida para esta massa bruta caso o avião estivesse decolando de Denver altitude aproximada de 16 km 9161 Um avião está em voo de cruzeiro a 225 kmh no arpadrão O coeficiente de sustentação para esta velocidade é 045 e o coeficiente de arrasto é 0065 A massa do avião é 900 kg Calcule a área efetiva de sustentação para o avião assim como o empuxo e potência requeridos do motor 9162 A área total efetiva dos hidrofólios de um barco anfíbio é 07 m2 Seus coeficientes de sustentação e arrasto são 16 e 05 respectivamente A massa total da embarcação em condição de navegação é 1800 kg Determine a velocidade mínima na qual a embarcação é suportada pelos hidrofólios Para esta velocidade determine a potência necessária para vencer a resistência da água Se o barco for equipado com um motor de 110 kW estime a sua velocidade máxima 9163 Um projeto de graduação envolve a construção de um modelo de um avião ultraleve Alguns estudantes propõem fazer um aerofólio a partir de uma folha rígida de plástico de 15 m de comprimento e 2 m de largura em um ângulo de ataque de 12 Para este aerofólio os coeficientes de sustentação e de arrasto são CL 072 e CD 017 Se o ultraleve deve voar a 12 ms qual é a sua carga total máxima Qual a potência requerida para manter o voo Este projeto é factível 9164 O caça de combate F16 da Força Aérea dos Estados Unidos tem uma área planiforme de asa A 279 m2 ele pode desenvolver um coeficiente máximo de sustentação de CL 16 Quando totalmente carregado sua massa é 11600 kg A estrutura suporta manobras que produzem acelerações verticais de 9 g Entretanto os alunos pilotos estão limitados a manobras de no máximo 5 g durante o treinamento Considere uma curva feita em voo nivelado com a aeronave inclinada Determine a velocidade mínima na qual o piloto pode produzir uma aceleração total de 5 g no arpadrão Calcule o raio correspondente de voo Discuta os efeitos da altitude sobre estes resultados 9165 O professorinstrutor dos alunos do projeto do aeroplano do Problema 9163 não está satisfeito com a ideia de usar folha rígida de plástico para o aerofólio Ele solicita aos estudantes que avaliem a carga total máxima esperada e a potência requerida para manter o voo se a folha de plástico for substituída por um aerofólio de seção convencional NACA 23015 com a mesma razão de aspecto e ângulo de ataque Quais são os resultados da análise 9166 Um aeroplano leve com massa M 1000 kg tem uma seção convencional NACA 23015 de asa de área planiforme A 10 m2 Determine o ângulo de ataque da asa para uma velocidade de cruzeiro V 63 ms Qual é a potência requerida Determine a forçag vertical instantânea máxima experimentada se o ângulo de ataque for subitamente aumentado 9167 Um avião leve tem uma envergadura efetiva de 10 m e corda de 18 m Ele foi originalmente projetado para usar um aerofólio de seção convencional NACA 23015 Com este aerofólio sua velocidade de cruzeiro em um diapadrão próximo do nível do mar é 225 kmh Uma conversão para um aerofólio de seção de escoamentolaminar NACA 662215 é proposta Determine a velocidade de cruzeiro que poderia ser atingida com o novo aerofólio para a mesma potência 9168 Em vez de um aerofólio de escoamento laminar uma modificação do projeto do avião leve do Problema 9167 é proposta na qual a seção de aerofólio convencional corrente seria substituída por outro aerofólio de seção convencional de mesma área mas de razão de aspecto AR 8 Determine a velocidade de cruzeiro que poderia ser obtida com este novo aerofólio para a mesma potência 9169 Considere que o avião Boeing 727 tenha asas com seção NACA 23012 área planiforme de 150 m2 flapes duplos embutidos e razão de aspecto efetiva de 65 Se a aeronave com peso bruto de 778750 N voa a 772 ms no arpadrão estime o empuxo requerido para manter voo nivelado 9170 Um avião com massa de 4500 kg voa a 240 kmh em uma trajetória circular de elevação constante O círculo de voo tem raio de 990 m O avião tem área de sustentação de 23 m2 e está equipado com aerofólios de seção NACA 23015 com razão de aspecto efetiva de 7 Estime o arrasto sobre a aeronave e a potência requerida 9171 Determine as velocidades máxima e mínima nas quais o aeroplano do Problema 9170 pode voar sobre uma trajetória circular de voo com raio de 990 m e estime o arrasto sobre o aeroplano e a potencia requerida nestes extremos 9172 Os carros de corrida Chaparral 2F de Jim Hall foram pioneiros na década de 1960 no emprego de aerofólios montados acima da suspensão traseira para aumentar a estabilidade e melhorar o desempenho dos freios O aerofólio tinha largura efetiva envergadura de 18 m e corda de 03 m Seu ângulo de ataque variava entre 0 e 12 Considere que dados para os coeficientes de sustentação e arrasto são fornecidos pelas curvas para seções convencionais na Fig 917 Considere uma velocidade do automóvel de 192 kmh em um dia meteorologicamente calmo Para uma deflexão do aerofólio de 12 graus para baixo calcule a a força máxima para baixo e b o aumento máximo na força de desaceleração produzida pelo aerofólio 9173 O ângulo de voo planado sem motor é tal que a sustentação o arrasto e o peso estão em equilíbrio Mostre que o ângulo de inclinação de voo planado θ é tal que θ CD CL O ângulo mínimo de voo planado ocorre para uma velocidade em que CLCD é um máximo Para as condições do Exemplo 98 avalie o ângulo mínimo de voo planado para um Boeing 727200 Qual a distância máxima que esse avião poderia planar a partir de uma altitude inicial de 10 km em um diapadrão 9174 A carga de asa do Gossamer Condor é 19 Nm2 de área da asa Medições grosseiras mostraram que o arrasto era aproximadamente 27 N a 192 kmh O peso total do Condor é 890 N A razão de aspecto efetiva do Condor é 17 Estime a potência mínima requerida para fazer voar este aparelho Compare com 290 W que o piloto Brian Allen pôde manter por duas horas 9175 Alguns carros são equipados de fábrica com um spoiler uma seção de asa instalada na traseira do veículo que as revendedoras afirmam aumentar significativamente a tração dos pneus em alta velocidade Investigue a validade desta afirmação Seriam estes dispositivos apenas decorativos 9176 As placas sinalizadoras ao lado de uma rodovia tendem a oscilar em um movimento de torção quando sopra um vento forte Discuta os fenômenos que devem ocorrer para causar este comportamento 9177 Como voa um FrisbeeTM O que o faz curvar para a esquerda ou para a direita Qual é o efeito do giro sobre o seu voo 9178 O ar em movimento sobre um automóvel é acelerado a velocidades superiores à do carro conforme mostrado na Fig 925 Isso causa variações na pressão interna quando as janelas estão abertas ou fechadas Use os dados da Fig 925 para estimar a redução de pressão quando uma janela é aberta ligeiramente para uma velocidade de 100 kmh Qual é a velocidade de corrente livre perto da abertura da janela 9179 Um automóvel trafega em uma estrada com uma bicicleta fixada transversalmente na sua traseira As rodas da bicicleta giram lentamente Explique por que e em que sentido a rotação ocorre 9180 Uma demonstração em classe mostrou que a sustentação está presente quando um cilindro gira em uma corrente de ar Um cordão enrolado em volta de um cilindro de papel quando puxado provoca o giro do cilindro e o seu movimento para a frente simultaneamente Considere um cilindro com diâmetro de 5 cm e comprimento de 30 cm ao qual se aplica uma rotação de 240 rpm e uma velocidade para a frente de 15 ms Estime a força de sustentação aproximada que atua sobre o cilindro 9181 Uma bola de golfe diâmetro D 43 mm com cavidades circulares é golpeada e sai com velocidade de 20 ms e giro anti horário backspin de 2000 rpm A massa da bola é 48 g Avalie as forças de sustentação e de arrasto que atuam sobre a bola Expresse seus resultados como frações do peso da bola 9182 Cilindros em rotação foram propostos como meios de propulsão de navios em 1924 pelo engenheiro alemão Flettner O propulsor de navio original de Flettner tinha dois rotores cada um com cerca de 3 m de diâmetro e 15 m de comprimento girando a até 750 rpm Calcule as forças de sustentação e de arrasto máximas que agem sobre cada rotor no vento a 50 kmh Compare a força total com aquela produzida para LD ótimo com a mesma velocidade de vento Estime a potência necessária para girar o rotor a 750 rpm 9183 Um lançador de beisebol arremessa uma bola a 128 kmh A base está a 183 m da plataforma de lançamento Que rotação deve ser aplicada à bola para desvio horizontal máximo de uma trajetória retilínea Uma bola de beisebol tem massa m 142 gm e D 230 mm Qual será o desvio da bola em relação a uma trajetória reta 9184 As bolas de golfe americana e inglesa têm diâmetros ligeiramente diferentes mas a mesma massa veja os Problemas 139 e 142 Suponha que um golfista profissional golpeia com um taco em tê cada tipo de bola imprimindolhes 85 ms com backspin de 9000 rpm Avalie as forças de sustentação e de arrasto sobre cada bola Expresse as suas respostas como frações do peso de cada bola Estime o raio de curvatura da trajetória de cada bola Qual bola teria maior alcance nestas condições 9185 Um jogador de futebol bate uma falta Em uma distância de 10 m a bola desvia para a direita cerca de 1 m Estime a rotação que o jogador colocou na bola se sua velocidade é 30 ms A bola pesa 420 g e tem diâmetro de 70 cm Fig 911 é apresentada no Problema 9132 3Veja Shapiro 17 para uma boa discussão de arrasto sobre esferas e outras formas Veja também Fage 18 4A configuração regular de vórtices na esteira de um cilindro é às vezes chamada de Caminho de vórtices de Karman em homenagem ao proeminente estudioso da mecânica dos fluidos Theodore von Kármán que foi o primeiro a predizer o espaçamento estável na trilha de vórtices sobre solos teóricos em 1911 veja Goldstein 19 5Note que coeficientes de arrasto para aerofólios são baseados na área planiforme isto é CD FD ρ V2 Ap em que Ap é a área máxima projetada da asa 6Sforza P M Aircraft Vortices Benign or Baleful SpaceAeronautics53 4 April 1970 pp 4249 Veja também o filme da Universidade de Iowa Form Drag Lift and Propulsion Este tópico aplicase a uma seção que pode ser omitida sem perda de continuidade no material do texto Este problema requer material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Este problema requer material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Este problema requer material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Este problema requer material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Máquinas de Fluxo 101 Introdução e Classificação de Máquinas de Fluxo 102 Análise de Turbomáquinas 103 Bombas Ventiladores e Sopradores 104 Bombas de Deslocamento Positivo 105 Turbinas Hidráulicas 106 Hélices e Máquinas Eólicas 107 Turbomáquinas de Escoamento Compressível 108 Resumo e Equações Úteis Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente Energia Eólica Turbina Eólica e Projeto de Ventiladores Usando Tubérculos No Estudo de Caso do Capítulo 9 aprendemos que a incrível agilidade das baleias jubarte se deve à presença de irregularidades sobre as bordas das suas nadadeiras conhecidas como tubérculos Ernst van Nierop um postulante a doutorado na Escola de Engenharia e Ciências Aplicadas da Universidade de Harvard é coautor de um estudo para explicar esse fenômeno em conjunto com o professor de matemática Michael Brenner e com o pesquisador Silas Alben Tal como acontece com os aerofólios discutidos no Capítulo 9 quando o ângulo de ataque de uma nadadeira de baleia tornase demasiadamente íngreme o resultado é estol Experiências anteriores demonstraram no entanto que o ângulo de ataque antes do estol ocorre para uma nadadeira de baleia jubarte é muito mais acentuado que na nadadeira lisa A equipe de Harvard mostrou que os tubérculos alteram a distribuição da pressão sobre a nadadeira de forma que algumas partes estolam antes das outras evitando assim a perda de sustentação brusca dando à baleia mais liberdade para atacar segundo ângulos maiores e mais capacidade de prever melhor as suas limitações hidrodinâmicas Os tentáculos sobre a pá da turbina WhalePower Foto de cortesia de J Subirana WhalePower Estudar os seres vivos a fim de desenvolver ideias para melhorar a tecnologia é uma prática conhecida como biomimética área que vem sendo utilizada cada vez mais para aumentar a eficiência das máquinas Neste caso temos a aplicação prática da tecnologia de tubérculos especificamente no que se aplica às turbomáquinas o tema deste capítulo Uma companhia em Toronto Ontário chamada WhalePower demostrou as vantagens dos tubérculos quando eles são integrados nas bordas de turbinas eólicas e nas pás do ventilador A fotografia mostra o protótipo das pás de uma turbina eólica incorporando tubérculos em sua borda Testes desses protótipos têm mostrado o dobro do desempenho das turbinas permitindo que a turbina capte mais energia mesmo em baixa velocidade de ventos Como nos referimos no Estudo de Caso do Capítulo 9 esse aumento de desempenho pode ser explicado observando como o estol afeta o fluxo total sobre pás rotativas Em particular é bem sabido que o estol experimentado por pás convencionais faz com que o ar se desloque do centro para a periferia das pás em vez de se deslocar paralelamente ao eixo de rotação O resultado desse efeito por vezes referido como spanwise é que é necessária uma energia adicional para mover o ar na direção desejada diminuindo a eficiência do ventilador Da mesma forma uma turbina eólica que experimenta estol irá gerar menor sustentação extraindo assim menos ar Além disso o componente radial do fluxo de ar aumenta as vibrações das pás causando ruído e aumento do desgaste Testes em andamento no Instituto de Energia Eólica do Canadá revelam que devido ao atraso no estol pás revestidas com tubérculos são mais estáveis silenciosas e duráveis do que as pás convencionais Estudos recentes mostram que a adição de tubérculos nas bordas de ataque das pás da turbina faz gerar sustentação mais estável com menor arrasto mesmo em ângulo agudo e quando há estol ele é gradual e não drástico WhalePower alega que a melhora na geração de energia em velocidades de vento fraco é decorrente das pás serem mais silenciosas do que as pás convencionais e que há uma redução na trepidação periférica vibrações na ponta das lâminas devido a instabilidades de fluxo em outras palavras nas condições reais as pás reforçadas com tentáculos parecem mais estáveis e sensíveis do que o tipo de turbina anterior WhalePower também mostrou que pás com tubérculos alinhadas em ventiladores industriais podem operar com eficiência de 20 a mais do que as pás convencionais e que elas fazem um trabalho melhor de circulação de ar em um prédio Os resultados foram significativos o suficiente para convencer a EnviraNorte a maior fabricante de ventiladores do Canadá a licenciar o projeto Desde a Antiguidade o homem tem buscado controlar a natureza O homem primitivo transportava água em baldes ou conchas com a formação de grupos maiores este processo foi mecanizado As primeiras máquinas de fluxo desenvolvidas foram rodas de conchas e bombas de parafuso para elevar água Os romanos introduziram a roda de pás em torno de 70 aC para extrair energia dos cursos de água 1 Mais tarde foram desenvolvidos os moinhos para extrair energia do vento mas a baixa densidade de potência do vento limitava a produção a poucas centenas de quilowatts O desenvolvimento de rodas de água tornou possível a extração de milhares de quilowatts de um único local Hoje tiramos proveito de várias máquinas de fluxo No dia a dia obtemos água pressurizada de uma torneira usamos um secador de cabelos dirigimos um carro no qual máquinas de fluxo operam os sistemas de lubrificação refrigeração e direção e trabalhamos em um ambiente confortável com circulação de ar condicionado A lista poderia ser estendida indefinidamente Uma máquina de fluxo é um dispositivo que realiza trabalho sobre um fluido ou extrai trabalho ou potência de um fluido Como você pode imaginar este é um campo de estudo muito vasto de modo que limitaremos nosso estudo principalmente aos escoamentos incompressíveis Inicialmente vamos apresentar a terminologia do assunto classificando as máquinas em função do princípio de operação e de suas características físicas Em vez de tentar uma abordagem de todo o assunto concentramos nossa atenção em máquinas em que a transferência de energia do fluido ou para o fluido é realizada por meio de um elemento rotativo Equações básicas são revistas e em seguida simplificadas para formas úteis na análise de máquinas de fluxo As características de desempenho de máquinas típicas são consideradas São dados exemplos de aplicações de bombas e turbinas em sistemas típicos Em seguida vamos discutir hélices e turbinas eólicas equipamentos singulares que absorvem energia de um fluido sem tirar proveito de uma carcaça Uma discussão de máquinas de escoamento compressível conclui o capítulo 101 Introdução e Classificação de Máquinas de Fluxo As máquinas de fluxo podem ser classificadas de modo amplo como máquinas de deslocamento positivo ou como máquinas dinâmicas Nas máquinas de deslocamento positivo a transferência de energia é feita por variações de volume que ocorrem devido ao movimento da fronteira na qual o fluido está confinado Essas incluem dispositivos do tipo cilindropistão bombas de engrenagens por exemplo a bomba de óleo de um motor de carro e bombas de lóbulos por exemplo aquelas usadas na medicina para recirculação de sangue através de uma máquina Não vamos analisar esses dispositivos neste capítulo faremos uma breve revisão deles na Seção 104 Os dispositivos fluidomecânicos que direcionam o fluxo com lâminas ou pás fixadas em um elemento rotativo são denominados turbomáquinas Em contraste com as máquinas de deslocamento positivo não há volume confinado em uma turbomáquina Todas as interações de trabalho em uma turbomáquina resultam de efeitos dinâmicos do rotor sobre a corrente de fluido Esses dispositivos são largamente usados na indústria para geração de potência por exemplo o turbo compressor de um carro de alto desempenho A ênfase neste capítulo é em máquinas dinâmicas Uma distinção adicional entre os tipos de turbomáquinas é fundamentada na geometria do percurso do fluido Nas máquinas de fluxo radial a trajetória do fluido é essencialmente radial com mudanças significativas no raio da entrada para a saída Tais máquinas são por vezes denominadas máquinas centrífugas Nas máquinas de fluxo axial a trajetória do fluido é aproximadamente paralela à linha de centro da máquina e o raio de percurso não varia significativamente Nas máquinas de fluxo misto o raio da trajetória do fluido varia moderadamente Diagramas esquemáticos de algumas turbomáquinas típicas são mostrados nas Figs 101 a 105 Toda interação de trabalho em uma turbomáquina resulta de efeitos dinâmicos do rotor sobre a corrente de fluido isto é a troca de trabalho entre o fluido e o rotor da máquina tanto pode aumentar quanto diminuir a velocidade do escoamento Contudo em conjunção com a transferência de energia cinética máquinas que possuem uma carcaça por exemplo compressores bombas e turbinas também envolvem a conversão de energia de pressão em energia cinética ou viceversa Essa aceleração ou desaceleração do escoamento permite a obtenção de uma máxima razão pressão em bombas e compressores e uma máxima geração de potência em turbinas Máquinas para Realizar Trabalho sobre um Fluido As máquinas que adicionam energia a um fluido realizando trabalho sobre o fluido são denominadas bombas quando o escoamento é de líquido ou pastoso e ventiladores sopradores ou compressores para unidades que lidam com gás ou vapor dependendo do aumento de pressão Em geral os ventiladores geram um pequeno aumento de pressão inferior a 25 mm de água e os sopradores geram um aumento de pressão moderado da ordem de 25 mm de mercúrio bombas e compressores podem ter aumentos de pressão muito grandes Os sistemas industriais da atualidade operam com pressões de até 1 GPa 104 atmosferas Fig 101 Diagramas esquemáticos de turbomáquinas centrífugas típicas adaptados de 2 Fig 102 Diagramas esquemáticos de turbomáquinas típicas de fluxo axial e de fluxo misto adaptados de 2 Bombas e compressores consistem em um elemento rotativo chamado de impulsor ou rotor dependendo do tipo de máquina acionado por uma fonte de energia externa por exemplo um motor ou outra máquina de fluxo para aumentar a energia cinética do escoamento Na sequência um elemento desacelera o fluxo aumentando assim sua pressão Essa combinação é conhecida como estágio Uma bomba ou compressor pode consistir em vários estágios com uma só carcaça dependendo do valor da razão de pressão requerida da máquina Esses elementos estão contidos na carcaça ou alojamento O eixo que transfere energia mecânica para o rotor penetra na carcaça Um sistema de mancais e selos é necessário minimizar as perdas mecânicas por atrito e prevenir vazamentos do fluido de trabalho VÍDEO Fluxo e um Compressor de Fluxo Axial Animação em inglês Três máquinas centrífugas típicas são mostradas esquematicamente na Fig 101 O elemento rotativo de uma bomba ou compressor centrífugo é frequentemente chamado de impulsor O fluido adentra cada máquina quase axialmente através do olho do impulsor diagrama a no raio pequeno r1 O fluxo é então defletido e sai pela descarga do rotor no raio r2 em que a largura é b2 O escoamento deixando o rotor é coletado no caracol ou voluta que aumenta gradualmente de área à medida que se aproxima da saída da máquina diagrama b O rotor geralmente tem pás ele pode ser fechado envolto como mostrado no diagrama a ou aberto como mostrado no diagrama c As pás do rotor podem ser relativamente retas ou encurvadas para tornaremse não radiais na saída O diagrama c mostra que pode haver um difusor entre a descarga do rotor e a voluta o difusor faz a difusão ser mais eficiente mas aumenta os custos de fabricação Máquinas centrífugas são capazes de maiores razões de pressão que as máquinas axiais mas elas apresentam uma maior área frontal por unidade de vazão mássica Fig 103 Fotografia de um rotor de compressor axial de múltiplo estágio para uma turbina a gás Foto de cortesia da General Electric Company 2010 General Electric Company Todos direitos reservados Turbomáquinas típicas de fluxo axial e de fluxo misto são mostradas esquematicamente na Fig 102 A Fig 102a mostra um estágio de um compressor de fluxo axial típico O escoamento entra quase paralelo ao eixo do rotor e mantém aproximadamente o mesmo raio através do estágio A bomba de fluxo misto no diagrama b mostra o escoamento sendo defletido para fora e deslocando para raios maiores à medida que atravessa o estágio Máquinas de escoamento axial apresentam maiores eficiências e menores áreas frontais que máquinas centrífugas mas elas não podem gerar altas razões de pressão Por isso máquinas de fluxo axial são geralmente de múltiplos estágios o que as tornam mais complexas que as máquinas centrífugas A Fig 103 mostra um compressor axial de múltiplos estágios Nesta fotografia a carcaça que está presa nos difusores do estator foi removida para permitir uma melhor visualização das linhas dos difusores do rotor O aumento de pressão que pode ser alcançado eficientemente em um único estágio é limitado dependendo do tipo de máquina A razão dessa limitação pode ser entendida com base no gradiente de pressão dessas máquinas veja a Seção 96 Em uma bomba ou compressor as camadaslimite adjacentes para um gradiente de pressão adverso não são estáveis logo é comum haver separação da camadalimite em um compressor ou bomba A separação da camadalimite aumenta o arrasto sobre o impulsor resultando em uma diminuição da eficiência portanto trabalho adicional é necessário para comprimir o fluxo Ventiladores sopradores compressores e bombas são encontrados em vários tamanhos e tipos desde unidades residenciais a unidades industriais complexas de grande capacidade Os requisitos de torque e potência para bombas e turbossopradores idealizados podem ser analisados pela aplicação do princípio do momento da quantidade de movimento ou princípio da quantidade de movimento angular usando um volume de controle adequado As hélices são essencialmente dispositivos de fluxo axial que operam sem uma carcaça externa Elas podem ser projetadas para operar em gases ou em líquidos Como seria de se esperar as hélices projetadas para essas aplicações tão diferentes são bastante distintas As hélices marítimas tendem a ter pás largas comparadas com seus raios conferindolhes alta solidez As hélices de aviões tendem a ter pás longas e delgadas com solidez relativamente baixa Essas máquinas serão discutidas em detalhes na Seção 106 Máquinas para Extrair Trabalho Potência de um Fluido As máquinas que extraem energia de um fluido na forma de trabalho ou potência são chamadas turbinas Nas turbinas hidráulicas o fluido de trabalho é água de modo que o escoamento é incompressível Nas turbinas a gás e nas turbinas a vapor a massa específica do fluido de trabalho pode variar significativamente Em uma turbina um estágio consiste normalmente em um elemento para acelerar o escoamento convertendo parte da energia de pressão em energia cinética seguido por um rotor roda ou elemento rotativo que extrai energia cinética do escoamento por meio de um conjunto de difusores pás ou conchas montados na roda As duas classificações mais gerais de turbinas são turbinas de impulsão e de reação As turbinas de impulsão são acionadas por um ou mais jatos livres de alta velocidade O exemplo clássico de uma turbina a impulsão é a roda dágua Em uma roda dágua o jato de água é gerado pela gravidade A energia cinética da água é transferida para a roda resultando em trabalho Em turbinas de impulsão mais modernas o jato é acelerado em um bocal externo à roda da turbina Se o atrito e a gravidade forem desprezados nem a pressão nem a velocidade relativa ao rotor mudam enquanto o fluido passa sobre as conchas da turbina Desse modo em uma turbina de impulsão a aceleração do fluido e a queda de pressão decorrente ocorrem em bocais externos às pás e o rotor não trabalha cheio de fluido o trabalho é extraído como um resultado da grande variação na quantidade de movimento do fluido Nas turbinas de reação parte da variação de pressão do fluido ocorre externamente e a outra parte dentro das pás móveis Ocorre aceleração externa e o escoamento é defletido para entrar no rotor na direção apropriada à medida que passa por bocais ou pás estacionárias chamadas de pásguias ou de pás diretrizes Uma aceleração adicional do fluido relativa ao rotor ocorre dentro das pás móveis de modo que tanto a velocidade relativa quanto a pressão da corrente mudam através do rotor Como as turbinas de reação trabalham cheias de fluido elas podem em geral produzir mais potência para um dado tamanho total do que as turbinas de impulsão A Fig 104 mostra turbinas usadas para diferentes aplicações A Fig 104a mostra uma roda de Pelton um tipo de roda de turbina de impulsão usada em usinas hidroelétricas A Fig 104b é uma fotografia de um rotor de uma turbina axial a vapor um exemplo de turbina de reação A Fig 104c é uma fazenda de turbinas eólicas Uma turbina eólica é outro exemplo de turbina de reação mas como um impulsor também opera sem uma carcaça externa Turbinas eólicas modernas coletam energia do vento e a convertem em eletricidade Fig 104 Fotografias de turbinas usadas em diferentes aplicações Foto de cortesia de a Andy Dingley b e c Siemens Energy 2010 Fig 105 Diagramas esquemáticos de turbinas hidráulicas típicas adaptados de 2 Várias turbinas hidráulicas típicas estão mostradas esquematicamente na Fig 105 A Fig 105a mostra uma turbina de impulso acionada por um único jato que se situa no plano do rotor da turbina Á água do jato atinge cada concha sucessivamente que gira e sai com uma velocidade relativa em sentido quase que oposto aquele de entrada na concha Em seguida á água cai no canal de fuga não mostrado Uma turbina de reação do tipo Francis é mostrada na Fig 105b A água que entra escoa circunferencialmente através da carcaça da turbina Ela entra na periferia das pásguias estacionárias e escoa em direção ao rotor A água entra no rotor quase radialmente e é defletida para baixo para sair aproximadamente na direção axial a configuração do escoamento pode ser imaginada como a de uma bomba centrífuga reversa A água saindo do rotor escoa através de um difusor conhecido como tubo de extração antes de entrar no coletor A Fig 105c mostra uma turbina de impulsão do tipo Kaplan A entrada da água é similar aquela da turbina Francis mas a água flui quase que axialmente antes de encontrar o rotor da turbina O fluxo de saída do rotor pode passar para um tubo de extração Desse modo as turbinas vão desde simples moinhos de vento até complexas turbinas a vapor ou a gás com muitos estágios de pás cuidadosamente projetadas Estes dispositivos também podem ser analisados de uma forma idealizada aplicandose o princípio da quantidade de movimento angular Em geral a queda de pressão em um estágio da turbina é maior que a razão de pressão permitida em um estágio do compressor Essa diferença é decorrente do gradiente de pressão favorável veja a Seção 96 que causa separação da camadalimite em uma escala muito menor do que no caso do compressor Parâmetros adimensionais tais como velocidade específica coeficiente de vazão coeficiente de torque coeficiente de potência e razão de pressão são frequentemente usados para caracterizar o desempenho das turbomáquinas Esses parâmetros foram introduzidos no Capítulo 7 seus desenvolvimentos e usos serão considerados com mais detalhes adiante neste capítulo Abrangência De acordo com Japikse 3 Turbomáquinas representam um mercado de 400 bilhões de dólares possivelmente muito mais apresentando neste momento um crescimento mundial enorme Estimase que apenas as bombas centrífugas industriais consumam 5 de toda energia produzida nos EUA Além disso demandas por energia amplamente disponível econômica e não poluente continuaram dirigindo a pesquisa e o desenvolvimento na indústria das turbomáquinas 4 Portanto o projeto apropriado a construção a seleção e a aplicação de bombas e compressores são aspectos economicamente significativos O projeto de máquinas reais envolve diversos conhecimentos técnicos incluindo mecânica dos fluidos materiais mancais vedações e vibrações Esses tópicos são abordados em inúmeros textos especializados O nosso objetivo aqui é apresentar somente detalhes suficientes para ilustrar a base analítica do projeto de escoamento de fluido e discutir brevemente as limitações dos resultados obtidos a partir de modelos analíticos simples Para informações mais detalhadas de projeto consulte as referências A engenharia de aplicações ou de sistemas requer vasta experiência Boa parte dessa experiência deve ser ganha no campo trabalhando com outros engenheiros Nossa abordagem não pretende ser completa discutimos somente os aspectos mais importantes para a aplicação sistêmica e bemsucedida de bombas compressores e turbinas O material apresentado neste capítulo é de natureza diferente daqueles discutidos nos capítulos anteriores Os Capítulos 1 a 9 cobriram muito dos fundamentos de mecânica dos fluidos com resultados analíticos em muitos casos Este capítulo também abordará análises mas a complexidade inerente do assunto nos conduzirá a algumas correlações e a resultados empíricos Para o estudante isso pode parecer um tanto o quanto forçado mas a obtenção de resultados a partir da combinação de teoria e experimentação é uma prática bastante comum na ciência da engenharia 102 Análise de Turbomáquinas O método de análise usado para turbomáquinas é escolhido de acordo com a informação desejada Quando se quer informações gerais sobre a vazão a variação de pressão o torque e a potência uma análise de volume de controle finito deve ser usada Caso se queiram informações detalhadas sobre ângulos de pás ou perfis de velocidade elementos de pás individuais devem ser analisados por meio de um volume de controle infinitesimal ou outro procedimento detalhado Consideramos apenas processos de escoamento idealizado neste livro de modo que nos concentramos na aproximação por volume de controle finito aplicando o princípio da quantidade de movimento angular A análise seguinte aplicase tanto a máquinas que realizam trabalho quanto a máquinas que extraem trabalho de um escoamento O Princípio da Quantidade de Movimento Angular A Equação de Euler para Turbomáquinas O princípio da quantidade de movimento angular foi aplicado a volumes de controle finitos no Capítulo 4 O resultado obtido foi a Eq 446 A Eq 446 estabelece que o momento das forças superficiais e das forças de campo mais o torque aplicado levam a uma variação na quantidade de movimento angular do escoamento As forças superficiais são decorrentes do atrito e da pressão a força de campo é decorrente da gravidade o torque aplicado pode ser positivo ou negativo dependendo se o trabalho é realizado pelo fluido ou sobre o fluido e a variação na quantidade de movimento angular pode aparecer como variação na quantidade de movimento angular no interior do volume de controle ou como fluxo de quantidade de movimento angular através da superfície de controle Agora vamos simplificar a Eq 446 para a análise de turbomáquinas Primeiramente para a análise de turbomáquinas é conveniente escolher um volume de controle fixo englobando o rotor a fim de avaliar o torque de eixo Como estamos considerando volumes de controle para os quais são esperados grandes torques de eixo os torques decorrentes de forças de superfícies podem ser ignorados em uma primeira aproximação A força de campo gravitacional pode ser desprezada por simetria Então para escoamento permanente a Eq 446 tornase Fig 106 Volume de controle finito e componentes da velocidade absoluta para análise da quantidade de movimento angular A Eq 101a estabelece Para uma turbomáquina com entrada de trabalho o torque requerido causa uma variação na quantidade de movimento angular do fluido para uma turbomáquina com saída de trabalho o torque produzido é decorrente de uma variação na quantidade de movimento angular do fluido Vamos escrever essa equação na forma escalar ilustrando a sua aplicação a máquinas de fluxo axial e radial Conforme mostrado na Fig 106 selecionamos um volume de controle fixo que inclui um rotor genérico de uma turbomáquina O sistema de coordenadas fixas é escolhido com o eixo z alinhado com o eixo de rotação da máquina As componentes de velocidades idealizadas são mostradas na figura O fluido entra no rotor na localização radial r1 com velocidade absoluta uniforme 1 o fluido sai do rotor na localização radial r2 com velocidade uniforme absoluta 2 O integrando no lado direito da Eq 101a é o produto de pela vazão mássica em cada seção Para escoamento uniforme entrando no rotor na seção 1 e saindo do rotor na seção 2 a Eq 101a tornase Note que na expressão o vetor posição é puramente radial de modo que apenas a componente da velocidade tangencial Vt deve ser levada em conta Na forma escalar As suposições feitas na dedução dessa equação são escoamento permanente sem atrito escoamento unidirecional na entrada e na saída e efeitos de pressão desprezíveis A Eq 101c é a relação básica entre torque e momento da quantidade de movimento para todas as turbomáquinas Ela é comumente chamada de equação de Euler das turbomáquinas Cada velocidade que aparece na Eq 101c é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido cruzando a superfície de controle As velocidades tangenciais são escolhidas positivas quando no mesmo sentido da velocidade da pá U Esta convenção de sinal conduz a Teixo 0 para bombas ventiladores sopradores e compressores e Teixo 0 para turbinas A taxa de trabalho realizado sobre um rotor de uma turbomáquina a potência mecânica m é dada pelo produto escalar da velocidade angular do rotor pelo torque aplicado eixo Usando a Eq 10lb obtemos ou De acordo com a Eq 102a a quantidade de movimento angular do fluido é aumentada pela adição de trabalho de eixo Para uma bomba m 0 e a quantidade de movimento angular do f1uido deve aumentar Para uma turbina m 0 e a quantidade de movimento angular do fluido deve diminuirmovimento angular do fluido deve diminuir A Eq 102a pode ser escrita em duas outras formas úteis Introduzindo U rω em que U é a velocidade tangencial do rotor no raio r temos Dividindo a Eq 102b por g obtemos uma quantidade com as dimensões de comprimento que pode ser vista como uma carga teórica adicionada ao escoamento1 As Eqs 101 e 102 são formas simplificadas da equação da quantidade de movimento angular para um volume de controle Todas elas estão escritas para um volume de controle fixo com as hipóteses de escoamento permanente e uniforme em cada seção As equações mostram que apenas a diferença no produto rVt ou UVt entre as seções de saída e de entrada é importante na determinação do torque aplicado ao rotor ou na potência mecânica Embora r2 r1 na Fig 106 nenhuma restrição foi feita quanto à geometria o fluido pode entrar e sair nos mesmos ou em diferentes raios Portanto estas equações podem ser usadas para máquinas de fluxo axial radial e misto Diagramas de Velocidade As equações que deduzimos também sugerem a importância de definir claramente as componentes de velocidade do fluido e do rotor nas seções de entrada e de saída Para este fim é útil desenvolver diagramas de velocidade frequentemente chamados de polígonos de velocidade para os escoamentos de entrada e de saída A Fig 107 mostra os diagramas de velocidade e introduz a notação para os ângulos das pás e do escoamento Vale relembrar que a variável V é usada tipicamente para indicar velocidade absoluta isto é a velocidade do escoamento relativa a um observador estacionário enquanto a variável W é usada para indicar a velocidade do escoamento em relação às pás girantes As máquinas são projetadas de modo que na condição de projeto o fluido movese suavemente sem perturbações através das pás Na situação idealizada para a velocidade de projeto o escoamento relativo ao rotor é suposto entrar e sair tangente ao perfil da pá em cada seção Esta condição de entrada idealizada é por vezes chamada de escoamento de entrada sem choque Para velocidades diferentes da velocidade de projeto e na verdade algumas vezes mesmo para a velocidade de projeto o fluido pode sofrer impacto com as pás na entrada na saída em um ângulo relativo à pá ou pode haver separação significativa no escoamento levando a uma redução na eficiência da máquina A Fig 107 é representativa de uma máquina de fluxo radial típica Consideramos que o fluido está se movendo sem maiores perturbações no escoamento conforme mostrado na Fig 107a com os ângulos de entrada e de saída nas pás β1 e β2 respectivamente relativos à direção tangencial Note que embora os ângulos β1 e β2 sejam ambos menores que 90º na Fig 107 em geral eles podem ser menores iguais ou maiores a 90º A análise seguinte aplicase a todas estas possibilidades A velocidade do rotor na entrada é U1 r1ω e é portanto especificada pela geometria do rotor e pela velocidade de operação da máquina A velocidade absoluta do fluido é a soma vetorial da velocidade do rotor com a velocidade do escoamento relativa à pá A velocidade absoluta de entrada pode ser determinada graficamente conforme mostrado na Fig 107b O ângulo da velocidade absoluta do fluido α1 é medido a partir da direção normal à área de escoamento como mostradoFig 107b Note da geometria da figura que em cada seção a componente normal da velocidade absoluta Vn e a componente normal da velocidade relativa à pá Wn são iguais porque a pá não possui velocidade normal Fig 107 Geometria e notação usadas para desenvolver diagramas de velocidade para máquinas típicas de fluxo radial Para facilitar a determinação da velocidade absoluta na entrada da máquina é necessário determinar se há redemoinho na entrada O redemoinho que pode estar presente no escoamento de entrada ou introduzido pelas pás guias de entrada é a presença de componente de velocidade circunferencial Quando o escoamento de entrada é livre de redemoinhos a velocidade absoluta de entrada é puramente radial O ângulo de entrada da pá pode ser especificado para a vazão e a velocidade de projeto da bomba de modo a gerar um escoamento na entrada suave relativo à orientação das pás O diagrama de velocidade é construído de maneira similar na seção de saída A velocidade do rotor na saída é U2 r2ω que novamente é conhecida a partir da geometria e da velocidade de operação da turbomáquina O escoamento relativo é suposto sair do impulsor tangente às pás como mostrado na Fig 107c Esta consideração idealizada de orientação perfeita fixa à direção do escoamento de saída relativo nas condições de projeto Para uma bomba centrífuga ou turbina de reação a velocidade relativa à pá geralmente muda de intensidade da entrada para a saída A equação da continuidade deve ser aplicada usando a geometria do rotor para determinar a componente normal da velocidade em cada seção A componente normal junto com o ângulo de saída da pá é suficiente para estabelecer a velocidade relativa à pá na saída do rotor para uma máquina de fluxo radial O diagrama de velocidade é completado pela soma vetorial da velocidade relativa à pá com a velocidade do rotor como mostrado na Fig 107c Os diagramas de velocidade de entrada e de saída fornecem todas as informações necessárias para calcular o torque ou a potência ideal absorvida ou entregue pelo rotor usando as Eqs 101 ou 102 Os resultados representam o desempenho da turbomáquina sob condições ideais no ponto de operação de projeto desde que tenhamos considerado Torque desprezível devido às forças superficiais viscosas e de pressão Escoamentos de entrada e de saída tangentes às pás Escoamento uniforme na entrada e na saída Uma turbomáquina real não se comporta de modo a atender todas estas considerações Por isso os resultados de nossa análise representam o limite superior do desempenho de máquinas reais O desempenho de uma máquina real pode ser estimado usando esta mesma aproximação básica mas levando em conta variações nas propriedades do escoamento através da extensão da pá nas seções de entrada e de saída e desvios entre os ângulos das pás e as direções do escoamento Tais cálculos detalhados estão além do escopo deste livro A alternativa é medir o desempenho global de uma máquina em uma bancada de testes adequada Dados de fabricantes são exemplos de informação de desempenho medido No Exemplo 101 usaremos a Equação de Euler para Turbomáquina para analisar uma bomba centrífuga ideal Exemplo 101 BOMBA CENTRÍFUGA IDEALIZADA Uma bomba centrífuga é utilizada para bombear 0009 m3s de água A água entra no rotor axialmente através de um orifício de 32 mm diâmetro A velocidade de entrada é axial e uniforme O diâmetro de saída do rotor é 100 mm O escoamento sai do rotor a 3 ms em relação às pás que são radiais na saída A velocidade do rotor é 3450 rpm Determine a largura de saída do rotor b2 o torque de entrada e a potência requerida prevista pela equação de Euler para turbinas Dados Escoamento conforme mostrado na figura Vr2 3 ms Q 0009 m3s Determinar a b2 b Teixo c m Solução Aplique a equação da quantidade de movimento angular a um volume de controle fixo Equações básicas Considerações 1 Desprezar torques causados por forças superficiais e de campo 2 Escoamento permanente 3 Escoamento uniforme nas seções de entrada e de saída 4 Escoamento incompressível Então da continuidade ρV1 π ρVr22πR2b2 0 ou ρQ ρVr22πR2b2 de modo que Para uma entrada axial a velocidade tangencial Vt1 0 e para pás de saída radial Vt2 R2ω de modo que a Eq 101c fica reduzida a Teixo ω ω ρQ em que usamos a continuidade ρQ Portanto e Este problema ilustra a aplicação da equação de Euler para turbomáquina para um volume de controle fixo a uma máquina de fluxo centrífuga Eficiência Potência Hidráulica O torque e a potência previstos pela aplicação da equação da quantidade de movimento angular ao rotor de uma turbomáquina Eqs 101c e 102a são valores idealizados Na prática a potência do rotor e a taxa de variação da energia do fluido não são iguais A transferência de energia entre o rotor e o fluido causa perdas por efeitos viscosos por desvios do escoamento uniforme e por desvios de direção do escoamento em relação aos ângulos das pás A transformação de energia cinética em aumento de pressão pela difusão do fluido no invólucro fixo introduz mais perdas Dissipação de energia ocorre em selos e mancais e no atrito do fluido entre o rotor e a carcaça perdas windage A aplicação da primeira lei da termodinâmica a um volume de controle envolvendo o rotor mostra que estas perdas na energia mecânica são conversões irreversíveis de energia mecânica em energia térmica Da mesma forma que no caso de escoamento em tubo discutido no Capítulo 8 a energia térmica aparece sob a forma de energia interna na corrente de fluido ou como calor transferido para a vizinhança Por causa dessas perdas a potência real entregue ao fluido por uma bomba é menor do que aquela prevista pela equação de quantidade de movimento angular No caso de uma turbina a potência real entregue ao eixo é menor do que a potência cedida pela corrente de fluido Podemos definir a potência a altura de carga e a eficiência de uma turbomáquina baseados em que a máquina ou realiza trabalho ou potência sobre o fluido ou extrai trabalho ou potência do fluido Para uma bomba a potência hidráulica é dada pela taxa de energia mecânica cedida ao fluido em que Para uma bomba o aumento de carga medido em uma bancada de testes é menor do que aquele produzido pelo rotor A taxa de energia mecânica recebida é maior do que a taxa de aumento de carga produzida pelo rotor A potência mecânica necessária para acionar a bomba é relacionada com a potência hidráulica pela definição da eficiência de bomba como Para avaliar a variação real na altura de carga através da máquina a partir da Eq 103b devemos conhecer a pressão a velocidade e a elevação do fluido nas duas seções de medição A velocidade do fluido pode ser calculada a partir da vazão volumétrica e dos diâmetros de passagem medidos Linhas de descarga e de sucção para bombas têm em geral diâmetros diferentes A pressão estática é geralmente medida em trechos retos de tubos a montante da entrada da bomba e a jusante da saída da bomba A elevação de cada manômetro pode ser registrada ou as leituras de pressão estática podem ser corrigidas para a mesma elevação A linha de centro da bomba fornece um nível de referência conveniente Para uma turbina hidráulica a potência hidráulica é definida como a taxa de energia mecânica retirada da corrente de fluido em escoamento em que Para uma turbina hidráulica a potência cedida pelo rotor a potência mecânica é menor do que a taxa de energia transferida do fluido para o rotor porque o rotor tem que superar perdas por atrito viscoso e mecânico A potência mecânica fornecida por uma turbina é relacionada com a potência hidráulica pela definição da eficiência de turbina como As Eqs 104a e 104b mostram que para obter potência máxima de uma turbina hidráulica é importante minimizar a energia mecânica do escoamento de saída da turbina Isto é realizado na prática fazendo a pressão a velocidade e a elevação do fluido na saída da turbina tão pequenos quanto possível A turbina deve ser montada em uma elevação mais próxima possível do nível do rio de coleta da descarga de água atentando para o aumento do nível no período de enchente Testes para medir eficiência de turbina podem ser realizados para vários níveis de potência produzida e para diferentes condições de carga constante veja a discussão das Figs 1035 e 1036 Análise Dimensional e Velocidade Específica A análise dimensional para turbomáquinas foi introduzida no Capítulo 7 em que os coeficientes adimensionais de vazão de altura de carga e de potência foram deduzidos de forma generalizada Os parâmetros independentes eram o coeficiente de vazão e uma forma do número de Reynolds Os parâmetros dependentes eram os coeficientes de altura de carga e de potência Nosso objetivo aqui é desenvolver as formas de coeficientes adimensionais de uso comum e dar exemplos ilustrando seus empregos na seleção de um tipo de máquina no projeto de testes com modelos e no transporte por escala dos resultados Uma vez que desenvolvemos uma teoria idealizada para turbomáquinas podemos ganhar mais compreensão física desenvolvendo coeficientes adimensionais diretamente a partir das equações de cálculo resultantes Então aplicaremos essas expressões para dimensionamento de turbomáquinas por meio de regras de similaridade na Seção 103 O coeficiente de vazão adimensional Φ é definido pela normalização da vazão volumétrica usando a área de saída e a velocidade da roda na descarga Assim em que Vn2 é a componente da velocidade perpendicular à área de saída Esta componente é também referida como velocidade meridional no plano de saída da roda Ela aparece em verdadeira grandeza na projeção no plano meridional que é qualquer seção reta radial através da linha de centro de uma máquina Um coeficiente de carga adimensional Ψ pode ser obtido pela normalização da altura de carga H Eq 102c com g Assim Um coeficiente de torque adimensional τ pode ser obtido normalizando o torque T Eq 101c com ρA2 R2 Assim Finalmente o coeficiente de potência adimensional Π é obtido pela normalização da potência Eq 102b com ρQ Assim Para bombas a potência mecânica de entrada excede a potência hidráulica e a eficiência é definida como ηp h m Eq 103c Daí Introduzindo os coeficientes adimensionais Φ Eq 105 Ψ Eq 106 e τ Eq 107 na Eq 109 obtemos uma relação análoga entre os coeficientes adimensionais como Para turbinas a potência mecânica de saída é inferior à potência hidráulica e a eficiência é definida como ηt m h Eq 104c Daí Introduzindo os coeficientes adimensionais Φ Ψ e τ na Eq 1011 obtemos uma relação análoga entre os coeficientes adimensionais como Os coeficientes adimensionais formam a base para o projeto de testes com modelos e para o transporte de resultados por escala para o protótipo Conforme mostrado no Capítulo 7 o coeficiente de vazão Φ é tratado como o parâmetro independente Então se os efeitos viscosos forem desprezados os coeficientes de carga de torque e de potência são tratados como parâmetros dependentes múltiplos Com estas hipóteses a semelhança dinâmica é alcançada quando o coeficiente de vazão do modelo igualase ao do protótipo Como discutido no Capítulo 7 um parâmetro útil chamado velocidade específica pôde ser obtido combinando os coeficientes de vazão e de carga e eliminando o tamanho da máquina O resultado foi Quando a altura de carga é expressa como energia por unidade de massa isto é com dimensões equivalentes a L2t2 ou g vezes a carga em altura de líquido e ω é expressa em radianos por segundo a velocidade específica definida pela Eq 722a é adimensional Embora a velocidade específica seja um parâmetro adimensional é prática comum utilizar uma equação de engenharia na forma da Eq 722a na qual ω e Q são especificados em unidades convenientes porém inconsistentes e a energia por unidade de massa h é substituída pela energia por unidade de peso H Quando isto é feito a velocidade específica não é um parâmetro sem unidades e o seu módulo depende das unidades empregadas para calculálo Unidades habituais usadas nos Estados Unidos na prática de engenharia de bombas são rpm para ω gpm para Q e pés energia por unidade de peso para H Na prática o símbolo N é usado para representar a taxa de rotação ω em rpm Dessa forma a velocidade específica dimensional para bombas expressa em unidades habituais dos Estados Unidos tornase Os valores de velocidade específica adimensional NSEq 722a devem ser multiplicados por 2733 para obter os valores da velocidade específica correspondentes a este conjunto corriqueiro de unidades embora inconsistente veja o Exemplo 102 Para turbinas hidráulicas usamos o fato de que a produção de potência é proporcional à vazão e à altura de carga α ρQH em unidades consistentes Substituindo ρh por Q na Eq 722a resulta como a forma adimensional da velocidade específica Na prática de engenharia nos Estados Unidos é usual eliminar o fator ρ12a água é invariavelmente o fluido de trabalho nas turbinas para as quais a velocidade específica é aplicada e usar a carga H em lugar da energia por unidade de massa h Unidades habituais usadas na prática de engenharia de turbinas hidráulicas nos Estados Unidos são rpm para ω hp horsepower para e pés para H Na prática o símbolo N é usado para representar a taxa de rotação ω em rpm Dessa forma a velocidade específica dimensional para uma turbina hidráulica expressa em unidades corriqueiras nos Estados Unidos tornase Os valores de velocidade específica adimensional para uma turbina hidráulica NS Eq 1013a devem ser multiplicados por 4346 para obter os valores de velocidade específica correspondentes para este conjunto usual de unidades embora inconsistente A velocidade específica pode ser pensada como a velocidade de operação na qual a máquina produz altura de carga unitária a uma vazão volumétrica unitária ou para uma turbina hidráulica potência unitária a uma carga unitária Para ver isso resolva para N nas Eqs 722b e 1013b respectivamente Para bombas e para turbinas hidráulicas Mantendo a velocidade específica constante são descritas todas as condições de operação de máquinas geometricamente semelhantes com condições similares de escoamento É comum caracterizar uma máquina pela sua velocidade específica no ponto de projeto Tem sido verificado que esta velocidade específica caracteriza os aspectos de projeto hidráulico de uma máquina Baixas velocidades específicas correspondem à operação eficiente de máquinas de fluxo radial Altas velocidades específicas correspondem à operação eficiente de máquinas de fluxo axial Para uma carga e uma vazão especificadas pode ser escolhida tanto uma máquina de baixa velocidade específica que opera a baixa velocidade quanto uma de alta velocidade específica que opera a velocidades mais altas Proporções típicas para projetos de bombas comerciais e suas variações com a velocidade específica adimensional são mostradas na Fig 108 Nesta figura o tamanho de cada máquina foi ajustado para dar a mesma altura de carga e a mesma vazão para rotação a uma velocidade correspondente à velocidade específica Assim pode ser visto que se o tamanho e o peso da máquina forem críticos a escolha deveria cair sobre uma velocidade específica mais alta A Fig 108 mostra a tendência de geometrias de bombas partindo das bombas radiais puramente centrífugas passando pelas de fluxo misto até as de fluxo axial conforme a velocidade específica aumenta As tendências de eficiência correspondentes para bombas típicas são mostradas na Fig 109 na qual é visto que a capacidade da bomba em geral aumenta com o aumento da velocidade específica A figura mostra também que para qualquer velocidade específica dada a eficiência é maior para bombas grandes do que para pequenas Fisicamente este efeito de escala significa que as perdas viscosas tornamse menos importantes à medida que o tamanho da bomba aumenta As proporções características de turbinas hidráulicas também são correlacionadas pela velocidade específica conforme mostrado na Fig 1010 Assim como na Fig 108 o tamanho da máquina foi colocado em escala nesta ilustração de modo que a máquina forneça aproximadamente a mesma potência para carga unitária quando girando a uma velocidade igual à velocidade específica As tendências de eficiência correspondentes para turbinas típicas são mostradas na Fig 1011 Fig 108 Proporções geométricas típicas de bombas comerciais variando com a velocidade específica adimensional 5 Fig 109 Eficiências médias de bombas comerciais variando com a velocidade específica e com o tamanho da bomba 6 Fig 1010 Proporções geométricas típicas de turbinas hidráulicas comerciais variando com a velocidade específica adimensional 5 Fig 1011 Eficiências médias de turbinas hidráulicas comerciais variando com a velocidade específica 6 Diversas variações de velocidade específica calculadas diretamente de unidades de engenharia são largamente usadas na prática As formas de velocidade específica mais comumente empregadas são definidas e comparadas no Exemplo 102 Exemplo 102 COMPARAÇÃO DE DEFINIÇÕES DE VELOCIDADE ESPECÍFICA No ponto de melhor eficiência uma bomba centrífuga com diâmetro de rotor D 200 mm produz H 7 m a Q 68 m3h com N 1170 rpm Calcule as velocidades específicas de engenharia e adimensionais Desenvolva fatores de conversão para relacionar as velocidades específicas Dados Bomba centrífuga no ponto de melhor eficiência PME ou BEP Considere que as características da bomba são H 7 m Q 68 m3h e ω 1170 rpm Determinar a Velocidade específica em unidades usuais dos Estados Unidos b Velocidade específica em unidades SI c Velocidade específica em unidades europeias d Fatores de conversão apropriados para relacionar as velocidades específicas Solução Equações básicas A partir das informações dadas a velocidade específica em unidades usuais dos Estados Unidos é A energia por unidade de massa é h gH 981 668 m 655 m 2s 2 A velocidade específica adimensional é Para relacionar as velocidades específicas forme razões Este problema demonstra o uso das equações de engenharia para calcular velocidade específica de bombas a partir de cada um dos três conjuntos de unidades comumente utilizados e comparar os resultados Neste exemplo três algarismos significativos foram usados em todos os cálculos Resultados ligeiramente diferentes podem ser obtidos se um maior número de algarismos significativos for considerado nos cálculos intermediários 103 Bombas Ventiladores e Sopradores Agora vamos analisar várias máquinas de fluxo em detalhes Começaremos nossa discussão com máquinas rotativas que realizam trabalho sobre um fluido incompressível a saber bombas ventiladores e sopradores Aplicação da Equação de Euler para Tubomáquina para Bombas Centrífugas Como demonstrado no Fig 107 na Seção 102 representa o escoamento através de um rotor simples de bomba centrífuga Se o fluido entra no rotor com uma velocidade absoluta puramente radial ele não terá quantidade de movimento angular e Vt1 é identicamente zero Com Vt1 0 o aumento em altura de carga da Eq 102c é dado por Do diagrama de velocidade de saída da Fig 107c Então Para um rotor de largura w a vazão volumétrica é Para expressar o aumento na altura de carga em termos da vazão volumétrica substituímos Vn1 em termos de Q a partir da Eq 1017 Assim A Eq 1018a é da forma em que as constantes C1 e C2 são funções da geometria e da velocidade da máquina Desse modo a Eq 1018a prevê uma variação linear da altura de carga H com a vazão em volume Q Note que essa relação linear é um modelo ideal dispositivos reais podem ter apenas uma variação linear aproximada e podem ser modelados melhor através de um método baseado em uma curva obtida a partir de dados experimentais Veremos um caso desse tipo no Exemplo 105 A constante C1 g representa a altura de carga ideal desenvolvida pela bomba para vazão zero isto é denominado altura de carga de bloqueio ou de shutoff A inclinação da curva de altura de carga versus vazão volumétrica a curva H Q depende do sinal e da magnitude de C2 Para pás de saída radial β2 90º e C2 0 A componente tangencial da velocidade absoluta na saída é igual à velocidade do rotor e é independente da vazão Da Eq 1018a a altura de carga ideal é independente da vazão A curva característica H Q está traçada na Fig 1012 Se as pás são curvadas para trás conforme mostrado na Fig 107a β2 90º e C2 0 Então a componente tangencial da velocidade absoluta de saída é menor do que a velocidade do rotor e diminui proporcionalmente com a vazão Da Eq 1017a a altura de carga ideal diminui linearmente com o aumento da vazão A curva H Q correspondente está traçada na Fig 1012 Se as pás são curvadas para a frente então β2 90º e C2 0 A componente tangencial da velocidade absoluta do fluido na saída é maior do que a velocidade do rotor e aumenta com o aumento da vazão Da Eq 107a a altura de carga ideal aumenta linearmente com o aumento da vazão A curva H Q correspondente está traçada na Fig 1012 Fig 1012 Relação idealizada entre altura de carga e vazão volumétrica para uma bomba centrífuga com as pás do rotor curvadas para a frente radiais e curvadas para trás As características de uma máquina de fluxo radial podem ser alteradas mudando o ângulo de saída das pás o modelo idealizado prevê as tendências à medida que o ângulo de saída das pás é variado As previsões da teoria idealizada da quantidade de movimento angular para uma bomba centrífuga estão resumidas na Fig 1012 Pás curvadas para a frente quase nunca são utilizadas na prática porque elas tendem a ter um ponto de operação instável Aplicação da Equação de Euler para Bombas e Ventiladores Axiais A Equação de Euler para Turbomáquina desenvolvida na Seção 102 também pode ser usada para máquinas de fluxo axial Contudo para isso algumas considerações precisam ser feitas A mais importante é que as propriedades no raio médio o ponto médio das pás do rotor representam completamente o escoamento em todo o raio Esta consideração é boa desde que a razão da altura da pá em relação ao raio seja aproximadamente 02 ou menos 7 Para razões maiores é preciso usar uma análise tridimensional Tais análises estão fora do escopo deste livro mas outras fontes podem fornecer informações sobre o fenômeno como Dixon 7 A segunda consideração é que velocidade de escoamento não possui componente radial Essa é uma consideração razoável pois muitas máquinas apresentam incorporados estatores ou conjunto de pás que guiam o fluxo para dentro da máquina removendo componentes indesejáveis de velocidade radial A terceira consideração é que o escoamento varia apenas na direção axial Isso não é o mesmo que dizer que há apenas uma componente axial de velocidade De fato haverá uma componente de velocidade na direção tangencial significativa quando o escoamento passar através de uma máquina de fluxo axial isto é o escoamento terá redemoinhos O significado desta consideração é que para uma dada localização a quantidade de redemoinhos no escoamento é constante em vez de variar entre as pás da máquina 7 A consequência primária deste modelo aplicado para máquinas de fluxo é que o raio usado nas Eqs 101 é constante isto é Desde que a velocidade angular ω também seja constante segue que Portanto Eqs 101 e 102 se reduzam a No Exemplo 103 essas versões especiais da Equação de Euler para Turbomáquina e diagramas de velocidade são utilizadas na análise do escoamento através de um ventilador de fluxo axial Exemplo 103 VENTILADOR DE FLUXO AXIAL IDEALIZADO Um ventilador de fluxo axial opera a 1200 rpm O diâmetro periférico da pá é 11 m e o diâmetro do cubo eixo é 08 m Os ângulos de entrada e de saída das pás são 30º e 60º respectivamente Pásguias de entrada geram um ângulo de 30º com o escoamento absoluto entrando no primeiro estágio O fluido é ar na condiçãopadrão e o escoamento pode ser considerado incompressível Não há variação na componente axial da velocidade através do rotor Considere que o escoamento relativo entre e saia do rotor nos ângulos geométricos da pá e use as propriedades no raio médio de pá para os cálculos Para estas condições idealizadas desenhe o diagrama de velocidade de entrada determine a vazão em volume do ventilador e esboce as formas das pás do rotor Usando os dados assim obtidos desenhe o diagrama de velocidade de saída e calcule a potência e o torque mínimos necessários para acionar o ventilador Dados Escoamento através do rotor de um ventilador de fluxo axial Diâmetro da periferia 11 m Diâmetro do cubo 08 m Velocidade de operação 1200 rpm Ângulo de entrada absoluto 30º Ângulo de entrada da pá 30º Ângulo de saída da pá 60º O fluido é ar na condiçãopadrão Use propriedades no diâmetro médio das pás Determinar a Diagrama de velocidade de entrada b Vazão volumétrica c Forma da pá do rotor d Diagrama de velocidade de saída e Torque no rotor f Potência requerida Solução Aplique a equação da quantidade de movimento angular a um volume de controle fixo Equação básica Considerações 1 Desprezar torques causados por forças superficiais e de campo 2 Escoamento permanente 3 Escoamento uniforme nas seções de entrada e de saída 4 Escoamento incompressível 5 Não há variação na área de escoamento axial 6 Use o raio médio das pás do rotor Rm As formas da pá são Note que para uma máquina de fluxo axial as componentes normais da velocidade são paralelas ao eixo e não normais à superfície circunferencial O diagrama de velocidades de entrada é Da continuidade ρVn1A1 ρVn2A2 0 ou Q Vn1 A1 Vn2A2 Como A1 A2 segue que Vn1 Vn2 e o diagrama de velocidade de saída é conforme mostrado na seguinte figura No raio médio das pás Da geometria do diagrama de velocidade de entrada U Vn1tg α1 cotg β1 de modo que Consequentemente e A vazão volumétrica é Da geometria do diagrama de velocidade de saída ou e Finalmente Vt 1 V 2senα 2 516 sen599 446ms Aplicando a Eq 1020 Assim o torque sobre o VC tem o mesmo sentido de A potência requerida é Este problema ilustra a construção de diagramas de velocidade e a aplicação da equação da quantidade de movimento angular para um volume de controle fixo a uma máquina de fluxo axial sob condições idealizadas Características de Desempenho Para especificar máquinas de fluxo para sistemas de escoamento o projetista deve conhecer o aumento de pressão ou de altura de carga o torque o requisito de potência e a eficiência de uma máquina Para uma dada máquina cada uma destas características é uma função da vazão as características para máquinas similares dependem do tamanho e da velocidade de operação Nesta seção definimos características de desempenho para bombas e turbinas e revisamos tendências medidas experimentalmente para máquinas típicas As análises idealizadas apresentadas na Seção 102 são úteis para prever tendências e para avaliar em primeira aproximação o desempenho do ponto de projeto de uma máquina consumidora ou produtora de energia Contudo o desempenho completo de uma máquina real incluindo a operação em condições fora de projeto deve ser determinado experimentalmente Para determinar o desempenho de uma turbomáquina uma bomba ventilador soprador ou compressor deve ser instalado sobre uma bancada de testes instrumentada com capacidade de medir vazão velocidade torque e aumento de pressão O teste deve ser realizado de acordo com um procedimento normalizado correspondente à máquina sendo testada 8 9 Medições são feitas enquanto a vazão é variada desde o bloqueio vazão zero até a descarga máxima por meio da variação da carga do máximo até o mínimo iniciando com uma válvula fechada e abrindoa em estágios até sua abertura total A potência absorvida pela máquina é determinada por meio de um motor calibrado ou calculada a partir da velocidade e do torque medidos em seguida a eficiência é calculada conforme ilustrado no Exemplo 104 Finalmente as características calculadas são colocadas em gráficos em unidades desejadas de engenharia ou na forma de adimensionais Se apropriado curvas suaves podem ser ajustadas através dos pontos assinalados ou então curvas de regressão podem ser ajustadas aos resultados conforme ilustrado no Exemplo 105 Exemplo 104 CÁLCULO DE CARACTERÍSTICAS DE BOMBA A PARTIR DE DADOS DE TESTE O sistema de escoamento empregado no teste de uma bomba centrífuga com velocidade nominal de 150 mm está mostrado na figura O líquido é água a 27ºC e os diâmetros dos tubos de sucção e de descarga são de 150 mm Os dados medidos durante o teste são apresentados na tabela O motor é trifásico alimentado com 460 V tem fator de potência 0875 e uma eficiência constante de 90 Vazão m3h Pressão de Sucção kPamanométrica Pressão de Descarga kPamanométrica Corrente do Motor amp 0 25 377 180 114 29 324 251 182 32 277 300 227 39 230 326 250 43 207 341 273 46 179 354 318 53 114 390 341 58 69 409 Calcule a altura de carga líquida e a eficiência da bomba para uma vazão volumétrica de 227 m3h Trace a altura de carga da bomba a potência e a eficiência como funções da vazão volumétrica Dados Sistema hidrodinâmico de teste de bomba e dados mostrados Determinar a Altura de carga da bomba e eficiência para Q 227 m3h b Altura de carga potência elétrica e eficiência da bomba como funções da vazão volumétrica Apresente os resultados na forma gráfica Solução Equações básicas Considerações 1 Escoamento permanente 2 Escoamento uniforme em cada seção 3 2 1 4 Todas as alturas de carga corrigidas para a mesma elevação Desde que 1 2 a altura de carga da bomba é em que as pressões de descarga e de sucção corrigidas para a mesma elevação são designadas por p2 e p1 respectivamente Corrija as pressões estáticas medidas para a linha de centro da bomba e Calcule a altura de carga da bomba Calcule a potência hidráulica entregue ao fluido Calcule a potência de saída do motor potência mecânica fornecida à bomba a partir de informações elétricas A correspondente eficiência da bomba é Os resultados de cálculos similares para outras vazões estão traçados na figura a seguir Este problema ilustra o procedimento de redução de dados usado para obter as curvas de desempenho de uma bomba a partir de dados experimentais Os resultados calculados e traçados neste exemplo são típicos para uma bomba centrífuga operada a velocidade constante O aumento de pressão é máximo na condição de bloqueio shutoff vazão volumétrica zero O aumento de pressão através da bomba decresce permanentemente quando a vazão é aumentada compare esta curva experimental típica ao comportamento linear previsto pela Eq 1018b e mostrado na Fig 1012 para rotores idealizados de pás curvas voltadas para trás usadas na maioria de bombas centrífugas A potência de entrada requerida aumenta com o aumento da vazão o aumento é em geral não linear A eficiência da bomba é zero na condição de bloqueio sobe até atingir um pico de máximo quando a vazão é aumentada e cai em seguida para vazões maiores que a do pico a eficiência permanece próxima de seu valor máximo para uma faixa de vazões neste caso de cerca de 180 a 220 m3h Os cálculos neste exemplo estão bastante simplificados porque a eficiência do motor que aciona a bomba é suposta constante Na prática a eficiência do motor varia com a carga de modo que ela deve ser calculada para cada carga a partir de dados experimentais de velocidade e torque do motor ou obtida de uma curva de calibração A planilha do Excel para este Exemplo foi usada nos cálculos para cada vazão e para gerar o gráfico Ela pode ser modificada para uso com outros dados de bomba Exemplo 105 AJUSTE POR CURVA DOS DADOS DE DESEMPENHO DE UMA BOMBA No Exemplo 104 dados de teste de bomba foram fornecidos e o desempenho foi calculado Ajuste uma curva parabólica H H0 AQ2 a esses resultados calculados de desempenho de bomba e compare a curva ajustada com os valores medidos Dados Dados de teste e de desempenho calculados no Exemplo 104 Determinar a Curva parabólica H H0 AQ2 ajustada aos dados de desempenho da bomba b Comparação da curva com o desempenho calculado Solução O ajuste por curva pode ser obtido através de uma curva linear de H versus Q2 Organizando em tabela Do desempenho calculado Do ajuste de curva Qm3h Q2 m6h2 H m H m Erro 0 0 416 404 30 114 13 104 366 374 21 182 33 104 321 328 20 227 52 104 280 286 18 250 63 104 261 260 03 273 75 104 236 233 12 318 101 104 176 172 27 341 116 104 136 137 10 Intercepto 404 Inclinacao 23 104 r2 0995 Usando o método dos mínimos quadrados a equação da curva ajustada é obtida como Hm 404 23 104Qm3h2 com o coeficiente de determinação r2 0995 O ideal seria r2 igual a 1 o seu máximo valor possível representando o melhor ajuste Tenha sempre o cuidado de comparar os resultados da curva ajustada com os dados usados para desenvolver o ajuste A figura mostra a curva ajustada a linha cheia e os valores experimentais os pontos Este problema mostra que os dados de teste de bomba para o Exemplo 104 podem ser ajustados muito bem por uma curva parabólica As nossas justificativas para escolher uma função parabólica para ajuste neste caso são Observação experimental os dados experimentais dão ideia de uma parábola Teoria e conceito veremos mais tarde nesta seção que as regras de semelhança sugerem tal relação entre carga e vazão A planilha Excel para este Exemplo foi usada nos cálculos de mínimos quadrados e para gerar o gráfico Ela pode ser modificada para uso com outros dados de bomba O procedimento básico usado no cálculo do desempenho de máquina foi ilustrado para uma bomba centrífuga no Exemplo 104 A diferença entre as pressões estáticas da aspiração e da descarga foi usada para calcular o aumento de carga produzido pela bomba Para bombas o aumento da pressão dinâmica é tipicamente uma pequena fração do aumento de carga desenvolvido pela bomba e pode ser desprezado comparado com o aumento da altura de carga Curvas características típicas de uma bomba centrífuga testada à velocidade constante foram mostradas qualitativamente na Fig 753 a curva de altura de carga versus a capacidade está reproduzida na Fig 1013 para fins de comparação com as características previstas pela análise idealizada A Fig 1013 mostra que a altura de carga para qualquer vazão na máquina real pode ser significativamente inferior àquela prevista pela análise idealizada Algumas das causas são 1 Para vazões muito baixas certa quantidade de fluido recircula no rotor 2 Perdas por atrito e por vazamento aumentam com a vazão 3 Perdas por choque resultam da divergência entre a direção da velocidade relativa e a direção da tangente à pá do rotor na entrada4 Curvas como aquelas nas Fig 1014 Como antes para cada diâmetro a carga é traçada contra a vazão cada curva é rotulada com o diâmetro correspondente Os contornos de isoeficiência são traçados unindo os pontos de mesma eficiência Os contornos de requisitos de potência também são traçados Finalmente os requisitos de NPSH que ainda não definimos são mostrados para os diâmetros extremos na Fig 1014 a curva para o rotor de 200 mm cairia entre as curvas para os rotores de 150 mm e 250 mm Com o advento da análise assistida por computador os dados da Fig 1014 são frequentemente tabulados para facilitar o acesso por códigos computacionais Portanto nem sempre os dados são apresentados da forma mostrada nestas figuras Especificamente os dados da Fig 1014 são simplificados reportando uma eficiência média como uma função apenas da vazão como mostrado na Fig 1015 em vez de uma função da vazão e da altura de carga As figuras no Apêndice D mostram a eficiência da bomba neste formato Fig 1013 Comparação das curvas de alturavazão ideal e real para uma bomba centrífuga com pás do rotor curvadas para trás 10 Fig 1014 Curvas típicas de desempenho de bombas obtidas de testes com três diâmetros de rotor a velocidade constante 10 Fig 1015 Curvas típicas de desempenho de bombas obtidas de testes com três diâmetros de rotor a velocidade constante mostrando o desempenho como uma função apenas da vazão 12 Para esta máquina típica a altura de carga é máxima no bloqueio e decresce continuamente à medida que a vazão aumenta A potência absorvida é mínima no bloqueio e aumenta com o aumento da vazão Consequentemente para minimizar a carga de partida é aconselhável acionar a bomba com a válvula de saída fechada Entretanto a válvula não deve ficar fechada por muito tempo sob pena de superaquecer a bomba à medida que a energia dissipada por atrito transferese para a água na voluta A eficiência da bomba aumenta com a capacidade até que o ponto de melhor eficiência PME ou BEP de Best Efficiency Point é alcançado e cai em seguida com o aumento adicional da vazão Para consumo mínimo de energia convém operar tão próximo do BEP quanto possível Bombas centrífugas podem ser combinadas em paralelo para fornecer maior vazão ou em série para fornecer maior pressão ou altura de carga Diversos fabricantes constroem bombas de estágios múltiplos que são essencialmente várias bombas arranjadas em série em uma só carcaça Bombas e sopradores são usualmente testados em diversas velocidades constantes A prática comum é acionar as máquinas com motores elétricos de velocidade aproximadamente constante porém em alguns sistemas expressivas economias de energia podem ser obtidas de operação com velocidade variável Esses tópicos de aplicação de bombas são discutidos mais a frente nesta seção Regras de Semelhança Os fabricantes de bombas oferecem um número limitado de tamanhos de carcaça e de projetos Frequentemente carcaças de tamanhos diferentes são desenvolvidas a partir de um projeto comum aumentando ou diminuindo todas as dimensões por meio de uma mesma razão de escala Mudanças adicionais nas curvas características podem ser obtidas variando a velocidade de operação ou alterando o tamanho do rotor dentro de uma dada carcaça Os parâmetros adimensionais desenvolvidos no Capítulo 7 formam a base de previsão de mudanças no desempenho que resultam de variações no tamanho da bomba na velocidade de operação ou no diâmetro do rotor Para atingir semelhança dinâmica é necessário obter semelhanças geométrica e cinemática Considerando bombas e campos de escoamento semelhantes e desprezando efeitos viscosos conforme mostrado no Capítulo 7 a semelhança dinâmica é obtida quando o coeficiente de vazão adimensional é mantido constante A operação dinamicamente semelhante é assegurada quando duas condições de escoamento satisfazem a relação Os coeficientes adimensionais de carga e de potência dependem apenas do coeficiente de vazão isto é Assim quando obtemos semelhança dinâmica como mostrado no Exemplo 76 as características da bomba em uma nova condição subscrito 2 podem ser relacionadas com aquelas na condição antiga subscrito 1 por e Estas relações de escala podem ser usadas para prever os efeitos de variações na velocidade de operação da bomba no seu tamanho ou no diâmetro do rotor dentro de uma dada carcaça A situação mais simples ocorre quando mantendo a mesma bomba apenas a velocidade da bomba é alterada Neste caso a semelhança geométrica está assegurada A semelhança cinemática será mantida se não houver cavitação os escoamentos serão então dinamicamente semelhantes quando os coeficientes de vazão forem iguais Para este caso de variação de velocidade com diâmetro fixo as Eqs 1023 tornamse No Exemplo 105 foi mostrado que a curva de desempenho de uma bomba pode ser modelada com precisão de engenharia pela relação parabólica Como essa representação contém dois parâmetros a curva da bomba para a nova condição de operação pode ser deduzida transportando por escala dois pontos quaisquer da curva de desempenho medida na condição original de operação Usualmente a condição de bloqueio e o ponto de melhor eficiência são os escolhidos para o transporte Estes pontos são representados por B e C na Fig 1016 Conforme mostrado pela Eq 1024a a vazão aumenta proporcionalmente com o aumento da razão de velocidades de operação de modo que Assim o ponto B está localizado diretamente acima do ponto B e o ponto C move para a direita do ponto C neste exemplo ω2 ω1 A altura de carga aumenta pelo quadrado da razão entre as velocidades de modo que Os pontos C e C em que condições de escoamento dinamicamente semelhantes estão presentes são denominados pontos homólogos para a bomba Podemos relacionar a velha condição de operação isto é girando à velocidade N1 1170 rpm conforme mostrado na Fig 1016 com a nova condição por exemplo girando com N2 1750 rpm na Fig 1016 utilizando a relação parabólica e as Eqs 1024a e 1024b ou de modo que para uma dada bomba o fator A permanece invariável quando variamos a velocidade da bomba conforme verificaremos no Exemplo 106 Fig 1016 Esquema de curva de desempenho de uma bomba ilustrando o efeito de uma variação na velocidade de operação da bomba A eficiência permanece relativamente constante entre pontos de operação dinamicamente semelhantes quando apenas a velocidade de operação da bomba é alterada A aplicação destas ideias é ilustrada no Exemplo 106 Exemplo 106 TRANSPORTE POR ESCALA DE CURVAS DE DESEMPENHO DE BOMBAS Quando operando a N 1170 rpm uma bomba centrífuga com diâmetro de rotor D 200 mm tem altura de carga no bloqueio H0 76 m de água Na mesma velocidade de operação a melhor eficiência ocorre para Q 68 m3h em que a altura de carga é H 67 m de água Faça o ajuste destes dados por uma parábola para a bomba a 1170 rpm Transporte os resultados por escala para uma nova velocidade de operação de 1750 rpm Trace um gráfico e compare os resultados Dados Bomba centrífuga com rotor de D 200 mm operada a N 1170 rpm Qm3h 0 68 Hm 76 67 Determinar a A equação de uma parábola para as características da bomba a 1170 rpm b A equação correspondente para uma nova velocidade de operação de 1750 rpm c Comparação gráfica dos resultados Solução Considere uma variação parabólica na altura de carga da bomba da forma H H0 AQ2 Resolvendo para A resulta A equação desejada é Hm 76 195 104Qm3h2 A bomba permanece a mesma de modo que as duas condições de escoamento são geometricamente semelhantes Admitindo que não ocorra cavitação os dois escoamentos também serão cinematicamente semelhantes Assim a semelhança dinâmica será obtida quando os dois coeficientes de vazão forem igualados Denotando a condição de 1170 rpm pelo subscrito l e a condição de 1750 rpm pelo subscrito 2 temos visto que D2 D1 Para a condição de bloqueio Do ponto de melhor eficiência a nova vazão é As alturas de carga da bomba são relacionadas por desde que D2 D1 Para a condição de bloqueio No ponto de melhor eficiência O parâmetro da curva a 1750 rpm pode agora ser encontrado Resolvendo para A encontramos Note que A2 para 1750 rpm é o mesmo que A1 para 1170 rpm Desse modo demonstramos que o coeficiente A na equação parabólica não varia quando a velocidade da bomba é alterada As equações de engenharia para as duas curvas são H1 76 195 104Qm3h2a 1170 rpm e H2 170 195 104Qm3h2a 1750 rpm As curvas da bomba são comparadas no gráfico seguinte Este problema ilustra o procedimento para Obtenção da equação parabólica de engenharia de Q versus H a partir de dados da altura de bloqueio H0 e da melhor eficiência Transposição por escala de curvas de bombas de uma velocidade para outra A planilha Excel para este Exemplo pode ser usada para gerar curvas de desempenho de bombas para uma dada faixa de velocidades Em princípio a semelhança geométrica seria mantida quando bombas de mesma geometria diferindo apenas no tamanho por uma razão de escala fossem testadas à mesma velocidade de operação As variações da vazão da altura de carga e da potência com o tamanho da bomba seriam previstas como Não é prático fabricar e testar uma série de modelos de bombas que diferem em tamanho por uma razão de escala apenas Em vez disso é prática comum testar uma dada carcaça de bomba a uma velocidade fixa com diversos rotores de diferentes diâmetros 13 Como a largura da carcaça da bomba é a mesma para cada teste a largura do rotor também deve ser a mesma somente o diâmetro D do impulsor é mudado Como resultado o transporte da vazão volumétrica é feito em proporção a D2 e não a D3 A potência absorvida pela bomba para velocidades fixas é transportada como o produto da vazão mássica pela carga tornandose proporcional a D4 O uso deste método de escala modificado fornece em geral resultados com precisão aceitável conforme demonstrado em diversos problemas do final do capítulo em que o método é verificado contra dados do Apêndice D de desempenho medido Não é possível comparar as eficiências para as duas condições de operação diretamente Contudo os efeitos viscosos devem tornarse relativamente menos importantes à medida que o tamanho da bomba aumenta Desse modo a eficiência deve melhorar ligeiramente com o aumento do diâmetro Moody 14 sugeriu uma equação empírica que pode ser usada para estimar a eficiência máxima de uma bomba protótipo baseado em dados de testes de um modelo geometricamente semelhante Sua equação é escrita como Para desenvolver a Eq 1027 Moody considerava que apenas as resistências de superfície mudassem com a escala do modelo de modo que perdas em passagens de mesma rugosidade variassem conforme 1D5 Infelizmente é difícil manter a mesma rugosidade relativa entre as bombas modelo e protótipo Além disso o modelo de Moody não leva em conta nenhuma diferença nas perdas mecânicas entre o modelo e o protótipo nem permite a determinação de eficiências fora do pico Apesar disso o transporte do ponto de eficiência máxima é útil para se obter uma estimativa geral da curva de eficiência do protótipo Cavitação e Altura de Carga de Sucção Positiva Líquida A cavitação pode ocorrer em qualquer máquina trabalhando com líquido sempre que a pressão estática local cair abaixo da pressão de vapor do líquido Quando isso ocorre o líquido pode localmente passar de líquido a vapor instantaneamente formando uma cavidade de vapor e alterando significativamente a configuração do escoamento em relação à condição sem cavitação A cavidade de vapor muda a forma efetiva da passagem do escoamento alterando assim o campo de pressão local Como o tamanho e a forma da cavidade bolha de vapor são influenciados pelo campo de pressão local o escoamento pode se tornar transiente O regime transiente pode causar oscilação em todo o escoamento e vibração na máquina Quando a cavitação começa ela reduz rapidamente o desempenho da bomba ou da turbina Por isso a cavitação deve ser evitada para manter a operação estável e eficiente Além disso pressões superficiais podem tornarse localmente altas quando a bolha de vapor implode causando danos perfurações vazamentos etc ou desgastes superficiais por erosão Os danos podem ser graves a ponto de destruir uma máquina fabricada com material quebradiço de baixa resistência Obviamente a cavitação deve ser evitada também para assegurar longa vida à máquina Em uma bomba a cavitação tende a iniciar na seção onde o escoamento é acelerado para dentro do rotor A cavitação em uma turbina inicia onde a pressão é mais baixa A tendência à cavitação aumenta à medida que a velocidade do escoamento local aumenta isso ocorre sempre que a vazão ou a velocidade de operação da máquina é aumentada A cavitação pode ser evitada se a pressão em todos os pontos da máquina for mantida acima da pressão de vapor do líquido de trabalho À velocidade constante isso requer que uma pressão algo maior do que a pressão de vapor do líquido seja mantida na entrada da bomba a sucção ou aspiração Por causa das perdas de pressão na tubulação de entrada a pressão de sucção pode estar abaixo da atmosférica Por isso é importante limitar cuidadosamente a queda de pressão na tubulação de sucção VÍDEO CLÁSSICO Cavitação em inglês A altura de sucção positiva líquida ou o NPSH de Net Positive Suction Head é definida como a diferença entre a pressão absoluta de estagnação no escoamento na sucção da bomba e a pressão de vapor do líquido expressa em altura de líquido em escoamento 155 Portanto a altura NPSH é uma medida da diferença entre a máxima pressão possível em um dado escoamento e a pressão na qual o líquido começará a se vaporizar por ebulição flash quanto maior a altura NPSH menor a probabilidade de ocorrência de cavitação A altura de sucção positiva líquida requerida NPSHR por uma bomba específica para evitar cavitação varia com o líquido bombeado com a sua temperatura e com a condição da bomba por exemplo com a maneira pela qual as características geométricas críticas da bomba são afetadas pelo desgaste O valor de NPSHR pode ser medido em uma bancada de teste de bombas por meio do controle da pressão de entrada Os resultados são traçados sobre a curva de desempenho da bomba Curvas características típicas de bombas para três rotores testados em uma mesma carcaça são mostradas na Fig 1014 As curvas de NPSHR determinadas experimentalmente para os rotores de maior e menor diâmetro estão traçadas na parte inferior da figura A altura de sucção positiva líquida disponível NPSHA na entrada da bomba deve ser maior do que o NPSHR para evitar cavitação A queda de pressão na tubulação de aspiração e na entrada da bomba aumenta com o aumento da vazão volumétrica Desse modo para qualquer sistema o NPSHA diminui quando a vazão é aumentada O NPSHR da bomba aumenta quando a vazão é aumentada Assim com o aumento da vazão do sistema as curvas de NPSHA e NPSHR versus a vazão cruzarão em algum ponto Para qualquer sistema de sucção existe uma vazão que não pode ser excedida se o escoamento através da bomba deve permanecer livre de cavitação As perdas de pressão de entrada podem ser reduzidas aumentando o diâmetro do tubo de aspiração por essa razão muitas bombas centrífugas têm flanges ou conexões maiores na entrada do que na saída Exemplo 107 CÁLCULO DA ALTURA DE SUCÇÃO POSITIVA LÍQUIDA NPSH Uma bomba centrífuga Peerless Tipo 4AE11 Fig D3 Apêndice D é testada a 1750 rpm usando um sistema de escoamento com o layout do Exemplo 104 O nível de água no reservatório de alimentação está 1 m acima da linha de centro da bomba a tubulação de sucção consiste em 18 m de tubo de ferro fundido reto de 125 mm de diâmetro um cotovelopadrão e uma válvula de gaveta totalmente aberta Calcule a altura de sucção positiva líquida disponível NPSHA na entrada da bomba para uma vazão volumétrica de 230 m3h de água a 30C Compare com a altura de sucção positiva líquida requerida NPSHR pela bomba para esta vazão Trace NPSHA e NPSHR para água a 30C e 80C versus a vazão volumétrica Dados Uma bomba centrífuga Peerless Tipo 4AE11 Fig D3 Apêndice D é testada a 1750 rpm usando um sistema de escoamento com o layout do Exemplo 104 O nível de água no reservatório de entrada está 1 m acima da linha de centro da bomba a tubulação de entrada tem 18 m de tubo reto de ferro fundido de 125 mm de diâmetro um cotovelopadrão e uma válvula de gaveta totalmente aberta Determinar a O NPSHA para Q 230 m3h de água a 30C b A comparação com o NPSHR para a bomba com Q 230 m3h c O gráfico de NPSHA e NPSHR para água a 30C e 80C versus vazão volumétrica Solução A altura de sucção positiva líquida NPSH é definida como a diferença entre a pressão absoluta de estagnação no escoamento na sucção da bomba e a pressão de vapor do líquido expressa em altura de líquido em escoamento Portanto é necessário calcular a altura de carga na sucção da bomba Aplique a equação de energia para escoamento incompressível em regime permanente para calcular a pressão na entrada da bomba e em seguida o NPSHA Denote o nível de reservatório como e o nível da sucção da bomba como conforme mostrado previamente na figura Equação básica Consideração 1 é desprezível Então A perda de carga total é Substituindo a Eq 2 na Eq 1 e dividindo por ρg Avaliando o fator de atrito e a perda de carga Para um tubo de 125 mm nominal D 128 mm Da Tabela A8 para água a T 30C ν 803 107 m2s O número de Reynolds é Da Tabela 81 e 026 mm logo eD 000203 Da Eq 837 f 00237 Os coeficientes das perdas menores são Entrada K 05 Cotovelopadrão 30 Válvula de gaveta aberta 30 Este problema ilustra os procedimentos usados para verificar se uma dada bomba corre o risco de cavitação A Eq 3 e os gráficos mostram que o NPSHA decresce à medida que a vazão volumétrica Q ou s aumenta por outro lado o NPSHR aumenta com Q de modo que se a vazão for grande o bastante a bomba muito provavelmente irá cavitar quando NPSHA NPSHR O NPSHR para qualquer bomba aumenta com o aumento da vazão volumétrica Q porque as velocidades locais do fluido dentro da bomba aumentam criando pressões localmente reduzidas e tendendo a promover cavitação Com água a 30C esta bomba mostra ter NPSHA NPSHR para todas as vazões de modo que ela nunca vai cavitar a 80C a cavitação pode ocorrer em torno de 250 m3h mas de acordo com a Fig D3 a bomba tem melhor eficiência em torno de 200 m3h de modo que ela provavelmente não poderia operar a 250 m3h a bomba provavelmente não iria cavitar mesmo com água mais quente A planilha Excel para este Exemplo pode ser usada para gerar curvas de NPSHA e de NPSHR para uma variedade de bombas e temperaturas da água Substituindo As alturas de carga são Portanto Hs 104m 1m 273 m 798m Para obter o NPSHA some a altura de velocidade e subtraia a altura de pressão de vapor Desse modo A pressão de vapor da água a 30C é pν 425 kPa A altura correspondente é Hν 044 m de água Então A curva da bomba Fig D3 Apêndice D mostra que a 230 m3h a bomba requer Resultados de cálculos similares para água a 30C estão traçados à esquerda na figura seguinte Valores de NPSHR são obtidos das curvas da bomba na Fig D3 Apêndice D Os resultados de cálculos para água a 80C estão traçados à direita na figura A pressão de vapor para água a 80C é pν 474 kPa A altura correspondente é Hν 498 m de água Esta pressão alta de vapor reduz o NPSHA conforme mostrado no gráfico Seleção de Bomba Aplicação para Sistemas Fluidos Nós definimos um sistema de fluido como a combinação de uma máquina de fluxo e uma rede de tubos ou canais que conduzem o fluido A engenharia de aplicação de máquinas de fluxo em um sistema real requer uma concordância entre as características da máquina e aquelas do sistema e o atendimento simultâneo de condições de eficiência energética economia de capital e durabilidade Já fizemos menção à vasta variedade de equipamentos oferecidos por fabricantes competidores essa variedade confirma a importância comercial das máquinas de fluxo nos sistemas de engenharia modernos Usualmente é mais econômico especificar uma máquina de produção seriada do que uma sob encomenda porque os produtos de fabricantes já estabelecidos têm características de desempenho conhecidas e publicadas e eles devem ser duráveis para sobreviver no mercado A engenharia de aplicação consiste em fazer a melhor seleção a partir de catálogos de produtos disponíveis Além de curvas características de máquinas todos os fabricantes fornecem abundantes dados dimensionais configurações alternativas e esquemas de montagem bem como folhetos ou boletins técnicos de orientação quanto à aplicação dos seus produtos Esta seção consiste em uma breve revisão da teoria relevante seguida de exemplos de aplicações usando dados extraídos de literatura dos fabricantes Curvas de desempenho selecionadas para bombas centrífugas e ventiladores são apresentadas no Apêndice D Essas curvas podem ser estudadas como exemplos típicos de dados de desempenho fornecidos por fabricantes As curvas também podem ser usadas para ajudar na seleção de equipamentos e na solução de problemas de projeto de sistemas de fluidos no final do capítulo Vamos considerar várias máquinas para realizar trabalho sobre um fluido mas primeiramente abordaremos alguns pontos gerais Conforme vimos no Exemplo 104 uma bomba típica por exemplo produz uma altura de carga menor conforme a vazão é aumentada Por outro lado a carga que inclui perdas maiores e menores requerida para manter o escoamento em um sistema de tubos aumenta com a vazão Portanto conforme mostrado graficamente6 na Fig 1017 um sistemabomba funcionará no ponto de operação isto é com a vazão para a qual a altura de carga da bomba e a altura de carga requerida pelo sistema coincidem A Fig 1017 também mostra uma curva de eficiência de uma bomba indicando que para uma seleção ótima a bomba deve ser escolhida de modo que tenha a melhor eficiência na vazão do ponto de operação O sistemabomba mostrado na Fig 1017 é estável Se por alguma razão a vazão cai abaixo da vazão do ponto de operação a altura de pressão da bomba aumenta acima da altura requerida pelo sistema e em seguida a vazão aumenta de volta para o ponto de operação Inversamente se a vazão aumenta momentaneamente a altura requerida excede a altura fornecida pela bomba e a vazão diminui de volta para o ponto de operação Esta noção de um ponto de operação aplicase a cada máquina que consideraremos embora como veremos os pontos de operação nem sempre sejam estáveis Fig 1017 Curvas superpostas de alturavazão do sistema e de alturacapacidade da bomba O requisito de pressão do sistema para uma dada vazão é composto da queda de pressão por atrito perdas maiores devido ao atrito em trechos retos de área de seção constante e perdas menores devido a entradas acessórios válvulas e saídas e das variações de pressão decorrentes da gravidade a elevação estática pode ser positiva ou negativa É interessante discutir os dois casoslimite de atrito puro e de elevação pura antes de considerar suas combinações A curva de altura de pressão versus vazão do sistema de atrito puro sem elevação estática começa no ponto de vazão e altura de carga iguais a zero conforme mostrado na Fig 1018a Para este sistema a altura de carga total requerida é a soma das perdas maiores e menores Para o escoamento turbulento o regime usual nos sistemas de engenharia conforme aprendemos no Fig 813 os fatores de atrito são aproximadamente constantes e os coeficientes K e os comprimentos equivalentes Le de perdas menores são também constantes Portanto hlT 2 Q2 de modo que a curva do sistema é aproximadamente parabólica Na verdade como os fatores de atrito f somente aproximamse de constantes à medida que o regime torna se completamente turbulento temse que Q175 hlT Q2 Isso significa que a curva do sistema com atrito puro torna se mais íngreme à medida que a vazão aumenta Para desenvolver a curva de atrito as perdas são calculadas para diversas vazões e em seguida traçadas em um gráfico A variação de pressão decorrente da diferença de elevação é independente da vazão Assim a curva pressãovazão ou cargavazão ou ainda alturavazão para o sistema de elevação pura é uma linha reta horizontal A altura de carga decorrente da gravidade é avaliada a partir da variação da elevação no sistema Todos os sistemas de escoamento reais têm alguma queda de pressão por atrito e alguma variação de elevação Assim todas as curvas de alturavazão ou pressãovazão de sistemas podem ser tratadas como a soma de uma componente de atrito e uma componente de variação de elevação estática A altura de carga para o sistema completo para qualquer vazão é a soma das alturas de atrito e de diferença de elevação A curva pressãovazão do sistema completo é apresentada na Fig 1018b A forma íngreme ou plana da curva resultante do sistema completo depende da importância relativa do atrito e da gravidade A queda de pressão por atrito pode ser relativamente sem importância no suprimento de água para um edifício muito alto por exemplo a Torre Sears em Chicago que tem aproximadamente 400 m de altura por outro lado a diferença de elevação pode ser desprezível em um sistema de ventilação de uma loja no andar térreo de um edifício Na Seção 87 obtivemos uma forma da equação de energia para um volume de controle consistindo em um sistema bombatubulação Substituindo Δhbomba por ha representando a carga adicionada por qualquer máquina não somente uma bomba que realiza trabalho sobre um fluido e rearranjando a Eq 849 obtemos uma expressão mais geral Dividindo por g dá Fig 1018 Digramas esquemáticos ilustrando tipos básicos de curvas alturavazão de sistemas adaptado de 10 em que Ha é a energia por unidade de peso isto é a altura de carga com dimensões de L adicionada pela máquina O ponto de operação de uma bomba é definido pela superposição da curva do sistema e da curva de desempenho da bomba conforme mostrado na Fig 1017 O ponto de interseção é a única condição em que as vazões do sistema e da bomba e as alturas de carga do sistema e da bomba são simultaneamente iguais O procedimento usado para determinar o ponto de operação de um sistema de bombeamento é ilustrado no Exemplo 108 Exemplo 108 DETERMINANDO O PONTO DE OPERAÇÃO DE UM SISTEMA DE BOMBEAMENTO A bomba do Fig 1018a Desenvolva uma expressão algébrica para a forma geral da curva de resistência do sistema Calcule e trace a curva de resistência do sistema Resolva graficamente para o ponto de operação do sistema Obtenha uma expressão analítica aproximada para a curva de resistência do sistema Resolva analiticamente para o ponto de operação do sistema Dados Bomba do Fig 1018a em que L1 06 m de tubo com D1 250 mm e L2 90 m de tubo com D2 200 mm transportando água entre dois grandes reservatórios cujas superfícies livres estão no mesmo nível Determinar a Uma expressão algébrica geral para a curva de carga do sistema b A curva de carga do sistema por cálculo direto c O ponto de operação do sistema usando uma solução gráfica d Uma expressão analítica aproximada para a curva de carga do sistema e O ponto de operação do sistema usando a expressão analítica determinada em d Solução Aplique a equação da energia para o sistema de escoamento da Fig 1018a Equação básica em que z0 e z3 são as elevações das superfícies dos reservatórios de entrada e de saída respectivamente Considerações 1 p0 p3 patm 2 0 3 0 3 z0 z3 dado Simplificando obtemos em que as seções e são localizadas imediatamente a montante e a jusante da bomba respectivamente A perda de carga total é a soma das perdas maiores com as perdas menores de modo que Da continuidade 1 A 1 2 A 2 de mode que Portanto ou após simplificação Esta é a equação da perda de carga para o sistema No ponto de operação conforme indicado na Eq 1 a perda de carga é igual à carga produzida pela bomba dada por Ha H0 AQ2 em que H0 17 m e A 195 104mm3h2 A perda de carga no sistema e a carga produzida pela bomba podem ser calculadas para uma faixa de vazões Qm3h 1ms Re11000 f1 2ms Re21000 f2 HlTm Ham 0 000 0 000 0 000 1700 25 014 39 00249 022 49 00249 028 1688 50 028 79 00228 044 99 00232 105 1651 75 042 118 00220 066 148 00225 229 1590 100 057 158 00215 088 197 00221 400 1505 125 071 197 00212 111 247 00219 619 1395 150 085 237 00210 133 296 00218 886 1261 175 099 276 00208 155 345 00217 1200 1103 200 113 316 00207 177 394 00216 1561 920 225 127 355 00206 199 444 00215 1970 713 250 141 395 00206 221 493 00215 2425 481 As curvas da bomba e de resistência do sistema estão traçadas a seguir A solução gráfica é mostrada neste diagrama No ponto de operação H 114 m e Q 1700 m3h Podemos obter mais precisão a partir da solução gráfica usando a seguinte aproximação como o número de Reynolds corresponde ao regime completamente turbulento f constante podemos simplificar a equação para a perda de carga e escrevêla na forma HlT CQ2 em que C 8π2D24g vezes o termo entre colchetes na expressão para HlT Podemos obter um valor para C diretamente da Eq 3 utilizando valores para HlT e Q da tabela em um ponto próximo ao ponto de operação antecipado Por exemplo a partir do ponto dado Q 150 m3h Portanto a expressão analítica aproximada para a curva de carga do sistema é Utilizando as Eqs 2 e 3 na Eq 1 obtemos H0 AQ2 CQ2 Resolvendo para Q a vazão em volume no ponto de operação resulta Para este caso A vazão volumétrica pode ser substituída em qualquer uma das expressões da carga para calcular a altura de carga no ponto de operação como Podemos ver que neste problema a nossa leitura do ponto de operação a partir do gráfico foi muito boa a leitura da altura e do fluxo de carga estava em concordância com a altura de carga calculada a leitura da vazão foi menos de 2 diferente do resultado calculado Note que ambos os conjuntos de resultados são aproximados Podemos obter um resultado mais preciso e de modo mais fácil utilizando o Resolvedor do Excel Excel Solver ou Goal Seek para determinar o ponto de operação permitindo a consideração de que os fatores de atrito variam embora discretamente com o número de Reynolds Fazendo isso chegamos a uma vazão no ponto de operação de 1702 m3h e a uma altura de carga de 114 m Este problema ilustra os procedimentos usados para determinar o ponto de operação de uma bomba e de um sistema de escoamento Os métodos aproximados gráficos e supondo que as perdas de atrito são proporcionais a Q2 forneceram resultados próximos daqueles calculados com detalhes usando o Excel Concluímos que desde que a maioria dos coeficientes de atrito do escoamento no tubo apresente incerteza dentro de 10 aproximadamente os métodos aproximados são suficientemente exatos Por outro lado o uso do Excel quando disponível facilita e melhora a exatidão dos cálculos A Eq 3 para a perda de carga no sistema pode ser substituída por uma equação da forma H Z0 CQ2 quando a altura de carga H requerida pelo sistema tem uma componente Z0 de altura estática devido à gravidade e uma componente devido às perdas de carga A planilha Excel para este Exemplo foi usada para gerar os resultados tabelados bem como a solução mais exata Ela pode ser adaptada para uso com outros sistemas tubulaçãobomba As formas de ambas as curvas da bomba e do sistema podem ser importantes para a estabilidade do sistema em certas aplicações A curva da bomba mostrada na Fig 1017 é típica daquela para uma bomba centrífuga nova de velocidade específica intermediária para a qual a altura de carga decresce suave e monotonamente à medida que a vazão é aumentada a partir da condição de bloqueio Dois efeitos ocorrem gradualmente à medida que o sistema envelhece 1 a bomba desgastase e seu desempenho cai isso produz menos altura de pressão logo a curva da bomba movese gradualmente para baixo no sentido de uma carga mais baixa para cada vazão e 2 a resistência do sistema aumenta a curva do sistema movese gradualmente para cima no sentido de uma carga mais alta para cada vazão por causa do envelhecimento dos tubos7 O efeito dessas alterações com o tempo é mover o ponto de operação no sentido de vazões mais baixas O módulo da variação na vazão depende das formas das curvas da bomba e do sistema As perdas de capacidade quando ocorre desgaste da bomba são comparadas para sistemas de curvas íngremes atrito dominante e planas gravidade dominante na Fig 1019 A perda na capacidade é maior para o sistema de curva plana do que para o sistema de curva íngreme A curva de eficiência da bomba também está traçada na Fig 1017 O ponto de operação original do sistema é geralmente escolhido de modo a coincidir com a eficiência máxima por meio de uma cuidadosa escolha do tamanho da bomba e da sua velocidade O desgaste da bomba aumenta os vazamentos internos reduzindo assim a vazão e abaixando o pico de eficiência Além disso conforme mostrado na Fig 1019 o ponto de operação movese no sentido de vazões mais baixas para longe do ponto de eficiência máxima Dessa forma a redução no desempenho do sistema pode não ser acompanhada por uma redução no consumo de energia Fig 1019 Efeito do desgaste da bomba sobre a vazão entregue ao sistema Fig 1020 Operação de bomba de baixa velocidade específica próximo da condição de bloqueio shutoff Às vezes é necessário satisfazer um requisito de altura de carga elevada e baixa vazão isso força a seleção de uma bomba com baixa velocidade específica Tal bomba pode ter uma curva de desempenho com uma altura de carga ligeiramente crescente próximo da condição de bloqueio conforme mostrado na Fig 1020 Quando a curva do sistema é íngreme o ponto de operação é bem definido e não deveriam surgir problemas com a operação do sistema No entanto o uso da bomba em sistema de curva plana poderia facilmente causar problemas especialmente se a curva real do sistema estivesse ligeiramente acima da curva calculada ou a vazão da bomba estivesse abaixo do desempenho previsto no mapa cargavazão ou alturavazão Se houver dois pontos de interseção das curvas da bomba e do sistema o sistema poderá operar em qualquer um deles dependendo das condições de partida startup uma perturbação poderia causar o deslocamento para o segundo ponto de interseção Sob certas condições o ponto de operação do sistema pode alternar entre os dois pontos de interseção provocando escoamento não permanente e desempenho insatisfatório Em vez de uma única bomba de baixa velocidade específica uma bomba de múltiplos estágios pode ser empregada nesta situação Uma vez que a vazão através de todos os estágios é a mesma mas a altura de carga por estágio é menor do que aquela na unidade de um só estágio a velocidade específica da bomba de múltiplos estágios é maior veja a Eq 722a A curva característica alturavazão de algumas bombas de alta velocidade específica mostra uma inflexão para capacidades abaixo do ponto de eficiência máxima conforme mostrado na Fig 1021 É preciso estar atento à aplicação de tais bombas especialmente se elas operarem na inflexão da curva alturavazão ou próximo dela Nenhum problema deve ocorrer se a característica do sistema for íngreme pois neste caso haverá apenas um ponto de interseção com a curva da bomba A menos que a interseção esteja próxima do ponto B o sistema retornará à operação estável em regime permanente após qualquer perturbação transiente Fig 1021 Operação de uma bomba de alta velocidade específica próximo da inflexão A operação em um sistema de curva plana é mais problemática É possível ter um dois ou três pontos de interseção das curvas da bomba e do sistema como sugerido na figura Os pontos A e C são pontos de operação estáveis porém o ponto B é instável se a vazão cair momentaneamente abaixo de QB por qualquer razão a vazão continuará a cair até QA porque a carga fornecida pela bomba é agora menor do que aquela requerida pelo sistema inversamente se a vazão ficar momentaneamente acima de QB ela continuará a aumentar até QC porque a carga da bomba excede a carga requerida Em um sistema de curva plana a bomba pode oscilar hunt periodicamente ou não periodicamente Diversos outros fatores podem influenciar adversamente o desempenho da bomba bombear líquidos quentes líquidos com vapor entranhado e líquidos de alta viscosidade De acordo com 9 a presença de pequenas quantidades de gás arrastado no líquido pode reduzir drasticamente o desempenho da bomba Algo tão pouco quanto 4 de vapor arrastado pode reduzir a capacidade da bomba em mais de 40 O ar pode penetrar pelo lado da aspiração do circuito de bombeamento onde a pressão é inferior à atmosférica se houver qualquer vazamento presente Uma submersão adequada do tubo de aspiração é necessária para impedir a entrada de ar Submersão insuficiente pode causar um vórtice na entrada do tubo de sucção Se o vórtice for intenso poderá haver penetração de ar para a bomba através do tubo Dickinson Hicks e Edwards 16 e 17 dão diretrizes gerais para um projeto adequado do poço de aspiração de modo a eliminar a possibilidade de formação de vórtices O aumento da viscosidade do fluido pode reduzir drasticamente o desempenho de uma bomba centrífuga 17 Resultados de testes experimentais típicos são apresentados graficamente na Fig 1022 Na figura o desempenho da bomba com água µ 0001 Nsm2 é comparado com o desempenho no bombeamento de um líquido mais viscoso µ 0 22 Nsm2 O aumento da viscosidade reduz a altura de carga produzida pela bomba Ao mesmo tempo o requisito de potência de alimentação da bomba é aumentado O resultado é uma queda acentuada na eficiência da bomba para todas as vazões Fig 1022 Efeito da viscosidade do líquido sobre o desempenho de uma bomba centrífuga 9 O aquecimento de um líquido eleva a sua pressão de vapor Dessa forma o bombeamento de um líquido quente requer pressão adicional na entrada da bomba para prevenir cavitação Veja o Exemplo 107 Em alguns sistemas tais como abastecimento de água em cidades ou recirculação de água gelada pode haver uma larga faixa na demanda com uma resistência de sistema relativamente constante Nestes casos é possível operar bombas de velocidade constante em série ou em paralelo para atender os requisitos do sistema sem dissipação excessiva de energia devido ao estrangulamento da descarga Duas ou mais bombas podem ser operadas em paralelo ou em série para fornecer vazão em condições de alta demanda e um número menor de unidades pode ser usado quando a demanda for baixa Para bombas em série a curva combinada de desempenho é obtida somando os aumentos de altura de carga para cada vazão Fig 1023 O ganho na vazão na operação de bombas em série depende da resistência do sistema que está sendo abastecido Para duas bombas em série a vazão aumentará para qualquer altura de carga do sistema As curvas características para uma bomba e para duas bombas idênticas em série são H1 H0 AQ2 e H2s 2H0 AQ2 2H0 2AQ2 A Fig 1023 é uma ilustração esquemática da aplicação de duas bombas idênticas em série Um ajuste razoável ao requisito do sistema e possível ao mesmo tempo em que a eficiência é mantida elevada se a curva do sistema for relativamente íngreme Em um sistema real não é apropriado simplesmente conectar duas bombas em série Se apenas uma bomba fosse acionada o escoamento através da segunda não acionada causaria perdas adicionais aumentando a resistência do sistema Também é conveniente arranjar as bombas e a tubulação de modo que cada bomba possa ser retirada do circuito para manutenção reparos ou substituição quando necessário Assim um sistema de contorno ou de bypass com válvulas de bloqueio e de retenção pode ser necessário em uma instalação real 13 17 Bombas podem ser combinadas também em paralelo A curva de desempenho resultante mostrada na Fig 1024 é obtida pela soma das capacidades de cada bomba para cada altura de carga As curvas características para uma bomba e para duas bombas idênticas em paralelo são H1 H0 AQ2 e O esquema na Fig 1024 mostra que a combinação em paralelo pode ser utilizada mais efetivamente para aumentar a capacidade do sistema quando a curva do sistema é relativamente plana Uma instalação real com bombas em paralelo também requer mais atenção para permitir operação satisfatória com apenas uma bomba acionada É necessário impedir o refluxo através da bomba que não está em operação Para prevenir refluxo e para permitir a remoção da bomba uma configuração de tubulação mais complexa e dispendiosa é necessária Muitos outros arranjos de tubulação e combinações de bombas são possíveis Bombas de diferentes tamanhos alturas de carga e capacidades podem ser combinadas em série em paralelo ou em arranjos sérieparalelo Obviamente a complexidade da tubulação e controle do sistema aumenta rapidamente Em muitas aplicações a complexidade é decorrente da exigência de que o sistema trabalhe com vazões variadas uma faixa de vazões pode ser gerada pela utilização de bombas em série e em paralelo e pelo uso de válvulas reguladoras de vazão válvulas de estrangulamento Válvulas reguladoras de vazão são normalmente necessárias porque boa parte das bombas industriais é acionada por motores de velocidade constante de modo que o uso puro e simples de uma rede de bombas algumas ligadas e outras desligadas sem válvulas de estrangulamento só permite que a vazão seja variada em degraus discretos A desvantagem das válvulas de estrangulamento é que elas podem introduzir uma perda importante de energia de modo que uma dada vazão exigirá maior potência na bomba do que aquela que seria requerida sem a válvula Alguns dados típicos para uma válvula de estrangulamento apresentados na Tabela 101 18 mostram uma diminuição na eficiência da válvula a porcentagem de pressão disponível na bomba que não é consumida pela válvula conforme a válvula é usada para reduzir a vazão Fig 1023 Operação de duas bombas centrífugas em série Fig 1024 Operação de duas bombas centrífugas em paralelo O acionamento motor de velocidade variável permite um controle infinitamente variável da vazão no sistema com alta eficiência energética e sem a complexidade de encanamentos extras Outra vantagem é que um sistema de acionamento de velocidade variável oferece controle de vazão mais simplificado no sistema O custo de sistemas eficientes de acionamento de velocidade variável continua a decrescer por causa dos progressos em inversores de frequência e em circuitos e componentes da eletrônica de potência A vazão no sistema pode ser controlada pela variação da velocidade de operação da bomba com expressiva economia de potência de bombeamento e de consumo de energia A Tabela 101 ilustra a redução de potência de alimentação oferecida pelo motor de velocidade variável Para 250 m3h a potência de entrada é reduzida de quase 54 para o sistema de velocidade variável para 136 m3h a redução na potência é superior a 75 Tabela 101 Requisitos de Potência para Bombas Operadas a Velocidade Constante e a Velocidade Variável Controle de Válvula de Estrangulamento com Motor de Velocidade Constante 1750 rpm Vazão m3h Carga do Sistema m Eficiência da Válvulaa Carga da Bomba m Eficiência da Bomba Potência da Bomba kW Eficiência do Motor Potência do Motor kW Potência de Alimentaçãob kW 386 549 1000 549 800 721 908 794 796 341 457 781 585 784 693 907 764 765 309 399 662 604 768 661 907 729 730 250 311 495 628 724 590 906 651 652 204 253 395 640 670 532 903 589 590 136 189 290 652 540 448 900 498 499 Acionamento de Velocidade Variável com Motor Eficiente Vazão m3h Carga de Bomba Sistema m Eficiência da Bomba Potência da Bomba kW Velocidade do Motor rpm Eficiência do Motor Potência do Motor kW Eficiência do Controle Potência de AlimentaçãobkW 386 549 800 721 1750 937 770 970 793 341 457 796 533 1580 940 567 961 590 309 399 788 427 1470 939 454 950 478 250 311 784 270 1275 938 288 948 303 204 253 771 183 1140 923 198 928 213 136 189 720 98 960 900 108 891 122 Fonte Baseado em Armintor e Conners 18 aA eficiência da válvula é a razão entre a pressão do sistema e a pressão da bomba bA potência de alimentação é a potência do motor dividida pela eficiência de 0998 do dispositivo de partida starter A redução de potência nas pequenas vazões com o acionamento de velocidade variável é impressionante A economia de energia e por conseguinte de custos depende do ciclo de serviço específico no qual a máquina opera Armintor e Conners 18 apresentam informações sobre o ciclo médio de serviço para bombas centrífugas usadas na indústria química a Fig 1025 mostra um histograma desses dados O gráfico mostra que embora o sistema deva ser projetado e instalado para oferecer capacidade nominal plena esta condição raramente ocorre Em vez disso mais da metade do tempo o sistema opera com 70 de sua capacidade ou abaixo As economias de energia que resultam do emprego de um motor de velocidade variável para esse ciclo de serviço são estimadas no Exemplo 109 Fig 1025 Ciclo médio de serviço para bombas centrífugas nas indústrias de química e de petróleo 18 Exemplo 109 ECONOMIAS DE ENERGIA DE BOMBA CENTRÍFUGA COM MOTOR DE VELOCIDADE VARIÁVEL Combine as informações sobre o ciclo médio de serviço de bombas centrífugas apresentadas na Fig 1025 com os dados sobre motores da Tabela 101 Estime as economias anuais na energia de bombeamento e no custo que poderiam ser obtidas com a implantação de um sistema de acionamento de velocidade variável Dados Considere o sistema de bombeamento da Fig 1025 24 horas por dia durante todo o ano Determinar a Uma estimativa da redução anual no consumo de energia obtida com o motor de velocidade variável b As economias de energia e de custos decorrentes da operação com velocidade variável Solução A operação em tempo integral significa 365 dias 24 horas por dia ou 8760 horas por ano Assim as porcentagens da Fig 1027 devem ser multiplicadas por 8760 para dar as horas de operação por ano Primeiramente trace um gráfico da potência absorvida pela bomba versus vazão usando os dados da Tabela 101 a fim de permitir interpolação conforme mostrado a seguir Ilustre o procedimento usando operação com 70 da vazão nominal como amostra de cálculo Para vazão de 70 a bomba fornece 07 386 m3h 270 m3h Do gráfico a potência requerida pela bomba para esta vazão é de 63 kW para o motor de velocidade constante Com esta vazão a bomba opera 23 do tempo ou seja 023 8760 2015 horas por ano A energia total consumida neste ponto de serviço é 68 kW 2015 h 137 105 kW h A energia elétrica consumida é O custo correspondente de eletricidade a 012kW h é As seguintes tabelas foram preparadas usando cálculos similares Motor de Velocidade Constante 8760 hano Vazão Vazão m3h Tempo Tempo h Potência kW Energia kW h 100 386 2 175 80 14 104 90 348 8 701 77 54 104 80 309 21 1840 73 134 104 70 270 23 2010 68 137 104 60 232 21 1840 63 116 104 50 193 15 1310 57 75 104 40 154 10 876 52 46 104 Total 576 104 O somatório dos valores na última coluna da tabela mostra que para o sistema com motor de velocidade constante o consumo anual de energia é 576 105kW h A 012 por kW h o custo da energia para o sistema com motor de velocidade constante é Motor de Velocidade Variável 8760 hano Vazão Vazão m3h Tempo Tempo h Potência kW Energia kW h 100 386 2 175 79 14 104 90 348 8 701 62 43 104 80 309 21 1840 48 88 104 70 270 23 2010 36 72 104 60 232 21 1840 27 50 104 50 193 15 1310 20 26 104 40 154 10 876 15 13 104 Total 306 104 O somatório da última coluna da tabela mostra que para o sistema com motor de velocidade variável o consumo anual de energia é 306 105 kW h O consumo de energia elétrica é A 012 por kW h o custo da energia para o sistema com motor de velocidade variável é apenas Portanto nesta aplicação o acionamento de velocidade variável reduz o consumo de energia em 270000 kW h 47 A economia em custos financeiros é a expressiva quantia de 32400 dólares por ano Parece portanto ser vantajosa a instalação de um sistema de velocidade variável mesmo com custo de instalação elevado A economia de energia por ano é apreciável e continua por toda a vida útil do sistema Este problema ilustra as economias de custo e de energia que podem ser obtidas com o emprego do acionamento de bombas a velocidade variável Verificamos que os benefícios específicos dependem do sistema e do seu ciclo operacional A planilha Excel para este Exemplo foi usada para traçar o gráfico obter os dados interpolados e realizar os cálculos Ela pode facilmente ser modificada para outras análises desse tipo Note que os resultados foram arredondados para três algarismos significativos após os cálculos Sopradores e Ventiladores Ventiladores são projetados para trabalhar com ar ou vapor Os tamanhos dos ventiladores variam desde aquele do resfriamento de uma peça de equipamento eletrônicoque move um metro cúbico de ar por hora e exige alguns watts de potência até aqueles ventiladores para Túneis de Vento que movem milhares de metros cúbicos de ar por minuto e necessitam de muitas centenas de quilowatts de potência Os ventiladores são produzidos em variedades similares às das bombas variam dos dispositivos de fluxo radial centrífugos aos de fluxo axial Assim como nas bombas as formas das curvas características dependem do tipo de ventilador Algumas curvas típicas de desempenho de ventiladores centrífugos são apresentadas no Apêndice D Elas podem ser usadas na escolha de ventiladores para resolver alguns dos problemas de seleção de equipamento e projeto de sistema apresentados no final do capítulo Uma vista explodida de um ventilador centrífugo de tamanho médio é mostrada na Fig 1026 Nesta figura é apresentada alguma terminologia de uso comum para este tipo de máquina O aumento de pressão produzido por ventiladores é várias ordens de grandeza inferior àquele das bombas Outra diferença entre ventiladores e bombas é que a medição de vazão é mais difícil em gases e vapores do que em líquidos Não há um método conveniente análogo àquele de coletar o escoamento em um recipiente usado para medir vazão de líquidos Consequentemente os testes de ventiladores exigem instalações e procedimentos especiais 20 21 Como o aumento de pressão causado por um ventilador é pequeno é impraticável em geral medir a vazão com um dispositivo de restrição do fluxo como uma placa de orifício bocal ou venturi Pode ser necessário utilizar um ventilador auxiliar para desenvolver um aumento de pressão suficiente para permitir a medição de vazão com precisão aceitável usando dispositivos de restrição de área Uma alternativa é usar um duto instrumentado no qual a vazão é determinada por meio de um pitot transverso Normas apropriadas devem ser consultadas para obter informações completas sobre métodos específicos de testes de ventiladores e procedimentos de redução de dados para cada aplicação 20 21 O teste e procedimento para redução de dados para ventiladores sopradores e compressores são basicamente os mesmos para bombas centrífugas Contudo sopradores e especialmente ventiladores acrescentam relativamente pequenas quantidades de pressão estática ao gás ou vapor Para essas máquinas a pressão dinâmica pode aumentar da entrada para a saída e ela pode ser apreciável comparada com o aumento da pressão estática Por essas razões é importante estabelecer claramente as bases sobre as quais os cálculos de desempenho são realizados Definições padrões estão disponíveis para a eficiência de máquina baseada tanto no aumento da pressão estática quanto no aumento da pressão total 20 Dados de aumentos de pressão estática e de pressão total bem como dados de eficiência baseados em ambos os aumentos de pressão são usualmente traçados em um mesmo gráfico característico Fig 1027 As coordenadas podem ser traçadas em unidades físicas por exemplo milímetros de coluna de água pés cúbicos por minuto e hp ou milímetros de coluna de água kW e metro cúbico por minuto ou como coeficientes adimensionais de fluxo e de pressão A diferença entre as pressões total e estática é a pressão dinâmica de modo que a distância vertical entre essas duas curvas é proporcional a Q2 Ventiladores centrífugos são muito utilizados por isso vamos usálos como exemplos O ventilador centrífugo evoluiu do projeto simples das rodas de pás no qual a roda era um disco portando placas planas radiais Esta forma primitiva ainda é empregada em ventiladores livres de depósitos como nas secadoras de roupa comerciais Refinamentos levaram aos três tipos genéricos mostrados na Fig 1028ac com pás curvadas para trás radiais encurvadas e curvadas para a frente Todos os ventiladores mostrados têm pás que são encurvadas nas suas bordas de admissão para aproximaremse do escoamento sem choque entre a pá e a direção do fluxo de entrada Esses três projetos são típicos de ventiladores com pás de chapa metálica fina que são de fabricação relativamente simples e portanto relativamente baratos O projeto de pás curvadas para a frente ilustrado na figura apresenta lâminas muito próximas ele é muitas vezes chamado de ventilador de gaiola de esquilo por causa da sua semelhança com as rodas de exercício encontradas em gaiolas de animais Fig 1026 Vista explodida de um ventilador centrífugo típico 19 Fig 1027 Curvas características típicas para ventilador com pás curvadas para trás 22 Fig 1028 Configurações típicas de pás utilizadas para rotores de ventiladores centrífugos 22 À medida que os ventiladores tornamse maiores em tamanho e em demanda de potência a eficiência tornase mais importante As pás de aerofólio de formas aerodinâmicas bem projetadas mostradas na Fig 1028d são muito menos sensíveis à direção do fluxo de entrada e aumentam a eficiência de maneira notável em comparação com as pás de chapa fina mostradas nos diagramas a a c O custo adicional das pás de aerofólio para grandes ventiladores metálicos pode ser compensado dentro do ciclo de vida útil da máquina As pás de aerofólio vêm sendo gradativamente empregadas em pequenos ventiladores à medida que rotores de plástico moldado tornamse comuns Como ocorre para bombas o aumento de pressão total através de um ventilador é aproximadamente proporcional à velocidade absoluta do fluido na saída do rotor Por isso as curvas características produzidas pelas formas básicas de pás tendem a diferir umas das outras As formas típicas das curvas são mostradas na Fig 1029 em que tanto o aumento de pressão altura de carga quanto o requisito de potência estão esboçados Ventiladores com extremidades de pás curvadas para trás têm tipicamente uma curva de potência que atinge o máximo e em seguida decresce à medida que a vazão aumenta Se o motor do ventilador é dimensionado adequadamente de modo a comportar o pico de potência é impossível sobrecarregálo com esse tipo de ventilador As curvas de potência para ventiladores com pás radiais e com pás curvadas para a frente sobem à medida que a vazão aumenta Se o ponto de operação do ventilador estiver mais alto do que aquele da vazão de projeto o motor pode estar sobrecarregado Esses ventiladores não podem funcionar por longos períodos com baixos valores de contrapressão Um exemplo disso seria quando um ventilador gira sem carga de resistência ao escoamento em outras palavras o ventilador está sempre girando livre Como a curva de potência do ventilador decresce monotonamente com a vazão o motor do ventilador poderia eventualmente queimar sob tais condições de giro livre Fig 1029 Características gerais das curvas de desempenho para ventiladores centrífugos com pás curvadas para trás radiais e curvadas para a frente 22 Fig 1030 Curvas características para um ventilador de fluxo axial típico 22 Ventiladores com pás curvadas para trás são os mais indicados para instalações com elevada demanda de potência e operação contínua O ventilador de pá curvada para a frente é preferido quando um baixo custo inicial de instalação e um tamanho reduzido são importantes e o serviço é intermitente As pás curvadas para a frente requerem menores velocidades nas suas extremidades para produzir uma altura de carga específica uma menor velocidade periférica nas pás significa ruído reduzido Dessa maneira pás curvadas para a frente podem ser especificadas para aplicações em aquecimento e resfriamento de materiais e em condicionamento de ar de modo a minimizar ruído As curvas características para ventiladores de fluxo axial hélices diferem notavelmente daquelas dos ventiladores centrífugos A curva de potência Fig 1030 é especialmente diferente visto que tende a decair continuamente à medida que a vazão aumenta Dessa maneira é impossível sobrecarregar um motor adequadamente dimensionado para um ventilador de fluxo axial O ventilador de hélice simples é utilizado com frequência em ventilação pode ser do tipo pedestal ou montado em uma abertura como um exaustor de parede sem dutos de entrada e de saída Os ventiladores de fluxo axial em dutos têm sido estudados extensivamente e evoluíram para máquinas de alta eficiência 23 Os projetos modernos com pás de aerofólio montados em dutos e muitas vezes munidos de pásguias podem fornecer grandes volumes contra resistências elevadas e com alta eficiência A deficiência primária do ventilador de fluxo axial é a inclinação não monotônica da curva característica de pressão em certas faixas de vazão o ventilador pode pulsar Devido ao fato de os ventiladores de fluxo axial tenderem a ter alta velocidade de rotação eles podem ser ruidosos A seleção e a instalação de um ventilador sempre exigem compromisso Para minimizar o consumo de energia é desejável operar um ventilador no seu ponto de eficiência máxima Para reduzir o tamanho da máquina para uma dada capacidade é tentador operar a uma vazão maior do que aquela da eficiência máxima Em uma instalação real esta negociação deve ser feita levando em consideração fatores como espaço disponível custo inicial e horas de operação por ano Não é de bom senso operar um ventilador a uma vazão abaixo do ponto de eficiência máxima Tal ventilador seria maior do que o necessário e algumas instalações particularmente aquelas de ventiladores com pás curvadas para a frente poderiam tornarse instáveis e ruidosas quando operadas nessa região É necessário considerar o sistema de dutos tanto na entrada quanto na saída do ventilador a fim de desenvolver uma instalação satisfatóriaQualquer coisa que quebre o escoamento uniforme na admissão do ventilador irá provavelmente prejudicar o desempenho Um escoamento não uniforme na admissão causa operação assimétrica do rotor podendo diminuir a capacidade drasticamente Redemoinhos também afetam adversamente o desempenho do ventilador Quando eles ocorrem no sentido da rotação reduzem a pressão desenvolvida no sentido oposto à rotação do ventilador eles podem aumentar a potência requerida para acionar o ventilador O especialista em ventiladores pode não ter liberdade total para projetar o melhor sistema de escoamento para o ventilador Algumas vezes um sistema de escoamento deficiente pode ser melhorado sem muito esforço acrescentando divisores de fluxo ou palhetas de retificação do escoamento na admissão Alguns fabricantes de ventiladores oferecem pásguias venezianas que podem ser instaladas com este propósito As condições de escoamento na descarga do ventilador também afetam o desempenho da instalação Todo ventilador produz escoamento não uniforme na descarga Quando o ventilador é conectado a um trecho de duto reto o escoamento tornase mais uniforme e algum excesso de energia cinética é transformado em pressão estática Se o ventilador descarregar diretamente em um grande espaço sem duto todo o excesso de energia cinética do escoamento não uniforme é dissipado O desempenho de ventilador instalado em um sistema de escoamento sem duto de descarga pode ficar bem aquém daquele medido em uma bancada de testes de laboratório A configuração do escoamento na descarga do ventilador pode ser afetada pela quantidade de resistência presente a jusante O efeito do sistema sobre o desempenho do ventilador pode ser diferente para os diversos pontos ao longo da curva pressãovazão Desse modo pode não ser possível prever com precisão o desempenho de um ventilador como instalado com base nas curvas medidas no laboratório As leis de escala podem ser aplicadas aos ventiladores tanto para dimensões quanto para velocidades usando os mesmos princípios básicos desenvolvidos para as máquinas de fluxo no Capítulo 7 É possível que dois ventiladores operem com fluidos de massas específicas significativamente diferentes8 e neste caso a pressão deve substituir a altura de carga que usa a massa específica como um parâmetro dependente enquanto a massa específica deve ser mantida nos grupos adimensionais Os grupos adimensionais apropriados para transporte de dados por escala em ventiladores são Mais uma vez a semelhança dinâmica é garantida quando os coeficientes de fluxo são igualados Então quando então e Como uma primeira aproximação a eficiência do ventilador definido por análise dimensional é suposta permanecer constante de modo que Quando a altura de carga é substituída pela pressão e a massa específica é incluída a expressão que define a velocidade específica de um ventilador tornase A aplicação das leis de escala a um ventilador com variação de massa específica é o assunto do Exemplo 1010 Exemplo 1010 TRANSPORTANDO POR ESCALA O DESEMPENHO DE UM VENTILADOR Curvas de desempenho 20 são dadas a seguir para um ventilador centrífugo com D 914 mm e N 600 rpm conforme medições em uma bancada de testes usando ar com massa específica padrão ρ 12 kgm3 Transporte os dados por escala para prever o desempenho de um ventilador semelhante com D 1070 mm N 1150 rpm e ρ 072 kgm3 Estime a vazão e a potência do ventilador maior quando ele opera a uma pressão de sistema equivalente a 190 mm de H2O Verifique a velocidade específica do ventilador no novo ponto de operação Dados Dados de desempenho conforme mostrado para ventilador centrífugo com D 914 mm N 600 rpm e ρ 12 kgm3 Determinar a O desempenho previsto de um ventilador geometricamente semelhante com D 1070 mm para N 1150 rpm com ρ 072 kgm3 b Uma estimativa da vazão fornecida e da potência requerida se o ventilador maior operar contra uma resistência do sistema de 190 mm H2O c A velocidade específica do ventilador maior nesse ponto de operação Solução Desenvolva as curvas de desempenho para a nova condição de operação transportando os dados dos testes ponto por ponto Usando as Eqs 1030 e os dados das curvas para Q 850 m3min a nova vazão volumétrica é O aumento de pressão do ventilador é e a nova potência requerida é Admitimos que a eficiência permaneça constante entre os dois pontos de modo que η η 648 Cálculos similares para outros pontos de operação dão os resultados tabelados a seguir Q m3min p mm H2O p kW η Q m3min p mm H2O p kW 0 935 83 0 0 2824 771 283 953 113 374 870 2879 1050 566 889 139 592 1741 2685 1291 850 752 160 648 2614 2272 1486 1130 538 172 574 3475 1625 1598 1420 259 172 345 4367 782 1598 1700 0 157 0 5228 0 1458 Para permitir a interpolação entre os pontos de referência é conveniente traçar curvas dos resultados Na curva alturavazão notase que o ventilador maior deve fornecer 3107 m3min a 190 mm de H2O de altura de carga do sistema com uma eficiência de cerca de 622 Este ponto de operação está apenas ligeiramente à direita do pico de eficiência para este ventilador de modo que ele é um ponto de operação razoável A velocidade específica do ventilador neste ponto de operação em unidades usuais nos Estados Unidos é dada por substituição direta na Eq 1031 Em unidades adimensionais SI Este problema ilustra o procedimento de transportar por escala o desempenho de ventiladores que operam com gases com duas massas específicas diferentes A planilha Excel para este Exemplo foi usada para traçar os gráficos obter os dados interpolados e realizar os cálculos Ela pode facilmente ser modificada para outras análises desse tipo Três métodos estão disponíveis para controlar a vazão de um ventilador controle da velocidade do motor veneziana ou damper de entrada e estrangulamento da saída O controle de velocidade foi amplamente abordado na seção sobre bombas Os mesmos benefícios de consumo reduzido de energia e redução de ruído são obtidos com ventiladores e os custos dos sistemas de acionamento de velocidade variável continuam a decrescer Dampers na admissão podem ser usados com eficácia em alguns ventiladores centrífugos grandes Entretanto eles reduzem a eficiência e não podem ser empregados para diminuir a vazão do ventilador abaixo de cerca de 40 da capacidade nominal O estrangulamento da descarga é barato mas desperdiça energia Para mais detalhes consulte Jorgensen 19 ou Berry 22 ambos são autores particularmente abrangentes Osborne 24 também trata de ruído vibração e projeto mecânico de ventiladores Ventiladores também podem ser combinados em série em paralelo ou em arranjos mais complexos de modo a casar resistências variáveis do sistema com requisitos de vazão Estas combinações podem ser analisadas usando os métodos descritos para bombas ASHRAE 25 e Idelchik 26 são fontes excelentes de dados de perdas em sistemas de escoamento de ar Os sopradores têm características de desempenho semelhantes às dos ventiladores mas eles operam tipicamente a velocidades mais altas e aumentam a pressão do fluido mais do que os ventiladores Jorgensen 19 divide o território entre ventiladores e compressores por um nível de pressão arbitrário que muda a massa específica do ar em 5 ele não faz demarcação entre ventiladores e sopradores 104 Bombas de Deslocamento Positivo A pressão é desenvolvida em bombas de deslocamento positivo por reduções de volume causadas pelo movimento da fronteira na qual o líquido está confinado Diferentemente das turbomáquinas as bombas de deslocamento positivo podem desenvolver altas pressões a velocidades relativamente baixas pois o efeito de bombeamento depende de variação de volume em vez de ação dinâmica Bombas de deslocamento positivo são frequentemente usadas em sistemas hidráulicos com pressões de até 40 MPa A principal vantagem da potência hidráulica é a alta densidade de potência potência por peso de unidade ou tamanho de unidade que pode ser obtida para uma dada potência produzida um sistema hidráulico pode ser mais leve e menor do que um sistema de acionamento elétrico típico Inúmeros tipos de bombas de deslocamento positivo têm sido desenvolvidos Alguns exemplos incluem bombas de pistão bombas de palhetas e bombas de engrenagens Dentro de cada tipo as bombas podem ser de deslocamento fixo ou variável Uma classificação abrangente dos tipos de bombas é dada em 16 As características de desempenho da maioria das bombas de deslocamento positivo são similares nesta seção focalizaremos as bombas de engrenagens Este tipo de bomba é empregado tipicamente para injetar óleo lubrificante pressurizado em motores de combustão interna A Fig 1031 é um diagrama esquemático de uma bomba de engrenagens típica O óleo entra no espaço entre as engrenagens no fundo da cavidade da bomba O óleo é levado para fora e para cima pelos dentes das engrenagens rotativas e sai através da portinhola existente no topo da cavidade A pressão é gerada à medida que o óleo é forçado em direção à saída da bomba vazamentos e refluxo são evitados pelo ajuste rigoroso dos dentes no centro da bomba e pelas folgas estreitas mantidas entre as faces laterais das engrenagens e da carcaça da bomba As folgas estreitas exigem que o fluido hidráulico seja mantido extremamente limpo por filtragem plena do escoamento Fig 1031 Esquema de uma bomba de engrenagens típica 27 Fig 1032 Ilustração de bomba de engrenagens com placas laterais carregadas por pressão Foto cortesia da Sauer Sundstrand Company A Fig 1032 é uma fotografia mostrando as partes de uma bomba de engrenagens real ela nos dá uma boa ideia da robustez da carcaça e dos mancais necessários para suportar as grandes forças de pressão desenvolvidas no interior da bomba Ela também mostra placas laterais carregadas por pressão projetadas para flutuar para permitir expansão térmica enquanto mantêm a menor folga lateral possível entre engrenagens e carcaça Muitos projetos engenhosos têm sido desenvolvidos para bombas os detalhes estão além do escopo da nossa abordagem aqui onde a atenção está voltada para as características de desempenho Para mais detalhes consulte Lambeck 27 ou Warring 28 Curvas típicas de desempenho de pressão versus vazão para uma bomba de engrenagens para serviço médio são mostradas na Fig 1033 O tamanho da bomba é especificado pelo seu deslocamento por revolução e o fluido de trabalho é caracterizado por sua viscosidade e temperatura Curvas de testes para três velocidades constantes são apresentadas no diagrama Para cada velocidade a vazão volumétrica diminui ligeiramente à medida que a pressão é aumentada A bomba desloca o mesmo volume mas quando a pressão é aumentada tanto os vazamentos quanto o refluxo aumentam de modo que a vazão diminui levemente O fluido vazado vai parar na carcaça da bomba por isso uma caixa de dreno deve ser providenciada para retornar o líquido vazado ao reservatório do sistema Fig 1033 Características de desempenho de uma bomba de engrenagens típica 27 Fig 1034 Diagrama pressãovazão ilustrando perdas do sistema com carga parcial 27 A eficiência volumétrica mostrada pelas curvas tracejadas é definida como a vazão volumétrica real dividida pelo deslocamento da bomba A eficiência volumétrica diminui com o aumento da pressão ou com a redução da velocidade da bomba A eficiência global mostrada pelas curvas em linha cheia é definida como a potência entregue ao fluido dividido pela potência de alimentação da bomba A eficiência global tende a aumentar e atinge um máximo em uma pressão intermediária com o aumento da velocidade da bomba Até aqui mostramos bombas de deslocamento positivo apenas O custo extra e a complexidade de bombas de deslocamento variável são compensados pela economia de energia que elas geram durante a operação com vazões parciais Em uma bomba de deslocamento variável a vazão pode ser variada para acomodar a carga Sensores de carga podem ser usados para reduzir a pressão de descarga reduzindo assim ainda mais o gasto de energia durante a operação com carga parcial Alguns projetos de bombas permitem alívio de pressão para uma redução adicional na perda de potência durante a operação sem carga operação em standby A Fig 1034 ilustra perdas do sistema com uma bomba de deslocamento fixo comparadas com perdas para bombas de deslocamento variável e de pressão variável Considere que a pressão e a vazão requeridas pela carga em uma operação de vazão parcial correspondam ao ponto L na figura Uma bomba de deslocamento fixo operará ao longo da curva CD sua vazão estará no ponto A Como a carga exige apenas a vazão em L a vazão remanescente entre L e A deve ser levada de volta ao reservatório por meio de um bypass passagem paralela Sua pressão é dissipada por estrangulamento Consequentemente a perda de potência do sistema será a área abaixo da linha LA Uma bomba de deslocamento variável operando a pressão constante fornecerá vazão suficiente apenas para suprir a carga mas a uma pressão representada pelo ponto B A perda de potência no sistema será proporcional à área à esquerda da linha BL O controle da pressão de recalque por meio de um sensor de carga pode ser usado para reduzir perda de potência Com uma bomba de deslocamento variável com sensor de carga a pressão fornecida é apenas ligeiramente superior àquela necessária para mover a carga Uma bomba com sensor de carga operaria na vazão e pressão do ponto B A perda do sistema seria reduzida significativamente para a área à esquerda da linha BL A melhor escolha do sistema depende do ciclo de serviço Detalhes completos desses e de outros sistemas de potência hidráulica são apresentados por Lambeck 27 Exemplo 1011 DESEMPENHO DE UMA BOMBA DE DESLOCAMENTO POSITIVO Uma bomba hidráulica com as características de desempenho da Fig 1033 opera a 2000 rpm em um sistema que requer uma vazão Q 75 Lmin a uma pressão p 10 MPa para a carga em certa condição de operação Verifique o volume de óleo fornecido por revolução por esta bomba Calcule a potência requerida pela bomba a potência entregue à carga e a potência dissipada por estrangulamento nesta condição Compare com a potência dissipada usando i uma bomba de deslocamento variável a 20 MPa e ii uma bomba com sensor de carga que opera a 700 kPa acima do requisito de carga Dados Bomba hidráulica com características de desempenho da Fig 1036 operando a 2000 rpm O sistema requer Q 75 Lmin a p 10 MPa manométrica Determinar a O volume de óleo fornecido por revolução por esta bomba b A potência requerida pela bomba c A potência entregue à carga d A potência dissipada por estrangulamento nessa condição e A potência dissipada usando i uma bomba de deslocamento variável a 20 MPa manométrica e ii uma bomba com sensor de carga que opera a 700 kPa acima do requisito de pressão da carga Solução Para estimar a vazão máxima extrapole a curva de pressão versus vazão para a pressão zero Nesta condição Q 186 Lmin a N 2000 rpm com Δp desprezível Assim A eficiência volumétrica da bomba na vazão máxima é O ponto de operação da bomba pode ser encontrado a partir da Fig 1036 A 10 MPa manométrica ela opera a Q 178 Lmin A potência entregue ao fluido é Do gráfico neste ponto de operação a eficiência da bomba é aproximadamente η 084 Então a potência requerida pela bomba é A potência entregue à carga é A potência dissipada por estrangulamento é A dissipação com a bomba de deslocamento variável é A dissipação com a bomba de deslocamento variável é portanto inferior aos 172 103W dissipados com a bomba de deslocamento constante mais estrangulamento A economia é de aproximadamente 5 103 W O cálculo final é para a bomba com sensor de carga Se a pressão da bomba for 700 kPa acima da requerida pela carga a dissipação do excesso de energia é Este problema contrasta o desempenho de um sistema com uma bomba de deslocamento constante com aquele de um sistema com bombas de deslocamento variável e com sensor de carga A economia específica depende do ponto de operação do sistema e do seu ciclo de trabalho do sistema 105 Turbinas Hidráulicas Teoria de Turbina Hidráulica A teoria para máquinas que realizam trabalho sobre o fluido por exemplo as bombas pode ser usada para a análise de máquinas que extraem trabalho de um fluido Essas máquinas são denominadas turbinas A principal diferença é que os termos denotando torques trabalho e potência serão negativos em vez de positivos O Exemplo 1012 a seguir ilustra a aplicação da equação de Euler para turbomáquina para uma turbina a reação Exemplo 1012 ANÁLISE IDEAL DE UMA TURBINA A REAÇÃO Em uma turbina Francis de eixo vertical a altura disponível na entrada do flange da turbina é 150 m e a distância vertical entre o rotor e o tailrace canal que transporta a água vinda da turbina é 195 m A velocidade periférica do rotor é 345 ms a velocidade da água entrando no rotor é 39 ms e a velocidade da água saindo do rotor é constante e igual a 105 ms A velocidade de escoamento na saída do tubo de sucção é 345 ms As perdas de energia hidráulica estimadas da turbina são iguais a 6 m na voluta 105 m no tubo de sucção e 99 m no rotor Determine a altura de carga em relação ao tailrace na entrada e na saída do rotor o ângulo do escoamento na entrada do rotor e a eficiência da turbina Dados Escoamento através de uma turbina Francis de eixo vertical Altura na entrada 150 m Distância vertical entre o rotor e o tailrace 195 m Velocidade periférica do rotor 34 5 ms Velocidade na saída do rotor 39 ms Velocidade de escoamento na saída do tubo de sucção 105 ms Perdas 6 m na voluta 105 m no tubo de sucção 99 m no rotor Determinar a Altura de carga na entrada e na saída do rotor b Ângulo do escoamento na entrada do rotor c Eficiência da turbina Solução Aplique as equações da energia e de Euler para turbomáquina para volume de controle Equações básicas Considerações 1 Escoamento permanente 2 Escoamento uniforme em cada seção 3 Escoamento turbulento α 1 4 Reservatório e tailrace estão na pressão atmosférica 5 Reservatório está na condição de estagnação 1 0 a Se aplicarmos a equação da energia entre a saída do rotor e o tailrace indicação de sinal negativo de sucção A seguir aplicarmos a equação da energia entre a entrada do rotor e o tailrace b Aplicando a equação da energia para todo o sistema obtemos o trabalho extraído através da turbina Simplificando a expressão com base nas considerações e resolvendo a equação para obter a altura de carga extraída da turbina obtemos Como o nível 1 está mais elevado que o nível 4 tomaremos o valor negativo de Ha Denominando a altura extraída da turbina de HT obtemos Aplicando a equação de Euler para turbomáquina para este sistema Resolvendo para a velocidade tangencial no nível 2 Configurando o triângulo de velocidades c Para calcular a eficiência Este problema demonstra a análise de uma turbina hidráulica com perda de carga e quantifica tais efeitos em termos de uma eficiência da turbina Além disso como a altura de carga na saída da turbina está abaixo da pressão atmosférica cuidado deve ser tomado para assegurar que não ocorra cavitação As tendências previstas pela teoria do momento angular idealizado especialmente pela Eq 1018b e pela Fig 1012 são comparadas com resultados experimentais na próxima seção Características de Desempenho para Turbinas Hidráulicas O procedimento de teste para turbinas é similar ao de bombas exceto que um dinamômetro é usado para absorver a potência produzida pela turbina enquanto a velocidade e o torque são medidos Turbinas são construídas geralmente para operar a uma velocidade constante que é uma fração ou um múltiplo da frequência da potência elétrica a ser produzida Dessa forma os testes de turbinas são conduzidos à velocidade constante sob carga variável enquanto simultaneamente o consumo de água é medido e a eficiência é calculada A turbina de impulsão é uma turbomáquina relativamente simples e por isso vamos usála para ilustrar resultados típicos de testes As turbinas de impulsão são escolhidas quando a altura de carga disponível excede cerca de 300 m A maioria das turbinas de impulsão usadas hoje é uma versão melhorada da roda Pelton desenvolvida na década de 1880 pelo engenheiro americano de minas Lester Pelton 29 Uma turbina de impulsão é suprida com água com altura de carga elevada por meio de um longo duto chamado tubo de adução ou adutor A água é acelerada através de um bocal e descarregada como um jato livre de alta velocidade à pressão atmosférica O jato chocase contra pás em forma de concha montadas na periferia de uma roda giratória Fig 105a A energia cinética do jato é transferida enquanto ele é defletido pelas pás A potência gerada pela turbina é controlada para velocidade do jato essencialmente constante pela variação da vazão da água atingindo as pás Um bocal de área variável pode ser usado para fazer mudanças pequenas e graduais na potência produzida Mudanças mais rápidas ou maiores devem ser obtidas por meio de defletores de jato ou bocais auxiliares para evitar variações súbitas na velocidade do escoamento e as altas pressões resultantes na longa coluna de água no tubo adutor A água descarregada da roda a uma velocidade relativamente baixa cai dentro do coletor O nível do coletor é ajustado de modo a evitar o alagamento da roda durante épocas de enchente Quando grande quantidade de água está disponível uma potência adicional pode ser obtida pela conexão de duas rodas a um único eixo ou fazendose um arranjo para que dois ou mais jatos batam em uma única roda A Fig 1035 ilustra a instalação de uma turbina de impulsão e as definições das alturas de cargas bruta e líquida 11 A altura de carga bruta disponível é a diferença entre os níveis do reservatório de alimentação e do coletor A altura de carga efetiva ou líquida H usada para calcular eficiência é a altura de carga total na entrada do bocal medida na elevação da linha de centro do bocal 11 Portanto nem toda a carga líquida é convertida em trabalho na turbina uma parte é perdida por ineficiência da turbina outra parte é perdida no bocal e ainda outra é perdida como energia cinética residual na saída do escoamento Na prática o tubo de adução é geralmente dimensionado de modo que a altura de carga líquida na potência nominal seja 85 a 95 da altura de carga bruta Além de perdas no bocal atritos na roda e nos mancais e atrito superficial entre o jato e a pá reduzem o desempenho em comparação com o caso ideal sem atrito A Fig 1036 mostra resultados típicos de testes realizados com altura de carga constante Fig 1035 Esquema de instalação de uma turbina de impulsão mostrando as definições de alturas de cargas bruta e líquida 11 Fig 1036 Desempenhos ideal e real para uma turbina de impulsão de velocidade variável 6 O pico de eficiência da turbina de impulsão corresponde ao pico de potência desde que os testes sejam conduzidos com altura de carga e vazão constantes Para a turbina ideal conforme mostrado no Exemplo 1013 isso ocorre quando a velocidade do rotor é metade da velocidade do jato Como veremos nesta velocidade do rotor o fluido sai da turbina na mais baixa velocidade absoluta possível minimizando portanto a perda de energia cinética de saída Conforme indicado na Eq 102a se a velocidade na saída 2 é minimizada o trabalho na turbina m é maximizado Em instalações reais o pico de eficiência ocorre para uma velocidade da roda apenas ligeiramente menor que metade da velocidade do jato Esta condição fixa a velocidade do rotor uma vez determinada a velocidade do jato para uma dada instalação Para grandes unidades a eficiência global pode atingir 88 30 Exemplo 1013 VELOCIDADE ÓTIMA DE TURBINA DE IMPULSÃO Uma roda Pelton é uma forma de turbina de impulsão bem adaptada para situações de altura de carga elevada e baixa vazão Considere o arranjo de roda Pelton e jato único mostrado no qual o jato atinge a pá curva tangencialmente e é defletido de um ângulo θ Obtenha uma expressão para o torque exercido pela corrente de água sobre a roda e a correspondente potência produzida Mostre que a potência é máxima quando a velocidade da pá U Rω é metade da velocidade do jato V Dados Roda Pelton e jato único mostrados Determinar a Expressão para o torque exercido sobre a roda b Expressão para a potência produzida c Razão entre a velocidade da roda U e a velocidade do jato V para potência máxima Solução Como uma ilustração de seu uso começamos com a equação da quantidade de movimento angular Eq 452 no site da LTC Editora para um volume de controle rotativo em vez da forma de VC inercial Eq 446 que usamos na dedução da equação de Euler para turbomáquinas na Seção 102 Equação básica Considerações 1 Desprezar torque devido às forças de superfície 2 Desprezar torque devido às forças de campo 3 Desprezar massa de água sobre a roda 4 Escoamento permanente com relação à roda 5 Toda a água que sai do bocal atua sobre as pás 6 A altura da concha é pequena comparada com R portanto r1 r2 R 7 Escoamento uniforme em cada seção 8 Não há variação da velocidade do jato em relação à pá Assim como toda a água do jato cruza as pás de modo que finalmente Este é o torque externo do eixo sobre o volume de controle isto é sobre a roda O torque exercido pela água sobre a roda é igual e oposto A potência produzida correspondente é Para determinar a condição de potência máxima derive a expressão da potência com respeito à velocidade da roda U e iguale o resultado a zero Desse modo Assim para potência máxima Nota A deflexão do escoamento de θ 180 resultaria em potência máxima com U V2 Sob essas condições a velocidade absoluta teórica do fluido na saída calculada na direção de U seria U V U V2 V V2 0 de modo que não existiria perda de energia cinética na saída maximizando a potência produzida Na prática é possível defletir o jato de ângulos de até 165 Com θ 165 1 cosθ 197 ou cerca de 15 abaixo do valor para potência máxima Este problema ilustra o uso da equação da quantidade de movimento angular aplicada a um volume de controle girando Eq 452 para analisar o escoamento através de uma turbina de impulsão ideal O pico de potência ocorre quando a velocidade da roda é metade da velocidade do jato o que é um critério de projeto útil na seleção de uma turbina para uma dada altura de carga disponível Este problema também pode ser analisado partindo de um volume de controle inercial isto é usando a equação de Euler das turbomáquinas Problema 1017 Na prática as turbinas hidráulicas são em geral operadas à velocidade constante e a potência produzida é variada alterando a área de abertura da válvula de agulha do bocal de jato A perda no bocal aumenta ligeiramente e as perdas mecânicas tornamse uma fração maior da potência produzida à medida que a válvula é fechada de modo que a eficiência cai abruptamente em carga baixa conforme mostrado na Fig 1037 Para esta roda Pelton entre 40 e 113 da carga total a eficiência permanece acima de 85 Fig 1037 Relação entre eficiência e potência produzida para uma turbina de água Pelton típica adaptado de 30 Para alturas de carga menores as turbinas de reação apresentam melhor eficiência do que as turbinas de impulsão Em contraste com o escoamento em uma bomba centrífuga o escoamento em uma turbina de reação entra no rotor na seção radial maior mais externa e descarrega na seção radial menor mais interna após transferir a maior parte da sua energia ao rotor As turbinas de reação tendem a ser máquinas de alta vazão e baixa altura de carga Uma instalação típica de turbina de reação é mostrada esquematicamente na Fig 1038 onde a terminologia empregada para definir as alturas de carga está indicada As turbinas de reação trabalham cheias de água Consequentemente é possível usar um difusor ou um tubo de extração para recuperar uma fração da energia cinética que permanece na água que sai do rotor O tubo de extração é parte integrante do projeto de instalação Conforme mostrado na Fig 1038 a altura de carga bruta disponível é a diferença entre a altura de carga do reservatório de alimentação e a altura de carga do coletor A altura de carga efetiva ou líquida H usada para calcular eficiência é a diferença entre a elevação da linha de energia imediatamente a montante da turbina e aquela do tubo de extração de descarga seção C O benefício do tubo de extração é claro a carga líquida disponível para a turbina é igual à carga bruta menos as perdas na tubulação de alimentação e a perda de energia cinética na saída da turbina sem o tubo de extração a velocidade na saída e a energia cinética seriam relativamente grandes Porém com o tubo de extração elas são pequenas resultando em um aumento na eficiência da turbina Visto de outro modo o difusor do tubo de extração através do efeito de Bernoulli reduz a pressão na descarga da turbina resultando em uma maior queda de pressão através da turbina e portanto aumentando a produção de potência Vimos um efeito de Bernoulli similar usado pelos antigos romanos no Exemplo 810 Fig 1038 Esquema de instalação típica de turbina de reação mostrando definições de terminologia de altura de carga 11 Fig 1039 Desempenho de turbina de reação típica como previsto por testes de modelos eficiências esperadas e confirmado por teste de campo 6 Um eficiente rotor de turbina de fluxo misto foi desenvolvido por James B Francis usando uma série de cuidadosos experimentos em Lowell Massachusetts na década de 1840 29 Uma eficiente turbina de hélice de fluxo axial com pás ajustáveis foi desenvolvida pelo Professor Alemão Victor Kaplan entre 1910 e 1924 A turbina Francis Fig 105b é usualmente escolhida quando 15 m H 300 m e a turbina Kaplan Fig 105c é geralmente escolhida para cargas de 15 m ou menos O desempenho de turbinas de reação pode ser medido da mesma maneira que o desempenho de turbinas de impulsão Contudo como as cargas brutas são menores qualquer variação no nível da água durante a operação é mais significativa Por isso as medições devem ser feitas para uma série de alturas de carga a fim de definir completamente o desempenho de uma turbina de reação Um exemplo da apresentação de dados para uma turbina de reação é dado na Fig 1039 onde a eficiência é mostrada para diversos valores de potência produzida para uma série de cargas constantes 6 A turbina de reação tem eficiência máxima superior àquela da turbina de impulsão mas a eficiência da turbina de reação varia mais bruscamente com a carga Estol do inglês stall é um termo usado em aerodinâmica e aviação para indicar a separação da camadalimite no dorso de uma asa gerando perda total da força de sustentação NT 1 Posto que m tem dimensões de energia por unidade de tempo e g é a vazão em peso por unidade de tempo a carga H é na realidade a energia adicionada por unidade de peso do fluido em escoamento 2 A notação varia de livro para livro portanto seja cuidadoso quando comparar referências Os índices de equações referentes às unidades costumeiras empregadas nos Estados Unidos serão denotados neste texto pelo símbolo US NT 3A única característica importante não mostrada na Fig 75 é a altura de sucção positiva líquida NPSH Net Positive Suction Head requerida para prevenir cavitação Cavitação e NPSH serão abordadas posteriormente nesta seção 4 Esta perda é maior para vazão alta e para vazão baixa ela cai essencialmente a zero quando as condições de operação aproximam se das condições ótimas 11 5 O NPSH pode ser expresso em qualquer unidade de medida conveniente como altura do líquido em escoamento por exemplo metro de coluna de água daí o termo altura de sucção psia ou kPa abs Quando expresso como altura o NPSH é medido em relação à linha de centro do rotor 6 Enquanto uma representação gráfica é útil para a visualização e entendimento das curvas de ajuste sistemabomba os métodos analíticos ou numéricos são mais precisos para determinar o ponto de operação o aplicativo Excel é muito útil para isso A unidade de vazão cfm iniciais de cubic feet per minute ainda é de uso comum na engenharia NT Damper é uma chapa interna móvel com dimensão ligeiramente inferior àquela da seção transversal do duto NT Dimensionamento de Turbinas Hidráulicas para Sistemas Fluidos A queda de água tem sido considerada como uma fonte de energia grátis renovável Na realidade a potência produzida por turbinas hidráulicas não é gratuita os custos operacionais são baixos mas um investimento de capital considerável é necessário para preparar o local e instalar o equipamento No mínimo serviços de captação de água tubo de adução turbinas casa de máquinas e controles devem ser providenciados Uma análise econômica é necessária para determinar a viabilidade de possíveis locais de instalação Adicionalmente aos fatores econômicos as plantas hidrelétricas de potência devem também ser avaliadas pelo seu impacto no meio ambiente nos últimos anos temse descoberto que essas plantas não são completamente benignas e podem ser danosas por exemplo aos deslocamentos dos salmões Nos idos da revolução industrial as rodas de água eram usadas para acionar moinhos de grãos e máquinas têxteis Essas usinas tinham que ser instaladas nas proximidades da queda de água o que limitava o uso da potência da água a empresas locais e relativamente pequenas A introdução da corrente alternada na década de 1880 tornou possível a transmissão de energia elétrica por longas distâncias Desde então cerca de 40 dos recursos de potência hidrelétrica nos Estados Unidos têm sido desenvolvidos e conectados à rede de distribuição 31 A potência hidrelétrica compõe cerca de 16 da energia elétrica produzida naquele país Os Estados Unidos têm reservas abundantes e relativamente baratas de combustíveis fósseis Por isso os recursos hidrelétricos remanescentes nos Estados Unidos não são considerados econômicos atualmente quando comparados com usinas termelétricas a combustível fóssil No mundo inteiro somente cerca de 30 dos recursos hidrelétricos têm sido desenvolvidos comercialmente 32 Uma quantidade bem maior de potência hidrelétrica será provavelmente desenvolvida nas décadas vindouras à medida que os países tornaremse mais industrializados Muitos países em desenvolvimento não têm reservas próprias de combustível fóssil A potência hidrelétrica pode ajudar muito esses países a encontrar caminhos próprios para o progresso industrial Consequentemente o projeto e a instalação de usinas hidrelétricas devem ser atividades futuras importantes em países em desenvolvimento Para avaliar um local propício para geração de potência hidrelétrica devese conhecer a vazão média do curso de água e a altura de carga bruta disponível para fazer uma estimativa preliminar do tipo de turbina números de turbinas e potencial de produção de potência Análises econômicas estão além do escopo deste livro mas consideramos os fundamentos de engenharia dos fluidos aplicados ao desempenho de turbina de impulsão para otimizar a eficiência Turbinas hidráulicas convertem a energia potencial da água armazenada em trabalho mecânico A fim de maximizar a eficiência da máquina é sempre um objetivo de projeto descarregar a água de uma turbina à pressão ambiente tão próximo da elevação da corrente de água a jusante quanto possível e com o mínimo possível de energia cinética residual Conduzir o fluxo de água para dentro da turbina com perda mínima de energia também é importante Inúmeros detalhes de projeto devem ser considerados tais como geometria de entrada peneiras para detritos etc 31 As referências 1 6 10 31 e 3338 oferecem informações sobre seleção projeto hidráulico e instalação de turbinas e otimização de usinas hidrelétricas O número de grandes fabricantes tem se limitado a uns poucos mas as unidades de pequeno porte têm se tornado numerosas 35 O enorme custo de uma instalação hidrelétrica de escala comercial justifica o uso intensivo de testes com modelos em escala reduzida para o detalhamento final do projeto Consulte 31 para uma abordagem detalhada da geração de energia por potência hidráulica As perdas hidráulicas em longos tubos de suprimento conhecidos como tubos de adução ou adutores devem ser consideradas quando do projeto de instalação de máquinas de elevada altura de carga como as turbinas de impulsão um diâmetro ótimo para o tubo de admissão que maximize a potência produzida pela turbina pode ser determinado para essas unidades conforme mostrado no Exemplo 1014 A potência produzida pela turbina é proporcional à vazão em volume multiplicada pela diferença de pressão através do bocal Para vazão nula a carga hidrostática total está disponível mas a potência produzida é zero À medida que a vazão aumenta a carga líquida na entrada do bocal da turbina diminui Primeiro a potência aumenta atinge um máximo e em seguida decresce novamente com o aumento subsequente da vazão Conforme veremos no Exemplo 1014 para um dado diâmetro do tubo de adução a potência teórica máxima é obtida quando um terço da altura de carga bruta é dissipada por perdas de atrito nesse tubo Na prática o diâmetro do tubo de adução é escolhido maior do que o mínimo teórico e apenas 10 a 15 da altura de carga bruta é dissipada por atrito 11 Fig 1040 Potência máxima produzida por uma turbina de impulsão versus diâmetro do tubo de adução Certo diâmetro mínimo do tubo de adução é exigido para produzir uma dada potência O diâmetro mínimo depende da produção de potência desejada da altura de carga disponível e do material e comprimento do adutor Alguns valores representativos são apresentados na Fig 1040 Exemplo 1014 DESEMPENHO E OTIMIZAÇÃO DE UMA TURBINA DE IMPULSÃO Considere a instalação hipotética de uma turbina de impulsão mostrada Analise o escoamento no adutor e desenvolva uma expressão para a potência ótima produzida pela turbina como função do diâmetro do jato Dj Obtenha uma expressão para a razão entre o diâmetro do jato Dj e o diâmetro do tubo de adução D para a qual a potência de saída é maximizada Sob condições de máxima potência produzida mostre que a perda de carga no tubo de adução é um terço da altura de carga disponível Desenvolva uma equação paramétrica para o diâmetro mínimo do adutor necessário para produzir uma potência especificada usando a altura de carga bruta e o comprimento do adutor como parâmetros Dados Instalação de turbina de impulsão mostrada Determinar a Uma expressão para a potência produzida pela turbina como uma função do diâmetro do jato b Uma expressão para a razão entre o diâmetro do jato Dj e o diâmetro do tubo de adução D na qual a potência de saída é maximizada c A razão entre a perda de carga no tubo de adução e a altura disponível para as condições de máxima potência d Uma equação paramétrica para o diâmetro mínimo do tubo de adução necessário para produzir uma potência especificada usando a altura de carga bruta e o comprimento do tubo como parâmetros Solução De acordo com os resultados do Exemplo 1013 a potência produzida por uma turbina de impulsão idealizada é dada por Ρsaída ρQUV U 1 θ8211 cos θ Para potência ótima de saída U V2 Vj2 e Desse modo a potência produzida é proporcional a AjVj3 Aplique a equação de energia para escoamento em tubos permanente e incompressível através do adutor a fim de analisar Vj 2 na saída do bocal A superfície livre do reservatório é designada como seção ali 1 0 Equação básica Considerações 1 Escoamento permanente 2 Escoamento incompressível 3 Escoamento completamente desenvolvido 4 Pressão atmosférica na saída do jato 5 αj 1 de modo que j Vj 6 Escoamento uniforme no tubo de adução de modo que p V 7 8 Kbocal 1 Então Portanto a altura de carga disponível é parcialmente consumida pelo atrito no tudo de adução e o restante está disponível como energia cinética no jato de saída em outras palavras a energia cinética do jato é reduzida pela perda no tubo de adução Entretanto essa perda é uma função da velocidade do jato conforme podemos ver da continuidade Resolvendo para Vj obtemos A potência da turbina pode ser escrita como em que C1 ρπ2gH321 cos θ16 constante Para encontrar a condição de máxima potência produzida para um diâmetro fixo do tubo de adução D derivamos em relação a Dj e igualamos a zero Portanto Resolvendo para DjD obtemos Para o valor ótimo de DjD a velocidade do jato é dada pela Eq 2 como A perda de carga na potência máxima é então obtida da Eq 1 depois de rearranjos e Sob condições de potência máxima Finalmente para obter o mínimo diâmetro do tubo de adução a equação pode ser escrita na forma Este problema ilustra a otimização de uma turbina de impulsão idealizada A análise determina a bitola mínima do adutor necessária para obter uma potência de saída especificada Na prática diâmetros maiores do que o calculado são usados reduzindo a perda de carga por atrito abaixo daquela determinada aqui 106 Hélices e Máquinas Eólicas Como mencionado na Seção 101 hélices e máquinas eólicas tais como moinhos de vento e turbinas eólicas podem ser considerados máquinas sem carcaça 6 Apesar de sua longa história hélices foram usadas em embarcações marítimas desde 1776 e máquinas de vento descobertas na Pérsia datam de tempos entre os séculos VI e XX CE 39 tais dispositivos têm comprovado serem eficientes para propulsão e geração de energia Hélices Como em outros dispositivos de propulsão uma hélice produz empuxo por transmitir quantidade de movimento linear ao fluido A produção de empuxo sempre deixa a corrente de ar com alguma mesma energia cinética e quantidade de movimento angular que não são recuperáveis de modo que o processo nunca é 100 eficiente Fig 1041 Modelo de escoamento unidimensional e volume de controle utilizado para analisar uma hélice idealizada 6 O modelo de escoamento adimensional mostrado esquematicamente na Fig 1041 foi desenhado conforme visto por um observador movendose com a hélice de modo que o escoamento é permanente A hélice real é substituída conceitualmente por um disco atuador ou disco de hélice delgado através do qual a velocidade do escoamento é contínua porém a pressão sobe abruptamente Em relação à hélice o escoamento a montante está com velocidade V e na pressão ambiente A velocidade axial no disco de hélice é V ΔV2 com uma correspondente redução na pressão A jusante a velocidade é V ΔV e a pressão retorna ao valor da pressão ambiente O Exemplo 1015 mostra que metade do aumento de velocidade ocorre antes e metade após o disco atuador A contração de área da corrente fluida para satisfazer à continuidade e o aumento de pressão através do disco de hélice aparecem na figura A figura não mostra as velocidades de redemoinho que resultam do torque requerido para girar a hélice A energia cinética do redemoinho presente na corrente fluida também é perdida a menos que seja removida por uma hélice de rotação contrária ou parcialmente recuperada por pásguias estacionárias Como para todas as turbomáquinas as hélices podem ser analisadas de duas maneiras A aplicação da quantidade de movimento linear na direção axial usando um volume de controle finito proporciona relações globais entre a velocidade da corrente fluida o empuxo a potência útil produzida e a energia cinética residual mínima na corrente Uma teoria de elemento de pá mais detalhada é necessária para calcular a interação entre uma pá da hélice e a corrente fluida Uma relação geral para a eficiência de propulsão ideal pode ser deduzida usando o enfoque de volume de controle como mostrado a seguir no Exemplo 1015 Exemplo 1015 ANÁLISE DE VOLUME DE CONTROLE DO ESCOAMENTO IDEALIZADO ATRAVÉS DE UMA HÉLICE Considere o modelo unidimensional mostrado na Fig 1041 para o escoamento idealizado através de uma hélice A hélice avança no ar calmo com velocidade constante V1 Obtenha expressões para a pressão imediatamente a montante e a pressão imediatamente a jusante do disco atuador Escreva o empuxo na hélice como o produto desta diferença de pressão vezes a área do disco Iguale esta expressão para o empuxo a uma obtida pela aplicação da equação da quantidade de movimento linear ao volume de controle Mostre que metade do aumento de velocidade ocorre à frente e metade atrás do disco de hélice Dados Uma hélice avançando com velocidade V1 no ar calmo conforme mostrado na Fig 1041 Determinar a Expressões para as pressões imediatamente a montante e imediatamente a jusante do disco de hélice b Expressão para a velocidade do ar no disco de hélice Em seguida mostre que metade do aumento de velocidade ocorre à frente e metade atrás do disco atuador Solução Aplique a equação de Bernoulli e a componente x da quantidade de movimento linear usando o VC mostrado Equações básicas Considerações 1 Escoamento permanente em relação ao VC 2 Escoamento incompressível 3 Escoamento ao longo de uma linha de corrente 4 Escoamento sem atrito 5 Escoamento horizontal despreze variações em z FBx 0 6 Escoamento uniforme em cada seção 7 patm envolve o VC Aplicando a equação de Bernoulli da seção à seção obtemos Aplicando a equação de Bernoulli da seção à seção obtemos O empuxo na hélice é dado por Da equação da quantidade de movimento usando velocidades relativas Rx FT u1 u4 ρVAV4 V1 u1 V1 u4 V4 FT ρVAV4 V1 Equacionando estas duas expressões para FT Portanto assim O propósito deste problema é aplicar as equações da continuidade da quantidade de movimento e de Bernoulli a um modelo de escoamento idealizado de uma hélice e verificar a teoria de Rankine de 1885 segundo a qual metade da variação da velocidade ocorre de cada lado do disco de hélice As formulações para volume de controle das equações de continuidade e de quantidade de movimento foram aplicadas no Fig 1041 Os resultados obtidos são discutidos mais amplamente a seguir O empuxo produzido é Para escoamento incompressível na ausência de atrito e de transferência de calor a equação da energia indica que a potência mínima requerida pela hélice é aquela necessária para aumentar a energia cinética do escoamento que pode ser expressa como A potência útil produzida é o produto do empuxo pela velocidade de avanço V da hélice Usando a Eq 1032 isso pode ser escrito como Combinando as Eqs 1033 e 1034 e simplificando obtemos a eficiência de propulsão como As Eqs 10321035 aplicamse a qualquer dispositivo que cria empuxo aumentando a velocidade de uma corrente fluida Portanto elas aplicamse igualmente bem a aviões barcos e navios de propulsão a hélice ou de propulsão a jato A Eq 1035 para eficiência de propulsão é de fundamental importância Ela indica que a eficiência de propulsão pode ser aumentada reduzindo ΔV ou aumentando V Para empuxo constante conforme mostrado pela Eq 1032 ΔV pode ser reduzido se for aumentado ou seja se mais fluido for acelerado com um menor aumento de velocidade Uma vazão mássica maior pode ser trabalhada se o diâmetro da hélice for aumentado mas o tamanho total e a velocidade periférica são fatores limitadores deste procedimento O mesmo princípio é aplicado para aumentar a eficiência de propulsão do motor de um turboventilador quando se usa um grande ventilador para movimentar uma massa adicional de ar fora do núcleo do motor A eficiência de propulsão também pode ser melhorada aumentando a velocidade do movimento relativo ao fluido A velocidade de avanço pode ser limitada pela cavitação em aplicações marítimas A velocidade de voo é limitada para aviões a hélice por efeitos de compressibilidade nas extremidades das hélices mas progressos têm sido feitos no projeto de hélices para mantêlas com elevada eficiência e com baixo nível de ruído enquanto operam com escoamento transônico na periferia das pás Os aviões a jato podem voar muito mais rápidos do que os aviões movidos a hélice o que lhes confere eficiência de propulsão superior A análise fornecida não revela o comprimento da escala sobre a qual a velocidade axial varia Uma análise desse tipo é fornecida na referência 40 a variação axial na velocidade pode ser expressa como Na Eq 1036 Vclx é a velocidade na linha de centro na localização x a montante do disco enquanto V é a velocidade a montante Esta relação está apresentada graficamente na Fig 1042 O gráfico mostra que o efeito da hélice é apenas sentido a distâncias dentro de dois raios do disco do atuador Uma teoria mais detalhada de elemento de pá pode ser usada para calcular a interação entre uma pá de hélice e a corrente fluida e portanto para determinar o efeito do arrasto aerodinâmico da pá sobre a eficiência da hélice Se o espaçamento entre pás for grande e o carregamento de disco9 for leve as pás podem ser consideradas independentes e relações podem ser deduzidas para o torque requerido e o empuxo produzido por uma hélice Estas relações aproximadas são mais exatas para hélices de baixa solidez10 As hélices de aviões são tipicamente de muito baixa solidez tendo pás longas e delgadas Fig 1042 Gráfico da velocidade versus distância para escoamento do ar próximo a uma hélice Fig 1043 Diagrama esquemático de um elemento e vetor da velocidade relativa do escoamento Um diagrama esquemático de um elemento de uma pá de hélice rotativa é mostrado na Fig1043 A pá está posicionada em um ângulo θ em relação ao plano do disco de hélice e ela tem uma espessura dr para dentro do plano da figura O escoamento é mostrado conforme seria visto por um observador sobre a pá da hélice Forças de sustentação e de arrasto são exercidas na pá perpendicularmente e paralelamente ao vetor velocidade relativa Vr respectivamente Chamamos o ângulo que Vr forma com o plano do disco da hélice de ângulo de passo efetivo ϕ Portanto as forças de sustentação e de arrasto são inclinadas de um ângulo em relação ao eixo de rotação da hélice e ao plano do disco da hélice respectivamente A velocidade relativa do escoamento Vr passando sobre o elemento de pá depende da velocidade periférica da pá rω e da velocidade de avanço V Consequentemente para um dado posicionamento de pá o ângulo de ataque α depende de ambos V e rω Desse modo o desempenho de uma hélice é influenciado tanto por ω quanto por V Se tomarmos o diagrama de corpo livre do elemento do aerofólio de comprimento dr na Fig 1043 veremos que o módulo da força resultante dFrparalela ao vetor velocidade é Nessa equação qré a pressão dinâmica baseada na velocidade relativa Vr c é o comprimento da corda local e CL e CD são os coeficientes de sustentação e de arrasto respectivamente para o aerofólio Em geral devido à torção e à conicidade nas pás da hélice e à variação radial da velocidade na periferia da hélice CL CD Vr c ϕ e qr serão todos funções da coordenada radial r Podemos também generalizar para o torque que deve ser aplicado à hélice Essas duas expressões podem ser integradas para encontrar o empuxo total de propulsão e o torque considerando N pás independentes montadas no rotor Nessas equações qr é substituído por qsen2 ϕ baseado na relação entre V e Vr Usaremos as equações acima para analisar características de partida de uma hélice no Exemplo 1016 Exemplo 1016 EMPUXO DE TORQUE NA PARTIDA DA HÉLICE Use a teoria de elemento de pá para estimar o empuxo e o torque de partida para uma hélice constituída de N pás independentes com comprimento de corda c e para um ângulo constante θ com relação ao plano do disco atuador Dados Hélice com N pás independentes O comprimento da corda c é constante O ângulo θ relativo ao disco atuador é constante Determinar Expressões para o empuxo e para o torque de partida Solução Aplicar as equações apresentadas anteriormente para a hélice Equações básicas Considerações Velocidade local do vento V é desprezível Velocidade angular ω é constante Se desprezarmos a velocidade local do vento V veremos que as integrais nas Eqs 1038 serão indeterminadas desde que q 0 e θ 0 Portanto usaremos as expressões diferenciais do empuxo e do torque dadas nas Eqs 1037 e integrálas Na partida a velocidade relativa Vr é simplesmente igual à velocidade r ω do elemento da pá local Portanto a pressão dinâmica relativa qré igual a Quando θ 0 as expressões do empuxo e do torque diferenciais se tornam Podemos integrar o empuxo e o torque sobre todo o disco atuador Quando coletamos os termos e simplificamos encontramos as seguintes expressões Este problema apresenta a análise de uma hélice usando a teoria de elementos de pás As expressões aqui deduzidas parecem relativamente simples mas é importante notar que os coeficientes de sustentação e de arrasto CL e CD são funções da seção do aerofólio bem como do ângulo local de ataque α que para V 0 é igual ao ângulo de inclinação da pá θ Além disso também deve ser notado que os coeficientes de sustentação e de arrasto quando apresentados como nas Figs 917 ou 919 eles são tipicamente dados para números de Reynolds alto para os quais o escoamento é turbulento e as forças de sustentação e arrasto são insensíveis às mudanças de velocidade Cuidados devem ser tomados para assegurar que os coeficientes de sustentação e de arrasto usados neste problema correspondam ao número de Reynolds da partida Embora estas expressões possam ser relativamente simples de deduzir elas são difíceis de serem avaliadas Mesmo que a geometria da hélice seja ajustada para dar passo geométrico constante11 o campo de escoamento no qual ela opera pode ser não uniforme Por isso o ângulo de ataque ao longo dos elementos de pá pode diferir do ideal e só pode ser calculado com o auxílio de um código computacional abrangente capaz de prever as direções e velocidades locais do escoamento O resultado é que as Eqs 1038 não são normalmente usadas e as características de desempenho da hélice são usualmente medidas experimentalmente Fig 1044 Medidas de características típicas de duas hélices A Fig 1044 mostra medidas de características típicas de desempenho de uma hélice marítima 6 e para uma hélice de avião 41 As variáveis usadas para traçar o gráfico das características são quase adimensionais por convenção a velocidade de rotação n é expressa em revoluções por segundo em vez de radianos por segundo como em ω A variável independente é o coeficiente de velocidade de avanço J As variáveis dependentes são o coeficiente de empuxo CF o coeficiente de torque CT o coeficiente de potência CPe a eficiência da hélice η definidos como As curvas de desempenho para ambas as hélices marítima e de avião mostram tendências semelhantes Ambos os coeficientes de empuxo e de torque são mais altos e a eficiência é zero para velocidade de avanço igual a zero Isso corresponde ao maior ângulo de ataque para cada elemento de pá α αmáx θ A eficiência é zero pois nenhum trabalho útil está sendo realizado pela hélice estacionária À medida que a velocidade de avanço aumenta o empuxo e o torque diminuem suavemente A eficiência aumenta até um máximo para uma velocidade de avanço ótima e depois cai a zero quando o empuxo tende para zero Por exemplo se a seção do elemento de pá é simétrica isso iria ocorrer teoricamente quando tan θ V rω Fig 1045 Eficiência de uma hélice de passo variável sujeita a várias incidências globais θ para uma distância radial fixada A fim de aumentar o desempenho algumas hélices são projetadas com passo variável O desempenho de uma hélice de passo variável está mostrado na Fig 1045 Essa figura mostra curvas de eficiências curvas em traço contínuo para uma série de hélices para diferentes ângulos de passo Como vimos na Fig 1044 a hélice exibe um η máximo para certo valor de J Contudo o valor de J para η máximo varia com η Incluindo todas as eficiências máximas o resultado é a curva tracejada na Fig 1045 Portanto variando θ podemos atingir o maior eficiência dentro de uma ampla faixa de J do que com uma hélice de passo fixo Tal projeto contudo acarreta custos decorrentes da implantação dos sistemas de atuadores e controle necessários para gerar um passo variável Assim o emprego ou não dessa concepção de projeto depende dos custos relativos e dos benefícios obtidos para a aplicação pretendida Exemplo 1017 DIMENSIONANDO UMA HÉLICE MARÍTIMA Considere o superpetroleiro do Fig 1044a para estimar o diâmetro e a velocidade de operação requeridos para impulsionar o navio com uma única hélice Dados Superpetroleiro do Fig 1040a Determinar a Uma estimativa do diâmetro de uma hélice única requerida para impulsionar o navio b A velocidade de operação desta hélice Solução Das curvas da Fig 1044a no ponto de eficiência ótima da hélice os coeficientes são J 085 CF 010 CT 0020 e η 066 O navio navega a V 669 ms e requer 114 MW de potência útil Portanto o empuxo da hélice deve ser A potência requerida pela hélice é De J 085 vem Como resolvendo para D resulta De nD 787ms n 787 0480 revs de modo que A hélice requerida é muito grande porém ainda menor do que os 25 m de calado porção máxima do casco que pode ser mantida submersa do navio Seria necessário embarcar água do mar como lastro no navio para manter a hélice submersa quando o navio não estivesse com carga plena de petróleo Este problema ilustra o uso de dados de coeficiente normalizado para o dimensionamento preliminar de uma hélice marítima Esse processo de projeto preliminar seria repetido usando dados para outros tipos de hélices para determinar a combinação ótima de tamanho velocidade e eficiência da hélice As hélices marítimas tendem a ter elevada solidez Isso significa superfície de sustentação suficiente dentro da área de varredura do disco para manter pequena a diferença de pressão através da hélice e evitar cavitação A cavitação tende a descarregar as pás de uma hélice marítima reduzindo tanto o torque requerido quanto o empuxo produzido 6 A cavitação tornase mais provável ao longo das pás quando o índice número de cavitação é reduzido A inspeção da Eq 1041 mostra que Ca decresce quando p é reduzida por operação próxima da superfície livre ou por aumento de V Aqueles que já operaram barcos a motor sabem que a cavitação local pode ser causada por escoamento distorcido aproximandose da hélice como por exemplo em uma virada brusca A compressibilidade afeta hélices de aviões quando as velocidades periféricas aproximamse do número crítico de Mach para o qual o número de Mach local aproximase de M 1 em algum ponto da pá Sob estas condições o torque aumenta devido ao aumento no arrasto o empuxo cai devido à redução na sustentação da seção e assim a eficiência cai drasticamente Se uma hélice opera dentro da camadalimite de um corpo impulsionado onde o escoamento relativo é desacelerado seu torque e seu empuxo aparentes podem aumentar comparados com aqueles em uma corrente livre uniforme para uma mesma velocidade de avanço A energia cinética residual na corrente fluida também pode ser reduzida A combinação destes efeitos pode aumentar a eficiência global de propulsão do combinado corpo e hélice Códigos computacionais avançados são utilizados no projeto de navios modernos e de submarinos onde o ruído pode ser uma consideração primordial para otimizar o desempenho de cada combinação hélicecasco Para certas aplicações especiais uma hélice pode ser colocada dentro de um tubulão ou duto Tais configurações podem ser integradas em um casco por exemplo como uma hélice transversal de proa para aumentar a capacidade de manobra instaladas em uma asa de avião ou colocadas no convés de um hovercraft O empuxo pode ser melhorado pelas forças favoráveis de pressão nas bordas do duto mas a eficiência pode ser reduzida pelas perdas adicionais de atrito superficial encontradas no duto Máquinas Eólicas Os moinhos de vento ou mais apropriadamente as turbinas eólicas têm sido usados por séculos para extrair potência dos ventos naturais Dois exemplos bem conhecidos são mostrados na Fig 1046 Os moinhos de vento Holandeses Fig 1046a giravam lentamente de modo que a potência podia ser usada para girar rodas de pedra que moíam grãos daí o nome moinho de vento Eles evoluíram para grandes estruturas o tamanho prático máximo era limitado pelos materiais da época Calvert 43 relata que com base em seus testes de laboratório com modelos um moinho de vento tradicional holandês de 26 m de diâmetro produzia 41 kW em um vento de 36 kmh a uma velocidade angular de 20 rpm Os moinhos de vento americanos de pás múltiplas Fig 1046b eram encontrados em muitas fazendas dos Estados Unidos entre 1850 e 1950 Eles realizavam valiosos serviços no acionamento de bombas de água antes da eletrificação rural Fig 1046 Exemplos de moinhos de vento bem conhecidos 42 Fotos de cortesia do a Conselho de Turismo dos Países Baixos b Departamento de Agricultura dos EUA A ênfase recente em recursos renováveis tem reavivado o interesse no projeto e otimização de moinhos de vento Em 2008 nos Estados Unidos a potência elétrica gerada a partir da energia eólica superou 25000 MW que produziram 52 milhões de MWh de energia elétrica representando 126 do consumo total de energia elétrica para aquele ano 44 Além disso em 2008 os Estados Unidos superaram a Alemanha tornandose o maior gerador mundial de eletricidade a partir da energia eólica Das novas fontes de energia a eólica representa 42 do total contra apenas 2 em 2004 O cinturão de ventos da América que se estende das Grandes Planícies do Texas até Dakotas tem sido apelidado de Arábia Saudida do vento 45 Esquemas de configurações de turbinas eólicas estão mostrados na Fig 1047 Em geral turbinas eólicas são classificadas de duas formas A primeira classificação é baseada na orientação do eixo da turbina Configurações de turbinas eólicas com eixo horizontal HAWT do inglês HorizontalAxial Wind Turbine e eixo vertical VAWT do inglês VerticalAxial Wind Turbine vêm sendo estudadas extensivamente A maioria das HAWTs apresenta hélices com duas ou três pás que giram em alta velocidade e são montadas em torres muito altas com o gerador elétrico A grande e moderna HAWT mostrada na Fig 1048a é capaz de produzir potência a partir de qualquer vento superior a uma brisa leve A turbina mostrada na Fig 1048b é uma VAWT Esse dispositivo usa uma moderna seção de aerofólio simétrico para o rotor tendo uma forma troposquiana12 Projetos antigos de VAWT sofriam com as elevadas tensões de flexão e os torques pulsantes Projetos mais recentes como o mostrado nesta figura se caracterizam por aerofólios helicoidais que distribuem o torque mais uniformemente em torno do eixo central As VAWTs ainda se caracterizam por apresentarem o gerador elétrico montado no solo A segunda classificação referese a como a energia eólica é aproveitada O primeiro grupo de turbinas coleta a energia do vento através da força de arrasto essas turbinas eólicas são tipicamente apenas de configuração de eixo vertical O segundo grupo coleta a energia através das forças de sustentação Turbinas eólicas baseadas na força de sustentação são de configuração de eixo horizontal ou de eixo vertical A VAWT tipo sustentação não é capaz de partir do repouso ela só pode produzir potência utilizável acima de certa velocidade angular mínima Ela pode ser combinada com uma turbina autônoma como um rotor Savonius de modo a prover o torque de partida 40 46 Fig 1047 Configurações de turbinas eólicas diferenciados pela orientação do eixo horizontal contra vertical e pela natureza da força exercida sobre o elemento ativo sustentação contra arrasto Fig 1048 Exemplos de projetos modernos de turbinas eólicas Fotos de a Siemens Energy 2010 b wwwquietrevolutioncouk Uma turbina eólica de eixo horizontal pode ser analisada como uma hélice em operação reversa O modelo de Rankine de escoamento unidimensional incorporando um disco de hélice idealizado é mostrado na Fig 1049 A notação simplificada da figura é frequentemente usada para analisar turbinas eólicas A velocidade do vento afastado a montante é V A corrente é desacelerada para V1 a no disco da turbina e para V1 2a na esteira da turbina a é chamado de fator de interferência Assim o tubo de corrente de ar capturado pela turbina eólica é pequeno a montante e o seu diâmetro aumenta à medida que ele move para jusante Fig 1049 Volume de controle e notação simplificada usados na análise do desempenho de turbinas eólicas A aplicação direta da equação da quantidade de movimento linear para um VC veja o Exemplo 1018 prevê o empuxo axial numa turbina de raio R como A aplicação da equação de energia supondo não haver perdas nenhuma variação na energia interna ou transferência de calor fornece a potência retirada da corrente de vento como A eficiência de uma turbina eólica é definida mais convenientemente com referência ao fluxo de energia cinética contido dentro de um tubo de corrente do tamanho do disco atuador disco de hélice Este fluxo de energia cinética é A combinação das Eqs 1043 e 1044 dá a eficiência ou alternativamente o coeficiente de potência 47 como Betz veja a 47 foi o primeiro a deduzir este resultado e a mostrar que a eficiência teórica é maximizada quando a 13 A eficiência máxima teórica é η 0593 Se a turbina eólica estiver levemente carregada a pequeno ela afetará uma grande massa de ar por unidade de tempo mas a energia extraída por unidade de massa será pequena e a eficiência baixa A maior parte da energia cinética na corrente de ar inicial será deixada na esteira e desperdiçada Se a turbina estiver fortemente carregada a 12 ela afetará uma massa de ar muito menor por unidade de tempo A energia removida por unidade de massa será grande mas a potência produzida será pequena comparada ao fluxo de energia cinética através da área não perturbada do disco atuador Desse modo um pico de eficiência ocorre em carregamentos intermediários do disco O modelo de Rankine inclui algumas hipóteses importantes que limitam a sua aplicabilidade 47 Primeiro admite se que a turbina eólica afeta apenas o ar contido dentro do tubo de corrente definido na Fig 1049 Segundo a energia cinética produzida como redemoinho atrás da turbina não é considerada Terceiro qualquer gradiente radial de pressão é ignorado Glauert veja a 41 considerou parcialmente o redemoinho da esteira para prever a dependência da eficiência ideal sobre a razão de velocidade periférica X como mostrado na Fig 1050 ω é a velocidade angular da turbina Fig 1050 Tendências de eficiência de tipos de turbina eólica versus razão de velocidade periférica 43 À medida que a razão de velocidade periférica aumenta a eficiência ideal aumenta aproximandose assintoticamente do valor de pico η 0593 Fisicamente o redemoinho deixado na esteira é reduzido quando a razão de velocidade periférica aumenta Avallone et al 46 apresentaram um resumo da teoria detalhada do elemento de pá usada para desenvolver a curva de eficiência limite mostrada na Fig 1050 Cada tipo de turbina eólica tem a sua faixa de aplicação mais favorável O tradicional moinho de vento americano de pás múltiplas tem um grande número de pás e opera a velocidades relativamente baixas Sua solidez σ a razão entre a área da pá e a área de varredura do disco da turbina πR2 é alta Por causa da velocidade de operação relativamente baixa sua razão de velocidade periférica e seu limite de desempenho teórico são baixos O seu desempenho relativamente pobre comparado com o limite teórico é em grande parte decorrente das pás grosseiras que são simples chapas metálicas dobradas em vez de aerofólios É necessário aumentar consideravelmente a razão de velocidade periférica para alcançar uma faixa de operação mais favorável Os projetos modernos de turbina eólica de alta velocidade são aerofólios cuidadosamente conformados e operam com razões de velocidade periférica de até 7 48 Exemplo 1018 DESEMPENHO DE UM MOINHO DE VENTO IDEALIZADO Desenvolva expressões gerais para empuxo potência produzida e eficiência de um moinho de vento idealizado conforme mostrado na Fig 1049 Calcule o empuxo a eficiência ideal e a eficiência real para o moinho Holandês testado por Calvert D 26 m N 20 rpm V 36 kmh e Ρsaída 41 kW Dados Moinho de vento idealizado conforme mostrado na Fig 1049 e moinho de vento holandês testado por Calvert D 26m N 20 rpm V 36 kmh Psaída 41kW Determinar a Expressões gerais para o empuxo a potência produzida e a eficiência ideais b O empuxo a potência produzida e as eficiências ideais e reais para o moinho de vento holandês testado por Calvert Solução Aplique as equações de continuidade quantidade de movimento e energia componente x usando o VC e as coordenadas mostradas Equações básicas Considerações 1 A pressão atmosférica atua sobre o VC FSx Rx 2 FBx 0 3 Escoamento permanente 4 Escoamento uniforme em cada seção 5 Escoamento incompressível de ar padrão 6 V1 V2 V2 V3 ½V1 V3 conforme demonstrado por Rankine 7 Q 0 8 Nenhuma variação na energia interna para escoamento incompressível e sem atrito Em termos do fator de interferência a V1 V V2 1 a V e V3 1 2a V Da continuidade para escoamento uniforme em cada seção transversal V1A1 V2A2 V3A3 Da quantidade de movimento Rx u1ρV1A1 u3 ρV3A3 V3 V1ρV2A2 u1 V1 u3 V3 Rx é a força externa atuando sobre o volume de controle A força de empuxo exercida pelo VC sobre o ambiente é Kx Rx V1 V3ρV2A2 Em termos do fator de interferência a equação para o empuxo pode ser escrita na forma geral Faça dKxda igual a zero para mostrar que o máximo empuxo ocorre quando a A equação da energia tornase A potência ideal produzida Ρ é igual a s Em termos do fator de interferência Após simplificação algébrica O fluxo de energia cinética através de um tubo de corrente de escoamento não perturbado de área igual à do disco atuador é Então a eficiência ideal pode ser escrita como Para encontrar a condição de máxima eficiência possível faça dηda igual a zero A eficiência máxima é η 0593 que ocorre quando a 13 O moinho holandês testado por Calvert tem uma razão de velocidade periférica de A eficiência teórica máxima atingível para esta razão de velocidade periférica levando em conta redemoinho Fig 1045 seria cerca de 053 A eficiência real do moinho de vento holandês é Baseado nos dados de teste de Calvert o fluxo de energia cinética é Substituindo na definição de eficiência real vem Assim a eficiência real do moinho de vento holandês é cerca de 24 da eficiência máxima teoricamente atingível para esta razão de velocidade periférica O empuxo real do moinho de vento holandês pode ser apenas estimado pois o fator de interferência a não é conhecido O empuxo máximo possível ocorreria para a 12 caso em que Isso não aparenta ser uma grande força de empuxo considerando o tamanho D 26 m do moinho de vento Contudo V 36 kmh é apenas um vento moderado A máquina real teria que suportar condições de vento muito mais graves durante tempestades Este problema ilustra uma aplicação dos conceitos de empuxo potência e eficiência ideais para um moinho de vento e os cálculos destas quantidades para uma máquina real Fig 1051 Velocidades em torno das pás de um elemento das pás de um rotor Darrieus para um ângulo azimutal θ bem como para θ π2 onde o ângulo de ataque do aerofólio é maximizado A análise de uma VAWT é ligeiramente diferente daquela de uma HAWT A principal razão para essa diferença pode ser vista na Fig 1051 Nessa figura a seção transversal de um aerofólio em uma turbina Darrieus é mostrada girando em torno do eixo da turbina Considerando que o vento sopra em uma direção constante o ângulo de ataque α variará até atingir um valor máximo quando θ for igual a 90 Nessa configuração o ângulo de ataque é expresso por A Eq 1047a estabelece que o ângulo máximo de ataque se relaciona com a velocidade do vento a velocidade angular do rotor e com o raio local do rotor Usando a razão de velocidade periférica X definida pela Eq 1046 a Eq 1047a pode ser rescrita como Como o ângulo de ataque deve ser menor que aquele para estol 10 15 para a maioria dos aerofólios típicos segue que X deveria ser um número grande pelo menos da ordem de 6 As forças de sustentação e de arrasto L e D respectivamente atuando sobre o aerofólio podem ser vistas na Fig 1051 Essas forças aerodinâmicas geram um torque sobre o rotor O torque sobre o rotor para um dado valor de α é Agora se a seção do aerofólio usado é simétrica curvatura zero então o coeficiente de sustentação é diretamente proporcional ao ângulo de ataque 49 Na Eq 1049 m é a inclinação da curva de sustentação sendo específica para o aerofólio usado Além disso o coeficiente de arrasto pode ser aproximado por Nessa expressão CD0 é o coeficiente de arrasto para o ângulo de ataque zero e RA é a razão de área do aerofólio Agora como a velocidade do ar em relação ao rotor é uma função de α que depende de θ segue que as forças de sustentação e de arrasto também são funções de θ Por isso qualquer quantificação do desempenho do rotor precisa ser uma média em toda a faixa de θ Decher 40 deduziu uma expressão para a eficiência do rotor baseada nos efeitos de sustentação e arrasto ηLD Essa expressão é definida como o trabalho útil o torque na Eq 1048 dividido pela potência disponível no vento Em termos da sustentação e do arrasto essa expressão é Nessa equação as barras sobre os dois termos entre parênteses indicam os valores médios dessas quantidades Como as forças de sustentação e de arrasto do rotor mudam com θ um tempo médio das forças precisa ser calculado por integração Substituindo as Eqs 1049 e 943 nessa expressão e tomando a média em uma revolução completa do rotor 0 θ 2π a eficiência se torna Essa eficiência altera a eficiência baseada na teoria do disco do atuador Eq 1045 para um valor estimado da eficiência global do rotor Contudo para determinar a eficiência de um rotor completo precisamos adicionar as contribuições do torque sobre todo o rotor Como diferentes partes do rotor têm diferentes raios diferentes valores de R elas terão diferentes valores de X Da Eq 1050 podese perceber que as porções do rotor com pequenos raios contribuirão muito pouco para o torque comprado às porções centrais do rotor Exemplo 1019 ANÁLISE DE UMA TURBINA EÓLICA GIROMILL Uma turbina eólica Giromill veja a Fig 1047 tem uma altura de 42 m e um diâmetro de 33 m A seção do aerofólio usado é simétrica de comprimento constante e com um ângulo de estol de 12 e uma razão de área de 50 Sobre a faixa normal de operação o coeficiente de sustentação do aerofólio pode ser descrito pela equação CL 01097α em que α é o ângulo de ataque em graus O coeficiente de arrasto para o ângulo de ataque zero é 0006 e para outros ângulos de ataque o coeficiente de arrasto pode ser aproximado pela Eq 943 Se o Giromill gira a 24 rpm calcule a velocidade máxima permitida para o vento para evitar estol na seção do aerofólio Se a potência gerada para essa condição de velocidade mínima é de 120 kW qual é a eficiência da turbina Dados Turbina eólica Giromill Altura 42 m Diâmetro 33 m Velocidade de rotação mínima 24 rpm Potência 120 kW Aerofólio simétrico Ângulo de estol 12 Razão de área 50 Coeficiente de sustentação é linear CL 01097α α em graus Coeficiente de arrasto parabólico é CD0 0006 Determinar a Velocidade do vento máxima permitida para evitar estol b Eficiência da turbina Solução Aplicar as equações apresentadas anteriormente para a turbina Equações básicas Considerações Atmosferapadrão ρ 1 23 kgm3 a Para a velocidade máxima resolvemos a Eq 1047a para a velocidade b Para determinar a eficiência precisamos achar a eficiência do disco do atuador e a eficiência sustentaçãoarrasto pela Eq 1051 Para calcular a eficiência do disco do atuador primeiro vamos achar o fluxo de energia cinética Portanto a eficiência do disco do atuador é Para achar a eficiência sustentaçãoarrasto do rotor precisamos calcular a razão de velocidade periférica Usando esse valor de X e os valores dados no problema podemos calcular a eficiência sustentaçãoarrasto Logo a eficiência global é Este problema apresenta a análise de uma VAWT desde que a seção do aerofólio esteja abaixo do ângulo de estol Uma análise mais detalhada seria necessária se um tipo diferente de seção como a da turbina Darrieus fosse usada e desde que o raio do rotor não fosse constante 107 Turbomáquinas de Escoamento Compressível Embora a interação de fluidos incompressíveis com turbomáquinas seja um importante tópico tanto do ponto de vista fenomenológico quanto prático existem muitas situações em que o escoamento através da máquina experimenta significativas mudanças na massa específica Isso é especialmente importante na turbina a gás ciclo Brayton e na turbina a vapor ciclo Rankine para geração de energia Investigaremos as modificações das equações básicas e das análises dimensionais necessárias nas aplicações de escoamento compressível Quando necessário o leitor será orientado a buscar esclarecimentos nos Capítulos 12 e 13 Aplicação da Equação da Energia para uma Máquina de Escoamento Compressível No Capítulo 4 vimos a primeira lei da termodinâmica para um volume de controle arbitrário O resultado foi a equação da energia Eq 456 A Eq 456 estabelece que o calor adicionado ao sistema menos o trabalho realizado pelo sistema resulta em um acréscimo na energia do sistema Nessa equação o trabalho realizado pelo sistema é constituído de três partes A primeira conhecido como trabalho de eixo é o trabalho útil de entradasaída que analisamos nas turbomáquinas O segundo é o trabalho devido à tensão de cisalhamento na superfície do volume de controle O terceiro referido como outros trabalhos inclui fontes tais como transferência de energia eletromagnética Agora vamos simplificar a Eq 456 para turbomáquinas de escoamento compressível Primeiro as turbomáquinas típicas funcionam em condições tais que as transferências de calor com a vizinhança são minimizadas de modo que a transferência de calor pode ser ignorada Segundo a exceção do trabalho de eixo os outros trabalhos são pequenos de modo que podem ser desprezados Terceiro mudanças na energia potencial gravitacional são pequenas e podem ser desprezadas na integral de superfície Como a entalpia é definida como h u pν para escoamento permanente a Eq 456 se torna Neste ponto introduzimos a entalpia de estagnação13 definida como a soma da entalpia do fluido e a energia cinética Portanto podemos reescrever a equação da energia como A Eq 1052a estabelece que para uma turbomáquina com trabalho de entrada a potência requerida causa um aumento na entalpia de estagnação do fluido para uma turbomáquina com trabalho de saída a potência produzida é decorrente de um decréscimo na entalpia de estagnação do fluido Nessa equação s é positivo quando o trabalho está sendo realizado pelo fluido como em uma turbina enquanto s é negativo quando o trabalho está sendo realizado sobre o fluido como em um compressor É importante notar que a convenção de sinal usada nesta equação parece contrariar aquela usada na equação de Euler para turbomáquina desenvolvida na Seção 102 Se você recordar na Eq 102 um valor positivo de Ẇp indicou trabalho realizado sobre o fluido enquanto um valor negativo indicou trabalho realizado pelo fluido A diferença para relembrar é que Ẇs é a potência mecânica exercida pelo fluido de trabalho sobre sua vizinhança isto é o rotor enquanto Ẇp é a potência mecânica exercida sobre o fluido de trabalho pelo rotor Levando isso em conta faz todo sentido pensar que essas duas quantidades deverão ter módulos iguais e sinais opostos O integrando no lado direito da Eq 1052a é o produto da entalpia de estagnação com a vazão mássica para cada seção Se consideramos escoamento uniforme para dentro da máquina na seção 1 e para fora da máquina na seção 2 a Eq 1052a se torna Compressores Os compressores podem ser centrífugos ou axiais dependendo da velocidade específica Turbocompressores automotivos pequenos motores de turbinas a gás e equipamentos de recompressão boosters em tubulações de gás natural são centrífugos Grandes turbinas a gás e a vapor e motores de aviões a jato como visto nas Figs 103 e 104b são em geral máquinas de fluxo axial Se o escoamento através de um compressor causar uma mudança na massa específica do fluido a análise dimensional apresentada para escoamento incompressível não será a mais apropriada Em vez disso vamos quantificar o desempenho de um compressor através de Δh0s o aumento ideal na entalpia de estagnação do escoamento14 a eficiência η e a potência Nessa relação as variáveis independentes são nessa ordem a viscosidade a velocidade de rotação o diâmetro do rotor a vazão mássica a massa específica de estagnação a velocidade de estagnação do som na entrada e a razão de calores específicos Se aplicarmos o teorema Pi de Buckingham para este sistema os grupos adimensionais resultantes serão Como a eficiência η e a razão de calores específicos k são valores adimensionais eles podem ser tratados como termos Π As relações funcionais resultantes são Essa equação é realmente uma expressão de três funções separadas isto é os termos Π1 Δh0sND2 η e Π1 ρ01N3D5 são todas funções das outras quantidades adimensionais Δh0sND2 é uma medida da mudança de energia no escoamento e é o análogo compressível ao coeficiente de carga Ψ Eq 106 ρ01N3D5 é um coeficiente de potência similar aquele na Eq 108 ṁρ01ND3 é o coeficiente de vazão mássica análogo coeficiente de escoamento incompressível Ψ Eq 105 ρ01ND2μ é o número de Reynolds baseado na velocidade periférica do rotor e NDc01 é o número de Mach baseado na velocidade periférica do rotor Usando as relações para processos isentrópicos e para escoamento compressível de um gás ideal podemos fazer algumas simplificações Como resultado a Eq 1054a pode ser reescrita como Essas relações funcionais podem ser usadas tanto na forma apresentada no Capítulo 7 quanto naquela apresentada no início deste capítulo para investigar por escala o desempenho de máquinas de fluxo similares Um problema disso é apresentado no seguinte exemplo Exemplo 1020 TRANSPORTANDO POR ESCALA UM COMPRESSOR Um modelo de escala 15 de um protótipo de compressor de ar consome uma potência de 225 kW gira a uma velocidade de 1000 rpm apresenta uma vazão mássica de 9 kgs e possui uma razão de pressão de 5 Para condições dinâmicas e cinemáticas similares quais devem ser a velocidade de operação a vazão mássica e a potência consumida pelo protótipo Dados Modelo do compressor em escala 15 Potência 225 kW Razão de pressão 1000 rpm Razão de pressão 5 Vazão mássica 9 kgs Determinar Velocidade do protótipo vazão mássica e potência consumida para condições similares Solução Aplicar as equações apresentadas anteriormente e os conceitos apresentados no Capítulo 7 semelhantes quanto ao compressor Equações básicas Considerações Condições de entrada similares para o modelo e o protótipo Condição similar de entrada significa que a velocidade de estagnação do som e a massa específica devem ser iguais para o modelo e para o protótipo Resolvendo a primeira equação para a velocidade do protótipo Resolvendo a segunda equação para a vazão mássica do protótipo Para calcular a potência requerida para o protótipo Este problema apresenta cálculos por escala de uma máquina de escoamento compressível Note que se os fluidos de trabalho para duas escalas diferentes de máquinas forem diferentes por exemplo hélio e ar os efeitos das constantes dos gases e das razões de calores específicos deverão ser levados em conta Uma vez que a maioria dos estudos de operabilidade de compressores é realizada em um único projeto de compressor sem escala e usando o mesmo fluido de trabalho todas as variáveis relacionadas com a escala e o fluido especificamente D R e k podem ser eliminadas da relação funcional Além disso estudos empíricos mostraram que como no caso da bomba centrífuga no Capítulo 7 para valores suficientemente altos do número de Reynolds o escoamento é completamente turbulento e o desempenho do compressor não é dependente do número de Reynolds Uma vez que essas variáveis são eliminadas a Eq 1054b se transforma em Note que essa equação não é mais adimensional Contudo ela ainda é útil na caracterização do desempenho de um compressor desde que o desempenho seja avaliado para uma única máquina usando um único fluido de trabalho A relação retratada na Eq 1054c é normalmente expressa na forma de um mapa operacional de compressor como mostrado na Fig 1052 Nesse mapa podemos ver a razão de compressão versus a razão de vazão com curvas de velocidade constante normalizada e de eficiência Frequentemente a abscissa é a vazão mássica corrigida e as linhas de velocidade constante do compressor são uma velocidade corrigida Nesta expressão Tref e pref são a temperatura e a pressão de referência geralmente tomadas em relação às condições padrão que podem ser esperadas na entrada de tais máquinas Isso permite ao usuário ler a carta facilmente em termos de quantidades físicas reais e ser capaz de fazer ajustes pela variação das condições de entrada com um mínimo de cálculos A linha de operação é o lugar geométrico dos pontos de eficiência máxima para uma dada vazão mássica Fig 1052 Mapa de desempenho para um compressor É importante notar que o mapa de operacionalidade do compressor da Fig 1052 tem uma notável semelhança com o mapa de operacionalidade de bomba da Fig 1014 As duas figuras não apenas mostram o desempenho de uma turbomáquina realizando trabalho sobre um fluido mas os dados são usados para traçar um gráfico de forma similar as curvas de nível de eficiência constante são traçadas em um gráfico que tem um eixo vertical de saída altura de carga para a bomba e razão de pressão para o compressor versus um eixo horizontal com uma entrada de vazão A figura mostra dois fenômenos que devem ser evitados na operação de um compressor O primeiro é chamado de choque bloqueio que acontece quando o número de Mach local em algum ponto do compressor atinge o valor unitário15 Para explicar o choque de um ponto de vista físico imagine que vamos fazer um compressor girar a velocidade constante e com uma pressão na entrada seja constante e que podemos controlar diretamente a pressão de saída do compressor No mapa do compressor podemos deslocar ao longo de uma linha de velocidade normalizada constante Se começássemos de uma pressão mais baixa na saída a razão de pressão aumentaria Se a velocidade do compressor permanecer constante a vazão mássica aumentaria Contudo vimos que as linhas de velocidade normalizada constante se curvam para baixo se a vazão mássica for aumentada além de certo valor indicando uma vazão máxima possível para uma dada velocidade do compressor de modo que o compressor é bloqueado Quando o bloqueio ocorre é impossível aumentar a vazão mássica sem aumentar a velocidade do rotor O segundo fenômeno chamase surge que é uma pulsação cíclica que faz a vazão mássica através da máquina variar podendo até mesmo invertêla O surge ocorre quando a razão de pressão no compressor é aumentada além de certo nível para uma dada vazão mássica Como a razão de pressão aumenta o gradiente adverso de pressão através do compressor também aumenta Esse aumento no gradiente de pressão pode causar separação da camadalimite sobre a superfície do rotor e constringir o escoamento através do espaço entre duas pás adjacentes16 Portanto o fluxo extra fica desviado para o canal seguinte entre as pás A separação é aliviada no canal anterior e movese para o próximo canal provocando a pulsação cíclica mencionada anteriormente O fenômeno de surge é acompanhado de ruídos elevados e pode danificar o compressor ou seus componentes ele também deve ser evitado Fig 1052 mostra a linha de surge o lugar geométrico dos pontos em condições de operações além dos quais ocorrerá surge Fig 1053 Mapa de desempenho para uma turbina de escoamento compressível Em geral conforme mostrado na Fig 1052 quanto mais alto o desempenho mais estreita é a faixa na qual o compressor pode operar com êxito Dessa maneira um compressor deve ser cuidadosamente ajustado com o seu sistema de escoamento para que se tenha uma operação satisfatória A adequação de compressores em aplicações de linhas de gás natural é abordada por VincentGenod 51 Talvez a aplicação mais comum hoje de máquinas de fluxo de alta velocidade seja em turbocompressores turbochargers automotivos vários milhões de veículos automotivos em todo o mundo são vendidos a cada ano com turbocompressores A adequação de turbocompressores automotivos é descrita na literatura dos fabricantes 52 Turbinas de Escoamento Compressível O escoamento através de uma turbina a gás é governado pela mesma relação geral como no compressor mas as relações funcionais reais são diferentes A Fig 1053 mostra o mapa de desempenho para uma turbina de escoamento compressível Como no caso do compressor o mapa da turbina mostra linhas de velocidade normalizada constante sobre um gráfico de razão de pressão versus vazão mássica normalizada A diferença mais marcante entre esse mapa e aquele para o compressor é que o desempenho é uma função muito fraca de as curvas são definidas muito próximas O choque do escoamento da turbina é bem definido no mapa há uma vazão normalizada que não pode ser excedida na turbina independente da razão de pressão 108 Resumo e Equações Úteis Neste capítulo nós Definimos os dois principais tipos de máquinas de fluxo máquinas de deslocamento positivo e turbomáquinas Definimos dentro da categoria de turbomáquinas tipos de escoamento radial axial e misto bombas ventiladores sopradores compressores e turbinas de impulsão e de reação Discutimos diversas características das turbomáquinas tais como hélices rotores rodas caracol voluta estágio de compressores e tubo de extração Usamos a equação da quantidade de movimento angular para um volume de controle para deduzir a equação de Euler para turbomáquinas Traçamos diagramas de velocidades e aplicamos a equação de Euler para turbomáquinas na análise de diversas máquinas idealizadas para deduzir o torque a altura de carga e a potência ideais Avaliamos a performance altura de carga potência e eficiência de diversas máquinas reais a partir de dados medidos Definimos e usamos parâmetros adimensionais para transportar por escala o desempenho de uma máquina de fluxo de certo tamanho velocidade de operação e conjunto de condições de operação para outra máquina Discutimos a definição de vários parâmetros tais como eficiência de bomba solidez potência hidráulica potência mecânica eficiência de turbina altura de carga de bloqueio shutoff perda por choque velocidade específica cavitação NPSHR e NPSHA Examinamos bombas e sua concordância com a restrição de que a altura de sucção positiva líquida disponível exceda aquela requerida para evitar cavitação Ajustamos as máquinas de fluxo para realizar trabalho sobre um fluido em sistemas de tubos de modo a obter o ponto de operação vazão e altura de carga Previmos os efeitos de instalar máquinas de fluxo em série e em paralelo sobre o ponto de operação de um sistema Discutimos e analisamos turbomáquinas sem carcaça especificamente hélices e turbinas eólicas Discutimos o uso e o desempenho de turbomáquinas de escoamento compressível Com estes conceitos e técnicas aprendemos como usar a literatura dos fabricantes e outros dados para realizar análises preliminares de desempenho e fazer seleções apropriadas de bombas ventiladores turbinas hidráulicas e eólicas e de outras máquinas de fluxo Nota A maior parte das Equações Úteis na tabela a seguir possui determinadas restrições ou limitações para usálas com segurança verifique os detalhes no capítulo conforme a numeração de referência Equações Úteis Equação de Euler para turbomáquinas Teixo r2 Vt2 r1 vt1ṁ 101c Potência teórica de turbomáquina Ẇm U2 Vt2 U1 Vt1ṁ 102b Altura de carga teórica de turbomáquina 102c Potência altura de carga e eficiência de bomba Ẇh ρQgHP 103a 103b 103c Potência altura de carga e eficiência de turbina Ẇh ρQgHt 104a 104b 104c Coeficiente adimensional de vazão 105 Coeficiente adimensional de altura de carga 106 Coeficiente adimensional de torque 107 Coeficiente adimensional de potência 108 Velocidade específica de bomba centrífuga em função da altura de carga h 722a Velocidade específica de bomba centrífuga em função da altura de carga H 722b Velocidade específica de turbina centrífuga em função da altura de carga h 1013a Velocidade específica de turbina centrífuga em função da altura de carga H 1013b Desempenho ideal de turbomáquinas de fluxo axial 1020 1021 1022 Hélice de empuxo 1038a Hélice de torque 1038b Coeficiente de velocidade de avanço da hélice 1039 Coeficientes de empuxo de torque e de potência e eficiência da hélice 1040 Número de cavitação 1041 Eficiência do disco do atuador 1045 Razão de velocidade periférica 1046 Eficiência VAWT 1050 η ηdisco atuηLD 1051 Equação da energia para turbomáquina de escoamento compressível Ẇs h02 h01ṁ 1052b Parâmetros de desempenho para turbomáquina de escoamento compressível 1054c Estudo de Caso O Pequeno Motor que Promete Motores do tipo turbina a gás feita em silício conveniente para alimentar laptops ou telefones celulares uma montagem de turbina com diâmetro de 6 mm Cortesia do Dr Alan Epstein MIT Alan Epstein um professor de aeronáutica e astronáutica do Instituto de Tecnologia de Massachusetts MIT e sua equipe têm realizado muitas pesquisas sobre turbinas a gás de pequena espessura e fabricadas com silício Elas apresentam um tamanho próximo ao quarter como mostrado na figura e podem ser produzidas em massa facilmente Diferente das grandes turbinas convencionais que são constituídas de muitos componentes estas microturbinas são construídas basicamente de uma peça sólida de silício O Professor Epstein descobriu que os conceitos básicos sobre a teoria de turbina discutida neste capítulo se aplicam até mesmo às suas microturbinas a mecânica dos fluidos se revela a mesma que para grandes turbinas desde que o diâmetro de passagem para o fluxo de gás seja maior que 1 μm para valores inferiores a esse é necessário aplicar a cinemática molecular do meio não contínuo O rotor e seus aerofólios são usinados em uma única placa como mostra a figura Além disso um sistema de canais e mancais de rolamentos são gravados nas placas que formam o sanduíche do rotor A combustão ocorre apenas fora do rotor no mesmo nível da placa girandoo por meio da pressão exercida sobre seus aerofólios externos A mais de um milhão de rotação por minuto estas turbinas não produzem ruído audível nem mesmo seu cachorro pode ouvilo Energia elétrica poderá ser obtida usando por exemplo um gerador de pequena espessura A fonte de combustível pode ser incorporada ao motor ou vir como um cartucho substituível parecido com um isqueiro Do ponto de vista de densidade de potência o pequeno motor ganha fácil das baterias apresentando uma saída entre 50 e 100 watts Referências 1 Wilson D G TurbomachineryFrom Paddle Wheels to Turbojets Mechanical Engineering 104 10 October 1982 pp 2840 2 Logan E S Jr Turbomachinery Basic Theory and Applications New York Dekker 1981 3 Japikse D Teaching Design in an Engineering Education Curriculum A Design Track Syllabus TM519 Concepts ETI Inc White River Jct VT 05001 4 Postelwait J Turbomachinery Industry Set for Growth Power Engineering httppepeipennnetcom 5 Sabersky R H A J Acosta E G Hauptmann and E M Gates Fluid Flow A First Course in Fluid Mechanics 4th ed Englewood Cliffs NJ PrenticeHall 1999 6 Daily J W Hydraulic Machinery in Rouse H ed Engineering Hydraulics New York Wiley 1950 7 Dixon S L Fluid Mechanics and Thermodynamics of Turbomachinery 5th ed Amsterdam Elsevier 2005 8 American Society of Mechanical Engineers Performance Test Codes Centrifugal Pumps ASME PTC 821990 New York ASME 1990 9 American Institute of Chemical Engineers Equipment Testing Procedure Centrifugal Pumps Newtonian Liquids New York AIChE 1984 10 Peerless Pump Brochure B4003 System Analysis for Pumping Equipment Selection 1979 11 Daugherty R L J B Franzini and E J Finnemore Fluid Mechanics with Engineering Applications 8th ed New York McGrawHill 1985 12 Peerless Pump Company RAPID v 8256 March 23 2007 13 Hodge B K Analysis and Design of Energy Systems 2nd ed Englewood Cliffs NJ PrenticeHall 1990 14 Moody L F Hydraulic Machinery in Handbook of Applied Hydraulics ed by C V Davis New York McGrawHill 1942 15 Hydraulic Institute Hydraulic Institute Standards New York Hydraulic Institute 1969 16 Dickinson C Pumping Manual 8th ed Surrey England Trade Technical Press Ltd 1988 17 Hicks T G and T W Edwards Pump Application Engineering New York McGrawHill 1971 18 Armintor J K and D P Conners Pumping Applications in the Petroleum and Chemical Industries IEEE Transactions on Industry Applications IA23 1 January 1987 19 Jorgensen R ed Fan Engineering 8th ed Buffalo NY Buffalo Forge 1983 20 Air Movement and Control Association Laboratory Methods of Testing Fans for Rating AMCA Standard 21074 ASHRAE Standard 5175 Atlanta GA ASHRAE 1975 21 American Society of Mechanical Engineers Power Test Code for Fans New York ASME Power Test Codes PTC 111946 22 Berry C H Flow and Fan Principles of Moving Air through Ducts 2nd ed New York Industrial Press 1963 23 Wallis R A Axial Flow Fans and Ducts New York Wiley 1983 24 Osborne W C Fans 2nd ed London Pergamon Press 1977 25 American Society of Heating Refrigeration and Air Conditioning Engineers Handbook of Fundamentals Atlanta GA ASHRAE 1980 26 Idelchik I E Handbook of Hydraulic Resistance 2nd ed New York Hemisphere 1986 27 Lambeck R R Hydraulic Pumps and Motors Selection and Application for Hydraulic Power Control Systems New York Dekker 1983 28 Warring R H ed Hydraulic Handbook 8th ed Houston Gulf Publishing Co 1983 29 Rouse H and S Ince History of Hydraulics Iowa City IA Iowa University Press 1957 30 Russell G E Hydraulics 5th ed New York Henry Holt 1942 31 Gulliver J S and R E A Arndt Hydropower Engineering Handbook New York McGrawHill 1990 32 World Energy Council 2007 Survey of Energy Resources World Energy Council 2007 33 Fritz J J Small and Mini Hydropower Systems Resource Assessment and Project Feasibility New York McGrawHill 1984 34 Gladwell J S Small Hydro Some Practical Planning and Design Considerations Idaho Water Resources Institute Moscow ID University of Idaho April 1980 35 McGuigan D Small Scale Water Power Dorchester Prism Press 1978 36 Olson R M and S J Wright Essentials of Engineering Fluid Mechanics 5th ed New York Harper Row 1990 37 Quick R S Problems Encountered in the Design and Operation of Impulse Turbines Transactions of the ASME 62 1940 pp 1527 38 Warnick C C Hydropower Engineering Englewood Cliffs NJ PrenticeHall 1984 39 Dodge D M Illustrated History of Wind Power Development httpwwwtelosnetcomwindindexhtml 40 Decher R Energy Conversion Systems Flow Physics and Engineering New York Oxford University Press 1994 41 Durand W F ed Aerodynamic Theory 6 Volumes New York Dover 1963 42 Putnam P C Power from the Wind New York Van Nostrand 1948 43 Calvert N G Windpower Principles Their Application on the Small Scale London Griffin 1978 44 American Wind Energy Association Annual Wind Industry Report Year Ending 2008 Washington DC American Wind Energy Association 2008 45 Wind Power in America Becalmed The Economist 392 8642 August 1 2009 46 Eldridge F R Wind Machines 2nd ed New York Van Nostrand Reinhold 1980 47 Avallone E A T Baumeister III and A Sadegh eds Marks Standard Handbook for Mechanical Engineers 11th ed New York McGrawHill 2007 48 Migliore P G Comparison of NACA 6Series and 4Digit Airfoils for Darrieus Wind Turbines Journal of Energy 7 4 JulAug 1983 pp 291292 49 Anderson J D Introduction to Flight 4th ed Boston McGrawHill 2000 50 Moran M J and H N Shapiro Fundamentals of Engineering Thermodynamics 6th ed Hoboken NJ Wiley 2007 51 VincentGenod J Fundamentals of Pipeline Engineering Houston Gulf Publishing Co 1984 52 WarnerIshi Turbocharger brochure WarnerIshi PO Box 580 Shelbyville IL 625650580 USA 53 White F M Fluid Mechanics 6th ed New York McGrawHill 2007 54 Sovern D T and G J Poole Column Separation in Pumped Pipelines in K K Kienow ed Pipeline Design and Installation Proceedings of the International Conference on Pipeline Design and Installation Las Vegas Nevada March 2527 1990 New York American Society of Civil Engineers 1990 pp 230243 55 US Department of the Interior Selecting Hydraulic Reaction Turbines A Water Resources Technical Publication Engineering Monograph No 20 Denver CO US Department of the Interior Bureau of Reclamation 1976 56 Drella M Aerodynamics of HumanPowered Flight in Annual Review of Fluid Mechanics 22 pp 93110 Palo Alto CA Annual Reviews 1990 57 Abbott I H and A E von Doenhoff Theory of Wing Sections Including a Summary of Airfoil Data New York Dover 1959 Problemas Introdução e Classificação de Máquinas de Fluxo Análise de Turbomáquinas 101 As dimensões do rotor de uma bomba centrífuga são Parâmetro Entrada Seção Saída Seção Raio r mm 175 500 Largura da pá b mm 50 30 Ângulo da pá β grau 65 70 A bomba trabalha com água e é acionada a 750 rpm Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica de alimentação da bomba se a vazão for 075 m3s 102 A geometria de uma bomba de água centrífuga é r1 10 cm r2 20 cm b1 b2 4 cm β1 30 β2 15 e gira a 1600 rpm Estime a descarga requerida para a entrada axial a quantidade de energia em hp absorvida pela água e a altura de carga produzida 103 Uma bomba centrífuga girando a 3000 rpm bombeia água a uma taxa de 06 m3min A água entra axialmente e deixa o rotor a 54 ms relativo às pás que são radiais na saída Se a bomba requer 5 kW e tem eficiência de 72 estime as dimensões básicas diâmetro e largura de saída do rotor usando a equação de Euler para as turbomáquinas 104 Considere as dimensões do rotor da bomba centrífuga dadas no Exemplo 101 Estime o aumento de altura de carga e a potência mecânica de entrada ideais se o ângulo de saída da pá for mudado para 60o 70o 80o ou 85o 105 As dimensões do rotor de uma bomba centrífuga são Parâmetro Entrada Seção Saída Seção Raio r mm 380 1140 Largura da pá b mm 120 80 Ângulo da pá β grau 40 60 A bomba é acionada a 575 rpm enquanto bombeia água Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica de alimentação da bomba se a vazão é 18000 106 As dimensões do rotor de uma bomba centrífuga são Parâmetro Entrada Seção Saída Seção Raio r mm 75 250 Largura da pá b mm 38 30 Ângulo da pá β grau 60 70 A bomba é acionada a 1250 rpm para bombear água Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica de alimentação da bomba se a vazão for 340 m3h 107 Para o rotor do Problema 106 determine a velocidade de rotação para a qual a componente tangencial da velocidade de entrada é zero se a vazão volumétrica for 910 m3h Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica teórica de entrada 108 Uma bomba centrífuga de água com rotor de 15 cm de diâmetro e escoamento axial de entrada é operada a 1750 rpm As pás do rotor são curvadas para trás β2 65o e tem largura axial b2 2 cm Para uma vazão volumétrica de 225 m3h determine o aumento de altura de carga teórico e a potência de alimentação da bomba 109 Para o rotor do Problema 101 operando a 750 rpm determine a vazão volumétrica para a qual a componente tangencial da velocidade de entrada é zero Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica teórica de entrada 1010 Considere a geometria da bomba centrífuga idealizada descrita no Problema 1011 Desenhe os diagramas de velocidades de entrada e de saída supondo b constante Calcule os ângulos de entrada das pás requeridos para entrada sem choque na vazão de projeto Avalie a potência teórica de entrada na bomba na vazão de projeto 1011 Considere uma bomba centrífuga cuja geometria e condições de escoamento são Raio de entrada do rotor 25 cm Raio de saída do rotor 18 cm Largura de saída do rotor 1 cm Velocidade de projeto 1800 rpm Vazão de projeto 30 m3min Pás curvadas para trás ângulo de saída de pá 75 Faixa de vazão requerida 50 a 150 da de projeto 50 a 150 da de projeto Admita comportamento ideal da bomba com 100 de eficiência Determine a altura de carga de bloqueio Calcule as velocidades absoluta e relativa de descarga a altura de carga total e a potência teórica requerida na vazão de projeto 1012 Considere as dimensões do rotor da bomba centrífuga dadas no Exemplo 101 Construa o diagrama de velocidades para escoamento sem choque na entrada do rotor se b constante Calcule o ângulo efetivo do escoamento em relação às pás radiais do rotor para o caso de ausência de redemoinho na entrada Investigue os efeitos sobre o ângulo do escoamento de a variações na largura do rotor e b velocidades de redemoinho na entrada 1013 Para o rotor do Problema 105 determine o ângulo de entrada da pá para o qual a componente tangencial da velocidade de entrada é zero se a vazão volumétrica for 28000 Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica teórica de entrada na bomba 1014 Uma bomba centrífuga projetada para bombear água a 1300 rpm tem dimensões Parâmetro Entrada Saída Raio r mm 100 175 Largura da pá b mm 10 75 Ângulo da pá β grau 40 Desenhe o diagrama de velocidades de entrada para uma vazão volumétrica de 35 Ls Determine o ângulo de entrada nas pás para o qual a velocidade de entrada não possui componente tangencial Trace o diagrama de velocidades de saída Determine o ângulo absoluto do escoamento de saída medido em relação à direção normal Avalie a potência hidráulica fornecida pela bomba se a sua eficiência é de 75 Determine a altura de carga desenvolvida pela bomba 1015 Uma bomba centrífuga opera a 1750 rpm enquanto bombeia água a uma taxa de 50 Ls A água entra axialmente e sai tangencialmente às pás do rotor O diâmetro de saída e a largura do rotor são 300 mm e 10 mm respectivamente Se a bomba requer 45 kW com 75 de eficiência estime o ângulo de saída das pás do rotor 1016 Uma bomba centrífuga projetada para bombear água a 1200 rpm tem dimensões Parâmetro Entrada Saída Raio r mm 90 150 Largura da pá b mm 10 75 Ângulo da pá β grau 25 45 Determine a vazão para a qual a velocidade de entrada não possui componente tangencial Trace o diagrama de velocidades de saída e determine o ângulo absoluto do escoamento de saída medido em relação à direção normal para esta vazão Avalie a potência hidráulica fornecida pela bomba se a sua eficiência for de 70 Determine a altura de carga desenvolvida pela bomba 1017 Repita a análise para determinar a velocidade ótima para uma turbina de impulsão do Exemplo 1013 usando a equação de Euler das turbomáquinas 1018 Querosene é bombeado por uma bomba centrífuga Quando a vazão volumétrica é igual a 0025 m3s a bomba requer 15 kW sendo a sua eficiência igual a 82 Calcule o aumento de pressão produzido pela bomba Expresse este resultado em a pés de água e b pés de querosene 1019 Uma bomba centrífuga projetada para bombear água a 30 Ls tem as seguintes dimensões Parâmetro Entrada Saída Raio r mm 75 150 Largura da pá b mm 75 625 Ângulo da pá β grau 25 40 Desenhe o diagrama de velocidades de entrada Determine a velocidade de projeto se a velocidade de entrada não possuir componente tangencial Trace o diagrama de velocidades de saída Determine o ângulo absoluto do escoamento de saída medido em relação à direção normal Avalie a altura de carga teórica desenvolvida pela bomba Estime a mínima potência mecânica entregue à bomba Bombas Ventiladores e Sopradores 1020 Na bomba de água do Problema 108 a carcaça da bomba age como um difusor que converte 60 da altura de carga da velocidade absoluta na saída do rotor em aumento de pressão estática A perda de carga através dos canais de admissão e de descarga do rotor é 075 vez a altura de carga da componente radial da velocidade na saída do rotor Estime a vazão volumétrica o aumento de altura de carga a potência de entrada e a eficiência da bomba no ponto de máxima eficiência Considere que o torque para superar perdas existentes de mancal selo e giro spin seja 10 do torque ideal para Q 0065 m3s 1021 A altura de carga teórica desenvolvida por uma bomba centrífuga na condição de bloqueio depende do raio de saída e da velocidade angular do rotor Para um projeto preliminar é útil dispor de um gráfico mostrando as características teóricas do bloqueio e aproximando o desempenho real Prepare um gráfico loglog do raio do rotor versus aumento de altura de carga teórica no bloqueio tendo as velocidadespadrão de motores elétricos como parâmetros Considere que o fluido é a água e que a altura de carga real na vazão de projeto seja 70 da altura de carga teórica de bloqueio mostre estas como linhas tracejadas Explique como esse gráfico pode ser usado em um projeto preliminar 1022 Use dados do Apêndice D para escolher pontos das curvas de desempenho para uma bomba Peerless horizontal de carcaça bipartida Tipo 16A18B a 705 e 880 rpm nominais Obtenha e trace curvas de ajuste para altura de carga total versus vazão volumétrica desta bomba com um rotor de diâmetro 460 mm 1023 Use dados do Apêndice D para escolher pontos das curvas de desempenho para uma bomba Peerless horizontal de carcaça bipartida Tipo 4AEl2 a 1750 e 3550 rpm nominais Obtenha e trace curvas de ajuste para altura de carga total versus vazão volumétrica para cada velocidade desta bomba com um rotor de 310 mm de diâmetro 1024 Dados de testes de uma bomba de sucção operada a 2000 rpm com um rotor de 35 cm de diâmetro são Vazão Q m3s 103 17 26 38 45 63 Altura total H m 60 59 54 50 37 Potência de alimentação kW 19 22 26 30 34 Trace curvas de desempenho desta bomba inclua uma curva de eficiência versus a vazão volumétrica Localize o ponto de melhor eficiência e especifique a capacidade da bomba neste ponto 1025 Uma bomba centrífuga de diâmetro 225 cm girando a 900 rpm com água a 20C gera os seguintes dados Vazão Q m3s 103 0 57 113 170 226 283 Altura total H m 7 68 64 59 52 38 Potência de alimentação kW 113 128 182 201 240 364 Trace curvas de desempenho desta bomba inclua uma curva de eficiência versus a vazão volumétrica Localize o ponto de melhor eficiência e especifique a capacidade da bomba neste ponto Qual é a velocidade específica para esta bomba 1026 Um ventilador de fluxo axial opera com ar ao nível do mar a 1350 rpm e tem um diâmetro periférico da pá de 1 m e um diâmetro na raiz de 08 m Os ângulos de entrada são α1 55 β1 30 e o de saída β2 60 Estime a vazão volumétrica a potência e o ângulo de saída α2 1027 Escreva a velocidade específica da turbina em termos do coeficiente de vazão e do coeficiente de altura de carga 1028 Dados medidos durante testes de uma bomba centrífuga operada a 3000 rpm são Parâmetro Entrada Seção Saída Seção Pressão manométrica p kPa 86 Elevação acima do referencial z m 20 10 Velocidade média do escoamento ms 20 46 A vazão é 15 m3h e o torque aplicado ao eixo da bomba é 64 Nm A eficiência da bomba é 75 e a eficiência do motor elétrico é 85 Determine a potência elétrica requerida e a pressão manométrica na seção 1029 O quilogramaforça kgf definido como a força exercida por um quilograma massa na gravidadepadrão é comumente usado na prática europeia O cavalovapor métrico hpm de metric horsepower é definido como 1 hpm 75 m kgfs Desenvolva uma conversão relacionando o hpm com o hp dos EUA Relacione a velocidade específica para uma turbina hidráulica calculada em unidades de rpm hpm e metros com a velocidade específica calculada nas unidades usuais nos EUA 1030 Escreva a velocidade específica da bomba em termos do coeficiente de vazão e do coeficiente de carga 1031 Uma pequena bomba centrífuga quando testada com água a N 2875 rpm forneceu Q 0016 m3s e H 40 cm no seu ponto de melhor eficiência η 070 Determine a velocidade específica da bomba nesta condição de teste Esboce a forma do rotor que você esperaria Calcule a potência requerida pela bomba 1032 Curvas típicas de desempenho de uma bomba centrífuga testada com três diferentes diâmetros de rotor em uma carcaça única são mostradas na figura Especifique a vazão e a altura de carga produzidas pela bomba no seu ponto de melhor eficiência com um rotor de diâmetro de 300 mm Transporte estes dados por escala para prever o desempenho desta bomba quando testada com rotores de 275 mm e de 325 mm Comente sobre a exatidão do procedimento de transporte 1033 Uma bomba com D 500 mm fornece Q 0725 m3s de água a H 10 m no seu ponto de melhor eficiência Se a velocidade específica da bomba for 174 e a potência requerida for de 90 kW determine a altura de carga de bloqueio H0 e a melhor eficiência η Qual é o tipo desta bomba Se a bomba gira agora a 900 rpm estime transportando por escala a partir da curva de desempenho a nova vazão volumétrica altura de carga e potência requerida 1034 No seu ponto de melhor eficiência η 085 com D 400 mm fornece uma vazão de água Q 12 m3s a uma altura H 50 m quando opera a N 1500 rpm Calcule a velocidade específica desta bomba Estime a potência de entrada requerida pela bomba Determine os parâmetros de ajuste da curva de desempenho da bomba com base no ponto de bloqueio e no ponto de melhor eficiência Transporte por escala a curva de desempenho de modo a estimar a vazão a altura de carga a eficiência e a potência requerida para acionar a mesma bomba a 750 rpm 1035 Um sistema de bombeamento deve ser especificado para uma estação elevatória em uma instalação de tratamento de esgoto A vazão média é 110 milhões de litros por dia e a elevação requerida é 10 m Rotores à prova de entupimento devem ser utilizados uma eficiência de aproximadamente 65 é esperada Para uma instalação conveniente motores elétricos de 375 kW ou menos são desejados Determine o número de unidades motorbomba necessário e recomende uma velocidade de operação apropriada 1036 Uma bomba centrífuga opera a 1750 rpm o rotor tem pás curvadas para trás com β2 60 e b2 125 cm A uma vazão de 0025 m3s a velocidade radial de saída é Vn2 35 ms Estime a altura de carga que esta bomba pode desenvolver a 1150 rpm 1037 Um conjunto de sete unidades motorbomba de 30 kW é usado para levar água a uma elevação de 30 m A eficiência das bombas está especificada em 65 Estime a vazão litros por dia e selecione uma velocidade de operação apropriada 1038 O Apêndice D contém mapas para a seleção de modelos de bombas e curvas de desempenho para modelos individuais de bombas Use esses dados para verificar as regras de similaridade para uma bomba Peerless Tipo 4AE12 com diâmetro de impulsor D 110 mm operada a 1750 e 3550 rpm nominais 1039 O Apêndice D contém mapas para a seleção de modelos de bombas e curvas de desempenho para modelos individuais de bombas Use esses dados e as regras de similaridade para prever o desempenho e traçar curvas de altura de carga H m como função de Q m3l de uma bomba Peerless Tipo 10AE12 com diâmetro de rotor D 305 mm para velocidades nominais de 1000 1200 1400 e 1600 rpm 1040 Considere a bomba centrífuga horizontal Peerless de carcaça bipartida Tipo 16A18B Apêndice D Use os dados de desempenho para verificar as regras de similaridade para a mudança no diâmetro do rotor e b velocidades de operação de 705 e 880 rpm note a mudança de escala entre velocidades 1041 Use os dados do Apêndice D para verificar as regras de similaridade para o efeito de mudar o diâmetro do rotor de uma bomba Peerless Tipo 4AE12 operada a l750 e 3550 rpm nominais 1042 Curvas de desempenho para bombas Peerless horizontais de carcaça bipartida são apresentadas no Apêndice D Desenvolva e trace curvas de ajuste para uma bomba Tipo 10AE12 acionada a 1150 rpm nominal usando o procedimento descrito no Exemplo 106 1043 Curvas de desempenho para bombas Peerless horizontais de carcaça bipartida são apresentadas no Apêndice D Desenvolva e trace curvas de ajuste para uma bomba tipo l6A18B com diâmetro de rotor D 460 mm operada a 705 e 880 rpm nominais Verifique os efeitos de velocidade da bomba sobre o transporte das curvas pelos princípios de semelhança usando o procedimento descrito no Exemplo l06 1044 Dados de catálogo para uma bomba centrífuga de água nas condições de projeto são Q 57 m3h e Δp 128 kPa a l750 rpm Uma calha medidora de laboratório requer 45 m3h e 98 m de altura de carga O único motor disponível desenvolve 22 kW a 1750 rpm Este motor é adequado para a calha medidora do laboratório Como poderia ser melhorada a combinação bombamotor 1045 O Problema 1021 sugere que a altura de carga de uma bomba em sua melhor eficiência seja tipicamente cerca de 70 da altura de bloqueio Use dados de bombas do Apêndice D para avaliar esta aproximação Outra sugestão na Seção 104 é que Q D2 no transporte por escala apropriado para testes de carcaças de bombas com diferentes diâmetros de rotor Use dados de bombas para avaliar esta aproximação 1046 White 53 sugere modelar a eficiência de uma bomba centrífuga usando o ajuste de curva η aQ bQ3 em que a e b são constantes Descreva um procedimento para avaliar a e b a partir de dados experimentais Avalie a e b usando dados para a bomba Peerless Tipo 10AEl2 com diâmetro de rotor D 305 mm a 1760 rpm Apêndice D Trace um gráfico e ilustre a exatidão do ajuste de curva comparando a eficiência prevista com aquela medida para esta bomba 1047 Um ventilador opera a Q 63 m3s H 015 m e N 1440 rpm Um pequeno ventilador geometricamente semelhante é previsto em uma instalação de modo que ele fornecerá a mesma carga com a mesma eficiência de um grande ventilador mas com uma velocidade de 1800 rpm Determine a vazão volumétrica do ventilador pequeno 1048 Um modelo de bomba de água centrífuga em escala 13 produz uma vazão Qm 1 m3s com uma altura de carga Hm 54 m operando a Nm 5100 rpm Considerando eficiências comparáveis para modelo e protótipo estime a vazão a altura de carga e a potência requerida se a velocidade de projeto for 125 rpm 1049 A variação da viscosidade da água com a temperatura pode ser usada em alguns casos para obter semelhança dinâmica Um modelo de bomba operando a 3600 rpm fornece 010 m3s de água a 15C contra uma altura de carga de 27 m Determine a temperatura da água que deve ser usada para obter operação dinamicamente semelhante a 1800 rpm Estime a vazão volumétrica e a altura de carga produzida pela bomba na condição de teste na velocidade mais baixa Comente sobre os requisitos de NPSH para os dois testes 1050 Uma frigideira grande e funda de uma lanchonete contém óleo quente que é recirculado através de um trocador de calor Partículas sólidas e gotas de água provenientes do alimento frito são observadas no óleo circulante Que fatores especiais devem ser considerados na especificação das condições de operação das bombas de recirculação do óleo 1051 Dados de testes de uma bomba operada a 1500 rpm com um rotor de diâmetro 30 cm são Vazão Q m3s 103 10 20 30 40 50 60 70 Altura de sucção positiva líquida Requerida NPSR m 22 24 26 31 36 41 51 Desenvolva e trace o gráfico de uma equação de ajuste de curva para NPSHR versus vazão volumétrica da forma NPSHR a bQ2 em que a e b são constantes Se o NPSHA 6 m estime a velocidade máxima permitida para esta bomba 1052 Uma bomba de quatro estágios de alimentação de caldeira tem as linhas de sucção e de recalque descarga com diâmetros internos de 10 cm e 75 cm respectivamente A 3500 rpm a bomba fornece nominalmente 0025 m3s contra uma altura de carga de 125 m enquanto bombeia água a 115ºC O manômetro da sucção instalado 50 cm abaixo do olho do rotor fornece uma leitura de 150 kPa A bomba deve ser certificada de fábrica por testes com a mesma vazão velocidade e aumento de altura de carga mas usando água a 27ºC Calcule o NPSHA na entrada da bomba na instalação de campo Avalie a altura de carga de sucção que deve ser usada no teste de fábrica de modo a reproduzir as condições de sucção de campo 1053 A altura de sucção positiva líquida requerida NPSHR por uma bomba pode ser expressa aproximadamente como uma função parabólica da vazão em volume O NPSHR para uma dada bomba operando a 1800 rpm com água é dado por Hr H0 AQ2 em que H0 3 m de água e A 3000 mm3s2 Considere que o sistema de alimentação da sucção da bomba consiste em um reservatório cuja superfície está 6 m acima da linha de centro da bomba de uma entrada de bordaviva 6 m de tubo de ferro fundido de 15 cm de diâmetro e um cotovelo de 90 Calcule a vazão volumétrica máxima a 20ºC para a qual a altura de carga da sucção é suficiente para operar esta bomba sem cavitação 1054 Uma bomba centrífuga operando a N 2265 rpm eleva água entre dois reservatórios conectados por 90 m de tubo de ferro fundido de 150 mm e 30 mm de tubo de 75 mm do mesmo material instalados em série A diferença de elevação entre os reservatórios é 76 m Estime os requisitos de altura de carga de potência da bomba e de custo horário de energia elétrica de bombeamento da água a 45 m3h para o reservatório mais alto Admita que a energia elétrica custe 012 dólar por kW h e que a eficiência do motor elétrico seja igual a 85 1055 Para a bomba e sistema de escoamento do Problema 1053 calcule a vazão máxima para água quente a várias temperaturas e trace um gráfico de vazão versus temperatura da água Certifiquese de considerar a variação na massa específica quando a temperatura da água variar 1056 Uma bomba centrífuga está instalada em um sistema de tubulações de ferro fundido com L 300 m e D 40 cm A superfície do reservatório a montante da bomba está 15 m abaixo do reservatório a jusante Determine e trace a curva de altura de carga do sistema Determine a vazão volumétrica valor e sentido através do sistema quando a bomba não estiver operando Estime a perda de carga por atrito a potência requerida e o custo horário de energia para elevar água a 1 m3s através desse sistema 1057 Parte do suprimento de água para o Setor Sul do Parque Nacional do Grand Canyon é oriunda do Rio Colorado 54 Uma vazão de 136 m3h tomada do rio a uma elevação de 1140 m é bombeada para um tanque de armazenagem acima do Setor Sul na elevação de 2140 m Parte da tubulação está acima do solo e parte em uma galeria perfurada direcionalmente em ângulos de até 70 a partir da vertical o comprimento total da linha é de 4020 m Sob condições de operação em regime permanente a perda de carga por atrito é de 88 m de água em adição à altura estática Estime o diâmetro do tubo de aço comercial do sistema Calcule a potência de bombeamento requerida se a eficiência da bomba for 61 1058 Uma bomba Peerless horizontal de carcaça bipartida do tipo 4AE12 com rotor de diâmetro 280 mm operando a 1750 rpm eleva água entre dois reservatórios conectados por tubos de ferro fundido com 61 m de 100 mm e 61 m de 75 mm montados em série A altura estática é de 3 m Trace a curva de carga do sistema e determine o ponto de operação da bomba 1059 Uma bomba transfere água de um reservatório para outro através de dois trechos de tubo de ferro fundido em série O primeiro trecho tem 915 m de comprimento e 230 mm de diâmetro e o segundo 300 mm de comprimento e 150 mm de diâmetro Uma vazão constante de 17 m3h é medida na junção entre os dois trechos Obtenha e trace a curva de altura de carga do sistema versus vazão Determine a vazão se o sistema for suprido pela bomba do Exemplo 106 operando a 1750 rpm 1060 Os dados de desempenho de uma bomba são H m 275 27 25 22 18 13 65 Q m3s 0 0025 0050 0075 0100 0125 0150 A bomba é usada para mover água entre dois reservatórios abertos com um desnível de 75 m O sistema de tubos de conexão consiste em 500 m de tubo de aço comercial contendo dois joelhos de 90 e uma válvula de gaveta aberta Determine a vazão se forem usados tubos de diâmetros nominais a 20 cm b 30 cm e c 40 cm 1061 Os dados de desempenho de uma bomba são H m 55 54 50 44 36 26 13 Q m3h 0 105 210 315 420 525 630 Estime a vazão quando a bomba é usada para mover água entre dois reservatórios abertos através de 365 m de tubo de aço comercial com D 305 mm contendo duas curvas de 90º e uma válvula de gaveta aberta se o aumento de elevação for de 15 m Determine o coeficiente de perda da válvula de gaveta requerido para reduzir a vazão volumétrica pela metade 1062 Considere novamente a bomba e a tubulação do Problema 1061 Determine a vazão volumétrica e o coeficiente de perda da válvula de gaveta para o caso de duas bombas idênticas instaladas em série 1063 A resistência de um dado tubo aumenta com a idade à medida que se formam depósitos aumentando a rugosidade e reduzindo o diâmetro veja a Fig 814 Multiplicadores típicos para serem aplicados ao fator de atrito são dados em 15 Idade do Tubo anos Tubos Pequenos Tubos Grandes New 100 100 10 220 160 20 500 200 30 725 220 40 875 240 50 960 286 60 100 370 70 101 470 Considere novamente a bomba e a tubulação do Problema 1061 Estime as reduções percentuais na vazão volumétrica que ocorrerão após a 20 anos e b 40 anos de uso se as características da bomba permanecerem constantes Repita os cálculos para os casos da altura de carga da bomba ser reduzida de 10 após 20 anos e de 25 após 40 anos de uso 1064 Considere novamente a bomba e a tubulação do Problema 1061 Determine a vazão volumétrica e o coeficiente de perda da válvula de gaveta para o caso de duas bombas idênticas instaladas em paralelo 1065 Considere novamente a bomba e o sistema de tubos do Problema 1064 Estime as reduções percentuais na vazão volumétrica que ocorrerão após a 20 anos e b 40 anos de uso se as características da bomba permanecerem constantes Repita os cálculos para os casos da altura de carga da bomba ser reduzida de 10 após 20 anos e de 25 após 40 anos de uso Use os dados do Problema 1063 para o aumento no fator de atrito com a idade do tubo 1066 Considere novamente a bomba e o sistema de tubos do Problema 1062 Estime as reduções percentuais na vazão volumétrica que ocorrem após a 20 anos e b 40 anos de uso se as características da bomba permanecerem constantes Repita os cálculos para os casos da altura de carga da bomba ser reduzida de 10 após 20 anos e de 25 após 40 anos de uso Use os dados do Problema 1063 para o aumento no fator de atrito com a idade do tubo 1067 A cidade de Englewood no Colorado é abastecida com água do South Platte River na elevação de 1610 m 54 A água é bombeada para reservatórios de armazenagem na elevação de 1620 m O diâmetro interno da tubulação de aço é 685 cm seu comprimento é 1770 m A instalação foi projetada para uma capacidade vazão inicial de 3200 m3h e uma capacidade futura de 3900 m3h Calcule e trace a curva de resistência do sistema Especifique um sistema apropriado de bombeamento Estime a potência de bombeamento requerida para operação em regime permanente para ambas as vazões inicial e futura 1068 Uma bomba no sistema mostrado retira água de um poço e lançaa em um tanque aberto através de 400 m de tubo novo de aço com diâmetro nominal de 10 cm O tubo vertical da aspiração sucção tem comprimento de 2 m e inclui uma válvula de pé com disco articulado e um cotovelo de 90 A linha de recalque descarga inclui dois cotovelos padronizados de 90º uma válvula angular de retenção e uma válvula de gaveta totalmente aberta A vazão de projeto é 800 Lmin Determine as perdas de carga nas linhas de sucção e de descarga Calcule o NPSHA Selecione uma bomba adequada para esta aplicação 1069 Considere o sistema de escoamento descrito no Problema 8175 Selecione uma bomba apropriada para esta aplicação Verifique o NPSHR versus o NPSHA para esse sistema 1070 Considere o sistema de escoamento e os dados do Problema 1068 e as informações de envelhecimento de tubos apresentadas no Problema 1063 Selecione a bomba ou as bombas que manterão a vazão do sistema no valor desejado por a 10 anos e b 20 anos Compare a vazão fornecida por essas bombas com aquela fornecida pela bomba dimensionada apenas para tubos novos 1071 Considere o sistema de escoamento mostrado no Problema 8176 Selecione uma bomba apropriada para esta aplicação Verifique os requisitos de eficiência e de potência da bomba em comparação com aqueles do enunciado do problema 1072 Considere o sistema de escoamento mostrado no Problema 8124 Considere que o mínimo NPSHR na entrada da bomba é 46 m de água Selecione uma bomba apropriada para esta aplicação Use os dados de aumento do fator de atrito com a idade do tubo do Problema 1065 para estimar a redução de vazão após 10 anos de operação 1073 Considere a rede de tubos do Problema 8189 Selecione uma bomba adequada para fornecer uma vazão total de 68 m3h através da rede de tubos 1074 Um bocal de incêndio está conectado a uma mangueira de lona de 30 m de comprimento e 75 mm de diâmetro com e 03 mm Água de um hidrante é fornecida a 345 kPa para uma bomba auxiliar na carroceria do carro de bombeiros Nas condições de operação de projeto a pressão na entrada do bocal é 690 kPa e a perda de carga ao longo da mangueira é de 75 kPam para o comprimento Calcule a vazão de projeto e a máxima velocidade na saída do bocal Selecione uma bomba apropriada para esta aplicação determine sua eficiência nesta condição de operação e calcule a potência requerida para acionar a bomba 1075 Um sistema de bombeamento com duas diferentes alturas estáticas é mostrado Cada reservatório é suprido por uma linha que consiste em tubos de ferro fundido com 300 m de comprimento e 20 cm de diâmetro Avalie e trace a curva de altura de carga versus vazão do sistema Explique o que acontece quando a altura de carga da bomba é menor do que a altura do reservatório superior Calcule a vazão fornecida pela bomba para uma altura de 26 m 1076 Considere o sistema de escoamento mostrado no Problema 890 Avalie o NPSHA na entrada da bomba Selecione uma bomba apropriada para esta aplicação Use os dados de envelhecimento de tubos do Problema 1063 para estimar a redução na vazão após 10 anos de operação 1077 Considere a tubulação de gasolina do Problema 8142 Selecione bombas que combinadas em paralelo atendam o requisito da vazão total Calcule a potência necessária por 4 bombas em paralelo Calcule também as vazões volumétricas e as potências requeridas quando apenas l 2 ou 3 dessas bombas operam 1078 Considere o sistema de circulação de água gelada do Problema 8178 Selecione bombas que possam ser combinadas em paralelo para suprir a demanda total de vazão Calcule a potência requerida por três bombas em paralelo Calcule também as vazões volumétricas e as potências requeridas quando somente 1 ou 2 dessas bombas operam 1079 A água do sistema de irrigação de uma casa de campo deve ser retirada de um lago próximo A casa está localizada em uma encosta 30 m acima da superfície do lago A bomba está localizada em um terreno 3 m acima da superfície do lago O dispositivo de irrigação sprinkler requer 40 Lmin a 300 kPa O sistema de tubos deve ser de ferro galvanizado com diâmetro de 2 cm A seção de aspiração entre o lago e a entrada da bomba inclui uma entrada reentrante um cotovelopadrão de 45º um cotovelopadrão de 90º e 20 m de tubo A seção de recalque entre a saída da bomba e o sprinkler inclui dois cotovelospadrão de 45º e 45 m de tubo Avalie a perda de carga no lado da sucção da bomba Calcule a pressão manométrica na entrada da bomba Determine o requisito de potência hidráulica da bomba Se o diâmetro do tubo fosse aumentado para 4 cm o requisito de potência da bomba decresceria cresceria ou permaneceria o mesmo Que diferença faria se a bomba estivesse localizada no meio da encosta 1080 Considere a mangueira e bocal de incêndio do Problema 8179 Especifique uma bomba e um diâmetro de rotor apropriados para alimentar quatro dessas mangueiras simultaneamente Calcule a potência requerida pela bomba 1081 Dados do fabricante para a bomba de operação submersa Little Giant Water Wizard são Altura de descarga m 03 07 15 30 45 60 80 Vazão de água Lmin 772 75 71 61 51 26 0 O manual do proprietário também esclarece Nota Estes valores nominais são baseados na descarga para dentro de um tubo de 25 mm com perdas de atrito desprezíveis Usando um adaptador de mangueira de jardim de 20 mm o desempenho será reduzido de aproximadamente 15 Trace uma curva de desempenho para a bomba Desenvolva uma equação de ajuste da curva de desempenho mostre a curva do ajuste no gráfico Calcule e trace a vazão da bomba versus altura da descarga através de um trecho de 15 m de mangueira de jardim lisa de 20 mm Compare com a curva de vazão para o tubo de 25 mm 1082 Considere o sistema de filtragem de piscina do Problema 8190 Considere também que o tubo usado é de PVC com diâmetro nominal de 20 mm plástico liso Especifique a velocidade e o diâmetro do rotor e estime a eficiência de uma bomba adequada 1083 Água é bombeada de um lago em z 0 para um grande reservatório localizado sobre uma encosta acima do lago O tubo é de ferro galvanizado com 75 mm de diâmetro A seção de aspiração entre o lago e a bomba inclui uma entrada bem arredondada um cotovelopadrão de 90º e 15 m de tubo A seção de recalque entre a saída da bomba e a descarga para o tanque aberto inclui 2 cotovelospadrão de 90º uma válvula de gaveta e 46 m de tubo O tubo de descarga pela lateral inferior do tanque está a uma altura z 21 m Calcule a curva de vazão do sistema Estime o ponto de operação do sistema Determine a potência de alimentação da bomba se a eficiência no ponto de operação é 80 Esboce a curva do sistema quando o nível de água no tanque superior atinge z 27 m Se o nível de água no tanque superior está em z 23 m e a válvula está parcialmente fechada de modo a reduzir a vazão para 10 m3h esboce a curva do sistema para esta condição de operação Você esperaria que a eficiência da bomba fosse maior para a primeira ou para a segunda condição de operação Por quê 1084 Dados de desempenho para um ventilador centrífugo de 1 m de diâmetro testado a 650 rpm são Vazão volumétrica Q m3s 3 4 5 6 7 8 Aumento de pressão estática Δp mm de H2O 53 51 45 35 23 11 Potência de alimentação kW 205 237 260 262 261 24 Trace um gráfico dos dados de desempenho versus vazão volumétrica Calcule a eficiência estática e mostre a curva no gráfico Determine o ponto de melhor eficiência e especifique os valores de operação do ventilador neste ponto 1085 Considerando o ventilador do Problema 1084 determine o mínimo tamanho de duto quadrado de chapa metálica capaz de transportar uma vazão de 575 m3s para uma distância de 15 m Estime o aumento na vazão se a velocidade de rotação do ventilador for aumentada para 800 rpm 1086 Os dados de desempenho do Problema 1084 são para um rotor de ventilador de diâmetro 1 m Esse ventilador também é fabricado com rotores de 1025 m 1125 m 1250 m e 1375 m de diâmetro Selecione um ventiladorpadrão que forneça 14 m3s contra um aumento de pressão estática de 25 mm de coluna de mercúrio Determine a velocidade e a potência requeridas para o ventilador 1087 Considere o ventilador e os dados de desempenho do Problema 1084 Para Q 575 m3s a pressão dinâmica é equivalente a 4 mm de coluna de água Avalie a área de saída do ventilador Trace um gráfico do aumento de pressão total e da potência de entrada em hp versus vazão em volume Calcule a eficiência total do ventilador e mostre a curva no gráfico Determine o ponto de melhor eficiência e especifique os valores de operação do ventilador neste ponto 1088 As características de desempenho de um ventilador de fluxo axial da Howden Buffalo são apresentadas na figura O ventilador é utilizado para operar um túnel de vento de 03 m2 de seção transversal O túnel consiste em uma contração de entrada suave duas telas cada uma com coeficiente de perda K 012 a seção de teste e um difusor onde a seção transversal é ampliada para o diâmetro de 610 mm na entrada do ventilador O fluxo do ventilador é descarregado de volta no ambiente Calcule e trace a curva característica de perda de pressão do sistema versus vazão volumétrica Estime a máxima velocidade do escoamento de ar disponível na seção de teste desse túnel de vento 1089 Considere novamente o ventilador de fluxo axial e o túnel de vento do Problema 1088 Transporte por escala o desempenho do ventilador à medida que ela varia com a velocidade de operação Desenvolva e trace uma curva de calibração mostrando a velocidade do escoamento na seção de teste em ms versus a velocidade de rotação do ventilador em rpm 1090 Dados de testes experimentais para a bomba de combustível de um motor de avião são apresentados adiante Essa bomba de engrenagens é requerida para fornecer combustível a 205 kgh e 1 MPa para o controlador de combustível do motor do avião Os testes foram conduzidos a 10 96 e 100 da velocidade nominal da bomba de 4536 rpm Para cada velocidade constante a contrapressão altura de descarga sobre a bomba era ajustada e a vazão medida Em um único gráfico trace curvas de pressão versus vazão para as três velocidades constantes Estime o volume deslocado pela bomba por revolução Calcule a eficiência volumétrica em cada ponto de teste e esboce os contornos de ηv constante Avalie a perda de energia causada pelo estrangulamento na válvula para 100 de velocidade e vazão total para o motor Velocidade da Bomba rpm Contra pressão MPa Vazão de combustível kgh Velocidade da Bomba rpm Contrapressão MPa Vazão de combustível kgh Velocidade da Bomba rpm Contrapressão MPa Vazão de combustível kgh 14 815 14 780 14 40 21 815 21 790 17 33 4536 100 28 815 4355 96 28 782 453 10 21 26 35 805 35 775 24 20 63 775 63 775 28 14 Vazão de combustível medida em libramassa por hora kgh manométricas Turbinas Hidráulicas 1091 Uma turbina hidráulica é projetada para produzir 26800 kW a 95 rpm sob uma altura de carga de 15 m Um modelo em instalações de laboratório pode gerar 35 kW para uma altura de 5 m Determine a a velocidade de teste do modelo e a razão de escala e b a vazão volumétrica considerando que a eficiência do modelo é de 86 1092 Cálculos preliminares para uma usina hidrelétrica mostram que uma altura de carga líquida de 715 m está disponível com uma vazão de água de 2 m3s Compare a geometria e a eficiência de rodas Pelton projetadas para funcionar a a 450 rpm e b 600 rpm 1093 As condições na entrada do bocal de uma turbina Pelton são p 49 MPa e V 24 kmh O diâmetro do jato é d 190 mm e o coeficiente de perda do bocal é Kbocal 004 O diâmetro da roda é D 24 m Para esta condição de operação η 086 Calcule a a potência produzida b a velocidade normal de operação c a velocidade aproximada de descarga d o torque na velocidade normal de operação e e o torque aproximado para velocidade nula 1094 As turbinas de reação em Niagara Falls são do tipo Francis O diâmetro externo do rotor é 45 m Cada turbina produz 54 MW a 107 rpm com eficiência de 938 sob uma altura de carga líquida de 65 m Calcule a velocidade específica dessas unidades Avalie a vazão volumétrica em cada turbina Estime o diâmetro do tubo de adução se ele tem 400 m de comprimento e a altura de carga líquida é 83 da altura de carga bruta 1095 As Unidades 19 20 e 21 de turbinas Francis instaladas na represa do Grand Coulee no Rio Columbia são muito grandes 55 Cada rotor tem 830 mm de diâmetro e contém 550 toneladas de aço fundido Em condições nominais cada turbina desenvolve 610 MW a 72 rpm sob uma altura de carga de 87 m A eficiência é aproximadamente 95 nas condições nominais As turbinas operam com alturas de carga de 67 a 108 m Calcule a velocidade específica nas condições nominais de operação Estime a vazão máxima de água através de cada turbina 1096 Dados medidos do desempenho das turbinas de reação da represa de Shasta Dam perto de Redding na Califórnia são mostrados na Fig 1039 Cada turbina tem potência nominal de 77 x 103 kW quando operada a l386 rpm sob uma altura de carga líquida de 115 m Avalie a velocidade específica e calcule o torque no eixo desenvolvido por cada turbina nas condições nominais de operação Calcule e trace a vazão de água por turbina necessária para produzir a potência nominal como uma função da altura de carga 1097 A Fig 1037 apresenta dados para a eficiência de uma grande roda de água Pelton instalada na Usina Hidrelétrica de Tiger Creek da Pacific Gas Electric Company perto de Jackson na Califórnia Esta unidade tem potência nominal de 268 MW quando operada a 225 rpm sob uma altura de carga de água de 360 m Adote valores razoáveis para ângulos de escoamento e coeficiente de perda no bocal e para a água a 15C Determine o diâmetro do rotor e estime o diâmetro do jato e a vazão mássica de água 1098 Uma turbina de impulsão deve desenvolver 15 MW com roda única em um local onde a altura de carga líquida é 350 m Determine a velocidade o diâmetro do rotor e o diâmetro do jato apropriado para operação com jato único e com jatos múltiplos Compare com uma instalação de dois rotores em série Estime o consumo de água requerido 1099 Uma turbina de impulsão sob uma altura de carga líquida de 99 m foi testada para diferentes velocidades As vazões e as forças de frenagem para a série de velocidades foram registradas Velocidade da Roda rpm Vazão m3h Força de frenagem N R 015 m 0 1315 1170 1000 1315 1068 1500 1315 988 1900 1264 850 2200 1193 645 2350 958 387 2600 785 151 2700 693 040 Calcule e faça um gráfico da potência produzida e da eficiência da máquina em função da velocidade da turbina de água 10100 Em unidades típicas dos Estados Unidos a definição comum de velocidade específica para uma turbina hidráulica é dada pela Eq 1013b Desenvolva uma conversão entre essa definição e outra verdadeiramente adimensional em unidades SI Avalie a velocidade específica de uma turbina de impulsão operando a 400 rpm sob uma altura de carga líquida de 1190 m com 86 de eficiência quando suprida por jato único de diâmetro 6 mm Use ambas as unidades americanas e SI Estime o diâmetro da roda 10101 De acordo com um portavoz da Pacific Gas Electric Company a Usina de Tiger Creek localizada a leste de Jackson na Califórnia é uma das 71 usinas hidrelétricas da Companhia A usina tem 373 m de altura de carga bruta consome 21 m3s de água tem potência nominal de 60 MW e opera a 58 MW Alegase que a usina produz 0785 kW hm2 m de água e 3364 x 106 kWhano de operação Estime a altura de carga líquida do local a velocidade específica da turbina e a sua eficiência Comente quanto à consistência interna desses dados 10102 Projete um sistema de tubulação para o fornecimento da água de uma turbina a partir de um reservatório na montanha O reservatório está localizado a 320 m acima do local da turbina A eficiência da turbina é 83 e ela deve produzir 30 kW de potência mecânica Defina o mínimo tamanhopadrão requerido para o tubo de suprimento de água para a turbina e a vazão volumétrica de água requerida Discuta os efeitos de eficiência da turbina rugosidade do tubo e instalação de um difusor na saída da turbina sobre o desempenho da instalação 10103 Uma pequena turbina hidráulica de impulsão é alimentada com água através de um tubo adutor com diâmetro D e comprimento L o diâmetro do jato é d A diferença de elevação entre a superfície da água no reservatório e a linha de centro do bocal é Z O coeficiente de perda de carga no bocal é Kbocal e o coeficiente de perda de carga do reservatório para a entrada do adutor é Kentrada Determine a velocidade do jato de água a vazão volumétrica e a potência hidráulica do jato para o caso em que Z 90 m L 300 m D 150 mm Kentrada 05 Kbocal 004 e d 50 mm se o tubo é de aço comercial Faça um gráfico da potência do jato como uma função do seu diâmetro para determinar o diâmetro ótimo e a potência hidráulica resultante do jato Comente sobre os efeitos de variação dos coeficientes de perda e da rugosidade do tubo Hélices e Máquinas Eólicas 10104 A hélice de um barco de propulsão a ar usado no parque nacional de Everglades na Flórida movimenta ar à taxa de 50 kgs Quando em repouso a velocidade da corrente de ar atrás da hélice é de 45 ms em um local onde a pressão é a atmosférica Calcule a o diâmetro da hélice b o empuxo produzido em repouso e c o empuxo produzido quando o barco move para a frente a 15 ms se a vazão mássica através da hélice permanece constante 10105 Um barco a ar no parque nacional Everglades na Flórida é impulsionado por uma hélice com D 15 m acionada à velocidade máxima N 1800 rpm por um motor de 125 kW Estime o máximo empuxo produzido pela hélice a a V 0 e b a V 125 ms 10106 Um avião a jato viajando a 225 ms aspira 50 kgs Se a eficiência propulsiva definida como a razão do trabalho útil de saída e a energia mecânica de entrada para o fluido do avião é 45 determine a velocidade de descarga em relação ao avião 10107 Dados de arrasto para modelo e protótipo de fragatas de mísseis teleguiados são apresentados nas Fig 1044 para dimensionar uma hélice única para movimentar a fragata real Calcule o tamanho da hélice a velocidade de operação e a potência de entrada se ela operar na eficiência máxima quando o navio viaja com velocidade máxima V 1934 ms 10108 A eficiência de propulsão η de uma hélice é definida como a razão entre o trabalho útil produzido e a energia mecânica cedida ao fluido Determine a eficiência de propulsão do barco em movimento do Problema 10104 Qual seria a eficiência se o barco não estivesse em movimento 10109 A hélice do avião a propulsão humana Gossamer Condor tem diâmetro D 36 m e gira a N 107 rpm Detalhes adicionais do avião são dados no Problema 9174 Estime as características adimensionais de desempenho e eficiência desta hélice nas condições de cruzeiro Considere que o piloto gaste 70 da potência máxima no regime de cruzeiro Veja a Referência 56 para mais informações sobre voo a propulsão humana 10110 Equações para o empuxo potência e eficiência de dispositivos de propulsão foram deduzidas na Seção 106 Mostre que aquelas equações podem ser combinadas para a condição de empuxo constante para obter Interprete este resultado fisicamente 10111 A NASA National Aeronautics Space Administration e o DOE Department of Energy dos Estados Unidos patrocinam um grande gerador a turbina eólica de demonstração em Plum Brook perto de Sandusky em Ohio 47 A turbina tem duas pás com raio de 19 m e fornece potência máxima quando a velocidade do vento está acima de V 29 kmh Ela foi projetada para produzir 100 kW com uma eficiência mecânica de 75 O rotor foi projetado para operar a uma velocidade constante de 45 rpm em ventos acima de 26 ms por meio do controle da carga do sistema e do ajuste dos ângulos das pás Para a condição de potência máxima calcule a velocidade periférica do rotor e o coeficiente de potência 10112 Um moinho típico de fazenda americana com pás múltiplas tem D 21 m e foi projetado para produzir potência máxima em ventos com V 24 kmh Estime a vazão de água fornecida como função da altura em que a água é bombeada por este moinho 10113 Um modelo de um moinho de vento de pás múltiplas típico de fazenda americana deve ser construído para demonstração O modelo com D 1 m deve desenvolver potência máxima a uma velocidade do vento de V 10 ms Calcule a velocidade angular do modelo para ótima geração de potência Estime a potência produzida 10114 A maior turbina eólica Darrieus conhecida de eixo vertical foi construída pelo DOE Departamento de Energia dos Estados Unidos perto de Sandia no Novo México 48 Essa máquina tem altura de 18 m e raio de 5 m a área varrida pelo rotor é por volta de 110 m2 Se o rotor for constrangido a rodar a 70 rpm trace a potência em kW que esta turbina eólica pode produzir para velocidades do vento entre 257 ms e 257 ms 10115 Dados de sustentação e arrasto para a seção de aerofólio NACA 23015 são apresentados na Fig 917 Considere a hélice de duas pás de uma turbina eólica de eixo horizontal com seção de pá NACA 23015 Analise o escoamento de ar relativo a um elemento de pá da turbina eólica em rotação Desenvolva um modelo numérico para o elemento de pá Calcule o coeficiente de potência desenvolvido pelo elemento de pá como uma função da razão de velocidade periférica Compare seu resultado com a tendência geral de potência produzida para rotores de turbinas de alta velocidade de duas pás mostrada na Fig 1050 10116 Alumínio estrudado modelado conforme seções de aerofólios simétricos da NACA é frequentemente empregado para formar as pás de turbinas eólicas Darrieus Na tabela são apresentados coeficientes de sustentação e de arrasto 57 para uma seção NACA 0012 testada a Re 6 x 106 com rugosidadepadrão a seção estola para α 12 Ângulo de ataque α grau 0 2 4 6 8 10 12 Coeficiente de sustentação CL 0 023 045 068 082 094 102 Coeficiente de arrasto CD 00098 00100 00119 00147 00194 Analise o escoamento de ar relativo a um elemento de pá de uma turbina eólica Darrieus girando em torno do seu eixo troposquiano Desenvolva um modelo numérico para o elemento de pá Calcule o coeficiente de potência desenvolvido pelo elemento de pá como uma função da razão de velocidade periférica Compare seu resultado com a tendência geral de potência produzida pelos rotores Darrieus mostrada na Fig 1050 Turbomáquinas de Escoamento Compressível 10117 Um protótipo de compressor de ar com uma razão de compressão de 7 é projetado para receber 89 kgs de ar a 1 atm e 20C A velocidade de projeto a potência requerida e a eficiência são 600 rpm 56 MW e 80 respectivamente Um modelo de escala 15 do protótipo é construído para auxiliar a determinação da operabilidade do protótipo Se o modelo recebe ar em condições idênticas à do ponto projetado para o protótipo que valores de vazão mássica e potência serão requeridos para operação com eficiência de 80 10118 Um compressor está sendo projetado para condições de entrada de 1013 kPa e 21C Para economizar a potência requerida ele está sendo testado com um estrangulador no duto de entrada para reduzir a pressão de entrada A curva característica para sua velocidade normal de projeto de 3200 rpm está sendo levantada em um dia em que a temperatura ambiente é 144C A que velocidade o compressor poderia girar No ponto da curva característica na qual a vazão mássica seria 57 kgs a pressão de entrada é 5516 kPa Calcule a vazão mássica real durante o teste 10119 A turbina para um novo motor a jato foi projetado para condições de entrada de 1100 kPa e 925C recebendo 250 Kgs a velocidade de 500 rpm e condições de saída de 550 kPa e 730C Se a altitude e o combustível do motor forem mudados de modo que as condições de entrada agora sejam de 965 kPa e 870C calcule os novos valores da velocidade de operação e da vazão mássica considerando condições de saída similares inclusive a eficiência 10120 Vimos muitos exemplos no Capítulo 7 sobre a substituição de fluidos de trabalho visando facilitar alcançar a similaridade entre modelos e protótipos Descreva os efeitos de testes em um compressor usando hélio como fluido de trabalho considerando os parâmetros adimensionais e dimensionais que discutimos para máquinas de escoamento compressível 7Com o envelhecimento dos tubos depósitos minerais formamse nas paredes veja a Fig 814 aumentando a rugosidade relativa e reduzindo o diâmetro do tubo quando comparado com a condição de novo Veja o Problema 1063 para dados típicos de fator de atrito 8A massa específica dos gases de combustão que passam por um ventilador de tiragem induzida em uma termelétrica a vapor pode ser 40 inferior à massa específica do ar que passa pelo ventilador de tiragem forçada nesta termelétrica 9Carregamento de disco é o empuxo da hélice dividido pela área de varredura do disco atuador 10Solidez é definida como a razão entre a área projetada da pá e a área de varredura do disco atuador 11O passo é definido como a distância que a hélice percorreria por revolução em fluido calmo se ele avançasse ao longo da pá estabelecendo o ângulo θ O passo H deste elemento de pá é igual a 2πr tg θ Para obter passo constante ao longo da pá θ deve seguir a relação tg θ H2πr do cubo à periferia da pá Assim o ângulo geométrico da pá é menor na periferia e aumenta continuamente em direção à raiz 12Esta forma que seria aquela assumida por uma corda flexível girada em torno de um eixo vertical minimiza as tensões de flexão no rotor da turbina Darrieus 13Veja a Seção 123 para uma discussão de estado de estagnação 14Na Seção 121 foi demonstrado que um processo adiabático e reversível é isentrópico Disso pode ser provado que uma compressão isentrópica resulta na potência mínima de entrada entre duas pressões fixas enquanto uma expansão isentrópica resulta na potência máxima de saída entre duas pressões fixas Portanto o processo isentrópico de compressãoexpansão é considerado ideal para compressores e turbinas respectivamente Para mais informações consulte Moran e Shapiro 50 15O choque também é descrito para escoamentos em bocais na Seção 132 16A separação da camadalimite devido ao gradiente adverso de pressão é discutida na Seção 96 Quarter é o nome da moeda de 14 do dólar americano 25 centavos cujo diâmetro vale 0955 polegadas 2426 mm NT Peerless Pump Company a member of the Sterling Group PO Box 7026 Indianapolis IN 462067026 USA Escoamento em Canais Abertos 111 Conceitos Básicos e Definições 112 Equação de Energia para Escoamentos em Canal Aberto 113 Efeito Localizado de Mudança de Área Escoamento sem Atrito 114 O Ressalto Hidráulico 115 Escoamento Uniforme em Regime Permanente 116 Escoamento com Profundidade Variando Gradualmente 117 Medição de Descarga Usando Vertedouros 118 Resumo e Equações Úteis Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente Usando um Reservatório como uma Bateria Todos nós estamos familiarizados com as baterias elétricas usamos estas baterias em nossos carros laptops telefones celulares e aparelhos MP3 para mencionar apenas umas poucas utilidades As baterias são dispositivos para estocagem de energia que nos permitem gerar energia de uma só vez e em um só local e estocar essa energia para uso em diferentes momentos e em outros locais A figura mostra uma barragem que parece mundana ela é a Barragem Ffestiniog no norte do País de Gales mas ela é realmente parte de um desenvolvimento muito estimulante o Programa de Armazenamento Bombeado ela é uma bateria A ideia de usar reservatórios não apenas como uma fonte de energia mas como uma forma de armazenar energia não é nova muitos esforços foram feitos no Século XIX Isso está se tornando muito importante na otimização do desempenho de plantas de potência bem como no armazenamento de energia renovável produzida pelo vento por ondas pelas fazendas de correntes de oceanos e rios alguns dos quais comentados nos Estudos de Caso em Energia e Meio Ambiente precedentes Empresas que trabalham com energia sempre tiveram o problema de que a demanda de energia tende a possuir altos e baixos à tarde e no início da noite existe uma alta demanda no meio da noite baixa demanda Entretanto para o máximo desempenho as plantas devem operar com saída de energia em regime permanente adicionalmente a empresa de energia necessita ter em mãos capacidade de geração de energia extra apenas para estes picos de demanda Por outro lado a energia renovável necessita ser coletada quando está disponível quando o vento está soprando quando existem ondas ou correntes aceitáveis fluindo e estas horas nem sempre correspondem aos momentos em que a energia é necessária Com programas como este da Barragem Ffestiniog nos momentos de baixa demanda de energia elétrica o excesso de capacidade de geração da empresa de energia é usado para bombear água para um reservatório situado em um nível superior quando a demanda é alta a água é liberada para um reservatório mais baixo através de uma turbina gerando energia elétrica Conjuntos reversíveis turbinagerador agem como bomba e turbina normalmente de um projeto de turbina Francis veja o Capítulo 10 O sistema de quatro turbinas de água pode gerar 360 MW de energia elétrica um minuto após o aparecimento da demanda A barragem Ffestiniog Algumas instalações no mundo são puramente plantas de armazenamentobombeamento que simplesmente transferem água entre dois reservatórios mas plantas combinadas de armazenamento bombeamento que também geram sua própria energia elétrica como as plantas hidroelétricas convencionais estão se tornando mais comuns O processo é razoavelmente eficiente sendo a única forma de armazenar enormes quantidades de energia baterias elétricas possuem capacidades relativamente baixas Levando em consideração as perdas no sistema geradorturbina e as perdas por evaporação na superfície exposta da água bem como a possibilidade de perdas por ressaltos hidráulicos discutidos neste capítulo ocorridas nas saídas em torno de 70 a 85 da energia elétrica usada para bombear a água para o reservatório elevado pode ser reaproveitada Nos anos futuros esforços crescentes serão dedicados no aumento do rendimento destes sistemas e eles se tornarão mais comuns Por ora o sistema da Barragem Ffestiniog armazena o excesso de energia da planta de produção de energia mas futuramente esperamos encontrar plantas de armazenagem bombeamento adjacentes a uma série de fazendas eólicas Neste capítulo introduzimos alguns dos conceitos básicos no estudo de escoamentos em canal aberto O tópico de escoamento em canal aberto é coberto em maiores detalhes em uma série de textos especializados 18 Muitos escoamentos na engenharia e na natureza ocorrem em uma superfície livre Um exemplo de um canal feito pelo homem é mostrado na Fig 111 Esta figura é uma vista do Aqueduto HaydenRhodes com 306 km de comprimento que é parte do Projeto Arizona Central CAP O CAP é um canal de desvio com 541 km no Arizona usado para redirecionar água do Rio Colorado para dentro do Arizona central e do sul sendo o maior e mais caro sistema de aqueduto jamais construído nos Estados Unidos Fig 111 Aqueduto HaydenRhodes Projeto Arizona Central Cortesia do Setor de Recuperação de Obras dos Estados Unidos 1985 fotografia de Joe Madrigal Jr Como os escoamentos nas superfícies livres diferem em muitos aspectos daqueles escoamentos em condutos fechados que vimos no Capítulo 8 vamos tratar aqueles separadamente neste capítulo Exemplos familiares em que a superfície livre está à pressão atmosférica incluem escoamentos em rios aquedutos e canais de irrigação escoamentos em calhas de telhados ou de ruas e valas de drenagem Os canais feitos pelo homem recebem muitos nomes diferentes incluindo canal calha ou galeria Um canal normalmente é escavado abaixo do nível do solo e pode ser revestido ou não Os canais normalmente são longos e com declives muito suaves eles são usados para transportar águas pluviais ou de irrigação ou para navegação Uma calha normalmente é construída acima do nível do solo para transportar água através de uma depressão Uma galeria que normalmente é projetada para ter escoamento apenas em uma parte é um canal curto e coberto usado para drenar água sob uma rodovia ou aterro ferroviário Neste capítulo vamos desenvolver usando os conceitos de volume de controle do Capítulo 4 alguma teoria básica para descrever o comportamento e classificação dos escoamentos em canais naturais e feitos pelo homem Vamos considerar Escoamentos para os quais os efeitos locais de mudança de área predominam e as forças de atrito podem ser desprezadas Um exemplo é o escoamento sobre uma lombada ou depressão ao longo de um pequeno comprimento no qual o atrito é desprezível Escoamento com uma variação abrupta na profundidade Isso ocorre durante um ressalto hidráulico veja a Fig 1112 para exemplos de ressaltos hidráulicos Escoamento em que é chamado de profundidade normal Para este escoamento a seção transversal não varia na direção do escoamento a superfície do líquido é paralela ao leito do canal Este é um escoamento análogo ao escoamento completamente desenvolvido no interior de um tubo Escoamento variado gradualmente Um exemplo deste tipo de escoamento é aquele em um canal onde a inclinação do leito do canal varia O objetivo principal na análise dos escoamentos variados gradualmente é a predição da forma da superfície livre É bastante comum observar ondas superficiais em escoamentos com uma superfície livre sendo o mais simples exemplo quando um objeto tal como uma pedra é atirado dentro da água A velocidade de propagação da onda na superfície é análoga em muitos aspectos à propagação de uma onda sonora em um meio fluido compressível que discutimos no Capítulo 12 Vamos determinar os fatores que afetam a velocidade de tais ondas superficiais Veremos que a velocidade é um importante parâmetro para se saber se um escoamento em canal aberto será capaz de se ajustar gradualmente às condições variáveis a jusante ou se ocorrerá um ressalto hidráulico Este capítulo inclui também uma breve discussão sobre técnicas de medição para uso em canais abertos 111 Conceitos Básicos e Definições Antes de analisar os diferentes tipos de escoamento que podem ocorrer em um canal aberto discutiremos alguns conceitos comuns e formularemos algumas hipóteses para simplificação Estamos fazendo isso explicitamente porque existem algumas diferenças importantes entre nossos estudos precedentes de tubos e dutos no Capítulo 8 e o estudo de escoamentos em canais abertos Uma diferença significativa com relação aos escoamentos em tubos e dutos é A força de acionamento para escoamentos em canais abertos é a gravidade Note que alguns escoamentos em tubos e dutos são também acionados pela gravidade por exemplo escoamento para baixo em uma tubulação de esgoto porém o escoamento é tipicamente acionado por uma diferença de pressão gerada por um dispositivo tal como uma bomba A força da gravidade em escoamento em canal aberto se opõe à força de atrito sobre as fronteiras sólidas do canal Considerações para Simplificação O escoamento em um canal aberto especialmente em um canal natural tal como um rio é frequentemente muito complexo tridimensional e não permanente Entretanto na maior parte dos casos podemos obter resultados úteis por aproximação considerando o escoamento como Unidimensional Em regime permanente Uma terceira consideração para simplificação é O escoamento em cada seção em um escoamento em canal aberto é aproximado como tendo velocidade uniforme VÍDEO Um Canal Turbulento Animação em inglês VÍDEO A Barragem do Glen Canyon Uma Fonte de Escoamento Turbulento em Canal em inglês Os contornos típicos de perfis reais de velocidades para uma série de seções em canais aberto são mostrados na Fig 112 Estes parecem indicar que a terceira consideração é inválida mas realmente é uma consideração razoável conforme vamos justificar a seguir A maior parte dos escoamentos de interesse é grande na escala física de modo que os números de Reynolds são normalmente grandes Consequentemente o escoamento em canal aberto raramente é laminar neste capítulo consideraremos que o escoamento é turbulento Conforme vimos nos capítulos precedentes a turbulência tende a suavizar o gradiente de velocidade veja a Fig 811 para escoamento turbulento no interior de um tubo e a Fig 112 não sejam uniformes como uma aproximação razoável consideraremos velocidade uniforme em cada seção com o coeficiente de energia cinética α tomado como 1 o coeficiente de energia cinética é discutido na Seção 86 Isto é ilustrado na Fig 113a Fig 112 Contornos típicos de velocidade igual em seções de canal aberto De Chow 1 usado com permissão Fig 113 Aproximações para o perfil de velocidade e distribuição de pressão A Fig 112 mostra que a velocidade máxima medida ocorre abaixo da superfície livre apesar do fato de que a tensão de cisalhamento devido ao arrasto do ar é desprezível assim seria de esperar que a velocidade máxima ocorra na superfície livre Escoamentos secundários também são responsáveis pela distorção do perfil axial de velocidade exemplos de escoamentos secundários são quando um canal possui uma dobra ou curva ou possui uma obstrução tal como um cais de ponte As velocidades altas que podem estar presentes nos vórtices gerados em tais casos podem corroer seriamente o fundo de um canal natural A próxima consideração para simplificação que fazemos é A distribuição de pressão é considerada como hidrostática Isto é ilustrado na Fig 113b e é uma diferença significativa com relação à análise de escoamentos no interior de tubos e dutos do Capítulo 8 para esses escoamentos descobrimos que a pressão era uniforme em cada localização axial e variava na direção da corrente Nos escoamentos em canais abertos a superfície livre estará à pressão atmosférica zero manométrica de modo que a pressão na superfície livre não varia na direção do escoamento A principal variação de pressão ocorre através de cada seção isto será exatamente verdadeiro se os efeitos de curvatura da linha de corrente forem desprezíveis o que ocorre frequentemente Como no caso do escoamento turbulento no interior de tubos e dutos devemos confiar em correlações empíricas para relacionar os efeitos de atrito com a velocidade média do escoamento A correlação empírica é incluída por meio do termo de perda de carga na equação de energia Seção 112 Complicações adicionais em muitos casos práticos incluem a presença de sedimentos ou outras partículas no escoamento bem como a erosão dos canais de barro ou de estruturas pela ação da água Geometria do Canal Os canais podem ser construídos em diversas formas de seção transversal em muitos casos os formatos geométricos regulares são usados Um canal com uma inclinação e seção transversal constantes é chamado de prismático Os canais alinhados frequentemente são construídos com seções retangulares ou trapezoidais depressões ou valas menores algumas vezes são triangulares Galerias e túneis geralmente possuem seções circulares ou elípticas Os canais naturais são altamente irregulares e não prismáticos mas frequentemente são considerados como tendo seções aproximadamente trapezoidais ou parabólicas As propriedades geométricas de formas comuns de canais abertos são resumidas na Tabela 111 A profundidade de escoamento y é a distância perpendicular medida a partir do leito do canal até a superfície A área de escoamento A é a seção transversal do escoamento perpendicular à direção do escoamento O perímetro molhado P é o comprimento da seção transversal em contato com o líquido O raio hidráulico Rh é definido como Para escoamento em condutos fechados não circulares Seção 87 o diâmetro hidráulico foi definido como Assim para um tubo circular o diâmetro hidráulico a partir da Eq 850 é igual ao diâmetro do tubo A partir da Eq 111 o raio hidráulico para um tubo circular poderia então ser metade do raio real do tubo o que é um pouco confuso O raio hidráulico como definido pela Eq 111 é normalmente usado na análise de escoamentos em canal aberto de modo que será usado em todo este capítulo Uma razão para esta utilização é que o raio hidráulico de um canal extenso como visto na Tabela 111 é igual á profundidade real Tabela 111 Propriedades Geométricas de Formas Comuns de Canais Abertos Forma Seção Área de Escoamento A Perímetro Molhado P Raio Hidráulico Rh Trapezoidal y b y cotg α Triangular y2 cotg α Retangular by b 2y Larga e Plana by b y Circular Para canais não retangulares a profundidade hidráulica é definida como em que bs é a largura na superfície Por isso a profundidade hidráulica representa a profundidade média do canal em qualquer seção transversal Ela fornece a profundidade de um canal retangular equivalente Velocidade de Ondas Superficiais e o Número de Froude Aprenderemos mais tarde neste capítulo que o comportamento de um escoamento em canal aberto conforme eles encontram mudanças a jusante por exemplo um inchaço no leito do canal um estreitamento do canal ou uma variação na inclinação do leito dependente fortemente da velocidade do escoamento se o mesmo é lento ou rápido Um escoamento lento terá tempo de se ajustar gradualmente a variações a jusante enquanto um escoamento rápido algumas vezes irá se ajustar gradualmente mas em algumas situações fará isso violentamente isto é existirá um ressalto hidráulico veja a Fig 1112a para um exemplo A questão é o que constitui um escoamento lento ou rápido Estas descrições vagas serão feitas mais precisamente agora Verificase que a velocidade na qual as ondas superficiais viajam ao longo da superfície é a chave para definir mais precisamente as noções de lento e rápido Para determinar a velocidade ou celeridade de ondas superficiais considere um canal aberto com parede de fundo móvel contendo um líquido inicialmente em repouso Se a parede de fundo sofre um movimento súbito como na Fig 114a uma onda se forma e percorre o canal a alguma velocidade c consideraremos um canal retangular de largura b para simplificar Se deslocarmos as coordenadas de modo que viajamos com a mesma velocidade da onda c obtemos um volume de controle em regime permanente como mostrado na Fig 114b onde por enquanto consideraremos c ΔV Para obter uma expressão para c usaremos as equações da continuidade e da quantidade de movimento para este volume de controle Também faremos as seguintes considerações 1 Escoamento em regime permanente 2 Escoamento incompressível 3 Velocidade uniforme em cada seção 4 Distribuição de pressão hidrostática em cada seção 5 Escoamento sem atrito A consideração 1 é válida para o volume de controle com coordenadas deslocadas A consideração 2 obviamente é válida para o nosso escoamento líquido As considerações 3 e 4 são usadas para todo o capítulo A consideração 5 é válida neste caso porque consideramos que a área de ação bΔx é relativamente pequena o esboço não está em escala de modo que a força de atrito total é desprezível Para um escoamento incompressível com velocidade uniforme em cada seção podemos usar a forma apropriada da equação da continuidade do Capítulo 4 Aplicando a Eq 413b ao volume de controle obtivemos ou cy ΔVy cΔy ΔVΔy cy 0 Fig 114 Movimento de uma onda superficial Resolvendo para ΔV Para a equação da quantidade de movimento novamente com a consideração de velocidade uniforme em cada seção podemos usar a seguinte forma da componente em x da equação da quantidade de movimento O termo em regime não permanente t desaparece visto que o escoamento é em regime permanente e a força de campo FBx é zero para escoamento horizontal Obtivemos então A força superficial consiste nas forças de pressão sobre as duas extremidades e na força de atrito sobre a superfície inferior o ar na superfície livre contribui com atrito desprezível em escoamentos em canal aberto Pela consideração 5 desprezamos o atrito A pressão manométrica nas duas extremidades é hidrostática como ilustrado na Fig 114b Vamos lembrar o estudo de hidrostática em que a força hidrostática FR sobre uma superfície vertical submersa de área A é dada pelo resultado simples de em que pc é a pressão no centroide da superfície vertical Para as duas superfícies verticais do volume de controle então temos que Usando este resultado na Eq 115 e avaliando os termos no lado direito Os dois termos entre chaves são iguais da equação da continuidade como mostrado na Eq 113 de modo que a equação da quantidade de movimento fica simplificada para ou Combinando este termo com a Eq 114 obtivemos e resolvendo para c Para ondas com amplitude relativamente pequena Δy y podemos simplificar esta expressão para Consequentemente a velocidade de uma perturbação superficial depende da profundidade de fluido no local Por exemplo isso explica por que ondas quebram quando se aproximam da praia Em alto mar a profundidade da água abaixo das cristas e dos vales que as ondas formam são aproximadamente as mesmas e portanto também o é a sua velocidade Conforme a profundidade da água diminui na aproximação da praia a profundidade das cristas das ondas começa a ficar significativamente maior do que a profundidade dos vales causando aceleração das cristas que ultrapassam os vales Por isso as ondas quebram Note que a velocidade não entra na lista de propriedades dos fluidos a viscosidade é normalmente um fator secundário e a perturbação ou onda que descrevemos é decorrente da interação das forças gravitacional e de inércia que são lineares com relação à massa específica A Eq 116 foi deduzida com base no movimento unidimensional na direção x um modelo mais realista permitindo a consideração de um movimento bidimensional nas direções x e y mostra que a Eq 116 aplicase para o casolimite de ondas com grande comprimento de onda o Problema 116 explorará isso Também existem outros tipos de ondas superficiais tais como ondas capilares provocadas pela tensão superficial para as quais a Eq 116 não se aplica os Problemas 117 e 118 exploram os efeitos da tensão superficial Exemplo 111 VELOCIDADE DAS ONDAS NA SUPERFÍCIE LIVRE Você está curtindo uma tarde de verão relaxando com um passeio de barco em uma lagoa Você decide descobrir a profundidade da água batendo o remo na água e cronometrando quanto tempo leva a onda que você produz para alcançar a borda da lagoa A lagoa é artificial então ela possui aproximadamente a mesma profundidade mesmo nas bordas A partir de flutuadores instalados na lagoa você sabe que está a 6 m da borda e você cronometra em 15 s o tempo que a onda leva para atingir a borda da lagoa Estime a profundidade da lagoa Fará diferença se a água da lagoa for doce ou salgada Dados Tempo para uma onda atingir a borda de uma lagoa Determinar A profundidade da lagoa Solução Use a equação da velocidade de onda Eq 116 Equação básica c O tempo para uma onda com velocidade c viajar uma distância L é Δt Lc então c LΔt Usando esta equação juntamente com a Eq 116 em que y é a profundidade ou Usando os dados fornecidos A profundidade da lagoa é aproximadamente 163 m O resultado obtido não depende do tipo da água se é doce ou salgada porque a velocidade destas ondas superficiais não depende das propriedades do fluido A velocidade de perturbações superficiais dada pela Eq 116 nos fornece um teste decisivo mais útil para categorizar a velocidade de um fluido do que os termos rápido e lento Para ilustrar isso considere um escoamento movendose a uma velocidade V que experimenta uma perturbação em algum ponto a jusante A perturbação poderia ser causada por uma colisão no fundo do canal ou por um obstáculo por exemplo A perturbação viajará para montante à velocidade c relativamente ao fluido Se a velocidade do fluido é baixa V c e a perturbação viajará para montante com uma velocidade absoluta igual a c V Entretanto se a velocidade do fluido for alta V c e a perturbação não puder viajar para montante e em vez disso é lavada a jusante a uma velocidade absoluta igual a V c Isso leva a respostas radicalmente diferentes para perturbações a jusante em escoamentos lentos e rápidos Consequentemente recordando da Eq 116 para a velocidade c escoamentos em canal aberto podem ser classificados com base no número de Froude introduzido pela primeira vez no Capítulo 7 Em vez dos termos imprecisos lento e rápido agora temos o seguinte critério Fr 1 O escoamento é subcrítico tranquilo ou de corrente Perturbações podem viajar a montante condições de jusante podem afetar o escoamento a montante O escoamento pode gradativamente se ajustar à perturbação Fr 1 O escoamento é crítico Fr 1 O escoamento é supercrítico rápido ou disparado Nenhuma perturbação pode viajar a montante condições de jusante não podem ser sentidas a montante O escoamento pode responder violentamente à perturbação porque o escoamento não tem chance de ajustarse à perturbação antes de atingila Note que para canais não retangulares usamos a profundidade hidráulica yh Estes regimes de comportamento de escoamento são quantitativamente análogos aos regimes de escoamentos subsônicos sônicos e supersônicos para gás que discutiremos no Capítulo 12 Neste caso nós também comparamos uma velocidade de escoamento V com a velocidade de uma onda c exceto que a onda é uma onda sonora em vez de uma onda superficial Discutiremos as ramificações destes vários regimes do número de Froude mais tarde neste capítulo 112 Equação de Energia para Escoamentos em Canal Aberto Na análise de escoamentos em canal aberto usaremos as equações da continuidade da quantidade de movimento e de energia Aqui deduzimos a forma apropriada da equação de energia usaremos as equações da continuidade e da quantidade de movimento quando for necessário Como no caso do escoamento no interior de tubos o atrito em escoamentos em canal aberto resulta em uma perda de energia mecânica isso pode ser caracterizado por uma perda de carga A tentação é de usar apenas uma das formas da equação de energia para escoamento no interior de tubos que deduzimos na Seção 86 tal como O problema com isso é que a equação foi deduzida com base na consideração de pressão uniforme em cada seção que não é o caso no escoamento em canal aberto temos uma variação na pressão hidrostática em cada local não temos uma pressão uniforme p1 na seção e também não temos uma pressão uniforme p2 na seção Em vez de usar essa equação necessitamos de deduzir uma equação para escoamentos em canal aberto a partir dos princípios básicos Vamos acompanhar de perto os passos delineados na Seção 86 para escoamentos no interior do tubo usando porém considerações diferentes Você está instado a revisar a Seção 86 de modo a estar ciente das similaridades e diferenças entre os escoamentos no interior de tubo e em canal aberto Usaremos os volumes de controle genéricos mostrados na Fig 115 com as seguintes considerações 1 Escoamento em regime permanente 2 Escoamento incompressível 3 Velocidade uniforme em cada seção 4 Profundidade variando gradualmente de forma que a distribuição de pressão seja hidrostática 5 Pequena inclinação do leito 6 Ẇs Ẇcisalhamento Ẇoutros 0 Aqui fazemos alguns comentários Já vimos as considerações de 1 a 4 elas serão sempre aplicadas neste capítulo A consideração 5 simplifica a análise de modo que a profundidade y é tomada como vertical e a velocidade V é tomada como horizontal em vez de normal e paralela ao leito do canal respectivamente A consideração 6 estabelece que não existe trabalho de eixo trabalho devido ao cisalhamento do fluido nas fronteiras e nem outros tipos de trabalho Não existe trabalho de cisalhamento nas fronteiras porque sobre cada parte da superfície de controle a velocidade tangencial é zero sobre as paredes do canal ou a tensão de cisalhamento é zero na superfície aberta de modo que nenhum trabalho pode ser realizado Note que pode ainda haver dissipação de energia mecânica no interior do fluido devido ao atrito Escolhemos um volume de controle genérico de modo que possamos deduzir uma equação de energia genérica para escoamentos em canal aberto isto é uma equação que pode ser aplicada a uma variedade de escoamentos tais como aqueles com uma variação na elevação ou um ressalto hidráulico ou comportas e assim por diante entre as seções e a coordenada z indica a distância medida na direção vertical as distâncias medidas verticalmente a partir do leito do canal são denotadas por y Observe que y1 e y2 são de profundidades de fluxo nas seções e respectivamente e z1 e z2 são as elevações do canal correspondentes Fig 115 Volume de controle e coordenadas para análise de energia de escoamento em canal aberto A equação de energia para um volume de controle é Lembrese de que u é a energia específica térmica e v 1ρ é o volume específico Após usar as considerações 1 e 6 e rearranjando com e dA bdy em que by é a largura do canal obtivemos ou Isso estabelece que a perda nas energias mecânicas pressão cinética e potencial através do volume de controle leva a um ganho na energia térmica eou uma perda de calor do volume de controle Como na Seção 86 estes efeitos térmicos são coletados no termo de perda de carga hlT As integrais de superfície na Eq 119 podem ser simplificadas A velocidade V é constante em cada seção pela consideração 3 A pressão p varia através das seções e assim como a energia potencia a função de z Entretanto pela consideração 4 a variação de pressão é hidrostática Consequentemente para a seção usando a notação da Fig 115 p pgy1 y Assim p ρgy1 no leito do canal e p 0 manométrica na superfície livre e z z1 y Convenientemente vemos que a pressão decresce linearmente com y enquanto z cresce linearmente com y de modo que os dois termos juntos são constantes Usando estes resultados na primeira integral da Eq 119 Encontramos um resultado similar para a seção de modo que a Eq 119 tornase Finalmente dividindo por g com Hl hlTg obtivemos para a equação de energia para escoamentos em canal aberto Esta equação pode ser comparada com a equação correspondente para escoamento no interior de tubo Eq 830 apresentada no início desta seção Note que usamos Hl em vez de HlT no escoamento no interior de tubo podemos ter perdas maiores e menores justificando T para total mas no escoamento em canal aberto não fazemos esta distinção A Eq 1110 provará ser útil para nosso uso para o restante de capítulo e indica que os cálculos de energia podem ser realizados simplesmente pela geometria y e z e pela velocidade V A carga total ou carga de energia H em qualquer local em um escoamento em canal aberto pode ser definida a partir da Eq 1110 como em que y e z são a profundidade do escoamento no local e a elevação do leito do canal respectivamente eles não representam mais as coordenadas mostradas na Fig 115 Esta é uma medida da energia mecânica cinética e de pressãopotencial do escoamento Usando isso na equação de energia obtivemos uma forma alternativa A partir disso vemos que a perda de carga total depende da perda de carga devido ao atrito Energia Específica Podemos também definir na energia específica ou carga específica denotada pelo símbolo E Esta é uma medida da energia mecânica cinética e de pressãopotencial do escoamento acima e além daquela devido à elevação do leito do canal esta medida indica essencialmente a energia devido à velocidade e profundidade do escoamento Usando a Eq 1113 na Eq 1110 obtivemos outra forma da equação de energia A partir desta equação vemos que a variação na energia específica depende do atrito e na variação de elevação no leito do canal Enquanto a carga total deve decrescer na direção do escoamento Eq 1112 a carga específica pode decrescer crescer ou permanecer constante dependendo da elevação no leito do canal z A partir da equação da continuidade V QA então a energia específica pode ser expressa como Para todos os canais A é uma função que aumenta monotonicamente com a profundidade do escoamento como a Fig 116 Vemos que para uma dada vazão Q existe uma faixa de possíveis profundidades de escoamento e energias porém uma única profundidade na qual a energia específica está no mínimo Em vez de traçar um gráfico de E em função de y traçamos tipicamente um gráfico de y em função de E de modo que o gráfico corresponda à seção de escoamento do exemplo como mostrado na Fig 117 Lembrando que a energia específica E indica a energia real cinética mais potencialde pressão por unidade de vazão mássica sendo carregada pelo escoamento vemos que para um dado escoamento Q podemos ter uma faixa de energias E e profundidades de escoamento correspondentes y A Fig 117 também revela alguns fenômenos interessantes do escoamento Para um dado escoamento Q e energia específica E existem duas profundidades de escoamento possíveis y estas são chamadas de profundidades alternativas Por exemplo podemos ter um escoamento a uma profundidade y1 ou profundidade y2 O primeiro escoamento possui grande profundidade e se move lentamente e o segundo escoamento é raso mas se move rapidamente O gráfico indica isso para o primeiro escoamento E1 é feito com um y1 grande e pequeno para o segundo escoamento E2 é feito com um y2 pequeno e grande Veremos mais tarde que podemos mudar de um escoamento para outro Podemos também ver conforme demonstraremos no Exemplo 112 para um canal retangular que para um dado Q existe sempre um escoamento para o qual a energia específica é mínima E Emín investigaremos isso também após o Exemplo 112 e mostraremos que Emín Ecrít na qual Ecrít é a energia específica nas condições críticas Fig 116 Dependência da energia específica sobre a profundidade do escoamento para uma dada vazão Fig 117 Curva de energia específica para uma dada vazão Exemplo 112 CURVAS DE ENERGIA ESPECÍFICA PARA UM CANAL RETANGULAR Para um canal retangular de largura b 10 m construa uma família de curvas de energia específica para Q 0 2 5 e 10 m3s Quais são as energias específicas mínimas para estas curvas Dados Canal retangular e faixa de vazões Determinar As curvas de energia específica Para cada vazão determine a energia específica mínima Solução Use a forma da vazão da equação de energia específica Eq 1115 para gerar as curvas Equação básica Para as curvas de energia específica expresse E como função da profundidade y A tabela e o gráfico correspondente foram gerados a partir desta equação usando uma planilha do Excel Energia específica E m y m Q 0 Q 2 Q 5 Q 10 0100 010 092 520 2049 0125 013 065 339 1317 0150 015 051 242 921 0175 018 044 184 683 0200 020 040 147 530 0225 023 039 123 425 0250 025 038 107 351 0275 028 038 095 297 030 030 039 097 257 035 035 042 077 201 040 040 045 072 167 045 045 049 070 146 050 050 053 070 132 055 055 058 072 122 060 060 062 074 117 070 070 072 080 112 080 080 081 088 112 090 090 091 096 115 100 100 101 105 120 125 125 126 128 138 150 150 150 152 159 200 200 200 201 205 250 250 250 251 253 Para determinar a energia mínima para uma dada vazão Q diferenciamos a Eq 1 Consequentemente a profundidade yEmín para uma energia específica mínima é Usando este resultado na Eq 1115 obtivemos Por isso para um canal retangular obtivemos um resultado simples para a mínima energia Usando a Eq 2 com os dados fornecidos Q m3s 2 5 10 Eminm 0302 0755 151 As profundidades correspondentes para estes escoamentos são 0201 m 0503 m e 101 m respectivamente Veremos no próximo tópico que a profundidade na qual temos a energia mínima é a profundidade crítica yc e Emín Ecrít A planilha Excel usada para resolver este problema pode também ser usada para traçar as curvas de energia específica para outros canais retangulares A profundidade para a energia mínima é também obtida usando o Solver Profundidade Crítica Energia Específica Mínima O Exemplo 112 tratou o caso de um canal retangular Agora consideraremos canais de seção transversal geral Para o escoamento em um canal deste tipo temos a energia específica em função da vazão Q Seja uma dada vazão Q para determinarmos a profundidade para a energia específica mínima diferenciamos Para prosseguir parece que precisamos de Ay alguns exemplos de Ay são mostrados na Tabela 111 Entretanto acontece que para qualquer seção transversal dada podemos escrever em que conforme vimos anteriormente bs é a largura na superfície Isto é indicado na Fig 118 o incremento aumenta na área dA devido à variação do incremento de profundidade que ocorre na superfície livre em que b bs Usando a Eq 1117 na Eq 1116 verificamos que Fig 118 Dependência da variação da área de escoamento dA sobre a variação de profundidade dy então para a energia específica mínima A partir da equação da continuidade V QA então a Eq 1118 leva a Definimos previamente a profundidade hidráulica como Consequentemente usando a Eq 112 na Eq 1119 obtivemos Porém o número de Froude é dado por Por isso vemos que para a energia específica mínima Fr 1 que corresponde ao escoamento crítico Obtivemos um importante resultado que para o escoamento em qualquer canal aberto a energia específica está no seu mínimo nas condições críticas Juntamos as Eqs 1118 e 1120 para o escoamento crítico para E Emín Nestas equações Ac Vc bsc e yhc são a área de escoamento crítico a velocidade a largura da superfície do canal e a profundidade hidráulica respectivamente A Eq 1121 pode ser usada para determinar a profundidade crítica yc para uma determinada forma de seção transversal do canal a uma dada vazão A equação é enganosamente difícil tanto Ac quanto bsc dependem da profundidade do escoamento y frequentemente de uma forma não linear assim a equação deve ser resolvida iterativamente para determinação de y Uma vez que yc for obtido a área Ac a largura da superfície bsc podem ser calculadas levando a yhc usando a Eq 112 Este por sua vez é usado na Eq 1122 para determinar a velocidade do escoamento Vc ou Vc QAc pode ser usado Finalmente a energia mínima pode ser calculada a partir da Eq 1115 Para o caso específico de um canal retangular temos bs b constante e A by então a Eq 1121 tornase então com Para o canal retangular um resultado particularmente simples para a energia mínima é obtido quando a Eq 1124 é usada na Eq 1115 ou Este é o mesmo resultado que encontramos no Exemplo 112 O estado crítico é uma referencia importante Ele será usado na próxima seção para ajudar a determinar o que acontece quando um escoamento encontra um obstáculo tal como uma colisão Também próximo da E mínima como a Fig 117 mostra a taxa de variação de y com E é próxima do infinito Isso significa que para as condições de escoamento crítico mesmo pequenas variações em E devido a irregularidades ou perturbações podem causar variações pronunciadas na profundidade do fluido Assim ondas superficiais se formam normalmente da maneira instável quando um escoamento está próximo das condições críticas Consequentemente escoamentos longos em condições próximas da crítica são evitados na prática Exemplo 113 PROFUNDIDADE CRÍTICA PARA SEÇÃO TRIANGULAR Um canal de seção triangular com lados íngremes α 60º possui uma vazão de 300 m3s Determine a profundidade crítica para esta vazão Verifique que o número de Froude é unitário Dados Escoamento em um canal de seção triangular Determinar A profundidade crítica verifique que Fr 1 Solução Use a equação do escoamento crítico Eq 1121 Equações Básicas Os dados fornecidos são Q 300 m3s α 60o Da Tabela 111 temos A y2 cotg α e a partir da geometria básica Usando estas na Eq 1121 obtivemos Assim Usando os dados fornecidos Finalmente Para verificar que Fr 1 necessitamos de V e de yh A partir da equação da continuidade e a partir da definição de profundidade hidráulica Assim Verificamos que na profundidade crítica o número de Froude é a unidade Como para o canal retangular a análise do canal de seção triangular leva a uma equação explícita para yc a partir da Eq 1121 Outras seções transversais mais complicadas de canais frequentemente levam a uma equação implícita que necessita ser resolvida numericamente 113 Efeito Localizado de Mudança de Área Escoamento sem Atrito Consideraremos a seguir um caso de escoamento simples no qual o leito do canal é horizontal e para o qual os efeitos da seção transversal do canal variação de área são predominantes escoamento sobre um ressalto Uma vez que este fenômeno é localizado ele ocorre sobre uma curta distância os efeitos do atrito tanto sobre a energia quanto sobre a quantidade de movimento podem ser razoavelmente desprezados A equação de energia Eq 1110 com a consideração de que não existem perdas devido ao atrito tornase então Note que a Eq 1126 também poderia ser obtida a partir da aplicação de equação de Bernoulli entre dois pontos e sobre a superfície porque todos os requisitos da equação de Bernoulli são satisfeitos aqui Alternativamente usando a definição de energia específica E1 z1 E2 z2 E z constente Vemos que a energia específica de um escoamento sem atrito variará somente se existir uma variação na elevação do leito do canal Escoamento sobre um Ressalto Considere o escoamento sem atrito em um canal retangular horizontal de largura constante b com um ressalto no leito do canal como ilustrado na Fig 119 Escolhemos um canal retangular para simplificar porém os resultados obtidos serão aplicados de forma geral A altura do ressalto acima da horizontal do leito do canal é igual a z hx a profundidade da água yx é medida a partir da superfície inferior do canal no local Note que indicamos duas possibilidades para o comportamento da superfície livre talvez o escoamento suba gradualmente sobre o ressalto talvez o escoamento decline gradualmente sobre o ressalto Existem também outras possibilidades Entretanto de uma coisa podemos ter certeza é que se ele sobe não vai ter o mesmo contorno que o ressalto tem Você pode explicar por quê Aplicando a equação de energia Eq 1126 para o escoamento sem atrito entre um ponto a montante e qualquer ponto ao longo da região do ressalto A Eq 1127 indica que a energia específica deve decrescer através do ressalto em seguida crescendo de volta ao seu valor original de E1 E2 Da equação da continuidade Q bV1y1 bVy Fig 119 Escoamento sobre um ressalto em um canal horizontal Usando esta equação na Eq 1127 obtivemos Podemos obter uma expressão para a variação da profundidade superfície livre diferenciando a Eq 1129 Resolvendo para a inclinação da superfície livre obtivemos Finalmente A Eq 1130 leva à interessante conclusão de que a resposta a um resto depende muito do número de Froude local Fr Fr 1 O escoamento é subcrítico tranquilo ou de corrente Quando Fr 1 Fr2 1 1 e a inclinação dydx da superfície livre possui sinal oposto ao da inclinação do ressalto dhdx quando a elevação do ressalto aumenta o escoamento declina quando a elevação do ressalto decresce a profundidade do escoamento decresce Esta é a superfície livre sólida mostrada na Fig 119 Fr 1 O escoamento é crítico Quando Fr 1 Fr2 1 0 A Eq 1130 prediz uma inclinação superficial infinita para a água a menos que dhdx seja igual a zero neste instante Visto que a inclinação da superfície livre não pode ser infinita então dhdx deve ser zero quando Fr 1 dito de outra forma se tivermos Fr 1 não temos que ter Fr 1 em um escoamento somente pode ser em um local onde dhdx 0 na crista do ressalto ou onde o canal é plano Se o escoamento crítico é atingido então em local a jusante do escoamento crítico o escoamento pode ser subcrítico ou supercrítico dependendo das condições a jusante Se o escoamento crítico não ocorre onde dhdx 0 então o escoamento a jusante deste local será do mesmo tipo que o escoamento a montante deste local Fr 1 O escoamento é supercrítico rápido ou disparado Quando Fr 1 Fr2 1 1 e a inclinação dydx da superfície livre possui o mesmo sinal da inclinação do ressalto dhdx quando a elevação do ressalto aumenta o mesmo acontece com a profundidade do escoamento quando a elevação do ressalto decresce o mesmo acontece com a profundidade do escoamento Esta é a superfície livre tracejada mostrada na Fig 119 As tendências gerais para Fr 1 e Fr 1 para elevações do leito do canal tanto crescentes quanto decrescentes são ilustradas na Fig 1110 O ponto importante sobre o escoamento crítico Fr 1 é que se ele ocorrer pode ocorrer somente onde a elevação do leito do canal é constante Uma ajuda visual adicional é fornecida pelo gráfico de energia específica da Fig 1111 Este gráfico mostra a curva de energia específica para uma dada vazão Q Para um escoamento subcrítico que está no estado mostrado no ponto a antes que o escoamento encontre um ressalto conforme o escoamento se move para cima no ressalto em direção ao cume do ressalto a energia específica deve decrescer Eq 1128 Consequentemente movemos ao longo da curva para o ponto b Se o ponto b corresponde ao cume do ressalto então movemos novamente ao longo da curva para o ponto a note que este escoamento sem atrito é reversível conforme o escoamento desce no ressalto Alternativamente se o ressalto continua a aumentar além do ponto b continuamos a mover ao longo da curva para o ponto de energia mínima ponto e em que E Emín Ecrít Conforme discutimos para que o escoamento sem atrito possa existir o ponto e pode estar apenas em dhdx 0 o cume do ressalto Para este caso alguma coisa interessante acontece conforme o escoamento desce o ressalto podemos retornar ao longo da curva até o ponto a ou podemos mover também ao longo da curva até o ponto d Isso significa que a superfície de um escoamento subcrítico que encontra um ressalto vai mergulhar e depois ou retorna à sua profundidade original ou se o ressalto é alto o suficiente para que o escoamento encontre as condições críticas pode continuar a acelerar e tornarse mais raso até que atinja o estado supercrítico correspondente à energia específica original ponto d Qual tendência ocorre depende das condições a jusante por exemplo se existe algum tipo de restrição ao escoamento o escoamento a jusante do ressalto retornará ao seu estado subcrítico original Note que conforme mencionamos anteriormente quando um escoamento está em seu estado crítico o comportamento da superfície tende a mostrar variações drásticas Finalmente a Fig 1111 indica que um escoamento supercrítico ponto d que encontra um ressalto aumentaria em profundidade sobre o ressalto para o ponto c no cume do ressalto e em seguida retorna ao seu escoamento supercrítico no ponto d Vemos também que se o ressalto é alto o suficiente um escoamento supercrítico pode desacelerar até o ponto crítico ponto e e em seguida ou retornar ao supercrítico ponto d ou tornarse subcrítico ponto a Qual destas possibilidades realmente ocorre depende obviamente da forma do ressalto mas também das condições a montante e a jusante a última possibilidade é um tanto indesejável que ocorra na prática O leitor atento pode perguntar o que acontece se o ressalto é tão grande que a energia específica quer diminuir do mínimo mostrado no ponto e A resposta é que o escoamento já não estará em conformidade com a Eq 1126 o escoamento deixará de ser sem atrito porque ocorrerá um ressalto hidráulico consumindo uma quantidade de energia mecânica significativa veja Seção 114 Fig 1110 Efeitos das variações na elevação do leito do canal Fig 1111 Curva de energia específica para escoamento sobre um ressalto Exemplo 114 ESCOAMENTO EM UM CANAL RETANGULAR COM UM RESSALTO OU UM ESTREITAMENTO Um canal retangular com 2 m de largura possui um escoamento de 24 m3s a uma profundidade de 1 m Determine se a profundidade crítica ocorre em a uma seção onde a largura do canal é h 020 m é instalada através do leito do canal b uma constrição da parede lateral sem ressaltos reduzindo a largura do canal para 17 m e c o ressalto combinado com a constrição da parede lateral Despreze as perdas de carga do ressalto e da constrição causadas por atrito expansão e contração Dados Um canal retangular com um ressalto uma constrição da parede lateral ou ambos Determinar Se ocorrem as condições de escoamento crítico Solução Compare a energia específica com a energia específica mínima para a taxa de escoamento dada em cada caso para estabelecer se a profundidade crítica ocorre Equações básicas a Ressalto com altura h 020 m A energia específica inicial E1 é Então a energia específica no cume do ressalto Eressalto é obtida da Eq 1128 Devemos comparar o valor desta energia específica com o valor da energia específica mínima para a taxa de vazão Q Primeiramente a profundidade crítica é Note que temos y1 yc então temos um escoamento subcrítico Então a energia específica mínima é Comparando as Eqs 1 e 2 vemos que com o ressalto não atingimos as condições críticas b Uma constrição de parede lateral sem ressalto reduzindo a largura do canal para 17 m Neste caso a energia específica deve permanecer constante em toda parte h 0 mesmo na constrição então Entretanto na constrição temos um novo valor para b bconstrição 17 m e assim uma nova profundidade crítica Então a energia específica mínima na constrição é Comparando as Eqs 3 e 4 vemos que com a constrição não atingimos as condições críticas Poderíamos perguntar sobre que constrição causaria o escoamento crítico Para responder esta questão resolva para a largura do canal crítico bc Consequentemente Para fazer o escoamento dado atingir as condições críticas a constrição deve ter 127 m algo mais ampla e as condições críticas não serão atingidas c Para um ressalto de h 020 m combinado com a constrição para b 17 m Já vimos no caso a que o ressalto h 020 m foi insuficiente para por si próprio criar as condições críticas A partir do caso b vimos que na constrição a energia especifica mínima é Emín 0882 m em vez de Emín 0791 m no escoamento principal Quando temos os dois fatores presentes podemos comparar a energia específica no ressalto e na constrição e a energia específica mínima para o escoamento no ressalto e na constrição A partir das Eqs 5 e 6 vemos que com ambos os fatores a energia específica é realmente menor do que a mínima O fato que devemos ter uma energia específica que seja menor do que o mínimo permissível significa algo O que acontece é que as considerações para o escoamento tornamse inválidas o escoamento pode não ser mais uniforme ou unidimensional ou pode haver uma perda significativa de energia por exemplo devido à ocorrência de um ressalto hidráulico Discutiremos ressaltos hidráulicos na próxima seção Consequentemente o ressalto combinado com a constrição é suficiente para fazer o escoamento atingir o estado crítico Este Exemplo ilustra como determinar se um ressalto ou uma constrição em um canal ou ambos combinados levam às condições de escoamento crítico 114 O Ressalto Hidráulico Mostramos que o escoamento em canal aberto pode ser subcrítico Fr 1 ou supercrítico Fr 1 Para o escoamento subcrítico perturbações causadas por uma variação na inclinação do leito do canal ou seção transversal do escoamento podem se mover a montante e a jusante o resultado é um suave ajuste do escoamento como vimos na seção precedente Quando o escoamento a um seção é supercrítico e as condições a jusante requerem uma mudança para o escoamento subcrítico a necessidade desta mudança não pode ser comunicada a montante a velocidade do escoamento excede a velocidade das ondas superficiais as quais são o mecanismo para comunicação de mudanças Assim uma mudança gradual com uma transição suave através do ponto crítico não é possível A transição do escoamento supercrítico para o subcrítico ocorre abruptamente através de um ressalto hidráulico Os ressaltos hidráulicos podem ocorrer em canais a jusante de comportas reguladoras ao pé dos vertedouros veja a Fig 1113 Veremos nesta seção que o ressalto sempre vai de uma profundidade supercrítica y1 yc para uma profundidade subcrítica y2 yc e que existirá uma perda ΔE na energia específica Ao contrário das mudanças devido a fenômenos tais como um ressalto a mudança abrupta na profundidade envolve uma perda significativa na energia mecânica através da mistura turbulenta O volume de controle para um ressalto hidráulico está esboçado na Fig 1114 VÍDEO Um Ressalto Hidráulico Laminar em inglês Fig 1112 Exemplos de um ressalto hidráulico Fig 1113 Curva de energia específica para escoamento através de um ressalto hidráulico Fig 1114 Desenho esquemático de um ressalto hidráulico mostrando o volume de controle usado para a análise Analisaremos o fenômeno do ressalto por meio da aplicação das equações básicas ao volume de controle mostrado no esboço Experimentos mostram que o ressalto ocorre sobre uma distância relativamente curta no máximo aproximadamente seis vezes a maior profundidade y2 9 Em vista deste pequeno comprimento é razoável considerar que a força de atrito Ff que atua sobre o volume de controle é desprezível comparada com as forças de pressão Note que estamos portanto ignorando os efeitos viscosos para considerações da quantidade de movimento porém não para considerações de energia como apenas mencionamos existe uma considerável turbulência no ressalto Embora os ressaltos hidráulicos possam ocorrer sobre superfícies inclinadas para simplificar consideraremos um leito horizontal e canal retangular de largura b os resultados que obtivemos serão aplicados de forma geral para ressaltos hidráulicos Por isso temos a seguinte suposição 1 Escoamento em regime permanente 2 Escoamento incompressível 3 Velocidade uniforme em cada seção 4 Distribuição de pressão hidrostática em cada seção 5 Escoamento sem atrito para a equação da quantidade de movimento Essas considerações são familiares a partir das discussões precedentes neste capítulo Para um escoamento incompressível com velocidade uniforme em cada seção podemos usar a forma apropriada da equação da continuidade do Capítulo 4 Aplicando a Eq 413b ao volume de controle obtivemos V1by1 V2by2 0 ou Esta é a equação da continuidade para o ressalto hidráulico Para a equação da quantidade de movimento novamente com a consideração de velocidade uniforme em cada seção podemos usar a seguinte forma para a componente na direção x da equação da quantidade de movimento O termo em regime não permanente t desaparece visto que o escoamento é em regime permanente e a força de campo FBx é zero para escoamento horizontal Dessa forma obtivemos A força de superfície consiste nas forças de pressão sobre as duas extremidades e na força de atrito sobre a superfície molhada Pela consideração 5 desprezamos o atrito A pressão manométrica nas duas extremidades é hidrostática como ilustrado na Fig 1113b Lembramonos de nosso estudo de hidrostática que a força hidrostática FR sobre uma superfície vertical submersa de área A é dada pelo resultado simples de em que pc é a pressão no centroide da superfície vertical Para as duas superfícies verticais do volume de controle então temos Usando este resultado na Eq 1132 e avaliando os termos no lado direito da equação temos que Rearranjando e simplificando Esta é a equação da quantidade de movimento para o ressalto hidráulico Já deduzimos a equação de energia para escoamentos em canal aberto Para o nosso ressalto hidráulico horizontal z1 z2 então Esta é a equação de energia para o ressalto hidráulico a perda de energia mecânica é ΔE E1 E2 Hl As equações da continuidade da quantidade de movimento e da energia Eqs 1131 1133 e 1134 respectivamente constituem um conjunto completo de equações para a análise do ressalto hidráulico Aumento de Profundidade Através de um Ressalto Hidráulico Para determinar esse valor a jusante ou profundidade subsequente como é chamada em função das condições a montante do ressalto hidráulico iniciamos pela eliminação de V2 da equação da quantidade de movimento A partir da equação da continuidade V2 V1y1y2 Eq 1131 então a Eq 1133 pode ser escrita da seguinte forma Rearranjando Dividindo ambos os lados pelo fator comum y2 y1 obtivemos Em seguida multiplicando por y2 e dividindo por obtivemos Resolvendo para y2y1 e usando a formulação quadrática ignorando a raiz negativa que não tem significado físico obtivemos Consequentemente a relação entre as profundidades a jusante e a montante através de um ressalto hidráulico é uma função apenas do número de Froude a montante A Eq 1136 foi bem validada experimentalmente como pode ser visto na Fig 1115a As profundidades y1 e y2 são chamadas de profundidades conjugadas A partir da Eq 1135 vemos que um aumento em profundidade y2 y1 requer um número de Froude a montante maior do que um Fr1 1 Ainda não estabelecemos que devemos ter Fr1 1 apenas que deve ser para um aumento na profundidade teoricamente poderíamos ter Fr1 1 e y2 y1 consideraremos agora a perda de carga para demonstrar que devemos ter Fr1 1 Fig 1115 Razão de profundidade e perda de carga para um ressalto hidráulico Dados de Peterka 9 Perda de Carga Através de um Ressalto Hidráulico Os ressaltos hidráulicos são frequentemente usados para dissipar a energia abaixo de vertedouros como um meio de prevenir a erosão no fundo ou nas laterais do canal artificial ou natural Consequentemente é de interesse ser capaz de determinar a perda de carga devido ao ressalto hidráulico A partir da equação de energia para o ressalto Eq 1134 podemos resolver para a perda de carga A partir da equação da continuidade V2 V1y1y2 então ou Resolvendo a Eq 1135 para Fr1 em termos de y2y1 e substituindo na Eq 1137 obtivemos após algumas operações algébricas A Eq 1138a é a nossa prova de que y2y1 1 o lado esquerdo é sempre positivo a turbulência deve levar a uma perda de energia mecânica então o termo elevado ao cubo deve levar a um resultado positivo Consequentemente a partir da Eq 1135 ou da Eq 1136 vemos que devemos ter Fr1 1 Uma forma alternativa deste resultado é obtida após um pequeno rearranjo que mostra novamente que y2 y1 para escoamentos reais Hl 0 Em seguida E1 pode ser escrito como Adimensionalizando Hl usando E1 A relação de profundidade em termos da Fr1 é dada pela Eq 1136 Consequentemente HlE1 pode ser escrito puramente como uma função do número de Froude a montante O resultado após alguma manipulação é Vemos que a perda de carga como uma fração da energia específica original através de um ressalto hidráulico é uma função apenas do número de Froude a montante A Eq 1139 é bem validada experimentalmente como pode ser visto na Fig 1115b a figura também mostra que mais de 70 da energia mecânica da corrente que entra é dissipada em ressaltos com Fr1 9 A verificação da Eq 1139 mostra também que se Fr1 1 então Hl 0 e que os valores negativos são precedidos por Fr1 1 Visto que Hl deve ser positivo em qualquer escoamento real isso reconfirma que um ressalto hidráulico pode ocorrer apenas em escoamento supercrítico O escoamento a jusante de um ressalto sempre é subcrítico Exemplo 115 RESSALTO HIDRÁULICO EM UM ESCOAMENTO EM CANAL ABERTO Um ressalto hidráulico ocorre em um canal retangular com 3 m de largura A profundidade da água antes do ressalto é de 06 m e após o ressalto é de 16 m Calcule a a vazão no canal b a profundidade crítica c a perda de carga no ressalto Dados Canal retangular com ressalto hidráulico onde a profundidade do escoamento varia de 06 m a 16 m Determinar A vazão a profundidade crítica e a perda de carga no ressalto Solução Use a equação que relaciona as profundidades y1 e y2 em termos do número de Froude Eq 1136 em seguida use o número de Froude Eq 117 para obter a vazão use a Eq 1123 para obter a profundidade crítica e finalmente calcule a perda de carga a partir da Eq 1138b Equações básicas a A partir da Eq 1136 Como esperado Fr1 1 escoamento supercrítico Podemos agora usar a definição do número de Froude para escoamento em canal aberto para determinar V1 Consequentemente A partir deste resultado podemos obter a vazão Q b A profundidade crítica pode ser obtida a partir da Eq 1123 Note que como ilustrado na Fig 1113 y1 yc y2 c A perda de carga pode ser obtida a partir da Eq 1138b Como uma verificação deste resultado usamos diretamente a equação de energia com V2 Qby2 201 ms Este Exemplo ilustra o cálculo da vazão da profundidade crítica e da perda de carga para um ressalto hidráulico 115 Escoamento Uniforme em Regime Permanente Após estudar efeitos locais tais como protuberância e ressaltos hidráulicos e definindo algumas quantidades fundamentais tais como a energia específica e a velocidade crítica estamos prontos para analisar escoamentos em longos trechos O escoamento uniforme em regime permanente é o tipo de escoamento a ser esperado para canais de inclinação e seção transversal constantes as Figs 111 e 112 mostram exemplos deste tipo de escoamento Tais escoamentos são muito comuns e importantes e têm sido estudados extensivamente O mais simples deste tipo de escoamento é o escoamento completamente desenvolvido ele é análogo ao escoamento completamente desenvolvido no interior de tubos Um escoamento completamente desenvolvido é aquele para o qual o canal é prismático isto é um canal com inclinação constante e seção transversal também constante que escoa a uma profundidade constante Esta profundidade yn é chamada de profundidade normal e o escoamento é chamado de escoamento uniforme Consequentemente a expressão escoamento uniforme neste capítulo possui um significado diferente daqueles dos capítulos anteriores Nos capítulos anteriores escoamento uniforme significa que a velocidade é uniforme em uma seção do escoamento neste capítulo usamos escoamento uniforme para expressar também isso e adicionalmente que o escoamento é o mesmo em todas as seções Assim para o escoamento mostrado na Fig 1116 temos A1 A2 A áreas de seção transversal Q1 Q2 Q vazões V1 V2 V velocidade média V QA e y1 y2 yn profundidade do escoamento Como anteriormente Seção 112 usamos as seguintes considerações 1 Escoamento em regime permanente 2 Escoamento incompressível 3 Velocidade uniforme em cada seção 4 Profundidade variando gradualmente de modo que a distribuição de pressão é hidrostática 5 A inclinação do leito é muito pequena 6 Ẇs Ẇcisalhamento Ẇoutros 0 Note que a consideração 5 significa que podemos considerar a profundidade do escoamento y como vertical e a velocidade do escoamento como horizontal Falando estritamente elas deveriam ser normal e paralela ao fundo do canal respectivamente A equação da continuidade para este caso obviamente é Q V1A1 V2A2 VA Para a equação da quantidade de movimento novamente com a consideração de velocidade uniforme em cada seção podemos usar a seguinte forma para a componente na direção x da equação da quantidade de movimento O termo em regime não permanente t desaparece visto que o escoamento é em regime permanente e o somatório na superfície de controle é zero por que V1 V2 consequentemente o lado direito da equação é igual a zero como não existe variação na quantidade de movimento para o volume de controle A força de campo FBx em que W é o peso do fluido no volume de controle θ é a inclinação do leito como visto na Fig 1116 A força de superfície consiste na força hidrostática sobre as superfícies das duas extremidades em e na força de atrito Ff sobre a superfície molhada do volume de controle Entretanto como temos as mesmas distribuições de pressão em e a componente líquida na direção x da força de pressão é igual a zero Usando todos estes resultados na Eq 418d obtivemos Fig 1116 Volume de controle para escoamento uniforme em canal aberto Ff Wsenθ 0 ou Vemos que para o escoamento à profundidade normal a componente da força gravitacional agindo sobre o escoamento é apenas balanceada pela força de atrito agindo sobre as paredes do canal Isto é um contraste com relação ao escoamento no interior de tubos para o qual com exceção do escoamento resultante exclusivamente da força gravitacional normalmente temos um balanço entre um gradiente de pressão aplicado e o atrito A força de atrito pode ser expressa como o produto de uma tensão média de cisalhamento na parede e a área da superfície molhada do canal PL no qual L é o comprimento do canal sobre a qual a tensão age A componente da força gravitacional pode ser escrita como em que Sb é a inclinação do leito do canal Usando as Eqs 1141 e 1142 na Eq 1140 TWPL ρgALSb ou em que usamos o raio hidráulico Rh AP como definido na Eq 111 No Capítulo 9 já introduzimos um coeficiente de atrito superficial Usando na Eq 1143 então resolvendo para V A Equação de Manning para Escoamento Uniforme A Eq 1144 fornece a velocidade do escoamento V como uma função da geometria do canal especificamente do raio hidráulico Rh e da inclinação Sb mas também do coeficiente de atrito superficial Cf Este último termo é difícil de ser obtido seja experimental quanto teoricamente ele depende de uma série de fatores tais como a rugosidade do leito do canal e as propriedades do fluido mas também da própria velocidade via o número de Reynolds Em vez disso definimos uma nova quantidade então a Eq 1144 se torna A Eq 1145 é a equação bastante conhecida como equação de Chezy e C referese ao coeficiente de Chezy Valores experimentais para C foram obtidos por Manning 10 Ele sugere que em que n é um coeficiente de rugosidade que possui valores diferentes para tipos diferentes de rugosidade na fronteira Alguns valores representativos para n estão listados na Tabela 112 Os valores de n para canais naturais foram também publicados por US Geological Survey 13 A substituição de C da Eq 1146 na Eq 1145 resulta na equação de Manning para a determinação da velocidade em escoamento em profundidade normal que é válida para unidades do sistema internacional SI A equação de Manning pode também ser expressa como em que A é em m2 Note que uma série destas equações bem como muitas das que se seguem são equações de engenharia isto é o usuário deve estar consciente das unidades requeridas para cada um dos termos na equação Na Tabela 111 listamos previamente dados sobre A e Rh para diversas geometrias de canal Tabela 112 Uma Seleção dos Coeficientes de Rugosidade de Manning n de Manning Faixas de Profundidade Categoria do Revestimento Tipo do Revestimento 015 cm 1560 cm 60 cm Rígido Concreto 0015 0013 0013 Armação de argamassa 0040 0030 0028 Alvenaria de pedra 0042 0032 0030 Argamassa 0025 0022 0020 Asfalto 0018 0016 0016 Não revestido Solo nu 0023 0020 0020 Corte de rocha 0045 0035 0025 Temporário Tecidos de papel 0016 0015 0015 Tecido de fibra vegetal 0028 0022 0019 Fibra de vidro móvel 0028 0021 0025 Tecido de palha 0065 0033 0028 Esteira de madeira enrolada 0066 0035 0028 Esteira sintética 0036 0025 0021 Armação de cascalho 25 cm D50 0044 0033 0030 5 cm D50 0066 0041 0034 Armação de pedra 15 cm D50 0104 0069 0035 30 cm D50 0078 0040 Fonte Linsley et al 11 and Chen and Cotton 12 A relação entre as variáveis nas Eqs 1148 pode ser vista de uma série de formas Por exemplo ela mostra que a vazão através de um canal prismático de inclinação e rugosidade determinadas é uma função tanto do tamanho quanto do formato do canal Isto é ilustrado nos Exemplos 116 e 117 Exemplo 116 VAZÃO EM UM CANAL RETANGULAR Um canal retangular com 24 m de largura com inclinação do leito igual a 00004 mm possui uma profundidade de escoamento igual a 06 m Considerando escoamento uniforme em regime permanente determine a descarga no canal O coeficiente de rugosidade de Manning é n 0015 Dados A geometria do canal retangular e a profundidade do escoamento Determinar A vazãoQ Solução Use a forma apropriada da equação de Manning Para um problema em unidades Inglesas de Engenharia esta é a Eq 1148 Equações básicas Usando esta equação com os dados fornecidos Este Exemplo demonstra o uso da equação de Manning para determinação da vazão Q Note que como esta é uma equação de engenharia as unidades não se cancelam Exemplo 117 ESCOAMENTO VERSUS ÁREA ATRAVÉS DE DOIS FORMATOS DE CANAIS Canais abertos de formatos quadrado e semicircular estão sendo considerados para transportar o escoamento sobre um leito com inclinação de Sb 0001 as paredes do canal devem ser feitas de concreto com n 0015 Determine a vazão entregue pelos canais para dimensões máximas entre 05 e 20 m Compare os canais com base na vazão volumétrica para uma dada área de seção transversal Dados Canais quadrado e semicircular Sb 0001 e n 0015 Tamanhos entre 05 e 20 m Determinar A vazão como função do tamanho Compare os canais com base na vazão volumétrica Q versus a área da seção transversal A Solução Use a forma apropriada da equação de Manning Para um problema em unidades do SI esta é a Eq 1148 Equações básicas Consideração Escoamento na profundidade normal Para o canal quadrado Usando o resultado na Eq 1148 Para b 1 m Tabulando para uma faixa de tamanho obtivemos b m 05 10 15 20 A m2 025 100 225 400 Q m3s 0160 101 299 644 Para o canal semicircular Usando o resultado na Eq 1148 Para D 1 m Tabulando para uma faixa de tamanho obtivemos D m 05 10 15 20 A m2 00982 0393 0884 157 Q m3s 00517 0329 209 644 Para ambos os canais a vazão volumétrica varia como Q L83 ou Q A43 visto que A L2 O gráfico da vazão em função da área da seção transversal mostra que o canal semicircular é mais eficiente O desempenho dos dois canais pode ser comparado para qualquer área especificada Para A 1 m2 QA 101 ms para o canal quadrado Para o canal semicircular com A 1 m2 então D 160 m e Q 115 m3s então QA 115 ms Portanto o canal semicircular transporta escoamento por unidade de área aproximadamente 14 a mais do que o canal quadrado A comparação com base na área da seção transversal é importante na determinação da quantidade de escavação requerida para construir o canal A forma do canal poderia também ser comparada com base no perímetro que poderia indicar a quantidade de concreto necessário para o acabamento do canal A planilha do Excel para este problema pode ser usada para calcular dados e traçar curvas para outros canais quadrados e semicirculares Demonstramos que as Eqs 1148 significam que para o escoamento normal a vazão depende do tamanho e do formato do canal Para uma vazão especificada através de um canal prismático com dada inclinação e rugosidade as Eqs 1148 mostram também que a profundidade do escoamento uniforme é uma função tanto do tamanho quanto da forma do canal bem como da inclinação Existe apenas uma profundidade para o escoamento uniforme a uma dada vazão ela pode ser maior menor ou igual a profundidade crítica Isto é ilustrado nos Exemplos 118 e 119 Exemplo 118 PROFUNDIDADE NORMAL EM UM CANAL RETANGULAR Determine a profundidade normal para o escoamento uniforme se o canal descrito no Exemplo 116 possui uma vazão de 283 m3s Dados Dados geométricos do canal retangular do Exemplo 116 Determinar A profundidade normal para uma vazão Q 283 m3s Solução Use a formmulação apropriada da equação de Manning para SI Eq 1148 Equações básicas Combinado estas equações Consequentemente após rearranjo Substituindo Q 283 m3s n 0015 b 24 m e Sb 00004 e simplificando sempre lembrando que esta é uma equação de engenharia na qual inserimos valores sem as unidades Esta equação não linear pode ser resolvida para yn usando um método numérico tal como o método de Newton Raphson ou melhor ainda usando o recuso de sua calculadora ou o Excel Obtivemos Note que existem cinco raízes mas quatro delas são raízes complexas matematicamente corretas mas sem significado físico Este Exemplo demonstra o uso da equação de Manning para determinação da profundidade normal Este problema de resolução relativamente simples do ponto de vista físico ainda envolve a resolução de uma equação algébrica não linear A planilha Excel para este problema pode ser usada para resolver problemas similares Exemplo 119 DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DO CONDUTO Um conduto acima do nível do solo construído de madeira deve transportar água de um lago na montanha para uma pequena planta hidroelétrica A calha deve liberar água a Q 2 m3s a inclinação é Sb 0002 e n 0013 Avalie o tamanho de calha requerido para a uma seção retangular com yb 05 e b uma seção triangular equilateral Dados Um conduto a ser construído de madeira com Sb 0002 n 0013 e Q 200 m3s Determinar O tamanho requerido para o conduto para a Seção retangular com yb 05 b Seção triangular equilateral Solução Considere que o conduto é muito longo então o escoamento é uniforme Então se aplica a Eq 1148 Equação básica A escolha do formato do canal fixa a relação entre Rh e A então a Eq 1148 pode ser resolvida para a profundidade normal yn consequentemente determina o tamanho requerido para o canal a Seção retangular P 2yn b ynb 05 assim b2yn Usando este resultado na Eq 1148 Resolvendo para yn As dimensões requeridas para o canal retangular são b Seção triangular equilateral Usando este resultado na Eq 1148 Resolvendo para yn As dimensões necessárias para o canal triangular são Note que para o canal triangular e Consequentemente este escoamento normal é subcrítico como é o escoamento no canal retangular Comparando os resultados vemos que o conduto retangular seria mais barato para construir seu perímetro é em torno de 85 menor do que aquele do conduto triangular Este problema mostra o efeito da forma do canal sobre o tamanho necessário para fornecer uma dada vazão para um declive do leito e um coeficiente de rugosidade Para valores específicos de Sb e n a vazão pode ser subcrítica ou supercrítica dependendo de Q Equação de Energia para Escoamento Uniforme Para completar a nossa discussão sobre escoamentos normais consideramos a equação de energia A equação de energia já foi deduzida na Seção 112 Neste caso obtivemos com V1 V2 V e y1 y2 yn Z1 Z2 Hl ou em que Sb é a inclinação do leito e L é a distância entre os pontos e Consequentemente vemos que para o escoamento à profundidade normal a perda de carga devido ao atrito é igual à variação em elevação do leito A energia específica E é a mesma em todas as seções Para aperfeiçoar também podemos calcular a linha de energia LE e a linha de piezométrica LP A partir da Seção 65 e Note que usamos ztotal z y nas Eqs 616b e 616c No Capítulo 6 z é a elevação total da superfície livre Portanto para qualquer ponto da superfície livre lembre de que estamos usando pressões manométricas e Portanto usando as Eqs 1150 e 1151 na Eq 1110 entre os pontos e obtivemos LP1 LP2 Hl Z1 Z2 Fig 1117 Linha de energia linha piezométrica e energia específica para escoamento uniforme e como V1 V2 LP1 LP2 Hl Z1 Z2 Para escoamento normal a linha de energia a linha de piezométrica e a base do canal são paralelas As tendências para a linha de energia a linha de piezométrica e a energia específica são mostradas na Figura 1117 Seção Transversal do Canal Ótima Para dadas inclinação e rugosidade a seção transversal do canal ótima é aquela para a qual necessitamos do menor canal para uma dada vazão isso quando QA é maximizado A partir da Eq 1148 usando a versão em unidades do SI embora os resultados obtidos sejam aplicados de modo geral Consequentemente a seção transversal ótima possui um raio hidráulico Rh Visto que Rh AP Rh é máximo quando o perímetro molhado é mínimo Resolvendo a Eq 1152 para A com Rh AP obtivemos Tabela 113 Propriedades das Seções Ótimas para Canal Aberto Unidades do Sistema SI A partir da Eq 1153 a área do o escoamento será mínima quando o perímetro molhado for mínimo O perímetro molhado P é uma função da forma do canal Para qualquer forma dada para canal prismático retangular trapezoidal triangular circular etc a seção transversal do canal pode ser otimizada As seções transversais ótimas para os formatos comuns de canal são dadas sem prova na Tabela 113 Uma vez que a seção transversal ótima para um dado formato de canal tenha sido determinada expressões para a profundidade normal yn e área A como funções da vazão podem ser obtidas a partir da Eq 1148 Estas expressões estão incluídas na Tabela 113 116 Escoamento com Profundidade Variando Gradualmente A maior parte dos canais feitos pelos seres humanos é projetada para ter escoamento uniforme por exemplo veja a Fig 111 Entretanto isto não é verdadeiro em algumas situações Um canal pode ter escoamento não uniforme isto é um escoamento para o qual a profundidade e consequentemente a velocidade e assim por diante varia ao longo do canal por diversas razões Os exemplos incluem quando um escoamento em canal aberto encontra uma variação na inclinação do leito na geometria ou na rugosidade tal como em uma comporta Já estudamos variações localizadas rápida tais como aquela que ocorre em um ressalto hidráulico mas aqui consideramos que a profundidade do escoamento varia de modo gradual O escoamento com a profundidade variando gradualmente é analisado por meio da aplicação da equação de energia a um volume de controle diferencial o resultado é uma equação diferencial que relaciona a variação em profundidade com a distância ao longo do escoamento A equação resultante pode ser resolvida analiticamente ou mais tipicamente por um método numérico se aproximarmos a perda de carga em cada seção como a mesma que aquela para o escoamento na profundidade normal usando a velocidade e o raio hidráulico da seção A profundidade da água e a altura do leito do canal são consideradas ter uma variação lenta Como do caso do escoamento na profundidade normal a velocidade é considerada uniforme e a distribuição de pressão é considerada hidrostática em cada seção A equação de energia Eq 1110 para escoamento em canal aberto foi aplicada para um volume de controle finito na Seção 112 Aplicamos esta equação para um volume de controle diferencial de comprimento dx mostrado na Fig 1118 Note que a linha de energia a linha piezométrica e o fundo do canal possuem inclinações diferentes ao contrário do que ocorre com o escoamento uniforme da seção precedente A equação de energia tornase ou após simplificar e rearranjar Isso não é surpreendente A perda diferencial de energia mecânica é igual a perda de carga diferencial A partir da geometria do canal Fig 1118 Volume de controle para a análise de energia de escoamento variando gradualmente Também temos a aproximação de que a perda de carga neste escoamento não uniforme diferencial pode ser aproximada pela perda de carga do escoamento uniforme que teria tido à mesma vazão Q na seção Consequentemente a perda de carga diferencial é aproximada por em que S é a inclinação da LE veja a Fig 1118 Usando as Eqs 1155 e 1156 na Eq 1154 e dividindo por dx e rearranjando obtivemos Para eliminar a derivada da velocidade diferenciamos a equação da continuidade Q VA constante para obter ou em que usamos dA bsdy Eq 1117 em que bs é a largura do canal na superfície livre Usando a Eq 1158 na Eq 1157 após rearranjos Em seguida vemos que em que yh é a profundidade hidráulica Eq 112 Usando este resultado na Eq 1159 finalmente obtivemos a nossa forma desejada para a equação de energia para escoamento variando gradualmente Esta equação indica quanto a profundidade y do escoamento varia Se o escoamento se torna mais profundo dydx 0 ou mais raso dydx 0 depende do sinal do termo do lado direito da equação Por exemplo considere um canal que possui uma seção horizontal Sb 0 Por causa do atrito a EGL sempre decresce então S 0 Se o escoamento de entrada for subcrítico Fr 1 a profundidade do escoamento decrescerá gradualmente dydx 0 se o escoamento de entrada for supercrítico Fr 1 a profundidade do escoamento crescerá gradualmente dydx 0 Note também que para o escoamento crítico Fr 1 a equação leva a uma singularidade e o escoamento gradual já não é sustentável algo drástico ocorrerá adivinhe o quê Cálculo de Perfis de Superfície A Eq 1160 pode ser usada para determinar a forma da superfície livre yx a equação parece bastante simples mas normalmente é difícil de ser resolvida analiticamente e consequentemente é resolvida numericamente A dificuldade de resolver é por que a inclinação do leito Sb o número de Froude local Fr e S a inclinação equivalente LE para escoamento uniforme à vazão Q geralmente variará com o local x Para S usamos os resultados obtidos na Seção 115 especificamente Note que usamos S em vez de Sb na Eq 1148 visto que estamos usando a equação para obter um valor equivalente de S para um escoamento uniforme à vazão Q Resolvendo para S obtivemos Também podemos expressar o número de Froude como uma função de Q Usando as Eqs 1161 e 1162 na Eq 1160 Para um dado canal inclinação Sb e coeficiente de rugosidade n que podem ambos variar com x e vazão Q a área A o raio hidráulico Rh e a profundidade hidráulica yh são todos funções da profundidade y veja a Seção 111 Consequentemente as Eqs 1163 normalmente são mais bem resolvidas com o uso de um método numérico adequado O Exemplo 1110 mostra tal cálculo para o caso mais simples que é um canal retangular Exemplo 1110 CÁLCULO DO PERFIL DA SUPERFÍCIE LIVRE Água escoa em um canal retangular com 5 m de largura feito de concreto não acabado com n 0015 O canal contém um longo alcance em que Sb é constante em Sb 0020 Em uma seção o escoamento possui uma profundidade y1 15 m com velocidade V1 40 ms Calcule e trace um gráfico do perfil da superfície livre para os primeiros 100 m do canal e determine a profundidade final Dados Escoamento de água em um canal retangular Determinar Traçar um gráfico com o perfil da superfície livre a profundidade a 100 m Solução Use a forma apropriada da equação para a profundidade do escoamento Eq 1163a Equação básica Usamos o método de Euler veja a Seção 55 para converter a equação diferencial em uma equação de diferenças finitas Nessa abordagem a equação diferencial é convertida em uma equação de diferença finita em que Δx e Δy são variações pequenas mas finitas em x e em y respectivamente Combinando as Eqs 1163a e 1 e rearranjando Finalmente vamos fazer Δy yi 1 yi e em que yi1 são as profundidades no ponto i e em um ponto i 1 distante Δx a jusante A Eq 2 calcula da profundidade yi1 dados fornecidos no ponto i Na atual aplicação Sb e n são constantes mas A e yh variarão é claro com x porque são funções de y Para um canal retangular temos o seguinte Ai byi Os cálculos são realizados de modo conveniente e os resultados traçados em gráfico usando uma planilha do Excel Note que os resultados parciais são mostrados na tabela e que para o primeiro metro sobre o qual existe uma rápida variação em profundidade o passo espacial é Δx 005 i y m x m A m2 Rb m yh m 1 000 1500 7500 0938 1500 2 005 1491 7454 0934 1491 3 010 1483 7417 0931 1483 4 015 1477 7385 0928 1477 5 020 1471 7356 0926 1471 118 98 0096 4580 0670 0916 119 99 0915 4576 0670 0915 120 100 0914 4571 0669 0914 A profundidade no local x 100 m é 0914 m Note seguindo o procedimento de solução do Exemplo 118 que a profundidade normal para este escoamento é yn 0858 m a profundidade do escoamento se aproxima assintoticamente deste valor Geralmente esta é uma das diversas possibilidades dependendo dos valores da profundidade inicial e das propriedades do canal inclinação e rugosidade Um escoamento pode se aproximar da profundidade normal tornarse mais e mais profundo ou eventualmente tornarse raso e sofrer um ressalto hidráulico A precisão dos resultados obtidos obviamente depende do modelo numérico usado por exemplo um modelo mais preciso é o método RK4 Também para o primeiro metro ou algo em torno há mudanças bruscas de profundidade levandonos a questionar a validade de muitas considerações feitas como por exemplo escoamento uniforme e pressão hidrostática A planilha Excel para este problema pode ser modificada para ser usada na solução de problemas similares 117 Medição de Descarga Usando Vertedouros Um vertedouro é um dispositivo ou estrutura de transbordamento colocado normal à direção do escoamento O vertedouro essencialmente retém a água de modo que escoando sobre o vertedouro a água passa através de sua profundidade crítica Os vertedouros têm sido usados para medição do escoamento de água em canais abertos por muitos anos Os vertedouros geralmente podem ser classificados como vertedouros de soleira delgada e vertedouros de soleira espessa Os vertedouros são discutidos em detalhes em Bos 14 Brater 15 e Replogle 16 Um vertedouro de soleira delgada é basicamente uma placa delgada montada perpendicular ao escoamento com o topo da placa possuindo uma borda chanfrada afinada que faz com que o lençol de água seja livre a partir da placa veja a Fig 1119 A vazão é determinada por meio da medida da altura de carga tipicamente em um tanque sem movimento de água veja a Fig 1120 a uma distância a montante da crista A altura de carga H é medida usando um manômetro Vertedouro Retangular Suprimido Estes vertedouros de soleira delgada são tão amplos quanto o canal e a largura do lençol de água é a mesma que a da crista Com referencia à Fig 1120 considere um elemento de área dA bdh e considere que a velocidade seja assim o escoamento elementar é A descarga é expressa por meio da integração desta equação sobre a área acima do topo da crista do vertedouro Os efeitos de atrito foram desprezados na dedução da Eq 1164 O efeito de rebaixamento mostrado na Fig 1119 e a contração na crista indicam que as linhas de corrente não são paralelas ou normais à área no plano Para levar em consideração estes efeitos um coeficiente de descarga Cd é usado de modo que em que Cd é aproximadamente 062 Esta é a equação básica para um vertedouro retangular suprimido que pode ser expressa de modo mais geral como em que Cw é o coeficiente do vertedouro Para unidades do sistema SI Cw 184 Fig 1119 Escoamento sobre um vertedouro de soleira delgada Fig 1120 Vertedouro de soleira delgada retangular sem contração na extremidade Se a velocidade de aproximação Va em que H é medido for apreciável não desprezível então os limites de integração são Quando 0 a Eq 1166 pode ser simplificada para Vertedouros Retangulares Contraídos Um vertedouro horizontal contraído é outro vertedouro de soleira delgada com uma crista que é mais curta do que a largura do canal e uma ou duas seções de extremidade chanfradas de modo que a água se contraia tanto horizontal quanto verticalmente Isso força que a largura do lençol de água seja menor do que b O comprimento efetivo da crista é b b 01 nH em que n 1 se o vertedouro for colocado contra uma parede lateral do canal de modo que a contração sobre um lado seja suprimida e n 2 se o vertedouro for posicionado de modo que não esteja colocado contra uma parede lateral Vertedouro Triangular Vertedouros triangulares ou de entalhe em V são vertedouros de soleira delgada usados para escoamentos relativamente pequenos mas possuem a vantagem de que também podem funcionar para escoamentos razoavelmente grandes Referente à Fig 1121 a vazão através de uma área elementar dA é em que dA 2xdh e x H htgθ2 então dA 2H htgθ2dh Então e O valor de Cw para um valor de θ 90º o mais comum é Cw 138 para unidades do sistema SI Vertedor de Soleira Espessa Os vertedouros de soleira espessa Fig 1122 são essencialmente vertedouros de profundidade crítica nos quais se forem altos o suficiente ocorre a profundidade crítica sobre a soleira do vertedouro Para as condições de escoamento crítico yc Q2 gb213 Eq 1123 e E 3yc2 Eq 1125 para canais retangulares Fig 1121 Vertedouro triangular com soleira delgada Fig 1122 Vertedouro de soleira espessa Fig 1123 Vertedouro de soleira espessa em um canal revestido com concreto de Bos et al 14 ou considerando que a velocidade de aproximação seja desprezível A Fig 1123 ilustra uma instalação de vertedouro de soleira espessa em um canal revestido com concreto Exemplo 1111 DESCARGA DE UM VERTEDOURO SUPRIMIDO RETANGULAR DE SOLEIRA DELGADA Um vertedouro retangular suprimido com soleira delgada com 3 m de comprimento possui 1 m de altura Determine a descarga quando a altura de carga é 150 mm Dados Geometria e altura de carga de um vertedouro suprimido retangular de soleira delgada Determinar A descarga vazão Q Solução Use a equação de descarga de vertedouro apropriada Equação básica Na Eq 1135 usamos Cw 184 e os dados fornecidos b 3 m e H 150 mm 015 m então Este Exemplo ilustra o uso de uma das diversas equações para descarga de vertedouros Note que a Eq 1165 é uma equação de engenharia então não esperamos que as unidades se cancelem 18 Resumo e Equações Úteis Neste capítulo nós Deduzimos uma expressão para a velocidade de ondas superficiais e desenvolvemos a noção de energia específica de um escoamento deduzimos o número de Froude para determinar se o escoamento é crítico subcrítico ou supercrítico Investigamos escoamentos variados rapidamente em especial o ressalto hidráulico Investigamos o escoamento uniforme em regime permanente em um canal e usamos os conceitos de energia e quantidade de movimento para deduzir as equações de Chezy e Manning Investigamos alguns conceitos básicos de escoamentos variados gradualmente Também aprendemos como usar muitos dos conceitos acima mencionados na análise de uma faixa de problemas reais de escoamento em canal aberto Nota A maior parte das Equações Úteis na tabela a seguir possui determinadas restrições ou limitações para usálas com segurança verifique os detalhes no capítulo conforme numeração de referência Equações Úteis Raio hidráulico 111 Profundidade hidráulica 112 Velocidade da onda de superfície 116 Número de Froude 117 Equação da energia para escoamento em canal aberto 1110 Carga total 1111 Energia específica 1113 Escoamento crítico 1121 Velocidade crítica 1122 Profundidade crítica canal retangular 1123 Velocidade crítica canal retangular 1124 Energia específica mínima canal retangular 1125 Profundidades conjugadas do ressalto hidráulico 1136 Perda de carga do ressalto hidráulico 1138b Perda de carga do ressalto hidráulico em termos de Fr1 1139 Equação de Chezy 1145 Coeficiente de Chezy 1146 Equação de Manning para velocidade unidades no SI 1147 Equação de Manning para vazão unidades no SI 1148 Linha de Energia 1150 Linha piezométrica 1151 Equação da energia escoamento variando gradualmente 1160 Estudo de Caso A Barragem das Três Gargantas Um modelo da Barragem das Três Gargantas Este capítulo fornece uma introdução aos escoamentos com superfície livre tais como aqueles na saída de uma barragem A Barragem das Três Gargantas sobre o Rio Yangtze na China é a maior barragem hidroelétrica no mundo A capacidade de geração de energia elétrica será eventualmente 22500 MW A barragem possui mais de 2 km de largura e 185 m de altura e o seu reservatório eventualmente será assentado sobre 600 km a montante A construção da barragem tem sido muito controversa milhões de pessoas tiveram que ser realocadas e ainda não estamos seguros das consequências em longo prazo da construção desta grande barragem sobre o meio ambiente A função mais significativa de uma barragem fora a geração de potência é o controle de inundações A capacidade do reservatório para controlar inundações é de 22 km3 isso reduzirá a frequência de inundação a jusante de cada 10 anos para cada 100 anos Existem diversas grandes cidades e uma grande quantidade de terras no campo que historicamente tem sido vulnerável às inundações Por exemplo em 1954 quase 200000 km2 de terras no campo foram alagadas matando mais do que 30000 pessoas e forçando quase 20 milhões de pessoas a se mudarem em 1998 uma inundação na mesma área afetou mais do que dois milhões de pessoas Com a barragem esperase que as maiores inundações sejam controladas Eclusas para navegação fluvial para passagem secundária às barragens foram construídas de modo que a navegação se tornará mais segura a navegação nas gargantas é notoriamente perigosa Cada eclusa para navegação fluvial é composta de cinco estágios levandose em torno de 4 horas para completála Adicionalmente às eclusas a Barragem das Três Gargantas é equipada com um elevador de navios capas de elevar navios de até 3000 toneladas Referências 1 Chow V T OpenChannel Hydraulics New York McGrawHill 1959 2 Henderson F M OpenChannel Flow New York Macmillan 1966 3 French R H OpenChannel Hydraulics New York McGrawHill 1985 4 Townson J M FreeSurface Hydraulics London Unwin Hyman 1991 5 Chaudhry M H OpenChannel Flow Englewood Cliffs NJ Prentice Hall 1993 6 Jain S C Open Channel Flow New York Wiley 2001 7 Sturm T W Open Channel Hydraulics New York McGrawHill 2001 8 Mays L W Water Resources Engineering 2005 ed New York Wiley 2005 9 Peterka A J Hydraulic Design of Stilling Basins and Energy Dissipators US Department of the Interior Bureau of Reclamation Engineering Monograph No 25 Revised July 1963 10 Manning R On the Flow of Water in Open Channels and Pipes Transactions Institute of Civil Engineers of Ireland vol 20 pp 161209 Dublin 1891 Supplement vol 24 pp 179207 1895 11 Linsley R K J B Franzini D L Freyberg and G Tchobanoglous Water Resources Engineering New York McGrawHill 1991 12 Chen Y H and G K Cotton Design of Roadside Channels with Flexible Linings Hydraulic Engineering Circular 15 FHWAIP 877 Federal Highway Administration McClean VA 1988 13 Barnes H H Jr Roughness Characteristics of Natural Channels US Geological Survey Water Supply Paper 1849 Washington DC US Government Printing Office 1962 14 Bos M G J A Replogle and A J Clemmens Flow Measuring Flumes for Open Channel System New York John Wiley Sons 1984 15 Brater E F H W King J E Lindell and CYWei Handbook of Hydraulics 7th ed NewYorkMcGrawHill 1996 16 Replogle J A A J Clemmens and C A Pugh Hydraulic Design of Flow Measuring Structures Hydraulic Design Handbook L W Mays ed New York McGrawHill 1999 Problemas Definições e Conceitos Básicos 111 Verifique a equação dada na Tabela 111 para o raio hidráulico de um canal trapezoidal Trace o gráfico da taxa Ry para b 2 m com inclinações do lado de 30 e 60 para 05 m y 3 m 112 Verifique a equação dada na Tabela 111 para o raio hidráulico de um canal circular Avalie e trace o gráfico da taxa RD para profundidades de líquido entre 0 e D 113 Uma onda de um barco que passava em um lago viaja a 16 kmh Determine a profundidade aparente da água no local 114 Uma pedrinha é abandonada em uma corrente de água que escoa em um canal retangular de 2 m de profundidade Em um segundo uma ondulação causada pela pedra é levada 7 m a jusante Qual é a velocidade de escoamento da água 115 Uma pedrinha é abandonada em uma corrente de água que escoa em um canal retangular de 15 m de profundidade Em um segundo uma ondulação causada pela pedra é levada 39 m a jusante Qual é a velocidade de escoamento da água 116 A solução das equações diferenciais completas para o movimento de ondas sem tensão superficial mostra que a velocidade da onda é dada por em que λ é o comprimento de onda e y é a profundidade do líquido Mostre que quando λy 1 a velocidade da onda tornase proporcional a No limite como λy Vw Determine o valor de λy para o qual Vw 099 117 Ondas capilares ondulações têm pequena amplitude e comprimentos de ondas e são comumente vistas por exemplo quando um inseto ou uma pequena partícula atinge a superfície da água Elas são ondas geradas devido à interação da força de inércia do fluido ρ e da tens ão superficial do fluido σ A velocidade da onda é Encontre a velocidade de ondas capilares na água e no mercúrio 118 A solução das equações diferenciais completas para o movimento de ondas em líquidos em repouso incluindo os efeitos da tensão superficial mostra que a velocidade da onda é dada por em que λ é o comprimento de onda y é a profundidade do líquido e σé a tensão superficial Trace o gráfico da velocidade da onda versus o comprimento de onda para a faixa 1 mm λ 100 mm para a a água e b mercúrio Considere y 7 mm para ambos os líquidos 119 Ondas de superfície são causadas pela forma do objeto que toca apenas na superfície de uma corrente de um escoamento de água formando o padrão de onda mostrado A profundidade da corrente é 150 mm Determine a velocidade do escoamento e o número de Froude Note que a onda viaja a velocidade c Eq 116 normal à frente de onda como mostrado no diagrama 1110 O número de Froude caracteriza escoamento com uma superfície livre Trace um gráfico em escala logarítmica da velocidade versus a profundidade para 01 ms V 3 ms e 0001 m y 1 m Trace a linha de Fr 1 indicando regiões correspondentes a escoamentos tranquilo e rápido 1111 Um corpo submerso viajando horizontalmente abaixo de uma superfície líquida com um número de Froude baseado no comprimento do corpo em torno de 05 produz um forte padrão de onda superficial se a profundidade de submersão for menor que a metade do seu comprimento O padrão de onda de uma superfície de navio também é pronunciado pelo número de Froude Em um gráfico logarítmico da velocidade versus o comprimento do corpo ou do navio trace a linha de Fr 05 para 1 ms V 30 ms e 1 m x 300 m 1112 Água escoa em um canal retangular a uma profundidade de 750 mm Se a velocidade do escoamento é a 1 ms e b 4 ms calcule os números de Froude correspondentes 1113 Um longo canal retangular de 3 m de largura tem uma superfície ondulada a uma profundidade de cerca de 18 m Estime a vazão de descarga Equação de Energia para Escoamentos em Canal Aberto 1114 Uma comporta parcialmente aberta em um canal retangular de 5 m de largura carrega água a 10 m3s A profundidade a montante é de 25 m Determine a profundidade a jusante e o número de Froude 1115 Para um canal retangular de largura b 20 m construa uma família de curvas de energia específica para Q 0 25 75 125 e 200 m3s Quais são as energias específicas mínimas para essas curvas 1116 Encontre a profundidade crítica de um canal retangular de comprimento 25 m para uma vazão de 3 m3s 1117 Um canal trapezoidal com uma largura inferior de 6 m com inclinação lateral de 1 para 2 com inclinação no fundo do canal de 00016 e um n de Manning igual a 0025 transporta uma descarga de 113 m3s Calcule a profundidade e a velocidade crítica deste canal 1118 Um canal retangular carrega uma descarga de 093 m3s por metro de largura Determine a energia específica mínima possível para esse escoamento Calcule a profundidade e a velocidade de escoamento correspondente 1119 O fluxo no canal do Problema 1118 Emín 066 m deve ter o dobro da energia mínima específica Calcule as profundidades alternativas para essa energia 1120 Para um canal de seção transversal não retangular a profundidade crítica ocorre a uma energia específica mínima Obtenha uma equação geral para a profundidade crítica em um canal de seção trapezoidal em função de Q g b e θ Ela será implícita em yc 1121 Água escoa a 85 m3s em um canal trapezoidal com largura inferior de 24 m Os lados são inclinados a 21 Encontre a profundidade crítica para esse canal Efeito Localizado de Mudança de Área Escoamento sem Atrito 1122 Considere o canal condutor Venturi mostrado O fundo é horizontal e o escoamento pode ser considerado sem atrito A profundidade a montante é 03 m e a profundidade a jusante é 022 m A largura a montante é 06 m e a largura da garganta é 03 m Estime a vazão através do conduto 1123 Um canal retangular com 3 m de largura carrega 283 m3s sobre um fundo horizontal a uma profundidade de 03 m Um ressalto suave através do canal está a 10 cm acima do fundo Determine a elevação da superfície livre do líquido acima do ressalto 1124 Um canal retangular com 3 m de largura carrega 057 m3s a uma profundidade de 027 m Um ressalto suave através do canal está a 006 m acima do fundo do canal Estime a variação local na profundidade do escoamento causada pelo ressalto 1125 Em uma seção de um canal retangular com 3 m de largura a profundidade é 009 m para uma descarga de 057 m3s Um ressalto suave com 003 m de altura é colocado sobre o fundo do canal Determine a variação local na profundidade do escoamento causada pelo ressalto 1126 Água a 009 ms e 06 m de profundidade aproximase de um aumento suave na inclinação do fundo do canal Estime a profundidade da corrente de água após o aumento de 015 m 1127 Água é descarregada de uma comporta a uma profundidade de 125 m A descarga por unidade de largura é 10 m3sm Estime o nível de água longe a montante onde a velocidade do escoamento é desprezível Calcule a vazão máxima por unidade de largura que poderia ser liberada através da comporta 1128 Um canal retangular horizontal com 09 m de largura contém uma comporta A montante da comporta a profundidade é de 18 m a profundidade a jusante é de 027 m Estime a vazão volumétrica no canal 1129 A figura mostra o escoamento através de uma comporta Estime a profundidade da água e a velocidade depois da comporta bem antes do ressalto hidráulico 1130 Refaça o Exemplo 114 para uma altura de 350 mm do ressalto e um tamanho de constrição da parede que reduza a largura do canal para 15 m O Ressalto Hidráulico 1131 Determine a taxa na qual a energia está sendo consumida kW pelo ressalto hidráulico do Exemplo 115 Essa taxa é suficiente para produzir um significativo aumento de temperatura na água 1132 Um ressalto hidráulico ocorre em um canal retangular com 40 m de largura A profundidade da água antes do ressalto é de 04 m e de 17 m após o ressalto Calcule a vazão no canal a profundidade crítica e a perda de carga no ressalto 1133 Um canal largo carrega 10 m3s por m de largura a uma profundidade de 1 m no pé de um ressalto hidráulico Determine a profundidade do ressalto e perda de carga através desse 1134 Um ressalto hidráulico ocorre em um largo canal horizontal A descarga é de 2 m3s por m de largura A profundidade a montante é de 750 mm Determine a profundidade do ressalto 1135 Um ressalto hidráulico ocorre em um canal retangular A vazão é de 65 m3s e a profundidade antes do ressalto é de 04 m Determine a profundidade após o ressalto e a perda de carga se o canal tem 1 m de largura 1136 O ressalto hidráulico pode ser usado com um medidor de vazão grosseiro Suponha que em um canal retangular horizontal com 15 m de largura as profundidades observadas antes e após um ressalto hidráulico são respectivamente iguais a 02 e 09 m Determine a vazão e a perda de carga 1137 Um ressalto hidráulico ocorre sobre um anteparo horizontal a jusante de um largo vertedouro em um local onde a profundidade é igual a 09 m e a velocidade é igual a 25 ms Estime a profundidade e a velocidade a jusante do ressalto Compare a energia específica a jusante do ressalto com àquela a montante 1138 Um ressalto hidráulico ocorre em um canal retangular A vazão é de 50 m3s e a profundidade antes do ressalto é de 2 m Determine a profundidade após o ressalto e a perda de carga se o canal possui 1 m de largura 1139 Estime a profundidade de água antes e depois do ressalto para o ressalto hidráulico a jusante da comporta mostrada na Fig P1129 1140 Uma onda positiva ou salto hidráulico em movimento pode ser reproduzida em laboratório pela súbita abertura de uma comporta Considere uma onda de profundidade y1 avançando sobre um canal com um fluido em repouso de profundidade y2 Obtenha uma expressão para a velocidade da onda em termos de y1 e y2 1141 Um tidal bore uma onda abrupta ou um ressalto hidráulico se movendo se forma frequentemente quando a maré escoa em um amplo estuário de um rio Neste problema um tidal bore de 36 m acima do nível do rio que é de 24 m viaja rio acima com a velocidade Vtidal bore 2897 kmh Determine aproximadamente a velocidade Vr da corrente do rio não perturbado Escoamento Uniforme 1142 Um canal retangular com 2 m de largura e inclinação de 00005 possui uma profundidade de escoamento de 15 m O coeficiente de rugosidade de Manning é de 0015 Determine a descarga uniforme em regime permanente no canal 1143 Determine a profundidade de escoamento uniforme em um canal retangular com 25 m de largura com uma descarga de 3 m3s A inclinação é 00004 e o fator de rugosidade de Manning é de 0015 1144 Determine a profundidade de escoamento uniforme em um canal trapezoidal com uma largura no fundo igual a 24 m e inclinações laterais de 1 na vertical para 2 na horizontal A descarga é de 28 m3s O fator de rugosidade de Manning é de 0015 e a inclinação no fundo do canal é de 00004 1145 Determine a profundidade de escoamento uniforme em um canal trapezoidal com largura no fundo igual a 25 m e inclinações laterais de 1 na vertical para 2 na horizontal com uma descarga de 3 m3s A inclinação é de 00004 e o fator de rugosidade de Manning é de 0015 1146 Um conduto retangular construído de concreto com inclinação de 1 m por 1000 m tem 18 m de largura Água escoa a uma profundidade normal de 09 m Calcule a descarga 1147 Um conduto retangular construído de madeira tem 09 m de largura O conduto deve guiar um escoamento de 255 m3s a uma profundidade normal de 18 m Determine a inclinação requerida 1148 Um canal com seção transversal quadrada deve carregar 20 m3s de água a uma profundidade normal sobre uma inclinação de 0003 Compare as dimensões do canal requerido para a concreto e b argamassa 1149 Água escoa em um canal trapezoidal a uma profundidade normal de 12 m A largura do fundo é de 24 m e a inclinação lateral é de 11 45º A vazão é 71 m3s O canal é escavado na terra nua Determine a inclinação do fundo 1150 Um canal triangular com inclinação lateral de 45º deve carregar 10 m3s a uma inclinação de 0001 O canal é de concreto Determine as dimensões requeridas 1151 Uma cuba semicircular de aço corrugado com diâmetro D 1 m carrega água a uma profundidade y 025 m A inclinação é de 001 Determine a descarga 1152 Determine a descarga na qual o canal do Problema 1151 escoa repleto 1153 O conduto do Problema 1146 é ajustado com um novo revestimento de filme plástico n 0010 Determine a nova profundidade de escoamento se a descarga permanece constante a 242 m3s 1154 A descarga através do canal do Problema 1149 é aumentada para 10 m3s Determine a profundidade normal correspondente se a inclinação do fundo for 000193 1155 O canal do Problema 1149 possui uma inclinação no fundo igual a 000193 Determine a profundidade normal para a descarga dada após a instalação de um novo revestimento de plástico n 0010 1156 Considere novamente o canal semicircular do Problema 1151 Determine a profundidade normal que corresponde a uma descarga de 05 m3s 1157 Considere um canal aberto simétrico de seção transversal triangular Mostre que para uma dada área de escoamento o perímetro molhado é minimizado quando os lados se encontram em um ângulo reto 1158 Calcule a profundidade e a velocidade normal do canal do Problema 1117 1159 Determine a seção transversal da eficiência hidráulica ótima para um canal trapezoidal com inclinação lateral de 1 na vertical para 2 na horizontal se a descarga de projeto for 250 m3s A inclinação do canal é 0001 e o fator de rugosidade de Manning é 0020 1160 Para um canal com formato trapezoidal n 0014 e inclinação Sb 00002 com uma largura no fundo igual a 6 m e inclinações laterais de 1 na vertical para 15 na horizontal determine a profundidade normal para uma descarga de 283 m3s 1161 Mostre que a melhor seção trapezoidal hidráulica é a metade de um hexágono 1162 Calcule a profundidade crítica para o canal no Problema 1141 1163 Considere um canal retangular de largura 245 m com uma inclinação no fundo igual a 00004 e um fator de rugosidade de Manning igual a 0015 Um dique é colocado no canal e a profundidade a montante do dique é igual a 152 m para uma descarga igual a 566 m3s Determine se um ressalto hidráulico é formado a montante do dique 1164 Uma calha retangular acima do solo retangular está para ser construída em madeira Para uma queda de 19 mkm qual será a profundidade e largura para a calha mais econômica se ela tiver que descarregar 11 m3s 1165 Considere um escoamento em um canal retangular Mostre que para escoamento a uma profundidade crítica e razão de aspecto óptima b 2y a vazão volumétrica e a inclinação do fundo são dadas pelas expressões 1166 Um canal trapezoidal forrado com tijolo tem lados inclinados de 21 e largura de fundo de 3 m Ele carrega 17 m3s a velocidade crítica Determine a inclinação crítica a inclinação na qual a profundidade é crítica 1167 Um canal largo e chato em concreto bruto descarrega água a 19 m3s por metro de largura Determine a inclinação crítica a inclinação na qual a profundidade é crítica 1168 Um canal retangular para água pluvial em concreto bruto deve carregar uma vazão máxima de 283 m3s em condição crítica Determine a largura e a inclinação do canal Medição de Descarga 1169 A crista de um vertedor de soleira espessa está 03 m abaixo do nível a montante do reservatório onde a profundidade é 24 m Para Cw 34 qual é a vazão máxima por unidade de largura que poderia passar sobre o vertedor 1170 Um vertedor de soleira delgada retangular com contração final tem 16 m de comprimento A que altura ele deveria ser colocado em um canal para manter uma profundidade a montante de 25 m para uma vazão de 05 m3s 1171 Para um vertedor de soleira delgada sem contração Cw 333 de comprimento B 24 m P 06 m e H 03 m determine a descarga sobre o vertedor Despreze a velocidade de aproximação da cabeça 1172 Um vertedor de soleira delgada retangular com contração final tem 15 m de comprimento A que altura deveria a crista do vertedouro ser colocada em um canal para manter uma profundidade a montante de 25 m para uma vazão de 05 m3s 1173 Determine a carga sobre um vertedouro com entalhe em V de 60º para uma descarga igual a 150 Ls Considere Cd 058 1174 A carga sobre um dique com entalhe em V de 90º é igual a 045 m Determine a descarga 1175 Determine o coeficiente de represa para um dique com entalhe em V de 90º para uma carga igual a 180 mm e para uma vazão de 20 Ls Introdução ao Escoamento Compressível 121 Revisão de Termodinâmica 122 Propagação de Ondas de Som 123 Estado de Referência Propriedades de Estagnação Isentrópica Local 124 Condições Críticas 125 Resumo e Equações Úteis Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente Energia Eólica Turbina Eólica Axial de Eixo Vertical A maioria dos dispositivos que vimos nos Estudos de Casos em Energia e Meio Ambiente é destinada à produção em larga escala de energia No entanto muitos trabalhos têm sido realizados em dispositivos em escala residencial Scott Weinbrandt é o diretor executivo de uma companhia chamada Helix Wind Sua formação é em tecnologia de computadores ele viveu a experiência na indústria de computadores que migrou dos mainframes aos computadores pessoais Scott diz que está vendo a mesma tendência emergente em relação à energia eólica Sua companhia atende ao segmento residencial urbano e comercial oferecendo aos clientes turbinas helicoidais em pequenas escalas um dos modelos é mostrado na fotografia a seguir Como é possível observar essas turbinas são máquinas muito bonitas um excelente exemplo de como a engenharia pode criar equipamentos funcionais e atraentes A Helix Wind está descobrindo que alguns clientes são capazes de comprálas apenas pelo valor estético do produto Essas turbinas são formas elegantes de uma turbina Savonius consideradas em geral menos eficientes na geração de energia elétrica do que as comuns turbinas axiais com eixo horizontal a figura P997 do Capítulo 9 mostra uma versão de uma turbina Savonius tais turbinas são baseadas na força de arrasto em oposição às turbinas de hélices que são baseadas na força de sustentação Uma vantagem da concepção Helix é que a forma da turbina gera um fluxo secundário para cima que melhora a aerodinâmica geral e portanto melhorando também a eficiência do equipamento Turbina Helix S322 Foto de cortesia da Helix Wind A Helix Wind diz que um dos principais benefícios do projeto helicoidal é a sua capacidade de operar com velocidades mais baixas do vento embora a elevada velocidades a turbina não apresentará nenhuma dificuldade Recentemente na Califórnia um modelo S322 continuou operando com velocidade de vento superior a 96 kmh enquanto nas proximidades uma fazenda de turbinas eólicas convencionais teve muitas pás de turbinas danificadas As turbinas Helix sendo turbinas eólicas de eixo vertical VAWTs têm uma série de vantagens elas são de fácil manutenção pois a maioria das partes móveis está localizada próxima do chão na partida não é necessário para orientar o dispositivo contra o vento elas geralmente têm uma baixa razão de velocidade periférica de modo que são menos propensas a quebrar em ventos fortes veja a Fig 1050 elas não têm que fechar com ventos em alta velocidade Por outro lado uma possível desvantagem das VAWTs é que elas tendem a ser um pouco menos eficientes do que as turbinas de eixo horizontal Na Fig 1050 veja uma comparação entre a eficiência da turbina Savonius e da turbina convencional O projeto da Helix resultou em um incremento na eficiência dessas turbinas superando essa desvantagem e as tornou agora apenas 6 a 7 menos eficientes do que as turbinas axiais horizontais HAWTs mais eficientes A turbina Helix de 2 kW de baixa velocidade cujo tamanho é apenas cerca de 27 m 12 m começa a gerar energia elétrica a menos de 16 kmh mas continua a fazêlo até cerca de 65 kmh ela pode continuar girando sem danos ao sistema mesmo para velocidades dos ventos elevadas como 130 kmh embora nenhuma energia elétrica adicional seja gerada acima de 65 kmh As turbinas Helix são seguras para animais selvagens uma vez que elas giram a velocidades muito mais baixas do que as turbinas horizontais aparecendo como uma massa sólida em vez de uma lâmina borrada que um pássaro não pode ver Gerando ruídos em torno de 5 dB as turbinas são praticamente silenciosas pois operam com velocidades periféricas próximas à velocidade do vento semelhante ao vento que sopra em torno de qualquer objeto fixo como uma árvore ou uma casa Turbinas eólicas convencionais giram com uma velocidade de até 10 vezes maior do que a velocidade do vento o que causa o som sibilante que se ouve em volta delas As turbinas Helix giram não importando em qual direção o vento venha incluindo verticalmente se a turbina estiver montada ao lado de um grande edifício gerando energia mesmo quando há turbulências causadas por ambientes urbanos A Helix Wind está confiante de que haverá um enorme mercado para a instalação destas pequenas turbinas em grande escala principalmente em locais como torres de telefones celulares navios de cruzeiro outdoors sistemas de bombeamento de gás e óleo assim como em sistemas de bombeamento de água para a agricultura A empresa diz que as suas turbinas eólicas são também ideais para serem usadas em países em desenvolvimento para bombeamento de água potável e fornecimento de eletricidade No Capítulo 2 discutimos brevemente as duas questões mais importantes que devemos responder antes de analisar um escoamento de fluido se o escoamento é viscoso ou não e se o escoamento é compressível ou não Em seguida estudamos os escoamentos incompressíveis não viscosos Capítulo 6 e os escoamentos incompressíveis viscosos Capítulos 8 e 9 Agora estamos prontos para estudar escoamentos que experimentam efeitos de compressibilidade Como este é um texto introdutório nosso foco estará voltado principalmente para os escoamentos unidimensionais compressíveis e não viscosos embora também iremos revisar alguns dos fenômenos importantes dos escoamentos compressíveis viscosos Após a consideração de escoamentos unidimensionais introduziremos alguns conceitos básicos de escoamentos bidimensionais compressíveis em regime permanente Em primeiro lugar precisamos estabelecer o que entendemos por escoamento compressível Este é um escoamento no qual existem variações significantes ou notáveis na massa específica do fluido Na prática assim como os fluidos invíscidos não existem os escoamentos incompressíveis também não existem Neste texto por exemplo tratamos a água como um fluido incompressível embora de fato a massa específica da água do mar aumente em torno de 1 para cada milha de profundidade Portanto se um dado escoamento pode ser tratado ou não como incompressível é uma questão de julgamento escoamentos líquidos quase sempre serão considerados incompressíveis as exceções incluem fenômenos tais como o efeito do golpe de aríete em tubos porém escoamentos de gases podem facilmente ser tratados como compressíveis ou incompressíveis Neste capítulo aprenderemos no Exemplo 125 que para números de Mach M menores do que 03 a variação na massa específica do gás devido ao escoamento será menor do que 3 esta variação é pequena o suficiente na maioria das aplicações de engenharia para o uso da seguinte regra um escoamento de gás pode ser considerado incompressível quando M 03 As consequências da compressibilidade não estão limitadas simplesmente a variações na massa específica Tais variações indicam que podemos ter trabalho de expansão ou de compressão significativo sobre um gás de modo que o estado termodinâmico do fluido mudará significando que de modo geral todas as propriedades temperatura energia interna entropia e outras podem variar Em particular variações na massa específica criam um mecanismo assim como a viscosidade faz para troca de energia entre energias mecânicas cinética potencial e de pressão e a energia interna térmica Por essa razão começamos com uma revisão da termodinâmica necessária ao estudo do escoamento compressível 121 Revisão de Termodinâmica A pressão a massa específica e a temperatura de uma substância podem ser relacionadas por uma equação de estado Embora muitas substâncias apresentem comportamento complexo a experiência mostra que a maioria dos gases de interesse da engenharia em pressões e temperaturas moderadas é bem representada pela equação de estado de gás ideal em que R é uma constante para cada gás1 R é dado por em que Ru é a constante universal dos gases Ru 8314 N mkmol K e Mm é a massa molecular do gás Embora a equação para o gás ideal seja deduzida usando um modelo que tenha uma consideração não realista de que as moléculas de gás a têm volume zero isto é elas são pontos de massa e b que elas não interagem umas com as outras muitos gases reais seguem o comportamento previsto pela Eq 121 especialmente se a pressão for baixa o suficiente eou a temperatura alta o suficiente veja por exemplo 13 Por exemplo a Eq 121 modela a massa específica do ar à temperatura ambiente com erro inferior a 1 desde que a pressão esteja abaixo de 30 atm similarmente a Eq 121 é precisa para o ar a 1 atm e para temperaturas superiores a 130ºC 140 K O gás ideal tem outras características que são úteis Em geral a energia interna de uma substância simples pode ser expressa como uma função de duas propriedades independentes quaisquer por exemplo u uν T Em que ν 1σé o volume específico Logo O calor específico a volume constante é definido como cv uTν de modo que Em particular para um gás ideal pode ser mostrado veja por exemplo o Capítulo 11 de 1 que a energia interna u é uma função apenas da temperatura de modo que uνT 0 e para um gás ideal Isso significa que variações de energia interna e de temperatura podem ser relacionadas se cν for conhecido Além disso posto que u uT segue da Eq 122 que cν cνT A entalpia de uma substância é definida como h u pσ Para um gás ideal p σRT e por conseguinte h u RT Uma vez que u uT para um gás ideal h também deve ser função apenas da temperatura Podemos obter uma relação entre h e T lembrando novamente que para uma substância simples qualquer propriedade pode ser expressa como uma função de duas outras propriedades independentes quaisquer 1 Por exemplo como fizemos para u h hν T ou h hp T Vamos usar essa última forma para desenvolver uma relação útil Visto que o calor específico à pressão constante é definido como cp hTp Nós já mostramos que para um gás ideal h é uma função de T apenas Consequentemente hpT 0 e Como h é uma função apenas de T a Eq 123 requer que cp para um gás ideal seja também uma função apenas de T Embora os calores específicos para um gás ideal sejam funções somente da temperatura a diferença entre eles é uma constante para cada gás Para ver isso de h u RT tiramos dh du RdT Combinando esta equação com a Eq 122 e com a Eq 123 podemos escrever dh cpdT du RdT cv dT R Td Então Este resultado pode parecer um pouco singular mas ele significa simplesmente que embora os calores específicos de um gás ideal possam variar com a temperatura no primeiro termo da Eq 124 eles o fazem à mesma taxa de modo que a sua diferença é sempre constante A razão de calores específicos é definida como Utilizando a definição de k a Eq 124 pode ser resolvida para ambos cp e cν em termos de k e R Assim e Embora os calores específicos para um gás ideal possam variar com a temperatura dentro de faixas de temperatura moderadas eles variam muito discretamente e podem ser tratados como constantes de modo que A Tabela A6 do Apêndice A apresenta dados para Mm cp cν R e k para gases comuns Veremos que a propriedade entropia é extremamente útil na análise de escoamentos compressíveis Diagramas de estado particularmente o diagrama temperaturaentropia Ts são ajudas valiosas na interpretação física de resultados analíticos Como faremos uso intensivo de diagramas Ts na resolução de problemas de escoamentos compressíveis vamos rever brevemente algumas relações úteis envolvendo a propriedade entropia 13 A entropia é definida pela equação em que o subscrito significa reversível A desigualdade de Clausius deduzida da segunda lei da termodinâmica estabelece que Como uma consequência da segunda lei podemos escrever Para processos reversíveis vale a igualdade e A desigualdade vale para processos irreversíveis e Para um processo adiabático δQm 0 Assim e Assim um processo que é reversível e adiabático é também isentrópico a entropia permanece constante durante o processo A desigualdade 129e mostra que a entropia deve aumentar para um processo adiabático que é irreversível As Eqs 129 mostram que duas quaisquer das restrições reversível adiabático ou isentrópico implicam a terceira Por exemplo um processo que é isentrópico e reversível deve também ser adiabático Uma relação útil entre propriedades p ν T s u pode ser obtida considerando a primeira e a segunda leis juntas O resultado é a equação de Gibbs ou equação T ds Essa é uma relação diferencial entre propriedades válida para qualquer processo entre dois estados quaisquer de equilíbrio Embora essa relação seja derivada da primeira e da segunda leis ela mesma não é um enunciado de nenhuma das duas Uma forma alternativa da Eq 1210a pode ser obtida substituindo du dh pv dh p dv v dp para obter Para um gás ideal a variação de entropia pode ser avaliada das equações T ds como Para calores específicos constantes estas equações podem ser integradas para dar e também A Eq 1211c pode ser obtida da Eq 1211a ou da Eq 1211b usando a Eq 124 e a equação de gás ideal Eq 121 escrita na forma pv RT para eliminar T O Exemplo 121 mostra o uso das relações básicas acima as equações T ds para avaliar as variações das propriedades durante um processo Para um gás ideal com calores específicos constantes nós podemos usar as Eqs 1211 para obter relações válidas para um processo isentrópico Da Eq 1211a Então usando as Eqs 124 e 125 em que os estados 1 e 2 são estados arbitrários do processo isentrópico Usando v 1ρ Podemos aplicar um processo similar para as Eqs 1211b e 1211c respectivamente e obter as seguintes relações de interesse As Eqs 1212 são para um gás ideal submetido a um processo isentrópico Informações qualitativas úteis para o traçado de diagramas de estado também podem ser obtidas das equações T ds Para completar nossa revisão de fundamentos da termodinâmica vamos avaliar as inclinações das linhas de pressão e de volume constantes no diagrama Ts do Exemplo 122 Exemplo 121 VARIAÇÕES DE PROPRIEDADES NO ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL EM DUTO Ar escoa através de um duto longo de área constante a 015 kgs Um trecho curto do duto é resfriado com nitrogênio líquido circundando o duto A taxa de perda de calor do ar neste trecho do duto é de 150 kJs A pressão e a temperatura absolutas e a velocidade do ar entrando no trecho resfriado são respectivamente 188 kPa 440 K e 210 ms Na saída a pressão e a temperatura absolutas são 213 kPa e 351 K Calcule a área da seção do duto e as variações de entalpia energia interna e entropia para esse escoamento Dados Escoamento de ar em regime permanente através de um trecho curto de um duto de seção transversal constante resfriado por nitrogênio líquido Determinar a Área do duto b Δh c Δu d Δs Solução A área do duto pode ser obtida da equação da continuidade Equação básica Considerações 1 Escoamento em regime permanente 2 Escoamento uniforme em cada seção 3 Gás ideal Então ou posto que A A1 A2 constante Usando a relação de gás ideal p σRT encontramos Da continuidade Para um gás ideal a variação na entalpia é Também a variação na energia interna é A variação na entropia pode ser obtida da Eq 1211b Vemos que a entropia pode decrescer para um processo não adiabático no qual o gás é resfriado Este Exemplo ilustra o uso das equações básicas para calcular variações de propriedades de um gás ideal durante um processo Exemplo 122 LINHAS DE PROPRIEDADES CONSTANTES NO DIAGRAMA Ts Para um gás ideal encontre a inclinação de a uma linha de volume constante e b uma linha de pressão constante no plano Ts Determinar Equações para as linhas de a volume constante e b pressão constante no plano Ts para um gás ideal Solução a Nós estamos interessados na relação entre T e s com o volume ν mantido constante Isso sugere o uso da Eq 1211a Vamos indexar de novo esta equação de forma que o estado 1 é agora o estado de referência 0 e o estado 2 é um estado arbitrário Assim concluímos que as linhas de volume constante no plano Ts são exponenciais b Estamos interessados na relação entre T e s com a pressão p mantida constante Isso sugere o uso da Eq 1211b e seguindo um procedimento similar ao caso a determinamos Então concluímos que as linhas de pressão constante no plano Ts são também exponenciais O que dizer sobre a inclinação destas curvas Como cp cν para todos os gases nós podemos ver que a exponencial e portanto a inclinação da curva de pressão constante Eq 2 é menor do que aquela para a curva de volume constante Eq 1 Isto é mostrado no esquema a seguir Este Exemplo ilustra o uso das equações básicas para explorar relações entre propriedades 122 Propagação de Ondas de Som Velocidade do Som Um iniciante aos estudos do escoamento compressível pode pensar que relação velocidade do som tem a ver com as velocidades presentes em um escoamento Veremos neste e no próximo capítulo que a velocidade do som c é um indicador importante em mecânica dos fluidos escoamentos com velocidades menores do que a velocidade do som são chamados de subsônicos escoamentos com velocidades maiores do que a velocidade do som são chamados de supersônicos e aprenderemos que os comportamentos dos escoamentos subsônicos e supersônicos são completamente diferentes Já definimos anteriormente o número de Mach M de um escoamento através da Eq 716 no Capítulo 2 e no Capítulo 7 Esta definição é tão importante para os nossos estudos que a redefinimos aqui VÍDEO Ondas Sonoras em inglês em que V é a velocidade do fluido ou em alguns casos da aeronave de forma que M 1 e M 1 correspondem aos escoamentos subsônicos e supersônicos respectivamente Adicionalmente mencionamos na Seção 121 que iremos demonstrar no Exemplo 125 que para M 03 geralmente podemos considerar escoamento incompressível Consequentemente o conhecimento do valor do número de Mach é importante em mecânica dos fluidos Uma resposta à questão colocada no início desta seção é que a velocidade do som é importante em mecânica dos fluidos por que ela é a velocidade com a qual os sinais podem viajar através do meio Considere por exemplo um objeto tal como uma aeronave em movimento o ar em última análise tem que se mover para fora de seu caminho Na época de Newton pensavase que isso acontecia quando as partículas invisíveis de ar literalmente ricocheteavam na frente do objeto da mesma forma como bolas ricocheteando em uma parede agora sabemos que na maior parte dos casos o ar começa a moverse para fora do caminho bem antes de encontrar o objeto isso não será verdadeiro quando temos escoamento supersônico Como o ar sabe moverse para fora do caminho Ele sabe pois conforme o objeto se move distúrbios são gerados Esses distúrbios são ondas de pressão infinitesimais ondas de som que emanam do objeto em todas as direções São estas ondas que sinalizam o ar e o redirecionam em torno do corpo conforme ele se aproxima Estas ondas viajam para fora na velocidade do som O som é uma onda de pressão com valores de variação de pressão muito baixa para o ouvido humano geralmente na faixa de 109 atm o limiar da audição até 103 atm você sentirá dor Sobrepostas na pressão atmosférica ambiente as ondas de som consistem em flutuações de pressão extremamente pequenas Como a faixa da audição humana cobre em torno de cinco ou seis ordens de valor da variação da pressão tipicamente usamos a escala logarítmica adimensional o nível decibel para indicar a intensidade do som 0 dB corresponde ao limiar da audição Se você ouvir o seu MP3 no máximo volume você terá em torno de 100 dB em torno de 1010 da intensidade do limiar da audição Vamos deduzir um método para calcular a velocidade do som em qualquer meio sólido líquido ou gás Ao fazê lo tenha em mente que estamos obtendo a velocidade de um sinal uma onda de pressão e que a velocidade do meio no qual a onda viaja é uma coisa completamente diferente Por exemplo se você vê um jogador de futebol chutar a bola à velocidade da luz que é a observação uma fração de segundo mais tarde você irá ouvir o baque do contato com a bola pois o som uma onda de pressão deve viajar através do campo até você na arquibancada Porém nenhuma partícula de ar viajou entre você e o jogador todas as partículas de ar envolvidas no evento simplesmente vibraram um pouco Considere a propagação de uma onda de som de intensidade infinitesimal em um meio não perturbado conforme mostrado na Fig 12la Estamos interessados em relacionar a velocidade de propagação da onda c com as variações de propriedades através da onda Se a pressão e a massa específica no meio não perturbado à frente da onda são denotadas por p e ρ respectivamente a passagem da onda provocará nelas variações infinitesimais tornandoas p dp e ρ dρ Como a onda propaga em um fluido estacionário a velocidade à frente dela Vx é zero O módulo da velocidade atrás da onda Vx dVx será então simplesmente dVx na Fig 121a o sentido do movimento atrás da onda foi considerado ser para a esquerda2 O escoamento da Fig 121a parece não permanente para um observador estacionário vendo o movimento da onda de um ponto fixo no solo Entretanto o escoamento parece permanente para um observador localizado sobre um volume de controle inercial movendo junto com um segmento da onda conforme mostrado na Fig121b A velocidade de aproximação da onda do volume de controle é c e a velocidade de saída é c dVx As equações básicas podem ser aplicadas ao volume de controle diferencial mostrado na Fig 121b usamos Vx para a componente x da velocidade com intuito de evitar confusão com a energia interna u Fig 121 Onda de propagação do som mostrando o volume de controle escolhido para a análise a Equação da Continuidade Equação básica 412 Considerações 1 Escoamento em regime permanente 2 Escoamento uniforme em cada seção Então ou ou b Equação da Quantidade de Movimento Equação básica Consideração 3 FBx 0 As únicas forças de superfície que atuam na direção x sobre o volume de controle da Fig 121b são as forças de pressão as áreas infinitesimais superiores e inferiores têm atrito zero porque nós consideramos que a onda é unidimensional Fsx pA p dpA A dp Substituindo na equação básica vem Adp c pcA c dvxp dpc dvxA Usando a equação da continuidade Eq 1214a a equação anterior fica reduzida a Adp c pcA c dvxpcA c c dvxpcA Adp pcA dvx ou Combinando as Eqs 1214b e 12l4c obtivemos da qual resulta dp c2 dp ou Deduzimos uma expressão para a velocidade do som em qualquer meio em termos de quantidades termodinâmicas A Eq 1215 indica que a velocidade do som depende de como a pressão e a massa específica do meio estão relacionadas Para obter a velocidade do som em um meio nós poderíamos medir o tempo que uma onda sonora leva para viajar uma distância prescrita ou em vez disso poderíamos aplicar uma pequena variação de pressão dp a uma amostra medir a correspondente variação na massa específica dσ e avaliar c a partir da Eq 1215 Por exemplo um meio incompressível teria dσ 0 para qualquer dp logo c Podemos antecipar que sólidos e líquidos cujas massas específicas são difíceis de variar terão valores de c relativamente altos e os gases cujas massas específicas são fáceis de variar terão valores de c relativamente baixos Existe um único problema com a Eq 1215 para uma substância simples cada propriedade depende de duas propriedades independentes quaisquer 1 Para uma onda de som por definição temos uma variação infinitesimal de pressão isto é é reversível e ela ocorre muito rapidamente de forma que não há tempo para que ocorra qualquer transferência de calor isto é é adiabático Portanto as ondas sonoras propagamse isentropicamente Então se expressarmos p como uma função da massa específica e da entropia p pρ s segue que de modo que a Eq 1215 tornase e Aplicaremos agora a Eq 1216 para sólidos líquidos e gases Para sólidos e líquidos os dados estão usualmente disponíveis como o módulo de compressibilidade Eν que é uma medida de como a variação de pressão afeta a variação relativa na massa específica Para estes meios Para um gás ideal a pressão e a massa específica no escoamento isentrópico são relacionadas por Tomando logaritmos e diferenciando obtivemos Portanto Mas pσ RT e assim finalmente obtivemos para um gás ideal A velocidade do som no ar foi medida com exatidão por diversos pesquisadores 4 Os resultados concordam muito bem com a previsão teórica da Eq 1218 A característica importante da propagação do som em um gás ideal como mostrado pela Eq 1218 é que a velocidade do som é uma função apenas da temperatura A variação na temperatura atmosférica com a altitude para um diapadrão foi discutida no Capítulo 3 as propriedades estão resumidas na Tabela A3 A correspondente variação em c é calculada como um exercício no Problema 1240 e traçada na forma gráfica como uma função da altitude Exemplo 123 VELOCIDADE DO SOM NO AÇO NA ÁGUA NA ÁGUA DO MAR E NO AR Calcule a velocidade do som no a aço Eν 200 GNm2 b água a 20ºC c água do mar a 20ºC e d ar no nível do mar em um diapadrão Determinar A velocidade do som em a aço Eν 200 GNm2 b água a 20ºC c água do mar a 20ºC e d ar no nível do mar em um diapadrão Solução a Para o aço um sólido usamos a Eq 1217 com a massa específica ρ obtida da Tabela A1b b Para a água também usamos a Eq 1217 com os dados obtidos da Tabela A2 c Para a água do mar usamos novamente a Eq 1217 com os dados obtidos da Tabela A2 d Para o ar usamos a Eq 1218 com a temperatura de nível do mar obtida da Tabela A3 Este Exemplo ilustra as magnitudes relativas da velocidade do som em sólidos líquidos e gases típicos csólidos clíquidos cgases Não confunda a velocidade do som com a atenuação do som a taxa na qual o atrito interno do meio reduz o nível do som geralmente sólidos e líquidos atenuam o som mais rapidamente do que gases Tipos de Escoamento O Cone de Mach Os escoamentos para os quais M 1 são subsônicos enquanto aqueles para os quais M 1 são supersônicos Os campos de escoamento que possuem ambas as regiões subsônica e supersônica são denominados transônicos O regime transônico ocorre para números de Mach entre 09 e 12 Embora a maioria dos escoamentos na nossa experiência seja subsônica há importantes casos práticos em que M 1 ocorre em um campo de escoamento Talvez os mais óbvios sejam os aviões supersônicos e os escoamentos transônicos nos compressores e ventiladores de aeronaves Ainda um outro regime de escoamento o hipersônico M 5 é de interesse no projeto de mísseis e de veículos de reentrada na atmosfera O Avião Aeroespacial Nacional proposto pelos americanos teria voado a números de Mach próximos de 20 Algumas diferenças qualitativas importantes entre escoamentos subsônico e supersônico podem ser deduzidas a partir das propriedades de uma fonte sonora simples em movimento Considere uma fonte puntiforme de som que emite um pulso a cada Δt segundos Cada pulso expande para fora a partir de seu ponto de origem a uma velocidade c de forma que em um instante qualquer t o pulso será uma esfera de raio ct centrado no ponto de origem do pulso ponto fonte Nós desejamos investigar o que acontece se o ponto fonte se mover Existem quatro possibilidades conforme mostrado na Fig 122 a V 0 O ponto fonte é estacionário A Figura 112a mostra as condições após 3Δt segundos O primeiro pulso expandiu em uma esfera de raio c3Δt o segundo em uma esfera de raio c2Δt e o terceiro em uma esfera de raio cΔt um novo pulso está prestes a ser emitido Os pulsos constituem um conjunto de esferas concêntricas sempre em expansão b 0 V c O ponto fonte move para a esquerda com velocidade subsônica A Figura 112b mostra as condições após 3Δt segundos A fonte é mostrada nos tempos t 0 2Δt e 3Δt O primeiro pulso expandiu em uma esfera de raio c3Δt centrada onde a fonte estava originalmente o segundo em uma esfera de raio c2Δt centrada onde a fonte estava no instante Δt e o terceiro em uma esfera de raio cΔt centrada onde a fonte estava no instante 2Δt um novo pulso está prestes de ser emitido Os pulsos constituem novamente um conjunto de esferas em expansão contínua exceto que agora elas não são concêntricas Os pulsos estão todos expandindo à velocidade constante c É necessário fazer aqui duas menções importantes primeira nós podemos ver que um observador que está à frente da fonte ou de quem a fonte está se aproximando ouvirá os pulsos a uma taxa de frequência maior do que irá ouvir um observador que está atrás da fonte isto é o efeito Doppler que ocorre quando um veículo se aproxima e passa segunda um observador à frente da fonte ouve a fonte antes que a mesma chegue até o observador c V c O ponto fonte move para a esquerda com velocidade sônica A Figura 122c mostra as condições após 3Δt segundos A fonte é mostrada nos instantes t 0 ponto 1 Δt ponto 2 2Δt ponto 3 e 3Δt ponto 4 O primeiro pulso expandiu em uma esfera 1 de raio c3Δt centrada no ponto 1 o segundo em uma esfera 2 de raio c2Δt centrada no ponto 2 e o terceiro em uma esfera 3 de raio cΔt centrada em torno da fonte no ponto 3 Podemos ver uma vez mais que os pulsos constituem um conjunto de esferas em expansão contínua exceto que agora elas são tangentes umas às outras à esquerda Os pulsos estão todos expandindo à velocidade constante c porém a fonte está se movendo à velocidade c com o resultado de que a fonte e todos os pulsos estão movendo juntos para a esquerda Novamente fazemos duas menções importantes primeira nós podemos ver que um observador que está à frente da fonte não ouvirá os pulsos antes que a fonte chegue até ele segunda teoricamente após certo tempo um número ilimitado de pulsos se acumulará na frente da fonte levando a uma onda sonora de amplitude ilimitada uma fonte de preocupação para engenheiros que tentam quebrar a barreira do som a qual muitas pessoas acreditavam não poder ser quebrada Chuck Yeager em um Bell X1 foi o primeiro a fazêlo em 1947 Fig 122 Propagação de ondas de som a partir de uma fonte em movimento O cone de Mach d V c O ponto fonte move para a esquerda com velocidade supersônica A Fig 122d mostra as condições após 3Δt segundos Já está claro como as ondas esféricas se desenvolvem Podemos ver mais uma vez que os pulsos constituem um conjunto de esferas em expansão constante exceto que agora a fonte está se movendo tão rápido que ela está à frente de cada esfera que ela gera Para movimento supersônico as esferas geram o que é chamado de um cone de Mach tangente a cada esfera A região no interior do cone é chamada de zona de ação e aquela fora do cone é chamada de zona de silêncio por motivos óbvios conforme mostrado na Fig 122e Da geometria podemos ver a partir da Fig 122d que VÍDEO Ondas de Choque sobre um Avião Supersànico em inglês VÍDEO Ondas de Choque devido a um Projétil em inglês ou A Figura 123 mostra uma imagem de um FA18 Hornet no momento em que ele acelera para a velocidade supersônica A amostra visível de bruma é decorrente de repentino aumento na pressão conforme uma onda de choque passa sobre a aeronave veremos no próximo capítulo que uma onda de choque leva a um repentino e grande aumento de pressão O cone invisível de Mach emana a partir no nariz da aeronave e passa através da periferia do disco de bruma Fig 123 Um FA18 Hornet no momento em que quebra a barreira do som Ensign John Gay USS Constellation US Navy Exemplo 124 CONE DE MACH DE UMA BALA Nos testes de um material de proteção desejamos fotografar uma bala no momento em que ela impacta um colete protetor feito com esse material Uma câmera fotográfica é colocada a uma distância perpendicular h 5 m da trajetória da bala conforme mostra a figura Desejamos determinar a distância perpendicular d a partir do plano do alvo ao qual a câmera deve ser colocada de tal forma que o som da bala acionará a câmera no exato momento do impacto Nota A velocidade da bala é medida a 550 ms o tempo de retardo da câmera é igual a 0005 s Determinar O local da câmera para capturar a imagem do impacto Solução O valor correto para d é aquele para o qual a bala atinge o alvo 0005 s antes de a onda de Mach atingir a câmera Devemos determinar primeiramente o número de Mach da bala em seguida podemos determinar o ângulo de Mach finalmente podemos utilizar equações básicas de trigonometria para determinar d Considerando as condições ao nível do mar e a partir da Tabela A3 temos T 288 K Portanto a Eq 1218 leva a Em seguida podemos determinar o número de Mach Em seguida a partir da Eq 1219 podemos determinar o ângulo de Mach A distância x viajada pela bala enquanto a onda de Mach atinge a câmera é portanto Finalmente adicionando a isso o percurso de translado da bala enquanto a câmera está operando que é 0005 s 550 ms obtivemos 123 Estado de Referência Propriedades de Estagnação Isentrópica Local Em nosso estudo sobre escoamento incompressível descobriremos que em geral todas as propriedades p T σ u h s V podem variar à medida que o escoamento prossegue Necessitamos obter condições de referência que possam ser utilizadas para relacionar condições de um ponto para outro em um escoamento Para qualquer escoamento uma condição de referência é obtida quando o fluido na realidade ou conceitualmente é levado ao repouso V 0 Chamaremos isso de condição de estagnação e denominaremos os valores das propriedades p0 T0σ0 u0 h0 s0 neste estado de propriedades de estagnação Este processo de trazer o fluido ao repouso não é tão direto quanto parece Por exemplo faremos isso acontecer enquanto existe atrito ou enquanto o fluido está sendo aquecido ou resfriado ou violentamente ou de uma outra forma qualquer O processo mais óbvio a ser usado é um processo isentrópico no qual não existe atrito não existe transferência de calor nem eventos violentos Desse modo as propriedades que obtivemos serão as propriedades locais de estagnação isentrópica Por que locais Porque o escoamento real pode ser qualquer tipo de escoamento como por exemplo com atrito de forma que ele pode ser ou não ser isentrópico Portanto cada ponto no escoamento terá suas propriedades próprias ou locais de estagnação isentrópica Isto é ilustrado na Fig 124 mostrando um escoamento de algum estado ① para algum novo estado ② As propriedades locais de estagnação isentrópica para cada estado obtidas levando o fluido ao repouso isentropicamente são também mostradas Portanto s01 s1 e s02 s2 O escoamento real pode ser isentrópico ou não Se ele for isentrópico s1 s2 s01 s02 de modo que os estados de estagnação são idênticos se ele não for isentrópico então s01 s02 Veremos que variações nas propriedades locais de estagnação isentrópica fornecerão informações úteis sobre o escoamento Podemos obter informações sobre o estado de referência de estagnação isentrópica para escoamentos incompressíveis utilizando a equação de Bernoulli do Capítulo 6 válida para um escoamento em regime permanente incompressível sem atrito ao longo de uma linha de corrente A Eq 68 é válida para um processo isentrópico porque ele é reversível sem atrito e em regime permanente e adiabático nós não incluímos considerações de transferência de calor em sua dedução Conforme vimos na Seção 63 a equação de Bernoulli leva a O termo da gravidade é excluído porque nós consideramos que o estado de referência está na mesma elevação que aquela do estado real e em qualquer evento em escoamentos externos ele é em geral muito menor do que os outros termos No Exemplo 126 nós comparamos as condições de estagnação isentrópica obtidas considerando incompressibilidade Eq 611 e permitindo compressibilidade Fig 124 Propriedades de estagnação isentrópicas locais Para escoamentos compressíveis nosso foco será sobre o comportamento de gás ideal Propriedades Locais de Estagnação Isentrópica para o Escoamento de um Gás Ideal Para um escoamento compressível podemos deduzir as relações de estagnação isentrópica aplicando as equações de conservação da massa ou da continuidade e da quantidade de movimento a um volume de controle diferencial e em seguida integrar Para o processo mostrado esquematicamente na Fig 124 podemos obter o processo do estado para o correspondente estado de estagnação imaginando o volume de controle mostrado na Fig 125 Considere primeiro a equação da continuidade a Equação da Continuidade Equação básica 412 Considerações 1 Escoamento em regime permanente 2 Escoamento uniforme em cada seção Então ρVxA ρ dρVx dVxA dA 0 ou b Equação da Quantidade de Movimento Equação básica Considerações 3 FBx 0 4 Escoamento sem atrito Fig 125 Escoamento compressível em um tubo de corrente infinitesimal As forças de superfície atuando sobre o volume de controle infinitesimal são Fsx dRx pA p dpA dA A força dRx é aplicada ao longo da fronteira do tubo de corrente conforme mostrado na Fig 125 em que a pressão média é p dp2 e a componente de área na direção x é dA Não há atrito Assim ou Substituindo este resultado na equação da quantidade de movimento resulta dp A VxVx dh pv dh p dv v dp que pode ser simplificada usando a Eq 1220a para obter dp A Vx Vx dVxρVxA Finalmente ou A Equação 1220b é uma relação entre propriedades durante o processo de desaceleração Note que para escoamento incompressível ela leva imediatamente à Eq 611 No desenvolvimento desta relação estabelecemos um processo de desaceleração sem atrito Para poder integrar entre os estados inicial e final de estagnação devemos antes especificar a relação existente entre a pressão p e a massa específica ρ ao longo do caminho do processo Posto que o processo de desaceleração é isentrópico p e ρ para um gás ideal são relacionados pela expressão A nossa tarefa agora é integrar a Eq 1220b sujeita a esta relação Ao longo da linha de corrente de estagnação existe uma única componente de velocidade Vx é o módulo da velocidade Por conseguinte podemos abandonar o índice na Eq 1220b De pσk constante C podemos escrever p Cρk e ρ p1k Cik Então da Eq 1220b Podemos integrar esta equação entre o estado inicial e o correspondente estado de estagnação para obter Como C1k p1kρ Uma vez que buscamos uma expressão para a pressão de estagnação podemos reescrever esta equação como e Para um gás ideal p ρRT e então Também para um gás ideal a velocidade sônica é e assim A Eq 1221a possibilita calcular a pressão local de estagnação isentrópica em qualquer ponto do campo de escoamento de um gás ideal desde que conheçamos a pressão estática e o número de Mach naquele ponto Podemos prontamente obter expressões para outras propriedades de estagnação isentrópica aplicando a relação entre os estados extremos do processo Assim Para um gás ideal então Usando a Eq 1221a podemos resumir as equações de determinação das propriedades locais de estagnação isentrópica de um gás ideal como Das Eqs 1221 a razão entre cada propriedade local de estagnação isentrópica e a correspondente propriedade estática em qualquer ponto de um campo de escoamento de um gás ideal pode ser determinada se conhecermos o número de Mach local Usaremos normalmente as Eqs 1221 em lugar das equações da continuidade e da quantidade de movimento para relacionar as propriedades de um estado com aquelas propriedades do estado de estagnação mas é importante lembrar de que nós deduzimos as Eqs 1221 usando estas equações e a relação isentrópica para um gás ideal O Apêndice E1 lista funções de escoamento para razões de propriedades T0T p0p e ρ0ρ em função de M para escoamento isentrópico de um gás ideal Uma tabela de valores e um gráfico destas razões de propriedades são apresentados para o ar k 14 para uma faixa limitada de números de Mach A planilha Excel associada Relações Isentrópicas disponível no site da LTC Editora pode ser usada para imprimir uma tabela maior de valores para o ar e outros gases ideais O procedimento de cálculo é ilustrado no Exemplo 125 A faixa de números de Mach para validade da hipótese de escoamento incompressível é investigada no Exemplo 126 Exemplo 125 CONDIÇÕES DE ESTAGNAÇÃO ISENTRÓPICAS LOCAIS Ar escoa em regime permanente através do tubo mostrado a partir de 350 kPa abs 60ºC e 183 ms no estado de entrada para M 13 na saída onde as condições de estagnação isentrópicas locais são iguais a 385 kPa abs e 350 K Calcule a temperatura e a pressão de estagnação isentrópicas locais na entrada e a pressão e a temperatura estática na saída do tubo Localize os pontos de estado estático na entrada e na saída em um diagrama Ts e indique os processos de estagnação Dados Escoamento em regime permanente de ar através de um tubo conforme mostrado no esboço Determinar a p01 b T01 c p2 d T2 e Os pontos nos estados e em um diagrama Ts indicar os processos de estagnação Solução Para avaliar as condições de estagnação isentrópicas locais na seção devemos calcular o número de Mach M1 V1c1 Para um gás ideal c Então e As propriedades de estagnação isentrópicas podem ser avaliadas a partir das Eqs 1221 Portanto Na seção as Eqs 1221 podem ser aplicadas novamente Portanto a partir da Eq 1221a A partir da Eq 1221b Para localizar os estados e um em relação ao outro e esboçar os processos de estagnação sobre o diagrama Ts necessitamos determinar a variação na entropia s2 s1 Para cada estado temos p e T de modo que é conveniente usar a Eq 1211b Portanto neste escoamento temos um aumento na entropia Talvez exista irreversibilidade por exemplo atrito ou atrito sendo adicionado ou ambos No Capítulo 13 veremos que pelo fato de T01 T02 para este escoamento particular o que realmente nós temos é um escoamento adiabático Nós também determinamos que T2 T1 e que p2 p1 Agora podemos esboçar o diagrama Ts lembrando que no Exemplo 122 vimos que as linhas isobáricas linhas de pressão constante possuem um perfil exponencial no diagrama Ts Este problema ilustra o uso das propriedades de estagnação isentrópicas locais Eqs 1221 para relacionar pontos diferentes em um mesmo escoamento A planilha Excel de Relações Isentrópicas disponível no site da LTC Editora pode ser usada para calcular razões de propriedades a partir do número de Mach M bem como para calcular M a partir de razões de propriedades Exemplo 126 NÚMERO DE MACH LIMITE PARA ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL Deduzimos as equações para p0p tanto para escoamentos compressíveis quanto para escoamentos incompressíveis Escrevendo ambas as equações em função do número de Mach compare o seu comportamento Determine o número de Mach abaixo do qual as duas equações coincidem dentro da exatidão da engenharia Dados As formulações compressível e incompressível das equações para a pressão de estagnação p0 Determinar a O comportamento de ambas as equações como função do número de Mach b O número de Mach abaixo do qual os valores calculados de p0p coincidem dentro da exatidão de engenharia Solução Primeiramente vamos escrever a Eq 611 em função do número de Mach Usando a equação de estado para um gás ideal e c2 kRT Portanto para escoamento incompressível A Eq 1221a pode ser expandida usando o teorema binomial Para a Eq 1221a x k 12M2 e n kk 1 Portanto a série converge parak 12M2 1 e para escoamento compressível No limite conforme M 0 o termo entre os colchetes na Eq 2 se aproxima de 10 Portanto para escoamento com baixo número de Mach as equações para escoamentos compressíveis e incompressíveis fornecem o mesmo resultado A variação de p0p com o número de Mach é mostrada a seguir Conforme o número de Mach é aumentado a equação para escoamento compressível fornece um maior valor para a razão p0p As Eqs 1 e 2 podem ser comparadas quantitativamente mais simplesmente escrevendose O termo entre colchetes é aproximadamente igual a 102 para M 03 e a 104 para M 04 Portanto para cálculos com a exatidão exigida pela engenharia o escoamento deve ser considerado incompressível se M 03 As duas equações fornecem valores coincidentes dentro de uma faixa 5 para M 045 124 Condições Críticas As condições de estagnação são extremamente úteis como condições de referência para propriedades termodinâmicas isto não é verdadeiro para a velocidade pois por definição V 0 Um valor de referência útil para a velocidade é a velocidade crítica a velocidade V que é obtida quando um escoamento é acelerado ou desacelerado real ou conceitualmente isentropicamente até atingir M 1 Mesmo que não exista um ponto no campo de escoamento em que o número de Mach seja igual a um tal condição hipotética ainda é útil como uma condição de referência Usando asteriscos para denotar condições em M 1 temos por definição V c Nas condições críticas as Eqs 1221 para as propriedades de estagnação isentrópica tornamse A velocidade crítica pode ser escrita em termos da temperatura crítica T ou da temperatura de estagnação isentrópica T0 Para um gás ideal c e assim v Como a partir da Eq 1222b temos Utilizaremos ambas as condições de estagnação e crítica como condições de referência no próximo capítulo quando consideraremos uma variedade de escoamentos compressíveis 125 Resumo e Equações Úteis Neste capítulo nós Revisamos as equações básicas usadas na termodinâmica incluindo as relações isentrópicas Introduzimos algumas terminologias de escoamentos compressíveis tais como as definições de número de Mach e de escoamentos subsônico supersônico transônico e hipersônico Aprendemos sobre diversos fenômenos que dizem respeito ao som incluindo que a velocidade do som em um gás ideal é uma função somente da temperatura e que o cone de Mach e o ângulo de Mach determinam quando um veículo supersônico é ouvido no solo Aprendemos que existem dois estados de referência úteis para um escoamento compressível a condição de estagnação isentrópica e a condição crítica de estagnação isentrópica Nota A maior parte das Equações Úteis na tabela a seguir possuem determinadas restrições ou limitações para usálas com segurança verifique os detalhes no capítulo conforme numeração de referência Equações Úteis Definição do número de Mach M 1213 Velocidade do som c 1216 Velocidade do som c sólidos e líquidos 1217 Velocidade do som c gás ideal 1218 Ângulo α do cone de Mach 1219 Razão de pressão isentrópica gás ideal calores específicos constantes 1221a Razão de temperatura isentrópica gás ideal calores específicos constantes 1221b Razão de massa específica isentrópica gás ideal calores específicos constantes 1221c Razão de pressão crítica gás ideal calores específicos constantes 1222a Razão de temperatura crítica gás ideal calores específicos constantes 1222b Razão de massa específica crítica gás ideal calores específicos constantes 1222c Velocidade crítica V gás ideal calores específicos constantes 1223 Estudo de Caso Reduzindo o Estrondo Sônico A aeronave SSBD voando à direita da aeronave F15B da NASA Cortesia da NASA A maior parte de nós está familiarizada com o fato de que as aeronaves supersônicas geralmente possuem narizes e bordas de ataque das asas muito agudos comparados com as aeronaves subsônicas aprenderemos alguns motivos pelos quais as aeronaves supersônicas são tão perfiladas no próximo capítulo compare por exemplo o supersônico Concorde com o Boeing 747 Estamos também familiarizados com a noção de um estrondo sônico um grande estrondo chacoalhando as janelas criado quando os restos de uma onda de choque oblíqua de um jato supersônico passam por sobre o solo O estrondo sônico é uma importante razão pela qual o Concorde não foi permitido para voar supersonicamente sobre a terra tendo portanto a sua utilização limitada sendo este um fator que limitou o sucesso comercial da aeronave A Agência de Projetos de Pesquisa Avançados da Defesa DARPA dos EUA e a NASA mostraram agora que modificando a forma de uma aeronave podese também modificar a forma do seu estrondo sônico desse modo reduzindo o ruído desenvolvido O seu programa de Demonstração do Estrondo Sônico Formatado SSBD descobriu que projetando uma aeronave para um formato específico as ondas de pressão criadas pela aeronave podem ser mantidas em uma fusão de ondas de choque veja a discussão do cone de Mach na Seção 122 quando estas ondas fracas atingem o solo o ruído do estrondo sônico é muito reduzido Para a demonstração Northrop Grumman modificou uma aeronave de guerra F5E instalando uma luva nariz especialmente formatada compare o nariz do programa SSBD a aeronave mais embaixo na figura com o nariz supersônico tradicional do F15B É possível que esta nova forma de nariz possa eventualmente permitir a reintrodução dos transportes supersônicos mesmo para as rotaschave através do continente da América do Norte Referências 1 Cengel Y A and M A Boles Thermodynamics An Engineering Approach 4th ed New York McGrawHill 2002 2 Borgnake C and R E Sonntag Fundamentals of Thermodynamics 7th ed New York Wiley 2008 3 Moran M J and H N Shapiro Fundamentals of Engineering Thermodynamics 6th ed New York Wiley 2007 4 Wong G S K Speed of Sound in Standard Air J Acoustical Society of America 79 5 May 1986 pp 13591366 Problemas Revisão de Termodinâmica 121 Um escoamento de ar passa através de um filtro fino O que acontece com a pressão temperatura e massa específica do ar Sugestão Este é um processo de estrangulamento 122 Ar é expandido em um processo de escoamento em regime permanente através de uma turbina As condições iniciais são 1300C e 20 MPa abs As condições finais são 500C e pressão atmosférica Mostre esse processo em um diagrama Ts Avalie as variações de energia interna entalpia e entropia específica para o processo 123 Um vendedor alega que um compressor adiabático aspira ar na pressão atmosférica e a 10C e libera o ar a 1034 kPa e 93C Isto é possível Justifique sua resposta com cálculos Trace o processo em um diagrama Ts 124 Um fabricante afirma que uma turbina adiabática pode ser alimentada com gás a 101325 kPa e 1204C e na saída a pressão do gás ser a pressão atmosférica e a temperatura ser de 454C Trace o processo em um diagrama Ts e prove se a afirmativa do fabricante é verdadeira Considere que o gás tenha as mesmas propriedades do ar 125 Ar inicialmente a 345 kPa e 367 K expande a pressão atmosférica O processo através do qual essa expansão ocorre é definido pela expressão p 13 constante Calcule a temperatura final e a variação de entropia nesse processo 126 Qual é a temperatura de descarga mais baixa possível gerada por um compressor adiabático aspirando ar na condição atmosféricapadrão e liberando o ar na pressão monométrica de 500 kPa Esquematize o processo em um diagrama Ts 127 Ar expande sem trocar calor através de uma turbina desde uma pressão de 10 bares e uma temperatura de 1400 K até uma pressão de 1 bar Se a turbina tiver uma eficiência de 80 determine a temperatura na saída e a variação de entropia através da turbina Se a turbina está gerando 1 MW de potência qual é a vazão mássica de ar através da turbina 128 Uma câmara de teste está separada em duas câmaras iguais por um diafragma de borracha Uma contém ar a 20C e 200 kPa absoluta e a outra possui vácuo Se o diafragma for perfurado determina a pressão e a temperatura do ar após a sua expansão para encher a câmara Sugestão Este é um evento rápido violento de forma que o processo é irreversível mas adiabático 129 Um superalimentador de automóvel é um equipamento que pressuriza o ar que é utilizado como comburente no processo de combustão no motor para aumentar a potência do motor como ele difere de um turboalimentador Um superalimentador recebe o ar a 21ºC e à pressão atmosférica e aumenta para 138 MPa a uma vazão de entrada igual a 0014 m3s Quais são os valores da pressão da temperatura e da vazão volumétrica na saída A temperatura de saída relativamente alta é a razão de um trocador de calor também ser usado Considerando uma eficiência de 70 qual é a potência tirada pelo superalimentador Sugestão a eficiência é definida como a razão entre a potência isentrópica e a potência real 1210 Cinco quilogramas de ar são resfriados em um tanque fechado de 250C para 50C A pressão inicial é 3 MPa Calcule as variações na entropia energia interna e entalpia do ar Mostre os pontos de estado do processo em um diagrama Ts 1211 Ar está contido em um dispositivo cilindropistão A temperatura do ar é 100C Usando o fato de que para um processo reversível a transferência de calor é dada por q Tds compare a quantidade de calor Jkg necessária para elevar a temperatura do ar até 1200C na condição de a pressão constante e b volume constante Verifique seus resultados usando a primeira lei da termodinâmica Trace o processo em um diagrama Ts 1212 O ciclo Otto de quatrotempos de um motor de automóvel típico é algumas vezes modelado como um sistema ideal fechado de padrão de ar Nesse sistema simplificado o processo de combustão é modelado como um processo de aquecimento enquanto o processo de sucçãodescarga como um processo de resfriamento do fluido de trabalho o ar O ciclo consiste em compressão isentrópica do estado p1 100 kPa abs T1 20C 1 500 cc para o estado 2 185 adição de calor a volume constante isométrica ou isovolumétrica para o estado T3 2750C expansão isentrópica para o estado 4 1 e resfriamento a volume constante de volta para o estado Trace os diagramas p e Ts para este ciclo ideal e determine a eficiência definida como o trabalho líquido a área delimitada pelo ciclo no diagrama p dividido pelo calor adicionado 1213 O ciclo de um motor diesel de quatrotempos típico é algumas vezes modelado como um sistema ideal fechado de padrão de ar Neste sistema simplificado o processo de combustão é modelado como um processo de aquecimento e o processo de sucçãodescarga como um processo de resfriamento do fluido de trabalho ar O ciclo consiste em compressão isentrópica do estado p1 100 kPa abs T1 20C 1 500 cc para o estado 2 1125 adição de calor a volume constante isométrica isocórica ou isovolumétrica para o estado T3 3000C adição de calor à pressão constante isobárica para o estado 4 175 3 expansão isentrópica para o estado e resfriamento a volume constante de volta para o estado Trace os diagramas p e Ts para este ciclo ideal e determine a eficiência definida como o trabalho líquido a área delimitada pelo ciclo no diagrama p dividido pelo calor adicionado 1214 Um tanque de 1 m3 contém ar a 01 MPa absoluta e 20C O tanque é pressurizado até 2 MPa Considerando que o tanque receba ar de forma adiabática e reversível calcule a temperatura final do ar no tanque Agora considerando que a pressurização tenha sido isotérmica e reversível calcule a perda de calor pelo ar do tanque durante o processo Qual processo o adiabático ou o isotérmico resulta em uma massa maior de ar no tanque 1215 Um tanque de volume 10 m3 contém ar comprimido a 15C A pressão manométrica no tanque é 450 MPa Avalie o trabalho requerido para encher o tanque comprimindo ar da condiçãopadrão por a compressão isotérmica e b compressão isentrópica seguida de resfriamento à pressão constante Qual é o pico de temperatura do processo de compressão isentrópica Calcule a energia removida durante o resfriamento para o processo b Considere comportamento de gás ideal e processos reversíveis Marque pontos de estado em diagramas Ts e p para cada processo 1216 Ar entra em uma turbina em escoamento em regime permanente a 05 kgs com velocidade desprezível As condições de entrada são 1300C e 20 MPa absoluta O ar é expandido através da turbina até a pressão atmosférica Se a temperatura e a velocidade reais na saída da turbina são 500C e 200 ms determine a potência produzida pela turbina Marque os pontos de estado em um diagrama Ts para este processo 1217 Gás natural com as propriedades termodinâmicas do metano escoa em uma tubulação subterrânea de 06 m de diâmetro A pressão manométrica na entrada de um compressor de linha é 05 MPa a pressão na saída é 80 MPa manométrica A temperatura do gás e a velocidade na entrada são 13C e 32 ms respectivamente A eficiência do compressor é η 085 Calcule a vazão mássica de gás natural através da tubulação Marque pontos de estado em um diagrama Ts para a entrada e a saída do compressor Avalie a temperatura e a velocidade do gás na saída do compressor e a potência necessária para acionar o compressor 1218 Com o uso a eficiência do compressor do Problema 1217 diminui Para qual eficiência a potência requerida para atingir 80 MPa manométrica excederá 30 MW Trace o gráfico da potência requerida e da temperatura de saída do gás como funções da eficiência 1219 Manutenção imprópria da turbina do Problema 127 resultou em um decréscimo gradual na sua eficiência com o tempo Considerando que a eficiência diminuiu de 1 por ano quanto tempo levou para a potência de saída da turbina ter abaixado para 950 kW considerando que as condições de entrada a vazão e a pressão de saída foram constantes 1220 Em um processo isotérmico 47 105 m3 de arpadrão por segundo é bombeado para um balão A tensão na parede de borracha do balão é dada por σ kA na qual k 31416 Nm3 e A é a área da superfície do balão dada em m2 Calcule o tempo requerido para aumentar o raio do balão de 127 para 178 mm 1221 Para o processo do balão do Problema 1220 podese definir uma razão volumétrica como a razão entre o volume de arpadrão fornecido e o acréscimo de volume do balão por unidade de tempo Trace esta razão como uma função do tempo quando o diâmetro do balão é aumentado de 127 mm a 1778 mm Propagação de Ondas de Som 1222 Um nível de pulso sonoro acima de 20 Pa pode causar danos permanentes no sistema auditivo humano Considerando que tal onda de som viaje através do ar a 20ºC e 100 kPa estime a variação na massa específica na temperatura e na velocidade imediatamente após a passagem da onda de som 1223 Calcule a velocidade do som a 20C no a hidrogênio b hélio c metano d nitrogênio e e dióxido de carbono 1224 O módulo de compressibilidade Eυ de um material indica a dificuldade de comprimir esse material um valor grande de Eυ indica que o material requer uma alta pressão para ser comprimido O ar é mais duro quando é comprimido rápida ou lentamente Para dar a resposta determine expressões em função da pressão instantânea para o módulo de compressibilidade do ar kPa quando ele é a comprimido rapidamente e b comprimido lentamente Sugestão uma compressão rápida é aproximadamente isentrópica ela é adiabática porque o processo ocorre muito rapidamente para haver transferência de calor enquanto uma compressão lenta é isotérmica existe bastante tempo para que o ar fique em equilíbrio com a temperatura ambiente 1225 Você projetou um equipamento para determinar o módulo de compressibilidade Eυ de um material O dispositivo trabalha medindo o atraso entre o envio de uma onda de som em uma amostra do material e o recebimento da onda após ela viajar através da amostra e ser refletida de volta Como um teste você usa uma haste de aço de 1 m Eυ 200 GNm2 Que tempo de atraso deve indicar o seu equipamento Você agora testa uma haste de 1 m 1 cm de diâmetro de um material desconhecido e encontra um tempo de atraso de 05 ms A massa medida da haste é de 025 kg Qual é o módulo de elasticidade desse material 1226 Os golfinhos frequentemente caçam ouvindo os sons feitos por sua presa Eles ouvem com o maxilar inferior que conduz as vibrações de som até o ouvido médio via uma cavidade cheia de gordura no osso do maxilar inferior Se a presa está a 1000 m de distância quanto tempo após o som ser feito o golfinho o ouve Considere que a água do mar está a 20C 1227 Um submarino envia um sinal de sonar para detectar um inimigo A onda refletida retorna após 325 s Estime a separação entre os submarinos Como uma aproximação considere que a água do mar está a 20C 1228 Um avião voa a 550 kmh e a 1500 m de altitude em um diapadrão O avião sobe para 15000 m e voa a 1200 kmh Calcule o número de Mach de voo para ambos os casos 1229 Mísseis da próxima geração usarão motores a jato para viajar a números de Mach tão altos quanto 7 Se um míssil a jato viaja com número de Mach 7 a uma altitude de 25500 m quanto tempo leva para o míssil percorrer 1095 106 m Considere o ar na condição atmosféricapadrão Nota essa é a faixa para o míssil Tomahawk que usa um sistema convencional de propulsão mas gasta 90 min para cobrir a mesma distância 1230 As características reais de desempenho do avião de reconhecimento Lockheed SR71 Blackbird nunca foram divulgadas Contudo acreditase que ele voa em cruzeiro a M 33 em uma altitude de 259 km Avalie a velocidade do som e a velocidade de voo para estas condições Compare com a velocidade de saída de uma bala do cano do rifle 3006 700 ms 1231 O avião Boeing 727 do Exemplo 98 voa em cruzeiro a 835 Kmh em uma altitude de 1006 km em um diapadrão Calcule o número de Mach do voo da aeronave Se o número de Mach máximo permitido de operação da aeronave é 09 qual é a velocidade de voo correspondente 1232 Investigue o efeito da altitude sobre o número de Mach traçando o número de Mach de uma aeronave a 800 kmh enquanto ela voa em altitudes na faixa do nível do mar até 10 km 1233 Você está assistindo aos fogos de artifício do dia 4 de julho nos EUA da distância de uma milha Quanto tempo após ver a explosão você vai ouvila Você também assistiu os fogos de artifício da passagem de ano do mesmo local e da mesma distância Quanto tempo após ver a explosão você vai ouvila Considere que a temperatura ambiente era de 24C em julho e de 15C em janeiro 1234 O avião foguete norteamericano X15 detinha o recorde de voo mais rápido Em 1967 o X15 voou à velocidade de 7270 kmh a uma altitude de 584 km A qual o número de Mach o X15 voou 1235 Você precisa estimar a velocidade de um avião hipersônico viajando com número de Mach 7 a 36576 m Não dispondo de uma tabela atmosférica em mãos você se lembra que ao longo da estratosfera altitude aproximadamente entre 10800 e 21600 m a temperatura é aproximadamente constante a 217 K e resolve considerar essa temperatura para seus cálculos Depois obtendo dados mais apropriados você recalcula a velocidade Qual foi a porcentagem de erro Qual teria sido o erro percentual se você tivesse usado os dados ao nível do mar 1236 A arquibancada do Centro Espacial Kennedy está localizada a 56 km da plataforma de lançamento Em um dia quando a temperatura do ar é 27C quanto tempo leva para o som de um lançamento atingir os telespectadores Se o lançamento for antecipado para uma manhã de inverno a temperatura poderá ser baixa como 10C Quanto tempo levaria para o som atingir os telespectadores nessas condições 1237 Enquanto você trabalha sobre o cais de um lago de montanha você nota que o som das suas marteladas está ecoando na montanha Se a temperatura do ar é 25C e o eco atinge você 3 s depois da martelada a que distância você está da montanha 1238 Use dados de tabela de volume específico para calcular e traçar um gráfico da velocidade do som na água no estado de líquido saturado para uma faixa de temperatura de 0 a 200C 1239 Deduza novamente a equação para a velocidade do som Eq 1218 considerando que o sentido do movimento do fluido atrás da onda de som é dVx para a direita Mostre que o resultado é idêntico ao dado pela Eq 1218 1240 Calcule a velocidade do som no nível do mar para um diapadrão Transportando dados da Fig 33 avalie a velocidade do som e trace um gráfico para altitudes até 90 km 1241 A temperatura varia linearmente do nível do mar até cerca de 11 km de altitude na atmosferapadrão Avalie a taxa de lapso a taxa de diminuição de temperatura com a altitude na atmosferapadrão Deduza uma expressão para a taxa de variação da velocidade sônica com a altitude em um gás ideal sob condição atmosféricapadrão Avalie e trace um gráfico para uma faixa de altitude do nível do mar até 10 km 1242 Ar a 25C escoa a M 19 Determine a velocidade do ar e o ângulo de Mach 1243 Considere o avião hipersônico do Problema 1235 Quanto tempo levaria para um observador ouvir o avião depois que ele passar sobre o observador Nesse tempo decorrido que distância o avião viajou 1244 Um projétil é disparado em um gás de razão de calores específicos k 1625 no qual a pressão é 450 kPa absoluta e a massa específica é 45 kgm3 Observase experimentalmente que um cone de Mach surge do projétil com ângulo total de 25º Qual é a velocidade do projétil em relação ao gás 1245 A fotografia de uma bala mostra um ângulo de Mach de 32º Determine a velocidade da bala no arpadrão 1246 O National Transonic Facility NTF é um túnel de vento de alta velocidade projetado para operar com ar a temperaturas criogênicas para reduzir a viscosidade aumentando assim o número de Reynolds unitário Rex e reduzindo os requisitos de potência de recirculação do ar A operação é prevista para temperaturas de 168C e abaixo Uma fotografia schlieren tirada no NTF mostra um ângulo de Mach de 57º quando T 168C e p 9 kPa Avalie o número de Mach e a velocidade do escoamento local Calcule o número de Reynolds unitário para o escoamento 1247 Um avião F4 faz uma passagem de alta velocidade sobre um aeroporto em um dia em que T 35C O avião voa a M 14 e a 200 m de altitude Calcule a velocidade do avião Quanto tempo após a sua passagem diretamente sobre o ponto A no solo o seu cone de Mach passa sobre o ponto A 1248 Enquanto corria na praia em um dia quente de verão em torno de 25C um jato de alta velocidade sobrevoa Você estima que a altitude seja em torno de 3000 m e conta em torno de 75 s antes de ouvilo Estime a velocidade e o número de Mach do jato 1249 Um avião passa reto a 3 km de altitude O avião voa a M 15 considere a temperatura do ar constante e igual a 20C Determine a velocidade do ar relativa à aeronave Um vento contrário sopra a 30 ms Quanto tempo após o avião passar diretamente acima de um ponto no solo o seu som alcança este ponto 1250 Um avião supersônico voa a 3 km de altitude a uma velocidade de 1000 ms em um diapadrão Quanto tempo após o avião passar diretamente acima de um observador que está no solo o seu som é ouvido pelo observador 1251 Para as condições do Problema 1250 determine o local no qual onda sonora que primeiro alcança o observador no solo foi emitida 1252 A aeronave supersônica de transporte Concorde voa em cruzeiro a M 22 e a 17 km de altitude em um diapadrão Quanto tempo após a passagem do avião diretamente acima de um observador no solo o som da aeronave é ouvido pelo observador 1253 O escoamento de ar em torno de um automóvel é considerado incompressível Investigue a validade desta hipótese para um automóvel trafegando a 96 kmh Em relação ao automóvel a velocidade mínima do ar é zero e a velocidade máxima é aproximadamente de 190 kmh 1254 Opositores de aviões supersônicos de transporte alegam que as ondas sonoras podem ser refratadas na camada superior da atmosfera e que como resultado estrondos sônicos podem ser ouvidos a várias milhas de distância do local sobrevoado pela aeronave Explique o fenômeno da refração da onda de som Estado de Referência Propriedades de Estagnação Isentrópica Local 1255 Trace um gráfico da diferença percentual entre a massa específica no ponto de estagnação e a massa específica em um local onde o número de Mach é M de um escoamento compressível para números de Mach entre 005 e 095 Determine os números de Mach nos quais a diferença é de 1 5 e 10 1256 Ache a temperatura de estagnação para o ruído do míssil descrito no Problema 1229 1257 Ache a temperatura de estagnação para o ruído do avião descrito no Problema 1234 1258 Determine a razão da pressão estática com a pressão total para um carro movendose 88 kmh ao nível do mar e um carro de Fórmula 1 movendose a 355 kmh ao nível do mar Você espera que os escoamentos sobre os carros experimentem efeitos de compressibilidade 1259 Ache as pressões dinâmica e de estagnação para o míssil descrito no Problema 1229 1260 Ache as pressões dinâmica e de estagnação para o avião descrito no Problema 1234 1261 Uma aeronave voa a 250 ms no ar a 28 kPa e 50ºC Determine a pressão de estagnação no nariz da aeronave 1262 Calcule a massa específica no ar não perturbado e no ponto de estagnação do Problema 1261 Qual é a porcentagem de aumento na massa específica Isso indica que escoamento pode ser aproximado como incompressível 1263 Para uma aeronave viajando a M 20 a uma elevação de 12 km determine a pressão dinâmica e a de estagnação 1264 Um corpo movese através do arpadrão a 200 ms Qual é a pressão de estagnação sobre o corpo Considere a escoamento compressível e b escoamento incompressível 1265 Considere o escoamento do arpadrão a 600 ms Qual é a pressão local de estagnação isentrópica E a entalpia de estagnação E a temperatura de estagnação 1266 Um avião DC10 voa em cruzeiro a 12 km de altitude em um diapadrão Um tubo pitotestático no nariz do avião mede as pressões de estagnação e estática de 296 kPa e 194 kPa respectivamente Calcule a o número de Mach de voo do avião b a velocidade do avião e c a temperatura de estagnação que seria sentida por uma sonda no avião 1267 Um avião voa a M 065 e a 10 km de altitude em um diapadrão A velocidade do avião é deduzida a partir da medida da diferença entre as pressões de estagnação e estática Qual é o valor dessa diferença Calcule a velocidade do ar a partir desta diferença real considerando a compressibilidade e b incompressibilidade A discrepância neste caso é significante 1268 O transporte supersônico AngloFrancês Concorde voa a M 22 e a 20 km de altitude Avalie a velocidade do som a velocidade de voo da aeronave e o ângulo de Mach Qual é a máxima temperatura do ar nos pontos de estagnação sobre a estrutura da aeronave 1269 Aeronaves modernas de alta velocidade usam dados de ar computadorizados para calcular a velocidade do ar a partir da diferença entre as pressões de estagnação e estática Trace como uma função do número real de Mach M para M de 01 a 09 o erro percentual no número de Mach calculado a partir da diferença de pressões considerando incompressibilidade isto é usando a equação de Bernoulli Trace o erro percentual na velocidade da aeronave voando a 12 km de altitude como uma função da velocidade para uma faixa de velocidades correspondente a números de Mach reais de 01 a 09 1270 A seção de teste de um túnel de vento supersônico é projetada para ter M 25 a 15C e 35 kPa abs O fluido é ar Determine as condições de estagnação requeridas de entrada T0 e p0 Calcule a vazão em massa requerida para uma seção de teste com área de 0175 m2 1271 Ar escoa em regime permanente através de um trecho denota entrada e denota saída de um duto de seção constante termicamente isolado As propriedades mudam ao longo do duto como resultado do atrito a Começando com a forma da primeira lei da termodinâmica para volume de controle mostre que a equação pode ser reduzida para b Denotando a constante por h0 a entalpia de estagnação mostre que para escoamento adiabático de um gás ideal com atrito c Para este escoamento T01 T02 p01 p02 Explique estes resultados 1272 Um novo projeto para um transporte supersônico é testado em um túnel de vento com número de Mach M 18 O ar é o fluido de trabalho A pressão e a temperatura de estagnação para o túnel de vento são 1400 kPa e 260C respectivamente A área da asa do modelo é igual a 0064 m2 O arrasto e a sustentação medidos são 53000 N e 7100 N respectivamente Determine os coeficientes de arrasto e de sustentação 1273 Para aviões voando a velocidades supersônicas os coeficientes de sustentação e de arrasto são funções do número de Mach apenas Um transporte supersônico com envergadura de 75 m deve voar a 780 ms em uma altitude de 20 km em um diapadrão O desempenho do avião deve ser medido a partir de testes com um modelo com 09 m de envergadura em um túnel de vento supersônico O túnel é suprido por um grande reservatório de ar comprimido que pode ser aquecido se desejado A temperatura estática do ar na seção de teste deve ser de 10ºC para evitar o congelamento de umidade A que velocidade do ar os testes no túnel de vento deverão ser conduzidos para que haja a reprodução do número de Mach do protótipo Qual deve ser a temperatura de estagnação no reservatório Que pressão é requerida no reservatório se a pressão na seção de teste deve ser de 10 kPa abs 1274 As características reais de desempenho do avião de reconhecimento Lockheed SR71 Blackbird eram secretas Contudo a suposição é de que ele voasse a M 33 e a 26 km de altitude Calcule a velocidade do voo da aeronave para estas condições Determine a pressão local de estagnação isentrópica Como o avião é supersônico ocorre um choque normal à frente de um tubo de pressão total A pressão de estagnação cai de 747 através do choque Avalie a pressão de estagnação sentida por uma sonda no avião Qual é a temperatura máxima do ar nos pontos de estagnação sobre a estrutura do avião 1275 A nave experimental da NASA X43A HyperX voou a M 968 a uma altitude de 33528 m Calcule a velocidade de voo para essas condições Determine a pressão de estagnação local Como o avião é supersônico ocorre uma onda de choque normal na frente de um tubo de tomada de carga total Contudo a onda de choque resulta em um decréscimo da pressão de estagnação de 996 Avalie a pressão de estagnação sentida por uma sonda no avião Qual é a temperatura máxima do ar nos pontos de estagnação sobre a estrutura do avião 1276 Ar escoa em um duto isolado termicamente No ponto as condições são M1 01 T1 20C e p1 10 MPa absoluta A jusante no ponto 1 por causa do atrito as propriedades são M2 07 T2 562C e p2 1365 kPa absoluta Quatro algarismos significativos são dados a fim de minimizar erros de arredondamento Compare as temperaturas de estagnação nos pontos e e explique o resultado Calcule as pressões de estagnação nos pontos e Como você explica o fato de que a velocidade aumenta para este escoamento com atrito Esse processo poderia ser isentrópico ou não Justifique sua resposta calculando a variação na entropia entre os pontos e Marque os pontos de estado estático e de estagnação em um diagrama Ts 1277 Ar é resfriado enquanto escoa sem atrito a uma taxa de 005 kgs em um duto No ponto as condições são M1 05 T1 500ºC e p1 500 kPa abs A jusante no ponto 2 as propriedades são M2 02 T2 1857C e p2 6392 kPa absoluta Quatro algarismos significativos são dados a fim de minimizar erros de arredondamento Compare as temperaturas de estagnação nos pontos e e explique o resultado Calcule as pressões de estagnação nos pontos e Como você explica o fato de que a velocidade aumenta para este escoamento com atrito Esse processo poderia ser isentrópico ou não Justifique sua resposta calculando a variação na entropia entre os pontos e Marque os pontos de estado estático e de estagnação em um diagrama Ts 1278 Considere o escoamento permanente e adiabático de ar através de um tubo reto com A 005 m2 Na entrada seção o ar está a 200 kPa abs 60C e 146 ms A jusante na seção o ar está a 956 kPa abs e 280 ms Determine p01 p02 T01 T02 e a variação de entropia para o escoamento Mostre os pontos de estado estático e de estagnação em um diagrama Ts 1279 Ar escoa em regime permanente através de um duto de área constante Na seção o ar está a 400 kPa abs 325 K e 150 ms Como resultado de transferência de calor e de atrito o ar na seção a jusante está a 275 kPa absoluta e 450 K Calcule a transferência de calor por quilo de ar entre as seções e e a pressão de estagnação na seção 1280 O processo de combustão em um motor a jato é modelado como uma simples adição de calor para o ar em um duto sem atrito Considere isso em um combustor com escoamento de ar na taxa de 0045 kgs No ponto as condições são M1 02 T1 3156C e p1 48 kPa A jusante no ponto as condições são M2 09 T2 1032C e p2 283 kPa Compare as temperaturas de estagnação nos pontos e e explique o resultado Calcule a taxa de adição para o escoamento Calcule as pressões de estagnação nos pontos e Esse processo poderia ser isentrópico ou não Justifique sua resposta calculando a variação de entropia entre os pontos e Mostre os pontos de estado estático e de estagnação em um diagrama Ts 1281 Retome o combustor do motor a jato no Problema 1280 Para maior precisão do modelo agora vamos incluir os efeitos de atrito no duto Uma vez que tais efeitos são incluídos as condições do estado são agora M2 09 T2 904C e p2 1103 kPa Recalcule a transferência de calor por libramassa de ar entre as seções e como também a pressão de estagnação na seção 1282 Ar passa através de um choque normal em um túnel de vento supersônico As condições a montante são M1 18 T1 270 K e p1 100 kPa absoluta As condições de jusante são M2 06165 T2 4136 K e p2 3613 kPa absoluta Quatro algarismos significativos são dados a fim de minimizar erro de arredondamento Avalie as condições locais de estagnação isentrópica a a montante e b a jusante do choque normal Calcule a variação na entropia específica através do choque Mostre os pontos de estado estático e de estagnação em um diagrama Ts 1283 Ar entra em uma turbina a M1 04 T1 1250C e p1 625 kPa absoluta As condições na saída da turbina são M2 08 T2 650ºC e p2 20 kPa absoluta Avalie as condições locais de estagnação isentrópica a na entrada da turbina e b na saída da turbina Calcule a variação na entropia específica através da turbina Mostre os pontos de estado estático e de estagnação em um diagrama Ts 1284 Um Boeing 747 voa a M 087 em uma altitude de 13 km em um diapadrão Uma janela na cabine do piloto está localizada onde o número de Mach do escoamento externo é 02 em relação à superfície do avião A cabine é pressurizada para uma altitude equivalente de 2500 m em uma atmosferapadrão Estime a diferença de pressão através da janela Certifiquese de especificar o sentido da força de pressão resultante Condições Críticas 1285 Se uma janela da cabine do piloto no Problema 1284 desenvolve uma minúscula fenda o ar escapará para fora à velocidade crítica Determine a vazão mássica se a área da fenda é de 1 mm2 1286 Impacto de detritos espaciais é uma preocupação real para naves espaciais Se uma peça de detrito espacial criar um furo de área 0625 mm2 no casco da Estação Espacial Internacional EEI a que taxa o ar escaparia da EEI Considere que a atmosfera na EEI seja constituída por ar à pressão de 1013 kPa e com uma temperatura de 18C 1287 Um cartucho de CO2 é usado para propelir um foguete de brinquedo O gás no cartucho é pressurizado a 45 MPa manométrica e está a 25C Calcule as condições críticas temperatura pressão e velocidade de escoamento que correspondem a estas condições de estagnação 1288 O reservatório de armazenamento de gás de um túnel de vento de alta velocidade contém hélio a 2000 K e 5 MPa Calcule as condições críticas temperatura pressão e velocidade do escoamento que correspondem a estas condições de estagnação 1289 As condições de estagnação em um motor de foguete a propelente sólido são T0 3000 K e p0 45 MPa manométrica Condições críticas ocorrem na garganta do bocal do foguete onde o número de Mach é igual a 1 Avalie a temperatura pressão e velocidade do escoamento na garganta Considere comportamento de gás ideal com R 323 Jkg K e k 12 1290 A corrente de gás quente na entrada da turbina de um motor a jato JT9D está a 1500C 140 kPa absoluta e M 032 Calcule as condições críticas temperatura pressão e velocidade do escoamento que correspondem a estas condições Considere as propriedades do fluido como as do ar puro 1291 Alguns túneis de vento de alta velocidade usam aquecedores de ar à combustão para gerar as pressões e temperaturas extremas necessárias para simular precisamente escoamento com elevados números de Mach Em uma série de testes um aquecedor de ar à combustão fornece condições de estagnação de 17 MPa e 1010 K Calcule a pressão e a temperatura críticas correspondentes a essas condições de estagnação 1292 O fluido na exaustão do combustor do motor a jato no Problema 1281 é acelerado através de um bocal até as condições críticas Calcule a temperatura a pressão e a velocidade do escoamento na saída do bocal Considere as propriedades do fluido de ar puro Mainframes são computadores de grande porte utilizados em geral no processamento de milhares de dados NT 1 Para o ar R 287 N mkg K 2 O mesmo resultado final é obtido com o sentido do movimento atrás da onda para a direita veja o Problema 1239 Escoamento Compressível 131 Equações Básicas para Escoamento Compressível Unidimensional 132 Escoamento Isentrópico de um Gás Ideal Variação de Área 133 Choques Normais 134 Escoamento Supersônico em Canais com Choque 135 Escoamento em Duto de Área Constante com Atrito 136 Escoamento sem Atrito em um Duto de Área Constante com Transferência de Calor 137 Choques Oblíquos e Ondas de Expansão 138 Resumo e Equações Úteis Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente Energia Eólica A Turbina Eólica de Eixo Vertical Windspire As fazendas de turbinas eólicas agora são uma visão comum em muitas partes do mundo Uma das primeiras fazendas eólicas nos Estados Unidos a Fazenda Altamont Pass Wind Farm na Califórnia central possui quase 5000 turbinas eólicas relativamente pequenas de vários tipos tornandose de uma só vez a maior fazenda eólica no mundo em termos de capacidade de geração de energia A Altamont Pass é ainda a maior concentração simples de turbinas eólicas do mundo com uma capacidade de 576 MW produzindo em torno de 125 MW em média e 11 TWh anualmente Apesar das turbinas serem muito grandes a tecnologia melhorou bastante desde que elas foram instaladas na década de 1970 e elas estão sendo substituídas gradualmente por unidades muito maiores e com melhor relação custobenefício As turbinas menores são perigosas para vários pássaros tais como as águias douradas em torno de 70 destas aves são mortas a cada ano As novas e maiores unidades giram muito lentamente e sendo muito maiores e altas são menos perigosas à vida silvestre local Como vimos no último Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente uma série de empresas está desenvolvendo alternativas em pequena escala para tais turbinas eólicas Uma destas empresas é a Windspire Energy em Nevada EUA Suas turbinas eólicas como mostrado na fotografia possuem baixo custo baixo índice de ruído geradores de energia eólica com aparência atraente para uso residencial empresarial e em prédios comerciais Cada Windspire pode gerar em torno de 12 kW de energia elétrica para comparação um arranjo típico residencial de coletores solares pode gerar até 3 kW em plena radiação solar direta As turbinas eólicas Windspire fabricadas em Michigan possuem 10 m de altura e 1 m de largura hélice livre turbina eólica de eixo vertical VAWTs discutida no Capítulo 10 As turbinas Windspire em contraste com a Helix VAWT no Capítulo 12 são dispositivos de sustentação isto é as laminas verticais são essencialmente aerofólios gerando sustentação veja o Capítulo 9 e consequentemente torque As turbinas Windspire estão atualmente alimentando de energia elétrica mais de 500 residências pequenos negócios escolas museus parques vinhas e prédios comerciais Turbinas Windspire Foto Cortesia de Windspire Energy Recentemente a Adobe Systems Inc fabricantes do conhecido programa computacional Adobe Acrobat instalou 20 turbinas eólicas Windspire em seu campus em San Jose California Isso está de acordo com a liderança da Adobe nos esforços para construções ecológicas a sede é a primeira construção de escritórios comerciais a receber a certificação Leadership in Energy and Environmental Design LEEDEB Platinum para sua sede As novas turbinas eólicas Windspire estão localizadas no pátio do sexto andar do prédio da Adobe que funciona como um jardim no terraço e área recreacional o pátio é localizado entre três torres de escritórios que criam um efeito de túnel de vento dos ventos constantes do Oceano Pacífico A Adobe escolheu as turbinas Windspire por seu projeto poderoso elegante silencioso e esteticamente atraente Os cilindros altos delgados de visão suave não se parecem nada com as lâminas da turbina gigante girando acima de Altamont Pass mas geram a mesma quantidade de energia As vendas de pequenas turbinas aquelas com capacidade de 100 kW ou menos cresceram 78 em 2008 assim o mercado está crescendo rapidamente Ao contrário da Windspire a maior parte das pequenas turbinas vendidas no Estados Unidos é de turbinas de eixo horizontal HAWTs A empresa Windspire Energy acredita que a sua turbina Windspire VAWT possui uma série de vantagens sobre as turbinas HAWTs incluindo menor pegada menor nível de ruído e melhor apelo estético No Capítulo 12 revisamos alguns conceitos básicos do escoamento compressível O foco principal do presente capítulo é discutir o escoamento compressível unidimensional com maiores detalhes A primeira questão que podemos fazer é O que iria causar variações das propriedades dos fluidos em um escoamento compressível unidimensional A resposta é que diversos fenômenos podem causar variações Escoamento com área variável causando mudança de velocidade e portanto mudanças de outras propriedades Choque normal um violento processo adiabático que gera aumento de entropia e portanto mudança de outras propriedades Escoamento em um canal com atrito causando aumento de entropia e portanto mudança de outras propriedades Escoamento em um canal com aquecimento ou resfriamento causando uma mudança na energia do fluido e portanto mudança de outras propriedades Para simplificar estudaremos cada um destes fenômenos separadamente mantendo em mente que um escoamento real provavelmente sofre simultaneamente diversos destes fenômenos Após completar o nosso tratamento do escoamento unidimensional introduziremos alguns conceitos básicos de escoamentos bidimensionais choques oblíquos e ondas de expansão 131 Equações Básicas para Escoamento Compressível Unidimensional Nossa primeira tarefa é desenvolver equações gerais para um escoamento unidimensional que expresse as leis básicas do Capítulo 4 conservação da massa continuidade quantidade de movimento a primeira lei da termodinâmica a segunda lei da termodinâmica além de uma equação de estado Para fazer isso usaremos o volume de controle mostrado na Fig 131 Inicialmente consideramos que o escoamento é afetado por todos os fenômenos mencionados anteriormente isto é variação de área atrito e transferência de calor mesmo o choque normal será descrito por esta aproximação Em seguida iremos simplificar as equações individualmente para cada fenômeno a fim de obter resultados úteis Conforme mostrado na Fig 131 as propriedades nas seções e são indexadas com os subscritos correspondentes Rx é a componente em x da força superficial de atrito e pressão sobre os lados do canal Existirão também forças superficiais de pressões nas superfícies e Note que a componente em x das forças de campo é zero visto que isso não está mostrado O termo representa a taxa de transferência de calor a Equação da Continuidade Equação básica Considerações 1 Escoamento em regime permanente 2 Escoamento unidimensional Logo ρ1V1A1 ρ2V2A2 0 ou Fig 131 Volume de controle para análise de um escoamento unidimensional geral b Equação da Quantidade de Movimento Equação básica Considerações 3 FBx 0 A força de superfície é decorrente das forças de pressão nas superfícies e pelo atrito e pela força de pressão distribuída Rx ao longo das paredes do duto Substituindo obtivemos Rx P1A1 p2A2 V1ρ1 V1A1 V2ρ2 V2A2 Usando a equação da continuidade obtivemos c Primeira Lei da Termodinâmica Equação básica em que Considerações 4 s 0 5 cisalhamento outros 0 6 Os efeitos da gravidade são desprezados Note que mesmo se tivermos atrito não existe trabalho de atrito nas paredes porque com o atrito a velocidade nas paredes deve ser zero pela condição de não deslizamento Com essas considerações a primeira lei se reduz a Lembre que υ representa aqui o volume específico Isso pode ser simplificado por meio da utilização de h u pυ e da continuidade Eq 131a Podemos escrever a transferência de calor sob a base de massa em vez da base de tempo então A Eq 131c expressa o fato de que a transferência de calor muda a energia total a soma da energia térmica h e da energia cinética V22 do fluido em escoamento Esta combinação h V22 ocorre frequentemente em escoamento compressível e é chamada de entalpia de estagnação h0 Esta é a entalpia obtida se um escoamento for trazido adiabaticamente ao repouso Portanto a Eq 131c pode também ser escrita Vemos que a transferência de calor causa a variação da entalpia de estagnação e portanto da temperatura de estagnação T0 d Segunda Lei da Termodinâmica Equação básica ou e novamente usando a continuidade e Equação de Estado As equações de estado são relações entre propriedades termodinâmicas intensivas Essas relações podem ser expressas na forma de tabelas gráficos ou expressões algébricas Em geral sem olhar o formato dos dados conforme discutimos no Capítulo 12 veja as Referências 13 deste capítulo para uma substância simples qualquer propriedade pode ser expressa como uma função de duas outras propriedades independentes quaisquer Por exemplo poderíamos escrever h h s p ou ρ ρ s p e assim por diante Em primeiro lugar iremos tratar com gases ideais com calores específicos constantes e para estes podemos escrever as Eqs 121 e 127b renumeradas para conveniência de uso neste capítulo e Para gases ideais com calores específicos constantes a variação na entropia Δs s2 s1 para qualquer processo pode ser calculada a partir de qualquer uma das Eqs 1211 Por exemplo a Eq 1211b renumerada para conveniência de uso neste capítulo é Agora temos um conjunto básico de equações para analisar escoamentos compressíveis e unidimensionais de um gás ideal com calores específico constantes Note que a Eq 131e aplicase somente se tivermos um gás ideal as Eqs 131f e 131g se aplicam apenas quando temos um gás ideal com calores específicos constantes A nossa tarefa agora é simplificar este conjunto de equações para cada um dos fenômenos que podem afetar o escoamento Escoamento com área variável Choque normal Escoamento em um canal com atrito Escoamento em um canal com aquecimento ou resfriamento 132 Escoamento Isentrópico de um Gás Ideal Variação de Área O primeiro fenômeno é tal que o escoamento é modificado somente pela variação de área não existe transferência de calor δQdm 0 ou atrito de modo que Rx a componente em x da força superficial resulta somente da pressão sobre os lados do canal e não existem choques A ausência de transferência de calor atrito e choques que são violentos e portanto inerentemente irreversíveis significa que o escoamento irá ser reversível e adiabático de modo que a Eq 131d tornase ou Δs s2 s1 0 tal escoamento é isentrópico Isso significa que a Eq 131g leva ao resultado que vimos no Capítulo 12 ou sua equação equivalente que pode ser obtida por meio da utilização da equação de estado para um gás ideal na Eq 1212b para eliminar a temperatura Portanto o conjunto básico de equações Eqs 131 tornase Note que as Eqs 132c 132d e 132f dão o discernimento de como este processo aparece nos diagramas hs e Ts A partir da Eq 1312c a energia total ou a entalpia de estagnação h0 do fluido é constante a entalpia e a energia cinética podem variar ao longo do escoamento mas a sua soma é constante Isso significa que se o fluido se acelera sua temperatura deve decrescer e viceversa A Eq 132d indica que a entropia permanece constante Estes resultados são mostrados para um processo típico na Fig 132 A Eq 132f indica que a temperatura e a entalpia estão relacionadas linearmente portanto os processos traçados sobre um diagrama Ts irão parecer muito similares àqueles mostrados na Fig 132 exceto pela escala vertical As Eqs 132 poderiam ser usadas para analisar escoamento isentrópico em um canal da área variável Por exemplo se conhecermos as condições na seção isto é p1 ρ1 T1 s1 h1 V1 e A1 poderíamos usar estas equações para determinar condições em alguma outra nova seção onde a área é A2 iríamos ter sete equações e sete incógnitas p2 ρ2 T2 s2 h2 V2 e se desejado a força de pressão líquida sobre as paredes Rx Reforçando poderíamos usar as Eqs 132 porque na prática este processo é de difícil execução temos um conjunto de sete equações algébricas não lineares acopladas para resolver entretanto veremos que uma planilha do Excel pode ser usada para resolver este conjunto de equações como no Exemplo 131 Em vez disso usaremos algumas destas equações quando for conveniente mas também tiraremos vantagem dos resultados que obtivemos para escoamentos isentrópicos no Capítulo 12 e desenvolveremos relações apropriadas em função do número de Mach local das condições de estagnação e das condições críticas Antes de proceder com esta aproximação podemos ganhar conhecimento de processos isentrópicos por meio da revisão dos resultados obtidos no Capítulo 12 quando analisamos um volume de controle diferencial Fig 125 A equação da quantidade de movimento para isso foi Fig 132 Escoamento isentrópico no plano hs Note que poderíamos também ter obtido esta equação usando o nosso conjunto de equações Eqs 131 Se aplicássemos as Eqs 131 a um volume de controle diferencial poderíamos substituir ρ1 V1 e A1 por ρ V e A e ρ2 V2 e A2 por ρ dρ V dV e A dA Então a Eq 131a e a Eq 131b se simplificariam para a equação acima Então dp ρV dV Dividindo por ρV2 obtivemos Uma forma diferencial conveniente da equação da continuidade pode ser obtida da Eq 132a na forma ρAV constante Diferenciando e dividindo por ρAV resulta em Resolvendo a Eq 134 para dAA obtivemos Substituindo da Eq 133 temos ou Lembramos agora que para um processo isentrópico dpdρ pρs c2 de modo que ou Substituindo da Eq 133 na Eq 135 obtivemos Note que para um escoamento isentrópico não pode haver nenhum atrito As Eqs 135 e 136 confirmam que para este caso do ponto de vista da quantidade de movimento esperamos um aumento na pressão devido a um decréscimo na velocidade e viceversa Embora não possamos usálas para cálculos ainda não determinamos como M varia com A as Eqs 135 e 136 nos dão informações interessantes de como a pressão e a velocidade variam à medida que a área de escoamento varia Três possibilidades são discutidas a seguir Escoamento Subsônico M 1 Para M 1 o fator 11 M2 nas Eqs 135 e 136 é positivo de modo que um dA positivo leva a um dp positivo e a um dV negativo Estes resultados matemáticos significam que em uma seção divergente dA 0 o escoamento deve experimentar um acréscimo na pressão dp 0 enquanto a velocidade deve decrescer dV 0 Portanto um canal divergente é um difusor subsônico um difusor é um dispositivo que desacelera um escoamento Por outro lado um dA negativo leva a um dp negativo e a um dV positivo Estes resultados matemáticos significam que em uma seção convergente dA 0 o escoamento deve experimentar um decréscimo na pressão dp 0 enquanto a velocidade deve crescer dV 0 Portanto um canal convergente é um bocal subsônico um bocal é um dispositivo que acelera o escoamento Estes resultados são inconsistentes com as nossas experiências diárias não sendo uma surpresa por exemplo lembrese do medidor de venturi no Capítulo 8 no qual uma redução na garganta do venturi levou a uma acréscimo na velocidade e devido ao princípio de Bernoulli a uma queda de pressão enquanto a seção divergente levou à recuperação da pressão e à desaceleração do escoamento O princípio de Bernoulli se aplica ao escoamento incompressível que é o caso limite do escoamento subsônico Tanto o bocal quanto o difusor subsônicos são mostrados na Fig 133 Escoamento Supersônico M 1 Para M 1 o fator 11 M2 nas Eqs 135 e 136 é negativo de modo que dA leva a um dp negativo e a um dV positivo Estes resultados matemáticos significam que em uma seção divergente dA 0 o escoamento deve experimentar um decréscimo na pressão dp 0 e a velocidade deve crescer dV 0 Portanto um canal divergente é um bocal supersônico Por outro lado um dA negativo leva a um dp positivo e a um dV negativo Estes resultados matemáticos significam que em uma seção convergente dA 0 o escoamento deve experimentar um acréscimo na pressão dp 0 enquanto a velocidade deve decrescer dV 0 Portanto um canal convergente é um difusor supersônico Estes resultados vão contra as nossas experiências diárias e a princípio são surpreendentes eles representam o oposto do que vemos em um medidor de venturi Os resultados estão consistentes com as leis da física por exemplo um aumento na pressão deve levar a uma desaceleração do escoamento pois as forças de pressão são as únicas atuantes Tanto o bocal quanto o difusor supersônicos são mostrados na Fig 133 Fig 133 Formas de bocal e difusor como uma função do número inicial de Mach Estes resultados um tanto o quanto contra intuitivos podem ser compreendidos quando atentamos para o fato de que estávamos acostumados a considerar ρ constante mas que agora estamos em um regime de escoamento em que a massa específica do fluido é uma função sensível às condições do escoamento Da Eq 134 Por exemplo em um escoamento supersônico divergente dA positivo o escoamento realmente acelera dV também positivo porque a massa específica cai fortemente dρ é negativo e grande resultando em um valor positivo no lado direito da equação Podemos ver exemplos de bocais supersônicos divergentes nos motores principais dos lançadores espaciais cada um dos quais possui um bocal de aproximadamente 3 m de comprimento com um diâmetro de saída de 24 m O empuxo máximo é obtido dos motores quando os gases da combustão saem a mais alta velocidade possível que os bocais podem desenvolver Escoamento Sônico M 1 Conforme o escoamento se aproxima de M 1 a partir do estado subsônico ou do estado supersônico o fator 11 M2 nas Eqs 135 e 136 tende para um valor infinito implicando que as mudanças na pressão e na velocidade também tendem para valores infinitos Isso obviamente não é realista de modo que devemos procurar outras maneiras de fazer com que as equações apresentem significado físico O único modo de evitar estas singularidades na pressão e na velocidade é fazer a restrição de que dA 0 quando M 1 Desse modo para um escoamento isentrópico as condições sônicas só podem ocorrer onde a área é constante Vamos ser mais específicos podemos imaginar a aproximação de M 1 tanto a partir do estado subsônico quanto do estado supersônico Um escoamento subsônico M 1 necessitaria ser acelerado usando um bocal subsônico que é uma seção convergente conforme aprendemos um escoamento supersônico M 1 necessitaria ser desacelerado usando um difusor supersônico que também é uma seção convergente Portanto as condições sônicas estão limitadas não somente a um local de área constante mas àquele que tem área mínima O resultado importante é que para escoamento isentrópico a condição sônica M 1 só pode ser atingida em uma garganta ou em uma seção de área mínima Isto não significa que uma garganta deva ter M 1 Mesmo porque pode até não haver escoamento no dispositivo Podemos ver que para acelerar isentropicamente um fluido a partir do repouso até uma velocidade supersônica seria necessário ter um bocal subsônico seção convergente seguido por um bocal supersônico seção divergente com M 1 na garganta Esse dispositivo é chamado um bocal convergentedivergente bocal CD De fato para criar um escoamento supersônico necessitamos bem mais do que apenas um bocal CD devemos também gerar e manter uma diferença de pressão entre e entrada e a saída Vamos discutir sucintamente os bocais CD com algum detalhe e as pressões requeridas para realizar uma mudança de escoamento subsônico para supersônico Devemos ser cuidadosos em nossa discussão de escoamento isentrópico especialmente com a desaceleração porque os fluidos reais podem experimentar fenômenos não isentrópicos tais como separação de camadalimite e ondas de choque Na prática o escoamento supersônico não pode ser desacelerado exatamente até M 1 na garganta porque o escoamento sônico próximo a uma garganta é instável em um gradiente de pressão crescente adverso Os distúrbios que estão sempre presentes em um escoamento subsônico real propagamse a montante perturbando o escoamento sônico na garganta causando ondas de choque que se deslocam para montante onde elas podem ser descarregadas a partir da entrada do difusor supersônico A área de garganta de um difusor supersônico real deve ser ligeiramente maior do que aquela requerida para reduzir o escoamento para M 1 Sob condições apropriadas a jusante uma fraca onda de choque normal formase no canal divergente imediatamente a jusante da garganta O escoamento saindo do choque é subsônico e desacelera no canal divergente Portanto a desaceleração do escoamento supersônico para subsônico não pode ocorrer isentropicamente na prática visto que a fraca onda de choque normal causa aumento de entropia Os choques normais serão analisados na Seção 133 Para escoamentos em aceleração com gradientes de pressão favoráveis a idealização de escoamento isentrópico é geralmente um modelo realista do comportamento real do escoamento Para escoamentos em desaceleração a idealização do escoamento isentrópico pode não ser realista por causa dos gradientes adversos de pressão e da possibilidade iminente de separação do escoamento conforme discutido para o escoamento de camadalimite no Capítulo 9 Condições Críticas e de Estagnação de Referência para Escoamento Isentrópico de um Gás ideal Conforme mencionado no início desta seção nós poderíamos em princípio usar as Eqs 132 para analisar o escoamento unidimensional isentrópico de um gás ideal porém os cálculos seriam um pouco trabalhosos Em vez disso já que o escoamento é isentrópico podemos usar os resultados das Seções 123 as condições de referência de estagnação e 124 as condições de referência críticas A ideia é ilustrada na Fig 134 em vez de usar as Eqs 132 para calcular por exemplo as propriedades no estado a partir daquelas no estado podemos usar o estado para determinar dois estados de referência o estado de estagnação e o estado crítico e em seguida usálos para obter as propriedades no estado Necessitamos de dois estados de referência porque o estado de referência de estagnação não fornece informação de área matematicamente a área de estagnação é infinita Vamos usar as Eqs 1221 renumeradas por conveniência Podemos notar que as condições de estagnação são constantes através do escoamento isentrópico As condições críticas quando M 1 foram relacionadas com as condições de estagnação na Seção 124 Embora um escoamento particular nunca possa atingir as condições sônicas conforme no exemplo da Fig 134 mesmo assim vamos determinar as condições críticas úteis como condições de referência As Eqs 137a 137b e 137c relacionam as propriedades locais p ρ T e V com as propriedades de estagnação p0 ρ0 e T0 por meio do número de Mach M e as Eqs 1222 e 1223 relacionam as propriedades críticas p ρ T e V com as propriedades de estagnação p0 ρ0 e T0 respectivamente mas ainda temos que obter uma relação entre as áreas A e A Para fazer isso iniciamos com a equação da continuidade Eq 132a na forma Fig 134 Exemplo de estados de referência crítico e de estagnação no plano Ts ρAV constante ρAV Então As Eqs 137 formam um conjunto de relações conveniente para analisar o escoamento isentrópico de um gás ideal com calores específicos constantes que utilizamos normalmente em lugar das equações básicas Eqs 132 Por conveniência listamos as Eqs 137 juntas As Eqs 137 fornecem relações de propriedades em função do número de Mach local das condições de estagnação e das condições críticas elas são tão úteis que algumas calculadoras científicas possuem algumas dessas relações disponíveis na memória por exemplo a HP série 48G 1 É uma boa ideia construir um programa com essas relações em sua calculadora se ela ainda não o possui Existem até mesmo algumas páginas interativas da Web que disponibilizam esses programas veja por exemplo 2 e elas são bastante fáceis de ser trabalhadas em planilhas como as do Excel Incentivamos você leitor a baixar os programas addins Excel para estas equações no site da LTC Editora com esses programas funções estão disponíveis para cálculos de pressão temperatura massa específica ou razões de área a partir de M e M a partir das razões Embora essas funções sejam um pouco complicadas algebricamente elas possuem uma vantagem sobre as equações básicas Eqs 132 elas não são acopladas Cada propriedade pode ser determinada diretamente a partir de seu valor de estagnação e do número de Mach A Eq 137d mostra a relação entre o número de Mach M e a área A A área crítica A definida quando um dado escoamento atende ou não às condições sônicas é utilizada para normalizar a área A Para cada número de Mach M nós obtivemos uma única razão de área Porém conforme mostrado na Fig 135 cada razão AA exceto 1 apresenta dois possíveis números de Mach um subsônico o outro supersônico A forma mostrada na Fig 135 aparenta uma seção convergentedivergente para acelerar um escoamento de subsônico para supersônico com como necessário M 1 somente na garganta Na prática contudo essa não é a forma com que uma passagem seria construída Por exemplo a seção divergente usualmente terá um ângulo de divergência muito menos grave para reduzir a chance de separação do escoamento na Fig 135 o número de Mach cresce linearmente mas isso não é necessário O Apêndice E1 lista funções de escoamento para razões de propriedades T0T p0p ρ0ρ e AA em termos de M para escoamento isentrópico de um gás ideal Uma tabela de valores bem como um gráfico destas razões é apresentada para o ar k 14 para uma faixa limitada de números de Mach A planilha Excel associada Relações Isentrópicas pode ser usada para imprimir uma tabela maior de valores para o ar e para outros gases ideais O Fig 134 podemos usar as equações para relacionar uma propriedade em um estado com o valor de estagnação e em seguida a partir do valor de estagnação chegar a um segundo estado Porém note que podemos realizar essa tarefa em um único passo por exemplo p2 pode ser obtida a partir de p1 escrevendose p2 p2p0p0p1p1 em que as razões de pressão vêm da Eq 137a avaliada para os dois números de Mach Fig 135 Variação de AA com o número de Mach para escoamento de um gás ideal com k 14 Exemplo 131 ESCOAMENTO ISENTRÓPICO EM UM CANAL CONVERGENTE Ar escoa isentropicamente em um canal Na seção o número de Mach é 03 a área é 0001 m2 e a pressão absoluta e a temperatura são respectivamente 650 kPa e 62ºC Na seção o número de Mach é 08 Esboce a forma do canal trace um diagrama Ts para o processo e avalie as propriedades na seção Verifique se os resultados concordam com as equações básicas Eqs 132 Dados Escoamento isentrópico de ar em um canal Para as seções e são fornecidos os seguintes dados M1 03 T1 62ºC p1 650 kPa abs A1 0001 m2 e M2 08 Determinar a A forma do canal b Um diagrama Ts para o processo c Propriedades na seção d Mostre que os resultados satisfazem as equações básicas Solução Para acelerar um escoamento subsônico é necessário um bocal convergente A forma do canal deve ser conforme mostrado No plano Ts o processo segue uma linha de s constante As condições de estagnação permanecem fixas para escoamento isentrópico Consequentemente a temperatura de estagnação na seção pode ser calculada para o ar k l 4 da Eq 137b Para p02 a partir da Eq 137a Para T2 a partir da Eq 137b Para p2 a partir da Eq 137a Note que poderíamos ter calculado diretamente T2 a partir de T1 porque T0 constante Então T2 09025 T1 09025273 62 K 302 K De modo similar para p2 Então p2 06982 p1 06982650 kPa 454 kPa A massa específica ρ2 na seção pode ser determinada a partir da Eq 137c usando o mesmo procedimento adotado para T2 e p2 ou podemos usar a equação de estado de gás ideal Eq 132e e a velocidade na seção é A área A2 pode ser obtida da Eq 137d notando que A é constante para esse escoamento Então Note que A2 A1 conforme esperado Vamos verificar se esses resultados satisfazem as equações básicas Primeiro precisamos obter ρ1 e V1 e A equação da conservação de massa é Não podemos verificar a equação da quantidade de movimento Eq 132b porque não conhecemos a força Rx produzida pelas paredes do dispositivo poderíamos usar a Eq 132b para calcular esta força se desejássemos A equação de energia é Verificaremos isso substituindo a entalpia pela temperatura através da Eq 132f logo a equação de energia tornase Usando cp para o ar da Tabela A6 A equação final que podemos verificar é a relação entre a pressão e a massa específica para um processo isentrópico Eq 132g As equações básicas são satisfeitas por nossa solução Este Exemplo ilustra O uso das equações isentrópicas Eqs 137 Que as equações isentrópicas são consistentes com as equações básicas Eqs 132 Que os cálculos podem ser muito trabalhosos sem o uso de relações isentrópicas préprogramadas disponíveis por exemplo nos programas addins Excel no site da LTC Editora A planilha Excel para este Exemplo é conveniente para realizar os cálculos usando tanto as equações isentrópicas quanto as equações básicas Escoamento Isentrópico em um Bocal Convergente Agora que temos nossas equações de cálculo Eqs 137 para analisar escoamentos isentrópicos estamos prontos para ver como podemos obter escoamento em um bocal partindo do repouso Primeiro vamos considerar o bocal convergente e em seguida o bocal CD Em ambos os casos para produzir um escoamento devemos criar uma diferença de pressão Por exemplo conforme ilustrado no bocal convergente mostrado na Fig 136a podemos fazer isso fornecendo o gás a partir de um reservatório câmara ou pleno a p0 e T0 e usando uma combinação de bomba de vácuoválvula criar uma pressão baixa a contrapressão pb Estamos interessados no que acontece com as propriedades do gás à medida que ele escoa através do bocal e também em conhecer como a vazão mássica aumenta à medida que a contrapressão é reduzida progressivamente Também poderíamos produzir um escoamento mantendo uma contrapressão constante como por exemplo a atmosférica e aumentando a pressão no pleno Vamos chamar a pressão no plano de saída de pe Veremos que ela será com frequência igual à contrapressão aplicada pb mas nem sempre Os resultados que obtivemos quando abrimos progressivamente a válvula a partir da posição fechada são mostrados nas Figs 136b e 136c Vamos considerar cada um dos casos mostrados Quando a válvula é fechada não existe escoamento através do bocal A pressão é p0 em todo o bocal conforme mostrado pela condição i na Fig 136a Se a contrapressão pb for então reduzida para um valor ligeiramente inferior a p0 existirá escoamento através do bocal com uma diminuição na pressão no sentido do escoamento conforme mostrado pela condição ii O escoamento no plano de saída será subsônico com a pressão no plano de saída igual à contrapressão O que acontece quando continuamos a diminuir a contrapressão Conforme esperado a vazão continuará a aumentar e a pressão no plano de saída continuará a diminuir conforme mostrado pela condição iii na Fig 136a Note que as condições ii e iii podem ser descritas usando a equação de Bernoulli Eq 68 enquanto o número de Mach máximo na saída do plano não for excedido de M 03 À medida que a contrapressão é diminuída progressivamente a vazão aumenta e por conseguinte a velocidade e o número de Mach no plano de saída também aumentam A seguinte questão surge Há um limite para a vazão mássica através do bocal ou em outras palavras Existe um limite superior para o número de Mach na saída A resposta a estas questões é Sim Para ver isso relembre que para escoamento isentrópico a Eq 136 aplicase Disso aprendemos que o único local em que podemos ter condições sônicas M 1 é onde a variação na área dA é zero Nós não podemos ter condições sônicas em nenhum local na seção convergente Logicamente podemos ver que o número de Mach máximo na saída é um Posto que o escoamento principiou do repouso M 0 se postularmos que M 1 na saída o escoamento teria que passar por M 1 em algum local na seção convergente o que seria uma violação da Eq 136 Fig 136 Bocal convergente operando em várias contrapressões Portanto a vazão máxima ocorre quando se tem condições sônicas no plano de saída quando Me 1 e pe pb p a pressão crítica Isto é mostrado como condição iv na Fig 136a e é chamado de escoamento bloqueado além do qual a vazão não pode ser aumentada Da Eq 137a com M 1 ou da Eq 1221a Para o ar k 14 então pep0bloqueio 0528 Por exemplo se desejássemos ter um escoamento sônico na saída de um bocal a partir de um pleno que está à pressão atmosférica teríamos que manter uma contrapressão em torno de 535 kPa ou seja cerca de 4785 kPa de vácuo Isso não parece difícil de ser gerado por uma bomba de vácuo mas na verdade consome muita potência para ser mantido pois haverá uma grande vazão mássica através da bomba Para a vazão máxima ou de bloqueio temos a seguinte vazão mássica Usando a equação de estado de gás ideal Eq 132e e as razões entre pressões e temperaturas de estagnação e críticas Eqs 137a e 137b respectivamente com M 1 ou as Eqs 1221a e 1221b respectivamente com A Ae pode ser mostrado que essa equação tornase Note que para um dado gás k e R a vazão máxima no bocal convergente depende apenas do tamanho da seção de saída Ae e das condições no reservatório p0 T0 Para o ar por conveniência escrevemos a Eq 139a na forma de uma equação de engenharia com bloqueado em kgs Ae em m2 p0 em Pa e T0 em K Suponha que agora insistamos em reduzir a contrapressão abaixo desse nível de referência p A nossa próxima pergunta é O que acontecerá com o escoamento no bocal A resposta é Nada O escoamento permanece bloqueado a vazão mássica não aumenta conforme mostrado na Fig 136b e a distribuição de pressão no bocal permanece invariável com pe p pb como mostrado na condição v nas Figs 136a e 136c Após a saída o escoamento ajustase à contrapressão aplicada mas isso acontece de forma tridimensional e não isentrópica em uma série de ondas de expansão e choques e para essa parte do escoamento nossos conceitos de escoamento unidimensional e isentrópico não mais se aplicam Retornaremos a essa discussão na Seção 134 Esta ideia de escoamento bloqueado parece um pouco estranha mas pode ser explicada pelo menos de duas maneiras Primeiro nós já discutimos que para aumentar a vazão mássica além do bloqueio seria necessário Me 1 o que não é possível Segundo uma vez que o escoamento atinge as condições sônicas ele tornase insensível às condições de jusante qualquer variação isto é uma redução na contrapressão aplicada propagase no fluido à velocidade do som em todas as direções como discutido no Capítulo 12 de modo que ela é lavada a jusante pelo fluido que está se movendo à velocidade do som na saída do bocal Fig 137 Diagrama esquemático Ts para escoamento bloqueado através de um bocal convergente O escoamento através de um bocal convergente pode ser dividido em dois regimes 1 No Regime I 1 pbp0 pp0 O escoamento em direção à garganta é isentrópico pe pb 2 No Regime II pbp0 pp0 O escoamento em direção à garganta é isentrópico e Me 1 Uma expansão não isentrópica ocorre no escoamento deixando o bocal e pe p pb a entropia aumenta porque essa expansão apesar de adiabática é irreversível Os processos de escoamento correspondentes ao Regime II são mostrados em um diagrama Ts na Fig 137 Dois problemas envolvendo bocais convergentes são resolvidos nos Exemplos 132 e 133 Embora o escoamento isentrópico seja uma idealização ele é muitas vezes uma aproximação muito boa para o comportamento real de bocais Visto que um bocal é um dispositivo que acelera um escoamento o gradiente de pressão interna é favorável Isso tende a manter delgadas as camadaslimite nas paredes e a minimizar os efeitos de atrito Exemplo 132 ESCOAMENTO ISENTRÓPICO EM UM BOCAL CONVERGENTE Um bocal convergente com área de garganta de 0001 m2 é operado com ar a uma contrapressão de 591 kPa abs O bocal é alimentado a partir de uma grande câmara pressurizada onde a pressão absoluta de estagnação e a temperatura são respectivamente 10 MPa e 60ºC O número de Mach na saída e a vazão mássica devem ser determinados Dados Escoamento de ar através de um bocal convergente nas condições mostradas o escoamento é isentrópico Determinar a Me b Solução O primeiro passo é verificar quanto ao bloqueio A razão de pressão é de modo que o escoamento não está bloqueado Portanto pb pe e o escoamento é isentrópico conforme esboçado no diagrama Ts Como p0 constante Me pode ser determinado a partir da razão de pressão Resolvendo para Me como pe pb obtivemos e A vazão mássica é Nós precisamos de Te para encontrar ρe e ce Dado que T0 constante ou e Finalmente Este problema ilustra o uso das equações isentrópicas Eqs 137 para um escoamento que não está bloqueado A planilha Excel para este Exemplo é conveniente para realizar os cálculos usando ou as equações isentrópicas ou as equações básicas Os programas addins Excel para escoamento isentrópico no site da LTC Editora também tornam os cálculos muito mais facilitados Exemplo 133 ESCOAMENTO BLOQUEADO EM UM BOCAL CONVERGENTE Ar escoa isentropicamente através de um bocal convergente Em uma seção em que a área do bocal é 00012 m2 a pressão a temperatura e o número de Mach locais são 4134 kPa abs 45ºC e 052 respectivamente A contrapressão é de 2067 kPa abs O número de Mach na garganta a vazão mássica e a área da garganta devem ser determinados Dados Escoamento de ar através de um bocal convergente nas condições mostradas M1 052 T1 45C p1 4134 kPa abs A1 00012 m2 Determinar a Mt b c At Solução Primeiro verificamos quanto ao bloqueio para determinar se o escoamento é isentrópico até pb Para isso avaliamos as condições de estagnação A razão de contrapressão é de modo que o escoamento está bloqueado Para escoamento bloqueado O diagrama Ts é A vazão mássica pode ser determinada a partir das condições na seção usando ρ1V1 A1 Da Eq 136 Para escoamento bloqueado At A Portanto Este problema ilustra o uso das equações isentrópicas Eqs 137 para um escoamento que está bloqueado Posto que o escoamento está bloqueado poderíamos também ter usado a Eq 139a para após determinar T0 A planilha Excel para este Exemplo é conveniente para realizar os cálculos Os programas addins Excel para escoamento isentrópico no site da LTC Editora também tornam os cálculos muito mais facilitados Escoamento Isentrópico em um Bocal ConvergenteDivergente Tendo considerado o escoamento isentrópico em um bocal convergente vamos considerar agora o escoamento isentrópico em um bocal convergentedivergente CD Como no caso anterior o escoamento através da passagem convergentedivergente na Fig 138 é induzido por uma bomba de vácuo a jusante e é controlado pela válvula mostrada as condições de estagnação a montante são constantes A pressão no plano de saída do bocal é pe o bocal descarrega para a contrapressão pb Como para o bocal convergente desejamos investigar entre outras coisas como a vazão mássica varia com a diferença de pressão aplicada p0 pb Considere o efeito da redução gradual da contrapressão Os resultados são ilustrados graficamente na Fig 138 Vamos considerar cada um dos casos mostrados Com a válvula inicialmente fechada não há escoamento através do bocal a pressão é constante em p0 Uma leve abertura da válvula pb ligeiramente inferior a p0 produz a curva de distribuição de pressão i Se a vazão for suficientemente baixa o escoamento será subsônico e essencialmente incompressível em todos os pontos sobre esta curva Nessas condições o bocal CD comportarseá como um venturi com o escoamento acelerando na parte convergente até que um ponto de velocidade máxima e pressão mínima seja atingido na garganta e desacelerando em seguida na parte divergente até a saída do bocal Esse comportamento é descrito com exatidão pela equação de Bernoulli Eq 68 À medida que se abre mais a válvula e a vazão é aumentada uma pressão mínima definida ocorre de forma mais acentuada conforme mostrado pela curva ii Embora os efeitos de compressibilidade tornemse importantes o escoamento é ainda subsônico em toda parte e ele é desacelerado na seção divergente Claramente esse comportamento não é descrito com exatidão pela equação de Bernoulli Finalmente à medida que a válvula é aberta ainda mais resulta a curva iii Na seção de área mínima o escoamento finalmente atinge M 1 e o bocal é bloqueado a vazão é a máxima possível para o bocal e as condições de estagnação dados Todos os escoamentos com distribuições de pressão i ii e iii são isentrópicos cada curva está associada a uma única vazão mássica Finalmente quando a curva iii é atingida as condições críticas estão presentes na garganta Para essa vazão o escoamento é bloqueado e em que A At conforme foi para o bocal convergente e para essa máxima vazão possível a Eq 139a aplicase com Ae substituída pela área de garganta At Note que para um dado gás k e R a vazão mássica no bocal CD depende apenas do tamanho a área da garganta At e das condições no reservatório p0 T0 Para o ar por conveniência escrevemos a Eq 1310a na forma de uma equação de engenharia Com bloqueado em kgs At em m2 p0 em Pa e T0 em K Qualquer tentativa de aumentar a vazão por meio de uma redução adicional na contrapressão não surtirá efeito pelas duas razões que discutimos anteriormente uma vez atingidas as condições sônicas as variações a jusante não podem mais ser transmitidas para montante e as condições sônicas não podem ser excedidas na garganta pois isso exigiria uma passagem através do estado sônico em algum lugar na seção convergente o que é impossível no escoamento isentrópico Naturalmente poderíamos aumentar a vazão mássica de bloqueio através de um dado bocal CD para qualquer nível desejado como por exemplo aumentando a pressão do reservatório Fig 138 Distribuições de pressão para escoamento isentrópico em um bocal convergentedivergente Com condições sônicas na garganta consideramos o que pode acontecer ao escoamento na seção divergente Já discutimos previamente veja a Fig 133 que uma seção divergente desacelerará um escoamento subsônico M 1 mas acelerará um escoamento supersônico M 1 comportamentos muito diferentes Surge então a seguinte questão Um escoamento sônico comportase como um escoamento subsônico ou como um escoamento supersônico quando ele entra em uma seção divergente A resposta para esta questão é que ele pode se comportar como qualquer um deles dependendo da pressão a jusante Nós já vimos o comportamento do escoamento subsônico curva iii a contrapressão aplicada leva a um aumento gradual na pressão a jusante desacelerando o escoamento Vamos agora considerar a aceleração do escoamento bloqueado Para acelerar o escoamento em uma seção divergente é necessário uma diminuição de pressão Esta condição é ilustrada pela curva iv na Fig 138 O escoamento será acelerado isentropicamente no bocal desde que a pressão na saída seja ajustada em piv Vemos então que com um número de Mach na garganta igual à unidade existem duas condições possíveis de escoamento isentrópico no bocal convergentedivergente Isto é consistente com os resultados na Fig 135 onde encontramos dois números de Mach para cada AA no escoamento isentrópico A redução da contrapressão abaixo da condição iv digamos para a condição v não causa efeito algum sobre o escoamento no bocal O escoamento é isentrópico do pleno até a saída do bocal como na condição iv e em seguida ele submetese a uma expansão tridimensional e irreversível até a contrapressão mais baixa Um bocal operando nessas condições é dito subexpandido visto que uma expansão adicional ocorre fora do bocal Um bocal convergentedivergente é em geral solicitado para produzir escoamento supersônico no plano de saída Se a contrapressão for ajustada em piv o escoamento será isentrópico através do bocal e supersônico na saída do bocal Bocais operando com pb piv correspondendo à curva iv na Fig 138 são ditos operar nas condições de projeto O escoamento saindo de um bocal CD é supersônico quando a contrapressão está na pressão de projeto do bocal ou abaixo dela O número de Mach na saída é fixo uma vez especificada a razão de área AeA Todas as outras propriedades no plano de saída para escoamento isentrópico estão relacionadas unicamente com as propriedades de estagnação pelo número de Mach fixo no plano de saída A consideração de escoamento isentrópico para um bocal real nas condições de projeto é razoável Entretanto o modelo de escoamento unidimensional é inadequado para o projeto de bocais relativamente curtos para produzir escoamento supersônico uniforme na saída Veículos de propulsão a jato usam bocais CD para acelerar os gases de exaustão à velocidade máxima possível para produzir empuxo elevado Um bocal de propulsão está sujeito a condições ambientais variáveis durante o voo através da atmosfera de modo que é impossível obter o máximo empuxo teórico em toda a faixa de operação Como somente um número de Mach pode ser obtido para cada razão de área os bocais para túneis de ventos supersônicos são construídos em geral com seções de teste intercambiáveis ou com geometria variável Sem dúvida você notou que nada foi dito sobre a operação de bocais convergentesdivergentes com contrapressão na faixa piii pb piv Para tais casos o escoamento não pode expandir isentropicamente até pb Sob essas condições um choque que pode ser tratado como uma descontinuidade irreversível envolvendo aumento de entropia ocorre em algum lugar dentro do escoamento Após uma discussão sobre choques normais na Seção 133 completaremos a discussão de escoamento em bocais convergentesdivergentes na Seção 134 Bocais operando com piii pb piv são ditos sobreexpandidos pois a pressão em algum ponto no bocal é menor do que a contrapressão Obviamente um bocal sobreexpandido poderia ser modificado para operar em uma nova condição de projeto removendo a parte da seção divergente No Exemplo 134 nós consideramos o escoamento isentrópico em um bocal CD no Exemplo 135 consideramos o escoamento bloqueado em um bocal CD Exemplo 134 ESCOAMENTO ISENTRÓPICO EM UM BOCAL CONVERGENTEDIVERGENTE Ar escoa isentropicamente em um bocal convergentedivergente com área de saída de 0001 m2 O bocal é alimentado a partir de uma grande câmara onde as condições de estagnação são 350 K e 10 MPa abs A pressão de saída é 954 kPa abs e o número de Mach na garganta é 068 As propriedades do fluido e a área na garganta do bocal bem como o número de Mach na saída devem ser determinados Dados Escoamento isentrópico de ar em um bocal CD conforme mostrado T0 350 K p0 10 MPa abs pb 954 kPa abs Mt 068 Ae 0001 m2 Determinar a As propriedades e a área na garganta do bocal b Me Solução A temperatura de estagnação é constante para escoamento isentrópico Logo visto que segue que Além disso como p0 é constante no escoamento isentrópico segue que logo e Da Eq 137d podemos obter o valor de AtA mas nesse ponto A não é conhecido Como Mt 1 o escoamento na saída deve ser subsônico Por conseguinte pe pb As propriedades de estagnação são constantes logo Resolvendo para Me resulta O diagrama Ts para esse escoamento é Uma vez que Ae e Me são conhecidos podemos calcular A Da Eq 137d Então e Este problema ilustra o uso das equações isentrópicas Eqs 137 para escoamento em um bocal CD que não está bloqueado Note que o uso da Eq 137d nos permitiu obter a área da garganta sem precisar primeiro calcular as outras propriedades A planilha Excel para este Exemplo é conveniente para realizar os cálculos usando ou as equações isentrópicas ou as equações básicas Os programas addins Excel para escoamento isentrópico no site da LTC Editora também tornam os cálculos muito mais facilitados Exemplo 135 ESCOAMENTO ISENTRÓPICO EM UM BOCAL CONVERGENTEDIVERGENTE ESCOAMENTO BLOQUEADO O bocal do Exemplo 134 tem uma contrapressão de projeto de 875 kPa abs mas é operado com uma contrapressão de 500 kPa abs Considere que o escoamento dentro do bocal seja isentrópico Determine o número de Mach na saída e a vazão mássica Dados Escoamento de ar através de um bocal CD conforme mostrado T0 350 K p0 10 MPa abs pe projeto 875 kPa abs pb 500 kPa abs Ae 0001 m2 At 48 104 m2 Exemplo 134 Determinar a Me b Solução A contrapressão de operação está abaixo da pressão de projeto Desse modo o bocal está subexpandido e o diagrama Ts e a distribuição de pressão serão conforme mostrado O escoamento dentro do bocal será isentrópico mas a expansão irreversível de pe para pb causará um aumento de entropia pe pe de projeto 875 kPa abs Como as propriedades de estagnação são constantes para escoamento isentrópico o número de Mach de saída pode ser calculado a partir da razão de pressão Assim ou Visto que o escoamento é bloqueado nós podemos usar a Eq 1310b para a vazão mássica com bloqueado em kgs At em m2 p0 em Pa e T0 em K logo Este problema ilustra o uso das equações isentrópicas Eqs 137 para escoamento em um bocal CD que está bloqueado Note que usamos a Eq 1310b na forma de uma equação de engenharia isto é uma equação contendo um coeficiente que tem unidades Embora isso tenha sido útil aqui essas equações são pouco usadas em engenharia porque sua aplicação correta depende do uso dos valores das variáveis de entrada em unidades específicas A planilha Excel para este Exemplo é conveniente para realizar os cálculos usando ou as equações isentrópicas ou as equações básicas Os programas addins Excel para escoamento isentrópico no site da LTC Editora também tornam os cálculos muito mais facilitados Agora completamos nosso estudo de escoamento idealizado unidimensional e isentrópico em canais de área variável Em canais reais teremos atrito e muito provavelmente transferência de calor Necessitamos estudar os efeitos desses fenômenos sobre um escoamento Antes disso na próxima seção estudaremos o efeito dos choques normais e veja na Seção 134 como estes afetam o bocal CD com mais detalhes do que apresentamos nesta seção 133 Choques Normais Mencionamos anteriormente os choques normais na seção precedente no contexto do escoamento através de um bocal Na prática essas descontinuidades irreversíveis podem ocorrer em qualquer campo do escoamento supersônico tanto no escoamento interno quanto no escoamento externo O conhecimento das variações de propriedades através dos choques e do comportamento dos choques é importante para a compreensão do projeto de difusores supersônicos por exemplo para as tomadas de ar de aviões de alto desempenho e de túneis de vento supersônicos Isso posto o propósito desta seção é analisar o processo de choque normal VÍDEO CLÁSSICO Escoamento em Canal de um Fluido Compressível em inglês Antes de aplicar as equações básicas aos choques normais é importante formar um quadro físico claro do choque em si Embora seja fisicamente impossível ter descontinuidades nas propriedades dos fluidos o choque normal é aproximadamente descontínuo A espessura de um choque é cerca de 02 μm ou grosseiramente quatro vezes o caminho livre médio das moléculas de gases 3 Grandes variações na pressão temperatura e em outras propriedades ocorrem através dessa pequena distância As desacelerações locais das partículas do fluido atingem dezenas de milhões de gs Essas considerações justificam tratar o choque normal como uma descontinuidade súbita estamos mais interessados nas mudanças que ocorrem através do choque do que nos detalhes da sua estrutura Considere um pequeno volume de controle envolvendo um choque normal estabelecido em uma passagem de forma arbitrária conforme mostrado na Fig 1319 Como para o escoamento isentrópico com variação de área Seção 132 o nosso ponto de partida na análise do choque normal é o conjunto de equações básicas Eqs 131 descrevendo um movimento unidimensional que pode ser afetado por diversos fenômenos variação de área atrito e transferência de calor Essas equações são Relembremos que a Eq 131a é a equação da continuidade a Eq 131b é uma equação da quantidade de movimento a Eq 131c é uma equação de energia a Eq 131d é a segunda lei da termodinâmica e as Eqs 131e 131f e 131g são relações de propriedades úteis para um gás ideal com calores específicos constantes Fig 139 Volume de controle usado na análise de choque normal Devemos simplificar essas equações para um escoamento através de um choque normal Equações Básicas para um Choque Normal Podemos agora simplificar as Eqs 131 para escoamento de um gás ideal com calores específicos constantes através de um choque normal O aspecto mais importante da simplificação é que a largura do volume de controle é infinitesimal na realidade cerca de 02 μm como já mencionado e daí A1 A2 A a força devido às paredes Rx 0 porque a área da superfície da parede do volume de controle é infinitesimal e a transferência de calor com as paredes δQdm 0 pela mesma razão Desse modo para esse escoamento nossas equações tornamse ou utilizando a Eq 1311a As Eqs 1311 podem ser usadas para analisar escoamento através de um choque normal Por exemplo se conhecermos as condições antes do choque na seção isto é p1 ρ1 T1 s1 h1 e V1 podemos utilizar essas equações para determinar as condições após o choque na seção Temos seis equações não incluindo a restrição da Eq 1311d e seis incógnitas p2 ρ2 T2 s2 h2 e V2 Portanto para condições a montante dadas existe um único estado singular a jusante Na prática esse procedimento é trabalhoso conforme vimos em seções anteriores temos um conjunto de equações algébricas não lineares acopladas para resolver Podemos certamente usar essas equações para analisar choques normais porém é mais útil em geral desenvolver funções para choques normais baseados em M1 o número de Mach a montante Antes disso vamos considerar o conjunto de equações Temos dito repetidamente neste capítulo que variações em um escoamento unidimensional podem ser causadas por variação de área atrito ou transferência de calor Porém na dedução das Eqs 1311 eliminamos todas as três causas Neste caso portanto o que está fazendo o escoamento mudar Talvez não existam variações através de um choque normal Na verdade se examinarmos cada uma dessas equações veremos que cada uma delas é satisfeita tem uma solução possível se todas as propriedades na posição forem iguais às propriedades correspondentes na posição por exemplo p2 p1 T2 T1 exceto para a Eq 1311d que expressa a segunda lei da termodinâmica A natureza está nos dizendo que na ausência de variação de área atrito e transferência de calor as propriedades do escoamento não variarão a não ser de maneira muito abrupta irreversível em que a entropia aumenta De fato todas as propriedades com exceção de T0 variam através do choque Devemos encontrar uma solução que satisfaça todas as Eqs 1311 Incidentalmente como todas as equações exceto a Eq 1311d são satisfeitas por p2 p1 T2 T1 e assim por diante métodos numéricos de procura tais como o Resolvedor do Excel apresentam alguma dificuldade na determinação da solução correta Como estas equações formam um conjunto não linear acoplado é difícil usar as Eqs 1311 para ver exatamente o que acontece através de um choque normal Vamos adiar a prova formal dos resultados que estamos prestes a apresentar até uma subseção subsequente onde remodelamos as equações em termos do número de Mach na entrada Esta remodelagem é bastante matemática de modo que apresentamos os resultados da análise aqui para melhor clareza Acontece que um choque normal pode ocorre apenas quando o escoamento de entrada é supersônico Os escoamentos fluidos geralmente se ajustarão gradualmente às condições a jusante por exemplo um obstáculo no escoamento conforme o campo de pressão redireciona o escoamento por exemplo em torno de um objeto Entretanto se o escoamento está se movendo a uma velocidade tal que o campo de pressão não pode se propagar a montante quando a velocidade do escoamento V é maior do que a velocidade local do som c ou em outras palavras M 1 então o fluido tem que se ajustar violentamente para as condições a jusante O choque que um escoamento supersônico pode encontrar é como uma martelada que cada partícula fluida sofre a pressão aumenta subitamente através do choque como mencionado sobre uma distância 2 µm de modo que no instante em que uma partícula está passando através do choque existe um gradiente negativo de pressão muito grande Este gradiente de pressão causa uma drástica redução na velocidade V e consequentemente um rápido aumento na temperatura T visto que a energia cinética é convertida em energia térmica interna Podemos perguntar o que acontece com a massa específica porque tanto a temperatura quanto a pressão aumentam através do choque levando a variações opostas na massa específica verificase que a massa específica ρ aumenta através do choque Como o choque é adiabático mas altamente irreversível a entropia s aumenta através do choque Finalmente vemos que conforme a velocidade V diminui e a velocidade do som c aumenta porque a temperatura T aumenta através do choque o número de Mach M diminui de fato veremos mais tarde que ele sempre se torna subsônico Estes resultados são mostrados graficamente na Fig 1310 e na forma tabular na Tabela 131 Fig 1310 Desenho esquemático de um processo de choque normal no plano Ts Tabela 131 Resumo das Variações das Propriedades Através de um Choque Normal Propriedade Efeito Obtido a partir Temperatura de estagnação T0 constante Equação de energia Entropia s Segunda lei da termodinâmica Pressão de estagnação p0 Diagrama Ts Temperatura T Diagrama Ts Velocidade V Equação de energia e efeito sobre T Massa específica ρ Equação da continuidade e efeito sobre V Pressão p Equação da quantidade de movimento e efeito sobre V Número de Mach M M Vc e efeitos sobre V e T Interpretação de Fanno e Rayleigh do Choque Normal Um choque normal é um fenômeno no qual as propriedades do fluido sofrem grandes variações sobre uma distância e também tempo muito curtos estamos muito longe das condições de equilíbrio Não é fácil ver o que está acontecendo em tal processo drástico Entretanto podemos ganhar alguma compreensão por meio da consideração de dois processos nos quais as propriedades dos escoamentos estão variando gradualmente durante um processo envolvendo atrito e durante um processo de transferência de calor Consequentemente as Eqs 1311 podem ser compreendidas até certo ponto por meio da consideração das curvas da linha de Fanno atrito e da linha de Rayleigh transferência de calor Você pode desejar adiar a leitura desta subseção até que estas curvas sejam discutidas com muito mais detalhes nas Seções 135 e 136 mas a seguinte discussão descreveas breve e suficientemente essas curvas são mostradas esquematicamente na Fig 1311 Ambas as curvas estão de acordo com as nossas onipresentes Eqs 131 Fig 1311 Interseção da linha de Fanno e da linha de Rayleigh como uma solução das equações de choque normal Em um diagrama Ts a linha de Fanno mostra todos os estados possíveis para um escoamento unidimensional que está sendo variado apenas por atrito não existe variação de área nem transferência de calor A segunda lei da termodinâmica requer que neste caso a entropia deve aumentar de modo que como visto na Fig 1311 se o escoamento começa subsônico o atrito causa aceleração no fluido até que ele se transforma em sônico um escoamento que começa supersônico se desacelera até se tornar sônico Veremos na Seção 135 que a curva é gerada a partir das Eqs 131 Não é intuitivo que o atrito possa acelerar um escoamento mas pode acontecer se a pressão estiver caindo rápido o suficiente Esperaremos até a Seção 135 para discutir o que acontece se o atrito continua após atingirmos as condições sônicas Todos estes escoamentos com atrito devem se mover na direção do aumento de entropia A linha de Rayleigh mostra todos os estados possíveis para um escoamento unidimensional que está sofrendo apenas transferência de calor não existem variações de área ou atrito A adição de calor corresponde a um aumento tanto na entropia quanto na temperatura exceto para uma pequena região próxima de M 1 e ambos os escoamentos supersônico e subsônico se aproximam das condições sônicas um processo de resfriamento leva a reduções na temperatura e na entropia Veremos na Seção 136 que a curva é gerada a partir das Eqs 131 O choque normal é obtido a partir de uma superposição das duas curvas como mostrado Os estados e representam os estados inicial e final de um escoamento que seguindo a linha de Fanno possui apenas atrito presente não existem variações de área ou transferência de calor eles representam também os estados inicial e final de um escoamento que seguindo a curva de Rayleigh possui apenas transferência de calor presente não existem variações de área ou atrito Isso levanta a questão de como podemos ter um escoamento simultaneamente com apenas atrito e apenas transferência de calor A resposta é que podemos matematicamente seguir a linha de Fanno a partir de para embora não possamos fazêlo na realidade Poderíamos realmente ter um escoamento no qual tivéssemos atrito a partir do estado para onde M 1 teríamos que ter atrito negativo lembre que o atrito requer um aumento de entropia Consequentemente a partir do estado mas a partir de M 1 para o estado temos um processo imaginário no qual temos atrito em seguida atrito negativo terminando sem atrito líquido Um processo similar aplica se à linha de Rayleigh Para ir do estado para o estado poderíamos aquecer o escoamento e em seguida resfriá lo sem transferência líquida de calor A conclusão que chegamos é que os estados e representam uma variação em um escoamento para o qual não existe transferência de calor não existe atrito e não existem variações de área além disso a variação é violenta porque o escoamento varia a partir do estado para o estado sem seguir uma curva de processo então a entropia deve aumentar Note que na Fig 1311 são mostradas algumas tendências que mencionamos o escoamento deve ir do supersônico para o subsônico e a entropia e a temperatura devem aumentar através de um choque Funções de Escoamento de Choque Normal para Escoamento Unidimensional de um Gás Ideal Mencionamos que as equações básicas Eqs 1311 podem ser usadas para analisar escoamentos que experimentam um choque normal Como no escoamento isentrópico é frequentemente mais conveniente utilizar as equações baseadas no número de Mach que nesse caso são baseadas no número de Mach inicial M1 Isso envolve três etapas primeiro obtivemos as razões de propriedades por exemplo T2T1 e p2p1 em termos de M2 e M1 Em seguida desenvolvemos uma relação entre M1 e M2 e finalmente usamos essa relação para obter expressões para as razões de propriedades em termos do número de Mach a montante M1 A razão de temperaturas pode ser expressa como Visto que a temperatura de estagnação é constante através do choque temos Uma razão de velocidades pode ser obtida usando ou Uma razão de massas específicas pode ser obtida da equação da continuidade de modo que Finalmente temos a equação de quantidade de movimento Substituindo ρ pRT e colocando as pressões em evidência resulta Como então Finalmente Para achar M2 em função de M1 devemos obter outra expressão para uma das razões de propriedades dadas pelas Eqs 1312 a 1314 Da equação de estado de gás ideal a razão de temperaturas pode ser escrita como Substituindo das Eqs 1313 e 1314 resulta As Eqs 1312 e 1315 são duas equações para T2T1 Podemos combinálas e resolver para M2 em termos de M1 Combinando e cancelando resulta Elevando ao quadrado obtivemos que pode ser resolvida explicitamente para Duas soluções são obtidas e Obviamente a primeira delas é trivial A segunda expressa a dependência singular de M2 em relação a M1 Agora tendo uma relação entre M2 e M1 podemos resolver para as razões de propriedades através de um choque Conhecendo M1 podese obter M2 da Eq 1316b as razões de propriedades podem ser determinadas subsequentemente das Eqs 1312 a 1314 Uma vez que a temperatura de estagnação permanece constante a razão de temperaturas de estagnação através do choque é a unidade A razão de pressões de estagnação é avaliada como Combinando as Eqs 1314 e 1316b obtivemos após considerável algebrismo Usando as Eqs 1316b e 1318 verificamos que a Eq 1317 tornase Após substituição para das Eqs 1316b nas Eqs 1312 e 1313 resumimos o conjunto de equações baseadas no número de Mach numeradas de novo por conveniência para uso com um gás ideal passando através de um choque normal As Eqs 1320 são úteis para analisar o escoamento através de um choque normal Note que todas as variações através de um choque normal dependem apenas de M1 o número de Mach na entrada bem como da propriedade do fluido k a razão dos calores específicos As equações são normalmente preferíveis àquelas equações originais as Eqs 1311 porque fornecem expressões explícitas e não acopladas para variações das propriedades as Eqs 1311 também são ocasionalmente úteis Note que a Eq 1320d requer M1 1 para p2 p1 o que concorda com a nossa discussão anterior A razão p2p1 é conhecida como a intensidade do choque quanto maior for o número de Mach de entrada mais forte mais violento é o choque As Eqs 1320 embora sejam algebricamente bastante complexas fornecem relações explícitas de propriedades em termos do número de Mach na entrada M1 Elas são tão úteis que algumas calculadoras têm algumas delas em suas bibliotecas internas por exemplo as da série HP 48G 1 é uma boa ideia programálas em sua calculadora caso você ainda não as tenha Existem também páginas interativas da Internet que disponibilizam essas equações veja por exemplo 2 e elas são bem fáceis de serem definidas em uma planilha computacional como a do Excel O leitor deve baixar os programas addins do Excel para essas equações no site da LTC Editora com esses programas funções são disponíveis para calcular M2 e a pressão de estagnação temperatura pressão e razões de massa específicavelocidade em função de M1 assim como M2 em função dessas razões O Apêndice E2 lista funções de escoamento para M2 e para as razões de propriedades p02p01 T2T1 p2p1 e ρ2ρ1 V1V2 em função de M1 para escoamento de um gás ideal através de um choque normal Uma tabela de valores bem como um gráfico dessas razões de propriedades é apresentada para o ar k 14 para uma faixa limitada de números de Mach A planilha associada do Excel Relações de Choque Normal pode ser usada para imprimir uma tabela maior para o ar e outros gases ideais Um problema envolvendo um choque normal é resolvido no Exemplo 136 Exemplo 136 CHOQUE NORMAL EM UM DUTO Um choque normal ocorre em um duto O fluido é ar que pode ser considerado um gás ideal As propriedades a montante do choque são T1 5ºC p1 650 kPa abs e V1 668 ms Determine as propriedades a jusante e s2 s1 Esboce o processo em um diagrama Ts Dados Choque normal em um duto conforme mostrado T1 5C p1 650 kPa abs V1 668 ms Determinar a Propriedades na seção b s2 s1 c O diagrama Ts Solução Primeiro calcule as propriedades restantes na seção Para um gás ideal Então A partir das funções de escoamento de choque normal Eqs 1320 para M1 20 M1 M2 T2T1 p2p1 V2V1 200 05774 07209 1687 4500 03750 Destes dados Para um gás ideal A temperatura de estagnação é constante no escoamento adiabático Portanto Usando as razões de propriedades para um choque normal obtivemos Para a variação de entropia Eq 1311g Porém s2 s1 então O diagrama Ts é Este problema ilustra o uso das relações de choque normal Eqs 1320 para analisar escoamento de um gás ideal através de um choque normal A planilha Excel para este Exemplo é conveniente para realizar os cálculos Alternativamente os programas addins do Excel de relações de choques normais disponíveis no site da LTC Editora são úteis para esses cálculos 134 Escoamento Supersônico em Canais com Choque O escoamento ser supersônico é uma condição necessária para que o choque normal ocorra A possibilidade de ocorrência de um choque normal deve ser considerada em qualquer escoamento supersônico Algumas vezes um choque deve acontecer para atender uma condição de pressão a jusante convém determinar se um choque ocorrerá e qual a sua localização quando ele ocorrer Na Seção 133 mostramos que a pressão de estagnação diminui notavelmente através de um choque quanto mais intenso for o choque maior será o decréscimo na pressão de estagnação É necessário controlar a posição do choque para obter desempenho aceitável de um difusor supersônico ou de um túnel de vento supersônico Nesta seção o escoamento isentrópico em um bocal convergentedivergente Seção 132 é estendido para incluir choques Tópicos adicionais no site da LTC Editora incluem operação de difusores e túneis de vento supersônicos escoamentos com atrito e escoamentos com adição de calor Escoamento em um Bocal ConvergenteDivergente Tendo em vista que os choques normais já foram considerados podemos agora completar nossa discussão iniciada na Seção 132 sobre escoamento em um bocal convergentedivergente operando com contrapressões variáveis A distribuição de pressão através do bocal para diferentes contrapressões é mostrada na Fig 1312 Quatro regimes de escoamento são possíveis No Regime I o escoamento é totalmente subsônico A vazão mássica aumenta com o decréscimo da contrapressão Na condição iii que forma a linha divisória entre os Regimes I e II o escoamento na garganta é sônico Mt 1 À medida que a contrapressão é reduzida abaixo da condição iii um choque normal aparece a jusante da garganta conforme mostrado pela condição υi Há um aumento de pressão através do choque Como o escoamento é subsônico M 1 atrás do choque ocorre uma desaceleração acompanhada de um aumento de pressão através do canal divergente À medida que a contrapressão é reduzida ainda mais o choque movese para jusante até aparecer no plano de saída condição υii No Regime II assim como no Regime I o escoamento de saída é subsônico e por conseguinte pe pb Como as propriedades do escoamento na garganta são constantes para todas as condições no Regime II a vazão mássica no Regime II não varia com a contrapressão No Regime III conforme exemplificado pela condição υ iii a contrapressão é mais alta do que a pressão de saída mas não o suficiente para sustentar um choque normal no plano de saída O escoamento ajustase para a contrapressão através de uma série de choques de compressão oblíquos fora do bocal esses choques oblíquos não podem ser tratados pela teoria unidimensional Conforme previamente assinalado na Seção 132 a condição iυ representa a condição de projeto No Regime IV o escoamento ajustase para a contrapressão mais baixa através de uma série de ondas de expansão oblíquas fora do bocal essas ondas de expansão oblíquas não podem ser tratadas pela teoria unidimensional O diagrama Ts para escoamento em bocal convergentedivergente com um choque normal é mostrado na Fig 1313 o estado está localizado imediatamente a montante do choque e o estado imediatamente a jusante O aumento de entropia através do choque move o escoamento subsônico a jusante para uma nova linha isentrópica A temperatura crítica é constante de modo que é menor que Como ρ pRT a massa específica crítica a jusante também é reduzida Para transportar a mesma vazão em massa o escoamento a jusante deve ter uma área crítica maior Da continuidade e da equação de estado a razão de área crítica é o inverso da razão de pressão crítica isto é através de um choque pA constante Fig 1312 Distribuições de pressão para escoamento em um bocal convergentedivergente para diferentes contrapressões Se o número de Mach ou posição do choque normal no bocal for conhecido a pressão no plano de saída pode ser calculada diretamente Na situação mais realista a pressão no plano de saída é especificada e a posição e intensidade do choque são desconhecidas O escoamento subsônico a jusante deve deixar o bocal na contrapressão de modo que pb pe Logo Como o escoamento é isentrópico do estado após o choque ao plano da saída e Assim da Eq 1321 podemos escrever Rearranjando Na Eq 1322 o lado esquerdo possui quantidades conhecidas e o lado direito é uma função somente do número de Mach na saída Me A razão de pressão é obtida a partir da relação de pressão de estagnação Eq 1221a a razão de área é obtida da relação de área isentrópica Eq 137d A determinação de Me a partir da Eq 1343 normalmente requer iteração O problema 13103 utiliza o método Resolvedor do Excel para realizar a iteração Conhecido Me a magnitude e o local do choque normal podem ser determinados rearranjando a Eq 1343 lembrando que Na Eq 1344 o lado direito é conhecido a primeira razão de área é dada e a segunda é uma função de Me apenas e o lado esquerdo é uma função somente do número de Mach antes do choque M1 Eq 1341b Então M1 pode ser determinado A área na qual esse choque ocorre pode portanto ser determinada a partir da relação de área isentrópica Eq 137d com A At para escoamento isentrópico entre a garganta e o estado Fig 1313 Diagrama esquemático Ts para escoamento em um bocal convergentedivergente com um choque normal Difusor Supersônico no site da LTC Editora Operação de Túnel de Vento Supersônico no site da LTC Editora Escoamento Supersônico com Atrito em um Canal de Área Constante no site da LTC Editora Escoamento Supersônico com Adição de Calor em um Canal de Área Constante no site da LTC Editora 135 Escoamento em um Duto de Área Constante com Atrito Escoamentos de gases em dutos de área constante são comumente encontrados em diversas aplicações da engenharia Nesta seção consideraremos escoamentos nos quais o atrito de parede é responsável por mudanças nas propriedades dos fluidos Como no escoamento isentrópico com variação de área Seção 132 e o choque normal Seção 133 o nosso ponto de partida na análise de escoamentos com atrito é o conjunto de equações básicas Eqs 131 descrevendo um movimento unidimensional que é afetado por vários fenômenos variação de área atrito transferência de calor e choques normais Essas equações são A Eq 131a é a equação da continuidade a Eq 131b é a equação da quantidade de movimento a Eq 131c é uma equação de energia a Eq 131d é a equação da segunda lei da termodinâmica e as Eqs 131e 131f e 131g são relações de propriedades úteis para um gás ideal com calores específicos constantes Devemos simplificar estas equações para um escoamento em um duto de área constante com atrito Inicialmente devemos pensar sobre o que acontece ao calor gerado pelo atrito Existem dois casos óbvios que podemos considerar no primeiro consideramos que o escoamento é adiabático de modo que o calor gerado permanece no fluido como uma energia interna adicional no segundo consideramos que o escoamento é isotérmico de modo que o fluido rejeita ou recebe calor quando necessário Enquanto alguns escoamentos podem nem ser adiabáticos e nem isotérmicos muitos escoamentos reais o são O escoamento em um duto relativamente curto será aproximadamente adiabático o escoamento em um duto muito longo por exemplo uma tubulação de gás natural não isolada termicamente será aproximadamente isotérmico a tubulação estará à temperatura ambiente Vamos considerar primeiro o escoamento adiabático Equações Básicas para o Escoamento Adiabático As Eqs 131 podem ser simplificadas para um escoamento adiabático com atrito e em um duto de área constante para um gás ideal com calores específicos constantes conforme mostrado na Fig 1318 Temos então A1 A2 A Além disso quando não existe transferência de calor e δQdm 0 Finalmente a força Rx é decorrente agora somente do atrito nenhuma componente x da força superficial é causada pela pressão sobre os lados paralelos do canal Assim para esse escoamento nossas equações tornamse As Eqs 1324 podem ser usadas para analisar escoamento adiabático com atrito em um canal de área constante Por exemplo se nós conhecermos as condições na seção isto é p1 ρ1 T1 s1 h1 e V1 podemos utilizar estas equações para encontrar as condições em uma nova seção após o fluido ter experimentado uma força total de atrito Rx É o efeito do atrito que causa a variação das propriedades do fluido ao longo do duto Para uma força de atrito conhecida nós temos seis equações não incluindo a restrição da Eq 1324d e seis incógnitas p2 ρ2 T2 s2 h2 e V2 Na prática esse procedimento é trabalhoso como para o escoamento isentrópico temos um conjunto de equações algébricas não lineares acopladas para resolver e eventualmente desenvolveremos aproximações alternativas Por hora vejamos o que as Eqs 1324 indicarão acontecer ao escoamento Escoamento Adiabático a Linha de Fanno Se tentássemos os cálculos descritos anteriormente conforme o escoamento avança no duto isto é para valores crescentes de Rx desenvolveríamos uma relação entre T e s como aquela mostrada qualitativamente na Fig 1319 para duas possibilidades um escoamento que era inicialmente subsônico iniciando em algum ponto e um escoamento que era inicialmente supersônico iniciando em algum ponto O lugar geométrico de todos os possíveis estados a jusante no escoamento é referido como a linha de Fanno Cálculos detalhados mostram algumas características interessantes do escoamento de linha de Fanno No ponto de máxima entropia o número de Mach é a unidade No ramo superior da curva o número de Mach é sempre menor que a unidade e ele cresce monotonamente conforme prosseguimos para a direita ao longo da curva Em todo ponto sobre a porção abaixo da curva o número de Mach é maior que a unidade o número de Mach decresce monotonicamente conforme prosseguimos para a direita ao longo da curva Fig 1318 Volume de controle usado na análise integral de escoamento adiabático com atrito Fig 1319 Diagrama esquemático Ts para escoamento adiabático com atrito linha de Fanno em um duto de área constante Fig 1320 Diagrama esquemático de escoamento de linha de Fanno no plano Ts mostrando a redução na pressão de estagnação isentrópica local causada pelo atrito Para qualquer estado inicial sobre a linha de Fanno cada ponto sobre a linha representa um estado matematicamente possível a jusante no escoamento Na Fig 1319 generalizamos as curvas repetidamente resolvendo as Eqs 1324 através do aumento dos valores da força de atrito Rx a força de atrito total aumenta à medida que progredimos no duto porque incluímos mais e mais superfície Note as setas na Fig 1319 indicando que como requerido pela Eq 1324d a entropia deve aumentar para esse escoamento De fato é a presença do atrito uma irreversibilidade em um escoamento adiabático que faz com que a entropia aumente Referindo novamente à Fig 1319 vemos que para um escoamento inicialmente subsônico estado o efeito do atrito é aumentar o número de Mach no sentido da unidade Para um escoamento inicialmente supersônico estado o efeito de atrito é decrescer o número de Mach em direção à unidade No desenvolvimento da forma simplificada da primeira lei para o escoamento de linha de Fanno Eq 1324c verificamos que a entalpia de estagnação permanece constante Consequentemente quando o fluido é um gás ideal com calores específicos constantes a temperatura de estagnação também deve permanecer constante O que acontece com a pressão de estagnação O atrito causa a diminuição da pressão de estagnação isentrópica local para todos os escoamentos de linha de Fanno conforme mostrado na Fig 1320 Como a entropia deve aumentar no sentido do escoamento o processo de escoamento deve prosseguir para a direita sobre o diagrama Ts Na Fig 1320 um trajeto do estado para o estado é mostrado sobre a porção subsônica da curva As pressões locais de estagnação isentrópica correspondentes e mostram claramente que Um resultado idêntico é obtido para o processo de ramo supersônico da curva do estado para o estado Novamente Portanto p0 decresce para qualquer escoamento de linha de Fanno Os efeitos do atrito sobre as propriedades do escoamento para escoamento de linha Fanno são resumidos na Tabela 132 Na dedução do efeito do atrito sobre as propriedades do escoamento para escoamento de linha de Fanno usamos a forma da linha de Fanno sobre o diagrama Ts e as equações básicas de governo Eqs 1324 Você deve se guiar pela lógica indicada na coluna à direita na tabela Note que o efeito do atrito é o de acelerar um escoamento subsônico Isso parece um quebracabeças real uma violação da segunda lei de Newton até percebermos que a pressão está caindo muito rapidamente de modo que o gradiente de pressão mais do que cancela o arrasto devido ao atrito Podemos ainda notar que a massa específica está decrescendo nesse escoamento principalmente por causa da queda de pressão de modo que pela continuidade a velocidade deve estar aumentando Todas as propriedades afetam simultaneamente umas às outras conforme expresso no conjunto de equações acopladas Eqs 1324 de modo que não é possível concluir que a variação em uma propriedade qualquer seja responsável sozinha por variações em qualquer uma das outras Note o paralelo entre os choques normais Tabela 131 e o escoamento supersônico com atrito Tabela 132 Ambos representam processos irreversíveis no escoamento supersônico e todas as propriedades variam na mesma direção Tabela 132 Resumo dos Efeitos de Atrito sobre Propriedades em Escoamento de Linha de Fanno Propriedade Supersônico M 1 Supersônico M 1 Obtido a partir de Temperatura de estagnação T0 constante T0 constante Equação de energia Entropia s s Equação T ds Pressão de estagnação p0 p0 T0 constante s Temperatura T T Forma da linha de Fanno Velocidade V V Equação de energia e tendência de T Número de Mach M M Tendências de V e T e definição de M Massa específica ρ ρ Equação da continuidade e efeito sobre V Pressão p p Equação de estado e efeitos sobre ρ e T Verificamos que a entropia deve aumentar no sentido do escoamento é o efeito do atrito que causa a variação nas propriedades do escoamento ao longo da curva da linha da Fanno Observando a Fig 1320 notamos que existe um ponto máximo de entropia correspondente a M 1 para cada linha de Fanno O ponto de entropia máxima é atingido aumentando a quantidade de atrito por meio do aumento no comprimento do duto o suficiente para produzir um número de Mach igual à unidade escoamento bloqueado na saída Se insistirmos em adicionar comprimento ao duto além do comprimento crítico para o qual o escoamento é bloqueado uma das duas coisas acontece se o escoamento de entrada é subsônico o comprimento adicional força a condição sônica a mover para baixo para a nova saída e a vazão no duto e o número de Mach em cada local decresce se o escoamento de entrada é supersônico o comprimento adicional causa o aparecimento de um choque normal em algum local no duto e o choque movese mais para montante à medida que mais duto é adicionado para maiores detalhes veja a Seção 134 Para calcular o comprimento crítico do duto devemos analisar o escoamento detalhadamente levando em consideração o atrito Esta análise requer que comecemos com um volume de controle diferencial desenvolvamos expressões em função do número de Mach e integremos ao longo do duto até a seção onde M 1 Essa é a nossa próxima tarefa que envolverá um pouco de manipulação algébrica de modo que primeiramente vamos demonstrar o uso de algumas das Eqs 1324 no Exemplo 137 Exemplo 137 ESCOAMENTO ADIABÁTICO COM ATRITO EM UM DUTO DE ÁREA CONSTANTE Escoamento de ar é induzido por uma bomba de vácuo para dentro de um tubo de 716 mm de diâmetro termicamente isolado O ar é extraído de um ambiente em que p0 101 kPa abs e T0 23ºC através de um bocal convergente de contorno suave Na seção onde o bocal se une ao tubo de área constante a pressão estática é 985 kPa abs Na seção localizada a alguma distância a jusante no tubo de área constante a temperatura do ar é 14ºC Determine a vazão mássica a pressão de estagnação isentrópica local na seção e a força de atrito sobre a parede do duto entre as seções e Dados Escoamento de ar em um duto termicamente isolado Determinar a b A pressão de estagnação na seção c A força sobre a parede do duto Solução A vazão mássica pode ser obtida das propriedades na seção Para escoamento isentrópico através de um bocal convergente as propriedades de estagnação isentrópica local permanecem constantes Assim e Para um gás ideal A área A1 é Da continuidade O escoamento é adiabático logo T0 é constante e Então Resolvendo para M2 obtivemos Da continuidade Eq 1324a ρ1V1 ρ2V2 de modo que e A pressão de estagnação isentrópica local é A força de atrito pode ser obtida usando a equação da quantidade de movimento Eq 1324b que aplicamos ao volume de controle mostrado acima exceto que Rx da Fig 1318 foi substituído por Ff porque sabemos que a força de atrito Ff sobre o fluido age no sentido negativo de x ou Esta é a força exercida sobre o volume de controle pela parede do duto A força do fluido sobre o duto é Este problema ilustra o uso das equações básicas Eqs 1324 para escoamento em um duto com atrito A planilha Excel para este Exemplo é conveniente para realizar os cálculos Funções de Escoamento de Linha de Fanno para o Escoamento Unidimensional de um Gás Ideal A variável independente primária no escoamento de linha de Fanno é a força de atrito Ff O conhecimento da força de atrito total entre dois pontos quaisquer em um escoamento de linha de Fanno nos permite prever as condições a jusante a partir de condições conhecidas a montante A força de atrito total é a integral da tensão de cisalhamento de parede sobre a área da superfície do duto Como a tensão de cisalhamento na parede varia ao longo do duto devemos desenvolver uma equação diferencial e em seguida integrála para determinar as variações de propriedades Para estabelecer a equação diferencial usamos o volume de controle diferencial mostrado na Fig 1321 Fig 1321 Volume de controle diferencial usado na análise de escoamento de linha de Fanno parede sobre a área da superfície do duto Como a tensão de cisalhamento na parede varia ao longo do duto devemos desenvolver uma equação diferencial e em seguida integrála para determinar as variações de propriedades Para estabelecer a equação diferencial usamos o volume de controle diferencial mostrado na Fig 1321 Comparando a Fig 1321 com a Fig 1319 verificamos que as equações básicas Eqs 1324 podem ser utilizadas para o escoamento com atrito no interior de um duto se substituirmos T1 p1 ρ1 V1 por T p ρ V e T2 p2 ρ2 V2 por T dT p dp ρ dρ V dV e também Rx por dFf A equação da continuidade Eq 1324a tornase assim ρV ρV ρdV dρV dρdV que se reduz a alguns produtos de diferenciais são desprezíveis A equação da quantidade de movimento Eq 1324b tornase que se reduz a após aplicar a equação da continuidade A primeira lei da termodinâmica Eq 1324c tornase que se reduz a visto que os produtos de diferenciais podem ser desprezados As Eqs 1325 são equações diferenciais que podemos integrar para desenvolver relações úteis mas antes disso precisamos relacionar a força de atrito Ff com outras propriedades do escoamento Primeiro notamos que em que P é o perímetro molhado do tubo Para obter uma expressão para τw em termos das variáveis do escoamento em cada seção transversal consideramos que as variações nas variáveis do escoamento na direção x são graduais e utilizamos as correlações desenvolvidas no Capítulo 8 para escoamento incompressível e completamente desenvolvido em um duto Para escoamento incompressível a tensão local de cisalhamento de parede pode ser escrita em termos das propriedades do escoamento e do fator de atrito Das Eqs 816 832 e 834 obtivemos para um escoamento incompressível em que f é o fator de atrito para escoamento no interior de tubo dado pela Eq 836 para escoamento laminar e pela Eq 837 para escoamento turbulento e traçado na Fig 813 Consideramos que essa correlação de dados experimentais aplicase também ao escoamento compressível Esta hipótese quando verificada contra dados experimentais mostra uma concordância surpreendentemente boa para escoamentos subsônicos os dados para escoamentos supersônicos são esparsos Dutos com formatos diferentes do circular podem ser incluídos em nossa análise introduzindo o diâmetro hidráulico Lembrese de que o fator 4 foi incluído na Eq 850 para que Dh se reduza ao diâmetro D para tubos circulares Combinando as Eqs 850 1326 e 1327 obtivemos ou Substituindo esse resultado na equação da quantidade de movimento Eq 1325b obtivemos ou após dividir por p Notando que pρ RT c2k e VdV dV22 obtivemos e finalmente Para relacionar M com x devemos eliminar dpp e dV2V2 da Eq 1329 Da definição do número de Mach M Vc segue que V2 M2c2 M2kRT e após diferenciar esta equação e dividir pela equação original Da equação da continuidade Eq 1325a dρρ dVV de modo que Da equação de estado para um gás ideal p ρRT Combinando essas três equações obtivemos Substituindo as Eqs 1330 na Eq 1329 resulta Esta equação pode ser simplificada para Obtivemos êxito em reduzir consideravelmente o número de variáveis Contudo para relacionar M e x devemos obter uma expressão para dTT em termos de M Tal expressão pode ser obtida mais prontamente da equação para a temperatura de estagnação Uma vez que a temperatura de estagnação é constante para escoamento de linha de Fanno e após diferenciar esta equação e dividir pela equação original Substituindo dTT na Eq 1331 resulta Combinando termos obtivemos Obtivemos finalmente uma equação diferencial que relaciona variações em M com x Devemos agora integrar essa equação para determinar M em função de x Fig 1322 Coordenadas e notação usadas na análise de escoamento de linha de Fanno A integração da Eq 1332 entre os estados e produziria uma função complicada tanto de M1 quanto de M2 A função teria que ser avaliada numericamente para cada nova combinação de M1 e M2 encontrada em um problema Os cálculos podem ser consideravelmente simplificados usando as condições críticas em que por definição M 1 Todos os escoamentos de linha de Fanno tendem para M 1 e desse modo a integração cai entre uma seção onde o número de Mach é M e a seção onde as condições sônicas ocorrem condições críticas O número de Mach atingirá a unidade quando o comprimento máximo possível de duto for utilizado conforme mostrado esquematicamente na Fig 1322 A tarefa é realizar a integração O lado esquerdo pode ser integrado por partes No lado direito o fator de atrito f pode variar com x pois o número de Reynolds variará ao longo do duto Note entretanto que como ρV é constante ao longo do duto da continuidade a variação no número de Reynolds é causada unicamente por variações na viscosidade absoluta do fluido Para um fator de atrito médio definido sobre o comprimento do duto por a integração da Eq 1333 conduz a A Eq 1334a dá o máximo LDh correspondente a qualquer número de Mach inicial Como é uma função de M o comprimento do duto L necessário para que o número de Mach mude de M1 para M2 conforme ilustrado na Fig 1322 pode ser obtido a partir de As condições críticas são condições de referência apropriadas para se usar no desenvolvimento de funções de escoamento de razões de propriedades em termos do número de Mach local Assim por exemplo posto que T0 é constante podemos escrever De modo análogo Da continuidade VV ρρ então Da equação de estado de gás ideal A razão entre a pressão de estagnação local e a pressão de estagnação de referência é dada por ou As Eqs 1334 formam um conjunto completo para análise do escoamento de um gás ideal em um duto com atrito que utilizamos usualmente em lugar das ou em adição às equações básicas Eqs 1324 Por conveniência listamos essas equações juntas As Eqs 1334 as relações de linha de Fanno fornecem relações de propriedades em termos do número de Mach local e das condições críticas Elas são obviamente bastante complicadas algebricamente mas diferentemente das Eqs 1324 não são acopladas É uma boa ideia programar essas equações em sua calculadora Elas são também muito fáceis de definir em planilhas de cálculo computacional como as do Excel O leitor deve baixar os programas addins do Excel para essas equações no site da LTC Editora com esses programas funções são disponíveis para calcular o fator de atrito temperatura velocidade pressão e razão de pressão em função de M assim como M em função dessas razões É importante lembrar que conforme demonstrado na Fig 124 as propriedades em um estado em qualquer processo de escoamento podem ser relacionadas com as propriedades do estado de estagnação isentrópica por meio da utilização das Eqs 1221 O Apêndice E3 lista funções de escoamento de linha de Fanno em termos de M para um gás ideal para as razões de propriedades e para Uma tabela de valores bem como um gráfico destas razões de propriedades é apresentada para o ar k 14 para uma faixa limitada de números de Mach A planilha Excel associada Relações de Linha de Fanno pode ser usada para gerar uma tabela maior de valores para o ar e para outros gases ideais Exemplo 138 ESCOAMENTO ADIABÁTICO COM ATRITO EM UM DUTO DE ÁREA CONSTANTE SOLUÇÃO USANDO AS FUNÇÕES DE ESCOAMENTO DE LINHA DE FANNO Escoamento de ar é induzido por meio de uma bomba de vácuo para dentro de um tubo liso com 716 mm de diâmetro interno termicamente isolado O ar é extraído de uma ambiente onde p0 760 mmHg abs e T0 23ºC através de um bocal convergente de contorno suave e liso Na seção onde o bocal se une ao tubo de área constante a pressão estática é 189 mmHg manométrica Na seção localizada a certa distância a jusante no tubo de seção transversal constante a pressão estática é 412 mmHg manométrica As paredes do duto são lisas considere que o valor do fator de atrito médio f é aquele da seção Determine o comprimento de duto a partir da seção requerido para causar o bloqueio o número de Mach na seção e o comprimento do duto L12 entre as seções e Esboce o processo em um diagrama Ts Dados Escoamento de ar com atrito em um duto circular de área constante termicamente isolado Pressões manométricas p1 189 mmHg e p2 412 mmHg M3 10 Determinar a L13 b M2 c L12 d Esboce o diagrama Ts Solução O escoamento no tubo de área constante é adiabático e com atrito um escoamento de linha de Fanno Para determinar o fator de atrito precisamos conhecer as condições do escoamento na seção Se considerarmos que o escoamento no bocal é isentrópico as propriedades locais na saída do bocal podem ser calculadas usando as relações isentrópicas Desse modo Resolvendo para M1 obtivemos Usando a massa específica do mercúrio à temperatura da sala 23oC Para T 294 K 21ºC μ 182 105 kgms da Tabela A10 Apêndice A Logo Da Fig 837 escoamento turbulento para tubo liso f 00235 Do Apêndice E3 para M1 0190 pp 5745 Eq 1334d e Eq 1334a Assim considerando Uma vez que p é constante para todos os estados sobre uma mesma linha de Fanno as condições na seção podem ser determinadas a partir da razão de pressões pp2 Assim em que a Eq 1334d foi usada para obter o valor de ppna seção Para pp 2698 na seção a Eq 1334d resulta em M2 0400 após obter um valor inicial aproximado no gráfico do Apêndice E3 e iterar O diagrama Ts para esse escoamento é Para M2 0400 Eq 1334a Apêndice E3 Logo Finalmente Este problema ilustra o uso das equações de linha de Fanno Eqs 1334 Essas equações dão o mesmo resultado que as equações básicas Eqs 1324 como pode ser visto comparando por exemplo o valor de M2 obtido neste Exemplo e no Exemplo 137 Os cálculos podem ser muito trabalhosos sem o uso de relações de linha de Fanno préprogramadas disponíveis por exemplo nos programas addins do Excel no site da LTC Editora A planilha Excel para este Exemplo é conveniente para realizar os cálculos usando ou as relações de linha de Fanno ou as equações básicas Escoamento Isotérmico no site da LTC Editora 136 Escoamento sem Atrito em um Duto de Área Constante com Transferência de Calor Para explorar os efeitos da troca de calor em um escoamento compressível aplicamos as equações básicas ao escoamento unidimensional permanente sem atrito de um gás ideal com calores específicos constantes através do volume de controle finito mostrado na Fig 1323 Como na Seção 132 somente efeitos de variação de área na Seção 133 o choque normal e na Seção 135 apenas efeitos de variação de área o nosso ponto de partida na análise de escoamentos sem atrito com transferência de calor é o conjunto de equações básicas Eqs 131 descrevendo um movimento unidimensional que é afetado por diversos fenômenos variação de área atrito transferência de calor e choques normais Essas equações são Relembramos que a Eq 131a é a equação da continuidade a Eq 131b é uma equação da quantidade de movimento a Eq 131c é uma equação de energia a Eq 131d é a segunda lei da termodinâmica e as Eqs 131e 131f 131g são relações de propriedades úteis para um gás ideal com calores específicos constantes Equações Básicas para Escoamento com Transferência de Calor Simplificamos as Eqs 131 utilizando os fatos de que A1 A2 A e que Rx 0 Em adição temos a relação h0 h V22 As Eqs 131 para esse escoamento tornamse Note que a Eq 1343c indica que a transferência de calor muda a energia total cinética mais interna do escoamento A Eq 1343d não é muito útil aqui A desigualdade ou a igualdade aplicase de acordo com a natureza da troca de calor porém não podemos concluir que em qualquer evento a entropia necessariamente aumenta nesse escoamento Por exemplo para um resfriamento gradual ela diminuirá As Eqs 1343 podem ser usadas para analisar um escoamento sem atrito em um canal de área constante com transferência de calor Por exemplo se conhecermos as condições na seção isto é p1 ρ1 s1 h1 e V1 podemos usar essas equações para encontrar as condições em uma nova seção após o fluido ter experimentado a transferência de calor total δQdm Para uma dada transferência de calor temos seis equações não incluindo a restrição da Eq 1343d e seis incógnitas p2 ρ2 T2 s2 h2 e V2 É o efeito da transferência de calor que causa variação nas propriedades do fluido ao longo do tubo Na prática conforme vimos para outros escoamentos esse procedimento é inviável temos novamente um conjunto de equações algébricas acopladas não lineares para resolver Usaremos as Eqs 1343 no Exemplo 139 Nós também vamos desenvolver algumas relações baseadas no número de Mach para suplementar ou substituir as equações básicas e mostraremos como usálas no Exemplo 1310 Fig 1323 Volume de controle usado na análise integral de escoamento sem atrito com troca de calor A Linha de Rayleigh Se utilizarmos as Eqs 1343 para calcular os valores das propriedades para um dado processo de escoamento com uma taxa de transferência de calor prescrita obteremos uma curva como aquela mostrada qualitativamente no plano Ts na Fig 1324 O lugar geométrico de todos os estados possíveis a jusante no escoamento é chamado de linha de Rayleigh Os cálculos mostram algumas características interessantes do escoamento de linha de Rayleigh No ponto de temperatura máxima ponto a na Fig 1324 o número de Mach para um gás ideal é No ponto de entropia máxima ponto b na Fig 1324 M 1 No ramo superior da curva o número de Mach é sempre menor que a unidade e ele aumenta monotonicamente à medida que prosseguimos para a direita ao longo da curva Em cada ponto sobre a porção inferior da curva o número de Mach é maior do que a unidade e ele decresce monotonamente à medida que prosseguimos para a direita ao longo da curva A despeito do número de Mach inicial com adição de calor o estado do escoamento prossegue para a direita e com rejeição de calor o estado do escoamento prossegue para a esquerda ao longo da linha de Rayleigh Para qualquer estado inicial em um escoamento de linha de Rayleigh qualquer ponto sobre a linha de Rayleigh representa um estado a jusante matematicamente possível Embora a linha de Rayleigh represente todos os estados a jusante matematicamente possíveis eles serão fisicamente alcançáveis Um momento de reflexão e concluímos que sim Visto que estamos considerando um escoamento com troca de calor a segunda lei Eq 1343d não impõe qualquer restrição quanto ao sinal da variação de entropia Os efeitos da troca de calor sobre as propriedades em um escoamento compressível permanente sem atrito de um gás ideal estão resumidos na Tabela 133 a base de cada tendência indicada é discutida nos próximos parágrafos O sentido de variação da entropia é sempre determinado pela troca de calor a entropia aumenta com o aquecimento e diminui com o resfriamento Similarmente a primeira lei Eq 1343c mostra que o aquecimento aumenta a entalpia de estagnação e o resfriamento a diminui como Δh0 cpΔT0 o efeito sobre a temperatura de estagnação é o mesmo Fig 1324 Diagrama esquemático Ts para escoamento sem atrito em um duto de área constante com troca de calor escoamento de linha de Rayleigh Tabela 133 Resumo dos Efeitos de Troca de Calor sobre Propriedades do Fluido O efeito do aquecimento e do resfriamento sobre a temperatura pode ser deduzido a partir da forma da linha de Rayleigh na Fig 1324 Vemos que exceto para a região em que para o ar o aquecimento causa um aumento em T e o resfriamento causa uma diminuição em T Contudo verificamos também o resultado inesperado que para a adição de calor causa um decréscimo na temperatura da corrente e a rejeição de calor causa um aumento na temperatura da corrente Para escoamento subsônico o número de Mach aumenta monotonicamente com o aquecimento até que M 1 seja atingido Para condições de entrada dadas todos os estados possíveis a jusante situamse em uma única linha de Rayleigh Por conseguinte o ponto M l determina a máxima adição de calor possível sem bloqueio Se o escoamento for inicialmente supersônico o aquecimento reduzirá o número de Mach Novamente a máxima adição de calor possível sem bloqueio é aquela que reduz o número de Mach para M 10 O efeito da troca de calor sobre a pressão estática é obtido a partir das formas da linha de Rayleigh e das linhas de pressão constante sobre o plano Ts veja a Fig 1325 Para M 1 a pressão cai com o aquecimento e para M 1 a pressão aumenta conforme mostrado pelas formas das linhas de pressão constante Uma vez determinada a variação de pressão o efeito sobre a velocidade pode ser encontrado a partir da equação da quantidade de movimento ou Assim posto que é uma constante positiva as tendências de p e de V devem ser opostas Da equação da continuidade Eq 1343a a tendência de ρ é oposta àquela de V A pressão de estagnação isentrópica local sempre diminui com o aquecimento Isto é ilustrado esquematicamente na Fig 1325 Uma redução na pressão de estagnação tem implicações práticas óbvias para processos de aquecimento tais como câmaras de combustão A adição de uma mesma quantidade de energia por unidade de massa mesma variação em T0 causa uma variação maior em p0 para o escoamento supersônico como o aquecimento ocorre a uma temperatura mais baixa no escoamento supersônico o aumento de entropia é maior Fig 1325 Redução na pressão de estagnação devido à adição de calor para dois casos de escoamento Exemplo 139 ESCOAMENTO SEM ATRITO EM UM DUTO DE ÁREA CONSTANTE COM ADIÇÃO DE CALOR Ar escoa com atrito desprezível através de um duto de área A 0023 m2 Na seção as propriedades do escoamento são T1 330K p1 138 kPa abs e V1 110 ms Na seção p2 69 kPa abs O escoamento é aquecido entre as seções e Determine as propriedades na seção a energia adicionada e a variação de entropia Finalmente trace o processo em um diagrama Ts Dados Escoamento sem atrito de ar no duto mostrado T1 330 K P1 338 K kPa abs p2 69 kPa abs V1 110 ms A1 A2 A 0023 m2 Determinar a Propriedades na seção b δQdm c s2 s1 d O diagrama Ts Solução A equação da quantidade de movimento Eq 1343b é ou Resolvendo para V2 vem Para um gás ideal Eq 1343e Da continuidade Eq 1343a G ρ1V1 ρ2V2 de modo que Resolvendo para T2 obtivemos A temperatura de estagnação isentrópica local é dada pela Eq 1221b e A adição de calor é obtida a partir da equação da energia Eq 1343c ou Já obtivemos Para temos então Para a variação de entropia Eq 1343g Então O processo segue uma linha de Rayleigh Para completar nossa análise examinemos a variação em p0 comparando com Comparando vemos que é menor que Este problema ilustra o uso das equações básicas Eqs 1343 para analisar escoamento sem atrito de um gás ideal em um duto sem transferência de calor A planilha Excel para este Exemplo é conveniente para realizar os cálculos Funções de Escoamento de Linha de Rayleigh para Escoamento Unidimensional de um Gás Ideal As Eqs 1343 são as equações básicas para escoamento de linha de Rayleigh entre dois estados arbitrários e no escoamento Para reduzir o trabalho na resolução de problemas é conveniente deduzir funções de escoamento para razões de propriedades em termos do número de Mach local assim como fizemos para o escoamento de linha de Fanno O estado de referência é tomado novamente como a condição crítica em que M 1 as propriedades na condição crítica são denotadas por As propriedades adimensionais tais como pp e TT podem ser obtidas escrevendo as equações básicas entre um ponto no escoamento no qual as propriedades são M T p etc e o estado crítico M l com propriedades denotadas como T p etc A razão entre pressões pp pode ser obtida da equação de quantidade de movimento Eq 1343b ou Substituindo ρ pRT e colocando em evidência as pressões resulta Notando que V2RT kV2kRT kM2 encontramos e finalmente Da equação de estado de gás ideal Da equação da continuidade Eq 1343a Em seguida substituindo ρρ e obtivemos Elevando ao quadrado e substituindo da Eq 1344a vem Da continuidade usando a Eq 1344b A temperatura de estagnação adimensional pode ser determinada de De modo similar Por conveniência apresentamos as equações em conjunto As Eqs 1344 as relações da linha de Rayleigh fornecem razões de propriedades em termos do número de Mach local e das condições críticas Obviamente elas são complicadas mas podem ser programadas em sua calculadora Elas são também relativamente fáceis de definir em uma planilha computacional como a do Excel O leitor deve baixar os programas addins do Excel para essas equações no site da LTC Editora com esses programas funções estão disponíveis para calcular a pressão temperatura massa específica e temperatura de estagnação e razões de pressão em função de M assim como M em função dessas razões No Exemplo 1310 exploraremos o seu uso O Apêndice E4 lista funções de escoamento para razões de propriedades em termos de M para escoamento de linha de Rayleigh de um gás ideal Uma tabela de valores bem como um gráfico destas razões de propriedades é apresentada para o ar k 14 para uma faixa limitada de números de Mach A planilha Excel associada Relações de Linha de Rayleigh pode ser usada para imprimir uma tabela maior de valores para o ar e para outros gases ideais Exemplo 1310 ESCOAMENTO SEM ATRITO EM UM DUTO DE ÁREA CONSTANTE COM ADIÇÃO DE CALOR SOLUÇÃO USANDO FUNÇÕES DE ESCOAMENTO DE LINHA DE RAYLEIGH Ar escoa com atrito desprezível em um duto de área constante Na seção as propriedades são T1 60ºC p1 135 kPa abs e V1 732 ms Calor é adicionado entre a seção e a seção onde M2 12 Determine as propriedades na seção a troca de calor por unidade de massa e a variação de entropia e esboce o processo em um diagrama Ts Dados Escoamento de ar sem atrito conforme mostrado T1 333 K M2 12 p1 135 kPa abs V1 732 ms Determinar a Propriedades na seção b δQdm c s2 s1 d O diagrama Ts Solução Para obter as razões entre propriedades precisamos de ambos os números de Mach Das funções de escoamento de linha de Rayleigh do Apêndice E4 encontramos o seguinte M TT pp VV 200 07934 1503 05289 03636 1455 120 09787 1019 09119 07958 1146 Usando estes dados e reconhecendo que as propriedades críticas são constantes obtivemos A adição de calor pode ser determinada a partir da equação da energia Eq 1343c Das funções de estagnação isentrópica Eq 1221b para M 20 e para M 12 Substituindo obtivemos Para a variação na entropia Eq 1343g Finalmente verifique o efeito sobre p0 Da função de estagnação isentrópica Eq 1221a para M 20 e para M 12 Assim conforme esperado para um processo de aquecimento O processo segue o ramo supersônico de uma linha de Rayleigh Este problema ilustra o uso das equações de linha de Rayleigh Eqs 1344 para analisar escoamento sem atrito de um gás ideal em um duto com transferência de calor A planilha Excel para este Exemplo é conveniente para realizar os cálculos Alternativamente os programas addins do Excel de linha de Rayleigh disponíveis no site da LTC Editora são úteis para esses cálculos 137 Choques Oblíquos e Ondas de Expansão Até aqui temos considerado escoamentos compressíveis e unidimensionais Com o conhecimento adquirido estamos prontos para introduzir alguns conceitos básicos de escoamento bidimensional choques oblíquos e ondas de expansão Choques Oblíquos Na Seção 122 discutimos o cone de Mach com ângulo de Mach α que é gerado por uma aeronave voando a M 1 conforme mostrado em coordenadas da aeronave na Fig 1326a O cone de Mach é uma onda de pressão fraca som tão fraca que conforme mostrado na Fig 1326a mal perturba as linhas de corrente é o caso limite de um choque oblíquo Se focarmos no avião vemos que no seu nariz há um choque oblíquo uma onda de choque que está alinhada em algum ângulo β 90º em relação ao escoamento Esse choque oblíquo causa uma variação brusca na direção das linhas de corrente normalmente para seguir a superfície do avião ou do aerofólio do avião Mais distante da aeronave ainda existe um choque oblíquo porém ele se torna progressivamente mais fraco β decresce e as linhas de corrente experimentam deflexões menores até que bem distante da aeronave o choque oblíquo tornase um cone de Mach β α e as linhas de corrente praticamente não são afetadas pela aeronave Um avião supersônico não gera necessariamente um choque oblíquo que fica colado ao seu nariz podemos em vez disso ter um choque normal separado à frente do avião De fato como ilustrado na Fig 1327 à medida que uma aeronave é acelerada até a sua velocidade supersônica de cruzeiro o escoamento progredirá de subsônico passando por supersônico com um choque normal separado até os choques oblíquos colados que tornamse crescentemente pressionados contra a superfície do aeroplano VÍDEO Ondas de Choque sobre uma Aeronave Supersônica em inglês Esses fenômenos de escoamento podem ser explicados usando os conceitos que desenvolvemos em nossas análises de choques normais Considere o choque oblíquo mostrado na Fig 1328a Ele está a um mesmo ângulo β em relação ao escoamento supersônico de chegada com velocidade e causa uma deflexão no escoamento de um ângulo θ com velocidade após o choque Fig 1326 Cone de Mach e choque oblíquo gerado por uma aeronave Fig 1327 Configurações de escoamento em aeronaves à medida que a velocidade aumenta Fig 1328 Volume de controle de choque oblíquo É conveniente orientar as coordenados ortogonais xy para o choque oblíquo e decompor e em suas componentes normal e tangencial ao choque conforme mostrado na Fig 1328b com subscritos apropriados O volume de controle é considerado ter área arbitrária A antes e após o choque e espessura infinitesimal através do choque as superfícies superior e inferior na Fig 1328b Para esse volume de controle infinitesimal podemos escrever as equações básicas continuidade quantidade de movimento e primeira e segunda leis da termodinâmica VÍDEO Ondas de Choque Devido a um Projétil em inglês A equação da continuidade é Consideração 1 Escoamento em regime permanente Portanto As componentes tangenciais da velocidade e estão sobre uma área infinitesimal de modo que não contribuem para a continuidade Então Em seguida vamos considerar a equação da quantidade de movimento para movimentos normal e tangencial ao choque Chegamos a um resultado interessante se olharmos antes a componente tangencial y Consideração 2 Forças de campo desprezíveis Portanto ou usando a Eq 1345a Assim provamos que o choque oblíquo não tem efeito sobre a componente da velocidade paralela ao choque um resultado que talvez não seja surpreendente A equação de quantidade de movimento para a normal direção x é Para o nosso volume de controle obtemos ou novamente usando a Eq 1345a A primeira lei da termodinâmica é em que Considerações 4 Escoamento adiabático 5 Termos de trabalho inexistentes 6 Efeito gravitacional desprezível Para o nosso volume de controle obtivemos Lembrese de que υ aqui representa o volume específico Isso pode ser simplificado usando h u pυ e a continuidade Eq 1345a Aplicando a relação de Pitágoras aos triângulos de velocidades obtivemos Já sabemos que a velocidade tangencial é constante de modo que a primeira lei simplificase para Finalmente a segunda lei da termodinâmica é O choque é irreversível então a Eq 458 para o nosso volume de controle é e novamente usando a continuidade As equações da continuidade e da quantidade de movimento e a primeira e segunda leis da termodinâmica para um choque oblíquo são dadas pelas Eqs 1345a até 1345d respectivamente O exame destas equações mostra que elas são idênticas às equações correspondentes para um choque normal que deduzimos na Seção 133 As Eqs 1311a até 1311d exceto que V1 e V2 são substituídas pelas componentes normais da velocidade e respectivamente Assim nós podemos utilizar todos os conceitos e equações da Seção 133 para choques normais tão somente após substituir as velocidades por suas componentes normais As componentes normais da velocidade são dadas por e Os números de Mach correspondentes são e As equações de choque oblíquo para um gás ideal com calores específicos constantes são obtidas diretamente das Eqs 1320 As Eqs 1348 juntamente com as Eqs 1346 e 1347 podem ser usadas para analisar problemas de choques oblíquos O Apêndice E5 lista funções de escoamento para e razões de propriedades em função de para um escoamento de choque oblíquo de um gás ideal Uma tabela de valores dessas razões de propriedades é apresentada para o ar k 14 para uma faixa limitada de números de Mach A planilha associada do Excel Relações de Choques Oblíquos pode ser utilizada para imprimir uma tabela maior para o ar e outros gases ideais Em essência conforme demonstrado no Exemplo 1311 um problema de choque oblíquo pode ser analisado como um problema de choque normal equivalente O leitor deve baixar no site da LTC Editora os programas addins do Excel sobre choque normal eles se aplicam a essas equações bem como às Eqs 1320 para um choque normal Exemplo 1311 COMPARAÇÃO DE CHOQUES NORMAL E OBLÍQUO Ar a 2ºC e 100 kPa está escoando a uma velocidade de 1650 ms Determine a pressão temperatura e velocidade após o ar passar por um choque normal Compare com a pressão temperatura e velocidade e determine o ângulo de deflexão θ se o ar passasse por um choque oblíquo com ângulo β 30º Dados Escoamento de ar com p1 100 kPa T1 2ºC V1 1650 ms Determinar A pressão a jusante a temperatura e a velocidade se o ar sofresse a um choque normal e b um choque oblíquo a um ângulo β 30º Determine também o ângulo de deflexão θ Solução a Choque normal Primeiro calcule a velocidade do som Então o número de Mach a montante vale A partir das funções de choque normal Eqs 1320 para M1 50 M1 M2 p2p1 T2T1 V2V1 50 04152 2900 5800 02000 A partir destes dados b Choque oblíquo Primeiro calcule as componentes normal e tangencial da velocidade Então o número de Mach normal a montante vale A partir das funções de choque oblíquo Eqs 1348 para p2p1 T2T1 25 05130 7125 2138 0300 A partir destes dados A velocidade a jusante é dada pela relação de Pitágoras para o triângulo de velocidades Note que de modo que o número de Mach a jusante é Embora o número de Mach normal a jusante deva ser subsônico o número de Mach real a jusante pode ser subsônico ou supersônico como neste caso O ângulo de deflexão pode ser obtido da Eq 1346b ou Este Exemplo ilustra Que um choque oblíquo envolve deflexão do escoamento através de um ângulo θ O uso das funções de choque normal para solução de problemas de choque oblíquo O importante resultado que para um dado escoamento supersônico um choque oblíquo será sempre mais fraco do que um choque normal porque M1 Que enquanto M1 sempre M2 pode ser subsônico ou supersônico como nesse caso A planilha Excel para choques oblíquos é conveniente para realizar os cálculos Alternativamente os programas addins do Excel de relações de choques normais disponíveis no site da LTC Editora são úteis para esses cálculos Podemos buscar uma melhor compreensão do comportamento de choque oblíquo combinando algumas das equações anteriores de modo a relacionar o ângulo de deflexão θ o número de Mach M1 e o ângulo de choque β Da geometria do choque oblíquo da Fig 1328b Nós podemos também relacionar as duas velocidades normais da Eq 1348e Equacionando as duas expressões para a razão de velocidade normal resulta e Finalmente usando M1 sen β nesta expressão e simplificando obtivemos após utilizar uma identidade trigonométrica e mais álgebra A Eq 1349 relaciona o ângulo de deflexão θ ao número de Mach na entrada M1 e ao ângulo de choque oblíquo β Para um dado número de Mach podemos calcular θ como uma função de β conforme mostrado na Fig 1329 para o ar k 14 O Apêndice E5 apresenta uma tabela de valores do ângulo de deflexão θ como uma função do número de Mach M1 e do ângulo de choque oblíquo β para o ar k 14 para uma faixa limitada de números de Mach A planilha associada do Excel Relações de Choques Oblíquos pode ser usada para imprimir uma tabela maior para o ar e outros gases ideais O leitor deve baixar no site da LTC Editora o programa addin do Excel para choque oblíquo esse programa pode ser usado para resolver a Eq 1349 para o ângulo de deflexão θ choque oblíquo β ou M1 Note que utilizamos M1 e o ângulo de choque β para calcular θ mas na realidade as ocorrências são inversas é a deflexão θ causada por um objeto tal como a superfície da asa de uma aeronave que gera um choque oblíquo a um ângulo β Podemos tirar algumas conclusões interessantes da Fig 1329 Para um número de Mach e um ângulo de deflexão dados existem geralmente dois possíveis ângulos de choque oblíquo pode ser gerado um choque fraco o menor valor de θ e portanto o menor número de Mach normal ou um choque forte o maior valor de θ e portanto o maior número de Mach normal Na maioria dos casos o choque fraco aparece exceções incluem situações em que a pressão a jusante é forçada a ter um grande valor como aquele causado por exemplo por uma obstrução Para um dado número de Mach existe um ângulo máximo de deflexão Por exemplo para o ar k 14 se M1 3 o máximo ângulo de deflexão é θmáx 34º Qualquer tentativa de defletir o escoamento a um ângulo θ θmáx causaria um choque normal separado em vez de um choque oblíquo Para deflexão zero θ 0 o choque fraco tornase uma onda de Mach e β α sen11M1 A Fig 1329 pode ser usada para explicar o fenômeno mostrado na Fig 1327 Se uma aeronave ou uma asa dela causando uma deflexão θ é acelerada da velocidade sônica até a velocidade supersônica a progressão da aeronave pode ser traçada na Fig 1329 como uma linha horizontal da direita para a esquerda através de linhas de números de Mach crescentes Por exemplo para θ 10º obtivemos os seguintes resultados conforme M1 aumenta de subsônico até cerca de 14 não existe solução de choque oblíquo pode ser que não haja choque escoamento subsônico ou pode haver um choque normal separado em algum número de Mach o choque normal inicialmente cola e em seguida tornase um choque oblíquo o Problema 13187 mostra que para θ 10º o choque normal primeiro cola e em seguida tornase oblíquo em M1 142 com θ 67º conforme M1 aumenta de 16 até 18 20 25 etc até o infinito da Fig 1329 β 51º 44º 39º 32º até 12º respectivamente o ângulo do choque oblíquo diminui progressivamente conforme vimos na Fig 1327 Um problema evolvendo choques oblíquos é resolvido no Exemplo 1312 Fig 1329 Ângulo de deflexão de choque oblíquo Exemplo 1312 CHOQUES OBLÍQUOS SOBRE UM AEROFÓLIO Uma aeronave voa a uma velocidade de 600 ms no ar a 4ºC e 100 kPa O aerofólio da aeronave possui uma borda dianteira aguda com ângulo incluso δ 6º e um ângulo de ataque α 1º Determine as pressões sobre as superfícies superior e inferior do aerofólio imediatamente após a borda dianteira Dados Escoamento de ar sobre uma borda dianteira aguda com p1 100 kPa δ 6º T1 4ºC α 1º V1 600 ms Determinar A pressão sobre as superfícies superior e inferior Solução Para um ângulo de ataque de 1º de um aerofólio com ângulo de borda dianteira de 6º os ângulos de deflexão são θu 2º e θl 4º conforme mostrado a Superfície superior Primeiro calcule a velocidade do som Então o número de Mach a montante vale Para M1 18 e θu 2º nós obtemos βu a partir de Isso pode ser resolvido para βu utilizando iteração manual ou interpolação ou utilizando por exemplo a função Excels Goal Seek do Excel βu 355º Em seguida podemos determinar O número de Mach normal para o choque oblíquo superior está perto de 1 o choque é muito fraco A partir da razão de pressão para o choque oblíquo Eqs 1348d para Portanto b Superfície inferior Para M1 180 e θl 4º obtemos βl de e encontramos βl 374º Então podemos determinar O número de Mach normal para o choque oblíquo inferior é também próximo de um Para a razão de pressão do choque oblíquo Eq 1348d para 1093 Então Este Exemplo ilustra o uso da Eq 1349 para obter dados de choque oblíquo a partir da deflexão do escoamento A planilha Excel para choques oblíquos é conveniente para realizar os cálculos Alternativamente os programas addins do Excel de relações de choque normal e de choque oblíquo disponíveis no site da LTC Editora são úteis para esses cálculos Ondas de Expansão Isentrópicas Ondas de choque oblíquas ocorrem quando um escoamento é subitamente comprimido à medida que ele é defletido Podemos nos perguntar o que acontece se redirecionarmos gradualmente um escoamento supersônico por exemplo ao longo de uma superfície curva A resposta é que ondas de expansão ou de compressão isentrópica podem ser geradas conforme ilustrado esquematicamente nas Figs 1330a e 1330b respectivamente Da Fig 1330a vemos que uma série de ondas de compressão eventualmente convergirão e o efeito cumulativo possivelmente gerará um choque oblíquo não muito distante da superfície curva Enquanto as ondas de compressão ocorrem elas não são de grande interesse pois os choques oblíquos que elas acarretam normalmente dominam a aerodinâmica quando muito as ondas são um fenômeno local Por outro lado conforme mostrado na Fig 1330b as ondas de expansão em série são divergentes e não coalescem A Fig 1330c mostra a expansão em torno de uma quina de bordaviva Desejamos analisar essas ondas isentrópicas para obter uma relação entre o ângulo de deflexão e o número de Mach Primeiro notamos que cada onda é uma onda de Mach de modo que está a um ângulo α sen11M em que M é o número de Mach imediatamente antes da onda As ondas de compressão são convergentes porque o ângulo de onda α aumenta conforme o número de Mach diminui Por outro lado as ondas de expansão são divergentes porque conforme o escoamento se expande o número de Mach aumenta diminuindo o ângulo de Mach Fig 1330 Compressão e ondas de expansão isentrópicas Considere uma onda isentrópica conforme mostrado na Fig 1328 vemos que os volumes de controle têm características similares Entretanto uma onda isentrópica difere de uma onda de choque oblíquo de duas formas importantes O ângulo de onda é α sen11M em vez do ângulo β para o choque oblíquo As variações na velocidade e na massa específica pressão etc e no ângulo de deflexão são todas infinitesimais O segundo fator é a razão de o escoamento que é adiabático ser isentrópico Com essas diferenças em mente nós repetimos a análise que realizamos para o choque oblíquo A equação da continuidade é Consideração 1 Regime permanente Então ou Em seguida consideramos a equação da quantidade de movimento para movimento normal e tangencial ao choque Primeiro para a componente tangencial y Consideração 2 Forças de campo desprezíveis Então Fig 1331 Volume de controle de onda isentrópica ou usando a continuidade Eq 1350 V cos β V dV cosβ dθ Expandindo e simplificando usando as evidências de que para primeira ordem no limite conforme dθ 0 cosdθ 1 e sendθ dθ obtivemos Mas sen β 1M de modo que e Vamos saltar a análise da componente normal x da quantidade de movimento indo diretamente para a primeira lei da termodinâmica que é em que Considerações 4 Escoamento adiabático 5 Não existem termos de trabalho 6 O efeito gravitacional é desprezível Para nosso volume de controle obtivemos utilizando h u pυ onde υ representa volume específico Isso pode ser simplificado usando a continuidade Eq 1350 para Expandindo e simplificando no limite para primeira ordem resulta dh V dV Se ficarmos restritos a gases ideais dh cpdT e A Eq 1352 relaciona variações diferenciais na temperatura e na velocidade Podemos obter uma relação entre M e V usando Diferenciando e dividindo o lado esquerdo por V e o direito por Eliminando dT usando a Eq 1352 Assim Finalmente combinando as Eqs 1351 e 1353 De modo geral aplicaremos a Eq 1354 para ondas de expansão para as quais dθ é negativo de modo que é conveniente trocar as variáveis dω dθ A Eq 1354 relaciona a variação diferencial no número de Mach através de uma onda isentrópica com o ângulo de deflexão Essa equação pode ser integrada para obter a deflexão como uma função do número de Mach a menos de uma constante de integração Poderíamos integrar a Eq 1354 entre os números de Mach inicial e final de um dado escoamento porém será mais conveniente integrar a partir de um estado de referência a velocidade crítica M 1 até o número de Mach M com ω arbitrado igual a zero para M 1 levando à função de expansão supersônica de PrandtlMeyer Usamos a Eq 1355 para relacionar a deflexão total causada por uma expansão isentrópica de M1 até M2 Deflexão ω2 ω1 ωM2 ωM1 O Apêndice E6 apresenta uma tabela de valores da função de expansão supersônica de PrandtlMeyer ω como uma função do número de Mach M para o ar k 14 para uma faixa limitada de números de Mach A planilha associada do Excel Relações de Onda de Expansão Isentrópica pode ser usada para imprimir uma tabela maior para o ar e outros gases ideais O leitor pode fazer o download do arquivo em Excel no site da LTC Editora sobre as relações de onda de expansão isentrópica o arquivo pode ser usado para resolver a Eq 1355 para a função de expansão w de Prandtl Meyer ou M Como já mencionado o escoamento é isentrópico Isso pode ser verificado utilizando a segunda lei da termodinâmica A onda é reversível de modo que a Eq 458 para nosso volume de controle é e utilizando a continuidade Eq 1350 ds 0 Demonstramos assim que o escoamento é isentrópico Portanto as propriedades de estagnação são constantes e as equações das propriedades de estagnação isentrópica local Seção 123 serão úteis aqui A Eq 1355 juntamente com as Eqs 1221a a 1221c pode ser usada para analisar ondas de expansão ou ondas de compressão isentrópicas Não chegamos a deduzir a componente normal da quantidade de movimento a análise anterior fornece um conjunto completo de equações Um problema envolvendo ondas de expansão é resolvido no Exemplo 1313 Exemplo 1313 ONDA DE EXPANSÃO SOBRE UM AEROFÓLIO A aeronave do Problema 1312 velocidade de 600 ms no ar a 4ºC e 100 kPa com borda dianteira aguda com ângulo α 6º possui agora um ângulo de ataque α 6º Determine as pressões nas superfícies superior e inferior do aerofólio imediatamente após a borda dianteira Dados Escoamento de ar sobre uma borda dianteira aguda com p1 100 kPa δ 6º T1 4ºC α 6º V1 600 ms Determinar As pressões sobre as superfícies superior e inferior Solução Para um ângulo de ataque de 6º de um aerofólio com ângulo de borda dianteira de 6º os ângulos de deflexão são θu 3º e θl 9º conforme mostrado a Superfície superior expansão isentrópica Primeiro calcule a velocidade do som Então o número de Mach a jusante vale Para M1 180 a função de PrandtlMeyer ω1 é obtida de então O valor da função de PrandtlMeyer sobre a superfície superior ωu é então ωu ω1 θu 207º 3º 237º Para este valor da função de PrandtlMeyer é obtido a partir da Eq 1355 Isso pode ser resolvido utilizando iteração manual ou interpolação ou utilizando por exemplo a função Excels Goal Seek do Excel Finalmente podemos determinar utilizando novamente a Eq 1221a então b Superfície inferior choque oblíquo Para M1 180 e θl 9º obtivemos βl a partir de e encontramos βl 428º Então podemos determinar Da razão de pressão para choque oblíquo Eq 1348d para 1223 Assim Este Exemplo ilustra o uso da Eq 1355 e das relações de estagnação isentrópica para analisar ondas de expansão isentrópicas e o uso da Eq 1349 para um choque oblíquo A planilha Excel para ondas de expansão isentrópicas e choques oblíquos é conveniente para realizar os cálculos Alternativamente os programas addins do Excel para relações de choque normal e choque oblíquo e a onda de expansão isentrópica disponíveis no site da LTC Editora são úteis para esses cálculos O Exemplo 1313 sugere uma aproximação que podemos utilizar para obter os coeficientes de sustentação e de arrasto de uma asa supersônica ilustrada no Exemplo 1314 Exemplo 1314 COEFICIENTES DE SUSTENTAÇÃO E DE ARRASTO DE UM AEROFÓLIO SUPERSÔNICO A aeronave do Exemplo 1313 possui uma seção transversal simétrica em losango bordas dianteira e traseira agudas com ângulo δ 6º Para uma velocidade de 600 ms no ar a 4ºC e 100 kPa determine a distribuição de pressão sobre as superfícies superior e inferior e os coeficientes de sustentação e de arrasto para um ângulo de ataque α 6º Dados Escoamento de ar sobre seção simétrica mostrada com p1 100 kPa δ 6º T1 4ºC α 6º V1 600 ms Determinar A distribuição de pressão e os coeficientes de sustentação e arrasto Solução Primeiro necessitamos obter as pressões sobre as quatro superfícies do aerofólio Nós já obtivemos no Exemplo 1313 os dados para a Região 2u e Região 2l Note que 1489 é obtido de 1223 no Exemplo 1313 pelo uso direto das Eqs 1348a e 1347b Além disso para a Região 2u determinamos que a função de PrandtlMeyer é 237º Portanto para a Região 3u podemos determinar o valor da função de PrandtlMeyer a partir do ângulo de deflexão Para as bordas dianteira e de fuga traseira de 6º os ângulos do aerofólio nas superfícies superior e inferior são de 174º cada um Desse modo na superfície superior e na inferior as deflexões são de 6º em cada uma Para a Região 3u Para este valor da função de PrandtlMeyer é obtido da Eq 1355 Isso pode ser resolvido por meio de iteração manual ou interpolação ou usando por exemplo a função Excels Goal Seek do Excel Finalmente nós podemos determinar usando repetidas vezes a Eq 1221a logo Para a Região 3l primeiro precisamos determinar a função de PrandtlMeyer na região anterior Região 2l Para determinamos a partir da Eq 1355 logo Assim para a Região 3l e é obtido da Eq 1355 Mais uma vez isso pode ser resolvido por iteração manual ou interpolação ou pela utilização por exemplo da função Excels Goal Seek do Excel Finalmente nós podemos determinar usando repetidas vezes a Eq 1221a Então Note que não podemos usar p0 a pressão de estagnação do escoamento de entrada para o cálculo dessa pressão porque o escoamento experimentou um choque antes de atingir à superfície inferior Para calcular os coeficientes de sustentação e de arrasto necessitamos das forças de sustentação e de arrasto Primeiro determinamos as forças vertical e horizontal com respeito às coordenadas ortogonais ao aerofólio A força vertical considerando que a corda c e a envergadura s são em metros é dada por e a força horizontal é dada por As forças de sustentação e de arrasto por unidade de área plana são portanto e FD FV sen6º FH cos6º 842 sc kN Os coeficientes de sustentação e de arrasto requerem a massa específica do ar O coeficiente de sustentação é então e o coeficiente de arrasto é Note que em vez de usar no denominador dos coeficientes poderíamos ter usado A razão sustentaçãoarrasto é aproximadamente 76 Este Exemplo ilustra o uso das equações de choque oblíquo e de onda de expansão isentrópica para determinar a distribuição de pressão sobre um aerofólio Não precisamos analisar o escoamento após as ondas de expansão de fuga e o choque oblíquo diferentemente do escoamento subsônico a condição a jusante não tem efeito sobre o aerofólio Diferentemente de um escoamento subsônico um escoamento supersônico pode gerar arrasto mesmo na ausência de camadaslimite e de separação de escoamento Note que diferentemente de um escoamento subsônico um escoamento supersônico pode transpor uma quina de bordaviva mesmo se incluirmos o efeito de uma camadalimite viscosa o que não fizemos aqui Isso é porque um escoamento supersônico em expansão apresenta um gradiente de pressão negativo isto é não é adverso Um aerofólio real não terá provavelmente superfícies planas de modo técnicas mais sofisticadas do que as que cobrimos aqui são necessárias Contudo este exemplo ilustra o tipo de resultado a ser esperado na análise de um aerofólio supersônico As planilhas Excel para choques oblíquos e para expansão de ondas isentrópicas são convenientes para realizar os cálculos Alternativamente os programas addins do Excel para relações de choque normal e choque oblíquo e a onda de expansão isentrópica disponíveis no site da LTC Editora são úteis para esses cálculos 138 Resumo e Equações Úteis Neste capítulo nós Desenvolvemos um conjunto de equações de governo a continuidade a equação da quantidade de movimento a primeira e a segunda leis da termodinâmica e equações de estado para escoamento unidimensional de um fluido compressível em particular de um gás ideal quando ele pode ser afetado por variação de área atrito transferência de calor e choques normais Simplificamos essas equações para escoamento isentrópico afetado somente por variação de área e desenvolvemos relações isentrópicas para analisar tais escoamentos Simplificamos as equações para escoamento através de um choque normal e desenvolvemos relações de choque normal para analisar tais escoamentos Simplificamos as equações para escoamento afetado apenas por atrito e desenvolvemos as relações de linha de Fanno para analisar tais escoamentos Simplificamos as equações para escoamento afetado apenas por transferência de calor e desenvolvemos as relações de linha de Rayleigh para analisar tais escoamentos Introduzimos alguns conceitos básicos de escoamento bidimensional choques oblíquos e ondas de expansão Enquanto investigávamos os escoamentos supracitados adquirimos conhecimento sobre alguns fenômenos interessantes dos escoamentos compressíveis incluindo O uso de gráficos Ts na visualização do comportamento do escoamento O escoamento através e a forma necessária de bocais e difusores subsônicos e supersônicos O fenômeno do escoamento bloqueado em bocais convergentes e bocais CD e as circunstâncias sob as quais as ondas de choque são desenvolvidas em bocais CD O fenômeno de escoamento bloqueado em escoamentos com atrito e em escoamentos com transferência de calor O cálculo de pressões e de coeficientes de sustentação e arrasto para um aerofólio supersônico Nota A maior parte das Equações Úteis na tabela a seguir possui determinadas restrições ou limitações para usálas com segurança verifique os detalhes no capítulo conforme numeração de referência Em particular a maioria delas são para gás ideal com calores específicos constantes Equações Úteis Vazão mássica para bocal convergente bloqueado unidades SI ṁbloqueado 004 Ae p0 T0 139b Vazão mássica para bocal convergente bloqueado Unidades Inglesas de Engenharia ṁbloqueado 766 Ae p0 T0 139c Vazão mássica para bocal divergenteconvergente bloqueado ṁbloqueado At p0 k RT0 2 k 1k12k1 1310a Vazão mássica para bocal divergenteconvergente bloqueado unidades SI ṁbloqueado 004 At p0 T0 1310b Vazão mássica para bocal divergenteconvergente bloqueado Unidades Inglesas de Engenharia ṁbloqueado 766 At p0 T0 1310c Relações de choque normal Nota estas relações são muito pesadas para uso prático manual Elas estão listadas e tabeladas e plotadas para o ar no Apêndice E Você está instado a carregar os arquivos do tipo Excel do site da LTC Editora para uso computacional com estas equações M2 fM1 1320a p02 p01 fM1 1320b T2 T1 fM1 1320c ṗ2 p1 fM1 1320d ρ2 ρ1 V1 V2 fM1 1320e Relações úteis para determinação do local do choque normal em bocal convergentedivergente pe p01 Ae At pe p0q Ae Ae 1322 p0q p01 At Ae Ae Ae 1323 Relações da linha da Fanno atrito Nota estas relações são muito pesadas para uso prático manual Elas estão listadas e tabeladas e plotadas para o ar no Apêndice E Você está instado a carregar os arquivos do tipo Excel do site da LTC Editora para uso computacional com estas equações f Lmáx Dh fM 1334a T T fM 1334b V V ρ ρ fM 1334c p p fM 1334d p0 p0 fM 1334e Relações de escoamento isotérmico atrito Nota estas relações são muito pesadas para uso prático manual Elas estão listadas e tabeladas e plotadas para o ar no Apêndice E Você está instado a carregar os arquivos do tipo Excel do site da LTC Editora para uso computacional com estas equações p2 p1 ρ2 ρ1 V1 V2 M1 M2 1342a T02 T01 fM1 M2 1342b f L Dh fM1 M2 1342c Estudo de Caso A Aeronave X43AHyperX O X43AHyperX a M 7 Imagem do programa DFC mostrando os contornos de pressão Cortesia da NASA O superhomem é mais rápido do que uma bala Então o quão rápido é isso Verificase que a maior velocidade de uma bala é em torno de 1500 ms ou em torno do número de Mach 45 ao nível do mar Os seres humanos podem acompanhar o superhomem Caso estivéssemos em órbita poderíamos qual é o número de Mach do Ônibus Espacial em órbita é uma questão enganosa pois não existe arrasto uma vez que chegando a essa velocidade podemos nos manter mas para voar a velocidades hipersônicas isto é em torno de M 5 na atmosfera requer uma tremenda propulsão do motor e um motor que possa funcionar em todas essas velocidades Em 2004 um X43A conseguiu voar a quase M 10 ou em torno de 11200 kmh O motor a jato scramjet hipersônico nesta aeronave atualmente está integrado em sua estrutura e toda a superfície inferior do veículo é formatada para fazer o motor funcionar A protuberância na parte de baixo na figura é o motor Diferentemente dos motores turbojato usados em muitas aeronaves os quais possuem ventiladores e compressores como principais componentes o motor scramjet espantosamente não possui partes móveis de modo que caso você olhasse o seu interior não teria muito para ver Em vez de partes móveis ele usa a geometria para desenvolver um trem de choque que reduz a velocidade do escoamento de ar de hipersônica para supersônica O scramjet que é essencialmente um motor ramjet com combustão supersônica não necessita reduzir a velocidade do escoamento de ar para velocidades sônicas A compressão ram sobre a superfície inferior da aeronave reduz o escoamento de ar da velocidade hipersônica para velocidade supersônica antes que ele atinja o motor da aeronave Este efeito é conseguido causando uma sequência de choques oblíquos os quais discutimos neste capítulo que reduzem sucessivamente o escoamento e também aumentam a massa específica do ar Conforme o ar à velocidade supersônica com massa específica relativamente alta passa através do motor o hidrogênio combustível é injetado e o processo de combustão ocorre criando um tremendo empuxo na exaustão Uma vez à velocidade hipersônica o processo de combustão é autossustentável Um dos problemas que os engenheiros encontraram foi como dar a partida no motor Primeiramente a aeronave tem que ser acelerada acima do número de Mach 4 de forma convencional por motor a jato ou foguete ou sendo carregada por outra aeronave e em seguida o combustível do scramjet pode ser injetado e a ignição iniciada Isso parece bastante simples mas o processo de ignição tem sido comparado a acender um palito de fósforo em um furacão A solução foi realizar o início da ignição usando uma mistura de silano pirofórico que entra em combustão espontânea na presença do ar sem necessidade de uma fonte de ignição e hidrogênio e em seguida mudar para hidrogênio puro A aeronave X43AHyperX é experimental mas no futuro podemos esperar ver scramjets em aplicações militares aeronaves e mísseis em seguida possivelmente na aviação comercial Concebivelmente você poderia viver em Nova Iorque ir para um encontro em Los Angeles e estar de volta em Nova Iorque para o jantar Referências 1 HP 48G Series Users Guide HewlettPackard Company Corvallis Division 1000 NE Circle Blvd Corvallis OR 97330 2 Isentropic Calculator httpwwwaoevteduaoe3114calchtml William Devenport Aerospace and Ocean Engineering Virginia Polytechnic Institute and State University 3 Hermann R Supersonic Inlet Diffusers Minneapolis MN MinneapolisHoneywell Regulator Co Aeronautical Division 1956 4 Runstadler PW Jr Diffuser Data Book Creare Inc Hanover NH Technical Note 186 1975 5 Seddon J and E L Goldsmith Intake Aerodynamics New York American Institute of Aeronautics and Astronautics 1985 6 Shapiro A H The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow Vol 1 New York Ronald Press 1953 7 Zucrow M J and J D Hoffman Compressible Flow Vol 1 New York Wiley 1976 8 Baals D W and W R Corliss Wind Tunnels of NASA Washington DC National Aeronautics and Space Administration SP 440 1981 9 Pope A and K L Goin HighSpeed Wind Tunnel Testing New York Krieger 1978 10 Glass II Some Aspects of ShockWave Research AIAA J 25 2 February 1987 pp 214229 Problemas Escoamento Isentrópico Variação de Área A maior parte dos problemas deste capítulo envolve cálculos de Fanno Rayleigh choque normal choque oblíquo isentrópicos ou de efeitos de ondas de expansão isentrópicas No site da LTC Editora você encontra planilhas do Excel associadas ao texto para cada um desses fenômenos e sua utilização é recomendada na solução de problemas no site você também encontrará programas addins do Excel para baixar e instalar Para evitar duplicação desnecessária o símbolo de margem um Lap Top aparecerá marcando apenas os problemas para os quais o uso Excel traz um benefício adicional por exemplo para a elaboração de gráficos 131 Ar é extraído de um grande tanque em que a temperatura e a pressão são 70C e 101 kPa abs respectivamente através de um bocal Em uma posição no bocal a pressão estática é 25 kPa e o diâmetro é 15 cm Qual é a vazão mássica Considere escoamento isentrópico 132 Vapor escoa isentropicamente através de um bocal em regime permanente Em uma seção a montante onde a velocidade é desprezível a temperatura e a pressão são 48ºC e 62 MPa abs Em uma seção onde o diâmetro do bocal é 48 mm a pressão do vapor é 41 MPa abs Determine a velocidade e o número de Mach nessa seção e a vazão mássica de vapor Esboce a forma do canal 133 Vapor escoa isentropicamente através de um bocal em regime permanente Em uma seção a montante onde a velocidade é desprezível a temperatura e a pressão são 450ºC e 6 MPa abs Em uma seção onde o diâmetro do bocal é 2 cm a pressão do vapor é 2 MPa abs Determine a velocidade e o número de Mach nessa seção e a vazão mássica de vapor Esboce a forma do canal 134 Nitrogênio escoa através de uma seção divergente de um duto com A1 015 m2 e A2 045 m2 Se M1 07 e p1 450 kPa determine M2 e p2 135 Nitrogênio escoa através de uma seção divergente de um duto com A1 015 m2 e A2 045 m2 Se M1 17 e T1 30ºC determine M2 e T2 136 Em uma seção de um canal a pressão é 150 kPa abs a temperatura é 10ºC e a velocidade é 120 ms Para o escoamento isentrópico de ar determine o número de Mach no ponto onde a pressão é 50 kPa abs Esboce a forma do canal 137 Em uma seção de um canal a pressão é 207 kPa abs a temperatura é 38ºC e a velocidade é 533 ms Em uma seção a jusante o número de Mach é 25 Determine a pressão no local a jusante para o escoamento isentrópico de ar Esboce a forma do canal 138 Oxigênio escoa no interior de um duto termicamente isolado com condições iniciais de 200 kPa 420 K e 200 ms A área varia de A1 06 m2 para A2 05 m2 Calcule M1 e Este duto é um bocal ou um difusor Calcule as condições pressão temperatura e o número de Mach considerando que não existem perdas 139 Ar está escoando em um sistema adiabático a 907 kgs Em uma seção a pressão é 2068 kPa a temperatura é 6489ºC e a área é 5161 cm2 Em uma seção a jusante M2 12 Esboce a forma da passagem do escoamento Determine a área de saída considerando que o escoamento é reversível 1310 Ar escoa isentropicamente através de um bocal convergentedivergente vindo de um grande tanque contendo ar a 250C Em duas posições onde a área é 1 cm2 as pressões estáticas são 200 kPa e 50 kPa Encontre a vazão mássica a área da garganta e o número de Mach nas duas posições 1311 Ar escoa isentropicamente através de um canal em regime permanente Na seção onde a área transversal é 002 m2 o ar está a 400 kPa abs 60C e M 20 Na seção a jusante a velocidade é 519 ms Calcule o número de Mach na seção Esboce a forma do canal entre as seções e 1312 Ar escoa isentropicamente em regime permanente através de um canal a 68 kgs Na seção onde o diâmetro é D 09 m M 175 T 0ºC e p 1722 kPa Determine a velocidade e a área da seção transversal a jusante onde T 107ºC Esboce a forma do canal 1313 Ar com pressão absoluta de 600 kPa e 27ºC entra em um canal a 486 ms onde A 002 m2 Na seção a jusante p 788 kPa abs Considerando escoamento isentrópico calcule o número de Mach na seção Esboce a forma do canal 1314 Ar escoa adiabaticamente através de um duto Na entrada a temperatura estática e a pressão estática são 310 K e 200 kPa respectivamente Na saída as temperaturas estática e de estagnação são 294 K e 316 K respectivamente e a pressão estática é 125 kPa Determine a os números de Mach do escoamento na entrada e na saída e b a razão de área A2A1 1315 Ar atmosférico 101 kPa e 20C é arrastado para um tubo através de um bocal convergente O diâmetro da seção da garganta é 1 cm Trace o gráfico da vazão mássica fornecida ao tubo para uma faixa de pressão 100 kPa até 5 kPa 1316 Para o escoamento isentrópico de ar em uma seção de um canal onde A 025 m2 p 150 kPa abs T 10ºC e V 590 ms Determine o número de Mach e a vazão mássica Em uma seção a jusante a temperatura é 137ºC e o número de Mach é 075 Determine a área transversal e a pressão nessa seção Esboce a forma do canal 1317 Um canal é projetado para expandir ar isentropicamente até a pressão atmosférica a partir de um grande tanque no qual as propriedades são mantidas constantes em 53ºC e 310 kPa A vazão desejada é 1 kgs Considerando que a passagem tem 61 m de comprimento e que o número de Mach aumenta linearmente com a posição no canal trace o gráfico da área da seção transversal e da pressão como funções da posição 1318 Repita o Problema 1315 considerando que o bocal convergente seja substituído por um bocal convergentedivergente com um diâmetro de saída de 25 cm mesma área de garganta 1319 Ar escoa isentropicamente através de um bocal convergente para dentro de um recipiente onde a pressão é 250 kPa abs Se a pressão é 350 kPa abs e a velocidade é 150 ms na posição do bocal em que o número de Mach é 05 determine a pressão a velocidade e o número de Mach na garganta do bocal 1320 Ar escoa isentropicamente através de um bocal convergente para dentro de um recipiente onde a pressão é 241 kPa abs O ar entra no bocal com velocidade desprezível a uma pressão de 413 kPa abs e uma temperatura de 93ºC Determine a vazão mássica através do bocal para uma garganta com diâmetro de 100 mm 1321 Ar escoa através de um duto divergente Na entrada do duto o número de Mach é 1 e a área é 02 m2 Na saída do duto a área é 05 m2 Quais são os dois números de Mach possíveis para a saída deste duto 1322 Ar escoando em regime permanente atravessa uma série de três tanques O primeiro tanque é muito grande e contém ar a 650 kPa e 35C O ar escoa desse para o segundo tanque através de um bocal convergente com área de saída de 1 cm2 Finalmente o ar escoa do segundo para o terceiro tanque também muito grande através de um bocal idêntico A vazão através dos dois bocais é a mesma e o escoamento neles é isentrópico A pressão no terceiro tanque é 65 kPa Encontre a vazão mássica e a pressão no segundo tanque 1323 Ar escoando isentropicamente através de um bocal convergente descarrega para a atmosfera Na seção onde a pressão absoluta é 250 kPa a temperatura é 20ºC e a velocidade do ar é 200 ms Determine a pressão na garganta do bocal 1324 Ar escoa de um grande tanque p 650 kPa abs T 550ºC através de um bocal convergente com área de garganta de 600 mm2 e descarrega para a atmosfera Determine a vazão mássica para escoamento isentrópico através do bocal 1325 Ar escoando isentropicamente através de um bocal convergente descarrega para a atmosfera Em uma seção A 005 m2 T 33ºC e V 200 ms Se o escoamento está bloqueado determine a pressão e o número de Mach nessa seção Qual é a área de garganta Qual é a vazão mássica 1326 Um bocal convergente é conectado a um grande tanque que contém ar comprimido a 15ºC A área de saída do bocal é 0001 m2 A descarga é feita para a atmosfera Para obter uma imagem fotográfica satisfatória da configuração do escoamento deixando o bocal é necessário que a pressão no plano de saída seja superior a 325 kPa manométrica Que pressão é requerida no tanque Que vazão mássica de ar deve ser fornecida para que o sistema funcione continuamente Mostre os pontos dos estados de estagnação e estáticos em um diagrama Ts 1327 Ar com p0 650 kPa abs e T0 350 K escoa isentropicamente através de um bocal convergente Na seção em que a área do bocal é 26 103 m2 o número de Mach é 05 O bocal descarrega para uma contrapressão de 270 kPa abs Determine a área de saída do bocal 1328 Ar escoa através de um duto convergente Na entrada a pressão estática é 250 K a pressão estática é 310 kPa a pressão de estagnação é 350 kPa e a área é 036 m2 Na saída a área é 027 m2 Considerando o escoamento isentrópico através do duto quais são a temperatura na saída e a vazão mássica de ar através do duto 1329 Ar a 0ºC está contido em um grande tanque sobre um foguete espacial Uma seção convergente com área de saída de 1 103 m2 está instalada no tanque através da qual o ar sai para o espaço com uma vazão de 2 kgs Quais são a pressão no tanque e a pressão temperatura e velocidade na saída 1330 Um grande tanque fornece ar para um bocal convergente que descarrega para a pressão atmosférica Considere que o escoamento seja reversível e adiabático Para qual faixa de pressões no tanque o escoamento na saída do bocal será sônico Se a pressão no tanque for 600 kPa abs e a temperatura 600 K determine a vazão mássica através do bocal se a área de saída de 129 103 m2 1331 Nitrogênio está estacado em um grande tanque a 450 K e 150 kPa O gás deixa a câmara através de um bocal convergente com uma área de saída de 30 cm2 A pressão ambiente é 100 kPa e o escoamento através do bocal é isentrópico Qual é a vazão mássica de nitrogênio Caso a pressão ambiente pudesse ser reduzida qual é a vazão mássica máxima possível para o nitrogênio 1332 Um grande tanque é inicialmente evacuado até a pressão manométrica de 10 kPa As condições ambientes são 101 kPa e 20ºC Em t 0 um orifício de 5 mm de diâmetro é aberto na parede do tanque a área da veia contraída é 65 da área geométrica Calcule a vazão mássica com a qual o ar entra inicialmente no tanque Mostre o processo em um diagrama Ts Faça um gráfico esquemático da vazão mássica em função do tempo Explique porque essa relação não é linear 1333 Uma cavidade esférica de 50 cm de diâmetro está evacuada inicialmente A cavidade deve ser preenchida com ar para um experimento de combustão A pressão deve ser 45 kPa abs medida após a temperatura atingir Tatm Considere que a válvula na cavidade seja um bocal convergente com diâmetro da garganta de 1 mm e que o ar ambiente esteja na condiçãopadrão Por quanto tempo a válvula deve permanecer aberta para que se obtenha a pressão final desejada na cavidade Calcule a variação de entropia para o ar na cavidade 1334 Ar escoa isentropicamente através de um bocal convergente instalado em um grande tanque onde a pressão absoluta é 171 kPa e a temperatura é 27ºC Na seção de entrada o número de Mach é 02 O bocal descarrega para a atmosfera a área de descarga é 0015 m2 Determine o módulo e o sentido da força que deve ser aplicada para manter o bocal no lugar 1335 Considere um carrinho foguete de propulsão a jato que é suprido por um tanque de ar comprimido sobre o carrinho Inicialmente o ar no tanque está a 13 MPaabs e 20ºC e a massa do carrinho e tanque é M0 25 kg O ar é expelido através de um bocal convergente com área de saída Ae 30 mm2 A resistência de rolamento do carrinho é FR 6 N a resistência aerodinâmica é desprezível No instante seguinte ao início do fluxo de ar através do bocal a calcule a pressão no plano de saída do bocal b avalie a vazão mássica de ar através do bocal e c calcule a aceleração do conjunto carrinhotanque 1336 Uma corrente de ar escoando em um duto A 5 104 m2 está a p 300 kPa abs possui M 05 e tem vazão 025 kgs Determine a temperatura de estagnação isentrópica local Se a área transversal da seção do duto fosse reduzida a jusante determine a máxima redução percentual de área permitida sem redução da vazão considere escoamento isentrópico Determine a velocidade e a pressão no local de área mínima 1337 Um foguete experimental de propulsão a jato de massa 25 kg deve ser lançado no espaço por um lançador espacial A temperatura do ar no tanque do foguete é 125ºC Uma seção convergente com área de saída de 25 mm2 é instalada no tanque através do qual o ar é descarregado no espaço a uma taxa de 005 kgs Quais são a pressão no tanque e a pressão a temperatura e a velocidade do ar na saída quando o foguete é primeiramente lançado Qual é a aceleração inicial do foguete 1338 Ar entra em um bocal convergentedivergente a 2 MPa abs e 313 K Na saída do bocal a pressão é 200 kPa abs Considere que o escoamento é sem atrito e adiabático através do bocal A área da garganta é 20 cm2 Qual é a área de saída do bocal Qual é a vazão mássica de ar 1339 Hidrogênio é expandido adiabaticamente e sem atrito de 345 kPa a 2822ºC e com velocidade desprezível por meio de um bocal convergentedivergente Qual é o número de Mach na saída 1340 Um cilindro de gás usado em soldagem contém hélio a pressão manométrica de 20 MPa na temperatura ambiente O cilindro recebe uma pancada a válvula é quebrada e o hélio escapa através de uma passagem convergente O diâmetro mínimo de escoamento é 10 mm na seção de saída onde o escoamento do gás é uniforme Determine a a vazão mássica com a qual o gás sai do cilindro e b a aceleração instantânea do cilindro considere que o eixo do cilindro é horizontal e que sua massa seja de 65 kg Mostre os estados de estagnação e estáticos e o caminho do processo em um diagrama Ts 1341 Um bocal convergente é aparafusado flangeado na lateral de um grande tanque O ar dentro do tanque é mantido à pressão e temperatura constantes de 345 kPa abs e 38ºC A área de entrada do bocal é 6450 mm2 e a área de saída é 645 mm2 O bocal descarrega para a atmosfera Para escoamento isentrópico no bocal determine a força total nos parafusos e indique se eles estão sob tração ou compressão 1342 Um tanque esférico de diâmetro D 2 m termicamente isolado contém ar e é usado em uma instalação de purga blowdown Inicialmente o tanque é pressurizado até 275 MPa abs a 450 K A vazão mássica do ar do tanque é uma função do tempo durante os primeiros 30 segundos de purga 30 kg de ar deixam o tanque Determine a temperatura do ar no tanque após 30 s de descarga Estime a área da garganta do bocal 1343 Um gás ideal com k 125 escoa isentropicamente através do bocal convergente mostrado e descarrega para dentro de um grande duto onde a pressão é p2 172 kPa abs O gás não é ar e a sua constante R é desconhecida O escoamento é em regime permanente e uniforme em todas as seções transversais Determine a área de saída do bocal A2 e a velocidade de saída do jato V2 1344 Um avião de transporte a jato com cabine pressurizada viaja a 11 km de altitude A temperatura e a pressão na cabine são inicialmente 25ºC e o equivalente a 25 km de altitude O volume interior da cabine é 25 m3 Ar escapa através de um pequeno orifício com área efetiva de escoamento de 0002 m2 Calcule o tempo requerido para que a pressão na cabine decresça de 40 Trace um gráfico da pressão na cabine como uma função do tempo 1345 Em algum ponto a montante da garganta de um duto convergentedivergente ar escoa a 1524 ms com pressão e temperatura de 1034 kPa e 21ºC respectivamente Se a área de garganta for 009 m2 e a descarga do duto for supersônica determine a vazão mássica de ar considerando escoamento adiabático e sem atrito 1346 Um bocal convergentedivergente é acoplado a um tanque de ar muito grande no qual a pressão é 150 kPa e a temperatura é 35ºC O bocal descarrega para a atmosfera onde a pressão é 101 kPa O diâmetro de saída do bocal é 275 cm Qual é a vazão através do bocal Considere que o escoamento é isentrópico 1347 Um grande tanque termicamente isolado pressurizado a 620 kPa manométrica fornece ar para um bocal convergente que descarrega para a atmosfera A temperatura inicial no tanque é 127ºC Quando o escoamento através do bocal é iniciado qual é o número de Mach no plano de saída do bocal Qual é a pressão no plano de saída quando o escoamento é iniciado Em que condição o número de Mach no plano de saída será modificado Como vai variar a pressão no plano de saída com o tempo Como vai variar a vazão através do bocal com o tempo Qual a sua estimativa para a temperatura do ar no tanque quando a vazão de ar através do bocal aproximar de zero 1348 Ar escapa de um pneu de bicicleta de alta pressão através de um furo com diâmetro d 0254 mm A pressão inicial no pneu é p1 620 kPa manométrica Considere que a temperatura permaneça constante a 27ºC O volume interno do pneu é aproximadamente 426 104 m3 e é constante Estime o tempo necessário para a pressão no pneu cair para 310 kPa manométrica Calcule a variação na entropia específica do ar no pneu durante esse processo Trace um gráfico da pressão no pneu como uma função do tempo 1349 Na condição de projeto do sistema do Problema 1346 o número de Mach na saída é Me 20 Determine a pressão no tanque do Problema 1346 mantendo a temperatura constante para essa condição Qual é a vazão Qual é a área da garganta 1350 Durante a realização de ensaios experimentais em um túnel de vento nas condições próximas de Mach igual a 1 os efeitos do bloqueio do modelo tornamse muito importantes Considere um túnel de vento com uma seção transversal de testes de 009 m2 Se as condições da seção de testes são M 120 e T 21ºC quanto de bloqueio de área poderia ser tolerado antes que o escoamento fosse bloqueado na seção de testes Se um modelo com 1875 cm2 de área frontal projetada fosse inserido no túnel qual seria a velocidade do ar na seção de testes 1351 Uma sonda estática de pitot é colocada em um duto convergentedivergente através do qual ar escoa O duto é alimentado por um reservatório mantido a 20ºC Se a sonda lê uma pressão estática de 75 kPa e uma pressão de estagnação de 100 kPa em um local onde a área é 000645 m2 qual é a velocidade local e a vazão mássica de ar 1352 Um bocal convergentedivergente com área de garganta de 1290 mm2 está conectado a um grande tanque no qual o ar é mantido a uma pressão de 550 kPa e a uma temperatura de 15ºC Sabendo que o bocal deve operar nas condições de projeto o escoamento é isentrópico e que a pressão ambiente fora do bocal é 89 kPa calcule a área de saída do bocal e a vazão mássica 1353 Um bocal convergentedivergente projetado para expandir ar até M 30 tem área de saída de 250 mm2 O bocal está aparafusado na lateral de um grande tanque e descarrega para a atmosferapadrão O ar no tanque está pressurizado a 45 MPa manométrica a 750 K Considere que o escoamento seja isentrópico no bocal Avalie a pressão no plano de saída do bocal Calcule a vazão mássica de ar através do bocal 1354 Metano é estocado em um tanque a 520 kPa e 27ºC O tanque descarrega para outro tanque por meio de um bocal convergente com área de saída 625 mm2 Qual é a vazão mássica inicial de metano quando o tanque de descarga está à pressão de a 1034 kPa e b 41369 kPa 1355 Ar com pressão de estagnação de 720 MPa abs e temperatura de estagnação de 1100 K escoa isentropicamente através de um bocal convergentedivergente que tem área de garganta de 001 m2 Determine a velocidade e a vazão mássica na seção a jusante onde o número de Mach é 40 1356 Ar deve ser expandido através de um bocal convergentedivergente em um processo adiabático sem atrito de uma pressão de 110 MPa abs e temperatura de 115ºC para uma pressão de 141 kPa abs Determine as áreas de garganta e de saída para um bocal bem projetado livre de choque se a vazão mássica for de 2 kgs 1357 Ar escoa isentropicamente através de um bocal convergentedivergente conectado a um grande tanque no qual a pressão é 173 MPa e a temperatura é 280 K O bocal está operando nas condições de projeto para as quais a pressão na saída do bocal pe é igual à pressão atmosférica local pa A área de saída do bocal é Ae 1016 mm2 Calcule a vazão através do bocal Trace um gráfico da vazão mássica para um aumento progressivo da temperatura do tanque até 1110 K todas as pressões permanecendo as mesmas Explique esse resultado por exemplo compare as vazões mássicas a 280 K e 1110 K 1358 Um pequeno motor de foguete a combustível sólido é testado em uma bancada de empuxo A pressão e temperatura na câmara são 4 MPa e 3250 K O bocal de propulsão é projetado para expandir os gases de descarga isentropicamente até uma pressão de 75 kPa O diâmetro de saída do bocal é 25 cm Trate o gás como ideal com k 125 e R 300 Jkg K Determine a vazão mássica do gás propelente e a força de empuxo exercida contra a bancada 1359 Nitrogênio à pressão e temperatura de 371 kPa abs e 400 K entra com velocidade desprezível em um bocal O jato de saída é dirigido contra uma grande placa plana perpendicular ao eixo do jato O escoamento deixa o bocal à pressão atmosférica A área de saída é 0003 m2 Determine a força requerida para manter a placa no lugar 1360 Um motor de foguete é alimentado com hidrogênio e oxigênio A temperatura e a pressão absolutas na câmara são 3300 K e 690 MPa O bocal é projetado para expandir os gases de descarga isentropicamente até uma pressão correspondente a uma altitude de 10 km em um diapadrão O empuxo produzido pelo motor deve ser de 100 kN nas condições de projeto Trate os gases de descarga como vapor de água e considere comportamento de gás ideal Determine a vazão mássica do propelente necessária para produzir o empuxo desejado a área de saída do bocal e a razão de áreas AeAt 1361 O motor de um pequeno foguete alimentado com hidrogênio e oxigênio é testado em uma bancada de empuxo a uma altitude simulada de 10 km O motor é operado nas condições de estagnação da câmara de 1500 K e 80 MPa manométrica O produto da combustão é vapor dágua que pode ser tratado como um gás ideal A expansão ocorre através de um bocal convergentedivergente com número de Mach de projeto de 35 e área de saída de 700 mm2 Avalie a pressão no plano de saída do bocal Calcule a vazão mássica de gás de descarga Determine a força exercida pelo motor do foguete sobre a bancada de empuxo 1362 Um cartucho de CO2 é usado para propelir um carrinho foguete Gás comprimido armazenado a 35 MPa e 20ºC é expandido através de um bocal convergente de contorno suave cuja garganta tem 05 mm de diâmetro A contrapressão é atmosférica Calcule a pressão na garganta do bocal Avalie a vazão mássica de dióxido de carbono através do bocal Determine o empuxo disponível para impulsionar o carrinho De quanto aumentaria o empuxo se uma seção divergente fosse acrescentada ao bocal para expandir o gás até a pressão atmosférica Qual é a área de saída Mostre os estados de estagnação e estáticos e os processos em um diagrama Ts 1363 Um motor de foguete está sendo testado ao nível do mar onde a pressão é 1013 kPa A pressão e a temperatura na câmara de combustão são 12066 kPa e 3000 K respectivamente O bocal possui uma área de garganta igual a 645 mm2 O gás de exaustão possui uma razão de calores específicos k 125 e uma constante de gás R 37696 N mkg K Considerando escoamento adiabático e sem atrito no bocal determine a a área e a velocidade de saída do bocal e b o empuxo gerado 1364 Se o motor de foguete do Problema 1363 for modificado cortando a parte divergente do bocal quais serão a pressão e empuxo na saída 1365 Considere a opção convergentedivergente do Problema 1362 Qual o aumento de pressão no gás seria necessário mantendo a temperatura em 20ºC para desenvolver um empuxo de 15N Considere escoamento isentrópico Choques Normais 1366 Um explosivo para demolição é avaliado através de teste Sensores indicam que a onda de choque gerada no instante da explosão é de 30 MPa abs Se a explosão ocorre no ar a 20C e 101 kPa encontre a velocidade da onda de choque e a temperatura e a velocidade do ar logo depois que a onda de choque passa Como uma aproximação considere k 14 Por que isso é uma aproximação 1367 Um choque normal ocorre no ar que escoa a um número de Mach de 175 Quais são os valores das razões de pressão e de temperatura através do choque Qual é o aumento de entropia através do choque 1368 Ar escoa no interior de um duto convergente e um choque normal ocorre na saída do duto A jusante do choque o número de Mach é 054 Se p2p1 2 calcule o número de Mach na entrada do duto e a razão de área A1A2 1369 Um choque normal ocorre quando um tubo pitotestático é inserido em um túnel de vento supersônico Pressões medidas pelo tubo são p02 69 kPa abs e p2 55 kPa abs Antes do choque T1 158 K e p1 10 kPa Calcule a velocidade do ar no túnel de vento 1370 Um grande tanque contendo ar a 860 kPa abs e 79C é conectado a um bocal convergentedivergente que tem uma área de garganta de 967 mm2 através do qual o ar está saindo Um choque normal ocorre em um ponto no bocal onde a área é 1613 mm2 A área de saída do bocal é 2258 mm2 Quais são os números de Mach logo depois do choque e na saída Quais são as pressões de estagnação e estática antes e depois do choque 1371 Uma sonda de pressão carga total é colocada em um túnel de vento supersônico onde T 294 K e M 20 Um choque normal ocorre em frente à sonda Após o choque M2 0577 e p2 40 kPa abs Determine a a pressão e a temperatura de estagnação a jusante e b todas as propriedades do escoamento a montante do choque Mostre os pontos dos estados de estagnação e estáticos e o caminho do processo em um diagrama Ts 1372 Ar escoa em regime permanente através de um tubo longo termicamente isolado de área constante Na seção M1 20 T1 60ºC e p1 247 kPa abs Na seção a jusante de um choque normal V2 330 ms Determine a massa específica e o número de Mach na seção Faça um esquema qualitativo da distribuição de pressão ao longo do tubo 1373 Um bocal de um túnel de vento é projetado para operar com número de Mach de 5 Para verificar a velocidade do escoamento um tubo de pitot é colocado na saída do bocal Como a extremidade do tubo é tosca um choque normal ocorre fora da extremidade do tubo de pitot Se a pressão estática na saída do bocal for 10 kPa que pressão absoluta o tubo de pitot deve medir Se a temperatura de estagnação antes do bocal for 1450 K qual é a velocidade na saída do bocal 1374 Uma corrente de ar encontra um choque normal a V1 900 ms p1 50 kPa e T1 220 K Quais são a velocidade e a pressão após o choque Quais seriam a velocidade e a pressão se o escoamento fosse desacelerado isentropicamente com o número de Mach constante 1375 Ar com condições de estagnação de 103421 kPa e 20444ºC é acelerado através de um bocal convergentedivergente com área de garganta de 00019 m2 Um choque normal está localizado onde a área é 00038 m2 Qual é o número de Mach antes e após o choque Qual é a taxa de geração de entropia através do bocal se o atrito for desprezível entre o escoamento e as paredes do bocal 1376 Ar aproximase de um choque normal a M1 25 com 694 K e p1 138 kPa abs Determine a velocidade e a temperatura do ar saindo do choque e a variação de entropia através do choque 1377 Ar passa por um choque normal Antes do choque T1 35ºC p1 229 kPa abs e V1 704 ms Determine a temperatura e a pressão de estagnação da corrente de ar deixando o choque 1378 Um choque normal ocorre em um duto de área constante Ar aproximase do choque com 550 K 650 kPa abs e M1 25 Determine a pressão estática a jusante do choque Compare a pressão após o choque com aquela obtida pela desaceleração isentrópica até o mesmo número de Mach subsônico 1379 Um choque normal ocorre no ar em uma seção onde V1 3200 kmh T1 26ºC e p1 34 kPa Determine a velocidade e o número de Mach após o choque e a variação na pressão de estagnação através do choque 1380 Ar aproximase de um choque normal a T1 22ºC p1 101 kPa abs e V1 2800 kmh Determine a velocidade imediatamente após o choque e a mudança de pressão através do mesmo Calcule a variação correspondente na pressão para uma desaceleração sem choque e sem atrito entre as mesmas velocidades 1381 Um avião supersônico voa a M 22 a 12 km de altitude Um tubo pitot é usado para detectar a pressão de estagnação que permitirá o cálculo da velocidade do ar Um choque normal ocorre em frente ao tubo Avalie as condições de estagnação isentrópica local antes do choque Estime a pressão detectada pelo tubo pitot Mostre todos os pontos dos estados estáticos e de estagnação e o caminho do processo em um diagrama Ts 1382 O avião supersônico de transporte Concorde voa a M 22 a 20 km de altitude Ar é desacelerado isentropicamente pelo sistema de admissão do motor para um número de Mach local de 13 O ar passa através de um choque normal e é desacelerado ainda mais para M 04 na seção do compressor do motor Considere como primeira aproximação que esse processo de difusão subsônica é isentrópico e use dados da atmosferapadrão para as condições da corrente livre Determine a temperatura a pressão e a pressão de estagnação do ar entrando no compressor do motor 1383 Sondas de pressão e de temperatura de estagnação estão localizadas sobre o nariz de uma aeronave supersônica A 10700 m de altitude um choque normal ocorre em frente às sondas A sonda de temperatura indica T0 215ºC atrás do choque Calcule o número de Mach e a velocidade do ar em relação ao avião Encontre os pontos dos estados de estagnação e estático atrás do choque Mostre o processo e os pontos dos estado de estagnação e estáticos em um diagrama Ts 1384 O veículo experimental hipersônico NASA X43A HyperX voou a um número de Mach de 968 a uma altitude de 33528 m Sondas para medir a temperatura e a pressão de estagnação foram colocadas sobre o nariz da aeronave Uma onda de choque normal ficou na frente destas sondas Estime a pressão e a temperatura de saturação medidas pelas sondas 1385 As Eqs 1320 formam um conjunto útil para analisar escoamento através de um choque normal Deduza outra equação útil a relação de RankineHugoniot e usea para achar a razão de massa específica para o ar quando p2p1 1386 Um avião supersônico voa a M 27 a uma altitude de 18000 m Um choque normal ocorre em frente a um tubo pitot sobre o avião o tubo mede a pressão de estagnação de 72 kPa abs Calcule a pressão estática e a temperatura atrás do choque Avalie a perda na pressão de estagnação através do choque Determine a variação na entropia específica através do choque Mostre os estados de estagnação e estáticos e o caminho do processo em um diagrama Ts 1387 Um avião está em voo supersônico a 10 km de altitude em um diapadrão A sua velocidade real em relação ao ar é 659 ms Calcule o número de Mach de voo do avião Um tubo de pressão carga total conectado à aeronave é usado para medir a pressão de estagnação que é convertida para o número de Mach do voo por um computador de bordo Entretanto o programador do computador ignorou o choque normal que ocorre em frente ao tubo de pressão total e considerou escoamento isentrópico Avalie a pressão medida pelo tubo Determine a velocidade errônea do ar calculada pelo programa do computador 1388 Um avião supersônico voa a M1 27 a 20 km de altitude em um diapadrão Ar é desacelerado isentropicamente pelo sistema de admissão do motor para M2 13 Um choque normal ocorre nesse local O escoamento subsônico resultante é desacelerado ainda mais para M4 040 O processo de difusão subsônica é adiabático mas não é isentrópico a pressão final é 104 kPa abs Avalie a a temperatura de estagnação do escoamento b a variação de pressão através do choque c a variação de entropia s4 s1 e d a pressão final de estagnação Esboce o processo em um diagrama Ts indicando todos os estados de estagnação e estáticos 1389 Uma onda de choque originada de uma explosão propagase para fora Para raios grandes a curvatura é pequena e a onda pode ser tratada como um choque normal forte Os aumentos de pressão e de temperatura associados à onda de choque diminuem à medida que a onda propagase para fora Em um dado instante a frente de onda viaja a M 160 com relação ao ar não perturbado na condiçãopadrão Determine a a velocidade do ar atrás da onda de choque com respeito à onda e b a velocidade do ar atrás da onda de choque como visto por um observador sobre o solo Desenhe um diagrama Ts para o processo como visto por um observador sobre a onda indicando os pontos dos estados estáticos e de estagnação e os valores das propriedades Escoamento Supersônico em Canal com Choques 1390 Considere a partida de um túnel de vento supersônico conforme mostrado A área da garganta do bocal é 012 m2 e o número de Mach de projeto na seção de teste é 250 Conforme o túnel começa a funcionar ocorre um choque normal na parte divergente do bocal onde a área é 028 m2 As condições de estagnação a montante são To 600 K e po 790 kPa abs Determine a mínima área de garganta do difusor teoricamente possível nesse instante Calcule o aumento de entropia através do choque 1391 Ar entra em um túnel de vento com as condições de estagnação de 10135 kPa e 2389ºC A seção de teste possui uma área de seção transversal de 00929 m2 e um número de Mach de 23 Determine a a área da garganta do bocal b a vazão mássica c a pressão e a temperatura na seção de teste e d a mínima área de garganta possível para garantir a partida do difusor 1392 Ar escoa através de um bocal convergentedivergente com AeAt 35 As condições de estagnação a montante são as atmosféricas a contrapressão é mantida por uma bomba de vácuo Determine a contrapressão requerida para causar um choque normal no plano de saída do bocal e a velocidade do escoamento imediatamente após o choque 1393 Um túnel de vento supersônico deve ser operado a M 22 na seção de teste A montante da seção de teste a área da garganta do bocal é 007 m2 Ar é fornecido nas condições de estagnação de 500 K e 10 MPa abs Em uma condição de escoamento durante o procedimento de partida do túnel um choque normal ocorre no plano de saída do bocal O escoamento é em regime permanente Para essa condição de partida imediatamente após o choque determine a o número de Mach b a pressão estática c a pressão de estagnação e d a área mínima teoricamente possível para a segunda garganta a jusante da seção de teste Em um diagrama Ts mostre os pontos dos estados estáticos e de estagnação e o caminho do processo 1394 Um bocal convergentedivergente está conectado a um grande tanque de ar no qual 300 K e 250 kPa abs Na garganta do bocal a pressão é 132 kPa abs Na seção divergente a pressão cai para 681 kPa antes de aumentar subitamente através de um choque normal Na saída do bocal a pressão é 180 kPa Determine o número de Mach imediatamente atrás do choque Determine a pressão imediatamente após o choque Calcule a variação de entropia através do choque Esboce o diagrama Ts para esse escoamento indicando os pontos dos estados estáticos e de estagnação para as condições na garganta do bocal em ambos os lados do choque e no plano de saída 1395 Um bocal convergentedivergente expande ar de 120ºC e 348 kPa abs para 101 kPa abs As áreas da garganta e do plano de saída são 517 e 592 mm2 respectivamente Calcule o número de Mach de saída Avalie a vazão mássica através do bocal 1396 Um bocal convergentedivergente com área de garganta At 645 mm2 está conectado a um grande tanque no qual a pressão e a temperatura são mantidas em 690 kPa abs e 330 K A área de saída do bocal é 1020 mm2 Determine o número de Mach de saída nas condições de projeto Referindo à Fig 1312 determine as contrapressões correspondentes aos limites dos Regimes I II III e IV Esboce o gráfico correspondente para esse bocal 1397 Um bocal convergentedivergente é projetado para produzir um número de Mach de 25 com ar Que razões de pressão de operação pbpt entrada farão com que este bocal opere com escoamento isentrópico sempre e escoamento supersônico na saída o chamado terceiro ponto crítico com escoamento isentrópico sempre e escoamento subsônico na saída o primeiro ponto crítico e com um choque normal na saída do bocal o segundo ponto crítico 1398 Oxigênio escoa através de um bocal convergentedivergente com uma razão de área da saída para a garganta de 30 A pressão de estagnação na entrada é 82737 kPa e a contrapressão é 34474 kPa Calcule as razões de pressão para o bocal e demonstre que uma onda de choque normal deve estar localizada no interior da porção divergente do bocal Calcule a razão de área na qual o choque ocorre os números de Mach imediatamente antes e após o choque e o número de Mach na saída do bocal 1399 Um bocal convergentedivergente com AeAt 40 é projetado para expandir o ar isentropicamente até a pressão atmosférica Determine o número de Mach de saída nas condições de projeto e a pressão de estagnação de entrada requerida Referindo à Fig 1312 determine as contrapressões que correspondem aos limites dos Regimes I II III e IV Esboce o gráfico da razão de pressão versus distância axial para esse bocal 13100 Um choque normal ocorre na seção divergente de um bocal convergentedivergente onde A 25 cm2 e M 275 A montante T0 550 K e p0 700 kPa abs A área de saída do bocal é 40 cm2 Considere que o escoamento é isentrópico exceto através do choque Determine a pressão na saída do bocal a área da garganta e a vazão mássica 13101 Ar escoa adiabaticamente de um reservatório onde T 60ºC e p 600 kPa abs através de um bocal convergentedivergente com AeAt 40 Um choque normal ocorre onde M 242 Considerando escoamento isentrópico antes e depois do choque determine a contrapressão a jusante do bocal Esboce a distribuição de pressão 13102 Um bocal convergentedivergente é projetado para expandir ar isentropicamente até a pressão atmosférica a partir de um grande tanque onde T0 150ºC e p0 790 kPa abs Um choque normal ocorre na porção divergente em um local onde p 160 kPa abs e A 600 mm2 Determine a contrapressão do bocal a área de saída e a área da garganta 13103 Um bocal convergentedivergente com razão de pressão de projeto pep0 0128 é operado com uma contrapressão tal que pbp0 0830 causando um choque normal na porção divergente Determine o número de Mach no qual o choque ocorre 13104 Ar escoa através de um bocal convergentedivergente com AeAt 35 As condições de estagnação a montante são atmosféricas a contrapressão é mantida por um sistema de vácuo Determine a faixa de contrapressões em que ocorrerá um choque normal dentro do bocal e a correspondente vazão em massa se At 500 mm2 13105 Um bocal convergentedivergente com AeAt 1633 é projetado para operar com pressão atmosférica no plano de saída Determine as faixas de pressões de estagnação de entrada para as quais o bocal estará livre de choques normais 13106 Ar escoa através de um bocal convergentedivergente com AeAt 187 A montante 115ºC e 690 kPa abs A contrapressão é mantida a 275 kPa Determine o número de Mach e a velocidade do escoamento no plano de saída do bocal 13107 Um choque normal ocorre na seção divergente de um bocal convergentedivergente onde A 2580 mm2 e M 200 A montante 555 K e 690 kPa A área de saída do bocal é 3870 mm2 Considere que o escoamento seja isentrópico exceto através do choque Determine a pressão de saída do bocal Mostre o processo em um diagrama Ts indicando os pontos de estado estático e de estagnação 13108 Considere o escoamento de ar através de um bocal convergentedivergente Esboce o comportamento aproximado da vazão mássica versus razão de pressão na região de descarga pbp0 Esboce a variação de pressão com a distância ao longo do bocal e o diagrama Ts para o escoamento no bocal quando a contrapressão é p 13109 Ar entra em um bocal convergentedivergente com uma razão de área de 176 As condições de estagnação na entrada são 1034 kPa e 933ºC Um choque normal ocorre em um local onde a área é 12 vez a área da garganta Determine o número de Mach na saída e a pressão estática Qual é a pressão de saída 13110 Um choque normal estacionário ocorre na seção divergente de um bocal convergentedivergente O número de Mach na frente do choque é 30 A área do bocal no choque é 500 mm2 O bocal é alimentado por ar proveniente de um grande tanque onde a pressão é 1000 kPa manométrica e a temperatura é 400 K Determine o número de Mach a pressão de estagnação e a pressão estática após o choque Calcule a área da garganta do bocal Avalie a variação de entropia através do choque Finalmente se a área de saída do bocal é 600 mm2 estime o número de Mach de saída O número de Mach real de saída seria maior menor ou igual ao estimado Por quê 13111 Ar escoa adiabaticamente de um reservatório onde 60ºC e 600 kPa abs através de um bocal convergente divergente O número de Mach de projeto do bocal é 294 Um choque normal ocorre no local do bocal onde M 242 Considerando escoamento isentrópico antes e depois do choque determine a contrapressão a jusante do bocal Esboce a distribuição de pressão 13112 Ar escoa através de um bocal convergentedivergente com uma razão de área de 25 As condições de estagnação na entrada são 1 MPa e 320 K Um duto adiabático e com área constante com LD 10 e f 003 é anexado à saída do bocal a Calcule a contrapressão que causaria um choque normal na saída do bocal b Que contrapressão causaria um choque normal na saída do duto c Que contrapressão resultaria em um escoamento livre de choque 13113 Considere a instalação do Problema 13112 exceto que o duto de área constante não possui e não é mais adiabático Um choque normal ocorre na saída do duto após o qual a temperatura é 350 K Calcule o número de Mach após a onda de choque e a adição de calor no duto de área constante 13114 Um choque normal ocorre em uma seção de um duto de área constante isolado termicamente O escoamento é com atrito Na seção a uma certa distância a montante do choque T1 260 K Na seção a uma certa distância a jusante do choque T4 417 K e M4 10 Denote as condições imediatamente antes e após o choque pelos subscritos e respectivamente Esboce a distribuição de pressão ao longo do duto indicando claramente os locais das seções de a Esboce um diagrama Ts para o escoamento Determine o número de Mach na seção 13115 Um túnel de vento supersônico deve ter duas gargantas com a segunda garganta maior do que a primeira Explique porque deve ser assim 13116 Um choque normal ocorre em uma seção de um duto de área constante isolado termicamente O escoamento é com atrito Na seção a uma certa distância a montante do choque T1 370 K 540 kPa abs e M1 205 Na seção a uma certa distância a jusante do choque M4 10 Calcule a velocidade do ar V2 imediatamente à frente do choque onde T2 198ºC Avalie a variação de entropia s4 s1 Escoamento com Atrito 13117 Nitrogênio é descarregado de um duto com 30 cm de diâmetro à M2 085 T2 300 K e p2 200 kPa A temperatura na entrada do duto é T1 330 K Calcule a pressão na entrada e a vazão mássica 13118 Ar ambiente é aspirado para o interior de um tubo de área constante isolado termicamente através de um bocal convergente com contornos suaves As condições ambientes são T 27ºC e p 1013 kPa abs O diâmetro do tubo é D 25 mm A pressão na entrada do tubo saída do bocal é p1 90 kPa abs Determine a a vazão mássica no tubo e b a faixa de pressões de saída para as quais ocorrerá choque na saída do tubo 13119 Ar proveniente de um grande reservatório a 170 kPa abs e 120ºC escoa em processo isentrópico através de um bocal convergente para um tubo isolado termicamente a 165 kPa abs O escoamento no interior do tubo sofre os efeitos do atrito Obtenha um gráfico do diagrama Ts para esse escoamento até que M 1 Também obtenha um gráfico da distribuição de pressão e de velocidade a partir da entrada até o local onde M 1 13120 Repita o Problema 13119 exceto que agora o bocal é convergentedivergente liberando o ar para o tubo a 17 kPa abs 13121 Um tubo com 5 m de comprimento e 35 cm de diâmetro contém oxigênio escoando a uma vazão de 40 kgs As condições de entrada são p1 200 kPa e T1 450 K A pressão de saída é p2 160 kPa Calcule o número de Mach na entrada e na saída e a pressão e temperatura de estagnação na saída Determine o fator de atrito e estime a rugosidade absoluta do material do tubo 13122 A escoa adiabaticamente e em regime permanente a partir de um grande tanque através de um bocal convergente conectado a um tubo de área constante isolado termicamente O bocal pode ser considerado sem atrito O ar no tanque está a p 1 MPa abs e T 120ºC A pressão absoluta na saída do bocal entrada do tubo é 860 kPa abs Determine a pressão no final do tubo se a temperatura nesse local for 65ºC Determine o aumento de entropia 13123 Um aparelho de escoamento na linha de Fanno em um laboratório de curso de graduação da disciplina mecânica dos fluidos consiste em um tubo de latão liso de 716 mm de diâmetro interno alimentado por um bocal convergente A temperatura no laboratório e a leitura do barômetro não corrigida são 235ºC e 7551 mm de mercúrio respectivamente A pressão na saída do bocal convergente entrada do tubo de área constante é 208 mm de mercúrio manométrica Calcule o número de Mach na entrada do tubo de área constante Calcule a vazão mássica no tubo Avalie a pressão no local onde o número de Mach é 04 13124 Medições são realizadas em um escoamento compressível em um tubo longo e liso com diâmetro interno de 716 mm Ar é aspirado do ambiente 20ºC e 101 kPa por uma bomba de vácuo localizada a jusante As leituras de pressão ao longo do tubo tornamse regime permanente quando a pressão a jusante é reduzida para 626 mm de mercúrio vácuo ou abaixo desse valor Para estas condições determine a a vazão mássica máxima possível através do tubo b a pressão de estagnação do ar saindo do tubo e c a variação de entropia do ar no tubo Mostre os pontos do estado de estagnação e estático e o caminho do processo em um diagrama Ts 13125 Ar escoa através de um tubo liso bem isolado termicamente com diâmetro de 100 mm a uma vazão de 076 kgs Em uma seção o ar está a 690 kPa abs e 27ºC Determine a pressão mínima e a velocidade máxima que podem ocorrer no interior do tubo 13126 Nitrogênio nas condições de estagnação de 724 kPa e 38ºC escoa sem atrito através de um bocal convergentedivergente bem isolado termicamente O bocal que possui uma razão de área da garganta para a saída de 4 descarrega supersonicamente no interior de um tubo de área constante que possui um comprimento de atrito fLD 0355 Determine a temperatura e a pressão na saída do tubo 13127 Um bocal convergentedivergente descarrega ar no interior de um tubo termicamente isolado com área A 645 mm2 Na entrada do tubo p 127 kPa T 38ºC e M 20 Para escoamento sem choque com um número de Mach igual a 10 calcule a temperatura de saída a força líquida do fluido sobre o tubo e a variação de entropia 13128 Ar é aspirado da atmosfera 20ºC e 101 kPa através de um bocal convergente para o interior de um tubo de área constante longo e termicamente isolado com diâmetro de 20 mm O escoamento no bocal é isentrópico A pressão na entrada do tubo de área constante é p1 994 kPa Avalie a vazão mássica através do tubo Calcule T e p para o processo isentrópico Calcule T e p para o escoamento saindo do tubo de área constante Mostre os pontos correspondentes do estado de estagnação e estático sobre um diagrama Ts 13129 Ar escoa através de um bocal convergente e em seguida em um comprimento de um tubo termicamente isolado O ar é fornecido de um tanque onde a temperatura permanece constante a 15ºC e a pressão é variável A extremidade de saída do tubo descarrega para a atmosfera Quando o escoamento de saída está bloqueado medições de pressão mostram que a pressão e o número de Mach na entrada do tubo são respectivamente 367 kPa e 030 Determine a pressão e a temperatura no tanque a pressão de estagnação e a vazão mássica do escoamento de saída se o diâmetro do tubo for 63 mm Mostre em um diagrama Ts o efeito do aumento da pressão do tanque até 690 kPa Esboce um gráfico com a distribuição de pressão em função da distância ao longo do canal para esta nova condição de escoamento 13130 Um tubo de área constante é alimentado por um bocal somente convergente O bocal recebe ar de uma grande câmara a p1 600 kPa e T1 550 K O tubo possui um comprimento de atrito de 53 e é bloqueado na saída Qual é a pressão na saída do tubo Se 80 do comprimento deste tubo é removido e as condições na estação 1 e o fator de atrito permanecem constantes qual é a nova pressão de saída e o novo número de Mach Esboce ambos os processos em um diagrama Ts 13131 Desejamos construir um túnel de vento supersônico usando um conjunto bocal termicamente isolado e tubo de área constante Desejase operação sem choque com M1 21 na entrada da seção de teste e M2 11 na saída da seção de teste As condições de estagnação são To 295 K e po 101 kPa abs Calcule a pressão e a temperatura de saída e a variação de entropia através da seção de teste 13132 Considere o escoamento adiabático e ar no interior de um tubo de área constante com atrito Em uma seção do tubo p0 690 kPa T0 280 K e M 070 Se a área da seção transversal for 009 m2 e o número de Mach na saída for M2 1 determine a força de atrito exercida sobre o fluido pelo tubo 13133 Para as condições do Problema 13122 determine o comprimento L do tubo de aço comercial com 50 mm de diâmetro entre as seções e 13134 Considere o canal de escoamento em linha de Fanno em laboratório do Problema 13123 Considere que as condições são 225ºC e 760 mm de mercúrio não corrigida A leitura do manômetro em uma tomada de pressão no final do bocal convergente é 118 mm de mercúrio manométrica Calcule o número de Mach neste local Determine o comprimento de tubo requerido para obter escoamento bloqueado Calcule a temperatura e a pressão de estagnação no estado bloqueado no tubo de área constante 13135 Um tubo com comprimento de 1219 m possui seção de 06096 m por 06096 m Ar entra a M1 30 e sai a M2 17 com T2 280 K e p2 78573 kPa Determine as condições de estagnação e estática na entrada Qual é o fator de atrito para o tubo 13136 Ar escoa em um tubo com diâmetro interno de 00762 m nominal que possui comprimento de 3048 m O ar entra com um número de Mach de 05 e uma temperatura de 2111ºC Que fator de atrito faria com que o escoamento fosse sônico na saída Se a pressão de saída é 10139 kPa e o tubo é feito de ferro fundido estime a pressão de entrada 13137 Para as condições do Problema 13132 determine o comprimento do duto Considere o duto circular e feito de aço comercial Trace as variações de pressão e do número de Mach versus a distância ao longo do duto 13138 Usando as coordenadas TT0 e s scp onde s é a entropia para M 1 trace a linha de Fanno começando com as condições de entrada especificadas no Exemplo 138 Prossiga até M 1 13139 Considere o escoamento descrito no Exemplo 138 Usando as funções para escoamento de linha de Fanno de um gás ideal trace a pressão estática a temperatura e o número de Mach versus LD medido a partir da entrada do tubo prossiga até que a condição de bloqueio seja alcançada 13140 Usando as coordenadas TT e s scp onde s é a entropia para M 1 trace a linha de Fanno para escoamento de ar para 01 M 30 13141 Ar escoa através de um trecho de 12 m de duto termicamente isolado e de área constante com D 065 m A rugosidade relativa é eD 0002 Na entrada do duto T1 38ºC e p1 117 kPa Em um local a jusante p2 101 kPa e o escoamento é subsônico Há informação suficiente para resolver para M1 e M2 Prove a sua resposta graficamente Determine a vazão mássica no duto e T2 13142 Ar trazido para dentro de um tubo através de um bocal convergentedivergente tem inicialmente temperatura e pressão de estagnação de 550 K e 135 MPa abs O escoamento no bocal é isentrópico o escoamento no tubo é adiabático Na junção entre o bocal e o tubo a pressão é 15 kPa O tubo tem 15 m de comprimento e 25 cm de diâmetro Sabendo que o número de Mach na saída é igual a 1 determine o fator de atrito médio para todo o comprimento do tubo Calcule a variação de pressão entre a entrada e a saída do tubo 13143 Para as condições do Problema 13127 determine o comprimento do duto Considere que o duto é circular e feito de aço comercial Trace as variações de pressão e do número de Mach versus a distância ao longo do duto 13144 Um duto liso de área constante D 150 mm deve ser alimentado por um bocal convergentedivergente a partir de um tanque contendo ar a 295 K e 10 MPa abs Uma operação livre de choque é desejada O número de Mach na entrada do duto deve ser 21 e o número de Mach na saída deve ser 14 O conjunto todo será isolado termicamente Determine a a pressão requerida na saída do duto b o comprimento requerido do duto e c a variação na entropia específica Mostre os pontos dos estados de estagnação e estáticos e a linha do processo em um diagrama Ts 13145 Gás natural deve ser bombeado através de 96 km de tubo com diâmetro de 76 cm com um fator de atrito médio de 0025 A temperatura do gás permanece constante em 60ºC e a vazão mássica é 1814 kgs A pressão do gás a jusante é 150 kPa Estime a pressão de entrada requerida e a potência necessária para bombear o gás através do tubo 13146 Ar escoa através de um tubo com diâmetro de 254 mm e 3048 m de comprimento O fator de atrito do tubo é 003 Se as condições na entrada forem 1034 kPa e 297 K calcule a vazão mássica para a escoamento incompressível usando os métodos do Capítulo 8 b escoamento Fanno adiabático e c escoamento isotérmico Considere para as partes b e c que a pressão de saída é 1013 kPa 13147 Uma linha umbilical de 15 m para um astronauta em um passeio pelo espaço é mantida a temperatura constante de 20ºC O oxigênio é fornecido ao astronauta a uma taxa de 10 Lmin através de um tubo com 1 cm na linha umbilical com um fator de atrito médio de 001 Se a pressão do oxigênio na extremidade a jusante for 30 kPa qual deve ser a pressão a montante Quanto de potência é necessário para alimentar de oxigênio o astronauta 13148 Ar entra em um tubo de 15 cm de diâmetro a 15C 15 MPa e 60 ms O fator de atrito médio é 0013 O escoamento é isotérmico Calcule o número de Mach local e a distância a partir da entrada do canal do ponto onde a pressão atinge 500 kPa 13149 Em gasodutos longos de área constante como os usados para gás natural a temperatura é praticamente constante Considere que o gás deixe uma estação de bombeamento a 350 kPa e 20ºC com M 010 Para a seção ao longo do tubo onde a pressão caiu para 150 kPa calcule o número de Mach do escoamento Calor é adicionado ou removido do gás no trecho entre as tomadas de pressão Justifique a sua resposta esboce o processo em um diagrama Ts Indique qualitativamente e 13150 Um tubo de aço limpo tem 290 m de comprimento e 133 mm de diâmetro interno Ar a 27ºC 827 kPa e 24 ms entra no tubo Calcule e compare as quedas de pressão através do tubo para escoamento a incompressível b isotérmico e c adiabático 13151 Ar entra em um canal horizontal de área constante a 93ºC 41 MPa e 107 ms Determine a pressãolimite para escoamento isotérmico Compare com a pressãolimite para escoamento adiabático com atrito Escoamento com Transferência de Calor 13152 Gás natural massa molecular Mm 18 e k 13 deve ser bombeado através de um tubo com diâmetro interno de 914 mm que liga duas estações de compressores separadas por uma distância de 64 km Na estação de montante a pressão não deve exceder 620 kPa e na estação de jusante deve ser de pelo menos 69 kPa Calcule a máxima vazão em volume permitida m3dia a 21C e 1013 kPa considerando troca de calor suficiente através do tubo para manter o gás a 21ºC 13153 De um grande reservatório a 172 kPa e 120C ar escoa isentropicamente através de um bocal convergente em direção a um tubo sem atrito a 165 kPa O ar é aquecido à medida que ele escoa ao longo do tubo Trace um gráfico Ts para esse escoamento até M 1 Trace também o gráfico da distribuição da pressão e da velocidade desde a entrada até a localização em que M 1 13154 Ar entra em um tubo de área constante com M1 30 e T1 250 K Uma transferência diminui o número de Mach na saída para M2 160 Calcule as temperaturas de estagnação e estática na saída e determine a magnitude e direção da transferência de calor 13155 Repita o Problema 13153 considerando que o bocal agora seja convergentedivergente e que forneça o ar para o tubo a 1724 kPa absoluta 13156 Considere o escoamento sem atrito de ar em um duto de área constante Na seção M1 050 p1 110 MPa abs e 333 K Devido ao efeito de troca de calor o número de Mach na seção é M2 090 e a temperatura de estagnação é 478 K Determine o calor transferido por unidade de massa para o fluido ou do fluido entre as seções e e a diferença de pressão p1 p2 13157 Ar escoa sem atrito através de um duto curto de área constante Na entrada do duto M1 030 T1 50ºC ρ1 216 kgm3 Como resultado do aquecimento o número de Mach e a pressão na saída do tubo são M2 060 e p2 150 kPa Determine a adição de calor por unidade de massa e a variação de entropia para o processo 13158 Ar entra em um tubo com 150 mm de diâmetro com uma velocidade de 90 ms As condições de entrada são 1013 kPa e 93ºC Que quantidade de calor deve ser adicionada ao escoamento para levar a a máxima temperatura estática na saída e b escoamento sônico na saída 13159 Freon líquido usado para resfriar componentes elétricos escoa em regime permanente em um tubo horizontal de diâmetro constante D 165 mm Calor é transferido para o escoamento e o líquido ferve deixando o tubo como vapor Os efeitos de atrito são desprezíveis comparados com os da adição de calor As condições do escoamento são mostradas Determine a a taxa de transferência de calor e b a diferença de pressão p1 p2 13160 Ar escoa através de um tubo com diâmetro interno de 5 cm com atrito desprezível As condições de entrada são T1 15ºC p1 1 MPa abs e M1 035 Determine a transferência de calor por kg de ar necessária para produzir M2 10 na saída do tubo onde p2 500 kPa 13161 Ar escoa com uma vazão de 142 kgs através de um duto de 100 mm de diâmetro Na seção de entrada a temperatura e a pressão absoluta são 52C e 600 kPa Na seção a jusante onde o escoamento é bloqueado T2 45C Determine a adição de calor por unidade de massa a variação de entropia e a variação na pressão de estagnação para o processo admitindo escoamento sem atrito 13162 Considere o escoamento sem atrito de ar em um duto de área constante A 0008 m2 Em uma seção as propriedades estáticas são 278 K e 103 kPa e o número de Mach é 02 Em uma seção a jusante a pressão estática é 69 kPa Desenhe um diagrama Ts mostrando os estados de estagnação e estáticos Calcule a velocidade do escoamento e a temperatura na seção a jusante Avalie a taxa de troca de calor para o processo 13163 Nitrogênio escoa através de um tubo sem atrito Na entrada do tubo as condições são M1 075 280 K e p1 16547 kPa Na saída do tubo a pressão é p2 27579 kPa Determine a direção e a quantidade de calor transferido para o nitrogênio 13164 Um combustor de um motor a jato JT8D como o usado no avião Douglas DC9 tem uma vazão mássica de ar de 68 kgs A área é constante e os efeitos de atrito são desprezíveis As propriedades na entrada da câmara de combustão são 700 K 162 MPa e 185 ms Na saída do combustor T 1022 K e M 0476 O poder calorífico do combustível é 41900 kJkg a razão arcombustível é grande o suficiente para que as propriedades sejam como as do ar Calcule a pressão na saída do combustor Determine a taxa de adição de energia à corrente de ar Determine a vazão mássica de combustível requerida comparea com a vazão mássica de ar Mostre o processo em um diagrama Ts indicando os estados de estagnação e estáticos e o caminho do processo 13165 Considere o escoamento sem atrito de ar em um duto com D 10 cm Na seção a temperatura e a pressão são 0ºC e 70 kPa a vazão mássica é 05 kgs Que quantidade de calor pode ser adicionada sem bloquear o escoamento Avalie a variação resultante na pressão de estagnação 13166 Um duto de área constante é alimentado com ar proveniente de um bocal convergentedivergente Na entrada do duto as seguintes propriedades são conhecidas 800 kPa abs 700 K e M1 30 Em uma curta distância a jusante no duto na seção p2 464 kPa Considerando escoamento sem atrito determine a velocidade a pressão e o número de Mach na seção e a troca de calor entre a entrada e a seção 13167 Ar escoa sem atrito em regime permanente e a uma taxa de 183 kgs através de um duto com área de seção reta de 002 m2 Na entrada do duto a temperatura e a pressão absoluta são 260ºC e 126 kPa O escoamento de saída é subsônico e descarrega para a atmosfera Determine o número de Mach a temperatura e a temperatura de estagnação na saída do duto e a taxa de transferência de calor 13168 Um escoamento de 20 kgs de ar entra em um tubo com área de 006 m2 a uma pressão de 320 kPa e uma temperatura de 350 K Determine as condições na saída pressão temperatura e número de Mach se calor for adicionado ao tubo a uma taxa de 650 kJkg de ar 13169 Um escoamento de ar entra em um tubo de área constante e sem atrito com p1 135 kPa T1 500 K e V1 540 ms Qual a quantidade de transferência de calor é necessária para bloquear o escoamento Este calor é transferido para a entrada ou saída do tubo 13170 No escoamento sem atrito de ar através de um duto de 100 mm de diâmetro 142 kgs entram a 52ºC e 600 kPa abs Determine a quantidade de calor que deve ser adicionada para bloquear o escoamento e as propriedades do fluido no estado de bloqueio 13171 Ar escoa sem atrito em um trecho curto de um duto de seção constante Na entrada do duto M1 030 T1 50ºC e ρ1 216 kgm3 Na saída do duto M2 060 Determine a adição de calor por unidade de massa a variação de entropia e a variação na pressão de estagnação para o processo 13172 Ar proveniente do sistema de admissão de um avião entra na câmara de combustão do motor onde calor é adicionado durante um processo sem atrito em um tubo de área constante igual a 001 m2 A temperatura de estagnação isentrópica local e o número de Mach na entrada do combustor são 427 K e 03 respectivamente A vazão mássica é 05 kgs Quando a taxa de adição de calor é ajustada em 404 kW o escoamento sai da câmara de combustão a 1026 K e 229 kPa abs Determine para esse processo a o número de Mach na saída do combustor b a pressão estática na entrada do combustor e c a variação na pressão de estagnação isentrópica local durante o processo de adição de calor Mostre os pontos dos estados de estagnação e estáticos e indique o caminho do processo em um diagrama Ts 13173 Ar entra em um tubo de área constante e sem atrito com M1 20 T1 168 K e p1 48263 kPa Uma transferência de calor ocorre conforme o ar escoa para baixo no tubo Uma seção convergente A2A3 15 é colocada no final do tubo de área constante e M3 10 Considerando escoamento isentrópico com exceção da transferência de calor através do tubo calcule a quantidade e a direção do calor transferido 13174 Considere o escoamento permanente e unidimensional de ar em uma câmara de combustão com área constante de 005 m2 onde um combustível de hidrocarbonetos adicionado à corrente de ar é queimado O processo é equivalente a um aquecimento simples porque a quantidade de combustível é pequena em comparação com a de ar o aquecimento ocorre em uma distância curta de modo que o atrito é desprezível As propriedades na entrada da câmara são 450 K 138 MPa e M 03 A velocidade na saída da câmara não deve exceder 610 ms Determine as propriedades na saída da câmara e a taxa de adição de calor Mostre o processo em um diagrama Ts indicando os pontos dos estados estáticos e de estagnação antes e depois da adição de calor 13175 O escoamento na câmara de combustão de uma turbina a gás é modelado como o aquecimento de ar unidimensional sem atrito em regime permanente em um duto de área constante Para certo processo as condições de entrada são 500ºC 15 MPa e M 05 Calcule a máxima adição de calor possível Determine todas as propriedades do fluido na seção de saída e a redução na pressão de estagnação Mostre o processo em um diagrama Ts indicando todos os pontos dos estados estáticos e de estagnação 13176 Um túnel de vento supersônico é suprido com ar a 25ºC proveniente de um tanque de alta pressão A temperatura na seção de teste deve ser mantida acima de 0º C para evitar a formação de partículas de gelo Para isso o ar proveniente do tanque é aquecido antes de escoar para dentro de um bocal convergentedivergente que alimenta a seção de teste O aquecimento é feito em um trecho curto de área constante A potência do aquecedor é kW O número de Mach de projeto na seção de teste do túnel deve ser 30 Avalie a temperatura de estagnação requerida na saída do aquecedor Calcule a máxima vazão mássica na qual o ar pode ser fornecido para a seção de teste do túnel de vento Determine a razão de áreas AeAt 13177 Considere o escoamento permanente em um combustor onde energia térmica é adicionada pela queima de combustível Despreze o atrito Considere que as propriedades termodinâmicas sejam constantes e iguais àquelas do ar puro Calcule a temperatura de estagnação e o número de Mach na saída do queimador Avalie a adição de calor por unidade de massa e a taxa de transferência de calor Expresse a taxa de adição de calor como uma fração da taxa máxima de adição de calor possível com esse número de Mach de entrada 13178 Um avião de transporte a jato voa a M 085 em uma altitude de 12000 m O ar para o sistema de pressurização da cabine é insuflado através de um duto de admissão e desacelerado isentropicamente para 30 ms em relação à aeronave Em seguida ele entra em um compressor onde sua pressão é elevada adiabaticamente a fim de criar uma pressão na cabine equivalente a uma altitude de 2400 m O aumento de temperatura do ar através do compressor é de 77ºC Finalmente o ar é resfriado para 21ºC em um trocador de calor com atrito desprezível antes de ser lançado no interior da cabine Esquematize um diagrama do sistema assinalando todos os componentes e numerando apropriadamente as seções Determine as temperaturas e as pressões estáticas e de estagnação em cada seção Trace em escala um diagrama Ts mostrando os pontos dos estados de estagnação e estáticos e indicando os caminhos do processo Avalie o trabalho fornecido ao compressor e a energia rejeitada no trocador de calor 13179 Um escoamento de ar sem atrito em um duto de área constante é descarregado à pressão atmosférica na seção A montante na seção M1 30 T1 120 K e p1 12 kPa Entre as seções e 113 kJkg de ar são adicionados ao escoamento Determine M2 e p2 Além de um diagrama Ts para o processo esboce a distribuição de pressão como uma função da distância ao longo do canal assinalando as seções e Choques Oblíquos e Ondas de Expansão 13180 Mostre que assim como o número de Mach a montante tende para infinito o número de Mach após um choque oblíquo tornase 13181 Ar a 400 K e 100 kPa está escoando a um número de Mach de 18 e é defletido através de um ângulo de 14º A variação direcional é acompanhada por um choque oblíquo Quais são os possíveis ângulos de choque Para cada um desses ângulos de choque qual é a pressão e a temperatura após o choque 13182 Considere um escoamento supersônico de ar a M1 30 Qual é a faixa de valores possíveis do ângulo β de choques oblíquos Para essa faixa de β faça um gráfico da razão de pressão através do choque 13183 Um escoamento supersônico de ar a M1 25 e 80 kPa abs é defletido por um choque oblíquo com ângulo β 35º Determine o número de Mach e a pressão após o choque e o ângulo de deflexão Compare esses resultados com aqueles obtidos caso o escoamento tivesse passado por um choque normal Qual é o menor valor possível do ângulo β para esse número de Mach a montante 13184 A temperatura e o número de Mach antes de um choque oblíquo são T1 10ºC e M1 325 respectivamente e a razão de pressão através do choque é 5 Determine o ângulo de deflexão θ o ângulo de choque β e o número de Mach após o choque M2 13185 As velocidades do ar antes e após um choque oblíquo são 1250 ms e 650 ms respectivamente e o ângulo de deflexão é θ 35º Determine o ângulo de choque oblíquo β e a razão de pressão através do choque 13186 Um aerofólio tem uma borda de entrada com um ângulo incluso δ 60o Ele está sendo testado em um túnel de vento operando a 1200 ms a pressão e a temperatura do ar a montante são 75 kPa e 35oC Trace um gráfico da pressão e da temperatura na região adjacente à superfície superior como funções do ângulo de ataque α variando α de 0o até 30o Quais são a pressão e a temperatura máximas Ignore a possibilidade de um choque separado se desenvolver para um valor de α muito grande veja o Problema 13189 13187 Um aerofólio em ângulo de ataque zero tem uma borda de entrada aguda com um ângulo incluso de 20o Ele está sendo testado para uma faixa de velocidades em um túnel de vento A temperatura do ar a montante é mantida em 15oC Determine o número de Mach e a correspondente velocidade do ar na qual um choque normal separado cola pela primeira vez à borda de entrada e o ângulo do choque oblíquo resultante Trace um gráfico do ângulo de choque oblíquo β como uma função do número de Mach a montante M1 do valor mínimo de choque colado até M1 7 13188 O aerofólio em forma de cunha mostrado tem corda c 15 m e ângulo incluso δ 7º Determine a sustentação por unidade de envergadura em um número de Mach de 275 no ar para o qual a pressão estática é 70 kPa 13189 O aerofólio do Problema 13186 desenvolverá um choque separado sobre a superfície inferior se o ângulo de ataque α exceder um certo valor Qual é esse ângulo de ataque Trace um gráfico da pressão e da temperatura na região adjacente à superfície inferior como funções do ângulo de ataque α variando α 0o até o valor para o qual o choque tornase separado Quais são a pressão e a temperatura máximas 13190 Um choque oblíquo perturba um escoamento que tinha número de Mach M 4 e uma pressão estática de 75 kPa diminuindo o número de Mach para M 25 Encontre o ângulo de deflexão e a pressão estática após o choque 13191 O aerofólio em forma de cunha mostrado tem corda c 2 m e ângulos δinferior 15º e δsuperior 5º Determine a sustentação por unidade de envergadura em um número de Mach de 275 no ar para o qual a pressão estática é 75 kPa 13192 Ar escoa a um número de Mach de 33 com as condições estáticas de 3778ºC e 1379 kPa Um choque oblíquo é observado a um ângulo de 45º relativo ao escoamento Calcule as condições após o choque pressão temperatura e número de Mach Qual é o ângulo de deflexão para o escoamento Este é um choque fraco ou forte 13193 Ar entrando no coletor de admissão de um motor a jato é virado a um ângulo de 8º criando um choque oblíquo Se a corrente livre do escoamento de ar está a um número de Mach de 4 e a 5516 kPa qual é a pressão após o choque oblíquo Qual seria a pressão se o escoamento ocorresse através de dois ângulos separados de 4º em vez de um ângulo de 8º 13194 Ar com um número de Mach inicial de 23 e condições estáticas de 10135 kPa e 2667ºC é girado em um ângulo de 10º O choque resultante no canto é refletido a partir da parede oposta girando o escoamento de volta em um ângulo de 10º para sua direção original Calcule a pressão a temperatura e o número de Mach após as ondas de choque inicial e refletida 13195 Um projétil em forma de cunha metade do ângulo é 10º é lançado através do ar a 689 kPa e 1222ºC Se a medida da pressão estática sobre a superfície da borda for 2068 kPa calcule a velocidade na qual o projétil se move através do ar 13196 Ar a um número de Mach de 2 e pressão de 1 atmosfera é girado 16º através de uma expansão seguida de outro giro de 16º causando um onda de choque Calcule o número de Mach e a pressão a jusante do choque oblíquo 13197 Ar a um número de Mach de 20 e pressão estática de 3447 kPa é girado através de um ângulo de 20º Determine a pressão estática resultante e a pressão de estagnação quando o giro é realizado por a um único choque oblíquo b dois choques oblíquos cada um girando o escoamento em 10º e c um sistema de onde de compressão isentrópica 13198 Ar escoa isentropicamente com M 25 em um duto Existe uma contração de 75 que causa um choque oblíquo que reflete sobre uma parede gerando uma segunda onda de choque oblíquo Esse segundo choque é necessário de modo que o fluxo acaba fluindo paralelo às paredes do canal após os dois choques Encontre o número de Mach e a pressão na contração e a jusante da contração Note que a quina convexa causará ondas de expansão para redirecionar o fluxo ao longo da parede superior 13199 A geometria da fuselagem e a carenagem do motor próxima à entrada do motor de avião supersônico são projetadas de modo que o ar de entrada com M 3 seja defletido de 75 e então sofra um choque normal na entrada do motor Se o ar de chegada está a 50 kPa qual é a pressão do ar aspirado pelo motor Qual seria essa pressão se o ar de chegada fosse alentecido apenas pelo choque normal 13200 Ar escoa com número de Mach igual a 15 pressão estática de 95 kPa e é expandido pelos ângulos θ1 15 e θ2 15 como mostrado Encontre as variações de pressão 13201 Um escoamento com M 25 é defletido pela combinação da interação de choques oblíquos como mostrado O primeiro par de choques está alinhado a 30 com o escoamento Um segundo par de choques oblíquos deflete o escoamento novamente de modo que ele acaba paralelo ao escoamento original Se a pressão antes de qualquer deflexão for 50 kPa encontre a pressão depois das duas deflexões 13202 Compare as pressões estática e de estagnação produzidas por a um choque oblíquo e b ondas de compressão isentrópicas quando cada um deflete um escoamento em um número de Mach de 35 através de um ângulo de deflexão de 35º no ar cuja pressão estática é 50 kPa 13203 Determine os números de Mach e as pressões estáticas de chegada e intermediária se após duas expansões de θ1 15º e θ2 15º o número de Mach for 4 e a pressão estática for 10 kPa 13204 Determine a sustentação e o arrasto por unidade de envergadura sobre o aerofólio mostrado para voo no número de Mach de 175 no ar para o qual a pressão estática é 50 kPa O comprimento de corda é 1 m Fig P13204 P13207 13205 Considere o aerofólio em forma de cunha do Problema 13188 Suponha que o choque oblíquo possa ser substituído por ondas de compressão isentrópicas Determine a sustentação por unidade de envergadura em um número de Mach de 275 no ar cuja pressão estática é 70 kPa 13206 Determine o coeficiente de arrasto do aerofólio simétrico mostrado com ângulo de ataque zero para um número de Mach 20 no ar cuja pressão estática e temperatura são 95 kPa e 0ºC respectivamente Os ângulos inclusos no nariz e na cauda são ambos de 10º Fig P13206 P13208 13207 Trace um gráfico da sustentação e do arrasto por unidade de envergadura e da razão sustentaçãoarrasto como funções do ângulo de ataque para α 0º até 18º para o aerofólio mostrado para voo em um número de Mach de 175 no ar cuja pressão estática é 50 kPa O comprimento de corda é 1 m 13208 Determine os coeficientes de sustentação e de arrasto do aerofólio do Problema 13206 se o aerofólio agora tem um ângulo de ataque de 12º 13209 Uma aeronave está voando a Mach 5 em uma altitude de 16764 m em que T1 21667 K e p1 9122 kPa A aeronave usa um motor scramjet Dois choques oblíquos são formados no coletor de admissão antes de entrar na câmara de combustão à velocidade supersônica As áreas de entrada e de saída são iguais A1 A5 02 m2 Calcule a temperatura de estagnação T2T1 e o número de Mach na admissão Figs P13209 P13210 P13211 13210 Dois choques oblíquos são formados no coletor de admissão de um motor scramjet antes de entrar na câmara de combustão O número de Mach na entrada é M1 5 a temperatura do ar na entrada é T1 21667 K p1 9122 kPa e A1 02 m2 Calcule M3 na câmara de combustão se M2 40 13211 Uma aeronave voando a Mach 5 onde T1 21667K Choques oblíquos se formam no coletor de admissão antes de entrar na câmara de combustão A razão de expansão do bocal é A5A4 5 As áreas de entrada e de saída são iguais A1 A5 02 m2 Considerando escoamento isentrópico com M2 4 M3 3295 e M4 126 calcule o número de Mach na saída e a velocidade do jato de exaustão Dica Calcule as razões de temperatura em cada seção Este tópico aplicase a seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Estes problemas requerem material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Estes problemas requerem material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto Dados de Propriedades de Fluidos A1 Densidade Relativa Dados da densidade relativa para diversos líquidos e sólidos comuns estão apresentados nas Figs A1a e A1b e nas Tabelas A1 e A2 Para líquidos a densidade relativa é uma função da temperatura Massas específicas da água e do ar são dadas como funções da temperatura nas Tabelas de A7 a A10 Para a maior parte dos líquidos a densidade relativa decresce com o aumento da temperatura A água tem um comportamento singular ela apresenta uma massa específica máxima de 1000 kgm3 a 4ºC A massa específica máxima da água é usada como valor de referência para calcular a densidade relativa Portanto Consequentemente a densidade relativa SG máxima da água é exatamente a unidade As densidades relativas para sólidos são relativamente insensíveis à temperatura os valores dados na Tabela A1 foram medidos a 20ºC A densidade relativa da água do mar depende tanto da temperatura quanto do grau de salinidade Um valor representativo para a água do oceano é SG 1025 como dado na Tabela A2 Fig A1 Densidade relativa da água e do mercúrio como funções da temperatura Dados da Referência 1 A densidade relativa do mercúrio varia linearmente com a temperatura A variação é dada por SG 1360 000240 T para T em graus Celsius Tabela A1 Densidades Relativas de Materiais Selecionados de Engenharia a Líquidos Comuns de Manômetro a 20ºC Líquido Densidade Relativa Óleo azul E V Hill 0797 Óleo vermelho Meriam 0827 Benzeno 0879 Dibutil fitalato 104 Monocloronaftaleno 120 Tetracloreto de carbono 1595 Bromoetilbenzeno Meriam azul 175 Tetrabromoetano 295 Mercúrio 1355 b Materiais Comuns Material Densidade Relativa Aço 783 Alumínio 264 Carvalho 077 Chumbo 114 Cobre 891 Concreto curado 24a Concreto líquido 25a Espuma Styrofoam 1 kgm3 00160 Espuma Styrofoam 3 kgm3 00481 Ferro fundido 708 Gelo OC 0917 Latão 855 Madeira Balsa 014 Pinheiro branco 043 Urânio exaurido 187 Fonte Dados das Referências 13 Fonte Dados da Referência 4 adependendo do agregado Tabela A2 Propriedades Físicas de Líquidos Comuns a 20C Líquido Módulo de Compressibilidade Isentrópicaa GNm2 Densidade Relativa Água 224 0998 Água do marb 242 1025 Benzeno 148 0879 Etanol 0789 Gasolina 072 Glicerina 459 126 Heptano 0886 0684 Mercúrio 285 1355 Metanol 0796 Octano 0963 0702 Óleo Castor 211 0969 Óleo cru 082092 Óleo lubrificante 144 088 Óleo SAE 10W 092 Querosene 143 082 Tetracloreto de carbono 136 1595 Fonte Dados das Referências 1 5 6 aCalculado a partir da velocidade do som 1 GNm2 109 Nm2 bA viscosidade dinâmica da água do mar a 20ºC é µ 108 103 N sm2 Portanto a viscosidade cinemática da água do mar é em torno de 5 maior que a viscosidade da água pura Tabela A3 Propriedades da AtmosferaPadrão dos Estados Unidos Altitude Geométrica m Temperatura K ppNM ρρNM 500 2914 1061 1049 0 2882 1000a 1000b 500 2849 09421 09529 1000 2817 08870 09075 1500 2784 08345 08638 2000 2752 07846 08217 2500 2719 07372 07812 3000 2687 06920 07423 3500 2654 06492 07048 4000 2622 06085 06689 4500 2589 05700 06343 5000 2557 05334 06012 6000 2492 04660 05389 7000 2427 04057 04817 8000 2362 03519 04292 9000 2297 03040 03813 10000 2233 02615 03376 11000 2168 02240 02978 12000 2167 01915 02546 13000 2167 01636 02176 14000 2167 01399 01860 15000 2167 01195 01590 16000 2167 01022 01359 17000 2167 008734 01162 18000 2167 007466 009930 19000 2167 006383 008489 20000 2167 005457 007258 22000 2186 003995 005266 24000 2206 002933 003832 26000 2225 002160 002797 28000 2245 001595 002047 30000 2265 001181 001503 40000 2504 0002834 0003262 50000 2707 00007874 00008383 60000 2558 00002217 00002497 70000 2197 000005448 000007146 80000 1807 000001023 000001632 90000 1807 0000001622 0000002588 Fonte Dados da Referência 7 apNM 101325 105 Nm2 abs bρNM 12250 kgm3 A2 Tensão Superficial Os valores de tensão superficial σ para a maioria dos compostos orgânicos são notavelmente similares à temperatura ambiente a faixa típica é 25 a 40 mNm O valor para a água é mais alto cerca de 73 mNm a 20C Os metais líquidos têm valores na faixa entre 300 e 600 mNm o mercúrio líquido tem um valor de cerca de 480 mNm a 20C A tensão superficial diminui com a temperatura o decréscimo é aproximadamente linear com a temperatura absoluta A tensão superficial à temperatura crítica é zero Os valores de σ são usualmente apresentados para superfícies em contato com o vapor puro do líquido em estudo ou com o ar Em baixas pressões os dois valores são aproximadamente os mesmos Tabela A4 Tensão Superficial de Líquidos Comuns a 20C Líquido Tensão Superficial σ mNma Ângulo de Contato θ graus a Em contato com o ar Água 728 0 Benzeno 289 Etanol 223 Glicerina 630 Hexano 184 Mercúrio 484 140 Metanol 226 Octano 218 Óleo lubrificante 2535 Querosene 268 Tetracloreto de carbono 270 Fonte Dados das Referências 1 5 8 9 b Em contato com a água Benzeno 350 Hexano 511 Mercúrio 375 140 Metanol 227 Octano 508 Tetracloreto de carbono 450 Fonte Dados das Referências 1 5 8 9 a1 mNm 103 Nm A3 A Natureza Física da Viscosidade A viscosidade é uma medida do atrito interno do fluido ou seja da resistência à deformação O mecanismo da viscosidade gasosa é razoavelmente bem compreendido mas a teoria para líquidos não está bem desenvolvida Podemos obter algumas informações sobre a natureza física do escoamento viscoso discutindo brevemente esses mecanismos A viscosidade de um fluido newtoniano é fixada pelo estado do material Assim μ μT p A temperatura é a variável mais importante e por isso vamos considerála primeiro Existem excelentes equações empíricas para a viscosidade como uma função da temperatura Efeito da Temperatura sobre a Viscosidade a Gases Todas as moléculas gasosas estão em contínuo movimento aleatório Quando há um movimento da massa de gás em decorrência do escoamento o movimento de massa é sobreposto aos movimentos aleatórios Ele é então distribuído por todo o fluido pelas colisões moleculares Análises fundamentadas na teoria cinética predizem que A previsão da teoria cinética concorda muito bem com as tendências experimentais mas a constante de proporcionalidade e um ou mais fatores de correção devem ser determinados isto limita a aplicação prática dessa equação simples Se dois ou mais pontos experimentais estão disponíveis os dados poderão ser correlacionados pela equação empírica de Sutherland 7 As constantes b e S podem ser determinadas com mais facilidade escrevendose ou Compare isso com y mx c De um gráfico de T32μ versus T podese obter a inclinação 1b e a ordenada para abscissa nula Sb Para o ar Essas constantes foram usadas com a Eq A1 para calcular as viscosidades para a atmosferapadrão em 7 os valores da viscosidade do ar para várias temperaturas mostrados na Tabela A10 e usando fatores de conversão apropriados os valores mostrados na Tabela A9 b Líquidos As viscosidades para líquidos não podem ser bem estimadas teoricamente O fenômeno da transferência de quantidade de movimento por colisões moleculares é ofuscado nos líquidos pelos efeitos de campos de força interagindo entre grupos de moléculas líquidas muito próximas As viscosidades dos líquidos são fortemente afetadas pela temperatura Esta dependência da temperatura absoluta é bem representada pela equação empírica ou pela forma equivalente em que T é a temperatura absoluta A Eq A3 requer pelo menos três pontos para ajustar A B e C Em teoria é possível determinar as constantes a partir de medidas da viscosidade em apenas três temperaturas Uma técnica melhor seria a de usarmos mais dados e obtermos as constantes por meio de um ajuste estatístico dos dados ou seja fazermos uma regressão Após o desenvolvimento da regressão adote sempre o procedimento de comparar a linha ou curva resultante com os dados de medições A melhor metodologia é fazer uma inspeção crítica de um gráfico da curva obtida comparada com os dados disponíveis Em geral os resultados da regressão serão satisfatórios somente quando a qualidade dos dados disponíveis e aqueles da correlação empírica forem sabidamente excelentes Dados para a viscosidade dinâmica da água são bem ajustados usando as constantes A 2414 105 N sm2 B 2478 K e C 140 K A Referência 10 estabelece que usando essas constantes na Eq A3 a viscosidade da água é determinada com um erro de 25 em uma faixa de temperaturas de 0C a 370C A Eq A3 através do Excel foi usada para calcular os valores da viscosidade da água para várias temperaturas mostrados na Tabela A8 e usando fatores de conversão apropriados os valores mostrados na Tabela A7 Fig A2 Viscosidade dinâmica absoluta de fluidos comuns como uma função da temperatura Dados das Referências 1 6 e 10 Os gráficos para o ar e para a água foram calculados a partir da planilha Excel Viscosidades Absolutas constante do material em Excel disponível no site da LTC Editora usando a Eq A1 e a Eq A3 respectivamente O livro pode ser usado para calcular viscosidades de outros fluidos se as constantes b e S para um gás ou A B e C para um líquido forem conhecidas Note que a viscosidade de um líquido decresce com a temperatura enquanto a de um gás aumenta com a temperatura Efeito da Pressão sobre a Viscosidade a Gases A viscosidade dos gases é essencialmente independente da pressão entre uns poucos centésimos de uma atmosfera e umas poucas atmosferas Entretanto a viscosidade a pressões elevadas aumenta com a pressão ou com a massa específica Fig A3 Viscosidade cinemática de fluidos comuns à pressão atmosférica como uma função da temperatura Dados das Referências 1 6 e 10 b Líquidos As viscosidades da maioria dos líquidos não são afetadas por pressões moderadas porém grandes aumentos foram verificados a pressões muito altas Por exemplo a viscosidade da água a l0000 atm é o dobro daquela a 1 atm Compostos mais complexos apresentam um aumento de viscosidade de diversas ordens de grandeza para a mesma faixa de pressão Mais informações podem ser encontradas em Reid a Sherwood 11 A4 Óleos Lubrificantes Os óleos lubrificantes de motores e de transmissões são classificados pela viscosidade de acordo com normas estabelecidas pela Society of Automotive EngineersSAE 12 As faixas de viscosidades permitidas para diversos graus são dadas na Tabela A5 Os números de viscosidade com W por exemplo 20 W são classificados pela viscosidade a 18C Aqueles sem W são classificados pela viscosidade a 9C Os óleos multigraus por exemplo 10W40 são formulados para minimizar a variação da viscosidade com a temperatura Na mistura desses óleos são empregados altos polímeros com o objetivo de melhorar o índice de viscosidade Tais aditivos são altamente não newtonianos eles podem sofrer perda permanente de viscosidade pelo cisalhamento Existem gráficos especiais para estimar a viscosidade dos produtos do petróleo como uma função da temperatura Os gráficos foram usados para desenvolver os dados para os óleos lubrificantes típicos apresentados na forma gráfica nas Figs A2 e A3 Para mais detalhes consulte 15 Tabela A5 Faixas de Viscosidades Permissíveis para Lubrificantes Viscosidade cStb a 100C Óleo de motor Grau de Viscosidade SAE Viscosidade Máx cPa à Temp C Mín Máx 0W 3250 a 30 38 5W 3500 a 25 38 10W 3500 a 20 41 15W 3500 a 15 56 20W 4500 a 10 56 25W 6000 a 5 93 20 56 93 30 93 125 40 125 163 50 163 219 Viscosidade cSt a 100C Lubrificante de Transmissão de Eixo e Manual Grau de Viscosidade SAE Temp Máx C para Viscosidade de 150000 cP Mín Máx 70W 55 41 75W 40 41 80W 26 70 85W 12 110 90 135 240 140 240 410 250 410 Viscosidade cSt a 100C Fluido de Transmissão Automática Típico Viscosidade Máxima cP Temperatura C Mín Máx 50000 40 65 85 4000 233 65 85 1700 18 65 85 Fonte Dados das Referências 1214 acentipoise 1 cP 1 mPa s 103 Pa s bcentistoke 106 m2s A5 Propriedades de Gases Comuns Ar e Água Tabela A6 Propriedades Termodinâmicas de Gases Comuns na CondiçãoPadrão ou Standarda Gás Símbolo Químico Massa Molecular Mm Ar 2898 2869 1004 7174 140 Dióxido de carbono CO2 4401 1889 8404 6514 129 Hélio He 4003 2077 5225 3147 166 Hidrogênio H2 2016 4124 14180 10060 141 Metano CH4 1604 5183 2190 1672 131 Monóxido de carbono CO 2801 2968 1039 7421 140 Nitrogênio N2 2801 2968 1039 7420 140 Oxigênio O2 3200 2598 9094 6496 140 Vaporc H2O 1802 4614 2000 1540 130 Fonte Dados das Referências 7 16 17 aSTP Temperatura e pressão na condiçãopadrão ou standard T 15C e p 101325 kPa abs bR RuMm Ru 83143 Jkgmol K 1J 1N m cO vapor de água comportase como um gás ideal quando superaquecido de 55C ou mais Tabela A7 Propriedades da Água Unidades SI Temperatura TC Massa Específica ρ kgm3 Viscosidade Dinâmica µ N sm2 Viscosidade Cinemática ν m2s Tensão Superficial σ Nm Pressão de Vapor pυkPa Módulo de Compressibilidade EυGPa 0 1000 176E03 176E06 00757 0661 201 5 1000 151E03 151E06 00749 0872 10 1000 130E03 130E06 00742 123 15 999 114E03 114E06 00735 171 20 998 101E03 101E06 00727 234 221 25 997 893E04 896E07 00720 317 30 996 800E04 803E07 00712 425 35 994 721E04 725E07 00704 563 40 992 653E04 659E07 00696 738 45 990 595E04 602E07 00688 959 50 988 546E04 552E07 00679 124 229 55 986 502E04 509E07 00671 158 60 983 464E04 472E07 00662 199 65 980 431E04 440E07 00654 250 70 978 401E04 410E07 00645 312 75 975 375E04 385E07 00636 386 80 972 352E04 362E07 00627 474 85 969 331E04 341E07 00618 578 90 965 312E04 323E07 00608 701 212 95 962 295E04 306E07 00599 846 100 958 279E04 292E07 00589 101 Tabela A8 Propriedades do Ar à Pressão Atmosférica Unidades SI Temperatura TC Massa Específica ρ kgm3 Viscosidade Dinâmica μ N sm2 Viscosidade Cinemática ν m2s 0 129 172E05 133E05 5 127 174E05 137E05 10 125 176E05 141E05 15 123 179E05 145E05 20 121 181E05 150E05 25 119 184E05 154E05 30 117 186E05 159E05 35 115 188E05 164E05 40 113 191E05 169E05 45 111 193E05 174E05 50 109 195E05 179E05 55 108 198E05 183E05 60 106 200E05 189E05 65 104 202E05 194E05 70 103 204E05 198E05 75 101 206E05 204E05 80 100 209E05 209E05 85 0987 211E05 214E05 90 0973 213E05 219E05 95 0960 215E05 224E05 100 0947 217E05 229E05 Referências 1 Handbook of Chemistry and Physics 62nd ed Cleveland OH Chemical Rubber Publishing Co 1981 1982 2 Meriam Standard Indicating Fluids Pamphlet No 920GEN 4301 The Meriam Instrument Co 10920 Madison Avenue Cleveland OH 44102 3 E Vernon Hill Inc PO Box 7053 Corte Madera CA 94925 4 Avallone E A and T Baumeister III eds Marks Standard Handbook for Mechanical Engineers 11th ed New York McGraw Hill 2007 5 Handbook of Tables for Applied Engineering Science Cleveland OH Chemical Rubber Publishing Co 1970 6 Vargaftik N B Tables on the Thermophysical Properties of Liquids and Gases 2nd ed Washington DC Hemisphere Publishing Corp 1975 7 The US Standard Atmosphere 1976 Washington DC U S Government Printing Office 1976 8 Trefethen L Surface Tension in Fluid Mechanics in Illustrated Experiments in Fluid Mechanics Cambridge MA The MIT Press 1972 9 Streeter V L ed Handbook of Fluid Dynamics New York McGrawHill 1961 10 Touloukian Y S S C Saxena and P Hestermans Thermophysical Properties of Matter the TPRC Data Series Vol 11 Viscosity New York Plenum Publishing Corp 1975 11 Reid R C and T K Sherwood The Properties of Gases and Liquids 2nd ed New York McGrawHill 1966 12 Engine Oil Viscosity ClassificationSAE Standard J300 Jun86 SAE Handbook 1987 ed Warrendale PA Society of Automotive Engineers 1987 13 Axle and Manual Transmission Lubricant Viscosity ClassificationSAE Standard J306 Mar85 SAE Handbook 1987 ed Warrendale PA Society of Automotive Engineers 1987 14 Fluid for Passenger Car Type Automatic Transmissions SAE Information Report J311 Apr86 SAE Handbook 1987 ed Warrendale PA Society of Automotive Engineers 1987 15 ASTM Standard D 34177 ViscosityTemperature Charts for Liquid Petroleum Products American Society for Testing and Materials 1916 Race Street Philadelphia PA 19103 16 NASA Compressed Gas Handbook Revised Washington DC National Aeronautics and Space Administration SP3045 1970 17 ASME Thermodynamic and Transport Properties of Steam New York American Society of Mechanical Engineers 1967 Equações do Movimento em Coordenadas Cilíndricas A equação da continuidade em coordenadas cilíndricas para massa específica constante é As tensões normais e de cisalhamento em coordenadas cilíndricas para massa específica e viscosidade constantes são As equações de NavierStokes em coordenadas cilíndricas para massa específica e viscosidade constantes são componente r componente θ componente z ρvzt vr vzr vθr vzθ vz vzz ρgz pz μ1r r r vzr 1r² ²vzθ² ²vzz² B3c Filmes para Mecânica dos Fluidos Os seguintes vídeos referenciados no texto estão disponíveis para visualização online no site httpbcswileycomhebcsBooks actionmininavbcsId6187itemId0470547553assetId233351resourceId22858newwindowtrue Capítulo 2 O fluido como um Contínuo Linhas de Emissão Linhas de Corrente Interações Moleculares na Interface Película de Sabão Reduzida Película de Sabão Encolhendo Superfícies Secas e Molhadas Aumento Capilar Exemplos de Escoamento sobre uma Esfera Escoamento Laminar Interno em um Tubo O Ônibus Espacial Um Escoamento Turbulento Externo Escoamento em CamadaLimite Escoamento em Linhas de Corrente sobre um Aerofólio Linhas de Corrente em Torno de um Carro Escoamento Laminar e Turbulento Escoamento Compressível Ondas de Choque Capítulo 3 Amplificação da Força Hidráulica Capítulo 4 Conservação da Massa O Enchimento de um Tanque O Efeito da Quantidade de Movimento Um Jato Impactando uma Superfície Capítulo 5 Um Exemplo de Linhas de Corrente e de Linhas de Emissão O Movimento de uma Partícula em um Canal O Movimento de uma Partícula sobre um Cilindro Deformação Linear DFC Escoamento Turbulento em um Canal DFC Escoamento Passando por um Cilindro DFC Escoamento Completamente Turbulento em Duto Capítulo 6 Um Exemplo de Escoamento Irrotacional Capítulo 7 Escoamento em Torno de uma Esfera 1 Escoamento em Torno de uma Esfera 2 Similaridade Geométrica Não Dinâmica Escoamento Passando por um Bloco 1 Similaridade Geométrica Não Dinâmica Escoamento Passando por um Bloco 2 Capítulo 8 O Experimento de Transição de Reynolds O Experimento de Viscosidade Variável Animação O Experimento de Viscosidade Variável Perda de Pressão Escoamento Laminar em Tubo Perfil de Velocidade Escoamento em Tubo Laminar Escoamento em Tubo de Transição Escoamento em Tubo Turbulento Escoamento Completamente Desenvolvido em Tubo Escoamento Laminar Saindo de um Tubo A Barragem de Glen Canyon Um Escoamento Tubular Turbulento Simulação Computacional Escoamento Turbulento em Canal 1 Simulação Computacional Escoamento em Canal 2 Simulação Computacional Escoamento em Canal 3 Visualização de Escoamento Fluorescência Induzida a Laser Laser Doppler Anemometria Animação Capítulo 9 Escoamento em Torno de um Aerofólio Separação de Escoamento sobre um Aerofólio CamadasLimite Laminar e Turbulenta Crescimento da CamadaLimite Efeito de Viscosidade sobre o Crescimento da CamadaLimite Exemplos de Crescimento da CamadaLimite Separação de Escoamento Expansão Súbita Separação de Escoamento Aerofólio Escoamento em Volta de um Carro Esportivo Placa Normal ao Escoamento Um Objeto com um Alto Coeficiente de Arrasto Exemplos de Escoamento em Torno de uma Esfera Escoamento Laminar e Turbulento Passado por uma Esfera Separação de escoamento sobre um Cilindro Trilha de Vórtex Atrás de um Cilindro Escoamento com Baixo Número de Reynolds sobre um Cilindro Separação de Escoamento Atrás de um Cilindro Escoamento Passando por um Modelo A e por um Carro Esportivo Escoamento Passando por um Aerofólio a 0º Escoamento Passando por um Aerofólio a 10º Escoamento Passando por um Aerofólio a 20º Vórtices de Ponta de Asa Lâminas de Borda de Ataque Capítulo 10 Escoamento em um Compressor de Fluxo Axial Animação Capítulo 11 Um Canal Turbulento Animação A Barragem de Glen Canyon Uma Fonte de Escoamento Turbulento em Canal Um Ressalto Hidráulico Laminar Capítulo 12 Ondas de Som Animação Ondas de Choque sobre uma Aeronave Supersônica Ondas de Choque Devido a um Projétil Capítulo 13 Ondas de Choque sobre uma Aeronave Supersônica Ondas de Choque Devido a um Projétil Os vídeos apresentados a seguir foram desenvolvidos pelo National Committee for Fluid Mechanics Films NCFMF e são referenciados no texto como Vídeos Clássicos Todos eles podem ser vistos gratuitamente no site httpwebmiteduhmlncfmfhtml Esses vídeos são produzidos pela Encyclopaedia Britannica Educational Corporation 331 North La Salle Street Chicago IL 60654 Aerodynamic Generation of Sound 44 min principals M J Lighthill J E FfowcsWilliams Boundary Layer Control 25 min principal D C Hazen Cavitation 31 min principal P Eisenberg Channel Flow of a Compressible Fluid 29 min principal D E Coles Deformation of Continuous Media 38 min principal J L Lumley Eulerian and Lagrangian Descriptions in Fluid Mechanics 27 min principal J L Lumley Flow Instabilities 27 min principal E L MolloChristensen Flow Visualization 31 min principal S J Kline The Fluid Dynamics of Drag 4 parts 120 min principal A H Shapiro Fundamentals of Boundary Layers 24 min principal F H Abernathy LowReynoldsNumber Flows 33 min principal Sir G I Taylor Magnetohydrodynamics 27 min principal J A Shercliff Pressure Fields and Fluid Acceleration 30 min principal A H Shapiro Rarefied Gas Dynamics 33 min principals F C Hurlbut F S Sherman Rheological Behavior of Fluids 22 min principal H Markovitz Rotating Flows 29 min principal D Fultz Secondary Flow 30 min principal E S Taylor Stratified Flow 26 min principal R R Long Surface Tension in Fluid Mechanics 29 min principal L M Trefethen Turbulence 29 min principal R W Stewart Vorticity 2 parts 44 min principal A H Shapiro Waves in Fluids 33 min principal A E Bryson Este site seu conteúdo bem como as suas respectivas atualizações inclusões ou retiradas são de propriedade e responsabilidade dos seus criadores Não cabe à LTC Editora qualquer responsabilidade pela manutenção criação acesso retirada alteração ou suporte do conteúdo dele e das normas de uso NE Este site seu conteúdo bem como as suas respectivas atualizações inclusões ou retiradas são de propriedade e responsabilidade dos seus criadores Não cabe à LTC Editora qualquer responsabilidade pela manutenção criação acesso retirada alteração ou suporte do conteúdo dele e das normas de uso NE Curvas de Desempenho Selecionadas para Bombas e Ventiladores D1 Introdução Muitas empresas em todo o mundo fabricam máquinas de fluxo em vários tipos e tamanhospadrão Cada fabricante publica dados completos de desempenho a fim de permitir a aplicação de suas máquinas em sistemas Este Apêndice contém dados de desempenho selecionados para uso na resolução de problemas de sistemas de bombas e ventiladores Dois tipos de bomba e um tipo de ventilador são incluídos A escolha de um fabricante pode basearse na prática na localização ou no custo Uma vez escolhido um fabricante a seleção da máquina é um processo em três etapas 1 Selecione um tipo de máquina adequado à aplicação a partir de um catálogo completo de um fabricante que dê as faixas de elevação de pressão altura de carga e a vazão para cada tipo de máquina 2 Escolha um modelo de máquina apropriado e uma velocidade do motor a partir de um diagrama mestre de seleção que superpõe as faixas de altura de carga e de vazão de uma série de máquinas em um só gráfico 3 Verifique se a máquina préselecionada é satisfatória para a aplicação pretendida usando uma curva de desempenho detalhada para a máquina específica É aconselhável consultar engenheiros de sistemas experientes sejam eles empregados pelo fabricante da máquina ou de sua própria organização antes de tomar a decisão final de compra Hoje muitos fabricantes usam procedimentos informatizados para selecionar uma máquina que seja a mais adequada para cada aplicação Tais procedimentos são simplesmente versões automatizadas do método tradicional de seleção O emprego do diagrama de seleção e das curvas detalhadas de desempenho é ilustrado a seguir para bombas e ventiladores utilizando os dados de um fabricante de cada tipo de máquina A literatura de outros fabricantes difere nos detalhes mas contém as informações necessárias para a seleção de máquinas D2 Seleção de Bombas As Figs D1 a D10 mostram dados representativos para bombas Peerless1 horizontais de carcaça bipartida de um só estágio série AE e as Figs D11 e D12 para bombas Peerless de estágios múltiplos séries TU e TUT As Figs D1 e D2 são diagramas mestres de seleção de bombas da série AE para 3500 e 1750 rpm nominais Nesses diagramas o número do modelo por exemplo 6AE14 indica a bitola da linha de descarga tubo de 6 in ou cerca de 150 mm nominais a série da bomba AE e o diâmetro máximo do rotor aproximadamente 14 in ou 350 mm As Figs D3 a D10 são diagramas detalhados de desempenho para modelos individuais de bombas da série AE As Figs D11 e D12 são diagramas mestres de seleção para as séries TU e TUT de 1750 rpm nominais Os dados para as bombas de dois estágios são apresentados na Fig D11 enquanto a Fig D12 contém dados para bombas com três quatro e cinco estágios Cada diagrama de desempenho de bomba contém curvas da altura de carga total versus vazão volumétrica curvas para diversos diâmetros de rotores testados na mesma carcaça são apresentadas em um único gráfico Cada diagrama de desempenho também contém contornos mostrando a eficiência da bomba e da potência do motor o requisito de altura de sucção líquida positiva NPSH uma vez que esse varia com a vazão é mostrado pela curva na parte inferior de cada diagrama O ponto de melhor eficiência PME ou BEP para cada rotor pode ser encontrado usandose os contornos de eficiência O emprego dos diagramas mestres de seleção e das curvas detalhadas de desempenho é ilustrado no Exemplo D1 Exemplo D1 PROCEDIMENTO DE SELEÇÃO DE BOMBA Selecione uma bomba para fornecer 400 m3h de água com uma altura de carga total de 36 m Escolha o modelo apropriado da bomba e a velocidade do motor Especifique a eficiência da bomba a potência do motor e o requisito de NPSH Dados Selecione uma bomba para fornecer 400 m3h de água com altura de carga total de 36 m Determinar a O modelo da bomba e a velocidade do motor b A eficiência da bomba c A potência do motor d O requisito de NPSH Solução Use o procedimento de seleção descrito na Seção D1 Os números a seguir correspondem às etapas enumeradas no procedimento 1 Primeiro selecione um tipo de máquina adequado à aplicação Essa etapa na verdade requer um catálogo completo do fabricante que não é reproduzido aqui O catálogo da linha de produtos Peerless especifica uma vazão e uma altura de carga máximas de 570 m3h e 200 m para as bombas da série AE Portanto o desempenho exigido pode ser obtido considere que a seleção seja feita desta série 2 Segundo consulte o diagrama mestre de seleção de bombas O ponto de operação desejado não se encontra dentro de qualquer contorno do diagrama de seleção para 3500 rpm Fig D1 Do diagrama para 1750 rpm Fig D2 selecione uma bomba modelo 6AE14 Da curva de desempenho para a bomba 6AE14 Fig D6 escolha um rotor de 325 mm 3 Terceiro verifique o desempenho da máquina usando o diagrama detalhado No diagrama de desempenho para o modelo 6AE14 estenda uma linha vertical na abscissa Q 400 m3h Projete horizontalmente o ponto H 36 m da ordenada até a linha vertical A interseção é o desempenho da bomba no ponto de operação desejado A partir do ponto de operação projete uma linha vertical para baixo até a curva de requisito de NPSH Na interseção leia NPSH 5 m Isso completa o processo de seleção para essa bomba Engenheiros experientes devem ser consultados para certificar que a condição de operação do sistema foi prevista com precisão e que a bomba foi selecionada corretamente D3 Seleção de Ventilador A seleção de ventilador é similar á seleção de bomba Um diagrama mestre normalmente representativo da seleção de ventilador é mostrado na Fig D13 para uma série de ventiladores de escoamento axial Howden Buffalo2 O diagrama mostra o rendimento de uma série inteira de ventiladores como função do aumento da pressão total e da vazão As séries de números para cada ventilador indicam o diâmetro do ventilador em polegadas o diâmetro do cubo em polegadas e a velocidade de rotação do ventilador em rotações por minuto Por exemplo um ventilador 5426870 possui uma diâmetro de ventilador igual a 54 in ou 1350 mm um diâmetro de cunho igual a 26 in ou 650 mm e deveria ser operador a 870 rpm Normalmente a avaliação final da adequação de cada modelo de ventilador para a aplicação deveria ser feita usando diagramas de desempenho detalhados para o modelo específico Em vez disso usamos as eficiências da Fig D13 que estão indicadas pelo sombreamento das diferentes zonas sobre o diagrama Para calcular os requerimentos da potência para o motor de acionamento de ventilador usamos a seguinte equação Uma amostra de seleção de ventilador é apresentada no Exemplo D2 Exemplo D2 PROCEDIMENTO DE SELEÇÃO DE VENTILADOR Selecione um ventilador de fluxo axial para fornecer 850 m3min de arpadrão a 32 mm de H2O de pressão total Escolha o modelo apropriado de ventilador e a velocidade do motor Especifique a eficiência do ventilador e a potência do motor Dados Selecione um ventilador axial para fornecer 850 m3min de arpadrão a 32 mm de H2O de altura de carga total Determinar a O tamanho do ventilador e a velocidade do motor b A eficiência do ventilador c A potência do motor Solução Use o procedimento de seleção de ventiladores descrito na Seção D1 Os números a seguir correspondem às etapas enumeradas no procedimento 1 Primeiro selecione um tipo de máquina adequado à aplicação Essa etapa na verdade requer o catálogo completo do fabricante que não é reproduzido aqui Considere que a seleção do ventilador seja feita a partir dos dados para máquinas axiais apresentados na Fig D13 2 Segundo consulte o diagrama mestre de seleção O ponto de operação desejado encontrase dentro do contorno para o ventilador 4821860 do diagrama de seleção Fig D13 Para alcançar o desempenho desejado é necessário acionar o ventilador a 860 rpm 3 Terceiro verifique o desempenho da máquina usando o diagrama detalhado Para determinar o desempenho consultamos novamente a Fig D13 Estimamos uma eficiência de 85 Para determinar o requerimento de potência do motor usamos a equação Isso completa o processo de seleção do ventilador Novamente engenheiros de sistemas experientes devem ser consultados para certificar que a condição de operação do sistema foi prevista com precisão e que o ventilador foi selecionado corretamente Fig D1 Diagrama de seleção de bombas Peerless horizontais de carcaça bipartida série AE para 3500 rpm nominais Fig D2 Diagrama de seleção de bombas Peerless horizontais de carcaça bipartida série AE para 1750 rpm nominais Fig D3 Curva de desempenho da bomba Peerless 4AE11 para 1750 rpm Fig D4 Curva de desempenho da bomba Peerless 4AE12 para 1750 rpm Fig D5 Curva de desempenho da bomba Peerless 4AE12 para 3550 rpm Fig D6 Curva de desempenho da bomba Peerless 6AE14 para 1750 rpm Fig D7 Curva de desempenho da bomba Peerless 8AE20G para 1770 rpm Fig D8 Curva de desempenho da bomba Peerless 10AE12 para 1760 rpm Fig D9 Curva de desempenho da bomba Peerless 16A18B para 705 rpm Fig D10 Curva de desempenho da bomba Peerless 16A18B para 880 rpm Fig D11 Diagrama de seleção de bombas Peerless de dois estágios séries TU e TUT para 1750 rpm nominais Fig D12 Diagrama de seleção de bombas Peerless de múltiplos estágios séries TU e TUT para 1750 rpm nominais Fig D13 Diagrama de seleção de ventiladores axiais Buffalo Howden Referências 1 Peerless Pump literature Horizontal Split Case Single Stage Double Suction Pumps Series AE Brochure B1200 2003 Horizontal Split Case Multistage Single Suction Pumps Types TU TUT 60 Hertz Performance Curves Brochure B1440 2003 RAPID v8256 March 2007 2 Buffalo Forge literature Axivane Axial Fan Optimum Efficiency Selection Chart nd 1Peerless Pump Company P O Box 7026 Indianapolis IN 462077026 2Howdem Buffalo Inc 2029 W DeKalb ST Camden SC 29020 Funções de Escoamento para o Cálculo de Escoamento Compressível E1 Escoamento Isentrópico As funções de escoamento isentrópico são calculadas com o auxílio das seguintes equações Valores representativos das funções de escoamento isentrópico para k 14 estão apresentados na Tabela E1 e graficamente na Fig E1 Tabela E1 Funções de Escoamento Isentrópico escoamento unidimensional gás ideal k 14 M TT0 pp0 ρρ0 AA 000 10000 10000 10000 050 09524 08430 08852 1340 100 08333 05283 06339 1000 150 06897 02724 03950 1176 200 05556 01278 02301 1688 250 04444 005853 01317 2637 300 03571 002722 007623 4235 350 02899 001311 004523 6790 400 02381 0006586 002766 1072 450 01980 0003455 001745 1656 500 01667 0001890 001134 2500 Esta tabela foi construída da planilha Excel de Relações Isentrópicas A planilha contém muitos detalhes ela pode ser impressa e facilmente modificada para gerar dados para outras faixas de número de Mach ou para um gás diferente Fig E1 Funções de escoamento isentrópico Este gráfico foi gerado da planilha Excel A planilha pode ser facilmente modificada para gerar curvas para um gás diferente E2 Choque Normal As funções de escoamento com choque normal são calculadas com o auxílio das seguintes equações Valores representativos das funções de escoamento com choque normal para k 14 estão apresentados na Tabela E2 e graficamente na Fig E2 Tabela E2 Funções de Escoamento com Choque Normal escoamento unidimensional gás ideal k 14 M1 M2 p02p01 T2T1 p2p1 ρ2ρ1 100 1000 1000 1000 1000 1000 150 07011 09298 1320 2458 1862 200 05774 07209 1687 4500 2667 250 05130 04990 2137 7125 3333 300 04752 03283 2679 1033 3857 350 04512 02130 3315 1413 4261 400 04350 01388 4047 1850 4571 450 04236 009170 4875 2346 4812 500 04152 006172 5800 2900 5000 Esta tabela foi construída da planilha Excel de Relações de Choque Normal A planilha contém muitos detalhes ela pode ser impressa e facilmente modificada para gerar dados para outras faixas de número de Mach ou para um gás diferente Fig E2 Funções de escoamento com choque normal Este gráfico foi gerado da planilha Excel A planilha pode ser facilmente modificada para gerar curvas para um gás diferente E3 Escoamento de Linha de Fanno As funções de escoamento segundo a linha de Fanno são calculadas com o auxílio das seguintes equações Valores representativos das funções de escoamento segundo a linha de Fanno para k 14 estão apresentados na Tabela E3 e graficamente na Fig E3 Tabela E3 Funções de Escoamento de Linha de Fanno escoamento unidimensional gás ideal k 14 M p0p0 TT pp VV LmáxDh 000 1200 00000 050 1340 1143 2138 05345 106 100 1000 1000 1000 1000 00000 150 1176 08276 06065 1365 01361 200 1688 06667 04083 1633 03050 250 2637 05333 02921 1826 04320 300 4235 04286 02182 1964 05222 350 6790 03478 01685 2064 05864 400 1072 02857 01336 2138 06331 450 1656 02376 01083 2194 06676 500 2500 02000 008944 2236 06938 Esta tabela foi construída da planilha Excel de Relações de Linhas de Fanno A planilha contém muitos detalhes ela pode ser impressa e facilmente modificada para gerar dados para outras faixas de número de Mach ou para um gás diferente Fig E3 Funções de escoamento de linha de Fanno Este gráfico foi gerado da planilha Excel A planilha pode ser facilmente modificada para gerar curvas para um gás diferente E4 Escoamento de Linha de Rayleigh As funções de escoamento segundo a linha de Rayleigh são calculadas com o auxílio das seguintes equações Valores representativos das funções de escoamento segundo a linha de Rayleigh para k 14 estão apresentados na Tabela E4 e apresentados graficamente na Fig E4 Tabela E4 Funções de Linha de Rayleigh escoamento unidimensional gás ideal k 14 M T0T0 p0p0 TT pp VV 000 00000 1268 00000 2400 00000 050 06914 1114 07901 1778 04444 100 1000 1000 1000 1000 1000 150 09093 1122 07525 05783 1301 200 07934 1503 05289 03636 1455 250 07101 2222 03787 02462 1539 300 06540 3424 02803 01765 1588 350 06158 5328 02142 01322 1620 400 05891 8227 01683 01026 1641 450 05698 1250 01354 008177 1656 500 05556 1863 01111 006667 1667 Esta tabela foi construída da planilha Excel de Relações de linha de Rayleigh A planilha contém muitos detalhes ela pode ser impressa e facilmente modificada para gerar dados para outras faixas de número de Mach ou para um gás diferente Fig E4 Funções de escoamento de linha de Rayleigh Este gráfico foi gerado da planilha Excel A planilha pode ser facilmente modificada para gerar curvas para um gás diferente E5 Choque Oblíquo As funções de choque oblíquo são calculadas usando as seguintes equações Valores representativos das funções de choque oblíquo para k 14 estão apresentados na Tabela E5 idênticos àqueles da Tabela E2 exceto pelas notações para o número de Mach Tabela E5 Funções de Escoamento de Choque Oblíquo gás ideal k 14 M1n M2n p02p01 T2T1 p2p1 ρ2ρ1 100 1000 10000 1000 1000 1000 150 07011 09298 1320 2458 1862 200 05774 07209 1687 4500 2667 250 05130 04990 2137 7125 3333 300 04752 03283 2679 1033 3857 350 04512 02130 3315 1413 4261 400 04350 01388 4047 1850 4571 450 04236 009170 4875 2346 4812 500 04152 006172 5800 2900 5000 O ângulo de deflexão θ o ângulo de choque oblíquo β e o número de Mach M1 são relacionados pela seguinte equação Valores representativos do ângulo θ estão apresentados na Tabela E6 Tabela E6 Ângulo de Deflexão de Choque Oblíquo θ grau gás ideal k 14 As Tabelas E5 e E6 foram construídas da planilha Excel de Relações de Choque Oblíquo A planilha contém muitos detalhes ela pode ser impressa e facilmente modificada para gerar dados para outras faixas de número de Mach ou para um gás diferente E6 Relações de Onda de Expansão Isentrópica A função de expansão supersônica de PrandtlMeyer ω é Valores representativos do ângulo ω estão apresentados na Tabela E7 Tabela E7 Função de Expansão Supersônica de PrandtlMeyer ω grau gás ideal k 14 M ωgrau M ωgrau M ωgrau M ωgrau 100 000 200 264 300 498 400 658 105 049 205 277 305 507 405 664 110 134 210 291 310 516 410 671 115 238 215 304 315 526 415 677 120 356 220 317 320 535 420 683 125 483 225 330 325 544 425 689 130 617 230 343 330 552 430 695 135 756 235 355 335 561 435 701 140 899 240 367 340 569 440 707 145 104 245 379 345 577 445 713 150 119 250 391 350 585 450 718 155 134 255 403 355 593 455 724 160 149 260 414 360 601 460 729 165 163 265 425 365 609 465 734 170 178 270 436 370 616 470 740 175 193 275 447 375 623 475 745 180 207 280 457 380 630 480 750 185 222 285 468 385 637 485 755 190 236 290 478 390 644 490 760 195 250 295 488 395 651 495 764 200 264 300 498 400 658 500 769 Esta tabela foi construída da planilha Excel de Relações de Onda de Expansão Isentrópica A planilha contém muitos detalhes ela pode ser impressa e facilmente modificada para gerar dados para outras faixas de número de Mach ou para um gás diferente Análise de Incerteza Experimental F1 Introdução Dados de testes experimentais são frequentemente utilizados para complementar análises de engenharia como uma base para o projeto Nem todos os dados são igualmente bons a validade dos dados deve ser documentada antes que os resultados do teste sejam usados no projeto A análise de incerteza é o procedimento usado para quantificar a validade dos dados e a sua exatidão A análise de incerteza também é útil durante o projeto do experimento Estudos cuidadosos podem indicar fontes potenciais de erros inaceitáveis e sugerir métodos aperfeiçoados de medição F2 Tipos de Erros Erros estão sempre presentes quando medições experimentais são feitas Além dos enganos grosseiros do experimentalista os erros podem ser de dois tipos O erro fixo ou sistemático causa repetidas medições erradas da mesma quantidade em cada tentativa O erro fixo é o mesmo para cada leitura e pode ser eliminado pela calibração ou correção adequada O erro aleatório não repetitivo é diferente para cada leitura e portanto não pode ser eliminado Os fatores que introduzem o erro aleatório são incertos por sua própria natureza O objetivo da análise de incerteza é estimar o erro aleatório provável nos resultados experimentais Vamos considerar que o equipamento tenha sido construído corretamente e calibrado de forma adequada para eliminar os erros fixos Vamos considerar também que os instrumentos tenham resolução apropriada e que as flutuações nas leituras não sejam excessivas Vamos considerar ainda que observações sejam feitas e registradas com o devido cuidado de modo que apenas os erros aleatórios permaneçam F3 Estimativa de Incerteza Nossa meta é estimar a incerteza de medições experimentais e de resultados calculados devida aos erros aleatórios O procedimento tem três etapas 1 Estimar o intervalo de incerteza para cada quantidade medida 2 Declarar o limite de confiança em cada medição 3 Analisar a propagação de incerteza nos resultados calculados a partir dos dados experimentais A seguir nós delineamos o procedimento para cada etapa e ilustramos aplicações com exemplos Etapa 1 Estimar o intervalo da incerteza de medição Designe as variáveis medidas em uma experiência como x1 x2 xn Um modo possível para determinar o intervalo de incerteza para cada variável seria repetir cada medição muitas vezes O resultado seria uma distribuição de dados para cada variável Os erros aleatórios na medição em geral produzem uma distribuição de frequência normal gaussiana dos valores medidos A dispersão dos dados para uma distribuição normal caracterizase pelo desviopadrão σ O intervalo de incerteza para cada variável medida xi pode ser enunciado como nσi em que n 1 2 ou 3 Contudo a situação mais típica do trabalho de engenharia é uma experiência de uma só amostra na qual apenas uma medição é feita para cada ponto 1 Uma estimativa razoável da incerteza de medição decorrente do erro aleatório em uma experiência de uma só amostra é geralmente mais ou menos metade da menor divisão da escala a contagem mínima do instrumento Contudo essa abordagem também deve ser usada com cautela conforme ilustrado no exemplo seguinte Exemplo F1 INCERTEZA NA LEITURA DE UM BARÔMETRO A altura observada da coluna de mercúrio de um barômetro é h 7526 mm A contagem mínima na escala do vernier é 01 mm de modo que o erro provável da medição pode ser estimado como 005 mm Provavelmente uma medição não poderia ser feita com tal precisão Os cursores e o menisco do barômetro devem ser alinhados pelo olho humano O cursor tem uma contagem mínima de 1 mm Como estimativa conservadora uma medição poderia ser feita dentro do milímetro mais próximo O valor provável de uma só medição seria então expresso como 7526 05 mm A incerteza relativa na altura barométrica seria determinada como Comentários 1 Um intervalo de incerteza de 01 corresponde a um resultado especificado dentro de três dígitos significativos essa acurácia é suficiente para a maioria dos trabalhos de engenharia 2 A medição da altura do barômetro foi acurada conforme mostrado pela estimativa de incerteza Mas ela foi exata o suficiente A temperaturas ambientes típicas a leitura observada no barômetro deve ser reduzida por uma correção decorrente da temperatura de quase 3 mm Esse é um exemplo de erro fixo que requer um fator de correção Quando medições repetidas de uma variável estão disponíveis geralmente são dados normalmente distribuídos para os quais mais de 99 dos valores medidos de xi situamse dentro de 3σi do valor médio 95 situamse dentro de 2σi e 68 situamse dentro de σi do valor médio do conjunto de dados 2 Dessa forma seria possível quantificar os erros esperados dentro de qualquer limite de confiança desejável se um conjunto de dados estatisticamente significativos estivesse disponível O método das medições repetidas é geralmente impraticável Na maioria das aplicações é impossível obter dados suficientes para uma amostra estatisticamente significativa em virtude do tempo e custo excessivos Contudo a distribuição normal sugere diversos conceitos importantes 1 Os pequenos erros são mais prováveis do que os grandes 2 Os erros para mais e para menos são igualmente prováveis 3 Nenhum erro máximo finito pode ser especificado Etapa 2 Enunciar o limite de confiança de cada medição O intervalo de incerteza de uma medição deve ser enunciado em probabilidades especificadas Por exemplo podese escrever h 7526 05 mm 20 para 1 Isso significa que se aposta 20 por 1 que a altura da coluna de mercúrio realmente está dentro de 05 mm do valor declarado É óbvio 3 que a especificação de tais probabilidades só pode ser feita pelo experimentalista com base na experiência total de laboratório Não há substituto para o julgamento sólido de engenharia na estimativa da incerteza de uma variável medida O enunciado do intervalo de confiança baseiase no conceito de desviopadrão para uma distribuição normal Probabilidades de cerca de 370 por 1 correspondem a 3σ 997 de todas as leituras futuras são esperadas cair dentro do intervalo Probabilidades de cerca de 20 por 1 correspondem a 2σ e de 3 por 1 correspondem a limites de confiança de σ Probabilidades de 20 por 1 são as utilizadas tipicamente nos trabalhos de engenharia Etapa 3 Analisar a propagação de incerteza nos cálculos Suponha que medições das variáveis independentes x1 x2 xn são feitas no laboratório A incerteza relativa de cada quantidade medida independentemente é estimada como ui As medições são usadas para calcular algum resultado R para o experimento Desejamos analisar como os erros nos xis propagamse no cálculo de R a partir dos valores medidos Em geral R pode ser expresso matematicamente como R Rx1 x2 xn O efeito sobre R de um erro na medição de um xi individual pode ser estimado por analogia com a derivada de uma função 4 Uma variação δxi em xi causaria a variação de δRi em R A variação relativa em R é A Eq F1 pode ser empregada para estimar o intervalo de incerteza no resultado devido às variações em xi Introduzindo a notação de incerteza relativa obtemos Como estimamos a incerteza relativa em R causada pelos efeitos combinados das incertezas relativas em todos os xi O erro aleatório em cada variável tem uma faixa de valores dentro do intervalo de incerteza É improvável que todos os erros terão valores adversos ao mesmo tempo Pode ser mostrado 1 que a melhor representação para a incerteza relativa do resultado é Exemplo F2 INCERTEZA NO VOLUME DE UM CILINDRO Obtenha uma expressão para a incerteza na determinação do volume de um cilindro a partir de medições do seu raio e da sua altura O volume do cilindro em termos do raio e da altura é Diferenciando obtemos uma vez que Da Eq F2 a incerteza relativa decorrente do raio é e a incerteza relativa decorrente da altura é A incerteza relativa no volume é Comentário O coeficiente 2 na Eq F4 mostra que a incerteza na medição do raio do cilindro tem um efeito maior do que a incerteza na medição da altura Isso ocorre porque o raio é elevado ao quadrado na equação do volume F4 Aplicações a Dados Experimentais Aplicações a dados obtidos a partir de medições experimentais em laboratórios são ilustradas nos exemplos seguintes Exemplo F3 INCERTEZA NA VAZÃO EM MASSA DE UM LÍQUIDO A vazão em massa de água fluindo através de um tubo deve ser determinada coletandoa em um recipiente A vazão em massa é calculada a partir da massa líquida de água coletada dividida pelo intervalo de tempo em que Δm mf me As estimativas de erro para as quantidades medidas são Massa do recipiente cheio mf 400 2 g 20 por 1 Massa do recipiente vazio me 200 2 g 20 por 1 Intervalo de tempo de coleta Δt 10 02 s 20 por 1 As incertezas relativas nas quantidades medidas são A incerteza relativa no valor medido da massa líquida é calculada a partir da Eq F3 como Uma vez que Δm Δt podemos escrever a Eq F3 como Os termos requeridos das derivadas parciais são Substituindo na Eq F6 obtemos Comentário O intervalo de incerteza de 2 na medição do tempo é a contribuição mais importante para o intervalo de incerteza do resultado Exemplo F4 INCERTEZA NO NÚMERO DE REYNOLDS PARA ESCOAMENTO DE ÁGUA O número de Reynolds deve ser calculado para o escoamento de água em um tubo A equação de cálculo para o número de Reynolds é Consideramos o intervalo de incerteza no cálculo da vazão em massa Quais as incertezas em relação a μ e D O diâmetro do tubo é dado como D 635 mm Podemos considerar esse valor como exato O diâmetro pode ser medido com resolução de 01 mm Se assim for a incerteza relativa no diâmetro seria estimada como A viscosidade da água depende da temperatura Esta é estimada como T 24 05ºC Como a incerteza na temperatura afetará a incerteza em μ Um modo de estimar isso é escrever A derivada pode ser estimada a partir de dados tabelados para a viscosidade perto da temperatura nominal de 24ºC Assim Seguese da Eq F8 que a incerteza na viscosidade decorrente da temperatura é Os próprios dados tabelados para a viscosidade também têm alguma incerteza Se ela for de 10 uma estimativa para a incerteza relativa resultante na viscosidade será As incertezas na vazão mássica diâmetro do tubo e viscosidade necessárias para calcular o intervalo de incerteza do número de Reynolds calculado são agora conhecidas As derivadas parciais requeridas determinadas a partir da Eq F7 são Substituindo na Eq F3 obtemos Comentário Os Exemplos F3 e F4 ilustram dois pontos importantes para projeto de experimento Primeiro a massa de água coletada Δm é calculada a partir de duas quantidades medidas mf e me Para qualquer intervalo de incerteza considerado nas medições de mf e me a incerteza relativa em Δm pode ser diminuída fazendo Δm maior Isso pode ser realizado usandose recipientes maiores ou um tempo de medição mais longo Δt que também reduziria a incerteza relativa no Δt medido Segundo a incerteza nos dados de propriedades tabeladas pode ser significativa A incerteza dos dados também é aumentada pela incerteza na medição da temperatura do fluido Exemplo F5 INCERTEZA NA VELOCIDADE DO AR A velocidade do ar é calculada a partir de medições com tubo pitot em um túnel de vento Da equação de Bernoulli em que h é a altura observada da coluna do manômetro O único elemento novo neste exemplo é a raiz quadrada A variação em V decorrente do intervalo de incerteza em h é Usando a Eq F3 calculamos a incerteza relativa em V como Se uh 001 e as outras incertezas forem desprezíveis Comentário A raiz quadrada reduz a incerteza relativa na velocidade calculada para metade daquela de uh F5 Resumo A confirmação da incerteza provável de dados é uma parte importante de um relatório claro e completo de resultados experimentais A Sociedade Americana de Engenheiros Mecânicos ASME exige que todos os manuscritos submetidos para publicação em revistas científicas incluam uma declaração adequada das incertezas nos dados experimentais apresentados 5 A estimativa da incerteza em dados experimentais exige cuidado experiência e capacidade crítica em comum com muitos esforços na engenharia Enfatizamos a necessidade de quantificar a incerteza nas medições porém a limitação de espaço permitiu apenas a inclusão de poucos exemplos Uma quantidade maior de informação está disponível nas referências apresentadas a seguir por exemplo 4 6 7 Sugerimos fortemente que você consulte estas referências quando for projetar experimentos ou analisar dados experimentais Referências 1 Kline S J and F A McClintock Describing Uncertainties in SingleSample Experiments Mechanical Engineering 75 1 January 1953 pp 39 2 Pugh E M and G H Winslow The Analysis of Physical Measurements Reading MA AddisonWesley 1966 3 Doebelin E O Measurement Systems 4th ed New York McGrawHill 1990 4 Young H D Statistical Treatment of Experimental Data New York McGrawHill 1962 5 Rood E P and D P Telionis JFE Policy on Reporting Uncertainties in Experimental Measurements and Results Transactions of ASME Journal of Fluids Engineering 113 3 September 1991 pp 313314 6 Coleman H W and W G Steele Experimentation and Uncertainty Analysis for Engineers New York Wiley 1989 7 Holman J P Experimental Methods for Engineers 5th ed New York McGrawHill 1989 Unidades SI Prefixos e Fatores de Conversão Tabela G1 Unidades SI e Prefixosa Unidades SI Grandeza Unidade Símbolo SI Fórmula Unidades básicas do SI Comprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Temperatura kelvin K Unidades complementares do SI Ângulo plano radiano rad Unidades derivadas do SI Energia joule J N m Força newton N kg ms2 Potência watt W Js Pressão pascal Pa Nm2 Trabalho joule J N m Prefixos do SI Fator de Multiplicação Prefixo Símbolo SI 1 000 000 000 000 1012 tera T 1 000 000 000 109 giga G 1 000 000 106 mega M 1 000 103 quilo k 001 102 centib c 0001 103 mili m 0000 001 106 micro µ 0000 000 001 109 nano n 0000 000 000 001 1012 pico p aFonte Norma ASTM para Prática Métrica E 38097 1997 bA ser evitado sempre que possível G1 Conversões de Unidades Os dados para resolver problemas nem sempre estão disponíveis em unidades consistentes Por isso frequentemente fazse necessário converter de um sistema de unidades para outro Em princípio todas as unidades derivadas podem ser expressas em termos das unidades básicas Assim apenas os fatores de conversão para as unidades básicas seriam requeridos Na prática contudo muitas grandezas de engenharia são expressas em termos de unidades definidas como por exemplo o horsepower hp o Bristish thermal unit Btu o quarto ou a milha náutica Definições para tais grandezas são necessárias e fatores de conversão adicionais são úteis nos cálculos A Tabela G2 apresenta unidades básicas SI e fatores de conversão de interesse mais algumas definições e fatores de conversão convenientes Tabela G2 Fatores de Conversão e Definições Dimensão Fundamental Unidade Inglesa Valor SI Exato Valor Aproximado SI Comprimento 1 in 00254 m Massa 1 lbm 0453 592 37 kg 0454 kg Temperatura 1F 59 K Definições Aceleração da gravidade g 98066 ms2 32174 fts2 Energia Btu Unidade térmica britânica quantidade de energia requerida para aumentar a temperatura de 1 lbm de água de 1F 1 Btu 7782 ft lbf quilocaloria quantidade de energia requerida para aumentar a temperatura de 1 kg de água de 1 K 1 kcal 4187 J Comprimento 1 milha 5280 ft 1 milha náutica 60761 ft 1852 m exato Potência 1 horsepower 550 ft lbfs Pressão 1 bar 105 Pa Temperatura grau Fahrenheit TF 32 na qual TC é dado em graus Celsius grau Rankine TR TF 45967 Kelvin TK TC 27315 exato Viscosidade 1 Poise 01 kgm s 1 Stoke 00001 m2s Volume 1 gal 231 in3 1 ft3 748 gal Fatores de Conversão Úteis Comprimento 1 ft 03048 m Potência 1 hp 7457 W 1 in 254 mm 1 ft lbfs 1356 W Massa 1 lbm 04536 kg 1 Btuh 02931 W 1 slug 1459 kg Área 1 ft2 00929 m2 Força 1 lbf 4448 N 1 acre 4047 m2 1 kgf 9807 N Volume 1 ft3 002832 m3 Velocidade 1 fts 03048 ms 1 gal EUA 0003785 m3 1 fts 1522 mph 1 gal EUA 3785 L 1 mph 0447 ms Vazão volumétrica 1 ft3s 002832 m3s Pressão 1 psi 6895 kPa 1 gpm 6309 105 m3s 1 lbfft2 4788 Pa Viscosidade dinâmica 1 lbf sft2 4788 N sm2 1 atm 1013 kPa 1 gcm s 01 N sm2 1 atm 147 psi 1 Poise 01 N sm2 1 in Hg 3386 kPa Viscosidade cinemática 1 ft2s 00929 m2s 1 mm Hg 1333 Pa 1 Stoke 00001 m2s Energia 1 Btu 1055 kJ 1 ft lbf 1356 J 1 cal 4187 J Índice A Aceleração de partícula nas descrições euleriana e lagrangiana 187 Aerofólio choques oblíquos 758 onda de expansão 763 supersônico coeficientes de sustentação e de arrasto 765 Aeronave X43AHyperX 771 Alojamento 494 Altura de sucção positiva líquida NPSH 525 cálculo 526 disponível NPSHA 526 requerida NPSHR 526 Análise diferencial dos movimentos dos fluidos 171233 conservação da massa 173 equação da quantidade de movimento 196 função de corrente para escoamento incompressível bidimensional 180 introdução à dinâmica de fluidos computacional 206 movimento de uma partícula fluida cinemática 183 dimensional 289326 determinação dos grupos II 296 equações diferenciais básicas adimensionais 292 grupos adicionais importantes na mecânica dos fluidos 302 natureza 294 semelhança de escoamentos e estudos de modelos 305 teorema Pi de Buckingham 295 efeito capilar em um tubo 38 escoamento laminar completamente desenvolvido para baixo num plano inclinado 200 viscométrico entre cilindros coaxiais 203 quantidade de movimento escolha do volume de controle 115 volume de controle diferencial 124 Anemômetros laser Doppler 399 térmicos 399 Aparelho MP3 e mecânica dos fluidos 47 Aquamarine ostra energia das ondas 171 Área molhada 446 Arrasto 445 aerodinâmico e momento fletor sobre uma chaminé 453 sobre um ônibus 312 atrito escoamento sobre uma esfera e um cilindro 449 puro 445 superficial em um superpetroleiro 448 coeficiente 445 induzido 463 pressão 42 escoamento sobre uma esfera e um cilindro 449 puro escoamento sobre uma placa plana normal ao escoamento 449 transdutor de sonar 306 Atmosferapadrão 61 variação da pressão e da massa específica 68 Avião Blended Wing Body 278 transporte a jato 468 B Balanço de energia mecânica 255 Balão de ar quente força de empuxo 83 Barômetro 67 Barragem das três gargantas 652 Baterias elétricas 600 Bidimensional escoamento 25 Biomimética 492 Bobsledding 225 Bocal escoamento 247 subsônico 251 medidor 392 Bola girando sobre si mesma sustentação 473 Bombas 493 axiais equação de Euler 511 características cálculo 515 centrífuga equação de Euler 510 idealizada 502 motor de velocidade variável economia de energia 540 desempenho 515 transporte por escala de curvas 523 deslocamento positivo 548 550 determinando o ponto de operação 531 leis 316 regras de semelhança 521 seleção aplicação para sistemas fluidos 529 sistemas de fluidos 366 C Cálculo perda de carga 355 bombas em sistemas de fluidos 366 dutos não circulares 367 maiores fator de atrito 355 menores 360 curvas em tubos 364 entradas e saídas 361 expansões e contrações 362 válvulas e acessórios 365 sopradores em sistemas de fluidos 366 ventiladores em sistemas de fluidos 366 perfis de superfície 644 livre 645 Camadaslimite 422444 conceito 422 equação integral da quantidade de movimento 427 espessura 423 deslocamento 424 integrais 425 perturbação 423 quantidade de movimento 424 gradientes de pressão no escoamento 440 laminar sobre uma placa plana site da LTC Editora turbulenta sobre uma placa plana 439 Cambado 459 Campo tensão 30 velocidade 24 Canais abertos circular 604 606 641 escoamento versus área através de dois formatos 635 geometria 605 irregular natural 604 larga e plana 606 641 ótima seção transversal 641 prismático 605 retangular 606 641 curvas de energia específica 615 profundidade normal 637 ressalto ou estreitamento escoamento 623 vazão 635 trapezoidal 604 606 641 triangular 604 606 641 profundidade crítica 618 Carcaça 494 Carenagem 456 Carregamento de disco 567 Cavitação 44 525 Chaminé arrasto aerodinâmico e momento fletor 453 Choques normais 715 comparação 755 duto 723 equações básicas 716 escoamento unidimensional de um gás ideal 719 interpretação de Fanno e Rayleigh 718 oblíquos 750 comparação com choque normal 755 ondas de expansão isentrópica 759 sobre um aerofólio 758 Coeficiente adimensional de potência 314 arrasto 445 Chezy 634 empuxo 570 energia cinética 353 escoamento 314 potência 570 sustentação 458 torque 570 Comporta escoamento 249 Compressão 59 Compressores 493 583 análise da primeira lei 145 surge fenômeno 586 Condição de estagnação 674 Conduto tamanho 638 Cone de Mach 670 bala 673 zona ação 672 silêncio 672 Conservação de massa 100 106 173 sistema de coordenadas cilíndricas 177 retangulares 173 Consistência dimensional 14 Conversão de energia térmica do oceano OTEC 21 Conversor energia das ondas pelamis 99 Vivace 290 Coordenadas cilíndricas 177 equação diferencial da continuidade 179 linhas de corrente 240 retangulares 173 242 Correia transportadora enchimento 123 Correntes oceanos energia 289 rio energia 289 D Dampers 548 Deformação de fluido 193 angular 193 linear 195 Densidade relativa 23 Derivação 103 Derivada material 186 partícula 186 substancial 186 Desaceleração de um veículo por um paraquedas de arrasto 454 Descarga de um vertedouro suprimido retangular de soleira delgada 650 Diferença de pressão 60 Difusor aumento de vazão 379 subsônico 251 Dimensões 11 Dinâmica de fluidos computacional DFC 206 aplicações 208 básicos usando uma planilha 209 considerações 222 convergência iterativa 221 discretização usando o método das diferenças finitas 215 estratégia 214 lidando com a não linearidade 219 malha de convergência 218 montagem do sistema discreto e aplicação de condições de contorno 216 necessidade 207 solução do sistema discreto 217 solucionadores diretos e iterativos 220 Drenagem de um tanque solução do método Euler 210 Dutos escoamento 347 área constante com atrito 727 choque normal 723 não circulares 367 E Efeitos capilar tubo análise 38 uso da matriz dimensional 300 Magnus 474 Eficiência bomba 504 global 550 turbina 504 volumétrica 550 Elástico 32 Elemento de escoamento laminar 393 Empuxo e estabilidade 81 balão de ar quente 83 Enchimento correia transportada taxa de variação da quantidade de movimento no volume de controle 123 tanque análise da primeira lei 146 Energia bomba centrífuga com motor de velocidade variável economias 540 cinética coeficiente 353 correntes oceanos 289 rios 289 eólica 1 sistema rotativo a Ar Magenn MARS 420 turbina eólica axial de eixo vertical 657 eixo vertical Windspire 689 projeto de ventiladores usando tubérculos 491 escoamento em tubos 352 interna e transferência de calor no escoamento incompressível sem atrito 254 ondas 56 Central Limpet 234 conversor de energia das ondas aquamarine ostra 171 ondas pelamis 99 vento turbina eólica floDesign 328 Entalpia 660 estagnação 693 Equaçãoões básicas na forma integral para um volume de controle 98170 conservação de massa 106 leis básicas 100 primeira lei da termodinâmica 141 princípio da quantidade de movimento angular 137 quantidade de movimento para um volume de controle aceleração arbitrária site da LTC Editora retilínea 130 inercial 112 relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de controle 102 segunda lei da termodinâmica 148 Bernoulli 126 240 aplicações 246 dedução usando coordenadas linha de corrente 240 retangulares 242 escoamento irrotacional 260 transiente integração da equação de Euler ao longo de uma linha de corrente no site da LTC Editora interpretada com uma equação de energia 252 precauções no emprego 251 pressões estática de estagnação e dinâmica 243 sistema de referência em translação 250 Chezy 634 continuidade 124 diferenciais básicas adimensionais 292 continuidade coordenadas cilíndricas 179 regime não permanente 176 quantidade de movimento 198 energia para escoamento canal aberto 611 uniforme 639 engenharia 14 escoamento adiabático 728 compressível unidimensional 691 transferência de calor 741 estática dos fluidos 57 Euler 236 bombas axiais 511 centrífugas 510 coordenadas de linhas de corrente 237 longo de uma linha de corrente para escoamento permanente 240 turbomáquinas 498 510 ventiladores axiais 511 integral da quantidade de movimento 427 continuidade 427 escoamento com gradiente de pressão zero 432 laminar 433 resultados 440 turbulento 437 Laplace 261 Manning para escoamento uniforme 633 NavierStokes 198 quantidade de movimento 196 diferencial da quantidade de movimento 198 direção da linha de corrente 125 fluidos newtonianos equações de NavierStokes 198 forças atuando sobre uma partícula fluida 197 volume de controle 144 fixo 137 Escoamentos adiabático 727 atrito em um duto de área constante 730 738 equações básicas 728 linha de Fanno 728 através cotovelo uso de pressões manométrica 119 placa de orifício 394 bidimensional 24 186 função de corrente 261 potencial de velocidade 261 bloqueado em um bocal convergente 708 bocal 247 aplicação da equação de Bernoulli 126 convergentedivergente 725 camadalimite em um canal 425 canais abertos 45 600656 conceitos básicos 603 definições 603 efeito localizado de mudança de área 619 equação de energia 611 geometria 605 medição de descarga usando vertedouros 646 profundidade variando gradualmente 642 ressalto 620 625 630 retangular 623 simplificação 604 uniforme em regime permanente 631 velocidade de ondas superficiais e o número de Froude 607 comporta 121 249 compressível 43 657783 condições críticas 682 propagação de ondas de som 665 propriedades de estagnação isentrópica local 674 termodinâmica 659 variações de propriedades em duto 663 corrente 621 crítico 621 disparado 621 dutos 347 área constante com atrito 727 externo 44 fluido em torno de corpos submersos 444 arrasto 445 sustentação 458 gradiente de pressão zero 423 equação integral da quantidade de movimento 432 laminar 433 turbulento 437 incompressível 43 bidimensional função de correte 180 energia interna e transferência de calor 254 fluidos não viscosos 234288 função de corrente 261 número de Mach limite 680 potencial de velocidade 261 interno 44 viscoso e incompressível 327 invíscido 41 irrotacional 259 equação de Bernoulli 260 Laplace 261 função de corrente 261 potencial de velocidade 261 isentrópico bocal convergente 704 divergente 710 712 714 canal convergente 702 gás ideal 694 condições críticas e de estagnação de referência 699 isotérmico 727 laminar 42 329 completamente desenvolvido 331 entre placas paralelas infinitas 331 para baixo sobre um plano inclinado análise 200 tubo 342 região de entrada 330 viscométrico entre cilindros coaxiais análise 203 não viscoso 39 41 placa plana normal ao escoamento 449 paralela ao escoamento 445 planos elementares 264 superposição 266 profundidade variando gradualmente 642 proveniente de uma torre de água vazão em volume desconhecida 374 rápido 621 regime permanente 27 transiente 27 sem atrito 619 com transferência de calor 255 duto de área constante adição de calor 744 transferência de calor 740 semelhança 305 sifão 248 sistema de irrigação diâmetro desconhecido 376 sobre cilindro superposição de um dipolo e um escoamento uniforme 270 ressalto 620 uma esfera e um cilindro 449 sônico 698 subcrítico 621 subsônico 45 697 supercrítico 621 supersônico 45 697 canais com choque 724 torno de um cilindro com circulação 273 tranquilo 621 tridimensionais 24 tubo 347 considerações de energia 352 coeficiente de energia cinética 353 perda de carga 354 distribuição de tensão de cisalhamento 348 perfis de velocidade 349 queda de pressão 298 saída de um reservatório queda de pressão desconhecida 371 solução de problemas 367 tubulação comprimento desconhecido 372 turbulento 42 329 uma curva 239 unidimensional 24 186 uniforme 25 265 regime permanente 631 seção transversal do canal ótima 641 viscosos 39 incompressível externo 419490 camadaslimite 422 torno de corpos submersos 444 vórtices livre e forçado 192 Estática dos fluidos 5697 atmosferapadrão 61 empuxo e estabilidade 81 equação básica 57 forças hidrostáticas sobre superfícies submersas 70 hidrostática 57 sistemas hidráulicos 70 variação de pressão 62 Estrondo sônico redução 683 F Flapes 466 FloDesign turbina eólica 328 FLtT 12 Fluidos 4 barotrópico 43 como um contínuo 22 computacionais dinâmica DFC 206 aplicações 208 básicos usando uma planilha 209 considerações 222 convergência iterativa 221 discretização usando o método das diferenças finitas 215 estratégia 214 lidando com a não linearidade 219 malha de convergência 218 montagem do sistema discreto e aplicação de condições de contorno 216 necessidade 207 solução do sistema discreto 217 solucionadores diretos e iterativos 220 dilatante 36 estática 5697 atmosferapadrão 61 empuxo e estabilidade 81 equação básica 57 forças hidrostáticas sobre superfícies submersas 70 hidrostática 57 sistemas hidráulicos 70 variação de pressão 62 mecânica 4 grupos adicionais importantes 302 movimento 39 corpo rígido 85 não newtonianos 35 não viscosos escoamento incompressível 234288 equação Bernoulli 240 252 Euler em coordenadas de linhas de corrente 237 quantidade de movimento para escoamento sem atrito equação de Euler 236 escoamento irrotacional 259 equação de Bernoulli 260 função de corrente e potencial de velocidade equação de Laplace 261 planos elementares 264 266 potencial de velocidade 261 linha de energia e linha piezométrica 257 newtonianos 33 equações de NavierStokes 198 tensão de cisalhamento 34 viscosidade 34 pseudoplásticos 36 reopéticos 36 rotação 189 tixotrópicos 36 translação aceleração de uma partícula fluida em um campo de velocidade 184 viscoelásticos 36 Fluxo de massa junção de tubos 108 superfície de controle de um volume de controle diferencial cilíndrico 178 FMLtT 12 Foguete lançado verticalmente 134 Fontes de Bellagio em Las Vegas 403 Forças arrasto sobre uma esfera lisa 297 atuando sobre uma partícula fluida 197 campo 30 empuxo balão de ar quente 83 objeto submerso 86 hidrostáticas sobre superfícies submersas 70 curva 77 componente da força 80 inclinada 74 plana 70 85 vertical com pressão manométrica diferente de zero na superfície livre 76 manométrica 119 pressão 58 hidrostática 121 superfície 30 Função de corrente para escoamento incompressível bidimensional 180 um canto 182 G Gases 67 Golpe de aríete 43 Gradiente de pressão adverso 42 441 escoamento da camadalimite 440 favorável 441 Gravidade específica 23 definição 46 H Hélices 495 563 análise de volume de controle do escoamento idealizado através 564 empuxo de torque na partida 568 marítima dimensionando 571 Hidrodinâmica teórica 422 I Impulsor 494 Índice de cavitação 303 Integração da equação diferencial bidimensional da continuidade 175 J Junção de tubos fluxo de massa 108 L Laboratório em um chip 151 Leis básicas para um sistema 100 conservação de massa 100 primeira lei da termodinâmica 101 princípio da quantidade de movimento angular 100 segunda lei Newton 100 termodinâmica 101 bombas 316 deficiência 351 potência 351 termodinâmica primeira 6 segunda 6 viscosidade de Newton 46 Linhas corrente 26 definição 46 escoamento bidimensional 28 emissão 26 definição 46 energia 257 Fanno 718 escoamento adiabático 728 escoamento unidimensional de um gás ideal 732 piezométrica 257 Rayleigh 718 742 escoamento unidimensional de um gás ideal 746 tempo 26 Líquidos incompressíveis manômetros 62 M Magenn Power 420 Manômetros 62 múltiplos líquidos 66 sensibilidade 64 tubo inclinado análise 64 ângulo de inclinação 65 líquido manométrico 65 razão de diâmetro 65 resumo 65 Máquinas de fluxo 491599 abrangência 497 axial 493 bombas 509 deslocamento positivo 548 centrífugas 493 classificação 493 deslocamento positivo 493 dinâmicas 493 eólicas 572 HAWT 573 VAWT 573 extração de trabalho potência de um fluido 496 hélices 563 introdução 493 misto 493 motor pequeno 590 radial 493 realização de trabalho sobre um fluido 493 sopradores 509 turbinas hidráulicas 552 turbomáquinas 498 escoamento compressível 582 ventiladores 509 Massa específica na atmosfera variação 68 Mecânica dos fluidos 3 análise e erro experimental 15 aparelho MP3 47 definição 4 dimensões sistemas 11 equações básicas 5 fluido definição 4 formulação diferencial versus formulação integral 9 grupos adicionais importantes 302 métodos de análise 7 descrição 9 sistema definição 7 unidades sistema 11 volume de controle 7 Medição de vazão 386 linear 397 método transverso 399 restrição para escoamentos internos 387 bocal medidor 392 elemento de escoamento laminar 393 placa de orifício 391 venturi 392 MLtT 12 Modelagem numérica do escoamento sobre um canto 212 Módulo de compressibilidade ou elasticidade 43 Moinho de vento idealizado desempenho 576 Movimento fluido 39 introdução à análise diferencial 171233 conservação da massa 173 dinâmica de fluidos computacional 206 função de corrente para escoamento incompressível bidimensional 180 movimento de uma partícula fluida cinemática 183 partícula fluida cinemática 183 N Natação olímpica 225 Número cavitação 318 crítico de Mach 572 Euler 303 318 Froude 304 318 Mach 304 318 limite para escoamento incompressível 680 Reynolds 303 318 Weber 304 318 O Oceano energia das correntes 289 potência 20 Ondas energias 56 central Limpet 234 conversor de energia das ondas aquamarine ostra 171 pelamis conversor de energia 99 velocidade na superfície livre 609 P Pá aerofólio 543 defletora movendo aceleração retilínea 133 velocidade constante 128 Paraquedas de arrasto desaceleração de um veículo 454 Partícula fluida forças atuando sobre 197 movimento 183 Película laminar sobre uma parede vertical 341 Perda de carga 354 cálculo 355 Perímetro molhado 605 Peso específico 23 definição 46 Pitot 399 Placas orifício 391 paralelas infinitas escoamento laminar completamente desenvolvido 331 ambas estacionárias 331 distribuição da tensão de cisalhamento 334 ponto de velocidade máxima 335 transformação de coordenadas 335 vazão em volume 334 velocidade média 335 superior movendose com velocidade constante U 337 distribuição de tensão de cisalhamento 338 ponto de velocidade máxima 338 vazão em volume 338 velocidade média 338 Plástico de Bingham ou ideal 36 PME ponto de melhor eficiência 520 Polígonos de velocidade 500 Potência hidráulica 503 mancal de deslizamento 339 oceano 20 Potencial de velocidade 263 Pressão atmosfera variação 68 diastólica 63 diferença 60 dinâmica 243 estagnação 243 estática 243 fluidos estáticos variação 62 manométrica 60 sistólica 63 vapor 44 Primeira lei da termodinâmica 101 141 692 equação do volume de controle 144 taxa de trabalho realizado por um volume de controle 142 Princípio da quantidade de movimento angular 100 137 equação para volume de controle fixo 137 rotativo no site da LTC Editora 141 Propagação de ondas de som 665 Propriedades de estagnação isentrópica local 674 escoamento canal 678 gás ideal 675 Q Quantidade de movimento para um volume de controle equação aceleração arbitrária no site de LTC Editora 137 retilínea 130 inercial 112 Queda livre de uma bola no ar 9 pressão no escoamento em um tubo 298 R Raio hidráulico 606 Razão de calores específicos 661 Regador giratório de gramados análise usando volume de controle fixo 139 Relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de controle 102 derivação 103 interpretação física 105 Ressalto escoamento 620 hidráulico 625 aumento de profundidade 628 escoamento em canal aberto 630 perda de carga 629 Rios energia das correntes 289 Rodas Falkirk 86 Pelton 554 556 Rotação escoamento viscométrico 194 fluido 189 Rotâmetros 397 Rotor 494 S Segunda lei Newton 100 termodinâmica 101 148 693 Semelhança de escoamentos 305 incompleta 307 312 Separação de escoamento 441 Sifão escoamento 248 Sistema 7 coordenadas cilíndricas 177 retangulares 173 dimensões 11 fluidos 529 hidráulicos 70 rotativo a Ar Magenn MARS 420 trajetos múltiplos 382 unidades 12 preferenciais 13 Solenoidal circulação 462 Som velocidade 665 Sopradores 541 548 sistema de fluidos 366 493 Subcamada viscosa 350 Substâncias viscoelásticas 5 Superpetroleiro arrasto de atrito superficial 448 Superposição de escoamentos planos elementares 266 Surfactantes compostos 39 Sustentação 458 bola girando sobre si mesma 473 T Tanque drenagem solução do método de Euler 210 sobre balança força de campo 117 ventilação variação de massa específica 111 Taxa cisalhamento 33 deformação para escoamento em um canto 195 fluxo de volume 107 trabalho realizado por um volume de controle 142 eixo 143 realizado por tensões cisalhamento na superfície de controle 143 normais na superfície de controle 143 variação da quantidade de movimento no volume de controle 123 Tensão 30 campo 30 cisalhamento 30 fluido newtoniano 34 no escoamento completamente desenvolvido em tubos 348 Reynolds 348 superficial 37 Teoremas Pi de Buckingham 295 transporte de Reynolds 105 Termodinâmica 659 primeira lei 101 segunda lei 101 Torque em um mancal de deslizamento 339 Trajetórias 26 definição 46 escoamento bidimensional 28 Transdutor de sonar arrasto 306 Translação de um fluido aceleração de uma partícula fluida em um campo de velocidade 184 Transporte por escala com múltiplos parâmetros dependentes 313 Tridimensional escoamento 24 Trilha de vórtices 452 462 Tubérculos 491 Tubo escoamento 347 distribuição de tensão de cisalhamento 348 energia 352 laminar completamente desenvolvido 342 distribuição de tensão de cisalhamento 345 ponto de velocidade máxima 345 vazão volumétrica 345 velocidade média 345 perfis de velocidade 349 saída de um reservatório queda de pressão desconhecida 371 solução de problemas 367 sistema de trajeto único 368 Pitot 245 rugosidade 357 vazões em uma rede 383 Turbinas 496 eólica axial de eixo vertical 657 eixo vertical Windspire 689 FloDesign 328 Giromill análise 580 Helix 658 projeto de ventiladores usando tubérculos 491 escoamento compressível 587 gás 496 hidráulicas 496 552 análise ideal 552 características de desempenho 554 dimensionamento para sistemas fluidos 559 teoria 552 impulsão 496 desempenho 561 otimização 561 velocidade ótima 556 reação 496 vapor 496 Turbochargers 587 Turbomáquinas 493 abrangência 497 análise 498 dimensional 504 diagramas de velocidade 500 eficiência potência hidráulica 503 equação de Euler 498 510 escoamento compressível 582 aplicação da equação da energia 582 compressores 583 velocidade específica 504 Tyrannosaurus rex 319 U Unibidimensional escoamento 24 Unidades 11 FLtT 12 FMLtT 12 MLtT 12 uso 13 V Vala rasa 604 Variação massa específica atmosfera 68 tanque de ventilação 111 pressão específica na atmosfera 68 fluido estático 62 hidrostática 85 Vazamento em torno de um pistão 336 Vazão canal retangular 635 emprego de difusor para aumento 379 linear medidores 397 eletromagnético 398 magnéticos 398 ultrassônicos 398 vórtice 397 mássica na camadalimite 110 medição 386 métodos diretos 386 restrição para escoamentos internos 387 bocal medidor 392 elemento de escoamento laminar 393 placa de orifícios 391 venturi 392 rede de tubos 383 volume 107 volumétrica 107 Velocidade 24 atrito 350 específica bomba centrífuga 315 318 definições 509 turbomáquinas 504 ondas superficiais 607 som 665 aço 669 água 669 ar 669 equação continuidade 667 quantidade de movimento 667 escoamento tipos 670 mar 669 subsônicos 665 supersônico 665 Ventiladores 541 centrífugos 542 gaiola de esquilo 542 sistema de fluidos 366 493 axiais equação de Euler 511 transportando por escala o desempenho 546 Venturi 392 Vertedouro 646 horizontal contraído 648 retangular contraídos 648 suprimido 647 soleira delgada 646 espessa 646 648 suprimido retangular de soleira delgada descarga 650 triangular 648 Viscoelástico 32 Viscosidade 32 absoluta 33 cinemática 34 cisalhamento em um fluido newtoniano 34 Viscosímetro capilar 346 Vivace 289 Volume de controle 7 análise de quantidade de movimento 115 conservação da massa aplicada 8 diferencial análise 124 componente da equação da quantidade de movimento na direção da linha de corrente 125 equação da continuidade 124 equações básica na forma integral 98170 conservação de massa 106 leis básicas para um sistema 100 primeira lei da termodinâmica 141 princípio da quantidade de movimento angular 137 quantidade de movimento para um volume de controle aceleração arbitrária no site da LTC editora 137 aceleração retilínea 130 inercial 112 relação entre as derivadas do sistema e a formulação 102 segunda lei da termodinâmica 148 movendo com velocidade constante 128 Vórtices de borda de fuga 462 W Wavebob 56 Weber número 304 WhalePower 492 Windspite turbina 690 Winglets 465 Z Zona de ação e de silêncio cone de Mach 672 Respostas de Problemas Selecionados 15 M 266 kg 17 t 3Wgk 19 L 0249 m D 0487 m 113 y 0922 mm 117 a kg m2s3 b kgm s2 c kgm s2 d 1s e kg m2s2 f kg m2s3 g kg ms h kgm s2 i adimensional j kg m2s 119 a 1076 ft2s b 0134 hp c 043 Btulbm 121 a 0998 Btulbm R b 671 mih c 305 in3 123 a 00472 m3s b 00189 m3 c 291 ms d 219 104 m2 125 a 636 103 ft3 b 402 hp c 1044 lbf sft2 d 431 ft2 127 Q 397 Lmin 129 SG 136 ν 738 10 5 m 3 kg γ M 226 10 4 Nm 3 131 V 865 ms V 582 ms usando unidades erradas 133 c 238 K½ sm 135 CD é adimensional 137 c N sm k Nm f N 139 m mLmin2 141 ρ 106 347 103 kgm3 0328 143 ρ 930 272 kgm3 145 t 1 5 5 s Incerteza na vazão 50 10 10 147 350 106 m3 L 102 00153 mm 153 149 δx 0158 mm 151 H 173 0164 m θmin 314 153 V 634 D 448 cm 21 1 2D Não permanente 2 2D Permanente 3 ID Permanente 4 ID Permanente 5 1D Não permanente 6 2D Permanente 7 2D Não permanente 8 3D Permanente 23 2D 0 disco inferior êθrω disco superior Linhas de corrente 25 A é irrelevante para as formas das linhas de corrente determina as magnitudes de velocidade 27 Linhas de corrente 29 Linhas de corrente 211 Linhas de corrente x2 y2 c Modelo de vórtice do centro de um tornado 213 Linhas de corrente y cx Modelos de um sumidouro veja o Capítulo 6 215 Linha de corrente e linha de trajetória regime permanente 217 221 Lagrangiano xt 2t 1 yt 1 t2 Linhas de trajetória Linhas de corrente yxt 1 tx 1 223 Linhas de trajetória Linhas de corrente yxt xt5 225 Linhas de trajetória y 4t 1 x 3e005t 2 Linhas de corrente 227 Linhas de corrente yt0 ν0senωtt t0 xt0 u0t t0 229 Linhas de emissão y et τ x et τ 01t 2 τ2 Linhas de corrente 231 Linhas de corrente y3 6x 4 263 m 6 m 317 m 4 m 233 Linhas de corrente yx 5 lnx 1 Em 5 s em 6 m Em 10 s e2m 11 m 235 Em 2 s 191 m 28 m Em 3 s 149 m 30 m 237 b 413 10 9 m 2 s K 32 S 1104 K 239 b 152 106 m2s K32 S 102 K 241 F 228 N 243 na direção positiva de x 245 F 7452 N 247 L 066 m 249 t 193 s 251 253 F 283 N 255 rτ 0 225 m τrxtubo 237 Pa τrxfilamento 252 kPa 259 μ 807 104 N sm2 261 t 400 s 263 265 267 269 Plástico de Bingham μp 0652 N sm2 271 273 275 277 Δp 291 kPa 279 A 0400 mm b 437 mm1 283 a 0 b 2U c U 285 V 368 kmh 287 Re 1389 Tturb 52C 289 SG 09 γ 8830 Nm3 Escoamento laminar 291 V 667 kmh 31 p 2544 MPa t 227 cm 33 Δp 672 mm Hg Δz 173 m 35 F 270 N T 0282 N 39 p 316 kPa manométrica pSL 253 kPa manométrica 311 SG 177 psuperior 3525 kPa pinferior 613 kPa 313 Δρρ 455 Δpp 224 315 p 1471 kPa manométrica 317 p 639 kPa manométrica h 393 mm 319 p 128 kPa manométrica 321 H 1775 mm 323 h 423 mm 325 Fator de amplificação 578 327 p 247 kPa manométrica h 0116 m 329 l 1600 m 331 l 0549 m 333 s 6 335 h 785 mm s 0308 337 l 0407 m 339 x 02531 cm 343 Δz 270 m para perda de pressão de 3 Δz 455 m para perda de pressão de 5 345 ρ 332 103 kgm3 347 F1atm 147 kN F05atm 526 kN 349 pA 196 kPa pB 2820375 Pa pC 711225 Pa par1 24525 Pa par2 4375125 Pa 351 FR 354 N y 0285 m 355 FR 204 N 357 FR 552 kN y 200 m x 250 m 359 F 26278 N 363 D 26 m 365 d 266 m 367 SG 0542 369 FV 831 kN 371 FV 762 kN xFV 376 kN m FA 571 kN 375 FV ρgwR2π4 x 4R3π 377 FV 183 107 N α 199 379 FV 416 kN FH 370 kN α 483 F 557 kN 381 385 M 734 kg 387 M 631 kg 389 h 177 mm 391 393 252L são necessários seis pesos 397 399 h 300 km 3101 MB 291 kg 3105 D 0737 m 3107 f 0288 ciclos ω 181 rads 3109 F 1594 N 3115 h aLg 3117 A cavitação não ocorre 3119 Δp ρω2R22 ω 716 rads 3121 α 1330 3123 dydx 025 p 105 196x p kPa x m 3125 T 402 N Δp 303 kPa 41 x 049 m x 043 m x 0122 m 43 V 0577 ms θ 482 45 47 Vseco 5167 kmh Vúmido 3382 kmh 49 t 172 h 411 ΔU 459 MJ ΔUSistema 0 ΔTΔt 609Ch 413 415 417 419 Vjato 57 ms Vtubo 049 ms 421 tsaída 126 s tdreno 506 s Qdreno 00242 m3s 423 umidade 586 kgs ar 436 kgs 425 Q 02 m3s escoamento para dentro 427 t 583 min 429 Q 168 Ls V 168 ms w 115 m 431 ρ 0267 kgm3 433 435 U 15 ms 437 Q 105 105 m3s 1045 mLs Vmédia 0139 ms umáx 0213 ms 439 νmín 50 ms 441 162 kgs 443 VCt 091 kgs 445 dρtanquedt 02582 kgm3s 447 Q 57 m3s A 047 107 m2 449 t32 383 s t21 453 s 451 dydt 901 mms 453 Qcd 450 103 m3s Qad 60 104 m3s Qbe 165 103 m3s 455 t dreno 253 min t 126 210 min t60 0448 min 457 t500 kPa 422 dias p30 dia Exata 639 kPa p30 dia Dizendo 493 kPa Δp 51 kPa 459 mf2mf1 12 461 mfx 840 N mfy 277 N 463 V 1243 ms F 783 N 465 F 904 kN 467 T 312 N 469 F 156 N 471 Lâmina de bloco Mmín 714 kg 473 Mcarga útil 671 kg 475 477 F 116 kN 479 Rx 668 N 481 Fy 716 N 483 Ry 405 kN 485 ar 928 kgs T 229 kN 487 V 218 ms 489 Rx 468 kN Ry 166 kN 491 V2 65 ms Δp 851 kPa 493 F 2456 N 495 Rx 1760 N 497 Fx 779 N Fy 387 N 499 ar 633 kgs Vmáx 188 ms Farrasto 541 N 4101 U1 10 ms umáx 15 ms Δp 15 kPa 4103 Rx 790 104 N 4105 F 521 N 4107 4109 h2h 1 senθ2 4111 h 017 m 170 mm F 078 N 4113 4115 4117 F 114 kN 4119 D 262 mm 4121 4123 4125 4127 Rx 940 N Ry 252 N 4129 Rx 167 N 4131 Rx 173 kN 4133 Fx ρV U2A1 cos θ P ρUV U2A1 cos θ 4135 Rx 424 kN t 417 mm 4137 U V2 4139 4141 Ut 158 ms 4143 4145 θ 197 4147 t 235 s 4149 U 225 ms 4151 V1 s 513 ms x1 s 194 m V2 s 318 ms x2 s 347 m 4153 4155 4157 t 0867 s xrepouso 626 m 4159 Q 00469 m3s 4161 t 126 s 4163 Umáx 350 ms ΔUU 108 4165 4167 mcombustível 381 kg 4169 a rfy 169 ms 2 4173 4175 4177 inicial 0111 kgs inicial 00556 kgs t 208 min 4179 4181 MVCt 0165 kgs PxVCt 21 mN Proporção 462 104 4185 Quantidade de movimento 698 kN m V 243 ms 4187 Fx 234 kN228 kN Quantidade de movimento 468 kN m 4189 4191 T 162 N m ω 113 rpm 4193 T 00722 N m 4195 T 00161 N m 4197 ω 604 rads 577 rpm A 1720 m2 4199 Teixo 294 N m Mx 510 N m My 14 N m 4201 Ry ρV2wh cos θ aplicada abaixo do Ponto O Equilíbrio quando θ 0 4203 m 800 kW 4205 η 790 4207 δQdm 21 kJkg 189 kJs 4209 Q 1032 Lmin zmáx 652 m Rx 620 N 4211 V 703 ms mín 360 kW 51 a Possível b Impossível c Impossível d Impossível 53 Equação válida para escoamento em regimes permanente e não permanente Número infinito de soluções 55 Equação válida para escoamento em regimes permanente e não permanente Número infinito de soluções νx y 3xy2 57 Equação válida para escoamento em regimes permanente e não permanente 59 Equação válida para escoamento em regimes permanente e não permanente 511 513 515 519 a Possível b Possível c Possível 521 525 527 Escoamento incompressível ψ Aθ B ln r 529 Bidimensional incompressível 531 para um quarto da vazão 533 535 Q 0001100 m 3 s m Q 0001100 m 3 s m 537 ψ C ln C1 Q 00547 m3s m Q 00547 m3s m 539 Campo de escoamento possível a 699 ms2 541 νxy A5x4y 10x2y3 y5 a 125 104 ms2 543 545 Incompressível 549 551 553 559 561 xy 8 12î 24ĵ 6πî 12πĵ Local 72î 144ĵ Convectiva 98î 106ĵ Total 563 565 567 xp x0eAt yp y0eAt 569 a Não é irrotacional b Não é irrotacional c Não é irrotacional d Não é irrotacional 571 Γ 01 m2s Γ 01 m2s 573 Não é incompressível Não é irrotacional 575 Incompressível 577 Incompressível Irrotacional 579 Incompressível Não é irrotacional 581 2yî 2xĵ 583 585 587 Deformação linear zero 591 593 595 597 61 63 conv AAx Btî AAy Btĵ total A2x ABt Bî A2y ABt Bĵ p 699î 140ĵ 980 kPam 65 127î 324ĵ p 131î 435ĵ 67 local 2πAωcos2πωtxî yĵ conv A2sen22πωtxî yĵ total local conv local0 126î ĵ ms2 conv0 0 ms2 local05 s 126î ĵ ms2 conv05 s 0 ms2 local1 s 126î ĵ ms2 conv1 s 0 ms2 p0 251î 251ĵ Pam p05 s 251î 251ĵ Pam p1 s 251î 251ĵ Pam 69 Incompressível Ponto de estagnação 25 15 p ρ4x 10î 4y 6ĵ gk p 96 Pa 611 p saída 241 kPa manométrica 613 615 0127êr 0êθ ms2 0127êr 0êθ ms2 00158êr 0êθ ms2 p 127êr 0êθ Pam p 127êr 0êθ Pam p 128êr 0êθ Pam 617 619 621 p 423î 121ĵ Nm 3 Linhas de corrente const 623 q 00432 m3sm2 Umáx 173 ms 625 B 06 m2 s1 P 6î 3ĵ ms2 an 645 ms2 627 B 8 m3 s1 Linha de corrente y5 10y3x2 5yx4 38 R 0822 m 629 pθ 2U 2 ρ sen 2 θ pmín 138 kPa 631 arg 2876 δpδr 43731 Pam 633 P 3î 2ĵ ms2 3î 2ĵ ms t 116î 0771ĵ ms2 δpδs 171 Nm2m 635 R 176 m 637 P 4î 2ĵ ms2 R 584 m 639 pdin 475 Pa hdin 484 m 641 F 170 N F 680 N 643 h 628 mm 647 p0j 779 kPa manométrica p0rel 312 kPa manométrica abs 25î 217ĵ ms p0fixada 237 kPa manométrica 649 p2 291 kPa manométrica 651 h 147 mm 653 pDiet 490 kPa manométrica pRegular 544 kPa manométrica 655 657 pr50 mm 404 Pa manométrica 659 p0 294 kPa manométrica Vrel 247 ms 661 663 p p ρU21 4sen2 θ θ 30 150 210 330 667 Q 185 Ls Rx 242 kN 669 p1 117 kPa manométrica Rx 226 N 671 p2 176 kPa manométrica 132 mm Hg p3 175 kPa manométrica 132 mm Hg Rx 0156 N Ry 0957 N 673 V2 305 ms p02 465 kPa manométrica Fy 115 N 677 679 F 833 kN 681 683 687 Cc 12 689 p 125 kPa 691 dQdt 0516 m3ss 693 DjD1 032 697 A Equação de Bernoulli pode ser aplicada 699 Escoamento rotacional Pontos sobre a mesma linha de corrente assim Δp 126 kPa 6101 6103 6105 uxy 20xy3 20x3y υxy 30x2y2 5x4 5y4 ϕxy 5x4y 10x2 y3 y5 6107 B 3A ϕxy 6Axy 3Ax2y 3Ay Ay3 6109 ψ x 2 y 2 2Axy 6111 ψxy 20x3y3 6x5y 6xy5 6115 V x 2 y 2 ψ 6117 Q 125 m 3sm ϕ 6121 p 637 kPa manométrica 6123 h 0162 m V 443 ms p 957 Pa manométrica 6125 Rx 551 kNm 6127 Pontos de estagnação θ 63 297 r 182 m Δp 317 Pa 71 73 75 77 79 711 F V 2 713 715 717 719 721 723 725 727 729 731 733 Quatro grupos adimensionais três parâmetros repetentes 735 737 739 741 743 745 747 749 Quatro dimensõs primárias 751 753 755 Vw 690 ms Far 522 N 757 Var Vágua Var 151Vágua 759 VmVp 0339 Fp 213 N 761 pm 1934 MPa Fp 434 kN 763 Vm 6 ms Fp 103 N 765 Dm 1281 cm ωm 900 rpm 767 Vp 6 ms ωp 102 rpm 769 V H2O 00142 Δp H2O 986 Pa 771 CDm 00970 Rem Rep Fdp 460 N 773 Vm 01875 ms ωm 09375 Hz nas condiçõespadrão Vm 0286 ms ωm 143 Hz no ar quente Vm 001262 ms ωm 00631 Hz na água 775 υm 411 108 m2s 777 VR 902 ms FpFm 0265 pmín 226 kPa ptanque 794 kPa 779 VR 175 kmh 5C VR 1237 kmh 65C VR 289 kmh usando o CO2 781 o mel gasta um tempo menor do que a água para atingir o movimento em regime permanente 783 Modelo Protótipo Número de Reynolds adequado não alcançado 787 D 245 N a 15 nós D 435 N a 20 nós 789 hm 138 Jkg Qm 0166 m3s Dm 0120 m 791 793 KE razão 722 81 Q 517 103 m3s L 312 500 m turbulento L 173 m laminar 83 O escoamento na menor se tornará turbulento primeiro Qgrande 763 104 m3s Menor médio completamente desenvolvido maior somente completamente desenvolvido se turbulento Qmédia 458 104 m3s Menor completamente desenvolvido médio somente completamente desenvolvido se turbulento Qpequena 305 104 m3s Menor completamente desenvolvido 87 umáx 23 89 Q 347 107 m3s 347 mm3s 811 τyx 188 Pa Qb 563 106 m2s 813 Q 397 109 m3s 397 106 Ls 815 W 0143 dpdx h 1452 10 5 m 819 p p0 r R0 821 n 148 o fluido é dilatante 823 px 926 Pam 825 uinterface 46 ms 827 px 2Uμa2 px 2Uμa2 829 υ 100 104 m2s 831 τ ρg sen θh y Qw 217 mm3smm Re 0163 833 yumáx 208 mm umáx 0625 ms Qw 0011 m2 835 837 t 106 s 839 839 843 t 199 min μ 0199 kgm s 845 BC y 0 u U 0 y h τ 0 849 r 0707R 851 Q 215 mm3s 1290 mm3min 853 855 857 de variação 1001 ln k 859 861 δpδx 531k kPam n 05 424k Pam n 1389k Pam n 1 863 867 F 123 N em ambos os casos 869 τw 933 Pa 871 873 n 621 n 855 875 βlam 43 βturb 102 877 α 2 879 HlT 133 m hlT 130 Jkg 881 V1 370 ms 883 ΔQ 3 103 m3s Q 0019 m3s 885 2 ms 887 p2 168 MPa 889 891 f 00390 Re 3183 Turbulento 893 Máximo 212 para Re 10000 e eD 001 897 p2 171 kPa p2 155 kPa 899 Q 1114 103 m3s 0067 m3min 67 Lmin 8105 K 938 104 8107 Q 397 Ls Q 364 Ls ΔQ 033 Ls Q 477 Ls ΔQ 080 Ls um ganho 8109 Δp 1728 kPa K 03 8111 8113 Consideração de invíscido Menor do que a vazão realmaior Δp 8115 Q 0345 Lmin d 365 m 8117 d 613 m ou 616 m se α 2 laminar 8119 Q 766 105 m3s 00766 Ls h 545 mm h 475 mm 8123 h 796 m Δp 781 kPa 8217 Δp 0001 m H2O 8129 VB 404 ms LA 128 m Não é possível Δp 299 kPa 8131 ΔpL 132 Nm3 redondo ΔpL 153 Nm3 11 159 ΔpL 165 Nm3 21 25 ΔpL 182 Nm3 31 379 8133 p1 1290 kPa 8135 h 151 m V 941 ms 8137 V 139 ms Q 680 m3s 0680 Ls 8139 L 265 m 8141 t 167 min 8143 Q 00395 m3s 8145 dhdt 423 mms 8147 Índice pluviométrico 0759 cmmin 8153 Q 668 103 m3s pmín 200 kPa manométrica 8157 Q 530 104 m3s Q 535 104 m3s difusor 8159 L 0296 m 8161 D 560 mm 8163 D 50 51 cm corresponde ao tubopadrão de 50 mm 8165 D 150 mm nominal 8169 646 ms pF 705 kPa manométrica 832 kW τw 886 Pa 8171 dQdt 0524 m3smín 8173 6074 kW 8175 Δp 150 kPa 8177 D 48 mm Δp 3840 kPa bomba 243 kW 8179 Q 558 103 m3s 0335 m3min V 379 ms 877 kW 8181 Custo 12480ano 8183 Q 00419 m3s Δp 487 kPa 291 kW 8185 Q 231 m3s 8187 Q0 000812 m3s Q1 000286 m3s Q2 000379 m3s Q3 000147 m3s Q4 000526 m3s 8189 Q0 00029 m3s Q1 00022 m3s Q2 0007 m3s Q3 00029 m3s 8193 Δp 258 kPa 8195 Q 0042 m3s 8197 Q 000611 m3s 8199 Δt 408 mm 0 0220 8203 Red 1800 f 00356 p2 290 Pa manométrica 296 mm Hg 93 xp 104 cm na decolagem xp 747 cm em cruzeiro 95 U 872 ms para uma bola de golfe dos EUA U 912 ms para uma bola de golfe britânica U 169 ms para uma bola de futebol 99 A U B π2δ C 0 911 913 915 Linear 0167 Senoidal 0137 Parabólica 0133 917 Potência Parabólica 919 504 kgs D 504 mais do que o Problema 918 921 3125 mm ΔUU 391 923 U2 255 ms Δp 158 Pa 925 Δp 567 Nm2 927 U2 246 ms p2 445 mm H2O 929 254 mm Δp 107 Pa FD 200 N 935 y 0305 cm ReL 333 105 θL 00115 cm 939 θL 0278 cm FD 0850 N 941 FD 263 N caminho longo FD 455 N caminho curto 943 FD 168 102 N ambos os lados duas vezes maior do que o Problema 942 945 FD 69 103 N ambos os lados maior do que o Problema 944 947 949 FD 0557 N 951 F D ρU 2bθL F D 00563 N 953 FD 234 N 955 U 181 242 363 e 725 ms 957 FD 03638 N ambos os lados 959 FD 1112 N separado ambos os lados FD 846 N composto ambos os lados 961 963 δL 313 mm τwL 0798 Pa FD 0700 N 965 w2 803 mm 967 Δp 616 Pa L 0233 m 969 mf ρU 2δW linear mf ρU 2δW senoide mf ρU 2δW parabólico Perfis lineares separados primeiro 973 U2 250 ms Δp 00940 mm H2O 979 FD 1112 N separado ambos os lados FD 846 N composto ambos os lados 981 FD 7190 N 1598 MW 983 ReL 1547 107 xt 533 mm FD 980 N 153 kW 985 xt 00745 m δ 00810 m FD 278 N 987 FD 302 104 N Economia de US20644ano considerando o custo do combustível a 026 por galão 991 FD 1369 kN 423 kW 991 di 965 mm 995 D 380 m único 220 m três chutes 101 g aceleração máximo 997 B é 208 melhor do que A H D 999 Ela pode pedalar com o vento contra mas não pode atingir a velocidade máxima com o vento de cauda 9101 Subindo a colina Vmáx 947 kmh sem vento Vmáx 894 kmh com vento contrário Descendo a colina Vmáx 636 kmh sem vento Vmáx 730 kmh com vento de cauda Costeando a colina Vmáx 581 kmh sem vento Vmáx 681 kmh com vento de cauda 9105 t 130 mm 9107 M 00451 kg 9111 FE 289 kmm3 ΔQ 685 m3ano 934 9113 V 7612 kmh carro da década de 1970 V 96 kmh carro dos dias de hoje 9115 u 0053 ms quando a 1 μm u 00053 ms quando a 10 μm 9117 CD 117 9119 9121 FD CDA ρV U2 T CDA ρV U2R 9123 M 1067 N m 9125 Ecalmo 886 kcal Evento 1279 kcal 9127 V 233 ms Re 48200 FD 0111 N 9129 x 139 m 9131 CD 619 ρs 3720 kgm3 V 0731 ms 9133 M 00471 kg 9135 9137 CL 101 CD 00654 9139 D 799 mm y 121 mm 9141 t 469 s x 709 m 9143 xmáx 487 m ambos os métodos 9145 FD 591 N ΔFC 965 104 kgmin FE 272 mpg projeto original FD 213 N ΔFC 348 102 kgmin FE 219 mpg projeto mais barato O aluguel do bagageiro com o projeto de canto redondo é US969 mais barato incluindo o custo da gasolina 9147 CD 0610 V 60 kmh 9149 V b 456 ms 164 kmh 9151 t 493 s h 300 m 9153 x 203 m 9157 Δ 163 kW 94 9161 A 830 m2 T 1275 N 797 kW 9163 M 195 kg 542 kW 9165 M 379 kg 302 kW 9167 V 289 kmh 9169 T 756 kN 9171 V 156 kmh FD 406 kN 175 kW velocidade mínima V 303 kmh FD 201 kN 169 kW velocidade máxima 9173 θ 342 L 168 km 9175 Para um carro de corrida efetivo para um carro de passageiros não efetivo 9181 FL 00822 N 0175 mg FD 0471 N 0236 mg 9183 ω 14000 17000 rpm x 121 m 9185 ω 3090 rpm 101 H 135 m 994 kW 103 r2 604 cm b2 0488 cm 105 215 107 W H 4392 m 107 161 kW H 65 m 109 Q 162 m3s H 132 m 2100 kW 1011 H0 117 m w2 4578 ms V2 49 ms 374 kW H 764 m 1113 β1 50 324 104 kW H 4254 m 1115 β1 613 1019 α2 793 331 kW H 113 m 1025 Q 194 m3min H 552 m η 826 Ns 264 1027 1029 1 hp 101 hpm Nscu 0228 Nsrpm hpm m 1031 897 kW 1033 H0 258 m η 789 Q 107 m3s H 219 m H0 566 m 292 kW 1035 Pelo menos 6 bombas N 473 rpm 1037 Q 458 107 Ldia 1047 D2D1 08 Q2 403 m3s 1049 T2 48C Q2 00500 m3s H2 675 m A pressão de entrada deve ser aumentada em 957 kPa para evitar a cavitação 1051 Q 812 103 m3s 1053 Q 00625 m3min 1057 D 015 m 6603 kW 1059 Q1 142 m3h 1061 Q 614 m3h LeDválvula 26900 1063 Qperda 37 m3h 60 de perda em 20 anos Qperda 50 m3h 82 de perda em 40 anos Qperda 57 m3h 93 de perda em 20 anos Qperda 111 m3h 181 de perda em 40 anos 1065 Qperda 150 m3h 144 de perda em 20 anos Qperda 194 m3h 187 de perda em 40 anos Qperda 195 m3h 188 de perda em 20 anos Qperda 322 m3h 310 de perda em 40 anos 1067 inicial 1912 kW cheio 286 kW 1069 Hp 37124 m Uma bomba de 275 mm tipo 4AE12 funcionaria NPSHA 2499 m NPSHA 15 m 1071 Uma 5TUTI68 funcionaria η 0863 0636 636 1075 Q 013 m3s 1077 Uma 10TU22C bomba funcionaria Q 095 m3s 214 kW 1 bomba Q 042 m3s 017 kW 2 bombas Q 072 m3s 082 kW 3 bombas Q 090 m3s 157 kW 4 bombas Q 095 m3s 214 kW 1079 Hlt12 884 m p2 549 kPa manométrica 556 kW 31 de decréscimo para 4 cm de tubo 1083 H 366 m 788 kW 1085 H 1284 m H 1703 m na velocidade maior 1087 Ae 072 m2 Q 498 m3s he 473 cm 230 kW η 908 1091 N 566 rpm DmDp 0138 Q 083 m3s 1093 117 MW N 356 rpm Nfuncionamento 756 rpm T 209 105 N m Testolagem 545 105 N m 1095 Nscu 212 Q 978 m3s 1097 R 1643 Dj 370 cm 8830 kgs 10101 Hlíquido 324 mm Ns 0115 η 87 Ótimo dj 55 56 mm 10103 Vj 353 ms Q 0069 m3s 422 kW 10105 FT 893 N em repouso FT 809 N em velocidade 10107 D 566 m n 241 rpm 402 revs 54 MW 10109 J 0745 CF 00452 η 777 CT 000689 CP 00039 10111 U 796 C P 0364 10113 N 153 rpm 144 W 10117 0356 kgs 0244 MW 10119 N 488 rpm 226 kgs T02 68659C p02 4825 kPa 113 y 197 m 115 Vcorrente 12 ms y 074 m 119 Vcorrente 243 ms Fr 2 1113 Q 2268 m3s 1115 Ec NA 0547 m 114 m 160 m 219 m 1117 yc 0681 m Vc 261 ms 1119 y 0198 m 13 m 1121 yc 1 m 1123 y 04 m 1125 Δy 0015 m y2 0105 m 1127 qmáx 163 m3sm 1129 y2 445 m V2 931 m 1131 244 kW ΔT 604 m 104 C 1133 y2 404 m Hl 174 m 1135 y2 445 m Hl 931 m 1137 y2 103 m V2 219 m E1 328 m E2 105 m 1139 yantes 00563 m ydepois 0543 m 1141 Vr 21 ms 756 kmh 1143 y 124 m 1145 y 0815 m 1147 Sb 203 103 1149 Sb 160 103 1151 Q 0194 m3s 1153 y 0752 m 1155 y 0775 m 1159 y 566 m b 267 m 1163 Não existe ressalto 1167 Sc 246 103 1169 q 0302 m3sm 1171 Q 073 m3s 1173 H 0514 m 1175 Cw 145 121 T const p decresce ρ decresce Processo adiabático irreversível 123 Δs 43486 assim não é possível viola a segunda lei da termodinâmica 125 T 2 2766 K Δs 6754 127 T2 860 K Δh 542 kJkg Δs 1717 Jkg K 1845 kgs 129 786 kW 1211 δQdm 1104 kJkg a pressão constante δQdm 789 kJkg a volume constante 1213 η 588 1215 W 176 MJ Ws 228 MJ Tsmáx 858 K Qs 317 MJ 1217 367 kgs T2 572 K V2 475 ms 23 kW 1219 Δt 4 anos 1223 cH2 1305 ms cHe 1005 ms cCH4 446 ms cN2 349 ms cO2 267 ms 1225 Δt 198 μs Ev 127 GNm2 1227 x 25 km 1229 Δt 523 s 872 min 1231 M 0776 V 269 ms 1233 Δt 466 s julho Δt 500 s janeiro 1235 542 considerando a temperatura estratosférica 908 considerando a temperatura ao nível do mar 1237 x 519 m 1243 Δt 1161 s 1245 V 642 ms 1247 V 493 ms Δt 0398 s 1249 V 515 ms t 692 s 1251 Δx 1043 1064 m 1253 Variação da massa específica 115 assim é incompressível 1255 M 0142 1 M 0322 5 M 0464 10 1257 T0 2290 K 1259 p0 91 MPa pdyn 76 MPa 1261 p0 442 kPa 1263 pdyn 543 kPa p0 152 kPa 1265 p0 546 kPa h0 h 178 kJkg T0 466 K 1267 p0 p 867 kPa V 195 ms V 205 ms Erro usando a equação de Bernoulli 513 1271 T0 const isoenergético p0 decresce processo adiabático irreversível 1273 V 890 ms T0 677 K p0 212 kPa 1275 p0 1197 kPa T0 4638 K 1277 T01 812 K 539C T02 257 K 165C 279 kW Δx 1186 JkgK 1279 δQdm 160 kJkg p02 385 kPa 1281 3499 kW p02 1866 kPa 1283 p01 698 kPa T01 1572 K 1299C p02 30 kPa T02 1041 K 768C Δs 485 JkgK 1285 183 104 kgs 1287 T 260 K p 247 MPa V 252 ms 1289 Tt 2730 K pt 255 MPa Vt 1030 ms 131 318 kgs 133 V 781 ms M 135 318 kgs 135 M 294 T 98C 137 p2 45 kPa 139 Duto convergente A 65734 cm2 1311 M2 120 Difusor supersônico 1313 M2 120 Difusor supersônico 1319 pt 250 kPa Vt 252 ms Mt 0883 1321 M 0240 M 244 1323 pt 166 kPa 1325 p 150 kPa M 060 At 00421 m2 189 kgs 1327 At 194 102 m2 1329 p0 817 kPa pe 432 kPa Te 288 K 455C Ve 302 ms 1331 0807 kgs 0843 kgs 1333 Δt 374 s 623 min Δs 232 Jkg K 1335 pe 687 kPa 00921 kgs arfs 162 ms2 1337 p0 987 kPa abs pe 521 kPa abs Te 332 K 587C Ve 365 ms ax 125 ms2 1339 M 1706 1341 Rx 136 kN Tensão 1343 A2 0058 m2 V2 2005 ms 1345 2194 kgs 1347 Me 1 pe 381 kPa A pressão e o escoamento decrescem assintoticamente Tf 228 K 45C 1349 p0 793 kPa 067 kgs At 3704 cm2 1351 V 225 ms 1292 kgs 1353 pe 125 kPa abs 0401 kgs 1355 V1 1300 ms 874 kgs 1357 159 kgs A pressão e o escoamento decrescem assintoticamente 1359 Rx 950 N 1361 pe 883 kPa 0499 kgs Rx 1026 N para a esquerda 1363 Ae 155768 mm2 Ve 21019 ms Rx 1014 N 1365 p0 446 MPa 1367 p2p1 341 T2T1 150 Δs 518 Jkg K 1369 V 509 ms 1371 p1 889 kPa ρ1 0105 kgm3 V1 687 ms T01 529 K p01 696 kPa T02 529 K p02 494 kPa 1373 p02 327 kPa V2 1558 ms 1375 M 1 220 M 2 0547 Δs 1319 1377 T2 520 K p02 129 MPa abs 1379 M2 0486 V2 865 kmh 240 ms Δp0 607 kPa 1381 T01 426 K p01 207 kPa abs p02 130 kPa abs 1383 M1 248 V1 736 ms p02 201 kPa p2 1675 kPa 1387 M1 220 p02 178 kPa V1 568 ms Isentrópico 1389 V2 268 ms Relativo à onda 276 ms Relativo ao solo 1391 At a 0424 m2 1007 kgs p1 8105 kPa T1 14433 K 00726 m2 1393 M2d 0547 p2d 512 kPa p02d 628 kPa 0111 m2 1395 Me 1452 034 kgs 1397 pb1p0 0965 pb2p0 0417 pb3p0 00585 1399 Me 294 p0 339 MPa pb1 335 MPa pb2 100 MPa pb3 101 MPa 13101 pb 301 MPa 13103 M1 150 13105 patm p0 112 kPa abs p0 743 kPa abs 13107 p3 459 kPa 13109 Me 0392 pe 854 kPa pd 12222 kPa 13111 pb 301 kPa 13113 Me 0627 δQdm 578 kJkg 13117 p1 396 kPa abs 476 kgs 13121 M1 0601 M1 0738 p02 230 kPa abs T02 482 K f 00241 e 00776 cm 13123 M1 0200 319 103 kgs p2 479 kPa abs 13125 pmín 13014 kPa Vmáx 318 ms 13127 Te 467 K 194C Rx 594 N para a direita Δs 1512 Jkg K 13129 p0t 3906 kPa T2 240 K p02 1918 kPa 0014 kgs 13131 T2 238 K p2 261 kPa abs Δs 172 Jkg K 13133 L 36 m 13135 p1 32272 kPa T1 1578 K p01 1185 kPa T01 44184 K f 001572 13137 L 566 m 13141 T2 306 K 7825 kgs 13143 L 394 mm 13145 p1 9432 kPa 186 kW 13149 p1 30 kPa 0131 μW 13149 M2 0233 Calor adicionado 13151 p2 135 MPa Isotérmico p2 124 MPa Adiabático 13157 δQdm 449 kJkg Δs 0892 kJkg K 13159 Nota ρ2 136 kgm3 113 kJs Δρ 112 MPa Com o incorreto ρ2 1600 kgm3 78 kJs Δp 69 MPa 13161 δQdm 18 kJkg Δs 00532 kJkg K Δp0 20 kPa 13163 δQdm 22143 Jkg o sinal negativo indica perda de calor 13165 δQdm 112 MJkg Δp0 135 kPa 13167 M2 050 T02 1556 K T2 1480 K 186 MJs 13169 δQdm 1471 kJkg calor adicionado 13171 δQdm 447 kJkg Δs 0889 kJkg K Δp0 22 kPa 13173 δQdm 1168 kJkg calor adicionado 13175 δQdm 364 kJkg Δp0 182 kPa T02 1174 K p02 160 MPa T2 978 K p2 0844 MPa ρ2 301 kgm3 13177 M2 060 T02 966 K δQdm 343 kJkg 616 do máximo 4010 kW 13179 M2 174 p2 31 kPa 13181 β 497 p2 203 kPa T02 495 K onda fraca β 780 p2 345 kPa T02 601 K onda forte 13183 M2 195 p2 179 kPa M2 0513 Choque normal p2 570 kPa Choque normal βmín 236 13185 β 625 p2p1 915 13187 M1 142 V1 483 ms β 674 13189 α 731 pmáx 931 kPa Tmáx 564 13191 Lw 183 kNm 13193 p 11676 kPa um choque p 11776 kPa dois choques 13195 V1 15937 ms 13197 p 9799 kPa um choque p 9663 kPa dois choques p 9633 kPa compressão isentrópica 13199 p 690 kPa p 517 kPa Apenas choque normal 13201 p 130 kPa 13203 M1 305 p1 381 kPa M 236 p 110 kPa 13205 Lw 647 kNm 13209 T2T1 1429 M2 400 13211 M2 323 V5 1656 ms