um Exercício do Livro de Maquinas de Fluxo

618 Um bocal para um fluido incompressível e invíscido com massa específica ρ 1000 kgm³ consiste em uma seção de tubo convergente Na entrada o diâmetro é De 100 mm e na saída o diâmetro é Ds 20 mm O comprimento do difusor é L 500 mm e o diâmetro decresce linearmente com a distância x ao longo do bocal Deduz a trace um gráfico da aceleração de uma partícula fluida considerando escoamento uniforme em cada seção se a velocidade na entrada for Ve 1 ms Trace um gráfico do gradiente de pressão ao longo do bocal e determine seu valor máximo absoluto Qual deve ser o comprimento do bocal de modo que o gradiente de pressão não ultrapasse 5 MPam em valor absoluto 619 Um difusor para um fluido incompressível e invíscido com massa específica ρ 1000 kgm³ consiste em uma seção de tubo divergente Na entrada o diâmetro é De 025 m e na saída o diâmetro é Ds 075 m O comprimento do difusor é L 1 m e o diâmetro cresce linearmente com a distância x ao longo do difusor Deduz e trace um gráfico da aceleração de uma partícula fluida considerando escoamento uniforme em cada seção se a velocidade na entrada for Ve 5 ms Trace um gráfico do gradiente de pressão ao longo do difusor e determine seu valor máximo Qual deve ser o comprimento do difusor de modo que o gradiente de pressão não ultrapasse 25 kPam CAPÍTULO 6 ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL DE FLUIDOS NÃO VISCOSOS 61 Equação da Quantidade de Movimento para Escoamento sem Atrito a Equação de Euler 62 As Equações de Euler em Coordenadas de Linhas de Corrente 63 A Equação de Bernoulli Integração da Equação de Euler ao Longo de uma Linha de Corrente para Escoamento Permanente Dedução Usando Coordenadas de Linha de Corrente Dedução Usando Coordenadas Retangulares Pressões Estática de Estagnação e Dinâmica Aplicações Precauções no Emprego da Equação de Bernoulli 64 A Equação de Bernoulli Interpretada como uma Equação de Energia 65 Linha de Energia e Linha Piezométrica 66 Equação de Bernoulli para Escoamento Transiente Integração da Equação de Euler ao Longo de uma Linha de Corrente no Site da LTC Editora 67 Escoamento Irrotacional A Equação de Bernoulli Aplicada a um Escoamento Irrotacional Potencial de Velocidade Função de Corrente e Potencial de Velocidade para Escoamento Bidimensional Irrotacional e Incompressível Equação de Laplace Escoamentos Planos Elementares Superposição de Escoamentos Planos Elementares 68 Resumo e Equações Úteis Referências Problemas 618 Um bocal para um fluido incompressível e invíscido com massa específica ρ 1000 kgm³ consiste em uma seção de tubo convergente Na entrada o diâmetro é De 100 mm e na saída o diâmetro é Ds 20 mm O comprimento do difusor é L 500 mm e o diâmetro decresce linearmente com a distância x ao longo do bocal Deduz a trace um gráfico da aceleração de uma partícula fluida considerando escoamento uniforme em cada seção se a velocidade na entrada for Ve 1 ms Trace um gráfico do gradiente de pressão ao longo do bocal e determine seu valor máximo absoluto Qual deve ser o comprimento do bocal de modo que o gradiente de pressão não ultrapasse 5 MPam em valor absoluto Passo 1 A equação geral da aceleração em coordenadas cartesianas é dada por ax DuDt u ux v uy w uz ut Onde u v e w são as componentes da velocidade nas direções x y e z respectivamente ux uy uz são as derivadas parciais de u em relação a x y e z ut é a derivada parcial de u em relação ao tempo A partir das condições dadas no problema podemos simplificar essa equação No regime permanente as condições de escoamento não mudam com o tempo o que implica que a derivada temporal é zero ut 0 Um fluido incompressível não apresenta variações de densidade ao longo do escoamento Isso não afeta diretamente a equação da aceleração mas é importante para a continuidade do escoamento Isso implica que as velocidades v e w nas direções y e z respectivamente são nulas o que elimina os termos v uy 0 e w uz 0 Neste caso a aceleração devido à gravidade na direção x é desprezada o que também não afeta a equação da aceleração diretamente mas é uma condição importante para simplificar o problema Com essas simplificações a equação da aceleração reduzse a ax u ux Passo 2 A vazão volumétrica Q de um fluido é dada pelo produto da velocidade V do fluido e a área da seção transversal A pela qual o fluido escoa Q V A Essa relação é válida em qualquer ponto ao longo do escoamento Na entrada do bocal a velocidade do fluido é Ve e a área da seção transversal é Ae A vazão volumétrica Q na entrada é então Q Ve Ae O enunciado menciona que o diâmetro do bocal varia linearmente de De 100 mm na entrada para Ds 20 mm na saída ao longo de um comprimento L 500 mm Podemos expressar essa variação linear do diâmetro ao longo da posição x ao longo do bocal como Dx De De DsL x Onde Dx é o diâmetro do bocal em uma posição x ao longo do comprimento L A área da seção transversal Ax em qualquer posição x ao longo do bocal pode ser expressa em termos do diâmetro Dx Ax π Dx24 Substituindo a expressão para Dx Ax π De De DsL x 2 4 A vazão volumétrica em qualquer ponto ao longo do bocal pode ser representada por Q Vx Ax Onde Vx é a velocidade do fluido em uma posição x e Ax é a área da seção transversal nessa mesma posição Sabemos que a vazão Q é constante ao longo do bocal então podemos igualar as expressões de vazão na entrada e em qualquer ponto x ao longo do bocal Q Ve Ae Vx Ax Substituindo Ae e Ax pelas suas expressões Ve πDe24 Vx π De De DsL x 2 4 Cancelando os termos comuns Ve De2 Vx De De DsL x 2 Isolando Vx obtemos a expressão da velocidade em função da posição x Vx Ve De2 De De DsL x 2 Passo 3 No passo 1 encontramos a expressão geral da aceleração para escoamento unidirecional ax u ux Substituímos o valor de ux obtido no passo 2 ax Ve De2 De De DsL x 2 x Ve De2 De De DsL x 2 Para simplificar o cálculo da derivada fazemos a substituição t De De DsL x Dessa forma ux pode ser reescrito como ux Ve De2 t2 Derivando ux em relação a x uxx Ve De2 x 1t2 A derivada de 1t2 em relação a t é t 1t2 2 t3 Substituindo tx De Ds L uxx Ve De2 2 t3 De Ds L Simplificando uxx 2 Ve De2 De Ds L t3 Substituindo t de volta uxx 2 Ve De2 De Ds L De De DsL x 3 Agora substituímos essa expressão na equação da aceleração ax Ve De2 De De DsL x 2 2 Ve De2 De Ds L De De DsL x 3 Multiplicando os termos ax 2 Ve2 De4 De Ds L De De DsL x 5 Com os valores numéricos fornecidos ρ 1000 kgm³ Ve 1 ms De 100 mm 01 m Ds 20 mm 002 m L 500 mm 05 m Substituímos esses valores na expressão de ax ax 2 054 014 01 002 05 01 01 002 x5 Simplificando a expressão ax 10⁴ 5 8x5 Essa é a expressão final para a aceleração ax ao longo do bocal em termos da posição x Passo 4 Para encontrar o gradiente de pressão utilizamos a equação de Euler para escoamento unidimensional ρ u ux v uy w uz ut ρgx px Neste caso considerando que o escoamento é unidimensional permanente incompressível e na direção x a equação se simplifica para ρ ax px Substituímos a expressão para a aceleração ax que encontramos anteriormente ρ 2L4 Ve² De⁴ De Ds LDe De Dsx5 px O gradiente de pressão é então dado por px ρ 2L4 Ve² De⁴ De Ds LDe De Dsx5 Substituímos os valores numéricos fornecidos ρ 1000 kgm³ Ve 1 ms De 100 mm 01 m Ds 20 mm 002 m L 500 mm 05 m Isso resulta em px 1000 2 054 12 014 01 002 05 01 01 002x5 Simplificando a expressão px 10⁴ 5 8x5 Passo 5 O enunciado pede que o gradiente de pressão ao longo do bocal não ultrapasse 5 MPam em valor absoluto A expressão do gradiente de pressão que já foi encontrada anteriormente é px ρ 2L4 Ve² De⁴ De Ds LDe De Dsx5 Esse valor deve ser menor ou igual a 5 MPam ou seja 5000 kPam ρ 2L4 Ve² De⁴ De Ds LDe De Dsx5 5000 O gradiente de pressão é máximo na saída do bocal ou seja quando x L Substituímos x L na expressão pxxL 2L4 Ve² De⁴ De Ds LDe De DsL5 Simplificando o denominador LDe De DsL LDe De Ds L Ds A expressão tornase pxxL 2L4 Ve² De⁴ De Ds L Ds5 2L4 Ve² De⁴ De Ds L5 Ds5 2Ve² De⁴ De Ds L Ds5 Substituímos essa expressão na condição de px 5000 2Ve² De⁴ De Ds L Ds5 5000 Isolando L L 2Ve² De⁴ De Ds 5000 Ds5 Substituímos os valores numéricos Ve 1 ms De 01 m Ds 002 m ρ 1000 kgm³ L 2 12 014 01 002 5000 0025 Calculando L 2 10⁴ 008 5000 32 10¹⁰ 16 10⁵ L4 002L5 Simplificando 16 L4 0 2L5 5000 Isolando L 16 32 104 5000 L L 16 5000 32 104 L 1 m Para que o gradiente de pressão ao longo do bocal não ultrapasse 5 MPam em valor absoluto o comprimento mínimo do bocal deve ser superior a 1 metro Gráficos Aceleração ao longo do bocal Aceleração ms2 Aceleração ms2 Posição ao longo do bocal m Gradiente de Pressão ao longo do bocal Gradiente de Pressão MPam Gradiente de Pressão MPam Posição ao longo do bocal m