Atividade de Matemática Discreta

Campus de Quixada Universidade Federal do Ceara Trabalho Matematica Discreta Prof Lucas Ismaily 1º Semestre de 2024 Informacoes importantes O trabalho vale 10 pontos Caso nao saiba responder uma questao se escrever nao sei ganhara 10 da questao Por exemplo se uma questao vale 2 pontos recebera 0 2 decimos Trabalho com no maximo cinco alunos Sejam honestos com vocˆes e comigo por favor Se for detectado qualquer tipo de fraude os grupos receberao nota zero Note os grupos receberao zero nao importa se foi a origem ou o destino ambos receberao nota zero O prazo de entrega e 29082024 O trabalho podera ser entregue em versao digital por email ismailybfufcbr ou manuscrito Questoes 1 20 pontos Suponha que a e b sejam numeros inteiros ımpares com a b Mostre que ha um unico numero inteiro c tal que a c b c 2 20 pontos Use uma demonstracao por contradicao para mostrar que nao ha um numero racional r para que r3 r 1 0 3 20 pontos Comprove que se n e um numero inteiro estas quatro proposicoes sao equivalentes i n e par ii n 1 e ımpar iii 3n 1 e ımpar iv 3n e par 4 20 pontos Demonstre ou contrarie que o produto de um numero racional diferente de zero e um numero irracional e irracional 5 20 pontos A media harmˆonica de dois numeros reais x e y e igual a 2xyx y A media geometrica de dois numeros reais x e y e igual a xy Para qualquer par de reais positivos distintos x e y uma destas medias e sempre maior que a outra Formule uma conjectura e demonstrea 1 Questões 1 20 pontos Suponha que a e b sejam números inteiros ímpares com a b Mostre que há um único número inteiro c tal que a c b c 2 20 pontos Use uma demonstração por contradição para mostrar que não há um número racional r para que r³ r 1 0 3 20 pontos Comprove que se n é um número inteiro estas quatro proposições são equivalentes i n é par ii n 1 é ímpar iii 3n 1 é ímpar iv 3n é par 4 20 pontos Demonstre ou contrarie que o produto de um número racional diferente de zero e um número irracional é irracional 5 20 pontos A média harmônica de dois números reais x e y é igual a 2xyx y A média geométrica de dois números reais x e y é igual a xy Para qualquer par de reais positivos distintos x e y uma destas médias é sempre maior que a outra Formule uma conjectura e demonstrea 1 Queremos encontrar um número inteiro c tal que a distância entre c e a seja igual à distância entre c e b Em outras palavras precisamos resolver a equação acbc Sabemos que a equação xyimplica x y ou x y Assim temos acbc Ou accb Resolvendo cada caso acbc ab Tal solução não é válida pois a e b não podem ser iguais accbcab 2 Resta agora verificar se c é um número inteiro e se é único Como a e b são inteiros ímpares podem ser escritos na forma a2m1 b2n1 Assim c2m12n1 2 mn1 Como m n 1 é um número inteiro por ser uma soma de inteiros c também é inteiro Se houver outro número c tal que ac cb Chegase a c ab 2 c Logo c é único 2 Suponhase haver um número racional r que satisfaz à equação r 3r10 Se r é um número racional pode ser escrito na forma r p q Com p e q inteiros e q não nulo Além disso podese supor que p e q são primos entre si de modo que MDC pq 1 Assim podese escrever p q 3 p q10 O que conduz a p 3 q 3 p q 10 p 3 pq 2q 30 p 3 pq 2q 3 Analisando a paridade da expressão Se p e q são ambos ímpares p 3 pq 2 será ímpar pois o produto de dois números ímpares é ímpar Porém q 3 também será ímpar Como a soma de dois números ímpares não é nula isso gera uma contradição Se p ou q for par p 3 pq 2 será par pois um dos termos será divisível por 2 mas q 3 será par se q for par ou ímpar se q for ímpar Isso gera inconsistência na soma e assim produz uma contradição Assim não pode haver um número racional r p q tal que r 3r10 3 Para provar que as quatro proposições são equivalentes é preciso provar que cada uma delas implica as demais Etapa 1 Provar que i implica ii Proposição i n é par Se n é par então podese escrever n2k com k inteiro Proposição ii n1 é ímpar Se n2k n12k1 Como 2k1 é um sucessor de um número par é consequentemente um número ímpar e assim i implica ii Etapa 2 Provar que ii implica iii Proposição ii n1 é ímpar Se n1 é ímpar seu antecessor é par ou seja n2k para k inteiro Proposição iii 3n1 é ímpar Se n2k podemos escrever 3n132k16k1 Como 6k é par seu sucessor 6k1 é ímpar e assim 3n1 é ímpar Logo ii implica iii Etapa 3 Provar que iii implica iv Proposição iii 3n1 é ímpar Se 3n1 é ímpar logo 3n é par pois a soma de um número par com um ímpar resulta em um ímpar Proposição iv 3n é par Isto é exatamente o que queremos provar Logo iii implica iv Etapa 4 Provar que iv implica i Proposição iv 3n é par Se 3n é par n deve ser par Isso ocorre porque para que o produto de 3 que é ímpar com n resulte em um número par n deve ser par Proposição i n é par Portanto se 3n é par n também é par Isso prova que iv implica i Assim como i implica ii ii implica iii iii implica iv e iv implica i as quatro proposições são equivalentes 4 Podemos supor que o produto de um número racional não nulo e um número irracional seja racional e então mostrar que isso leva a uma contradição Um número racional pode ser escrito na forma r p q com p e q inteiros e q não nulo Por sua vez um número irracional é um número que não pode ser expresso como uma fração de dois inteiros Suponhase que r é um número racional diferente de zero ou seja r p q com p e q inteiros e q não nulo e suponhase que x é um número irracional Buscase provar que o produto r xab é irracional Vamos supor por contradição que rx é racional Se rx é racional podemos escrever r xa b com a e b inteiros e b não nulo Assim x a b r a b q paq bp Como x é a razão entre produtos de dois números inteiros é uma fração de dois inteiros sendo assim um número racional Isso contradiz a suposição inicial de que x é irracional Assim a suposição de que rx é racional leva a uma contradição sendo uma suposição falsa o que conduz à conclusão de que o produto entre um número racional diferente de zero e um número irracional não pode ser racional o que significa que tal produto é irracional 5 Devemos comparar as duas médias fornecidas a média harmônica e a média geométrica de dois números reais positivos x e y A média harmônica H entre x e y é dada por H 2 xy x y A média geométrica G entre x e y é dada por Gxy Procurase verificar se para x y uma das médias é sempre maior que a outra Analisase a desigualdade hipotética 2xy x y xy Elevandose os dois lados ao quadrado e desenvolvendo algebricamente a expressão 4 x 2 y 2 x y 2 xy 4 x 2 y 2 xy x y 2 4 xy x y 2 x 22xy y 24 xy x 22 xy y 20 xy ²0 Como xy ²0 para todos os reais x e y concluise que é verdadeira a conjectura H G ou seja 2xy x y xy Sendo x y temse a desigualdade 2xy x y xy Ou seja a média geométrica é sempre maior que a média harmônica para dois números reais positivos distintos