Matemática Discreta - Técnicas de Demonstração Parte II

Introducao as Tecnicas de Demonstracao Parte II QXD0008 Matematica Discreta Prof Lucas Ismaily ismailybfufcbr Universidade Federal do Ceara 1º semestre2024 Topicos desta aula Anteriormente Discutimos enunciados de generalizacao e de existˆencia Discutimos as tecnicas relacionadas a quantificadores de variaveis e as tecnicas de prova de condicionais Nesta aula Discutiremos tecnicas e requisitos para provar enunciados com outros conectivos logicos e Tecnicas complementares relacionadas a generalizacoes com condicionais 2 Referˆencias para esta aula Secao 18 do livro Kenneth H Rosen Matematica Discreta e suas Aplicacoes Sexta Edicao 3 Sobre enunciados de generalizacao De forma geral expressamos um enunciado de generalizacao de condicional como xPx Qx mas isto admite muitas variacoes xPx Rx Qx xyPx y Qx y xyPx Ry Qx y xyPx Qx y 4 Sobre enunciados de generalizacao As tecnicas ja estudadas dependem das definicoes e estrutura de Px e Qx Entao 1 Os conectivos em Px e Qx tambem sao relevantes e 2 Algumas situacoes permitem provas mais simples 5 Condicoes compostas por conjuncao Normalmente para provar xPx Qx Prova Seja c qualquer precisamos provar que Pc Qc Se Px e uma conjuncao Ax Bx teremos um enunciado da forma xAx Bx Qx Entao similarmente para provar o enunciado Prova Seja c qualquer precisamos provar que Ac Bc Qc 6 Condicoes compostas por conjuncao Normalmente para provar xAx Bx Qx Prova Seja c qualquer precisamos provar que Ac Bc Qc Daı Por PROVA DIRETA 1 Assumirıamos Ac Bc e 2 Buscarıamos concluir Qc Este formato e favoravel pois nos permite usar Ac Bc como duas hipoteses independentes 7 Condicoes compostas por conjuncao Normalmente para provar xAx Bx Qx Prova Seja c qualquer precisamos provar que Ac Bc Qc Daı Por CONTRAPOSIC AO 1 Assumirıamos Qc e 2 Buscarıamos concluir Ac Bc Este formato e desfavoravel pois nos da como objetivo uma disjuncao Ac Bc Ac Bc por DeMorgan 8 Alguns padroes Em geral num condicional Conjuncao a esquerda favorece a prova direta Conjuncao a direita favorece a contraposicao aliada a prova por casos Disjuncao a direita favorece a contraposicao Disjuncao a esquerda favorece a prova direta aliada a prova por casos 9 Alguns padroes Um condicional a direita de outro permite trocar o primeiro condicional por uma conjuncao A B C A B C A B C A B C A B C A B C 10 Alguns padroes Um condicional a esquerda de outro favorece a prova direta aliada a prova por casos A B C A B C 11 Prova Exaustiva e Prova por casos Prova Exaustiva e Prova por casos Prova Exaustiva e Prova por casos Utilizadas se ha uma disjuncao a esquerda do condicional Dividese a prova em duas ou mais partes de acordo com a disjuncao Para provar um condicional da forma p1 p2 pn q a seguinte tautologia pode ser usada como regra de inferˆencia p1 p2 pn q p1 q p2 q pn q 13 Demonstração por exaustão Demonstracao por exaustao Prova EXAUSTIVA Prova exaustiva ou demonstracao por exaustao e uma tecnica complementar para provar afirmacoes do tipo xPx Qx Possıvel apenas para domınio finito Demonstrase a propriedade para cada elemento do domınio um por vez E um tipo especial de prova por casos em que cada caso envolve checar um unico exemplo 15 Demonstracao por exaustao Exemplo Teorema Se n e um inteiro positivo menor que 5 entao n13 3n Demonstracao Como o domınio e finito provamos por exaustao Ou seja verificamos a propriedade n 13 3n para n 1 2 3 e 4 Para n 1 temos 1 13 31 o que resulta em 8 3 Para n 2 temos 2 13 32 o que resulta em 27 9 Para n 3 temos 3 13 33 o que resulta em 64 27 Para n 4 temos 4 13 34 o que resulta em 125 81 Portanto n 13 3n para todo inteiro n positivo menor que 5 16 Demonstracao por exaustao Exemplo Teorema Se n e um inteiro positivo menor que 5 entao n13 3n Demonstracao Como o domınio e finito provamos por exaustao Ou seja verificamos a propriedade n 13 3n para n 1 2 3 e 4 Para n 1 temos 1 13 31 o que resulta em 8 3 Para n 2 temos 2 13 32 o que resulta em 27 9 Para n 3 temos 3 13 33 o que resulta em 64 27 Para n 4 temos 4 13 34 o que resulta em 125 81 Portanto n 13 3n para todo inteiro n positivo menor que 5 16 Demonstracao por exaustao Demonstracao por exaustao Possıvel apenas para domınio finito Demonstrase a propriedade para cada elemento do domınio um por vez Observacoes Pode ser util mas so se o domınio for pequeno Pode ser usada mesmo que nao haja condicional E um caso particular extremo da prova por casos 17 Prova por casos Prova por casos Exemplo Teorema Se n e um inteiro entao n2 n Demonstracao Seja c um inteiro qualquer precisamos provar que c e inteiro c2 c Por prova direta suponha que c e inteiro como continuar 19 Prova por casos Exemplo Teorema Se n e um inteiro entao n2 n Demonstracao Seja c um inteiro qualquer precisamos provar que c e inteiro c2 c Por prova direta suponha que c e inteiro como continuar 19 Prova por casos Exemplo Teorema Se n e um inteiro entao n2 n Demonstracao Seja c um inteiro qualquer precisamos provar que c e inteiro c2 c Por prova direta suponha que c e inteiro como continuar Ha uma complicacao pois e uma inequacao e uma das operacoes envolvidas e a exponenciacao Precisaremos saber se c e negativo mas so sabemos que c e inteiro Como resolver este impasse 20 Prova por casos Teorema Se n e um inteiro entao n2 n Demonstracao Seja c um inteiro qualquer precisamos provar que c e inteiro c2 c Por prova direta suponha que c e inteiro como continuar Como resolver este impasse Trocaremos a condicao c e inteiro da suposicao por outro equivalente que use disjuncao c e inteiro negativo ou c e inteiro naonegativo 21 Prova por casos Teorema Se n e um inteiro entao n2 n Demonstracao Seja c um inteiro qualquer precisamos provar que c e inteiro negativo c e inteiro naonegativo c2 c Por prova direta suponha que c e inteiro negativo c e inteiro naonegativo Deste ponto em diante procedemos POR CASOS 22 Prova por casos Teorema Se n e um inteiro entao n2 n Demonstracao Seja c um inteiro qualquer Caso 1 Suponha que c e um inteiro negativo Caso 2 Suponha que c e um inteiro naonegativo A prova fica dividida em duas mas com hipoteses melhores 23 Prova por casos Teorema Se n e um inteiro entao n2 n Demonstracao Seja c um inteiro qualquer Caso 1 Suponha que c e um inteiro negativo Caso 2 Suponha que c e um inteiro naonegativo Caso 21 Suponha que c e um inteiro positivo Caso 22 Suponha que c e um inteiro igual a zero A prova fica dividida em trˆes mas com hipoteses melhores 24 Prova por casos Teorema Se n e um inteiro entao n2 n Demonstracao Seja n um inteiro qualquer 1 Suponha que c e negativo ou seja c 0 Neste caso c c 0 c ou seja c2 0 Como c2 0 e c 0 temos c2 c Portanto c2 c 2 Suponha que c e naonegativo ou seja c 0 21 Suponha que c 1 Neste caso c c 1 c ou seja c2 c 22 Suponha que c 0 Neste caso c c 0 c ou seja c2 0 Isso siginifica c2 c Portanto c2 c Como concluımos c2 c em todos os casos vale para todo c inteiro Se multiplicarmos cada lado de x y por z 0 obteremos xz yz a multiplicacao por um numero negativo inverte a inequacao Para todo x temos x y se e somente se x y ou x y 25 Demonstracao por casos Quando usar uma demonstracao por casos Quando nao e possıvel tratar todos os casos ao mesmo tempo uma demonstracao por casos deve ser considerada Geralmente e uma boa estrategia tentar uma demostracao por casos quando nao existe um meio obvio de comecar a demonstracao mas tambem quando informacoes extras de cada passo podem ser usadas para seguir a demonstracao 26 Definição Valor absoluto O valor absoluto ou módulo de um número real a é representado pelo símbolo a e definido como a a se a 0 a se caso contrário Pode ser lido da seguinte forma se a 0 então a a se não a a Prova por casos Exemplo Teorema Se x e y sao numeros reais entao xy xy Demonstracao Vamos remover os valores absolutos usando o fato de que a a quando a 0 e a a quando a 0 Como ambos x e y ocorrem na formula precisamos dividir a prova em quatro casos i x e y ambos nao negativos ii x nao negativo e y negativo iii x negativo e y nao negativo e iv x e y negativos Caso i x e y ambos nao negativos Quando x 0 e y 0 temos que xy 0 Logo xy xy xy onde as duas igualdades seguem pela definicao de modulo 28 Prova por casos Exemplo Teorema Se x e y sao numeros reais entao xy xy Demonstracao Vamos remover os valores absolutos usando o fato de que a a quando a 0 e a a quando a 0 Como ambos x e y ocorrem na formula precisamos dividir a prova em quatro casos i x e y ambos nao negativos ii x nao negativo e y negativo iii x negativo e y nao negativo e iv x e y negativos Caso i x e y ambos nao negativos Quando x 0 e y 0 temos que xy 0 Logo xy xy xy onde as duas igualdades seguem pela definicao de modulo 28 Prova por casos Exemplo Continuacao da Demonstracao Caso ii x nao negativo e y negativo Quando x 0 e y 0 temos que xy 0 Logo xy xy xy xy Caso iii x negativo e y nao negativo A demonstracao deste caso segue o mesmo raciocınio do caso anterior com os papeis de x e y invertidos Caso iv x e y negativos Quando x 0 e y 0 temos que xy 0 Logo xy xy xy xy Como completamos os quatro casos e esses casos sao todas as possibilidades podemos concluir que xy xy sempre que x e y sao numeros reais 29 Sem perda de generalidade Na demonstracao do exemplo anterior dispensamos o caso iii em que x 0 e y 0 pois e o mesmo que o caso ii em que x 0 e y 0 com os papeis de x e y invertidos Para encurtar a demonstracao poderıamos ter demonstrado os casos ii e iii juntos assumindo sem perda de generalidade que x 0 e y 0 Em geral quando a frase sem perda de generalidade e usada em uma demonstracao queremos dizer que demonstrando um caso do teorema nenhum argumento adicional e necessario para demonstrar o outro caso especificado Ou seja o outro caso segue o mesmo argumento com as mudancas necessarias 30 Prova por casos Exemplo Teorema Sejam x e y dois inteiros Se ambos xy e x y sao pares entao ambos x e y sao pares Demonstracao Vamos usar prova por contraposicao Assim suponha que x e y nao sao ambos pares Isso equivale a dizer que x e ımpar ou y e ımpar ou ambos Sem perda de generalidade suponha que x e ımpar Ou seja x 2m 1 para algum inteiro m Para completar a prova precisamos mostrar que xy e ımpar ou x y e ımpar A fim de provar isso precisamos considerar a paridade de y Existem dois casos a considerar i y e par e ii y e ımpar 31 Prova por casos Exemplo Teorema Sejam x e y dois inteiros Se ambos xy e x y sao pares entao ambos x e y sao pares Demonstracao Vamos usar prova por contraposicao Assim suponha que x e y nao sao ambos pares Isso equivale a dizer que x e ımpar ou y e ımpar ou ambos Sem perda de generalidade suponha que x e ımpar Ou seja x 2m 1 para algum inteiro m Para completar a prova precisamos mostrar que xy e ımpar ou x y e ımpar A fim de provar isso precisamos considerar a paridade de y Existem dois casos a considerar i y e par e ii y e ımpar 31 Prova por casos Exemplo Continuacao da Demonstracao Caso i y e par Neste caso y 2n para algum inteiro n tal que x y 2m 1 2n 2m n 1 e ımpar Caso ii y e ımpar Neste caso y 2n 1 para algum inteiro n tal que xy 2m 12n 1 4mn 2m 2n 1 22mn m n 1 e ımpar Isto completa a prova por contraposicao 32 Demonstração de unicidade Demonstracao de unicidade Utilizada para enunciados do tipo existe um unico elemento x que satisfaz Px xPx xPx yPy x y Definicao de xPx yPy x y DeMorgan para quantif xPx yPy x y DeMorgan xPx yPy x y Lei da Negacao xPx yPy x y Lei do condicional Demonstracoes de unicidade possuem duas partes Existˆencia xPx Mostramos que um elemento x com certa propriedade existe Unicidade yPy y x Mostramos que se Py e verdadeira entao y x 34 Demonstracao de unicidade 1 Teorema Se a e b sao numeros reais e a 0 entao existe um unico numero real r tal que ar b 0 Demonstracao Primeiro note que o numero r ba e uma solucao para ar b 0 porque aba b b b 0 Consequentemente um numero real r existe para o qual ar b 0 Assim concluımos a parte existencial da prova Agora suponha que s e um numero real tal que as b 0 Entao ar b as b Subtraindo b de ambos os lados obtemos ar as Dividindo ambos os lados desta ultima equacao por a obtemos r s Isso estabelece a parte da unicidade da demonstracao 35 Demonstracao de unicidade 1 Teorema Se a e b sao numeros reais e a 0 entao existe um unico numero real r tal que ar b 0 Demonstracao Primeiro note que o numero r ba e uma solucao para ar b 0 porque aba b b b 0 Consequentemente um numero real r existe para o qual ar b 0 Assim concluımos a parte existencial da prova Agora suponha que s e um numero real tal que as b 0 Entao ar b as b Subtraindo b de ambos os lados obtemos ar as Dividindo ambos os lados desta ultima equacao por a obtemos r s Isso estabelece a parte da unicidade da demonstracao 35 Alternativas de demonstracao de unicidade Teorema Os seguintes enunciados sao equivalentes 1 xPx yPy y x 2 xyPy y x 3 xPx yzPy Pz y z Demonstracao A fim de provar que os trˆes enunciados sao equivalentes vamos provar os trˆes condicionais 1 2 2 3 e 3 1 Prova do condicional 1 2 Pelo enunciado 1 existe um elemento x0 tal que Px0 e yPy y x0 Para provar o enunciado 2 vamos mostrar que yPy y x0 Seja y arbitrario Nos ja sabemos que a direcao do bicondicional e verdadeira Para provar a direcao suponha y x0 Como Px0 e verdadeiro por hipotese nos concluımos Py 36 Alternativas de demonstracao de unicidade Teorema Os seguintes enunciados sao equivalentes 1 xPx yPy y x 2 xyPy y x 3 xPx yzPy Pz y z Demonstracao A fim de provar que os trˆes enunciados sao equivalentes vamos provar os trˆes condicionais 1 2 2 3 e 3 1 Prova do condicional 1 2 Pelo enunciado 1 existe um elemento x0 tal que Px0 e yPy y x0 Para provar o enunciado 2 vamos mostrar que yPy y x0 Seja y arbitrario Nos ja sabemos que a direcao do bicondicional e verdadeira Para provar a direcao suponha y x0 Como Px0 e verdadeiro por hipotese nos concluımos Py 36 Alternativas de demonstracao de unicidade Teorema Os seguintes enunciados sao equivalentes 1 xPx yPy y x 2 xyPy y x 3 xPx yzPy Pz y z Demonstracao A fim de provar que os trˆes enunciados sao equivalentes vamos provar os trˆes condicionais 1 2 2 3 e 3 1 Prova do condicional 1 2 Pelo enunciado 1 existe um elemento x0 tal que Px0 e yPy y x0 Para provar o enunciado 2 vamos mostrar que yPy y x0 Seja y arbitrario Nos ja sabemos que a direcao do bicondicional e verdadeira Para provar a direcao suponha y x0 Como Px0 e verdadeiro por hipotese nos concluımos Py 36 Continuacao da Demonstracao Teorema Os seguintes enunciados sao equivalentes 1 xPx yPy y x 2 xyPy y x 3 xPx yzPy Pz y z Prova do condicional 2 3 Suponha que o enunciado 2 e verdadeiro Pelo enunciado 2 escolha x0 tal que yPy y x0 Entao em particular Px0 x0 x0 Como x0 x0 claramente segue que Px0 e verdadeiro Assim xPx Para provar a segunda metade do enunciado 3 sejam y e z arbitrarios e suponha Py e Pz Entao pela nossa escolha de x0 como alguma coisa para a qual yPy y x0 e verdadeirosegue que y x0 e z x0 Portanto y z 37 Continuacao da Demonstracao Teorema Os seguintes enunciados sao equivalentes 1 xPx yPy y x 2 xyPy y x 3 xPx yzPy Pz y z Prova do condicional 3 1 Suponha que o enunciado 3 e verdadeiro Pela primeira metado do enunciado 3 seja x0 algum elemento tal que Px0 e verdadeiro O enunciado 1 seguira se conseguirmos provar que yPy y x0 Entao suponha Py para y arbitrario Como agora temos ambos Py e Px0 pela segunda metade do enunciado 3 podemos concluir que y x0 como querıamos demonstrar 38 Demonstracao de unicidade2 Teorema Existe um unico conjunto A tal que para todo conjunto B A B B Demonstracao Seja PA BA B B A fim de provar o teorema usamos o enunciado 3 do teorema anterior que e equivalente APA CDPC PD C D Prova de Existˆencia Devemos provar que APA Claramente B B B Entao o conjunto vazio satisfaz a propriedade P Prova de Unicidade Sejam C e D dois conjuntos arbitrarios Suponha PC e PD ou seja BC B B e BD B B Precisamos provar que C D Fazendo B D na primeira hipotese temos que C D D e fazendo B C na segunda hipotese temos que D C C Como D C C D entao C D 39 Demonstracao de unicidade2 Teorema Existe um unico conjunto A tal que para todo conjunto B A B B Demonstracao Seja PA BA B B A fim de provar o teorema usamos o enunciado 3 do teorema anterior que e equivalente APA CDPC PD C D Prova de Existˆencia Devemos provar que APA Claramente B B B Entao o conjunto vazio satisfaz a propriedade P Prova de Unicidade Sejam C e D dois conjuntos arbitrarios Suponha PC e PD ou seja BC B B e BD B B Precisamos provar que C D Fazendo B D na primeira hipotese temos que C D D e fazendo B C na segunda hipotese temos que D C C Como D C C D entao C D 39 Demonstracao de unicidade 3 Teorema Sejam A B C conjuntos tais que A e B nao sao disjuntos A e C nao sao disjuntos e A tem um unico elemento Prove que B e C nao sao disjuntos Demonstracao Como A e B nao sao disjuntos existe um elemento b tal que b A e b B Similarmente como A e C nao sao disjuntos existe um elemento c tal que c A e c C Como A tem um unico elemento devemos ter b c Como b B e b c C encontramos um elemento que pertence tanta a B quanto a C Assim b c B C e portanto B e C nao sao disjuntos 40 Demonstracao de unicidade 3 Teorema Sejam A B C conjuntos tais que A e B nao sao disjuntos A e C nao sao disjuntos e A tem um unico elemento Prove que B e C nao sao disjuntos Demonstracao Como A e B nao sao disjuntos existe um elemento b tal que b A e b B Similarmente como A e C nao sao disjuntos existe um elemento c tal que c A e c C Como A tem um unico elemento devemos ter b c Como b B e b c C encontramos um elemento que pertence tanta a B quanto a C Assim b c B C e portanto B e C nao sao disjuntos 40 Estratégias de prova Estrategias de demonstracao Raciocınio direto Comece com as premissas juntamente com os axiomas e teoremas existentes construa uma demonstracao usando uma sequˆencia de passos que te leve a conclusao Prova direta Comece com a negacao da conclusao juntamente com os axiomas e teoremas existentes construa uma demonstracao usando uma sequˆencia de passos que te leve a negacao das premissas Prova indireta Raciocınio reverso Trabalhe de tras para frente a partir da conclusao ate encontrar os passos corretos para uma prova direta 42 Raciocınio reverso Prove se x y sao reais positivos distintos entao xy 2 xy 43 Raciocınio reverso Prove se x y sao reais positivos distintos entao xy 2 xy x y 2 xy x y2 4 xy x y2 4xy x2 2xy y 2 4xy x2 2xy y 2 0 x y2 0 43 Raciocınio reverso Prove se x y sao reais positivos distintos entao xy 2 xy x y 2 xy x y2 4 xy x y2 4xy x2 2xy y 2 4xy x2 2xy y 2 0 x y2 0 Como x y2 0 quando x y segue que a ultima desigualdade e verdadeira Portanto xy 2 xy 43 Raciocınio reverso Prove se x y sao reais positivos distintos entao xy 2 xy x y 2 xy x y2 4 xy x y2 4xy x2 2xy y 2 4xy x2 2xy y 2 0 x y2 0 Como x y2 0 quando x y segue que a ultima desigualdade e verdadeira Portanto xy 2 xy Com isso podemos construir uma prova direta seguindo os passos reversamente 43 Raciocınio reverso Prove se x y sao reais positivos distintos entao xy 2 xy x y 2 xy x y2 4 xy x y2 4xy x2 2xy y 2 4xy x2 2xy y 2 0 x y2 0 tautologia Como x y2 0 quando x y segue que a ultima desigualdade e verdadeira Portanto xy 2 xy Com isso podemos construir uma prova direta seguindo os passos reversamente 43 Raciocınio reverso Prove se x y sao reais positivos distintos entao xy 2 xy x y 2 xy x y2 4 xy x y2 4xy x2 2xy y 2 4xy x2 2xy y 2 0 expanda lado esquerdo x y2 0 tautologia Como x y2 0 quando x y segue que a ultima desigualdade e verdadeira Portanto xy 2 xy Com isso podemos construir uma prova direta seguindo os passos reversamente 43 Raciocınio reverso Prove se x y sao reais positivos distintos entao xy 2 xy x y 2 xy x y2 4 xy x y2 4xy x2 2xy y 2 4xy adicione 4xy em ambos os lados x2 2xy y 2 0 expanda lado esquerdo x y2 0 tautologia Como x y2 0 quando x y segue que a ultima desigualdade e verdadeira Portanto xy 2 xy Com isso podemos construir uma prova direta seguindo os passos reversamente 43 Raciocınio reverso Prove se x y sao reais positivos distintos entao xy 2 xy x y 2 xy x y2 4 xy x y2 4xy fatore lado esquerdo x2 2xy y 2 4xy adicione 4xy em ambos os lados x2 2xy y 2 0 expanda lado esquerdo x y2 0 tautologia Como x y2 0 quando x y segue que a ultima desigualdade e verdadeira Portanto xy 2 xy Com isso podemos construir uma prova direta seguindo os passos reversamente 43 Raciocınio reverso Prove se x y sao reais positivos distintos entao xy 2 xy x y 2 xy x y2 4 xy divida por 4 x y2 4xy fatore lado esquerdo x2 2xy y 2 4xy adicione 4xy em ambos os lados x2 2xy y 2 0 expanda lado esquerdo x y2 0 tautologia Como x y2 0 quando x y segue que a ultima desigualdade e verdadeira Portanto xy 2 xy Com isso podemos construir uma prova direta seguindo os passos reversamente 43 Raciocınio reverso Prove se x y sao reais positivos distintos entao xy 2 xy x y 2 xy raiz quadrada em ambos os lados x y2 4 xy divida por 4 x y2 4xy fatore lado esquerdo x2 2xy y 2 4xy adicione 4xy em ambos os lados x2 2xy y 2 0 expanda lado esquerdo x y2 0 tautologia Como x y2 0 quando x y segue que a ultima desigualdade e verdadeira Portanto xy 2 xy Com isso podemos construir uma prova direta seguindo os passos reversamente 43 Teorema Teorema Se x y sao reais positivos distintos entao xy 2 xy Demonstracao Suponha que x e y sao reais distintos Entao x y2 0 pois o quadrado de um numero diferente de zero e positivo Como x y2 x2 2xy y 2 isso implica que x2 2xy y 2 0 Adicionando 4xy em ambos os lados obtemos x2 2xy y 2 4xy Como x2 2xy y 2 x y2 isso significa que x y2 4xy Dividindo ambos os membros dessa inequacao por 4 vemos que x y24 xy Finalmente tomando raızes quadradas dos dois lados o que preserva a inequacao pois ambos os lados sao positivos temos x y2 xy 44 Teorema Teorema Se x y sao reais positivos distintos entao xy 2 xy Demonstracao Suponha que x e y sao reais distintos Entao x y2 0 pois o quadrado de um numero diferente de zero e positivo Como x y2 x2 2xy y 2 isso implica que x2 2xy y 2 0 Adicionando 4xy em ambos os lados obtemos x2 2xy y 2 4xy Como x2 2xy y 2 x y2 isso significa que x y2 4xy Dividindo ambos os membros dessa inequacao por 4 vemos que x y24 xy Finalmente tomando raızes quadradas dos dois lados o que preserva a inequacao pois ambos os lados sao positivos temos x y2 xy 44 FIM