Lista de Mecânica

28 FÍSICA II 122 Experiência de Cavendish Para usar a balança de Cavendish mostrada na Figura 124 suponha que m1 110 kg m2 250 kg e a haste que conecta os pares de m1possui 300 cm de comprimento Se em cada par m1 e m2 estão a 120 cm de distância de centro a centro encontre a a força resultante e b o torque resultante em relação ao eixo de rotação na parte rotatória do aparelho c Você acha que o torque na parte b seria suficiente para girar facilmente a haste Sugira modos de aperfeiçoar a sensibilidade do experimento 123 A que distância de uma pequena esfera de 100 kg uma partícula teria de ser colocada para que a esfera atraísse a partícula com a mesma força que a Terra Esse experimento poderia ser efetivamente realizado Por que 124 Duas esferas uniformes cada uma com massa M e raio R estão em contato Qual é o módulo da força de atração gravitacional entre elas 125 Uma nave espacial interplanetária passa em um ponto do espaço no qual a força de atração gravitacional da Terra sobre a nave cancela a força de atração gravitacional do Sol sobre a nave a Qual é a distância entre a nave e o centro da Terra Use dados do Apêndice F b Assim que houver atingido o ponto encontrado no item a a espaçonave poderia desligar seus motores e ficar pairando lá indefinidamente Explique 126 a Qual é o módulo a direção e o sentido da força gravitacional resultante exercida pelas outras esferas sobre a esfera uniforme de 0100 kg indicada na Figura 1231 Os centros das três esferas estão sobre a mesma linha reta b De acordo com a terceira lei de Newton a esfera de 0100 kg exerce forças iguais e opostas com o mesmo módulo encontrado na parte a sobre cada uma das outras duas esferas 50 kg 0100 kg 100 kg 0400 m 0600 m Figura 1231 Exercício 126 127 Um homem adulto típico possui massa igual a 70 kg Qual é a força que a Lua cheia exerce sobre esse homem quando ela está diretamente sobre ele a uma distância de 378000 km b Compare essa força com a força exercida sobre o homem na Terra 128 Uma massa pontual de 80 kg e outra massa pontual de 150 kg são mantidas fixas a 500 cm de distância Uma partícula de massa m é solta de um ponto entre as duas massas a 200 cm da massa de 80 kg ao longo da linha que conecta as duas massas fixas Ache o módulo a direção e o sentido da aceleração da partícula 129 Determine o módulo a direção e o sentido da força gravitacional resultante exercida pelo Sol e pela Terra sobre a Lua quando a Lua está em cada uma das posições indicadas na Figura 1232 Note que a figura não está desenhada em escala Suponha que o Sol esteja no plano da órbita da Lua em torno da Terra embora esse caso seja raro Use dados do Apêndice F a b c Lua Terra Lua Terra Lua Terra Sol Sol Sol Figura 1232 Exercício 129 1210 Quatro massas idênticas de 800 kg cada são colocadas nos cantos de um quadrado cujo lado mede 100 cm Qual é a força gravitacional resultante módulo direção e sentido sobre uma das massas em virtude das outras três 1211 Uma partícula de massa 3m está localizada a 10 m de outra partícula de massa m a Onde você deve colocar uma terceira massa M de modo que a força gravitacional resultante sobre M em virtude das duas massas seja exatamente zero b O equilíbrio de M é estável ou instável i em pontos ao longo da linha que conecta m e 3m e ii em pontos ao longo da linha que passa por M e é perpendicular à linha que conecta m e 3m 1212 As massas pontuais m e 2m estão situadas ao longo do eixo x com m na origem e 2m em x L Uma terceira massa pontual M é deslocada ao longo do eixo x a Em que ponto a força gravitacional resultante sobre M em virtude das duas outras massas é igual a zero b Desenhe o componente x da força resultante sobre M em virtude de m e 2m supondo que as grandezas à direita sejam positivas Inclua as regiões x 0 0 x L e x L Não deixe de mostrar o comportamento do gráfico em ambos os lados de x 0 e x L 1213 Duas esferas uniformes cada uma com massa igual a 0260 kg estão fixas nos pontos A e B Figura 1233 Determine o módulo a direção e o sentido da aceleração inicial de uma esfera uniforme com massa 0010 kg quando ela é liberada do repouso no ponto P e sofrendo apenas atrações gravitacionais das esferas situadas em A e B 0010 kg P 100 cm 100 cm 0260 kg 60 cm 0260 kg 80 cm 80 cm A B Figura 1233 Exercício 1213 Seção 122 Peso 1214 Consulte o Apêndice F e use os valores da massa e do raio do planeta Plutão para calcular a aceleração da gravidade na superfície de Plutão 1215 Sabendo que a aceleração da gravidade na superfície da Terra é igual a 980 ms2 qual deve ser a altura acima da superfície terrestre na qual a aceleração da gravidade é igual a 0980 ms2 1216 A massa de Vênus é igual a 815 da massa da Terra e seu raio é 949 do raio da Terra a Usando esses dados calcule a Capítulo 12 Gravitação 29 aceleração da gravidade na superfície de Vênus b Se uma pedra pesa 750 N na Terra qual seria o seu peso na superfície de Vênus 1217 Titânia a maior lua do planeta Urano possui um raio igual a 18 do raio da Terra e massa igual a 11700 da massa da Terra a Qual é a aceleração da gravidade na superfície de Titânia b Qual é a densidade média de Titânia Esse valor é menor do que a densidade média das rochas uma evidência em favor da hipótese de que Titânia seja basicamente constituída por gelo 1218 Réia uma das luas de Saturno possui raio igual a 765 km e a aceleração da gravidade na sua superfície é igual a 0278 ms2 Calcule sua massa e sua densidade média 1219 Calcule a força da gravidade exercida pela Terra sobre um astronauta de 75 kg que está consertando o Telescópio Espacial Hubble a 600 km acima da superfície da Terra e depois compare esse valor com o peso dele na superfície da Terra Diante do seu resultado explique por que dizemos que os astronautas não têm peso quando orbitam a Terra em um satélite tal como um ônibus espacial Isso se deve ao fato de a atração gravitacional da Terra ser tão pequena a ponto de poder ser desprezada 1220 Estrelas de nêutrons como a que se localiza no centro da Nebulosa do Caranguejo têm aproximadamente a mesma massa que nosso Sol mas um diâmetro muito menor do que o Sol Se você pesasse 675 N na Terra qual seria o seu peso na superfície de uma estrela de nêutrons que possuísse a mesma massa de nosso Sol e um diâmetro de 20 km 1221 Usandose uma balança de Cavendish para a medida da constante gravitacional G verificouse que uma esfera uniforme de 0400 kg atrai outra esfera uniforme de 000300 kg com uma força igual a 80 1010 N quando a distância entre os centros destas esferas é igual a 00100 m A aceleração da gravidade na superfície da Terra é igual a 980 ms2 e o raio da Terra é igual a 6380 km Calcule a massa da Terra usando esses dados 1222 Explorando Europa Há fortes indícios de que Europa um satélite de Júpiter tenha um oceano líquido sob a superfície de gelo Muitos cientistas acham que deveríamos enviar um módulo espacial para lá em busca de vida Antes de lançálo deveríamos testar o módulo sob as condições de gravidade na superfície de Europa Um modo de fazer isso é colocar o módulo na extremidade de um braço rotativo em um satélite orbitando ao redor da Terra Se o braço possuir 425 m de comprimento e girar ao redor de uma extremidade em que velocidade angular em rpm ele deveria girar para que a aceleração do módulo espacial fosse a mesma que a aceleração da gravidade na superfície de Europa A massa de Europa é 48 1022 kg e seu diâmetro é 3138 km Seção 123 Energia potencial gravitacional 1223 O asteroide Dactyl descoberto em 1993 possui um raio de apenas 700 m e massa aproximadamente igual a 36 1012 kg Use os resultados do Exemplo 125 Seção 123 para calcular a velocidade de escape para um objeto na superfície de Dactyl Poderia uma pessoa atingir essa velocidade apenas caminhando 1224 Massa de um cometa Em 4 de julho de 2005 a espaçonave Deep Impact da NASA lançou um projétil sobre a superfície do Cometa Tempel 1 Esse cometa tem um diâmetro de cerca de 90 km Observações dos fragmentos provocados pelo impacto na superfície revelaram a liberação de poeira do cometa com uma velocidade bastante reduzida de cerca de 10 ms a Supondo uma forma esférica qual é a massa desse cometa Sugestão Veja o Exemplo 125 na Seção 123 b A que distância do centro do cometa estará um fragmento quando houver perdido i 900 de sua energia cinética inicial na superfície e ii toda a energia cinética que possuía na superfície 1225 Use os resultados do Exemplo 125 Seção 123 para calcular a velocidade de escape para uma espaçonave sair a da superfície de Marte b da superfície de Júpiter Use dados do Apêndice F c Por que a velocidade de escape não depende da massa da espaçonave 1226 Dez dias após seu lançamento para Marte em dezembro de 1998 a espaçonave Mars Climate Orbiter massa igual a 629 kg estava a uma distância de 287 106 km da Terra e se deslocava com velocidade igual a 120 104 kmh em relação à Terra Nesse momento qual era a a energia cinética da espaçonave em relação à Terra e b a energia potencial gravitacional do sistema espaçonaveTerra Seção 124 Movimento de satélites 1227 Qual deve ser a velocidade orbital de um satélite que descreve uma órbita circular de raio igual a 780 km acima da superfície terrestre 1228 Missão Aura Em 15 de julho de 2004 a NASA lançou a espaçonave Aura para estudar o clima e a atmosfera da Terra Esse satélite foi colocado em uma órbita 705 km acima da superfície da Terra Suponha uma órbita circular a Quantas horas leva para esse satélite completar uma órbita b Com que velocidade em quilômetros a espaçonave Aura está se movendo 1229 Suponha que a órbita da Terra ao redor do Sol seja circular Use o raio orbital e o período orbital da Terra fornecidos no Apêndice F para calcular a massa do Sol 1230 Estação Espacial Internacional International Space Station A Estação Espacial Internacional completa 1565 revoluções por dia em sua órbita ao redor da Terra Supondo uma órbita circular a que altura acima da Terra se encontra esse satélite 1231 Deimos uma das luas de Marte possui cerca de 12 km de diâmetro e 20 1015 kg de massa Suponha que você tenha sido abandonado sozinho em Deimos e queira jogar beisebol com você mesmo Você seria o arremessador e o rebatedor ao mesmo tempo a Com que velocidade você teria de arremessar uma bola de beisebol para que ela entrasse em órbita circular um pouco acima da superfície e retornasse a você para que pudesse rebatêla Você acha que poderia realmente arremessar a bola a essa velocidade b Quanto tempo em horas depois de arremessar a bola você deveria se preparar para rebatêla Haveria muita ação nesse jogo de beisebol Seção 125 As leis de Kepler e o movimento de planetas 1232 Planeta Vulcano Suponha que houvesse sido descoberto um planeta entre o Sol e Mercúrio com uma órbita circular de raio igual a 23 do raio orbital médio de Mercúrio Qual seria o período orbital desse planeta Antigamente acreditavase que esse planeta existisse para explicar a precessão da órbita de Mercúrio Chegouse mesmo a batizálo de Vulcano embora hoje em dia não se tenha nenhuma evidência de que ele realmente exista A precessão de Mercúrio é explicada pela relatividade geral 1233 A estrela Rho1 Cancri está a uma distância de 57 anosluz da Terra e possui massa igual a 085 da massa do Sol Verificouse que existe um planeta descrevendo uma órbita circular em torno de Rho1 Cancri com raio igual a 011 do raio da órbita da Terra em torno do Sol a Qual é a velocidade orbital e b o período orbital do planeta de Rho1 Cancri 30 FÍSICA II 1234 Em março de 2006 foram descobertos dois pequenos satélites orbitando Plutão um deles a uma distância de 48000 km e o outro a 64000 km Já se sabia que Plutão possuía um grande satélite Caronte orbitando a 19600 km com um período orbital de 639 dias Supondo que os satélites não se afetem um ao outro encontre os períodos orbitais dos dois satélites sem usar a massa de Plutão 1235 a Use a Figura 1219 para mostrar que a distância entre o Sol e um planeta no periélio é igual a 1 ea a distância entre o Sol e um planeta no afélio é igual a 1 ea e portanto a soma dessas duas distâncias é igual a 2a b Plutão é chamado de planeta externo porém durante o periélio em 1989 ele estava quase 100 milhões de quilômetros mais perto do Sol do que Netuno Os semieixos maiores das órbitas de Plutão e de Netuno são respectivamente 592 1012 m e 450 1012 m e as respectivas excentricidades são 0248 e 0010 Ache a menor distância entre o Sol e Plutão e a maior distância entre o Sol e Netuno c Depois de quantos anos do periélio de Plutão em 1989 Plutão estará novamente no periélio 1236 Júpiter quente Em 2004 astrônomos relataram a descoberta de um planeta tão grande quanto Júpiter orbitando muito perto da estrela HD 179949 daí o termo Júpiter quente A órbita é exatamente a distância de Mercúrio a nosso Sol e o planeta leva apenas 309 dias para completar uma órbita suponha que a órbita seja circular a Qual é a massa da estrela Dê a sua resposta em quilogramas e como um múltiplo da massa de nosso Sol b Qual a velocidade em kms com que esse planeta se move 1237 A espaçonave Helios B possuía uma velocidade de 71 kms quando ela estava a 43 107 km do Sol a Prove que ela não estava em uma órbita circular em torno do Sol b Prove que sua órbita em torno do Sol era fechada e portanto elíptica Seção 126 Distribuição esférica de massa 1238 Uma casca esférica uniforme de massa igual a 1000 kg possui um raio de 50 m a Ache a força gravitacional que essa casca exerce sobre uma massa pontual de 20 kg colocada nas seguintes distâncias do centro da casca i 501 m ii 499 m iii 272 m b Desenhe um gráfico qualitativo do módulo da força gravitacional que essa esferacexerce sobre uma massa pontual m em função da distância r de m do centro da esfera Inclua a região de r 0 a r 1239 Uma esfera sólida uniforme de massa igual a 1000 kg possui um raio de 50 m a Ache a força gravitacional que essa esfera exerce sobre uma massa pontual de 20 kg colocada nas seguintes distâncias do centro da esfera i 501 m e ii 250 m b Desenhe um gráfico qualitativo do módulo da força gravitacional que essa esfera exerce sobre uma massa pontual m em função da distância r de m do centro da esfera Inclua a região de r 0 ar 1240 Uma barra delgada uniforme possui massa M e comprimento L Uma pequena esfera uniforme de massa m é situada a uma distância x de uma das extremidades da barra ao longo do eixo da barra Figura 1234 a Calcule a energia potencial gravitacional do sistema barraesfera Considere a energia potencial gravitacional igual a zero quando a distância entre a barra e a esfera for igual ao infinito Mostre que o resultado se reduz ao esperado quando x for muito maior do que L Sugestão Use o desenvolvimento em série de potências da função lnd 1 x indicado no Apêndice B b Use a relação Fs dUdx para achar o módulo e a direção da força gravitacional exercida pela barra sobre a esfera veja Seção 74 Mostre que o resultado se reduz ao esperado quando x for muito maior do que L M m x L Figura 1234 Exercício 1240 e Problema 1284 1241 Considere o corpo em forma de anel indicado na Figura 1235 Uma partícula de massa m é colocada a uma distância x do centro do anel ao longo de seu eixo e perpendicularmente ao seu plano a Calcule a energia potencial gravitacional U desse sistema Considere a energia potencial gravitacional igual a zero quando os dois objetos estiverem muito distantes b Mostre que o resultado da parte a se reduz ao esperado quando x for muito maior do que o raio α do anel c Use a relação Fs dUdx para achar o módulo e a direção da força gravitacional exercida pelo anel sobre a partícula d Mostre que o resultado da parte c se reduz ao esperado quando x for muito maior do que a e Quais são os valores de U e de Fs quando x 0 Explique por que esses resultados fazem sentido m x M Figura 1235 Exercício 1241 e Problema 1283 Seção 127 Peso aparente e rotação da Terra 1242 O peso do Papai Noel no Pólo Norte determinado pela leitura de uma balança de molas é igual a 875 N Qual seria a leitura do peso dele nessa balança no equador supondo que a Terra fosse esfericamente simétrica 1243 A aceleração da gravidade no pólo norte de Netuno é aproximadamente igual a 107 ms2 Netuno possui massa igual a 10 1026 kg e raio igual a 25 104 km e gira uma vez em torno de seu eixo em 16 h a Qual é a força gravitacional sobre um objeto de 50 kg no pólo norte de Netuno b Qual é o peso aparente do mesmo objeto no equador de Netuno Note que a superfície de Netuno é gasosa e não sólida de modo que é impossível ficar em pé sobre ela Seção 128 Buraco negro 1244 Miniburacos negros Os cosmólogos especulam que buracos negros do tamanho de um próton poderiam ter se formado durante os primeiros dias do Big Bang quando o universo teve início Se tomarmos o diâmetro de um próton como 10 1015 m qual seria a massa de um miniburaco negro 1245 A que fração do raio atual o raio da Terra deveria ser reduzido para que ela se tornasse um buraco negro 1246 a Mostre que um buraco negro atrai um objeto de massa m com uma força igual a mc2 Rö2 rS onde r é a distância entre o objeto e o centro do buraco negro b Calcule o módulo da força gravitacional exercida por um buraco negro que possua o raio de Schwarzschild igual a 140 mm sobre um corpo de 50 kg situado Sugestão Você pode estimar a velocidade máxima do seu pulo relacionandoa à altura máxima que você atinge quando pula na superfície terrestre b Europa uma das quatro maiores luas de Júpiter possui um raio igual a 1 570 km A aceleração da gravidade em sua superfície é igual a 133 ms2 Calcule sua densidade média 1259 a Suponha que você esteja no equador da Terra e observe um satélite passando bem em cima de sua cabeça e movendose de oeste para leste no céu Exatamente 120 horas depois você vê esse satélite sobre sua cabeça outra vez A que distância da superfície da Terra está a órbita do satélite b Você vê outro satélite bem em cima de sua cabeça e seguindo de leste para oeste Esse satélite está novamente sobre sua cabeça em 120 horas A que distância da superfície da Terra está a órbita desse satélite 1260 O Planeta X gira do mesmo modo que a Terra ao redor de um eixo que passa por seus pólos norte e sul e é perfeitamente esférico Um astronauta que pesa 9430 N na Terra pesa 9150 N no pólo norte do Planeta X e apenas 8500 N em seu equador A distância do pólo norte ao equador é 18850 km medidos ao longo da superfície do Planeta X a Qual a duração do dia no Planeta X b Se um satélite de 45000 kg for colocado em uma órbita circular 2000 km acima da superfície do Planeta X qual será o seu período orbital 1261 Existem duas equações a partir das quais você pode calcular uma variação da energia potencial gravitacional U do sistema constituído por um corpo de massa m e a Terra Uma delas é U mgy Equação 72 Física I A outra é U Gmmyr Equação 129 Como mostramos na Seção 123 a primeira equação é correta somente quando a força gravitacional for constante ao longo da variação de altura y A segunda é sempre correta Na realidade a força gravitacional nunca é exatamente constante ao longo de qualquer variação de altura porém quando a variação for pequena podemos desprezála Calcule a diferença de U usando as duas fórmulas para uma diferença de altura h acima da superfície terrestre e ache o valor de h para o qual a Equação 72 fornece um erro de 1 Expresse esse valor de h como uma fração do raio da Terra e obtenha também seu valor numérico 1262 A sua espaçonave o Andarilho Errante pousa no misterioso planeta Mongo Como engenheiro e cientistachefe você efetua as seguintes medidas uma pedra de massa igual a 250 kg jogada para cima a partir do solo retorna ao solo em 80 s a circunferência de Mongo no equador é 20 x 105 e não existe atmosfera significativa em Mongo O comandante da nave Capitão Confusão pede as seguintes informações a Qual é a massa de Mongo b Se o Andarilho Errante entrar em uma órbita circular 30000 km acima da superfície de Mongo quantas horas a nave levará para completar uma órbita 1263 Calcule a diferença percentual entre o seu peso em Sacramento perto do nível do mar e no topo do Monte Everest 8800 m acima do nível do mar 1264 No Exemplo 125 Seção 123 desprezamos os efeitos gravitacionais da Lua sobre a espaçonave que se deslocava entre a Terra e a Lua Na realidade devemos incluir também o efeito da Lua sobre a energia potencial gravitacional Para este problema despreze o movimento da Terra e da Lua a Chamando de R1o raio da Lua e de R Ta distância entre a Terra e a Lua ache a energia potencial gravitacional do sistema partículaTerra e do sistema partículaLua quando uma partícula de massa m está a uma distância r do centro da Terra Considere a energia potencial gravitacional igual a zero quando a distância entre os corpos for infinita b Existe um ponto na linha que une a Terra com a Lua para o qual a força gravitacional resultante é igual a zero Use a expressão deduzida na parte a e dados do Apêndice F para calcular a distância entre este ponto e o centro da Terra Com que velocidade deve uma espaçonave ser lançada da superfície da Terra para que ela consiga apenas atingir esse ponto sem ir além c Caso uma espaçonave fosse lançada da superfície da Terra em direção à Lua com velocidade igual a 112 kms com que velocidade ela atingiria a superfície da Lua 1265 Uma espaçonave sem tripulação descreve uma órbita circular em torno da Lua observando a superfície da Lua de uma altura de 500 km ver o Apêndice F Para surpresa dos cientistas na Terra devido a uma falha elétrica um dos motores da espaçonave deixa de funcionar fazendo sua velocidade diminuir 200 ms Caso nada seja feito para corrigir sua órbita com que velocidade em kmh a espaçonave atingiria a superfície da Lua 1266 Qual seria a duração de um dia isto é o tempo necessário para a Terra completar uma rotação em torno do seu eixo se a taxa de rotação da Terra fosse tal que g 0 no equador 1267 Martelo em queda Um martelo com massa m é largado de uma altura h acima da superfície da Terra Essa altura não é necessariamente pequena em comparação ao raio da Terra RT Desprezando a resistência do ar deduza uma expressão para a velocidade v do martelo quando ele atinge a superfície da Terra Essa expressão deve envolver h RT e m a massa da Terra 1268 a Calcule o trabalho necessário para lançar uma espaçonave de massa m da superfície da Terra massa mT e raio R T e colocála em uma órbita terrestre baixa isto é uma órbita cuja altura acima da superfície da Terra seja menor do que R T Como exemplo a Estação Espacial Internacional está em uma órbita terrestre baixa a uma altura de 400 km que é muito menor do que RT 6380 km Despreze a energia cinética que a espaçonave possui na superfície da Terra em virtude da rotação da Terra b Calcule o trabalho adicional mínimo necessário para fazer a espaçonave se deslocar da órbita terrestre até uma distância muito grande da Terra Despreze os efeitos gravitacionais do Sol da Lua e dos outros planetas c Justifique a seguinte afirmação em termos de energia uma órbita terrestre baixa está na metade da distância até a borda do universo 1269 Desejamos lançar uma espaçonave da superfície da Terra de modo que ela também escape do sistema solar a Calcule a velocidade relativa ao centro da Terra com a qual ela deve ser lançada Considere os efeitos gravitacionais do Sol e da Terra e inclua o efeito da velocidade orbital da Terra mas despreze a resistência do ar b A rotação da Terra pode auxiliar a atingir esta velocidade de escape Calcule a velocidade que a espaçonave deve possuir em relação à superfície da Terra se a espaçonave for lançada da Flórida no ponto indicado na Figura 1237 A rotação da Terra em torno do seu eixo e seu movimento orbital em torno do Sol possuem o mesmo sentido de rotação Em Cabo Canaveral um lançamento ocorre na latitude de 285 ao norte do equador c A European Space Agency ESA utiliza uma plataforma de lançamento na Guiana Francesa imediatamente ao norte do Brasil situada a 515 ao norte do equador Com que velocidade em relação à superfície da Terra deve uma espaçonave ser lançada da plataforma de lançamento na Guiana Francesa para que ela escape do sistema solar PROBLEMAS 51 Trace as superfícies equipotenciais e as linhas de força para dois pontos de massa separados por uma certa distância A seguir considere uma das massas como tendo uma massa negativa fictícia de M Trace as superfícies equipotenciais e as linhas de força para esse caso Para que tipo de situação física este conjunto de equipotenciais e linhas de campo se aplica Note que as linhas de força têm direção portanto indique isso com setas apropriadas 52 Se o vetor de campo for independente da distância radial em uma esfera descubra a função que descreve a densidade p pr da esfera 53 Supondo que a resistência do ar não é relevante calcule a velocidade mínima que uma partícula deve ter na superfície da Terra para escapar do campo gravitacional da Terra Obtenha um valor numérico para o resultado Essa velocidade é chamada de velocidade de escape 54 Uma partícula em repouso é atraída em direção a um centro de força de acordo com a relação F mk2r3x Mostre que o tempo necessário para a partícula atingir o centro de força de uma distância d é d2k 55 Uma partícula cai na Terra a partir do repouso a uma grande altura várias vezes o raio da Terra Desconsidere a resistência do ar e mostre que a partícula requer aproximadamente do tempo total de queda para percorrer a primeira metade da distância 56 Calcule diretamente a força gravitacional em uma unidade de massa em um ponto exterior a uma esfera homogênea de matéria 57 Calcule o potencial gravitacional devido a uma barra fina de comprimento l e massa M a uma distância R do centro da barra e a uma direção perpendicular a ela 58 Calcule o vetor da força gravitacional devido a um cilindro homogêneo em pontos exteriores no eixo do cilindro Faça o cálculo a computando a força diretamente e b computando o potencial primeiro 59 Calcule o potencial devido a um anel circular fino de raio a e massa M para os pontos no plano do anel e exteriores a ele O resultado pode ser expresso como uma integral elíptica4 Suponha que a distância do centro do anel para o ponto do campo é grande se comparada com o raio do anel Expanda a expressão para o potencial e encontre o primeiro termo de correção 510 Encontre o potencial em pontos fora do eixo devido a um anel circular de raio a e massa M Considere R como a distância do centro do anel ao ponto de campo e θ como o ângulo entre a linha que conecta o centro do anel com o ponto de campo e o eixo do anel Suponha que R a de forma que os termos de ordem aR3 e superior possam ser desconsiderados 511 Considere um corpo maciço de formato arbitrário e uma superfície esférica que seja exterior ao corpo e não o contenha Mostre que o valor médio do potencial devido ao corpo tomado pela superfície esférica é igual ao valor do potencial no centro da esfera 512 No problema anterior considere que o corpo maciço está dentro da superfície esférica Agora mostre que o valor médio do potencial sobre a superfície da esfera é igual ao valor do potencial que existiria na superfície da esfera se toda a massa do corpo estivesse concentrada no centro da esfera 513 Um planeta de densidade pi núcleo esférico raio Ri com uma nuvem de poeira esférica espessa densidade p2 raio R2 é descoberto Qual é a força na partícula de massa m posicionada na nuvem de poeira 514 Mostre que a autoenergia gravitacional energia de um conjunto por partes do infinito de uma esfera uniforme de massa M e raio R é U 3GM2 5 R 515 Uma partícula é jogada em um orifício feito diretamente através do centro da Terra Ao desconsiderar efeitos de rotação mostre que o movimento da partícula é harmônico simples se você pressupõe que a Terra possui densidade uniforme Mostre que o período de oscilação é por volta de 84 min 516 Uma esfera de massa uniformemente sólida M e raio R é fixada a uma distância h acima de uma folha fina infinita de densidade de massa ps massaárea Com que força a esfera atrai a folha 517 O modelo de Newton de altura das marés utilizando os dois poços de água escavados no centro da Terra baseouse no fato de que a pressão na parte inferior dos poços deveria ser a mesma Suponha que a água é incompressível e encontre a diferença de altura de marés h Equação 555 devido à Lua utilizando esse modelo Dica ysmax Psg dy 3 ysmax Ymax onde ymax 2 R Terra e RTerra é o raio mediano da Terra 518 Mostre que a razão das alturas máximas das marés devido à Lua e ao Sol é dada por MI Re e que esse valor é 22 Re é a distância entre o Sol e a Terra e Ms é a massa do Sol 519 A revolução orbital da Lua em torno da Terra leva por volta de 273 dias e segue a mesma direção da rotação da Terra 24 h Utilize essa informação para mostrar que as marés altas ocorrem por todo lugar na Terra a cada 12 h e 26 min 520 Um disco fino de massa M e raio R fica no plano x y com o eixo z passando por seu centro Calcule o potencial gravitacional Φz e o campo gravitacional gz Φz k dΦzdz no eixo z 521 Um ponto de massa m está localizado a uma distância D da extremidade mais próxima de uma barra fina de massa M e comprimento L ao longo do eixo da barra Encontre a força gravitacional exercida na massa pontual pela barra