Cálculo de Predicados de 1ª Ordem: Considerações e Sentenças

CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1ª ORDEM CLÁSSICO CQC Algumas considerações adicionais que se seguem ao Exercício 68 Suponha que temos a relação binária x gosta de y representada por L A sentença Cléo gosta de Miau c Cléo m Miau já vimos ficaria na linguagem do CQC Lcm A sentença Alguém gosta de Miau A sentença Miau gosta de alguém xLxm A sentença Alguém gosta de si mesmo xLmx A sentença Todos gostam de Miau xLxx A sentença Miau gosta de todos xLxm A sentença Cada um gosta de si mesmo xLmx No entanto convém observar que as sentenças Todos gostam de alguém ou Alguém gosta de alguém ou Alguém gosta de todos etc envolvem mais de uma variável assunto tratado na seção 73 do livrotexto mas que não abordaremos aqui em razão do tempo Nada impede que quem assim desejar leia a seção Nada há ali de novidade sabendose interpretar corretamente o significado das sentenças não será difícil representálas xLxx CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1ª ORDEM CLÁSSICO CQC E a sentença Cléo não gosta de Miau Resp Lcm Cléo não gosta de alguém Resp xLcx Cléo não gosta de todos Resp xLcx Cléo não gosta de ninguém Resp xLcx Em nosso caso a sentença Cléo não gosta de ninguém equivale a Cléo não gosta de todos Logo se pode fazer a equivalência lógica entre e assim como entre e CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1ª ORDEM CLÁSSICO CQC a xBx b xAx c xAx NÃO xAx SIM ou xAx d xBx e xMx f xIx ou xIx v G x gosta de y xGxx w G x gosta de y xGxx ou xGxx x G x gosta de y xGxx ou xGxx y xLxpd ou xLxpd z xLxpd ou xLxpd CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1ª ORDEM CLÁSSICO CQC E a sentença Cléo não gosta de Miau Resp Lcm Cléo não gosta de alguém Resp xLcx acima tínhamos proposto xLcx Cléo não gosta de todos Resp xLcx Cléo não gosta de ninguém Resp xLcx Em nosso caso a sentença Cléo não gosta de ninguém equivale a Cléo não gosta de todos Logo se pode fazer a equivalência entre e assim como entre e Alguns fatos lógicos com base em slide anterior Resp xLcx mas isto é equivalente a xLcx OBS Desconsiderem a leitura do trecho do Cap 7 entre as páginas 98 e 106 inclusive o exercício 71 PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS DO QUADRADO LÓGICO OU DAS OPOSIÇÕES CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1ª ORDEM CLÁSSICO CQC Vimos até aqui que o quantificador existencial sugere a representação simbólica de proposições que começam por alguém ou algo Sabemos também que as proposições categóricas do tipo S é P ou S não é P são significativas quando estão sob a forma universal A ou E ou particular I ou O Como poderiam ser elas representadas no CQC Uma pista devem envolver o uso de quantificadores visto que começam por Todos Algum etc Tomemos o caso mais simples Alguns filósofos são gregos particular afirmativa I Vejam que há dois predicados envolvidos aqui ser filósofo x é um filósofo e ser grego x é grego Ambos representam propriedades de um certo grupo alguns indeterminado porém os quais se pesquisássemos seríamos capazes de encontrar e indicar com um nome cada um deles PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS DO QUADRADO LÓGICO OU DAS OPOSIÇÕES CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1ª ORDEM CLÁSSICO CQC Logo é natural supor que se trata de representar a proposição por meio do quantificador existencial Uma tentativa seria a seguinte se escolhermos representar x é filósofo por F e x é grego por G Certo é uma possibilidade mas qual o problema com a fórmula molecular acima xFx xGx Bem é simples há dois quantificadores existenciais e ninguém pode assegurar que cada um dos x associados aos respectivos quantificadores refirase aos mesmos indivíduos que simultaneamente são filósofos e gregos vejam o diagrama de Euler para I Solução xFx Gx Pronto Ambos os x que aparecem dentro dos parênteses são simultaneamente F e G PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS DO QUADRADO LÓGICO OU DAS OPOSIÇÕES CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1ª ORDEM CLÁSSICO CQC E como ficaria a particular negativa Alguns filósofos não são gregos O Logo algum dos predicados deve receber uma negação de acordo Qual seria ele Solução xFx Gx Observem que neste caso estamos dizendo que certos x embora filósofos não são gregos ou posto de outro modo existem alguns x que são filósofos mas não são gregos Visto que através de um exemplo conseguimos representar as proposições particulares forma afirmativa e forma negativa do quadrado lógico como então faríamos para representar as proposições universais tanto as afirmativas A como as negativas E Façamos do mesmo modo através de um exemplo PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS DO QUADRADO LÓGICO OU DAS OPOSIÇÕES CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1ª ORDEM CLÁSSICO CQC Suponha a sentença Toda baleia é um mamífero Suponha que representássemos assim xBx Mx Estaria correto Por quê Bem é simples na representação acima estaríamos afirmando que no mundo ou no domínio de aplicação que estamos considerando toda as coisas que existem são baleias mamíferos ou mamíferosbaleias Nada mais A pista acima é se então condicional Solução xBx Mx vejam o diagrama de Euler para A Novamente observem que há dois predicados envolvidos aqui ser baleia x é uma baleia e ser mamífero x é mamífero Ambos representam propriedades da totalidade dos indivíduos quantificador universal e representaremos essas propriedades respectivamente por B e M Ora para todo algo se este algo é uma baleia então é um mamífero pista PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS DO QUADRADO LÓGICO OU DAS OPOSIÇÕES CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1ª ORDEM CLÁSSICO CQC E como ficaria a universal negativa Nenhuma baleia é um mamífero E Logo algum dos predicados deve receber uma negação de acordo Qual seria ele Solução xBx Mx Observem que neste caso estamos dizendo que cada x embora seja uma baleia ele não é um mamífero ou posto de outro modo se todo x é baleia então ele não é um mamífero Visto que através de exemplos representamos as proposições particulares afirmativa e negativa e as proposições universais afirmativa e negativa do quadrado lógico como então faríamos para representar de forma geral todas as proposições do quadrado lógico em termos dos quantificadores universal e existencial PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS DO QUADRADO LÓGICO OU DAS OPOSIÇÕES CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1ª ORDEM CLÁSSICO CQC Usando os termos funcionais S e P que vimos usando até aqui para representar sujeito e predicado e supondo que S representa x é S e P representa x é P em que S e P representam propriedades quaisquer então temos o seguinte Universal Afirmativa A xSx Px Universal Negativa E xSx Px Particular Afirmativa I xSx Px Particular Negativa O xSx Px Façamos agora o exercício 72 à p 106 e o exercício 73 à p 113 Antes uma breve recordação SENTENÇA não é a mesma coisa que FÓRMULA