Cálculo Proposicional Clássico: Linguagem Natural e Operadores Lógicos

CPC CQC Z Português Linguagem Natural CÁLCULO PROPOSICIONAL CLÁSSICO CÁLCULO PROPOSICIONAL CLÁSSICO A partir daqui a nossa referência será o livrotexto do Cézar Mortari 1ª edição 2001 da bibliografia básica a partir do Capítulo 9 valorações Comecemos por recuperar o já conhecido exercício 22f do livreto de exercícios P Alguns metais são substâncias raras e caras mas Q Nenhum material de soldagem é um nãometal portanto R Alguns materiais de soldagem são substâncias raras e caras Se forem dados em simultâneo conjuntamente P Q Então seguese que ambos implicam R A intuição de que o argumento acima pode ser representado por sentenças que se articulam por meio de operações lógicas negação conjunção etc as quais fazem as vezes de articuladores das sentenças nos permite então definir uma linguagem simplificada cujo objetivo é analisar o discurso em seu nível inter sentencial ou seja como um todo sem entrar na análise intrasentencial CÁLCULO PROPOSICIONAL CLÁSSICO CÁLCULO PROPOSICIONAL Tratase de uma Linguagem Formal ou Artificial que é como um Modelo para analisar em 0ª ordem os argumentos de um discurso por meio de sinais costumase chamar estes sinais de símbolos o que é um grande equívoco mas foi o título que acabou pegando por assim dizer que representam ou simbolizam as sentenças deste mesmo discurso A Linguagem do CPC possui Alfabeto Operadores entre as sentenças Regras de sintaxe que norteiam as operações Alfabeto letras maiúsculas que representam as sentenças do argumento A B C R S T Operadores símbolos lógicos que representam as operações mais comuns entre sentenças não negação e mas ou ouou seentão condicional implica somente se se e somente se bicondicional Regras de wff wellformed formulas aqui basicamente se identificam com o correto uso dos operadores e dos pontuadores que são símbolos que servem para marcação das sentenças abre parênteses fecha parênteses CÁLCULO PROPOSICIONAL CLÁSSICO NOMES DOS OPERADORES LÓGICOS Operador de NEGAÇÃO Operador de CONJUNÇÃO Operador de DISJUNÇÃO Operador CONDICIONAL ou de IMPLICAÇÃO Operador BICONDICIONAL ou de BIIMPLICAÇÃO NOMES DOS OPERADORES DE PONTUAÇÃO Parêntese ESQUERDO Parêntese DIREITO OBS Devese equilibrar o número de parênteses esquerdos com o número de parênteses direitos CÁLCULO PROPOSICIONAL CLÁSSICO Retomemos o exercício 22f Alguns metais são substâncias raras e caras mas Nenhum material de soldagem é um nãometal portanto Alguns materiais de soldagem são substâncias raras e caras P Alguns metais são substâncias raras e caras mas Q Nenhum material de soldagem é um nãometal portanto R Alguns materiais de soldagem são substâncias raras e caras P Q R CÁLCULO PROPOSICIONAL CLÁSSICO Visto que o CPC é uma linguagem formal artificial somente podemos fazer duas coisas 1ª Escrever na própria linguagem formal do CPC através de expressões bem construídas por meio de sua sintaxe ou seja por meio de fórmulas bemformadas wffs ou 2ª Escrever sobre ou falar da linguagem do CPC através de uma linguagem que o abarque e lhe dê sentido por exemplo através da língua portuguesa haja vista que uma fórmula bem formada adquire seu significado nesta linguagem dentro da qual o CPC aparece como uma linguagem mais restrita SentidoSignificadoConteúdoVerdadeiro V ou Falso F no CPC Dizse que o CPC é uma linguagemobjeto e a língua portuguesa é a metalinguagem que o abarca ou seja na qual o CPC está imerso CÁLCULO PROPOSICIONAL CLÁSSICO Retomemos mais uma vez o exercício 22f do Livreto P Alguns metais são substâncias raras e caras mas Q Nenhum material de soldagem é um nãometal portanto R Alguns materiais de soldagem são substâncias raras e caras P Q R são constantes do cálculo do CPC representando diferentes sentenças ou proposições na linguagemobjeto do CPC P Q R é uma fórmula do cálculo do CPC no caso uma wff porque bem construída escrita nesta linguagemobjeto CÁLCULO PROPOSICIONAL CLÁSSICO CONSTANTES E FÓRMULAS DA LINGUAGEM DO CPC Sempre dadas na sintaxe do cálculo usualmente listadas como parte do alfabeto deste último Em nosso caso são as constantes representativas de enunciados ou proposições As constantes são articuladas em fórmulas que representam estadosdecoisas e fatos do mundo As constantes e as fórmulas são parte da linguagemobjeto do CPC METAVARIÁVEIS NA METALINGUAGEM Sempre dadas fora da sintaxe do cálculo usualmente listadas como parte do alfabeto de nossa língua portuguesa eventualmente acrescido de letras ou símbolos de outras línguas como por exemplo o grego As metavariáveis somente são usadas quando nos referimos ou falamos sobre constantes e fórmulas do CPC desde a nossa linguagem natural As metavariáveis são parte da metalinguagem em geral a língua portuguesa acrescida do grego CÁLCULO PROPOSICIONAL CLÁSSICO No exercício 22f obtivemos a fórmula para expressar o argumento do exercício na sintaxe do CPC contudo podemos escrever seu esquema geral na metalinguagem P Q R P Q β R β CÁLCULO PROPOSICIONAL CLÁSSICO Três considerações sobre a expressão β 1ª Mantivemos os símbolos de pontuação parênteses para consistência da leitura em língua portuguesa das fórmulas escritas no CPC 2ª O sinal de igualdade não faz parte do alfabeto do CPC Logo tratase de um metasímbolo a saber um símbolo que apenas faz sentido na língua portuguesa para definir as metavariáveis e β e portanto a expressão acima é um esquema geral para representar na metalinguagem todas as fórmulas do CPC que resultam numa implicação material 3ª Por ser a expressão acima um esquema geral para representar todas as fórmulas do CPC que resultam numa implicação material isto também vale para representarmos todas as fórmulas do CPC que resultam numa negação conjunção disjunção e bi implicação CÁLCULO PROPOSICIONAL CLÁSSICO 1 Cabe à Lógica clássica investigar TODAS as POSSIBILIDADES de uma dada expressão ou fórmula expressa numa linguagem formal ser verdadeira V ou falsa F 2 Também introduziremos ao lado de alguns operadores lógicos operadores chamados booleanos pois foram introduzidos pelo lógico e matemático inglês George Boole em 1854 numa tentativa de algebrizar expressões lógicas Somente em 1879 com o filósofo e matemático alemão Gottlob Frege é que a simbolização de argumentos teve de fato seu início tal como o concebemos hoje 3 Infelizmente o livro do Mortari não apresenta uma álgebra booleana elementar No entanto o que vamos apresentar aqui acrescido da pesquisa discente na internet sobre este tópico será mais do que suficiente para o nosso curso CÁLCULO PROPOSICIONAL CLÁSSICO 4 Apresentaremos em seguida as funções de verdade para os vários operadores lógicos introduzidos no alfabeto do CPC assim como as operações booleanas de alguns deles onde aplicável 5 Para a álgebra booleana consideramos três operadores o de negação o de conjunção e o de disjunção Há mais alguns porém não será necessário estudálos em nosso curso Eles seriam importantes para os que estudam circuitos lógicos o que não é nosso caso 6 Por fim antes de passarmos às tabelas com as funções de verdade propriamente ditas devemos chamar a atenção para a seguinte regra booleana o valor Verdadeiro V é tomado como equivalente ao número 1 sinal alto ou com sinal digital e o valor Falso F como equivalente ao número 0 sinal baixo ou sem sinal digital 7 Por esta razão a lógica booleana é também chamada de lógica binária posto que é amplamente utilizada em circuitos lógicos 1 Tabela ou funçãoverdade para a negação o símbolo de negação é uma função ou operação unária pois somente se aplica a uma única fórmula que a sucede CÁLCULO PROPOSICIONAL CLÁSSICO V 1 F 0 F 0 V 1 não não é o caso que não é verdade que 2 Tabela ou funçãoverdade para a conjunção O símbolo de conjunção é uma função ou operação binária pois se aplica a duas fórmulas β que estão em seu entorno pontuadas por e CÁLCULO PROPOSICIONAL CLÁSSICO β β β V 1 V 1 V 1 V 1 F 0 F 0 F 0 V 1 F 0 F 0 F 0 F 0 e mas apesar de tanto como quer quer mas também embora também 3 Tabela ou funçãoverdade para a disjunção O símbolo de disjunção é uma função ou operação binária pois se aplica a duas fórmulas β que estão em seu entorno pontuadas por e CÁLCULO PROPOSICIONAL CLÁSSICO β β β V 1 V 1 V 1 V 1 F 0 V 1 F 0 V 1 V 1 F 0 F 0 F 0 ou inclusive ou ou 4 Tabela ou funçãoverdade para a implicação ou condicional O símbolo de implicação material ou condicional é uma função ou operação binária pois se aplica a duas fórmulas β que estão em seu entorno pontuadas por e CÁLCULO PROPOSICIONAL CLÁSSICO β β V 1 V 1 V V 1 F 0 F F 0 V 1 V F 0 F 0 V Ver o slide seguinte quanto às expressões em língua portuguesa que estão associadas ao operador condicional CÁLCULO PROPOSICIONAL CLÁSSICO Algumas observações sobre a implicação material ou condicional lógico A fórmula é antecedente do condicional e a fórmula seu consequente não é a causa de sendo apenas sua condição Basta é suficiente pôrse que é posto não é algum antecedente sequencial de isto é não é o caso de se seguir a como seu sucessor não se trata aqui de algum tipo de sucessão não é o antecedente temporal de isto é não é necessário que seja temporalmente subsequente a se então somente se se é condição suficiente para basta para é condição necessária para 5 Tabela ou funçãoverdade para a bi implicação ou bi condicional O símbolo de bi implicação ou bi condicional é uma função ou operação binária pois se aplica a duas fórmulas β que estão em seu entorno pontuadas por e CÁLCULO PROPOSICIONAL CLÁSSICO β β V 1 V 1 V V 1 F 0 F F 0 V 1 F F 0 F 0 V se e somente se é logicamente equivalente a é condição suficiente e necessária para CÁLCULO PROPOSICIONAL CLÁSSICO 1 Façamos alguns dos itens do exercício 27 do livreto 2 Façamos alguns dos itens do exercício 28 do livreto