Exercícios Aula 2 à 5-2023-1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO CENTRO DE CIÊNCIAS DE BALSAS COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA TOPOGRAFIA Prof. Me. Leandro Gomes Domingos Rodovia MA-140, km-04, s/n, Balsas – MA, 65800-000. 1 EXERCÍCIOS DOS SLIDES E EQUAÇÕES Para melhor andamento da disciplina, todos os exercícios dos slides, bem como as equações pertinentes, estão organizados neste documento. Solicito que analise cada exercício antes das aulas. Aula 02 – Conceitos Básicos de Geomática. Exemplo 01: utilizando um instrumento topográfico, foi possível encontrar o seguinte levantamento. Há algum erro? Exemplo 02: num levantamento topográfico se obteve os comprimentos indicados abaixo e o ângulo entre esses lados. Quais os valores de a, 𝑏 𝑒 𝑐? Exemplo 03: Utilizou-se uma trena laser e obteve-se as seguintes medidas. Qual a altura do prédio? UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO CENTRO DE CIÊNCIAS DE BALSAS COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA TOPOGRAFIA Prof. Me. Leandro Gomes Domingos Rodovia MA-140, km-04, s/n, Balsas – MA, 65800-000. 2 Exemplo 04: Utilizou-se uma trena laser e obteve-se as seguintes medidas. Qual a altura da janela? x Exemplo 5 – mediu-se em planta, desenhado na escala de 1/50.000, o comprimento de um dos lados de um terreno, obtendo-se 5 cm. Qual o comprimento estimado de um dos lados desse terreno? UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO CENTRO DE CIÊNCIAS DE BALSAS COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA TOPOGRAFIA Prof. Me. Leandro Gomes Domingos Rodovia MA-140, km-04, s/n, Balsas – MA, 65800-000. 3 Exemplo 6 – Pretende-se representar um lote de 20 x 45 m na escala de 1:250. Qual as medidas no desenho? Aula 3 – Referências Geodésicas e Topográficas Exemplo 1: com base nos dados abaixo, determine as coordenadas cartesianas do ponto Q. • 𝑃𝑥 = 6.785,943 𝑚; 𝑃𝑦 = 12.364,106 𝑚; • 𝐴𝑧𝑃𝑄 = 33°46’12”; • Distância horizontal PQ = 871,691 m 𝐴𝑧𝑃𝑄 = 𝐴𝑧𝑟𝑒𝑓 + 𝛼; 𝑌𝑄 = 𝑌𝑃 + 𝑑𝑃𝑄𝑐𝑜𝑠𝐴𝑧𝑃𝑄; 𝑋𝑄 = 𝑋𝑃 + 𝑑𝑃𝑄𝑠𝑒𝑛𝐴𝑧𝑃𝑄 𝐴𝑧𝑃𝑄 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐷𝑋 𝐷𝑦 ± 180°; 𝑑𝑃𝑄 = √∆𝑋2 + ∆𝑌2; 𝑑𝑃𝑄 = ∆𝑋𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝐴𝑧𝑃𝑄; 𝑑𝑃𝑄 = ∆𝑋𝑠𝑒𝑐𝐴𝑧𝑃𝑄 Exemplo 2: Calcule a distância e o ângulo de referência do alinhamento AB. Ponto X (m) Y (m) A 2.397,166 12.716,306 B 1.113,103 10.186,013 𝑒2 = 𝑎2 − 𝑏2 𝑎2 = 2𝑓 − 𝑓2; 𝑒′2 = 𝑎2 − 𝑏2 𝑏2 (1) 𝑝 = √𝑋2 + 𝑌²; (2) 𝑡𝑔𝜙0 = 𝑍 𝑝 [ 1 (1−𝑒2)]; (3) 𝑁0 = 𝑎2 √𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜙0+𝑏2𝑠𝑒𝑛2𝜙0; (4) ℎ = 𝑝 𝑐𝑜𝑠𝜙0 − 𝑁0 (5) 𝑡𝑔𝜙 = 𝑍 𝑝 [ 1 (1−𝑒2)( 𝑁0 𝑁0+ℎ)] Compara-se 𝜙0 = 𝜙. Do contrário, retorna-se ao passo 3. 𝑓 = 𝑎 − 𝑏 𝑎 ; 𝑒 = √𝑎2 − 𝑏² 𝑎 ; 𝑒2 = 𝑎2 − 𝑏2 𝑎2 = 2𝑓 − 𝑓2; 𝑒′ = √𝑎2 − 𝑏2 𝑏 ; 𝑒′2 = 𝑎2 − 𝑏² 𝑏2 = 𝑒2 1 − 𝑒2 Exemplo 3: considerando o sistema geodésico SIRGAS2000, determine: A) O semieixo menor do elipsoide; UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO CENTRO DE CIÊNCIAS DE BALSAS COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA TOPOGRAFIA Prof. Me. Leandro Gomes Domingos Rodovia MA-140, km-04, s/n, Balsas – MA, 65800-000. 4 B) a primeira e a segunda excentricidade quadrática. Dados: a = 6.378.137 m; 𝑓 = 1/298,257222101 Exemplo 4: Considerando a latitude em um local de Balsas igual a -7°33’23,04” no sistema geodésico SIRGAS2000, determine: A) O raio da curvatura da seção meridiana; B) O raio de curvatura da seção perpendicular ao meridiano; C) O raio médio da Terra no local. 𝑀 = 𝑎(1 − 𝑒2) (1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜙𝑔) 3 2 ⁄ ; 𝑁 = 𝑎 √(1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜙𝑔) ; 𝑅0 = √𝑀𝑁 Exemplo 5: Supondo um ponto em Balsas com as coordenadas 𝜙𝑔 = −7°33′23,04"; 𝜆𝑔 = −46°05′26,88"; ℎ = 247,63 𝑚, determine A) As coordenadas espaciais para este ponto no sistema geodésico SIRGAS2000. B) com os dados anteriores, calcule as coordenadas geodésicas aplicando as equações. 𝑋 = (𝑁 + ℎ)𝑐𝑜𝑠𝜙𝑔𝑐𝑜𝑠𝜆𝑔; 𝑌 = (𝑁 + ℎ)𝑐𝑜𝑠𝜙𝑔𝑠𝑒𝑛𝜆𝑔; 𝑍 = [𝑁(1 − 𝑒2) + ℎ]𝑠𝑒𝑛𝜆𝑔; 𝑡𝑔𝜆𝑔 = 𝑌 𝑋 ; 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑍𝑎 𝑏√𝑋2 + 𝑌2 ; ℎ = √𝑋2 + 𝑌2 𝑐𝑜𝑠𝜙𝑔 − 𝑁; 𝜙𝑔 ≅ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 [ 𝑍 + 𝑒′2𝑏𝑠𝑒𝑛3𝜃 √𝑋2 + 𝑌2 − (𝑒2𝑎𝑐𝑜𝑠3𝜃) ] Aula 04 – Ângulos e Direções Exemplo 1 – um observador visou com uma estação total três pontos sobre o terreno (P, Q e R). Em função das direções observadas e considerando que o círculo horizontal da estação total está configurado para aumentar a graduação no sentido horário, calcule os ângulos horizontais entre as direções E-P/E-Q, E-P/E-R e E-Q/E-R. Estação Ponto Visado Valor da direção (𝑳𝒊) observada E P 125°45’56” Q 322°12’35” R 32°27’44” Exemplo 2 – sabendo que o azimute do alinhamento PQ é 321°10’54”, determine o valor do azimute QP Exemplo 3: transforme os rumos em azimutes (à direita do norte): UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO CENTRO DE CIÊNCIAS DE BALSAS COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA TOPOGRAFIA Prof. Me. Leandro Gomes Domingos Rodovia MA-140, km-04, s/n, Balsas – MA, 65800-000. 5 Linha Rumo Azimute 1-2 42°15’NO 2-3 0°15’SO 3-4 89°40’SE 4-5 10°15’SE 5-6 89°40’NE 6-7 0°10’NE 7-8 12°0’NO Exemplo 4: Dados os rumos vante, encontrar os azimutes a vante e a ré: Linha Rumo a Vante Azimute Vante Ré AB 31°NO BC 12°15’SO DE 88°50’NE Exemplo 5: O azimute CD é 189°30’ e o rumo ED é 8°10’SE. Calcular o ângulo CDE medido no sentido horário. Exemplo 6: o rumo de 6-7 é 88°55’SO e o rumo 7-8 é 86°55’NO. Calcular o ângulo à direita na estaca 7. Exemplo 7: com o objetivo de definir uma direção horizontal a ser tomada como referência para a locação de uma obra, foram realizadas várias observações angulares diretas e inversas entre os pontos P e Q do canteiro de obra. Determine a posição final da direção horizontal P-Q, na posição direta da luneta do instrumento topográfico. Estação Ponto visado Leitura Direta Leitura Inversa P Q 22°32’08” 202°32’10” 22°32’07” 202°32’04” 22°32’13” 202°32’17” 22°32’17” 202°32’19” 22°32’14” 202°32’16” UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO CENTRO DE CIÊNCIAS DE BALSAS COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA TOPOGRAFIA Prof. Me. Leandro Gomes Domingos Rodovia MA-140, km-04, s/n, Balsas – MA, 65800-000. 6 𝐿0 ̅̅̅ = 𝐿0(𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙) − 𝐿0(𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙) 2 𝐿𝑖̅ = 𝐿𝑖 − 𝐿0 𝐿̅ = ∑ 𝐿𝑑 + ∑ 𝐿𝑖 2𝑛 ± 90° Exemplo 8: Um operador realizou observações de direção. Determine os ângulos horizontais entre os pares de pontos visados. Exemplo 9: Um operador realizou observações de direção. Determine os ângulos horizontais entre os pares de pontos visados. Estação Ponto Visado Direção Horizontal P 1 168°22’43,1” 2 195°45’35,6” 3 262°03’38,5” 4 297°20’52,1” 5 19°30’51,1” 1 168°22’44,6” 𝐴𝑧𝑖,𝑗 = 𝐴𝑧𝑖−1,𝑗−1 + 𝛼𝐷𝑖 UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO CENTRO DE CIÊNCIAS DE BALSAS COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA TOPOGRAFIA Prof. Me. Leandro Gomes Domingos Rodovia MA-140, km-04, s/n, Balsas – MA, 65800-000. 7 Exemplo 10: um levantamento foi realizado pelo método das deflexões. Determine os azimutes dos alinhamentos subsequentes. Estação Ponto Visado Deflexão Azimute A B 115°12’51” B C 45°52’11” C D -32°44’09” D E 17°12’31” Exemplo 11: foi realizado um conjunto de leituras de ângulos verticais zenitais, para um mesmo alvo, nos sentidos diretos e inverso da luneta. Determine o valor final do ângulo. Estação Ponto Visado Leitura Vertical Direta Leitura Vertical Inversa A B 88°16’42” 271°43’04” B 88°16’51” 271°43’03” B 88°16’42” 271°43’10” B 88°16’38” 271°43’08” Exemplo 12: Determine os azimutes (norte) para os lados AB, BC e CD. Exemplo 13: para a poligonal indicada abaixo, calcule o azimute norte e os rumos dos lados BC e CD. UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO CENTRO DE CIÊNCIAS DE BALSAS COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA TOPOGRAFIA Prof. Me. Leandro Gomes Domingos Rodovia MA-140, km-04, s/n, Balsas – MA, 65800-000. 8 Exemplo 14 quais os rumos dos lados CD, DE, EA e AB do polígono indicado abaixo? Aula 05 – Distância Exemplo 1: com base nas informações indicadas abaixo, determine a distância horizontal e a distância vertical correspondente ao alinhamento medido. Dado: 𝑑′ = 1.643,856 𝑚; 𝛽 = 5°04′29"; 𝑧 = 84°55′31“. Exemplo 2: em um ponto na cidade de Balsas, a latitude geodésica é igual a -7°33’23,04” e a altitude ortométrica é igual a 247,63 m. A partir desse ponto tem-se uma distância esférica de comprimento igual a 1.563,897 m. Calcule o comprimento dessa distância sobre o elipsoide de referência, considerando o sistema geodésico SIRGAS2000. Dado: 𝑅0 = 6.357.488,286 𝑚. 𝑅𝑒𝑑 = − 𝐻𝑃 𝑅0 + 𝐻𝑃 ∗ 106ppm; 𝑑0 = 𝑑𝑃 + 𝑑𝑃𝑅𝑒𝑑 Exemplo 3 - deseja-se definir uma distância horizontal igual a 212,34 m com uma trena que tem 15,05 m de comprimento (e não 15,0 m como indicado na escala). Qual deveria ser a distância registrada? UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO CENTRO DE CIÊNCIAS DE BALSAS COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA TOPOGRAFIA Prof. Me. Leandro Gomes Domingos Rodovia MA-140, km-04, s/n, Balsas – MA, 65800-000. 9 Exemplo 4 - Uma trena de lona de 15,00 m é usada para locar os cantos de um edifício. Se a trena tem realmente 14,98 m de comprimento, qual deveria ser a distância registrada se o prédio deve ter 64,01 m por 32,34 m? Exemplo 5 - Uma trena de aço que tem comprimento de 30 m a 20°C é usada para local um prédio com a dimensão de 100,58 m por 207,97 m. a) Qual deveria ser a leitura da trena se a temperatura dela é 0°C durante a medição? b) E se a temperatura fosse 35°C? Exemplo 6 - um trena de 30 m é usada para medir uma distância inclinada e o valor determinado foi de 378,7 m. Se a inclinação é de 5%, qual a distância horizontal correta obtida, considerando a fórmula de correção da inclinação? 𝐷𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝐷𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 + ∑ 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒çõ𝑒𝑠 𝐶𝑡 = 0,0000116(𝑇 − 𝑇𝑠)𝐿 𝐶𝑠 = − 𝑤2𝐿3 24𝑃2 Exemplo 7: indicar nas miras ao lado os seguintes valores: UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO CENTRO DE CIÊNCIAS DE BALSAS COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA TOPOGRAFIA Prof. Me. Leandro Gomes Domingos Rodovia MA-140, km-04, s/n, Balsas – MA, 65800-000. 10 Exemplo 8: Indicar fios indicados na mira: Exemplo 9: um topógrafo fez a seguinte leitura na mira. Sabendo que o ângulo zenital (Z) é igual a 85°30’10” e que a altura do instrumento é de 1,50 m, determine a distância horizontal e a diferencia de nível entre o ponto onde foi colocado a mira e a estação: