Exercícios de Análise Estrutural

UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO UFMA CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA CCT BALSASMA CURSO ENGENHARIA CIVIL Disciplina ANÁLISE DE ESTRUTURAS II Data 26jun2025 Docente Prof Me Francisco de Assis Alves da Cunha Discente MARCOS VINICIUS TAVARES DOS SANTOS 2ª AVALIAÇÃO PROVA Peso 60 1 Utilize o Método das Forças para encontrar as reações de apoio das vigas abaixo com forças concentradas e distribuídas Os trechos têm inércias EI distintas e apoios de primeiro segundo e terceiro gêneros Trace também os diagramas de esforços solicitantes 2 Utilize o Método das Forças para encontrar as reações de apoio das vigas abaixo com forças concentradas e distribuídas Os trechos têm inércias EI distintas e apoios de primeiro segundo e terceiro gêneros Trace também os diagramas de esforços solicitantes BOA SORTE Questão 01 Primeiramente vamos dividir a estrutura em 1 sistema principal e 3 sistemas virtuais considerando que ela é 3x hiperestática Sistema Principal 0 Sistema Virtual 1 Sistema Virtual 2 Sistema Virtual 3 Agora é preciso analisar cada um dos sistemas separadamente e encontrar as reações de apoio de modo a esboçar o diagrama de momento fletor Sistema Principal 0 Pelo equilíbrio sendo ΣMA 0 1081575 VE15 0 VE 81 kN ΣFV 0 10815 81 VA 0 VA 81 kN ΣFH 0 HA 0 kN 1 Seção S1 0 x 35 m ΣM 0 Mx 108xx2 81x 0 Mo1x 54 x² 81x 2 Seção S2 35 x 8 m Mo2x 54 x² 81x 3 Seção S3 8 x 115 m Mo3x 54 x² 81x 4 Seção S4 115 x 15 m Mo4x 54 x² 81x Sistema Virtual 1 Pelo equilíbrio sendo ΣMA 0 135 VE15 0 VE 023 kN ΣFV 0 023 VA 1 0 VA 077 kN ΣFH 0 HA 0 kN 1 Seção S1 0 x 35 m ΣM 0 Mx 077x 0 M1 1x 077x 2 Seção S2 35 x 8 m ΣM 0 Mx 077x 1x35 0 M x 2 023x 35 3 Seção S3 8 x 115 m Mx13 023x 35 4 Seção S4 115 x 15 m Mx14 023x 35 Sistema Virtual 2 Pelo equilíbrio sendo ΣMA 0 18 VE 15 0 VE 053 kN ΣFV 0 053 VA 1 0 VA 047 kN ΣFH 0 HA 0 kN 1 SEÇÃO S1 0 x 35 m M0 Mx 047 x0 M₁²x 047 x 2 SEÇÃO S2 35 x 8 m M₂²x 047 x 3 SEÇÃO S3 8 x 115 m M0 Mx 047 x 1 x 8 0 M₃²x 053 x 8 4 SEÇÃO S4 115 x 15 m M₄²x 053 x 8 SISTEMA VIRTUAL 3 PELO EQUILÍBRIO SENDO Mₐ0 1115 VE 15 0 VE 076 kN Fᵥ0 076 VA 1 0 VA 024 kN Fₕ0 Hₐ 0 kN 1 SEÇÃO S1 0 x 35 m M 0 Mx 024x 0 M₁³x 024 x 2 SEÇÃO S2 35 x 8 m M₂³x 024x 3 SEÇÃO S3 8 x 115 m M₃³x 024 x 4 SEÇÃO S4 115 x 15 m M 0 Mx 024 x 1 x 115 0 M₄³x 076 x 115 DESSA FORMA APLICANDO O PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS TEMOS δ₁₀ ₀³⁵ M₁⁰x M₁¹x EI dx ₃₅⁸ M₂⁰x M₂¹x EI dx ₈¹¹⁵ M₃⁰x M₃¹x EI dx ₁₁₅¹⁵ M₄⁰x M₄¹x EI dx δ₁₀ 488027 EI δ₂₀ ₀³⁵ M₁⁰x M₁²x EI dx ₃₅⁸ M₂⁰x M₂²x EI dx ₈¹¹⁵ M₃⁰x M₃²x EI dx ₁₁₅¹⁵ M₄⁰x M₄²x EI dx δ₂₀ 715713 EI δ₃₀ ₀³⁵ M₁⁰x M₁³x EI dx ₃₅⁸ M₂⁰x M₂³x EI dx ₈¹¹⁵ M₃⁰x M₃³x EI dx ₁₁₅¹⁵ M₄⁰x M₄³x EI dx δ₃₀ 495621 EI δ₁₁ ₀³⁵ M₁¹x M₁¹x EI dx ₃₅⁸ M₂¹x M₂¹x EI dx ₈¹¹⁵ M₃¹x M₃¹x EI dx ₁₁₅¹⁵ M₄¹x M₄¹x EI dx δ₁₁ 3684 EI δ₁₂ ₀³⁵ M₁²x M₁¹x EI dx ₃₅⁸ M₂²x M₂¹x EI dx ₈¹¹⁵ M₃²x M₃¹x EI dx ₁₁₅¹⁵ M₄²x M₄¹x EI dx δ₁₂ 4571 EI δ₂₁ δ₁₃ ₀³⁵ M₁³x M₁¹x EI dx ₃₅⁸ M₂³x M₂¹x EI dx ₈¹¹⁵ M₃³x M₃¹x EI dx ₁₁₅¹⁵ M₄³x M₄¹x EI dx δ₁₃ 2873 EI δ₃₁ δ₂₂ ₀³⁵ M₁²x M₁²x EI dx ₃₅⁸ M₂²x M₂²x EI dx ₈¹¹⁵ M₃²x M₃²x EI dx ₁₁₅¹⁵ M₄²x M₄²x EI dx δ₂₂ 7113 EI δ₂₃ ₀³⁵ M₁²x M₁³x EI dx ₃₅⁸ M₂²x M₂³x EI dx ₈¹¹⁵ M₃²x M₃³x EI dx ₁₁₅¹⁵ M₄²x M₄³x EI dx δ₂₃ 4832 EI δ₃₂ δ₃₃ ₀³⁵ M₁³x M₁³x EI dx ₃₅⁸ M₂³x M₂³x EI dx ₈¹¹⁵ M₃³x M₃³x EI dx ₁₁₅¹⁵ M₄³x M₄³x EI dx δ₃₃ 3842 EI POR FIM APLICANDO O MÉTODO DAS FORÇAS É POSSIVEL CALCULAR UM SISTEMA 3X3 E ENCONTRAR AS REAÇÕES DE APOIO δ₁₁ δ₁₂ δ₁₃ δ₂₁ δ₂₂ δ₂₃ δ₃₁ δ₃₂ δ₃₃ X₁ X₂ X₃ δ₁₀ δ₂₀ δ₃₀ ASSIM TEMOS X₁ Vᴮ 4919 kN X₂ Vᶜ 4370 kN X₃ Vᴰ 3724 kN SENDO ASSIM MA049193543783724115VE1510815950 VE1767 kN FV0VA491943737241767108150 VA1421 kN Os diagramas são dados por DEC DMF Questão 02 Primeiramente vamos dividir a estrutura em 1 sistema principal e 3 sistemas virtuais considerando que ela é 3x hiperestática Sistema Principal 0 Sistema Virtual 1 Sistema Virtual 2 Sistema Virtual 3 Agora é preciso analisar cada um dos sistemas separadamente e encontrar as reações de apoio de modo a esboçar o Diagrama de Momento Fletor Sistema Principal 0 Pelo equilíbrio sendo MA015215615101514VE160VE30kN FV030VA540VA30kN FH0HA0 kN ① Seção S1 0 x 2 m M0Mx30x0 M₁⁰x30x ② Seção S2 2 x 4 m M0Mx15x230x0 M₂⁰x15x30 ③ Seção S3 4 x 6 m M₃⁰x15x30 ④ Seção S4 6 x 8 m M0Mx15x615x6430x0 M₄⁰x120 ⑤ Seção S5 8 x 10 m M₅⁰x120 ⑥ Seção S6 10 x 12 m M0Mx15x1015x10415x10830x0 M₆⁰x15x270 ⑦ Seção S7 12 x 14 m M₇⁰x15x270 ⑧ Seção S8 14 x 16 m M0Mx15x1415x14415x14815x141230x0 M₈⁰x30x480 Sistema Virtual 1 Pelo equilíbrio sendo MA014VE160VE025 kN FV0025VA10VA075 kN FH0HA0 kN ① Seção S1 0 x 2 m M0Mx075x0 M₁¹x075x ② Seção S2 2 x 4 m M₂¹x075x ③ SEÇÃO S3 4 x 6 m M0 Mx 075x 1 x 4 0 M₃x 025x 4 ④ SEÇÃO S4 6 x 8 m ⑤ SEÇÃO S5 8 x 10 m ⑹ SEÇÃO S6 10 x 12 m ⑺ SEÇÃO S7 12 x 14 m ⑻ SEÇÃO S8 14 x 16 m Mx 025x 4 SISTEMA VIRTUAL 2 PELO EQUILÍBRIO SENDO MA0 18 VE160 VE 05 kN FV0 05 VA 10 VA 05 kN FH0 HA 0 kN ① SEÇÃO S1 0 x 2 m M0 Mx 05x 0 M¹₂x 05x ② SEÇÃO S2 2 x 4 m ③ SEÇÃO S3 4 x 6 m ④ SEÇÃO S4 6 x 8 m Mx 05x ⑸ SEÇÃO S5 8 x 10 m M0 Mx 05x 1x 8 0 M₅²x 05x 8 ⑹ SEÇÃO S6 10 x 12 m ⑺ SEÇÃO S7 12 x 14 m ⑻ SEÇÃO S8 14 x 16 m Mx 05x 8 SISTEMA VIRTUAL 3 PELO EQUILÍBRIO SENDO MA0 112 VE160 VE075 kn FV0 075 VA 10 VA025 kn FH0 HA0 KN ① SEÇÃO S1 0 x 2 m M0 Mx 025x 0 M¹₃x 025x ② SEÇÃO S2 2 x 4 m ③ SEÇÃO S3 4 x 6 m ④ SEÇÃO S4 6 x 8 m ⑤ SEÇÃO S5 8 x 10 m ⑹ SEÇÃO S6 10 x 12 m Mx 025x ⑺ SEÇÃO S7 12 x 14 m M0 Mx 025x 1 x 12 0 M³₇x 075x 12 ⑻ SEÇÃO S8 14 x 16 m M³₈x 075x 12 DESSA FORMA APLICANDO O PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS TEMOS δ₁₀ ₀² M⁰₁xM¹₁xEI dx ₂⁴ M⁰₂xM¹₂xEI dx ₄⁶ M⁰₃xM¹₃xEI dx ₆⁸ M⁰₄xM¹₄xEI dx ₈¹⁰ M⁰₅xM¹₅xEI dx ₁₀¹² M⁰₆xM¹₆xEI dx ₁₂¹⁴ M⁰₇xM¹₇xEI dx ₁₄¹⁶ M⁰₈xM¹₈xEI dx δ₁₀ 2340EI δ₂₀ ₀² M⁰₁xM²₁xEI dx ₂⁴ M⁰₂xM²₂xEI dx ₄⁶ M⁰₃xM²₃xEI dx ₆⁸ M⁰₄xM²₄xEI dx ₈¹⁰ M⁰₅xM²₅xEI dx ₁₀¹² M⁰₆xM²₆xEI dx ₁₂¹⁴ M⁰₇xM²₇xEI dx ₁₄¹⁶ M⁰₈xM²₈xEI dx δ₂₀ 3280EI δ₃₀ ₀² M⁰₁xM³₁xEI dx ₂⁴ M⁰₂xM³₂xEI dx ₄⁶ M⁰₃xM³₃xEI dx ₆⁸ M⁰₄xM³₄xEI dx ₈¹⁰ M⁰₅xM³₅xEI dx ₁₀¹² M⁰₆xM³₆xEI dx ₁₂¹⁴ M⁰₇xM³₇xEI dx ₁₄¹⁶ M⁰₈xM³₈xEI dx δ₃₀ 2340EI δ110²M1cxM1cxEIdx2⁴M2cxM2cxEIdx4⁶M3cxM3cxEIdx6⁸M4cxM4cxEIdx8¹⁰M5cxM5cxEIdx10¹²M6cxM6cxEIdx12¹⁴M7cxM7cxEIdx14¹⁶M8cxM8cxEIdx δ1148EI δ120²M1cxM2cxEI²dx2⁴M2cxM2cxEIdx4⁶M3cxM3cxEIdx6⁸M4cxM2cxEIdx8¹⁰M5cxM3cxEIdx10¹²M6cxM2cxEIdx12¹⁴M7cxM2cxEIdx14¹⁶M8cxM5cxEIdx δ125867EI δ21 δ130²M1cxM3c³xEIdx2⁴M2cxM3c³xEIdx4⁶M3cxM3c³xEIdx6⁸M4cxM3c³xEIdx8¹⁰M5cxM3c³xEIdx10¹²M6cxM3c³xEIdx12¹⁴M7cxM3c³xEIdx14¹⁶M8cxM3c³xEIdx δ133733EI δ31 δ220²M1c²xM1cxEIdx2⁴M2cxM2xEIdx4⁶M3cxM3cxEIdx6⁸M4cxM2cxEIdx8¹⁰M5cxM2cxEIdx10¹²M6cxM2cxEIdx12¹⁴M7cxM2cxEIdx14¹⁶M8cxM5cxEIdx δ228533EI δ230²M1c³xM1cxEIdx2⁴M2c²xM2c³xEIdx4⁶M3c³xM3c³xEIdx6⁸M4c³xM2c³xEIdx8¹⁰M5c³xM3c³xEIdx10¹²M6c³xM3c³xEIdx12¹⁴M7c³xM3c³xEIdx14¹⁶M8c³xM5c³xEIdx δ235867EI δ32 δ330²M3c²xM3c²xEIdx2⁴M3c³xM3c³xEIdx4⁶M3c³xM3c³xEIdx6⁸M3c³xM3c³xEIdx8¹⁰M5c³xM3c³xEIdx10¹²M6c³xM3c³xEIdx 12¹⁴M8c³xM3c³xEIdx14¹⁶M8c³xM3c³xEIdx δ3348EI Por fim aplicando o método das forças é possível calcular um sistema 3x3 e encontrar as reações de apoio δ11 δ12 δ13 δ21 δ22 δ23 δ31 δ32 δ33 X₁ X₂ X₃ δ10 δ20 δ30 Assim temos X₁Vβ1821kN X₂VC1339kN X₃Vd1821kN Sendo assim HA 15 15 15 15 15 15 15 15 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 VA 1821 1339 1821 VE 2 2 2 2 2 2 2 2 ΣMA0 152 156 1510 5141821413398182112VE16 0 VE509kN ΣFV0 VA1541821213395090 VA509kN Assim os diagramas são 51 83 67 991 DEC 991 67 83 51 964 643 964 696 696 1018 1013 DMF