Euf-prova2019-1_pt

EUF\nExame Unificado\ndas Pós-graduações em Física\nPara o primeiro semestre de 2019\n02 de outubro de 2018\nParte 1\n\nEsta prova contém questões de mecânica clássica, mecânica quântica, física moderna e termodinâmica. Todas as questões têm o mesmo peso.\n\nBoa prova! Q1. A figura abaixo mostra esquematicamente um sistema formado pelo bloco 1, de massa m_1 = 2m, conectado a uma mola de constante elástica k e massa desprezível, e pelo bloco 2, de massa m_2 = m. No instante inicial o bloco 1 está em repouso, a mola encontra-se relaxada, e o bloco 2 movimenta-se em direção ao bloco 1 com velocidade v_{2,i} = -v_0x, sendo v_0 > 0. Os dois blocos colidem elasticamente e o bloco 1 passa a oscilar após a colisão. Há atrito entre os blocos e a superfície apenas no trecho inclinado AB e o módulo da aceleração da gravidade vale g.\n\n(a) Determine, em termos de v_0, os vetores velocidade dos blocos 1 e 2 imediatamente após a colisão \\( (v_{1,f} e v_{2,f}) \\). Assuma que a mola não afeta o processo de colisão.\n\n(b) Determine a amplitude x_m do movimento oscilatório do bloco 1 após a colisão em termos de m, k e v_0.\n\n(c) Após a colisão, o bloco 2 movimenta-se em direção ao plano inclinado e atinge o repouso permanente no ponto B. Determine o coeficiente de atrito cinético µ entre o bloco 2 e o trecho inclinado AB em termos de g, v_0, a altura h e o ângulo θ.\n\n(d) Indique esquematicamente todas as forças que atuam no bloco 2 quando este finalmente encontra em repouso no ponto B.\n\nQ2. Uma barra longa e de massa desprezível movimenta-se no plano xy girando em torno do eixo z com velocidade angular constante ω, como mostrado na figura abaixo. Uma partícula de massa m pode deslizar sem atrito ao longo da barra, e sofre a ação de uma força externa \\( \mathbf{F} = m\mathbf{g} \\), sendo γ uma constante positiva.\n\n(a) Determine a energia potencial V(r) associada à força \\( \mathbf{F} \\). Considere a origem O como sendo o ponto de energia potencial nula.\n\n(b) Determine a equação do vínculo em termos das coordenadas polares, r e θ, e do tempo t. Qual é a origem física da correspondente força de vínculo?\n\n(c) Escreva a Lagrangiana da partícula em termos da coordenada r, da sua derivada temporal ṙ, e do tempo t. Em seguida, determine a correspondente equação de movimento.\n\n(d) Considere o caso em que γ = 0 e determine a solução geral da equação de movimento calculada no item (c). Em seguida, determine a componente radial r(t) da posição da partícula em função do tempo. Inicialmente, r(t = 0) = a (r(t = 0) = 0). Q3. Considere o problema quântico de uma partícula de massa m que se movimenta no plano xy dentro de uma caixa bidimensional retangular, de forma que suas coordenadas x e y estão limitadas aos intervalos 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ b (o potencial é nulo dentro da caixa e infinito fora).\n\n(a) Escreva a equação de Schrödinger independente de tempo para a função de onda da partícula.\n\n(b) Encontre as autofunções e autovalores de energia. Para isso, escreva a solução na forma \\( Ψ_{n_x,n_y}(x,y) = ψ_{n_x}(x) φ_{n_y}(y) \\), sendo n_x e n_y números quânticos pertencentes aos números naturais não nulos \\( N^* (n_x,n_y=1,2,3...) \\). Normalize as autofunções \\( Ψ_{n_x,n_y}(x,y) \\).\n\n(c) Suponha agora que no instante t = 0 a partícula encontra-se no estado dado por \\( Φ(x,y,t) = C Ψ_{11}(x,y) + D Ψ_{12}(x,y) \\), onde C e D são constantes reais. Que resultados poderiam ser obtidos em uma medida da energia da partícula nesse instante e quais as suas probabilidades?\n\n(d) O estado descrito pela função de onda do item (c) é um estado estacionário? Em caso negativo, encontre a função de onda \\( Φ(x,y,t) \\) para um instante t qualquer.\n\nQ4. Com base no gráfico abaixo representa a emitância espectral, ε(λ), de um corpo negro a uma temperatura T_i como função do comprimento de onda λ. A energia radiada por unidade de tempo por unidade de área do corpo, na faixa de comprimentos de onda entre λ e λ + dλ, é dada por ε(λ)dλ. No gráfico, ε está em nanômetros (1 nm = 10^−9 m) e a emitância espectral é dada em unidades arbitrárias.\n\n(a) Com base no gráfico, estime a temperatura T_⊥.\n\n(b) Calcule a energia total radiada por unidade de tempo e por unidade de área desse corpo negro. Expresse o resultado em W/m².\n\n(c) A partir do gráfico, calcule aproximadamente a energia radiada por unidade de tempo e por unidade de área do corpo, na faixa de comprimentos de onda entre 6000 nm e 8000 nm. Expresse o resultado em W/m².\n\n(d) Considere agora um segundo corpo negro a uma temperatura T_2 = 3T_1. Determine o comprimento de onda de máxima emitância espectral desse segundo corpo (em nm). Q5. A figura abaixo ilustra dois compartimentos separados por uma válvula. O compartimento da esquerda, de volume V0, contém 2 moles de um gás ideal na pressão P0. O compartimento da direita, de volume 4V0, está inicialmente vazio. Ao abrir a válvula, o gás sofre uma expansão livre (adiabática e sem realização de trabalho) e passa a ocupar os dois compartimentos.\n\n(a) Qual é a pressão do gás após a expansão livre?\n(b) Determine a variação da entropia do gás no processo de expansão livre.\n(c) Após a expansão livre, o gás é comprimido num processo adiabático e quase-estático até o volume inicial V0. Ao final desse processo, a pressão do gás é P = 5/2P0. O gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico?\n(d) Determine a razão Uf/Ui entre a energia interna final, Uf (após a compressão), e a inicial, Ui (antes da expansão livre). EUF\nExame Unificado\ndas Pós-graduações em Física\nPara o primeiro semestre de 2019\n03 de outubro de 2018\nParte 2\n\nEsta prova contém questões de eletromagnetismo, mecânica quântica, física moderna e mecânica estatística. Todas as questões têm o mesmo peso.\n\nBoa prova! Q6. Um disco de raio a feito de um material isolante gira em torno do seu eixo de simetria com velocidade angular ω constante. Uma espira de cobre, na forma de um setor circular de ângulo π/4 e mesmo raio a, está presa à superfície do disco como mostra a figura abaixo. A resistência elétrica da espira é R. Um campo magnético externo de módulo B, perpendicular ao disco e entrando no plano da figura, está presente na região do espaço delimitada pelos ângulos fixos θ = π/4 e θ = 3π/4.\n\n(a) Calcule o módulo da corrente elétrica induzida na espira quando esta entra ou sai da região de campo magnético.\n(b) Convencionando como positiva a corrente que circula na espira no sentido horário, faça o gráfico da corrente induzida como função do tempo para o intervalo de tempo de uma revolução do disco. Considere como instante inicial aquele ilustrado na figura.\n(c) Calcule a energia total dissipada na espira em um ciclo.\n(d) Calcule o torque da força magnética sobre a espira, com relação ao centro do disco, quando ela entra na região de campo magnético. Além do módulo, determine a direção e o sentido do vetor torque. Q8. Um sistema físico hipotético pode ter seus estados quânticos descritos em uma base ortonormal {|1⟩,|2⟩,|3⟩}. O Hamiltoniano do sistema isolado é dado por:\n\\[ \\hat{H}_0 = E_1 |1\\rangle\\langle 1| + E_2 |2\\rangle\\langle 2| + E_3 |3\\rangle\\langle 3|, \\]\nsendo E1 e E2 grandezas reais com dimensões de energia.\nNa presença de uma perturbação externa, o Hamiltoniano torna-se\n\\[ \\hat{H} = \\hat{H}_0 + W|1\\rangle(3|\\rangle + W|3\\rangle|\\] ,\nsendo que W também é uma grandeza real com dimensão de energia.\n\n(a) Escreva \\( \\hat{H} \\) em forma matricial na base {|1⟩,|2⟩,|3⟩}.\n(b) Encontre os autovalores (ε1,ε2,ε3) e os correspondentes autovetores (|ψ1⟩,|ψ2⟩,|ψ3⟩) de \\( \\hat{H} \\).\n(c) Escreva o Hamiltoniano não perturbado \\( \\hat{H}_0 \\) na base {|ψ1⟩,|ψ2⟩,|ψ3⟩}.\n(d) Como se pode observar, há degenerescência nos autovalores de energia na ausência da perturbação externa. Para quais valores não nulos de W também existe degenerescência na presença da perturbação externa? Q9. O acelerador de partículas LHC (\"Large Hadron Collider\") produz feixes de prótons com velocidades relativísticas e energias (medidas no referencial do laboratório, S) da ordem de teraelétron-volts (1,0 TeV = 1,0×1012 eV).\n(a) Um próton possui energia relativística total igual a 5,0 TeV, medida no referencial S do laboratório. Calcule a velocidade desse próton (no referencial S) considerando-se que a sua energia de repouso é igual a 1,0 GeV = 1,0×109 eV.\nDica: Como a velocidade do próton é muito próxima à velocidade da luz no vácuo, c, use v = (1 - Δ)c e encontre o valor de Δ. Lembre-se que √(1 - ε) = 1 - ε/2 se ε << 1.\n(b) Um próton A, com energia relativística total EA, colide frontalmente com outro próton B com a mesma energia e viajando em sentido contrário no referencial S. Suponha que esta colisão produza uma partícula X não vista anteriormente através da reação A + B ⇒ X. Calcule a massa de repouso da partícula X em termos de EA.\n(c) Em outro experimento, um próton C, com fator relativístico γ (medido no referencial do laboratório S) e massa de repouso m0, colide frontalmente com outro próton D inicialmente em repouso. Suponha que essa colisão produza uma partícula Y através da reação C + D ⇒ Y. Calcule a massa de repouso de Y em termos de γ e m0. Q10. Um sistema de N íons magnéticos está em contato com um reservatório térmico a uma temperatura T. Seja σi, com i = 1, 2, ..., N, a variável que representa a projeção do spin do i-ésimo íon na direção z em unidades apropriadas. A variável σi pode assumir os valores +1 ou -1. Considere que N seja um número par. O sistema é descrito pelo Hamiltoniano\n\\[ H = -J \\sum_{k=1}^{N/2} (\\sigma_{2k}-\\sigma_{2k-1}) - \\mu_b N \\sum_{i=1}^N \\sigma_i. \\]\nSegundo esse Hamiltoniano, cada íon possui momento magnético µb e está acoplado a um campo magnético externo H. Nele, vemos ainda que o primeiro íon só interage com o segundo, o terceiro só com o quarto, e assim sucessivamente, através de um acoplamento J.\n\n(a) Calcule a função de partição para o caso N = 2, ou seja, para um único par de íons. Sugestão: Determine primeiramente as energias associadas a cada um dos microestados (σ1,σ2).\n(b) Generalize sua resposta calculando a função de partição para um sistema de N íons magnéticos. Ou seja, calcule a função de partição para um sistema contendo N/2 pares de íons.\n(c) Calcule o momento magnético total médio do sistema de N íons em função dos parâmetros externos h e T, e das constantes J e µb.\n(d) Qual a relação entre o momento magnético total no limite de h → 0? Esse sistema pode representar um material ferromagnético? Justifique a sua resposta.