Calculo da deflexão máxima e dos ângulos de rotação em uma viga biapoiada submetida a carga distribuída

Questão 4 Uma viga biapoiada de aço Eaço 200 GPa com altura h 318 mm e I 165106 mm4 está submetida a uma carga distribuída q 38 kNm em um vão L 124 m Calcular a a deflexão máxima b os ângulos de rotação nos apoios Questão 5 Derive a equação da linha elástica para uma viga em balanço AB que suporta uma carga P na sua extremidade livre veja a figura Determine também a deflexão δB e a rotação θB nesta extremidade Observação utilize as equações diferenciais de segunda ordem da linha elástica Questão 6 A curva de deflexão para um simples raio AB ver figura é dada pela equação abaixo Descrever a carga atuando na viga Questão 4 Uma viga biapoiada de aço Eaço 200 GPa com altura h 318 mm e I 165106 mm4 está submetida a uma carga distribuída q 38 kNm em um vão L 124 m Calcular a a deflexão máxima b os ângulos de rotação nos apoios a a deflexão máxima Por se tratar de uma viga simples biapoiada a reação de apoio é VaVbqL 2 Temos que dV dx q Vqdx VqxC Em x0m VqL 2 qL 2 q0C CqL 2 Além disso dM dx V Mqx qL 2 dx Mq x 2 2 qLx 2 c Quando x0m M0 0q0 2 2 qL0 2 c c0 Além disso EId ²v dx ² M EIdv dx q x 2 2 qLx 2 dx EIθdv dxq x 3 6 qLx 2 4 C1 EIv q x 3 6 qLx 2 4 C1dx EIvq x 4 24 qLx 3 12 C1xC2 Quando X0 v0 EI0q0 4 24 qL0 3 12 C10C2 C20 Quando XL v0 EI0q L 4 24 qLL 3 12 C1L0 0q L 4 24 qL 4 12 C1L C1LqL 4 24 C1qL 3 24 Temos que a deflexão máxima ocorre no meio do vão ou seja xL2 EIvq x 4 24 qLx 3 12 qL 3 24 x EIv q L 2 4 24 qL L 2 3 12 qL 3 24 L 2 EIvq L 4 384 qL 4 96 qL 4 48 EIvq L 4 384 4qL 4 96 8qL 4 48 EIv5q L 4 384 20010 916510 6v538124 4 384 v0000354482m v0354482mm b os ângulos de rotação nos apoios No apoio a esquerda onde x0 EIθq x 3 6 qLx 2 4 qL 3 24 EIθq0 3 6 qL0 2 4 qL 3 24 EIθqL 3 24 20010 916510 6θ38124 3 24 θ0000091479 No apoio a direita onde xL EIθq x 3 6 qLx 2 4 qL 3 24 EIθq L 3 6 qLL 2 4 qL 3 24 EIθqL 3 24 20010 916510 6θ38124 3 24 θ0000091479 Questão 5 Derive a equação da linha elástica para uma viga em balanço AB que suporta uma carga P na sua extremidade livre veja a figura Determine também a deflexão δB e a rotação θB nesta extremidade Observação utilize as equações diferenciais de segunda ordem da linha elástica As reações de apoio são Fy0 VaP0 VaP Ma0 MaPL0 MaPL Com isso a equação do momento ao longo da viga é MPLPx Temos que EId ²v dx ² M EIdv dx PLPx dx EIθdv dxPLx Px 2 2 C1 EIvPLx Px 2 2 C1dx EIvPL x 2 2 Px 3 6 C1xC2 Quando X0 v0 EI0PL0 2 2 P0 3 6 C10C 2 C20 Quando X0 θ 0 EIθPLx Px 2 2 C1 EI0PL0 P0 2 2 C1 C10 Com isso EIvPL x 2 2 Px 3 6 A deflexão em B xL é EIvPL L 2 2 PL 3 6 EIvPL 3 2 PL 3 6 EIvPL 3 3 vPL 3 3EI A rotação em B xL é EIθPLx Px 2 2 EIθPLL PL 2 2 EIθPL 2 2 θPL 2 2EI Questão 6 A curva de deflexão para um simples raio AB ver figura é dada pela equação abaixo Descrever a carga atuando na viga v q0x 360LEI7L 410L 2x 23x 4 v q0 360LEI7L 4x10L 2x 33x 5 Temos que dv dx d dx q0 360LEI 7L 4x10L 2x 33x 5 dv dx q0 360LEI 7L 430L 2x 215x 4 d ²v dx ² d dx q0 360LEI 7L 430L 2x 215x 4 EId ²v dx ² q0 360L60L 2x60x 3 Como EId 2v d x 2 M Então M q0 360L60L 2x60x 3 Além disso VdM dx V d dx q0 360L60L 2x60x 3 V q0 360L60L 2180x 2 qdV dx q d dx q0 360L60L 2180x 2 q q0 360L360x qq0x L Esse carregamento corresponde a uma carga distribuída triangular