Relatório de cálculo de estruturas: Tensões em elementos inclinados, cálculo de deflexão máxima e carga crítica em pilar de aço

120 MPa C 450 MPa 3D 400 MPa 15D 525 MPa 7C Leia as recomendações com atenção Para as questoes 1 2 3 e 4 adote C12mpa D3mpa 1ª Questão Um elemento de uma estrutura é submetido ao estado plano de tensões indicado na figura Determinar as tensões agindo em um elemento inclinado de 15º no sentido antihorário Apresente os resultados em um esboço do elemento 50 MPa D 2ª Questão O estado de tensão em um ponto da superfície superior da asa de um avião é mostrado no elemento Determinar a as tensões principais e b a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto Especificar a orientação do elemento em cada caso 3ª Questão Um elemento no estado biaxial de tensões é submetido às tensões indicadas na figura abaixo Usando o círculo de Morh determine a as tensões agindo em um elemento inclinado de 45º no sentido antihorário em relação ao eixo x e b a tensão máxima de cisalhamento e as tensões normais associadas Apresente os resultados em um esboço do elemento O trabalho deve ser entregue como se fosse um relatório de memorial de cálculo de uma estrutura existente de preferência digitado O prazo de entrega final será às 2359 do dia 11022024 20 MPa 05C 70 MPa 05C L 4ª Questão Uma viga biapoiada de aço Eaço 200 GPa com altura h 310 D mm e I 165106 mm4 está submetida a uma carga distribuída q 30 025C kNm em um vão L 6 02C m Calcular a a deflexão máxima b os ângulos de rotação nos apoios 5ª Questão Derive a equação da linha elástica para uma viga em balanço AB que suporta uma carga P na sua extremidade livre veja a figura Determine também a deflexão δB e a rotação θB nesta extremidade Observação utilize as equações diferenciais de segunda ordem da linha elástica 6ª Questão A curva de deflexão para um simples raio AB ver figura é dada pela equação abaixo Descrevera carga atuando na viga 7ª Questão Calcular a carga crítica Pcr para um pilar de aço A 11400 mm² I1 142 x 106 mm4 e I2 483 x 106 mm4 tendo comprimento L 10 m e E 200 GPa sob as seguintes condições a o pilar flamba em torno do eixo 11 b o pilar flamba em torno do eixo 22 Em ambos os casos assumir que o pilar é birotulado nas duas direções 8ª Questão Determinar a carga distribuída máxima que pode ser aplicada à viga de modo que a barra CD não sofra flambagem A barra é uma haste de aço E 200 GPa e σys 250 MPa com diâmetro de 50 mm 9ª Questão A barra de aço AC da estrutura está acoplada por pinos nas duas extremidades Determinar o fator de segurança à flambagem em torno do eixo yy caso a carga aplicada em A seja de 15 kN Considere E 200 GPa e σys 360 MPa 1 Para este problema temos os seguintes dados 𝜎𝑥 53 𝑀𝑝𝑎 𝜎𝑦 26 𝑀𝑝𝑎 𝜏𝑥𝑦 64 𝑀𝑝𝑎 O primeiro passo é determinar a tensão média 𝜎𝑚𝑒𝑑 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑚𝑒𝑑 53 26 2 395 𝑀𝑝𝑎 Agora vamos calcular a tensão de cisalhamento máxima 𝜏𝑚á𝑥 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝑥𝑦 2 𝜏𝑚á𝑥 53 26 2 2 642 6541 𝑀𝑝𝑎 As tensões principais serão dadas por 𝜎𝑥 𝜎𝑚𝑒𝑑 𝜏𝑚á𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜎𝑦 𝜎𝑚𝑒𝑑 𝜏𝑚á𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑚á𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 Onde o 𝜃 é expressado pelo círculo de Mohr da figura abaixo Portanto as tensões principais serão 𝜎𝑥 395 6541 cos782 253 𝑀𝑝𝑎 𝜎𝑦 395 6541 cos782 1043 𝑀𝑝𝑎 𝜏𝑥𝑦 6541𝑠𝑒𝑛782 9 𝑀𝑝𝑎 Podemos representar o seguinte elemento de tensões 2 Vamos primeira calcular a tensão média 𝜎𝑚𝑒𝑑 108 2 54 𝑀𝑝𝑎 A tensão de cisalhamento máxima será 𝜏𝑚á𝑥 542 4412 44429 𝑀𝑝𝑎 Portanto as tensões principais será 𝜎1 54 44429 39029 𝑀𝑝𝑎 𝜎2 54 44429 49829 𝑀𝑝𝑎 Para calcular a orientação do elemento temos a seguinte expressão 𝑡𝑔2𝜃𝑝 2𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝑡𝑔2𝜃𝑝 2 441 108 2𝜃𝑝 𝑡𝑔18167 2𝜃𝑝2 8302 𝜃𝑝2 4151 Como a diferença entre 2𝜃𝑝1 e 2𝜃𝑝2 é de 180 temos 2𝜃𝑝1 180 2𝜃𝑝2 𝜃𝑝1 4849 3 a Calculando a tensão média 𝜎𝑚𝑒𝑑 609 355 2 127 𝑀𝑝𝑎 O raio do círculo de Mohr 𝑅 609 355 2 2 02 𝑅 482 𝑀𝑝𝑎 Temos o seguinte círculo de Mohr para este problema As tensões serão 𝜎𝑥 127 482 cos1873 32947𝑀𝑝𝑎 𝜎𝑦 127 482 cos1873 58347 𝑀𝑝𝑎 𝜏𝑥𝑦 482𝑠𝑒𝑛1873 15474 𝑀𝑝𝑎 Temos o seguinte elemento de tensões b A tensão de cisalhamento máxima é igual ao raio do círculo de Mohr 𝜏𝑀𝑎𝑥 𝑅 482 𝑀𝑝𝑎 As tensões normais associadas serão 𝜎1 127 482 609 𝑀𝑝𝑎 𝜎2 127 482 355 𝑀𝑝𝑎 As tensões obtidas são iguais as aplicadas pois não há tensão de cisalhamento aplicada ao elemento de tensão 4 Para resolver esse problema vamos utilizar a equação da linha elástica 𝐸𝐼 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑀𝑥 Para determinar a equação do momento fletor vamos utilizar função de singularidade 𝑀𝑥 𝐴𝑦 𝑥 0 1 𝑞 2 𝑥 0 2 Precisamos determinar 𝐴𝑦 aplicando o somatório dos momentos no apoio móvel 𝑀𝐵 0 33 84 42 84𝐴𝑦 0 𝐴𝑦 1386 𝑘𝑁 Substituindo na equação para o momento fletor teremos o seguinte 𝑀𝑥 1386 𝑥 0 1 165 𝑥 0 2 Integrando a equação da linha elástica a primeira vez obtemos 𝐸𝐼𝜃 693 𝑥 0 2 55 𝑥 0 3 𝐶1 Integrando a segunda vez 𝐸𝐼𝜐 231 𝑥 0 3 1375 𝑥 0 4 𝐶1𝑥 𝐶2 Para este problema temos 2 condições de contorno 𝑥 0 𝜐 0 𝑥 𝐿 𝜐 0 Aplicando a primeira condição de contorno 𝐸𝐼 0 231 0 0 3 1375 0 0 4 𝐶1 0 𝐶2 𝐶2 0 Aplicando a segunda condição de contorno 𝐸𝐼 0 231 84 0 3 1375 84 0 4 𝐶1 84 𝐶1 814968 a A deflexão máxima nesse caso acontece no centro do vão ou seja em 𝑥 𝐿2 𝐸𝐼𝜐 231 42 0 3 1375 42 0 4 814968 42 𝐸𝐼𝜐 2139291 200 109 165 106𝜐 103 2139291 103 33000𝜐 2139291 𝜐 0065 𝑚𝑚 b A rotação no apoio fixo ou seja em 𝑥 0 𝐸𝐼𝜃 693 0 0 2 55 0 0 3 814968 200 109 165 106𝜃 103 814968 103 33000𝜃 0814968 𝜃 24696 105 𝑟𝑎𝑑 A rotação no apoio móvel ou seja em 𝑥 𝐿 𝐸𝐼𝜃 693 84 0 2 55 84 0 3 814968 200 109 165 106𝜃 103 814968 103 𝜃 24696 105 𝑟𝑎𝑑 5 Primeiro vamos determinar as reações no engaste 𝐴𝑥 0 𝐴𝑦 𝑃 𝑀𝐴 𝑃𝐿 A equação para o momento fletor será 𝑀𝑥 𝑃 𝑥 0 1 𝑃𝐿 2 𝑥 0 2 Aplicando a equação da linha elástica teremos 𝐸𝐼 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑀𝑥 𝐸𝐼𝜃 𝑃𝑥 2 𝑥 0 2 𝑃𝐿𝑥 6 𝑥 0 3 𝐶1 𝐸𝐼𝜐 𝑃𝑥2 6 𝑥 0 3 𝑃𝐿𝑥2 24 𝑥 0 4 𝐶1𝑥 𝐶2 Temos as seguintes condições de contorno 𝑥 0 𝜃 0 𝑥 0 𝜐 0 Portanto ambas constantes de integração são iguais a 0 Vamos calcular a rotação e deflexão na extremidade livre da viga 𝐸𝐼𝜃 𝑃𝐿 2 𝐿 0 2 𝑃𝐿 𝐿 6 𝐿 0 3 𝐸𝐼𝜃 𝑃𝐿3 2 𝑃𝐿5 6 𝜃 𝑃𝐿3 2𝐸𝐼 1 𝐿2 3 E por fim a deflexão 𝐸𝐼𝜐 𝑃𝐿2 6 𝐿 0 3 𝑃𝐿 𝐿2 24 𝐿 0 4 𝐸𝐼𝜐 𝑃𝐿5 6 𝑃𝐿7 24 𝜐 𝑃𝐿5 6𝐸𝐼 1 𝐿2 4 6 Pela equação dada para a deflexão podemos afirmar que temos um carregamento distribuído ao longo de todo vão de intensidade 𝑞0 pois temos uma potência elevada a 4 Também foi implementado a reação do apoio fixo em A nos cálculos A reação do apoio móvel em B não foi implementado na equação pois todos os esforços naquele ponto são nulos 7 A carga crítica é dada pela seguinte expressão 𝑃𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝐼 𝐾𝐿2 Para a coluna Bi rotulada K1 a Em torno do eixo 11 𝑃𝑐𝑟 𝜋2 200 109 142 106 102 280297 𝑘𝑁 b Em torno do eixo 22 𝑃𝑐𝑟 𝜋2 200 109 483 106 102 9534 𝑘𝑁 8 Primeiro vamos determinar a carga crítica da coluna 𝑃𝑐𝑟 𝜋2 200 109 𝜋 00254 4 42 37849 𝑘𝑁 Reduzindo o carregamento distribuído a uma força concentrada e igualando a carga crítica temos 𝑃𝑐𝑟 4𝑤 𝑤 𝑃𝑐𝑟 4 37849 4 946 𝑘𝑁 𝑚 Vamos conferir se o material não irá escoar 𝜎𝑐𝑟 𝑃𝑐𝑟 𝐴 4 946 103 𝜋 00252 1927 𝑀𝑝𝑎 Como 𝜎𝑐𝑟 𝜎𝑦𝑠 a coluna não irá flambar 9 Aplicando o somatório dos momentos no ponto C 𝑀𝐶 0 8 15 8𝑠𝑒𝑛30𝐹𝐴𝐵 0 𝐹𝐴𝐵 30𝑘𝑁 Calculando a carga crítica 𝑃𝑐𝑟 𝜋2 200 109 0053 01 12 82 3213 𝑘𝑁 A tensão crítica 𝜎𝑐𝑟 3213 103 005 01 643 𝑀𝑝𝑎 Por tanto o coeficiente de segurança a flambagem 𝐶𝑆 360 643 56 9