Atividade Sinais e Sistemas

ATIVIDADE 1 Um sistema SLIT é submetido a uma entrada da forma 𝑥𝑡 𝑢𝑡 𝑢 𝑡 1 2 A resposta ao impulso do sistema é definida como ℎ𝑡 4𝑒4𝑡𝑢𝑡 Sendo assim determine 1 a resposta 𝑦𝑡 do sistema através a 1 PONTO Do uso da tabela de convolução Indique todo o procedimento que você adotar b 1 PONTO Apresente a forma de onda do sinal de saída para o caso do item a use o Geogebra ou similar para ajudar a plotar o gráfico Esse quesito só será considerado correto se a representação gráfica estiver desenhada seguindo o padrão técnico científico c 1 PONTO Do uso da análise gráfica Aqui você deverá desenhar as formas de onda e ilustrar os passosprocedimento que realizar para determinar 𝑦𝑡 d 1 PONTO Apresente a forma de onda do sinal de saída para o caso do item c use o Geogebra ou similar para a ajudar a plotar o gráfico Esse quesito só será considerado correto se a representação gráfica estiver desenhada seguindo o padrão técnico científico e 1 PONTO Se a resposta ao impulso do sistema for alterada para ℎ2𝑡 𝛿𝑡 4𝑒4𝑡𝑢𝑡 qual o novo sinal de saída 𝑦2𝑡 do sistema Apresente os procedimentoscálculos realizados Considere o mesmo sinal de entrada 𝑥𝑡 𝑢𝑡 𝑢 𝑡 1 2 Lembrese de atuar para facilitar o trabalho de análise da atividade não se limitando a indicar somente o resultado mas explicando todos os procedimentos realizados A atividade será não será considerada se estiver somente com a indicação da resposta ATIVIDADE 2 2 PONTOS Um circuito elétrico é alimentado por um sinal de tensão 𝑣𝑎𝑡 cuja forma de onda encontrase representada na Figura 1 Para a análise do circuito um discente1 da turma de Sinais e Sistemas da FCT decidiu usar a Série de Fourier na base Trigonométrica para representar o sinal Sendo assim ajude o discente com essa atividade mostrando detalhadamente todos os cálculosprocedimentos que deverão ser realizados para provar que a representação do sinal é expressa por 𝑣𝑎𝑡 1 2 18 𝑛2𝜋2 1 cos 𝑛𝜋 3 cos 𝑛𝜋103 3 𝑡 𝑛1 Figura 1 para a atividade 2 Lembrese de atuar para facilitar o trabalho de análise da atividade não se limitando a indicar somente o resultado mas explicando todos os procedimentos realizados A atividade será não será considerada se estiver somente com a indicação da resposta 1 O nome do discente é Agostinho Júnior e ele não é filho do professor Agostinho Castro ATIVIDADE 3 Usando necessariamente o resultado da atividade anterior2 encontre a Série Trigonométrica de Fourier do sinal apresentado na Figura 2 a 1 PONTO gere o sinal 𝑣𝑏𝑡 a partir do sinal 𝑣𝑎𝑡 Ou seja 𝑣𝑏𝑡 𝐴 𝑣𝑎𝐵𝑡 𝐶 𝐷 As constantes A B C e D indicam as possibilidades de o sinal 𝑣𝑏𝑡 ser gerado através de operações como deslocamento escalamento reflexão etc b 1 PONTO Escreva a Série de Fourier c 1 PONTO Escreva o sinal 𝑣𝑏𝑡 considerando os 5 primeiros termos da Série d Figura 2 para a atividade 3 Lembrese de atuar para facilitar o trabalho de análise da atividade não se limitando a indicar somente o resultado mas explicando todos os procedimentos realizados A atividade será não será considerada se estiver somente com a indicação da resposta 2 Observe que a Série está indicada no item a Portanto de você não conseguir provar a resposta anterior ainda poderá utilizála neste item PRINCIPAIS REFERÊNCIAS Lathi B P Sinais e Sistemas Lineares Tradução Gustavo Guimaraes Parma Ed 2ª Edição 2007 856 pp ISBN 8560031138 Haykin S S Veen B V Sinais e Sistemas Bookman Companhia Ed 1ª Edição 2000 668 pp ISBN 8573077417 ISBN13 9788573077414 Ziemer RE Tranter WH Fanin DR Signals and Systems Continuos and Discrete 4th Edition 1998 622 pp Prentice Hall Outras Referências Castro ALS Sinais e Sistemas Slides do Curso Disponível na área do curso no SIGAA 2025 Boa Atividade Contato Agostinho L S Castro Email agcastroufpabr Assunto FCT Sinais e Sistemas Nota sobre as figuras usadas neste documento A exceção das figuras dos problemas as fotos usadas são de Autores Desconhecidos e estão licenciadas em CC BYSANC Algumas questões foram adaptadas da literatura Atividade 3 8 de julho de 2025 Atividade 3 a Geração de vbt a partir de vat Em ambas as figuras as cristas se repetem a cada 6 ms Logo o período fundamental de vbt permanece T 6 ms As rampas de subidadescida têm a mesma incli nação do triângulo de vat portanto não há escala vertical extra além de um deslocamento de nível Vpico Vfundo 2 V 1 V 3 V exatamente a amplitude de vat Toda a forma de onda está 1 V abaixo do zero Vfundo 1 V O pico que em vat ocorre em t 0 aparece agora em t 2 ms Logo vbt é vat atrasado de t0 2 ms 2 103 s vbt A vaB t C D 1underbraceA vat 2 ms underbrace1D onde B 1 nenhum estiramento e C 2 ms Assim A 1 B 1 C 2 ms D 1 b Série trigonométrica de vbt Da Atividade 2 função par já se tem vat 12 n1 to an cosnω0 t an 18n2π2 1 cosnπ3 ω0 π3 103 rads Para qualquer sinal periódico xt t0 a02 n1 to an cosnω0 t0 cosnω0 t n1 to an sinnω0 t0 sinnω0 t Com t0 2 ms nω0 t0 n π3 103 2 103 2πn3 Adicionar uma constante 1 altera somente o termo a02 a02 12 a0b2 12 1 12 a0b 1 anb an cos2πn3 18n2π2 1 cosnπ3 cos2πn3 bnb an sin2πn3 18n2π2 1 cosnπ3 sin2πn3 Figura 1 Esboço de vbt gerado a partir de vat via atraso e deslocamento DC Portanto vbt 12 n1 to anb cosnω0 t bnb sinnω0 t ω0 π3 103 rads c Aproximação com os cinco primeiros termos Recordando que para vbt os coeficientes são anb 18n2π2 1 cosnπ3 cos2πn3 bnb 18n2π2 1 cosnπ3 sin2πn3 Vamos calcular anb e bnb para n 1 2 3 4 5 passo a passo Para n 1 cosπ3 12 1 cosπ3 12 1812π2 18π2 1898696 1823 a1b 1823 12 cos2π3 09119 12 04560 b1b 1823 12 sin2π3 09119 32 07897 Para n 2 cos2π3 12 1 cos2π3 1 12 32 1822π2 184π2 45π2 4598696 04550 a2b 04550 32 cos4π3 06825 12 03413 b2b 04550 32 sin4π3 06825 32 05917 Para n 3 cos3π3 cosπ 1 1 cosπ 2 1832π2 189π2 2π2 298696 02026 a3b 02026 2 cos2π 04053 1 04053 b3b 02026 2 sin2π 04053 0 0 Para n 4 cos4π3 12 1 cos4π3 1 12 32 1842 π2 1816 π2 1125π2 112598696 01140 a4b 01140 32 cos8π3 01710 12 00855 b4b 01140 32 sin8π3 01710 32 01481 Para n 5 cos5π3 12 1 cos5π3 1 12 12 1852 π2 1825 π2 072π2 07298696 00730 a5b 00730 12 cos10π3 00365 12 00183 mas como cos10π3 12 sin10π3 32 b5b 00730 12 32 00316 Reunindo arredondando a 4 casas decimais n anb bnb 1 04560 07897 2 03413 05917 3 04053 0 4 00855 01481 5 00183 00316 Logo a aproximação truncada é vbt 12 04560 cosω0 t 07897 sinω0 t 03413 cos2ω0 t 05917 sin2ω0 t 04053 cos3ω0 t 00855 cos4ω0 t 01481 sin4ω0 t 00183 cos5ω0 t 00316 sin5ω0 t ω0 π3 103 rads Atividade 1 Convolução de Sinais 8 de julho de 2025 1 Enunciado Seja o sistema LTI com entrada xt ut ut 12 e resposta ao impulso ht 4 e4t ut Determine a A saída yt x h usando a tabela de convolução mostrando TODO o procedimento b A forma de onda de yt gráfico com padrão técnicocientífico c A saída yt pelo método de análise gráfica desenhos e limites de integração d A forma de onda de yt obtida graficamente gráfico e Se h2t δt 4 e4t ut calcule y2t x h2 mostrando todos os passos Função degrau unitário ut 0 t 0 1 t 0 Convolução contínua x ht xτ ht τ dτ Propriedade de causalidade se ht 0 para t 0 então só há sobreposição quando 0 τ t 2 a Convolução via tabela xτ 1 0 τ 05 0 caso contrário ht τ 4 e4tτ ut τ Portanto yt xτ ht τ dτ 005 4 e4tτ ut τ dτ Como ut τ 1 só se τ t ajustamos os limites conforme t Tabela 1 Tabela de Convolução limites e integrais t τintervalo Integral t 0 nenhuma sobreposição yt 0 0 t 05 0 τ t 0t 4 e4tτ dτ t 05 0 τ 05 005 4 e4tτ dτ Para um limite genérico a 0a 4 e4tτ dτ 4 e4t 0a e4τ dτ 4 e4t 14 e4τ0a e4t e4a 1 Para 0 t 05 a t yt e4t e4t 1 1 e4t Para t 05 a 05 yt e4t e405 1 e2 1 e4t yt 0 t 0 1 e4t 0 t 05 e2 1 e4t t 05 3 b Forma de onda de yt Figura 1 Forma de onda de yt 4 c Análise gráfica 1 xτ pulso unitário de altura 1 em τ 0 05 2 ht τ 4e4tτ ut τ para cada t a exponencial começa em τ t 3 Para cada região de t 0 t 05 área de τ 0 até τ t yt ₀ᵗ 4e4tτ dτ t 05 área de τ 0 até τ 05 yt ₀⁰⁵ 4e4tτ dτ 4 Os cálculos dessas integrais são idênticos aos do item a 5 1d Forma de onda via análise gráfica Neste método ao invés de computar diretamente a integral fazemos o deslize timereversal e shift de hτ sobre xt τ e calculamos geometricamente a área de sobreposição 1 xτ É um pulso de altura unitária ativo apenas em τ 0 05 2 ht τ Para cada valor de t desenho a curva ht τ 4 e4tτ ut τ que é zero para τ t e cresce exponencialmente para trás em direção a τ A sobreposição não é vazia apenas quando o pulso e a cauda exponencial se cruzam 0 τ 05 τ t Logo há três regiões t 0 não há sobreposição yt 0 0 t 05 sobreposição de τ 0 até τ t t 05 sobreposição de τ 0 até τ 05 Em cada região a área sob a curva 4e4tτ entre os limites encontrados é exatamente a mesma integral do item a yt 0 t 0 ₀ᵗ 4e4tτ dτ 1 e4t 0 t 05 ₀⁰⁵ 4e4tτ dτ e² 1 e4t t 05 A curva resultantecom linhas tracejadas nos limites t 0 e t 05 coincide ponto a ponto com o gráfico do item 1b 6 e Novo sistema h₂t Agora suponha que a resposta ao impulso seja h₂t δt 4 e4t ut Queremos calcular y₂t x h₂t Pela linearidade da convolução y₂t x δ 4 e4t ut x δt 4 x e4t utt Mas x δt xt 4 x e4t utt yt onde yt é a saída que já calculamos no item 1a Logo y₂t xt yt Substituindo o xt e o yt piecewise xt 0 t 0 1 0 t 05 0 t 05 yt 0 t 0 1 e4t 0 t 05 e² 1 e4t t 05 Portanto y₂t 0 0 0 t 0 1 1 e4t e4t 0 t 05 0 e² 1 e4t e² 1 e4t t 05 Em 0 t 05 o sistema age como um filtro exponencial puro gerando e4t Em t 05 a saída inverte a forma exponencial já que o termo delta não contribui fora de t 0 Graficamente obteríamos um decaimento que parte de 1 em t 0 até cruzar por valor negativo após t 05 Atividade 2 8 de julho de 2025 Atividade 2 Série de Fourier na base trigonométrica O período fundamental é T 6 ms 6 103 s em cada período há apenas um pulso triangular de base 2 ms centrado em t 0 a amplitude de pico é 3 V o sinal é par vat vat Com esses dados provaremos que vat frac12 sumn1infty frac18n2 pi2 left 1 cosfracn pi3 right cos left fracn pi3 103 t right Trabalharemos no intervalo left fracT2 fracT2right 3 ms 3 ms Dentro dele o pulso triangular ocupa t leq 1 ms vatbegincases 3 left 1fract1 ms right t leq 1 ms 0 1 ms t leq 3 ms endcases Para um sinal par vat fraca02 sumn1infty an cos n omega0 t bn0 com omega0 frac2 piT fracpi3 imes 103 ext rads a0frac2T int0T2 vat dt an frac2T int0T2 vat cos n omega0 t dt Como vat0 para 1 ms t leq 3 ms basta integrar até 1 ms a0 frac2T int01 ms 3 left 1fract1 msright dt frac26 ms 3 left tfract221 ms right 01 ms frac13 ms 3 left 05 ms right 1 Portanto boxedfraca02 frac12 an frac2T int01 ms 3 left 1fract1 ms right cos n omega0 t dt frac6T int01 ms left 1fract1 ms right cos n omega0 t dt Para clareza defina a1 ms alpha n omega0 n fracpi3 imes 103 ext rads Precisamos da integral genérica Ialpha int0a left 1fracta right cosalpha t dt Integração direta Ialpha int0a cosalpha t dt frac1a int0a t cosalpha t dt leftfracsinalpha talpharight0a frac1a left fract sinalpha talpha fraccosalpha talpha2 right 0a fracsinalpha aalpha frac1a left fraca sinalpha aalpha fraccosalpha a1alpha2 right fracsinalpha aalpha fracsinalpha aalpha fraccosalpha a1a alpha2 frac1cosalpha aa alpha2 No nosso caso alpha a n omega0 a npi3 em rad Logo Ialpha frac1cosn pi 3a alpha2 frac1cosn pi 31 ms leftn2pi32 106right frac9 left 1cosn pi 3 right n2 pi2 1 ms Finalmente an frac6T Ialpha frac66 ms frac9 left 1cosn pi 3 right n2 pi2 1 ms boxedfrac18n2 pi2 left 1 cos left fracn pi3 right right quad n12ldots Como vat é par bn frac2T int0T vat sinn omega0 t dt 0 boxedvat frac12 sumn1infty frac18n2 pi2 left 1 cos left fracn pi3 right right cos left fracn pi3 103 t right A convergência é uniforme em todos os pontos onde vat é contínuo nas extremidades da base triangular ocorre convergência para frac12 left vat vat right 0 fenômeno de Gibbs não aparece por ser ponta de flecha nula Para reconstituir numericamente o sinal basta somar termos até n approx 30 o erro máximo cai proporcionalmente a 1n2