Lista 1 - Sinais e Sistemas

5 ATIVIDADE 1 Considere a Figura 1 e analise o sistema para indicar a 1 ponto A forma de onda de 𝑥𝑡 e a representação matemática de 𝑥𝑡 b 1 ponto A forma de onda e a representação matemática do sinal no ponto A c 1 ponto A forma de onda e a representação matemática do sinal no ponto B d 1 ponto A forma de onda e a representação matemática do sinal no ponto C e 1 ponto A forma de onda e a representação matemática do sinal no ponto D f 1 ponto A forma de onda e a representação matemática do sinal 𝑦𝑡 g 2 pontos A energia de 𝑥𝑡 e de 𝑦𝑡 Figura 1 para a atividade 1 Lembrese de atuar para facilitar o trabalho de análise da atividade não se limitando a indicar somente o resultado mas explicando todos os procedimentos realizados A atividade será não será considerada se estiver somente com a indicação da resposta 6 ATIVIDADE 2 2 pontos Você foi chamado para projetar um sistema tal como apresentado na Figura 2 Sendo assim a partir do sinal 𝑥𝑡 gere o sinal 𝑦𝑡 definindo quais operações deverão ser realizadas em 𝑥𝑡 para produzir 𝑦𝑡 tal que 𝑦𝑡 𝑥𝑎𝑡 𝑏 𝑥𝑘𝑡 𝑚 𝑥𝑞𝑡 𝑧 Figura 2 para a atividade 2 Lembrese de atuar para facilitar o trabalho de análise da atividade não se limitando a indicar somente o resultado mas explicando todos os procedimentos realizados A atividade será não será considerada se estiver somente com a indicação da resposta 7 PRINCIPAIS REFERÊNCIAS Lathi B P Sinais e Sistemas Lineares Tradução Gustavo Guimaraes Parma Ed 2ª Edição 2007 856 pp ISBN 8560031138 Haykin S S Veen B V Sinais e Sistemas Bookman Companhia Ed 1ª Edição 2000 668 pp ISBN 8573077417 ISBN13 9788573077414 Ziemer RE Tranter WH Fanin DR Signals and Systems Continuos and Discrete 4th Edition 1998 622 pp Prentice Hall Outras Referências Castro ALS Sinais e Sistemas Slides do Curos Disponível na área do curso no SIGAA 2025 8 Boa Atividade Contato Agostinho L S Castro Email agcastroufpabr Assunto FCT Sinais e Sistemas Nota sobre as figuras usadas neste documento A exceção das figuras dos problemas as fotos usadas são de Autores Desconhecidos e estão licenciadas em CC BYSANC Algumas questões foram adaptadas da literatura 1 Considere a figura 1 e analise o sistema para indicar a A forma de onda de xt e a representação matemática de x t É possível determinar o sinal x t de duas formas desenhando a forma de onda de cada parte e as unindo no final ou a partir de suas formas matemáticas Pelo gráfico temse Pela forma matemática temse Aut 0t 0 At 0 Aut10 0t10 A t 10 x t Au t A u t10 x t A u t u t10 00t0 A00t10 AAt 10 x t A u t u t10 0t0 A 0t 10 0t 10 b A forma de onda e a representação matemática do sinal no ponto A O sinal em A é dado pela componente par do sinal portanto Ax tx t 2 Substituindo na equação temse As Au t u t10A u t u t10 2 As Au t u t Au t10u t10 2 As A 2 A 2 u t10 A 2 u t10 Os sinais são dados por A 2 A2t10 A210t0 A20t10 A2t 10 A 2 u t10 0t 10 010t0 00t 10 A2t 10 A 2 u t10 A2t10 010t0 00t 10 0t 10 Realizando a operação com os sinais AS A 2 0 A 2 t 10 A 2 00 10t 0 A 2 000t10 A 2 A 2 0t 10 AS 0t10 A 2 10t0 A 2 0t 10 0t 10 As A 2 u t10 A 2 u t10 Pela forma gráfica temse c A forma de onda e a representação matemática do sinal no ponto B O sinal em B é dado pela componente ímpar do sinal portanto B x t x t 2 Substituindo na equação temse Bs A u t u t10 A u t u t10 2 Bs A 2 u t u t10 A 2 u t u t10 Os sinais são dados por A 2 u tu t10 0t 10 A210t 0 00t 10 0t 10 A 2 u tu t10 0t 10 010t 0 A20t 10 0t 10 Realizando a operação com os sinais Bs 0t10 A210t 0 00t10 0t 10 0t10 010t0 A20t10 0t 10 Bs 0t 10 A210t 0 A20t10 0t 10 Bs A 2 u t 10Au t A 2 u t10 Pela forma gráfica temse d A forma de onda e a representação matemática do sinal no ponto C Para determinar C temse CsAs Bs Cs 0t10 A210t0 A20t 10 0t 10 0t10 A210t0 A20t 10 0t 10 Cs 0t10 A 2 410t0 A 2 40t 10 0t 10 Cs A 2 4 u t10 A 2 2 u t A 2 4 ut10 Pelo gráfico temse e A forma de onda e a representação matemática do sinal no ponto D Para determinar D temse DsBs As Ds 0t 10 A210t0 A20t10 0t 10 0t 10 A210t0 A20t10 0t 10 Ds 0 t 10 A 24 10t 0 A 240t10 0t 10 Ds A 2 4 u t10 A 2 2 u t A 2 4 u t10 Pelo gráfico temse f A forma de onda e a representação matemática do sinal y t y tCD Como os sinais C e D são iguais y t2C y t2 0t10 A 2410t 0 A 240t 10 0t 10 y t 0t10 A 2210t 0 A 220t10 0t 10 y t A 2 2 u t10A 2u t A 2 2 u t10 Pelo gráfico temse g A energia de x t e de y t Para calcular a energia em um sinal Devese encontrar a integral do módulo do sinal ao quadrado Dessa forma temse Ex t 0 10 A 2dt Ex t A 2t10 0 A 2100 Ex t 10 A 2 E yt 10 0 A 2 2 2 dt 0 10 A 2 2 2 dt E yt 10 0 A 4 4 dt 0 10 A 4 4 dt E yt A 4 4 0 10 A 4 4 10 0 E yt A 4 4 010 A 4 4 100 E yt 5 A 4 2 5 A 4 2 E yt 5 A 4 2 Você foi chamado para projetar um sistema tal como apresentado na Figura 2 Sendo assim a partir do sinal x t gere o sinal y t definindo quais operações deverão ser realizadas em x t para produzir y t tal que y tx at b x kt mx qt z Pelo desenho temse que x t u t u t1 y tu tut1 u t2u t4 u t5 u t55 y tx at b x k tm x qt z Notase que os sinais possuem um deslocamento em relação ao zero e possuem uma amplificação em t A primeira parte é exatamente igual a xt portanto a1b0 A segunda parte deslocase de 2 e amplificase 2 x ktmx 1 2 t2 x ktmx 1 2 t1 Logo k1 2 e m1 A terceira parte deslocase de 5 e amplificase de 12 x qtz x 1 12 t5 x qtz x 2 t5 x qtz x 2t10 Logo q2 e z10 Código SCILAB clear Limpa as variáveis clc Limpa a janela de comandos clf Limpa as janelas gráficas fgcf Manipulador da figura function yimpx Função impulso yzeros 1lengthx yfindx01 endfunction function ydegx Função degrau yzeros1lengthx yfindx01 endfunction n50120 n para yn u0degndegn1 Sinal 1 u1deg12n2deg12n21 Sinal 2 u2deg2n5deg2n51 Sinal 3 uTu0u1u2 Soma dos sinais subplot411 subplot 1 plot2d3nu0 style2 plot discreto com cor azul fchildrenchildren1childrenthickness2linha grossura 2 titlex1n xlabeln ylabelamplitude subplot412 subplot 1 plot2d3nu1 style2 plot discreto com cor azul fchildrenchildren1childrenthickness2linha grossura 2 titlex2n xlabeln ylabelamplitude subplot413 subplot 1 plot2d3nu2 style2 plot discreto com cor azul fchildrenchildren1childrenthickness2linha grossura 2 titlex3n xlabeln ylabelamplitude subplot414 subplot 1 plot2d3nuT style2 plot discreto com cor azul fchildrenchildren1childrenthickness2linha grossura 2 titleyn xlabeln ylabelamplitude x1n amplitude n x2n amplitude n x3n amplitude n yn amplitude n 1 Considere a figura 1 e analise o sistema para indicar a A forma de onda de 𝒙𝒕 e a representação matemática de 𝒙𝒕 É possível determinar o sinal 𝑥𝑡 de duas formas desenhando a forma de onda de cada parte e as unindo no final ou a partir de suas formas matemáticas Pelo gráfico temse Pela forma matemática temse 𝐴 𝑢𝑡 0 𝑡 0 𝐴 𝑡 0 𝐴 𝑢𝑡 10 0 𝑡 10 𝐴 𝑡 10 𝑥𝑡 𝐴 𝑢𝑡 𝐴 𝑢𝑡 10 𝑥𝑡 𝐴 𝑢𝑡 𝑢𝑡 10 0 0 𝑡 0 𝐴 0 0 𝑡 10 𝐴 𝐴 𝑡 10 𝑥𝑡 𝐴 𝑢𝑡 𝑢𝑡 10 0 𝑡 0 𝐴 0 𝑡 10 0 𝑡 10 b A forma de onda e a representação matemática do sinal no ponto A O sinal em A é dado pela componente par do sinal portanto 𝐴 𝑥𝑡 𝑥𝑡 2 Substituindo na equação temse 𝐴𝑠 𝐴 𝑢𝑡 𝑢𝑡 10 𝐴 𝑢𝑡 𝑢𝑡 10 2 𝐴𝑠 𝐴 𝑢𝑡 𝑢𝑡 𝐴 𝑢𝑡 10 𝑢𝑡 10 2 𝐴𝑠 𝐴 2 𝐴 2 𝑢𝑡 10 𝐴 2 𝑢𝑡 10 Os sinais são dados por 𝐴 2 𝐴2 𝑡 10 𝐴2 10 𝑡 0 𝐴2 0 𝑡 10 𝐴2 𝑡 10 𝐴 2 𝑢𝑡 10 0 𝑡 10 0 10 𝑡 0 0 0 𝑡 10 𝐴2 𝑡 10 𝐴 2 𝑢𝑡 10 𝐴2 𝑡 10 0 10 𝑡 0 0 0 𝑡 10 0 𝑡 10 Realizando a operação com os sinais 𝐴𝑆 𝐴 2 0 𝐴 2 𝑡 10 𝐴 2 0 0 10 𝑡 0 𝐴 2 0 0 0 𝑡 10 𝐴 2 𝐴 2 0 𝑡 10 𝐴𝑆 0 𝑡 10 𝐴 2 10 𝑡 0 𝐴 2 0 𝑡 10 0 𝑡 10 𝐴𝑠 𝐴 2 𝑢𝑡 10 𝐴 2 𝑢𝑡 10 Pela forma gráfica temse c A forma de onda e a representação matemática do sinal no ponto B O sinal em B é dado pela componente ímpar do sinal portanto 𝐵 𝑥𝑡 𝑥𝑡 2 Substituindo na equação temse 𝐵𝑠 𝐴 𝑢𝑡 𝑢𝑡 10 𝐴 𝑢𝑡 𝑢𝑡 10 2 𝐵𝑠 𝐴 2 𝑢𝑡 𝑢𝑡 10 𝐴 2 𝑢𝑡 𝑢𝑡 10 Os sinais são dados por 𝐴 2 𝑢𝑡 𝑢𝑡 10 0 𝑡 10 𝐴2 10 𝑡 0 0 0 𝑡 10 0 𝑡 10 𝐴 2 𝑢𝑡 𝑢𝑡 10 0 𝑡 10 0 10 𝑡 0 𝐴2 0 𝑡 10 0 𝑡 10 Realizando a operação com os sinais 𝐵𝑠 0 𝑡 10 𝐴2 10 𝑡 0 0 0 𝑡 10 0 𝑡 10 0 𝑡 10 0 10 𝑡 0 𝐴2 0 𝑡 10 0 𝑡 10 𝐵𝑠 0 𝑡 10 𝐴2 10 𝑡 0 𝐴2 0 𝑡 10 0 𝑡 10 𝐵𝑠 𝐴 2 𝑢𝑡 10 𝐴𝑢𝑡 𝐴 2 𝑢𝑡 10 Pela forma gráfica temse d A forma de onda e a representação matemática do sinal no ponto C Para determinar 𝐶 temse 𝐶𝑠 𝐴𝑠 𝐵𝑠 𝐶𝑠 0 𝑡 10 𝐴2 10 𝑡 0 𝐴2 0 𝑡 10 0 𝑡 10 0 𝑡 10 𝐴2 10 𝑡 0 𝐴2 0 𝑡 10 0 𝑡 10 𝐶𝑠 0 𝑡 10 𝐴24 10 𝑡 0 𝐴24 0 𝑡 10 0 𝑡 10 𝐶𝑠 𝐴2 4 𝑢𝑡 10 𝐴2 2 𝑢𝑡 𝐴2 4 𝑢𝑡 10 Pelo gráfico temse e A forma de onda e a representação matemática do sinal no ponto D Para determinar 𝐷 temse 𝐷𝑠 𝐵𝑠 𝐴𝑠 𝐷𝑠 0 𝑡 10 𝐴2 10 𝑡 0 𝐴2 0 𝑡 10 0 𝑡 10 0 𝑡 10 𝐴2 10 𝑡 0 𝐴2 0 𝑡 10 0 𝑡 10 𝐷𝑠 0 𝑡 10 𝐴24 10 𝑡 0 𝐴24 0 𝑡 10 0 𝑡 10 𝐷𝑠 𝐴2 4 𝑢𝑡 10 𝐴2 2 𝑢𝑡 𝐴2 4 𝑢𝑡 10 Pelo gráfico temse f A forma de onda e a representação matemática do sinal 𝒚𝒕 𝑦𝑡 𝐶 𝐷 Como os sinais C e D são iguais 𝑦𝑡 2 𝐶 𝑦𝑡 2 0 𝑡 10 𝐴24 10 𝑡 0 𝐴24 0 𝑡 10 0 𝑡 10 𝑦𝑡 0 𝑡 10 𝐴22 10 𝑡 0 𝐴22 0 𝑡 10 0 𝑡 10 𝑦𝑡 𝐴2 2 𝑢𝑡 10 𝐴2𝑢𝑡 𝐴2 2 𝑢𝑡 10 Pelo gráfico temse g A energia de 𝒙𝒕 e de 𝒚𝒕 Para calcular a energia em um sinal Devese encontrar a integral do módulo do sinal ao quadrado Dessa forma temse 𝐸𝑥𝑡 𝐴2𝑑𝑡 10 0 𝐸𝑥𝑡 𝐴2𝑡10 0 𝐴210 0 𝐸𝑥𝑡 10𝐴2 𝐸𝑦𝑡 𝐴2 2 2 𝑑𝑡 0 10 𝐴2 2 2 𝑑𝑡 10 0 𝐸𝑦𝑡 𝐴4 4 𝑑𝑡 0 10 𝐴4 4 𝑑𝑡 10 0 𝐸𝑦𝑡 𝐴4 4 0 10 𝐴4 4 10 0 𝐸𝑦𝑡 𝐴4 4 0 10 𝐴4 4 10 0 𝐸𝑦𝑡 5𝐴4 2 5𝐴4 2 𝐸𝑦𝑡 5𝐴4 2 Você foi chamado para projetar um sistema tal como apresentado na Figura 2 Sendo assim a partir do sinal 𝒙𝒕 gere o sinal 𝒚𝒕 definindo quais operações deverão ser realizadas em 𝒙𝒕 para produzir 𝒚𝒕 tal que 𝑦𝑡 𝑥𝑎𝑡 𝑏 𝑥𝑘𝑡 𝑚 𝑥𝑞𝑡 𝑧 Pelo desenho temse que 𝑥𝑡 𝑢𝑡 𝑢𝑡 1 𝑦𝑡 𝑢𝑡 𝑢𝑡 1 𝑢𝑡 2 𝑢𝑡 4 𝑢𝑡 5 𝑢𝑡 55 𝑦𝑡 𝑥𝑎𝑡 𝑏 𝑥𝑘𝑡 𝑚 𝑥𝑞𝑡 𝑧 Notase que os sinais possuem um deslocamento em relação ao zero e possuem uma amplificação em t A primeira parte é exatamente igual a 𝑥𝑡 portanto 𝑎 1 𝑏 0 A segunda parte deslocase de 2 e amplificase 2 𝑥𝑘𝑡 𝑚 𝑥 1 2 𝑡 2 𝑥𝑘𝑡 𝑚 𝑥 1 2 𝑡 1 Logo 𝑘 1 2 e 𝑚 1 A terceira parte deslocase de 5 e amplificase de 12 𝑥𝑞𝑡 𝑧 𝑥 1 12 𝑡 5 𝑥𝑞𝑡 𝑧 𝑥2𝑡 5 𝑥𝑞𝑡 𝑧 𝑥2𝑡 10 Logo 𝑞 2 e 𝑧 10 Código SCILAB clear Limpa as variáveis clc Limpa a janela de comandos clf Limpa as janelas gráficas fgcf Manipulador da figura function yimpx Função impulso yzeros 1lengthx yfindx01 endfunction function ydegx Função degrau yzeros1lengthx yfindx01 endfunction n50120 n para yn u0degndegn1 Sinal 1 u1deg12n2deg12n21 Sinal 2 u2deg2n5deg2n51 Sinal 3 uTu0u1u2 Soma dos sinais subplot411 subplot 1 plot2d3nu0 style2 plot discreto com cor azul fchildrenchildren1childrenthickness2linha grossura 2 titlex1n xlabeln ylabelamplitude subplot412 subplot 1 plot2d3nu1 style2 plot discreto com cor azul fchildrenchildren1childrenthickness2linha grossura 2 titlex2n xlabeln ylabelamplitude subplot413 subplot 1 plot2d3nu2 style2 plot discreto com cor azul fchildrenchildren1childrenthickness2linha grossura 2 titlex3n xlabeln ylabelamplitude subplot414 subplot 1 plot2d3nuT style2 plot discreto com cor azul fchildrenchildren1childrenthickness2linha grossura 2 titleyn xlabeln ylabelamplitude x1n amplitude n x2n amplitude n x3n amplitude n yn amplitude n