Atividade 4 da 1a Avaliacao Bimestral-2023-2

Valor = 2,5 na nota do 1º bimestre Forma de entrega = em dupla pelo teams (cálculos a mão + formas de onda da simulação + medição dos resultados da simulação) 1. Assuma que o sistema mostrado na figura abaixo é equilibrado, Rw = 0 , Van = 1270o V, e trabalha com sequência de fase positiva. Determine as correntes de fase e de linha, e todas as tensões de fase e de linha, se Zp é igual a 50 + j36. 2. Repita o exercício 1 com Rw = 10  e simule o circuito no LTSpice para conferir as respostas, usando uma frequência de operação de 60 Hz. 3. Um sistema trifásico é construído a partir de uma fonte balanceada conectada em Y, operando em 60 Hz, e com uma tensão de linha de 220 V. Cada uma das fases da carga em Y balanceada consome 200 W com um fator de potência adiantado de 0,9. (a) Calcule a corrente de linha e a potência aparente total fornecida para a carga. (b) se uma carga puramente resistiva de 1  é ligada em paralelo com cada carga existente, calcule a nova corrente de linha e a potência aparente total fornecida para a carga. (c) Verifique suas respostas com simulações apropriadas no LTSpice. 4. Cada carga do circuito da figura do exercício 1 é composta por um indutor de 2,5 H em paralelo com um circuito série composto por um capacitor de 100 µF e um resistor de 1 k. A resistência Rw = 5 . Utilizando uma sequência de fase positiva com Vab = 2200o V em f = 60 Hz, determine a corrente de linha rms e a potência aparente total fornecida para a carga. Verifique suas respostas com simulações apropriadas no LTSpice. Questão 1 Assuma que o sistema mostrado na figura abaixo é equilibrado, 𝑅𝑤 = 0Ω, 𝑉𝑎𝑛 = 127∠0° 𝑉 e trabalha com sequência de fase positiva. Determine as correntes de fase e de linha, e todas as tensões de fase e de linha, se 𝑍𝑝 é igual a 50 + 𝑗36. Resposta: Como o sistema é um Y-Y equilibrado, pode-se assumir que o neutro da fonte é igual ao neutro da carga, ou seja 𝑛 = 𝑁. Desta forma, cada circuito monofásico é dado como: Onde 𝑉𝑓 é a tensão de fase. As tensões de fase para a sequência positiva são: 𝑉𝑎𝑛 = 127∠0° 𝑉𝑏𝑛 = 𝑉𝑎𝑛 ∙ 1∠ − 120° 𝑉𝑏𝑛 = 127∠ − 120° 𝑉𝑐𝑛 = 𝑉𝑎𝑛 ∙ 1∠120° 𝑉𝑐𝑛 = 127∠120° As tensões de linha são obtidas multiplicando a tensão de fase por √3 e somando 30° a sua fase: 𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎𝑛 ∙ √3∠30° 𝑉𝑎𝑏 = 127∠0° ∙ √3∠30° 𝑉𝑎𝑏 = 220∠30° 𝑉𝑏𝑐 = 𝑉𝑏𝑛 ∙ √3∠30° 𝑉𝑏𝑐 = 127∠ − 120° ∙ √3∠30° 𝑉𝑏𝑐 = 220∠ − 90° 𝑉𝑐𝑎 = 𝑉𝑐𝑛 ∙ √3∠30° 𝑉𝑐𝑎 = 127∠120° ∙ √3∠30° 𝑉𝑐𝑎 = 220∠150° A impedância total dada por 𝑍𝑇 = 𝑅𝑤 + 𝑍𝑝 pode ser escrita na forma fasorial como: 𝑍𝑇 = 0 + 50 + 𝑗36 = 50 + 𝑗36 |𝑍𝑇| = √502 + 362 = 61,6117 ∠𝑍𝑇 = 𝑡𝑔−1 (36 50) = 35,754° 𝑍𝑇 = 61,6117∠35,754° Ω Na ligação Y, a corrente de linha é igual a corrente de fase, estas sendo obtidas como a corrente que circula o circuito monofásico. 𝐼𝑓 = 𝑉𝑓 𝑍𝑇 𝐼𝑎𝑛 = 𝐼𝑎𝑏 𝐼𝑎𝑛 = 𝑉𝑎 𝑍𝑇 𝐼𝑎𝑛 = 127∠0° 61,6117∠35,754° 𝐼𝑎𝑛 = 2,06∠ − 35,754° 𝐴 𝐼𝑏𝑛 = 𝐼𝑏𝑐 𝐼𝑏𝑛 = 𝑉𝑏 𝑍𝑇 𝐼𝑏𝑛 = 127∠ − 120° 61,6117∠35,754° 𝐼𝑏𝑛 = 2,06∠ − 155,754° 𝐴 𝐼𝑐𝑛 = 𝐼𝑐𝑎 𝐼𝑐𝑛 = 𝑉𝑐 𝑍𝑇 𝐼𝑐𝑛 = 127∠120° 61,6117∠35,754° 𝐼𝑐𝑛 = 2,06∠84,246° 𝐴 Para simular o circuito, a impedância possui uma parte real dada por uma resistência e uma parte imaginária positiva dada por um indutor, temos então: 𝑍𝑇 = 𝑅 + 𝑗𝑋𝐿 𝑅 = 50Ω 𝑋𝐿 = 36Ω 𝑋𝐿 = 𝜔𝐿 Para uma frequência de 60 Hz: 𝐿 = 𝑋𝐿 𝜔 𝐿 = 36 2𝜋 ∙ 60 𝐿 = 0,0955𝐻 Como a frequência é de 60Hz, para apresentar 3 períodos de cada sinal temos que o tempo de simulação deve ser: 3𝑇 = 3 𝑓 3𝑇 = 3 60 3𝑇 = 1 20 3𝑇 = 50𝑚𝑠 A fonte de tensão possui valor de pico dado por: 𝑉𝑝 = √2 ∙ 𝑉𝑓 = √2 ∙ 127 𝑉𝑝 = 179,63𝑉 A simulação então é feita com o seguinte circuito: A medição das tensões pode ser vista a seguir, apresentando o valor RMS de 𝑉𝑎 e em seguida o valor 𝑅𝑀𝑆 de 𝑉𝑎𝑏: É possível notar que as tensões de fase estão em 127V e as tensões de linha em 220V, as tensões de linha estão adiantadas 30° em relação as tensões de fase. 𝜙 = 1,3970149𝑚 ∙ 60 ∙ 360 = 30,17° Junto ao gráfico das correntes, foi plotado a tensão 𝑉𝑎 por possuir ângulo 0° e assim poder ser um bom comparativo. É importante notar que a corrente possui amplitude 2A aproximadamente e a diferença de tempo entre o pico de 𝑉𝑎 e 𝐼𝑎 é de −1,6568779𝑚𝑠 como pode ser visto abaixo: De tal forma, que a diferença de fase é dada por: 𝜙 = −1,6568779𝑚 ∙ 𝑓 ∙ 360° 𝜙 = −1,6568779 ∙ 21,6° 𝜙 = −35,789° Questão 2 Repita o exercício 1 com 𝑅𝑤 = 10Ω e simule o circuito no LTSpice para conferir as respostas, usando uma frequência de operação de 60 Hz. Resposta: Como o circuito se mantem, as tensões de fase e de linha são as mesmas: 𝑉𝑎𝑛 = 127∠0° 𝑉𝑏𝑛 = 127∠ − 120° 𝑉𝑐𝑛 = 127∠120° 𝑉𝑎𝑏 = 220∠30° 𝑉𝑏𝑐 = 220∠ − 90° 𝑉𝑐𝑎 = 220∠150° A impedância total dada por 𝑍𝑇 = 𝑅𝑤 + 𝑍𝑝 pode ser escrita na forma fasorial como: 𝑍𝑇 = 10 + 50 + 𝑗36 = 60 + 𝑗36 |𝑍𝑇| = √602 + 362 = 70Ω ∠𝑍𝑇 = 𝑡𝑔−1 (36 60) = 30,96° 𝑍𝑇 = 70∠30,96° Ω Na ligação Y, a corrente de linha é igual a corrente de fase, estas sendo obtidas como a corrente que circula o circuito monofásico. 𝐼𝑓 = 𝑉𝑓 𝑍𝑇 𝐼𝑎𝑛 = 𝐼𝑎𝑏 = 𝑉𝑎 𝑍𝑇 𝐼𝑎𝑛 = 127∠0° 70∠30,96° 𝐼𝑎𝑛 = 1,814∠ − 30,96° 𝐴 𝐼𝑏𝑛 = 127∠ − 120° 70∠30,96° 𝐼𝑏𝑛 = 1,814∠ − 150,96° 𝐴 𝐼𝑐𝑛 = 127∠120° 70∠30,96° 𝐼𝑐𝑛 = 1,814∠89,04° 𝐴 O circuito então fica: As tensões permanecem iguais, como pode ser visto a seguir: As correntes possuem amplitude próxima a 1,82A como calculado e a diferença de fase entre a tensão e a corrente é calculada pela diferença entre os tempos de pico. 𝜙 = −1,4315068𝑚 ∙ 60 ∙ 360 𝜙 = −30,92° Os valores de tensão corrente e fase estão de acordo com os calculados. Questão 3 Um sistema trifásico é construído a partir de uma fonte balanceada conectada em Y, operando em 60 Hz, e com uma tensão de linha de 220 V. Cada uma das fases da carga em Y balanceada consome 200 W com um fator de potência adiantado de 0,9. a) Calcule a corrente de linha e a potência aparente total fornecida para a carga. b) Se uma carga puramente resistiva de 1Ω é ligada em paralelo com cada carga existente, calcule a nova corrente de linha e a potência aparente total fornecida para a carga. (c) Verifique suas respostas com simulações apropriadas no LTSpice. Respostas: a) 𝑉𝐿 = 220𝑉 𝑃1𝜙 = 200𝑊 𝑓𝑝 = 0,9 𝜙 = − cos−1(𝑓𝑝) = cos−1(0,9) 𝜙 = −25,842° 𝑆1𝜙 = 𝑃 𝑓𝑝 ∠𝜙 = 200 0,9 ∠ − 25,842° 𝑆1𝜙 = 222,22∠ − 25,842° 𝑉𝐴 𝑆1𝜙 = 222,22 cos(−25,842°) + 𝑗222,22𝑠𝑒𝑛(−25,842°) 𝑉𝐴 𝑆1𝜙 = 200 − 𝑗96,8637 𝑉𝐴 𝑆3𝜙 = 3 ∙ 𝑆1𝜙 𝑆3𝜙 = 666,67∠ − 25,842° 𝑉𝐴 𝑄1𝜙 = −96,8637𝑣𝑎𝑟 𝑄3𝜙 = 3𝑄1𝜙 = −290,593 𝑣𝑎𝑟 𝑃1𝜙 = 𝑉𝑓𝐼𝑓 cos(𝜙) 𝐼𝑓 = 𝑃1𝜙 𝑉𝑓 cos(𝜙) = 200 127 ∙ 0,9 𝐼𝐿 = 𝐼𝑓 = 1,75𝐴 b) 𝑃1𝜙2 = 𝑉𝑓 2 𝑅 = 1272 1 𝑃1𝜙2 = 16,13𝑘𝑊 𝑃1𝜙𝑇 = 𝑃1𝜙1 + 𝑃1𝜙2 = 200 + 16,13𝑘 𝑃1𝜙𝑇 = 16,33𝑘𝑊 𝑆1𝜙𝑛𝑜𝑣𝑜 = 16,33𝑘 − 𝑗96,865 𝑉𝐴 𝑆1𝜙𝑛𝑜𝑣𝑜 = 16,33∠ − 0,34° 𝑘𝑉𝐴 𝑆3𝜙𝑛𝑜𝑣𝑜 = 3 ∙ 𝑆1𝜙𝑛𝑜𝑣𝑜 𝑆3𝜙 = 49∠ − 0,34° 𝑘𝑉𝐴 𝐼𝑓 = 𝑃1𝜙 𝑉𝑓 cos(𝜙) = 16,33𝑘 127 ∙ cos(−0,34°) = 128,58𝐴 𝐼𝐿 = 𝐼𝑓 = 128,58𝐴 c) Para a simulação, é necessário conhecer os componentes resistivo e capacitivo do circuito, já que o fator de potência é adiantado. 𝑍 = 𝑉𝐿 2 𝑆3𝜙 = 2202 666,67 𝑍 = 72,6Ω 𝑅 = 𝑍 ∙ 𝑓𝑝 = 72,6 ∙ 0,9 𝑅 = 65,32Ω 𝑋𝐶 = 𝑍 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜙) = 72,6 ∙ 𝑠𝑒𝑛(−25,842°) 𝑋𝐶 = −31,6457Ω 𝐶 = 1 𝜔𝑋𝐶 = 1 120𝜋 ∙ 31,6457 𝐶 = 83,844𝜇𝐹 Para o cálculo da potência aparente se fez uso da diretiva meas para encontrar o valor RMS da tensão Va, da corrente Ia e assim calcular 𝑆3𝜙 = 3𝑉𝑓𝑟𝑚𝑠𝐼𝑓𝑟𝑚𝑠. No log são apresentados os valores: 𝑉𝑎 = 126,896𝑉 𝐼𝑎 = 1,74781𝐴 𝑆3𝜙 = 665,371 𝑉𝐴 As formas de onda da tensão e da corrente junto ao valor RMS de corrente podem ser vistos a seguir: Para o calculo da fase, temos o tempo entre o pico de corrente e o de tensão é de 1,1988024s, como pode ser visto a seguir: 𝜙 = 1,1988024𝑚 ∙ 60 ∙ 360 = 25,894° Após adicionar o resistor de 1Ω em paralelo em cada fase, tem-se o seguinte resultado: No log são apresentados os valores: 𝑉𝑎 = 126,896𝑉 𝐼𝑎 = 128,429𝐴 𝑆3𝜙 = 48891,3 𝑉𝐴 As formas de onda da tensão e da corrente junto ao valor RMS de corrente podem ser vistos a seguir: Para o cálculo da fase, os valores são tão próximos que fica difícil de mensurar, mas é importante notar que é bem próximo a zero: Questão 4 Cada carga do circuito da figura do exercício 1 é composta por um indutor de 2,5𝐻 em paralelo com um circuito série composto por um capacitor de 100𝜇𝐹 e um resistor de1𝑘Ω. A resistência 𝑅𝑤 = 5Ω. Utilizando uma sequência de fase positiva com 𝑉𝑎𝑏 = 220∠0°𝑉 em 𝑓 = 60 𝐻𝑧, determine a corrente de linha rms e a potência aparente total fornecida para a carga. Verifique suas respostas com simulações apropriadas no LTSpice. Resposta: Inicialmente, pode-se realizar o cálculo da indutância e da capacitância afim de encontrar o valor da impedância em cada fase do circuito. 𝑋𝐿 = 𝜔𝐿 = 120𝜋 ∙ 2,5 = 942,48Ω 𝑋𝐶 = − 1 𝜔𝐶 = − 1 120𝜋 ∙ 100𝜇 = −26,526Ω O circuito série então é dado por: 𝑍𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 = 𝑅 + 𝑗𝑋𝐶 = 1𝑘 − 𝑗26,526 𝑍𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 = 1000,35∠ − 1,52° Ω O circuito paralelo então é dado por: 𝑍𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 = 𝑗𝑋𝐿 ∙ 𝑍𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑗𝑋𝐿 + 𝑍𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 = 942,48∠90° ∙ 1000,35∠ − 1,52° 𝑗942,48 + 1𝑘 − 𝑗26,526 𝑍𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 = 942,81𝑘∠88,48° 1𝑘 + 𝑗915,954 = 942,81𝑘∠88,48° 1356,09∠42,48° 𝑍𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 = 695,24∠46°Ω Para encontrar a impedância total, deve-se somar a resistência da linha: 𝑍𝑇 = 𝑅𝑤 + 𝑍𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑍𝑇 = 5 + 482,955 + 𝑗500,115 𝑍𝑇 = 487,955 + 𝑗500,115 𝑍𝑇 = 698,72∠45,7° Ω Agora pode-se encontrar tanto a potência aparente como a corrente na linha. 𝑆1𝜙 = 𝑉𝐿 2 3𝑍𝑇 𝑆1𝜙 = 2202 3 ∙ 698,72 𝑆1𝜙 = 23,09 𝑉𝐴 𝑆3𝜙 = 3 ∙ 𝑆1𝜙 𝑆3𝜙 = 69,27 𝑉𝐴 𝐼𝑓 = 𝑆3𝜙 √3𝑉𝐿 = 69,27 381 = 181,8𝑚𝐴 𝐼𝐿 = 𝐼𝑓 = 181,8𝑚𝐴 Este circuito possui uma constante de tempo alta e por isso precisa de um tempo maior inicial para garantir o regime permanente. Por isso se escolheu analisar o circuito do tempo 5050 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 até 5100 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 e desta forma o circuito possui tempo suficiente para chegar ao regime permanente. Como pode ser visto, os valores encontrados foram: 𝑉𝑅𝑀𝑆 = 129,936𝑉 𝐼𝑅𝑀𝑆 = 181,375𝑚𝐴 𝑆3𝜙 = 69,0691 𝑉𝐴 As formas de onda da tensão de fase 𝑉𝑎 e da corrente na linha 𝐼𝑎 podem ser vistas a seguir: O fase pode ser encontrada a partir do ângulo entre a tensão e a corrente como visto a seguir: 𝜙 = 2,1142373𝑚 ∙ 60 ∙ 360 𝜙 = 2,1142373 ∙ 21,6 𝜙 = 45,667°