Atividade de Metodos Matematicos

1 1 Resolução do PVI e análise da solução a Considere o PVI dado a seguir b Classifique a equação diferencial como linear ou não linear Justifique c Aplique um método conveniente para resolver o PVI d Determine o intervalo I onde a solução do PVI é válida f Apresente um gráfico da função solução use um dispositivo como GeoGebra MATLAB 2 1 5 2 3 dy x xy x dx y 2 2 Resolução do PVI e análise da solução a Resolva o PVI a seguir apresentando a solução na forma implícita b Mostre que a solução implícita obtida no item a define as duas seguintes soluções c Apenas uma das soluções apresentadas no item b atende às condições iniciais dadas Indique qual é essa solução construa e apresente um gráfico da mesma use um dispositivo como GeoGebra MATLAB d Determine o intervalo I onde a solução do PVI é válida 2 2 0 1 2 dy x y dx y 2 1 1 4 15 2 2 y x 3 3 Transferência de Calor Os processos de transferência de calor são condução convecção e radiação Tais processos são descritos por equações diferenciais modeladas a partir das leis de Fourier Resfriamento de Newton e StephanBoltzman respectivamente A transferência de calor entre um corpo e seu ambiente por radiação é descrita pela equação diferencial 1 onde T é a temperatura absoluta do corpo no instante t Ta è a temperatura absoluta do ambiente e é uma constante que depende de parâmetros físicos do corpo Quando T é muito maior do que Ta as soluções da equação 1 podem ser aproximadas pelas soluções de sua versão simplificada 2 Considere um corpo a uma temperatura inicial de 2000 K em um ambiente a uma temperatura de 300K e a Resolva e equação 2 e determine a função Tt b Determine o instante em que Tt 600 K o dobro da temperatura do ambiente c Apresente um gráfico de T em função de t intervalo 0 t td onde td é o instante obtido no item b 4 4 a dT T T dt 4 dT T dt Até este instante o erro ao usar a euação 2 para aproximar as soluções da equação 1 não é maior do que 1 12 3 2 10 K s 4 4 Modelo de crescimentoEpidemias O uso de modelos matemáticos para estudar a disseminação de doenças contagiosas é antigo Em 1760 Daniel Bernoulli desenvolveu um trabalho no estudo da varíola e desde então até mais recentemente muitos modelos foram propostos para estudar diferentes doenças Considere o modelo em que a população é dividida entre indivíduos que já foram contaminados com a doença e podem infectar os outros e indivíduos que ainda não foram contaminados mas são suscetíveis Se x é a fração de indivíduos suscetíveis e y a fração de indivíduos contaminados então x y 1 Suponha que a doença seja transmitida através do contato entre contaminados e suscetíveis que a taxa de contaminação é proporcional a xy Como x 1 y temse a equação diferencial a A equação dada é Separável e de Bernoulli resolvaa pelos dois métodos a Dado que y0 001 e que y10 0015 determine a solução particular yt dias b Apresente o gráfico de yt e explique graficamente e algebricamente o comportamento 1 constante dy ky y k dt lim t y t É proporcional ao número de contatos que é proporcional a xy 1 a É linear uma vez que a função desconhecida y e sua derivada aparecem apenas de maneira linear c A equação é separável x21y x5y y5y xx2 1 dy5y x dxx21 Integrando os dois lados ln5y 12 lnx21 c ln5y1 lnsqrtx21 c Aplicando a exponencial dos dois lados 5y1 c sqrtx2 1 5y csqrtx2 1 y 5 csqrtx2 1 Aplicando a condição y2 3 temos 3 5 csqrt3 c 2 sqrt3 y 5 2 sqrt3sqrtx2 1 d A solução vale em I 1 U 1 2 a A equação é separável y12y 2x dy12y 2x dx y y2 x2 c Usando a condição y2 0 temos 4 c 0 c 4 a solução é então y2 y x2 4 b A equação fica y2 y x2 4 0 y 1 sqrt1 4x24 2 y 12 12 sqrt4x2 15 c Em x2 y 12 12 Apenas a solução com o sinal negativo é válida caso contrário teríamos y2 0 A única solução é y 12 1 sqrt4x2 15 d A solução é válida quando 4x2 15 0 x2 154 x sqrt152 I sqrt152 U sqrt152 3 a A equação pode ser separada como dT T4 α dx 13 T3 α t C T3 13 α t c T 13 α t c13 Em t 0 T2000 logo 2000 c13 c120003 T 13 α t 2000313 b T600 600 13 α t 2000313 6003 13 α t 20003 3 α t 6003 20003 t 6003 200033 2 1012 t 75077 s 125 min 4 a Podemos separar a equação como dyy1y k dt Usando frações parciais o lado esquerdo fica 1y1y Ay B1y A yA yB A1 BA0 BA1 dyy1y dyy dy1y ln y ln 1y c A solução da equação é então ln y ln1y k t c y1y c ek t y c ek t 1y y1 c ek t c ek t y c ek t 1 c ek t ek t c ek t Expandindo o lado derivado da equação y k y k y2 1 Fazendo u y1 temos u y2 y Multiplicando 1 por y2 temos y2 y k y1 k 0 u k u k 0 A equação pode ser resolvida multiplicandoa pelo fator integrante ek t ddt ek t u k ek t Integrando os dois lados ek t u ek t c u 1 Cekx 1y 1 Cekx y 11 Cekx y ekxekx C a Em x0 001 11c 001 001C 1 C 099001 99 Em x 10 0015 e10ke10k 99 0015e10k 99 e10k 0985e10k 1485 e10k 14850985 k 110 ln14850985 004 Yx e004x99 e004x c Podemos encontrar como Yx 11 99e004x lim x Yx 1 Nos limite x Yx 1 o que significa que apos um longo tempo toda a população será sido contaminada Graph image without text Graph image without text 0 200 400 600 800 2000 1000 0 100 200 300 400 2 1