Métodos Matemáticos 2

1 NOME COMPLETO LISTA 01 MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ENGENHARIA II TMEC014 Instruções Pode ser resolvido em folha pautada ou em folha de sulfite Caso não tenha margem na folha usar margem de 15 cm à esquerda e 15 cm superior Enunciados copiados a caneta e resolução a lápis se preferir resolver a caneta usar cores diferentes para o enunciado e para a resolução Os exercícios devem estar na ordem numérica A resolução deve estar completa com a notação matemática correta e utilização de argumentos matemáticos válidos Identificar a lista com nome completo no início da folha região superior Entrega em sala de aula com as folhas grampeadas não será aceito clipe nem dobra 1 Resolva as equações de CauchyEuler a seguir a 𝑥2𝑦 2𝑥𝑦 2𝑦 0 b 𝑥2𝑦 3𝑥𝑦 5𝑦 0 c 6𝑥2𝑦 5𝑥𝑦 𝑦 0 d 𝑥3𝑦 2𝑥2𝑦 𝑥𝑦 9𝑦 0 2 Determine se a sequência é convergente ou divergente Se for convergente encontre seu limite a 𝑎𝑛 2𝑛3 12𝑛3 b 𝑎𝑛 𝑛3 1𝑛2 c 𝑎𝑛 𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛 𝑛21 d 𝑎𝑛 1 3 𝑛 4𝑛 3 Determine se a série é convergente ou divergente Especifique o teste utilizado a 𝑛 𝑛31 𝑛1 b 𝑛3 5𝑛 𝑛1 c 1 𝑛ln𝑛 𝑛1 d cos3𝑛 112𝑛 𝑛1 e 1𝑛1 𝑛 𝑛1 𝑛1 2 4 Determine se a série é condicionalmente convergente absolutamente convergente ou divergente a 1𝑛1𝑛1 3 𝑛1 b 1𝑛1 𝑛13𝑛 22𝑛1 𝑛1 5 Encontre a soma da série a 3𝑛1 23𝑛 𝑛1 b 𝑡𝑔1𝑛 1 𝑡𝑔1𝑛 𝑛1 6 Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série a 1𝑛 𝑛1 𝑛𝑥𝑛 b 𝑥𝑛 2𝑛1 𝑛1 c 𝑥2𝑛 𝑛21 𝑛1 d 3𝑛𝑥4𝑛 𝑛 𝑛1 e 𝑥2𝑛 𝑛𝑛 𝑛1 7 Encontre uma representação em série de potências centrada em 𝑥0 para a função e determine o raio de convergência a 𝑓𝑥 ln5 𝑥 e 𝑥0 2 b 𝑓𝑥 𝑥3 𝑥22 e 𝑥0 0 c 𝑓𝑥 𝑥4 3𝑥2 1 e 𝑥0 1 8 Considere a função 𝑓𝑥 𝑥𝑒𝑥 a Encontre a série de Taylor de 𝑓𝑥 𝑥𝑒𝑥 centrada em 𝑥0 0 b Em seguida sobre um mesmo plano esboce 𝑓𝑥 𝑥𝑒𝑥 e as curvas dos polinômios de Taylor com 𝑛 1 2 3 4 5 10 20 c Identifique o intervalo de convergência dessa série 3 9 Utilize a tabela a seguir das séries de Maclaurin para obter a série de Maclaurin das funções a 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥 b 𝑓𝑥 𝑥 cos 1 2 𝑥2 c 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 d 𝑓𝑥 𝑒𝑥 𝑒2𝑥 10 Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em 𝑥0 0 𝑦 𝑎𝑛𝑥𝑛 𝑛0 Ou seja monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência a 𝑦 𝑥𝑦 𝑦 0 b 𝑥 1𝑦 𝑦 0 c 𝑦 𝑥𝑦 𝑦 0 e 𝑦0 1 e 𝑦0 0 d 𝑦 𝑥2𝑦 𝑥𝑦 0 e 𝑦0 0 e 𝑦0 1 11 A solução do problema de valor inicial 𝑥2𝑦 𝑥𝑦 𝑥2𝑦 0 𝑦0 1 𝑦0 0 É denominada função de Bessel de ordem 0 Resolva o problema para determinar uma expansão em série da função de Bessel 4 12 Determine os pontos singulares da equação diferencial ordinária e classifiqueos como regular ou irregulares a 2𝑥1 𝑥𝑦 1 𝑥𝑦 𝑦 0 b 1 𝑥𝑥2𝑦 1 2𝑥𝑥𝑦 1 2𝑥𝑦 0 c 𝑥𝑥 1𝑦 4𝑥 2𝑦 2𝑦 0 d 𝑥𝑦 1 2𝑥𝑦 𝑥 1𝑦 0 13 Use o método de Frobenius em torno de 𝑥 0 para obter a equação indicial e suas raízes para a equação diferencial 2𝑥𝑦 𝑦 𝑦 0 Lembrando que 𝑦 𝑎𝑛𝑥𝑛𝑟 𝑛0 14 Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado a 𝑓1𝑥 𝑥3 e 𝑓2𝑥 𝑥2 1 em 11 c 𝑓1𝑥 cos𝑥 e 𝑓2𝑥 sen2𝑥 em 0 𝜋 15 Determine a série de Fourier de 𝑓 no intervalo dado a 𝑓𝑥 3 2𝑥 em 𝜋 𝑥 𝜋 b 𝑓𝑥 4 2 𝑥 0 4 𝑥2 0 𝑥 2 16 Desenvolva a série de cossenos ou senos conforme o caso a 𝑓𝑥 𝜋 2𝜋 𝑥 𝜋 𝑥 𝜋 𝑥 𝜋 𝜋 𝜋 𝑥 2𝜋 b 𝑓𝑥 𝑥2 em 2 𝑥 2 c 𝑓𝑥 𝑥3 em 2 𝑥 2 d 𝑓𝑥 1 2𝜋 𝑥 𝜋 0 𝜋 𝑥 𝜋 1 𝜋 𝑥 2𝜋 17 Considere a função 𝑓𝑥 0 3 𝑥 2 1 2 𝑥 1 11 𝑥 3 a Determine a série de Fourier de 𝑓 no intervalo b Em seguida sobre um mesmo plano esboce 𝑓𝑥 e as curvas das séries com 𝑛 1 2 3 4 5 10 20 1 NOME COMPLETO LISTA 01 MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ENGENHARIA II TMEC014 Instruções Pode ser resolvido em folha pautada ou em folha de sulfite Caso não tenha margem na folha usar margem de 15 cm à esquerda e 15 cm superior Enunciados copiados a caneta e resolução a lápis se preferir resolver a caneta usar cores diferentes para o enunciado e para a resolução Os exercícios devem estar na ordem numérica A resolução deve estar completa com a notação matemática correta e utilização de argumentos matemáticos válidos Identificar a lista com nome completo no início da folha região superior Entrega em sala de aula com as folhas grampeadas não será aceito clipe nem dobra 1 Resolva as equações de CauchyEuler a seguir a 𝑥2𝑦 2𝑥𝑦 2𝑦 0 b 𝑥2𝑦 3𝑥𝑦 5𝑦 0 c 6𝑥2𝑦 5𝑥𝑦 𝑦 0 d 𝑥3𝑦 2𝑥2𝑦 𝑥𝑦 9𝑦 0 2 Determine se a sequência é convergente ou divergente Se for convergente encontre seu limite a 𝑎𝑛 2𝑛3 12𝑛3 b 𝑎𝑛 𝑛3 1𝑛2 c 𝑎𝑛 𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛 𝑛21 d 𝑎𝑛 1 3 𝑛 4𝑛 3 Determine se a série é convergente ou divergente Especifique o teste utilizado a 𝑛 𝑛31 𝑛1 b 𝑛3 5𝑛 𝑛1 c 1 𝑛ln𝑛 𝑛1 d cos3𝑛 112𝑛 𝑛1 e 1𝑛1 𝑛 𝑛1 𝑛1 2 4 Determine se a série é condicionalmente convergente absolutamente convergente ou divergente a 1𝑛1𝑛1 3 𝑛1 b 1𝑛1 𝑛13𝑛 22𝑛1 𝑛1 5 Encontre a soma da série a 3𝑛1 23𝑛 𝑛1 b 𝑡𝑔1𝑛 1 𝑡𝑔1𝑛 𝑛1 6 Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série a 1𝑛 𝑛1 𝑛𝑥𝑛 b 𝑥𝑛 2𝑛1 𝑛1 c 𝑥2𝑛 𝑛21 𝑛1 d 3𝑛𝑥4𝑛 𝑛 𝑛1 e 𝑥2𝑛 𝑛𝑛 𝑛1 7 Encontre uma representação em série de potências centrada em 𝑥0 para a função e determine o raio de convergência a 𝑓𝑥 ln5 𝑥 e 𝑥0 2 b 𝑓𝑥 𝑥3 𝑥22 e 𝑥0 0 c 𝑓𝑥 𝑥4 3𝑥2 1 e 𝑥0 1 8 Considere a função 𝑓𝑥 𝑥𝑒𝑥 a Encontre a série de Taylor de 𝑓𝑥 𝑥𝑒𝑥 centrada em 𝑥0 0 b Em seguida sobre um mesmo plano esboce 𝑓𝑥 𝑥𝑒𝑥 e as curvas dos polinômios de Taylor com 𝑛 1 2 3 4 5 10 20 c Identifique o intervalo de convergência dessa série 3 9 Utilize a tabela a seguir das séries de Maclaurin para obter a série de Maclaurin das funções a 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥 b 𝑓𝑥 𝑥 cos 1 2 𝑥2 c 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 d 𝑓𝑥 𝑒𝑥 𝑒2𝑥 10 Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em 𝑥0 0 𝑦 𝑎𝑛𝑥𝑛 𝑛0 Ou seja monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência a 𝑦 𝑥𝑦 𝑦 0 b 𝑥 1𝑦 𝑦 0 c 𝑦 𝑥𝑦 𝑦 0 e 𝑦0 1 e 𝑦0 0 d 𝑦 𝑥2𝑦 𝑥𝑦 0 e 𝑦0 0 e 𝑦0 1 11 A solução do problema de valor inicial 𝑥2𝑦 𝑥𝑦 𝑥2𝑦 0 𝑦0 1 𝑦0 0 É denominada função de Bessel de ordem 0 Resolva o problema para determinar uma expansão em série da função de Bessel 4 12 Determine os pontos singulares da equação diferencial ordinária e classifiqueos como regular ou irregulares a 2𝑥1 𝑥𝑦 1 𝑥𝑦 𝑦 0 b 1 𝑥𝑥2𝑦 1 2𝑥𝑥𝑦 1 2𝑥𝑦 0 c 𝑥𝑥 1𝑦 4𝑥 2𝑦 2𝑦 0 d 𝑥𝑦 1 2𝑥𝑦 𝑥 1𝑦 0 13 Use o método de Frobenius em torno de 𝑥 0 para obter a equação indicial e suas raízes para a equação diferencial 2𝑥𝑦 𝑦 𝑦 0 Lembrando que 𝑦 𝑎𝑛𝑥𝑛𝑟 𝑛0 14 Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado a 𝑓1𝑥 𝑥3 e 𝑓2𝑥 𝑥2 1 em 11 c 𝑓1𝑥 cos𝑥 e 𝑓2𝑥 sen2𝑥 em 0 𝜋 15 Determine a série de Fourier de 𝑓 no intervalo dado a 𝑓𝑥 3 2𝑥 em 𝜋 𝑥 𝜋 b 𝑓𝑥 4 2 𝑥 0 4 𝑥2 0 𝑥 2 16 Desenvolva a série de cossenos ou senos conforme o caso a 𝑓𝑥 𝜋 2𝜋 𝑥 𝜋 𝑥 𝜋 𝑥 𝜋 𝜋 𝜋 𝑥 2𝜋 b 𝑓𝑥 𝑥2 em 2 𝑥 2 c 𝑓𝑥 𝑥3 em 2 𝑥 2 d 𝑓𝑥 1 2𝜋 𝑥 𝜋 0 𝜋 𝑥 𝜋 1 𝜋 𝑥 2𝜋 17 Considere a função 𝑓𝑥 0 3 𝑥 2 1 2 𝑥 1 11 𝑥 3 a Determine a série de Fourier de 𝑓 no intervalo b Em seguida sobre um mesmo plano esboce 𝑓𝑥 e as curvas das séries com 𝑛 1 2 3 4 5 10 20