Slide Concetradores de Tensão-2023 1

TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 1 Mecânica da Fadiga e da Fratura TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 2 7. CONCENTRADORES DE TENSÃO TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 3 Concentração de tensões Concentração de Tensões: é uma descontinuidade geométrica ou de material que causa uma amplificação local do campo de tensão e de deformação Um concentrador geométrico de tensão é quantificado por um fator característico Kt TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 4 Concentração de tensões O efeito da concentração de tensão ocorre em todas as situações nos problemas da mecânica dos sólidos onde existe algum tipo de descontinuidade: • Carregamento; • Condições de contorno; • Material; • Geometria. Cargas concentradas e condições de contorno geram descontinuidades de carregamento, ou de condição de apoio, com forte perturbação local. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 5 Concentração de tensões O material pode ter, também, descontinuidades. Em metais, na microestrutura, com a presença de impurezas e inclusões, que apresentam módulo de elasticidade distinto, gerando perturbações no campo de deformações e de tensões. As descontinuidades geométricas são as mais comuns no caso de peças e equipamentos, pois uma geometria com seção totalmente constante inexiste. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 6 Concentração de tensões TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 7 Concentração de tensões Trinca em canal de refrigeração de palheta de turbina a gás TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 8 Concentração de tensões 0 → região não comprometida com a descontinuidade. Hipótese das seções planas – Princípio de Saint Venant 1 → região com tensões majoradas, acima dos valores previstos pelo modelo físico e matemático empregado – efeito da concentração de tensões TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 9 Concentração de tensões Em toda e qualquer seção: 𝐹 = න 𝐴 𝜎𝑥. 𝑑𝐴 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 10 Concentração de tensões 𝐾𝑡 = 𝜎𝑚á𝑥 𝜎0 Na região da perturbação, em geral nos pontos na superfície, a tensão atinge um máximo, acima da tensão nominal. Nos pontos mais internos ao material as tensões ficam abaixo do valor nominal. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 11 Concentração de tensões A tensão nominal pode ser definida na seção A, com a área plena ou bruta, ou na seção B, com a área reduzida ou líquida. Em problemas de concentração de tensões o uso da área líquida é mais usual. A tensão nominal calculada com a área bruta é mais usada em problemas de mecânica da fratura. O fator de concentração de tensão é definido para um comportamento elástico linear da estrutura, como a relação entre a tensão máxima local e uma tensão de referência, a tensão nominal ou σ0. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 12 Concentrador de tensões Determinação da tensão real em um concentrador de tensão 𝜎0𝑏𝑟𝑢𝑡𝑎 = 𝑃 𝐴𝑏𝑟𝑢𝑡𝑎 𝜎𝑚á𝑥 = 𝐾𝑡. 𝜎0𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑎 𝜎0𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑎 = 𝑃 𝐴𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑎 𝜎0𝑏𝑟𝑢𝑡𝑎 𝜎0𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑎 𝜎𝑚á𝑥 A determinação da tensão nominal deve ser explícita e associada à Kt. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 13 Concentrador de tensões No regime linear elástico a concentração de tensão é igual à concentração de deformação: 𝐾𝜎 = 𝜎𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝜎𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝜎𝑚á𝑥 𝜎0 𝐾𝑡 = 𝐾𝜎 = 𝐾𝜀 𝐾𝜀 = 𝜀𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝜀𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝜀𝑚á𝑥 𝜀0 No regime linear elastoplástico a concentração de tensão é menor que a concentração de deformação. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 14 Exemplo: Placa com furo circular (coordenadas retangulares) Primeiro caso solucionado usando a teoria da elasticidade por Kirsch, em 1898, obtendo uma solução analítica fechada. 𝜎𝑦 𝜎0 = 1 + 1 2 . 𝜌 𝑥 2 + 3 2 . 𝜌 𝑥 4 Os pontos ao longo do eixo x tem a distribuição de tensão na direção y, σy, como: 𝑥 ≥ 𝜌 𝑥 𝜌 1,00 1,10 1,20 1,50 2,00 2,50 3,00 𝜎𝑦 𝜎0 3,000 2,438 2,071 1,519 1,219 1,118 1,074 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 15 Exemplo: Placa com furo circular (coordenadas retangulares) 𝜎𝑥 𝜎0 = 3 2 . 𝜌 𝑥 2 − 3 2 . 𝜌 𝑥 4 Os pontos ao longo do eixo x tem a distribuição de tensão na direção x, σx, como: 𝑥 ≥ 𝜌 𝑥 𝜌 1,00 1,10 1,20 1,50 2,00 2,50 3,00 𝜎𝑦 𝜎0 0,000 0,215 0,318 0,370 0,281 0,201 0,148 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 16 Exemplo: Placa com furo circular (coordenadas cilíndricas) Um ponto sobre a superfície do furo tem um estado de tensão dado por σr , radial, e σθ , circunferencial. Para θ=0º → σθ= σy , e para θ=90º → σθ= σx . Todos os pontos sobre a superfície possuem σr = 0. Exatamente sobre a circunferência: 𝜃 0° 30° 60° 90° 𝜎𝜃 𝜎0 3,00 2,00 0,00 − 1,00 𝜎𝜃 = 𝜎0. 1 + 2. 𝑐𝑜𝑠2𝜃 Assim σθpassa de um valor máximo de 3σ0 a um valor mínimo, compressivo, de – σ0. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 17 Exemplo: Placa com furo elíptico (coordenadas retangulares) Solução analítica obtida por Inglis, em 1913. a → semi eixo perpendicular à direção da tensão σ0. b → semi eixo paralelo à direção da tensão σ0. ρ → raio de curvatura na extremidade do semi eixo a. Da geometria da elipse: 𝜌 = 𝑏2 𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 18 Exemplo: Placa com furo elíptico (coordenadas retangulares) A solução do problema fornece: No ponto “A”: 𝐾𝑡 = 1 + 2 𝑎 𝑏 𝐾𝑡 = 1 + 2 𝑎 𝜌 𝜎𝑦 = 𝐾𝑡. 𝜎0 𝜎𝑥 = −𝜎0 No ponto “B”: TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 19 Exemplo: Placa com furo elíptico (coordenadas retangulares) É possível se avaliar os seguintes casos limites: a → 0 Trinca aguda na vertical σmáx → σ0 Kt → 1 ρ → infinto b → 0 Trinca aguda na horizontal σmáx → infinto Kt → infinto ρ → 0 Mecânica da Fratura TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 20 Exemplo: Placa com furo elíptico (coordenadas retangulares) a=b=ρ Furo circular Kt =3,0 a=2b ρ/a=0,25 Kt =5,0 a=10b Kt =21,0 a=0,10b Kt =1,2 ρ/a=100 ρ/a=0,01 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 21 Exemplo: Placa com rasgo profundo Para rasgos profundos com extremidade semicircular de raio r. sob tensão de tração na direção perpendicular ao eixo do rasgo, a concentração de tensão é dada por 𝐾𝑡 = 1 𝑟 𝑟 + 2𝑑 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 22 O concentrador de tensão geométrico não depende apenas da geometria do componente, mas também do tipo de carregamento. Para uma grande placa com um furo no centro o concentrador de tensão sob tração é Kt=3,0. Sob estado biaxial de tração Kt=2,0. O fator de concentração de tensão no regime elástico pode ser obtido através de: • Solução analítica pela Teoria da Elasticidade • Soluções numéricas • Medições experimentais Concentração de tensões TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 23 O método numérico mais comum e flexível é o método dos elementos finitos. É necessário um modelo com malha relativamente fina nas áreas de gradientes de tensão acentuados. As técnicas de medição experimental amplamente utilizadas incluem: • Revestimentos frágeis • Fotoelasticidade • Termoelasticidade • Medidores de deformação (strain gages) Concentração de tensões TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 24 a) Técnica de revestimento frágil • Um revestimento quebradiço é pulverizado na superfície e deixado secar; • Os padrões das trincas desenvolvidos pelo carregamento e sua relação com um revestimento de calibração indicam regiões e magnitudes das concentrações de tensão. b) Técnica de fotoelasticidade • Uma amostra com geometria idêntica à parte entalhada real é feita de um determinado material transparente; • Mudanças nas propriedades ópticas do material transparente sob carga, medidas por um polariscópio, indicam distribuições de tensão e magnitudes. Concentração de tensões TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 25 c) Técnica de Termoelasticidade • A distribuição de estresse é obtida monitorando pequenas mudanças de temperatura da amostra ou componente submetido a carregamento cíclico. d) Strain Gage de resistência elétrica • A técnica de medição experimental mais comum; • Um strain gage é colado à superfície na região de interesse; • A carga aplicada causa alterações dimensionais do medidor, resultando em alterações na resistência elétrica, que por sua vez indica a deformação existente. Concentração de tensões TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 26 Concentração de tensões Tensão nominal 𝜎0 = 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑃 𝐴 𝜎 = 𝐾𝑡. 𝜎0 Tensão efetiva Kt= fator de concentração de tensões Tensões em corpo axissimétrico com entalhe TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 27 Concentração de tensões Simulação numérica por elementos finitos pode permitir o cálculo das tensões nos 6 graus de liberdade (tensor tensão) – solução elástica 3D TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 28 Concentração de tensões Tensão nominal 𝜎0 = 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑃 𝐴 𝜎 = 𝐾𝑡. 𝜎0 Tensão efetiva Kt= fator de concentração de tensões Tensões em corpo prismático com entalhe TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 29 Concentração de tensões TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 30 Concentradores de Tensão Fotoelasticidade TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 31 Concentradores de Tensão TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 32 Concentradores de Tensão TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 33 Concentradores de Tensão TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 34 Concentração de tensões em juntas soldadas TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 35 Concentração de tensões em juntas soldadas Concentração de tensões em junta sobreposta TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 36 Concentração de tensões em juntas soldadas Concentração de tensões em junta longitudinal TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 37 Concentração de tensões em juntas soldadas Concentração de tensões em junta longitudinal t e Kt =1+ 3 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 38 Concentração de tensões em juntas soldadas Concentração de tensões em junta longitudinal       − = + D l Dt l Kt 2 1 6 1 2 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 39 Concentração de tensões em juntas soldadas Concentração de tensões em juntas tubulares TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 40 Concentração de tensões em juntas soldadas ( ) n d c b a t sen C K      = Concentração de tensões em juntas tubulares TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 41 Concentração de tensões em juntas soldadas ( ) ,1 694 ,1 333 ,0 808 ,1 2 ,0 057 2 ,198      sen e Kt − = Concentração de tensões para junta em T com 0º≤θ≤90º TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 42 Concentração de tensões 1 2 3 𝜎22 = 𝜎𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙ℎ𝑒 = 𝜎𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎 speak Stress 1 2 Nnotched M 1 s22= speak Stress 2 Nnotched S Se 𝜎22 = 𝜎𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙ℎ𝑒 𝜎22 = 𝜎𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙ℎ𝑒 𝜎22 = 𝜎𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 43 Concentrador de tensões Furo em placa sob tração TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 44 Concentrador de tensões Placa com entalhe sob flexão TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 45 Concentrador de tensões torção tração flexão Eixo com redução de seção TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 46 Os materiais quando solicitados em fadiga podem não ser totalmente sensíveis à presença de concentradores de tensão Nesses casos deve-se empregar um fator de concentração de tensão reduzido Kf= fator de concentração de tensão para fadiga Concentrador de tensões s0 s K f = Onde σ0 = tensão nominal na seção que contém o concentrador de tensão t f 1 K  K TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 47 As equações para estimar Kf são de natureza empírica. • Estas equações expressam o fato de que para grandes entalhes com grandes raios deve-se esperar que Kf seja quase igual a Kt, mas para pequenos entalhes agudos pode-se encontrar Kf << Kt (pequeno efeito de entalhe) para metais com comportamento dúctil, embora Kf permaneça grande para metais de alta resistência. • Em geral, metais duros são geralmente mais sensíveis a entalhes do que metais mais macios. Concentração de tensões TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 48 Concentrador de tensões A diferença entre Kf e Kt está relacionada a: • Gradiente de tensão: • A tensão de entalhe que controla a vida de fadiga não é a tensão máxima na superfície da raiz do entalhe, mas uma tensão média atuando sobre um volume finito do material na raiz do entalhe. Esta tensão média é inferior à tensão superficial máxima, calculada a partir de Kt • Quando pequenas trincas são nucleadas na raiz do entalhe, elas crescem em regiões de menor tensão devido ao gradiente de tensão. • Deformação plástica localizada na raiz do entalhe: • A deformação plástica localizada e o efeito de embotamento do entalhe devido ao escoamento na raiz do entalhe reduzem a tensão da raiz do entalhe, particularmente em vidas curtas. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 49 Kf = fator de concentração de tensão para fadiga • Modo de falha por ruptura 𝜎max = 𝑆𝑚á𝑥 0max max s s  = t K Material perfeitamente frágil – elástico até a ruptura 𝑆𝑚á𝑥 = 𝐾𝑡 ⋅ 𝜎0max → → Material real – elastoplástico 0max max s s   t K → → 𝜎max = 𝐾𝑓. 𝜎0𝑚á𝑥 𝜎0𝑚á𝑥 = 𝑆𝑚á𝑥 𝐾𝑓 𝜎0𝑚á𝑥 = 𝑆𝑚á𝑥 𝐾𝑡 𝜎0𝑚á𝑥 ≥ 𝑆𝑚á𝑥 𝐾𝑡 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 50 Kf = fator de concentração de tensão para fadiga Na ruptura - Material real – elastoplástico ( )1 max max max 0 0 0 − = −  =  f f f K K s s s s Na ruptura - perfeitamente frágil – elástico até a ruptura ( )1 max max max 0 0 0 − = −  =  t t t K K s s s s A ductilidade do material absorve energia no processo de fadiga de modo que a atenua o efeito da concentração de tensões. Esse efeito é denominado sensibilidade ao entalhe, onde, em um corpo de prova em ensaio de fadiga, com e sem um entalhe, se compara os desempenhos à fadiga. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 51 q = sensibilidade ao entalhe ( )1 1 − + = t f q K K ( ) ( )1 1 max max 0 0 − − = t f K K q s s ( ) ( )1 1 − − = t f K K q t f q s s   = → 𝑎 = constante de Neuber r a q + = 1 1 𝑟 = raio do entalhe → Um valor de q = 0 (ou Kf = 1) indica nenhuma sensibilidade ao entalhe, enquanto um valor de q = 1 (ou Kf = Kt) indica sensibilidade total ao entalhe. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 52 Constante de Neuber 𝑎 = 1,239 − 2,250 × 10−3𝑆𝑚á𝑥 + 1,600 × 10−6𝑆𝑚á𝑥 2 − 4,105 × 10−10𝑆𝑚á𝑥 3 𝑎 = 0,976 − 1,835 × 10−3𝑆𝑚á𝑥 + 1,431 × 10−6𝑆𝑚á𝑥 2 − 4,106 × 10−10𝑆𝑚á𝑥 3 Tração e/ou flexão Torção e/ou cisalhamento TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 53 q = sensibilidade ao entalhe Aço e alumínio Tração e/ou flexão TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 54 q = sensibilidade ao entalhe Aço e alumínio Torção e/ou cisalhamento TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 55 q = sensibilidade ao entalhe 𝑞 = 1 1 + 𝑎 𝑟 Ligas ferrosas forjadas 𝑎 = 2070 𝑆𝑚á𝑥 1,8 × 0,0254 Para ligas de alumínio, a é estimado em 0,635 mm TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 56 Exemplo 9 Na caixa de câmbio da Ferrari F40 identifica-se que cada marcha é constituída de dois estágios de transmissão por engrenamento cilíndrico padrão, módulo métrico 20°, com dentes inclinados. A redução final do eixo motriz é constituída por uma transmissão por engrenamento cônico, módulo métrico 20°, com dentes inclinados. O eixo primário sofre ação apenas do torque oriundo do motor (positivo) ou da ação de freio motor (negativo). O torque no eixo primário varia entre um mínimo, correspondente ao torque na atuação do freio motor de Tmínimo = −200 Nm e um máximo, correspondente à rotação do motor onde o torque é máximo, no valor de Tmáximo = 577 Nm Essa variação de torque ocorre ao longo das mudanças de marcha e frenagens. A conexão do eixo primário à embreagem do motor é efetuada através de um acoplamento estriado, que proporciona um Kt = 1,85, considerando- se a seção bruta do eixo estriado (seção com diâmetro d). O raio de concordância do estriado é de 4 mm (raio do entalhe r=4 mm). Qual o diâmetro do eixo primário (d), na região do acoplamento estriado, para que essa caixa de câmbio opere em condição de vida infinita, empregando o critério de Goodman? A confiabilidade é de 99 %; a temperatura de operação é de 110 °C; não há outros efeitos; o eixo é usinado. O material do eixo é aço ABNT 4130 TR, com Smáx = 1280 MPa e Se = 1190 MPa Considere coeficiente de segurança como cs = 1,45 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 57 Exemplo 9 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 58 Exemplo 9 a) A tensão atuante no eixo primário é de torção. 𝑐 = 𝑑 2 b) Cálculo da tensão de torção (τt): 𝜏𝑡 = 𝑀𝑡. 𝑐 𝐼 𝑀𝑡𝑚á𝑥 = 577.000 𝑁𝑚𝑚 𝑀𝑡𝑚í𝑛 = 200.000 𝑁𝑚𝑚 𝐼 = 𝜋𝑑4 32 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 59 Exemplo 9 c) Cálculo da tensão de torção máxima (τt máx): 𝜏𝑡𝑚á𝑥 = 577000 . 𝑑 2 𝜋𝑑4 32 = 2,939 × 106 𝑑3 𝑀𝑃𝑎 d) Cálculo da tensão de torção mínima (τt mín): 𝜏𝑡𝑚í𝑛 = −200000 . 𝑑 2 𝜋𝑑4 32 = − 1,018 × 106 𝑑3 𝑀𝑃𝑎 Diâmetro “d” em mm TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 60 Exemplo 9 𝜏𝑚 = 𝜏𝑚á𝑥 + 𝜏𝑚í𝑛 2 e) Cálculo da tensão média e amplitude de tensão: 𝜏𝑚 = 2,939 × 106 𝑑3 + − 1,018 × 106 𝑑3 2 𝜏𝑚 = 0,960 × 106 𝑑3 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑎 = 2,939 × 106 𝑑3 − − 1,018 × 106 𝑑3 2 𝜏𝑎 = 1,978 × 106 𝑑3 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑎 = 𝜏𝑚á𝑥 − 𝜏𝑚í𝑛 2 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 61 Exemplo 9 f) Cálculo da tensão equivalente de von Misses nominal para a tensão média (seq m): 𝜎𝑒𝑞𝑚0 = 3𝜏𝑚2 = 3. 0,960 × 106 𝑑3 2 = 1,663 × 106 𝑑3 𝑀𝑃𝑎 Diâmetro “d” em mm g) Cálculo da tensão equivalente de von Misses nominal para a amplitude de tensão (seq a): 𝜎𝑒𝑞𝑎0 = 3𝜏𝑎2 = 3. 1,978 × 106 𝑑3 2 = 3,426 × 106 𝑑3 𝑀𝑃𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Exemplo 9 h) Cálculo da resistência à fadiga para vida infinita (Sn): O projeto prevê vida infinita. Logo o modelo S-N pode ser aplicado. 𝑆𝑛 = 𝑘𝑎𝑘𝑏𝑘𝑐𝑘𝑑𝑘𝑒𝑘𝑓𝑆𝑛 ′ 𝑘𝑎 = 4,51𝑆𝑚á𝑥 −0,265 𝑘𝑎 = 4,51. 1280−0,265 = 0,677 𝑆𝑛′ = 0,5. 𝑆𝑚á𝑥 Como Smáx<1400 MPa Para usinagem 𝑆′𝑛 = 0,5.1280 𝑆′𝑛 = 640 𝑀𝑃𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Exemplo 9 𝑘𝑏 = 1,24. 𝑑−0,107 𝑘𝑐 = 1,0 Torção → distribuição de tensão → kc = 1,0 = corpo de prova 𝑑𝑒 = 𝑑 𝑚𝑚 𝑘𝑒 = 0,814 Temperatura < 450 °C 𝑘𝑓 = 1,0 Confiabilidade = 99% 𝑘𝑑 = 1,0 Não há outros efeitos atuando sobre a peça Então: 𝑆𝑛 = 𝑘𝑎𝑘𝑏𝑘𝑐𝑘𝑑𝑘𝑒𝑘𝑓𝑆𝑛 ′ 𝑆𝑛 = 0,677 .1,24. 𝑑−0,107. 1,0 . 1,0 . 0,814 . 1,0 . 640 𝑆𝑛 = 437,5. 𝑑−0,107𝑀𝑃𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 64 Exemplo 9 i) Cálculo do concentrador de tensões: 𝐾𝑓 = 1 + 𝑞. 𝐾𝑡 − 1 𝑞 = 1 1 + 𝑎 𝑟 𝑎 = 0,976 − 1,835 × 10−3𝑆𝑚á𝑥 + 1,431 × 10−6𝑆𝑚á𝑥 2 − 4,106 × 10−10𝑆𝑚á𝑥 3 𝑎 = 0,976 − 1,835 × 10−3. 1280 + 1,431 × 10−6. 12802 − 4,106 × 10−10. 12803 𝑎 = 0,1107 𝑞 = 1 1 + 0,1107 4 𝑞 = 0,9476 𝐾𝑓 = 1 + 0,9476. 1,85 − 1 𝐾𝑓 = 1,805 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 65 Exemplo 9 f) Cálculo da tensão equivalente de von Misses para a tensão média (seq m): 𝜎𝑒𝑞𝑚 = 𝐾𝑓. 𝜎𝑒𝑞𝑚0 = 1,805. 1,663 × 106 𝑑3 = 3,002 × 106 𝑑3 𝑀𝑃𝑎 Diâmetro “d” em mm g) Cálculo da tensão equivalente de von Misses para a amplitude de tensão (seq a): 𝜎𝑒𝑞𝑎 = 𝐾𝑓. 𝜎𝑒𝑞𝑎0 = 1,805. 3,426 × 106 𝑑3 = 6,184 × 106 𝑑3 𝑀𝑃𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 66 Exemplo 9 j) Aplicação do critério de Goodman: 𝜎𝑒𝑞𝑚 𝑆𝑚á𝑥 + 𝜎𝑒𝑞𝑎 𝑆𝑛 = 1 𝑐𝑠 3,002 × 106 𝑑3 1280 + 6,184 × 106 𝑑3 437,5. 𝑑−0,107 = 1 1,45 𝑑 = 32,12 𝑚𝑚 0,07077 + 0,61828 = 1 1,45 𝑆𝑛 = 437,5. 32,12−0,107𝑀𝑃𝑎 𝑆𝑛 = 301,8 𝑀𝑃𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 67 8. COMPORTAMENTO ELASTOPLÁSTICO DOS METAIS TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 68 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ A teoria da elasticidade linear é útil para modelar materiais que sofrem pequenas deformações e que retornam à configuração original após a remoção da carga. ➢ Quase todos os materiais reais sofrerão alguma deformação permanente, que permanece após a remoção da carga. Com metais, deformações permanentes significativas geralmente ocorrem quando a tensão atinge algum valor crítico, chamado de tensão de escoamento, que é uma propriedade do material. ➢ As deformações elásticas são denominadas reversíveis; a energia necessária para que ocorra a deformação é armazenada como energia de deformação elástica e é completamente recuperada na remoção da carga. ➢ As deformações permanentes envolvem a dissipação de energia; tais processos são considerados irreversíveis, no sentido de que o estado original só pode ser alcançado com o gasto de mais energia. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 69 Comportamento elastoplástico dos metais TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 70 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ Em metais e outros materiais cristalinos, a ocorrência de deformações plásticas no nível da microescala deve-se ao movimento dos deslocamentos e na migração dos contornos dos grãos no nível da microescala. ➢ Existem dois grandes grupos de problemas de plasticidade de metal que são de interesse do engenheiro e do analista: ➢ O primeiro envolve tensões plásticas relativamente pequenas, frequentemente da mesma ordem das deformações elásticas que ocorrem. A análise de problemas envolvendo pequenas deformações plásticas permite projetar estruturas de forma otimizada, de modo que não falhem quando em serviço, mas ao mesmo tempo não sejam mais fortes do que realmente precisam ser. Nesse sentido, a plasticidade é vista como uma falha material. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 71 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ O segundo tipo de problema envolve deformações e deslocamentos muito grandes, tão grandes que as deformações elásticas podem ser desconsideradas. Esses problemas ocorrem na análise dos processos de fabricação e conformação de metais, que podem envolver extrusão, estiramento, forjamento, laminação e assim por diante. Nestes problemas um modelo simplificado conhecido como plasticidade perfeita é geralmente empregado a partir de teoremas especiais de limite que valem para tais modelos. ➢ As deformações plásticas são normalmente independentes da taxa, ou seja, as tensões induzidas são independentes da taxa de deformação (ou taxa de carregamento). Isso está em marcante contraste com os fluidos newtonianos clássicos, por exemplo, onde os níveis de tensão são governados pela taxa de deformação através da viscosidade do fluido. Os materiais comumente conhecidos como “plásticos” não são plásticos no sentido descrito aqui. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 72 Comportamento elastoplástico dos metais a b TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 73 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ Muitos materiais poliméricos exibem comportamento viscoelástico onde a resposta do material tem componentes elásticos e viscosos. Devido à sua visco- sidade, sua resposta é, ao contrário dos materiais plásticos, dependente da taxa. ➢ Embora os materiais viscoelásticos possam sofrer deformação irrecuperável, eles não têm nenhum escoamento crítico ou limite de tensão, que é a propriedade característica do comportamento plástico. ➢ Quando um material sofre deformações plásticas, isto é, irrecuperável e com uma tensão de escoamento crítica, e esses efeitos são dependentes da taxa, o material é referido como sendo viscoplástico. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 74 Comportamento elastoplástico dos metais Extrusão Trefilação Laminação Puncionamento Dobramento Calor Matriz Operações de conformação de metais TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 75 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ A teoria clássica da plasticidade surgiu do estudo dos metais no final do século XIX. ➢ A teoria da plasticidade começou com Tresca em 1864 ao empreender um programa experimental de extrusão de metais e publicou seu famoso critério de escoamento. ➢ Outros avanços com critérios de escoamento e regras de fluxo plástico foram feitos nos anos que se seguiram por Saint-Venant, Levy, Von Mises, Hencky e Prandtl. A década de 1940 viu o advento da teoria clássica; Prager, Hill, Drucker e Koiter, Nadai, entre outros, reuniram muitos aspectos fundamentais da teoria em uma única estrutura. ➢ A chegada de computadores com mais recursos nas décadas de 1980 e 1990 forneceu o ímpeto para desenvolver ainda mais a teoria, dando-lhe uma base mais rigorosa com base nos princípios da termodinâmica, e trouxe consigo a necessidade de considerar muitos aspectos numéricos e computacionais para o problema da plasticidade. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 76 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ Em um teste de tração, se o material for um metal, a deformação permanece elástica até um determinado nível de força, o ponto de escoamento do material. Além deste ponto, deformações plásticas permanentes são induzidas. ➢ Ao descarregar, apenas a deformação elástica é recuperada e o corpo de prova terá sofrido um alongamento permanente, e consequente contração lateral. ➢ Na faixa elástica, o comportamento da relação força/deslocamento para a maioria dos materiais de engenharia é linear. Após ultrapassar o limite elástico (ponto Y0 na figura), o material “cede” e diz-se que sofre escoamento plástico. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 77 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ Aumentos adicionais na carga geralmente são necessários para manter o fluxo plástico e um aumento no deslocamento – este fenômeno é conhecido como endurecimento por trabalho ou endurecimento por deformação. ➢ Em alguns casos, após um escoamento plástico inicial e endurecimento, a curva força x deslocamento diminui – diz-se que o material está amolecendo. ➢ Se a amostra for descarregada de um estado plástico (Z0), ela retornará ao longo do caminho Z0O1, paralelo à linha elástica original. Esta é uma recuperação elástica. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 78 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ Se o material for carregado novamente, a curva de força x deslocamento irá refazer o caminho de descarregamento O1Z0, até que se alcance novamente o estado plástico. ➢ Aumentos adicionais na deformação farão com que a curva siga Z0Z1. ➢ A deformação que permanece após a descarga é a deformação plástica permanente. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 79 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ Duas observações importantes sobre o teste de tração: ➢ (1) após o início da deformação plástica, o material será visto como sofrendo alteração de volume desprezível, ou seja, é incompressível; ➢ (2) a curva força x deslocamento é mais ou menos a mesma, independentemente da taxa na qual a amostra é alongada (pelo menos em temperaturas moderadas). ➢ Para a simplificação do processo adota-se a coincidência dos pontos Z0 e Y1 (o inicio do descarregamento e a tensão de escoamento inicial para um estágio de recarga), eliminando-se assim as diferenças entre as curvas de descarga e recarga. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 80 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ Quando recarregado monotonicamente de um estado inicial sem tensão, para um estado de tensão 𝜎𝑦0, o comportamento do material entre os estados O1 e Y1 é considerado como linear elástico, com a constante de deformação plástica dada por 𝜀𝑝 e o limite de escoamento 𝜎𝑦0, de modo que a tensão de carregamento total para tal estado é descrita pela lei de Hooke como segue na equação: 𝜎=𝐸(𝜀− 𝜀𝑝) onde E corresponde ao módulo de elasticidade do material, 𝜀 é a deformação total experimentada pelo material. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 81 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ Existem duas maneiras diferentes de descrever a força F que atua em um teste de tração. ➢ Em primeiro lugar, normalizando em relação à área da seção transversal original do corpo de prova de tensão A0, quando se calcula a tensão nominal ou tensão de engenharia, 𝜎𝑛0 = 𝐹 𝐴0 ➢ Alternativamente, pode-se normalizar em relação à área da seção transversal A real, levando à tensão verdadeira, 𝜎𝑛 = 𝐹 𝐴 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 82 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ F e A estão mudando com o tempo. Para alongamentos muito pequenos, dentro da faixa elástica, a área da seção transversal do material sofre uma alteração desprezível e ambas as definições de tensão são praticamente equivalentes. ➢ Da mesma forma, pode-se descrever a deformação de duas maneiras alternativas. Denotando o comprimento original da amostra por l0 e o comprimento atual por l, tem-se a deformação de engenharia 𝜀 = 𝑙 − 𝑙0 𝑙0 ➢ Alternativamente, a deformação verdadeira é baseada no fato de que o “comprimento original” muda continuamente; uma pequena mudança no comprimento dl leva a um incremento de deformação 𝑑𝜀 = 𝑑𝑙 𝑙 e a deformação total (t) é definida como o acúmulo desses incrementos: 𝜀𝑡 = ׬𝑙0 𝑙 𝑑𝑙 𝑙 = 𝑙𝑛 𝑙 𝑙0 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 83 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ A deformação verdadeira também é chamada de deformação logarítmica ou deformação de Hencky. Novamente, em pequenas deformações, a diferença entre essas duas medidas de deformação é desprezível. A tensão verdadeira e a tensão de engenharia estão relacionadas por meio de 𝜀 = 𝑙−𝑙0 𝑙0 𝑙 𝑙0 = 1 + 𝜀 𝜀𝑡 = 𝑙𝑛 𝑙 𝑙0 𝜀𝑡 = 𝑙𝑛 1 + 𝜀 ➢ Usando a suposição de volume constante para a deformação plástica e ignorando as mudanças muito pequenas de volume elástico, tem-se: 𝑉 = 𝑉0 𝐴. 𝑙 = 𝐴0. 𝑙0 𝐴0 𝐴 = 𝑙 𝑙0 𝜎𝑛0 = 𝐹 𝐴0 𝜎𝑛 = 𝐹 𝐴 𝜎𝑛 𝜎𝑛0 = 𝐴0 𝐴 𝜎𝑛 = 𝜎𝑛0. 𝑙 𝑙0 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 84 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ O diagrama tensão x deformação para um teste de tração pode ser descrito usando as definições de tensão e deformação reais ou tensão e deformação nominais. A forma do diagrama tensão x deformação nominal é, obviamente, a mesma que o gráfico de força x deslocamento. “A” aqui denota o ponto em que a força máxima que a amostra pode suportar foi atingida. A tensão nominal em “A” é chamada de resistência à tração máxima (Smáx) do material. Após este ponto a amostra forma estricção, com uma redução muito rápida na área da seção transversal em algum lugar próximo ao centro da amostra até que a amostra se rompa, conforme indicado por *. ➢ Durante o carregamento, na região de plastificação, a tensão de escoamento aumenta. Ao se descarregar e recarregar o material permanece elástico até uma tensão maior do que a tensão de escoamento original Y. Desse ponto de vista a curva tensão-deformação pode ser considerada como um curva de tensão de escoamento x deformação. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 85 Comportamento elastoplástico dos metais TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 86 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ A tenção verdadeira na fratura (sf), indicada com * na figura, é calculada dividindo-se a carga na fratura (Pf) pela área da fratura (Af) corrigida. ➢ A correção da área na fratura é feita multiplicando-se a área da fratura (Af) pelo fator de correção de Bridgman, que compensa o estado triaxial de tensões devido à estricção na região da fratura do corpo de prova. 𝜎𝑓 = 𝑃𝑓 𝐴𝑓. 1 + 4 𝑅 𝐷𝑚í𝑛 𝑙𝑛 1 + 𝐷𝑚í𝑛 4𝑅 𝐴𝑓 = 𝜋𝐷𝑚í𝑛 2 4 ➢ Dmín = diâmetro menor na seção da fratura ➢ R = raio na transição da região cilíndrica do corpo de prova para a região da fratura TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 87 Comportamento elastoplástico dos metais Teste de Compressão ➢ Um teste de compressão levará a resultados semelhantes aos do teste de tração. A tensão de escoamento na compressão será aproximadamente a mesma, em módulo, que a tensão de escoamento na tração. ➢ Ao se traçar a curva de tensão real x deformação verdadeira para tensão e compressão (valores absolutos para compressão), as duas curvas mais ou menos coincidirão. Isso indicaria que o comportamento do material sob compressão é amplamente semelhante ao sob tensão. Ao se usar a tensão e a deformação de engenharia (nominais) as duas curvas não coincidem; esta é uma das várias boas razões para usar as definições verdadeiras. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 88 Comportamento elastoplástico dos metais Teste de Compressão TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 89 Comportamento elastoplástico dos metais O Efeito Bauschinger ➢ Ao se tomar uma amostra nova de material e carregá-la em tração na faixa de plastificação e, em seguida, descarregá-la e continuar carregando em compressão, descobre-se que a tensão de escoamento na compressão não é a mesma que a tensão de escoamento na tração, como teria sido se a amostra não tivesse sido primeiro carregada com tração. ➢ Na verdade, o limite de escoamento neste caso será significativamente menor do que a tensão de escoamento correspondente na tração. Esta redução no limite de elasticidade é conhecida como efeito Bauschinger. A linha sólida representa a resposta de um material real. As linhas pontilhadas são dois casos extremos usados ​em modelos de plasticidade; o primeiro é o modelo de endurecimento isotrópico, no qual as tensões de escoamento na tração e compressão são mantidas iguais. O segundo é o endurecimento cinemático, no qual a faixa elástica total é mantida constante ao longo da deformação. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 90 Comportamento elastoplástico dos metais O Efeito Bauschinger TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 91 Comportamento elastoplástico dos metais O módulo plástico é dependente da regra de encruamento do material. Esse encruamento pode ser modelado como encruamento cinemático ou encruamento isotrópico. • 1 – Regra de encruamento isotrópico O escoamento reverso por compressão é assumido como igual ao valor absoluto do escoamento por tração. Na figura 𝐵𝐶=𝐶𝐵′ onde a tensão de escoamento na recarga em compressão em B’ é igual à tensão de escoamento em B no carregamento. A regra de escoamento isotrópico não considera o Efeito Bauschinger. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 92 Comportamento elastoplástico dos metais • 2 – Regra de encruamento cinemático A faixa elástica é mantida, distribuída entre a região de tração e de compressão, conforme a sequência de carregamento. Na figura 𝐵𝐶𝐶𝐵′ e 𝐵𝐵′ = 𝐴𝐴′ onde o centro da região elástica se move ao longo da linha aa’. A regra de escoamento cinemático considera o Efeito Bauschinger. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 93 Comportamento elastoplástico dos metais • 3 – Regra de encruamento independente O encruamento acontece de forma independente na tração e na compressão. Na figura 𝐵𝐶 > 𝑂𝐴 e 𝐶𝐵′ = 𝑂𝐴′ mostrando um material que encrua em tração e não encrua em compressão. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 94 Comportamento elastoplástico dos metais O Efeito Bauschinger ➢ Esse padrão é um laço de histerese, representado pela área totalmente fechada dentro dos caminhos de carga e descarga da curva tensão x deformação na figura. A área hachurada representa a energia dissipada como calor durante o percurso do ciclo de histerese. ➢ No efeito Bauschinger, ao se carregar, descarregar e recarregar repetidamente o material observa-se que há um padrão permanente, que aparentemente pode ser 'desfeito' pelo carregamento reverso. Ou seja, mudar de tração para compressão, carregar na direção oposta e, de alguma forma, obter a mesma curva tensão-deformação que se obteria se fosse carregado na direção oposta na origem inicialmente. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 95 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ Experimentos cuidadosos mostram que, para metais, o comportamento do escoamento é independente da pressão hidrostática. Ou seja, um estado de tensão 𝜎𝑥𝑥 = 𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝑧𝑧 = −𝑝 que tem efeito insignificante sobre a tensão de escoamento de um material, até pressões muito altas. Entretanto, isso não é verdade para solos ou rochas. Pressão hidrostática TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 96 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ Um modelo elastoplástico é constituído por quatro fundamentos principais: (a) comportamento da tensão-deformação no domínio elástico; (b) os critérios de plastificação e falha; (c) as leis de escoamento plástico; (d) as regras de encruamento ou endurecimento. ➢ Devido à complexidade matemática das teorias constitutivas elastoplásticas soluções analíticas exatas podem ser obtidas apenas sob circunstâncias bastante simplificadas. ➢ A existência de soluções analíticas em geral é restrita apenas a materiais perfeitamente plásticos e são utilizadas para a determinação do limite de carregamento. Suposições da Teoria da Plasticidade TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 97 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ Ao formular uma teoria básica da plasticidade as seguintes suposições são geralmente feitas: ➢ (1) a resposta é independente dos efeitos da taxa ➢ (2) o material é incompressível na faixa de plastificação ➢ (3) não há efeito Bauschinger ➢ (4) a tensão de escoamento é independente da pressão hidrostática ➢ (5) o material é isotrópico Suposições da Teoria da Plasticidade TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 98 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ As duas primeiras geralmente são aproximações muito boas, mas as outras três podem ou não ser, dependendo do material e das circunstâncias. Por exemplo, a maioria dos metais pode ser considerada isotrópica. Após grande deformação plástica, no entanto, por exemplo na laminação, o material terá se tornado anisotrópico: haverá direções e assimetrias distintas do material. ➢ Junto com isso, podem ser feitas suposições sobre o tipo de endurecimento e se as deformações elásticas são significativas. Há modelos clássicos para a plasticidade em metais, comumente usada em análises teóricas. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 99 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ Modelo elastoplástico perfeitamente plástico ➢ O endurecimento por trabalho é desprezado e a tensão de escoamento é constante após o escoamento inicial. O modelo perfeitamente plástico é particularmente apropriado para estudar processos em que o metal é trabalhado em alta temperatura – como laminação a quente – onde o endurecimento por trabalho é pequeno. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 100 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ Modelo rígido perfeitamente plástico ➢ O modelo rígido perfeitamente plástico é o mais simples de todos e, em muitos aspectos, o mais útil. É amplamente utilizado na análise de processos de conformação de metais, no projeto de estruturas de aço e concreto e na análise de estabilidade de solo e rocha. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 101 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ Modelo rígido com encruamento linear ➢ Em muitas áreas de aplicações, as deformações envolvidas são grandes, como em processos de conformação de metais como extrusão, laminação ou trefilação, onde taxas de redução de até 50% são comuns. Em tais casos, as deformações elásticas podem ser totalmente desprezadas. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 102 Comportamento elastoplástico dos metais ➢ Modelo elastoplástico com encruamento linear ➢ Ambas as curvas elástica e plástica são assumidas lineares TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 103 Comportamento elastoplástico dos metais O Módulo Tangente e Plástico A tensão e a deformação estão relacionadas na região elástica, sendo E o módulo de Young, por meio de 𝜎 = 𝐸. 𝜀 O módulo tangente K é a inclinação da curva tensão- deformação na região plástica e, em geral, muda durante uma deformação. Em qualquer instante de deformação, escrevendo a partir daqui 𝜀 como a deformação verdadeira (real), o incremento na tensão 𝑑𝜎 está relacionado ao incremento na deformação 𝑑𝜀 através de 𝑑𝜎 = 𝐾. 𝑑𝜀 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 104 Comportamento elastoplástico dos metais Após o escoamento os incrementos de deformação consistem de uma parte elástica 𝑑𝜀𝑒 e uma parte plástica 𝑑𝜀𝑝 𝑑𝜀 = 𝑑𝜀𝑒 + 𝑑𝜀𝑝 A tensão e a deformação plástica são relacionadas pelo módulo plástico H 𝑑𝜎 = 𝐻. 𝑑𝜀𝑝 𝑑𝜎 = 𝐾. 𝑑𝜀 𝑑𝜀 = 𝑑𝜎 𝐾 𝑑𝜎 = 𝐸. 𝑑𝜀𝑒 𝑑𝜀𝑒 = 𝑑𝜎 𝐸 𝑑𝜎 = 𝐻. 𝑑𝜀𝑝 𝑑𝜀𝑝 = 𝑑𝜎 𝐻 𝑑𝜀 = 𝑑𝜀𝑒 + 𝑑𝜀𝑝 𝑑𝜎 𝐾 = 𝑑𝜎 𝐸 + 𝑑𝜎 𝐻 1 𝐾 = 1 𝐸 + 1 𝐻 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 105 Comportamento elastoplástico dos metais • Algumas informações adicionais sobre a forma como os materiais plásticos respondem podem ser obtidas nos modelos de blocos de fricção. • O modelo rígido perfeitamente plástico pode ser simulado por um bloco de fricção de Coulomb. Nenhuma deformação ocorre até que 𝜎 atinja a tensão de escoamento Y. Então há movimento – embora a quantidade de movimento ou deformação plástica não possa ser determinada sem mais informações disponíveis. Modelos de blocos de fricção • A tensão não pode exceder a tensão de escoamento neste modelo: 𝜎 ≤ 𝑌 • Se descarregado, o bloco para de se mover e a tensão retorna a zero, deixando uma deformação permanente. descarregamento Deformação permanente TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 106 Comportamento elastoplástico dos metais O modelo linear elástico perfeitamente plástico incorpora uma mola livre com rigidez E em série com um bloco de fricção de Coulomb. A mola alonga quando carregada e o bloco também começa a se mover quando a tensão atinge Y, momento em que a mola para de se alongar, e a tensão máxima possível é novamente Y. Ao descarregar, o bloco para de se mover e a mola se contrai. Modelos de blocos de fricção TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 107 Comportamento elastoplástico dos metais O modelo linear elastoplástico com endurecimento por deformação linear incorpora uma mola livre com rigidez E em série com um bloco de fricção de Coulomb, além de uma segunda mola de endurecimento com rigidez H, também em paralelo com o bloco de fricção de Coulomb. Modelos de blocos de fricção TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 108 Comportamento elastoplástico dos metais Enquanto a tensão de escoamento não é alcançada apenas a mola livre com rigidez E em série com um bloco de fricção de Coulomb se alonga, gerando tensão linear elástica. Modelos de blocos de fricção TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 109 Comportamento elastoplástico dos metais Uma vez que a tensão de escoamento é alcançada, uma tensão cada vez maior precisa ser aplicada para manter o bloco em movimento – e a tensão elástica continua a ocorrer devido ao alongamento adicional da mola com rigidez E. A tensão é então dividida em tensão de escoamento, que é suportada pelo bloco móvel, e uma sobretensão 𝜎 − 𝑌 carregada pela mola de endurecimento H. Modelos de blocos de fricção TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 110 Comportamento elastoplástico dos metais Após a descarga, o bloco “trava” – a tensão na mola de endurecimento H permanece constante enquanto a mola com rigidez E se contrai. Em tensão zero, existe uma tensão negativa assumida pelo bloco de fricção, igual e oposta à tensão na mola de endurecimento H. Modelos de blocos de fricção TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 111 Comportamento elastoplástico dos metais Modelos de blocos de fricção Sem carregamento Com carregamento elástico Com carregamento elastoplástico Descarregado TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 112 Comportamento elastoplástico dos metais A inclinação da linha de carga elástica é E. Para a linha de endurecimento plástico, Modelos de blocos de fricção 𝜀 = 𝜀𝑒 + 𝜀𝑝 𝜀 = 𝜎 𝐸 + 𝜎 − 𝑌 𝐻 𝜎 𝐸 + 𝐻 𝐸. 𝐻 = 𝜀 + 𝑌 𝐻 𝜎 = 𝜀 𝐸. 𝐻 𝐸 + 𝐻 + 𝑌. 𝐸 𝐻 + 𝐸 𝑑𝜎 𝑑𝜀 = 𝐸. 𝐻 𝐸 + 𝐻 𝑑𝜎 𝑑𝜀 = 𝐾 𝐾 = 𝐸. 𝐻 𝐸 + 𝐻 → → → TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 113 Comportamento elastoplástico dos metais A representação razoavelmente precisa das curvas tensão x deformação de materiais reais geralmente requer uma relação matemática mais complexa do que as descritas até agora. Uma forma que às vezes é usada assume que a tensão é proporcional à deformação elevada a uma potência, sendo esta aplicada apenas além de uma tensão de escoamento σ0: 𝜎 = 𝐸. 𝜀 𝜎 ≤ 𝜎0 𝜎 ≥ 𝜎0 𝜎 = 𝐻1. 𝜀𝑛1 n1 é denominado de expoente de encruamento. Os valores do expoente n1 estão normalmente na faixa de 0,05 a 0,40 para metais onde esta equação se encaixa bem. Modelo de Encruamento Potencial TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 114 Comportamento elastoplástico dos metais O meio mais conveniente de ajustar essa relação a um determinado conjunto de dados de tensão x deformação é fazer um gráfico log-log de tensão x deformação, onde para a porção plástica é esperada uma linha reta. Supondo que as décadas logarítmicas tenham o mesmo comprimento em ambas as direções a inclinação plástica é n1. No mesmo gráfico, a equação da região elástica, σ = Eε, também forma uma linha reta, mas com uma inclinação da unidade, e as duas linhas se cruzam em σ = σ0. O valor de σ para ε = 1 é H1. s0 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 115 Comportamento elastoplástico dos metais Modelo de Ramberg-Osgood Uma relação semelhante à de Encruamento Potencial, apresentada em um relatório de Ramberg e Osgood em 1943, é frequentemente utilizada. No modelo de Ramberg-Osgood as deformações elásticas e plásticas, εe e εp, são consideradas separadamente e somadas. Uma relação exponencial é usada, mas é aplicada à deformação plástica apenas e não à deformação total como no modelo de Encruamento Potencial. 𝜎 = 𝐸. 𝜀𝑒 𝜎 ≤ 𝜎0 𝜎 ≥ 𝜎0 𝜎 = 𝐻. 𝜀𝑝𝑛 𝜀 = 𝜀𝑒 + 𝜀𝑝 𝜀 = 𝜎 𝐸 + 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 𝜀𝑒 = 𝜎 𝐸 𝜀𝑝 = 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 116 Comportamento elastoplástico dos metais Modelo de Ramberg-Osgood Essa relação não pode ser resolvida explicitamente para a tensão – há apenas uma única curva suave para todos os valores de σ que não exibe um ponto de escoamento distinto. Assim, contrasta com a forma elástica de encruamento potencial descrita anteriormente, que é descontínua em um ponto de escoamento distinto σ0. Portanto, uma tensão de escoamento pode ser definida como a tensão correspondente a uma determinada deformação plástica, como εp0 = 0,002: 𝜎0 = 𝐻. 0,002𝑛 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 117 Exemplo 9 σ (MPa) (medido) ε (%) (medido) ε (medido) E (MPa) ε (calculado) εp (calculado) 0 0 0 71077 135,3 0,191 0,00191 70838 0,00190 0,000006 270,0 0,381 0,00381 70895 0,00380 0,000011 362,0 0,509 0,00509 71875 0,00509 -0,000003 406,0 0,576 0,00576 65672 0,00571 0,000048 433,0 0,740 0,00740 16463 0,00609 0,001308 451,0 0,895 0,00895 11613 0,00635 0,002605 469,0 1,280 0,01280 4675 0,00660 0,006202 487,0 2,290 0,02290 1782 0,00685 0,016048 505,0 4,570 0,04570 789 0,00710 0,038595 Alguns dados de ensaio de tração de corpo de prova de alumínio 7075-T651 • Mede-se a força e divide-se pela área original • Mede-se o deslocamento e divide-se pelo comprimento original TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 118 Comportamento elastoplástico dos metais E=71077 MPa TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 119 Comportamento elastoplástico dos metais σ (MPa) (medido) ε (%) (medido) ε (medido) E (MPa) ε (calculado) εp (calculado) 0 0 0 71077 135,3 0,191 0,00191 70838 0,00190 0,000006 270,0 0,381 0,00381 70895 0,00380 0,000011 362,0 0,509 0,00509 71875 0,00509 -0,000003 406,0 0,576 0,00576 65672 0,00571 0,000048 433,0 0,740 0,00740 16463 0,00609 0,001308 451,0 0,895 0,00895 11613 0,00635 0,002605 469,0 1,280 0,01280 4675 0,00660 0,006202 487,0 2,290 0,02290 1782 0,00685 0,016048 505,0 4,570 0,04570 789 0,00710 0,038595 𝜀𝑒 = 𝜎 𝐸 𝜀𝑒 = 𝜎 71077 → 𝜀𝑝 = 𝜀 − 𝜀𝑒 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 120 Comportamento elastoplástico dos metais • A deformação plástica (p) é calculada subtraindo-se da deformação total medida o valor calculado da deformação elástica (e): 𝜀𝑝 = 𝜀 − 𝜀𝑒 𝜀𝑒 = 𝜎 𝐸 n=0,0446 H=585,58 MPa Alguns dados de ensaio de tração de corpo de prova de alumínio 7075-T651 𝜀 = 𝜎 𝐸 + 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 𝜀 = 𝜎 71077 + 𝜎 585,58 ൗ 1 0,0446 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 121 Comportamento elastoplástico dos metais • Uma metodologia de teste laboratorial especial foi desenvolvida para caracterizar o comportamento tensão x deformação cíclica, que é feito durante o teste de fadiga de baixo ciclo. • Essa metodologia está descrita na norma ASTM E606. Como resultado, dados consideráveis estão disponíveis para metais de engenharia, assim como dados limitados de outros materiais. Estresse Cíclico - Comportamento de Tensão de Materiais Reais TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 122 Comportamento elastoplástico dos metais • O teste mais comum envolve ciclos completamente reversos (R = −1) entre os limites de deformação constante. • Uma amplitude de deformação, εa = ε/2, é selecionada, e um corpo de prova axial é carregado até que a deformação de tração atinja um valor de εmáx = + εa. • Em seguida, a direção do carregamento é invertida até que a deformação atinja εmín = −εa, e o teste é continuado, com a direção do carregamento sendo revertida cada vez que a deformação atinge + εa ou −εa. • A taxa de deformação entre esses limites pode ser mantida constante, ou às vezes é usada uma variação senoidal de frequência fixa de deformação com o tempo. • A taxa ou frequência do teste afeta o comportamento dos materiais que exibem fluência significativa na temperatura de teste usada. Para metais de engenharia testados em temperatura ambiente, os efeitos da taxa são geralmente pequenos. Teste cíclico de tensão x deformação TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 123 Comportamento elastoplástico dos metais • Esses testes de tensão cíclica continuam até que ocorra a falha por fadiga. As tensões necessárias para impor os limites de deformação geralmente mudam à medida que o teste avança. • Alguns materiais apresentam endurecimento dependente do ciclo, o que significa que as tensões aumentam. • Outros exibem amolecimento dependente do ciclo ou uma diminuição da tensão com o aumento do número de ciclos. • Em metais de engenharia, o endurecimento ou amolecimento cíclico é geralmente rápido no início, mas a mudança de um ciclo para o próximo diminui com o aumento do número de ciclos. • Frequentemente, o comportamento se torna aproximadamente estável, pois as mudanças posteriores são pequenas. Teste cíclico de tensão x deformação TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 124 Comportamento elastoplástico dos metais Endurecimento e Amolecimento cíclico. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 125 Comportamento elastoplástico dos metais Resposta tensão x deformação do alumínio 2024-T4 durante 20 ciclos com a=0,01 onde se vê o endurecimento cíclico. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 126 Comportamento elastoplástico dos metais • Se a variação tensão-deformação durante o comportamento estável para um ciclo for traçada, um laço fechado de histerese é formado em cada ciclo. • Depois que a direção da carga muda no limite de deformação positivo ou negativo, a inclinação do caminho tensão x deformação é inicialmente constante e próxima ao módulo de elasticidade, E, como em um teste de tração. • Então, o caminho gradualmente se desvia da linearidade conforme ocorre a deformação plástica. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 127 Comportamento elastoplástico dos metais • Pode-se pensar em cada ramo do laço de histerese como sendo uma curva tensão x deformação separada que começa em uma origem que é deslocada para uma das pontas do laço, com os eixos sendo invertidos para o ramo inferior. • O desvio máximo da linearidade alcançado durante um ciclo é a faixa de deformação plástica, rotulada p. A faixa de tensão é σ, e a porção elástica da faixa de deformação está relacionada a σ pelo módulo de elasticidade E. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 128 Comportamento elastoplástico dos metais • A soma das porções elástica e plástica dá a faixa de deformação total, ε: ∆𝜀 = ∆𝜎 𝐸 + ∆𝜀𝑝 • É comum o emprego da amplitude, que é a metade da variação correspondente: 𝜀𝑎 = ∆𝜀 2 𝜎𝑎 = ∆𝜎 2 𝜀𝑝𝑎 = ∆𝜀𝑝 2 𝜀𝑎 = 𝜎𝑎 𝐸 + 𝜀𝑝𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 129 Comportamento elastoplástico dos metais • Na maioria dos metais de engenharia, os laços de histerese estáveis são quase simétricos em relação à tensão e à compressão. • Uma exceção é o ferro fundido cinzento, em que o comportamento diferente dos nódulos de grafite em tração e compressão causa comportamento assimétrico. • Os polímeros dúcteis e seus compostos também costumam ter laços de histerese assimétricos. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 130 Comportamento elastoplástico dos metais • Os laços de histerese para quase metade da vida de fadiga são convencionalmente usados ​para representar o comportamento aproximadamente estável do material em carregamento cíclico elastoplástico. Curvas e tendências de tensão x deformação cíclica • Esses laços de testes em várias amplitudes de deformação diferentes podem ser plotados em um conjunto de eixos. Uma linha da origem que passa pelas pontas dos loops, como O-A- B-C, é chamada de curva tensão x deformação cíclica. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 131 Comportamento elastoplástico dos metais • Onde os ramos em tensão e compressão não diferem muito (o que geralmente é o caso), sua média é usada. A curva tensão x deformação cíclica é, portanto, a relação entre a amplitude de tensão e a amplitude de deformação para carregamento cíclico. Curvas e tendências de tensão x deformação cíclica • Onde a curva cíclica está abaixo da monotônica o material é aquele que amolece ciclicamente. • As curvas de tensão x deformação cíclicas para vários metais de engenharia são comparadas com as curvas de tensão monotônica. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 132 Comportamento elastoplástico dos metais • Onde a curva cíclica está acima da monotônica o material é aquele que endurece ciclicamente. Curvas e tendências de tensão x deformação cíclica TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 133 Comportamento elastoplástico dos metais • Um comportamento misto também pode ocorrer, com o cruzamento das curvas indicando amolecimento em alguns níveis de deformação e endurecimento em outros. Curvas e tendências de tensão x deformação cíclica TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 134 Comportamento elastoplástico dos metais • As curvas cíclicas quase sempre se desviam suavemente da linearidade, mesmo para materiais onde a curva monotônica tem um ponto de escoamento distinto ou mesmo uma queda no escoamento. • As equações da forma Ramberg-Osgood têm essa característica e, portanto, são comumente usadas para representar curvas de tensão-deformação cíclicas: Curvas e tendências de tensão x deformação cíclica 𝜀𝑎 = 𝜎𝑎 𝐸 + 𝜎𝑎 𝐻′ ൗ 1 𝑛′ TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 135 Comportamento elastoplástico dos metais • Aqui, os valores com apóstrofo são usados ​para especificar que as constantes para o termo plástico são do ajuste cíclico, em vez de dados monotônicos de tensão x deformação. • Um limite de escoamento compensado ciclicamente σ’0 para esta curva cíclica pode ser obtido como • Para metais de engenharia, n’ está frequentemente na faixa de 0,1 a 0,2, de modo que 0,15, ou cerca de 1/7, é um valor típico. • Um valor baixo de n da curva tensão x deformação monotônica, como 0,05, corresponde a uma curva tensão x deformação bastante plana. • É provável que um metal com n baixo amoleça ciclicamente para uma curva menos inclinada com n’ resultante geralmente em torno de 0,1 a 0,2. • Inversamente, um metal com um n alto (curva monotônica com inclinação mais acentuada) provavelmente endurecerá para uma curva mais acima, porém mais plana, com n’ novamente em torno de 0,1 a 0,2. 𝜎′0 = 𝐻′. 0,002𝑛′ TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 136 Comportamento elastoplástico dos metais Constantes da curva tensão x deformação cíclica Material Resistência ao escoamento Resistência máxima Parâmetros da curva s─ cíclica s0 (MPa) Smáx (MPa) E (MPa) H’ (MPa) n’ Aço RQC – 100 683 758 200000 903 0,0905 AISI 4340 1103 1172 207000 1655 0,1310 Al 2024-T351 379 469 73100 662 0,0700 Al 7075-T6 469 578 71000 977 0,1060 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 137 Comportamento elastoplástico dos metais • A composição da liga e o processamento de metais de engenharia afetam o comportamento da curva tensão x deformação cíclica, às vezes de forma diferente do que afeta as propriedades de tensão monotônica. Por exemplo, a resistência alcançada pelo trabalho a frio é frequentemente reduzida substancialmente pelo amolecimento dependente do ciclo. • Por outro lado, metais amolecidos por recozimento geralmente endurecem consideravelmente. O endurecimento devido a um precipitado fino, como em muitas ligas de alumínio, é geralmente preservado e frequentemente aumenta sob carregamento cíclico. • Em aços de médio carbono que são endurecidos por tratamento térmico usando têmpera e revenimento, parte do efeito geralmente é perdido se ocorrer carregamento cíclico. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 138 Comportamento elastoplástico dos metais • Para tais aços, a variação média com a dureza das tensões de escoamento monotônica e cíclica, σ0 e σ’0, é mostrada na figura. O amolecimento cíclico, indicado por σ’0 sendo menor do que σ0, ocorre, exceto em durezas muito altas. • Tendências de propriedades médias para o aço SAE 1045 e outros aços de médio carbono em função da dureza, incluindo a resistência verdadeira à fratura, as tensões de escoamento monotônico e cíclico e a amplitude de tensão limite para relaxamento da tensão média. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 139 Comportamento elastoplástico dos metais • Para descrever a curva do laço do histerese em função das variações de tensão e de deformação, tem-se: 𝜀𝑎 = 𝜀𝑒𝑎 + 𝜀𝑝𝑎 𝜀𝑒𝑎 = 𝜎𝑎 𝐸 𝜀𝑝𝑎 = 𝜎𝑎 𝐻′ ൗ 1 𝑛′ ∆𝜀𝑒= ∆𝜎 𝐸 ∆𝜀𝑝= 2 ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ 𝜀𝑎 = 𝜎𝑎 𝐸 + 𝜎𝑎 𝐻′ ൗ 1 𝑛′ ∆𝜀 = ∆𝜎 𝐸 + 2 ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ ∆𝜀 = ∆𝜀𝑒 + ∆𝜀𝑝 𝜀𝑒𝑎 = ∆𝜀𝑒 2 𝜀𝑎 = ∆𝜀 2 𝜀𝑝𝑎 = ∆𝜀𝑝 2 𝜎𝑎 = ∆𝜎 2 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 140 Exemplo 10 • Determinar a curva de histerese para o material: • Aço 1045 com dureza 220 HB Propriedades monotônicas Propriedades cíclicas Resistência ao escoamento 634 MPa Resistência ao escoamento cíclico 414 MPa Tensão de ruptura 1227 MPa Tensão de ruptura cíclica 1227 MPa Deformação na ruptura 1,04 Deformação na ruptura cíclica 1,00 H 1145 MPa H’ 1344 MPa n 0,13 n’ 0,18 Módulo de elasticidade 200 GPa Resistência máxima 724 MPa TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 141 Exemplo 10 • Curva tensão x deformação monotônica 𝜀 = 𝜀𝑒 + 𝜀𝑝 𝜀𝑒 = 𝜎 𝐸 𝜀𝑝 = 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 𝜀 = 𝜎 200000 + 𝜎 1145 7,692 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 142 Exemplo 10 • Curva tensão x deformação cíclica 𝜀𝑎 = 𝜎 200000 + 𝜎 1344 5,555 𝜀𝑎 = 𝜀𝑒𝑎 + 𝜀𝑝𝑎 𝜀𝑒𝑎 = 𝜎𝑎 𝐸 𝜀𝑝𝑎 = 𝜎𝑎 𝐻′ ൗ 1 𝑛′ TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 143 Exemplo 10 • O material amolece com a deformação cíclica TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 144 Exemplo 10 • Laço de histerese • Limitando o laço de histerese em sa=700 MPa 𝜀𝑎 = 700 200000 + 700 1344 5,555 = 0,030175 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 145 Exemplo 10 • Laço de histerese ∆𝜀 = 700 200000 + 2 700 2.1344 ൗ 1 0,18 = 0,004634 • Aplicando s=700 MPa a partir do ponto A ∆𝜀 = ∆𝜎 𝐸 + 2 ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ 𝜎𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝜎𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + ∆𝜎 𝜎𝐶 = 𝜎𝐴 + 700 = −700 + 700 = 0 𝑀𝑃𝑎 𝜀𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝜀𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + ∆𝜀 𝜀𝐶 = 𝜀𝐴 + 0,004634 = −0,030175 + 0,004634 = −0,02554 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 146 Exemplo 10 • Laço de histerese ∆𝜀 = 1100 200000 + 2 1100 2.1344 ൗ 1 0,18 = 0,019472 • Aplicando s=1100 MPa a partir do ponto A ∆𝜀 = ∆𝜎 𝐸 + 2 ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ 𝜎𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝜎𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + ∆𝜎 𝜎𝐷 = 𝜎𝐴 + 1100 = −700 + 1100 = 400 𝑀𝑃𝑎 𝜀𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝜀𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + ∆𝜀 𝜀𝐷 = 𝜀𝐴 + 0,019472 = −0,030175 + 0,019472 = −0,01070 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 147 Exemplo 10 • Laço de histerese ∆𝜀 = 1300 200000 + 2 1300 2.1344 ൗ 1 0,18 = 0,041845 • Aplicando s=1300 MPa a partir do ponto A ∆𝜀 = ∆𝜎 𝐸 + 2 ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ 𝜎𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝜎𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + ∆𝜎 𝜎𝐸 = 𝜎𝐴 + 1300 = −700 + 1300 = 600 𝑀𝑃𝑎 𝜀𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝜀𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + ∆𝜀 𝜀𝐸 = 𝜀𝐴 + 0,019472 = −0,030175 + 0,041845 = 0,011670 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 148 Exemplo 10 • Laço de histerese A TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 149 Exemplo 10 • Laço de histerese ∆𝜀 = 700 200000 + 2 700 2.1344 ൗ 1 0,18 = 0,04634 • Aplicando s=700 MPa a partir do ponto B, admitindo-se que o ramo de descarga é simétrico ao ramo de carga ∆𝜀 = ∆𝜎 𝐸 + 2 ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ 𝜎𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝜎𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − ∆𝜎 𝜎𝐹 = 𝜎𝐵 − 700 = 700 − 700 = 0 𝑀𝑃𝑎 𝜀𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝜀𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − ∆𝜀 𝜀𝐹 = 𝜀𝐵 − 0,04634 = 0,030175 − 0,041845 = 0,02554 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 150 Exemplo 10 • Laço de histerese ∆𝜀 = 1100 200000 + 2 1100 2.1344 ൗ 1 0,18 = 0,019472 • Aplicando s=1100 MPa a partir do ponto B, admitindo-se que o ramo de descarga é simétrico ao ramo de carga ∆𝜀 = ∆𝜎 𝐸 + 2 ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ 𝜎𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝜎𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − ∆𝜎 𝜎𝐺 = 𝜎𝐵 − 1100 = 700 − 1100 = −400 𝑀𝑃𝑎 𝜀𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝜀𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − ∆𝜀 𝜀𝐺 = 𝜀𝐵 − 0,019472 = 0,030175 − 0,019472 = 0,01070 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 151 Exemplo 10 • Laço de histerese ∆𝜀 = 1300 200000 + 2 1300 2.1344 ൗ 1 0,18 = 0,041845 • Aplicando s=1300 MPa a partir do ponto B, admitindo-se que o ramo de descarga é simétrico ao ramo de carga ∆𝜀 = ∆𝜎 𝐸 + 2 ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ 𝜎𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝜎𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − ∆𝜎 𝜎𝐻 = 𝜎𝐵 − 1300 = 700 − 1300 = −600 𝑀𝑃𝑎 𝜀𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝜀𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − ∆𝜀 𝜀𝐻 = 𝜀𝐵 − 0,041845 = 0,030175 − 0,041845 = −0,011670 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 152 Exemplo 10 • Laço de histerese A TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 153 Exemplo 10 • Tensão residual 0,030175 = ∆𝜎 200000 + 2 ∆𝜎 1344 ൗ 1 0,18 • Fazendo =0 e, portanto, =0,030175 MPa a partir do ponto A ∆𝜀 = ∆𝜎 𝐸 + 2 ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ 𝜎𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝜎𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + ∆𝜎 𝜎𝐼 = 𝜎𝐴 + 1213,5 = −700 + 1213,5 = 513,5 𝑀𝑃𝑎 𝜀𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝜀𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + ∆𝜀 𝜀𝐼 = 𝜀𝐴 + ∆𝜀 = 0 ∆𝜎 = 1213,5 𝑀𝑃𝑎 0 = −0,030175 + ∆𝜀 ∆𝜀 = 0,030175 → TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 154 Exemplo 10 • Tensão residual 0,030175 = ∆𝜎 200000 + 2 ∆𝜎 1344 ൗ 1 0,18 • Fazendo =0 e, portanto, =─0,030175 MPa a partir do ponto B ∆𝜀 = ∆𝜎 𝐸 + 2 ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ 𝜎𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝜎𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − ∆𝜎 𝜎𝐽 = 𝜎𝐵 − 1213,5 = 700 − 1213,5 = −513,5 𝑀𝑃𝑎 𝜀𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝜀𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − ∆𝜀 𝜀𝐽 = 𝜀𝐵 − ∆𝜀 = 0 ∆𝜎 = 1213,5 𝑀𝑃𝑎 0 = 0,030175 − ∆𝜀 ∆𝜀 = 0,030175 → TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 155 Exemplo 10 • Laço de histerese TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 156 9. MODELO DE NEUBER TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 157 ✓Uma aplicação comum da abordagem de vida em deformação é a análise de fadiga de membros entalhados (com heterogeneidades geométricas), porque: • a deformação do material na raiz do entalhe é frequentemente inelástica; • tensões no entalhe e as deformações correspondentes são explicitamente consideradas na abordagem de vida em deformação, enquanto a abordagem S-N é desenvolvida apenas em termos de tensões nominais; • A aplicação da abordagem de vida em deformação envolve duas etapas: a) determinação de tensões e deformações locais (entalhe); b) previsão de vida usando as tensões e deformações locais, com base na equação de deformação-vida. Metodologia de Vida à Deformação ( –N) TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 158 Concentrador de tensões Determinação da tensão real em um concentrador de tensão 𝜎0𝑏𝑟𝑢𝑡𝑎 = 𝑃 𝐴𝑏𝑟𝑢𝑡𝑎 𝜎𝑚á𝑥 = 𝐾𝑡. 𝜎0𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑎 𝜎0𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑎 = 𝑃 𝐴𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑎 𝜎0𝑏𝑟𝑢𝑡𝑎 𝜎0𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑎 𝜎𝑚á𝑥 A determinação da tensão nominal deve ser explícita e associada à Kt. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 159 ✓Ciclos de carga uniformemente repetidos impõem ciclos de deformação uniformemente repetidos no material na raiz do entalhe, desde que a maior parte da peça permaneça elástica. ✓ Se o material na raiz do entalhe for tensionado além da resistência ao escoamento, ele pode apresentar endurecimento ou amolecimento cíclico. ✓ O material na raiz do entalhe está sob "controle de deformação". Concentrador de tensões TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 160 Concentrador de tensões Região crítica Região controlada pela deformação (semelhante a um corpo de prova de ensaio de tração) Nucleação e crescimento de trinca TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 161 ✓Contanto que as tensões e deformações na raiz do entalhe permaneçam elásticas, tem-se, no regime monotônico: 𝜎 = 𝐾𝑡. 𝜎0 e ε = 𝐾𝑡. 𝜀0 ✓Em carregamento cíclico, particularmente para materiais dúcteis, tem-se: 𝜎 = 𝐾𝑓. 𝜎0 e ε = 𝐾𝑓. 𝜀0 ✓As cargas nos concentradores de tensão são frequentemente altas, de modo que a tensão local calculada a partir da tensão nominal e do fator de concentração de tensão pelas equações acima está consideravelmente acima da resistência ao escoamento. Concentrador de tensões TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 162 ✓Quando a tensão local excede a resistência ao escoamento, ela será menor que 𝜎 = 𝐾𝑡. 𝜎0 e não se pode mais empregar Kt para relacionar a tensão de entalhe (no concentrador de tensão) com a tensão nominal. ✓ Além disso, as tensões não são mais proporcionais às deformações. Define-se, então, os fatores de concentração de tensão (Ks) e concentração de deformação (K) como 𝐾𝜎 = 𝜎 𝜎0 𝐾𝜀 = 𝜀 𝜀0 Concentrador de tensões TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 163 ✓ Durante a deformação elástica, σ<Sescoamento Kσ = K = Kt para materiais frágeis e Kσ = K = Kf para materiais dúcteis uma vez que as tensões e deformações estão relacionadas pelo módulo de elasticidade, E. ✓ À medida que a tensão de entalhe aumenta e a deformação torna-se inelástica, Kσ diminui e K aumenta devido ao aumento da deformação plástica no entalhe. Concentrador de tensões TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 164 ✓ Um esquema mostrando as variações dos fatores de concentração de tensão e deformação com a tensão de entalhe é apresentado na figura: Concentrador de tensões TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 165 ✓A relação entre σ e  é dada pela curva tensão-deformação monotônica, frequentemente representada pela equação de Ramberg-Osgood: Dada a tensão elástica nominal s0 ou deformação elástica nominal 0, a tensão local s e a deformação local  na raiz do entalhe podem ser obtidas por: a) métodos experimentais; b) métodos de elementos finitos; c) modelos analíticos Tensões e tensões de entalhe 𝜀 = 𝜀𝑒 + 𝜀𝑝 𝜀𝑒 = 𝜎 𝐸 𝜀 = 𝜎 𝐸 + 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 166 ✓Os métodos experimentais: i) Extensometria elétrica; ii) Revestimento frágil; iii) Fotoelasticidade; iv) Termoelasticidade. ✓ O método de elementos finitos requer: i) pequeno tamanho dos elementos em regiões de gradiente de alta tensão; ii) uma representação realista do comportamento tensão- deformação do material não linear (como a equação de Ramberg-Osgood); Tensões e tensões de entalhe TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 167 ✓ Modelos analíticos Tensões e tensões de entalhe Linear elástico Ramberg-Osgood Regra de Neuber Tensão e deformação corretas 𝜎𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝜎𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑜𝑝𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝜀𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝜀𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑜𝑝𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 168 ✓ Modelos analíticos i) Requer o valor do fator de concentração de tensão elástica, Kt (para geometrias complexas métodos computacionais lineares podem ser usados para obter Kt); ii) Deve incluir uma regra para a distribuição da concentração de tensões e de deformações, como: a) regra linear; b) regra de Neuber c) regra de Glinka. Tensões e tensões de entalhe TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 169 ✓A regra linear é expressa como: 𝐾𝜀 = 𝐾𝑡 = 𝜀 𝜀0 ou 𝜀 = 𝐾𝑡. 𝜀0 ✓ Para comportamento elástico nominal 𝜀0 = 𝜎0 𝐸 ✓ A partir da deformação de entalhe, , pode ser calculada diretamente a tensão de entalhe, σ, pela curva tensão-deformação (ou Equação de Ramberg-Osgood). ✓ A regra linear está de acordo com as medições em situações de estado plano de deformação (EPD), como ranhuras circunferenciais em eixos em tração ou flexão. Regra Linear 𝜀 = 𝜎 𝐸 + 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 170 ✓ Para carregamento cíclico, as tensões e deformações de entalhe e nominais são substituídas por seus respectivos intervalos,  e σ. Regra Linear ∆𝜀 2 = ∆𝜎 2𝐸 + ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ ∆𝜀 2 = 𝐾𝑓. ∆𝜀0 2 ∆𝜀 = 𝐾𝑓. ∆𝜀0 → ∆𝜀 = ∆𝜎 𝐸 + 2 ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 171 ✓No Estado Plano de Deformação (EPD): 𝜀1 ≠ 0 𝜀2 ≠ 0 𝜀3 = 0 ✓ A deformação na direção perpendicular ao plano de deformação, 3, é sustentada pelo volume de material da peça e não se manifesta. Logo, surge uma tensão nessa direção, σ3, não nula ✓ Por exemplo, uma peça sujeita a um campo biaxial de tensões deveria apresentar uma deformação compressiva na direção perpendicular às direções de aplicação de tensão, devido ao Efeito de Poisson. Porém, se a peça for espessa, o volume de material nessa direção sustenta a deformação, que não se manifesta. Surge, então, uma tensão de tração para sustentar a deformação compressiva que tenderia a ocorrer. Estado Plano de Deformação (EPD) TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 172 ✓Tensão e deformação elastoplástica em furo circular, Kt=3, sob tensão nominal s0=500 MPa em material com Se=700 MPa, Smáx=1200 MPa, E=210000 MPa, H=1400 MPa e n=0,085. Regra linear. Exemplo 11 𝐾𝜀 = 𝐾𝑡 = 3 𝜀0 = 𝜎0 𝐸 𝜀0 = 500 210000 = 0,002381 𝜀 = 𝐾𝑡. 𝜀0 𝜀 = 3 . 0,002381 = 0,007143 𝜀 = 𝜎 𝐸 + 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 0,007143 = 𝜎 210000 + 𝜎 1400 ൗ 1 0,085 𝜎 = 856 𝑀𝑃𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 𝜀 = 𝜎 𝐸 + 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 𝜀 = 𝐾𝑡. 𝜀0 s=856 MPa =0,007143 173 Exemplo 11 0,007143 ✓Tensão e deformação elastoplástica em furo circular, Kt=3, sob tensão nominal s0=500 MPa em material com Se=700 MPa, Smáx=1200 MPa, E=210000 MPa, H=1400 MPa e n=0,085. 856 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 174 Exemplo 12 Tensão e deformação elastoplástica em furo circular – Regra Linear: d=16 mm Kt=3 Tensão nominal máxima s0máx=500 MPa Tensão nominal mínima s0mín=-150 MPa em material com Se=700 MPa Smáx=1200 MPa E=210000 MPa H=1400 MPa H’=1530 MPa n=0,085 n’=0,091 𝑎 = 1,239 − 2,250 × 10−3𝑆𝑚á𝑥 + 1,600 × 10−6𝑆𝑚á𝑥 2 − 4,105 × 10−10𝑆𝑚á𝑥 3 𝑎 = 1,239 − 2,250 × 10−3. 1200 + 1,600 × 10−6.12002 −4,105 × 10−10.12003 𝑎 = 0,113656 𝑞 = 1 1 + 𝑎 𝑟 𝑞 = 1 1 + 0,252624 16/2 = 0,954878 𝐾𝑓 = 1 + 𝑞(𝐾𝑡 − 1) 𝐾𝑓 = 1 + 0,917948 3 − 1 = 2,909755 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 175 Exemplo 12 𝜀 = 𝜎 𝐸 + 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 𝜀 = 𝐾𝑡. 𝜀0 856 0,007143 -0,001863 -730 ∆𝜀 = ∆𝜎 𝐸 + 2. ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ ∆𝜀 = 𝐾𝑓. ∆𝜀0 ∆𝜀 = ∆𝜎 𝐸 + 2. ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ A B TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 176 ✓A regra de Neuber é o modelo da relação entre tensão e deformação no entalhe, ou seja, em regiões com variação de geometria, mais amplamente usado. ✓ É expresso como: 𝐾𝜎. 𝐾𝜀 = 𝐾𝑡 2 𝜎 𝜎0 . 𝜀 𝜀0 = 𝐾𝑡 2 𝜎. 𝜀 = 𝐾𝑡 2. 𝜎0. 𝜀0 ✓ De acordo com esta relação, a média geométrica dos fatores de concentração de tensão e deformação sob condições de deformação plástica permanece constante e igual ao fator de concentração de tensão teórico, Kt. Regra de Neuber TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 177 ✓ Esta regra está de acordo com medições em situações de tensão plana, como chapas finas sob tensão. ✓ A aplicação desta regra requer a solução de duas equações simultâneas, a equação do critério de Neuber, que descreve uma hipérbole, e a equação tensão-deformação. Regra de Neuber ✓ Aplicação da regra de Neuber para carregamento monotônico usando um método gráfico, onde o ponto A é a solução. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 178 ✓No Estado Plano de Tensões (EPT): 𝜎1 ≠ 0 𝜎2 ≠ 0 𝜎3 = 0 ✓ A tensão na direção perpendicular ao plano de tensões, s3, não acontece porque a deformação nessa direção pode ocorrer, não havendo restrição a essa deformação. Logo, ocorre a deformação nessa direção, 3, não nula. ✓ Por exemplo, uma peça sujeita a um campo biaxial de tensões deveria apresentar uma deformação compressiva na direção perpendicular às direções de aplicação de tensão, devido ao Efeito de Poisson. Se a peça for fina a deformação não encontra restrição e pode ocorrer. Surge, então, a deformação de compressão. Estado Plano de Tensões (EPT) TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 179 Regra de Neuber Para carregamento monotônico em regime nominal linear elástico 𝜎. 𝜀 = 𝐾𝑡 2. 𝜎0. 𝜀0 𝜎0 = 𝐸. 𝜀0 𝜎. 𝜀 = 𝐾𝑡 2. 𝜎0. 𝜎0 𝐸 𝜎. 𝜀 = 𝐾𝑡. 𝜎0 2 𝐸 𝜀 = 𝜎 𝐸 + 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 e → 𝜎. 𝜀 = 𝜎. 𝜎 𝐸 + 𝜎. 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 𝐾𝑡. 𝜎0 2 𝐸 = 𝜎2 𝐸 + 𝜎. 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 180 Exemplo 13 Tensão e deformação elastoplástica em furo circular, Kt=3, sob tensão nominal s0=500 MPa em material com Se=700 MPa, Smáx=1200 MPa, E=210000 MPa, H=1400 MPa e n=0,085. Regra de Neuber. 𝜀 = 𝜎 𝐸 + 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 𝜀 = 𝐾𝑡. 𝜎0 2 𝜎. 𝐸 s=921 MPa =0,01163 921 0,01163 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 181 ✓ Para carregamento cíclico, a curva de tensão-deformação monotônica é substituída pela curva de histerese ✓ As deformações e tensões são substituídas pelos intervalos de deformação, , e intervalos de tensão, s. ✓ Também se emprega o fator de concentração de tensões corrigido para a sensibilidade ao entalhe. Então: Regra de Neuber ∆𝜀 = ∆𝜎 𝐸 + 2 ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ 𝐾𝜎. 𝐾𝜀 = 𝐾𝑓 2 ∆𝜎 ∆𝜎0 . ∆𝜀 ∆𝜀0 = 𝐾𝑓 2 com 𝐾𝑓 = 1 + q 𝐾𝑡 − 1 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 182 ✓ Então: ✓ Como Regra de Neuber ∆𝜎. ∆𝜀 = ∆𝜎. ∆𝜎 𝐸 + 2∆𝜎. ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ ∆𝜎0 = 𝐸∆𝜀0 ∆𝜎. ∆𝜀 = 𝐾𝑓 2. ∆𝜎0. ∆𝜀0 ∆𝜎. ∆𝜀 = 𝐾𝑓 2. ∆𝜎0. ∆𝜎0 𝐸 = 𝐾𝑓. ∆𝜎0 2 𝐸 𝐾𝑓. ∆𝜎0 2 𝐸 = ∆𝜎 2 𝐸 + 2∆𝜎. ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 183 ✓ A aplicação da regra de Neuber é ilustrada pela Figura para carregamento cíclico de amplitude de tensão constante. ✓ Para o carregamento inicial de zero ao nível de tensão nominal máximo (s0máx no ponto A), a deformação máxima no concentrador de tensão e a tensão (máx e σmáx) podem ser encontradas na interseção da hipérbole de Neuber para tensão máxima devida ao concentrador de tensão com a curva tensão-deformação cíclica. ✓ O uso da curva tensão-deformação cíclica assume que o comportamento da deformação é ciclicamente estável. ✓ Para o descarregamento do ponto A ao ponto B (ou s = s1 - s2), o ponto A é considerado o ponto de referência e a curva de deformação no concentrador de tensão segue a curva de loop de histerese do material. Regra de Neuber TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 184 ✓ No ponto B, as variações de deformação e de tensão devido ao concentrador de tensão ( e σ) são encontradas pela interseção da hipérbole de Neuber em termos de tensões e deformações cíclicas com a curva de loop de histerese. ✓ É importante notar que para o descarregamento o ponto de reversão A é usado como a origem da hipérbole de Neuber e da curva de histerese. ✓ Para o carregamento de amplitude constante contínua, conforme mostrado na Figura, a deformação e tensão no concentrador de tensão continuará a seguir o ciclo de histerese fechado. Regra de Neuber TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 185 Exemplo 14 Tensão e deformação elastoplástica em furo circular – Regra de Neuber: d=16 mm Kt=3 Tensão nominal máxima s0máx=500 MPa Tensão nominal mínima s0mín=-150 MPa em material com Se=700 MPa Smáx=1200 MPa E=210000 MPa H=1400 MPa H’=1530 MPa n=0,085 n’=0,091 𝑎 = 1,239 − 2,250 × 10−3𝑆𝑚á𝑥 + 1,600 × 10−6𝑆𝑚á𝑥 2 − 4,105 × 10−10𝑆𝑚á𝑥 3 𝑎 = 1,239 − 2,250 × 10−3. 1200 + 1,600 × 10−6.12002 −4,105 × 10−10.12003 𝑎 = 0,113656 𝑞 = 1 1 + 𝑎 𝑟 𝑞 = 1 1 + 0,252624 16/2 = 0,954878 𝐾𝑓 = 1 + 𝑞(𝐾𝑡 − 1) 𝐾𝑓 = 1 + 0,917948 3 − 1 = 2,909755 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 186 Exemplo 14 𝜀 = 𝜎 𝐸 + 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 𝜀 = 𝐾𝑡. 𝜎0 2 𝜎. 𝐸 921 0,01163 0,001356 -737 ∆𝜀 = ∆𝜎 𝐸 + 2. ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ ∆𝜀 = 𝐾𝑓. ∆𝜎0 2 ∆𝜎. 𝐸 ∆𝜀 = ∆𝜎 𝐸 + 2. ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ A B TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 187 ✓ Uma regra de análise de tensão / deformação de entalhe mais recente é a densidade de energia de deformação ou regra de Glinka. ✓ Esta regra é baseada na suposição de que a densidade de energia de deformação na raiz do entalhe é quase a mesma para o comportamento do entalhe elástico linear (We) e para o comportamento do entalhe elastoplástico (Wp), enquanto a zona de deformação plástica no entalhe é rodeado por um campo de tensão elástica. ✓ Para tensão elástica nominal, σ0, a densidade de energia de deformação nominal, W0, é dada por: 𝑊0 = න 0 𝜀0 𝜎0𝑑𝜀0 ✓ Como 𝜀0 = 𝜎0 𝐸 e 𝑑𝜀0 = 𝑑𝜎0 𝐸 vem: 𝑊0 = න 0 𝜎0 𝜎0 𝐸 𝑑𝜎0 = 𝜎0 2 2𝐸 Regra de Glinka TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 188 Regra de Glinka 𝜎𝑒 = 𝐾𝑡. 𝜎0 𝜀𝑒 = 𝐾𝑡. 𝜀0 𝜎0 𝜀0 𝑊0 𝑊𝑒 𝑊𝑝 𝜎 𝜀 𝑊𝑒 ≈ 𝑊𝑝 Elástico linear Elastoplástico Tensão Deformação TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 189 ✓ Na raiz do entalhe, com um fator de concentração de tensão Kt, a densidade de energia de deformação, assumindo comportamento elástico linear monotônico é: 𝑊𝑒 = න 0 𝜀𝑒 𝜎𝑑𝜀 ✓ Como 𝜀 = 𝜎 𝐸 e 𝑑𝜀 = 𝑑𝜎 𝐸 e 𝜎𝑒 = 𝐾𝑡. 𝜎0 vem: 𝑊𝑒 = න 0 𝜎𝑒 𝜎 𝐸 𝑑𝜎 = 𝜎𝑒2 2𝐸 = 𝐾𝑡. 𝜎0 2 2𝐸 Regra de Glinka TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 190 ✓ Para o comportamento elastoplástico na raiz do entalhe, a relação tensão- deformação pode ser expressa por ✓ E a densidade de energia de deformação é dada por: 𝑊𝑝 = න 0 𝜀 𝜎𝑑𝜀 ✓ Como 𝑑𝜀 = 𝑑𝜎 𝐸 + 𝜎 ൗ 1 𝑛−1 𝑛.𝐻 ൗ 1 𝑛 𝑑𝜎 vem: 𝑊𝑝 = ׬0 𝜎 𝜎. 1 𝐸 + 𝜎 ൗ 1 𝑛−1 𝑛.𝐻 ൗ 1 𝑛 𝑑𝜎 = ׬0 𝜎 𝜎 𝐸 + 1 𝑛 𝜎 𝐻 Τ 1 𝑛 𝑑𝜎 𝑊𝑝 = 𝜎2 2𝐸 + 𝜎 𝑛 + 1 . 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 Regra de Glinka 𝜀 = 𝜎 𝐸 + 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 191 ✓ Fazendo 𝑊𝑒 = 𝑊𝑝 𝐾𝑡. 𝜎0 2 2𝐸 = 𝜎2 2𝐸 + 𝜎 𝑛 + 1 . 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 ✓ Comparando-se com a equação ✓ Pode-se observar que a única diferença para a regra de Neuber é o fator [2 / (n + 1)]. ✓ Como n <1 o critério de Glinka prevê menor tensão de entalhe (e, portanto, menor deformação de entalhe) do que na regra de Neuber, resultando em uma vida mais longa à fadiga em comparação com a regra de Neuber. Regra de Glinka 𝐾𝑡. 𝜎0 2 𝐸 = 𝜎2 𝐸 + 2𝜎 𝑛 + 1 . 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 𝐾𝑡. 𝜎0 2 𝐸 = 𝜎2 𝐸 + 𝜎. 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 192 Exemplo 15 𝐾𝑡. 𝜎0 2 𝐸 = 𝜎2 𝐸 + 2𝜎 𝑛 + 1 . 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 881 0,008496 𝜀 = 𝜎 𝐸 + 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 s=881 MPa =0,008496 Tensão e deformação elastoplástica em furo circular, Kt=3, sob tensão nominal s0=500 MPa em material com Se=700 MPa, Smáx=1200 MPa, E=210000 MPa, H=1400 MPa e n=0,085. Regra de Glinka. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 193 ✓ Para carregamento cíclico o critério de Glinka é escrito em termos de faixas de tensão e deformação, σ e . ✓ As propriedades de deformação monotônica do material (H e n) são substituídas por propriedades de deformação cíclica (H 'e n’), e Kt substituído por Kf, resultando na seguinte equação ✓ Que pode ser comparada com a equação do critério de Neuber: Regra de Glinka 𝐾𝑓. ∆𝜎0 2 2 𝐸 = ∆𝜎 2 2 𝐸 + 2 ∆𝜎 2 𝑛′ + 1 . ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ 𝐾𝑓. ∆𝜎0 2 𝐸 = ∆𝜎 2 𝐸 + 4∆𝜎 𝑛′ + 1 . ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ 𝐾𝑓. ∆𝜎0 2 𝐸 = ∆𝜎 2 𝐸 + 2∆𝜎. ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 194 Exemplo 16 Tensão e deformação elastoplástica em furo circular – Regra de Glinka: d=16 mm Kt=3 Tensão nominal máxima s0máx=500 MPa Tensão nominal mínima s0mín=-150 MPa em material com Se=700 MPa Smáx=1200 MPa E=210000 MPa H=1400 MPa H’=1530 MPa n=0,085 n’=0,091 𝑎 = 1,239 − 2,250 × 10−3𝑆𝑚á𝑥 + 1,600 × 10−6𝑆𝑚á𝑥 2 − 4,105 × 10−10𝑆𝑚á𝑥 3 𝑎 = 1,239 − 2,250 × 10−3. 1200 + 1,600 × 10−6.12002 −4,105 × 10−10.12003 𝑎 = 0,113656 𝑞 = 1 1 + 𝑎 𝑟 𝑞 = 1 1 + 0,252624 16/2 = 0,954878 𝐾𝑓 = 1 + 𝑞(𝐾𝑡 − 1) 𝐾𝑓 = 1 + 0,917948 3 − 1 = 2,909755 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 195 Exemplo 16 𝐾𝑡. 𝜎0 2 𝐸 = 𝜎2 𝐸 + 2𝜎 𝑛 + 1 . 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 881 -0,00076 𝜀 = 𝜎 𝐸 + 𝜎 𝐻 ൗ 1 𝑛 0,008496 𝐾𝑓. ∆𝜎0 2 𝐸 = ∆𝜎 2 𝐸 + 4∆𝜎 𝑛′ + 1 . ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ ∆𝜀 = ∆𝜎 𝐸 + 2. ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ ∆𝜀 = ∆𝜎 𝐸 + 2. ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ -721 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 196 Resumo dos Exemplos 11 a 16 Regra Linear Regra de Neuber Regra de Glinka Carga monotônica Tensão (smáx) 856 MPa 921 MPa 881 MPa Deformação (máx) 0,007143 0,01163 0,008496 Descarga até carga mínima Tensão (smín) -730 MPa -737 MPa -721 MPa Deformação (mín) -0,001863 0,001356 -0,00076 Carga cíclica Amplitude de tensão (sa) 793 MPa 829 MPa 801 MPa Amplitude de deformação (a) 0,004503 0,005137 0,00463 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 197 ✓ Resumo: ✓ Regra Linear: ✓ Regra de Neuber ✓ Regra de Glinka Metodologia de Vida à Deformação ( –N) 𝐾𝑓. ∆𝜎0 2 𝐸 = ∆𝜎 2 𝐸 + 4∆𝜎 𝑛′ + 1 . ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ 𝐾𝑓. ∆𝜎0 2 𝐸 = ∆𝜎 2 𝐸 + 2∆𝜎. ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ ∆𝜀 = ∆𝜎 𝐸 + 2. ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ ∆𝜀 = 𝐾𝑓. ∆𝜎0 2 ∆𝜎. 𝐸 ∆𝜀 = 𝐾𝑓. ∆𝜀0 ∆𝜀 = ∆𝜎 𝐸 + 2. ∆𝜎 2𝐻′ ൗ 1 𝑛′ TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 198 ✓ O critério linear é mais adequado para o Estado Plano de Deformações (EPD). ✓ Os critérios de Neuber e de Glinka são mais adequados para o Estado Plano de Tensões (EPT). ✓ EPD considera que não há deformação na direção perpendicular ao plano e EPT considera que não há tensão nessa direção. Porém, situações reais podem não se enquadrar nesses casos particulares e apresentarem um comportamento intermediário. Nessa situação, pode-se adotar: 𝐾𝜀 = 𝐾𝑡. 𝐾𝑡 𝐾𝜎 𝑚 Nessa situação, m=0 corresponde a EPD; m=1 corresponde a EPT. Para situações intermediárias pode-se empregar 0<m<1. Metodologia de Vida à Deformação ( –N) TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 199 10. CURVA -N (FADIGA DE BAIXO CICLO) TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 200 ✓A abordagem baseada em deformação para problemas de fadiga é amplamente usada atualmente. ✓ A deformação pode ser medida e tem se mostrado uma excelente quantidade para se correlacionar com a fadiga de baixo ciclo. ✓ Por exemplo, turbinas a gás operam com tensões razoavelmente constantes, mas quando são iniciadas ou paradas, estão sujeitas a uma faixa de tensões muito alta. ✓ As deformações locais podem estar bem acima da deformação que produz o escoamento e as tensões são mais difíceis de medir ou estimar do que as deformações. Metodologia de Vida à Deformação ( –N) TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 201 ✓ A aplicação mais comum da abordagem baseada em deformação, entretanto, é na fadiga de membros entalhados. ✓ Em um componente entalhado ou amostra submetida a cargas externas cíclicas, o comportamento do material na raiz do entalhe é melhor considerado em termos de deformação. ✓ Desde que haja restrição elástica em torno de uma zona plástica local no en- talhe, as deformações podem ser calculadas mais facilmente do que a tensão. ✓ Como o dano por fadiga é avaliado diretamente em termos de deformação local, esta abordagem é chamada de "abordagem de deformação local". Metodologia de Vida à Deformação ( –N) TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 202 ✓ Este conceito motivou o método de projeto de vida útil sob deformação com base em relacionar a vida à fadiga de peças entalhadas com a vida de espécimes pequenos e espécimes não entalhados que são submetidos às mesmas tensões do material na raiz do entalhe. ✓ Uma vida de fadiga esperada razoável, com base na nucleação ou formação de pequenas macrofraturas, pode então ser determinada se conhecermos o histórico temporal da deformação local em um entalhe em um componente e as propriedades de fadiga de vida de deformação não entalhada do material. ✓ A vida de crescimento de trinca por fadiga restante de um componente pode ser analisada usando conceitos de mecânica de fratura. Metodologia de Vida à Deformação ( –N) TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 203 Metodologia de Vida à Deformação ( –N) TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 204 ✓ Dados substanciais de fadiga de deformação-vida necessários para esse procedimento foram acumulados e publicados na forma de propriedades simplificadas do material de fadiga. ✓ Alguns desses dados estão incluídos na Tabela a seguir para ligas de engenharia selecionadas. Essas propriedades são obtidas a partir de espécimes de fadiga axial pequenos, polidos e não entalhados semelhantes. ✓ Os testes são realizados em amplitude constante, ciclos de deformação totalmente reversos. Metodologia de Vida à Deformação ( –N) TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 205 ✓ Os loops de histerese de estado estacionário podem predominar ao longo da maior parte da vida de fadiga, e esses loops podem ser reduzidos a faixas ou amplitudes de deformação elástica e plástica. ✓ Os ciclos até a falha podem variar de cerca de 10 a 106 ciclos e as frequências podem variar de cerca de 0,1 a 10 Hz. ✓ Além de 106 ciclos os testes controlados por carga ou tensão em maiores frequências são mais frequentemente realizados por causa da pequena ou falta de deformações plásticas e do maior tempo para falha. ✓ As curvas de vida útil são também chamadas de “dados de fadiga de baixo ciclo” porque muitos dos dados são para menos de cerca de 105 ciclos. Metodologia de Vida à Deformação ( –N) TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 206 Metodologia de Vida à Deformação ( –N) Material Processo S máx (MPa) Dureaz (HB) E (GPa) % Red. área S e (MPa) S' e (MPa) H (MPa) H' (MPa) n n' f 'f sf (MPa) s'f (MPa) b c 1010 LQ chapa 331 203 80 200 534 867 0,185 0,244 1,630 0,104 499 -0,100 -0,408 1020 LQ chapa 441 109 203 62 262 738 1962 0,190 0,321 0,960 0,377 1384 -0,156 -0,485 1038 Nrmalizado 582 163 201 54 331 342 1106 1340 0,259 0,220 0,770 0,309 898 1043 -0,107 -0,481 1038 T&R 649 195 219 67 410 364 1183 1330 0,221 0,208 1,100 0,255 1197 1009 -0,097 -0,460 Man-Tem LQ chapa 510 207 64 393 372 786 0,200 0,110 0,102 0,860 814 807 -0,071 -0,650 RQC-100 LQ chapa 931 290 207 64 883 600 1172 1434 0,060 0,140 1,020 0,660 1330 1240 -0,070 -0,690 1045 Recozido 752 225 200 44 517 1022 0,152 0,580 0,486 916 -0,079 -0,520 1045 T&R 1827 500 207 51 1689 3371 0,047 0,145 0,710 0,196 2661 -0,093 -0,643 1090 Normalizado 1090 259 203 14 735 545 1765 1611 0,158 0,174 0,150 0,250 1310 -0,091 -0,496 1090 T&R 1147 309 217 22 650 627 1895 1873 0,165 0,176 0,240 0,700 1878 -0,120 -0,600 1141 Normalizado 789 229 220 47 493 481 1379 1441 0,187 0,177 0,640 0,602 1117 1326 -0,103 -0,581 1141 T&R 925 277 227 59 814 591 1205 1277 0,074 0,124 0,880 0,309 1405 1127 -0,066 -0,514 4142 T&R 1413 380 207 48 1378 2266 0,051 0,124 0,650 0,637 2143 -0,094 -0,761 4142 T&R 1929 475 207 35 1722 2399 0,048 0,094 0,430 0,331 2161 -0,081 -0,854 4340 LQ 827 243 193 43 634 1337 0,168 0,570 0,522 1198 -0,095 -0,563 4340 T&R 1240 350 193 57 1178 1580 1887 0,066 0,137 0,840 1,122 1917 -0,099 -0,720 4340 T&R 1468 409 200 38 1371 1996 0,135 0,480 0,640 1879 -0,086 -0,636 30 Fundido 496 137 207 46 303 320 738 0,136 0,620 0,280 750 655 -0,083 -0,552 8630 Fundido 1144 305 207 29 985 682 1502 0,122 0,350 0,420 1268 1936 -0,121 -0,693 304 Recozido 572 190 276 2275 0,334 0,174 1267 -0,139 -0,415 304 LF 951 327 172 69 744 2270 0,176 1,160 0,554 2047 -0,112 -0,635 2024-T3 469 70 24 379 427 455 655 0,032 0,065 0,280 0,220 558 1100 -0,124 -0,590 5456-H311 400 95 69 35 234 817 0,145 0,420 1,076 826 -0,115 -0,797 7075-T6 579 70 34 469 524 827 0,110 0,146 0,410 0,190 745 1315 -0,126 -0,520 A356 Fundido 283 93 70 5,7 229 295 388 379 0,083 0,043 0,060 0,027 274 594 -0,124 -0,530 AZ91E-T6 Fundido 318 45 13 142 180 639 552 0,137 0,184 0,140 0,089 356 831 -0,148 -0,451 Incon 718 Envelhecido 1304 204 1110 1986 0,112 3,637 2295 -0,100 -0,894 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 207 ✓A gama das deformações  atuantes no ponto crítico da peça é correlacionada com o número de ciclos para iniciar a trinca, N ✓Essa modelagem requer quatro tipos de informação: 1) uma relação s×, para descrever os laços de histerese elastoplástica na raiz do entalhe; 2) uma regra de concentração de tensões para transformar tensões e deformações nominais s0 e 0em s e ; 3) uma relação entre a amplitude de deformações a e a vida à fadiga N; 4) uma regra de acúmulo de dano. Metodologia de Vida à Deformação ( –N) TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 208 ✓Em uma determinada vida, Nf ciclos ou 2 Nf reversões, a deformação total é a soma das deformações elásticas e plásticas. ✓ As curvas elásticas e plásticas podem ser aproximadas como linhas retas, em diagrama log-log. ✓ Em grandes deformações ou vidas curtas, o componente de deformação plástica é predominante. ✓ Em pequenas deformações ou vidas mais longas, o componente de deformação elástica é predominante. Metodologia de Vida à Deformação ( –N) TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 209 ✓ Isso é indicado pelas curvas em linha reta e os tamanhos do loop de histerese na Figura. ✓ As interceptações das duas linhas retas em 2Nf = 1 são s’f/E para o componente elástico e ’f para o componente plástico. ✓ As inclinações das linhas elásticas e plásticas são b e c, respectivamente. Metodologia de Vida à Deformação ( –N) TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 210 ✓ Isso fornece a seguinte equação para dados de deformação de vida de pequenos corpos de prova axiais lisos: Metodologia de Vida à Deformação ( –N) 𝜀𝑎 = ∆𝜀 2 = ∆𝜀𝑒 2 + ∆𝜀𝑝 2 𝜀𝑎 = 𝜎′𝑓 𝐸 2𝑁𝑓 𝑏 + 𝜀′𝑓 2𝑁𝑓 𝑐 Onde: ’f= coeficiente de ductilidade de fadiga c = exponente de ductilidade de fadiga s’f = coeficiente de resistência de fadiga b = exponente de resistência de fadiga E = módulo de elasticidade σ/2 = amplitude de tensão = σa /2 = amplitude total de deformação = a e/2 = amplitude de deformação elástica linear = σ/(2E) = σa/E p/2= amplitude de deformação plástica = /2- e/2 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 211 Equação de Basquin (1910) Metodologia de Vida à Deformação ( –N) 𝜀𝑎 = 𝜎′𝑓 𝐸 2𝑁𝑓 𝑏 + 𝜀′𝑓 2𝑁𝑓 𝑐 ∆𝜎 2 = 𝜎𝑎 = 𝐸. ∆𝜀𝑒 2 = 𝐸. 𝜀𝑎 = 𝜎′𝑓 2𝑁𝑓 𝑏 Equação de Coffin - Manson (1960) ∆𝜀𝑝 2 = 𝜀′𝑓 2𝑁𝑓 𝑐 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 212 Equação de Basquin (1910) Coeficiente de resistência de fadiga 𝜀𝑎 = 𝜎′𝑓 𝐸 2𝑁𝑓 𝑏 Uma boa aproximação é: Fazendo 𝑁𝑓 = 1 2 Que corresponde a uma inversão (1/2 ciclo) ou carregamento monotônico 𝜀𝑎 = 𝜎′𝑓 𝐸 2. 1 2 𝑏 → 𝜎′𝑓 = 𝐸. 𝜀𝑎 Que corresponde à tensão de fratura de um corpo de prova construído com o material na condição de resposta cíclica (encruado ou amolecido) 𝜎′𝑓 ≈ 𝜎𝑓 𝜎𝑓 = 𝑃𝑓 𝐴𝑓. 1 + 4 𝑅 𝐷𝑚í𝑛 𝑙𝑛 1 + 𝐷𝑚í𝑛 4𝑅 𝐴𝑓 = 𝜋𝐷𝑚í𝑛 2 4 Para aços com dureza < 500 HB é: 𝜎𝑓 ≈ 𝑆𝑚á𝑥 + 345 𝑀𝑃𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 213 Metodologia de Vida à Deformação ( –N) Equação de Coffin - Manson (1960) Fazendo 𝑁𝑓 = 1 2 Que corresponde a uma inversão (1/2 ciclo) ou carregamento monotônico → 𝜀′𝑓 = 𝜀𝑝 Que corresponde à deformação de fratura de um corpo de prova construído com o material na condição de resposta cíclica (encruado ou amolecido) 𝜀𝑝 = 𝜀′𝑓 2𝑁𝑓 𝑐 𝜀𝑝 = 𝜀′𝑓 2. 1 2 𝑐 Uma boa aproximação é: 𝜀′𝑓 ≈ 𝜀𝑓 RA é a redução de área na fratura do corpo de prova em tração 𝜀𝑓 = 𝑙𝑛 1 1 − 𝑅𝐴 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 214 Metodologia de Vida à Deformação ( –N) 𝜀′𝑓 ൗ 𝜎′𝑓 𝐸 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 215 Metodologia de Vida à Deformação ( –N) ✓ As propriedades de fadiga de deformação, que também são frequentemente referidas como "propriedades de fadiga de baixo ciclo", são obtidas por dados de ajuste de curva de loops de histerese estáveis. ✓ O coeficiente de resistência à fadiga, σ’f, e o expoente de resistência à fadiga, b, são a interceptação e a inclinação dos mínimos quadrados lineares ajustados à amplitude de tensão, s/2, versus reversões à falha, 2Nf, usando uma escala log-log. ✓ Da mesma forma, o coeficiente de ductilidade de fadiga, ’f e o expoente de ductilidade de fadiga, c, são a interceptação e a inclinação dos mínimos quadrados lineares ajustados à amplitude de deformação plástica, s/2, versus reversões à falha, 2Nf, usando uma escala log-log. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 216 Metodologia de Vida à Deformação ( –N) ✓ As amplitudes de deformação plástica podem ser calculadas a partir de ∆𝜀𝑝 2 = ∆𝜀 2 − ∆𝜎 2𝐸 ✓ Geralmente existe uma diferença entre os valores medidos e calculados, que resulta da diferença entre os módulos de elasticidade monotônico e cíclico, bem como do arredondamento dos loops de histerese próximos ao eixo de deformação que muitos materiais apresentam. ✓ Essa diferença, entretanto, é geralmente pequena e é frequentemente mais convenientemente usado para obter a amplitude de deformação plástica. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 217 Metodologia de Vida à Deformação ( –N) ✓ Ao ajustar os dados para obter as quatro propriedades de deformação, as amplitudes de tensão e deformação plástica devem ser tratadas como variáveis ​independentes e a vida de fadiga como a variável dependente. ✓ Isso ocorre porque a vida em fadiga não pode ser controlada e depende da amplitude de deformação aplicada. ✓ Além disso, dados de vidas muito curtas (às vezes menos de 10 ciclos, mas geralmente menos de 100 ciclos) e de vida muito longa (normalmente mais de 105 ou 106 ciclos para aços) não são geralmente incluídos nos ajustes de dados. ✓ Isso ocorre porque a flambagem com cargas altas e os efeitos de limite de fadiga e imprecisões na medição de pequenas deformações plásticas com cargas baixas podem influenciar os resultados do teste. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 218 Metodologia de Vida à Deformação ( –N) ✓ Portanto, a equação de tensão-vida com base nas propriedades obtidas é válida apenas para o mesmo regime de vida que os dados usados, embora as extrapolações sejam frequentemente feitas para vidas mais curtas e mais longas. ✓ O coeficiente de resistência cíclica, H', e o expoente de endurecimento de deformação cíclica, n', são obtidos ajustando a amplitude de tensão estável versus dados de amplitude de deformação plástica. ✓ Estimativas aproximadas de H 'e n' também podem ser calculadas a partir das propriedades de fadiga de baixo ciclo. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 219 Uma maneira de calcular, aproximadamente, os parâmetros de da equação  - N, a partir de dados do comportamento elastoplástico do material é: Metodologia de Vida à Deformação ( –N) 𝜀𝑒𝑎 = 𝜎′𝑓 𝐸 2𝑁𝑓 𝑏 𝜀𝑝𝑎 = 𝜀′𝑓 2𝑁𝑓 𝑐 𝜀𝑒𝑎 = 𝜎𝑎 𝐸 → 𝜎𝑎 = 𝐸. 𝜀𝑒𝑎 Também: 𝜎𝑎 = 𝐸. 𝜎′𝑓 𝐸 2𝑁𝑓 𝑏 = 𝜎′𝑓 2𝑁𝑓 𝑏 𝜀𝑝𝑎 = 𝜎𝑎 𝐻′ 1 𝑛′ 𝜎𝑎 = 𝜀𝑝𝑎 𝑛′. 𝐻′ 𝜀′𝑓 2𝑁𝑓 𝑐 𝑛′ . 𝐻′ = 𝜎′𝑓 2𝑁𝑓 𝑏 𝐻′. 𝜀′𝑓 𝑛′. 2𝑁𝑓 𝑐𝑛′ = 𝜎′𝑓 2𝑁𝑓 𝑏 𝐻′. 𝜀′𝑓 𝑛′ = 𝜎′𝑓 𝐻′ = 𝜎′𝑓 𝜀′𝑓 𝑛′ 𝑐𝑛′ = 𝑏 𝑛′ = 𝑏 𝑐 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 220 Os parâmetros de da equação b e c podem ser estimados como: b: varia como -0,12  b  -0,05 para a maioria dos metais, com uma média de -0,085. c: não é tão bem definido como os outros parâmetros. Uma aproximação seria: Coffin: c  -0,5 Manson: c  -0,6 Morrow: -0,7  c  -0,5 Materiais muito dúcteis, com f  1,0, apresentam na média c = -0,6. Materiais muito resistentes, com f  0,5, apresentam c  -0,5. Metodologia de Vida à Deformação ( –N) TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 221 Metodologia de Vida à Deformação ( –N) ✓ Valores de H ‘e n' obtidos do ajuste direto dos dados experimentais e calculados a partir das relações aproximadas podem ser muito semelhantes ou muito diferentes, dependendo da qualidade dos ajustes linearizados representados pelas Equações de Ramsber-Osgood, Basquin e Coffin-Manson. ✓ Uma grande diferença para um material pode indicar que o comportamento elástico e plástico de deformação-vida não é bem representado por ajustes log-log linearizados. ✓ Nesse caso, a Equação -N pode não ser representativa do comportamento de tensão-vida para o material. ✓ Recomenda-se que os valores de H 'e n' obtidos do ajuste direto dos dados experimentais sejam usados no projeto de fadiga, em preferência aos valores calculados aproximadamente. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 222 Metodologia de Vida à Deformação ( –N) ✓ Muralidharan e Manson aproximaram a Equação ✓ com seu método de inclinações universais, onde Smáx ,E e f são todos obtidos a partir de um teste de tração monotônica. ✓ Supõe-se que os dois expoentes são fixos para todos os metais e que apenas Smáx ,E e f controlam o comportamento de fadiga. ✓ Esse modelo foi obtido com base em dados de 47 metais, incluindo aços, alumínio e ligas de titânio. 𝜀𝑎 = 𝜎′𝑓 𝐸 2𝑁𝑓 𝑏 + 𝜀′𝑓 2𝑁𝑓 𝑐 𝜀𝑎 = 0,623. 𝑆𝑚á𝑥 𝐸 0,832 2𝑁𝑓 −0,09 + 0,0196. 𝜀𝑓 0,155. 𝑆𝑚á𝑥 𝐸 −0,53 2𝑁𝑓 −0,56 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 223 Exemplo 17 ∆𝜺 𝟐 ∆𝝈 𝟐 ∆𝜺𝒆 𝟐 ∆𝜺𝒑 𝟐 2.Nf 0,03930 1120 0,00572 0,03358 50 0,03930 1117 0,00570 0,03360 68 0,02925 1069 0,00546 0,02379 122 0,01975 989 0,00505 0,01470 256 0,01960 989 0,00505 0,01455 350 0,01375 941 0,00481 0,00894 488 0,00980 900 0,00460 0,00520 1364 0,00980 872 0,00445 0,00535 1386 0,00655 834 0,00426 0,00229 3540 0,00630 820 0,00419 0,00211 3590 0,00460 786 0,00401 0,00059 9100 0,00360 731 0,00373 -0,00013 35200 0,00295 583 0,00298 -0,00003 140000 Determinar as constantes da relação tensão x deformação e deformação x vida para os dados de ensaio elastoplástico cíclico a seguir, com 𝐸 = 195800 𝑀𝑃𝑎: TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 224 Exemplo 17 𝜀𝑒𝑎 = 𝜎′𝑓 𝐸 2𝑁𝑓 𝑏 𝜎′𝑓 𝐸 = 0,007831 𝑏 = −0,076144 𝜎′𝑓 = 195800 . 0,007831 𝜎′𝑓 = 1533 𝑀𝑃𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 225 Exemplo 17 𝜀𝑎𝑝 = 𝜀′𝑓 2𝑁𝑓 𝑐 𝜀′𝑓 = 0,811161 c = −0,731859 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 226 Exemplo 17 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 227 Exemplo 17 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 228 Exemplo 17 𝜎𝑎 = 𝜀𝑝𝑎 𝑛′. 𝐻′ 𝐻′ = 1492 𝑀𝑃𝑎 𝑛′ = 0,093865 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 229 Cálculo aproximado, para os dados do ensaio de tração do material: 𝜎𝑓 = 1572 𝑀𝑃𝑎 𝜀𝑓 = 0,734 𝐸 = 195800 𝑀𝑃𝑎 Empregando-se: 𝑏 = −0,085 𝑐 = −0,6 Exemplo 17 𝐻′ = 𝜎′𝑓 𝜀′𝑓 𝑛′ 𝑛′ = 𝑏 𝑐 𝑛′ = −0,085 −0,6 → 𝑛′ = 0,1417 → → 𝐻′ = 1572 0,734 0,1417 → 𝜎′𝑓 ≅ 𝜎𝑓 = 1572 𝑀𝑃𝑎 𝜀′𝑓 = 𝜀𝑓= 0,734 𝐻′ = 1642 𝑀𝑃𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 230 Exemplo 17 Parâmetro Calculado a partir de Diferença dados experimentais aproximações 𝜎′𝑓 1533 𝑀𝑃𝑎 1572 𝑀𝑃𝑎 +2,54 % 𝜀′𝑓 0,8112 0,7340 −9,5 % 𝑏 −0,0761 −0,0850 +11,7 % 𝑐 −0,7319 −0,6000 −18,0 % 𝐻′ 1492 𝑀𝑃𝑎 1642 𝑀𝑃𝑎 +10,0 % 𝑛′ 0,0939 0,1417 +50,9 % TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 231 Vida de fadiga de transição ✓ A vida na qual os componentes elásticos e plásticos da deformação são iguais é chamada de “vida de fadiga de transição”, 2Nt. ✓ Esta é a vida em que as curvas de deformação elástica e plástica se cruzam. ✓ A equação para a vida de fadiga de transição pode ser derivada igualando as deformações elásticas e plásticas. 𝜎′𝑓 𝐸 2𝑁𝑓 𝑏 = 𝜀′𝑓 2𝑁𝑓 𝑐 2𝑁𝑡 = 𝜀′𝑓𝐸 𝜎′𝑓 1 𝑏−𝑐 → TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 232 Vida de fadiga de transição ✓ Para vidas menores que 2Nt a deformação é principalmente plástica. ✓ Para vidas maiores que 2Nt, a deformação é principalmente elástica. ✓ A vida da fadiga de transição diminui com o aumento da dureza para aços e pode ser de apenas alguns ciclos para metais de alta resistência e da ordem de 105 ciclos para metais com comportamento dúctil. ✓ Isso indica que mesmo em vidas relativamente longas, de mais do que 105 ciclos, deformação plástica significativa pode estar presente. Portanto, a abordagem baseada em deformação é uma abordagem apropriada para uso. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 233 Vida de fadiga de transição ✓ De uma forma geral, com N < 10 Nt, ou N < 5.(2 Nt), a deformação plástica é importante e nesta região é definido o regime de fadiga a baixo ciclos. ✓ No caso de N > 10 Nt ou N > 5.(2 Nt), a deformação plástica existe ainda, mas não é tão importante, definindo-se o regime de fadiga a alto número de ciclos. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 234 Vida de fadiga de transição Material Processo S máx (MPa) E (GPa) S e (MPa) S' e (MPa) 'f s'f (MPa) b c 2Nt A356 Fundido 283 70 229 295 0,027 594 -0,124 -0,530 17 4142 T&R 1929 207 1722 0,331 2161 -0,081 -0,854 87 1045 T&R 1827 207 1689 0,196 2661 -0,093 -0,643 142 AZ91E-T6 Fundido 318 45 142 180 0,089 831 -0,148 -0,451 180 2024-T3 469 70 379 427 0,220 1100 -0,124 -0,590 288 7075-T6 579 70 469 524 0,190 1315 -0,126 -0,520 355 4142 T&R 1413 207 1378 0,637 2143 -0,094 -0,761 481 5456-H311 400 69 234 1,076 826 -0,115 -0,797 732 8630 Fundido 1144 207 985 682 0,420 1936 -0,121 -0,693 774 Incon 718 Envelhecido 1304 204 1110 3,637 2295 -0,100 -0,894 1448 304 LF 951 172 744 0,554 2047 -0,112 -0,635 1546 RQC-100 LQ chapa 931 207 883 600 0,660 1240 -0,070 -0,690 1967 4340 T&R 1240 193 1178 1,122 1917 -0,099 -0,720 2022 4340 T&R 1468 200 1371 0,640 1879 -0,086 -0,636 2154 1090 Normalizado 1090 203 735 545 0,250 1310 -0,091 -0,496 8344 1090 T&R 1147 217 650 627 0,700 1878 -0,120 -0,600 9434 1141 T&R 925 227 814 591 0,309 1127 -0,066 -0,514 10106 Man-Tem LQ chapa 510 207 393 372 0,860 807 -0,071 -0,650 11160 4340 LQ 827 193 634 0,522 1198 -0,095 -0,563 12965 30 Fundido 496 207 303 320 0,280 655 -0,083 -0,552 14163 1141 Normalizado 789 220 493 481 0,602 1326 -0,103 -0,581 15241 1045 Recozido 752 200 517 0,486 916 -0,079 -0,520 39227 1038 Nrmalizado 582 201 331 342 0,309 1043 -0,107 -0,481 55673 1038 T&R 649 219 410 364 0,255 1009 -0,097 -0,460 63374 304 Recozido 572 190 276 0,174 1267 -0,139 -0,415 135626 1010 LQ chapa 331 203 200 0,104 499 -0,100 -0,408 190815 1020 LQ chapa 441 203 262 0,377 1384 -0,156 -0,485 198136 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 235 Metodologia de Vida à Deformação ( –N) ✓ As diferenças gerais entre os metais sob testes controlados por deformação são mostradas esquematicamente na Figura. ✓ Alguns metais têm vida semelhante em uma amplitude de deformação total de cerca de 0,01. ✓ Em grandes deformações, o aumento da vida útil depende mais da ductilidade, enquanto em pequenas deformações a vida útil mais longa é obtida de materiais de maior resistência. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 236 Metodologia de Vida à Deformação ( –N) ✓ O comportamento geral ideal de vida útil de deformação é para metais duros, que têm boas combinações de resistência e ductilidade. ✓ "Vida de fadiga" aqui se refere à: ✓ nucleação ou formação de uma pequena trinca detectável; ✓ uma redução percentual na carga de tração causada pela nucleação e crescimento da trinca; ✓ uma diminuição na proporção de descarga para módulos de carga devido à presença de uma trinca ou trincas; ✓ fratura final. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 237 Metodologia de Vida à Deformação ( –N) ✓ Para o critério de fratura final, a trinca cresceria cerca de 10 a 50 % da seção transversal do corpo de prova. ✓ Uma vez que os espécimes de teste de tensão de vida têm geralmente entre cerca de 3 e 10 mm (1/8 e 3/8 pol.) de diâmetro, isso implica que os critérios de fratura de tensão de vida são baseados em trincas crescendo a uma profundidade de cerca de 0,25 a 5 mm (0,01 a 0,2 pol.). ✓ O valor real depende da amplitude da deformação, do módulo de elasticidade e da tenacidade à fratura do material. ✓ Os outros três critérios baseiam-se na vida até as fissuras, que geralmente são menores do que aquelas na fratura. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 238 Metodologia de Vida à Deformação ( –N) ✓ Em geral, trincas menores que 0,25 mm (0,01 pol.) não seriam prontamente observadas nesses testes e provavelmente não causariam diminuição suficiente na carga de tração ou descarga para módulos de carga para encerrar um teste. ✓ Assim, uma conclusão razoavelmente importante a respeito dos critérios de falha em testes de deformação de espécimes lisos não entalhados é que a vida até a falha significa vida até comprimentos de trinca por fadiga de 0,25 a 5 mm (0,01 a 0,2 pol.). ✓ Este intervalo é bastante grande; assim, pode-se referir a este comprimento de trinca de fadiga como um comprimento "da ordem de 1 mm". TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 239 Metodologia de Vida à Deformação ( –N) ✓ Muitos dados de fadiga de vida de tensão de baixo ciclo são obtidos nessas condições. ✓ Esses valores são obtidos a partir de ensaios em corpos de prova lisos (não entalhados) e, também, não consideram influências de acabamento de superfície, tamanho, concentração de tensão, temperatura e corrosão, que devem ser incluídos no projeto de fadiga. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 240 Metodologia de Vida à Deformação ( –N) ✓ A abordagem baseada em deformação unifica o tratamento da fadiga de baixo ciclo e alto ciclo. ✓ Essa abordagem também se aplica a aplicações de longa vida, onde podem existir pequenas deformações plásticas. ✓ Nesse caso, o termo de deformação plástica é insignificante e a equação de vida de deformação total se reduz à Equação de Basquin, que também foi usado para a abordagem tensão-vida (S-N). ✓ Portanto, a abordagem baseada em deformação é uma abordagem abrangente que pode ser aplicada a regimes de fadiga de ciclo baixo e alto. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 241 EFEITOS DE TENSÃO MÉDIA ✓ O comportamento controlado por deformação e o comportamento de fadiga foram definidos para a deformação completamente reversa 𝑅 = 𝜀𝑚í𝑛 𝜀𝑚á𝑥 = −1 ✓ Em muitas aplicações, no entanto, uma deformação média pode estar presente. ✓ Carregamento cíclico controlado por deformação com uma deformação média geralmente resulta em uma tensão média que pode se relaxar total ou parcialmente com a continuação do ciclo. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 242 EFEITOS DE TENSÃO MÉDIA ✓ Este relaxamento é devido à presença de deformação plástica e, portanto, a taxa ou quantidade de relaxamento depende da magnitude da amplitude da deformação plástica. ✓ Como resultado, há mais relaxamento de tensão média em amplitudes de deformação maiores. ✓ O relaxamento do estresse é diferente do amolecimento cíclico e pode ocorrer em um material ciclicamente estável. ✓ A tensão média geralmente não afeta o comportamento de fadiga, a menos que resulte em uma tensão média não totalmente relaxada. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 243 EFEITOS DE TENSÃO MÉDIA Aparecimento e desaparecimento de bandas de deslizamento em vários pontos do primeiro ciclo do laço de histerese durante carregamento de fadiga em liga de alumínio sob tração TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 244 EFEITOS DE TENSÃO MÉDIA ✓ Uma vez que há mais relaxamento de tensão média em amplitudes de deformação mais altas devido às deformações plásticas maiores, o efeito de tensão média na vida de fadiga é menor na região de fadiga de ciclo baixo e maior na região de fadiga de ciclo alto. Amplitude de deformação, a Reversões até a falha, 2Nf TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 245 EFEITOS DE TENSÃO MÉDIA ✓ O efeito geral da tensão média na vida em fadiga usando a abordagem S- N é bem equacionado. ✓ A inclusão de efeitos médios de tensão em métodos de predição de fadiga envolvendo dados de deformação é mais complexa. Um método, muitas usado é o Método de Morrow: ∆𝜀 2 = 𝜀𝑎 = 𝜎′𝑓 − 𝜎𝑚 𝐸 2𝑁𝑓 𝑏 + 𝜀′𝑓 2𝑁𝑓 𝑐 Onde 𝜎𝑚 é a tensão média. 𝜎𝑚 é considerado positivo para valores de tração e negativo para valores de compressão. Prevê que a tensão média de tração é prejudicial e a tensão média compressiva é benéfica. Também prevê mais efeito da tensão média em vidas longas. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 246 EFEITOS DE TENSÃO MÉDIA ✓ O critério de Manson e Halford envolve a tensão média na parcela elástica e na parcela plástica da deformação, para manter a independência entre a deformação e a tensão média: ∆𝜀 2 = 𝜀𝑎 = 𝜎′𝑓 − 𝜎𝑚 𝐸 2𝑁𝑓 𝑏 + 𝜀′𝑓. 𝜎′𝑓 − 𝜎𝑚 𝜎′𝑓 𝑐 𝑏 2𝑁𝑓 𝑐 Onde 𝜎𝑚 é a tensão média. ✓ Um terceiro critério é SWT – Smith, Watson e Topper: 𝜎𝑚á𝑥𝜀𝑎𝐸 = 𝜎′𝑓 2. 2𝑁𝑓 2𝑏 +𝜎′𝑓.𝜀′𝑓. 𝐸. 2𝑁𝑓 𝑏+𝑐 Onde 𝜎𝑚á𝑥 = 𝜎𝑚 + 𝜎𝑎 ✓ Esse modelo tem por base que 𝜎𝑚á𝑥𝜀𝑎 é constante para uma mesma vida. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 247 Fatores que influenciam o comportamento da vida em deformação ✓ Semelhante à abordagem S-N, além da tensão média, muitos outros fatores podem influenciar o comportamento de fadiga de deformação- vida de um material. ✓ Isso inclui concentrações de tensões, tensões residuais, estados de tensão multiaxiais, efeitos ambientais, tamanho e efeitos de acabamento de superfície. ✓ Os efeitos de muitos desses fatores são semelhantes aos do comportamento S-N. ✓ Uma vantagem da abordagem de deformação-vida para predição de fadiga é sua capacidade de contabilizar diretamente as deformações plásticas frequentemente presentes em concentrações de tensão. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 248 Fatores que influenciam o comportamento da vida em deformação ✓ Os efeitos da tensão residual na vida em fadiga são semelhantes aos efeitos da tensão média. ✓ Portanto, há pouca ou nenhuma influência em vidas curtas devido ao relaxamento de tensão resultante da deformação plástica e mais influência em vidas longas, onde as deformações são principalmente elásticas. ✓ Os efeitos ambientais no comportamento de deformação, incluindo baixas e altas temperaturas e corrosão, tem influência semelhante ao critério S-N. ✓ Os efeitos de tamanho no comportamento de deformação são semelhantes aos encontrados usando a abordagem S-N. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 249 ✓ Os efeitos de acabamento de superfície também são semelhantes aos da abordagem S-N. ✓ Uma vez que as trincas por fadiga frequentemente são nucleadas primeiro na região de ciclo baixo devido a grandes deformações plásticas, geralmente há pouca influência do acabamento da superfície em vidas curtas. ✓ Por outro lado, há mais influência no regime de fadiga de alto ciclo, onde a deformação elástica é dominante. ✓ Portanto, apenas a parte elástica da curva de deformação-vida é modificada para levar em conta o efeito do acabamento da superfície. ✓ Isso é feito reduzindo a inclinação da curva de deformação-vida elástica, b, de maneira análoga à modificação da curva S-N para acabamento de superfície. Fatores que influenciam o comportamento da vida em deformação TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 250 Superfície polida Superfície não polida Deformação total Deformação elástica Deformação plástica ൗ 𝑆𝑛 𝐸 ൗ 𝑘𝑎𝑆𝑛 𝐸 Amplitude de deformação Reversões até a falha (2Nf) Fatores que influenciam o comportamento da vida em deformação ✓ O procedimento é mostrado esquematicamente na Figura. Nesta figura, Sn denota um limite de fadiga para um acabamento de superfície polida. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 251 ✓ A inclinação da curva de deformação-vida elástica para a condição de superfície polida é então reduzida de b para b’ diminuindo o limite de fadiga com o fator de correção, ka. ✓ A inclinação b’ para aços com um limite de fadiga assumido em 106 ciclos pode ser calculada a partir de 𝑏′ = 𝑏 + 0,159. 𝑙𝑜𝑔𝑘𝑎 Fatores que influenciam o comportamento da vida em deformação TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 252 Exemplo 18 Tensão e deformação elastoplástica em furo circular – Regra de Neuber: d=16 mm ; Kt=3 Tensão nominal máxima s0máx=500 MPa Tensão nominal mínima s0mín=-150 MPa em material com Se=700 MPa Smáx=1200 MPa E=210000 MPa H=1400 MPa H’=1530 MPa n=0,085 n’=0,091 σ’f=1545 MPa ’f=1,113 b= -0,0527 c= -0,579 Regra de Neuber Carga monotônica Tensão (smáx) 921 MPa Deformação (máx) 0,01163 Descarga até carga mínima Tensão (smín) -737 MPa Deformação (mín) 0,001356 Carga cíclica Amplitude de tensão (sa) 829 MPa Amplitude de deformação (a) 0,005137 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 253 Exemplo 18 2𝑁𝑡 = 13858 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠õ𝑒𝑠 𝑁𝑡 = 6929 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 Número de ciclos de transição 2𝑁𝑡 = 𝜀′𝑓𝐸 𝜎′𝑓 1 𝑏−𝑐 2𝑁𝑡 = 1,113.210000 1545 1 −0,0527−(−0,579) TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 254 Exemplo 18 Tensão média 𝜎𝑚 = 921 + (−737) 2 = 92 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑚 = 𝜎𝑚á𝑥 + 𝜎𝑚í𝑛 2 𝜀𝑎 = 𝜎′𝑓 − 𝜎𝑚 𝐸 2𝑁𝑓 𝑏 + 𝜀′𝑓 2𝑁𝑓 𝑐 0,005137 = 1545 − 92 210000 2𝑁𝑓 −0,0527 + 1,113. 2𝑁𝑓 −0,579 2𝑁𝑓 = 105319 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠õ𝑒𝑠 𝑁𝑓 = 52659 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 Regra de Morrow TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 255 Exemplo 18 Tensão média 𝜎𝑚 = 921 + (−737) 2 = 92 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑚 = 𝜎𝑚á𝑥 + 𝜎𝑚í𝑛 2 0,005137 = 1545 − 92 210000 2𝑁𝑓 −0,0527 + 1,113. 1545 − 92 1545 −0,579 −0,0527 2𝑁𝑓 −0,579 2𝑁𝑓 = 42205 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠õ𝑒𝑠 𝑁𝑓 = 21102 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 Regra de Manson e Halford 𝜀𝑎 = 𝜎′𝑓 − 𝜎𝑚 𝐸 2𝑁𝑓 𝑏 + 𝜀′𝑓. 𝜎′𝑓 − 𝜎𝑚 𝜎′𝑓 𝑐 𝑏 2𝑁𝑓 𝑐 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 256 Exemplo 18 Tensão média 𝜎𝑚 = 921 + (−737) 2 = 92 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑚 = 𝜎𝑚á𝑥 + 𝜎𝑚í𝑛 2 2𝑁𝑓 = 87011 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠õ𝑒𝑠 𝑁𝑓 = 43505 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 Regra de Smith, Watson e Topper 𝜎𝑚á𝑥𝜀𝑎𝐸 = 𝜎′𝑓 2. 2𝑁𝑓 2𝑏 +𝜎′𝑓.𝜀′𝑓. 𝐸. 2𝑁𝑓 𝑏+𝑐 921.0,005137.210000 = 15452. 2𝑁𝑓 2.−0,0527 +1545.1,113.210000. 2𝑁𝑓 −0,0527+(−0,579) 𝜎𝑚á𝑥 = 𝜎𝑚 + 𝜎𝑎 𝜎𝑚á𝑥 = 92 + 829 = 921 𝑀𝑃𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 257 Exemplo 18 2𝑁𝑓 = 13072 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠õ𝑒𝑠 𝑁𝑓 = 6536 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 Método das inclinações universais 𝜀𝑎 = 0,623. 𝑆𝑚á𝑥 𝐸 0,832 2𝑁𝑓 −0,09 + 0,0196. 𝜀𝑓 0,155. 𝑆𝑚á𝑥 𝐸 −0,53 2𝑁𝑓 −0,56 0,005137 = 0,623. 1200 210000 0,832 2𝑁𝑓 −0,09 + 0,0196. 1,1130,155. 1200 210000 −0,53 2𝑁𝑓 −0,56 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 258 11. FRATURA EM ESTRUTURAS CRISTALINAS TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 259 Características de fratura macroscópica ✓ Como é visível na figura as falhas de serviço de engenharia podem gerar grandes áreas de superfície de fratura. ✓ Um elemento-chave na análise de uma determinada falha reside na identificação do (s) mecanismo (s) pelo (s) qual (is) uma trinca crítica se desenvolveu. ✓ É necessário que se focalize a maior parte da atenção na região de origem da trinca, em vez de nas áreas maiores associadas à rápida fratura instável. Deformation and fracture mechanics of engineering materials R. W. Hertzberg, R. P. Vinci, J. L. Hertzberg.— Fifth edition. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 260 ✓ Um exame por partes de toda a superfície de fratura do navio da figura, um milímetro quadrado de cada vez, levaria anos para ser concluído, seria extremamente caro e seria excessivamente redundante. ✓ Felizmente, a trinca geralmente deixa uma série de marcas de fratura em seu rastro que podem indicar a direção relativa e o caráter do movimento da trinca. ✓ Essas marcações diferem de uma classe de material para outra e de um modo de falha para outro. ✓ Mas o nível de tensão, as condições de carregamento e a direção do crescimento da trinca são frequentemente evidentes para o observador treinado. Características de fratura macroscópica TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 261 Fraturas de Metais ✓ Os metais têm o maior potencial de alta tenacidade à fratura de qualquer classe de material, o que é indiscutivelmente o principal motivo de os metais serem tão amplamente usados ​para aplicações estruturais. ✓ No entanto a tenacidade à fratura de metais, que é a capacidade de suportar uma trinca sob tensão de forma estável, pode variar em aproximadamente duas ordens de magnitude. ✓ Em grande parte, isso se deve à ampla variação na ductilidade encontrada na classe dos metais. A tenacidade do metal também pode ser sensível a variações nas condições de processamento ou uso, e essa sensibilidade pode ser evidente a partir da extensão da deformação plástica presente. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 262 Fraturas de Metais ✓ A tenacidade de uma liga de metal na forma de placa pode, muitas vezes, ser avaliada pelas quantidades relativas de fratura macroscopicamente plana e inclinada. ✓ Superfícies fraturadas de corpos de prova de alumínio revelando falha do tipo oblíqua e plana. ✓ A diminuição do nível de tenacidade corresponde ao aumento da fração de fratura plana, como à direita. Fratura plana Fratura inclinada Deformation and fracture mechanics of engineering materials R. W. Hertzberg, R. P. Vinci, J. L. Hertzberg.— Fifth edition. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 263 Fraturas de Metais ✓ Percebe-se, então, que os níveis de tenacidade são mais altos em associação com uma aparência de fratura inclinada e correspondentemente mais baixos quando a superfície de fratura é essencialmente plana. ✓ Falhas devido principalmente a cisalhamento ou carregamento de torção não criam lábios de cisalhamento, mas o rasgo dúctil da superfície de fratura tende a deixar outras evidências de deformação plástica: marcas lineares de rasgo no caso de cisalhamento e marcas em espiral no caso de torção. Evidência visível de plasticidade em falhas por sobrecarga de cisalhamento e torção de hastes cilíndricas de Ti-6Al- 4V recozidas. Deformation and fracture mechanics of engineering materials R. W. Hertzberg, R. P. Vinci, J. L. Hertzberg.— Fifth edition. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 264 Fraturas de Metais ✓ O caminho da trinca oferece outro indicador potencial entre fratura de metal dúctil x frágil. ✓ Falhas de metais tenazes tendem a resultar em uma única trinca, simplificando a determinação da origem. ✓ Falhas de metal frágil, no entanto, são essencialmente elásticas até o ponto de fratura e podem, portanto, liberar energia considerável sem nenhum lugar para ir, exceto para o crescimento de trincas. ✓ Nesses casos, pode haver ramificação significativa de trinca durante a falha, resultando em múltiplas superfícies de fratura. Felizmente, existem marcações de superfície de fratura macroscópica exclusivas que muitas vezes são visíveis em falhas de metal quebradiço que permitem que o processo de falha seja reconstruído. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 265 Fraturas de Metais ✓ Em alguns componentes, as falhas frágeis deixam marcações radiais que se espalham a partir da origem da trinca, como mostrado na figura para o caso de uma barra de aço de alta resistência de 60 mm de diâmetro (Se = 550 MPa) com uma origem de fratura próxima ao centro. Marcações radiais apontando a partir da origem de uma falha interna na barra de aço de alta resistência. Deformation and fracture mechanics of engineering materials R. W. Hertzberg, R. P. Vinci, J. L. Hertzberg.— Fifth edition. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 266 Fraturas de Metais As marcações Chevron (de divisas) nos metais se curvam a partir das duas superfícies e apontam para a origem da trinca. ✓ Se o crescimento das linhas radiais for restrito dimensionalmente ao longo da largura de uma placa elas desenvolvem uma forma distinta (chamada de marcações em chevron) com linhas inclinadas que divergem a partir da espessura média da superfície de fratura, como mostrado na figura. Deformation and fracture mechanics of engineering materials R. W. Hertzberg, R. P. Vinci, J. L. Hertzberg.— Fifth edition. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 267 Fraturas de Metais As marcações chevron nos metais se inclinam a partir das duas superfícies e apontam para a origem da trinca. ✓ Acredita-se que pequenas fissuras frágeis são nucleadas na zona altamente estressada à frente da fissura primária e então voltam a crescer para encontrar a fissura que avança, formando essas linhas inclinadas de cisalhamento. ✓ As marcações chevron em uma falha altamente ramificada podem apontar em direções diferentes em relação à geometria do componente, mas é importante reconhecer que todos os diferentes conjuntos de marcações chevron apontam no mesma direção relativa - de volta à origem. Deformation and fracture mechanics of engineering materials R. W. Hertzberg, R. P. Vinci, J. L. Hertzberg.— Fifth edition. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 268 Fraturas de Polímeros ✓ Embora a faixa de tenacidade absoluta para polímeros seja pequena em comparação com a dos metais, os materiais poliméricos são onipresentes em produtos de consumo. ✓ Eles também desempenham funções críticas como componentes de dispositivos médicos e como adesivos estruturais para os quais a falha pode ser catastrófica. ✓ Os polímeros, como os metais, podem variar consideravelmente em sua capacidade de deformação plástica e, portanto, de tenacidade relativa, onde a evidência visível de plasticidade pode ser importante na avaliação de uma fratura de polímero. ✓ No entanto, os mecanismos responsáveis ​pela plasticidade (e dissipação de energia em geral) em polímeros são bastante diferentes daqueles ativos em metais. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 269 Fraturas de Polímeros Fissuramento em um copo de plástico. Clareamento devido à tensão em um cabo de escova de dentes elétrica quebrado. ✓ É possível que um material polimérico exiba resistência à fratura razoável sem evidência macroscópica de distorção significativa por plastificação (isto é, mudança óbvia de tamanho de seção transversal). Este é um afastamento significativo do comportamento do metal. ✓ Em certos polímeros, particularmente alguns termoplásticos vítreos, meca- nismos de plasticidade em microescala como fissuras e a formação de bandas de cisalhamento podem ocorrer sem que ocorra qualquer distorção maior na escala macroscópica. Deformation and fracture mechanics of engineering materials R. W. Hertzberg, R. P. Vinci, J. L. Hertzberg.— Fifth edition. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 270 Fraturas de Polímeros ✓ A presença de fissuramento ou faixas de cisalhamento é uma indicação de acúmulo de danos, escoamento altamente localizado e absorção de energia antes da fratura total. ✓ O clareamento por tensão - dispersão induzida de luz associada a danos microscópicos - também pode ser visível macroscopicamente, mas os micromecanismos de fragilização e endurecimento podem causar esse efeito visual, portanto uma conclusão simples sobre a plasticidade não pode ser feita a partir de sua presença. ✓ Assim, a distinção visual entre fratura "dúctil" e "frágil" em polímeros é problemática, e depende-se do grau de absorção de energia para determinar se uma falha envolve resistência à fratura relativamente alta ou baixa. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 271 Fraturas de Polímeros ✓ Em função dos desafios envolvidos na interpretação da evidência visual, é comum categorizar fraturas de polímero como frágeis ou dúcteis resistentes como aquelas com baixa deformação na falha (por exemplo, menos de 4% em tração) e aquelas com maior deformação na falha, respectivamente. ✓ Outra diferença crítica entre a fratura de polímero e a fratura de metal é o nível de influência que a temperatura, a taxa de deformação e o nível de tensão podem afetar no valor da tenacidade e, portanto, o modo de fratura. ✓ Os polímeros podem, por exemplo, mostrar mudanças enormes na resistência com mudanças bastante pequenas na temperatura. Da mesma forma, o mesmo polímero pode fraturar por modos de fratura frágil, dúctil ou por fluência quando sujeito a tensões constantes altas, médias ou baixas. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 272 Fraturas de Polímeros ✓ À temperatura ambiente, a fratura frágil é típica para termoplásticos vítreos, como poliestireno (PS), polimetilmetacrilato (PMMA, acrílico) e cloreto de polivinil não plastificado (PVC), e para termofixos altamente reticulados, como epóxis. ✓ Esses materiais estão operando abaixo ou muito próximos da Tg em temperatura ambiente, ou são tão altamente reticulados que a temperatura tem pouca influência no comportamento. ✓ Tg é a temperatura em que ocorre a transição de um estado vítreo, no qual as moléculas da fase amorfa não possuem mobilidade, para um estado mais flexível, em que as moléculas da fase amorfa passam a ter mobilidade. ✓ Os elastômeros podem acomodar deformações muito altas, mas geralmente há muito pouca deformação plástica envolvida, então a fratura também é repentina. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 273 Fraturas de Polímeros ✓ Em falhas frágeis, podem ser formadas características de fratura idênticas àquelas em vidros e cerâmica. ✓ Maior tenacidade à temperatura ambiente é típica de muitos termoplásticos semicristalinos, como polietileno (PE), polipropileno (PP), para-aramida (PA, por exemplo, Kevlar) e nylon, e também de certos polímeros amorfos, incluindo policarbonato (PC), tereftalato de polietileno ( PET) e PVC plastificado. Pode haver rompimento óbvio, cisalhamento e escoamento no nível macroscópico, mas indicações claras da direção de propagação da trinca geralmente estão ausentes. ✓ Tal como acontece com as fraturas de metal de maior tenacidade, os fragmentos são provavelmente poucos em número, portanto a identificação da origem ainda pode ser tratável, mesmo sem indicadores direcionais óbvios. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 274 Fraturas de vidros e cerâmicas ✓ Vidros e cerâmicas devem ser usados ​com muito cuidado em aplicações críticas de suporte de carga devido à sua baixa tenacidade absoluta em condições normais de uso e sua falta de capacidade para deformação plástica. ✓ No entanto, essa falta de plasticidade simplifica um pouco a análise de falha por observação macroscópica porque a tenacidade relativa dentro desta classe de material dependerá apenas da resistência do material, não da ductilidade. ✓ Um dos melhores indicadores do nível de energia absoluta em uma fratura frágil de cerâmica ou vidro e, portanto, da resistência do material envolvido, é a aparência macroscópica do trajeto da trinca. Materiais cerâmicos e de vidro de alta resistência podem apresentar altos níveis de tensão antes que ocorra falha. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 275 Fraturas de vidros e cerâmicas ✓ As fraturas em vidros e cerâmicas, de resistência relativamente alta, liberam sua energia elástica armazenada violentamente, resultando em ramificações significativas de trincas e numerosos fragmentos que são frequentemente ricos em características de superfície. ✓ A distância entre os ramos da trinca às vezes pode ser usada para avaliar o nível de estresse de falha quantitativamente. Nível de energia e padrões de ramificação de trincas associados a três falhas de vidro com origens centrais. Alta resistência Moderada resistência Baixa resistência Deformation and fracture mechanics of engineering materials R. W. Hertzberg, R. P. Vinci, J. L. Hertzberg.— Fifth edition. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 276 Fraturas de vidros e cerâmicas ✓ A fratura do vidro temperado é um caso especial de falha de energia relativamente alta em que a maior parte da energia liberada vem da tensão residual presente no vidro. ✓ Essa falha é virtualmente inconfundível, com uma extensa rede de trincas que pode reduzir uma lâmina inteira de vidro a pequenos fragmentos. Fratura típica de vidro temperado ilustrando a rede de rachaduras que se forma quando a energia armazenada no vidro é liberada repentinamente. Os muitos fragmentos, ainda frouxamente mantidos juntos, têm cada um cerca de 10 mm de diâmetro. Deformation and fracture mechanics of engineering materials R. W. Hertzberg, R. P. Vinci, J. L. Hertzberg.— Fifth edition. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 277 Fraturas de vidros e cerâmicas ✓ Em contraste, fraturas de muito baixa energia associadas a materiais fracos resultam em muito pouca ramificação de trinca e poucas marcas de fratura nas superfícies de fratura. ✓ Um bom exemplo disso é um choque térmico decorrente de um pequeno gradiente de temperatura e uma falha de borda. Nesse caso, uma única fissura normalmente se estende diretamente do local de origem. A trinca pode evoluir sinuosamente após uma curta distância, mas a ramificação é mínima. Esboços de uma trinca típica de fratura térmica no vidro que emerge de uma borda em 90°, evolui curvando-se e, em seguida, termina dentro da placa. Deformation and fracture mechanics of engineering materials R. W. Hertzberg, R. P. Vinci, J. L. Hertzberg.— Fifth edition. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 278 Fraturas de vidros e cerâmicas ✓ Se a trinca se estender para fora da região do gradiente térmico, ou se a falha da borda for severa, pode haver força motriz insuficiente para o crescimento contínuo e a trinca pode parar dentro do material. Lâminas de microscópio de vidro com fraturas térmicas completas (superior) e incompletas (inferior) que foram iniciadas em falhas nas bordas inferiores. As origens das trincas são marcadas com setas. Deformation and fracture mechanics of engineering materials R. W. Hertzberg, R. P. Vinci, J. L. Hertzberg.— Fifth edition. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 279 Fraturas de vidros e cerâmicas ✓ O caminho da trinca também pode indicar o tipo de carregamento que existia no momento da fratura. ✓ Assim como no metal, uma superfície de fratura sob carga de tração pura apareceria como um plano alinhado perpendicularmente à direção de carga de tração. ✓ O carregamento térmico pode criar essa condição em uma falha de borda, criando fraturas que são inicialmente perpendiculares à borda da placa. Mesmo após o início da sinuosidade da trinca, o plano de fratura permanece perpendicular às superfícies da placa. ✓ Além das fraturas térmicas, entretanto, as trinca planas não são muito comuns porque o carregamento mecânico de tração pura de componentes de vidro ou cerâmica raramente ocorre. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 280 Fraturas de vidros e cerâmicas ✓ Muito mais comum em serviço é a falha por flexão, durante a qual um lado do componente está em tensão e o outro em compressão. ✓ Como seria de se esperar, as trincas que se propagam começam no lado da tensão e se desviam de seu padrão de crescimento perpendicular à medida que se aproximam do lado do componente sob compressão. ✓ Isso resulta em uma ondulação em balanço característica. Força Ondulação em balanço Ondulação em balanço formada no lado da compressão sob uma tensão de flexão Deformation and fracture mechanics of engineering materials R. W. Hertzberg, R. P. Vinci, J. L. Hertzberg.— Fifth edition. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 281 Fraturas de vidros e cerâmicas ✓ Se o nível de energia for alto o suficiente, pode ocorrer ramificação de trinca e a ondulação pode bifurcar. ✓ Um pouco menos comum do que a flexão, o carregamento de torção de uma haste cria tensões de tração em um ângulo 45° em relação ao eixo de torção. ✓ Isso geralmente resulta em uma fratura helicoidal distinta ✓ A semelhança com outros materiais quebradiços pode ser vista observando- se a fratura por torção de um osso de dedo. Deformation and fracture mechanics of engineering materials R. W. Hertzberg, R. P. Vinci, J. L. Hertzberg.— Fifth edition. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 282 Fraturas de vidros e cerâmicas ✓ As superfícies de fratura de vidro e cerâmica geralmente exibem linhas de Wallner, também conhecidas como marcas de nervuras, que são características curvas que se espalham na direção do crescimento da fissura como ondulações de uma pedra jogada em um lago. ✓ Essa curvatura é oposta em relação à origem da trinca, conforme marcas de divisas (Chevron) em metal ou marcações parabólicas em polímero. ✓ Em uma falha de placa em flexão, por exemplo, as linhas primárias de Wallner assimétricas se espalham do lado de tração (a borda inferior), identificando claramente o tipo de carregamento, a direção de flexão e a direção de propagação da fissura. Deformation and fracture mechanics of engineering materials R. W. Hertzberg, R. P. Vinci, J. L. Hertzberg.— Fifth edition. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 283 Fraturas de Compósitos de Engenharia ✓ As morfologias de fratura de materiais compósitos disponíveis comercialmente variam acentuadamente porque dependem das características individuais dos muitos reforços e matrizes que são usados. ✓ Além disso, as superfícies de fratura e os trajetos de fratura variam com a natureza da interface fibra-matriz e com a dependência do ambiente e da temperatura. ✓ Limitando a análise às características típicas dos compósitos de matriz polimérica reforçada com fibra, o exame das características macroscópicas de fratura pode fornecer informações sobre as condições de carregamento que levaram à falha e o nível de tenacidade do material, e também pode ajudar a identificar o constituinte particular que é o "elo fraco" em uma determinada estrutura composta. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 284 Fraturas de Compósitos de Engenharia ✓ Compósitos reforçados com fibra na matriz de polímero são frequentemente fabricados em camadas, cada uma das quais com fibras orientadas em uma única direção. ✓ As camadas são unidas pelo material da matriz. As fraturas de compósitos laminados podem ser separadas em falhas translaminar (transversal, entre as camadas) e interlaminar (delaminação entre as camadas). ✓ Ambos podem ocorrer em uma única falha, mas um modo geralmente precede o outro. ✓ Determinar o que veio primeiro é uma questão de dedução a partir da observação dos caminhos de trinca e das características das superfícies de fratura. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 285 Fraturas de Compósitos de Engenharia ✓ As falhas interlaminares aparecem como uma separação das camadas umas das outras. O caminho da fissura é, portanto, principalmente na matriz, e a aparência do material da matriz é a chave para entender as condições de falha. ✓ O nível de tenacidade absoluta dessas falhas pode variar de baixo a moderadamente alto, dependendo da natureza da matriz. ✓ Compósitos termofixos à temperatura ambiente são frequentemente muito frágeis, assim como seria a fase epóxi pura (isto é, sem qualquer fase de reforço). ✓ As matrizes termoplásticas podem ser quebradiças ou relativamente resistentes, dependendo de uma série de fatores. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 286 Fraturas de Compósitos de Engenharia ✓ As fraturas translaminares envolvem inerentemente a fratura da fibra e frequentemente dependem mais das propriedades da fibra do que das propriedades da matriz. ✓ Em fraturas mais resistentes, uma quantidade significativa de microfissuras de fibra pode se acumular antes que a perda de resistência seja tão grande que ocorra uma falha catastrófica. ✓ Se as fibras quebram dentro da matriz a alguma distância da face principal da fissura, e se a interface entre a fibra e a matriz é suficientemente fraca para que a fibra possa ser retirada como uma espada de uma bainha, a energia envolvida no processo de retirada da fibra pode resultar em endurecimento substancial. ✓ Nesse caso, nas superfícies de fratura aparecerão orifícios e fibras salientes. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 287 Fraturas de Compósitos de Engenharia ✓ As falhas de tração que são frágeis - isto é, não têm capacidade de arrancamento da fibra e também nenhuma elasticidade significativa na matriz do polímero - terão uma superfície relativamente plana na qual as fibras são quebradas ao longo da face da fratura. ✓ O processo de arrancamento da fibra deve ser associado a tensões de abertura de trinca de tração, de modo que o lado de tração de uma falha de flexão pode mostrar evidências consideráveis ​de arrancamento de fibra (uma aparência altamente fibrosa) enquanto o lado compressivo teria muito menos arrancamento e a superfície seja mais lisa. ✓ Assim, a aparência da superfície de fratura pode indicar o tipo e a direção de carregamento, bem como o nível de resistência relativa. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 288 Mecanismos Microscópicos de Fratura ✓ A propagação da trinca é um processo microscópico que ocorre na pequena zona de evolução do mecanismo de dano ao redor da ponta da trinca. ✓ A compreensão dos mecanismos de fratura em materiais aumentou muito quando o microscópio eletrônico foi desenvolvido. ✓ Uma grande vantagem do microscópio eletrônico de varredura (MEV) para alguns exames é que a amostra fraturada pode ser vista diretamente no instrumento, evitando assim a necessidade de preparação de réplicas. ✓ Quando não for possível cortar o componente fraturado para caber na câmara de visualização, réplicas devem ser usadas. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 289 Mecanismos Microscópicos de Fratura ✓ Metais que são capazes de deformação plástica tendem a falhar por um processo chamado coalescência microvóide (MVC). ✓ Está presente em fraturas de metal de alta tenacidade que são obviamente dúcteis na escala macroscópica e em fraturas de baixa tenacidade induzidas geometricamente para as quais a plasticidade visível é limitada (por exemplo, placas grossas com tensões triaxiais internas que inibem a plasticidade macroscópica). ✓ Este mecanismo de fratura, observado na maioria das ligas metálicas e também em muitos plásticos de engenharia, ocorre pela nucleação de microvazios, seguida por seu crescimento e eventual coalescência para formar fissuras. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 290 Mecanismos Microscópicos de Fratura ✓ O estágio de iniciação microvóide tem sido amplamente atribuído a qualquer quebra de partícula ou falha interfacial entre uma inclusão ou partícula precipitada e a matriz circundante. ✓ Consequentemente, o espaçamento entre microvazios adjacentes está intimamente relacionado à distância entre as inclusões. ✓ Onde um dado material contém mais de um tipo de inclusão, associado a uma distribuição de tamanho bimodal, microvazios com tamanhos diferentes são frequentemente encontrados na superfície da fratura. ✓ Esses microporos induzidos mecanicamente não devem ser confundidos com a microporosidade preexistente, às vezes presente como resultado de processos de fundição ou sinterização de pó. From V.J. Colangelo and F.A. Heiser, Analysis of Metallurgical Failures (2nd ed.), Fig. 11.28, p. 294, John Wiley and Sons, Inc., 1987. (Orig. source: P. Thornton, J. Mater. Sci., Vol. 6, 1971, pp. 347-56.) TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 291 Mecanismos Microscópicos de Fratura ✓ A aparência da superfície de fratura dos microvazios depende do estado de tensão. ✓ Sob condições de carregamento uniaxial simples, os microvazios tenderão a se formar em associação com partículas fraturadas e/ou interfaces e crescer em um plano geralmente normal ao eixo de tensão. ✓ Os dimples equiaxiais de tamanho micrométrico resultantes são geralmente esféricos. Coalescência microvóide sob carga de tração, que leva à morfologia de dimples equiaxiais: (a) A fratografia MET mostra dimples como saliências; (b) A fratografia MEV mostra dimples como verdadeiras depressões. Deformation and fracture mechanics of engineering materials R. W. Hertzberg, R. P. Vinci, J. L. Hertzberg.— Fifth edition. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 292 Mecanismos Microscópicos de Fratura ✓ Uma vez que o crescimento e a coalescência desses vazios envolvem um processo de deformação plástica local, é de se esperar que a energia total de fratura esteja relacionada de alguma forma ao tamanho dessas cavidades. ✓ Foi demonstrado em experimentos de laboratório que a energia da fratura aumenta com o aumento da profundidade e largura das ondulações observadas. ✓ Quando a ruptura é influenciada por tensões de cisalhamento, os vazios são nucleados e, subsequentemente, coalescem ao longo dos planos de tensão máxima de cisalhamento. ✓ Consequentemente, esses vazios tendem a ser alongados e resultam na formação de depressões parabólicas na superfície da fratura. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 293 Mecanismos Microscópicos de Fratura ✓ Ao se comparar a orientação dos dimples alongados de faces de fratura correspondentes, percebe-se que os vazios são alongados na direção das tensões de cisalhamento e apontam em direções opostas nas duas superfícies correspondentes. Coalescência microvóide sob carregamento de cisalhamento, que leva à morfologia de dimples equiaiais”: (a) A fractografia MET mostra dimples como parábolas elevadas; (b) A fractografia MEV mostra dimples como verdadeiras depressões alongadas. Deformation and fracture mechanics of engineering materials R. W. Hertzberg, R. P. Vinci, J. L. Hertzberg.— Fifth edition. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 294 Mecanismos Microscópicos de Fratura ✓ Finalmente, quando o estado de tensão é de tensão e flexão combinadas, o processo de rasgo resultante produz dimples alongados, que podem aparecer em planos grosseiros normais à direção de carregamento. ✓ A diferença básica entre esses dimples alongados e aqueles produzidas por cisalhamento é que os dimples de cisalhamento apontam na mesma direção em ambas as metades da superfície da fratura. ✓ É importante notar que esses dimples apontam para a origem da trinca. Consequentemente, ao visualizar uma réplica que contém impressões de dimples alongados, os dimples podem ser usados para direcionar o observador para a origem da trinca. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 295 Mecanismos Microscópicos de Fratura ✓ Um diagrama esquemático que ilustra o efeito do estado de tensão na morfologia de microvóide é apresentado na figura. Diagramas ilustrando o efeito de três estados de tensão na morfologia do microvóide: (a) as tensões de tração produzem microvazios equiaxiais; (b) as tensões de cisalhamento puras geram microvazios alongados na direção de cisalhamento (vazios apontam em direções opostas nas duas superfícies de fratura); (c) rasgo associado a tensão não uniforme, que produz dimples alongados em ambas as superfícies de fratura que apontam para a origem da trinca. ASM Handbook. Vol. 12. Fractografia. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 296 Mecanismos Microscópicos de Fratura ✓ Além da coalescência de microvazios (MVC), dois outros micromecanismos de fratura rápida podem ocorrer em metais: fratura intergranular e fratura por clivagem. ✓ Ambos são geralmente associados a fraturas frágeis de baixa energia causadas por pontos de fraqueza no material. ✓ A falha intergranular é caracterizada pelo crescimento de trincas principalmente ao longo dos limites dos grãos. ✓ Deixa para trás um plano de fratura com superfícies de limite de grão expostas e uma morfologia nitidamente facetada. Deformation and fracture mechanics of engineering materials R. W. Hertzberg, R. P. Vinci, J. L. Hertzberg.— Fifth edition. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 297 Mecanismos Microscópicos de Fratura ✓ A fratura intergranular pode resultar de vários processos. Estes incluem: ✓ nucleação microvóide e coalescência em inclusões ou partículas de segunda fase localizadas ao longo dos limites de grão; ✓ fissuras de limites de grãos e formações de cavidades associadas a condições de ruptura por estresse de temperatura elevada; ✓ descoesão entre grãos contíguos devido à presença de elementos de impureza nos contornos dos grãos e em associação com atmosferas agressivas, como hidrogênio gasoso e metais líquidos; ✓ processos de corrosão sob tensão associados à dissolução química ao longo dos limites dos grãos. ✓ separação de limite de grão se o material tiver um número insuficiente de sistemas de deslizamento independentes para acomodar a deformação plástica entre grãos contíguos. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 298 Mecanismos Microscópicos de Fratura ✓ O processo de clivagem do metal envolve a fratura transgranular ao longo de planos cristalográficos específicos. ✓ Este mecanismo é comumente observado em certos metais BCC e HCP, mas também pode ocorrer em metais FCC quando eles são submetidos a condições ambientais severas, como taxas de deformação extremamente altas ou temperaturas muito baixas. ✓ A clivagem é caracterizada por uma superfície de fratura relativamente plana com pequenas cristas convergentes conhecidas como padrões de rio dentro de muitos dos grãos. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 299 Mecanismos Microscópicos de Fratura ✓ A trinca na figura propagou-se da direita para a esquerda através de um contorno de grão (provavelmente de ângulo alto), gerando o padrão de rio à medida que a trinca avançava reorientada em busca de planos de clivagem fracos no novo grão. Fratura de clivagem em aço de baixo carbono. Observa-se a morfologia de platô e saliências paralelas e os padrões do rio refletindo a propagação de fissuras ao longo de muitos planos de clivagem paralelos Deformation and fracture mechanics of engineering materials R. W. Hertzberg, R. P. Vinci, J. L. Hertzberg.— Fifth edition. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 300 Mecanismos Microscópicos de Fratura ✓ A – Fratura intergranular: a trinca passa através dos grãos do material ✓ B – Fratura transgranular: a trinca passa pelo contorno dos grãos (clivagem) Transgranular - Clivagem Intergranular ASM Metals Handbook TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 301 Fratura por Fadiga ✓ A fadiga é uma redução gradual da capacidade de carga do componente, pela ruptura lenta do material, consequência do avanço quase infinitesimal das fissuras que se formam no seu interior. ✓ Este crescimento ocorre para cada flutuação do estado de tensões. As cargas variáveis, sejam cíclicas ou não, fazem com que, ao menos em alguns pontos, ocorram deformações plásticas também variáveis com o tempo. ✓ Estas deformações levam o material a uma deterioração progressiva, dando origem à trinca, que pode crescer até atingir um tamanho crítico, suficiente para a ruptura final, em geral brusca, apresentando características macroscópicas de uma fratura frágil. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 302 Fratura por Fadiga ✓ Uma fratura resultante de carregamento repetitivo ou cíclico é conhecida como fratura por fadiga. ✓ Uma fratura por fadiga geralmente ocorre em três estágios: ✓ ela inicia durante o Estágio I, ✓ se propaga na maior parte de seu comprimento durante o Estágio II ✓ e prossegue para uma fratura catastrófica durante o Estágio III ✓ O início e o crescimento da trinca por fadiga durante o Estágio I ocorrem principalmente por trincas no plano deslizante devido a reversões repetitivas dos sistemas de deslizamento ativos no metal. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 303 Fratura por Fadiga ✓ O crescimento da fissura é fortemente influenciado pela microestrutura e tensão média, e até 90% da vida de fadiga pode ser consumida no início de uma fissura por fadiga viável. ✓ A trinca tende a seguir planos cristalográficos, mas muda de direção em descontinuidades, como contornos de grão. ✓ Em grandes amplitudes de deformação plástica, as trincas por fadiga podem iniciar nos limites de grão. ✓ As superfícies da fratura por fadiga do estado I são facetadas, frequentemente se assemelham a clivagem e não exibem estrias de fadiga. ✓ A fadiga de estágio I é normalmente observada em fraturas de baixa tensão de ciclo alto e está frequentemente ausente na fadiga de alto tensão de ciclo baixo. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 304 Fratura por Fadiga Aparência de trinca de fadiga no Estágio I. (a) Fratura por fadiga semelhante à clivagem, orientada cristalograficamente no Estado I em uma liga fundida de Ni-14Cr-4.5Mo-1Ti-6Al-1.5Fe-2.0 (Nb + Ta). MEV. (b) Superfície de fratura em degrau indicativa de fratura por fadiga no Estágio I em uma liga fundida ASTM F75 à base de cobalto. MEV. ASM Handbook. Vol. 12. Fractografia. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 305 Fratura por Fadiga ✓ A maior parte de uma fratura por fadiga consiste no crescimento de trinca no Estágio II, que geralmente ocorre por fratura transgranular e é mais influenciada pela magnitude da tensão alternada do que pela tensão média ou microestrutura. ✓ As fraturas por fadiga geradas durante a fadiga do Estágio II geralmente exibem marcas de retenção de trinca conhecidas como estrias de fadiga, que são um registro visual da posição da frente da trinca de fadiga durante a propagação da trinca através do material. ASM Handbook. Vol. 12. Fractografia. Estrias de fadiga uniformemente distribuídas em uma liga de alumínio 2024-T3. (a) Estrias de fadiga e inclusão (delineada por retângulo). (b) Vista de maior ampliação da região delineada pelo retângulo em (a) mostrando a continuidade do caminho de fratura através e ao redor da inclusão. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 306 Fratura por Fadiga ✓ Existem basicamente dois modelos que foram propostos para explicar a propagação da fadiga formadora de estrias no Estágio II. ✓ Um é baseado no embotamento plástico na ponta da trinca. Este modelo não consegue levar em conta a ausência de estriações quando um metal é testado em fadiga no vácuo e não prevê adequadamente a correspondência pico a pico e vale a vale correspondentes nas metades coincidentes da fratura. ✓ O outro modelo, que se baseia no deslizamento na ponta da trinca, considera as condições em que o deslizamento pode não ocorrer precisamente na ponta da trinca devido à presença de rede cristalina ou imperfeições microestruturais. ✓ Este modelo tem mais sucesso em explicar o mecanismo pelo qual as trincas de fadiga do Estágio II se propagam. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 307 Fratura por Fadiga ✓ A concentração de tensão em uma trinca de fadiga resulta na deformação plástica (deslizamento) sendo confinada a uma pequena região na ponta da trinca, enquanto o restante do material é submetido à deformação elástica. ✓ A trinca abre na porção de tensão crescente do ciclo de carga por deslizamento em planos de deslizamento alternados. ✓ À medida que o deslizamento prossegue, a ponta da trinca fica embotada, mas é reafiada pela reversão do deslizamento parcial durante a porção de declínio da carga do ciclo de fadiga. ✓ Isso resulta em uma tensão compressiva na ponta da trinca devido ao relaxamento das tensões elásticas de tração residuais induzidas na porção não trincada do material durante o ciclo de carga crescente. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 308 Fratura por Fadiga Orientação dos planos de deslizamento ativos Deslizamento Tensão principal de tração s s Tensão compressiva de fechamento Deslizamento Avanço da trinca durante um ciclo de carga Borda de fuga da estria relativamente lisa Traço de deslizamento na borda dianteira da estria Primeiro ciclo Segundo ciclo Terceiro ciclo Adaptado de ASM Handbook. Vol. 12. Fractografia. Mecanismo de propagação de fissuras por fadiga por deslizamento alternado na ponta da trinca. Os esboços são simplificados para esclarecer os conceitos básicos. (a) Abertura da trinca e embotamento da ponta da trinca por deslizamento em planos de deslizamento alternados com aumento da tensão de tração. (b) Fechamento da trinca e afiação de ponta da trinca por reversão de deslizamento parcial em planos de deslizamento alternativos com aumento da tensão compressiva (a) (b) TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 309 Fratura por Fadiga ✓ A trinca de fechamento não solda novamente, porque as novas superfícies de deslizamento criadas durante o deslocamento de abertura de trinca são instantaneamente oxidadas, o que torna improvável a reversão completa do deslizamento. ✓ Em condições normais, cada estriamento é o resultado de um ciclo de carga e marca a posição da frente da trinca de fadiga no momento em que o estriamento foi formado. ✓ No entanto, quando há uma diminuição repentina na carga aplicada, a trinca pode parar temporariamente de se propagar e nenhuma estria é formada. ✓ A trinca retoma a propagação somente após um certo número de ciclos serem aplicados na tensão mais baixa. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 310 Fratura por Fadiga ✓ A propagação da trinca por fadiga e, portanto, o espaçamento do estriamento podem ser afetados por uma série de variáveis, como: ✓ condições de carregamento; ✓ resistência do material; ✓ Microestrutura; ✓ Ambiente; ✓ Temperatura; ✓ Presença de gases e fluidos corrosivos ou fragilizantes. ✓ Considerando apenas as condições de carregamento - que incluem: ✓ a tensão média; ✓ a amplitude de tensão; ✓ a frequência cíclica a magnitude da amplitude de tensão (σmáx - σmín) tem o maior efeito no espaçamento dos estriamentos. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 311 Fratura por Fadiga ✓ Aumentar a magnitude da amplitude de tensão produz um aumento no espaçamento da estriagem. ✓ O aumento da tensão média também pode aumentar o espaçamento de estrias; esse aumento não é tão grande quanto aquele para um aumento numericamente equivalente na amplitude de tensão alternada. ✓ Dentro de limites razoáveis, a frequência cíclica tem o menor efeito no espaçamento de estrias. Fratura por fadiga sob espectro de carga em um cupom de teste de liga de alumínio 7475-T7651 mostrando um aumento no espaçamento de estriação devido a maior amplitude de tensão. ASM Handbook. Vol. 12. Fractografia. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 312 Fratura por Fadiga ✓ Em alguns casos, o espaçamento do estriamento de fadiga pode mudar significativamente em uma distância muito curta. Isso se deve em parte às mudanças nas condições locais de tensão, conforme a trinca se propaga em uma superfície inclinada. Variação local no espaçamento do estriamento de fadiga em uma extrusão de liga de alumínio 7050- T7651 extrudada sob espectro de carga. ASM Handbook. Vol. 12. Fractografia. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 313 Fratura por Fadiga ✓ O estágio III é a fase de propagação terminal de uma trinca de fadiga, na qual o modo de formação de estrias é progressivamente deslocado pelos modos de fratura estática, como ruptura ou clivagem por dimples. ✓ A taxa de crescimento da trinca aumenta durante o Estágio III até que a trinca por fadiga se torne instável e a peça falhe. Total Materia. ✓ Como a propagação da trinca é cada vez mais dominada pelos modos de fratura estática, a fadiga do Estágio III é sensível tanto à microestrutura quanto à tensão média Superfície de fratura por fadiga: (a) carga aplicada elevada; (b) baixa carga aplicada TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 314 Fratura por Fadiga Representação esquemática de marcas de superfície de fratura por fadiga produzidas em componentes lisos e entalhados com seções transversais circulares sob várias condições de carregamento ASM Handbook. Vol. 12. Fractografia. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 315 Fratura por Fadiga Representação esquemática de marcas de superfície de fratura por fadiga produzidas em componentes quadrados e retangulares e em placas grossas sob várias condições de carregamento ASM Handbook. Vol. 12. Fractografia. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 316 12. TENACIDADE À FRATURA TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Elementos da Mecânica da Fratura 317 ✓ O comportamento de fratura de uma determinada estrutura ou material dependerá: ✓ do nível de tensão; ✓ a presença de uma falha; ✓ das propriedades do material e ✓ do (s) mecanismo (s) pelos quais a fratura prossegue até a finalização. ✓ É necessário se desenvolver relações quantitativas entre alguns desses fatores. ✓ Com o conhecimento dessas relações, os fenômenos de fratura podem ser melhor compreendidos e os engenheiros de projeto mais equipados para antecipar e, assim, prevenir deficiências estruturais. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Uma visão atomicista da Fratura 318 ✓ Um material falha quando suficiente tensão e trabalho é aplicado no nível atômico, quebrando as ligações que mantém os átomos unidos. ✓ O espaçamento de equilíbrio, x0, entre os átomos ocorre quando a energia potencial atinge um mínimo. ✓ Forças trativas, P, são necessárias para aumentar a separação entre os átomos a partir desse equilíbrio. ✓ Se essa força exceder as resistências das ligações entre os átomos a ligação se rompe. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Uma visão atomicista da Fratura 319 ✓ A energia de ligação é dada por: 𝐸𝑙𝑖𝑔𝑎çã𝑜 = න 𝑥0 ∞ 𝑃𝑑𝑥 ✓ Modelando a força de ligação como uma função senoidal: 𝑃 = 𝑃𝑐𝑜𝑒𝑠𝑖𝑣𝑎𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 𝜆 ✓ Para pequenos deslocamentos: 𝑃 = 𝑃𝑐𝑜𝑒𝑠𝑖𝑣𝑎 𝜋𝑥 𝜆 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Uma visão atomicista da Fratura 320 ✓ A rigidez da ligação pode ser descrita como: ✓ Na direção da aplicação da força de ligação: onde n é o número de ligações e Aligação é a área da ligação 𝑃 = 𝑘𝑥 𝑘 = 𝑃𝑐 𝜋 𝜆 𝑘 = 𝐸 𝑛. 𝐴𝑙𝑖𝑔𝑎çã𝑜 𝑥0 𝑃𝑐 𝜋 𝜆 = 𝐸 𝑛. 𝐴𝑙𝑖𝑔𝑎çã𝑜 𝑥0 → 𝑃𝑐 𝑛. 𝐴𝑙𝑖𝑔𝑎çã𝑜 = 𝐸 𝜆 𝜋 → 𝑆𝑙𝑖𝑔𝑎çã𝑜 = 𝐸 𝜆 𝜋𝑥0 Sligação = resistência das ligações TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Uma visão atomicista da Fratura 321 ✓ A energia de superfície, s, por unidade de área é metade da energia da fratura por unidade de área – são duas superfícies novas criadas durante a fratura. 𝛾𝑠 = 1 2 𝐸𝑓𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐸𝑓𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 = 1 𝑛. 𝐴𝑙𝑖𝑔𝑎çã𝑜 න 0 𝜆 𝑃𝑑𝑥 = 1 𝑛. 𝐴𝑙𝑖𝑔𝑎çã𝑜 න 0 𝜆 𝑃𝑐𝑜𝑒𝑠𝑖𝑣𝑎𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 𝜆 𝑑𝑥 𝐸𝑓𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 = 2. 𝑆𝑙𝑖𝑔𝑎çã𝑜 𝜆 𝜋 𝛾𝑠 = 𝑆𝑙𝑖𝑔𝑎çã𝑜 𝜆 𝜋 𝑆𝑙𝑖𝑔𝑎çã𝑜 = 𝐸 𝜆 𝜋𝑥0 𝜆 𝜋 = 𝑆𝑙𝑖𝑔𝑎çã𝑜 𝑥0 𝐸 𝐸𝑓𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 = න 0 𝜆 𝑆𝑙𝑖𝑔𝑎çã𝑜𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 𝜆 𝑑𝑥 𝛾𝑠 = 𝑆𝑙𝑖𝑔𝑎çã𝑜 2 𝑥0 𝐸 → 𝑆𝑙𝑖𝑔𝑎çã𝑜 = 𝐸𝛾𝑠 𝑥0 → TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Mecânica da Fratura Linear Elástica 322 ✓ As duas categorias da Mecânica da Fratura são: a- Mecânica da Fratura Linear Elástica (MFLE) b- Mecânica da Fratura Elasto-Plástica (MFEP) ✓ A MFLE é usada se a ponta da trinca em um corpo é aguda e existe somente uma pequena quantidade de deformação plástica nas redondezas da ponta da trinca. Tipicamente em materiais como: aços de alta resistência, titânio e ligas de alumínio; ✓ A MFEP é usada quando a ponta da trinca não é aguda e existe alguma plasticidade na ponta da trinca. É uma categoria utilizada para avaliar materiais de baixa resistência ou materiais de elevada tenacidade. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Mecânica da Fratura Linear Elástica 323 ✓ A abordagem da MFLE à análise da fratura considera que uma parte do material apresenta uma trinca ou outro defeito (descontinuidade): 1) a trinca é uma superfície plana em um campo de tensão linear elástico; 2) a energia liberada durante a propagação rápida da trinca é uma propriedades básica do material, não influenciada pelo tamanho do componente. ✓ A maior parte das ligas metálicas apresenta defeitos de tipos variados. Os defeitos apresentam tamanho frequentemente abaixo da mínima capacidade de detecção dos ensaios não-destrutivos. ✓ A produção de peças livres de defeitos apresenta custo muito elevado, sendo apenas possível reduzir a quantidade e o tamanho destes defeitos. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Concentração de tensões em descontinuidades 324 ✓ A resistência das ligações atômicas do material é muito maior que a resistência observada do material. ✓ Essa diferença ocorre devido às falhas, ou descontinuidades, presentes no material, de forma natural. ✓ Essas descontinuidades concentram, microscopicamente, as tensões nominais atuantes no material. ✓ Inglis (1913) desenvolveu um modelo buscando mostrar a concentração de tensões na ponta de uma trinca descrita com uma elipse com eixos de tamanho 2a e 2b. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Concentração de tensões em descontinuidades 325 Como <<a 𝜎𝐴 = 𝜎 1 + 2 𝑎 𝑏 𝜌 = 𝑏2 𝑎 → 𝑏 = 𝑎𝜌 𝜎𝐴 = 𝜎 1 + 2 𝑎 𝜌 𝜎𝐴 = 2𝜎 𝑎 𝜌 𝜌 → 0 → 𝜎𝐴 → ∞ Inconsistente! TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Concentração de tensões em descontinuidades 326 Na fratura a tenção na ponta da trinca atinge a resistência de ligação atômica 𝜎𝐴 = 𝑆𝑙𝑖𝑔𝑎çã𝑜 𝜎𝐴 = 2𝜎 𝑎 𝑥0 𝜌 = 𝑥0 Uma estimativa para a tensão local com 2. 𝜎𝑓𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎 𝑥0 = 𝐸𝛾𝑠 𝑥0 𝜎𝑓𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝐸𝛾𝑠 4𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Balanço de Energia de Griffith 327 ✓ Griffith (1920) observou que quando uma trinca é introduzida em uma placa estressada de material elástico, um equilíbrio deve ser encontrado entre a diminuição da energia potencial (relacionada à liberação da energia elástica armazenada e ao trabalho realizado pela movimentação das cargas externas) e o aumento da energia superficial decorrente da presença da trinca. ✓ Da mesma forma, uma trinca existente aumentaria de algum incremento se a energia superficial adicional necessária fosse fornecida pelo sistema. ✓ Essa “energia de superfície” surge do fato de que há uma configuração de não-equilíbrio dos átomos vizinhos mais próximos em qualquer superfície de um sólido. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Balanço de Energia de Griffith 328 ✓ Para a configuração vista na figura Griffith estimou o termo de energia superficial como o produto da área total da superfície da fissura 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑛𝑐𝑎 = 2. 2𝑎. 𝑡 e a energia superficial específica 𝛾𝑠, que tem unidades de energia / área unitária. 𝐸𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 = 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑛𝑐𝑎. 𝛾𝑠 𝐸𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 = 4𝑎𝑡𝛾𝑠 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Balanço de Energia de Griffith 329 ✓ Inglis calculou a tensão para o caso de uma placa infinitamente grande contendo uma trinca elíptica. A diminuição da energia potencial da placa com a inclusão de uma trinca é: ∆𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎= − 𝜋𝜎2𝑎2𝑡 𝐸 ✓ Assim, a mudança na energia potencial da placa associada à introdução de uma trinca pode ser dada por 𝑈 − 𝑈0 = − 𝜋𝜎2𝑎2𝑡 𝐸 + 4𝑎𝑡𝛾𝑠 U = energia potencial da placa com trinca U0 = energia potencial da placa sem trinca s = tensão aplicada a = metade do comprimento da trinca t = espessura E = modulo de elasticidade s = energia de superfície específica 𝑈 = 𝑈0 − 𝜋𝜎2𝑎2𝑡 𝐸 + 4𝑎𝑡𝛾𝑠 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Balanço de Energia de Griffith 330 ✓ Determinando a condição de equilíbrio diferenciando a energia na placa com trinca em relação à dimensão da trinca e igualando a zero: 𝜕𝑈 𝜕𝑎 = − 2𝜋𝜎2𝑎𝑡 𝐸 + 4𝑡𝛾𝑠 = 0 2𝛾𝑠 = 𝜋𝜎2𝑎 𝐸 ✓ O lado esquerdo da equação representa a energia necessária para criar uma unidade de área adicional de superfície de trinca. ✓ O lado direito está relacionado à energia elástica por unidade de área disponível para conduzir a extensão de trinca. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Balanço de Energia de Griffith 331 ✓ A natureza dessa condição de equilíbrio é obtida da segunda deriva da energia na placa com trinca em relação à dimensão da trinca: 𝜕2𝑈 𝜕𝑎2 = − 2𝜋𝜎2𝑡 𝐸 ✓ Como a condição de equilíbrio é negativa esse equilíbrio é instável e a trinca sempre cresce. ✓ Da condição de equilíbrio: 𝜎 = 2𝐸𝛾𝑠 𝜋𝑎 Para estado plano de tensões (EPT) Para estado plano de deformações (EPD) 𝜎 = 2𝐸𝛾𝑠 𝜋𝑎 1 − 𝜈2 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Balanço de Energia de Griffith 332 ✓ Griffith desenvolveu seu modelo a partir de experimentos em vidro. ✓ É válido para sólidos frágeis. ✓ Irwin e Orowan modificaram a expressão de Griffith para considerar sólidos que sofrem plastificação: Onde p é o trabalho plástico por unidade de área criada com o crescimento da trinca. 𝜎 = 2𝐸 𝛾𝑠 + 𝛾𝑝 𝜋𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Balanço de Energia de Griffith 333 Material frágil 𝜎 = 2𝐸 𝛾𝑠 + 𝛾𝑝 𝜋𝑎 𝜎 = 2𝐸𝛾𝑠 𝜋𝑎 Material dúctil 𝜎 = 2𝐸𝛾𝑠 𝜋𝑎 1 − 𝜈2 𝜎 = 2𝐸 𝛾𝑠 + 𝛾𝑝 𝜋𝑎 1 − 𝜈2 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Taxa de liberação de energia 334 ✓ Irwin, 1956, propôs uma abordagem para a mecânica da fratura com base na taxa de liberação de energia durante a evolução de uma trinca. ✓ A definição de taxa não se refere ao tempo durante a evolução da trinca e sim à área das novas superfícies formadas com o crescimento da trinca. ✓ Se a trinca apresentar uma largura constante essa taxa pode se referir ao comprimento da trinca, a. 𝒢 = − 𝑑𝑈 𝑑𝐴 𝐽 𝑚2 𝒢 = 𝜋𝜎2𝑎 𝐸 Taxa de liberação de energia para trinca passante em placa infinita TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Taxa de liberação de energia 335 ✓ Quando a taxa de liberação de energia atingir seu valor crítico, 𝒢𝑐, que é igual à taxa de energia para a formação de novas superfícies a trinca cresce, ou seja, a liberação da energia potencial no material alimenta a formação de novas superfícies e a trinca cresce. 𝒢𝑐 = 𝑑𝑊𝑠 𝑑𝐴 𝐽 𝑚2 𝑊𝑠 = 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑟𝑖𝑎𝑟 𝑛𝑜𝑣𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒𝑠 𝑊𝑠 = 2𝐴𝛾𝑠 𝒢𝑐 = 𝑑 2𝐴𝛾𝑠 𝑑𝐴 = 2𝛾𝑠 𝐽 𝑚2 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Curva R 336 ✓ Em relação à propagação de trincas, três perguntas devem ser respondidas: ✓ (i) Em que condições uma trinca começa a se propagar? ✓ (ii) Como será a propagação? ✓ (iii) Qual a quantidade da propagação? ✓ Segundo a condição de propagação de trinca, tem-se: ✓ (i) Propagação estável: após de início da propagação, a sua evolução quando há energia potencial disponível, por exemplo, com o aumento de carga; ✓ (ii) Propagação instável: Quando o comprimento de uma trinca atinge certo valor, a trinca se propaga até a falha total da estrutura sem necessidade de aumento de carga. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Curva R 337 ✓ Uma extensão da trinca ocorre quando 𝒢𝑐 = 2𝛾𝑠. ✓ Porém, esse crescimento pode ser estável ou instável, dependendo de como 𝒢𝑐 e 𝛾𝑠 variam com o crescimento da trinca. ✓ Define-se 𝑅 = 2𝛾𝑠 como a resistência à fratura. ✓ Um diagrama R x extensão de trinca se chama a curva de resistência ou curva R. ✓ O diagrama correspondente G x extensão de trinca se chama curva de força motriz. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Curva R 338 ✓ A condição para o crescimento de uma trinca é 𝒢𝑐 = 𝑅. ✓ O crescimento será estável se 𝒢𝑐 = 𝑅 ✓ O crescimento será instável se 𝒢𝑐 = 𝑅 𝑑 𝒢 𝑑𝐴 ≤ 𝑑𝑅 𝑑𝐴 𝑑 𝒢 𝑑𝐴 > 𝑑𝑅 𝑑𝐴 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Curva R 339 ✓ Quando a evolução da curva R ocorre de forma plana – ou constante em função da área da trinca ou do seu comprimento, quando a espessura for constante – um valor fixo para a taxa de liberação de energia é obtido. ✓ Quando a geometria da trinca é constante ao longo de seu crescimento, de forma que a taxa de liberação de energia dependa apenas da tensão nominal aplicada, quando a tenção atingir seu valor crítico, s2, na figura, a trinca cresce instável. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Curva R 340 ✓ Quando a evolução da curva R ocorre de forma crescente, com os valores variando em função da evolução da trinca, que está alterando a configuração geométrica ou de tensões locais na região de seu crescimento, o valor da taxa de liberação de energia também variará. ✓ Na figura a trinca crescerá estável sob tensão nominal aplicada até s3. Quando a tenção atingir seu valor crítico, s4, na figura, a trinca cresce instável. ✓ A partir de certo ponto o incremento da variação da taxa de liberação de energia ultrapassa a taxa de crescimento da curva R e a trinca crescerá instável. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Análise de Tensões na Trinca 341 ✓ Para algumas situações é possível determinar uma expressão para as tensões na região afetada pela trinca. ✓ Definindo-se um sistema polar de coordenadas com origem na ponta da trinca o campo de tensões na no regime linear elástico em um corpo trincado é: 𝜎𝑖𝑗 = 𝑘 𝑟 𝑓𝑖𝑗 𝜃 + ෍ 𝑚=0 ∞ 𝐴𝑚𝑟 𝑚 2 𝑔𝑖𝑗 𝑚 𝜃 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Fator de Intensificação de Tensões 342 ✓ Os termos de maior ordem dependem da geometria, mas a solução para qualquer configuração contém um termo dominante que é proporcional a 1 𝑟. ✓ Quando r → 0 a tensão tende a infinito, caracterizando uma singularidade que independe da configuração geométrica e de carregamento na região da trinca. ✓ O conceito de fator de intensidade de tensão, K, foi sugerido, pela primeira vez, por Irwin (1956). ✓ Buscava-se uma tentativa de caracterização das tensões singulares presentes na extremidade de uma trinca em função, apenas, de um único parâmetro. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Fator de Intensificação de Tensões 343 ✓ É conveniente substituir o fator k pelo Fator de Intensidade de Tensão, K. ✓ Em termos gerais, pode dizer-se que K caracteriza a intensidade (magnitude) das tensões na vizinhança de uma trinca aguçada (r → 0) presente em um material linearmente elástico e isotrópico. ✓ O fator de intensidade de tensão K pode ser obtido através de uma relação matemática que contabiliza os efeitos geométricos traduzidos pelo parâmetro adimensional Y, representativo da influência da geometria, da posição e forma da trinca e da distribuição da carga 𝐾 = 𝑘 𝜋 2 lim 𝑟→0 𝜎𝑖𝑗 = 2𝐾 𝜋𝑟 𝑓𝑖𝑗 𝜃 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Fator de Intensificação de Tensões 344 ✓ O emprego do fator 𝜋/2 é uma convenção usual. ✓ No caso particular da geometria de um orifício elíptico em uma placa infinita: 𝐾𝑡 = 1 + 2 𝑎 𝜌 𝜎𝑚á𝑥 = 𝜎0 1 + 2 𝑎 𝜌 ✓ A tensão na ponta da trinca em função da tensão nominal na placa fica, então: TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Fator de Intensificação de Tensões 345 ✓ Então: 𝐾 = 𝜎0 𝜋𝑎 𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝐾 = lim 𝑟→0 𝑌𝜎𝑚á𝑥 𝜋𝜌 2 𝐾 = lim 𝜌→0 𝜎0 1 + 2 𝑎 𝜌 𝜋𝜌 2 ✓ Para trinca passante em placa infinita Y=1 𝐾 = lim 𝜌→0 𝜎0 𝜋𝜌 2 + lim 𝜌→0 𝜎0 𝜋𝜌 2 . 2 𝑎 𝜌 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Fator de Intensificação de Tensões 346 ✓ Uma vez que existe uma relação entre o fator de intensidade de tensões, K, e a taxa de liberatação de energia, G, inerente ao processo de fissuração de um material, compreende-se facilmente que existirá um valor crítico de K que corresponde a um nível de energia suficiente para a ocorrência de fratura instável. ✓ Este valor crítico é designado por tenacidade à fratura do material e representa-se, habitualmente, como Kc. ✓ Por sua vez, o valor de Kc depende do tipo de material em consideração, variando em função da temperatura e da espessura do componente ou corpo de prova na execução de ensaio para sua determinação. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Relação entre K e G 347 ✓ As quantidades G e K se relacionam da seguinte forma: 𝐺 = 𝐾2 𝐸 Para estado plano de tensões 𝐺 = 𝐾2 𝐸 1 − 𝜈2 Para estado plano de deformação TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Tenacidade à Fratura 348 Material Kc (MPam) AISI 1144 66 ASTM A470-8 60 AISI 4140 110 Al 2014-T651 24 Al 7075-T651 29 Ti-6Al-4V 66 ABS 3,0 Acrílico 1,8 Epoxy 0,6 PVC 3,35 Vidro 0,76 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 349 13. MODOS DE FRATURA TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Modos da Fratura 350 ✓ Os experimentos desenvolvidos para a definição dos modelos de fratura empregavam corpos de prova em tração pura. ✓ Nessa condição a trinca cresce perpendicular à direção do carregamento. ✓ De forma geral, a trinca evolui perpendicularmente à tensão principal atuando na região de influência da trinca. ✓ Em uma estrutura sob carregamento mais complexo, em estado biaxial ou triaxial de tensões, o modelo unidirecional de fratura precisa ser adequado a essas condições. ✓ Define-se, então, três modos de fratura, em função do carregamento aplicado, que podem ser combinados para representar o carregamento total da estrutura. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Modo I 351 ✓ O Modo I corresponde ao modo de abertura da trinca por tração. ✓ É o modo mais comum para a evolução de trincas, que crescem no plano de máxima tensão de tração. Pode levar à falha por clivagem, de forma instável. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Modo II 352 ✓ O Modo II corresponde ao modo de cisalhamento no plano ou modo de deslizamento. ✓ Estará associado a carregamentos biaxiais quando a tensão principal está inclinada em relação à direção da carga externa. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Modo III 353 ✓ O Modo III é o modo de rasgamento ou cisalhamento no antiplano. ✓ Está associado a uma condição de cisalhamento puro, típica de uma barra entalhada redonda carregada em torção. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Modo III 354 ✓ Combinações desses modos de evolução de trinca também podem ocorrer. ✓ Um exemplo de extensão de trinca de modo misto I-II é uma trinca em um plano inclinado. ✓ Se  = 90° ocorre o Modo I puro TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Modo I 355 ✓ É o modo padrão para a definição de modelos e para a obtenção de propriedades de tenacidade à fratura dos materiais. ✓ Pode-se descrever a tenacidade à fratura dos materiais nos três modos de falha, denominados de KIC, KIIC e KIIIC. ✓ Quando a tenacidade à fratura não trouxer a indicação do modo se refere ao Modo I. ✓ Da mesma forma pode-se definir a intensificação de tensões nos três modos como KI, KII e KIII. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Elementos da Mecânica da Fratura 356 ✓ Os valores de K para vários carregamentos e configurações podem ser calculados usando a teoria da elasticidade envolvendo cálculos analíticos e computacionais, juntamente com métodos experimentais. ✓ Quando a trinca é pequena em comparação com outras dimensões do corpo ou componente, a trinca é vista como estando contida em um corpo infinito. ✓ Assim, o valor de referência mais comum de K é para uma trinca central bidimensional de espessura transversal de comprimento 2a em uma placa infinita submetida a uma tensão de tração uniforme nominal bruta s. 𝐾 = 𝜎 𝜋𝑎 𝑀𝑃𝑎 𝑚 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Elementos da Mecânica da Fratura 357 ✓ O fator de intensidade de tensão para outras geometrias de trinca, configurações e carregamentos são geralmente modificações da equação 𝐾 = 𝜎 𝜋𝑎 𝑀𝑃𝑎 𝑚 como 𝐾 = 𝑌𝜎 𝜋𝑎 𝑀𝑃𝑎 𝑚 ou 𝐾 = 𝑓 𝑎 𝑤 𝜎 𝜋𝑎 𝑀𝑃𝑎 𝑚 onde Y é um fator adimensional, assim como 𝑓 𝑎 𝑤 , com w sendo a largura da região com trinca. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Elementos da Mecânica da Fratura 358 ✓ Para trincas centrais, o comprimento da trinca é considerado 2a, e para trincas nas bordas o comprimento da trinca usado é apenas a. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Elementos da Mecânica da Fratura 359 ✓ Trinca passante central em placa com largura W e espessura B 𝐾 = 𝑌𝜎 𝜋𝑎 𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝐾 = 𝑌 𝑃 𝐵𝑊 𝑎 𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝜎 = 𝑃 𝐵𝑊 𝑀𝑃𝑎 Para W→∞ Y=1 na equação Y = 1,77 =  Para W→∞ na equação TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Elementos da Mecânica da Fratura 360 ✓ Trinca passante central em placa com largura W e espessura B 𝜎 = 𝑃 𝐵𝑊 𝑀𝑃𝑎 𝐾𝐼 = 𝜎 𝜋𝑎. 𝑠𝑒𝑐 𝜋𝑎 𝑊 Fedderson 𝐾𝐼 = 𝜎 𝜋𝑎. 𝑊 𝜋𝑎 𝑠𝑒𝑐 𝜋𝑎 𝑊 Irwin 𝑌 = 𝑠𝑒𝑐 𝜋𝑎 𝑊 𝑌 = 𝑊 𝜋𝑎 𝑠𝑒𝑐 𝜋𝑎 𝑊 0 < 2𝑎 𝑊 < 0,95 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Exemplo 19 – Tamanho máximo da trinca 361 ✓ Trinca passante central em placa com largura 200 mm e espessura 10 mm ✓ KIC = 75 MPa m ✓ P=300 kN 𝜎 = 𝑃 𝐵𝑊 = 300000 10.200 = 150 𝑀𝑃𝑎 𝐾𝐼 = 𝜎 𝜋𝑎. 𝑊 𝜋𝑎 𝑠𝑒𝑐 𝜋𝑎 𝑊 = 𝜎. 𝑊𝑠𝑒𝑐 𝜋𝑎 𝑊 𝑎𝑐 = 0,040967 𝑚 = 40,967 mm 0 < 2𝑎 𝑊 < 0,95 75 = 150. 0,2. 𝑠𝑒𝑐 𝜋𝑎𝑐 0,2 2𝑎 𝑊 = 2.40,967 200 = 0,40967 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Elementos da Mecânica da Fratura 362 ✓ Trinca passante de borda em placa com largura W e espessura B 𝐾 = 𝑌𝜎 𝜋𝑎 𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝐾 = 𝑌 𝑃 𝐵𝑊 𝑎 𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝜎 = 𝑃 𝐵𝑊 𝑀𝑃𝑎 Para W→∞ Y=1,12 na equação Y=1,99 Y=1,99 = 1,12. Para W→∞ na equação TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Elementos da Mecânica da Fratura 363 ✓ Trinca passante de borda em placa com largura W e espessura B 𝐾 = 𝑌𝜎 𝜋𝑎 𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝜎 = 𝑃 𝐵𝑊 𝑀𝑃𝑎 Para 𝐾 = 𝜎 𝜋𝑎 1,12 − 0,231 𝑎 𝑊 + 10,550 𝑎 𝑊 2 − 21,710 𝑎 𝑊 3 + 30,382 𝑎 𝑊 4 𝑀𝑃𝑎 𝑚 0 < 𝑎 𝑊 < 0,95 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Exemplo 20 – Tamanho máximo da trinca 364 ✓ Trinca passante de borda em placa com largura 200 mm e espessura 10 mm ✓ KIC = 75 MPa m ✓ P=300 kN 75 = 1,12.150. 𝜋𝑎𝑐 𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝜎 = 300000 10.200 = 150 𝑀𝑃𝑎 Para W→∞ Y=1,12 na equação 𝑎𝑐 = 0,06344 𝑚 𝑎 𝑊 = 63,44 200 = 0,317 3 = 𝑌 𝜋 𝑌 = 1,693 75 = 1,693.150. 𝜋𝑎𝑐 𝑎𝑐 = 0,02777 𝑚 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Exemplo 20 – Tamanho máximo da trinca 365 ✓ Trinca passante de borda em placa com largura 200 mm e espessura 10 mm ✓ KIC = 75 MPa m ✓ P=300 kN 𝑎 𝑊 = 27,77 200 = 0,139 2,2 = 𝑌 𝜋 𝑌 = 1,241 75 = 1,241.150. 𝜋𝑎𝑐 𝑎𝑐 = 0,05165 𝑚 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Exemplo 20 – Tamanho máximo da trinca 366 ✓ Trinca passante de borda em placa com largura 200 mm e espessura 10 mm ✓ KIC = 75 MPa m ✓ P=300 kN 𝐾 = 𝜎 𝜋𝑎 1,12 − 0,231 𝑎 𝑊 + 10,550 𝑎 𝑊 2 − 21,710 𝑎 𝑊 3 + 30,382 𝑎 𝑊 4 𝑀𝑃𝑎 𝑚 0 < 𝑎 𝑊 < 0,95 𝜎 = 300000 10.200 = 150 𝑀𝑃𝑎 75 = 150 𝜋𝑎𝑐 1,12 − 0,231 𝑎𝑐 0,2 + 10,550 𝑎𝑐 0,2 2 − 21,710 𝑎𝑐 0,2 3 + 30,382 𝑎𝑐 0,2 4 𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝑎𝑐 = 0,04136 𝑚 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Elementos da Mecânica da Fratura 367 ✓ Trinca passante de borda, nas duas bordas, em placa com largura W e espessura B 𝐾 = 𝑌𝜎 𝜋𝑎 𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝐾 = 𝑌 𝑃 𝐵𝑊 𝑎 𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝜎 = 𝑃 𝐵𝑊 𝑀𝑃𝑎 Para W→∞ Y=1,12 na equação Y=1,99 Y=1,99 = 1,12. Para W→∞ na equação TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Elementos da Mecânica da Fratura 368 ✓ Trinca passante de borda, nas duas bordas, em placa com largura W e espessura B 𝜎 = 𝑃 𝐵𝑊 𝑀𝑃𝑎 𝐾 = 𝜎 𝜋𝑎 1,12 + 0,203 𝑎 𝑊 − 1,196 𝑎 𝑊 2 + 1,930 𝑎 𝑊 3 𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝑌 = 1,12 + 0,203 𝑎 𝑊 − 1,196 𝑎 𝑊 2 + 1,930 𝑎 𝑊 3 0 < 2𝑎 𝑊 < 0,95 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Elementos da Mecânica da Fratura 369 ✓ Trinca transversal em placa com largura W e espessura B em flexão 𝐾 = 𝑌 3 2 𝑃𝑆 𝐵𝑊2 𝑎 𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝜎 = 𝑀𝑐 𝐼 = ൗ 𝑃𝑆 4 . ൗ 𝑊 2 ൗ 𝐵𝑊3 12 = 3 2 𝑃𝑆 𝐵𝑊2 𝑀𝑃𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Elementos da Mecânica da Fratura 370 ✓ Trinca transversal em placa com largura W e espessura B em flexão 𝜎 = 3 2 𝑃𝑆 𝐵𝑊2 𝑀𝑃𝑎 𝐾 = 𝜎 𝜋𝑎 1,12 − 1,394 𝑎 𝑊 + 7,318 𝑎 𝑊 2 − 13,072 𝑎 𝑊 3 + 13,992 𝑎 𝑊 4 𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝑌 = 1,12 − 1,394 𝑎 𝑊 + 7,318 𝑎 𝑊 2 − 13,072 𝑎 𝑊 3 + 13,992 𝑎 𝑊 4 0 < 𝑎 𝑊 < 1,00 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Elementos da Mecânica da Fratura 371 ✓ Trinca embebida 𝐾𝐼 = 𝜎 𝜋𝑎 𝑄 𝑓 𝜙 𝑄 = 1 + 1,464 𝑎 𝑐 1,65 𝑓(𝜙) = 𝑠𝑒𝑛2𝜙 + 𝑎 𝑐 2 𝑐𝑜𝑠2𝜙 ൗ 1 4 ø TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Elementos da Mecânica da Fratura 372 ✓ Trinca embebida superficial 𝐾𝐼 = 𝜆𝑠𝜎 𝜋𝑎 𝑄 𝑓 𝜙 𝑄 = 1 + 1,464 𝑎 𝑐 1,65 𝜆𝑠 = 1,13 − 0,09 𝑎 𝑐 . [1 + 0,1. 1 − 𝑠𝑒𝑛𝜙 2 ] 𝑓(𝜙) = 𝑠𝑒𝑛2𝜙 + 𝑎 𝑐 2 𝑐𝑜𝑠2𝜙 ൗ 1 4 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Tensões na região da trinca 373 𝜎𝑦 = 𝐾 2𝜋𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 𝑠𝑒𝑛 3 𝜃 2 𝜎𝑥 = 𝐾 2𝜋𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 𝑠𝑒𝑛 3 𝜃 2 𝜏𝑥𝑦 = 𝐾 2𝜋𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 𝑠𝑒𝑛 3 𝜃 2 𝜎𝑧 = 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑦𝑧 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝑃𝑇 𝜎𝑧 = 𝜈 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝑃𝐷 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑦𝑧 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝑃𝐷 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Tensões na região da trinca 374 ✓ A distribuição de tensão elástica na direção y para  = 0° é mostrada. 𝜎𝑦 = 𝐾 2𝜋𝑟 𝜎𝑥 = 𝐾 2𝜋𝑟 𝜏𝑥𝑦 = 0 𝜎𝑧 = 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑦𝑧 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝑃𝑇 𝜎𝑧 = 𝜈 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝑃𝐷 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑦𝑧 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝑃𝐷 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Tensões na região da trinca 375 ✓ À medida que r se aproxima de zero, a tensão na ponta da trinca se aproxima do infinito, portanto, existe uma singularidade em r = 0. ✓ Visto que tensões infinitas não podem existir, a solução elástica deve ser modificada para levar em conta alguma plasticidade da ponta da trinca. ✓ Se o raio da zona plástica, rp, na ponta da trinca for pequeno em relação à geometria local, pouca ou nenhuma modificação no fator de intensidade de tensão, K, é necessária. ✓ Portanto, uma restrição importante para o uso de MFLE é que o tamanho da zona de plástico na ponta da trinca deve ser pequeno. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Tensões na região da trinca 376 ✓ Tensões no Modo I. Região dominada pela singularidade ✓ Quando tensão cresce o se aproximar da ponta da trinca atinge o valor da resistência ao escoamento. ✓ O valor de r para igualdade entre o valor da tensão e o valor da resistência ao escoamento define o limite de região plástica na ponta da trinca. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Plastificação na região da trinca 377 ✓ Quer a fratura ocorra de maneira dúctil ou frágil, ou uma trinca por fadiga cresça sob carga cíclica, a plasticidade local na ponta da trinca controla tanto a fratura quanto o crescimento da trinca. ✓ É possível calcular o tamanho da zona plástica na ponta da trinca como uma função do fator de intensidade de tensão e resistência ao escoamento usando as equações do campo de tensão e os critérios de von Mises ou tensão máxima de cisalhamento. ✓ Para condições de estado plano de tensões (EPT) existe uma zona plástica muito maior em comparação com as condições estado plano de deformação (EPD). ✓ Isso se deve ao fato de sz ter um valor diferente para a tensão plana e para a deformação plana. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Plastificação na região da trinca 378 ✓ O formato da zona plástica monotônica resultante para o modo I usando o critério de von Mises é mostrado esquematicamente na Figura. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Plastificação na região da trinca 379 ✓ O componente de tensão normal, sz, para condições de deformação plana é de tração e, portanto, restringe o fluxo plástico, resultando em uma zona plástica menor em comparação com a tensão plana, onde sz = 0. ✓ Para a trinca passante na espessura em um placa grossa as superfícies livres da placa têm sz = xz = yz = 0 e, portanto, as superfícies livres devem estar em uma condição de tensão plana. ✓ No entanto, a região interna da placa perto da ponta da trinca está mais próxima das condições de deformação plana como resultado da restrição elástica da região afastada da trinca, em torno da região plástica. ✓ Assim, o tamanho da zona plástica ao longo da ponta da trinca. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Plastificação na região da trinca 380 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Plastificação na região da trinca 381 ✓ A distribuição real de tensão-deformação dentro da zona plástica é difícil de obter. ✓ Irwin argumentou que a plasticidade na ponta da trinca faz com que a trinca se comporte como se fosse mais longa do que seu tamanho físico real e que a distribuição de tensões não poderia simplesmente ocorrer acima da resistência de escoamento, Se. ✓ A distribuição de tensões para sy deve se deslocar para acomodar a deformação plástica e satisfazer as condições de equilíbrio. ✓ A dimensão da região plástica pode ser descrita como um círculo (no estado plano) com raio rp, a partir do equilíbrio de forças na interface das regiões plástica e elástico. 𝑟𝑝 = 1 𝜋 𝐾 𝑆𝑒 2 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Plastificação na região da trinca 382 ✓ Tensões no Modo I. ✓ No estado plano de tensões o escoamento ocorre quando ✓ Quando a tensão cresce ao se aproximar da ponta da trinca atinge o valor da resistência ao escoamento. ✓ O valor de r para igualdade entre o valor da tensão e o valor da resistência ao escoamento define o limite de região plástica na ponta da trinca. 𝜎𝑦 = 𝐾 2𝜋𝑟𝑦 = 𝑆𝑒 𝑟𝑦 = 1 2𝜋 𝐾 𝑆𝑒 2 𝜎𝑦 = 𝑆𝑒 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Plastificação na região da trinca 383 Elástico Elasto-plástico Se sy TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Plastificação na região da trinca 384 ✓ Tensões no Modo I. ✓ No estado plano de deformação o escoamento ocorre quando o estado triaxial de tensões atinge a resistência ao escoamento. 𝑟𝑦 = 1 6𝜋 𝐾 𝑆𝑒 2 ✓ O tamanho efetivo da trinca contempla a consideração, para a MFLE, que a ponta da trinca se posiciona no centro da região plástica. 𝑎𝑒𝑓 = 𝑎 + 𝑟𝑦 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Plastificação na região da trinca 385 ✓ A aplicação do raio de plastificação para compor o tamanho efetivo da trinca gera uma intensidade de tensão efetivo, Kef. ✓ A obtenção do Kef pode demandar um processo iterativo. ✓ Para algumas situações é possível se definir uma solução em forma fechada. 𝐾𝑒𝑓 = 𝑌𝜎 𝜋𝑎𝑒𝑓 𝑎𝑒𝑓 = 𝑎 + 𝑟𝑦 𝑟𝑦 = 1 2𝜋 𝐾 𝑆𝑒 2 𝐾𝑒𝑓 = 𝑌𝜎 𝜋(𝑎 + 𝑟𝑦) 𝐾𝑒𝑓 = 𝑌𝜎 𝜋 𝑎 + 1 2𝜋 𝐾𝑒𝑓 𝑆𝑒 2 𝐾𝑒𝑓 = 𝑌𝜎 𝜋𝑎 1 − 1 2 𝑌𝜎 𝑆𝑒 2 Para Y independente de a TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Plastificação na região da trinca 386 ✓ Para trincas embebidas e de superfície tem-se. 𝑄𝑒𝑓 = 𝑄 − 0,212 𝜎 𝑆𝑒 2 𝐾𝑒𝑓 = 𝜆𝑠𝜎 𝜋𝑎 𝑄𝑒𝑓 4 𝑠𝑒𝑛2𝜙 + 𝑎 𝑐 2 𝑐𝑜𝑠2𝜙 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Exemplo 21 387 ✓ Determinação da máxima carga de tração em uma haste de seção quadrada de lado 40 mm, com uma trinca transversal ao seu eixo. ✓ A trinca é de superfície, com largura 2c=10 mm e profundidade a=4 mm. ✓ O material da haste apresenta Se=500 MPa, KIC=90 MPa m, módulo de elasticidade E=205000 MPa e coeficiente de Poisson =0,305. ✓ A condição de carregamento é EPD. Carga máxima para o limite de escoamento 𝜎 = 𝑃 𝐴 ≤ 𝑆𝑒 500 = 𝑃 40.40 P = 800 𝑘𝑁 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Exemplo 21 388 𝐾𝐼 = 𝜆𝑠𝜎 𝜋𝑎 𝑄 𝑓 𝜙 𝑄 = 1 + 1,464 𝑎 𝑐 1,65 𝜆𝑠 = 1,13 − 0,09 𝑎 𝑐 . [1 + 0,1. 1 − 𝑠𝑒𝑛𝜙 2 ] Carga máxima para a tenacidade à fratura Com ao carga é distribuída uniformemente na seção 𝜃 = 90° 𝑄 = 1 + 1,464 4 ൗ 10 2 1,65 = 2,013 𝜆𝑠 = 1,13 − 0,09 4 ൗ 10 2 . 1 + 0,1. 1 − 𝑠𝑒𝑛90 2 = 1,058 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Exemplo 21 389 𝑓(𝜙) = 𝑠𝑒𝑛2𝜙 + 𝑎 𝑐 2 𝑐𝑜𝑠2𝜙 ൗ 1 4 Carga máxima para a tenacidade à fratura 𝑓 90 = 𝑠𝑒𝑛290 + 4 ൗ 10 2 2 𝑐𝑜𝑠290 ൗ 1 4 = 1 𝐾𝐼 = 𝜆𝑠𝜎 𝜋𝑎 𝑄 𝑓 𝜙 90 = 1,058 𝑃 40.40 𝜋. 0,004 2,013 . 1 𝑃𝑐 = 1723 𝑘𝑁 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Exemplo 21 390 Carga máxima para a tenacidade à fratura considerando a plastificação na ponta da trinca Com ao carga é distribuída uniformemente na seção 𝜃 = 90° 𝜆𝑠 = 1,058 𝑄𝑒𝑓 = 2,013 − 0,212 ൗ 𝑃 40.40 500 2 𝐾𝑒𝑓 = 𝜆𝑠𝜎 𝜋𝑎 𝑄𝑒𝑓 𝑓𝜙 𝑄𝑒𝑓 = 𝑄 − 0,212 𝜎 𝑆𝑒 2 𝑓 90 = 1 𝑄 = 2,013 90 = 1,058. 𝑃 40.40 𝜋. 0,004 2,013 − 3,3125 × 10−13𝑃2 𝑄𝑒𝑓 = 2,013 − 3,3125 × 10−13𝑃2 𝑃𝑐 = 1412 𝑘𝑁 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Limite de validade da MFLE 391 ✓De acordo com a norma ASTM para a definição de KIC a dimensões do corpo de prova para a obtenção de valores válidos para KIC devem seguir o critério para EPD: 𝑎, 𝐵, (𝑊 − 𝑎) ≥ 2,5. 𝐾𝐼 𝑆𝑒 2 ✓Um valor válido para KIC corresponde à propriedade do material que independe das dimensões geométricas do corpo fraturado. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Limite de validade da MFLE 392 ✓Corpo de prova para obtenção de KIC: TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Limite de validade da MFLE 393 ✓ Se a zona plástica for suficientemente pequena, haverá uma região fora dela onde as equações do campo de tensões elásticas ainda se aplicam, chamada de região de dominância K ou campo K. ✓ A existência de tal região é necessária para que a teoria MFLE seja aplicável. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Limite de validade da MFLE 394 ✓ O campo K circunda e controla o comportamento da zona plástica e da área da ponta da trinca. ✓ Assim, a tenacidade à fratura, K, continua a caracterizar a gravidade da situação de trinca, apesar da ocorrência de alguma plasticidade limitada. ✓ No entanto, se a zona plástica é tão grande que elimina o campo K, então K não se aplica mais. ✓ Por uma questão prática, é necessário que a zona plástica seja pequena em comparação com a distância da ponta da trinca a qualquer limite da estrutura. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Limite de validade da MFLE 395 ✓ Uma condição limite definida para MFLE é que: ✓ As tensões nominais no plano da trinca devem ser inferiores a 0,8 Se (80% da resistência de escoamento); ✓ Sob carregamento monotônico ry(1/8)a; ✓ Outras restrições incluem ry  1/8 da espessura e do ligamento (seção do plano da trinca não trincado ao longo do plano da trinca). ✓ 8ry é quatro vezes o tamanho da zona plástica: 𝑎, 𝐵, 𝑊 − 𝑎 , ≥ 4 𝜋 𝐾 𝑆𝑒 2 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Limite de validade da MFLE 396 ✓ Condição onde é válida a MFLE: ✓ Condições onde é não válida a MFLE: TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Fratura em modo misto 397 ✓Quando dois ou três modos de fratura estão presentes simultaneamente a contribuição para a taxa de liberação de energia é aditiva, já que é uma parâmetro escalar: 𝐺 = 𝐾𝐼 2 𝐸 + 𝐾𝐼𝐼 2 𝐸 + 𝐾𝐼𝐼𝐼 2 2𝜇 ✓Essa adição é válida durante o crescimento da trinca se a trinca mantiver sua razão de aspecto e plano de crescimento. 𝐺 = 𝐾𝐼 2 𝐸 1 − 𝜈2 + 𝐾𝐼𝐼 2 𝐸 1 − 𝜈2 + 𝐾𝐼𝐼𝐼 2 2𝜇 Para estado plano de tensões Para estado plano de deformação 𝜇 = 𝐸 2(1 + 𝜈) TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Superposição para carregamento combinado 398 ✓ O cálculo da intensidade de tensão para carregamento combinado podem ser obtidas por superposição - isto é, adicionando as contribuições dos componentes de carga individuais. ✓ Por exemplo, considere-se uma carga excêntrica aplicada a uma distância e da linha de centro de uma barra, com dimensões b x t, com uma única trinca na borda, como mostrado na figura. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Superposição para carregamento combinado 399 ✓ Essa carga excêntrica é estaticamente equivalente à combinação de uma carga de tração aplicada centralmente e um momento fletor. 𝐾1 = 𝑌1𝜎1 𝜋𝑎 𝜎1 = 𝑃 𝑏. 𝑡 ✓ A contribuição para K da tensão aplicada centralmente pode ser determinada como na figura. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Superposição para carregamento combinado 400 ✓ A contribuição devida à flexão pode ser definida como: 𝐾2 = 𝑌2𝜎2 𝜋𝑎 𝜎2 = 6. 𝑀 𝑏2. 𝑡 𝑌2 = 2𝑏 𝜋𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝜋𝑎 2𝑏 0,923 + 0,199. 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑎 2𝑏 4 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑎 2𝑏 𝜎2 = 6. 𝑃. 𝑒 𝑏2. 𝑡 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Superposição para carregamento combinado 401 ✓ Como a tensão de tração e a distribuição de tensão de tração devida à flexão são tensões normais, pode-se somar os K’s, que são funções lineares da tensão: 𝐾 = 𝐾1 + 𝐾2 𝐾 = 𝑃 𝑏. 𝑡 𝑌1 + 6𝑒𝑌2 𝑏 𝜋𝑎 ✓ O uso da superposição de efeitos pode ser muito útil para casos mais complexos que podem ser decompostos em casos mais simples já conhecidos. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Trinca inclinada em relação à tensão nominal 402 ✓ Uma trinca inclinada em relação à direção da tensão nominal pode ser tratada, de forma aproximada, considerando-se seu comprimento projetado nessa direção: 𝐾 = 𝑌0𝜎 𝜋𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝜃 ✓ Uma abordagem mais precisa considera a atuação simultânea do Modo I e do Modo II sobre a trinca. ✓ Y0 é o fator de forma da trinca original TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Trinca inclinada em relação à tensão nominal 403 ✓ Calculando-se as tensões principais, nas direções vertical, y, e horizontal, x, e a tensão cisalhante no plano xy. ✓ A tensão na direção y, syy, produzirá solicitação no Modo I. ✓ A tensão na direção x, sxx, não produzirá solicitação em nenhum modo. ✓ A tensão cisalhante na direção do plano xy, yy, produzirá solicitação no Modo II. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Trinca inclinada em relação à tensão nominal 404 ✓ Do Círculo de Mohr: 𝑅 = 𝜏𝑥𝑦 2 + 𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑥𝑥 2 2 𝜎𝛽 = 2𝑅 𝜎𝛽 = 2 𝜏𝑥𝑦 2 + 𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑥𝑥 2 2 tg 2𝛽 = 2𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑥𝑥 𝜎𝛽 = tg 2𝛽 2 + 1 . 𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑥𝑥 𝜎𝛽 = 𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑥𝑥 cos 2𝛽 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Trinca inclinada em relação à tensão nominal 405 ✓ Do Círculo de Mohr: 𝐾𝐼 = 𝑌0𝜎𝑦𝑦 𝜋𝑎 = 𝑌0𝜎𝛽𝑐𝑜𝑠2𝛽 𝜋𝑎 𝜎𝛽 = 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝛽𝑐𝑜𝑠2𝛽 𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑥𝑥 = 𝜎𝛽 2𝑐𝑜𝑠2𝛽 − 1 𝜎𝛽 = 𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑥𝑥 cos 2𝛽 𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑥𝑥 = 𝜎𝛽2𝑐𝑜𝑠2𝛽 − 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑥𝑥 𝑌𝐼 = 𝑌0. 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 𝐾𝐼 = 𝑌𝐼𝜎𝛽 𝜋𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Trinca inclinada em relação à tensão nominal 406 ✓ Do Círculo de Mohr: 𝐾𝐼𝐼 = 𝑌0𝜏𝑥𝑦 𝜋𝑎 = 𝑌0𝜎𝛽𝑠𝑒𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽 𝜋𝑎 𝜏𝑥𝑦 = 𝜎𝛽𝑠𝑒𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽 𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑥𝑥 = 𝜎𝛽 2𝑐𝑜𝑠2𝛽 − 1 𝑌𝐼𝐼 = 𝑌0. 𝑠𝑒𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽 𝐾𝐼𝐼 = 𝑌𝐼𝐼𝜎𝛽 𝜋𝑎 tg 2𝛽 = 2𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑥𝑥 tg 2𝛽 = 𝑠𝑒𝑛2𝛽 𝑐𝑜𝑠2𝛽 = 2𝑠𝑒𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽 2𝑐𝑜𝑠2𝛽 − 1 2𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑥𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽 2𝑐𝑜𝑠2𝛽 − 1 2𝜏𝑥𝑦 𝜎𝛽 2𝑐𝑜𝑠2𝛽 − 1 = 2𝑠𝑒𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽 2𝑐𝑜𝑠2𝛽 − 1 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Projeto para vazamento antes da ruptura de vasos de pressão 407 ✓ Em um vaso de pressão de parede fina com uma trinca crescendo na parede, existem duas possibilidades: ✓ (1) A trinca pode se estender gradualmente e penetrar na parede, causando um vazamento antes que uma fratura frágil repentina possa ocorrer; ✓ (2) Uma fratura frágil repentina pode ocorrer antes do vazamento do vaso. ✓ Uma vez que uma fratura frágil em um vaso de pressão pode envolver a liberação explosiva do conteúdo do vaso, um vazamento é de preferível. ✓ Além disso, um vazamento é facilmente detectado por uma queda de pressão ou pelo escape do conteúdo do recipiente. ✓ Os vasos de pressão devem ser projetados para vazar antes de fraturar. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Projeto para vazamento antes da ruptura de vasos de pressão 408 ✓ Uma trinca em um vaso de pressão pode aumentar de tamanho devido à influência da carga cíclica associada às mudanças de pressão ou devido ao ataque químico hostil ao material. ✓ Uma trinca geralmente começa a partir de uma falha de superfície e se estende em um plano normal à tensão máxima na parede do vaso, conforme a figura. ✓ No início de seu progresso, a trinca frequentemente crescerá com o comprimento da superfície 2c continuando a ser aproximadamente duas vezes a profundidade a, de modo que c ≈ a. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Projeto para vazamento antes da ruptura de vasos de pressão 409 ✓ Se nenhuma fratura frágil ocorrer, o crescimento irá prosseguir em um padrão semelhante ao mostrado, resultando em uma fissura através da parede com comprimento de superfície 2c que é aproximadamente duas vezes a espessura, 2t. ✓ No entanto, ocorrerá uma fratura frágil súbita antes que a trinca penetre na parede, a menos que o material tenha tenacidade à fratura suficiente para suportar uma trinca através da parede de pelo menos 𝑎𝑐 ≥ 𝑡. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Exemplo 22 410 ✓ Um vaso de pressão esférico é construído de aço ASTM A517-F e opera em temperatura ambiente. O diâmetro interno é de 2r=d=13262 mm, a espessura da parede é de t=30 mm e a pressão máxima é de p=3 MPa. A condição de vazamento antes da quebra foi atendida? Qual é o fator de segurança em K em relação a KIc, e qual é o fator de segurança contra o escoamento? TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Exemplo 22 411 ✓ Dados: ✓ 𝐾𝐼𝑐 = 187 𝑀𝑃𝑎 𝑚 ✓ 𝑆𝑒 = 760 𝑀𝑃𝑎 ✓ A máxima pressão no vaso é: 𝜎𝑡 = 𝑝. 𝑟 2. 𝑡 = 𝑝. 𝑑 4. 𝑡 𝜎𝑡 = 3.13262 4.30 = 331,6 𝑀𝑃𝑎 ✓ Cálculo da espessura para leak before failure: 𝐾𝐼𝑐 = 𝑌𝜎 𝜋𝑎𝑐 187 = 1,0.331,6 𝜋𝑎𝑐 𝑎𝑐 = 0,1012 𝑚 ✓ Como ac > t haverá vazamento antes de uma falha catastrófica TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Exemplo 22 412 ✓ Cálculo de K para a condição de operação: 𝑐𝑠𝑓 = 𝐾𝐼𝑐 𝐾 = 187 101,8 ✓ Cálculo do coeficiente de segurança para o escoamento: 𝐾 = 𝑌𝜎 𝜋𝑎𝑐 𝐾 = 1,0.331,6. 𝜋. 0,030 𝐾 = 101,8 𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝑐𝑠𝑓 = 1,87 ✓ Cálculo do coeficiente de segurança para a fratura: 𝑐𝑠𝑒 = 𝑆𝑒 𝜎 = 760 331,6 𝑐𝑠𝑒 = 2,29 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 413 14. CRESCIMENTO DE TRINCAS DE FADIGA TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 414 Crescimento de trincas de fadiga ✓ Uma trinca pode crescer aumentando seu comprimento em um determinado valor em relação à aplicação de um número de ciclos N. ✓ A taxa de crescimento da trinca em relação aos ciclos pode ser caracterizada pela razão a/N ou, para pequenos intervalos, pela derivada da/dN. ✓ Um valor da taxa de crescimento da trinca por fadiga, da/dN, é a inclinação em um ponto em uma curva a versus N. ✓ Supõem-se que o carregamento aplicado seja cíclico, com valores constantes das cargas Pmáx e Pmín. ✓ As tensões nominais da seção bruta correspondentes smáx e σmín também são constantes. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 415 Crescimento de trincas de fadiga ✓ Para a definição do trabalho de crescimento de trinca por fadiga é convencional usar a faixa de tensão σ e a razão de tensão R. ∆𝜎 = 𝜎𝑚á𝑥 − 𝜎𝑚í𝑛 𝑅 = 𝜎𝑚í𝑛 𝜎𝑚á𝑥 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 416 Crescimento de trincas de fadiga ✓ O valor de Y depende apenas da geometria e do comprimento relativo da trinca, α = a / b, como se o carregamento não fosse cíclico. ✓ Uma vez que K e σ são proporcionais: ∆𝐾 = 𝑌∆𝜎 𝜋𝑎 ✓ A variável primária que afeta a taxa de crescimento de uma trinca é a amplitude do fator de intensidade de tensão. 𝐾𝑚á𝑥 = 𝑌𝜎𝑚á𝑥 𝜋𝑎 𝐾𝑚í𝑛 = 𝑌𝜎𝑚í𝑛 𝜋𝑎 ∆𝐾 = 𝐾𝑚á𝑥 − 𝐾𝑚í𝑛 𝑅 = 𝐾𝑚í𝑛 𝐾𝑚á𝑥 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 417 ✓ Para um determinado material e conjunto de condições de carga o comportamento de crescimento de uma trinca pode ser descrito pela relação entre a taxa de crescimento de trinca cíclica da/dN e a faixa de intensidade de tensão K. ✓ Os dados de teste e uma curva ajustada para um material são descritos em um gráfico log – log. ✓ Em valores intermediários de K, geralmente há uma linha reta no gráfico log – log. 𝑑𝑎 𝑑𝑁 = 𝐶 ∆𝐾 𝑚 Crescimento de trincas de fadiga TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 418 𝑑𝑎 𝑑𝑁 = 𝐶 ∆𝐾 𝑚 ✓ C é uma constante e m é a inclinação no gráfico log-log, assumindo, é claro, que as décadas em ambas as escalas logarítmicas têm o mesmo comprimento. ✓ Essa equação é identificada com Paul Paris, que a usou pela primeira vez e que foi influente na primeira aplicação da mecânica da fratura à fadiga no início dos anos 1960. Crescimento de trincas de fadiga TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 419 ✓ O gráfico de da/dN x ΔK apresenta três regiões bem distintas, onde os fenômenos envolvidos são diferentes. Crescimento de trincas de fadiga TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 420 ✓ Na primeira região, Fase I, a velocidade de propagação é muito baixa, da ordem de 10-9 m/ciclo (10 Ångström/ciclo), o que corresponde a um crescimento por ciclo da mesma ordem de grandeza do espaçamento atômico na rede cristalina. ✓ Nesta região o crescimento da trinca é extremamente influenciado pela microestrutura do material, uma vez que os aspectos metalúrgicos, nesta região, são relevantes, não podendo o material, para o estudo do crescimento da trinca, ser tratado como um contínuo. ✓ Na Fase I a zona plástica é muito pequena, da ordem de grandeza do tamanho de grão, e assim a microestrutura afeta de forma marcante a velocidade de propagação. Crescimento de trincas de fadiga TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 421 ✓ Uma peculiaridade nesta região é a existência de um nível mínimo para ΔK, denominado de ΔKth , para que a trinca passe a crescer sob a ação de cargas cíclicas. A existência de ΔKth pode levar à ocorrência de trincas estacionárias. ✓ O valor de ΔKth pode ser melhorado com um aumento no tamanho de grão, em microestruturas com uma única fase, como ferrita ou austenita. ✓ Este efeito é oposto ao verificado com a tensão limite de resistência à fadiga (Sn), a qual geralmente diminui com o aumento do tamanho do grão. ✓ De modo a obter um ponto ótimo quanto às propriedades de fadiga, é necessário saber se o projeto deve basear-se na nucleação de trincas, (procura-se então refinar os grãos) ou na propagação de trincas (procura-se grãos maiores). Crescimento de trincas de fadiga TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 422 ✓ Na Fase II do gráfico da/dN x K identifica-se um relacionamento linear entre log da/dN e log ΔK, o que corresponde à equação sendo C e m constantes empíricas a serem obtidas a partir dos dados experimentais para R  0. ✓ Esta equação foi proposta pela primeira vez por Paris e Erdogan existindo atualmente uma grande quantidade de dados experimentais que confirmam esta relação e mostram que o fator de intensidade de tensão é o principal parâmetro que controla a propagação da trinca de fadiga. 𝑑𝑎 𝑑𝑁 = 𝐶 ∆𝐾 𝑚 Crescimento de trincas de fadiga TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 423 ✓ A constante C sofre a influência das propriedades mecânicas do material: ✓ Módulo de elasticidade (E); ✓ Resistência ao escoamento (Se); ✓ Tensão real de fratura (σf); ✓ Deformação real de fratura (εf); ✓ Tenacidade à fratura (KIC). ✓ O aumento em qualquer destas variáveis faz com que a constante C diminua. ✓ O expoente m normalmente está situado na faixa de 2 até 5, sendo pouco influenciado pela microestrutura. ✓ Nesta região o mecanismo de crescimento da trinca é um mecanismo dúctil transgranular, de formação de estrias, podendo o material ser tratado como contínuo. Crescimento de trincas de fadiga TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 424 Material C0 (m/(ciclo.(MPam)m)) m Aço martensítico 1,35  10-10 2,250 Aço ferrítico-perlítico 6,90  10-12 3,000 Aço inoxidável austenítico 5,30  10-12 3,250 Aço ferritico no ar 1,00  10-11 3,000 Aço para vaso de reator, ferrítico no ar 4,77  10-13 3,726 Aço para vaso de reator, ferrítico na água 6,786  10-12 3,726 Crescimento de trincas de fadiga TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 425 ✓ Na Fase II não se verifica uma grande diferença entre as taxas de propagação, para diferentes tipos de aços, o que indica que a vida de propagação não é substancialmente alterada pela escolha de um ou outro tipo de aço. ✓ Entretanto, o comportamento na Fase I pode alterar de modo substancial a vida de fadiga do componente, principalmente se for considerado que uma grande fração da vida de propagação é dispendida quando a trinca é pequena, com baixas velocidades de propagação. ✓ Com o aumento do tamanho da trinca a velocidade passa a ser sensivelmente maior, fazendo com que a vida de propagação restante seja curta. ✓ Para garantir uma vida de propagação suficiente, deve-se preocupar com os aspectos relacionados com trincas pequenas, pouco afetando a vida os aspectos relacionados com trinca próximas ao tamanho crítico, como por exemplo a tenacidade do material. Crescimento de trincas de fadiga TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 426 ✓ Na Fase III ocorre uma sensível aceleração da trinca, onde além do mecanismo de ruptura com formação de estrias surgem, sobrepostos, mecanismos que são característicos de uma ruptura estática. ✓ Isto ocorre porque nesta região o valor de KImáx durante o ciclo é da ordem de KIC, excitando então os mecanismos estáticos de ruptura. ✓ Isto começa a ocorrer quando KImáx > 0,7 KIC. ✓ Estes modos estáticos de fratura incluem microclivagem, separação intergranular, bem como coalescimento de vazios. ✓ A microclivagem vai surgir quando o material estiver abaixo da temperatura de transição dúctil-frágil, provocando um grande aumento na velocidade de propagação. Crescimento de trincas de fadiga TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 427 ✓ Nesta situação, a espessura do material influi também de forma sensível, pois em chapas espessas a ruptura por microclivagem é percentualmente maior, como consequência da maior restrição quanto ao desenvolvimento de deformações transversais (tendência para um estado plano de deformação). ✓ Se o mecanismo de ruptura é exclusivamente por formação de estrias, a espessura passa a ter um efeito muito pequeno na taxa de propagação. ✓ A equação de Forman & Mettu descreve o comportamento do crescimento da trinca nas três fases: 𝑑𝑎 𝑑𝑁 = 𝐶 ∆𝐾 𝑚 1 − ൗ ∆𝐾𝑡ℎ ∆𝐾 𝑝 1 − ൗ 𝐾𝑚á𝑥 𝐾 𝑞 Onde C, m, p e q são constantes do material. Crescimento de trincas de fadiga TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 428 ✓ Há vários modelos matemáticos, a partir do mesmo modelo físico, para a determinação do crescimento de trincas particularmente na Fase II: Onde C, m, n, C1, C2, C3 e f são constantes do material. ✓ Paris-Erdogan 𝑑𝑎 𝑑𝑁 = 𝐶 ∆𝐾 𝑚 𝑑𝑎 𝑑𝑁 = 𝐶 ∆𝐾 𝑚 1 − 𝑅 𝐾𝐼𝑐 − ∆𝐾𝐼 ✓ Forman ✓ Walker 𝑑𝑎 𝑑𝑁 = 𝐶 ∆𝐾 𝑚𝐾𝐼𝑚á𝑥 𝑛 ✓ Elber 𝑑𝑎 𝑑𝑁 = 𝐶1(𝐶2 + 𝐶3𝑅)(1 − 𝑅)𝐾𝐼𝑚á𝑥 𝑚 ✓ Radon & Culver 𝑑𝑎 𝑑𝑁 = 𝐶 𝐾𝐼𝑚á𝑥 2 + 𝐾𝐼𝑚í𝑛 2 𝑚 ✓ Mukherjee & Burns 𝑑𝑎 𝑑𝑁 = 𝐶𝑓−0,43 ∆𝐾𝐼 2,39𝐾𝐼𝑚é𝑑𝑖𝑜 2,13 Crescimento de trincas de fadiga TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 429 ✓ A vida de propagação de um dado componente mecânico é obtida pelo conhecimento da curva da/dN x ΔK do material, o que pode ser feito por uma das equações. ✓ Mas precisamente a curva pode ser obtida por via experimental, onde o registro do tamanho da trinca em função da vida, durante o ensaio, e o simultâneo cálculo de ΔK para cada N, permite o cálculo da curva da/dN x ΔK. ✓ Uma vez conhecida a curva da/dN x ΔK do material, nas condições de uso, ou seja, em função de meio ambiente, espessura, microestrutura, orientação dos defeitos, etc., é possível determinar a vida que um componente terá, quando fabricado com este material, considerando o crescimento de trincas a partir de defeitos iniciais, ou a partir de microtrincas nucleadas durante o carregamento cíclico anterior. Crescimento de trincas de fadiga TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 430 ✓ Para a determinação da vida de propagação é necessário integrar a correspondente equação da velocidade de propagação da trinca e função de ΔK. ✓ Dependendo do caso esta integração pode ser analítica, mas no caso geral deve ser feita numericamente. ✓ A partir do tamanho inicial do defeito, ai, é possível determinar o número de ciclos para este crescer até o tamanho final previsto af. ✓ Este tamanho af pode representar o tamanho crítico definido pela tenacidade do material, quando ocorre então a ruptura final. Crescimento de trincas de fadiga TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 431 ✓ Usando a equação de Paris-Erdogan, que é a mais usual: 𝑑𝑎 𝑑𝑁 = 𝐶 ∆𝐾 𝑚 ∆𝐾 = 𝑌∆𝜎 𝜋𝑎 𝑑𝑎 𝑑𝑁 = 𝐶 𝑌∆𝜎 𝜋𝑎 𝑚 ✓ O fator geométrico Y deve ser calculado para o valor instantâneo do tamanho da trinca. ✓ Se o fator geométrico Y não for uma função do tamanho da trinca, ao menos entre os limites ai e af pode-se obter a uma expressão analítica que fornece o número de ciclos para a trinca propagar-se entre os dois limites, para m ≠ 2. Crescimento de trincas de fadiga TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 432 𝑑𝑎 𝑑𝑁 = 𝐶 𝑌∆𝜎 𝜋𝑎 𝑚 ✓ Considerando-se que o fator geométrico Y, a velocidade de crescimento e a tensão nominal não mudam com o crescimento da trinca: 𝑑𝑁 = 𝑑𝑎 𝐶 𝑌∆𝜎 𝜋𝑎 𝑚 න 𝑁𝑖 𝑁𝑓 𝑑𝑁 = න 𝑎𝑖 𝑎𝑓 𝑑𝑎 𝐶 𝑌∆𝜎 𝜋𝑎 𝑚 න 𝑁𝑖 𝑁𝑓 𝑑𝑁 = 1 𝐶 𝑌∆𝜎 𝜋 𝑚 න 𝑎𝑖 𝑎𝑓 𝑑𝑎 𝑎 𝑚 Crescimento de trincas de fadiga TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 433 ✓ Para m=2: න 𝑁𝑖 𝑁𝑓 𝑑𝑁 = 1 𝐶 𝑌∆𝜎 𝜋 𝑚 න 𝑎𝑖 𝑎𝑓 𝑎−𝑚 2 𝑑𝑎 𝑁𝑓 − 𝑁𝑖 = 1 𝐶 𝑌∆𝜎 𝜋 𝑚 1 − 𝑚 2 + 1 𝑎𝑓 − 𝑎𝑖 Δ𝑁 = 2(𝑎𝑖 1−𝑚 2 − 𝑎𝑓 1−𝑚 2 ) (𝑚 − 2)𝐶 𝑌∆𝜎 𝜋 𝑚 Δ𝑁 = ln 𝑎𝑓 𝑎𝑖 𝐶 𝑌∆𝜎 𝜋𝑎 2 Crescimento de trincas de fadiga TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 434 ✓ No caso de Y ser uma função de a, ou de Δσ ser também variável ao longo do tempo, é necessário fazer uma integração numérica da equação para determinar N. ✓ Quando o produto YΔσ é variável ciclo a ciclo, a vida deve ser obtida por um processo numérico de integração, ciclo por ciclo, onde dN = 1 e da = 𝐶 ∆𝐾 𝑚. ✓ Assim, calcula-se ΔK do ciclo e obtém-se da/dN da curva experimental ou da equação de Paris, por exemplo. ✓ A trinca cresce com incrementos Δa = da = 𝐶 ∆𝐾 𝑚, em cada ciclo. ✓ Assim, após j ciclos, 𝑎𝑗 = 𝑎𝑖 + σ𝑘=1 𝑘=𝑗 𝑎𝑘 e o processo segue até que Kmáx do ciclo igual a KIc, correspondente ao fim da vida, pela ruptura final. Crescimento de trincas de fadiga TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 435 Exemplo 23 Uma placa com 1,0 m de largura construída em aço SAE-ABNT 1020, laminado a frio, é submetida a esforços cíclicos entre 200 MPa e 0 MPa. As propriedades mecânicas deste aço são: Se = 630 MPa Smáx = 670 MPa E = 207 000 MPa KIc = 104 MPam C = 110-11 m/ciclo/(MPa m)m m = 3 ,00 Qual a vida para o crescimento de uma trinca de fadiga que pode ser esperada, se qualquer defeito na borda da placa é detectada quando for maior do que 1 mm? TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 436 Exemplo 23 Quando a chapa possui defeitos acima de 1 mm estes são removidos. Qualquer defeito até 1 mm passa desapercebido, logo o máximo tamanho inicial da trinca é de 1 mm. Para esta geometria desde que a trinca seja suficientemente pequena. Isto é válido no início da vida, mas no fim da vida a trinca será bem maior. O tamanho crítico da trinca, no ponto de carga máxima, pode ser obtido, em uma primeira aproximação: ∆𝐾 = 1,12. ∆𝜎 𝜋𝑎 𝐾𝐼𝑐 = 𝑌𝜎𝑚á𝑥 𝜋𝑎𝑐 104 = 1,12.200 𝜋𝑎𝑐 𝑎𝑐 = 0,06862 𝑚 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 437 Exemplo 23 Para esta geometria com uma trinca com 𝑎𝑐 = 0,06862 𝑚: Como a trinca cresce no início lentamente e apenas na última fração da vida é que atinge um tamanho da ordem de ac, é perfeitamente possível usar um valor de Y=1,12 constante, correspondente ao tamanho inicial, na integração, pois o erro não será grande. Assim, o número de ciclos será: ∆𝑁 = 88856 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 Y= 1,12 − 0,231 𝑎 𝑊 + 10,550 𝑎 𝑊 2 − 21,710 𝑎 𝑊 3 + 30,382 𝑎 𝑊 4 𝑌 = 1,12 − 0,231 0,06862 1 + 10,550 0,06862 1 2 − 21,710 0,06862 1 3 + 30,382 0,06862 1 4 𝑌 = 1,145 Δ𝑁 = 2(0,0011−3 2 − 0,068621−3 2) 3 − 2 1 × 10−11 1,12.200. 𝜋 3 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 438 Exemplo 24 No exemplo anterior busca-se aumentar a vida de crescimento de trinca que venha a ser gerada por algum defeito de borda. Uma alternativa seria aumentar em 50% a tenacidade à fratura do material. Outra seria em diminuir em 50% o tamanho máximo do defeito de borda. Analisando: ∆𝑁 = 92922 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 Δ𝑁 = 2(0,0011−3 2 − 0,15441−3 2) 3 − 2 1 × 10−11 1,12.200. 𝜋 3 Aumentando em 50% KIc: 𝐾𝐼𝑐 = 1,5104 = 156 𝑀𝑃𝑎 𝑚 156 = 1,12.200 𝜋𝑎𝑐 𝑎𝑐 = 0,1544 𝑚 Aumentando de 4,6% na vida TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 439 Exemplo 24 É muito mais conveniente diminuir o tamanho inicial da trinca, com um controle mais rigoroso, do que usar um material mais sofisticado, de alta tenacidade, onde o ganho de vida é percentualmente muito baixo. ∆𝑁 = 130715 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 Δ𝑁 = 2(0,00051−3 2 − 0,068621−3 2) 3 − 2 1 × 10−11 1,12.200. 𝜋 3 Diminuindo em 50% ai: Aumentando de 47,1% na vida 𝑎𝑖 = 0,0005 𝑚 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 440 Efeitos de R = smin/smax no crescimento de trinca de fadiga ✓ Um aumento na razão R do carregamento cíclico faz com que as taxas de crescimento para um determinado K sejam maiores. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 441 Efeitos de R = smin/smax no crescimento de trinca de fadiga ✓ O efeito é geralmente mais pronunciado para materiais mais frágeis. ✓ Por exemplo, a rocha de granito mostra um efeito extremo, sendo sensível ao aumento de R de 0,1 para apenas 0,2. ✓ Em contraste, os metais estruturais de resistência relativamente baixa e altamente dúcteis exibem apenas um efeito fraco na região da taxa de crescimento intermediária da curva da/dN  K com a variação de R. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 442 Equação de Walker ✓ Várias relações empíricas são empregadas para caracterizar o efeito de R nas curvas da/dN  K. ✓ Uma das equações mais amplamente utilizadas é baseada na aplicação da relação de Walker ao fator de intensidade de tensão K: ∆𝐾 = 𝐾𝑚á𝑥 1 − 𝑅 𝛾 ✓ Aqui,  (0,3 ≤ 𝛾 ≤ 1,0) é uma constante para o material e K é a intensidade de tensão equivalente a R = 0 (σmín = 0) que causa a mesma taxa de crescimento que a combinação real de Kmáx e R. ∆𝐾 = 𝐾𝑚á𝑥 − 𝐾𝑚í𝑛 ∆𝐾 = 𝐾𝑚á𝑥 − 𝑅𝐾𝑚á𝑥 𝑅 = 𝐾𝑚í𝑛 𝐾𝑚á𝑥 ∆𝐾 = 𝐾𝑚á𝑥(1 − R) TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 443 Equação de Walker ✓ Portanto: ∆𝐾 = 𝐾𝑚á𝑥 1 − 𝑅 𝛾 ✓ Reescrevendo as equações para a relação entre da/dN e K com a constante 𝐶0 para R = 0 e apenas C para R > 0: 𝐾𝑚á𝑥 = ∆𝐾 (1 − R) ∆𝐾 = 𝐾𝑚á𝑥(1 − R) ∆𝐾 = ∆𝐾 (1 − R) 1 − 𝑅 𝛾 ∆𝐾 = ∆𝐾 1 − 𝑅 (1−𝛾) 𝑑𝑎 𝑑𝑁 = 𝐶0 ∆𝐾 𝑚 ✓ Como ∆𝐾 é um ∆𝐾 equivalente para R = 0: TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 444 Equação de Walker ✓ Que representa uma família de curvas da/dN  K paralelas em um diagrama log-log, portanto com a mesma inclinação. 𝑑𝑎 𝑑𝑁 = 𝐶0 ∆𝐾 𝑚 ✓ Como ∆𝐾 é um ∆𝐾 equivalente para R = 0: 𝑑𝑎 𝑑𝑁 = 𝐶0 ∆𝐾 1 − 𝑅 (1−𝛾) 𝑚 𝑑𝑎 𝑑𝑁 = 𝐶0 1 − 𝑅 𝑚(1−𝛾) ∆𝐾 𝑚 ✓ Então: 𝑚 = 𝑚0 𝐶 = 𝐶0 1 − 𝑅 𝑚(1−𝛾) TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 445 Equação de Walker ✓ Para carregamentos envolvendo compressão, R < 0, assume-se que a porção compressiva do ciclo não tem efeito no crescimento da trinca. ✓ Portanto,  = 0 quando R <0, de modo que ∆𝐾 = 𝐾𝑚á𝑥. ✓ Isso é razoável com base na lógica de que a trinca fecha com carga zero e não mais age como uma trinca com cargas compressivas. ✓ Em metais mais dúcteis, a porção compressiva da carga pode contribuir para o crescimento, portanto, esta abordagem não é universalmente aplicável. ✓ Para o aço Man-Ten muito dúctil, para o qual a carga de compressão contribui para o crescimento de trincas,  = 0,22. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 446 Exemplo 25 Uma placa com 1,0 m de largura construída em aço SAE-ABNT 1020, laminado a frio, é submetida a esforços cíclicos entre 200 MPa e 40 MPa. As propriedades mecânicas deste aço são: Se = 630 MPa Smáx = 670 MPa E = 207 000 MPa KIc = 104 MPam C = 110-11 m/ciclo/(MPa m)m m = 3 ,00  = 0,54 Qual a vida para o crescimento de uma trinca de fadiga que pode ser esperada, se qualquer defeito na borda da placa é detectada quando for maior do que 1 mm? TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 447 Exemplo 25 Para esta geometria desde que a trinca seja suficientemente pequena. O tamanho crítico da trinca, no ponto de carga máxima, pode ser obtido, em uma primeira aproximação: ∆𝐾 = 1,12. ∆𝜎 𝜋𝑎 𝐾𝐼𝑐 = 𝑌𝜎𝑚á𝑥 𝜋𝑎𝑐 104 = 1,12.200 𝜋𝑎𝑐 𝑎𝑐 = 0,06862 𝑚 ∆𝜎 = 𝜎𝑚á𝑥 − 𝜎𝑚í𝑛 𝑅 = 𝜎𝑚í𝑛 𝜎𝑚á𝑥 = 40 200 = 0,2 ∆𝜎 = 200 − 40 = 160 𝑀𝑃𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 448 Exemplo 25 ∆𝑁 = 127608 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 Δ𝑁 = 2(0,0011−3 2 − 0,068621−3 2) 3 − 2 1,36 × 10−11 1,12.160. 𝜋 3 𝑚 = 𝑚0 𝐶 = 𝐶0 1 − 𝑅 𝑚(1−𝛾) 𝑚 = 3,0 𝐶 = 1 × 10−11 1 − 0,2 3,0(1−0,54) 𝐶 = 1,36 × 10−11 ൗ 𝑚 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝑚 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 449 Exemplo 26 Uma placa com 1,0 m de largura construída em aço SAE-ABNT 1020, laminado a frio, é submetida a esforços cíclicos entre 200 MPa e 160 MPa. As propriedades mecânicas deste aço são: Se = 630 MPa Smáx = 670 MPa E = 207 000 MPa KIc = 104 MPam C = 110-11 m/ciclo/(MPa m)m m = 3 ,00  = 0,54 Qual a vida para o crescimento de uma trinca de fadiga que pode ser esperada, se qualquer defeito na borda da placa é detectada quando for maior do que 1 mm? TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 450 Exemplo 26 Para esta geometria desde que a trinca seja suficientemente pequena. O tamanho crítico da trinca, no ponto de carga máxima, pode ser obtido, em uma primeira aproximação: ∆𝐾 = 1,12. ∆𝜎 𝜋𝑎 𝐾𝐼𝑐 = 𝑌𝜎𝑚á𝑥 𝜋𝑎𝑐 104 = 1,12.200 𝜋𝑎𝑐 𝑎𝑐 = 0,06862 𝑚 ∆𝜎 = 𝜎𝑚á𝑥 − 𝜎𝑚í𝑛 𝑅 = 𝜎𝑚í𝑛 𝜎𝑚á𝑥 = 160 200 = 0,8 ∆𝜎 = 200 − 160 = 40 𝑀𝑃𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 451 Exemplo 26 ∆𝑁 = 1205092 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 Δ𝑁 = 2(0,0011−3 2 − 0,068621−3 2) 3 − 2 9,217 × 10−11 1,12.40. 𝜋 3 𝑚 = 𝑚0 𝐶 = 𝐶0 1 − 𝑅 𝑚(1−𝛾) 𝑚 = 3,0 𝐶 = 1 × 10−11 1 − 0,8 3,0(1−0,54) 𝐶 = 9,217 × 10−11 ൗ 𝑚 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝑚 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 452 Efeito de R sobre Kth ✓ A razão R geralmente tem um forte efeito sobre o comportamento do crescimento da trinca em taxas de crescimento baixas e, portanto, também sobre o valor limite Kth. ✓ Isso ocorre mesmo para metais de baixa resistência, onde há pouco efeito nas taxas de crescimento intermediárias. ✓ Para alguns aços: ∆𝐾𝑡ℎ = 6,5 1 − 0,85𝑅 𝑀𝑃𝑎 𝑚 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 453 Exemplo 27 Uma viga em flexão com seção transversal quadrada em aço é submetida a esforços cíclicos entre 400 MPa e 120 MPa. As propriedades mecânicas deste aço são: Se = 700 MPa Smáx = 870 MPa E = 207 000 MPa KIc = 78 MPam C = 210-11 m/ciclo/(MPa m)m m = 3 ,25  = 0,48 Qual a vida para o crescimento de uma trinca de fadiga que pode ser esperada, para operação em vida finita? Admite-se que a trinca cresça com a razão a/c=1. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Exemplo 27 454 𝐾𝐼 = 𝜆𝑠𝜎 𝜋𝑎 𝑄 𝑓 𝜙 𝑄 = 1 + 1,464 𝑎 𝑐 1,65 𝜆𝑠 = 1,13 − 0,09 𝑎 𝑐 . [1 + 0,1. 1 − 𝑠𝑒𝑛𝜙 2 ] Tamanho crítico Com ao carga é distribuída uniformemente na seção 𝜃 = 90° 𝑄 = 1 + 1,464 1 1,65 = 2,464 𝜆𝑠 = 1,13 − 0,09 1 . 1 + 0,1. 1 − 𝑠𝑒𝑛90 2 = 1,04 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Exemplo 21 455 𝑓(𝜙) = 𝑠𝑒𝑛2𝜙 + 𝑎 𝑐 2 𝑐𝑜𝑠2𝜙 ൗ 1 4 Tamanho crítico →tamanho final 𝑓 90 = 𝑠𝑒𝑛290 + 1 2𝑐𝑜𝑠290 ൗ 1 4 = 1 𝐾𝐼 = 𝜆𝑠𝜎𝑚á𝑥 𝜋𝑎 𝑄 𝑓 𝜙 78 = 0,6625.400 𝜋. 𝑎𝑓 𝑎𝑓 = 0,02757 m 𝑌 = 𝜆𝑠 𝑄 𝑓 𝜙 𝑌 = 1,04 2,464 . 1,0 = 0,6625 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura Exemplo 21 456 𝑅 = 𝜎𝑚í𝑛 𝜎𝑚á𝑥 Tamanho inicial da trinca gerada por fadiga 4,84 = 0,6625. (400 − 120) 𝜋𝑎𝑖 𝑎𝑖 = 0,0002167 m ∆𝐾𝑡ℎ = 6,5 1 − 0,85.0,3 𝑅 = 120 400 = 0,3 ∆𝐾𝑡ℎ = 4,84 𝑀𝑃𝑎 𝑚 ∆𝐾𝑡ℎ = 𝑌∆𝜎 𝜋𝑎𝑖 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 457 Exemplo 27 ∆𝑁 = 53693 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 Δ𝑁 = 2(0,00021671−3,25 2 − 0,027571−3,25 2 ) 3,25 − 2 . 3,654 × 10−11 0,6625.280. 𝜋 3,25 𝑚 = 𝑚0 𝐶 = 𝐶0 1 − 𝑅 𝑚(1−𝛾) 𝑚 = 3,25 𝐶 = 2 × 10−11 1 − 0,3 3,25(1−0,48) 𝐶 = 3,654 × 10−11 ൗ 𝑚 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝑚 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 458 Mecânica da Fratura TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 459 15. FRATURA ELASTOPLÁSTICA TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 460 Aproximação de Dugdale  Dugdale propôs a aproximação da zona plastificada na ponta da trinca como uma tira sob escoamento no estado plano de tensões.  O modelo propõe uma tira de material sob tensão de escoamento se estendendo por um comprimento r.  O campo de tensão elástica vizinho a essa tira provoca o fenômeno do fechamento da trinca, nas posições a<x<c, onde 2c = 2a + 2r. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 461 Aproximação de Dugdale  Dessa forma há um campo de tensão elástica nominal que se sobrepõe a um campo de tensão de escoamento, na região à frente da trinca.  Pode-se escrever um intensificador de tensão para cada uma dessas condições.  Para o campo elástico remoto 𝐾𝜎 = 𝑌𝜎 𝜋𝑎 para a tensão elástica 𝜎 e Y independente de a e de 𝜎.  Na região à frente da trinca esses dois campos se sobrepõe. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 462 Aproximação de Dugdale  Pelo princípio da superposição, na região à frente da trinca, para qualquer posição 𝑥 à frente da ponta da trinca física:  Sob a mesma ótica de Irwin, considerando-se um tamanho efetivo de trinca como 𝑎𝑒𝑓 = 𝑎 + 𝑟 𝑥 = 𝑎 com 𝜎𝑠 = 𝑆𝑒: 𝐾𝜎 = 𝑌𝜎 𝜋(𝑎 + 𝑟) 𝐾𝐼 = −2𝑌𝜎𝑠 𝑎 𝜋 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑎 𝐾𝐼 = −2𝑌𝑆𝑒 𝑎 + 𝑟 𝜋 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑎 + 𝑟 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 463 Aproximação de Dugdale  Na condição de limite 𝐾𝜎 = −𝐾𝐼  Expandindo em série e negligenciando os termos de ordem superior: 𝑌𝜎 𝜋(𝑎 + 𝑟) = 2𝑌𝑆𝑒 𝜋 𝜋(𝑎 + 𝑟)𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑎 + 𝑟 𝜋𝜎 2𝑆𝑒 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑎 + 𝑟 𝑎 𝑎 + 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝜎 2𝑆𝑒 𝑟 = 𝑎 𝑠𝑒𝑐 𝜋𝜎 2𝑆𝑒 − 1 𝑟 = 𝑎 2 𝜋𝜎 2𝑆𝑒 2 𝑟 = 𝜋 8 𝐾𝐼 𝑆𝑒 2 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 464 Aproximação de Dugdale  Descrevendo um 𝐾𝑒𝑓 aplicando a aproximação de Dugdale à expressão de 𝐾𝐼 : 𝐾𝑒𝑓 = 𝑌𝜎 𝜋 𝑎 + 𝜋 8 𝐾𝑒𝑓 𝑆𝑒 2 𝐾𝑒𝑓 = 𝑌𝜎 𝜋𝑎 1 + 𝜋2 8 𝑌𝜎 𝑆𝑒 2  A proposta de Irwin leva à 𝐾𝑒𝑓 : 𝐾𝑒𝑓 = 𝑌𝜎 𝜋𝑎 1 + 1 2 𝑌𝜎 𝑆𝑒 2 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 465 Mecânica da Fratura Elastoplástica  Se o tamanho da zona plástica na ponta da trinca for pequena o suficiente para que possa estar contido na região dominante de K, pode-se usar K e G como os parâmetros da MFLE.  Com 𝑟𝑦 ≪ 𝑎 pode-se empregar a aproximação de Irwin.  Com 𝑟𝑦 < 𝑎 pode-se empregar a aproximação de Dugdale.  Essa condição também é conhecida como condição de escoamento em pequena escala (SSY).  Por outro lado, se esta zona for maior do que a região dominante K, então as suposições elásticas lineares não estão corretas, ou seja, MFLE não é aplicável e modelos não lineares devem ser usados. Com 𝑟𝑦 > 𝑎 deve-se empregar a MFEP. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 466 Mecânica da Fratura Elastoplástica  A figura mostra três situações diferentes em relação à propagação da zona plástica da ponta de trinca.  O primeiro caso representa a condição SSY.  O segundo mostra a situação em que a zona plástica da ponta da trinca é grande o suficiente para causar alguma não linearidade na resposta geral do componente. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 467 Mecânica da Fratura Elastoplástica  No entanto, se essa não linearidade não for muito significativa, ela pode ser tratada com um modelo elástico não linear, para o qual introduz-se uma taxa de liberação de energia elástica não linear chamada J (geralmente conhecida como J-Integral).  No entanto, deve-se notar que, semelhante ao LEFM, há um limite para a validade de J no que diz respeito ao tamanho da zona plástica em comparação com a região J dominante. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 468 Mecânica da Fratura Elastoplástica  O terceiro caso é de completa plastificação da trinca e o parâmetro apropriado seria o deslocamento da abertura da ponta da trinca (CTOD).  O quarto caso é de plastificação geral da estrutura, mesmo na presença de trincas, onde a falha ocorre por colapso plástico e não fratura. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 469 Integral J  A integral de contorno J é amplamente utilizada na mecânica da fratura como um critério baseado em energia para determinar o início do crescimento da trinca.  A integral J representa uma maneira de calcular a taxa de liberação de energia de deformação, ou trabalho (energia) por unidade de área de superfície de fratura, em um material.  O conceito teórico de integral J foi desenvolvido em 1967 por G.P. Cherepanov e independentemente em 1968 por James R. Rice, que mostrou que uma integral de caminho de contorno energético (chamada J) era independente do caminho em torno de uma trinca. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 470 Integral J  A forma original da integral J para um contorno de linha ao redor da ponta da trinca pode ser escrita como: 𝐽 = න Γ 𝑤. 𝑑𝑦 − 𝑇𝑖 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑥 𝑑𝑠 Onde 𝜎𝑖𝑗 é o tensor tensão; 𝜀𝑖𝑗 é o tensor deformação; 𝑤 = ׬ 𝜎𝑖𝑗. 𝑑𝜀𝑖𝑗 é a densidade de energia de deformação; 𝑇𝑖𝑗 = 𝜀𝑖𝑗𝑛𝑗 são os componentes do vetor tração que atua no contorno; 𝑢𝑖 são os componentes de deslocamento; 𝑑𝑠 é um incremento de comprimento ao longo do contorno Γ. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 471 Integral J  A integral J é uma integral de linha que inicia em uma face da trinca e acaba na outra face da trinca. O caminho será composto pela:  parte 1 passando pela região elástica sobre carregamento monotônico;  pela parte 2 passando por uma superfície da trinca;  parte 3 retornando pela região elástica;  parte 4 passando pela outra superfície da trinca, formando um caminho fechado.  Uma integral de linha tem valor nulo, logo 𝐽1 + 𝐽2 + 𝐽3 + 𝐽4 = 0. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 472 Integral J  Como as superfícies da trinca não estão sob carga, nem normal nem tangencial, a integral 𝐽2 = 0 e 𝐽4 = 0.  Logo, 𝐽1 + 𝐽3 = 0 𝐽1 = −𝐽3  Como o caminho de integração 3 tem o sentido inverso que o do caminho 1  Então 𝐽1 = 𝐽3  J é a taxa não linear de liberação de energia e tem o mesmo conceito de G, que é aplicado para a MFLE. 𝐽 = 𝑑𝑈 𝑑𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 473 Integral J TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 474 Campos singulares de Hutchinson-Rice-Rosengren (HRR)  Hutchinson, Rice e Rosengren independentemente mostraram que J caracteriza as condições da ponta da trinca em um material elástico não linear.  Consideraram uma relação de lei de potência entre deformação plástica e estresse.  Se as deformações elásticas forem incluídas, esta relação para deformação uniaxial é dada pela relação de Ramberg-Osgood. 𝜀 𝜀0 = 𝜎 𝜎0 + 𝛼 𝜎 𝜎0 1 𝑛 onde 𝜎0 é um valor de tensão de referência que geralmente é igual à tensão de escoamento, 𝜀0 = Τ 𝜎0 𝐸, 𝛼 uma constante adimensional, e 𝑛 é o expoente de endurecimento por deformação. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 475 Campos singulares de Hutchinson-Rice-Rosengren (HRR)  Hutchinson, Rice e Rosengren mostraram que, para permanecer independente do caminho, a deformação de tensão deve variar como 1/r próximo à ponta da trinca.  Em distâncias muito próximas à ponta da trinca, bem dentro da zona plástica, as deformações elásticas são pequenas em comparação à deformação total, e o comportamento tensão-deformação se reduz a uma lei de potência simples. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 476 Campos singulares de Hutchinson-Rice-Rosengren (HRR)  Essas duas condições implicam na seguinte variação de tensão e deformação à frente da ponta da trinca: 𝜎𝑖𝑗 = 𝑘1. 𝐽 𝑟 𝑛Τ 𝑛+1 𝜀𝑖𝑗 = 𝑘2. 𝐽 𝑟 1Τ 𝑛+1 onde 𝑘1 e𝑘2 são constantes de proporcionalidade. Para um material linear elástico, 𝑛 = 1, e as Equações preveem uma singularidade Τ 1 𝑟, que é consistente com a teoria LEFM. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 477 Campos singulares de Hutchinson-Rice-Rosengren (HRR) 𝜎𝑖𝑗 = 𝜎0. 𝐸𝐽 𝛼′𝜎0 2𝐼𝑛𝑟 𝑛 𝑛+1 ෤𝜎𝑖𝑗(𝑛, 𝜃) 𝜀𝑖𝑗 = 𝛼′𝜎0 𝐸 . 𝐸𝐽 𝛼′𝜎0 2𝐼𝑛𝑟 1 𝑛+1 ǁ𝜀𝑖𝑗(𝑛, 𝜃)  As distribuições reais de tensão e deformação são obtidas aplicando as condições de contorno adequadas: onde 𝐼𝑛 é uma constante de integração que depende de 𝑛, e ෤𝜎𝑖𝑗(𝑛, 𝜃) e ǁ𝜀𝑖𝑗(𝑛, 𝜃) são funções adimensionais de 𝑛 e 𝜃. 𝜎0 é uma tensão de referência na região que, para casos uniaxiais é igual a 𝑆𝑒.  Esses parâmetros também dependem do estado de tensão assumido (isto é, tensão plana ou deformação plana).  Essas Equações são chamadas de singularidade HRR, em homenagem a Hutchinson, Rice e Rosengren. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 478 Campos singulares de Hutchinson-Rice-Rosengren (HRR) 𝐼 ൗ 1 𝑛 𝐸𝑃𝑇 = 7,7977 − 1,8031. ൗ 1 𝑛 + 0,2168. ൗ 1 𝑛 2 − 0,00826 ൗ 1 𝑛 3 𝐼 ൗ 1 𝑛 𝐸𝑃𝐷 = 5,9017 − 0,1512. ൗ 1 𝑛 − 0,00502. ൗ 1 𝑛 2 + 0,0006 ൗ 1 𝑛 3 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 479 Campos singulares de Hutchinson-Rice-Rosengren (HRR)  Os componentes de tensão são definidos em termos de coordenadas polares ao invés de x e y.  A integral J define a amplitude da singularidade HRR, assim como o fator de intensidade de tensão caracteriza a amplitude da singularidade elástica linear.  Assim, J descreve completamente as condições dentro da zona plástica.  Uma estrutura em escoamento em pequena escala tem duas zonas dominadas pela singularidade: uma na região elástica, onde a tensão varia como Τ 1 𝑟, e uma na zona plástica onde a tensão varia como 1 𝑟 Τ 𝑛 𝑛+1.  Esta última frequentemente persiste muito depois que a zona de singularidade elástica linear foi destruída pela plasticidade da ponta da trinca. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 480 Campos singulares de Hutchinson-Rice-Rosengren (HRR)  A maioria dos esforços para avaliar a dominância J concentrou-se na condição de deformação plana sob o modo I de carregamento.  Tanto o fator de intensidade de tensão 𝐾𝐼 quanto 𝐽𝐼 representam a tenacidade à fratura de forma indireta que caracterizam os parâmetros de campo locais, mas 𝐾𝐼 é estritamente usados ​para escoamento em pequena escala e 𝐽𝐼 para casos de escoamento em pequena e grande escala.  A avaliação completa do processo de fratura inclui a mecânica da fratura porque a tenacidade à fratura é uma medida da ductilidade à fratura de um material com uma configuração de trinca específica em sua forma geométrica.  O conceito de ductilidade da fratura depende das tensões de tração hidrostáticas durante a deformação, durante as quais o módulo de cisalhamento é uma medida do aumento da ductilidade da fratura. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 481 Campos singulares de Hutchinson-Rice-Rosengren (HRR)  O tratamento matemático rigoroso e complexo precedente na mecânica da fratura elastoplástica agora será simplificado para fins práticos.  Uma vez que a maior parte da caracterização de materiais com trincas está confinada a um carregamento de tensão axial, pode-se supor que o crescimento da trinca ocorre ao longo do plano da trinca, simplificando as análises de tensão, deformação e deslocamento.  Para uma trinca estacionária carregada em tração, as equações de campo de tensão de deformação tornam-se: 𝜎 = 𝑆𝑒. 𝐸𝐽 𝛼′𝑆𝑒 2𝐼𝑛𝑟 𝑛 𝑛+1 𝜀 = 𝛼′𝑆𝑒 𝐸 . 𝐸𝐽 𝛼′𝑆𝑒 2𝐼𝑛𝑟 1 𝑛+1 𝑟 = 𝐸𝐽 𝛼′𝑆𝑒 2𝐼𝑛 . 𝑆𝑒 𝜎 𝑛+1 𝑛 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 482 Exemplo  Calcular o tamanho máximo da zona plástica para um corpo de prova compacto [CT], que opera em EPD, feito de aço ASTM A533B com uma deformação de 0,1. O aço obedece à relação tensão-deformação Ramberg-Osgood. 𝑆𝑒 = 414 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 207 𝐺𝑃𝑎 𝑇 = 93 °𝐶 𝑛 = 0,10299 𝛼′ = 1,12 𝑊 = 203 𝑚𝑚 𝐵 = 101,5 𝑚𝑚 𝑎0 = 117 𝑚𝑚 𝑎𝑐 = 121 𝑚𝑚 𝐵 = 101,5 𝑚𝑚 𝜇 = 4,7 𝑚𝑚 𝐽𝐼𝑐 = 1,00 𝑚. 𝑀𝑃𝑎 𝐻 = 776 𝑀𝑃𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 483 Exemplo  A deformação no escoamento é: 𝜀𝑒𝑠𝑐 = 𝑆𝑒 𝐸 𝜀𝑒𝑠𝑐 = 414 207000 𝜀𝑒𝑠𝑐 = 0,002 𝐼 ൗ 1 0,10299 = 5,9017 − 0,1512. ൗ 1 0,10299 − 0,00502. ൗ 1 0,10299 2 + 0,0006 ൗ 1 0,10299 3 𝐼 ൗ 1 0,10299 = 4,51 𝜎 = 𝐻 𝜀𝑝 𝑛 𝜎 = 776 0,1 0,10299 𝜎 = 612 𝑀𝑃𝑎 𝜎 > 𝑆𝑒 𝑟 = 𝐸𝐽 𝛼′𝑆𝑒 2𝐼𝑛 . 𝑆𝑒 𝜎 𝑛+1 𝑛 𝑟 = 207000.1,00 1,12. 4142. 4,51 . 414 612 0,10299+1 0,10299 𝑟 = 0,00364 𝑚 𝑟 = 3,64 𝑚𝑚 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 484 Deslocamento de abertura da ponta de trinca  Quando Wells tentou medir os valores de KIc em vários aços estruturais, ele descobriu que esses materiais eram muito resistentes para serem caracterizados pelo MFLE.  Esta descoberta trouxe boas e más notícias: alta tenacidade é obviamente desejável para projetistas e fabricantes, mas os experimentos de Wells indicaram que a teoria da mecânica de fratura existente não era aplicável a uma classe importante de materiais.  Ao examinar corpos de prova fraturados, Wells notou que as faces das trincas haviam se separado antes da fratura.  A deformação plástica embotou uma trinca inicialmente acentuada, conforme ilustrado na Figura. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 485 Deslocamento de abertura da ponta de trinca  O grau de embotamento da trinca aumentou em proporção à tenacidade do material.  Esta observação levou Wells a propor a abertura na ponta da trinca como uma medida de tenacidade à fratura.  Esse parâmetro é conhecido como CTOD – Crack Tip Opening Displacement.  Em seu artigo original, Wells realizou uma análise aproximada que relacionou o CTOD ao fator de intensidade de tensão no limite de escoamento em pequena escala.  Irwin postulou que a plasticidade da ponta da trinca faz com que a trinca se comporte como se fosse ligeiramente mais longa. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 486 Deslocamento de abertura da ponta de trinca  Considere uma trinca com uma pequena zona plástica, conforme ilustrado na Figura.  Pode-se estimar o CTOD resolvendo o deslocamento na ponta da trinca física, assumindo um comprimento efetivo da trinca de 𝑎𝑒𝑓 = 𝑎 + 𝑟𝑦. 𝑢𝑦 = 𝜅 + 1 2𝜇 𝐾𝐼 𝑟 2𝜋 𝜅 = 3 − 4𝜈 𝜅 = 3 − 𝜈 1 + 𝜈 EPD para =0° EPT para =0° TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 487 Deslocamento de abertura da ponta de trinca  O deslocamento na ponta da trinca para o campo de tensões definido em 𝑟 = 𝑟𝑦 𝑢𝑦 = 4 𝐸 𝐾𝐼 𝑟𝑦 2𝜋 EPD para =0° EPT para =0° 𝑢𝑦 = 4(1 − 𝜈2) 𝐸 𝐾𝐼 𝑟𝑦 2𝜋  O raio de plastificação definido por Irwin para EPT é: 𝑟𝑦 = 1 2𝜋 𝐾𝐼 𝑆𝑒 2 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 488 Deslocamento de abertura da ponta de trinca  A abertura na ponta da trinca será 𝛿 = 2𝑢𝑦 𝑢𝑦 = 4(1 − 𝜈2) 𝐸 𝐾𝐼 𝑟𝑦 2𝜋 EPD para =0° 𝑢𝑦 = 4(1 − 𝜈2) 𝐸 𝐾𝐼 1 2𝜋 1 2𝜋 𝐾𝐼 𝑆𝑒 2 𝑢𝑦 = 2(1 − 𝜈2) 𝜋 𝐾𝐼 2 𝐸𝑆𝑒 𝛿 = 2 2(1 − 𝜈2) 𝜋 𝐾𝐼 2 𝐸𝑆𝑒 𝛿 = 4(1 − 𝜈2) 𝜋 𝐾𝐼 2 𝐸𝑆𝑒  𝛿 é CTOD 𝛿 = 4(1 − 𝜈2) 𝜋 𝐺 𝑆𝑒 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 489 Deslocamento de abertura da ponta de trinca  A abertura na ponta da trinca será 𝛿 = 2𝑢𝑦 𝑢𝑦 = 4 𝐸 𝐾𝐼 𝑟𝑦 2𝜋 EPT para =0° 𝑢𝑦 = 4 𝐸 𝐾𝐼 1 2𝜋 1 2𝜋 𝐾𝐼 𝑆𝑒 2 𝑢𝑦 = 2 𝜋 𝐾𝐼 2 𝐸𝑆𝑒 𝛿 = 2 2 𝜋 𝐾𝐼 2 𝐸𝑆𝑒 𝛿 = 4 𝜋 𝐾𝐼 2 𝐸𝑆𝑒  𝛿 é CTOD 𝛿 = 4 𝜋 𝐺 𝑆𝑒 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 490 Deslocamento de abertura da ponta de trinca  O modelo de Dugadale fornece um meio alternativo para analisar CTOD.  Nesse modelo a zona plástica foi modelada por tensões de fechamento de magnitude de escoamento.  O tamanho da zona de escoamento foi definido pelo requisito de tensões finitas na ponta da trinca.  O CTOD pode ser definido como o deslocamento da abertura da trinca no final da zona de escoamento, conforme ilustra a Figura. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 491 Deslocamento de abertura da ponta de trinca  De acordo com esta definição, Burdekin desenvolveu seu modelo CTOD em uma trinca em uma placa infinita sujeita a uma tensão de tração remota é dado por: 𝛿 = 8. 𝑆𝑒 𝑎 𝜋𝐸 ln sec 𝜋𝜎 2. 𝑆𝑒  Expandindo em série e considerando-se que no limite, com 𝜎 𝑆𝑒 → 0 longe da ponta da trinca: 𝛿 = 𝐾𝐼 2 𝑆𝑒𝐸 𝛿 = 𝐺 𝑆𝑒 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 492 Deslocamento de abertura da ponta de trinca  De forma semelhante, Rice desenvolveu seu modelo CTOD em uma trinca em uma placa infinita sujeita a uma tensão de tração remota é dado por: 𝛿 = 2(𝜅 + 1)(1 + 𝜈). 𝑆𝑒 𝑎 𝜋𝐸 ln sec 𝜋𝜎 2. 𝑆𝑒  Expandindo em série e considerando-se que no limite, com 𝜎 𝑆𝑒 → 0 longe da ponta da trinca: 𝛿 = (𝜅 + 1)(1 + 𝜈)𝐾𝐼 2 4𝜋𝑆𝑒𝐸 𝛿 = 𝜅 + 1 1 + 𝜈 𝐺 4𝜋𝑆𝑒 𝜅 = 3 − 4𝜈 𝜅 = 3 − 𝜈 1 + 𝜈 EPD para =0° EPT para =0° TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 493 Exemplo  Em uma placa com espessura B=13 mm a taxa crítica de liberação de energia de deformação é G=32 kJ/m2, a resistência ao escoamento é Se=1500 MPa, o coeficiente de Poisson é 0,333 e o módulo de elasticidade do aço é E=207 GPa. Determinar: a) a validade do teste de flexão mecânica da fratura para a placa contendo uma trinca de borda única de 8 mm de comprimento na fratura; b) a tensão de fratura se a placa tiver 130 mm de largura e 1 m de comprimento; c) o valor crítico para o deslocamento da abertura da ponta da trinca; d) o deslocamento; e) o tamanho da zona plástica; f) interpretar os resultados em relação à condição de deformação plana. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 494 Exemplo 𝐺𝐼𝑐 = 1 − 𝜈2 𝐾𝐼𝑐 2 𝐸 32 × 10−3 = 1 − 0,3332 𝐾𝐼𝑐 2 207000 𝐾𝐼𝑐 = 86,32 𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝐵 ≥ 2,5 𝐾𝐼𝑐 𝑆𝑒 2 𝐵 ≥ 2,5 86,32 1500 2 𝐵 ≥ 8,28 × 10−3 𝑚 Portanto, o teste é válido porque a espessura real da amostra é maior do que a espessura mínima ASTM. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 495 Exemplo 𝐾𝐼𝑐 = 𝑌𝜎 𝜋𝑎 𝜎𝑐 = 486,2 𝑀𝑃𝑎 86,32 = 1,12𝜎𝑐 𝜋. 0,008 𝛿 = (3 − 4𝜈 + 1)(1 + 𝜈)𝐾𝐼 2 4𝜋𝑆𝑒𝐸 𝛿 = (3 − 4.0,333 + 1)(1 + 0,333)86,322 4𝜋. 1500.207000 𝛿 = 6,79 × 10−6 𝑚 𝛿 = 2. 𝑢𝑦 6,79 × 10−6 = 2. 𝑢𝑦 𝑢𝑦 = 3,396 × 10−6 𝑚 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 496 Exemplo 𝑟 = 1 − 2𝜈 2 2𝜋 𝐾𝐼 𝑆𝑒 2 𝑟 = 1 − 2.0,333 2 2𝜋 86,32 1500 2 𝑟 = 5,88 × 10−5 𝑚 Os resultados acima sugerem que a placa atendeu aos requisitos de espessura ASTM E399 porque e se comportou de maneira frágil porque tanto o tamanho da zona plástica quanto o deslocamento da abertura da ponta da trinca são muito pequenos. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 497 Determinação Experimental de CTOD crítico  Considere o espécime SENB representado na figura, a amostra é pré-trincada e carregada conforme mostrado.  Devido à deformação plástica geral à frente da ponta da trinca, o ligamento se comporta como uma dobradiça plástica e os dois segmentos da amostra giram em torno de um ponto de rotação. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 498 Determinação Experimental de CTOD crítico  O CMOD – Crack Mouth Open Displacement – em qualquer momento pode ser medido usando um medidor de clipe e o CTOD pode ser obtido usando a seguinte expressão:  Para essa geometria, r é geralmente considerado como 0,4. A quantidade de CTOD no início do crescimento da fissura (δc) dá a propriedade do material necessária. 𝛿 𝐶𝑀𝑂𝐷 = 𝑓(𝑊 − 𝑎) 𝑟 𝑊 − 𝑎 + 𝑎 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 499 A forma da zona plastificada  Até agora, a extensão da zona plástica foi considerada ao longo do eixo x com =0°, uma vez que foi modelada como um círculo.  Um procedimento mais preciso segue quando ≠0° com o escoamento examinado em uma pequena área modelada de acordo com um critério de escoamento particular, que é responsável pela forma teórica da zona plástica.  Este fato implica que ocorre plasticidade de ponta de trinca e as tensões na zona plástica são limitadas ao fenômeno de escoamento.  Além disso, o critério de Von Mises e o critério de escoamento de Tresca podem ser usados para derivar expressões para o tamanho da zona plástica, que por sua vez dá a forma da zona plástica. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 500 Critério de escoamento de von Mises  Este critério é deduzido da Teoria da Energia de Distorção Máxima, na qual o estado de tensão é referido às direções principais de tensão e as tensões principais, 𝜎1 e 𝜎2 definidas pelas seguintes equações: 𝜎1 − 𝜎2 2 + 𝜎2 − 𝜎3 2 + 𝜎3 − 𝜎1 2 = 2𝑆𝑒2 𝜎1 = 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 2 + 𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦 2 2 + 𝜏𝑥𝑦 2 𝜎2 = 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 2 − 𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦 2 2 + 𝜏𝑥𝑦 2 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 501 Critério de escoamento de von Mises  Este critério é deduzido da Teoria da Energia de Distorção Máxima, na qual o estado de tensão é referido às direções principais de tensão e as tensões principais, 𝜎1 e 𝜎2 definidas pelas seguintes equações: 𝜎1 = 𝐾𝐼 2𝜋𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 𝑠𝑒𝑛 3 𝜃 2 𝜎2 = 𝐾𝐼 2𝜋𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 𝑠𝑒𝑛 3 𝜃 2 𝜎3 = 2𝜈𝐾𝐼 2𝜋𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝑃𝐷 𝜎3 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝑃𝑇 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 502 Critério de escoamento de von Mises  Aplicando o critério de von Mises às equações do campo de tensão elástico na ponta da trinca: 𝑟 = 1 4𝜋 𝐾𝐼 𝑆𝑒 2 3 2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝑃𝑇 𝑟 = 1 4𝜋 𝐾𝐼 𝑆𝑒 2 3 2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 1 − 2𝜈 2 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝑃𝐷  Para =0°o tamanho da zona plástica à frente da trinca é: 𝑟 = 1 − 2𝜈 2 2𝜋 𝐾𝐼 𝑆𝑒 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝑃𝐷 𝑟 = 1 2𝜋 𝐾𝐼 𝑆𝑒 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝑃𝑇 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 503 Critério de escoamento de von Mises trinca TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 504 Critério de escoamento de Tresca  Este critério é baseado na Teoria da Máxima Tensão de Cisalhamento, que prevê que o escoamento ocorre quando a tensão máxima de cisalhamento atinge a metade do valor da tensão de escoamento em um teste de tensão uniaxial. 𝜏𝑚á𝑥 = 1 2 𝑆𝑒 𝜏𝑚á𝑥 = 1 2 𝜎1 − 𝜎3 𝜎1 − 𝜎3 = 𝑆𝑒 𝜎1 = 𝑆𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝑃𝑇 𝜎1 − 𝜎3 = 𝑆𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝑃𝐷 𝜎1 − 𝜎2 = 𝑆𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝑃𝐷 TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 505 Critério de escoamento de Tresca  Aplicando o critério de Tresca às equações do campo de tensão elástico na ponta da trinca: 𝑟 = 1 2𝜋 𝐾𝐼 𝑆𝑒 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 𝑠𝑒𝑛 3 𝜃 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝑃𝐷 𝑟 = 1 2𝜋 𝐾𝐼 𝑆𝑒 2 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝑃𝑇 𝑟 = 1 2𝜋 𝐾𝐼 𝑆𝑒 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝑃𝐷 𝑟 = 1 2𝜋 𝐾𝐼 𝑆𝑒 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝑃𝑇  Para =0°o tamanho da zona plástica à frente da trinca é: TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 506 Critério de escoamento de Tresca trinca TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 507 Mecânica da Fratura Elastodinâmica  No caso mais geral, a mecânica da fratura dinâmica contém três características complicadoras que não estão presentes na mecânica da fratura elástica linear (LEFM) e na mecânica da fratura elástico-plástica: forças de inércia, comportamento do material dependente da taxa e ondas de tensão refletidas.  Os efeitos da inércia são importantes quando a carga muda abruptamente ou a trinca cresce rapidamente; uma parte do trabalho aplicado é convertido em energia cinética.  A maioria dos metais não são sensíveis a variações moderadas na taxa de deformação perto da temperatura ambiente, mas a fluxo de tensão pode aumentar consideravelmente quando a taxa de deformação aumenta em várias ordens de magnitude. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 508 Mecânica da Fratura Elastodinâmica  O efeito do carregamento rápido é ainda mais pronunciado em materiais sensíveis à taxa, como polímeros.  Quando a carga muda abruptamente ou a trinca cresce rapidamente as ondas de tensão se propagam através do material e refletem em superfícies livres, como os limites do corpo e o plano da trinca.  A reflexão das ondas de tensão influencia a tensão da ponta da trinca local e os campos de deformação que, por sua vez, afetam o comportamento da fratura.  Em certos problemas, um ou mais dos efeitos acima podem ser ignorados. Se todos os três efeitos forem negligenciados, o problema se reduzirá ao caso quase-estático. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 509 Mecânica da Fratura Elastodinâmica  A versão dinâmica do MFLE é denominada mecânica de fratura elastodinâmica, em que o comportamento não linear do material é negligenciado, mas as forças de inércia e as ondas de tensão refletidas são incorporadas quando necessário.  A estrutura teórica da mecânica da fratura elastodinâmica está razoavelmente bem estabelecida e as aplicações práticas desta abordagem estão se tornando mais comuns.  A mecânica da fratura elastodinâmica tem suas limitações, mas é aproximadamente válida em muitos casos.  Quando a zona plástica é restrita a uma pequena região próxima à ponta da trinca em um problema dinâmico, a abordagem da intensidade de tensão, com algumas modificações, ainda é aplicável. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 510 Mecânica da Fratura Elastodinâmica  Análises dinâmicas de fratura que incorporam comportamento de material não linear e dependente do tempo são uma inovação relativamente recente.  Vários pesquisadores generalizaram a integral J para explicar a inércia e a viscoplasticidade.  Existem duas classes principais de problemas de fratura dinâmica: (1) início da fratura como resultado de carregamento rápido; (2) propagação rápida de uma trinca.  Neste último caso, a propagação da trinca pode ser iniciada por aplicação quase-estática ou rápida de uma carga; a trinca pode parar após alguma propagação instável. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 511 Mecânica da Fratura Elastodinâmica  Determinar um parâmetro de caracterização de fratura, como o fator de intensidade de tensão ou a integral J, para carregamento rápido pode ser muito difícil.  Considerando o caso em que a zona plástica está confinada a uma pequena região ao redor da ponta da trinca os campos de tensão próximos à ponta para carregamento de alta taxa do Modo I são dados por: 𝜎𝑖𝑗 = 𝐾𝐼 𝑡 2𝜋𝑟 𝑓𝑖𝑗(𝜃) onde (t) denota uma função de tempo. As funções angulares, 𝑓𝑖𝑗(𝜃), são idênticas ao caso quase-estatístico. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 512 Mecânica da Fratura Elastodinâmica  O fator de intensidade de tensão, que caracteriza a amplitude da singularidade elástica, varia de forma errática nos estágios iniciais de carregamento.  A reflexão das ondas de tensão que passam através do corpo interfere de forma construtiva e destrutiva entre si, resultando em uma distribuição de tensão dependente do tempo, altamente complexa.  O KI instantâneo depende da magnitude das ondas de tensão discretas que passam pela região da ponta da trinca naquele momento particular no tempo.  Quando as ondas discretas são significativas, não é possível inferir KI a partir de cargas remotas. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 513 Mecânica da Fratura Elastodinâmica  Observa-se que o comportamento de um corpo carregado dinamicamente pode ser caracterizado por uma resposta de curto tempo, dominada por ondas discretas, e uma resposta de longo tempo que é quase quasistática.  Em tempos intermediários, os efeitos da inércia global são significativos, mas as oscilações locais na trinca são pequenas, porque a energia cinética é absorvida pela zona plástica.  Para distinguir a resposta de curto prazo da resposta de longo prazo, definiu- se um tempo de transição, tt, quando a energia cinética e a energia de deformação (a energia absorvida pelo corpo) são iguais.  Os efeitos da inércia dominam em tempos menores que o de transição, mas a energia de deformação domina em tempos significativamente maiores que tt. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 514 Comportamento de trincas em regiões de soldagem  Considerando todas as variáveis ​na análise, projeto, materiais e certificação de estruturas soldadas, não é surpreendente que as soldas sejam os alvos principais na maioria das falhas.  Peculiaridades sutis estão na raiz de muitos problemas de solda, que podem ser colocados em uma série de categorias de trincas na zona de solda.  Muitos deles estão relacionados à zona afetada pelo calor (ZAC), a própria solda e a linha de fusão.  A ZAC pode ser caracterizada por critérios de deformação plana, enquanto a solda e os metais básicos também podem estar envolvidos.  A linha de fusão raramente propaga fratura, a menos que se torne muito frágil. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 515 Comportamento de trincas em regiões de soldagem  Solidificação: A solidificação é desencadeada pelo processo de resfriamento da poça de metal de solda, sendo que o filme líquido é o local de fissuras dispostas de acordo com a direção das forças restritivas.  As impurezas que consistem em pequenas quantidades de enxofre e fósforo são críticas para o trincamento a quente de aços. O mecanismo de trinca, neste caso, é chamado de “trinca a quente” porque aparece em altas temperaturas antes que o metal desenvolva resistência suficiente. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 516 Comportamento de trincas em regiões de soldagem  Liquação. Embora o mecanismo de trincamento por liquação seja semelhante ao trincamento controlado por deformação durante a solidificação, a temperatura de um filme líquido não é suficientemente alta para fundir a ZAC do metal de base.  Consequentemente, a deformação de tração se desenvolve a partir do encolhimento da ZAC e a trinca de liquação é formada. As áreas hachuradas na figura representam poças de metal de solda. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 517 Comportamento de trincas em regiões de soldagem  Alívio de tensão. Durante o processo de soldagem, a ZAC e o cordão de solda são submetidos a um tratamento de solução de alta temperatura. Sob esta condição, os carbonetos são dissolvidos e colocados de volta na solução.  Se, a seguir, uma alta taxa de resfriamento não permitir que todos os carbonetos sejam precipitados, alguns deles permanecerão na solução.  No entanto, quando uma junta soldada é reaquecida para fins de alívio de tensões, a precipitação de carbono continua, criando trinca nos contornos dos grãos. Embora a precipitação fortaleça os grãos, ela também deixa os limites dos grãos mais fracos TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 518 Comportamento de trincas em regiões de soldagem  Trinca a frio. Em termos metalúrgicos, o trincamento a frio ocorre após a formação de produtos duros como a bainita e a martensita.  Este processo de trincamento é acelerado com a ajuda de pequenas fissuras de liquação. A dureza pode ser reduzida por pré-aquecimento ou resfriamento mais lento. O melhor remédio geral é reduzir os teores de carbono e enxofre. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 519 Comportamento de trincas em regiões de soldagem  Rasgo lamelar. Rasgo lamelar aplica-se a soldagens altamente restritas e soldas de filete.  A separação do metal base ao longo dos planos de inclusões não metálicas é referida como "rasgo lamelar".  Este processo de rasgo se desenvolve na direção da espessura devido à baixa ductilidade e normalmente segue o início da trinca causada por práticas de fusão de baixa qualidade. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 520 Comportamento de trincas em regiões de soldagem  Efeito do hidrogênio. O papel negativo do hidrogênio nas juntas soldadas é estimular a fissuração nas zonas plásticas nas pontas das trincas e estender as fissuras existentes nas peças metálicas geradas por outros meios.  A liquação a quente ou o trincamento a frio podem fornecer as condições certas para esse tipo de extensão de trinca.  Mesmo as menores trincas podem ser estendidas se os campos de tensão e os conteúdos de hidrogênio forem suficientemente altos. As direções de crescimento de fissuras assistidas por hidrogênio seguem caminhos normais às direções das tensões aplicadas. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 521 Comportamento de trincas em regiões de soldagem  Efeito de restrição. Vários mecanismos metalúrgicos e modos de trinca podem ser combinados na chamada trinca por restrição.  Isso pode incluir liquação a quente, trincamento a frio e rasgamento lamelar assistido por hidrogênio. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 522 Comportamento de trincas em regiões de soldagem  Todo o processo de comportamento de trincas em um regime de solda envolve tantas facetas de imperfeições quantas forem as características geométricas, materiais e de fabricação. 1. Fenda na unha da solda 2. Inclusão de escória 3. Bolsa de gás 4. Porosidade 5. Fissura sob o cordão 6. A falta de fusão aqui constitui uma trinca 7. Trinca de solidificação 8. Sobreposição de filetes 9. Trinca de raiz 10. Mordedura 11. Trinca na área da garganta  Apenas alguns dos possíveis tipos de imperfeições e trincas são apresentados na figura para uma junta de solda comum. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 523 Conceitos de projeto à fadiga  As atuais filosofias de projeto à fadiga de componentes mecânicos dividem-se em dois conceitos: vida garantida e abordagem tolerante ao dano.  A diferença principal entre ambos os conceitos reside na forma como se quantifica o processo de danificação desde a fase de iniciação da fenda até à sua posterior propagação.  No conceito vida garantida (“safe life”), um dado componente é projetado admitindo que será retirado de serviço logo após ter sido detectada uma microfissura inicial.  Neste contexto, o projeto é essencialmente orientado para a fase de iniciação de trincas e sua propagação até comprimentos de reduzida dimensão (tipicamente abaixo de 1 mm). TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 524 Conceitos de projeto à fadiga  Abordagem de vida garantida (“safe life”) – iniciação:  Desenvolvida no anos 1950: não é permitido qualquer dano na estrutura ao longo da sua vida, ou a estrutura com dano tem que resistir cargas finais sempre.  O tempo de vida à fadiga N tem que ser demonstrado: –Por testes –Por cálculo para versões derivadas  Usa-se um fator de segurança k aplicado ao tempo de vida à fadiga demonstrado: – k=5 no caso geral com demonstração por testes – k=3 por exemplo para uma estrutura que é monitorada em serviço para o número de ciclos TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 525 Conceitos de projeto à fadiga  Na abordagem tolerante ao dano (“fail safe”), o projetista assume que qualquer componente é passível de possuir um dano inicial que poderá propagar-se até um valor limite antes da sua retirada de serviço.  Este valor pode ser obtido graças à Mecânica da Fratura, sendo definido em termos da tenacidade à fratura do material, da carga limite ou de qualquer critério de deformação adequado.  Esta filosofia de projeto surgiu num contexto mais recente associado a estruturas críticas, especialmente no domínio do setor aeroespacial e da indústria nuclear. TMEC026 – Mecânica da Fadiga e da Fratura 526 Conceitos de projeto à fadiga  Abordagem de tolerância ao dano (“fail safe”) – propagação:  Desenvolvida no anos 1970: assume-se que todos os componentes contêm dano o qual pode existir desde sempre ou que foi criado durante o serviço;  O tempo de vida à fadiga é definido como sendo o necessário até o dano atingir um tamanho crítico;  Baseia-se no limite de redundância: depois da falha de um caminho de transmissão de esforços, o segundo caminho frequentemente apresenta danos que podem levar a uma falha catastrófica;  A vida até à falha tem que ser avaliada.