Lista 9 - Métodos Matemáticos Aplicados a Engenharia Química

Jhenefef Dolci ; GBR201019194\n lista 9\n\n prep.\n ∂u(x,t)\n = ρ²u(x,t)\n ∂t\n ∂²u(x,t)\n = 0\n 0 < x < l, t > 0\n\n p cond. de contorno\n ∂u(x,t)\n = ∂u(x,t)\n ∂x\n x=0\t \n = 0\t t > 0\n\n p cond. inicial\n u(x,0) = f(x)\n 0 < x < l\n\n ⟹ encontrar. função tal que:\n U(x,t) = φ(x) θ(t)\n\n (1) ∂u(x,t)\n = φ(x) θ(t)\n ∂t\n \n (2) ∂²u(x,t)\n = φ''(x) θ(t)\n ∂x²\n\n φ(x) θ(t) = ββ(t) φ''(x)\n 0 < x < l, t > 0\n\n 1 θ(t) = φ''(x)\n 0 < x < l, t > 0\n\n ρ θ(t)\n φ(x)\n\n ⟹ definindo um constante: λ\n 1 φ''(t) = λ\n β(t) = λ\n φ''(x)\n\n β(t) = 0\n t > 0 φ''(x) - λφ(x) = 0, 0 < x < l\n\n ⟹ descobrindo as condições de contorno\n μ(0,t) = φ(0) θ(t) = 0\n φ(0) = 0\n\n μ(l,t) = φ(l) ϕ(t) = 0\n φ(l) = 0\n\n [...]\n\n ϕ(t) = 0\n φ(0) = 0, φ(l) = 0\n\n ⟹ resolver da característica\n σ < 0; μ = -λ², λ > 0\n\n ref. 0; λ² = 0\n r = λi → λ = -λi\n\n φ(x) = C₁ cos(λx) + C₂ sin(λx)\n φ(0) = -C₁ λ sin(λx) + C₂ λ cos(λx)\n\n \n\n ρ/λ = 0; φ(0) = -C₂, λ cos(λx) = C₀, λ = 0\n C₂ = 0 Φ(l) = C₁ λ sin(λL) = 0\n\n qualquer números que gere λ < 0 se for múltiplo de π\n\n f(x) = 1 + n cos(n π x)\n λ = n π/L\n\n 1 θ'(t) = → θ''(t) = β λ e f(t) = e^(-βλt)\n\n 1 ∫θ(t) = ∫ 𝑓dθ = ∫dθ . θ(t) = C e^(-βλt)\n θ(t) = C' e^(-βλt) → θ(t) = 1\n\n onde λ = (nH)²/L\n μ_n(x,t) = φ(x) θ(t)\n μ_n(0,t) = Q_n cos(nH/L) x bm e^(el²t)\n\n μ_n(x,t) = C_n cos(nH/L) e^(-βnH)→\n Sendo pelo princípio da superposição, p(x,y,t) = e^((λ)x²) →