Análise de Sequências e Limites em Números Reais

an 5n1 an 2 forall n in mathbbN an fracmn1 Ejemplo an fracn2 3n 12n2 5 cdot limn o infty Secuencia de Fibonacci a1 1 a2 1 a3 a1 a2 2 a4 a2 a3 3 a5 a3 a4 5 a6 a5 a4 8 an an2 an1 Ejercicio Utilice a expressão do termo geral do seq Fibonacci para determinar a3 an a5 Tasa de crecimiento de la reg an longrightarrow fracan1an siendo ann in mathbbN an1 longrightarrow frac1 sqrt52 approx 161803398875 longrightarrow n de oro proporción áurea Seq de números Definição a ℕ ℝ 1 lim an lo Converge Diverge Teorema do confronto Sejam ann in mathbbN bnn in mathbbN cnn in mathbbN segs de números reais tais que an leq bn leq cn n geq n1 Se limn o infty an limn o infty cn l0 in mathbbR então limn o infty bn l0 Demonstração Dado epsilon 0 exists n0 in mathbbN tal que n n0 implies an in l0 epsilon l0 epsilon e cn in l0 epsilon l0 epsilon bn in l0 epsilon l0 epsilon Rightarrow limn o infty bn l0 Exemplo 0 t 1 Seja ak tk a0 0 Definimos Sn a1 a2 a3 ldots an sumk0n ak sumk1n tk S1 a1 S2 a1 a2 S3 a1 a2 a3 Rightarrow Sn sumk1n tk t t2 t3 ldots tn t left frac1 tn1 t right Seq Crescente e Seq Decrescente Exemplo ann in mathbbN a1 1 a2 0 a3 frac13 a4 0 a5 frac15 a6 1 an frac1n Obs sempre é possível desprezar uma quantidade finita de termos da seq Definição 1 Diremos que uma seq ann in mathbbN é crescente quando forall mn in mathbbN m n Rightarrow am leq an 2 é decrescente quando forall mn in mathbbN m n Rightarrow am geq an 3 Diremos uma seq ann in mathbbN é limitada superiormenteinferiormente se beta in mathbbR exists an leq beta forall n in mathbbN Teorema Toda seq monótona limitada é convergente a sup an n ℕ b inf an n ℕ i Se an é monótona crescente limitada superiormente lim an a ii Se an é monótona decrescente limitada inferiormente lim an b Exemplo Sn 1k n k1 Exemplo an 1n² lim an inf an n ℕ 0 Exercício Séries Numéricas Seja an A soma infinita dos termos da seq an é dada Σ an n1 Denotaremos por Sn a1 a2 an ak somas parciais Assim podemos definir a seq Sn n ℕ Sabemos que quando Σ an é finita podemos escrever lim Sn lim Σ ak Σ an n1 Resulta que A série converge A seq das somas parciais converge Propriedades Se an bn i α ℝ an lim ak α lim bk n n nk ii an bn lim ax b lim ak lim bk n n n iii an é convergente p ℕ Exercício Série geométrica Série harmônica Teorema 1 Se a an for convergente então liman0 n Demonstração do Teor o Seja Snn in mathbbN tal que Sn a1 a2 an Temos que Sn o S quando n o infty Note que limn o infty an limn o infty Sn Sn1 S S 0 Exercício Calcule a soma sumn1infty left frac3nn1 frac12n right Teste da Integral Suponha que f seja uma função contínua positiva e decrescente em 1 infty e seja an fn i Se int1infty fx dx for finita então sum an é convergente ii Se int1infty fx dx for infinita então sum an é divergente Exemplo sumn1infty frac1n21 converge ou diverge 1 Define f 1 infty o mathbbR dada por fx frac1x21 Note que f é contínua positiva e decrescente Calculando int1infty fx du int1infty frac1x21 arctanx bigg1infty limt o infty arctant arctan1 fracpi2 fracpi4 fracpi4 infty Portanto sum frac1n21 é convergente Demonstrações do teste da integral i a2 a3 a4 a5 an fx dx Exercício para quais valores de p a série 1np é convergente 1 frac1xp begincases ln x1 p1 fracxp1p1 1 p eq 1 endcases i ln x1 Rightarrow mathcalD ext pelo teste de integral Sigmatp ext diverge ii 0 p 1 Rightarrow p 1 Rightarrow p1 0 Rightarrow mathcalD fracxp1p1 1 Rightarrow ext pela teste de integral e Sigma frac1np ext diverge iii p 1 Rightarrow p 1 Rightarrow p1 0 Rightarrow p1 0 fracxp1p1 1 0 Rightarrow int1infty frac1xp 0 Rightarrow Rightarrow Sigmat ext converge p 1 Rightarrow Sigma frac1np ext converge extTeste da comparações extComparar uma série dada restrita a algumas condições com outra série que sabemos se converge ou diverge extExemplo sumn1 frac1n3 1 ext é convergente ou diverge extDemonstramos por Sn ext somas parciais de sum frac1n31 ext de sum frac1n3 extNote que frac1n3 1 frac1n3 Rightarrow Sn sumk1n frac1n3 1 sumk1n frac1k3 Sn mathcalO extNote ainda que Snn in mathbbN ext é crescente e limitada por Rightarrow Snn in mathbbN ext é convergente Rightarrow sum frac1n31 ext é convergente extTeste de comparações Suponga que sum an ext e sum bn ext sejam séries com termos positivos e an leq bn ext em n in mathbbN i ext Se sum bn ext converge Rightarrow sum an ext converge ii sum an ext e sum bn ext diverge Rightarrow sum an ext diverge extExemplo Inversível sumk1 fracln kk i frack ln kk Rightarrow fracln kk ln k Rightarrow 0 ext k rightarrow infty ii fx fracln xx ext positiva continua e crescente int1 fracln xx dx fracln x22 1 Rightarrow sumk1 fracln kk ext diverge 2º Teorema de comparação Sejam Σan e Σbn séries de termos positivos e tais que an bn n n0 e c 0 I Σbn converge Σan converge II Σan diverge Σbn diverge Exemplo Σ2n1 converge ou diverge Usando o 1º teorema de comparação de Σ12n note que 2n1 2n 12n1 12n assim a convergência Σ12n implica na convergência Σ12n1 2n2n1 2n 1 12n1 2 2n 22n1 12n 1221 Σ12n converge Secuencia de números reales a1 1 a2 2 a3 a2 2 a4 a3 1 a2n1 a2n1 2 a2n2 a2n1 1 a1 51 1 0 a2 52 1 5 an 5n 1 E x e m p l o a n fracn23n12n25 cdot limn o infty S e q u e n c i a d e F i b o n a c c i a nn bigg frac1sqrt52 biggn bigg frac1sqrt52 biggn 5 quad an 2 quad forall n in mathbbN quad D e f i n i ç a nn mathbbN o mathbbR quad n mapsto an an in mathbbR Taxa de crescimento da req an an1 taxa de crescimento an Seq de números Definição a N R n an an nésimo termo da seq Definição Seja an N Dizemos que i lim an l₀ quando dado ε 0 n₀ N tal que para todo n n₀ l₀ ε an l₀ ε Teorema do conjunto Sejam annin N bnnin N e cnnin N sequências de números reais tais que an bn cn n N1 Se limn an limn cn l0 então limn bn l0 Demonstrar Dado ε 0 n0 N tal que n n0 an l0 ε l0 ε e cn l0 ε l0 ε Exemplo 0 t 1 Sejam ak tk agora definir Sn a1 a2 a3 an k1n ak k1n tk Sn k1n tk t t2 t3 tn t1 t t2 tn1 t frac1 tn1 t Usando a definição vamos verificar limn an 0 Lembrando Dado ε 0 n0 N n n0 an 0 ε 0 ε Dado ε 0 n0 tal que n n0 n0 1 frac1ε n n0