Exercícios Resolvidos: Elipse, Hipérbole e Parábola - Equações, Tangentes e Normais

38 Deduza a equação da reta perpendicular à tangente à elipse x2a2 y2b2 1 no ponto x0 y0 Esta reta é chamada normal à elipse em x0 y0 39 Determine o valor de k para que a reta 2x9 ky4 1 seja tangente à elipse x29 y24 1 310 Determine o ponto da elipse x218 y28 1 mais próximo da reta 2x 3y 25 0 311 Considere uma semielipse e uma semireta como mostra a Figura 38 Se girarmos a semireta no sentido horário em torno de P em qual ponto da elipse ela tocará P 2 2 4 Fig 38 312 Mostre que qualquer que seja o valor de t o ponto a cos t b sen t pertence à elipse x2a2 y2b2 1 Observação Quando t varia de 0 a 2π o ponto a cos t b sen t percorre a elipse a partir do vértice Aa 0 uma vez x a cos t y b sen t são equações paramétricas da elipse no ponto x0 y0 317 Mostre que nenhuma tangente à hipérbole y2b2 x2a2 1 passa pela origem 318 Deduza a equação da reta perpendicular à tangente à hipérbole y2b2 x2a2 1 no ponto x0 y0 Esta reta é chamada normal à hipérbole no ponto x0 y0 319 Deduza as equações da tangente e da normal à hipérbole y2 2x2 1 no ponto 2 3 320 Determine uma equação da hipérbole cujas assíntotas são y x e y x sabendo que um de seus vértices é o ponto 2 0 Exercícios 313 Determine os focos os vértices e esboce as hipérboles cujas equações a x225 y29 1 b y29 x225 1 c 4x2 9y2 36 0 d x2 y2 1 314 Deduza uma equação da hipérbole a de focos F3 0 e F13 0 e vértices A2 0 e A12 0 b de focos F2 2 e F12 2 e vértices A1 1 e A11 1 315 Seja P o pé da perpendicular baixada do foco F da hipérbole x2a2 y2b2 1 a uma das assíntotas Demonstre que PF b e PO a onde O é a origem do sistema de coordenadas 316 Mostre que a os gráficos das funções definidas por fx b sqrt1 x2a2 e fx b sqrt1 x2a2 x R são ramos de hipérbole b se y0 fx0 a equação da reta que contém x0 y0 e cuja declividade é fx0 é dada por y0 yb2 x0 xa2 1 Esta reta é chamada tangente à hipérbole y2b2 x2a2 1 F14 0 x Fig 316 Exercícios 321 Determine o foco o vértice a equação da diretriz e esboce as parábolas cujas equações são a y 14 x² b x 14 y² c y x² d x 2 y² 322 Deduz a uma equação da parábola a de foco F0 1 e diretriz y 1 b de foco F1 0 e vértice 0 0 c de foco F1 1 e vértice 0 0 323 Deduz a uma equação da parábola com vértice em V6 3 e cuja diretriz é a reta 3x 5y 1 0 324 Prove que toda parábola cujo eixo é paralelo ao eixo y tem uma equação da forma y ax² bx c 72 Geometria Analítica Qual é a forma geral das equações cujo eixo é paralelo ao eixo x 325 Deduz a uma equação da parábola que contém o ponto 1 4 sabendo que seu eixo é paralelo ao eixo y e que seu vértice é o ponto 2 3 326 Deduz a uma equação da parábola que contém os pontos 1 12 1 2 e 2 0 e tem eixo paralelo ao eixo y 327 Prove que numa parábola o comprimento da corda que contém o foco e é perpendicular ao eixo é duas vezes a distância do foco à diretriz 328 a Prove que a reta x 2ayoy x0 0 é tangente à parábola x ay² no ponto Px0 y0 b Mostre que a perpendicular à tangente em Px0 y0 é bissetriz do ângulo formado por PF onde F é o foco da parábola e a paralela ao eixo da parábola que contém Px0 y0 329 Uma partícula se move de modo que no instante t seu vetor posição é OPt t 4t t² Determine a uma equação cartesiana da trajetória da partícula b o instante em que a partícula se encontra mais próxima da reta y 5 330 Sejam a e b números reais tais que b a 0 e considere os pontos B0 0 B10 a b F0 a e F10 b a Mostre que as equações da elipse de vértice B e B1 e focos F e F1 e da parábola de vértice B e foco F podem ser escritas respectivamente nas formas y 1ab y² 14a abb x² y 14a x² b Se os pontos x y e x yp pertencem respectivamente à elipse e à parábola do item a mostre que lim b y yp c A partir dos itens a e b conclua que a parábola de vértice B e foco F pode ser imaginada como a posição limite da elipse de vértices B e B1 e focos F e F1 quando o foco F1 tende para o infinito