Exercícios Resolvidos de Geometria Analítica - Hipérboles e Elipses

CNOÚ 61 Elevando ambos os membros desta equação ao quadrado e simplificando o resultado obtemos Finalmente 40x² 33y² 24xy 18k 186x 18y 200 0 que não contém radicais e é do segundo grau Exercícios são a 25 9 1 b 25 7 9 31 Determine os focos ou vértices e esboce as hipérboles cujas equações 5 é 32 Dada uma criada de definições a 2 cuja que cmo maior é 4 b a de focos FU 1 8 que conta PUM de maior 42e quadrilha maior 33 Escreva a equação da hipérbole cuja equação da hipérbole ute e ponto foca PS 70 e FT 122 34 Escreva a equação da hipérbole de foco F 00 e Fu 70 cujos focos são 35 Mostre que e 3E fa fij s4 Ejer2 y 2 efet fex 36 Utilizando focos e vértices defina a centro os pontos P x x P x e b central para ponto P x x P x y imitiram satisfaçam U crystals cristais na reta Jseta uma de seus e com 3 1 uma é é seus dois em cicelec continua uma elipse conectoda 37 o gráfico as funções definidas por a sete elipses f x x² x² b se x c d 0 Jfx é a equação da reta que conecta x y e cuia derivada f x é dada por Esta reta é chamada tangente a elipse no ponto x y meuguru Exercicio 31C Detexminar foco vertices e esbouce a elipse afa as equações são o x 2 s Y à L Comparando com aquoção genérica n ar Y 3 2 s bo q u e a elipse possei ocentrom perce origem c que Q 3 b Qf 2 5 sQ S blqs b 3 desse modo os focos da elipse estoo no eixo X Ascondenadas do vertices soo AC 5 0 A s 0 BCO 3 e BC 0 3 As coordenodos dos focos c Ta 5 2 C G c 2 F C 4 0 F 0 4 c 16 H M n S he B 2 Fz F A I 2 13 fu is c 6 Ar Iz o l à så z I à 3 Bj 4 I b 7 x 2 y 2 t L a 25 Comporando com a cequação Reduzida s b 1 temas que az a b 2 5 Q I 3 i b 5 logo acb As Coordenodas dos verfices soo A C 3 0 AC 3 0 B L O 5 BCO s Como acb os focos da elipse estoo no eixo y logo as cordenodos dos focos soo çzñb â ê F 04 c 2 m F 1 0 4 c T T ó C I U n B F 3 2 Ji i i i n e osn h O a cl 2 3 F r B I D 4 x 2 9 y 2 36 E preciso desenvolver a equaçoo deforma que pareça com a equaçoo de uma elipse 4 x 2 9 y 3 6 Divida ambos os lodos da ignaldode por 36 4 x 56 0Y 36 36 36 Pois tersus que obter resutodo I no 2 membro IR 9 Y L Is simplificonde as equoçoes 36 36 ra lu pa leq respectivamente F Y Y L s obtemos uma equaçõo do tipo az Y z I logo o centro da elipse estána origem dos eixos a 9 b 2 4 QL I 3 b Ia como os modulosdeeb temos que azb loge os focos da elipse estoo no eixo X As coordenodos dos vertices A 1 3 0 B 20 A B 130 2 o As coordenodas dos focos c t a F F S 0 c a r r FL 1 1 0 1 CIVS n 3 2 B 1 e is ia 3 n A i i i i x x x F A l 2 p Br 3 i d r 2 y L Desenvolvendo a cquação de modo que ela pareça com uma equação do elipse x Y2 a d b É a L b t B Temos qque os módulos de a ub asb logo os focos estoo no cixox o coonderodas dos vertices A C 1 0 B 1 0 B A 1 0 B 0 B Corrdenodos dos Focos c Ta 5 C ta c B Jebidhe D c Ü ny Z 1 oB E z Fi I 3 2 Ia i i IIeEF A ą ş FÜB 2 r 32 Deduza a equação da elipse D F 1 O 1 l e F C O I J eixo maior 9 r emos que x 2 bz I I OL temos que encontrar os rolore de aeb Sabe s e que os focos estoo no eixo y b logo acb portonta c b z a M como c L temos que L T 3 2 a Elevando ambos os membros ao quadrodo s b 2 a 1 t a b a b sabe s e oque oeixo maior é igual a 2 b entõo Ita b 2 t a b L a 4 2 b Qz 4 2 Q 3 Qt logo a equaçãe da elipse é yz qz y Lp F F t bz x p p p Y ja s FLI 1 FL 1 A eixo maior 4 B a 2 o F à i 3 7 y L Fz 2 V o O cntro da clipse coincide com cntro dos cixos Tomando um P na clipse tem s e PP PF z a sefa PCx y PFiTPF 2 a PF 4 M P F X 2 C Y 2 7 c MER T X I J E C Y 2 X 2 C R 4 2 1 C 3 2 8 R W X a P L Y I P I x s P C Y t I R x 2 2 x t h Y 2 2 1328 M K x t 5 P Y 2 2T x t s B l Y t z P y Xxy 2 2 x 2 y 2328 V T C x e s R Y e a k a x t a t y 2 y t s 2 x 2 x 2 y 2 y 3 2 S V W T X E I P E L Y P 4 x 4 y 3 2 S V T E X S P L Y 2 X y 8 2 T AX S P E E Y t j x y 7 8 Q V V T X T a R Y t s s t 2 2 extype 16 x t y 464 8 x o Y 4 2 2 x t y Ptt 6 x t y t 6 4 8 x axts 8 y 7 2 y t 2 847164 4848 y 21 b y 48 x t y P 1 6 X 1 7 6 4 Xe 2 x y t y t 16 x t l b y 6 4 8 x 716 x 1 b y 4 1 6 T 18 y 2 X 8 4 2 y 2 8 y 2 2 x y 64160 7 x 2 7 x 2 2 x y 80 7 x 2 7 x 2 2 x y 4 8 0 33 PIB E F L A O D E G A D O A s wordmodos do foco cindican que o centro do elipse estai na origer do plono EF F ustão no eixo x Logo P deve satisfazer a equioço ą 2 y z I sabemos que asb pois os focos estoo no cixo 4 substituindo xey pelas coordenodon deP temos z u s h Y R 1 l E 2 t b a K e 144251 adbz btaps bay 4 n l a s a Q 2 b z à b 2 25 249 IO a azbz Fazendo um Rascunhada elipse B dB FIaobs C A wr O temo que c pelo teoremo de Pitogoras a 2 b a x c a a 2 b t t p Q 527 substituínde nO b 2 t 2 s I azba n 4 194 l b 25 02 b I 149 b 2 b 2 e 7 25 b 2 b 2 7 1441 2527 25 b 2 b 2 7 28852 2008 25 b 4 L 7 S b 2 255417ba 2 8 8 b 2 20080 25 b 4 1 1 3 b 2 50080 Tome bz u 2 s u 1 1 3 u 20080 Resolvendo por Baskhora colficientes a 25 b l 1 3 C 2008 D b a 4 a c D 1 1 3 1 2 4 25 1008 D 12769100800 D 1 1 3 5 6 9 P V 1 1 3 5 6 9 337 D b I D ll za 113I 337 Il 2 25 131337 M so U 113337 450 sd 9 so Mi 113337 so 229 so queremos uzo logo somente U nos interessa como biu b 2 q D b 3 Retomando az b 2 e 7 az 9 4 7 Qz 16 azv Q 4 Sendo assim a equação da elipse fica a 2 Y 2 S x 2 x Y 2 es 16 a fCo 1 F 1 0 vertice na origem bzazo G Focs no eixo Y U be a soo negativos Fazendo um rascunho da elipse n y B Je o B As o A OL o Bzz aFfFil 2 c pp Mb a 2 c b a s l m a c b a z c b a C z z C coordinoda do centro da dipsec OCQ c OCO b Distôncia focal dOFl 0 O b P a aLOF T t a 2 dO F 1 z Sabendo que BC 0 0 Colculando semi e i x o moior d B 0 00 t o p r Bp alB 0 dlB 0 b 0 Pelo Teorema de Pitagoros temos M distoncion save semiverse win wm a semi e i x o T menor As o A OL o Bz Dessa forma tem s e duas dos tris medidos do triongulo b 3 a b a z z A b b 3 0 P A 2 bat b 3 a A 2 A b 2 z a b o b 2 b a b 9 0 2 h 4 A 2 b 2 2 a b t a b 2 t b a b 9 0 4 az 9 a 2 z a b t b a b A 2 U A 2 8 0 2 thab 2 a t a b Na aquoção da clipse X z Az L fy Ba z Xlb a 1 2 t Zay 2 b y ab a a n s u obs Béa medida do semi c i x o maia nesse coso B b a z 4 x 2 aag 2 b y L b a r a 2 a b 2 a hxt t złay b y L b a k a 2 a b 2 a 2 1 T baplab 2 a z s Exzlab a a tlay b y b a l L kax l b 2 a yla b l l b a l b a lab 2 a 4 K hax b 2 a y l b a b a f a l b 2 a has 2 b 2 a y l b a b a a b 2 a 0 35 O a Se p X o 0 satisfor a 2 Y z s entõo x az Yo Ț 2 Vomos verificar se Patxo Yo satinfoz BqstYo 2 X a z Y o 52 s satifoz verifican se P 3 C Xo Yo sotistoz xF Y o B XP 2 Y 8 2 s ąz Satiloz verificar se PuC x o Y o sotisfoz xo 2 F Y P ba X 7 2 Yo 22 sotisfaz D plaiitot P X o Y o l B 3 A D on n n PA Pl x o ï Y o o Bi x o o Pelo item temos que PLXo 4 o é simétrico a Pl x o Yo en reloçõw ao eixo B orsim como Pl X o t o l é s i m é t r i c o PCXo Y o Tombém temos que Pl X o Y o é s i m é t r i c e Pl 4 o Y o em reloção oo cixo A da clipse 30 O Este exercício exigeo A uso da régua e do composso a resposta coneta do mesmo depende F dauso coneto do Bz oß composso B s Fi Paro os exercicios a eb fixe o composso no foco e Ai em um dos vextices Em a inicia a desenho com o composso em FeAe b7 desenha ati B em reguida troque a ponta do compa JO B sso de F pora F depoin desenhe de Bate Ar Fn y Faço o mesmo procedi B mento B x Neste exerácio bosto voce posicionas o composso nos vertices comece B 8 com uma ponto emB ea outro ems A n Al ßl 37 O acxl b T T t ã ä g b W x â y 2 b 2 2a g 2 a s balaz x 2 g 2 0 2 b a b a z a 2 b a b a y a a z y a b a x z q z y a 2 b a baxa a 2 y a azbz a 2 b a b X aaba a 2 y a 3 b a azba a 2 Y y 2 I f x 1 b T â g b T x ã g 2 b 2 l l z s xűą 2 z L az ga b a l a a x 2 l ga a a b a y az a 2 b 2 x b y å 2 a 2 b t t x b 2 y a z x 2 b 2 t y 2 a a 2 b D a 2 Y a L d 2 Y a à 1 2 21 a 2 2 y y b 2 0 2 y y 2 21 az y 2 a s b y y X b gaz go g o a 2 A equaão da reto tongente é daforma G yoxth Go Y o X o t k R Yo Y o X 0 gauioxtyr b i t s go e o u p G u t xib 2 goaz Y Your xób X o x b x b ô a yGoa x 8 b x o x b Z x y 8 a z yyoæfxxxob x 8 b Z x y B a Z gyod arba X X o b abo X b axbaxY â abz a X 2 47 a 2 Y 0 2 GYa X a z L