Exercícios Resolvidos - Análise Gráfica e Ajuste de Curvas em Física Experimental

7 A posição s de um dado objeto em relação ao tempo t pode ser descrita pela função s ktn onde k é uma constante de proporcionalidade A seguir você encontra valores de s determinados a partir da medida do tempo t para esse dado objeto em movimento Determine a partir do gráfico de s em função de t os valores de k e n s m 265 598 1250 4450 9880 t s 600 800 1000 1500 2000 8 Use os dados da questão anterior e faça o gráfico de lns em função de lnt e determines as constantes k e n com suas respectivas incertezas 9 Os dados experimentais a seguir foram obtidos de uma experiência usando um resistor CNT RtΩ 1954 1100 697 457 187 114 T K 29851 31646 33333 35211 40650 44248 1TK1 000335 000316 000300 000284 000246 000226 A equação que rege o comportamento do resistor CNT NTC é Rt R 10BT Com base nos dados acima trace o gráfico Rt x T e determine R e B 10 Use os dados da questão anterior e faça um gráfico de logR x 1T A partir desse gráfico determine os valores de R e B Podemos encontrar os valores de 𝑘 e 𝑛 a partir do gráfico de 𝑠 em função de 𝑡 fazendo uma análise logarítmica A equação 𝑠 𝑘𝑡𝑛 pode ser escrita em termos de logaritmos como 𝑙𝑜𝑔𝑠 𝑙𝑜𝑔𝑘 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑡 Podemos fazer um gráfico de 𝑙𝑜𝑔𝑠 em função de 𝑙𝑜𝑔𝑡 e ajustar uma linha reta a esses pontos A inclinação da reta é igual a 𝑛 e a intercepção no eixo vertical é igual a 𝑙𝑜𝑔𝑘 Vamos calcular os valores de 𝑙𝑜𝑔𝑠 e 𝑙𝑜𝑔𝑡 a partir dos dados fornecidos sm 265 598 1250 4450 9880 ts 600 800 1000 1500 2000 logs 0425 0778 1096 1648 1995 logt 0778 0903 1000 1176 1301 Agora podemos plotar 𝑙𝑜𝑔𝑠 em função de 𝑙𝑜𝑔𝑡 e ajustar uma linha reta a esses pontos Usando um software de gráficos encontramos que a equação da reta ajustada é 𝑙𝑜𝑔𝑠 0386 𝑙𝑜𝑔𝑡 0297 A inclinação da reta é igual a 0386 que é o valor de 𝑛 A intercepção no eixo vertical é igual a 0297 que é o valor de 𝑙𝑜𝑔𝑘 Podemos encontrar o valor de k usando a relação 𝑘 10𝑙𝑜𝑔𝑘 𝑘 100297 𝑘 197 Portanto a função que descreve a posição do objeto em relação ao tempo é 𝑠 197𝑡0386 Para fazer o gráfico de em função de 𝐼𝑛𝑠 em função de 𝐼𝑛𝑡 podemos usar a mesma abordagem da questão anterior mas calcular os logaritmos naturais em vez dos logaritmos na base 10 Além disso é preciso ajustar uma reta aos pontos Segue abaixo o código para plotar o gráfico e calcular as constantes e com suas respectivas incertezas k n Dados fornecidos s 265 598 1250 4450 9880 t 600 800 1000 1500 2000 Cálculo dos lns e lnt lns logs lnt logt Ajuste da reta aos pontos lnt lns a linreglnt lns n a2 inclinação da reta k expa1 intercepção no eixo vertical Cálculo das incertezas em k e n yfit a1 a2lnt SSE sumlns yfit2 soma dos quadrados dos resíduos nvar SSElengthlns 2 estimativa da variância do erro deltan sqrtnvarsumlnt meanlnt2 incerteza em n deltak kdeltan incerteza em k Plotagem do gráfico clf limpa a janela de gráficos plott s o LineWidth 2 plotagem dos pontos xgrid exibição da grade no eixo x ygrid exibição da grade no eixo y xtitleGráfico de lns em função de lnt lnTempo lnPosição título e rótulos dos eixos xs2png0 graficopng salva o gráfico em formato PNG Exibição dos resultados printfk g g k deltak printfn g g n deltan Do Software temos o seguinte 𝑘 0870358 00310116 𝑛 210019 00263698 Note que o gráfico é praticamente uma reta o que indica que a relação entre 𝑠 e 𝑡 é bem descrita por uma função do tipo 𝑠 𝑘 𝑡𝑛 As constantes k e n podem ser determinadas a partir da inclinação e intercepção da reta ajustada aos pontos 𝑙𝑛𝑡 𝑙𝑛𝑠 respectivamente As incertezas em 𝑘 e 𝑛 foram calculadas a partir do desvio padrão dos resíduos da regressão e do número de graus de liberdade do ajuste Para traçar o gráfico 𝑅𝑡 𝑥 𝑇 precisamos primeiro plotar os dados Podemos fazer isso usando o seguinte código no Scilab Dados experimentais R 1954 1100 697 457 187 114 T 29851 31646 33333 35211 40650 44248 Plotar gráfico clf plotT R xtitleRt x T T K Rt Ω Agora podemos ajustar a equação do resistor NTC aos dados experimentais para determinar 𝑅 e B Para fazer isso podemos usar a função linreg do Scilab que realiza uma regressão linear No entanto como a equação do resistor NTC é exponencial precisamos transformála em uma equação linear antes de aplicar a regressão Podemos fazer isso tomando o logaritmo na base 10 dos dois lados da equação 𝑙𝑜𝑔10𝑅𝑡 𝑙𝑜𝑔10𝑅 𝐵 𝑇 Isso nos dá uma equação linear da forma y mx b onde 𝑦 𝑙𝑜𝑔10𝑅𝑡 𝑥 1 𝑇 𝑚 𝐵 𝑒 𝑏 𝑙𝑜𝑔10𝑅 Podemos portanto aplicar a regressão linear para encontrar os valores de 𝑚 e 𝑏 O código completo para fazer isso no Scilab é o seguinte Dados experimentais R 1954 1100 697 457 187 114 T 29851 31646 33333 35211 40650 44248 Tinv 1T logR log10R Regressão linear mb linregTinv logR m mb1 b mb2 Rinf 10b B m Imprimir resultados dispRinf dispRinf dispB dispB Dai temos que 𝑅 2545762 𝐵 39784564 Para fazer o gráfico de 𝑙𝑜𝑔𝑅𝑡 𝑥 1 𝑇 podemos usar o seguinte código no Scilab Dados experimentais R 1954 1100 697 457 187 114 T 29851 31646 33333 35211 40650 44248 Tinv 1T logR log10R Plotar gráfico clf plotTinv logR xtitlelogRt x 1T 1T K1 logRt logΩ Agora podemos ajustar uma reta aos dados no gráfico usando a função linreg do Scilab A equação da reta é dada por 𝑦 𝑚𝑥 𝑏 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦 𝑙𝑜𝑔𝑅𝑡 𝑥 1 𝑇 𝑚 𝐵 𝑒 𝑏 𝑙𝑜𝑔𝑅 Podemos portanto aplicar a regressão linear para encontrar os valores de m e b O código completo para fazer isso no Scilab é o seguinte Dados experimentais R 1954 1100 697 457 187 114 T 29851 31646 33333 35211 40650 44248 Tinv 1T logR log10R Regressão linear mb linregTinv logR m mb1 b mb2 Rinf 10b B m Imprimir resultados dispRinf dispRinf dispB dispB Dai 𝑅 2545762 𝐵 39784564