Aula 4: Transformação Linear na Álgebra Linear

Aula 4 Transformação Linear A álgebra linear busca entre outras coisas compreender o comportamento de uma classe de funções que atuam em espaços vetoriais Lembrando Uma função f de um conjunto A em um conjunto B f A B é uma regra que associa a cada elemento x A um único elemento y fx B domínio imagem Def Sejam V e W espaços vetoriais Uma função T V W é uma transformação linear se Tαu αTu e Tu v Tu Tv para todo u v V e α F Obs As condições da definição são equivalentes a Tαu βv αTu βTv O vetor Tu chamase imagem de u pela transformação T Quando V W dizemos que T é um operador linear Note que em toda transformação linear T T0 0 pois T0 0T0 0 Além disso dados u v V e α β F Tαu βv αTu βTv Exemplos 1 O V W é a transf linear v 0W nula Oαu βv 0W α0W 0 Ov Ou v 0W 0W 0W Ou Ov 2 I V V a transf identidade v v Note que dados u v V e α F Iαu v αu v αIu Iv DADO α F Tα V V v αv é uma transf linear Dados μν V e β F Tαβμν αβμν αβμαν βαμ αν βTαμ Tαν Propriedade de espaço vetorial Obs Quando α1 a transf linear Tα é dita transf linear expansora Se α1 Tα é dita uma transf linear contrativa Considere V F R e α 3 Então Tα1 T31 310 Leva cada vetor v em módulo no triplo do seu valor Se V R² F R e α 12 Então T R² R² xy 12xy Leva cada vetor na mesma direção e no mesmo sentido mas módulo menor exatamente na metade Sendo α T1 temos que T R R é uma transf linear se Tx αx isto é seu gráfico é uma reta passando na origem T R² R xy xy T é uma transf linear 5 Reflexão em relação aos eixos Dados μ₁ν₁z₁w ℝ² e α ℝ Tₐ ℝⁿ ℝᵐ OBS O fato de T0 0 não garante que T seja uma transf linear Por exemplo T ℝ ℝ² x₁ x₁ x² é tal que T0 00 Mas T não é linear uma vez que T1 11 e T2 24 T1 T1 22 Se T V W é uma transf linear então Tu Tu De fato dado u V Tu T1u 1Tu Tu Teorema Sejam V e W espaços vetoriais Uma transf linear T V W é totalmente caracterizada pelos seus valores em uma base de V Ou seja se B é uma base de V e Tvᵢ wᵢ para todo vᵢ B então existe uma única transf linear T V W tal que Tvᵢ wᵢ vᵢ B Dem Como B é uma base de V dado v V existem α₁ αₘ F tais que v α₁v₁ α₂v₂ αₘvₘ Define Tv Tα₁v₁ αₘvₘ α₁w₁ αₘwₘ T é linear pois dados u v V e α β F sabemos que existem α₁ αₘ β₁ βₘ F tais que v α₁v₁ αₘvₘ e u β₁v₁ βₘvₘ e Tv γα₁v₁ γαₘvₘ então Tγu u γα₁ β₁v₁ γαₘ βₘvₘ logo Tγu u γα₁ β₁w₁ γαₘ βₘwₘ γTv Tu Além disso T é única SUPONHAMOS QUE EXISTAM T TAL QUE Tvjwj vjB DADO vV ENTÃO Tvα₁Tv₁αₘTvₘα₁w₁αₘwₘα₁Tv₁αₘTvₘTv EXEMPLO DETERMINAR A TRANSF LINEAR Tℝ²ℝ² ONDE T1110 E T1112 EXEMPLO DETERMINAR A TRANSF LINEAR TM₂ℝℝ² ONDE T1 00 120 T0 10 001 T0 12 003 E T1 11 101 a b x1 0 y0 1 z0 1 w1 1 c d 0 0 0 0 axw 2xαd byzw xαd2 c2tw dxw wxdα3d zcw2cα3d byzw ybc T a b αd2T 1 0 bcT 0 1 2cα3d2 T 0 1 α3dT 1 1 T a b c d αb00cb02d6c3α 0 a 3d Ta b c d a b 2a b 5c 3d