Lista de Exercícios sobre Transformações Lineares

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECONCAVO DA BAHIA UF 3B DISCIPLINA GEOMETRIA ANALITICA E ALGEBRA LINEAR am PROFESSOR FELIPE FONSECA DATA vif h NOMBs 5 LISTA DE EXERCICIOS Questao 1 Verifique se as transformagées abaixo sdo lineares 1 TR SR dada por Tayz 2 5y2z 2 TR3 SR dada por Tx yz x5y21 3 TR SR dada por Tz y z x7 By z 4 T R R dada por Tz y xy 5 T PnR PR dada por Tp p p 6 T M2R R dads por at det a c d c d 7 TRR dada por Tx a Questao 2 a Qual a transformagdo linear T R R tal que T1 2 314 e T13 2 41 b Determine se possivel o vetor xy R tal que Tx y 5 1 7 Questao 3 Determinar o ntcleo das transformagées lineares abaixo e descrevaos geometricamente a T R 4R dada por Tz y y 22 b T R R dada por Tx y z 2 2x c T R R dada por Tx y a yxy d T R R dada por Tx y 2 z 2 2 2x 2 32 Questao 4 Considere a transformacdo linear T R R dada por Tx y 2 22 y 2 1 Determine uma base do nicleo de T 2 Dé a dimensdo da imagem de T 8 T sobrejetora Justifique 4 Facga um esbogo do KerT e ImT Questao 5 Seja T R R um operador linear tal que T100 231 T110 5 27 e T111 207 1 Encontre Txy2 para xyz R 2 T sobrejetora Justifique sua resposta 3 T e injetora Justifique sua resposta 4 T e bijetora Justifique sua resposta Questao 6 Determinar um operador linear em R3 cujo nucleo tem dimensao 1 Questao 7 Sabendo que a matriz de uma transformacao linear T R2 R3 nas bases A 1 1 1 0 do R2 e B 1 1 0 0 1 0 0 0 1 do R3 e T A Bx 2 2 3 2 0 1 a Encontre a expressao de Tx y b Determine se possivel v R2 tal que T v 2 2 1 Questao 8 Determinar as matrizes das seguintes transformacoes lineares em relacao as bases canˆonicas dos respectivos espacos vetoriais 1 T R3 R2 T x y z x y z x y z R3 2 T R4 R T x y z t 2x y z 3t x y z t R4 3 T R R3 T x x 2x 3x x R Questao 9 Seja T R3 R3 o operador linear dado por T x y z 3x x y 2x y z Mostre que T 2 Id T 3Id 0 Questao 10 Sejam V espaco vetorial e T V V um operador linear idempotente isto e T 2 T Mostrar que V KerT ImT Gabarito Questao 1 101 e 105 Sao transformacoes lineares 102 103 104 106 e 107 Nao sao transformacoes lineares Questao 2 a T x y x y x y 2x y b Nao existe x y R2 tal que T x y 5 1 7 Questao 3 a KerT x y R2 y 2x x 2x x R b KerT x y z R3 z 2x x y 2x x y R c KerT 0 0 d KerT 0 y 0 y R 2 Questao 4 41 KerT ax0 a R logo uma base do ntcleo pode ser dada por B 110 42 dimImT 2 43 Nao pois a dimensao da imagem é menor que a dimensao do contradomfnio Questao 5 51 Ta2 y z Qa 3y7z 3x y2zx46y logo uma base do nticleo pode ser dada por B 1 10 52 53 e 54 Como KerT 000 entao T é injetiva Além disso pelo TNI sabemos que dimImT 3 dimR logo T é sobrejetora e portanto T é bijetora Questao 6 Tx y Z x Ye y2 Questao 7 a Tz y 22 Ye y b v 12 Questao 8 1 B 1 1 0 B 81 vJ2 82 var 211 3 83 vJ2 2 001 3 Questao 10 Podemos escrever v V por v TvvTv Note que Tv ImT e TvTv TvTv 0 logo vTv KerT para todo v V Assim V ImT KerT resta mostrar que é soma direta Suponha que v ImTNM KerT por um lado deve existir u V tal que Tu v e Tv 0e como T é idempotente temos que 0 Tv Tu Tu v logo ImT N KerT 0 3