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Matemática ·
Álgebra Linear
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Dvinte Sarah Gonzatello Docente Dr Felipe Fonseca PROVA 1 Quais das aplicações abaixo são definidas são aplicações lineares da R4 Justifique I Txyzwxy1z1w T não é linear já que toda transformação linear satisfaz T00 Porém para nosso caso T000001000000 II Txyzwwyzyzx 1 Txyzwαb1cd1Txαybzcwd wdyb2cyb2cxα wd yzbcyzbcxα wyzyzx dbcbcα TxyzwTαb1cd ii Tαxyzw αTxyzw αwαyαz1αyαz1αx 2w2y32y2x αwyzyzx αTxyzw dii T é uma transformação linear Dvinte Sarah Gonzatello III Tα y1zwsini xy1we2 T não é linear pela mesma razão do item I já que T0000seno 000e0000 Em resumo somente II é linear 2 sejam α421t²t³ e B 1201011120 base do P2R em R³ respectivamente e T P2RR³ I T1 3201 1011 0120212 T21 α2001 10y1 1120 111 T1²1 0200 00y1 3120 360 I Tα bt ct² 2a 5b c a 3b 5c 2a 3b 2c al242 b533 c1 1 2 da ImT 121133112 além disso 2 1 2 12 3 50 6 30 30 150 logo os 3 vetores são LI e dão base de ImT logo dimImT 3 dimR³ logo T é sobrejetora e além disso pelo teorema posto dimP2R dimNuCT 3 dimNucT 0 da T é injetiva em consequência T é uma bijeção 2 III Pelo fato no item b temos que ImT R³ e dimImT 3 Logo ImT R³ Txyz xy y2 y2 Para λ2 2 temos A λ2IV 0 Isto é qualquer elemento da forma 12V3 12V3 V3 é auto vetor associado a λ3 2 A P D P¹ D 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 λ 1 λ 1² λ 2 0 λ 1 λ 1 λ 2 A λI V 0 d λ 0 0 0 0 0 0 0
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Dvinte Sarah Gonzatello Docente Dr Felipe Fonseca PROVA 1 Quais das aplicações abaixo são definidas são aplicações lineares da R4 Justifique I Txyzwxy1z1w T não é linear já que toda transformação linear satisfaz T00 Porém para nosso caso T000001000000 II Txyzwwyzyzx 1 Txyzwαb1cd1Txαybzcwd wdyb2cyb2cxα wd yzbcyzbcxα wyzyzx dbcbcα TxyzwTαb1cd ii Tαxyzw αTxyzw αwαyαz1αyαz1αx 2w2y32y2x αwyzyzx αTxyzw dii T é uma transformação linear Dvinte Sarah Gonzatello III Tα y1zwsini xy1we2 T não é linear pela mesma razão do item I já que T0000seno 000e0000 Em resumo somente II é linear 2 sejam α421t²t³ e B 1201011120 base do P2R em R³ respectivamente e T P2RR³ I T1 3201 1011 0120212 T21 α2001 10y1 1120 111 T1²1 0200 00y1 3120 360 I Tα bt ct² 2a 5b c a 3b 5c 2a 3b 2c al242 b533 c1 1 2 da ImT 121133112 além disso 2 1 2 12 3 50 6 30 30 150 logo os 3 vetores são LI e dão base de ImT logo dimImT 3 dimR³ logo T é sobrejetora e além disso pelo teorema posto dimP2R dimNuCT 3 dimNucT 0 da T é injetiva em consequência T é uma bijeção 2 III Pelo fato no item b temos que ImT R³ e dimImT 3 Logo ImT R³ Txyz xy y2 y2 Para λ2 2 temos A λ2IV 0 Isto é qualquer elemento da forma 12V3 12V3 V3 é auto vetor associado a λ3 2 A P D P¹ D 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 λ 1 λ 1² λ 2 0 λ 1 λ 1 λ 2 A λI V 0 d λ 0 0 0 0 0 0 0