Lista de Exercicios Resolucao de Integrais com Variaveis Complexas - UFRB

Questão 8 Um estudante de Variáveis Complexas estudando para uma prova com seus colegas fez a seguinte argumentação Gente nós vimos que z z² z³ z 1 z e que 1 1z 1z² 1 1 1z z 1 z Então é óbio isso daqui ó fz 1z³ 1z² 1z 1 z z² z³ z 1 z z 1 z 0 Aponte o erro na argumentação desse estudante Questão 9 Determine o coeficiente a₁ na expansão de em Série de Laurent em torno de z 0 para a função 1 z sen² z Questão 10 Expanda a função fz 1 2z 1z 2² numa série de Laurent em torno dos pontos z 12 e z 2 2 Resíduos Questão 11 Calcule a integral Γ z⁶ 4z⁴ 2z² 1 z 2i⁶ dz onde Γ z C 4 Re z 4 e 4 Im z 4 Resp 24π Questão 12 Resolva a integral Φ tg z dz onde Γ é definida por a z 1 Resp 0 b z 2 Resp 4π Questão 13 Considere a função fz z² 2z 2 z⁴ 5z² 4 e a curva Γ definida pela equação x²3 y²3 3²3 tal curva é denominada astróide a Encontre os pontos onde a função f não é holomorfa b Escreva o denominador de f como um produto de dois fatores quadráticos c Esboce a astróide γ destacando as singularidades de f d Calcule a integral Γ fz dz Resp 4π3 i Questão 14 Descreva um contorno Φ conveniente de modo a calcular a integral Φ z z² 1z² 9 dz de tal modo que apenas as singularidades que se encontram no semiplano superior contribuam para o cálculo do resíduo Neste caso calcule a integral Oriente Φ no sentido positivo Questão 15 Seja Λ uma elipse cuja equação é 9x² y² 9 orientada no sentido antihorário Calcule a seguinte integral Λ zeπz z⁴ 16 zeπz dz Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Questão 16 Calcule o resíduo das seguintes funções em torno de z₀ 0 a ez 1 sen z b z 2 z² 2z c 1 ez 1 Questão 17 Calcule as seguintes integrais reais usando variáveis complexas como suporte teórico a ₀ x² x⁴ 9 dx b 1 x² x 1 dx c ₀ dx 1 x⁶ Questão 18 Mostre que quando a b 0 temse ₀π dθ a b cos θ² πa a² b²32 Questão 19 Mostre que ₀2π dθ 2 cos θ 2π 3 Questão 20 Mostre que o Teorema dos Resíduos implica a Fórmula da Integral de Cauchy UF B Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Séries de Taylor Séries de Laurent e Resíduos Professor Ícaro Freire José Olívio Disciplina Variáveis Complexas Curso Licenciatura em Matemática 8 semestre Aluno a Data LISTA DE ATIVIDADE V 1 Séries de Taylor ou Laurent Questão 1 Use a Série de Taylor e expanda as funções abaixo em z₀ 0 a ez Resp n0 até zⁿ n b sen z Resp n0 até 1ⁿ z²ⁿ¹ 2n1 c cos z Resp n0 até 1ⁿ z²ⁿ 2n d 1 z1z2 Resp 0 até 1 1 2n1 zⁿ Questão 2 Determine a expansão de Laurent da função fz 1 z⁴ 1 z para cada uma das regiões a z 1 b 0 z 1 1 c z 1 1 Questão 3 Determine a expansão em série de Laurent da função gz 1 z4 z² nas regiões indicadas a D z C 0 z 2 b D z C 0 z 2i 2 c D z C z 2i 4 Questão 4 Seja z₀ uma singularidade isolada da função analítica fz a Mostre que se o limite limzz₀ z z₀ fz existe e é nulo então z₀ é uma singularidade removível de f b Mostre que se para n inteiro n 1 o limite limzz₀ z z₀ⁿ fz existe e é não nulo então z₀ é um polo de f de ordem m Questão 5 Considere a função fz e¹ z² a Qual tipo de singularidade existe em z 0 b Usando o coeficiente a₁ da expansão de Lautent para essa série calcule a integral z2 fz dz Questão 6 Exiba uma função que possuí um polo simples em z 2 e um polo de ordem 7 em z 2 i Questão 7 Determine a natureza das singularidades da função fz z 1k sen² z z² z 1³ com 0 k 1