Lista de Exercícios Resolvidos - Limites Derivadas e Integrais em C - Variáveis Complexas

Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Limites Derivadas e Integrais em C Professor Ícaro Vidal Freire Disciplina Variáveis Complexas Curso Licenciatura em Matemática 8 semestre Aluno a Data LISTA DE ATIVIDADE V 1 Limites Questão 1 Se fz z2 mostre usando a definição que limzz₀ fz z₀² Questão 2 Encontre limzz₀ fz quando fz z² se z z₀ 0 se z z₀ Questão 3 Sejam f A C uma função complexa e u v R2 R funções reais tais que fx yi uxy vxyi Suponha que z₀ A C de maneira que z₀ x₀ y0 i é um ponto de acumulação de A e w₀ u₀ v₀ i Mostre que limzz₀ fz w₀ limxyx₀y₀ uxy u₀ limxyx₀y₀ vxy v₀ Questão 4 Prove que não existe o limite limz0 zz Questão 5 Calcule os limites a limz1i z² 5z 10 b limzπ3 i z3 8z4 4z² 16 c limz 2i 2z 3z 1z² 2z 4 d limz2i iz4 3z2 10i e limzi2 2z 34z iiz 12 f limzπ4 i z²z4 z 1 g limz i z² 1z6 1 h limzi z4 1z 1 i limz i z3 zz i j limzi z iz i k limzi 4z² cosz 1 Arg z l limz0 sen zz Questão 6 Suponha fz 3z² 2z Mostre que limzz₀ fz fz₀z z₀ 6z₀ 2 Questão 7 Calcule limh0 fz₀ h fz₀h sabendose que fz 3z 13z 2 com z₀ 23 Questão 8 Mostre que se limzz₀ fz L então limzz₀ fz L Questão 9 Para cada função dada mostre que não existe limz0 fz a fz z2 z2 2z2 b fz z z2 4z2 Questão 10 Considere as funções f X C e g fX C com X C Mostre que a Se f é contínua em z₀ e g em fz₀ então a função composta g o f é também contínua em z₀ 2 Derivadas Questão 11 Usando a definição calcule a derivada de cada uma das funções nos pontos indicados a fz 3z² 4iz 5 em z 2 b fz 2z iz 2i em z i c fz 3z2 em z 1 i Questão 12 Mostre que a função fz z não é analítica em nenhum ponto de C Questão 13 Considere fz 1 z1 z Determine a ddz fz b onde f é analítica Questão 14 Seja A um subconjunto aberto de R² e u A R uma função de duas variáveis reais Suponha que u é diferenciável até a ordem 2 Dizemos que u é harmônica quando o Laplaciano ² é zero Relembre que o Laplaciano é ² ²ux² ²uy² Mostre que a Se fz u iv é analítica em A com derivadas parciais de 2 ordem contínuas então u e v são harmônicas em A Questão 15 Suponha que u e v são duas funções de duas variáveis reais definidas num subconjunto aberto A R² Dizemos que u e v são conjugados harmônicos quando f u iv é uma função analítica no A a Mostre que ux y x² y² e vx y 2xy são conjugados harmônicos b Exiba fz para esse caso Questão 16 Considere a u R² R definida por uxy ex x sen y y cos y a Prove que u é harmônica b Determine v de tal modo que fz u iv seja analítica c Exiba fz para o caso do item b acima Questão 17 Use as regras de derivação e calcule as derivadas de cada uma das seguintes expressões a cos² 2z 3i b z arctg ln z c z 3i3 d z 3i4z 2 Questão 18 Considerando w uma função implícita de z e além disso w² 3z² w 4 ln z 0 Calcule dwdz Questão 19 Prove que s f e g são analíticas em z₀ e fz₀ gz₀ 0 mas gz 0 então limzz₀ fzgz fzgz LHospital Questão 20 Calcule a limzi z10 1z6 1 b limz0 1 cos zz² c limz0 1 cos zsen z² d limz0 cos z1z² Questão 21 Mostre que arccos z i ln z z² 1 Questão 22 Mostre que a função fz ez² é uma função inteira Qual é a sua derivada Questão 23 Dada uma função analítica f A C dizemos que z₀ A é um ponto crítico de f se fz₀ 0 a Calcule todos os pontos críticos da função inteira fz ez3 3z² 6z b Calcule todos os pontos críticos da função fz sen z2 Questão 24 Se uma função holomorfa f D C satisfaz a equação f αf 0 em D C onde α é uma constante complexa prove que f é da forma fz A eαz para alguma constante complexa A Questão 25 Considere f C C definida por fz z2 z se z 0 0 se z 0 Mostre que f não é holomorfa em ponto algum de C 3 Integrais Questão 26 Calcule a integral Γ 1z dz onde Γ é uma circunferência unitária centrada na origem do plano complexo Questão 27 Defina γ 0 2π C por γt enti onde n Z Sendo Γ γ0 2π mostre que Γ 1z dz 2πin Questão 28 Calcule Γ z dz de i a i onde a Γ é um segmento de reta b Γ é o arco da circunferência z eiθ com θ π2 3π2 c Γ é o arco da circunferência z eiθ com θ 3π2 5π2 Questão 29 Seja Γ a fronteira da região delimitada pelo polígono de vértices 1i 1i 1i 1 i 1 i Encontre Γ 1z dz Questão 30 Se Ir Γ eiz z dz onde γ 0 π C é definida por γt reit Mostre que limr Ir 0 Questão 31 Encontre pelos caminhos indicados abaixo a integral Γ 1z2 1 dz a onde γt 1 eit para 0 t 2π b onde γt 2eit para π t π Questão 32 Seja Γ a parte superior do círculo unitário Mostre que Γ ez z dz πe Questão 33 Calcule a integral Γ cos3 1z 3 dz onde Γ é o quadrado com vértices 0 1 1 i e i Questão 34 Explique por que z51 cos4 z sen 3z z 1 0 sem precisar calculála Questão 35 Fixado z0 ℂ considere a curva Γ dada por z z0 reiθ com θ 0 2π e r 0 a Mostre que Γ é uma circunferência de raio r e centro z0 b Mostre que se n ℤ então Γ z z0n dz 2πi se n 1 0 se n 1 Questão 36 Encontre as raízes do polinômio z3 10z2 32z 32 e calcule a integral z3 2z2 15z 30 z3 10z2 32z 32 dz Questão 37 Calcule as integrais a z2 z2 z1 dz b z2 z2 1 z2 1 dz c z1 sen ez z dz d z2 eπz z2 1 dz e z1 dz z2 2z f z3 z3 3z 1 z1z2 dz g z3 ez sen z z 2 dz h z2 1 z2 1 dz