o Plano Complexo

O Plano Complexo Professor Ícaro Vidal Freire Disciplina Variável Complexa Curso Licenciatura em Matemática 8º semestre Aluno a Colocar seu nome aqui Data 09042024 Atividade Avaliativa I Questão 1 1 ponto Com as operações usuais de M2ℝ considere Maba b b a com ab ℝ Sabendose que ΩMab M2ℝ ab ℝ é um Corpo responda aos itens abaixo a Verifique que Ma0 Mb0 Ma b0 e Ma0 Mb0 Ma b0 Solução Pequeno teste com a² b² c² b Identificando Ma0 a verifique que ℝ Ω e M01² 1 c Denotando i M01 mostre que Mab a bi d Considere o número complexo Z 32 332 332 32 i Escreva Z na forma algébrica ii Escreva Z na forma polar Questão 2 1 ponto Sabendo que Sn i4n i2n com n ℕ determine o módulo do complexo resultante da soma S1 S2 S2002 Questão 3 1 ponto Considere os números complexos z x yi e w y xi cujos módulos são tais que z ew3x e w ez1y onde e é a base dos logaritmos neperianos a Obtenha a forma polar de z² Questão 4 1 ponto Para n ℕ e i 123n mostre que dados ziwi ℂ é válida a desigualdade Desigualdade de CauchySchwartz i1 to n ziwi i1 to n zi² i1 to n wi² Questão 5 1 ponto Prove que sen2π7 sen4π7 sen8π7 72 Questão 6 1 ponto Calcule a área da região descrita pelo conjunto A z ℂ 1 z 4 e π4 arg z π Questão 7 1 ponto Seja a α iβ onde α β ℝ com β 0 Prove que as duas soluções de z² a são z0 e z0 onde z0 α α² β²2 iεβα α² β²2 sendo εβ 1 se β 0 εβ 1 se β 0 Obs As raízes quadradas acima consideradas são positivas Questão 8 1 ponto Prove que se z1 z2 1 com z1z2 1 então z1 z21 z1z2 é um número real Questão 9 1 ponto Um Inteiro Gaussiano é um número complexo cuja parte real e imaginária é inteira Denotamos por o conjunto dos Inteiros Gaussianos por Zi ou seja Zi m in mn ℤ a Mostre que a soma e o produto em Zi são fechados b Quando um Inteiro Gaussiano é invertível c Encontre todos os Inteiros Gaussianos que são invertíveis d Se Qr é um quadrado com vértices r ir r ir r ir r ir onde r ℤ quantos Inteiros Gaussianos existem no perímetro de Qr Questão 10 1 ponto ENADE Adaptado O conjunto números complexos pode ser representado geometricamente no plano cartesiano de coordenadas xOy por meio da seguinte identificação z x yi P xy Nesse contexto analise as afirmações a seguir I As soluções da equação z⁴ 1 são vértices de um quadrado de lado 1 II A representação geométrica dos números complexos z tais que z 1 é uma circunferência com centro na origem e raio 1 III A representação geométrica dos números complexos z tais que Rez Im z 1 é uma reta que tem coeficiente angular igual a 3π4 radianos É correto o que se afirma em a I apenas b II apenas c I e III apenas d II e III apenas e I II III Variável Complexa Questão 1 a Ma0 Mb0 a 0 0 a b 0 0 b ab 0 0 ab Mab0 Ma0 Mb0 a 0 0 a b 0 0 b ab 0 0 ab Mab0 b Se x ℝ então Mx0 x e Mx0 Ω Portanto ℝ Ω M01² 0 1 1 0 0 1 1 0 0011 0110 1001 1100 0 1 1 0 1 0 0 1 M10 1 c Mab a b b a a 0 0 a 0 b b 0 a1 0 0 1 b0 1 1 0 a bi d Z 32 332 332 32 M32 332 32 332 i i Z 32 332 ii Z 32² 332² 94 934 9274 364 3 3 θ arctg 332 32 arctg 332 23 arctg3 4π3 3º Quadrante Z Z cos θ i sen θ Z 3 cos4π3 i sen4π3 Questão 2 Temos que i² 1 logo i⁴ i²² 1² 1 Assim podemos reescrever o termo geral da sequência Sn 64n i2n i4n i2n 1n 11n 1 1n Assim se n é par então Sn 1 1 2 e se n é ímpar Sn 1 1 0 Portanto S1 S2 S2002 0 1 0 1 1001 2002 vezes2 Questão 3 Z x yi Z x² y² W xy xi W y² x² x² y² Z Com isso temos que Z eZ3x lnZ Z3x Z W eZ1x lnZ Z1x Z Z3y x y3 Vamos ter 2 casos 1º xy0 Z 2xy Z e2xy 12 Z e2 0 arctg y2y3 π6 Z e2 cosπ6 i senπ6 Z² e4 cosπ3 i senπ3 2º xy0 Z 2xy Z e2xy 12 e2 θ arctg xyy3 5π6 3º quadrante Z e2 cos5π6 i sen5π6 Z² e4 cos7π3 i sen7π3 Questão 4 Observe que dado um número complexo X temos X2 X X conjugado onde X é o conjugado de X Assim i1n zi² i1n wi² i1n ZiZi conjugado j1n WjWj conjugado i1n ZiWi j1n ZjWj 1ijn Zi conjugadoWj Wj conjugadoZi Wi conjugadoZj Wj conjugadoZi i1n ZiWi j1n ZjWj 1ijn Zi conjugadoWi ZiWj Zj conjugadoWi Ziwj i1n ZiWi2 1ijn Zi conjugadoWj ZiWj2 i1n ZiWi2 i1n zi2 i1n wi2 i1n ZiWi i1n zi² i1n wi² Questão 5 Seja ω a 7ª raiz sétima da Unidade Então ω e2πi7 Reω sen2π7 Reω² sen4π7 e Reω³ sen6π7 Temos que ω é solução de Z7 1 0 Z 11 Z Z² Z³ Z4 Z5 Z6 0 1 ω ω6 0 Sejam x ω ω² ω4 e y ω³ ω5 ω6 então x y 1 0 Além disso observe que ω1ω6 ω1ω1 1 ω1 ω6 ω Similarmente ω3 ω4 e ω5 ω2 Com isso xy ωω6 ω²ω5 ω4ω3 ωω5ω3 ω²ω3 ω5 ω4ω5 ω6 3 ω4ω6 ω5ω3 ω3ω5 ω10 2 1 ω ω2 ω6 0 x 2 2y y 1 0 2 y2 y 0 y1 1 i 72 e x 1 i 72 Observe que x é soma vetorial definida nos quadrantes I e II onde o seno é positivo Então x 1 i 72 Logo Imx Im1 i 72 sen2π7 sen 4π7 sen8π7 72 Questão 6 Vamos utilizar coordenadas polares com KV2 e π4 θ π A π4π 761 r² dr d θ π4π r² 761 dθ π4π 3 dθ 30π4π 32 π π4 9π8 Questão 7 Seja aαiβ queremos encontrar z₀ tal que z₀²a Seja z₀xiy temos que z₀²xiy²x²2ixyi²y²x²y²i2xy Logo x²y²α e 2xyβ yβ2x x²β2x²α x²β²4x²α αx⁴αx²β²40 2x²αα²β² Bháscara considerando biquadrada x αα²β²2 x² é real positivo por isso escolhemos αα²β² yβ2x β2 1αα²β²2 β22 1αα²β² β22 αα²β² β22 1αα²β² αα²β² β2 αα²β²β² εβ αα²β²2 αα²β²2 z₀ αα²β²2 iεβ αα²β²2 e z₀ são soluções de z²a Questão 8 Temos que Z₁²1 Z₁Ẑ₁1 Z₁1Ẑ₁ Analogamente Z₂1Ẑ₂ Logo Z₁Z₂1Z₁Z₂ 1Ẑ₁ 1Ẑ₂ 1 1Ẑ₁ 1Ẑ₂ Ẑ₂Ẑ₁ Ẑ₁ Ẑ₂ 1Ẑ₂ Ẑ₁ Ẑ₁ Ẑ₂ 1 2Ẑ₂ Ẑ₁ Como Z₁Z₂ é igual ao seu conjugado concluímos que é um número real Questão 9 a Sejam Z₁Z₂ Zi tais que Z₁a₁ib₁ e Z₂a₂ib₂ com a₁a₂b₁b₂ Z Então Z₁Z₂ a₁ib₁ a₂ib₂ a₁a₂ib₁b₂ Zi Z₁Z₂ a₁ib₁a₂ib₂ a₁a₂ i a₁b₂ i a₂b₁ i²b₁b₂ a₁a₂b₁b₂ ia₁b₂a₂b₁ Zi b Zaib é inversível se ẐZ Zi ou seja se aa²b² ba²b² Z c a e b devem ser múltiplos de a²b² logo a1 e b0 ou a0 e b1 ou seja os elementos inversíveis são 11i e i d perímetro8r Cada unidade de perímetro possui um inteiro de Gauss logo existem 8r inteiros gaussianos no perímetro de Qr Questão 10 I As raízes ⁴1 de 𝑧⁴1 são 11 i e i todas com distância 1 da origem e formando ângulos de 90 Portanto formam um quadrado de lado 2 Falso II Verdadeiro III Verdadeiro corresponde à reta x² 1x Resposta letra d