Lista de Exercícios de Derivadas - UFRB

UFRB UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DISCIPLINA CURSO NOME DATA PROFESSOR TURMA LISTA DE EXERCÍCIOS DE DERIVADAS As seguintes tabelas contêm uma lista mínima de exercícios extraídos de dois livros que abordam todos os conteúdos da segunda avaliação Cabe salientar que esta lista servirá como um guia É necessário resolver outros exercícios para obter êxito na disciplina Além de exercícios dos livros deixamos outros exercícios sobre derivadas a partir da página 2 Livro Stewart James Cálculo vol 1 7a ed Cengage Learning 2013 Seção Página inicial 1 Exercícios 27 137 1 4 5 8 9 13 14 16 23 26 29 34 45 46 28 147 21 a 31 51 56 31 164 3 9 10 12 20 25 35 44 47 67 68 32 171 2 11 14 23 26 27 28 31 35 36 33 178 1 3 9 12 22 25 31 33 35 38 51 34 185 1 3 6 17 18 29 30 45 42 76 77 79 80 81 84 35 194 1 2 3 6 7 15 20 25 26 32 39 61 62 71 36 201 23 26 27 28 31 39 41 44 45 48 50 52 39 223 1 2 3 4 5 6 7 12 13 14 15 16 310 229 1 2 3 4 11 1213 14 15 311 236 1 até 52 Livro Guidorizzi Hamilton L Um curso de cálculo vol 1 5a ed Grupo GenLTC 2000 Seção Página inicial 1 Exercícios 72 143 1 2 3 4 5 6 7 14 15 17 73 147 1 2 3 5 9 74 149 1 2 4 6 75 151 1 2 5 7 76 154 1 2 3 77 159 12 4 5 7 9 12 13 14 78 162 1 2 3 79 169 1 2 4 5 6 9 12 15 711 179 1 2 4 6 9 11 13 29 712 185 1 713 191 1 4 6 11 81 218 1 3 82 223 1 8 162 479 1 2 163 488 1 Reta Tangente Taxa de Variaao Fun 8 Usando a definicao determine a funcao pri cao Derivada e Regras de Derivacao meira derivada e as derivadas nos pontos in dicados 1 Usando a definigao de derivada determine a a fx x 1 f0 e f1 equacao da reta tangente as seguintes curvas b Fx x2 3x 6 f1 e F2 nos pontos indicados Esbogar o grafico em 1 1 cada caso c fx Ff 5 e f3 a fx x21 x1x0 d fx senx f0 fF 5 e fm b fx x 3x 6 x1x2 9 Usando a definigéo determine a fungao pri c fx 1 x x3 meira derivada das seguintes fungoes x d fx 2x x0x3xa a0 a x 1 4x 1 2 alter b fx Usando a definigao de derivada determine a b fx Jeni equacao da reta tangente a curva y 1 x ls que seja paralela a reta y 1 x c 6s 53 fx 3 Usando a definigao de derivada determine as A Fx a 5 equagées das retas tangente e normal a curva e g8 B43 2 y x 2x 1 no ponto 2 9 f Ft YE43 4 Usando a definigao de derivada determine 40 Dada a fungdo fx 2x2 3x 2 determine equacao da reta tangente e normal a curva os intervalos em que y x 1 que seja perpendicular a reta y x a fx 0 b fx 0 5 Usando a definigao verifique se as fungdes a 11 Usando as regras de derivagao encontre a de seguir sao derivaveis em xp e em caso afirma rivada das fungoes dadas tivo determine fx a fx 5 5x 315x 3 3x sex2 3t75t1 a fx xo 2 b wt x8 sex2 t1 3 t a b fx Vx x0 0 c Ft c fx 2x7 2 x 2 d u 4u aa 2u d u i x1 d Fx xp2 O 2 e fa 45 3x 6xa V3x1 sex3 12 e Fx 2 x 3 f Bx 5 56 1 zh Sex3 g fx 2x4 3x2 45x 2 3 2 1 83 6 Dada a funcdo fx 4 bh S 29 h tx 5 2xVx Vx x se x 0 3x5 12 x4 verifique se existe f0 Esboce 0 grafico i ax 3x 12 x i fs V3s 5 7 Determine as constantes a e b de modo que w 3 3 seja derivavel em x 1 sendo k Bt poet 2t 3 x axb sexl a ee wot Wo S x sex 1 m yx 2x4 3x x 3 n xz D LISTA DE EXERGCICIOS CALC 1 9 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 0 ut a a fx 2x 7 em P2 1 x1 5 b fx em P10 p x ea tO inv7 P09 xe 1 10 93 19 Determine as equagées das retas tangente e q xy 2y y 1 normal ao grafico de f no ponto de abscissa r dx x senx Inx cosx s Fa 28 1 sen4 a gx 2x7 3x1 x 1 12 Usando as regras de derivagao encontre a de b fx tex x 74 rivada das fungdes dadas c Fx V94x x 4 a x a 00 x oy nx cosx 20 Calcule a abscissa do ponto do grafico de y co b 0 2 Sen8 x3 2x2 4x no qual a reta tangente é paralela c y 25 senx 9secx a reta 2y 8x 50 d y xsenxcosx 21 Determine a equagao da reta tangente ao gra e fx sen3x cosx fico de fx x 3x e perpendicular a 2y gx senx cosx x 3 Bd Senx cosx oes x 22 Determine uma reta tangente ao grafico de fx 9 y sant cosx x 07 sabendo que a reta normal h fx 2 senx cosx 8 tgx sec x paralela a reta y x 2 i gx Vx tgx 23 Nos exercicios abaixo calcule a derivada sim i Fx senx 44 plificando o maximo possivel x Xx 2x 8 a gx x 2x k fx 1 secx tgx senx b fx e3 13 Dadas as fung6es fx x2 Ax e gx Bx c Fx xy OS determine A e B de tal forma que d gx er sene oS s 12x e 3 sen28 sen28 xX gx x 2x f fx V3x 1 14 Usando as regras de derivacao encontre a equa 2 5 2x41 g Bt et 5t ao da reta tangente a curva y 3x 4 no 1 14 Xx x ponto de abscissa x 1 h fx 5 In 15 Usando as regras de derivacao encontre a equa i h 2cos26 30 1 cao da reta normal a curva y 3x 4x no j 0 sen 6 cos 6 ponto de abscissa x 2 k gx senx 1 x ex 16 Seja y ax bx Encontre os valores de a I yx 2024647 e b sabendo que a tangente a curva no ponto inclinagao m m Ft 15 tem inclinagao m 8 Jeni 17 Em que ponto da curva y x 8 a inclinagao n wu cos72 u da tangente é 16 Escreva a equacao dessa 0 0 1 os26 reta tangente 5 p Fx 18 Encontre a equacao da reta tangente ao gra 5 0 A fico da funcao dada no ponto indicado a Fx 3x 12 x LISTA DE EXERGCICIOS CALC 1 9 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL t3t 28 Mostre que a funcdo y xe satisfaz a equa r Yt 2 5Ds t 5t Gao xy 1xy s Fs Ine3 1 29 Mostre que a fungao y saltisfaz t wx In7x 4 1xInx 2 a equacao xy yyInx 1 u Fx e 4 5 30 Se fx e gx em que g0 2e g0 v 8 2cos26 36 1 5 E correto dizer que f0 é w 0 2cos0 0 x w sen cos 31 Determine f3 iy FG n 2 a sabendo que f1 2x f2x 1 z fx Insenx a 5 q 2x Ax 4x2Vx ER 24 Encontre a derivadas das fungdes dadas sim b sabendo que f4x 1 f2x3 5 plificando o maximo possivel x5 x3 x e que f3 0 3y2 2 a Fx VOe 1 32 Para cada um dos itens a seguir determinar b y Inx 5 a f 3 sendo f52xf2x1 4x c y Inx 3 Ax 42 d y Invx 4 b 0 sendo Fsenx 8 F3x x e ye Inx 3x m x 44 f yIn c gofoh 2 sabendo que f0 1 h2 0 g15 f 0 2 h22 yao ge 1 5 F 0 2 2 h y logx 6x 33 Seja f uma fungao duas vezes derivavel e a fungao g dada por gx fx cosx Sa yx bendo que f0 2 e f0 1 dertemine i y x Inx gx eg0 k 2 1 2 k ax cos1 x 34 Obtenha a regra do produto para uv deri I fx 3x x7 cos2x vando a formula m fx cossec5x x Inuv Inu Inv n gx tex tex 0 Fx cotgx 35 Prove que x p fx x ae a Se y cotg x entao y cossec x b Sey entao y tex a gx sencos2x 1 b Se y secx entao y secx tg x r fx x 43 36 Um corpo cai livremente partindo do repouso x In3x 1 Calcule sua posigao e sua velocidade depois s Fx tg5x x de decorridos 1 e 2 segundos Da Fisica use 25 Encontre fx sendo a equacao yt vot 58 t para determinar a posigao y do corpo onde vw é a velocidade Fxyad ON 8 XSI inicial e g 98 ms 1s4 se x1 go 26 Calcule f0 se fx e cos3x 27 Calcule f1 se fx In1x arcsenx2 LISTA DE EXERCICIOS CALC 1 92 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 37 Numa granja experimental constatouse que t12 450 onde o tempo em horas é a partir do uma ave em desenvolvimento pesa em gra inicio do temporal Qual a taxa de crescimento mas da area do lago em 4 horas t 20 5t 4 se 0t60 42 Seja r a raiz cubica de um numero real x En me 24 4t 604 se 0t90 contre a taxa de variagao de r em relagao a x quando x for igual a 8 onde t medido em dias Derivadas Sucessivas Derivacado Im a Qual a raz4o de aumento do peso da ave plicita e Derivadas de fungoes Inver quando t 50 sas b Quanto a ave aumentara no 51 dia 43 Nos exercicios abaixo calcule as derivadas su c Qual arazdo de aumento do peso quando cessivas até a ordem n indicada t 80 a yax4 bx ex4d n3 38 Um liquido goteja em um recipiente Apds t b y V3x2 n2 horas ha 5t t1 litros no recipiente Qual a c y ett n 3 taxa de gotejamento de liquido no recipiente em litroshora quando t 16 horas d y 2In2x n 2 39 A redugao de oxigénio na Agua de umalagoa 44 Umcorpo se move em linha reta de modo que devido ao despejo de esgoto so volta a niveis sua posigao no instante t é dada por ft normais t dias apds o despejo do esgoto Sa 16t t 0 t 8 onde o tempo é dado em bendo que a quantidade de oxigénio que per segundos e a distancia em metros Os t dias é r na manece apos t dias dada po a Achar a velocidade média durante o inter Pt 500 Se valo de tempo b b h0b8 t3 20t 200 a ob Achar a velocidade média durante os in medido em do nivel normal de oxigénio De tervalos de 3 3 1 e 33 01 termine a velocidade com que a quantidade de c Determinar a velocidade do corpo num oxigénio esta sendo reduzida apdés 1 e 10 dias instante qualquer t do despejo de esgoto d Achar a velocidade do corpo no instante 40 Sob certas circunstancias um boato se pro t 3 paga de acordo com a equagao e Determinar a aceleragao do corpo num 1 instante t qualquer t p 1 aekt onde pt 6 a proporgao da populacao que ja 45 Influencias externas produzem uma acelera ouviu 0 boato no instante t onde ae k sao gao numa particula de tal forma que el constantes positivas ao de seu movimento retilineo 6 y ct onde y 0 deslocamento e t 6 0 tempo a Encontre a taxa de propagagao veloci dade do boato a Qual a velocidade da particula no instante t2 ob Encontre lim pt Qual a intepretagao do valor deste limite b Qual é a equagao da aceleragao 46 A posicao de uma particula que se move no 41 Numa cidade X possui um lago com forma cir eixo dos x depende do tempo de acordo coma cular Durante uma temporal engenheiros da 5 equacao x 3t t em que x vem expresso prefeitura verificou que o tamanho do raio do em metros e t em segundos lago aumentava de acordo com a equagao r a Qual 6 0 seu deslocamento depois dos c expY xy exp y nos pontos onde a primeiros 4 segundos abscissa e a ordenada tem 0 mesmo va b Qual a velocidade da particula ao termi lor imei 2 nar cada um dos 4 primeiros segundos 52 Calcule a segunda derivada e o seu valor nos c Qual a aceleragao da particula em cada pontos indicados nos itens da questao ante um dos 4 primeiros segundos rior d soe 1 cos x 47 Calcule y x das seguintes fungées defini 53 Calcule a derivada de y x x das implicitamente 54 Calcule a derivada de y sen x 3 2 2 a x xyty0 55 Assinale a alternativa verdadeira justificando b y3 b y xy sua resposta Sabendo que 0 Vx V va y VO d tgy xy Vx 22 Vx 3 d e x y 16 entao é 1 1 dx f1 5 xX oy a y 161x 480x 9 y cosx y x 23ex 3 480x h extY arctgy b po OUR OC Y One i yx x cosxy 2 y 161x 480x 171 48 A curva com equacao y x3 3x é deno Vx 1P Vx 2 x 3 minada cubica de Tschirnhausen Sabendo d y 161x 480x 271 que y fx encontre as equagées das retas Vx 1 Vx 3 tangente e normal a curva cubica de Tschir e y 161x 480x 271 nhausen no ponto 1 2 60Wx 1P Vx 2 Vx 3 56 Assinale a alternativa verdadeira justificando 49 Determine os pontos da curva x 2xy3y sua resposta Sabendo que 3 nos quais as retas tangentes nesses pontos sejam perpendiculares a reta x y 1 1 sen4x Y 4 aaa 1 sen4x 50 Determinar uma equacao da reta tangente e da reta normal ao grafico de cada fungao abaixo entao dy é nos pontos indicados dx 1 sen4x a y x 8x3 24x 8x nos pontos em a yy 4sec4x T sen4x que ff 0 1 sen4x b y x 14x no ponto de abscissa b y sen4x 4x xo 1 7 1 sen4 c y 4sec4x 1 sen4x 51 Calcule a expressao e o valor no ponto dado 1 sen4x das derivadas indicadas abaixo 1 4 d y 4 cosax Sen 1 sen4x a x y 4 y no ponto P1 V3 ex no 1 sen4x ponto Q V3 1 a SEMEX e y 4 cos4x 1 sen4x b yx seny 0 no ponto de ordenada z 57 Determine a expressao de f fx lem 1 brando que f fx fx LISTA DE EXERGCICIOS CALC 1 9 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL a fx x4x2 64 Um aluno do ESA precisa encontrar a tem b fx 32c0s2x 0 x 12 peratura de um arame quando o tempo t 0 01s Ele sabe que a fungao c fx 2 d fx senInx e772 x e7 Tt 1420 58 Determine a equacgao da reta tangente e da representa a temperatura do arame no instante x 1 reta normal a curva y arctg S no ponto t Como ele nao tem uma calculadora ele pre onde a curva intersecta 0 eixo dos x cisara estimar esse valor da temperatura Use Derivadas de Funcées Hiperbolicas eee linear para ajudalo a estimar o Taxas Relacionadas Diferenciais Apro V2 4 700 ximacoes lineares e Polin6mio de Tay 65 Uma caixa em forma de um cubo deve ter um lor revestimento externo com espessura de 14 cm 59 Encontre as derivadas das fungdes a seguir Se 0 lado da caixa de 2 cm usando diferen oe n cial encontrar a quantidade de revestimento simplificando ao maximo se possivel necessaria a gx senhx eo 66 Use diferencial para obter o aumento aproxi b y coshx 1 mado do volume da esfera quando 0 raio varia c y senhx senx de 3cma31cm a re 20 67 Um desapropriaga tght Um terreno em desapropriagao para reforma 60 Encontre Ay e dy para os valores dados agraria tem a forma de um quadrado Estima se que cada um de seus lados mede 1200 m a y a Ax 000le x 1 com um erro maximo de 10 m Usando diferen x b y 5x26x Ax 002ex 0 cial determinar o possivel erro no calculo da 2x1 area do terreno c y a Ax 0lex1 x 68 Numa pequena comunidade obtevese uma es 61 Calcule um valor aproximado para as seguin timativa que daqui a t anos a populacdo sera tes raizes usando diferencial de pt 20 an milhares 3 4 a 150 b 635 c V13 a Daqui a 18 meses qual sera a taxa de va 62 Calcule a diferencial das seguintes fungées riagao da populagao desta comunidade a y In3x2 4x b Qual sera aproximadamente a variagao x1 real sofrida durante 0 18 més b y ex 5 69 O raio de uma circunferéncia cresce a razao c y sen5x 6 de 21 cms Qual a taxa de crescimento do com 63 Faga 0 que se pede a seguir primento da circunferéncia em relagao ao tempo a Determine a reta tangente a curva y 70 Um homem comega a andar para o norte a emx 1 Ci Vax i x 05ms a partir de um ponto P Cinco segun b Um aluno do BCET precisa encontrar o dos depois uma mulher comega a andar para valor de Como ele nao tem cal o sul a 10ms de um ponto 10m a leste de P V403 A que taxa as pessoas estao se distanciando culadora precisara usar aproximacoes li 5 segundo apoés a mulher comegar a andar neares para estimar esse valor Use a equagao da reta tangente do item a para 71 Ao meio dia um navio A esta 100km a oeste ajudalo do navio B O navio A esta navegando para o sul a 35kmh e o B esta indo para o norte a Derivadas Imediatas 25kmh Qual a taxa de variagao da distancia les as 4h da tarde entre eles as 4 horas da tarde 1 ki 0VkEC 2 x nx 3 a a Ina em particular e e 4 senx cosx Apendice 5 cosx senx 6 tgx sec x Definigao de Derivada rel 7 cotgx cossec x dy Fx Ax Fx U se Mx dx alm Ax 8 secx tgx secx Equivalentemente fx dy lim FO Fo 9 cossecx cotgx cossecx dx x xXxX9 1 10 log x Vx Ri0al x Ina Interpretacao Geométrica 1 em particular In x y graff x 11 fx Ax b arcsen x Vix graft 1 12 arccosx arco dy Ay 1 d rt y 13 arctgx Tae a I fx Kf1H I dx Ax Regras da derivagao 1 dlutvdutav I x x Ax x 2 duvudvvdu u vdu udv a a2 Diferencial de uma fungao Equacoes das Retas Tangente e Normal Seja am neae y fx uma fungao Da igual 1 Da reta TANGENTE y Fa F ax a dade lim fx temos Ax0 Ax 2 Da reta NORMAL ae Fx a yt ED onde a é diferenga entre a razao incremental e a derivada da fungao ou erro da aproximagao em m6 Derivada da Fungéo Composta dulo Logo Ay fx Ax a Ax S een nn hx Fx Ax F 2 dy fxAx Diferencial da fungao